Eraldo - Fluxo de potência

FLUXO DE POTNCIA EM SISTEMAS ELTRICOS PROFESSOR: Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA

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MINISTRIO DA EDUCAO E CULTURA UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA. DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA

01 de junho de 2012

APOSTILA

FLUXO DE POTNCIA EM SISTEMAS

ELTRICOS


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01 de junho de 2012

APRESENTAO

Este trabalho composto de Notas de Aulas sobre o tema: FLUXO DE POTNCIA,

integrante da disciplina ANLISE DE SISTEMA DE ENERGIA ELETRICA II

Foi elaborado pelo Prof. Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA, do Departamento de

Engenharia Eltrica da FAET/UFMT, mediante concentrao de material de aulas

ministradas ao longo de vrios anos.

A composio (digitao, desenho, reproduo) foi realizada pela Coordenao de

Ensino de Graduao em Engenharia Eltrica, com a participao de alunos bolsistas.


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SUMRIO

CONSIDERAES INICIAIS 4

MODELAGEM DE REDES ELTRICAS EM REGME PERMANENTE 14

EQUAES DE FLUXO DE POTNCIA 22

MTODOS DE SOLUO 29

1. MTODOS DE GAUSS E GAUSS SEIDEL 30

2. MTODO DE NEWTON-RAPHSON OU NEWTON 43

3. DESACOPLADOS 71

ANLISE DOS FLUXOS DE POTNCIA 88


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CONSIDERAES INICIAIS

1. Conceituao

Trata-se da anlise do comportamento eltrico de um sistema em regime permanente, tanto em

condies normais de operao quanto em situaes de emergncias, ou seja, na eventual perda de

um dos seus elementos (unidades de gerao, transformadores, circuitos de linhas de transmisso,

etc.).

Consiste em se determinar as tenses (mdulo e ngulo de fase) dos barramentos dos sistemas e as

potncias ativa e reativa nos respectivos ramos, para determinadas condies de carga e gerao pr

estabelecidas. Portanto visa determinao do estado de operao do sistema, a partir da sua

topologia e da demanda.

O estudo de fluxo de potncia talvez o mais importante daqueles frequentemente realizados nos

sistemas eltricos, e consome a maior parcela de tempo dos profissionais da rea, e tambm dos

sistemas computacionais.

2. Aplicaes

Existem duas importantes reas da engenharia eltrica onde so fundamentais os estudos de fluxos de

potncia:

Operao

Neste caso procura-se antever o desempenho de um sistema eltrico existente, ou seja, com sua

configurao estruturada e parmetros definidos para condies de carga atual (tempo real) e de curto

prazo (at 3 anos).

Como resultado obtm-se as instrues operativas para que o sistema funcione em condies

adequadas, nas condies de carga pesada, mdia e leve. Tambm avaliado o incio de

funcionamento de novos elementos do sistema (unidades transformadoras, capacitores, circuitos de

linhas de transmisso, etc.).


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Planejamento

Esta aplicao tem por objetivo a estruturao dos sistemas eltricos, tanto para sua implantao

como para a sua expanso, a mdio e longo prazo (5, 10 anos, ou mais), utilizando-se de valores

tpicos para os parmetros do sistema.

Os resultados dos estudos de fluxo de potncia permitem definir as caractersticas principais dos

elementos do sistema, bem como o cronograma da sua implantao. Tambm so realizados estudos

de curto prazo (1 a 3 anos) com vistas a ajustar os cronogramas de obras previamente definidas.

Apresentao dos Resultados

Os principais resultados dos estudos de fluxo de potncia so indicados conforme a seguir:

Vi i Vk k

Pik Pik

Qik Qik

Onde:

Vi e Vk so os mdulos das tenses dos barramentos i e k;

i e k so os ngulos de fase das tenses dos barramentos i e k;

Pik a potncia ativa transferida de i para k (positiva);

Qjk a potncia reativa transferida de i para k (positiva);

Pki a potncia ativa transferida de k para i (negativa);

Qki a potncia reativa transferida de k para i (negativa).

3. Histrico

At 1930 todos os estudos de fluxo de potncia eram feitos a mo, o que pressupunha inmeras

simplificaes para diminuio dos clculos e impreciso nos resultados. Sua atuao limitava-se a

pequenos sistemas, atendendo porm as necessidades da poca, uma vez que no existiam sistemas

eltricos de grande porte.

i k


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De 1930 at 1956 utilizaram-se os analisadores de rede, ou seja, modelos em miniatura do sistema

eltrico em estudo, onde seu comportamento determinado pela medio das suas grandezas

eltricas. Continuou o problema de impreciso e lentido na obteno dos resultados; porm

possibilitou a anlise de sistemas eltricos de maior porte.

Na dcada de 50 foram feitas as primeiras tentativas para resolver a dificuldade de elaborao do

estudo de fluxo de potncia utilizando-se computadores digitais. As primeiras tentativas tiveram

sucesso limitado, j que os softwares apenas automatizavam os clculos dos mtodos manuais,

representando a rede por meio das equaes de malha, e no exploravam adequadamente as

vantagens da utilizao dos computadores.

Em 1956 Ward e Hale apresentaram o primeiro software realmente bem sucedido para soluo das

equaes do fluxo de potncia, que serve como marco do obsoletismo dos analisadores de rede. O

software apresentado por Ward e Hale utilizava a formulao nodal do problema, e resolvia as

equaes no lineares que descreviam o sistema eltrico pelo mtodo iterativo de Newton

modificado.

Os softwares que se seguiram a esse utilizavam o algoritmo iterativo de Gauss-Seidel. Pela natureza

dos parmetros dos sistemas eltricos, usualmente, obtinha-se soluo do fluxo de potncia com o

mtodo de Gauss- Seidel. Na dcada de 60, a tendncia interligao dos sistemas eltricos com

linhas de transmisso de tenses elevadas, provocou a necessidade de representao do sistema

eltrico com um nmero muito maior de barramentos.

As caractersticas do mtodo de Gauss-Seidel fazem com que ele no se adapte bem a sistemas

representados por um grande numero de barras, de forma que se sentiu necessidade de um outro

mtodo de soluo de problemas do fluxo de potncia.

Aps vrios anos de pesquisa, desenvolveu-se um mtodo extremamente bem sucedido de soluo

das equaes de fluxo de potncia por meio do algoritmo de Newton-Raphson. No s o mtodo se

adaptava muito bem a grandes sistemas eltricos, como tambm obtinha soluo de problemas em

que o mtodo de Gauss-Seidel havia falhado.

O mtodo de Newton-Raphson para soluo de fluxos de potncia muito utilizado atualmente.

Desde a sua primeira formulao vem sofrendo diversas complementaes no sentido de torn-lo

mais eficiente.

No incio da dcada de 70, B. Stott e O. Alsa comearam a explorar as caractersticas do fraco

acoplamento P - V e Q , observado nos sistemas eltricos, e desenvolveram os mtodos

desacoplados com o algoritmo de Newton (1972) e desacoplado rpido (1974). Tais mtodos

utilizam algoritmos de iterao semelhantes ao de Newton-Raphson e apresentam vantagens tais

como maior rapidez e menor memria computacional, o que atualmente j no importante devido

aos avanos expressivos na evoluo dos computadores digitais.


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4. Suposies e Aproximaes

As simplificaes que comumente se fazem em um estudo de fluxo de potncia so:

a. As cargas nos barramentos do sistema so supostas constantes, isto o problema

esttico;

b. Admite-se que o sistema opera de maneira equilibrada e, portanto uma representao

uniflar suficiente;

c. Os elementos passivos do sistema so representados com parmetros concentrados.

As simplificaes b e c geralmente no afetam de forma significativa a preciso dos resultados.

A aproximao a justificada porque as cargas, embora variem grandemente dentro de perodo

longos de tempo, o fazem de maneira lenta e gradual, portanto, o resultado obtido vlido dentro de

um intervalo de tempo razovel.

5. Representaes

Geradores: So representados pelas suas potncias ativa e reativa geradas, sejam elas

especificadas ou a serem calculadas.

SkG= Pk

G + jQk

G SK

G= PK

G + jQK

G

k k

Cargas: Geralmente so representadas pelas potncias ativa e reativa consumidas (fixas).

k SkC= Pk

C + jQk

C k

Sk

C= Pk

C + jQk

C


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Em estudos de fluxo de potncia que se desejam resultados com maior preciso as cargas podem ser

representadas com parcelas de potncia, corrente e impedncia constante de acordo com sua

participao no valor global, levantadas empiricamente.

Linhas de Transmisso: So representadas pelo seu circuito , normalmente com as

susceptncias includas.

(i) (k)

jy jy

Transformadores: So representados pela sua impedncia de disperso. Se tiverem taps fora do nominal esss so representados.

