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Escoamento de fluidos newtonianos e viscoelásticos em torno de um cilindro: Estudo numérico de efeitos tridimensionais Dissertação apresentada com vista à obtenção do grau de Mestre em Fundamentos e Aplicações em Mecânica dos Fluidos Universidade do Porto Hugo Heitor Moreira Enes Ferreira Orientadores: Professor Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho (UMinho) Professor Manuel António Moreira Alves (FEUP) Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Setembro de 2006

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Escoamento de fluidos newtonianos e viscoelásticos em

torno de um cilindro:

Estudo numérico de efeitos tridimensionais

Dissertação apresentada com vista à obtenção do grau de Mestre

em Fundamentos e Aplicações em Mecânica dos Fluidos

Universidade do Porto

Hugo Heitor Moreira Enes Ferreira

Orientadores: Professor Fernando Manuel Coutinho Tavares de Pinho (UMinho)

Professor Manuel António Moreira Alves (FEUP)

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Setembro de 2006

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ÍNDICE RESUMO LISTA DE SÍMBOLOS 1. INTRODUÇÃO 1

1.1 TEMA E OBJECTIVOS DESTE ESTUDO 1

1.2 FLUIDO NEWTONIANO vs FLUIDO VISCOELÁSTICO 2

1.3 ESCOAMENTOS DE REFERÊNCIA 7 1.4 ESTUTURA DA TESE 9

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 11

2.1 INTRODUÇÃO 11

2.2 ESCOAMENTOS EM TORNO DE OBSTÁCULOS IMERSOS 14

2.3 ESCOAMENTOS EM TORNO DE UM CILINDRO CONFINADO 17

3. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS 29

3.1 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO 29

3.2 FUNÇÕES MATRIAIS DE FLUIDOS POLIMÉRICOS 34 3.2.1 Funções materiais em escoamentos de corte estacionários 35 3.2.2 Funções materiais em escoamentos de corte oscilatórios 37 3.2.3 Funções materiais em escoamentos extensionais 40

3.3 MODELOS CONSTITUTIVOS NÃO-NEWTONIANOS 42 3.3.1 Modelo de fluido newtoniano generalizado 42 3.3.2 Modelo convectivo superior de Maxwell 45

4. MÉTODO NUMÉRICO 49

4.1 MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS 49 4.1.1 Equação da continuidade 50 4.1.2 Equação de conservação 50 4.1.3 Equação constitutiva 52

4.2 PROCEDIMENTO DE CÁLCULO 52

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4.3 GEOMETRIA DE ESCOAMENTO E MALHA COMPUTACIONAL 53

4.4 ORDEM DE CONVERGÊNCIA COM O REFINAMENTO DA MALHA 56

5. VALIDAÇÃODO CÁLCULO 59

5.1 INTRODUÇÃO 59

5.2 ESCOAMENTO DESENVOLVIDO EM CONDUTAS RECTANGULARES 60

5.3 COMPARAÇÃO DE SIMULAÇÕES 2D E 3D 69 5.3.1 Campo de velocidades e distribuições de pressão e tensões 69 5.3.2 Cálculo da força de arrasto exercida sobre o cilindro 73 5.3.3 Comparação dos coeficientes de arrasto 2D e 3D 76

5.4 SIMULAÇÃO DE ESCOAMENTOS DE HELE-SHAW 78 5.4.1 Comparação dos campos de velocidades numérico e analítico 78 5.4.2 Comparação dos coeficientes de arrasto numérico e analítico 80

6. RESULTADOS 85

6.1 FORÇA DE ARRASTO 85 6.1.1 Normalização da força de arrasto 85 6.1.2 Escoamento de um fluido newtoniano a baixo número de Reynolds 90 6.1.3 Escoamento inercial de um fluido newtoniano 96 6.1.4 Influência da elasticidade em condições de creeping flow 103 6.1.5 Influência da elasticidade em escoamentos inerciais 108

6.2 CAMPOS DE TENSÕES E PRESSÃO 111 6.2.1 Escoamentos inercial de um fluido newtoniano 113 6.2.2 Influência da elasticidade em condições de creeping flow 117 6.2.3 Influência da elasticidade em escoamentos inerciais 122

6.3 CAMPO DE VELOCIDADES 126 6.3.1 Escoamento a baixo número de Reynolds 126 6.3.2 Escoamentos inerciais 139 6.3.3 Influência da elasticidade para escoamento não inercial 151

7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHO FUTURO 159

7.1 CONCLUSÕES 159

7.2 SUGESTÕES PARA TRABALHO FUTURO 161

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 163

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Resumo Neste trabalho são realizadas simulações numéricas do escoamento laminar em torno de um cilindro no interior de um canal 3D rectangular. A influência da razão de forma Α do canal (razão entre o comprimento do cilindro e a altura do canal) sobre o escoamento é estudada com detalhe. Os modelos constitutivos considerados são o modelo newtoniano e o modelo viscoelástico UCM. São simulados escoamentos a baixo e moderado número Reynolds (0≤ReR ≤ 40) pelo método dos volumes finitos.

Os resultados relativos ao arrasto sobre toda a extensão do cilindro confirmam os valores de coeficiente de arrasto 2D apenas para razões de forma muito elevadas (Α>> 8). Para o caso newtoniano, propõe-se uma lei de ajuste em função da geometria do canal (1/8 ≤Α≤ 8) e do número de Reynolds (ReR ≤ 40). A influência da elasticidade é também estudada de acordo com o modelo UCM. O quociente entre a força de arrasto viscoelástica e newtoniana constata-se ser independente da razão de forma do canal.

Já o campo de velocidades revela claramente a natureza tridimensional do escoamento, independentemente do modelo constitutivo. Na proximidade do cilindro, junto às paredes laterais (perpendiculares ao eixo do cilindro), observam-se máximos locais de velocidade. Este efeito tridimensional embora fortemente dependente da inércia do escoamento ocorre também para ReR =0. Este efeito diminui em intensidade com a elasticidade do fluido. No caso de simulações de escoamentos a moderado número de Reynolds (ReR ≥ 10) observam-se zonas de recirculação de escoamento aberto tridimensional. Aí o fluido desloca-se paralelamente ao eixo do cilindro segundo trajectórias helicoidais no sentido de afastamento das paredes. Nenhuma partícula material permanece no interior desta região do escoamento (recirculação aparente). O reduzido número de simulações realizadas com o modelo UCM para números de Reynolds elevados, devido a limitações de tempo, não permite concluir qual a influência da elasticidade sobre estas estruturas de escoamento. Palavras chave: Cilindro; Escoamento tridimensional; Coeficiente de arrasto; Fluido viscoelástico; Modelo UCM; Simulação numérica.

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Abstract The three-dimensional flow of Newtonian and elastic fluids (UCM model) trough a confined cylinder in a rectangular channel is numerically studied in this thesis. The simulations were carried out up to a Reynolds number of 40 (based on cylinder radius), including creeping flow conditions (Re=0). The effect of fluid elasticity is also studied. A finite-volume method (FVM) is used in conjunction with a high-resolution scheme (CUBISTA) for the discretization of the convective terms. The computed drag force over the entire cylinder length shows good agreement with 2D calculations only for channel aspect ratios clearly in excess of 8:1 (cylinder length to channel height). In the case of Newtonian simulations the combined effects of channel aspect ratio and flow inertia are well described by a single correlation. The viscoelastic to Newtonian drag force ratio was found to be independent of channel geometry. The computed velocity field clearly shows 3D flow effects. In both cases, Newtonian and viscoelastic flows, near the cylinder, at a small distance of the channel walls (perpendicular to cylinder axis), the flow presents peaks of axial velocity component. This three-dimensional effect although strongly affected by flow inertia also occurs under creeping flow conditions (Re=0). The fluid elasticity (UCM model) reduces the intensity of this effect. In the case of inertial flow separation, the recirculatory zone is no longer an isolated flow region as in the case of 2D geometries. The observed streamlines show a helical flow pattern moving away from the walls. This conclusion is essentially based on Newtonian flow simulations. Due to time constraints, it was not possible to perform viscoelastic simulations with the UCM model as thoroughly as with the Newtonian fluid. Keywords: Cylinder; Tree-dimensional flow; Drag coefficient; Viscoelastic fluid; UCM model; Numerical simulation.

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Lista de símbolos () f Função 1 N Primeira diferença de tensões normais (Eq. 3.7b) 2 N Segunda diferença de tensões normais (Eq. 3.7c) d C Coeficiente de arrasto (Eq. 5.5) d Distância entre poço e nascente num dipolo hidráulico D Tensor velocidade de deformação (Eq. 3.4) De Número de Débora (Eqs. 1.4 e 1.6) F Caudal mássico; força de arrasto (Eqs. 2.1, 2.2 e 5.2 a 5.3) F Índice da célula vizinha à célula P, segundo a direcção f F a Coeficiente das equações na forma discreta (Eqs. 4.4 e 4.9) g Aceleração gravítica (Eqs. 3.3a,b); grandeza genérica variável (Eqs. 5.2a,b) G′ Módulo de conservação (Eqs. 3.10 a 3.18) G′′ Módulo de perdas (dissipativo) (Eqs. 3.11 a 3.18) H Altura do canal (Figs. 1.1, 4.1 e 5.1) i x Coordenada cartesiana segundo a direcção i I Primeiro invariante (traço) II Segundo invariante K Factor correctivo do coeficiente de arrasto (Eq.2.3); índice de consistência

(Eqs. 3.28 e 3.29) L Largura do canal (Figs. 1.1, 4.1 e 5.1) n Índice de lei de potência (Eqs. 3.28 e 3.32); relativo a direcção normal (5.4b) n Vector unitário normal (Eqs. 5.3 a 5.4a) P a Coeficiente central das equações na forma discreta (Eqs. 4.4 e 4.9) P Ponto, índice de célula genérica p Pressão q Ordem de convergência R L Comprimento da recirculação R Raio do cilindro Re Número de Reynolds (Eq. 1.3) S Termo fonte das equações na forma discreta St Número de Strouhal t Tempo Tr Razão de Trouton (Eq. 3.25) u t Tempo característico de um processo de deformação U Velocidade média x, y, z Coordenadas cartesianas X,Y,Z Valores constantes de x, y e z

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Índices superiores f Na face f L Relativo ao coeficiente de arrasto (Eqs. 6.9, 6.10 e 6.13) n Contador de iteração/passos de integração temporal N Relativo ao coeficiente de arrasto (Eqs. 6.17, 6.18) P Célula genérica T Transposta x,y,z Indicativo de integração segundo x, y e z * Passo intermédio; relativo a grandezas adimensionais

Índices inferiores F Célula vizinha da célula P (segundo a direcção f) f Na face f f Segundo a direcção da face f i,j,k Índices das coordenadas cartesianas (xi) max Máximo min Mínimo N Fluido newtoniano P Célula genérica R Raio do cilindro w Parede x,y,z Direcção cartesiana

Símbolos gregos γ Deformação γ Taxa de deformação (Eqs. 1.5 e 3.27) ε Taxa de extensão (Eqs. 3.21a,b) 1 Ψ Coeficiente da primeira diferença de tensões normais (Eq. 3.9a) 2 Ψ Coeficiente da segunda diferença de tensões normais (Eq. 3.9b) E η Viscosidade elongacional (Eq. 3.24) ij δ Delta de Kroneker (componente ij do tensor unitário) K Função de ajuste do coeficiente de arrasto (Eqs. 6.22a,b) t δ Intervalo de tempo de integração temporal xx τ Tensão normal xy τ Tensão de corte yy τ Tensão normal γ Tensor taxa de deformação

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δ Tensor unitário η Viscosidade viscosimétrica (de corte); parâmetro dos modelos viscoelásticos θ Ângulo λ Tempo de relaxação ρ Massa volúmica τ Tensão τ Tensor das tensões ω Frequência angular Α Razão de forma da conduta (Eq. 1.1) Β Razão de bloqueio (Eq. 1.2) α Coeficiente da lei de ajuste genérica δ Desvio relativo; incerteza Abreviaturas CDS Esquema de diferenças centradas de 2ª ordem (Central Differencing Scheme) CFD Dinâmica de fluidos computacional (Computational Fluid Dynamics) CUBISTA Convergent and Universally Bounded Interpolation Scheme for Treatment of

Advection DG Galerkin descontínuo (Discontinuos Galerkin) EVSS Separação elástica e viscosa da tensão (Elastic Viscous Split Stress) FENE Finite Extensible Nonlinear Elastic LDV Velocimetria Laser-Doppler (Laser-Doppler Velocimetry) LUDS Esquema de diferenças de montante de 2ª ordem (Linear Upwind

Differencing Scheme) MDF Método das Diferenças Finitas MEE Método dos Elementos Espectrais MEF Método dos Elementos Finitos MVF Método dos Volumes Finitos QUICK Esquema de diferenças de montante de 3ª ordem (Quadratic Upstream

Interpolation for Convective Kinematics) SIMPLE Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations SIMPLEC Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations - Consistent UCM Modelo convectivo superior de Maxwell (Upper Convected Maxwell model) UDS Esquema de diferenças de montante de 1ª ordem (Upwind Differencing

Scheme)

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Capítulo 1

Introdução Este primeiro capítulo inicia-se com a apresentação dos objectivos da tese. De seguida comparam-se os

comportamentos dinâmicos de fluidos newtonianos e viscoelásticos e refere-se a relevância do estudo de

escoamentos padronizados no desenvolvimento de modelos reológicos de fluidos não-newtonianos.

Finalmente apresenta-se de forma sucinta a estrutura da tese.

1.1 Tema e objectivos deste estudo Esta tese tem por tema o estudo numérico de efeitos tridimensionais no escoamento em

torno de um cilindro no interior de um canal de secção rectangular (Figura 1.1). Este

estudo computacional recorre ao Método dos Volumes Finitos (MVF) e ao esquema

numérico de alta resolução CUBISTA desenvolvido por Alves et al. (2003). Os

modelos constitutivos considerados são o modelo newtoniano e o modelo viscoelástico

convectivo superior de Maxwell (Upper Convected Maxwell, UCM).

Figura 1.1 – Domínio de escoamento tridimensional: conduta de secção HxL

Pretende-se com este trabalho aferir até que ponto um escoamento real,

necessariamente tridimensional, pode ser considerado como um escoamento plano,

avaliando a influência das proporções geométricas que o constringem, designadamente,

a razão entre o diâmetro do cilindro e a altura da conduta, D/H (blockage ratio), e a

razão entre a profundidade da conduta e a sua altura, L/H (aspect ratio), sobre as

características do escoamento. Esta análise recorre à inspecção de linhas de corrente,

perfis de velocidade, campos de tensões e pressão, e estudo da extensão e intensidade

das zonas de escoamento secundário. Compara-se ainda a distribuição da força de

arrasto (por unidade de comprimento) ao longo do eixo do cilindro com valores de

referência constantes da literatura obtidos numericamente em simulações

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bidimensionais. A influência destas razões geométricas surge aqui combinada com os

parâmetros adimensionais que caracterizam dinamicamente o escoamento: os números

de Reynolds, Re, e de Débora, De. Neste texto, estes quatro parâmetros apresentam-se

sob a forma:

Razão de forma, LA=H

(1.1)

Razão de bloqueio, DB =H

(1.2)

Número de Reynolds, URRe = ρη

(1.3)

Número de Débora, UDe =R

λ (1.4)

Neste estudo analisa-se com algum detalhe a influência da razão de forma da

conduta sobre a força de arrasto (por unidade de comprimento) em escoamentos

newtonianos, propondo-se no domínio (1/8,0)≤(A,Re)≤(8,40) uma lei de ajuste

representativa a menos de 0.1% dos valores computacionais obtidos.

Refira-se ainda a observação de zonas de escoamento preferencial junto às

paredes laterais, na proximidade do cilindro, isto é, onde se observam máximos locais

de velocidade. Este efeito tridimensional, apesar de fortemente dependente da inércia do

escoamento, ocorre para Re=0 com o fluido newtoniano e viscoelástico, ainda que de

modo menos acentuado neste último caso.

No que respeita a escoamentos a elevado número de Reynolds há a destacar o

surgimento de zonas de recirculação abertas fortemente tridimensionais.

1.2 Fluido newtoniano versus fluido viscoelástico A nossa interacção com o ambiente que nos rodeia conduz a uma determinada noção do

que é um fluido (liquido ou gás) que nos habilita, ainda que de forma meramente

intuitiva, a antecipar qualitativamente o seu comportamento em determinadas situações.

Se uma sondagem a essa percepção fosse realizada, sem dúvida, verificar-se-ia que o

comportamento tipicamente descrito seria enquadrável com o conceito de fluido

newtoniano pela simples razão de se incluírem nesta categoria os fluidos mais

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abundantes que conhecemos na natureza; o caso da água ou do ar, e de muitos outros

fluidos constituídos por pequenas moléculas. No entanto, uma análise mais atenta levar-

nos-ia a concluir que uma boa parte, senão mesmo a maioria, dos fluidos com relevância

industrial, em especial daqueles de origem sintética, não obedece a esta lei constitutiva

reológica de Newton. Entre estes fluidos não newtonianos encontra-se o grupo daqueles

que exibem simultaneamente comportamentos típicos de um líquido viscoso e de um

sólido elástico. Estes são designados de fluidos viscoelásticos.

Um fluido que evidencie um comportamento newtoniano é caracterizável por uma

simples equação constitutiva que estabelece uma relação de proporcionalidade directa

entre tensão e taxa de deformação,

yu

∂∂

== ηγητ (1.5)

sendo a constante de proporcionalidade η a viscosidade do fluido. Em condições

estáveis de temperatura e de pressão, esta viscosidade é uma propriedade do material

facilmente mensurável.

Pelo contrário, um líquido polimérico geralmente não apresenta uma viscosidade

constante em ensaios viscosimétricos. De facto, na sua maioria, estes aparentam ter uma

viscosidade decrescente com o aumento da taxa de deformação imposta, sendo, por isso,

classificados de reofluidificantes. Este comportamento tem óbvias implicações em

simples escoamentos de corte como os de Couette ou de Poiseuille, e consequentemente

em todos os processos industriais que envolvam transporte em condutas e lubrificação.

Contudo, é a elasticidade associada a estes fluidos poliméricos que justifica as maiores

diferenças qualitativas de comportamento e também as maiores dificuldades de

modelação física desse mesmo comportamento.

Assim, num fluido viscoelástico a lei constitutiva newtoniana já não se observa,

desde logo, porque o comportamento elástico exibido é um reflexo das condições de

escoamento a que este se encontra sujeito. Mas o que entender por resposta elástica? A

de um gás que em virtude da sua compressibilidade manifesta a capacidade de

armazenar energia? Não. Estes fluidos são constituídos por cadeias moleculares

extensas e exibem uma reduzida compressibilidade de onde decorre o seu tratamento

como fluido incompressível. De facto, a elasticidade de um fluido viscoelástico, sujeito

a um dado estado de tensão não hidrostático, reside na capacidade de inverter (ou

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reverter) parcialmente o processo de deformação após a anulação desse estado de

tensão, assemelhando-se nisto à resposta elástica de um sólido. Uma simples

experiência poderia ser realizada para evidenciar este comportamento (Figura 1.2).

Suponha-se assim que entre os dois discos rígidos se interpõe: (i) um disco feito

de um material sólido perfeitamente elástico, (ii) uma película de um fluido viscoso

(newtoniano), (iii) uma película de um fluido viscoelástico, e que, pela aplicação

gradual de um determinado momento, se promove uma rotação suave de amplitude θ de

um dos discos, o outro encontrando-se fixo. No primeiro dos casos, tão logo se anule

esse momento, o disco móvel retrocederá até à posição inicial; na situação (ii), sendo o

fluido viscoso, toda a energia dispendida durante a rotação terá sido entretanto dissipada

e consequentemente da libertação do disco não resultará qualquer retrocesso; já no

último caso, observar-se-á uma rotação de sentido inverso de amplitude inferior a θ

(dependente da elasticidade do fluido). No entanto, esta capacidade de inversão do

processo de deformação depende da rapidez de todo o procedimento até ao instante de

libertação do disco. Se a rotação fosse demasiado lenta ou se se mantivesse o

desfasamento dos discos por um período de tempo suficientemente longo, já não se

observaria o retorno (ainda que parcial) do disco após a sua libertação. Pode dizer-se

assim que o fluido possui em cada instante uma memória evanescente do seu historial

de deformação. O alcance desta memória está relacionado com o período de tempo de

relaxação das tensões de origem elástica geradas durante o escoamento.

Figura 1.2 – Experiência ilustrativa do comportamento de um fluido viscoelástico interposto entre dois discos rígidos num escoamento de corte simples. (a) Posição inicial dos discos e (b) posição no final da rotação do disco superior. Imagem adaptada de Alves et al. (2004).

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vη=τ γ eG=τ γ

O primeiro dos modelos de comportamento molecular propostos para

caracterização de um fluido viscoelástico foi avançado por Maxwell (1867) e baseava-

se numa analogia com o sistema mecânico mola – amortecedor (elemento elástico –

elemento viscoso). Neste sistema mecânico, Figura 1.3, uma solicitação súbita originará

uma resposta essencialmente elástica, observando-se, também neste caso, à semelhança

de um fluido viscoelástico, a capacidade do sistema em relaxar as tensões inicialmente

desenvolvidas no processo de deformação ao fim de algum tempo. Pelo contrário, se a

velocidade de deformação imposta for baixa não se observará qualquer intervenção do

componente elástico, ou seja, a resposta do sistema é agora essencialmente dissipativa

(inelástica).

τ τ

Figura 1.3 – Modelo mecânico equivalente de um fluido de Maxwell

Assim, ao contrário do que a classificação material anteriormente apresentada

sugere (de fluido viscoelástico por oposição a sólido ou liquido newtoniano), de acordo

com este modelo, um sólido pode ser entendido como um material com tempo de

relaxação de tal modo elevado que na escala de tempo em que percepcionamos os

fenómenos físicos apenas observámos a sua reposta elástica. Do mesmo modo, um

fluido newtoniano pode ser descrito como um material com um tempo de relaxação

tendencialmente nulo, o que é o mesmo que afirmar que as moléculas que o constituem

possuem a capacidade de alcançarem uma nova configuração de equilíbrio

instantaneamente. Assim, em determinado instante, do ponto de vista de um ponto

material, o processo de deformação a que fora sujeito no seu trajecto através do campo

de velocidades «pareceria» muito remoto no tempo, excepção feita à sua vizinhança

imediata; o fluido não possuiria por isso qualquer «memória» do seu processo de

deformação, não se manifestando, deste modo, uma resposta elástica.

Se o escoamento de um fluido newtoniano é função do número de Reynolds, o de

um fluido viscoelástico será agora dependente, também, do quociente entre um tempo

de relaxação próprio do material, λ, e um tempo de deformação característico do

η

G

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escoamento tu. Este novo grupo adimensional é habitualmente designado por número de

Débora, Reiner (1964):

uDe tλ= (1.6)

Esta capacidade elástica dos líquidos poliméricos resulta, de acordo com uma

noção newtoniana de fluido, em comportamentos contra intuitivos, tais como o «efeito

de Weissenberg», a «dilatação de jacto», a «retracção elástica» e muitos outros

perfeitamente documentados, Bird et al. (1987). Sublinhe-se que estes não são de modo

algum efeitos bizarros produzidos por fluidos estranhos, mas antes são comportamentos

típicos de fluidos macromoleculares: Boger e Walters (1993). A título meramente

ilustrativo, suponha-se, por exemplo, que se mergulha verticalmente um veio em

rotação num fluido viscoelástico; naturalmente, surgem no líquido linhas de corrente

circunferenciais concêntricas. Uma concepção intuitiva (newtoniana) da resposta do

fluido levaria a supor que este, por centrifugação, se afastasse do eixo de rotação,

afundando-se assim a sua superfície livre em torno do veio. Contudo, o que se observa

neste caso é que o fluido se eleva até a uma altura apreciável! Este efeito é conhecido

como «efeito de Weissenberg», Figura 1.4.

Figura 1.4 – «Efeito de Weissenberg». Boger e Walters (1993).

O fenómeno descrito resulta do estiramento circunferencial das macromoléculas,

o qual produz um efeito semelhante ao de uma manga elástica capaz de forçar o fluido

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no seu interior a elevar-se. Estas experiências surgem descritas em pormenor em Bird et

al. (1987), sendo aí justificadas de acordo com as equações fundamentais do movimento

de um fluido.

Este comportamento sugere a existência de tensões normais no seio do fluido,

mesmo em escoamentos de corte, como consequência directa do alongamento da sua

extensa estrutura molecular, tensões estas que não se desenvolvem num líquido

newtoniano (em escoamentos de corte simples). A alteração qualitativa da resposta do

fluido devido a estas tensões aconselha a sua caracterização reológica sob este ponto de

vista. No entanto, experimentalmente apenas são quantificáveis as diferenças de tensões

normais, e não as tensões em si mesmo, uma vez que estas são indissociáveis da

pressão.

