ES25 - Conceitos Fundamentais de … Fundações ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares FCN - Flexão composta normal com

1

Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas

e Fundaçõese Fundações

ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de

Concreto: Vigas, Lajes e Pilares

FCN - Flexão composta normal com grande e pequena excentricidades

Professores: Túlio N. Bittencourt Rui Oyamada

ES25ES25

ES025ES025Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares____________________________________________________

Objetivos:• Flexão Composta Normal• FCN com grande excentricidade: flexo-compressão e flexo-

tração• FCN com pequena excentricidade: flexo-compressão e

flexo-tração

2

ES25ES25

Excentricidade

Grande Excentricidade: as fibras opostas sofrem encurtamento e alongamentoDomínios 2, 3 ou 4

Pequena Excentricidade:as fibras opostas sofrem ambas alongamento ou ambas encurtamentoDomínios 1 ou 5

ES25ES25

Flexo-compressão com grande excentricidade______________________________________________________________________

h/2 0,8xRcd

Rsd’

Md

h

As’

dNd

RsdAsd’

Msd = Md + Nd (d - h/2)

b

3

ES25ES25


Rsd + Nd - Nd

Msd

Nd

≡ Msd +

Rsd’

Rcd

Rsd + Nd

Rsd’

Rcd

Nd Nd

ES25ES25


−

−=

=−−

=→−

=+

dsd

sds

sdsdsd

sdsd

dsd

Nxd

MA

ANxd

MRxd

MNR

4,01

4,04,0

σ

σArmadura Simples

Armadura Dupla

( )','4,0

1

'4,0'4,0

''

ddMAN

ddM

xdM

fA

fANdd

Mxd

MRdd

Mxd

MNR

sd

sdsd

sdsd

yds

ydsdsdsd

sdsdsd

dsd

−∆

=

−

−∆

+−

=

=−−

∆+

−=→

−∆

+−

=+

σ

4

ES25ES25

Exemplo

b = 20 cm ; h = 40 cm ; d' = 4 cm ; fck = 20 MPa; CA50A; Nd = 100 kN (compressão) ; Md = 50 kN.m

Msd = Md + Nd (d - h/2) = 50 + 100 (0,36 - 0,20) = 66 kN.m

ES25ES25

Exemplo

5

ES25ES25

Flexo-tração com grande excentricidade______________________________________________________________________

h/20,8x

Rcd

Rsd’

Md

h

d’

As’

dNd

RsdAsd’

Msd = Md - Nd (d - h/2)

b

ES25ES25


Rsd - Nd + Nd

Msd

Nd

≡ ≡ Msd +

Rsd’

Rcd

Rsd - Nd

Rsd’

Rcd

Nd Nd

6

ES25ES25


( )','4,0

1

'4,0'4,0

''

ddMAN

ddM

xdM

fA

fANdd

Mxd

MRdd

Mxd

MNR

sd

sdsd

sdsd

yds

ydsdsdsd

sdsdsd

dsd

−∆

=

+

−∆

+−

=

=+−

∆+

−=→

−∆

+−

=−

σ

+

−=

=+−

=→−

=−

dsd

sds

sdsdsd

sdsd

dsd

Nxd

MA

ANxd

MRxd

MNR

4,01

4,04,0

σ

σArmadura Simples

Armadura Dupla

ES25ES25

Exemplo

b = 20 cm ; h = 40 cm ; d' = 4 cm ; fck = 20 MPa; CA50A; Nd = 100 kN (tração) ; Md = 82 kN.m

Msd = Md - Nd (d - h/2) = 82 - 100 (0,36 - 0,20) = 66 kN.m

7

ES25ES25

Exemplo

ES25ES25

Flexo-compressão com pequena excentricidade______________________________________________________________________

b

h

A’s

As

Md

Nd

εc = 0,0020,85fcd

R’sd=A’sf’yd

Rcd=0,85bhfcd

Rsd=Asf’yd

σsd

εs

f’yd

0,002

d’

d’

Situação com as duas armaduras (As e A`s)

8

ES25ES25


Equações de equilíbrio

N bhf f A AM f h d A A

d cd yd s s

d yd s s

= + +

= − −

0 852

, ' ( ' )' ( / ' )( ' )