Tap nominal Taps fora do nominal

Em fase Em quadratura

(i) Z (k) (i) i:n Z (k) (i) 1: n + jn Z (k)

Quando o tap est fora da posio nominal o transformador representado por um circuito

equivalente conforme a seguir

R +jX


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Sendo Z1 , Z2 e Z3 calculados da seguinte forma:

Inicialmente considera-se um transformador ideal de relao de tenses n:1, em srie com outro

transformador de relao de tenses

n:1

Dessa representao pode-se escrever:

=

e

=

ou

=

Por outro lado:

=

( -Vk) =

(

- )

Ento:

Ii =

[

Vk)] =

Vi

Do circuito equivalente pode-se escrever:

Ii = Ik +

+

e Ik

E tambm:

= + z3 (Ik +

)

Operando, vem:

Ik =

- (1 +

)

Ii =

- (1 +

)

+

+

Finalmente encontra-se:

n:1


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Ii =

Comparando as expresses equivalentes, obtm-se o seguinte:

Equao de Ii:

Z3 = nX

Equao de Ik:

(1 +

) =

=

(1 +

)

=

Z2 + nX = n Z2

Z2 (1 - n) = nX

Z2 =

Equao de Ii:

=

=

Z1+ nX =

Z1 (1

) = nX

Z1 =

= -

Z1 = -

=


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E o circuito equivalente pode ser representado conforme a seguir:

Observa-se que o circuito equivalente no simtrico, portanto deve-se atentar quanto ao lado em que se encontra o tap fora da posio nominal.

Capacitores ou Reatores Paralelos (Shunt): So normalmente representados por suas reatncias ligadas terra (positivas para reatores e negativas para capacitores).

(k)

(k)

jXL -jXc

6. Programas Digitais de Fluxo de Potncia

Fluxos de potncia em sistemas eltricos de pequeno porte, radiais, podem ser resolvidos por

intermdio da aplicao, sucessiva, das equaes bsicas dos quadripolos.

Para sistemas eltricos de maior porte e mais complexos a soluo s praticvel utilizando-se

processos computacionais.

Atualmente, os estudos de fluxo de potncia so realizados exclusivamente por computadores

digitais.

Existe um grande nmero de programas digitais para os estudos de fluxo de potncia em operao

comercial.

Os mtodos iterativos mais aplicados na maioria dos programas so de Gauss-Seidel e de Newton-

Raphson, utilizando a matriz admitncia nodal, os quais sero estudados adiante.

O tempo de processamento por iterao desses mtodos usando matriz admitncia nodal

proporcional ao nmero de barras. O nmero de iteraes cresce com o nmero de barras, porm

tambm muito dependente da complexidade e das condies operacionais do sistema eltrico.


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Sistemas com igual nmero de barras, porm com configuraes operacionais diferentes, podero

apresentar, para um mesmo mtodo iterativo, nmeros bem diferentes de iteraes.

O tempo total para o processamento de uma simulao do fluxo de potncia funo tambm da

velocidade do computador e da qualidade do programa. Entretanto, praticamente todos os

computadores atuais, inclusive laptops, tem recursos suficientes para o processamento do fluxo de

potncia de sistemas eltricos de grande porte.

Os requisitos mais importantes de um programa digital de fluxo de potncia so:

Capacidade - definida pelo nmero mximo de barramentos. Depende no s do programa em si (n

de reas, n de circuitos, n de equipamentos de controle, etc), como da capacidade do computador

(memria, funes internas, rotinas, etc).

Versatilidade - definida pelos recursos disponveis no programa em termos de condicionamento, no

s da configurao (capacitor srie, transformadores com derivao, defasadores, elos de corrente

contnua, etc), como dos tipos de barras.

Velocidade - corresponde rapidez de soluo desde a entrada de dados at a sada com a impresso

final dos resultados. Nesse tempo incluem-se no s o destinado s iteraes, como tambm fase da

preparao dos dados, as rotinas de modificaes das redes (sada da linha, transformador, etc.) e das

condies operacionais (variao da carga, da gerao, etc.).

Cada tipo de barra pode, em um programa digital, desenvolver-se para vrios condicionamentos de

barramento, que podem ser agrupados nas seguintes categorias:

1) Local no condicionado; 2) Local condicionado; 3) Remoto no condicionado; 4) Remoto condicionado.

Na primeira categoria incluem os trs tipos de barra dos sistema indicados, isto , barra de carga,

onde so dadas as potncias ativa e reativa; barra de gerao com a especificao da potncia ativa e

do mdulo de tenso; e barra de referncia onde fixada a tenso em mdulo e ngulo.

Nos barramentos da segunda categoria (local-condicionado) pode-se alterar suas caractersticas

durante o clculo.

Assim, para a barra de carga condiciona-se um limite para a tenso (Vmln < V < Vmax). Quando um

dos limites atingido, o valor limite da tenso retido, passando a uma barra de gerao, isto ,

fixado P e V. Nesse caso o programa indica no final, tambm o valor da potncia reativa adicional

necessria para manter a tenso no valor limite.

No caso da barra de gerao condiciona-se o limite de reativos (Qmin < Q < Qmax). Atingindo este

limite, a potncia reativa mantida constante, passando a variar o mdulo da tenso. A barra passa a

ser de carga.

Na categoria de barramento remoto - no condicionado definem-se a potncia ativa e o mdulo da

tenso (barra P e | |) de um barramento e um outro barramento remoto que dever fornecer os


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reativos para manter a tenso do primeiro barramento constante. Nesse caso fica aberto o limite dos

reativos do segundo barramento.

Finalmente, na ltima categoria tem-se um esquema semelhante ao anterior, porm com fixao dos

limites da potncia reativa da segunda barra.

Os programas digitais de fluxo de potncia podem ainda ser classificados em:

1) programa de verso em batch; 2) programa de verso interativa.

Na verso em batch, uma vez introduzidos os dados de entrada o programa realiza os clculos at o

final, sem interveno externa, podendo os resultados no ser satisfatrios.

A atuao do engenheiro limita-se a preparar dados e analisar os resultados.

Na verso interativa o programa permite, durante sua realizao, a interveno externa para checar os

resultados preliminares e/ou para introduzir alteraes nos dados iniciais.

O desenvolvimento do programa geralmente efetuado por partes com a atuao constante do

engenheiro visando obteno dos resultados adequados.

Alguns programas permitem as duas verses.

Os dados de entrada em um programa de fluxo de potncia podem ser classificados em trs tipos:

1) Dados dos Parmetros: compreende os parmetros das linhas de transmisso (n de circuito, impedncia srie, susceptncia), dos transformadores (reatncia e taps), banco de capacitores

(shunt ou srie), etc.;

2) Dados Operacionais: envolvendo as condies de carga e os despachos de gerao;

3) Dados de Condicionamento: so definidos os condicionamentos a serem ajustados tais como: limite mximo e mnimo da gerao de reativos em determinado barramento, faixa de

variao das derivaes dos transformadores com comutao em carga e respectivo degraus,

capacidade de transporte das linhas de transmisso (algumas vezes para duas ou trs

condies); etc.

Os resultados dos clculos so apresentados em formato de tabelas onde inicialmente so indicadas

as informaes que identificam a alternativa processada e em seguida vm os resultados dos clculos.

Normalmente indicam-se a tenso, em mdulo e ngulo, de cada barra; a potncia ativa e reativa, na

extremidade de cada linha ou transformadora; a carga (potncia ativa e reativa); a potncia reativa

gerada em cada barra de gerao ou compensao; a relao de transformador; as perdas, etc.


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MODELAGEM DE REDES ELTRICAS EM REGME

PERMANENTE

Os sistemas eltricos podem ser representados por modelos matemticos desenvolvidos a partir da

anlise dos circuitos lineares, por meio dos mtodos das malhas e/ou dos ns, baseados nas duas Leis

de Kirchhoff.

I. Equao das Malhas

Na anlise das malhas de um circuito linear o objetivo calcular as correntes nos ramos do circuito,

sendo conhecidas as fontes de tenso e as impedncias.

Seja a seguinte rede eltrica:

G1 G2

T1 T21 2

3

L1

L2 L3

O circuito equivalente desse sistema eltrico pode ser representado conforme a seguir, onde so

indicadas as correntes em cada ramo e a tenses nos respectivos barramentos:

A carga ligada ao barramento 3 foi representada por uma impedncia constante.


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Existem outros modos de representao da carga. Dentre eles um dos mais comuns a representao

por uma potncia complexa (P + jQ) constante. A representao adequada de uma carga como uma

funo da tenso e da frequncia, S = f (V, f), muito importante nos estudos dinmicos.

Por simplificao no foram indicadas na figura anterior as impedncias shunt das linhas de

transmisso, de forma a no aumentar o nmero de malhas independentes, e, portanto elevar o

nmero de equaes.