1.3 Escoamentos de referência A previsão teórica do comportamento de um fluido num dado escoamento apresenta,

para além da complexidade inerente à sua geometria, dificuldades e limitações

relacionadas não só com a caracterização e modelação do fluido em si mesmo, mas

também, e essencialmente, decorrentes da manifesta escassez de soluções analíticas para

as equações fundamentais que regem o seu comportamento dinâmico. Se isto é válido

para fluidos newtonianos, excepção feita a alguns escoamentos clássicos, perfeitamente

estudados, tais como os escoamentos de Couette e de Poiseuille, por maioria de razão, o

mesmo se pode afirmar de fluidos poliméricos (viscoelásticos), em que esta dificuldade

de manipulação teórica (analítica) das equações que regem os campos de velocidade e

tensões surge agravada por equações constitutivas mais complexas. Assim, até à data, o

recurso à via numérica e experimental tem prevalecido.

Ora sendo certo que a maioria dos fluidos sintéticos e biológicos, presentes em

indústrias tão variadas quanto a alimentar, farmacêutica, química, dos plásticos, etc., são

não-newtonianos, resulta por isso incontornável a investigação científica nesta área.

Contudo, a diversidade dos processos industriais que lhes estão associados não

favorece, do ponto de vista do investigador, o recurso a geometrias de escoamento

específicas, uma vez que isto conduziria inevitavelmente a uma dispersão de esforços e

colocaria obstáculos ao desenvolvimento e avaliação objectiva de modelos reológicos

de comportamento de um dado fluido, quer por validação experimental, quer por

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comparação de resultados obtidos numericamente, uma vez estabelecidas soluções de

referência, estando aqui implícita a necessidade de avaliação relativa de diferentes

esquemas numéricos não só no que respeita à precisão alcançada como no que se refere

aos recursos computacionais exigidos (passo prévio ao desenvolvimento e promoção de

qualquer código comercialmente atractivo). É deste modo que ao longo das últimas três

décadas são sugeridas algumas geometrias padrão para teste de modelos reológicos e

avaliação comparativa de novos métodos de cálculo numérico. Entre estes escoamentos

de referência (benchmark flows) contam-se (vide Figura 1.5):

a) Escoamento em contracções/ expansões;

b) Escoamento em torno de um cilindro num canal (entre placas paralelas);

c) Queda de uma esfera em conduta circular;

d) Escoamento interior entre cilindros rotativos excêntricos;

e) Inchamento do extrudido (escoamento com superfície livre).

a) b)

c) d) e)

Figura 1.5 – Escoamentos padrão usados em reologia computacional (benchmark flows)

Estes «escoamentos padrão» são escoamentos complexos em virtude da

combinação de efeitos extensionais e de corte, e do surgimento de zonas de recirculação

(escoamentos secundários). Nalguns casos, por exemplo nas contracções súbitas ou no

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inchamento do extrudido, ocorrem pontos de singularidade (com aumento ilimitado das

tensões aí observadas). Acima de determinados valores dos números de Reynolds e de

Débora, com o surgimento de instabilidades de origem inercial e elástica, estes

escoamentos não apresentam soluções estacionárias. O seu atractivo como objecto de

investigação reside precisamente no facto desta complexidade surgir aliada à

simplicidade geométrica, a qual facilita a análise experimental na obtenção de campos

de velocidade, por anemómetria laser-Doppler (Laser Doppler Anemometry - LDA), e

de tensões, através de técnicas de birrefringência (Flow Induced Birefringence - FIB).

Todos os escoamentos acima referidos são usualmente tratados como problemas

bidimensionais (ou axissimétricos) em regime laminar. A assumpção de escoamento 2D

para além de ser a mais adequada à definição de escoamentos padrão (para comparação

objectiva de resultados) decorre também das limitações inerentes aos recursos

computacionais disponíveis. Já a análise laminar justifica-se por ser este o regime de

escoamento que se observa no processamento industrial de fluidos poliméricos, em

virtude da sua usual elevada viscosidade.

1.4 Estrutura da tese Esta tese encontra-se dividida em sete capítulos. O capítulo 2 apresenta a revisão

bibliográfica realizada com o propósito de contextualizar o tema abordado neste texto.

No capítulo 3, apresentam-se as equações de regem o movimento de um fluido

newtoniano e viscoelástico (modelo UCM) em escoamento laminar isotérmico. Alguns

conceitos reométricos são também abordados aí.

No capítulo 4 o método numérico dos volumes finitos e o procedimento de

cálculo usados são descritos sucintamente, seguindo-se a caracterização das malhas

computacionais. A verificação da convergência de soluções com o refinamento das

malhas é também realizada aqui.

No capítulo 5 procede-se à validação do procedimento numérico comparando

soluções computacionais, relativas a escoamentos newtonianos, com soluções analíticas,

ou numéricas de referência, constantes da literatura científica. No capítulo 6

apresentam-se os resultados que concretizam os objectivos específicos deste trabalho.

Finalmente, no capítulo 7, apresentam-se as principais conclusões desta tese e

algumas sugestões para trabalhos futuros.

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Capítulo 2

Revisão bibliográfica O propósito deste capítulo é o de apresentar algumas das principais referências bibliográficas

associadas ao estudo de escoamentos de fluidos viscosos e viscoelásticos em meio confinado com a

presença de obstáculos cilíndricos de secção circular, objecto de estudo desta tese. Pretende-se assim

justificar a relevância do trabalho proposto enquadrando-o na literatura existente.

2.1 Introdução «Para a maioria dos investigadores, na área da Dinâmica dos Fluidos Computacional, o

escoamento de um fluido newtoniano a baixo número de Reynolds não seria

considerado como um tópico de investigação estimulante. Mas acrescente-se ao fluido

uma quantidade ainda que diminuta de macromoléculas, produzindo-se assim uma

solução polimérica, e a situação é drasticamente alterada (…)» Estas palavras de

Keunings1 reflectem naturalmente o estímulo inerente à complexidade em modelar e

prever padrões intrincados de escoamentos, senão mesmo bizarros, exibidos por fluidos

macromoleculares. A este respeito, dois incontornáveis marcos na literatura científica

(afecta ao estudo de fluidos não-newtonianos) que ilustram precisamente essa

«complexidade» e «bizarria» de comportamentos são as obras: “Dynamics of Polymeric

Liquids” de Bird et al. (1987) e “Rheological Phenomena in Focus” de Boger e Walters

(1993). O primeiro destes livros apresenta-nos um estudo teórico do comportamento

dinâmico de fluidos poliméricos, enquanto que o segundo, de carácter experimental,

revela-nos, através de inúmeros trabalhos de visualização, a singularidade desses

comportamentos.

Contudo, no domínio da reologia computacional nem todos os trabalhos reflectem

esse «estímulo»: Sahin et al. (2004a) estuda o efeito da proximidade das paredes no

escoamento plano, confinado, de um fluido viscoso newtoniano, em torno de um

cilindro. Nesse trabalho analisa-se o efeito das paredes na estabilidade do escoamento,

no número de Strouhal, forças hidrodinâmicas e estrutura da esteira que se desenvolve a

jusante do cilindro em regime instacionário. 1 Nota de palestra: 8º Simpósio Internacional de Dinâmica dos Fluidos Computacional, Bremen, Alemanha, Setembro de 1999.

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Como já foi referido, é objectivo desta tese comparar a resposta de um fluido

newtoniano com a de um fluido viscoelástico descrito pelo modelo convectivo superior

de Maxwell quando em escoamento no interior de um canal rectangular finito com um

obstáculo cilíndrico circular centrado. O recurso ao modelo newtoniano de fluido surge

aqui como necessidade de estabelecer uma referência de comparação na caracterização

da resposta do fluido UCM. Contudo, a natureza tridimensional desta geometria e o

propósito de quantificar o seu efeito sobre o escoamento de modo tão preciso quanto

possível conduziram, em ambos os casos, fluido newtoniano e modelo UCM, a

simulações numéricas de até 3x106 graus de liberdade, razão pela qual também neste

estudo a componente newtoniana acaba por ser dominante, em consequência dos

elevados tempos de cálculo envolvidos nas simulações viscoelásticas.

O volume de cálculo e recursos computacionais exigidos estão sem dúvida entre

as principais razões justificativas da escassez de publicações referentes a estudos

tridimensionais; no livro “Computational Rheology” de Owens e Phillips (2002), uma

obra de referência no domínio da reologia computacional, o reduzido número destes

estudos é patente: de entre as quase 700 referências bibliográficas que aí figuram não

chegam as que se referem a simulações 3-D, sendo somente dois os trabalhos que tratam

escoamentos padrão: Mompean e Deville (1997) – simulação de um escoamento

instacionário do fluido Oldroyd-B através de uma contracção rectangular tridimensional

pelo Método dos Volumes Finitos – e Xue et al. (1998 a,b) sobre o mesmo assunto.

De facto, na pesquisa bibliográfica levada a cabo em bases de dados de

publicações periódicas de referência tais como “Journal of Non-Newtonian Fluid

Mechanics”, “Journal of Fluid Mechanics”, “Journal of Rheology”, e outras, no que

respeita a simulações 3-D, não muito mais foi publicado até ao presente momento; de

entre estes trabalhos refira-se o de Singh e Joseph (2000) acerca da sedimentação de

uma esfera imersa num fluido Oldroyd-B, reofluidificante, na proximidade de uma

parede vertical. A singularidade dos resultados obtidos merece um breve apontamento,

pois ilustram bem a diferença de comportamentos entre fluido newtoniano e

viscoelástico e a importância da tridimensionalidade da geometria de escoamento no

processo de sedimentação. Assim, constatou-se que uma partícula esférica imersa num

fluido viscoelástico se aproxima da parede vertical ao longo do seu trajecto de

sedimentação ao contrário do que sucede quando o meio é newtoniano; este efeito

acentua-se com a reofluidificação do fluido e com o aumento do número de Débora. No

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entanto esta atracção entre parede e partícula em sedimentação, em meios

viscoelásticos, não ocorre quando a sua geometria é cilíndrica, ou seja, na opinião destes

autores, este é um efeito exclusivamente tridimensional.

Recentemente Ryan et al. (2005) estudaram as estruturas tridimensionais de

escoamento que se desenvolvem na esteira de corpos alongados, confinados entre placas

paralelas em meios viscoelásticos, em particular no que respeita à caracterização de

domínios de estabilidade, função dos números de Reynolds e de Débora, e

caracterização dessas mesmas estruturas em regime instacionário, comparando os

resultados obtidos com aqueles que decorrem de uma análise bidimensional.

Contudo, o estudo mais próximo do objecto de análise desta tese é o trabalho

experimental de Verhelst et al. (2004); aí analisa-se experimentalmente o escoamento

de fluidos viscoelásticos em torno de um cilindro disposto simetricamente no interior de

uma conduta rectangular com razão de forma de 8:1 e razão de bloqueio

cilindro/conduta de 1:2. Neste trabalho, também estendido ao escoamento em torno de

um conjunto ordenado de cilindros, é medida a força de arrasto na zona central do

cilindro, sobre 50% da sua extensão, onde aparentemente o efeito das paredes

perpendiculares à direcção neutra (paralela ao eixo do cilindro) sobre o campo de

velocidades (obtido por LDV) é menos significativo. Uma das conclusões deste

trabalho, que desde já importa referir, é a de que o escoamento num canal com esta

razão de forma (ou da mesma ordem de grandeza) não pode ser considerado como

bidimensional, quer se considere todo o domínio de escoamento ou se considere apenas

a zona central referida. De facto, neste estudo pôde observar-se o afastamento das linhas

de corrente relativamente ao plano de simetria, na aproximação ao cilindro. Esta falta de

paralelismo, que se acentua com a diminuição da distância à parede (perpendicular ao

eixo do cilindro), é ainda perfeitamente notória no limite da zona central acima referida,

correspondente a 50% da extensão do cilindro. Em função deste e de outros resultados,

os autores concluíram que a produção experimental de escoamentos 2D exige condutas

rectangulares com razão de forma manifestamente superior a 8:1.

Refira-se ainda que no decurso do trabalho numérico a que se refere o presente

texto se confirmou a existência, sobre o plano de simetria z = 0, de gradientes transversais

de velocidade (segundo a direcção z) significativos o suficiente para que nem mesmo aí,

sobre o plano se simetria, se possa considerar o escoamento como bidimensional.

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2.2 Escoamento em torno de obstáculos imersos D’Alembert, em 1752, pronuncia: «o arrasto sobre um corpo imerso num escoamento

sem fricção interna (fluido ideal) é nulo». Este célebre paradoxo em nada aproveitou

àqueles dedicados à obtenção de soluções de problemas concretos no domínio da

hidráulica e apenas encorajou o afastamento destes, técnicos e engenheiros, dos

teoristas, físicos e matemáticos, no estudo de situações envolvendo o escoamento de

fluidos; os primeiros favoreciam uma abordagem empírica, com intenção meramente

preditiva, e os segundos uma abordagem teórica, com intenção descritiva dos processos

físicos inerentes à dinâmica dos fluidos em escoamento, ainda que alheados da sua

realidade constitutiva ao idealizá-los como invíscidos (viscosidade nula) por

simplicidade de tratamento matemático.

Somente na primeira metade do século XIX, entre 1827, com Navier, e 1845, com

Stokes, é considerada a influência da viscosidade dos fluidos. No entanto, ainda que

com auxílio das equações de Navier-Stokes, até hoje, apenas para um reduzido número

de escoamentos simples foram encontradas soluções analíticas (ainda supondo um

fluido newtoniano).

Todavia, no que respeita a corpos imersos, Stokes (1851) apresenta uma solução

para o escoamento estacionário não confinado em torno de uma esfera, admitindo como

simplificação o desprezar de forças inerciais no seio do fluido, ou seja, o equivalente a

um escoamento a baixo número de Reynolds (creeping flow). Nestas condições a força

de arrasto pode ser obtida a partir da expressão:

6NF RUπ η∞ ∞= (2.1)

Esta solução, equação (2.1), é exacta apenas na situação limite de número de Reynolds

nulo. Este tipo de escoamento é relevante para o estudo do fenómeno da sedimentação

em meios newtonianos de partículas esféricas (ou tidas como tal) de reduzidas

dimensões; nestas condições o escoamento diz-se sob regime de Stokes: ReD <<1.

Já no século XX, Oseen (1910) propõe uma alteração à equação de Stokes de

modo a considerar, ainda que de forma aproximada, efeitos inerciais a baixo número de

Reynolds. Com base na equação de Oseen, Lamb (1932) obtém solução para o cálculo

do arrasto exercido sobre um cilindro em situações de escoamento não confinado a

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baixo número de Reynolds, equação (2.2). Esta é uma solução2 aproximada e de uso

restrito a ReD <1:

( ) 4

0.5 ln 8N

D

UF LRe

∞∞ =

− Ε −π η (2.2)

Esta equação expressa a força de arrasto por unidade de comprimento do cilindro em

escoamento 2-D; Ε representa a constante de Euler (Ε = 0.5771216…).

O passo seguinte na resolução de escoamentos em torno de corpos imersos será

dado por Proudman e Pearson (1957), usando expansões assimptóticas. Todas estas

soluções, no entanto, têm um domínio de validade e aplicabilidade muito restrito:

escoamentos bidimensionais não confinados de fluidos newtonianos a baixo número de

Reynolds.

No que respeita a escoamentos confinados, tais como o da sedimentação de

partículas esféricas na proximidade de paredes ou o escoamento em torno de obstáculos

no interior de um canal, o problema da obtenção de soluções (ainda que aproximadas)

por via analítica é bem mais complexo. Faxen (1923) propõe uma solução assimptótica

para a força de arrasto, NF , exercida sobre uma partícula deslocando-se paralelamente a

uma parede próxima em meio newtoniano e em regime de Stokes. Esta solução,

equação (2.3), resulta da aplicação de um factor de correcção, Kw (função da razão entre

uma dimensão característica da partícula, R, e a sua distância à parede, Rc), ao valor da

força de arrasto em escoamento não confinado, NF∞ . De acordo com Chmielewski et al.

(1990):

( ) ( ) 1

1

N

w Nc c

FKF R R W R R∞

= =−

(2.3)

Nesta expressão, ( )cW R R é uma expansão polinomial infinita (os seis primeiros

termos são potências de grau 0, 2, 4, 5, 7, e 9 em cR R ). De modo análogo, o mesmo

autor, Faxen (1946), apresenta uma solução aproximada para o caso do escoamento em

torno de um cilindro entre placas paralelas a baixo número de Reynolds.

2 Chama-se a atenção para o facto de nesta expressão, equação (2.2), o número de Reynolds, ReD, surgir definido em função do diâmetro e não do raio do obstáculo, ao contrário da formulação usada nesta tese: equação (1.5).

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Contudo, estas soluções revelam-se pouco satisfatórias quando a distância à

parede é relativamente baixa. Considere-se, por exemplo, a razão de bloqueio usada

nesta tese, Β=0.5; na tabela 2.1 figuram alguns dos resultados obtidos por via numérica

quanto ao valor do coeficiente de arrasto, Cd2D (escoamento confinado 2D em torno de

um cilindro).

Tabela 2.1 – Comparação de valores de coeficiente de arrasto: via numérica (diferentes formulações) versus solução de Faxen: Β=0.5. Os resultados numéricos apresentados são, na literatura científica, valores de referência3.

Referências Método (†) Comparação bibliográficas numérico

Cd2D relativa

Faxen (1946) (*) 138.48 1.0464

Liu et al. (1998) MEF 132.34 1

Fan et al. (1999) MEF 132.36 1.0002

Alves et al. (2001) MVF 132.378 1.0003

Kim et al. (2004) MEF 132.354 1.0001

Gerritsma (2006) MEE 132.378 1.0003 (†) MEF – Método dos elementos Finitos; MVF – Método dos volumes finitos; MEE – Método

dos elementos espectrais. (*) Aproximação de Faxen até ao 8º termo: Zisis et al. (2002)

Note-se que a força de arrasto surge aqui normalizada4 por uma força de natureza

viscosa ( ) RL U Rη∝ . Deste modo o coeficiente de arrasto resulta independente do

número de Reynolds (em creeping flow), isto é:

2d DF LC

Uη= (2.4)

Na equação (2.4), a velocidade U que aí figura é a velocidade média5 de escoamento na

conduta, não se referindo agora à velocidade de corrente livre (ou de escoamento não

perturbado, a distância infinita do obstáculo: U∞).

3O número de algarismos significativos de cada um destes valores é aquele que figura nas referências bibliográficas citadas. 4Usualmente na Mecânica dos Fluidos Clássica (newtoniana) a força de normalização é inercial, isto é, proporcional a

2Uρ . Com base nesta formulação dC → ∞ quando 0.Re → Esta normalização é por esta razão desaconselhável a estudos a baixo números de Reynolds. 5Alguns autores, entre estes Verhelst, usam como velocidade característica, na normalização do coeficiente de arrasto e de perfis de velocidade, a velocidade máxima de escoamento desenvolvido a montante do cilindro. Os valores do coeficiente de arrasto assim definidos são menores do que aqueles que figuram na tabela 2.1, apresar da formulação empregue na sua definição ser idêntica: equação (2.4).

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Embora estes valores, propostos por diferentes autores, resultem de formulações

numéricas distintas, as diferenças entre si são inferiores a 0.1% (de facto, 0.03% entre o

maior e menor valores numéricos presentes na tabela 2.1). Já pela correcção de Faxen,

para Β=0.5 (exemplo proposto), resultou um valor de coeficiente de arrasto

aproximadamente 4.6% superior ao maior dos resultados numéricos apresentados. Note-

-se contudo que a qualidade destas soluções numéricas (e de muitas outras não

referidas) não é de modo algum função apenas do valor do arrasto calculado, mas antes

de toda uma variedade de aspectos relacionados com o campo de velocidades e

distribuições de tensões, e com a capacidade de prever, no caso de fluidos

viscoelásticos, a ocorrência na esteira do cilindro de regiões extremamente delgadas

onde as tensões são particularmente elevadas.

Assim, até à data, soluções similares às já referidas, obtidas por via analítica

(ainda que sujeitas a simplificações mais ou menos significativas), não foram ainda

produzidas para o caso do escoamento em torno de um cilindro (ou de outros

obstáculos) em meio viscoelástico, seja em escoamento de corrente livre ou escoamento

confinado. Porém, tal não significa que esta via não esteja a ser explorada. Renardy

(2000) prevê, com o modelo constitutivo convectivo superior de Maxwell (UCM), o

comportamento assimptótico das tensões em certas regiões de escoamento em torno do

cilindro. Contudo, na análise de Renardy o campo de velocidades viscoelástico assume-

se idêntico ao do escoamento newtoniano, ou seja, o campo de velocidades é fixo (pré-

estabelecido), o que poderá afectar profundamente a qualidade dos resultados como de

resto o autor reconhece.

2.3 Escoamentos em torno de um cilindro confinado A simulação numérica, inevitavelmente dependente dos recursos informáticos

disponíveis, inicia-se no final da década de 60. Desde então têm sido propostos diversos

escoamentos padrão (ver página 6) cuja relevância, já abordada no capítulo introdutório,

se resume sucintamente na procura de meios objectivos de teste de modelos reológicos e

de métodos de simulação numérica. Interessam deste modo não só à reologia

computacional mas também à indústria, ao promoverem o desenvolvimento de códigos

comerciais de simulação de processos que envolvam a manipulação de fluidos não-

newtonianos. Pela sua complexidade, estes escoamentos colocam desafios de simulação

que uma vez superados potenciam o grau de confiabilidade em soluções produzidas na

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resolução de escoamentos não padronizados. Uma síntese cronológica retratando a

evolução do estudo computacional do fenómeno da viscoelasticidade, aqui não

efectuada devido à natureza restrita do objecto de estudo desta tese, pode ser encontrada

em Owens e Phillips (2002), Baaijens (1995), ou Alves (2004).

É neste contexto que o estudo do escoamento em torno do cilindro se torna

particularmente atractivo ao aliar à complexidade de simulação a simplicidade

geométrica, sem pontos singulares, e a facilidade de controlo experimental de

resultados. É assim que Brown e McKinley (1994) sugerem este tipo de escoamento

como problema de referência.

Com o propósito de proporcionar uma visão panorâmica, ainda que limitada, dos

diversos aspectos que caracterizam este escoamento, e que em última análise se

constituem como os elementos aferidores da qualidade das soluções numéricas

produzidas, a revisão bibliográfica que se segue surge estruturada em função de alguns

dos tópicos de investigação mais frequentes:

i) Estabelecimento de soluções de referência com diferentes modelos constitutivos de

fluidos viscoelásticos a baixo número de Reynolds. A qualidade dos resultados (campo

de velocidades e distribuição de tensões e pressão) é neste caso essencial, sendo de

especial interesse a obtenção de resultados precisos quanto a coeficientes de arrasto e

perfis de tensões normais sobre o cilindro e na sua esteira, ao longo do plano de simetria

que contém o seu eixo (plano xz). A realização destes estudos a baixo número de

Reynolds (creeping flow), ou mesmo para Re=0 (ausência de inércia), permitem isolar

o efeito da elasticidade sobre o arrasto e perfis de tensões; nestas condições o

escoamento é função apenas do número de Débora e dos parâmetros adimensionais

geométricos. Entre os autores que realizaram este tipo de análise contam-se: Liu et al.

(1998), Fan et al. (1999), Phan-Thien e Dou (1999), Sun et al. (1999), Alves et al.

(2001), Caola et al. (2001), Chauvière e Owens (2001), Owens et al. (2002), Kim et al.

(2004), Gerritsma (2006).

Alguns dos problemas, ou limitações (até à data), encontrados na simulação

numérica deste tipo de escoamento, em particular com os modelos UCM e Oldroyd-B,

resultam da existência de zonas de espessura muito reduzida situadas sobre a superfície

do cilindro e imediatamente a jusante, ao longo da linha central, onde tensão normal τxx

e o gradiente xx yτ∂ ∂ são particularmente elevados e fortemente dependentes do

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número de Débora. De facto, a jusante do cilindro a tensão normal aumenta de tal forma

com o número de Débora, Figura 2.1 (Alves et al., 2001), que, a manter-se essa

tendência, rapidamente o segundo máximo local de tensão excederia o primeiro. No

entanto, até à data, não tem sido possível obter soluções convergentes para números de

Débora superiores a 1 (aproximadamente). Note-se que obtenção de soluções numéricas

capazes de reproduzir adequadamente este tipo de distribuição de tensões, localmente

muito elevadas, impõe o uso de malhas extremamente refinadas nessas zonas, com

consequente aumento do tempo de cálculo e surgimento de dificuldades de

convergência.

Figura 2.1 – Perfis de tensão normal, τxx, obtidos por Alves et al. (2001). É possível observar-se nitidamente que a taxa de aumento do primeiro máximo local de tensão, sobre o cilindro, tende para zero, com o aumento do número de Débora, contrariamente ao que sucede com o segundo máximo local a jusante do cilindro.

