Equilأ­brio Espacial de Mercados - 2014-11-10آ  28 Equilأ­brio de Mercado Conceitos Fundamentais Mercado:

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    Equilíbrio Espacial de Mercados

    www.deps.ufsc.br/~mayerle/equilibrio.rar

  • 2

    Cada indivíduo procura apenas seu próprio ganho. Porém, é como se fosse levado por uma mão invisível para produzir um resultado que não fazia parte de sua intenção... Adam Smith (1723-1790) A Riqueza das Nações

  • 3

    Sumário I. VIP - Problema de inequações variacionais

    • Definição e Interpretação Geométrica • Proposições • Algoritmo de solução do VIP

    II. Natureza da demanda III. Natureza da oferta IV. Equilíbrio de mercado V. Concorrência perfeita

    • Conceitos • Formulação do modelo de otimização • Concorrência perfeita é VIP

    VI. Monopólio • Conceitos • Formulação do modelo de otimização • Monopólio é VIP

    VII. Oligopólio • Formulação VIP para o Equilíbrio de Nash • Equilíbrio de Cournot-Nash

    VIII. Análise dos resultados IX. Bibliografia

  • 4

    Parte I

    Problema de Inequações Variacionais (VIP)

  • 5

    Conjunto Viável

    K

    *)(xF

    *)(xF−x *xx − *x

    Cone Normal

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Definição e Interpretação Geométrica Definição 1 (Problema de Inequações Variacionais) O problema de inequações variacionais de dimensão finita, ),( KFVI , consiste em determinar um vetor nRKx ⊂∈* , tal que:

    KxxxxF ∈∀≥− ,0**),( onde F é uma função vetorial dada, contínua de K em nR , e K é um conjunto fechado e convexo.

  • 6

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Sistema de Equações Proposição 1 (Sistema de Equações é VIP) Seja nRK = e seja nn RRF a: uma dada função vetorial. Um vetor

    nRx ∈* resolve ),( nRFVI se e somente se 0*)( =xF . Em outras palavras, uma solução nRx ∈* para o sistema de equações

    0)( =xF pode ser obtida resolvendo o problema ),( nRFVI , isto é, encontrando um nRx ∈* que satisfaça a seguinte condição:

    nRxxxxF ∈∀≥− ,0**),(

  • 7

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Otimização Proposição 2 (Problema de Otimização é VIP) Seja *x a solução do seguinte problema de otimização: Minimize )(xf Sujeito a: Kx∈ onde )(xf é continuamente diferenciável e K é fechado e convexo. Então *x é a solução do problema de inequação variacional:

    Kxxxxf ∈∀≥−∇ ,0**),( Pela proposição acima, problemas de otimização irrestritos e restritos podem ser formulados e resolvidos como um problema de inequação variacional. O caso particular de problemas irrestritos corresponde a situação em que nRK = .

  • 8

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Complementaridade Proposição 3 (Problema de Complementaridade é VIP) Seja nR+ o ortante não negativo de

    nR , e seja nn RRF a: . O problema de complementaridade sobre nR+ é um sistema de equações e inequações no qual deseja-se encontrar 0*≥x tal que:

    0*)( ≥xF e 0**),( =xxF Então *x é solução de ),( nRFVI + . Quando o mapeamento F é afim, isto é, quando bxMxF +⋅=)( , onde M é uma matriz nn× , e b um vetor 1×n , o problema acima é denominado de problema de complementaridade linear.

  • 9

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Ponto Fixo Definição (Projeção Ortogonal) Seja K um conjunto fechado e convexo em nR . Então, para cada

    nRx∈ existe um único ponto Ky∈ , tal que:

    Kzzxyx ∈∀−≤− , onde y é conhecido como sendo a projeção ortogonal Euclidiana de x sobre o conjunto K , isto é:

    zxxPy KzK

    −== ∈ minarg

  • 10

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Problema de Ponto Fixo Proposição 4 (Problema de Projeção Ortogonal é VIP) Seja K um conjunto convexo. Então xPy K= se e somente se:

    Kzyzxyzy TT ∈∀−≥− ,,, Ou

    Kzyzxy T ∈∀≥−− ,0,)(

  • 11

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção

    Seja o VIP KxxxxF ∈∀≥− 0),( ** , então os seguinte passos

    algorítmicos poderão ser utilizados para obtenção de *x : P1. Obtenha 0x . Faça 0←k P2. Calcule ))((1 kk

    k K

    k xFxPx α−←+ P3. Se ε>−+ kk xx 1 , faça 1+← kk e volte ao passo P2

    P4. Apresente 1+kx No algoritmo acima, )(xPK é a projeção do vetor x sobre o conjunto viável K .