A figura a seguir apresenta as trs malhas do sistema eltrico em anlise com os sentidos das

correntes das malhas indicados arbitrariamente:

As equaes que descrevem o circuito so escritas em funo das correntes de malhas independentes

IA, IB e IC, hipotticas. A escolha das malhas e da direo das correntes hipotticas arbitrria desde

que pelo menos uma corrente de malha independente passe por cada elemento do circuito.

O nmero de malhas independentes (conseqentemente de correntes de malhas independentes)

dado pela equao:

M = B - N + 1

Onde: B nmero de ramos e N o nmero de ns.

Essa equao s vlida para sistemas eltricos onde todos os ns so conectados apenas por

intermdio de ramos simples. No vlida quando as conexes so de transformadores ou circuitos

mistos.


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A 2 Lei de Kirchhoff (lei das malhas) usada para obter as equaes do circuito, conforme a seguir:

Malha A: E1 = (IA + IC) Z1 + IA ZL2 + (IA + IB ) Z3

Malha B: E2 = (IB - IC ) Z2 + IB ZL3

+ (IA + IB ) Z3

Malha C: E1 - E2 = (IA + IC ) Z1 + IC ZL1 + (IC - IB ) Z2

Desenvolvendo vem:

E1 = (Z1 + ZL2 + Z3 ) IA + Z3 IB + Z1 Ic

E2 = Z3 IA + (Z2 + ZL3 + Z3 ) IB Z2 IC

E1 - E2 = Z1 IA - Z2 IB + (Z1 + ZL1 + Z2 ) Ic

Ou:

EA = ZAA IA + ZAB IB

+ ZAC IC

EB = ZBA IA + ZBB IB

+ ZBC IC

EC = ZCA IA + ZCB IB

+ ZCC IC

Onde:

1) EA, EA e EC: so as FEM das malhas respectivas. No caso EA = E1, EB = E2 e EC = E1 - E2. O sinal da FEM definido pelo sentido arbitrado corrente da malha;

2) ZAA, ZBB e ZCC so as impedncias prprias da malha e so iguais a soma das impedncias que compem a respectiva malha. (ZAA = Z1 + ZL2 + Z3 e etc.);

3) ZAB = ZBA, ZAC = ZCA e ZBC = ZCB so as impedncias mtuas entre duas malhas e so iguais impedncia do ramo comum s duas malhas.

Quando os sentidos arbitrados para as correntes das duas malhas que circulam pela impedncia

mtua forem iguais, essa impedncia ter sinal igual ao das impedncias do ramo comum. Caso

contrrio, a impedncia mtua ter sinal diferente da impedncia do ramo (ZBC = ZCB = -Z2).


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Reescrevendo na forma matricial, vem:

[ Em ] = [ Zm ] [Im]

Expandindo a equao matricial, pode-se escrever:

|

| = |

| X |

|

Conhecidos os valores de [Em] e de [Zm] tem-se:

[Im] = [Zm]-1

. [Em]

Sendo Z(m) chamada matriz impedncia de malhas, montada da seguinte maneira:

Elementos da diagonal principal (impedncias prprias):

So dados pela soma das impedncias dos ramos que constituem a malha (por onde flui a corrente da

malha em considerao).

Elementos fora da diagonal principal (impedncias mtuas):

So dados pela soma algbrica das impedncias dos ramos comuns s malhas em questo. Se as

correntes das malhas tm o mesmo sentido, o sinal ser positivo, e vice-versa.

Quando h Acoplamento Magntico Mtuo:

Elementos da diagonal principal:

So dados pela soma das impedncias prprias dos ramos que constituem a malha em questo e das

impedncias mtuas que existem entre esses ramos. As impedncias mtuas tm sinal negativo se a

corrente da malha flui em sentidos opostos de enrolamento nos 2 ramos com acoplamento.

Elementos fora da diagonal principal:

So dados pela soma algbrica das impedncias prprias dos ramos comuns s malhas em questo e

das impedncias mtuas que existem entre ramos dessas malhas. A conveno de sinal a seguinte:

Impedncias Prprias: positivo se as correntes de malha tm o mesmo sentido, e vice-versa.

Impedncias Mtuas; positivo se as correntes de malha fluem no mesmo sentido de enrolamento, e

vice versa.


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Voltando equao matricial, verifica-se que:

Determinados os valores de [lm ], podem ser calculadas as correntes em cada ramo.

I1 = IA

+ lC

I2 = IB lC

etc.

e da tm-se as tenses nos barramentos (E1 = EG1 I1Z1, etc.) e as potncias em trnsito

(P12 + JQ12 = VI IL1 , etc.).

Conclui-se finalmente que na anlise das malhas os elementos representados nos circuitos so

facilmente identificveis com os componentes fsicos do sistema que eles modelam o que torna este

mtodo desejvel, do ponto de vista do entendimento por parte do analisador, porm o mtodo sofre

de srias limitaes quando aplicado a sistemas de grande porte, principalmente no que diz respeito

identificao das malhas independentes.

II. Equao dos Ns

Na anlise nodal de um circuito linear, procura-se calcular as tenses dos ns do circuito, (com

relao a uma certa referncia) sendo conhecidas as correntes injetadas nos ns e as admitncias dos

ramos.

Este mtodo de anlise no apresenta limitaes quanto ao porte do sistema eltrico, e possui a

vantagem adicional de, geralmente, reduzir o nmero de variveis das equaes, e constitui a base de

soluo dos estudos eltricos empregando computadores digitais, devido a sua forma direta do

clculo das correntes.

Em um sistema eltrico, a cada barramento corresponde um n. Como o neutro tambm um n,

esse considerado como referncia, existindo assim tantos ns independentes quantas forem as

barras do sistema, ou seja, igual ao nmero total de ns, menos um.

A figura a seguir representa o mesmo sistema eltrico analisado pelo mtodo das malhas, onde as

impendncias foram substitudas por admitncias. As fontes de gerao e as cargas ligadas aos

barramentos foram indicados tracejadas porquanto deseja-se to somente evidenciar as correntes que

entram (ou saem) do sistema eltrico, isto : I1 , l2 e l3.


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1 2

3

YL1

YL2 YL3

EG1 EG2

I1 I2

I3

Z1 Z2

Z3 E2E1 E3

De acordo com o sentido indicado, as correntes entrando no barramento so positivas e saindo,

negativas. Aplicando-se a 1 Lei de Kirchoff (lei dos ns) ao barramento 1 tem-se

I1 = I12 + I13

Como:

I12= (E1 - E2 ) YL1 e

I13= (E1 - E3 ) YL2

Pode-se escrever:

I1= [YL1 + YL2 ] E1 YL1 E2 YL2 E3

Analogamente, vem:

I2 = YL1 E1 + [YL1 + YL3 ] E2 YL3 E3

I3 = YL2 E1 YL3 E2 + [YL2 + YL3 ] E3

Ou, generalizando:

I1 = Y11 E1 + Y12 E2+ Y13 E3

I2 = Y21 E1 + Y22 E2 + Y23 E3

I3 = Y31 E1 + Y32 E2 + Y33 E3


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Onde:

1.Y11, Y22 e Y33 so as admitncias prprias dos barramentos e so iguais a soma das

admitncias ligadas a cada barramento (Y11 = YL1 + YL2 , etc.).

2.Y12 = Y21 , Y13 = Y31 e Y23 = Y32 so as admitncias mtuas entre barramentos, sendo iguais

aos valores das admitncias dos ramos que ligam os respectivos barramentos, com o sinal

trocado (Y12 = -YL1 , etc.).

Na forma matricial, o sistema de equaes pode ser escrito conforme a seguir:

[ I N ] = [YN] [EN]

Ou:

|

| = |

| x |

|

A matriz [YN ] denominada matriz admitncia nodal, tambm conhecida como YBARRA ou YBUS.

Observa-se que a matriz [YN ] representa o sistema de transmisso e no inclui os componentes

ligados aos barramentos e externos rede de transmisso, como as fontes de gerao com suas

impedncias e as cargas.

Na figura apresentada anteriormente no foram indicadas as admitncias shunt das linhas de

transmisso, de possveis equipamentos da rede de transmisso (capacitores, reatores, etc.), porm

sua incluso no altera o nmero de equaes como no caso do mtodo das malhas. Apenas so

adicionadas s admitncias prprias dos barramentos onde esto ligadas.

A matriz [YN] pode ser montada por inspeo, da seguinte forma:

Elementos da Diagonal Principal: (Admitncias Prprias)

So dados pela soma de todas as admitncias conectadas ao n em questo.

Elementos fora da Diagonal Principal: (Admitncias Mtuas)

So dados pela admitncia (ou pela admitncia equivalente, no caso de existir mais de uma)

conectada entre ns em questo, com sinal trocado.

Se existir acoplamento magntico no circuito, a anlise nodal no indicada devido grande

complexidade de que se reveste.