As conclusões apresentadas pelos autores acima referidos são qualitativamente

concordantes quanto à evolução da tensão normal τxx com o número Débora; os

resultados sugerem um comportamento assimptótico do seu valor máximo local sobre o

cilindro e evolução exponencial da tensão na linha central a jusante do cilindro, Figura

2.2. Já do ponto de vista quantitativo o mesmo não se pode afirmar, obtendo-se soluções

relativamente díspares (dependentes da malha) quanto ao valor do segundo máximo

local, na zona crítica deste escoamento, para números de Débora superiores a 0.5 – 0.7.

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Alves et al. (2001) ilustra precisamente a influência do grau de refinamento da

malha a jusante do cilindro, obtendo soluções concordantes com as apresentadas por

Fan et al. (1999) a partir de malha especialmente refinada nesta zona (designada de

Wake Refined: WR). Contudo, repare-se que com uma outra malha, M120, globalmente

mais refinada (mas localmente, na esteira do cilindro, com menor grau de refinamento

do que a malha M60 (WR) tal concordância não foi possível6.

Figura 2.2 – Evolução dos máximos de tensão: sobre o cilindro – Máximo 1, e a jusante do cilindro, Máximo 2, de acordo com Alves et al. (2001). Neste gráfico pode observar-se o efeito do refinamento local a jusante do cilindro (zona onde ocorre o 2º máximo): Malha M60 (WR).

As dificuldades encontradas na obtenção de soluções convergentes e confiáveis,

isto é, para as quais se tenha alcançado a convergência das tensões na esteira do cilindro

com o refinamento da malha, com os modelos UCM e Oldroyd-B além de De~1,

constituem um estímulo à exploração de outras técnicas de cálculo. Wapperom et al.

(2005) estudam precisamente as camadas limite de tensão que se desenvolvem sobre o

cilindro e os perfis de tensões normais a jusante, ao longo da linha central, recorrendo a

um campo de velocidades fixo desenvolvido a partir do campo newtoniano. Através de

uma técnica lagrangiana prevêem numericamente a magnitude e tendências das

distribuições de tensões desenvolvidas em camadas limite de espessura muito reduzida

6 A parte numérica presente na designação das malhas empregues por Alves et al. (2001) corresponde ao número de células segundo a direcção radial.

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até números de Débora arbitrariamente elevados. Note-se contudo que este estudo não

trata a resolução do escoamento (campo de velocidades aproximado e pré-estabelecido),

pelo que os resultados obtidos, embora extremamente importantes, aconselham a

alguma reserva, em particular para números de Débora muito elevados (De>>1),

situação em que a influência da elasticidade sobre o campo de velocidades não se

conhece para os modelos analisados: UCM e Oldroyd-B.

No que respeita a valores de coeficiente de arrasto, a obtenção de soluções

convergentes com o refinamento da malha revela-se manifestamente mais confiável e

consensual: Tabela 2.27 e Figura 2.3.

Tabela 2.2 – Valores de referência de coeficientes de arrasto (até De=0.8) para o escoamento 2D em torno de um cilindro entre placas paralelas, modelo (UCM).

Fan et al. Alves et al. Gerritsma Comparação de resultados: De (1999)[1] (2001)[2] (2006)[3] [1] [2] [3]

0 132.36 132.378 132.378 1 1.0001 1.0001 0.010 132.291 132.291 1 1.0000 0.020 131.988 1 0.025 131.988 1 0.050 130.956 130.956 1 1.0000 0.10 127.42 127.400 127.400 1.0002 1 1.0000 0.20 117.83 117.808 117.808 1.0002 1 1.0000 0.30 108.68 108.647 108.647 1.0003 1 1.0000 0.40 101.43 101.385 101.386 1.0004 1 1.0000 0.50 96.11 96.054 96.054 1.0006 1 1.0000 0.60 92.37 92.305 92.305 1.0007 1 1.0000 0.70 89.84 89.767 89.767 1.0008 1 1.0000 0.80 88.18 88.153 88.153 1.0003 1 1.0000 0.90 87.160 87.159 1.0000 1 1.00 87.473 (a) 86.583 1.0103 1 1.10 87.360 (a) 1

(a) MVF, esquema UDS; os restantes valores do mesmo autor foram obtidos com o esquema SMART Métodos numéricos: [1] MVF; [2] MEF; [3] MEE

Note-se que os resultados de coeficiente de arrasto versus número de Débora são

relativamente independentes das distribuições de tensão a jusante do cilindro. Uma

breve leitura gráfica dos resultados obtidos por Fan et al. (1999) e Alves et al. (2001),

7A comparação relativa de resultados, acima, não obedece a qualquer juízo de valor. As referências, base de comparação, identificadas a negrito (valor unitário, inteiro), correspondem, por conveniência de leitura, ao menor dos resultados apresentados pelos diferentes autores para cada número de Débora.

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patentes nas Figuras 2.2 e 2.3, apoia esta conclusão. Por este motivo, e apesar da

relevância destes resultados: redução acentuada do arrasto com o aumento da

elasticidade do fluido (pelo menos até De=0.8 – 1.0), este parâmetro não se revela o

mais adequado à aferição da qualidade da solução numérica no seu todo (Baaijens et al.,

1997, e Fan et al., 1999). O limite acima apresentado de De≅1 refere-se aos modelos

UCM e Oldroyd-B. Com outros modelos de viscoelasticidade este limite é largamente

ultrapassado, observando-se, neste caso, a partir de De=0.8 a 1, um aumento da força

de arrasto sobre o cilindro.

80

90

100

110

120

130

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

Fan. et al. (1999)

Alves et al. (2001)

Gerritsma (2006)

De

Cd2D

Figura 2.3 – Evolução do coeficiente de arrasto com o número de Débora. Escoamento em torno de um cilindro entre placas paralelas, modelo convectivo superior de Maxell (UCM).

Um outro aspecto que tem sido estudado é o do efeito da proximidade da parede

no arrasto exercido sobre o cilindro e sobre a estabilidade do escoamento: Huang (1995)

e Zisis et al. (2002) utilizam o modelo constitutivo de Bingham; Sahin et al. (2004a),

estudam com modelo newtoniano o efeito da parede na estabilidade do escoamento na

esteira do cilindro.

ii) Caracterização dinâmica do escoamento na esteira do cilindro, com fluidos

newtonianos, e não-newtonianos, estes últimos objecto de numerosos estudos recentes

por parte de diferentes autores.

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23

Até aqui falou-se apenas de escoamentos a baixo número de Reynolds, situação

em a inércia é desprezável e o escoamento perfeitamente ordenado; para Re=0, as

distribuições de velocidades axiais (ux) e de tensões de corte, são simétricas

relativamente ao plano [oyz]. A força de arrasto é directamente proporcional à

velocidade de escoamento.

Considere-se agora um aumento contínuo da velocidade do fluido. A partir de

determinado valor do número de Reynolds, ainda em regime estacionário, ocorre

separação do escoamento na proximidade do ponto de estagnação de jusante, formando-

se zonas de recirculação. O surgimento destes escoamentos secundários depende da

razão de bloqueio (análise 2-D) e da elasticidade do fluido. Kim et al. (2004b) estudam

numericamente o comportamento dos vórtices num escoamento inercial de um fluido

FENE-CR (Finite Extensible Nonlinear Elastic) e concluem que a elasticidade diminui

a dimensão da zona de recirculação, embora esta conclusão, de acordo com a opinião

desses autores, não seja consensual: Wapperom (1999), recorrendo a esquemas híbridos

não constata qualquer alteração significativa desta dimensão com a elasticidade do

fluido; Matallah et al. (1998) mostra que a dimensão desta zona de escoamento

secundário depende significativamente dos esquemas numéricos utilizados na

simulação. De facto, nas simulações realizadas no âmbito desta tese, verificou-se a

diminuição do volume de recirculação com a elasticidade por comparação com o que

ocorre com um fluido newtoniano, isto com o modelo UCM. Mas sendo este um estudo

tridimensional, a comparação directa de resultados não pode ser feita senão com alguma

reserva, especialmente porque não foi possível o uso de malhas tão refinadas quanto as

usadas nos estudos bidimensionais já referidos, dada a existência de uma terceira

dimensão.

Acima de determinados valores dos números de Reynolds e de Débora o

escoamento torna-se instável por acção da inércia ou da elasticidade, isoladamente, ou

em resultado do efeito combinado de ambos.

Considerando apenas o efeito da inércia, suponha-se o caso do escoamento não

confinado de um fluido newtoniano em torno de um cilindro infinitamente longo. A

partir de um número de Reynolds8 de aproximadamente 50 o escoamento torna-se

instacionário; na esteira do cilindro surgem vórtices que se libertam periódica e

alternadamente de um e do outro lado do plano de simetria (que contém o eixo do

8Considerando como dimensão característica o diâmetro do cilindro.

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cilindro) cuja forma e frequência dependem do número de Reynolds: esteira de Von

Kármán (1912). Usualmente esta frequência de ejecção de vórtices surge normalizada

sob a forma do número de Strouhal9. Este escoamento instacionário periódico é

bidimensional até números de Reynolds de aproximadamente 190 (com base no

diâmetro). Acima deste valor crítico, os vórtices tornam-se tridimensionalmente

instáveis com diferentes modos de formação em função do número de Reynolds. No

que respeita ao estudo da dinâmica de escoamento, não confinado, na esteira de um

cilindro, Williamson (1996) apresenta uma revisão bibliográfica exaustiva.

Se no caso de instabilidades inerciais, em escoamentos laminares, tem-se

constatado que a viscoelasticidade promove a estabilidade do escoamento, aumentando

o valor do número de Reynolds crítico para o qual essa instabilidade se inicia, Oliveira

(2001), Sahin (2004b), o mesmo não se pode afirmar de escoamentos a baixo número de

Reynolds; experimentalmente, nestas condições de inércia desprezável, observa-se a

existência de um limite superior para o número de Débora acima do qual surgem

instabilidades de escoamento puramente elásticas. McKinley et al. (1993) demonstra-o

com um fluido de Boger (de viscosidade constante); para um número de Reynolds de

apenas 0.05, o escoamento verificou-se instável, ainda que estacionário, quando o

número de Débora alcançou o valor de 1.3, observando-se na esteira do cilindro, na

proximidade do ponto de estagnação, estruturas celulares tridimensionais

periodicamente espaçadas com desenvolvimento paralelo ao eixo do cilindro. Para

De> 1.85, as instabilidades de escoamento tornam-se dependentes do tempo:

escoamento instacionário periódico. A razão de bloqueio constatou-se ser um factor

determinante no surgimento de instabilidades de origem elástica; nesse estudo a gama

de variação da razão de bloqueio situou-se entre os valores de 0.2 e 0.5 (valores

aproximados).

O aparecimento de zonas de escoamento instável de natureza elástica, mesma para

números de Reynolds muito baixos, tem óbvias implicações no processamento

industrial de fluidos poliméricos, sendo por isso uma área de investigação de especial

relevância. Com o objectivo de melhor compreender os mecanismos de formação de

instabilidades no escoamento de fluidos viscoelásticos e eventualmente inibi-los, vários

estudos, experimentais e numéricos, têm sido realizados desde o trabalho experimental

de McKinley (1993); entre os outros autores que abordaram experimentalmente esta

9 Número de Strouhal, St fU D=

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questão contam-se: Chmielewski et al. (1993), Shiang e Öztekin et al. (2000), e por via

numérica: Talwar e Khomami (1995), Oliveira (2001), Sahin (2004b), Oliveira e

Miranda (2005), Ryan e Thompson et al. (2005).

As referências bibliográficas acima indicadas não constituem de modo algum um

ponto de partida para uma revisão exaustiva do tema; o facto de estes autores, e não

outros (uma vez que este é um assunto profusamente estudado) serem aqui referidos é

uma consequência de, na pesquisa bibliográfica efectuada, se ter proporcionado a

consulta directa dos resultados por eles apresentados. Contudo, o aprofundamento

individualizado das conclusões que estes autores propõem não é relevante no âmbito

desta tese, excepção feita ao seguinte aspecto: o de adequar o domínio dinâmico de

simulação, em termos de Re e De, ao domínio de geração da malha. O estudo 3-D deste

escoamento resulta em malhas com uma razão grau de refinamento/ número de células10

desfavorável por comparação com estudos 2-D. Por este motivo, o domínio espacial das

simulações realizadas foi limitado a um quarto do domínio físico de escoamento,

impondo os planos [oxy] e [ozx] como planos de simetria. Ao fazê-lo, houve o cuidado

realizar todas as simulações aquém de condições de escoamento críticas, em termos dos

números de Reynolds e de Débora, de modo a evitar a geração de escoamentos

artificialmente estáveis, ou com estruturas de instabilidade de simetria fictícia.

Ora no que respeita à análise do efeito da elasticidade sobre o escoamento 3-D,

não foi possível obter soluções convergentes (modelo UCM) acima de De=0.5, muito

aquém do limite crítico de elasticidade sugerido na literatura (De ~1). No entanto, para

De=0.5, e para a menor das razões de forma testadas de Α=1 (com o modelo UCM), no

plano de simetria [oxy] o perfil de velocidades exibe uma velocidade média de 1:1.39

quando comparado com o perfil análogo em escoamento desenvolvido bidimensional.

Se esta razão for usada como factor de correcção do número de Débora sobre o plano

central, então o limite superior para o número de Débora nas simulações realizadas

poder-se-á estimar como o equivalente 2-D de De =0.7. Ainda assim, por esta via,

instabilidades de origem elástica não se antecipam; no entanto, esta afirmação deve ser

entendida com alguma reserva devido à escassez de estudos quanto à influência da

elasticidade sobre a estabilidade de escoamentos inerciais com o modelo convectivo

superior de Maxwell.

10Por grau de refinamento entende-se aqui como a menor dimensão linear de uma das células, devidamente normalizada por uma dimensão característica do escoamento.

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Já no que respeita à possibilidade de se dissimularem, a elevados números de

Reynolds, instabilidades inerciais, pela imposição dos planos de simetria [oxy] e [ozx],

produzindo-se assim escoamentos sem realidade física, meros artefactos numéricos,

esse risco era à partida mais evidente uma vez que se pretendia elevar ao máximo a

inércia do escoamento.

Assim, em função dos resultados obtidos por Sahin et al. (2004a), definiu-se

como limite superior de simulação (em termos inerciais) um número de Reynolds de 40,

considerando o raio do cilindro como dimensão característica. Por comparação com o

escoamento não confinado já descrito, este número de Reynolds se expresso em função

do diâmetro é igual a 80, ou seja, manifestamente superior ao valor crítico de ~50 (em

função do diâmetro, ReD) anteriormente referido, sendo ainda mais elevado na zona

central do escoamento 3-D se se considerar a correcção velocidade média

2D: velocidade média 3D (no plano xy) de 1:1.39; neste caso tem-se ReD=111. No

entanto, as paredes do canal 2-D promovem a estabilidade do escoamento até valores

críticos bem mais elevados do que os que se obtêm em escoamento livre. De acordo

com Sahin et al. (2004a), ou Chen et al. (1995), este último valor de ReD=111 ainda se

inclui no domínio de estabilidade. A concordância entre os resultados obtidos por estes

dois autores é notável (Figura 2.4).

No trabalho de Sahin et al. (2004a), analisa-se, pelo método de volumes finitos, o

efeito da proximidade da parede sobre o escoamento que se desenvolve na esteira do

cilindro em condições de inércia elevada; este é um estudo newtoniano bidimensional.

A Figura 2.4 resume graficamente os resultados obtidos: abaixo da curva [AB] (ou

sobre esta), e à esquerda do ponto B, tem-se escoamento estacionário estável com

eventual formação de dois vórtices simétricos na esteira do cilindro para Reynolds

crescentes; acima e à esquerda da curva [ABCD], o escoamento é instacionário,

ocorrendo libertação periódica de vórtices na esteira do cilindro.

Para a razão de bloqueio D/H=0.5, usada nesta tese, Sahin et al. (2004a) propõe

um número de Reynolds crítico de 123.75 (com a malha mais refinada) e Chen et al.

(1995) um valor crítico de 124.58. Em função dos resultados obtidos por estes autores,

supõe-se não se incorrer em problemas de instabilidade de escoamento com o domínio11

de simulação De≤0.5 e Re≤40. Estes a verificarem-se surgiriam seguramente

dissimulados pela imposição das condições de fronteira de simetria já referidas. 11 O domínio de simulação apresentado surge definido de acordo com a velocidade média na secção recta da conduta e considera o raio do cilindro como sendo a sua dimensão característica.

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Figura 2.4 – Regimes de escoamento estacionário função do número de Reynolds crítico (expresso com base no diâmetro do cilindro), Rec, e da razão de bloqueio, β; Sahin et al. (2004a). Nesta figura, Sahin et al. compara os resultados obtidos com Chen et al. (1995).

O objectivo deste trabalho (estudo do escoamento em torno de um cilindro

confinado num canal 3D) consiste pois na caracterização da força de arrasto e do campo

de velocidades em função de parâmetros dinâmicos (Re, De) e geométricos do

escoamento (razão de forma do canal) em regime estacionário. As simulações realizadas

assumiram para cada um destes parâmetros os seguintes domínios: 1/8≤A≤8 (Eq. 1.1);

0≤Re≤40 (Eq. 1.3); 0≤De≤0.5 (Eq. 1.4). Neste estudo, a razão de bloqueamento é

constante: Β =1/2.

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29

Capítulo 3

Equações fundamentais Neste capítulo são apresentadas as equações fundamentais que regem o escoamento de um fluido. A sua

resposta depende ainda das leis constitutivas que modelam o seu comportamento dinâmico, leis estas

dependentes da caracterização reológica do fluido em ensaios padronizados. Assim neste capítulo são

também comparados os modelos constitutivos usados neste trabalho, newtoniano e convectivo superior

de Maxwell (UCM), e respectivas funções materiais.

3.1 Equações de conservação Antes de se apresentarem as equações fundamentais para o cálculo dos escoamentos

abordado neste texto, refira-se que se privilegiou a notação de Einstein12 (ou dos índices

mudos) por se entender ser esta de maior imediatismo físico quando comparada com a

notação vectorial.

A descrição do escoamento de um fluido pressupõe o conhecimento, em cada

instante e posição, da velocidade, estado de tensão, pressão, e temperatura (caso este

não seja isotérmico) a que se encontra sujeito um qualquer ponto material. A velocidade

é uma grandeza vectorial; seja u esse vector: ux, uy, uz serão as componentes que o

definem num referencial cartesiano. Já a tensão, devido à sua definição, é uma grandeza

tensorial que depende não só da posição mas também da orientação do plano sobre o

qual é avaliada; concebendo a forma poliédrica mais simples, a de um tetraedro,

facilmente se intuiu que o determinar da tensão actuante num plano de orientação

arbitrária exige o conhecimento de pelo menos três outras tensões (vectorialmente

definidas e independentes).

Ora uma porção material de dimensões tendencialmente nulas (ponto material)

apresenta grandezas inerciais, tais como massa ou momentos de inércia de massa, de

ordem infinitesimal superior à das forças e momentos nela actuantes, pelo que, no

limite, o equilíbrio dinâmico desse ponto, de acordo com a segunda lei de Newton, se

12 De acordo com esta convenção qualquer termo no qual figurem grandezas assinaladas com o mesmo

índice tem implícito o somatório nesse índice; por exemplo: 00 =∂∂

⇔=∂∂

∑i i

i

i

i

xu

xu

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30

reduz a seis equações de «equilíbrio estático» no espaço. O estado de tensão pode

definir-se assim sob a forma de um tensor desde que se conheçam seis das suas

componentes de tensão, não dependentes entre si. Num referencial cartesiano, o tensor

das tensões, τ , escreve-se,

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

τ τ ττ τ ττ τ τ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

τ (3.1)

Este tensor apresenta de forma ordenada, coluna a coluna, as componentes segundo x, y

e z, das tensões actuantes nas faces de uma porção material paralelepipédica (de volume

infinitesimal), normais às direcções dos eixos coordenados, Figura 3.1, ou seja, o

primeiro índice identifica a face de actuação pela sua normal e o outro a direcção da

tensão actuante. Das nove componentes deste tensor, apenas seis, como já foi referido,

são independentes, sendo idênticas as tensões com índices permutados por imperativo

de equilíbrio de momentos. O tensor é por isso simétrico (admitindo como impossível a

aplicação de binários concentrados num ponto), Aris (1962).

Figura 3.1 – Representação gráfica do tensor das tensões num referencial cartesiano; a convenção de sinais aqui apresentada, e usada neste trabalho, refere-se às acções exercidas pelo fluido envolvente ao volume de controlo sobre aquele presente no seu interior (ver nota 13, pág. 33).

Conclui-se assim que a caracterização do escoamento de um fluido incompressível depende, em cada instante e posição, de três componentes de velocidade: ux, uy, uz, seis componentes de tensão: τxx, τxy, τxz, τyy, τyz, τzz, da pressão, p, e ainda da temperatura, T, ao todo 11 variáveis.

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31

Neste trabalho, bem como na maioria dos estudos efectuados em dinâmica dos

fluidos computacional, CFD (Computacional Fluid Dinamics), com o objectivo de

destrinçar objectivamente efeitos inerciais e elásticos no escoamento de um fluido

polimérico, é habitual a realização de análises isotérmicas. Os escoamentos são por isso

tratados sem que se considere o efeito da temperatura (gradientes térmicos). Trata-se

assim de um imperativo de investigação e não de uma realidade industrial, ao contrário

do pressuposto de incompressibilidade do fluido.

O propósito deste capítulo é, precisamente, o de apresentar as equações que

regem o escoamento, leis físicas e leis constitutivas do fluido, necessárias à

caracterização das 10 distribuições espaciais acima identificadas (de: ux, uy, uz, τxx, τxy,

τxz, τyy, τyz, τzz, p).

Uma primeira lei a considerar, necessária à coerência do campo de velocidades,

será a de conservação de massa; recordando o pressuposto de incompressibilidade do

fluido, esta pode apresentar-se na forma vectorial:

0∇ ⋅ =u (3.2a)

ou, de acordo com a notação de Einstein, num referencial cartesiano, escrever-se como:

0=∂∂

i

i

xu

(3.2b)

sendo o índice i relativo aos eixos coordenados desse referencial (i=x,y,z). Esta

equação (3.2b) expressa, por unidade de volume, a igualdade entre os somatórios dos

caudais volúmicos (escoamento incompressível) que atravessam as faces da geometria

representada na Figura 3.1, num e noutro sentidos (para o interior ou exterior do

volume elementar), quando as suas dimensões tendem para zero.

A determinação do campo de velocidades sugere, naturalmente, o recurso à

segunda lei de Newton. No caso do estudo do movimento de um fluido, esta lei traduz-

se, na forma vectorial, pela equação de conservação de quantidade de movimento (3.3a)

pt

ρ ρ∂⎛ ⎞+ ⋅ = − + ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠τu u u g∇ ∇ ∇ (3.3a)

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32

Esta equação vectorial pode desdobrar-se em três equações escalares de

equilíbrio, segundo os eixos coordenados de um qualquer referencial. Assim, de acordo

com a convenção de Einstein, num referencial cartesiano, a equação escalar de

equilíbrio segundo a direcção i (com i=x,y ou z) escreve-se:

i i kik i

k i k

u u pu gt x x x

τρ ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂

+ = − +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.3b)

Nesta forma, o significado físico da equação (3.3) é, talvez, mais tangível. Considere-se

uma vez mais a geometria elementar representada na Figura 3.1, e multiplique-se a

equação (3.3b) pelo volume seu infinitesimal, dV=dxdydz; os termos presentes no

segundo membro representam, da esquerda para a direita: a força gravítica actuante no

ponto material, não considerada neste estrudo; o balanço de forças de pressão segundo

a direcção i; e o somatório dos balanços das forças actuantes em pares de faces normais

às direcções k=x ,y ,z , resultantes de tensões com componente segundo i devidas à

interacção molecular no seio do fluido. O primeiro membro desta equação reflecte

simplesmente a força de inércia por unidade de volume a que se encontra sujeito o

ponto material; a aceleração surge expressa pela derivada substantiva da velocidade

(neste caso segundo i). Esta equação pode assim ser entendida, à luz da segunda lei de

Newton, como um balanço de forças por unidade de volume.

