Aula de álgebra destinada a alunos do 9o ano do ensino fundamental e revisão para alunos do 1o do ensino médio do CEAL.

O objetivo deste trabalho, é introduzir o estudo das equações de forma descontraída, chamando atenção para as operações fundamentais e o uso das letras no estudo da matemática. Observa se ainda a evolução do aluno no decorrer de sua formação.

Professora Enoêmia.

Equações Algébricasoperações algébricas como: operações algébricas como:

adição, subtração, adição, subtração,

multiplicação, divisão e multiplicação, divisão e

radiciação.radiciação.

Equações algébricas são equações

nas quais a incógnitaxestá sujeita a

EAAEAA

Equação do primeiro grauEquação do primeiro grau

==

Os números reaisa e bsão os coeficientes da equação.

(1o membro) (2o membro)aax + x + bb 0

EAAEAA

Resolução de equações

1. x + 8 = 15

x + 8= 15x = 7

- 8

2. x -10= 12x = 12+ 10

x = 22- 10

EAAEAA

= 9 - 15

x= (- 6)

3. +

+ 15

= 9

. 3

= - 6

15

x = 18-

x_3

3

_

x

x_

_3

3

EAAEAA

4. 2x = 18

x =

x =3

2

__

3

2

+15

+15 -15

2x=

18

2

EAAEAA

Equação do segundo grau

ax² + bx + c = 0

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

Os números reaisa, b e csão os coeficientes da equação.

EAAEAA

Exemplo:

x² - 5 x + 6 = 0

Identificando os coeficientes: ax² + bx + c = 0

a = 1b = -5

c = 6

EAAEAA

Vamos completar a tabela

Equação a b c

1 - 6 8

1

1

- 1

- 10 25

2 4 140 1

2 0

x² - 10 x + 25 = 0

x² - 6x + 8 = 0

2x² + 4x + 14 = 0

x² + 1 = 0 - x² + 2x = 0

EAAEAA

Fórmula de Bháskara

a

bx

2

ax² + bx + c = 0BhaskaraAcharya(B. o Instruído )

viveu de1 114a1 185aprox.naIndia.{ (delta)letradoalfabetogrego,usada

para representarovalordaequação

b² - 4ac }.EAAEAA

= b² - 4ac é o discriminante da equação de

2o grau ax2 + bx + c = 0.

onde a é o coeficiente de x2, b é o coeficiente de x

e c o termo independente.

EAAEAA

Exemplos

3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,

1. Calcule o discriminante na equação.

= b² - 4ac (-3)2 -4.3.6 =

9 - 4.18 = 9 - 72

=

- 63 =

EAAEAA

x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = -6 c = 9,,

2. Calcule o discriminante na equação.

= b² - 4ac (-6)2 - 4 . 1.9 =

36 - 36 = 0

=

EAAEAA

x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,

3. Calcule o discriminante na equação.

= b² - 4ac 22 - 4. 2.(-3) =

4 - 8.(-3) = 4 + 24

=

28 =

EAAEAA

Sendo = b² - 4ac e

a

acbbx

2

42

a

acx

2

4b- b- '

2

a

ac

2

4b b- x"

2

Dada a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0.

temos, acb 42

logo,

a

bx

2

EAAEAA

ExemplosExemplos1. x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,

a

acbbx

2

42 x = -(-5)+ (-5)2 ______________

2.1

_ -4.1.6

x = 5 + 25 ____________2

- 24_x’ = 5 1

2_____ x’ = 42

__ x” = 2

S ={2; 3}

x” = 5 1 2+____ x”= 6

2__ x” = 3

EAAEAA

2. x² + 8x + 15 = 0

a = 1 b = 8 c = 15,,

a

acbbx

2

42 x = - 8 + 82 ______________

2.1

_ -4.1.15

x = -8 + 64 ____________2

- 60_x’= -8 4

2_____ x’= -10

2__ x’ = -5

S ={-5; -3}

x”= -8 4 2+____ x”= -6

2__ x”= -3

EAAEAA

3. x² + 6 x + 9 = 0a = 1 b = 6 c = 9,,

a

acbbx

2

42 x = - 6 + 62 ______________

2.1

_ -4.1.9

x = -6 + 36 ____________2

- 36_x’= -6 0

2_____ x’= -6

2__ x’= -3

S ={-3}

x”= -6 0 2+____ x”= -6

2__ x”= -3

EAAEAA

4. 3 x² - x + 3 = 0a = 3 b = -1 c = 3,,

a

acbbx

2

42 x = - (-1)+ (-1)2 ______________

2.3

_ -4.3.3

x = 1 + 1 ____________6

-36_x= 1 -35

6_______

S ={ }

+ x

EAAEAA

O discriminante há três possíveis situações:

1. Se

há duas soluções reais e diferentes:

e

> 0

-bx’ = -_____2a

-bx” = +2a

_____

EAAEAA

x² - 5 x + 6 = 0 a=1 b=-5 c=6,,

a

acbbx

2

42 x = -(-5)+ (-5)2 ______________

2.1_ -4.1.6

5 + 25 ____________2

- 24_x’ = 5 1

2_____ x’ = 4

2__x’ = 2

A equação possui duas raízes diferentes.

x” = 5 1 2+____ x” = 6

2__x” = 3

Logo, > 0

Exemplo

x =

EAAEAA

x' = x”

a

b

2

2. Se há duas soluções reais iguais:

= 0

a

bx

2

a

bx

2

0

EAAEAA

x² + 6 x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9,,

a

acbbx

2

42 x = - 6 + 62 ______________

2.1

_ -4.1.9

-6 + 36 ____________2

- 36_x’= -6 0

2_____ x’= -6

2__ x’= -3

A equação possui duas raízes iguais.

x”= -6 0 2+____ x”= -6

2__ x”= -3

Logo, = 0

Exemplo

x =

EAAEAA

não há solução real, pois não existe raiz

ax

2

-b-

logo,

x

3. Se < 0

quadrada real de número negativo.

EAAEAA

3 x² - x + 3 = 0 a = 3 b = -1 c = 3,,

a

acbbx

2

42 x = - (-1)+ (-1)2 ______________

2.3

_ -4.3.3

x = 1 + 1 ____________6

-36_x= 1 -35

6_______

A equação não possui raízes reais.

+ x

Logo, < 0

Exemplo

EAAEAA

Exemplos

3x² - 3x + 6 = 0 a = 3 b = -3 c = 6,,

1. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac (-3)2 -4.3.6 =

9 - 4.18 = 9 - 72

= - 63

=

A equação não possui raízes reais.

EAAEAA

x² + 6x + 9 = 0 a = 1 b = -6 c = 9,,

2. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac (-6)2 - 4 . 1.9 =

36 - 36 = 0

=

A equação possui duas raízes iguais.

EAAEAA

x² + 2x - 3 = 0 a = 1 b = 2 c = -3,,

3. Determine o número de raízes na equação.

= b² - 4ac 22 - 4. 2.(-3) =

4 - 8.(-3) = 4 + 24

= 28

=

A equação possui duas raízes diferentes.

EAAEAA

Resolva as equações.

a) x² - 3x + 2 = 0

b) 2y² - 14y + 12 = 0

c) - x² + 7x – 10 = 0

d) 5x² - x + 7 = 0

e) 7x² - 3x = 4x + x²

f) z² - 8z + 12 = 0

g) y² - 25 = 0

h) x² - 1/4 = 0

i) 5x² - 10x = 0

j) 5 + x² = 9

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