Essa Lei de formao permite montar qualquer matriz [YN ] , de qualquer sistema eltrico, incluindo

todos os componentes ligados aos barramentos, inclusive aqueles externos rede de transmisso.


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importante observar que as admitncias, prprias e mtuas dos barramentos representam grandezas

de conceitos diferentes das impedncias, prprias e mtuas das malhas definidas no mtodo das

malhas (ZAA, ZAB, etc.) e, como tal uma no inversa da outra.

Define-se, no entanto, uma matriz impedncia nodal [ZN], ou ZBARRA OU ainda ZBUS, tal que [ZN] =

[YN]-1

e assim, pode-se reescrever a equao matricial, conforme a seguir:

[EN] = [ZN] . [IN]

A matriz impedncia nodal | ZN | pode ser representada por:

| | |

|

Observa-se, no entanto que Zij Yij -1

Essa matriz, que no deve ser confundida com a matriz de impedncia de malha ZM, tem grande

importncia na anlise de sistemas eltricos, principalmente no estudo de curto-circuitos.

Considerando agora todas as tenses, exceto E1, iguais a zero, verifica-se pela equao de IN que,

neste caso, o produto Y11 E1 dar a corrente na barra 1, quando todas as barras exceto 1, so curto-

circuitadas.

Assim a matriz YN tambm denominada matriz curto-circuito.

Por outro lado, admitindo-se todas as correntes nos barramentos, exceto , nulas, tem-se, pela

equao de EN que o produto Z11 dar a tenso na barra 1, quando todas as demais esto abertas.

Assim, a matriz ZN denominada tambm de matriz de circuito aberto.

EQUAES DE FLUXO DE POTNCIA

Os mtodos atuais de soluo das equaes de fluxo de potncia, em sua grande maioria, foram

desenvolvidos com base no sistema nodal de modelagem do sistema eltrico, equacionando-se

potncias no lugar de correntes.

Sabe-se que em qualquer n i de um sistema eltrico existe o equilbrio de potncias, que pode ser

expresso pela seguinte equao:

SiG SiC - SiT = 0


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Onde:

SiG a potncia gerada no n i;

SiC a potncia consumida no n i;

SiT a potncia transferida do n i para os demais ns do sistema ligados a ele.

A potncia transferida de um determinado n i de um sistema para outro n k, atravs do ramo i - k,

conhecida como fluxo de potncia do n i para o n k, e pode ser encontrada da seguinte forma:

Seja o ramo i - k, representado por uma linha de transmisso, indicado a seguir:

Sik Iik IS r + jx

IP

jy jy

Sabe-se que a potncia transferida do n i para o n k pode ser equacionada da seguinte maneira:

Sik = Vi i Iik*

Sendo:

Iik = IP + IS

Vem:

Iik = Vi I jy + (Vi i Vk k) / (r + jx)

Ou:

Iik* = Vi -i(- jy ) + (Vi -i Vk -k) / (r - jx)

E da:

Sik = Vi i [Vi -i (- jy ) + (Vi -i Vk -k) / (r - jx)]

(i) (k) Vi i Vk k


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01 de junho de 2012

Operando vem:

Sik = - jyVi2 + (Vi

2 ViVk i - k) / (r - jx)

Sabendo que:

=

Pode-se escrever:

Sik = - jyVi2 + (Vi

2 ViVk (i - k) .

Sendo:

gik =

a condutncia srie de LT

bik =

a susceptncia srie de LT

A equao de potncia pode ser escrita conforme a seguir:

Sik = - jyVi2 + (Vi

2 ViVk (i - k) . (gik jbik)

Por outro lado, da lei de formao de matriz YN, sabe-se que o elemento de fora da diagonal principal

exatamente a admitncia do ramo correspondente sua posio na matriz, com o sinal trocado.

Assim, para o ramo i - k, esse elemento pode ser escrito da seguinte forma:

Yik = Gik + j Bik

E as parcelas: real e imaginria so calculadas conforme a seguir:

Gik =

= - gik

Bik = - (

) =

= - bik


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01 de junho de 2012

E a equao de potncia pode ser escrita em funo de Gik e Bik, conforme adiante, j que esses

elementos esto armazenados na matriz YN.

Ento:

Sik = - jyVi2 + (Vi

2 ViVk (i - k) . ( - Gik + jBik )

Escrevendo: ik = i - k vem:

Sik = - jyVi2 + [Vi

2 ViVk ( cos ik + j sen ik )] . ( - Gik + jBik )

Sik = - jy Vi2 + jVi

2 Bik Vi

2 Gik Vi Vk ( - Gik cos i k jGIk sen i k + jBik cos ik Bik sen ik )

Sik = [ ViVk (Gik cos ik + Bik sen ik) GikVi

2 ] + j [ViVk (Gik sen ik Bik cos ik ) + (Bik - y) Vi

2 ]

Como:

Sik = Pik + j Qik , pode-se concluir que:

Pik = Vi Vk (Gik cos ik + Bik sen ik ) Gik Vi2

Qik = Vi Vk (Gik sen ik - Bik cos ik ) + (Bik - y) Vi2

Voltando equao de equilbrio de potncia e escrevendo as potncias complexas em termos de

suas componentes ativa e reativa, vem:

(PiG + jQi

G ) - (Pi

C + jQi

C) - (Pi

T + Qi

T) = 0

Pode-se dividir essa equao em duas, da seguinte forma:

PiG Pi

C Pi

T = 0

QIG Qi

C QI

T = 0


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01 de junho de 2012

PIT e QI

T so dadas, respectivamente, pela soma de todas as potncias ativas e reativas que deixam o

n i por intermdio dos ramos conectados a ele.

Se for designado por k i o conjunto de todos os ns k ligados ao n i (com k i), pode-se escrever:

PIT =

QIT =

e as equaes de equilbrio de potncia podero ser reescritas como:

PiG Pi

C

= 0

QIG Q i

C

= 0

Do estudo da matriz admitncia nodal sabe-se que:

= Gii

Bii

Sendo ii = i i = 0, ento: cos ii = 1 e sen ii = 0

Pode-se, portanto, incluir o caso k = i nos somatrios acima e escrever:

PiG Pi

C Vi = 0

QiG Qi

C Vi = 0

E finalmente essas equaes so as equaes de equilbrio de potncia no n i de um sistema de n

ns. Se essas equaes forem escritas para todos os ns do sistema tem-se um vetor de equaes de

dimenso 2n que descreve o equilbrio ou balano de potncia de todo o sistema eltrico.

Por outro lado, qualquer n i, ou barramento do sistema eltrico, fica caracterizado por 6 grandezas,

a saber:


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01 de junho de 2012

Mdulo de Tenso Vi

ngulo de Fase de Tenso i

Potncia Ativa Gerada PiG

Potncia Reativa Gerada QiG

Potncia Ativa Consumida PiC

Potncia Reativa Consumida QiC

Sendo as cargas (PiC e Qi

C) consideradas fixas e conhecidas, restam 4 grandezas a serem

determinadas para cada n i : Vi , i , PiG

e QiG

.

Ento, para um sistema eltrico de n ns, o nmero de variveis ser, portanto igual a 4 n, e o

nmero de equaes de fluxo de potncia igual a 2 n, o que no permite a soluo direta do

problema.

Para contornar essa dificuldade preciso especificar 2 das 4 variveis em cada n do sistema eltrico,

de forma a igualar o nmero de equaes ao nmero de incgnitas.

Dependendo de quais variveis so especificadas em determinado n, esse classificado em um dos

3 tipos a seguir:

I. n de referncia, slack (folga) ou swing (balano)

V e so especificadas

PG e Qi

G so incgnitas

II. ns de tenso controlada ou ns P - V

PG e V so especificadas

e QiG so incgnitas

III. ns de cargaa ou ns P - Q

PG e Q

G so especificadas


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01 de junho de 2012

V e so incgnitas

Observe que a escolha das variveis especificadas e as calculadas bastante coerente com o

problema, por exemplo: as barras de carga (P Q) representam cargas ou geraes fixas onde so conhecidos o total de potncia ativa e reativa injetada na barra.

As barras de tenso controlada (P - V ) so utilizadas para barras onde existe alguma fonte de reativo

varivel (gerador, compensador sncrono ou esttico) entre certos limites, que possibilite o controle

da tenso.

A barra swing serve como referncia de fase para as tenses dos demais barramentos. Ao contrrio

das barras de carga e de gerao, a barra de referncia um conceito fictcio, criado pelos analistas

de Fluxo de Potncia. Ela se faz necessria porque no possvel pr-especificar as potncias

injetadas em todas as barras do sistema, j que as perdas na transmisso no so conhecidas at que a

soluo do fluxo de potncia seja obtida.

usual escolher uma das barras P - V para swing (desde que seja um gerador) e fixar a sua tenso

(mdulo e ngulo) deixando a gerao em aberto para fazer o balano final:

(PCARGA + Perdas= PGERADA)

De acordo com as especificaes acima as variveis do sistema so classificadas em dois grupos:

1) Variveis de Controle

So tambm chamadas de variveis independentes e so constitudas por aquelas variveis que so

especificadas em cada n.