Às equações vectoriais (3.2) e (3.3) correspondem, como foi visto, 4 equações

escalares, no entanto, ainda insuficientes à resolução de um escoamento. Falta pois

caracterizar a resposta do fluido, isto é, encontrar leis constitutivas que permitam

relacionar o estado de tensão com o campo de velocidades. No caso de fluidos

constituídos por pequenas moléculas a lei da viscosidade de Newton é normalmente

aplicável, equação (1.1) anteriormente apresentada; a sua generalização a um qualquer

referencial cartesiano conduz à forma vectorial:

τ =2ηD= ( ){ }η Τ∇ + ∇u u (3.4a)

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33

O tensor, D, é o tensor velocidade de deformação e a expressão entre parêntesis

corresponde ao tensor taxa de deformação. A componente de tensão τ i j depende assim,

em termos genéricos, de dois gradientes de velocidade:

τ i j=2ηD i j = ji

j i

uux x

η⎛ ⎞∂∂

+⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.4b)

A linearidade entre tensão e velocidade de deformação, exibida por fluidos ditos de

newtonianos, conduz, por substituição da equação (3.4) na equação de conservação de

quantidade de movimento (3.3), à equação de Navier-Stokes

2pt

ρ ρ η∂⎛ ⎞+ ⋅ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠u u u g u∇ ∇ ∇ (3.5a)

ou, considerando a sua componente escalar segundo a direcção i,

i i ik i

k i k k

u u upu gt x x x x

ρ ρ η⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂

+ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.5b)

Relembra-se que todas as equações acima apresentadas são válidas apenas

enquanto o escoamento se puder considerar incompressível. A convenção de sinais

implícita nas equações (3.3) a (3.5), a manter ao longo deste texto, surge representada

na Figura 3.113.

Com base nesta equação e na equação de conservação de massa, e apenas no caso

de fluidos newtonianos, seria possível resolver directamente um escoamento em ordem

ao campo de velocidade e pressão e, posteriormente, através da lei constitutiva (3.4),

obter as distribuições espaciais de tensões, necessárias, por exemplo, ao cálculo de

perdas de carga ou do arrasto em corpos imersos.

13 Chama-se a atenção para o facto de alguns autores usarem uma convenção distinta, considerando como positivos os sentidos simétricos dos aqui apresentados, que estão de acordo com a abordagem da Mecânica (dos Fluidos) clássica, ou melhor, considerando os mesmos sentidos positivos mas associando- -os agora à acção exercida pelo fluido no interior do volume de controle sobre o fluido no seu exterior. A ser usada esta convenção a equação constitutiva (3.4) escrever-se-ia: τ=–2ηD, surgindo assim na mesma forma que outras leis de fluxo, como a lei de Fourier, da condução de calor, ou a lei de Fick, de fluxo da massa (Bird et al., 1987).

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34

Contudo, as leis constitutivas na generalidade dos fluidos não-newtonianos não

são uma função explícita do tensor velocidade de deformação. Isto associado ao facto

de apenas alguns problemas não triviais com relevância industrial, tais como os

escoamentos de Couette e de Poiseuille (seja ou não o fluido newtoniano),

apresentarem solução analítica, obriga à simulação numérica do escoamento com base

em 10 equações em derivadas parciais (se este se assumir isotérmico e incompressível),

às quais correspondem 10 graus de liberdade por célula da malha aplicada sobre a

geometria de escoamento (simulações tridimensionais).

A qualidade dos resultados obtidos depende pois da adequação e capacidade

descritiva dos modelos constitutivos desenvolvidos para os diferentes fluidos não-

newtonianos. Para tal é necessária uma eficaz caracterização reológica do fluido.

3.2 Funções materiais de fluidos poliméricos A caracterização qualitativa, sucinta, apresentada no capítulo introdutório pretendeu

evidenciar a inadequação da lei de Newton da viscosidade, equações (1.1) ou (3.4), na

descrição do comportamento de um fluido viscoelástico. Como caracterizar então estes

fluidos? Um primeiro passo será naturalmente o de tipificar qualitativamente o seu

comportamento em função do tipo de escoamento.

Da leitura das equações de Navier-Stokes, acima descritas, conclui-se, no caso de

fluidos newtonianos incompressíveis, que as propriedades do fluido que influem, ou

afectam, o seu escoamento numa dada geometria se resumem (em regime laminar) a

duas constante materiais: a massa volúmica, ρ, e a viscosidade, η. Repare-se que este

escoamento é função apenas do número de Reynolds, uma vez que as forças em

presença são de natureza inercial e viscosa. O mesmo não sucede, no entanto, com um

fluido polimérico.

Ora se existem inúmeros procedimentos experimentais para determinação da

viscosidade para um fluido newtoniano, já no que respeita a líquidos poliméricos a sua

caracterização experimental é bem mais complexa, uma vez que, neste caso, não se

possui uma equação para o tensor das tensões análoga à lei de Newton, equação (3.4);

não se sabe por isso que outras «propriedades» é necessário aferir. No entanto, da

tipificação qualitativa da resposta do fluido em diferentes condições de escoamento

sabe-se, por exemplo, que da avaliação da viscosidade num viscosímetro não resultará

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35

necessariamente uma constante, uma vez que os fluidos poliméricos exibem quase

sempre um comportamento reofluidificante. Já o efeito de Weissenberg – referido no

capítulo introdutório –, e outros, sugerem a necessidade de quantificar as diferenças de

tensões normais desenvolvidas no seio do escoamento. Do mesmo modo, a retracção

elástica exibida por estes fluidos sugere que experiências em regime instacionário

poderão fornecer informações úteis.

Assim, de toda uma variedade de experiências levadas a cabo com fluidos não-

newtonianos resultará um conjunto de funções materiais, dependentes de taxas de

deformação, de frequências de solicitação, tempo, etc., úteis não só do ponto de vista da

sua classificação como necessárias à quantificação de parâmetros a usar nas diferentes

equações constitutivas destes fluidos não-newtonianos.

3.2.1 Funções materiais em escoamentos de corte estacionários

Considere-se o escoamento de Couette ilustrado na Figura 3.2. Este simples escoamento

laminar de corte, produzido pelo movimento relativo entre duas placas paralelas,

caracteriza-se, do ponto de vista cinemático, por:

( )

0==

==

zy

x

uu

UHyyuu

(3.6)

Figura 3.2 – Escoamento e corte estacionário provocado pelo movimento relativo de duas

placas paralelas com afastamento H. A placa inferior encontra-se fixa.

Em regime de escoamento estacionário, o campo de velocidade (3.6) é independente do

tipo de fluido. No entanto, o mesmo já não ocorre com o campo de tensões:

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36

i) Se o fluido for newtoniano, apenas uma componente de tensão será não nula; de

acordo com o referencial exibido na Figura 3.2, o estado de tensão, função da lei da

viscosidade de Newton, é definido por

γητ =xy (3.7)

A taxa de deformação, HU

yu

=∂∂

=γ , é constante em todo o domínio de escoamento;

ii) Se o fluido for viscoelástico, o estado de tensão, para além da componente de tensão

tangencial, xyτ , apresenta também tensões normais não nulas quantificáveis apenas

como as diferenças de tensões normais yyxxN ττ −=1 e zzyyN ττ −=2 . A existência

destas tensões revela-se desde logo pelo surgimento de uma força normal capaz de

afastar as placas, tensões estas dependentes da taxa de deformação. Para além desta

resposta do fluido, sabe-se também que a maioria dos fluidos não-newtonianos não

apresenta viscosidade constante em ensaios viscosimétricos. Assim, o estado de tensão é

agora caracterizável como:

( )xyτ τ γ= (3.7a)

( )1xx yy Nτ τ γ− = (3.7b)

( )2yy zz Nτ τ γ− = (3.7c)

A cada uma destas equações (3.7a,b,c) estão associadas, respectivamente, as

seguintes funções materiais:

Viscosidade de corte

Considerando a forma da lei da viscosidade de Newton, equação (1.1), a viscosidade de

corte (ou viscométrica), η , define-se como função da taxa de deformação

( ) ( )γ

γτγη xy= (3.8)

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37

A maioria dos fluidos não-newtonianos exibe um comportamento reofluidificante,

apresentando dois patamares de viscosidade constante, a baixas e elevadas taxas de

deformação, e uma vasta zona intermédia com viscosidade fortemente decrescente, de

um factor que pode alcançar quatro décadas, com o aumento da taxa de deformação.

Diferença de tensões normais

Os coeficientes da primeira e segunda diferença de tensões normais, respectivamente,

1Ψ e 2Ψ , são também função da taxa de deformação, definindo-se como quociente

entre a diferença de tensões normais, N1 ou N2, e o quadrado da taxa de deformação,

( ) ( )11 2 2

xx yyN τ τγγ

γ γ−

Ψ = = (3.9a)

( ) ( )22 2 2

yy zzN τ τγγ

γ γ−

Ψ = = (3.9b)

Estas funções materiais têm por argumento a taxa de deformação, uma vez que esta,

neste escoamento, é constante e independente do tipo de fluido.

Nesta tese apenas se recorreu ao modelo convectivo superior de Maxwell (UCM)

para simular a resposta elástica de um fluido viscoelástico em escoamento em torno de

um cilindro colocado no interior de uma conduta rectangular finita. Este modelo que

apresenta uma viscosidade de corte constante, coeficiente da primeira diferença de

tensões normais constante, e o segundo coeficiente da diferença de tensões normais

nulo.

3.2.2 Funções materiais em escoamentos de corte oscilatórios

Um ensaio oscilatório caracteriza-se pela imposição de um escoamento periódico entre

duas superfícies paralelas, relativamente próximas, uma das quais sujeita a um

movimento oscilatório sinusoidal de frequência angular ω. Com este ensaio pretende-se

caracterizar o fluido quanto à sua capacidade elástica, ou de armazenamento de energia,

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38

através da quantificação experimental dos módulos de elasticidade, G´, e de dissipação,

G´´, entendendo-se por módulo de elasticidade a grandeza G´ tal que:

Gτ γ′= (3.10)

sendo γ a deformação adimensional. O módulo de dissipação a grandeza G´´ define-

se de tal modo que

G γτω

′′= (3.11)

sendo ωγ / a taxa de deformação adimensional.

Num sólido de Hooke, perfeitamente elástico, a aplicação de uma tensão

sinusoidal do tipo,

( )0 sin tτ τ ω= (3.12)

de amplitude τ0 e frequência angular ω, resulta numa resposta de deformação γ em fase

com a solicitação imposta, uma vez que neste caso a tensão é directamente proporcional

à deformação, ou seja,

( )0 sin tγ γ ω= (3.13)

Do mesmo modo, um fluido dir-se-á perfeitamente elástico se neste se observar o

mesmo comportamento. Por outro lado, se da aplicação da lei de tensão anterior

resultasse uma resposta em deformação do tipo,

( )0 cos tγ γ ω= (3.14)

poder-se-ia inferir sobre o fluido um comportamento completamente dissipativo, pois

nestas condições a tensão seria directamente proporcional à taxa de

deformação dtd /γγ = . Ora um fluido viscoelástico num ensaio oscilatório, com

imposição da deformação sinusoidal ( )0 sin tγ γ ω= e, consequentemente, taxa de

deformação

( )0 cos tγ ωγ ω= (3.15)

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39

revela uma resposta em tensão desfasada da solicitação imposta, função única da

frequência angular de oscilação, do tipo

( ) ( )0 sin tτ τ ω ω δ= + (3.16)

Desenvolvendo esta última expressão, obtém-se

( ) ( )0 00 0

0 0

cos sinsin cost t

γ γ

τ δ τ δγ ω ωγ ωγ ωγ

+ (3.17a)

Nesta equação (3.17a) destacam-se duas componentes: a primeira destas em fase com a

deformação, e por isso dita de elástica, e a outra em fase com a taxa de deformação e

por isso designada de dissipativa. Recordando os conceitos de módulo de elasticidade,

G’, e de módulo de dissipação a grandeza, G’’, implícitos nas equações (3.10) e (3.11),

a equação acima pode reescrever-se de forma mais compacta como:

GGτ γ γω

′′′= + (3.17b)

sendo

0

0

cosG τ δγ

′ = (3.18a)

e

0

0

sinG τ δγ

′′ = (3.18b)

Para um sólido perfeitamente elástico, G’ coincide com o módulo de elasticidade

presente na lei de Hooke, sendo neste caso nulo o módulo de dissipação G’’. Pelo

contrário, para um fluido newtoniano verifica-se G’ nulo e G’’ igual à viscosidade η do

fluido.

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40

3.2.3 Funções materiais em escoamentos extensionais

Um escoamento extensional simples (uniaxial) caracteriza-se pelo alongamento

contínuo de uma porção de fluido segundo uma determinada direcção, Figura 3.3.

Nestas condições, as tensões de corte serão nulas em planos normais aos eixos

coordenados de um referencial alinhado com a deformação imposta.

x y

z

F

F

R(t)

L(t)

S(t)

Figura 3.3 – Escoamento extensional simples provocado pela acção de tracção exercida pela

força F (t) sobre um filamento de fluido.

Este escoamento elongacional simples caracteriza-se pelo campo de velocidades:

xu xε= (3.19a)

12yu yε= − (3.19b)

12zu zε= − (3.19c)

Em coordenadas cilíndricas, a componente radial de velocidade é:

2 2 12r y zu u u rε= + = − (3.20)

Neste escoamento a taxa de extensãoε assume-se constante. No entanto, a

realização experimental de escoamentos extensionais controláveis é complexa. Desde

logo, o processo tracção de um filamento que a Figura 3.3 representa esquematicamente

não é praticável com amostras de fluido de baixa viscosidade.

F (t)

F (t)

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41

Vários outros processos têm sido desenvolvidos, baseados, por exemplo, na fiação

de um fio de fluido (spinning), ou na geração de escoamentos convergentes, entre

muitos outros, Whorlow (1991). Contudo, estes processos, ao contrário da extensão

uniaxial de um filamento de fluido, apresentam grandes dificuldades de realização em

condições controláveis de taxa de extensão, produzindo por isso resultados ambíguos.

Mas o escoamento extensional simples não está isento de dificuldades. A partir da

definição de deformação ,ε e consequentemente de taxa de deformação ,ε

( ) ( )Lt

L tδε = (3.21a)

( ) ( ) ( )1t L tL t t

ε ∂=

∂ (3.21b)

é possível concluir-se, por integração (assumindo-seε constante), que o comprimento L

e raio R da amostra variam exponencialmente com o tempo, o que coloca algumas

dificuldades de ensaio,

( ) ( )

0

expL t

tL

ε= (3.22a)

( )

0

exp2

R tt

Rε⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.22b)

Note-se que a expressão (3.22b) mais não é do que a equação (3.22a) reescrita tendo em

conta a conservação de volume da amostra: ( ) ( )( )

2 20 0L t R t L R=

A primeira diferença de tensões normais obtém-se, em determinado instante, a

partir do quociente entre a força de tracção F exercida sobre a amostra e a área S da sua

secção recta; tendo presente a equação (3.22b) tem-se,

( )

20

expxx rr

F tFS R

ετ τ

π− = = (3.23)

A partir desta diferença de tensões é possível definir-se uma nova função material, a

viscosidade extensional do fluido.

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42

Viscosidade extensional uniaxial

Assim, uma das funções materiais obtidas por este ensaio é a viscosidade extensional,

uniaxial, ηE, definida por,

( ) xx rrE

τ τη εε−

= (3.24)

Frequentemente esta viscosidade surge normalizada pela viscosidade de corte a taxa de

deformação nula, η0, sob a forma da razão adimensional de Trouton, Tr,

0

ETr ηη

= (3.25)

Repare-se na analogia entre esta viscosidade e a viscosidade de corte definida pela

equação (3.8). Também aqui, um fluido newtoniano exibe uma viscosidade extensional

independente da taxa de deformação elongacional; recordando a lei constitutiva

newtoniana, equação (3.4) (nessa expressão η=η0), de acordo com as equações (3.24) e

(3.25) rapidamente se conclui, no caso de um fluido newtoniano, ser a razão entre a

viscosidade extensional e viscosidade de corte Tr=3. Este valor pode ser largamente

superado no caso de fluidos poliméricos, os quais exibem uma viscosidade elongacional

dependente da taxa de extensão.

3.3 Modelos constitutivos não-newtonianos 3.3.1 Modelo de fluido newtoniano generalizado

Este modelo é uma simples extensão da lei da viscosidade de Newton, equação (3.4), e

tem por objectivo modelar empiricamente o comportamento não-newtoniano exibido

por fluidos com viscosidade de corte dependente da taxa de deformação (viscosidade

não-newtoniana). Assim, recorrendo a ensaios reométricos de corte, determinada a

função material viscosidade de corte, ( )η γ , definida pela equação (3.8), a lei

constitutiva newtoniana (equação 3.4) é simplesmente actualizada sob a forma geral,

( ) ( ) jiij ij

j i

uux x

τ η γ γ η γ⎛ ⎞∂∂

= = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.26)

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43

Num escoamento genérico, coloca-se a questão: como definir de modo invariante

(independente do referencial) a taxa de deformaçãoγ , presente na equação (3.26), uma

vez que qualquer um dos componentes ijγ do tensor taxa de deformaçãoγ (=2D ,

equação 3.4a) depende do referencial? De acordo com Bird et al. (1987), o escalarγ ,

representativo da magnitude do tensorγ , define-se a partir do segundo invariante deste

mesmo tensor, ( ) ,II γ sob a forma:

( )1 12 2 ij ji

i jIIγ γ γ= = ∑∑γ (3.27)

Existem diversos modelos newtonianos generalizados, sendo os mais conhecidas os

seguintes:

Lei de potência, Ostwald (1925),

( ) 1nKη γ γ −= (3.28)

Modelo de Sisko (1958),

( ) 1nKη γ η γ −∞= + (3.29)

Modelo de Cross (1965),

( ) 1

0

1 nη γ ηαγ

η η−∞

−⎡ ⎤= +⎣ ⎦−

(3.30)

Modelo de Carreau (1972),

( ) ( )( )1 22

0

1nη γ η

γη η

−∞

− ⎡ ⎤= + Λ⎣ ⎦− (3.31)

Modelo de Carreau-Yasuda, Yasuda et al. (1981),

( ) ( )( )1

0

1n aaη γ η

γη η

−∞

− ⎡ ⎤= + Λ⎣ ⎦− (3.32)

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44

Nestes modelos, K e n correspondem, respectivamente, aos índices de

consistência e de lei de potência, representando K a viscosidade do fluido para um

determinado nível de taxa de deformação e n o grau de fluidificação do fluido14;

excepção feito ao modelo de Cross, em todos os outros, se n <1, o fluido é

reofluidificante e, pelo contrário, se n> 1, reoespessante; para n=1 o fluido exibe

viscosidade constante, caso em que o modelo de fluido newtoniano generalizado se

reduz à lei constitutiva de Newton. Os parâmetros: η0 e η∞ representam patamares de

viscosidade constante em condições de escoamento a reduzidas e elevadas taxas de

deformação, respectivamente. Repare-se que a lei de potência, equação (3.28), embora

atractiva pela sua simplicidade, apresenta algumas limitações: a viscosidade aumenta

indefinidamente quando a taxa de deformação tende para zero; e a viscosidade é

tendencialmente nula em situações de escoamento com taxas de deformação

particularmente elevadas; o parâmetro Λ, dimensionalmente um tempo característico do

fluido, determina o valor de taxa de deformação a partir do qual existe fluidificação

apreciável.

O modelo de Carreau-Yasuda15 é uma extensão do modelo de Carreau, e inclui,

do ponto de vista da generalidade, todos os outros apresentados: equações (3.28) a

(3.31). Muitos outros modelos empíricos existem, alguns deles formulados em função

da tensão e não da taxa de deformação, tais como os modelos de Ellis ou de Bingham;

ver Bird et al. (1987). No entanto, a abordagem empírica de fluido newtoniano

generalizado tem um domínio de aplicabilidade limitado, uma vez que o efeito das

tensões normais e o historial de deformação não são considerados na resposta elástica

que um fluido polimérico pode exibir em diferentes condições de escoamento. Todavia,

em escoamentos estacionários de corte muitos dos modelos constitutivos viscoelásticos

reflectem o modelo de fluido newtoniano generalizado no que respeita à dependência

entre gradiente de pressão e caudal (cálculo de perdas de carga em escoamentos

desenvolvidos); este é o caso do escoamento em condutas rectilíneas de secção recta

constante. Mesmo em condições não compatíveis com as referidas, este tipo de

abordagem, pela sua simplicidade, tem sido usada quando os efeitos elásticos não são

significativos, isto é, abaixo de um determinado valor crítico do número de Débora.

14 Valores típicos para este parâmetro situam-se ente 0.5 e 1 (Bird et al., 1987). 15 O parâmetro a permite um melhor ajuste na transição do patamar de viscosidade constante, η0, para a zona de lei de potência; no limite, quando a → ∞ , a esta transição seria súbita: graficamente surgiria um vértice.

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45

vη=τ γ eG=τ γ

3.3.2 Modelo convectivo superior de Maxwell

Este modelo constitutivo proposto por Maxwell16 (1867) corresponde à primeira

tentativa de idealização de um fluido viscoelástico. Ao entender o comportamento

destes fluidos como simultaneamente viscoso e elástico, Maxwell define empiricamente

a sua lei constitutiva através de uma analogia com um sistema mecânico

mola/amortecedor, Figura 3.4.

τ τ

Figura 3.4 – Modelo mecânico equivalente de um fluido de Maxwell.

A resposta deste sistema mecânico a velocidades de deformação reduzidas é

dissipativa, com a intervenção quase exclusiva do amortecedor, ( ) 0e v eγ γ γ+ ≅ ,

simulando-se deste modo a resposta viscosa do fluido. Pelo contrário, uma súbita

solicitação fará intervir a mola sem que o amortecedor tenha a capacidade de ceder

alguma dessa deformação, ( ) 1e v eγ γ γ+ ≅ ; o amortecedor endurece face à rapidez da

solicitação: a resposta é puramente elástica.

A lei constitutiva deste fluido, que relaciona a tensão τ e taxa de deformação ,γ

resulta da descrição do processo físico de deformação do sistema mecânico análogo

(Figura 3.4); ora considerando a deformação total v eγ γ γ= + tem-se a taxa de

deformação:

v eγ γ γ= + (3.33a)

Tendo presente que neste sistema mecânico ambos os componentes estão sujeitos à

mesma tensão v eGτ η γ γ= = , então,

1e G t

τγ ∂=

∂ (3.33b)

16 Com este modelo, Maxwell não pretendia sugerir um modelo físico de um líquido polimérico, mas sim descrever o comportamento dos gases, que ele pensava serem viscoelásticos, e não propriamente.

η

G

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46

Substituindo a velocidade de deformação elástica, equação (3.33b), na expressão

(3.33a), e reduzindo a equação resultante à forma dimensional de uma tensão (pela

multiplicação desta equação pela viscosidade η do fluido) obtém-se a lei constitutiva de

Maxwell:

tττ λ η γ∂

+ =∂

(3.34a)

O parâmetro Gλ η= representa o tempo de relaxação de Maxwell. É este o tempo

característico de resposta de um fluido viscoelástico que figura na definição do número

de Débora, equações (1.2) ou (1.6).

Refira-se que as equações acima têm implícito um simples escoamento de corte

rectilíneo; a geometria e o referencial podem observar-se na Figura 3.2. Neste caso a

tensão é ,xyτ τ= e a correspondente taxa de deformação .xyγ γ=

Numa primeira abordagem, a generalização deste modelo constitutivo a diferentes

condições de escoamento sugere a forma tensorial:

DDt

λ η+ =ττ γ (3.34b)

No entanto, esta forma não é válida por violar as condições de admissibilidade de

formulação de leis constitutivas, Oldroyd (1950), uma vez que a derivada substantiva do

tensor das tensões, D D ,tτ resulta, de acordo coma sua definição17, dependente do

referencial em que os campos de velocidade e tensões são descritos. Assim, Oldroyd

propõe que a formulação de uma equação constitutiva seja independente: do sistema de

referência; da posição no espaço, e movimentos de translação e rotação de uma partícula

de fluido; e da tensão e deformação na vizinhança desse ponto material (excepto no que

respeita à continuidade da velocidade e tensões). Estas condições implicam o uso de um

sistema de coordenadas convectivo, isto é, embebido no fluido e deformando-se com

ele. Neste tipo de referencial, proposto pela primeira vez por Hencky (1925), as

coordenadas de um qualquer ponto material são fixas e independentes do tempo; veja-se

Bird et al. (1987). Da transformação do sistema coordenado convectivo para um 17 Para um fluido incompressível, a derivada substantiva de τ toma a forma:

DuiDt t xi

∂ ∂= +

∂ ∂

τ τ τ

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47

referencial inercial cartesiano resulta a derivada convectiva superior do tensor das

tensões:

( ) ( ){ }T(1)

DDtt

δδ

= = = − ⋅ ∇ + ∇ ⋅τττ τ τ τu u (3.35)

Assim, a generalização do modelo de Maxwell, agora designado de modelo convectivo

superior de Maxwell, toma a forma tensorial,

( ){ } ( ) ( ){ }

T T

tλ η λ∂⎛ ⎞+ + ∇ ⋅ = ∇ ∇ + ⋅ ∇ + ∇ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠

ττ τ τ τu u + u u u (3.36a)

Dada a simetria do tensor das tensões, e do tensor taxa de deformação, esta equação

vectorial pode ser desdobrada em seis equações escalares que relacionam o elemento

genérico de tensão τij com os gradientes de velocidade através da equação diferencial,

ij k ij j ji iij jk ik

k j i k k

u u uu ut x x x x x

τ ττ λ η λ τ τ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.36b)

Se o tempo de relaxação for nulo, a equação acima reduz-se à lei constitutiva

newtoniana: equação (3.4).