Portanto

−+−=

'2/85,0

'21'

dhMbhfN

fA d

cddyd

s

−−−=

'2/85,0

'21

dhMbhfN

fA d

cddyd

s

ES25ES25


Caso de armadura unilateral (As=0) se:

b

h

A’s Md

Nd

εc = 0,0020,85fcd

R’sd=A’sσ’sd

Rcd=0,68bxfcd

0,8x

x

0,4xε’s3h/7

d’

0,0035

0'2/

85.0 <−

−−dh

MbhfN dcdd

9

ES25ES25


Equações de equilíbrioN R RM R h x R h d

d cd sd

d cd sd

= += − + −

'( / , ) ' ( / ' )2 0 4 2

−−+−= x

0,68bfN

)d'(h/20,4x)x(h/20,68bf

M

cd

d

cd

d

Portanto

−−−+=

cd2

dd

f0,425bd')Nd'(h/2M

111,25d'x

ES25ES25


)002,0(7/3

'' ⋅−−

=hxdx

sε

ε ' ' ( , )s

x dx

=−

⋅ 0 0035

ε ' ' ( , )s

x dd x

=−−

⋅ 0 010

Para o domínio 5

Para o domínio 3 e 4

Para o domínio 2

10

ES25ES25


,

68.0'sd

cdds

fxbNAσ

⋅⋅⋅−=

Caso de armadura unilateral (As=0):

ES25ES25

Exemplos

1. b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; N = 3000 kN ; M = 200 kN.m ; fck = 25 MPa ; CA50A

[ ]Af

N bhfM

h dcms

ydd cd

d''

,/ '

, ,= − +−

=

⋅− + =

12

0 852

12 42

4200 2656 933 3 29 49 2

[ ]Af

N bhfM

h dcms

ydd cd

d= − −−

=

⋅− − =

12

0 852

12 42

4200 2656 933 3 7 27 2

',

/ ', ,

11

ES25ES25

Exemplos

2. b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; N = 2000 kN ; M = 200 kN.m ; fck = 25 MPa ; CA50A

0 852

2656 933 3 3589,/ '

,bhfM

h dkN Ncd

dd+

−= + = > As = 0

x dM h d N

bd f

cm domínio

d d

cd

= + −− −

=

= ⋅ + −− − ⋅⋅ ⋅ ⋅

=

1 25 1 12

0 425

1 25 5 1 1 28000 35 5 28000 425 25 5 2 5 1 4

74 45 5

2

2

, '( / ' )

, '

, ( ), , / ,

, ( )

AN bxf

cmsd cd

sd

','

, , , / ,,

,=−

=− ⋅ ⋅ ⋅

=0 68 2800 0 68 25 74 45 2 5 1 4

43 4812 42 2

σ

σ'sd ydf=ε ε' '/

( , ) ,, /

( , ) ,s yd

x dx h

=−

−⋅ =

−− ⋅

⋅ = >3 7

0 002 74 45 574 45 3 70 7

0 002 0 00312

ES25ES25

Flexo-tração com pequena excentricidade______________________________________________________________________

b

h

A’s

As

Md

Nd

εc = 0,010

R’sd=A’sfyd

Rsd=Asfyd

d’

d’

12

ES25ES25

Flexo-tração com pequena excentricidade______________________________________________________________________


N R RM h d f A A

d sd sd

d yd s s

= += − −

'( / ' ) ( ' )2

Portanto

AN

Mh dfs

dd

yd

=+

−/ '22

AN

Mh dfs

dd

yd

' / '=−

−22

ES25ES25

Exemplo

b = 25 cm ; h = 70 cm ; d' = 5 cm ; Nd = 1000 kN (tração) ; Md = 10.000 kN.cm ; fck = 25 MPa ; CA50A

13

ES25ES25

Exemplo

ES25ES25

Flexão composta com armadura predefinida______________________________________________________________________

Seção retangular com armadura simétrica

h

b

Md

Nd

dsiRcd

dc=0,4x

Rsdi

0,0035 0,0020

3h/7

D5

D4D3

D2

D1

εyd 0,010

diag. def. ELÚlt.