2) Variveis de Estado

Tambm chamadas variveis dependentes, so constitudas pelas variveis no especificadas em cada

n.

As variveis de controle e de estado so reunidas em dois vetores da seguinte forma:


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|

| variveis de controle (especificada)

|

| variveis de estado (incgnitas)

Existe ainda um conjunto de inequaes que fazem parte do estudo do fluxo de potncia formado,

dentre outras, pelas restries nos mdulos das tenses nodais das barras P Q e nas injees de

potncia reativa das barras P V.

Vkmim

Vk Vkmax

Qkmin

Qk Qkmx

Tk1 mn

tk1 tk1 max

(tap)

Conclui-se finalmente que, uma vez conhecidas as tenses nos barramentos do sistema (mdulo e

ngulo) qualquer outra grandeza eltrica pode ser obtida, tais como: fluxos de potncia ativa e

reativa, perdas, etc...


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01 de junho de 2012

MTODOS DE SOLUO

Devido complexidade do sistema de equaes do fluxo de potncia, no possvel obter uma

soluo analtica exata. Ento, deve-se utilizar uma tcnica aproximada, que permita obter uma

soluo numrica suficientemente precisa por intermdio de mtodos numricos (iterativos).

Esses mtodos numricos buscam a soluo da seguinte maneira:

Seja f(x) = 0 um sistema de equaes no lineares.

Primeiramente estimada uma soluo inicial que ser usada no sistema de equaes a ser resolvido,

para calcular uma segunda melhor que a primeira, e assim sucessivamente, at que seja encontrada

uma soluo suficientemente precisa, dentro de certa tolerncia pr-fixada.

H vrios mtodos iterativos utilizados em estudos de fluxo de potncia, porm sero analisados

aqueles considerados mais importantes.

MTODOS DE GAUSS E GAUSS SEIDEL

Estes mtodos utilizam a matriz admitncia nodal como instrumento de iterao.

Sabe-se que para um sistema de n ns, vale a equao nodal:

IN = YN EN

Onde:

1) EN um vetor complexo (Vi i) n dimensional das tenses complexas dos ns;

2) IN um vetor complexo n dimensional das correntes injetadas nos ns;

3) YN uma matriz complexa, de ordem n x n.

Por outro lado, a corrente injetada no n i resultado da injeo da potncia complexa lquida:


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01 de junho de 2012

Si = SiG Si

C

Ou, em forma de suas componentes ativa e reativa:

Si = Pi + jQi = (PiG Pi

C) + j(QI

G QI

C)

A seguinte relao verdadeira:

Si = .

Que pode ser reescrita da seguinte forma:

Ii =

=

A equao matricial da corrente pode ser escrita para cada componente do vetor IN , da seguinte

forma:

I1 = Y11E1 + Y12E2 + ... + Y1iEi + ... + Y1nEn

I2 = Y21E1 + Y22E2 + ... + Y2iEi + ... + Y2nEn

.

.

. Ii = Yi1E1 + Yi2E2 + ... + Yii Ei + ... + YinEn

.

.

. ln = Yn1 E1 + Yn2 E2 + ... +YniEi + ... + Ynn En

Da, tirando o valor de E1 da 1a equao pode-se escrever:


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Y11 E1 = I1 Y12E2 - ... Y1i.Ei - ... Y1n En

Ou:

Y11 E1 = I1 = I1

E finalmente:

E1 =

[I1

]

De acordo com a classificao dos ns feita anteriormente, pode-se concluir:

a) Para o n de referncia, o valor de E conhecido. Logo no h necessidade de escrever a sua

equao. Isso compensado pelo fato de que o nmero de tenses desconhecidas do sistema de

equaes tambm fica reduzido de 1;

b) Nos ns tipo PQ, tanto o mdulo como o ngulo de fase da tenso so desconhecidos. As

grandezas especificadas em tais barras so as potncias ativas e reativas geradas. Portanto, vlida a

seguinte relao:

Ii =

Onde:

=

e

=

Substituindo na equao de tenso, obtm-se:


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01 de junho de 2012

Ei =

[

]

Note que com a substituio feita, a equao passa a ser do tipo recursiva.

c) Nos ns tipo PV, o mdulo da tenso especificado e somente o ngulo de fase desconhecido.

Por outro lado, nesse tipo de barra, apenas a potncia ativa gerada especificada, devendo a potncia

reativa gerada ser calculada. Nesse caso procede-se da seguinte forma:

Inicialmente, calcula-se a potncia reativa lquida injetada Qical

a partir de equao da potncia,

conforme a seguir:

Qical

= Im { Ei li*}

Portanto:

Qical

= - Im { Ii }

Do sistema de equaes de corrente, pode-se escrever:

Ii =

Portanto:

Qical = - Im {

}

Normalmente so especificados limites fsicos da variao da potncia reativa dos geradores e/ou

compensadores. Nesse caso, quando o valor de Qical

, obtido pela equao anterior, exceder esses

limites, significa que a barra no tem condies de controlar o mdulo da tenso no valor desejado,

ento, adota-se para Qi, o valor do limite mais prximo e considera-se a barra como PQ.

Uma vez obtido Qical

utiliza-se a equao de clculo das tenses da seguinte forma:

Ei =

[

]


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01 de junho de 2012

O valor de Ei calculado pode no satisfazer, necessariamente, a restrio o |Ei | =

o que se faz,

ento, racionalizar Ei calculado, de tal forma que |Ei | =

sem que o seu ngulo de fase

encontrado mude. Em outras palavras, adota-se:

=

Onde

o ngulo de fase de Ei, obtido pela equao de tenso.

ROTEIRO DE SOLUO

a) Estima-se valores inicias para o vetor das tenses de n EN. Normalmente, para os ns do tipo

PQ: Ei0 = e para os do tipo PV, Ei

0 = V

esp

b) Para todos os ns (menos o de referncia) testa-se se o n do tipo PV. Se for, pula-se para o item d . Se for do tipo PQ continua-se;

c) Calcula-se Ei usando a equao especfica para o clculo de tenses para os ns do tipo PQ, onde as tenses desconhecidas que aparecem no segundo membro so dadas pelos valores

correntes do vetor EN . Vai-se ao item e;

d) Calcula-se Qicalc

usando a equao para o clculo de potncia reativa. Os valores das tenses

desconhecidas so dados pelos valores correntes do vetor EN. Calcula-se Ei usando a equao

especifica para os clculos das tenses para n PV. Usa-se o valor do ngulo de fase de Ei

encontrado para se obter Eiado;

;

e) Aps todos os ns (menos o de referncia) terem sido processados, a primeira iterao est completada. Testa-se, ento, se houve convergncia do processo iterativo. Se houve, o

processo terminado e os ltimos valores do vetor EN obtidos constituem a soluo do

problema. Se no houve convergncia, o processo iterativo reiniciado em b onde os valores

do vetor EN recm encontrados substituem os valores da iterao anterior.

Esse procedimento de substituio dos valores de tenso posto em prtica em todas as iteraes, e

executado de maneira diferente nos mtodos de Gauss e de Gauss Seidel.

No mtodo de Gauss, em cada iterao, todos os valores de tenso que aparecem no segundo membro

das equaes de tenso e potncia so os valores da iterao anterior. No final da iterao, todos os

valores das tenses so atualizados. A essa tcnica d-se o nome de substituio simultnea.

No mtodo de Gauss-Seidel, apenas os valores ainda no calculados na presente iterao so os da

iterao anterior, ou seja, assim que um valor de tenso calculado ele substitui o da iterao

anterior. A essa tcnica denomina-se substituio sucessiva.


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01 de junho de 2012

O mtodo de Gauss-Seidel alm de apresentar maior rapidez de convergncia do que o de Gauss

ainda economiza memria, pois o vetor dos valores de tenso da iterao anterior no necessrio.

Por essas razes, o mtodo de Gauss Seidel sempre preferido ao mtodo de Gauss.

CRITRIO DE CONVERGNCIA

O critrio para detectar a convergncia do processo iterativo, nesses mtodos, normalmente consiste

em verificar se a variao em todos os valores das tenses de todos os barramentos da iterao

anterior para a atual est dentro de certa tolerncia pr-estabelecida .

Assim: |

|

Sendo i = 1, 2, ... , n

Onde o ndice k denota o nmero da iterao.