A este modelo constitutivo estão associadas as seguintes funções materiais:

Escoamento de corte estacionário

( )η γ η= (3.37a)

( )1 2γ ληΨ = (3.37b)

( )2 0γΨ = (3.37c)

Escoamento dinâmico de corte

( )( )

2

21G ηλωω

λω′ =

+ (3.38a)

( )( )21

G ηωωλω

′′ =+

(3.38b)

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48

Escoamento elongacional estacionário

( ) ( )( )3

1 1 2Eηη ε

λε λε=

+ − (3.39)

Note-se que em condições de escoamento de corte estacionário a tensão normal

τxx é proporcional ao quadrado da taxa de deformação. O quociente entre esta tensão e a

tensão de corte (que dominaria o escoamento caso o fluido fosse newtoniano) é igual a

2 .λγ No caso do escoamento de referência em estudo, isto reflecte-se na manifesta

dependência entre perfil de tensão τxx e elasticidade do fluido (traduzida de forma

adimensional pelo número de Débora) observável sobre a superfície do cilindro (Figura

2.1). Repare-se também que a viscosidade elongacional tende para infinito quando a

taxa de extensão se aproxima do valor ( )1 2ε λ= . Esta resposta em escoamento

extensional constitui uma das limitações do modelo UCM.

Assim, embora a simplicidade deste modelo viscoelástico seja atractiva, este não

se revela o mais adequado à modelação do comportamento da maioria dos fluidos

viscoelásticos: não reproduz o efeito da segunda diferença de tensões normais; não

exibe reofluidificação; e não tem um comportamento fisicamente viável em

determinadas condições de escoamento elongacional. O fluido viscoelástico que mais se

aproxima deste modelo é o fluido de Boger (de viscosidade constante). Contudo,

numericamente é aquele que apresenta maiores dificuldades de manipulação,

constituindo-se, desse ponto de vista, como um desafio, daí o seu uso frequente para

desenvolvimento de métodos numéricos em reologia computacional e para estudar as

suas limitações.

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49

Capítulo 4

Método numérico

Neste capítulo apresenta-se de forma sumária o método dos volumes finitos utilizado neste trabalho. As malhas computacionais 3D usadas são também aqui caracterizadas. Finalmente será referido o processo de verificação de convergência de resultados com o grau de refinamento da malha.

4.1 Método dos volumes finitos Não é objectivo deste capítulo discutir com profundidade o método numérico de

cálculo. O conteúdo desta tese resume-se à extensão do seu uso na simulação de

escoamentos tridimensionais em torno de um cilindro, escassamente estudados até à

data. No decurso deste trabalho o código não foi alterado, a menos de alterações

pontuais necessárias para o processamento de resultados. Para uma análise detalhada do

método numérico aconselha-se a consulta dos trabalhos de Oliveira et al. (1992),

Oliveira et al. (1998), Alves et al. (2003) e Alves (2004).

As equações que governam o escoamento incompressível isotérmico de um fluido

UCM18, continuidade, conservação da quantidade de movimento e equação constitutiva,

expressam-se na forma (usando a notação de Einstein)

0i

i

ux

∂=

∂ (4.1)

j i iji

j i j

u uu pt x x x

ρ τρ ∂ ∂∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ ∂ (4.2)

ij k ij j ji iij ik jk

k k k j i

u u uu ut x x x x x

τ ττ λ λ τ τ η

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.3)

A descrição da malha no referencial cartesiano implícito nas equações acima

resultaria complexa para qualquer geometria de escoamento não rectangular. Assim, a

malha é definida num sistema de coordenadas generalizado não ortogonal. As equações

18 Este modelo reduz-se à lei constitutiva newtoniana fazendo nulo o tempo de relaxação (λ=0).

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50

(4.1) a (4.3) são por isso transformadas do referencial cartesiano para este sistema de

eixos não ortogonais. Deste modo a aplicação do método dos volumes finitos resulta

também mais fácil.

As variáveis dependentes são as três componentes cartesianas de velocidade, a

pressão, e as seis componentes cartesianas de tensão, as quais são calculadas nos centros

das células hexaédricas da malha computacional. Isto é possível em virtude do uso de

malhas colocadas (Oliveira et al. 1998 e 1999).

A forma discretizada das equações da continuidade, de conservação e constitutiva

apresenta-se de seguida.

4.1.1 Equação da continuidade

A forma discretizada da equação (4.1) é (Oliveira et al. 1998) 6

1

0ff

F=

=∑ (4.3)

Esta equação representa o somatório dos fluxos de massa Ff através das seis faces f de

uma qualquer célula da malha.

4.1.2 Equação de conservação

Após integração na célula genérica P, de volume VP, a forma discretizada desta equação

pode apresentar-se como,

( )PP ,P ,F ,Pi

ni F i u i

F

Va u a u S ut

ρδ

− = +∑ (4.4)

Nesta equação δt é o avanço no tempo, ( )

,Pn

iu designa a velocidade no instante de tempo

anterior e CFa são os coeficientes que consideram as interacções de fluxos com as

células F vizinhas de P. Estes são ainda compostos apenas por contribuições

convectivas, uma vez que não existe um termo difusivo explícito na equação (4.2). De

acordo com o esquema upwind:

min( ,0)C

F F fa a F= = − (4.5a)

Neste trabalho recorre-se ao esquema de alta resolução CUBISTA de Alves et al.

(2003), o qual é implementado explicitamente. Os termos adicionais resultantes são

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51

incorporados no termo fonte na forma descrita em Alves et al. (2003). O coeficiente

central na equação (4.4) é dado por,

P

P FF

Va at

ρδ

= + ∑ (4.5b)

O termo fonte incorpora todos os contributos não incluídos de outra forma:

_ _ _ HRSi i i iu u p u uS S S Sτ= + + (4.5c)

Da esquerda para a direita, os termos fonte presentes no segundo membro da expressão

acima referem-se ao campo de pressão, de tensões e termo fonte introduzido pelo

esquema de alta resolução CUBISTA (Alves et al., 2003).

De modo a promover a estabilidade numérica e a permitir a aplicação do método a

escoamentos creeping flow (Re=0), fazendo 0,CFa = procede-se de acordo com Oliveira

et al. (1998) à introdução de termos difusivos sob a forma de uma diferença: aditivo

tratado implicitamente e subtractivo tratado de modo explícito, fazendo

( ) ( ) ( ) ( )( )PP ,P , ,P , ,P , ,P

Fluxo difusivo implícito Fluxo difusivo explícito

i

n n nC D Di F i F u i F i F i F i F i

F F F

Va u a u S u a u u a u ut

ρδ

− = + + − − −∑ ∑ ∑ (4.6)

A forma inicial (4.4), de discretização da equação de conservação, pode agora ser

recuperada agrupando os coeficientes convectivos e difusivos, e reescrevendo o termo

fonte, isto é:

C DF F Fa a a= + (4.7a)

( ) ( ) ( )( ), ,Peq.(4.5 )i i

n nDu u F i F ic

FS S a u u= − −∑ (4.7b)

Note-se que este procedimento não introduz difusão numérica e que ao se atingir o

estado estacionário os termos difusivos considerados se anulam mutuamente, pelo que

se recupera a equação original (4.2).

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52

4.1.3 Equação constitutiva

A equação diferencial (4.3) pode, também por discretização no domínio de uma célula

genérica P, reduzir-se à forma algébrica,

( )P

P ,P , ,Pij

nij F ij F ij

F

Va a St

τ ττ

λτ τ τδ

− = +∑ (4.8)

Não existindo termos difusivos na equação (4.3), os coeficientes Faτ têm apenas origem

convectiva,

CF Fa aτ λ

ρ= (4.9a)

O coeficiente central é assim,

PP P F

F

Va V at

τ τ λδ

= + +∑ (4.9b)

Para uma análise detalhada do método numérico sugere-se a consulta dos

trabalhos de Oliveira et al. (1992, 1998 e 1999), Alves et al. (2003), e Alves (2004).

4.2 Procedimento de cálculo O conjunto de equações discretizadas para cada variável é resolvido iterativamente

recorrendo a uma versão reformulada do algoritmo SIMPLEC de Von Doormal et al.

(1984). Nesta versão modificada, apresentada em Oliveira et al. (1998), consideram-se

os seguintes passos para fazer avançar a solução do instante (n) para o instante (n+1): (1) Resolução da equação constitutiva discretizada em ordem às tensões centrais a partir

dos coeficientes, termo fonte, e termo inercial obtidos no instante anterior. (2) Resolução implícita da equação de conservação da quantidade de movimento

discretizada em ordem a cada componente de velocidade. Geralmente, concluído

este passo, as componentes de velocidade não satisfazem a equação da continuidade.

De seguida o algoritmo procede à correcção dos campos de velocidade e de pressão,

este último incorporado no termo fonte relativo a gradientes de pressão, de modo a

que as componentes de velocidade actualizadas e campo de velocidades corrigido

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53

satisfaçam simultaneamente as equações de conservação e da continuidade. Este

procedimento é descrito em detalhe em Issa et al. (1994). (3) Verificar se o estado estacionário foi alcançado de acordo com o critério de

convergência: norma da soma dos resíduos das equações inferior a 10-4. Caso este

não tenha sido atingido, repete-se todo o procedimento a partir do passo (1).

4.3 Geometria de escoamento e malha computacional A geometria de escoamento apresenta três planos de simetria: plano [oxy], plano [oyz] e

plano [ozx]; por comodidade de escrita, estes serão identificados como planos [α], [β], e

[χ], respectivamente. Os planos [α] e [χ], são também planos de simetria dos campos de

velocidade e tensões em condições de escoamento estacionário. (Figura 4.1)

Plano [χ]

Plano [α]Plano [β]

o

x

z

y

L

H

Ø D

Parede norte

Parede sul

Parede topo

Parede fundo

Sentido do escoamento

Domínio de simulação

Figura 4.1 – Geometria, dimensões e nomenclatura do domínio de escoamento.

O domínio computacional estende-se desde o plano x=-100R até x=100R. Estes valores

excedem largamente aqueles usualmente empregues neste escoamento padrão

bidimensional. Alves et al. (2004), em simulações de escoamentos sem inércia,

estabelece os limites da malha em x=-20R e x=80R, e impõe na entrada perfis teóricos

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54

de velocidade em escoamento desenvolvido. Nesta tese considera-se um perfil uniforme

de velocidades na entrada. Pretendendo-se realizar simulações de escoamentos inerciais,

newtonianos e viscoelásticos, até Re=40, optou-se por alongar o domínio de escoamento

até aos valores já referidos.

Não foram encontrados quaisquer problemas relacionados com a insuficiência de

comprimento de entrada. Refira-se que para Re=40, apenas se alcançou 0.99ux,máx para

x=-30.0R e x=68.1R. Constata-se assim que os valores propostos não são de modo

algum exagerados, ainda que segundo o trabalho numérico de Damsteegt (1984) o

comprimento de entrada necessário à obtenção de 0.99ux,max com um fluido newtoniano

num canal 2D seja consideravelmente inferior (7.3R versus 70R). A terceira dimensão

do escoamento e o alongamento excessivo das células na zona de entrada justificam a

diferença: a primeira célula contígua ao plano x=-100R (y=0) tem um comprimento de

7.5R.

A designação das malhas fez-se conforme o exemplo seguinte: M20x64x12

refere-se a uma malha computacional com 20 células na direcção radial (NY=20), 64

células sobre o meio contorno da secção do cilindro (Nc=64), e 12 células segundo z

(NZ=12). Uma vez que todas as malhas usadas apresentam Nc=3.2NY, por

conveniência de escrita, a sua designação neste texto surge por vezes simplesmente

como «malha 3D M20x12». Todas as malhas exibem as seguintes características:

1) aplicam-se somente a um quarto do domínio físico de escoamento (Figura 4.1);

2) estão subdivididas em 6 blocos, 4 dos quais sobre o meio cilindro;

3) a cada bloco está associado um referencial não ortogonal de coordenadas

generalizadas alinhado com a direcção de escoamento e com origem sobre o

plano de simetria z=0, ver Figura 4.2;

4) no primeiro bloco NX=1.8NY;

5) sobre o meio contorno da secção do cilindro o número de céluas é Nc=3.2NY; a

sua distribuição pelos 4 blocos é equitativa (NX=Nc/4=0.8NY);

6) no último bloco NX=2.8NY;

7) no primeiro e último blocos o comprimento (δx) das células, junto aos pontos de

estagnação, fez-se (δx/R)mín=1/NY;

8) sobre o cilindro o comprimento das células é uniforme;

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55

9) no plano [oxy] a menor dimensão das células ocorre segundo a direcção radial:

δrmín/R=1/(2.5NY);

10) para A≥1/8, junto à parede topo (ver Figura 4.1), fez-se

δz/(L/2)]mín=1/(2.75NZ);

11) para A<1/8, junto à parede lateral topo, fez-se δz/(L/2)]mín=1/(2NZ);

12) a orientação das células no interior de cada bloco fez-se alinhada com as linhas

de corrente num escoamento creeping flow 2D, newtoniano (Figura 4.2).

Figura 4.2 – Projecção da malha M20x64x12 no plano [oxy] (exemplo considerado acima). Podem observar-se os seis blocos e os referenciais não ortogonais associados a cada um deles; os semi-eixos paralelos à superfície do cilindro, ou ao plano de simetria y=0, correspondem à direcção X, sentido oeste – este, segundo a qual se contam NX células em cada bloco.

Para as diferentes razões de forma da conduta, foram usadas malhas exploratórias

M10x32x6. O grosso dos resultados, para A≥1/8, foi obtido em malhas computacionais

M20x64x12. Nalguns casos realizaram-se simulações em malhas M40x128x24 para

verificação da convergência dos resultados com o refinamento da malha e estimativa de

resultados pela técnica de extrapolação de Richardson (1910). Para A<1/8, usou-se a

solução M40x128x16. A influência do número de células segundo z na caracterização de

grandezas precisamente em função de z, tais como força arrasto por unidade de

comprimento, velocidade, ou comprimento de recirculação, foi verificada por malhas

M20x64x18 contra as soluções M20x64x12.

No interior de cada bloco qualquer uma das dimensões das células varia segundo

uma progressão geométrica de razão superior a 5/6 e inferior a 6/5, no caso de malhas

3D M20. Para as malhas do tipo M40, estes mesmos limites são iguais à raiz quadrada

dos valores relativos às solução s M20 equivalentes. Em todos os casos, de modo a

garantir a semelhança dimensional de células adjacentes pertencentes a diferentes

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56

blocos, cumpre-se a parametrização das malhas computacionais já apresentada. A tabela

4.1 concretiza algumas das características geométricas e dimensionais das malhas já

referidas.

Tabela 4.1 – Características das malhas computacionais 3D (de domínio -100≤ x/R ≤100)

NY×NX×NZ Malha A

Bloco I Bloco I a V Bloco IV NC mínx

Rδ míny

Rδ mín

2z

M10×32×6 10×18×6 10×8×6 10×28×6 4680 0.100 0.040 0.061M20×64×12 20×36×12 20×16×12 20×56×12 37440 0.050 0.020 0.030M40×128×24 40×72×24 40×32×24 40×112×24 299520 0.025 0.010 0.015M20×64×18

≥8-1

20×36×18 20×16×18 20×56×18 56160 0.050 0.020 0.020M20×64×8 20×36×8 20×16×8 20×56×8 24960 0.050 0.020 0.025M40×128×16

<8-1

40×72×16 40×32×16 40×112×16 199680 0.025 0.010 0.013NC: Número total de células na malha

A cada célula estão associadas 10 grandezas indeterminadas: três componentes de

velocidade, a pressão, e seis componentes de tensão. O número de graus de liberdade

implícito nas malhas acima vem afectado deste factor de 10.

O tempo médio de cálculo por célula e por passo numérico (de avanço no tempo)

verificou-se relativamente dependente das condições de escoamento simuladas,

estimando-se este valor em 0.15ms para simulações newtonianas e em 0.23ms com o

modelo UCM. Os campos iniciais influenciam também a rapidez de cálculo. As

simulações foram realizadas em PCs Pentium IV com velocidade de processador de

3.2GHz e 1024MB de memória RAM.

4.4 Ordem de convergência com o refinamento da malha

Sejam as soluções computacionais 4 2, ,h hφ φ e hφ referentes às malhas 3D M10x6,

M20x12, e M40x24, respectivamente. A ordem de convergência q das soluções

numéricas com o nível de refinamento da malha estima-se por (Ferziger e Peric, 1996)

2 4

2

log

log 2

h h

h hq

φ φφ φ

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠= (4.10a)

sendo h a dimensão característica da malha mais refinada M40x24. O erro associado a

esta solução pode estimar-se por:

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57

2

2 1h h

h q

φ φε −=

− (4.10b)

No caso da simulação de um escoamento newtoniano num canal com A=128, a

partir dos resultados relativos à força de arrasto, a ordem de convergência estimou-se

em q=1.9 (ver tabela 5.3, capítulo 5), esquema numérico de alta resolução CUBISTA

(Alves et al. 2003).

Face à ordem de convergência verificada, os valores de incerteza apresentados

neste trabalho referem-se simplesmente à diferença entre o valor obtido pela técnica de

extrapolação de Richardson e o valor produzido pela mais refinada das malhas usadas

na simulação de determinado escoamento.

Ainda em relação à estrutura de malha usada, refira-se a dificuldade verificada em

se estimar do avanço numérico no tempo (δt) capaz de proporcionar um processo de

cálculo convergente. Uma relação minimamente óbvia entre uma dimensão

característica do escoamento e esse parâmetro numérico δt, tudo o resto igual, não foi

encontrada. Isto sugere uma dependência de factores geométricos inerentes à estrutura

da malha computacional. Por exemplo para A=8, Re=0 e De=0.2, a obtenção de solução

pela malha M20×12 exigiu a redução deste parâmetro de um factor mínimo de 10

relativamente ao avanço no tempo utilizado numa malha M10×6. Isto mesmo se pode

inferir do facto de entre as mais de 500 simulações numéricas iniciadas somente 206

não terem divergido, o equivalente a um volume de cálculo global superior a 4600h.

Verifica-se assim que o cálculo se revela dependente da malha. A adequação do

código a malhas não estruturadas surge assim de especial interesse na resolução de

escoamentos com fronteiras claramente não rectangulares e com descontinuidade de

orientação (direcção normal).

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59

Capítulo 5

Validação do cálculo Pretende-se neste capítulo avaliar o nível de incerteza do cálculo em função do grau de refinamento da

malha com base em simulações de situações limite para as quais são conhecidas soluções teóricas ou

numéricas de referência.

5.1 Introdução

Não é objectivo desta tese estabelecer soluções de referência do escoamento 3D em

torno de um cilindro confinado. Tal seria impraticável no tempo limitado disponível à

concretização deste trabalho. Pretende-se antes tipificar correlações físicas entre

parâmetros geométricos e dinâmicos do escoamento. Por este motivo a quantificação

precisa da incerteza associada a resultados específicos não é de grande relevância; note-

se a inexistência na literatura de soluções para este tipo de escoamento padrão a três

dimensões no que respeita aos aspectos estudados. No entanto, a pertinência de

caracterizar o nível de confiança nos resultados produzidos é indiscutível.

A capacidade preditiva do código numérico usado nesta tese, no estudo deste e de

outros tipos de escoamentos 2D, com diferentes modelos de viscoelasticidade, está

perfeitamente estabelecida, Alves et al. (2001), e os resultados produzidos constam já

da literatura científica como soluções de referência.

Contudo, neste estudo em particular, as malhas 3D usadas são manifestamente

grosseiras do ponto de vista bidimensional (projecção sobre o plano z=0). O objectivo

deste capítulo é assim o de definir o nível de confiança quanto ao número e distribuição

das células da malha no plano da secção da conduta, e verificar a adequação desse

número à caracterização de escoamentos estacionários em canais rectangulares para

diferentes razões de forma.

A aferição do grau de confiabilidade é aqui realizada pela comparação de

resultados numéricos com os que decorrem da solução analítica apresentada por Berker

(1963), equação (5.1), pela comparação de soluções bidimensionais em malhas

refinadas com soluções 3D geradas para razões de forma excepcionalmente elevadas

(até A=128) e através do estudo de escoamentos de Hele-Shaw para bloqueamentos

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60

muito reduzidos na situação limite de razão de forma quase nula, pois neste caso é

possível estabelecer uma analogia com o escoamento potencial em torno de um cilindro

não confinado para o qual existe solução analítica.

Todos os resultados a apresentar foram obtidos com a mesma estrutura de malha

(capítulo 4), variando apenas o seu grau de refinamento. Por conveniência, a Figura 5.1

representa uma vez mais a geometria de escoamento já apresentada no capítulo 4.

Plano [χ]

Plano [α]Plano [β]

o

x

z

y

L

H

Ø D

Parede norte

Parede sul

Parede topo

Parede fundo

Sentido do escoamento

Domínio de simulação

Figura 5.1 – Geometria, dimensões e nomenclatura do domínio de escoamento.

5.2 Escoamento desenvolvido em condutas rectangulares Esta análise será realizada apenas para o caso newtoniano19, pois o único modelo

viscoelástico simulado, modelo UCM, apresenta viscosidade de corte constante, e a

baixo número de Reynolds, uma vez que em regime laminar estes perfis são

independentes deste número. Os resultados numéricos que aqui se apresentam referem-

se aos valores nodais de ux nas células que se dispõem sobre um mesmo plano

«paralelo» às faces este/oeste do primeiro bloco de geração da malha (ver capítulo 4).

19 A igualdade de perfis desenvolvidos, a montante do cilindro, entre os casos newtonianos e viscoelásticos (modelo UCM) simulados foi verificada.

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61

Em consequência da estrutura das malhas usadas neste trabalho, Figura 5.2, esse plano

não é normal ao eixo da conduta. Contudo, tal não é relevante dado que a sua projecção

sobre o plano de simetria [oxz] é inferior a 1/10 da extensão da zona de escoamento

desenvolvido, Figura 5.3, nas condições mais adversas ao desenvolvimento

hidrodinâmico do escoamento: número de Reynolds Re=40 e razão de forma Α=1. Para

Re=0 essa relação é da ordem de 10-2.

Figura 5.2 – Identificação do plano (traço grosso) onde numericamente o campo de velocidades mais se aproxima de escoamento desenvolvido: o ângulo médio de desvio dos vectores velocidade relativamente ao eixo da conduta é de apenas 0.017º. Malha 3D M20x64x12.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-25 -20 -15 -10 -5 0

u x/U

x /R

( ) ( ),0zxU x U

( ),0,0xu x U

( )2 2

0 0

4 , L H

U u y z dydzLH

= ∫ ∫

Figura 5.3 – Zona de escoamento desenvolvido: Re=40, Α=1. Ux representa o perfil de velocidades médias obtidas por integração segundo z (equação 5.2, pág. 66) e ux o perfil de velocidade sobre o eixo da conduta.

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62

Berker (1963) apresenta uma revisão das soluções analíticas existente à data

quanto a escoamentos de Poiseuille em condutas não circulares, entre essas o caso da

conduta de secção rectangular HxL . A equação (5.1) reflecte essa solução sob a forma

da série infinita:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2

1 23 3

1,3,5,...

cosh cosh4, 1 1cosh 2

i

i

i y L i z LL pu y zx i i H L

π πηπ π

∞−

=

⎡ ⎤∂⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑ (5.1a)

( ) 1

2 5 51,3,5,...

tanh 219212 1i

i H Lp Ux L L i

πη Ηπ

−∞

=

⎡ ⎤∂⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑ (5.1b)

A partir desta solução foram calculados os perfis de velocidade nos planos de

simetria [oxy] e [ozx], Figuras 5.4 e 5.5 respectivamente. Estes perfis são comparados

com os valores nodais da componente de velocidade ux obtidos em simulações

computacionais de escoamentos a baixo número de Reynolds para as razões de forma de

1, 2, 4, 8 e 16: campo de velocidades desenvolvido a montante do cilindro.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Equação (5.1)

A=1 (M20x12)

A=2 (M20x12)

A=4 (M20x12)

A=8 (M40x24)

A=16 (M20x12)

A

y/R

u (X ,y ,0)/U

A=∞

Figura 5.4 – Perfis de velocidade no plano de simetria z=0 para Α=1,2,4,8, e 16. Simulação

computacional versus equação (5.1) e perfil parabólico 2D (Α=∞). Apenas no caso da razão de forma de 8:1 foi usada uma malha M40x24 (299520 células).