x0,8x

14

ES25ES25



N R R

M R h d R d h M Md cd sdi

d cd c sdi si cd sd

= −

= − + − = +

∑∑( / ) ( / )2 2

ES25ES25


Nbhf

Rbhf

Rbhf

oud

cd

cd

cd

sdi

cdd cd sdi cd sd= − = − = −∑∑ ν ν ν ν ν

Mbh f

Mbh f

Mbh f

Rbhf

dh

Rbhf

dh

d

cd

cd

cd

sd

cd

cd

cd

c sdi

cd

si2 2 2

12

12

= + = −

+ −

∑

µ ν νd cdc

sdisid

hdh

= −

+ −

∑1

212

µ µ µ µ µd cd sdi cd sd= + = +∑

15

ES25ES25


Resultante no concretoPara x < 0 (ou x/h 0) tem-se:

R cd cd cd= → = =0 0 0ν µe

Para [0 < x <1,25 h] (ou 0 < x/h <1,25) tem-se:

R bxf xhcd cd cd= =0 68 0 68, , ou ν

M R h ddh

xh

xhcd cd c cd

c= − = −

= −

( / ) , ,2 12

0 68 12

0 4 ou cdµ ν

ES25ES25


Resultante no concreto

Para x > 1,25 h (x/h > 1,25) tem-se:

R bhf Mcd cd cd cd cd= = → = =0 85 0 0 85 0, ,e eν µ

16

ES25ES25


Resultante na armadura genérica

x d h dxh

dh23

233 513 5

3 513 5

3 513 5

1= = − → = −

,,

,,

( ' ) ,,

'

ES25ES25


Para x < x23 (domínios 1 e 2)

Asi

dsi

x

εsi

0,010

ε sisi

si

d xd x

dh

xh

dh

xh

=−−

⋅ =−

− −⋅( , ) ' ( , )0 010

10 010

17

ES25ES25


Para [x23 < x < h] (domínios 3 e 4)

Asi

dsi

x

εsi

0,0035

ε sisi

si

d xx

dh

xh

xh

=−

⋅ =−

⋅0 0035 0 0035, ,

ES25ES25


Para x > h (domínio 5)

Asi

dsi

xεsi

3h/7 0,002

ε sisi

si

x d

x h

xh

dh

xh

= −−

−⋅ = −

−

−⋅3

7

0 002 37

0 002( , ) ( , )

18

ES25ES25


Com o valor de εsi , tem-se a tensão σsdi

R AR

bhfA fbhf f f

sdi si sdi

sdisdi

cd

si yd

cd

sdi

ydi

sdi

yd

=

= = =

σ

νσ

ωσ

ω ω ωisi yd

cdi

Abh

ff

= = ∑;

µ νsdi sdisid

h= −

12

ES25ES25


Diagramas de interação

Nd Nd Nd Nd

d’e

h

b hAs,tot/4 em cada face

As,tot/2 em cada face

As,tot/2

As,tot/2

19

ES25ES25


Diagramas de interação

-1 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0,90,80,7

0,60,50,40,30,20,1

0,0

1,61,20,80,40,0-0,4-0,8

µd

υd

ω=1,0

b

hA s/2

A s/2

d’

d’/h=0,1 CA25

ES25ES25

FCN - Ábacos

20

ES25ES25

FCN - Ábacos

ES25ES25

FCN - Ábacos

21

ES25ES25

FCN - Ábacos

ES25ES25

FCN - Ábacos

22

ES25ES25

FCN - Ábacos

ES25ES25

Compressão Centrada Equivalente Nd,eq

A deformação de encurtamento da seção é constante e, no estado limite último, vale 0.002

N A A f A fd eq c s tot cd s tot yd, , ,( ) , '= − +0 85

NA f

AA

AA

ff

d eq

c cd

s tot

c

s tot

c

yd

cd

, , ,,'

= −

+1 0 85

ν ρ ρd eqsd

cd

ff, ( ) ,'

= − +1 0 85 ρν

=−

−

d eq

yd

cd

ff

, ,'

,

0 85

0 85

23

ES25ES25

Redução da flexão composta normal em seções simétricas a uma compressão centrada equivalente

Para νd P 0,7 (νd , µd )Yνd, eq

ν ν κµ ν κµν

ν κd eq d d dd

dd

eh, = + = +

= +

1 1

Nd

b

h

A’s

As

e ′ = ≥ ⇒ =A AA

s ss tot,

33κ

′ = < ⇒ =A AA

s ss tot,

34κ

Documents

ES25 - Conceitos Fundamentais de … Fundações ES25 - Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares FCN - Flexão composta normal com