  • 12

    K

    x

    *x

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção Obtenção de )(* xPx K← Seja um conjunto convexo K sobre o qual se quer projetar x. Então,

    )(* xPx K← pode ser obtido através de:

    Kxas

    xxMin

    − *

    *

    :.

    ou

    ( )

    Kxxxxas

    xxMin

    nj

    n

    j jj

    −∑ =

    ),...,,...,,(:. ***2 * 1

    1

    2*

    O problema acima é um problema de programação quadrática.

  • 13

    VIP - Problema de Inequações Variacionais Algoritmo de Projeção Esquema Gráfico

    0x

    ))(( 00 01 xFxPx K α+≡

    ))(( 11 12 xFxPx K α+≡

    )( 11 1 xFx α+

    )( 1xF

    )( 0xF

  • 14

    Parte II

    Natureza da Demanda

  • 15

    Natureza da Demanda Origem Indivíduos consomem para satisfazer

    • Necessidades • Desejos • Impulsos • Status • ...

    Necessidades, desejos, impulsos... individuais são variáveis aleatórias

    • apresentam tendência (média) • apresentam dispersão (variância)

    A demanda dos mercados é resultado da agregação dos desejos, das necessidades, dos impulsos... de indivíduos que formam uma dada população

  • 16

    Natureza da Demanda Tendência ao Determinismo Teorema do Limite Central A soma de N variáveis aleatórias independentes tende para uma variável aleatória normal, com média é igual a soma das médias de cada variável aleatória e variância é igual a soma das variâncias de cada variável aleatória

    Demanda Individual Demanda População

    Tamanho 1 N

    Média µ µµµµµµ NP =++++= ...

    Variância 2σ 22222 ... σσσσσ NP =+++= Resumindo, tem-se: µµ NP = e σσ NP =

  • 17

    Natureza da Demanda Tendência ao Determinismo Evolução da Demanda com o Tamanho da População

    População Média Desvio Padrão

    Variação Percentual

    1 1 0,10 10,00 %

    10 10 0,31 3,16 %

    100 100 1,00 1,00 %

    1.000 1.000 3,16 0,32 %

    10.000 10.000 10,00 0,10 %

    100.000 100.000 31,62 0,03 %

    Quanto maior a população menor é a variação percentual em torno da média, isto é, mais estável é a demanda, com tendências para o determinismo.

  • 18

    Natureza da Demanda Demanda e Valor Cada consumidor requer uma certa quantidade de produto, associando a esta quantidade um valor que dispõe para gastar, que depende:

    • da importância do produto para a sobrevivência do indivíduo • da urgência que necessita o produto • da renda disponível

    Consumidor Quant. (unid)

    Valor Total (R$)

    Valor Unitário (R$/unid)

    1 4 4,00 1,00 2 7 5,60 0,80

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i 1 1,40 1,40

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N 2 2,40 1,20

  • 19

    Natureza da Demanda Demanda e Valor Ordenando as demandas individuais dos consumidores do maior para o menor valor unitário... e construindo o gráfico...

    Consumidor Quant (unid)

    Valor Unitário (R$/unid)

    i 1 1,40

    N 2 1,20 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 4 1,00

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 7 0,80

    2 1

    N i

    0,00

    0,20

    0,40

    0,60

    0,80

    1,00

    1,20

    1,40

    1,60

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 Quantidade

    V al

    or

  • 20

    Natureza da Demanda Curva da Demanda Em economia a curva de demanda mostra a relação entre o preço de uma certa mercadoria e a quantidade que consumidores desejam e são capazes de comprar, a um dado preço.

    0,00

    0,20

    0,40

    0,60

    0,80

    1,00

    1,20

    1,40

    1,60

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    D1

    D2

    Quantidade

    P re

    ço

    Aumento da demanda

  • 21

    Natureza da Demanda Elasticidade da Demanda A elasticidade da demanda em relação ao preço é uma medida da variação percentual da demanda que corresponde a variação de 1% no preço. Dado a curva de demanda )(qD e um ponto ),( PQ sobre a curva, calcula-se a elasticidade η pela seguinte expressão:

    )(qdD dq

    Q P=η onde:

      

    →> →<

    elástica demanda inelástica demanda

    1|| 1||

    η η

    A elasticidade da dem