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63

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Eq.(5.1) A=1 (M20x12) A=2 (M20x12)

A=4 (M20x12) A=8 (M40x24) A=16 (M20x12)

z /(L/ 2)

u(X

,0,z

)/U

Figura 5.5 – Perfis de velocidade no plano de simetria y=0 para Α=1,2,4,8 e 16: simulação

computacional versus equação (5.1) e perfil parabólico 2D (Α=∞). Apenas no caso da razão de forma de 8:1 foi usada uma malha M40x24 (299520 células).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

0.8 0.9 1.0

Eq.(5.1) A=1 (M20x12)

A=2 (M20x12) A=4 (M20x12)

A=8 (M40x24) A=16 (M20x12)

z /(L/ 2)

u(X

,0,z

)/U

Figura 5.6 – Pormenor dos perfis de velocidade no plano de simetria y=0 para Α=1,2,4,8, e 16:

simulação computacional versus equação (5.1) e perfil parabólico 2D (Α=∞). Apenas no caso da razão de forma de 8:1 foi usada uma malha M40x24 (299520 células).

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64

Refira-se em relação a estes resultados que: (i) os perfis analíticos foram obtidos a

partir dos primeiros 30 termos da série (equação 5.1); (ii) as simulações computacionais

apresentadas correspondem, em cada caso, à malha mais refinada; (iii) os resultados

numéricos relativos à velocidade máxima no eixo da conduta, tabela 5.1, e de

velocidade média no plano z=0 (para um determinado valor de x), tabela 5.2, são valores

extrapolados a partir dos nós centrais das células vizinhas. A extrapolação efectuada é

do segundo grau e cumpre com as condições de valor nodal pré-estabelecido e de

gradiente de velocidade nulo sobre o plano de simetria na direcção de extrapolação.

O cálculo do campo de velocidades na proximidade das paredes é muito

satisfatório até uma razão de forma de 4:1, apesar do reduzido número de células usado

no plano da secção da conduta (presentes na designação da malha20). Para as razões de

forma de 8:1 e superiores já é notório o desvio relativamente à solução analítica para as

duas últimas células da malha M20x12 (ver Figura 5.6). Note-se que apesar de todas as

malhas apresentarem um número de células inferior na direcção z, tal é compensado

pelo facto de estas serem refinadas junto à parede21.

A quantificação da qualidade dos resultados quanto ao campo de velocidades fez-

se com base no valor máximo da velocidade sobre o eixo da conduta por facilidade de

comparação com o valor expectável em escoamento desenvolvido em canal 2D (de

1.5U). A tabela 5.1 apresenta os valores calculados pela equação (5.1) e os resultados de

simulações numéricas com diferentes malhas; estes últimos são o resultado de uma

dupla extrapolação (ponto iii) acima) a partir dos nós adjacentes ao eixo xx. Na tabela

5.1 pode observar-se que para razões de forma pequenas (até Α=1) um aumento de 50%

do grau de refinamento segundo z pouco se reflecte no valor da velocidade máxima,

contrariamente ao que sucede para razões de forma elevadas; veja-se os casos de Α=1/8

e de Α=8.

20 Mnxm: n, n.º de células a norte do cilindro (ou segundo y); m, n.º de células segundo z. 21 Metade das células segundo a direcção z encontra-se no último quarto do domínio de escoamento.

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65

Tabela 5.1 – Velocidade máxima em escoamento desenvolvido a montante do cilindro: comparação de resultados de simulação computacional com a solução (5.1)

u(X,0,0)/U Desvio(*) Α M10x6 M20x8 M20x12 M20x18 M40x24 eq.(5.1) (%)

1/128 1.502 1.507 -0.36 1/64 1.504 1.515 -0.73 1/32 1.513 1.530 -1.13 1/16 1.541 1.561 -1.29 1/10 1.583 1.601 -1.11 1/8 1.612 1.614 1.623 1.628 -0.33 1/7 1.634 1.648 -0.89 1/6 1.663 1.676 -0.79 1/5 1.703 1.715 -0.68 1/4 1.764 1.774 -0.56 1/3 1.855 1.864 -0.44 1/2 1.983 1.992 -0.43 3/4 2.071 2.077 -0.30

1 2.089 2.088 2.096 -0.40 2 1.981 1.992 -0.57 4 1.767 1.774 -0.37 6 1.666 1.668 1.676 -0.46 8 1.595 1.614 1.621 1.623 1.625 1.628 -0.20

16 1.551 1.561 -0.66 32 1.515 1.530 -1.04

128 1.484 1.497 1.500 1.507 -0.48

(*) Desvio obtido na malha mais refinada relativamente à solução equação (5.1)

A Figura 5.8 (pág. 67) apresenta graficamente estes mesmos resultados. A curva a

traço interrompido correspondente a uma estimativa da solução computacional M40x24

supondo que ( ) ( )M40 24 M20 12 Eq.(5.1) M20 12S S S S constante,× × ×− − = para A≤8 e A≥8; a letra S

refere-se às diferentes soluções numéricas ou analítica conforme o subscrito associado.

Esta estimativa pretende apenas ilustrar o nível de aproximação à solução exacta obtido

com malhas M40x24, para A=1/8 e A=8, não perceptível no gráfico dada a escala usada.

Se num escoamento 2D a velocidade para qualquer ponto do plano [oxy] é

constante ao longo de z, o mesmo não se pode afirmar de um escoamento com domínio

finito segundo essa direcção. Assim, entendeu-se pertinente comparar essa velocidade

(em escoamento 2D, sobre uma qualquer recta paralela a z) com a velocidade média

produzida em condições tridimensionais sobre o segmento de Z limitado pelas paredes

fundo e topo da conduta (Figura 5.1). Os resultados podem observar-se na Figura 5.9.

Repare-se que mesmo para razão de forma A=1, o perfil médio pouco se desvia da

parábola correspondente à solução 2-D (Figura 5.9).

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66

Perfis de velocidades médias

Considere-se por exemplo uma determinada grandeza genérica g (Figura 5.7): sobre o

plano x=X obtém-se g=g(X,y,z); pela intersecção com o plano y=Y tem-se o perfil

g=g(X,Y,z) ao qual corresponde um valor médio22,

( ) ( ) ( )

2

0

2, , , L

z G X Y g X Y z dzL

= ∫ (5.2a)

Do mesmo modo comparar-se-ão perfis locais g=g(X,y,Z) com o perfil médio,

( ) ( ) ( )

2

0

2, , , H

y G X Z g X y Z dyH

= ∫ (5.2b)

g

z

y

g(X,Y ,z)

g(X,y ,Z)

Plano x=X

G(X,Z)(y)

G(X,Y )(z)

Figura 5.7 – Perfil local em função de z (g) e perfil médio (G), obtido por integração segundo z,

de uma grandeza genérica g sobre o plano x=X. As letras maiúsculas identificam constantes.

Considere-se por exemplo o perfil de velocidades médias ( ) ( ), :zxU X Y este traduz a

velocidade média de escoamento sobre o segmento de recta paralelo a z, com extremos

pertencentes às paredes fundo e topo (Figura 5.1), que se projecta no plano [oxy] como

um ponto de coordenadas (X,Y). 22 O sobrescrito à esquerda de G pretende identificar o domínio de cálculo do valor médio de g, e as letras

maiúsculas indicar valores constantes de uma determinada grandeza variável.

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67

1.50

1.75

2.00

2.25

0.01 0.1 1 10 1000.1

1

10

100

u/U_M20x8 Desvio_M20x8 u/U M20x12 Desvio M20x12

Desvio M40x24 eq.(5.1) Desvio eq.(5.1) Estimativa M40x24

Α

u(X

,0,0

)/U

Des

vio

(%)

( ) ( )( )

3 2

2

Desvio 100D D

D

u U u Uu U

−= ×

Figura 5.8 – Velocidade máxima em escoamento desenvolvido a montante do cilindro: comparação de resultados de simulação computacional (Tabela 5.1) com a solução (5.1).

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

1.40 1.45 1.50

equação (5.1) A=1 (M20x12) A=2 (M20x12) A=4 (M20x12) A=8 (M40x24)

y/R

(z )U (X ,y )/U

(z )U (X ,y )/U

y/R

y/R

A= ∞

Figura 5.9 – Perfis de velocidade média em Z em escoamento desenvolvido a montante do cilindro: comparação de resultados de simulação computacional (Tabela 5.1) com a solução (5.1). Estes perfis resultam de integração segundo z, aplicação da equação (5.2).

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68

Tabela 5.2 – Velocidade média no plano de simetria [oxz] em escoamento desenvolvido a montante do cilindro: comparação de resultados de simulação computacional com a solução (5.1). Estes valores resultam de integração segundo z: aplicação da equação (5.2).

Α Erro (Α) (%) Solução

1 2 4 8 Α=1 Α=2 Α=4 Α=8 M10x6 1.4761 1.333 M20x12 1.4348 1.4744 1.4867 1.4915 0.328 0.377 0.305 0.302 M40x24 1.4950 0.068 Eq.(5.1) 1.4395 1.4800 1.4912 1.4960 - - - -

Desvio (%) -4.033 -1.333 -0.587 -0.267 Obs.: (i) O «desvio» refere-se à comparação da solução (5.1) com o perfil parabólico 2D (ii) O erro apresentado é calculado relativamente à solução (5.1)

Conclusões

Os resultados presentes na tabela 5.2 supõem-se mais representativos, quanto ao nível

de incerteza associado ao campo de velocidades (desenvolvido a montante do cilindro),

do que aqueles que figuram na tabela 5.1, não só por representarem um valor médio,

mas também por ser neste caso desprezável a incerteza associada ao processo de

extrapolação para o plano de simetria (inferior a 0.002%)23.

Assim, tomando estes valores como aferidores da qualidade dos resultados

produzidos, pode concluir-se, quanto ao campo de velocidades, que este é confiável a

menos de ~0.3% para malhas M20x12 e que a ordem de convergência da solução

computacional é de 2.1 (a partir das simulações realizadas para uma razão de forma de

8:1); veja-se o nível de aproximação alcançado pela solução M40x24 para A=8 (Figura

5.9). O facto da velocidade máxima simulada ser marginalmente inferior ao valor

esperado por via «analítica» reflecte-se em perfis de velocidade ligeiramente mais fortes

na proximidade das paredes (Figura 5.6), em particular para as razões de forma mais

elevadas.

A malha M20x12 (com 37440 células) resulta assim perfeitamente capaz de

retratar a influência de parâmetros geométricos no campo de velocidades ainda que com

as limitações de precisão acima referidas.

23 Note-se que a distância dos nós centrais das células adjacentes ao plano de simetria [ozx] é inferior a R/100, ao contrário do que sucede com o plano de simetria [oxy]. Isto resulta do facto de as malhas empregues neste trabalho serem particularmente refinadas na vizinhança do plano [oxy].

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69

5.3 Comparação de simulações 2D e 3D Nesta secção pretende-se estabelecer até que ponto diferem os resultados produzidos

com malhas 3D aparentemente grosseiras daqueles obtidos por malhas 2D muito

refinadas, despistando-se assim eventuais problemas de simulação que possam surgir

aliados à terceira dimensão do escoamento, e, em particular, quantificar a incerteza

associada à avaliação da força de arrasto a 3D, uma vez que o domínio de integração

numérica desta força tem agora três dimensões e não duas (sendo a terceira dimensão a

de menor grau de refinamento), sendo que a incerteza vem necessariamente aumentada

em 3D.

Por exiguidade de tempo apenas se compararam resultados para escoamento a

baixo número de Reynolds com modelo constitutivo newtoniano. A estrutura das

malhas 2D usadas é idêntica à das malhas 3D, isto é, a distribuição das células no plano

de escoamento [oxy] é igual, podendo variar apenas em grau de refinamento.

Foram realizadas simulações 2D para malhas com um número de células a norte

do cilindro (ou segundo y) de 20, 40 e 80 células, designadas de M20, M40 e M80,

respectivamente. Na outra direcção (a de escoamento) o número de células é ditado pela

mesma razão de proporcionalidade que se verifica nas malha 3D usadas nesta tese.

Com vista a reproduzir a três dimensões o escoamento bidimensional, simulou-se

o escoamento numa conduta com razão de forma igual a 128, para malhas com grau de

refinamento de M10x6, M20x12 e de M40x24. Esta última possui 299520 células, no

entanto, somente 12480 têm projecção não coincidente no plano de escoamento [oxy],

contra as 49920 células da malha 2D M80.

5.3.1 Campo de velocidades e distribuições de pressão e tensões

Os resultados usados como elementos de aferição da reprodutibilidade da solução 2D a

três dimensões são: (i) perfis de velocidade ao longo do eixo da conduta/canal (Figura

5.10); (ii) comparação de linhas de corrente (Figura 5.11); (iii) perfis de pressão e

tensões sobre o cilindro e ao longo da linha central a jusante do cilindro, apresentados

em função de x, (Figuras 5.12 e 5.13); e (iv) valores de coeficiente de arrasto.

Este último aspecto é talvez o mais interessante nesta comparação pois permite (a)

concluir que a validação experimental dos resultados numéricos já alcançados em

estudos 2D só será viável, com o mesmo nível de incerteza que decorre da diversidade

de valores propostos por diferentes autores (ver capítulo 2), em condutas com razões de

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70

forma superiores a 100:1, e (b) caracterizar o comportamento assimptótico do

coeficiente de arrasto quando A→∞.

Todos os resultados acima referidos, 2D e 3D, são graficamente sobreponíveis,

sendo merecedores de alguns comentários apenas aqueles relativos à distribuição de

tensões (Figura 5.13) e valores de coeficiente de arrasto (tabela 5.3).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Solução 2D (M80)

A=128 (M40x24)

A=8 (M40x24)

u(x

,0,0

)/U

x /R

2

1

P 1 P 2

P 1 P 2

u(x

,0,0

)/U

x /Rx /R

1 2

Figura 5.10 – Perfis de velocidade ao longo do eixo da conduta: comparação da solução 2D, malha M80, com a solução 3D M40x24, para A=128. Na figura principal pode observar-se também, a título de comparação, o mesmo perfil para o caso A=8.

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71

x/R

y/R

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 5.11 – Escoamento newtoniano em torno de um cilindro com bloqueamento B=1/2. As linhas de corrente considerando a geometria 2D (malha M80) ou 3D (malha M40x24), A=128, são coincidentes. As linhas de corrente foram geradas sobre o plano z=0 a partir da zona de escoamento desenvolvido, x=-10R.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Solução 2D (M80)

A=128 (M40x24)

p(x

,0,0

)/(η

U/R

)

x /R

Figura 5.12 – Evolução da pressão sobre a superfície do cilindro (-1≤ x ≤1) e a jusante ao longo do eixo da conduta (y=0 e z=0): comparação das soluções 2D, malha M80, e solução 3D M40x24, para A=128. Note-se que a pressão se assumiu arbitrariamente nula no ponto de estagnação para x=-1.

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72

-10

-5

0

5

10

15

-1 0 1 2 3 4

Solução 2D (T11 & T12) T11: A=128 (M40x24)

T12 «campo de velocidades» T12: A=128 (M40x24)

x /R

τ ij(

x,0,

0)/( η

U/R

)

P 1 P 2

P 1 P 2

Figura 5.13 – Evolução das tensões normal, τxx (T11), e de corte, τxy (T12), sobre a superfície do cilindro (para -1≤ x ≤1) e a jusante ao longo do eixo da conduta (y=0 e z=0): comparação das soluções 2D, malha M80, e solução 3D M40x24, para A=128. A comparação destes mesmos aspectos entre a solução 2D e outras razões de

forma, mais comuns do ponto de vista experimental, será realizada no capítulo 6.

Refira-se, no entanto, um aspecto que se revelou insensível ao grau de refinamento da

malha, seja este global, ou apenas segundo a direcção do escoamento na esteira do

cilindro. Este prende-se com o máximo local exibido pelo perfil da tensão de corte a

jusante do cilindro (Figura 5.13). A ocorrência deste máximo (ainda que reduzido) sobre

um plano de simetria do escoamento supôs-se inicialmente ser uma consequência do

uso de malhas relativamente grosseiras. No entanto, este comportamento, fisicamente

impossível, chega mesmo a acentuar-se, em valor absoluto, com o aumento do grau de

refinamento da malha, seja esta 2D ou 3D, sugerindo convergir para um valor não nulo

de aproximadamente 4.5% do máximo absoluto sobre o cilindro. Isto foi verificado a

duas dimensões para as soluções M20, M40 e M80, com distribuição de células

proporcional e para duas malhas M40 distintas, uma com 112 células a jusante do

cilindro e outra com 224 células nessa mesma direcção.

O facto desse efeito não ocorrer com malhas ortogonais na vizinhança do cilindro

(Alves et al., 2001), isto apesar de os esquemas numéricos usados serem os mesmos,

sugere a dependência local da solução relativamente à estrutura da malha, a qual é

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73

acentuadamente oblíqua junto aos pontos de estagnação do escoamento (Figura 5.2).

Contudo este efeito é local e afecta apenas esta componente de tensão, não se

reflectindo no campo de velocidades. É com base neste campo, calculado através da lei

constitutiva newtoniana, que se obtém o perfil de tensões designado na Figura (5.13)

por T12 «campo de velocidades»; a tensão assim produzida é para todos os efeitos nula

na esteira do cilindro.

5.3.2 Cálculo da força de arrasto exercida sobre o cilindro

Neste trabalho optou-se por calcular a força de arrasto pelo balanço de quantidade de

movimento, equação geral24 (5.3):

{ } ( )

S V S

dp dS dV dSdt

ρ ρ− ⋅ = + ⋅∫ ∫ ∫τ δ n u u u n (5.3)

Nesta equação δ corresponde ao tensor unitário; n é o versor da direcção normal à

superfície de controlo S num qualquer ponto. Este versor define-se exterior ao volume

de controlo V. A superfície S pode assumir-se S=Se+Sc, sendo Se a superfície que

confina com o escoamento e Sc a superfície que confronta com o cilindro. Deste modo,

para um escoamento estacionário tem-se25,

{ }

eeS

p dSρ= − ⋅∫ τ δ −F uu n (5.4a)

Assim, a componente i da força de arrasto F exercida sobre o cilindro pode obter-se a

partir da expressão (de acordo com a notação de Einstein),

( )

ei ij ij i j j eS

F p u u n dSτ δ ρ= −∫ − (5.4b)

Note-se que a força de arrasto implícita na formulação acima corresponde à força total

exercida pelo fluido sobre o obstáculo. Usualmente, a expressão «força de arrasto»

refere-se apenas à componente axial de F (segundo x), designando-se por força de

sustentação (lift force) a componente segundo yy. Nos casos estudados, porém, o

24A notação tensorial empregue é a de Bird et al. (1987): variáveis a negrito são vectores ou tensores; do mesmo modo, os parêntesis curvos ( ), rectos [ ], e chavetas { }, identificam respectivamente um escalar, um vector, e um tensor. 25Através desta última superfície, Sc, não se verificam quaisquer fluxos de massa. Por este motivo o segundo termo do segundo membro da equação (5.3) pode reduzir-se apenas a um integral de superfície em Se.

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74

módulo de F corresponde de facto à força de arrasto (F=Fx) uma vez que o escoamento

é simétrico. O coeficiente de arrasto resultante da normalização desta força pela força

viscosa RL U Rη é, para a geometria 3D,

3d DF LC

Uη= (5.5)

Pela formulação acima, o arrasto pode ser calculado directamente (por integração

numérica) a partir dos valores nodais de tensão e pressão, desde que por estes se defina

uma superfície de controlo. Deste modo evita-se a extrapolação destas grandezas para a

parede do cilindro. Note-se que os resultados produzidos pelo código numérico se

referem aos nós centrais e não a valores calculados nos vértices das células.

Teoricamente em regime estacionário qualquer superfície de controlo deveria

conduzir a resultados idênticos. Contudo, dada a natureza numérica dos resultados

produzidos, na simulação do escoamento e do cálculo da força de arrasto verificou-se

alguma dependência entre o volume de controlo (Figura 5.14) e a força de arrasto.

Figura 5.14 – Geometria do volume de controlo (zona sombreada) definida a norte do cilindro pela sexta superfície de controlo, S6, que contém os nós centrais da malha (M20x64x12) e que é paralela à superfície do cilindro.

Considere-se o escoamento de um fluido newtoniano viscoso numa conduta com

razão de forma Α=1 para Re=0 (creeping flow) e para Re=10, Figura (5.15): os desvios

máximos encontrados até Si=6 (imperceptíveis graficamente) são de 0.0373% para

Re=0 e de 0.0369% para Re=10, ocorrendo em ambos os casos sobre a segunda linha de

nós centrais a norte do cilindro.

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75

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

0 5 10 15 20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 5 10 15 20

Re=0Re=10

Cd(

i)/C

d3D Desvio percentual entre C d(i) e C d3D

S i

Superfície de controlo (S i )

Figura 5.15 – Dependência entre o valor do coeficiente de arrasto e o volume de controlo; Cd(i) é o coeficiente de arrasto correspondente à superfície de controlo Si (ver Figura 5.14); Cd3D é o coeficiente de arrasto obtido pela média aritmética dos 6 primeiros valores de Cd(Si) (até à linha vertical a traço interrompido). Malha 3D M20x64x12. Em todos os casos estudados constatou-se que até à sexta linha de nós centrais

(paralela ao contorno circular) o valor do coeficiente de arrasto é insensível às

condições de escoamento (Re, De) e independente da geometria (razão de forma Α), isto

para malhas 3D M20x12. Optou-se assim por se apresentar o valor deste coeficiente

como o resultado da média aritmética dos valores de arrasto correspondentes às N

primeiras superfícies nodais de controlo a norte do cilindro:

31

1i

i

N

d D SS

C CN =

= ∑ (5.6)

Para malhas do tipo M10(…) fez-se N=3; para M20(...), N=6, e para M40(…), N=12.

Os motivos para a dependência que se observa entre volume de controlo e força

de arrasto, na proximidade da parede norte, têm a ver, necessariamente, com o facto da

malha ser aí algo grosseira, mas também, pensa-se, com o facto de, para superfícies de

controlo muito afastadas do cilindro, a razão área de S: volume de V ser desfavorável a

este procedimento de cálculo. Nessas condições uma variação mínima no campo de

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76

velocidades combinada com uma insuficiente convergência temporal podem resultar

numa variação artificial (numérica) de quantidade de movimento no interior do volume

de controlo não contabilizada pela formulação (5.3), que considera apenas regime

estacionário.

5.3.3 Comparação dos coeficientes de arrasto 2D e 3D

Os resultados obtidos com as malhas M40 e M80 para o escoamento bidimensional de

um fluido newtoniano a baixo número de Reynolds permitem estimar pela técnica de

extrapolação de Richardson o valor deste coeficiente de arrasto em 132.378, com um

nível de incerteza de 0.02%, coluna «Ext.» da tabela 5.3. O mesmo resultado foi obtido

por Alves et al. (2001) e, recentemente, Gerritsma (2006), este último pelo método dos

elementos espectrais (MEE). Os valores deste coeficiente apresentados na tabela 5.3

correspondem à força total exercida pelo fluido sobre o cilindro.

Tabela 5.3 – Valores do coeficiente de arrasto global 3, ,d DC de acordo com a formulação (5.6).

Solução 2D Solução 3D

M20 M40 M80 Ext. Α M10x6 M20x12 M40x24 Ext.

131.842 132.263 132.349 132.378 8 128.612 132.577 133.782 134.184 32 131.285 128 127.741 131.152 132.084 132.395

∞ (131.137) (132.066) 132.376 Obs.: Os valores entre parêntesis são estimativas baseadas na equação ( ) ( )3 3 q

d D d DC CΑ α Α− ∞ = , sendo q (=1.65) obtido a partir da solução M20x12.

No que respeita à solução 3D, aplicando esta mesma técnica de extrapolação de

Richardson, estima-se que o coeficiente de arrasto para uma razão de forma de 8:1 seja

ainda 1.36% superior ao valor da solução 2D, sendo esta diferença de apenas 0.013%

para A=128. Note-se que a ordem de convergência das soluções 2-D e 3-D com o grau

de refinamento da malha, esquema numérico de alta resolução CUBISTA (Alves et al.,

2003), é de 2.3 e de 1.9, respectivamente. O nível de incerteza associado às soluções 3D

M40x24, para A=8 e A=128, é de 0.29% e de 0.23%, respectivamente.

A diferença encontrada entre a solução 3D, para A=128, e o escoamento plano

pensa-se ser ainda uma consequência do efeito das paredes fundo e topo da conduta,

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77

uma vez que a evolução do coeficiente de arrasto com a razão de forma exibe uma

tendência ajustável por ( ) ( )3 3 qd D d DC CΑ α Α− ∞ = , com q=1.65 (a partir da solução

M20x12). Com base neste valor obtêm-se os limites de convergência com A das malhas

computacionais M20x12 e M40x24 de 131.137 e de 132.066, respectivamente.

Assumindo ainda a ordem de convergência numérica com o grau de refinamento da

malha igual a 2, estima-se, de acordo com a técnica de extrapolação de Richardson, em

132.376 o valor de coeficiente de arrasto apontado pelas simulações 3D. Todavia a

incerteza associada a esta dupla extrapolação excede em mais de 10 vezes aquela

relativa à solução 2D. Por este motivo qualquer entendimento definitivo quanto à real

natureza da diferença encontrada, entre a solução 3D (A=128) e 2D, não é possível.

Uma resposta assertiva exigiria o recurso a malhas mais refinadas, impraticáveis no

tempo limitado deste trabalho26.