ACELERAO DE CONVERGNCIA

Os mtodos de Gauss e Gauss-Seidel so, normalmente, mtodos de convergncia lenta e, portanto,

h vantagem em se utilizar fatores de acelerao no processo de convergncia. As novas tenses,

aps as aceleraes so dadas por:

Onde o fator de acelerao, determinado empiricamente e quase sempre contido no seguinte intervalo 1 < < 2. Para determinar o valor timo de para um determinado sistema eltrico, resolve-se vrios fluxos de potncia com diferentes valores de at encontrar o menor nmero de iteraes necessrio para a convergncia.


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01 de junho de 2012

Isso ilustrado na figura a seguir:

iteraes

1 timo 2

O valor tpico adotado para de 1,6 por ser esse valor o que melhor acelera esses mtodos na

maioria dos sistemas eltricos.

ASPECTOS COMPUTACIONAIS

Em um programa de computador de carter prtico, nunca se deve usar conjuntos bidimensionais

para armazenar a matriz YN porque no se poderia explorar a extrema esparsidade dessa matriz.

Levando-se em conta essa afirmao, o uso total de memria dos mtodos de Gauss e Gauss Seidel

proporcional a n, sendo n o nmero de ns do sistema eltrico.

O nmero de operaes por iterao do mtodo proporcional a n. Portanto, o nmero total de

operaes proporcional a n2 .

A convergncia lenta e duvidosa, devida, principalmente, ao fraco acoplamento observado entre os

ns do sistema eltrico, quando o mesmo modelado atravs de sua matriz admitncia nodal.

As principais vantagens so a sua facilidade de implementao e a pouca necessidade de memria de

computadores.

As principais desvantagens so: a inconfiabilidade da convergncia e elevado tempo de

processamento.


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01 de junho de 2012

EXEMPLO

Resolver as equaes de fluxo de potncia pelo mtodo de Gauss-Seidel, do seguinte sistema eltrico:

X1

G1 G2

X2 X3

Dado dos ns (p.u)

Barra V PG QG PC QC

1 1,05 0 ? ? - -

2 1,04 ? 0,20 ? - -

3 ? ? - - 0,60 0,25

Dados dos ramos (p.u.)

Emissor Receptor r x y

1 2 - 0,24 -

1 3 - 0,06 -

2 3 - 0,18 -

Tolerncia = 0,005

Fator de Acelerao FA = 1,6

1 2

~

~

3


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01 de junho de 2012

Soluo:

1. Montagem da matriz YN

gik =

= 0 Gik = 0

bik = - (

) =

Bik 0

yik = 0, ento no existe admitncia shunt ligada diretamente s barras

YN = |

|

B12 =

= j 4,17 p.u. = B21

B13 =

= j 16,67 p.u. = B31

B23 =

= j 5,56p.u. = B32

B11 = - (B12 + B13) = - j 20,84 p.u.

B22 = - (B21 + B23) = - j 9,73 p.u.

B33 = - (B31 + B32) = - j 22,23 p.u.

Ento:

YN = |

-

-

-

|


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01 de junho de 2012

2. Estimativa dos valores Iniciais

E = [

] [

]

3. Calculo das tenses

1 Iterao

Barra 1 referncia no se calcula

Barra 2 PV

Q2cal

= - Im { E2* }

Q2cal

= - Im { E2*( + E2 + E3 )}

Q2cal

= - Im { [ . j4,17 + (-j9,73)+ . j5,56]}

Q2cal

= - Im{ - 0,0 j0,19 } = 0,19 p.u.

Da:

E21 =

[

]

= P2

G - P2

C = 0,20 0, 0 = 0,20 p.u.

E21 =

(

)

E21 = p.u. calculado

E21acelerado = (E2

1 E2

0 ) + E2

0

E21ac = 1,6 ( - )

E21ac = p.u. calculado

E21ac = p.u. adotado


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01 de junho de 2012

Barra 3 PQ

E3 =

[(

)

]

= P3G - P3

C = 0,0 0,60 = - 0,60

= Q3

G - Q3

C = 0,0 0,25 = - 0,25

E31 =

[

- ( . j16,67 + . j5,56)]

E31 = p.u.

E31acelerado = (E3

1 E3

0 ) + E3

0

E31ac = 1,6 ( - ) +

E31ac = p.u.

Teste de Convergncia

|

| = | |

|

| = 0,03 no convergiu

Quando no converge para uma barra, no precisa testar para as demais, deve-se fazer outras

iteraes, at atingir a convergncia.

Supe-se que o sistema convergiu ao alcanar os seguintes valores:

E1 = p.u.

E2 = p.u.

E3 = p.u.

4. Clculo dos Fluxos de Potncia nos Ramos

Pik = Vi Vk (Gik cos ik + Bik sen ik ) Gik Vi2


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01 de junho de 2012

Qik = Vi Vk (Gik sen ik Bik cos ik ) + (Bik - y) Vi2

Ramo 1 2

P12 = V1 V2 (G12 cos 12 + B12 sen 12) G12 V12

P12 = 1,05 x 1,04 (4,17 sen (-2)) = - 0,1589 p.u.

Q12 = V1 V2 (G12 sen 12 B12 cos 12 ) + (B12 - y) V12

Q12 = 1,05 x 1,04 (- 4,17 cos (-2))+ 4,17x 1,052 = 0,0465 p.u.

Ramo 2 - 1

P21 = V2 V1 (G21 cos 21 + B21 sen 21 ) G21 V22

P21 = 1,04 x 1,05 (4,17 sen (2)) = 0,1589 p.u.

Q21 = V2 V1 (G21 sen 21 B21 cos 21 ) + (B21 - y) V22

Q21 = 1,04 x 1,05 (- 4,17 cos (2))+ 4,17 x 1,042 = - 0,0406 p.u.

O clculo dos fluxos de potncia nos demais ramos anlogo, limitando-se simples aplicao de

valores nas equaes.

5. Clculo das Perdas

Perda Ativa no ramo = (Pik + Pki)

Perda Reativa no ramo = (Qik + Qik)

Ramo 1 - 2

P12 + P21 = - 0,1589 + 0,1589 = 0

Q12 + Q21

= 0,0465 - 0,0406 = 0,0059 p.u.

Perdas totais do Sistema

Ativas = Perdas Ativas em todos os ramos

Reativas = Perdas Reativas em todos os ramos


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01 de junho de 2012

6. Clculo das Potncias Geradas

Para os clculos das potncias geradas so utilizadas as equaes de equilbrio de potncias nas

respectivas barras onde h gerao e os valores so desconhecidos, conforme segue:

PiG Pi

C Vi = 0

QiG Qi

C Vi = 0

Para a Barra de Referncia, calcula-se PiG

e QiG , ento para i = 1 Pi

G e Qi

G

Para a Barra P V, calcula-se apenas QiG , ento para i = 2 Q2

G

Assim:

P1G

= V1 (V1 B11 sen 11 + V2 B12 sen 12 + V3 B13 sen 13)

P1G = 1,05 [1,04 x 4,17 sen ( 2) + 1,037 x 16.67 sen (5)]

P1G = 1,4231 p.u.

Q1G = V1 (V1 B11 cos 11 V2B12 cos12 V3 B13 cos 13)

Q1G = 1,05 [ 1,05 ( 20,84) x 1,0 1,04 x 4,17 cos (-2) 1,037 x 16,67 cos (5)]

Q1G = 0,3431 p.u.

Q2G = V2 ( V1 B21 cos 21 V2 B22 cos 22 V3 B23 cos 23)

Q2G = 1,04 [ 1,05 x 4,17 x cos (2o) 1,04 x ( 9,73) x 1,0 1,037 x 5,56 cos (5o) ]

Q2G = 0,00043 p.u.


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01 de junho de 2012

MTODO DE NEWTON-RAPHSON OU NEWTON

o mtodo geral para a determinao de razes reais de equaes no lineares. Em essncia, o

mtodo de Newton-Raphson baseia-se na srie de Taylor, da seguinte forma:

Se uma aproximao xk conhecida para uma das razes da equao f (x) = 0, ento uma melhor

aproximao pode ser obtida calculando-se:

xk+1

= xk - (f(xk))-1 . f (xk)

Chamado xk = - (f(xk))-1 . f (xk)

Pode-se escrever:

xk+1

= xk + xk

Este mtodo pode ser estendido a um conjunto de equaes no lineares da seguinte forma:

f1 (x1 , x2 , ... , xn) = 0

f2 (x1 , x2 , ... , xn) = 0

fn (x1, x2 , ... , xn) = 0

Da mesma forma se conhecido o vetor Xk das variveis (x1

k, x2

k, ... , xn

k) que constituem uma

aproximao a uma das razes do conjunto, ento uma melhor aproximao pode ser calculada por:

Xk+1

= Xk J-1 F(Xk)

Chamando: Xk = - J -1 F (xk)

Pode-se escrever:


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01 de junho de 2012

Xk+1

= Xk + Xk

Onde:

1) F (Xk) o vetor constitudo pelos resultados das equaes anteriores substituindo-se os valores do

vetor Xk.