Conclusões

A simulação deste escoamento padrão pelo método dos volumes finitos parece tão

válida a três dimensões quanto o é a duas. Recorda-se que este tipo de escoamento, em

condições 2D, foi já estudado com sucesso reconhecido por Alves et al. (2001) e Fan et

al. (1999).

O problema referido acima (perfil de tensão de corte) manifesta-se igualmente nas

duas geometria de escoamento (2D e 3D) e julga-se estar associado à estrutura não

ortogonal das malhas utilizadas e não à natureza tridimensional do escoamento, não

afectando significativamente o campo de velocidades.

O nível de incerteza associado ao cálculo da força de arrasto 3D é da mesma

ordem de grandeza daquele relativo ao campo de velocidades (com base nos resultados

obtidos com modelo constitutivo newtoniano).

26Para o mesmo critério de convergência uma estimativa conservadora do tempo de cálculo de uma malha 3D M80x48 sugere 6 meses ininterruptos de simulação com um processador INTEL de 3.2GHz.

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78

5.4 Simulação de escoamentos de Hele-Shaw A visualização experimental das linhas de corrente em escoamentos potenciais

confinados bidimensionais consegue-se fazendo muito pequena a dimensão

transversal27 da geometria 3D de escoamento (Hele-Shaw, 1898). Nestas condições os

efeitos da viscosidade do fluido não se reflectem na projecção do campo de velocidades

sobre o plano do escoamento irrotacional 2D que se pretende visualizar.

Com a simulação computacional deste tipo de escoamentos pretende-se uma vez

mais testar a capacidade do código numérico contra soluções analíticas constantes da

literatura científica, em particular, contra a solução de escoamento potencial 2D em

torno de um cilindro não confinado. Este escoamento irrotacional é o equivalente ao

escoamento de Hele-Shaw em torno de um cilindro numa conduta rectangular

geometricamente caracterizada pelas razões A=0 (largura nula) e B=0 (bloqueamento

nulo). Para razões de forma inferiores a 1:512 e bloqueamento de 1:16, constatou-se

numericamente que os campos de velocidade definidos no plano normal ao eixo do

cilindro são já graficamente indiferenciáveis da solução potencial acima referida.

5.4.1 Comparação dos campos de velocidades numérico e analítico

Assim, foram simulados escoamentos em condutas com razões de bloqueamento

decrescentes (desde B=1/2 até B=1/16) para razões de forma diminutas (até A=1/4096) e

comparados os resultados obtidos quanto ao campo de velocidades com a solução

analítica de escoamento irrotacional 2D em torno de um cilindro. A solução deste

escoamento potencial é, em termos de função de corrente, Batchelor (1967),

( ) ( )2 2y by b

bU x b y bψ

= −+

(5.7)

Esta função assume um valor constante sobre uma linha de corrente. O campo de

velocidades que lhe corresponde é, de acordo com Batchelor (1967),

; x yu uy xψ ψ∂ ∂

= = −∂ ∂

(5.8)

27 Segundo a direcção perpendicular ao plano do escoamento potencial 2D que se pretende simular.

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79

As Figuras 5.16 a 5.18 ilustram a adequação da solução computacional

(representação por pontos) à solução exacta de escoamento potencial livre (linhas a

traço contínuo). Na Figura 5.16 podem observar-se os perfis de velocidades médias

(domínio de integração segundo z), na Figura 5.17 os perfis de velocidade segundo o

eixo da conduta, e na Figura 5.18 as linhas de corrente.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

y/R

B=1/16; X = -10R

B=1/16; X = -5R

B=1/16; X = -R

B=1/16; X=0

B=0; X=-R & X=0

B=0; X=-5R

B=0; X=-10R

x x

y

y

Uinf

(z) U (X ,y )/U inf Figura 5.16 – Comparação de perfis de velocidades médias. Os símbolos correspondem a soluções numéricas e as linhas à solução exacta de escoamento potencial não confinado.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-10 -6 -2 2 6 10 14x/R

B=1/2

B=1/4

B=1/8

B=1/16

B=00.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

2 3 4 5

Α = 512-1

(z) U

(x,0

)/Uin

f

Figura 5.17 – Comparação de perfis de velocidades médias (domínio de integração segundo z) sobre o plano de simetria [ozx] da conduta para diferentes razões de bloqueamento. Os símbolos correspondem a soluções numéricas e a linha à solução exacta de escoamento potencial livre.

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80

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

0

2

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 5.18 – Comparação de linhas de corrente: escoamento potencial livre (traço interrompido) versus escoamento de Hele-Shaw para A=1/4096 e B=1/16 (traço a cheio). A imagem à direita apresenta a mesma comparação para o bloqueamento B=0.5; a solução potencial em escoamento livre mantém-se como referência.

5.4.2 Comparação dos coeficientes de arrasto numérico e analítico

Um escoamento irrotacional caracteriza-se pela existência de um campo escalar28 cujos

gradientes se podem relacional directamente com o campo de velocidades pela equação

(5.7), Batchelor (1967),

( )

,ii

u x yxφ∂

=∂

(5.7)

Batchelor (1967) demonstra que, quando a dimensão transversal do escoamento no

interior de uma conduta de secção rectangular tende para zero (L=0 ⇒ A=0), é possível

relacionar directamente o campo escalar de pressão com o campo de velocidades pela

equação (5.8),

( ) ( )

2

12 ,zi

i

p U x yx L

η∂= −

∂ (5.8)

28 Este campo escalar é usualmente designado por potencial de velocidade φ

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81

É assim possível relacionar os escoamentos potencial e de Hele-Shaw equivalente pelas

equações (5.9a) e (5.9b):

2

12pLη φ= − (5.9a)

( ) ( ) ( )

Potencial, ,z

i iU x y u x y= (5.9b)

Assim, sendo certo que no escoamento potencial livre de um fluido perfeito em

torno de um qualquer obstáculo não existe arrasto, no correspondente escoamento de

Hele-Shaw o mesmo não se pode afirmar. Note-se que neste último caso o obstáculo se

encontra imerso num meio com fortes gradientes axiais de pressão, equação (5.8),

resultantes da fricção do fluido com as paredes que delimitam o escoamento na direcção

transversal, no caso em estudo, a direcção z, segundo o eixo do cilindro.

Deste modo, o arrasto por unidade de comprimento gerado sobre um obstáculo

cilíndrico no interior de uma conduta rectangular geometricamente caracterizada por

A=0 e B=0 pode ser obtido a partir da solução para o escoamento potencial em torno de

um cilindro não confinado. Essa solução, em coordenadas polares, é dada pela equação

(5.10), Batchelor (1967),

1cos r RRU r R

φ θ∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.10)

Fazendo r=R na equação (5.10) e substituindo a expressão resultante na equação (5.9a),

por integração da pressão sobre a superfície do cilindro obtém-se, de acordo com a

formulação (5.5), o coeficiente de arrasto em escoamento de Hele-Shaw para valores de

A e B próximos de zero é

( ) ( )2 23 6 6d DC D Lφ π π Β Α= = (5.11)

Para as razões de forma e de bloqueio simuladas os valores de coeficiente de

arrasto resultam muito elevados, razão pela qual na tabela 5.4 estes surgem

normalizados pelo valor de Cd da equação (5.11). Os valores numéricos apresentados

correspondem às malhas 3D M20x8 e M40x16 (capítulo 4). O valor obtido pela técnica

de extrapolação de Richardson para A=1/4096 e B=1/16, depois de normalizado pela

solução analítica (equação 5.11), tem implícito o pressuposto de que o campo de

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82

velocidades é semelhante ao do escoamento potencial não confinado. Os resultados

anteriormente apresentados quanto ao campo de velocidades para esta mesma geometria

de canal apoiam esta hipótese.

Tabela 5.4 – Normalização do coeficiente de arrasto, 3 d DC , para diferentes malhas

computacionais, pelo coeficiente de arrasto resultante da assumpção de campo de velocidades potencial, 3 ,d DCφ para A=1/4096 e B=1/16. Nestas condições 3 393216d DCφ π=

Α Β M20x8 M40x16 Ext. (†)

1/4096 1/16 0.9897 1.0000 1.0034 (†) Ext. = Extrapolação de Richardson

A Figura 5.19 mostra a distribuição axial de pressão ao longo do eixo do canal e

superfície do cilindro para B=1/2 e B=1/16, resultados obtidos por simulação

computacional, e a mesma distribuição assumindo em torno do cilindro um campo de

velocidades idêntico ao de um escoamento potencial não confinado (linha contínua).

Como se observa verifica-se a quase sobreposição dos valores numéricos para A=1/512

e B=1/16 à distribuição analítica relativa a A=0 e B=0.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

B=1/2

B=1/16

B=0; c/ obstáculo

-8

-6

-4

-2

0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Α = 512-1

x /R

p/( η

U/L

) x10

-3

x x

Figura 5.19 – Evolução axial da pressão. Escoamento potencial não confinado (linha contínua)

versus simulação computacional de escoamentos de Hele-Shaw para B=1/16 e B=1/2.

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83

Conclusões

Para B=1/2, o nível de incerteza associado ao valor do coeficiente de arrasto em

simulações com as razões de forma extremas de A=1/512 e A=128 é estimado em 0.40%

e 0.30%, respectivamente. No caso dos escoamentos de Hele-Shaw simulados o nível de

incerteza quanto ao cálculo da força de arrasto, de acordo com a equação (4.10b), é

também estimado em 0.3%.

Para uma razão de bloqueio de 1:16 e razão de forma inferior ou igual a 1:512, os

campos de velocidade obtidos são graficamente indiferenciáveis do campo de

velocidades em escoamento potencial em torno de um cilindro não confinado.

Conclui-se assim não serem espectáveis quaisquer problemas de simulação como

consequência da terceira dimensão do escoamento que não sejam os inerentes ao

aumento do volume de cálculo. Os resultados obtidos, porém, são de maior valor físico

ao reproduzirem a influência da geometria finita.

Note-se que a validação do cálculo se apoiou em simulações com o modelo

constitutivo newtoniano precisamente pelo facto de este estudo ser essencialmente

newtoniano.

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85

Capítulo 6

Resultados Neste capítulo estudam-se os escoamentos newtoniano e viscoelástico, modelo UCM, a baixo e moderado número de Reynolds. Face à morosidade do cálculo 3D viscoelástico, os resultados produzidos são essencialmente relativos a escoamentos newtonianos. Por este motivo, a estruturação deste capítulo surge de acordo com as grandezas físicas analisadas, designadamente, força de arrasto, campos de pressão e tensões, e campo de velocidade. Em todos os casos a razão de bloqueio considerada é Β = 1/2.

6.1 Força de arrasto No capítulo 2 já foi referido que na Mecânica dos Fluidos Clássica (newtoniana) a força

de arrasto surge usualmente normalizada por uma força inercial. Como consequência o

coeficiente de arrasto em escoamentos a baixo número de Reynolds tende para infinito.

Contudo, nessas condições, o arrasto é sobretudo o resultado da acção de tensões de

corte que actuam sobre a superfície do obstáculo. Fazendo a força de normalização igual

a ( )U R RLη obtém-se para o coeficiente de arrasto a equação (5.5),

3d DF LC

Uη=

Porém por esta expressão resultam novamente valores de coeficiente de arrasto

tendencialmente infinitos para razões de forma muito reduzidas (escoamentos de Hele-

Shaw, capítulo 5). Por este motivo, a forma da apresentação do coeficiente de arrasto

obedece neste trabalho a diferentes formulações, com as quais se pretende pôr em

evidência correlações físicas entre este coeficiente e a geometria do escoamento.

6.1.1 Normalização da força de arrasto

Considerem-se pois as seguintes escalas de tensões: ,wτ proporcional ao valor absoluto

da tensão nas paredes fundo/topo da conduta; ,cτ tensão representativa das tensões

existentes sobre a superfície do cilindro. Quando a largura L da conduta é muito

reduzida tem-se:

0 w cU ULL R

τ η τ η≈ ⇒ ∝ ∝ (6.1)

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86

No limite quando ( ) 0L HΑ = → , 0.c wτ τ = Nestas condições a força de arrasto é

ditada exclusivamente pelo gradiente axial de pressão que se verifica na conduta, o qual

é determinado pela tensão wτ e pela razão de forma da secção (Α), ou seja,

2D

pF p DL D Lx

∂∝ ∆ =

∂ (6.2a)

Ora nessas condições ( )0Α ≈ o gradiente de pressão na conduta é dado por

2 wp

x Lτ∂

=∂

(6.2b)

A força de arrasto por unidade de comprimento resulta assim inversamente proporcional

ao quadrado da largura da conduta. Recorrendo à constante arbitrária C’, tem-se:

2

2

UF C D LL

η⎛ ⎞′= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.3)

Retomando a formulação convencional do coeficiente de arrasto, equação (5.5),

conclui-se que este coeficiente resulta inversamente proporcional ao quadrado da razão

de forma (geometricamente, tudo o resto igual29):

2 2

3 0d DF L DC C C

U LΑ

Βη Α→

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(6.4)

Neste texto a normalização da força de arrasto obedece à seguinte notação e

formulação:

a) Normalização em função da tensão média de corte sobre o contorno interior da

secção recta da conduta, tensão .τ Por esta formulação, a força de normalização é

igual ao produto da queda de pressão ,Dp∆ para ,x D∆ = pela área projectada do

cilindro DL, isto é,

29 Razão de bloqueio fixa. Recorda-se aqui que D ΒΗ= e que A L Η=

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87

3L

d DD

FCp DL

=∆

(6.5)

com ( )2

D

H L Dp

HLτ

+∆ = (6.6)

e w wH LH L

τ ττ′+

=+

(6.7)

As tensões wτ e wτ ′ são, respectivamente, as tensões de corte (em valor absoluto) nas

paredes topo (ou fundo) e norte (ou sul), Figura (5.1). Estas podem definir-se como

w U Lτ η∝ e .w U Hτ η′ ∝ Assim, recorrendo às constantes arbitrárias C1 e C2, para

uma dada razão de forma tem-se:

1wUCL

τ η= (6.8a)

2wUCH

τ η′ = (6.8b)

Substituindo as duas equações acima, na definição de tensão média (equação 6.7),

obtém-se por substituições sucessivas (6.7 em 6.6 e esta por sua vez na definição de

coeficiente de arrasto 3L

d DC ) a expressão:

( )

3L

d D LF LC

η= Φ (6.9)

A função Φ reflecte o factor de conversão da equação (5.5) na equação (6.5). Para uma

dada razão de bloqueio esta função é dada por,

( )1

2 11 1L

C CC 22Α Β

Α

−⎡ ⎤⎛ ⎞Φ = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.10)

Com esta equação (6.9) pretende-se fazer finito o valor do coeficiente de arrasto

( )3L

d DC qualquer que seja a largura L da conduta. Por conveniência de apresentação de

resultados, possuindo a função de conversão (6.10) dois graus de liberdade, fez-se:

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88

{ }( ) ( )

( ) ( )

3 2

1 2

3 20

lim ,

, :lim ,

Ld D d DA

Ld D d DA

C C

C CC C

Α Β Β

Α Β Β

→∞

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

(6.11)

Para Α=0 a fracção presente na formulação (6.9) pode ser relacionada com os

parâmetros dimensionais Α e Β pela equação (6.4). Assim, para uma determinada razão

de bloqueio, as constantes C1 e C2 que satisfazem as condições (6.11) são:

( )

( ) 1 2

2

1 ,d D

CC C

C2

ΒΒ Β

⎧ ⎫′⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(6.12)

Por simulação computacional de escoamentos de Hele-Shaw30 obtém-se, para B=1/2,

C’=23.76 (equação 6.4). O valor de ( )2d DC Β usado é o proposto por Alves et al.

(2001) e Gerritsma (2006) (ver capítulo 2). Para um valor de bloqueamento constante

(neste trabalho B=1/2), a formulação (6.9) reduz-se a:

1

3 1Ld D

F L CCU 2η Α

−′′⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.13)

Para Β=1/2 obteve-se 2 1 0.04488C C C′′ = = .

Com base na equação (6.9) a evolução do coeficiente de arrasto com a razão de

forma exibe duas assímptotas artificialmente coincidentes: 3 3 20lim limL L

d D d D d DL LC C C

→ →∞= = . O

desvio máximo do coeficiente de arrasto assim obtido (equação 6.9) relativamente a

2d DC nunca excede os 24% ( 3 21.24Ld D d DC C< ), sendo de apenas +8.9% para uma conduta

de secção quadrada (A=1).

b) Normalização com base no gradiente axial de pressão em escoamento

desenvolvido. Esta formulação, equação (6.14), difere da anterior em dois pontos: (a) a

queda de pressão Dp∆ é agora obtida com base na solução analítica apresentada por

Berker (1963), equação31 (6.16), para o escoamento laminar desenvolvido em condutas

30 A menor das razões de forma testadas com este bloqueamento foi A=1/512. 31 Esta equação não se surge aqui sob a forma original: foi manipulada por conveniência de uso.

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89

rectangulares; e (b) a área de referência já não é a área projectada do cilindro mas a área

da secção recta da conduta. Nestes termos, o valor numérico do arrasto tem um

significado muito próprio: corresponde à extensão adimensional de conduta (em número

de diâmetros) ao longo da qual o fluido exerce por fricção uma força igual ao arrasto

produzido sobre o cilindro. Considerem-se assim as seguintes expressões, equações

(6.14,15,16), análogas às já apresentadas,

3N

d DD

FCp HL

=∆

(6.14)

Dpp Dx

∂∆ =

∂ (6.15)

( ) 1

2 5 51,3,5,...

tanh 219212 1i

ip Ux L i

π Αη Απ

−∞

=

⎡ ⎤∂= −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∑ (6.16)

Por substituição sucessiva, de uma equação na imediatamente anterior, obtém-se:

( )

3N

d D NF LC

η= Φ (6.17)

com

( ) ( )5 5

1,3,5,...

tanh 2192112N

i

ii

2 π ΑΑ ΑΑΒ π

=

⎡ ⎤Φ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ (6.18)

Esta formulação embora mais interessante do ponto de vista hidráulico é contudo pouco

expedita dada a presença de uma série infinita (equação 6.18).

As duas assímptotas, neste caso não coincidentes, são:

( ) ( ) 2

3 30;

12d DN N

d D d D

C CC C

Α Α

Β Β Β12 Β→ →∞

′⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭ (6.19)

Para uma razão de bloqueio de Β=1/2 e escoamento a baixo número de Reynolds (de

facto, Re=0), as assímptotas horizontais encontradas por via numérica são: para Α=0,

um arrasto equivalente a 0.990D; e, para o escoamento 2D, um arrasto equivalente a

22.06D de extensão de conduta. Naturalmente, a inércia do escoamento afecta apenas a

segunda das assímptotas.

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90

A profusão de diferentes formas de apresentação do coeficiente de arrasto não é

exclusiva deste texto; autores com Verhelst et al. (2004), ou Sahin et al. (2004a), ainda

que recorram à formulação convencional, usam a velocidade máxima do perfil

desenvolvido a montante do cilindro como velocidade de referência e não o seu valor

médio na secção recta do canal. Assim, sublinha-se que os resultados apresentados nesta

tese obedecem estritamente à formulação e notação acima exposta.

6.1.2 Escoamento de um fluido newtoniano a baixo número de Reynolds

Uma vez que os escoamentos simulados são tridimensionais, procedeu-se ao estudo da

evolução da força de arrasto (por unidade de comprimento) ao longo do eixo do cilindro

com o intuito de: (i) identificar a zona onde ocorre uma distribuição uniforme da carga

de arrasto, de acordo com a formulação local do arrasto

( )

3 d DF zC z

Uδ δ

η= (6.20)

(ii) verificar se nessa zona a magnitude do coeficiente de arrasto, quando avaliado de

acordo com a velocidade média de escoamento aí observada, se aproxima mais do valor

em escoamento 2D do que quando o valor que resulta da equação (5.5) que considera a

acção do fluido sobre toda a extensão do cilindro e a velocidade média U de escoamento

na secção recta da conduta. Este último ponto exige a correcção da expressão acima de

forma a surgir em função da velocidade média do perfil desenvolvido a montante do

cilindro para o plano z, isto é,

( ) ( ) ( ) ( ) 3

,d D y

F zC z U U zU zη∂ ∂

=−∞

(6.21)

As figuras 6.1 a 6.4 mostram os resultados obtidos. De modo a proporcionar uma

comparação objectiva da evolução do arrasto ao longo do cilindro para diferentes razões

de forma, nestes gráficos apresenta-se o coeficiente de arrasto corrigido quanto ao efeito

de L (LCd3D)32 e a cota z surge normalizada pela meia largura da conduta (L/2). Nestas

figuras (6.1 a 6.4) as curvas a traço descontínuo referem-se às distribuições da carga de

32A apresentação do coeficiente de arrasto local na forma convencional resultaria em valores díspares na razão aproximada de 1:5, para A=1/8 e A=8. A comparação na mesma escala seria assim difícil.

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91

arrasto para as razões de forma extremas (A=1/512 e A=128) simuladas

computacionalmente, sendo aí apresentadas como simples referências de comparação.

80

100

120

140

160

180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

A=1/512: M40x24

A=1/8: M40x24

A=1/4: M20x8

A=1/2: M20x8

A=1: M20x12

z /(L /2 )

L Cd3

D(z

)

Figura 6.1 – Coeficiente de arrasto local (equação 6.9) em função de z para 1/8≤ Α ≤1.

80

100

120

140

160

180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

A=1: M20x12

A=2: M20x12

A=4: M20x12

A=8: M40x24

A=128: M40x24

z /(L /2 )

L Cd3

D(z

)

Figura 6.2 – Coeficiente de arrasto local (equação 6.9) em função de z para 1≤ Α ≤8.

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92

80

100

120

140

160

180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

A=1/512: M40x24

A=1/8: M40x24

A=1/4: M20x8

A=1/2: M20x8

A=1: M20x12

z /(L /2 )

L Cd3

D(z

) U/U

(z)

Figura 6.3 – Coeficiente de arrasto local em função de z, para 1/8≤ Α ≤1. A formulação deste coeficiente tem implícita, neste caso, a velocidade média do perfil de velocidades desenvolvido a montante do cilindro em cada plano z (equação 6.21).

80

100

120

140

160

180

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

A=1: M20x12

A=2: M20x12

A=4: M20x12

A=8: M40x24

A=128: M40x24

z /(L /2 )

L Cd3

D(z

) U/U

(z)

Figura 6.4 – Coeficiente de arrasto local em função de z, para 1≤ Α ≤8. A formulação deste coeficiente tem implícita, neste caso, a velocidade média do perfil de velocidades desenvolvido a montante do cilindro em cada plano z (equação 6.21).

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93

Em relação à zona central do escoamento, com 50% da extensão do cilindro, é

assim possível concluir-se que: (i) apenas para razões de forma superiores a 4:1 se

observa a uniformização da carga de arrasto; (ii) não se observa proporcionalidade entre

as grandezas de velocidade média (em cada plano z) e força de arrasto para razões de

forma inferiores a 8:1; (iii) para A=1/8 o seu valor local é ainda visivelmente inferior à

magnitude da força de arrasto obtida em condições de escoamento 2-D com velocidade

média igual à observada nessa zona central, veja-se a tabela 6.1.

Tabela 6.1 – Comparação de coeficientes de arrasto (LCd3D): (a) global e (b) no plano central

Solução computacional (S) para A=8 A= ∞ Formulação M20x12 M40x24 Extrapolação Cd2D

Desvio (%) S/Cd2D -1

(a) Equação (5.5) 132.484 133.688 134.090 (134.184) 1.29 (1.36)

(b) Equação (6.21) 125.049 126.021 126.345 (126.434) 132.378

-4.56 (-4.49)Obs.: Os valores dentro de parêntesis referem-se à formulação convencional do coeficiente de arrasto

A avaliação do coeficiente de arrasto com base na força exercida no plano central

z=0 e na velocidade média do perfil desenvolvido nesse plano, equação (6.21),

apresenta um desvio relativamente à solução 2D consideravelmente superior ao obtido

por grandezas globais de força e velocidade, equação (5.5). Para além disso, a evolução

desta formulação local em função da razão de forma A não se revela ajustável por uma

lei do tipo Cd (A) = Cd∞ + αAq, senão para razões de forma muito elevadas, ao contrário

do que sucede com a avaliação do arrasto em toda a extensão do cilindro (Figura 6.5).

100

110

120

130

140

150

0 1 2 3 4 5 6 7

]( ) ( )

0

,0z

y

F zUη

=∂ ∂

−∞

F LUη

log2 (Α )

Cd

Figura 6.5 – Coeficiente de arrasto global e no plano central em função da razão de forma Α.

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94

Assim, a partir deste ponto em diante, os valores de coeficiente de arrasto

apresentados referir-se-ão à avaliação da força exercida pelo fluido em toda a extensão

do cilindro. As figuras 6.6, 6.7 e 6.8 mostram a evolução deste coeficiente com a razão

de forma A pelas três formulações já apresentadas (equações 5.5, 6.13 e 6.17).