2) J a matriz das derivadas parciais de primeira ordem das equaes, com relao s variveis X.

Essa matriz chamada matriz Jacobiana do sistema de equaes, ou simplesmente Jacobiano. Os

elementos da matriz Jacobiana so definidos como:

Jij =

Jii =

Exemplo:

Sejam as equaes:

f1 (x1 , x2) = x12 + x2

2 - 5 = 0

f2 (x1, x2) = x12 - x2

2 + 3 = 0

cujas as razes so:

x1= 1

x2 = 2

Supondo que sejam conhecidas as seguintes aproximaes:

x1= 0,5 e x2 = 1,5

Pede-se obter uma aproximao melhor, usando o mtodo de Newton-Raphson.


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01 de junho de 2012

Soluo:

1 Passo: montagem, do vetor X1

Tem se: X1

= |

|

2 Passo: montagem do vetor F (X1)

f1 ( ,

) = 0,52 + 1,5

2 - 5 = - 2,5

f2 ( ,

) = 0,52 1,52 + 3 = 1,0

logo: f(X1

) = |

|

3 Passo: montagem da matriz Jacobiana

= 2x1 = 1

= 2x2 = 3

= 2x1 = 1

= - 2x2 = - 3

Portanto:

J = |

|

Nota-se que o Jacobiano no simtrico.

4 Passo: Inverso do Jacobiano

A inversa de uma determinada matriz igual sua matriz adjunta dividida pelo seu determinante.

Ento:


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01 de junho de 2012

J-1

= |

|

5 Passo determinao de X1

Sabendo-se que: X1 = - J -1 F (X1)

X1 = - |

| |

| = |

|

6 Passo: determinao de X2

Sendo X2

= X1

+ X1 , obtm se:

X2

= |

| |

| = |

|

Observa-se que X2 constitue uma melhor aproximao s razes (x1=1, x2 = 2) que X

1.

O processo poderia agora ser reiniciado do 2o passo, usando os valores de X

2 para obter uma melhor

aproximao ( X 3) e assim por diante at que a aproximao fosse suficientemente acurada.

Representao Grfica

Seja uma funo com apenas uma varivel f (x):


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01 de junho de 2012

Na soluo f (x) = 0

Seja a aproximao x1

Uma melhor aproximao ser:

x2 = x

1 + x1

x1 = - f(x1)-1 . f (x1) = -

Sabe-se que: f (x1) = tg = - tg

tg =

x1 =

= l

Ento x2 =

x

1 + l

Pelo grfico conclui-se que x3 j pode ser aceita como soluo, j que x

1 uma boa estimativa inicial.

Por outro lado, se for adotado x1

como estimativa inicial, o mtodo no alcana a soluo.

Pode-se observar que o mtodo bastante influenciado pela forma da funo f(x) e tambm pela

escolha da aproximao inicial x1. Normalmente o mtodo trabalha muito bem para funes

contnuas convexas.

A grande vantagem desse mtodo que ele possui convergncia quadrtica, o que significa que

quanto mais se aproxima da soluo, mais rpido o mtodo tende a convergir para ela. Por isso, a sua

confiabilidade muito grande para funes contnuas e bem definidas analiticamente.


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01 de junho de 2012

APLICAO AS EQUAES DE FLUXO DE POTNCIA

Para as equaes do fluxo de potncia, trabalha-se com o vetor g, definido pelas seguintes equaes:

Gip

= PiG Pi

C Vi = 0

GiQ = Qi

G Qi

C Vi = 0

O vetor g constitudo dos seguintes elementos:

a) Para o n de referncia

Vr e r so conhecidos, portanto no preciso nenhuma equao para esse n.

b) Para cada n P - Q

Vj e j so desconhecidos, portanto preciso duas equaes: Gip

e GiQ.

c) Para cada n P - V

Vj conhecido e j incgnito, portanto s preciso uma equao: Gip.

Assim, conclu-se que o nmero total de incgnitas igual a npv + 2npq. E tambm que o nmero

total de equaes igual a npv + 2npq

Onde: npv e npq so, respectivamente, os nmeros de ns P - V e P - Q do sistema.

Ento, o vetor g que engloba todas as equaes do fluxo de potncia pode ser organizado da seguinte

forma:

g = |

|


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01 de junho de 2012

Onde:

1) g p o vetor das equaes de potncia ativa, escritas para todos os ns do sistema, exceto o de

referncia;

2) g Q o vetor das equaes de potncia reativa, escritas para todos os ns P-Q do sistema.

O vetor x contendo as incgnitas (ou variveis de estado) pode ser escrito como:

x = |

|

Onde:

1) o vetor dos ngulos das tenses para todos os ns, menos o de referncia;

2) V o vetor dos mdulos das tenses para todos os ns P Q do sistema.

Durante o processo iterativo de soluo, os vetores gP e g

Q no sero nulos j que seus elementos

estaro sendo calculados com valores aproximados das variveis e V. Portanto, os valores obtidos para os elementos desses vetores so resduos (mismatches) que medem a menor ou maior

proximidade da soluo - quanto mais prximos esses elementos esto de zero, mais prximo estar o

processo iterativo da soluo. Por essa razo os vetores gP e g

Q so tambm denotados,

respectivamente, como P e Q, indicando que eles traduzem os mismatches (erros) de potncia ativa e reativa nos ns do sistema durante o processo iterativo.

Ento, a expresso iterativa para soluo das equaes ser:

xk + 1

= xk + xk

Sendo: xk = - J-1 gk

A matriz J (Jacobiano), neste caso, constar de 4 submatrizes, da seguinte forma:

J = |

|


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01 de junho de 2012

Cujos elementos de cada uma dessas submatrizes so dados por:

Hij =

Hii =

Nij =

Nii =

Jij =

Jii =

Lij =

Lii =

Onde os ndices i e j so relativos aos ns i e j do sistema eltrico e no a eixos da matriz Jacobiana.

Os elementos do vetor x, em concordncia com os do vetor x, so dados por:

x = [

]

As equaes de soluo do mtodo podem, portanto, ser reescritas como:

[

] = [

] + [

]

[

] = - |

|

[

]

Para simplificao dos clculos costuma-se redefinir as submatrizes N e L, com o fim de tomar

iguais, numericamente, os termos Hij e Lij, bem como simtricos os termos Jij e Nij do Jacobiano,

como o vetor x da seguinte forma:


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01 de junho de 2012

x = [

]

Onde V/V um vetor onde cada elemento de V aparece dividido pelo V correspondente.

As submatrizes N e L passam a ser denotadas por N e L e seus elementos dados por:

Nij =

Nii =

Lij =

Lii =

Assim, no se altera a equao do mtodo, conforme a seguir:

[

] = - |

| [

]

E finalmente as novas equaes iterativas sero dadas por:

[

] = [

] + [

]

[

] = - |

|

[

]

ROTEIRO DE SOLUO

a) Fazer o contador de iteraes k = 0 e estimar valores iniciais para k e Vk (normalmente = 0

e V=1,0);


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01 de junho de 2012

b) Formar os vetores Pk e Qk e testar a convergncia;

c) Formar e inverter a matriz Jacobiana;

d) Calcular os vetores de correo k e Vk;

e) Obter os novos valores k +1 e Vk +1 usando a expresso iterativa da soluo, fazer k = k + 1 e

voltar ao item b.

CRITRIO DE CONVERGNCIA

Os vetores AP e AQ permitem verificar a convergncia do processo, pois ambos devem ser nulos no

ponto de soluo. Portanto, os critrios de convergncia so:

| | P

| | Q

para todos os elementos de P e Q.

Onde:

P e Q so as tolerncias preestabelecidas.

FORMAO DA MATRIZ JACOBIANA

Inicialmente deve-se estruturar a matriz Jacobiana a fim de identificar os ndices de cada um de seus

elementos, que correspondero ao ndice da equao a ser utilizada (registrado na linha) e ao da

incgnita a ser calculada (registrado na coluna), de forma conveniente cada uma das submatrizes

que a compe.

Assim, costuma-se, aps a identificao das incgnitas e das respectivas equaes, estruturar o

Jacobiano a partir de cada submatriz, relacionando os ndices das equaes a serem utilizadas nas

linhas e os das incgnitas nas colunas em cada submatriz.

J = |

|

Exemplo:

Estruturar a matriz Jacobiana para o clculo das tenses dos barramentos de um sistema eltrico

assim caracterizado:

Barra 1 PV


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01 de junho de 2012

Barra 2 PQ

Barra 3 Referncia

Barra 4 PQ

Barra 5 PV

Soluo:

Relacionam-se inicialmente as incgnitas do sistema e respectivas equaes a serem utilizadas, de

acordo com os tipos das barras, conforme a seguir:

1 P1 V2 Q2

2 P2 V4 Q4

4 P4

5 P5

Da estrutura-se o Jacobiano da seguinte forma:

Incgnitas Incgnitas V

Equaes P

Equaes Q

Sabendo-se que a matriz Jacobiana formada pelas derivadas parciais de 1a ordem das equaes de

potncia (P e Q) com relao s incgnitas ( e V), de forma adequada a cada uma de suas

submatrizes, pode-se escrever:

Hij =

Hij =

[ Pi

G Pi

C Vi ]

Sabe se que ik = i - k

1 2 4 5

2 4

1 H11 H12 H14 H15 N12 N14 2 H21 H22 H24 H25 N22 N24 4 H41 H42 H44 H45 N42 N44 5 H51 H52 H54 H55 N52 N54

2 J21 J22 J24 J25 L22 L24 4 J41 J42 J44 J45 L42 L44


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01 de junho de 2012

As derivadas trigonomtricas de subtrao de arcos so dadas por:

sen (a - b) = - cos (a b)

cos (a - b) = sen (a - b)

sen (a - b) = cos (a - b)

cos (a - b) = - sen (a - b)

E tambm que derivada de qualquer constante igual a zero.

Observa-se que todos os membros do somatrio do 2o membro da equao so constantes em relao

varivel qual se deseja derivar parcialmente (j), quando k for diferente de j. PiG e Pi

C tambm so

constantes.

Ento: Hij = - Vi Vj (Gij sen ij Bij cos ij)

Hii =

Hii =

[ Pi

G Pi

C -

]

Neste caso utiliza-se a equao P, escrita com a funo somatrio considerando o conjunto k i, a fim de facilitar o clculo da derivada, que neste caso, efetuado com relao a i , portanto presente em todos os membros do somatrio.

Sabendo-se que:

Gik = - Gii

Pode-se escrever:

Hii =

{

}


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01 de junho de 2012

Derivando vem:

Hii = - Vi

Somando e subtraindo uma mesma parcela equao no modifica seu resultado, ento:

Hii = - Vi + Vi2Bii Vi

2Bii

Como: (Bik yik) = - Bii, pode-se incluir a parcela - Vi2Bii ao somatrio, transformando o

conjunto k i para k i.

Ento:

Hii = Vi + Vi2Bii

Sendo:

QiT = Vi

Logo:

Hii = QikT

+ Vi2Bii

Da mesma forma, pode-se calcular os elementos da submatriz N, conforme a seguir:

Nij = Vj

Nij = Vj

[ Pi

G Pi

C -

Os elementos da equao so constantes em relao Vj, exceto quando k for igual a j. Nesse caso, a

derivada pode ser calculada, obtendo-se:

Nij = Vj [- ]

E da vem:


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Nij = - Vi

Nii = Vi

Novamente utiliza-se a equao de P escrita em funo do conjunto k i.

Nii = Vi

[ Pi

G Pi

C -

Como: Gik = - Gii

Nii = Vi

[ Pi

G Pi

C

Vi

Derivando, vem:

Nii = Vi [- 2

Incluindo uma das parcelas (- Vi Gii ) no somatrio, encontra-se a seguinte expresso:

Nii = Vi [-

E da obtm - se:

Nii = -

Sendo: PiT = Vi Vk

Pode-se escrever:

Nii = - PiT

O procedimento adotado para calcular os elementos das submatrizes J e L so idnticos ao anterior,

apenas substituindo-se a equao P pela equao Q. Assim:


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Jij =

Jij =

[Qi

G Qi

C Vi ]

Derivando, vem:

Jij = - Vi Vj (- Gij cos ij - Bij sen ij)

E da :

Jij = Vi Vj ( Gij cos ij + Bij sen ij)

Jii =

Jii=

[Qi

G Qi

C Vi

]

Derivando, obtm-se a seguinte expresso:

Jii = - Vi

Somando e subtraindo a parcela , vem:

Jii = - Vi + -

Como: Gik = - Gii , pode se escrever:

Jii = - Vi +

E da:

Jii= - PiT

Lij = Vj .

Lij = Vj .

[Qi

G Qi

C Vi ]

Derivando vem:

Lii = - Vi Vj ( Gij sen ij - Bij cos ij)


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Lii = Vi

Lii = Vi

[Qi

G Qi

C Vi +

]

Derivando, obtm se a seguinte expresso:

Lii = Vi [- + 2 ]

Incluindo uma das parcelas (- Vi Gii ) no somatrio, obtm se:

Lii = Vi [- + ]

Lii = [ ]

E da:

Lii = - QiT +

Comparando se as expresses para as submatrizes, observa se que Hij = Lij , Nij = - Jij , o que confirma

o objetivo pretendido quando foram redefinadas as submatrizes N e L da matriz Jacobiana.

ASPECTOS COMPUTACIONAIS

A convergncia muito poderosa e independe de certos fatores tais como: a escolha do n de

referncia, o uso de capacitores srie, a quantidade de elementos shunt, etc. Porm, a aproximao

inicial deve ser prxima da soluo, o que ocorre no caso do fluxo de potncia, onde o mdulo da

tenso deve estar prximo de 1,0 e com pequenos valores de defasagem angular;

O nmero tpico de iteraes fica ente 3 e 5 para sistemas bem comportados;

O tempo de processamento computacional reduzido, considerando-se que uma iterao pelo mtodo

Newton-Raphson equivale a 7 iteraes por Gauss-Seidel;


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01 de junho de 2012

O uso de memria de computador proporcional ao nmero de ns do sistema, considerando-se a

esparsidade da matriz YN, porm bem maior que o do mtodo de Gauss-Seidel;

A principal desvantagem formar e inverter a matriz Jacobiana a cada iterao. Na prtica, a

inverso evitada utilizando a tcnica da fatorizao e explorando-se a esparsidade dessa matriz,

porm sua formao inevitvel;

A implementao computacional complexa e sofisticada devido principalmente formao e

inverso da matriz Jacobiana a cada iterao, alm de explorao da sua esparsidade.

Finalmente conclui-se que vivel a utilizao conjunta dos mtodos de Gauss-Seidel e Newton-

Raphson, usando Gauss-Seidel nas primeiras iteraes at obterem-se valores prximos da soluo.

A seguir usa-se Newton-Raphson inicializado com esses valores, obtendo-se rapidamente a soluo.

Exemplo 1:

Calcular as tenses do sistema eltrico indicado a seguir, pelo mtodo de Newton-Raphson:

Dados dos ns (p.u.):

Barra V PG QG PC QC

1 1,0 0 ? ? - -

2 1,0 ? 0,20 ? - -

Dados do ramo (p.u.):

Emissor Receptor R X B

1 2 0 1,0 0

Tolerncia = 10-3

Soluo:


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1) Montagem de Matriz YN:

YN = |

|

A admitncia do ramo 1- 2 igual 0 - j1,0 , ento:

YN = G + jB = |

|

E da:

G = |

| e B = |

|

2) Identificao das incgnitas:

Barra 1 Referncia no se calcula V1 e 1

Barra 2 PV calcula-se apenas 2

3) Identificao das equaes de potncia:

O nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas, portanto: 1.

Para o clculo de 2 utiliza-se a equao P2.

4) Montagem das equaes iterativas:

[2]k*

1 = [2]

k + [2]

k

[2]k

= - J-1

[P2]k


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01 de junho de 2012

5) Montagem da equao P2:

Pi = Pi

G Pi

C Vi = 0

Desenvolvendo vem:

P2 = P2

G - P2

C - V2 V1 (G21 cos 21 + B21 sen 21) = 0

Substituindo dados encontra-se:

P2 = 0,20 - sen 21 = 0

6) Estruturao da Matriz Jacobiana:

2

J = 2 | |

H22 =

=

(0,20 sen 21) = - cos 21

7) Estimativa de Valores Iniciais:

V0

= |

| = |

| = |

| = |

|

Calculo de P2

P2 = 0,20 sen (0 - 0) = 0,20

Teste de Convergncia:

| | = | | 10-3 no convergiu


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01 de junho de 2012

8) Clculo da 1a iterao:

[2]1 = [2]

0 + [2]

0

[2]0

= - J-1

[P2]0

Montagem e inverso da Matriz Jacobiana:

J = [H22]

H22 = - cos 210 = - cos (0 - 0) = - 1,0

J = [-1,0]

J-1

= [-1,0]

Calculo de 20:

[2]0

= - [-1,0] [0,20] = [0,20]

[2]1 = [0] + [0,20] = [0,20] rd.

Clculo de P21:

| | = 0,20 - sen (0,20 - 0) = 0,0013

Teste de convergncia:

| | = | | 10-3 no convergiu

9) Clculo da 2a iterao:

[2]2 = [2]

1 + [2]

1

[2]1

= - J-1

[P2]1


62

MINISTRIO DA EDUCAO E CULTURA UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA

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Eraldo - Fluxo de potência