A

Cd3

D

10-3 10-2 10-1 100 101 102101

102

103

104

105

106

107

Figura 6.6 – Coeficiente de arrasto em função da razão de forma A: formulação convencional.

A região linear decrescente do gráfico «log-log» acima exibe, para razões de

forma inferiores a ~1:10, um declive de -2. Isto equivale a afirmar que o arrasto é

inversamente proporcional ao quadrado da largura da conduta L. A apresentação destes

mesmos resultados de modo independente de L resulta possível pela equação (6.9),

Figura 6.7. O coeficiente de arrasto assim calculado apresenta desvios em relação à

solução de referência 2D inferiores a 10% para A <1/32 ou A ≥1. Nestas condições a

função de correcção ( )L ΑΦ é representativa da influência das paredes fundo e topo

(figura 5.1) no processo de arrasto. A Figura 6.8 apresenta a força de arrasto sobre o

cilindro em termos de um «comprimento equivalente» de conduta. Pode assim

constatar-se que para razões de forma extremamente reduzidas o cilindro constitui uma

perturbação mínima ao escoamento, do ponto de vista da resistência adicional

produzida: o equivalente à força de fricção exercida pelo fluido ao longo de uma

extensão de conduta de um diâmetro.

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95

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.001 0.01 0.1 1 10 100Α

0.1

1

10

100Cd3D

Cd2D

Desvio

3 2

2

Desvio 100L

d D d D

d D

C CC

−= ×

Des

vio

(%)

L Cd3

D

Figura 6.7 – Coeficiente de arrasto em função da razão de forma A: equação (6.9) ou (6.13).

0

5

10

15

20

25

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

Domínio de simulaçãoExtrapolaçãoAssimptotas

NC

d3D

Α

N C d3D = 22.06

N C d3D = 0.990

Figura 6.8 – Coeficiente de arrasto em função da razão de forma A, equação (6.17). Neste caso

a força de arrasto é igual ao produto do coeficiente de arrasto pela força de fricção exercida pelo

fluido numa extensão de conduta de 1 diâmetro (em escoamento desenvolvido).

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96

6.1.3 Escoamento inercial de um fluido newtoniano

A simulação de escoamentos inerciais permitiu concluir, para diferentes razões de forma

(tabelas 6.2 e 6.3) que o arrasto é independente do número de Reynolds até valores da

ordem da unidade e que a partir de Re ~10 esta força aumenta acentuadamente de modo

aparentemente linear. O primeiro comportamento reflecte o efeito de forças de origem

viscosa, proporcionais à velocidade de escoamento, e o segundo uma correlação entre

arrasto e forças inerciais (F∝U2). As figuras 6.9 e 6.12 ilustram esses processos.

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

0.01 0.1 1 10 100Re

A=1/8

A=8

Ajuste proposto

L Cd3

D(R

e)

Figura 6.9 – Coeficiente de arrasto global em função do número de Reynolds: A=1/8; A=8

As curvas de ajuste apresentadas na Figura 6.9 correspondem à forma da equação (6.22):

( ) ( )

( ) ( )( )( )

0

40 0

, ,, 40

d d

d d

C Re C ReC C

Α Α ΑΑ Α Α

− Κ=

− Κ (6.22a)

( )( )( ),

1

2

K ReK ReRe Re

ΑΑΑ

++Κ = (6.22b)

As funções Cd0 e Cd40 traduzem, em função de A, a evolução do coeficiente de arrasto

para Re=0 e Re=40, respectivamente. As funções Cd0, Cd40, K1, e K2 são funções

polinomiais de A.

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97

De facto esta lei de ajuste pretende reproduzir o efeito combinado da razão de

forma (A) e da inércia do escoamento (Re). No entanto, para um valor constante de A

um simples ajuste polinomial de grau 4 ou 5 (conforme os casos) resultaria numa

aproximação igualmente eficaz. Contudo optou-se por propor e usar este modelo,

aparentemente mais elaborado, em virtude de este reflectir de algum modo a física do

processo evolutivo do arrasto em condições inerciais; note-se que de acordo com esta

formulação:

0d

Re 0

CRe →

∂=

∂ (6.23a)

d

Re

C ReRe →∞

∂∝

∂ (6.23b)

Por outro lado, do ponto de vista do acerto do modelo, definidas as funções Cd0 e Cd40

com base nos resultados computacionais obtidos, por este processo apenas existem dois

graus de liberdade a ajustar em função de A (K1 e K2) contrariamente à abundância de

coeficientes, igualmente funções de A, que resultariam do uso de leis polinomiais com

capacidade preditiva semelhante.

Tabela 6.2 – Comparação de coeficientes de arrasto (LCd3D) para as razões de forma A=1/8 e

A=8: simulações computacionais versus ajuste proposto, formulação (6.9), função de A e de Re.

A=1/8 Desvio A=8 Desvio Re

Simulação (ajuste) (%) Simulação (ajuste) (%)

0.0 161.44 (161.44) -0.005 132.48 (132.48) -0.006 0.1 161.45 (161.44) -0.009 132.50 (132.48) -0.016 1.0 161.48 (161.46) -0.013 132.77 (132.75) -0.014 1.6 161.47 (161.51) 0.025 133.19 (133.14) -0.040 2.5 161.59 (161.62) 0.016 134.06 (134.00) -0.049 4.0 161.90 (161.91) 0.004 136.16 (136.08) -0.059 6.3 162.61 (162.59) -0.008 140.70 (140.60) -0.071 10 164.24 (164.28) 0.021 150.21 (150.46) 0.165 14 166.85 (166.78) -0.038 163.95 (163.54) -0.247 20 171.48 (171.61) 0.077 185.00 (185.66) 0.355 28 179.65 (179.43) -0.118 216.22 (216.35) 0.063 40 192.56 (192.65) 0.045 259.80 (259.51) -0.112

Obs.: A coluna «Simulação» corresponde a resultados obtidos com malhas 3D M20x12

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98

A variação do coeficiente de arrasto (∆Cd) para Re muito pequenos constatou-se

proporcional a Req, com q compreendido entre 1.64 e 2.08 para 1/8≤ Α ≤8 (A=8 ⇒

q=1.75). A tabela 6.2 (pág. 97) apresenta a comparação de resultados entre simulações

computacionais e o ajuste proposto.

Com base nos resultados computacionais presentes na tabela 6.3 e no modelo de

ajuste proposto, equação (6.22), foi possível estabelecer de modo contínuo a evolução

do coeficiente de arrasto no domínio (1/8,0)≤ (A,Re) ≤(8,40): Figura 6.10.

Tabela 6.3 – Coeficientes de arrasto (LCd3D) obtidos computacionalmente: malhas 3D M20x12

Α Re

1/8 1/6* 1/4 1/2 1 2 4 6* 8

0.0 161.44 162.06 159.24 150.48 142.77 137.36 134.24 133.11 132.480.1 161.45 162.07 159.25 150.49 142.78 137.41 134.25 133.13 132.501.0 161.48 162.15 159.47 150.89 143.17 137.70 134.57 133.37 132.7710 164.24 168.61 174.76 176.42 167.08 157.73 153.46 151.16 150.2120 171.48 183.71 203.21 216.68 206.93 195.04 189.81 186.30 185.0040 192.56 220.01 260.88 296.34 287.93 273.24 265.43 261.20 259.80

(*) Por conveniência estes resultados não se apresentam graficamente

log 2(A)

-3-2

-10

12

3

Re

0

10

20

30

40

L Cd3

D

150

200

250

300

Figura 6.10 – Coeficiente de arrasto LCd3D, equação (6.13), em função do número de Reynolds e

da razão de forma da conduta: (1/8,0)≤ (A ,Re) ≤(8,40): modelo constitutivo newtoniano.

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99

A Figura 6.11 ilustra a evolução do coeficiente de arrasto com a razão de forma

em condições inerciais estáveis. Por sua vez a Figura 6.12 mostra a influência do

número de Reynolds sobre o coeficiente de arrasto para diferentes razões de forma.

0

40

80

120

160

200

240

280

320

-3 -2 -1 0 1 2 3

Re=0 Re=10

Re=20 Re=40

Máx. Cd(A,Re) Ajuste

Re=40

Re=10

Re=20

Re=0

8-1 4-1 2-1 1 2 4 8Α

L Cd3

D

Re=30

Figura 6.11 – Coeficiente de arrasto LCd3D, equação (6.13), para diferentes razões de forma A33.

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

0 5 10 15 20 25 30 35 40

A=1/8

A=1/4

A=1/2

A=1

A=2

A=4

A=8

Ajuste: A<1

Ajuste: A>1

Ajuste: A=1L Cd3

D(R

e)

Re

Figura 6.12 – Coeficiente de arrasto LCd3D, equação (6.13), em função do número de Reynolds.

33 As linhas de grelha verticais não obedecem a uma escala logarítmica; o espaçamento é 1/n: n=8, …, 1

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100

Pela Figura 6.11 pode confirmar-se que a formulação do coeficiente de arrasto

pela equação (6.9) ou (6.13) permite de facto prever a força de arrasto de modo

relativamente independente da largura da conduta, especialmente para razões de forma

superiores a 0.5 (L>H/2). Note-se que pela formulação convencional seria difícil

apresentar estes resultados na mesma escala gráfica. Também aqui é notório o

esbatimento do efeito da inércia34 do escoamento para razões de forma decrescentes.

Já pela observação da Figura 6.12 resultam evidentes as seguintes conclusões: (i)

a taxa de variação do coeficiente de arrasto com o número de Reynolds, para A≥1, é

praticamente independente da razão de forma; (ii) para condutas de largura decrescente

o coeficiente de arrasto torna-se progressivamente independente do número de

Reynolds, isto é, o escoamento configura-se como um escoamento de Hele-Shaw

(1898). Note-se que a normalização dos coeficientes de arrasto pela solução obtida em

creeping flow (Re=0) produz curvas praticamente lineares e sobrepostas, em condições

de inércia crescente, para A≥1, Figura 6.13. Para razões de forma decrescentes e

menores que 1:2 é visível a rápida diminuição da influência do número de Reynolds no

arrasto, Figura 6.14.

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

A=1

A=2

A=4

A=8

Ajustes

L Cd3

D(R

e)/C

d3D(0

)

Re

Figura 6.13 – Normalização do coeficiente de arrasto LCd3D, pela solução obtida em creeping flow, para diferentes razões de forma, A≥1.

34Nestas condições a inércia é meramente aparente, uma vez que a dimensão característica do escoamento deveria ser ditada agora não pelo raio do obstáculo mas sim pela largura da conduta (Re=ReL).

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101

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Ajustes

A=1/8

A=1/4

A=1/2

A=1

A=1/6

Re

L Cd3

D(R

e)/C

d3D(0

)

Figura 6.14 – Normalização do coeficiente de arrasto LCd3D, pela solução obtida em creeping flow, para diferentes razões de forma: A≤1.

A Figura 6.15 resume os resultados apresentados nas figuras 6.11 e 6.12, ainda que de forma não tão explícita. Pode assim observar-se a equivalência, do ponto de vista do coeficiente de arrasto, de escoamentos em diferentes condições inerciais e geométricas.

140

280

270

250

240

230

220

210

200

190

180

170

160150

260

290

log 2(A)

Re

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

40

Figura 6.15 – Coeficiente de arrasto LCd3D, equação (6.13), em função do número de Reynolds e

da razão de forma da conduta: (1/8,0)≤ (A ,Re) ≤(8,40): modelo constitutivo newtoniano.

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102

A título meramente ilustrativo reproduzem-se nas Figuras 6.17 e 6.18 os mesmos

resultados de coeficiente de arrasto, mas agora em termos de «comprimento

equivalente» de conduta. As curvas de ajuste apresentadas obedecem ao mesmo modelo

(equação 6.22); a conversão fez-se de acordo com a formulação das funções de

correcção ΦL e ΦN (equações 6.13 e 6.18).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-3 -2 -1 0 1 2 3

Re=0

Re=10

Re=20

Re=40

Ajuste

Re=30

8-1 4-1 2-1 1 2 4 8

Α

NC

d3D

Figura 6.16 – Coeficiente de arrasto NCd3D, equação (6.17), em função da razão de forma (A).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40

A=1/8 A=1/4 A=1/2 A=1

A=2 A=4 A=8 Ajustes

Re

NC

d3D

(Re)

Figura 6.17 – Coeficiente de arrasto NCd3D, equação (6.17), em função do número de Reynolds.

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103

Refira-se que o desvio médio, entre o modelo de ajuste proposto e os valores

computacionais obtidos, se verificou inferior a 0.10% em todo o domínio de simulação

(A ,Re). Este modelo, ou outro eventualmente mais expedito, poderá ser útil à

compatibilização de resultados experimentais obtidos em diferentes condições de

escoamento, uma vez que o nível de incerteza experimental excede usualmente o valor

acima referido.

6.1.4 Influência da elasticidade em condições de creeping flow

O modelo constitutivo considerado é o modelo UCM. À semelhança da análise anterior

também aqui se começa por estabelecer qual a distribuição da carga de arrasto ao longo

do cilindro em escoamentos a baixo número de Reynolds em condições de elasticidade

crescente (figura 6.18).

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

newt. De=0.2 De=0.4 De=0.5 De=0.6

z /(L /2 )

L Cd3

D(z

)

[De]

/[0]

[De ]

[0]

Figura 6.18 – Coeficiente de arrasto local (equação 6.9 ou 6.13), função de z, para Α =1.

Pode assim observar-se que a elasticidade do fluido não tem um efeito

significativo na forma dessa distribuição, pelo menos até valores do número de Débora

de 0.5 – 0.6 (definidos com base na velocidade média de escoamento em toda a secção

da conduta). Note-se contudo a acentuada redução do arrasto produzida para números

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104

de Débora crescentes, em particular, junto à parede de topo da conduta. A Figura 6.18

refere-se a uma conduta de secção quadrada. Para outras razões de forma o

comportamento é do mesmo modo proporcional à solução newtoniana (distribuições

paralelas às curvas presentes nas figuras 6.1 e 6.2.

O objectivo de estudar o efeito combinado da elasticidade e da proximidade das

paredes laterais da conduta conduziu à realização de simulações computacionais com o

modelo viscoelástico UCM quase exclusivamente para razões de forma de 1:1 e de 8:1,

por exiguidade de tempo. Contudo cedo se tornou evidente a proporcionalidade das

soluções viscoelástica e newtoniana de modo independente da razão de forma, ou seja,

( ) ( ) ( ) ( )2 2 newt.newt.,d d d D d DC De C C De C f DeΑ Α ≅ = (6.24)

Os resultados apresentados na tabela 6.4 confirmam esta observação. Procedendo à

normalização desses resultados pela primeira linha da tabela, relativa à solução

newtoniana, obtém-se a tabela 6.5 (pág. 106), que evidencia assim a manifesta

independência da solução viscoelástica em relação à razão de forma, uma vez conhecida

a resposta do fluido newtoniano com a variação de constrangimentos geométricos.

Tabela 6.4 – Influência da elasticidade sobre o coeficiente de arrasto (Cd3D) para Re=0, de acordo com o modelo UCM: soluções computacionais em malhas 3D M20x64x12 e sua comparação com valores de referência 2D (Alves et al., 2001, ou Gerritsma, 2006).

Α De

1 2 4 6 8 ∞

0.00 149.17 138.90 134.61 133.28 132.61 132.378 0.10 142.58 127.21 127.400 0.20 131.08 117.63 117.808 0.30 120.71 108.67 108.647 0.40 112.67 101.37 101.386 0.50 107.68 100.36 97.57 96.30 96.054 0.60 105.69 92.65 92.305

A Figura 6.19 expõe graficamente estes mesmos resultados, relativos a malhas

computacionais 3D M20x12. Porém, os valores obtidos para a razão de forma A=8

resultariam graficamente justapostos à solução bidimensional se apresentados em estrita

concordância com os resultados produzidos pela malha M20x12 (A=8), ainda

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105

relativamente grosseira. De modo a evitar a ilusão de coincidência de soluções e

expressar correctamente o comportamento assimptótico do arrasto na aproximação à

solução 2-D (última coluna da tabela 6.5) procedeu-se graficamente (Figura 6.19) à

correcção dos valores presentes na tabela 6.5 em consonância com os desvios relativos d

verificados entre a solução newtoniana M20x12 e os valores extrapolados pela técnica

de Richardson, a partir das soluções M20x12 e M40x24, para as razões de forma de 1:8,

8:1 e 128:1 (ver tabelas35 5.6 e 6.7). Esses desvios verificaram-se ajustáveis por

( )

0.187 20.611 0.840 10d Α− −= + × .

80

100

120

140

160

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Cd2D: Gerritsma (2006)

Ajuste

A=1

A=2

A=4

A=8

Cd3

D

De

Figura 6.19 – Coeficiente de arrasto, formulação convencional (equação 6.9 ou 6.13), em

função do número de Débora para diferentes razões de forma: modelo viscoelástico UCM.

Com o intuito de estabelecer de modo contínuo a evolução do coeficiente de

arrasto no domínio de simulação (1,0)≤(A ,De)≤(8,0.5), e dado o paralelismo (em

função de A) das soluções newtoniana e viscoelástica, patente na tabela 6.5, estimaram-

se os factores de redução ( )Def em falta nesta tabela por interpolação linear em função

do logaritmo de A dos valores obtidos para A=1 e A=8.

35Alerta-se para o facto de na tabela 6.6 figurarem os valores de coeficiente de arrasto relativos à formulação (6.17), com correcção do efeito da largura finita da conduta.

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106

Tabela 6.5 – Factor de redução, , Def da solução newtoniana ( )3d DC Α e ( )2d DC Α (Alves et

al., 2001) com o número de Débora (modelo viscoelástico UCM): ( ) ( ),De dnD dnDf C De CΑ Α=

Α De

1 2 4 8 ∞

0.00 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.10 0.956 0.959 0.962 0.20 0.879 0.887 0.890 0.30 0.811 0.819 0.821 0.40 0.755 0.764 0.766 0.50 0.722 0.723 0.725 0.726 0.726 0.60 0.708 0.699 0.697

Note-se que o objectivo aqui é proporcionar uma leitura expressiva da influência

combinada da elasticidade e dimensão finita da conduta sobre o coeficiente de arrasto,

por extensão dos resultados obtidos para as razões de forma de 1:1 e 8:1. Idealmente

mais simulações deveriam ter sido realizadas, no entanto, tal não foi possível. A Figura

6.20 reflecte esse paralelismo entre as soluções encontradas para os casos limite

simulados.

80

100

120

140

160

1 10

newt De=0.1 De=0.2 De=0.3 De=0.4 De=0.5 De=0.6 Cd2D: Gerritsma (2006)

Cd3

D

Α

Figura 6.20 – Coeficiente de arrasto, formulação convencional (equação 6.9 ou 6.13), em

função da razão de forma A para diferentes números de Débora: modelo viscoelástico UCM.

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107

A Figura 6.21 retrata assim a influência combinada da elasticidade do fluido

(modelo UCM) e da largura finita da conduta sobre coeficiente de arrasto em condições

de escoamento a baixo número de Reynolds (Re=0).

log 2(A)

0

1

2

3

De

00.1

0.20.3

0.40.5

0.6

Cd3

D

100

120

140

160

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

log 2(A)

De

0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figura 6.21 – Coeficiente de arrasto em função da razão de forma da conduta e do número de

Débora, (1,0)≤(A ,De)≤(1,0.5), pelo modelo constitutivo viscoelástico UCM: (a)

representação tridimensional; e (b) sob a forma de curvas de nível (força de arrasto constante).

(a)

(b)

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108

Refira-se que a independência do factor de redução, , Def relativamente à razão de

forma permitiria estender os gráficos anteriores (Figura 6.21) a valores de A mais

elevados. Já para razões de forma inferiores a 1:1 o mesmo não se afirmará, uma vez

que, nessas condições, se revelou impossível obter soluções computacionais

convergentes que confirmem a constância desse factor.

6.1.5 Influência da elasticidade em escoamentos inerciais

Observada a evolução do coeficiente de arrasto ao longo do cilindro conclui-se que a

elasticidade (modelo UCM) tem uma pequena influência sobre a forma da distribuição

da carga de arrasto (figura 6.22). Porém, a redução acentuada da magnitude desta força,

promovida pela elasticidade do fluido em escoamentos a baixo número de Reynolds,

deixa de se observar em condições de inércia crescente.

0

40

80

120

160

200

0 0.5 1 1.5 20

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

De=0.3_Re=10 newt._Re=10 De=0.3_Re=0

net._Re=0 redução: Re=10 redução: Re=0

z /R

Cd3

D(z

)

Red

ução

do

arra

sto

(%)

Figura 6.22 – Coeficiente de arrasto local (equação 6.9 ou 6.13), função de z, para Α =1.

A escassez de simulações computacionais realizadas em condições inerciais com

fluidos viscoelásticos apenas permite estimar o número de Reynolds para o qual

aparentemente ocorre a inversão do efeito benéfico da elasticidade sobre o arrasto

(tabela 6.6). Apenas se realizaram simulações de escoamento inerciais para razões de

forma de 1:1 e de 1:8, para De≤0.4: no caso da conduta de secção quadrada, apenas foi

possível obter soluções convergentes até Re=10 e De=0.3, ou Re=40 e De=0.2; para

A=8, for possível simular as condições de Re=10 e De=0.4, pelo modelo UCM.

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109

Tabela 6.6 – Influência da elasticidade, de acordo com modelo UCM, sobre o coeficiente de

arrasto (Cd3D) em escoamentos inerciais: comparação relativa de resultados, malhas M20x64x12

A=1 A=8 Re

De=0 De=0.1 De=0.2 De=0.3 De=0 De=0.1 De=0.2 De=0.3 De=0.40 1.125 1.075 0.989 0.910 1 0.959 0.887 0.820 0.765

0.1 1.125 0.989 1.000 1.0 1.128 0.993 1.002 0.891 0.772 10 1.317 1.312 1.284 1.263 1.134 1.127 1.091 1.056 20 1.631 1.689 1.396 1.439 40 2.269 2.442 1.961 2.102

Obs.: O valor de referência implícito nesta tabela avaliou-se em 134.184, com uma incerteza de 0.30%, pela técnica de extrapolação de Richardson, a partir das soluções M20x12 e M40x24 (tabela 6.2).

Refira-se que, com base na técnica de extrapolação de Richardson e soluções

M20x12 e M40x24, se obtiveram os valores de coeficiente de arrasto (Cd3D) de 264.55,

para De=0 e Re=40, e de 138.90, para De=0.4 e Re=10, com incertezas de 0.43% e de

0.21%, respectivamente.

O reduzido número de simulações não aconselha conclusões assertivas, mas

aparentemente o efeito benéfico da elasticidade extingue-se para números de Reynolds

de cerca de 14, Figura 6.23. Este limite parece ser relativamente insensível ao grau de

elasticidade do fluido (Figura 6.23).

80

120

160

200

240

280

0.1 1 10 100

newt._A=8

De=0.2_A=8

De=0.4_A=8

Re

Cd3

D

Figura 6.23 – Evolução do coeficiente de arrasto com o número de Reynolds: fluido

newtoniano versus UCM para De=0.2 e De=0.4. Razão de forma da conduta de 8:1.

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110

Comparando a evolução da força de arrasto com o aumento da elasticidade do

fluido em condições de inércia nula e para Re=10, pode também constatar-se que a

redução do arrasto neste último caso é já inferior a 7%, contra os 30% obtidos para

Re=0 e De=0.6. Também aqui parece verificar-se o paralelismo das soluções obtidas

para diferentes razões de forma (figura 6.24).

80

100

120

140

160

180

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Re=10_A=8 Re=0_A=8

Re=10_A=1 Re=0_A=1

Cd3

D

De

Figura 6.24 – Evolução do coeficiente de arrasto em função do número de Débora: modelo

viscoelástico UCM para Re=0 e Re=10; razões de forma da conduta de 1:1 e de 8:1.

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111

6.2 Campos de tensões e pressão Uma análise detalhada dos campos de tensões em escoamentos a baixo número de

Reynolds em função da razão de forma da conduta não se justifica dada a semelhança

qualitativa destas distribuições de tensões. Assim, proceder-se-á simplesmente à

apresentação de resultados relativos à comparação de escoamentos a baixo e elevado

número de Reynolds, para as razões de forma de 1:1 e de 8.1, com os modelos

constitutivos newtoniano e viscoelástico UCM. Note-se que todos os perfis

apresentados são relativos aos valores médios das tensões sobre as geratrizes do cilindro

ou sobre o plano de simetria [oxz] ao longo de z (formulação 5.2). Nesta forma os

resultados são relativamente insensíveis à influência da largura finita da conduta, sendo

por isso mais representativos da solução 2-D, à semelhança do que se constatou com a

avaliação local e global da força de arrasto por unidade de comprimento. Por esse

motivo apenas se analisam as razões de forma A=1 e A=8.

Considere-se o exemplo do escoamento a baixo número de Reynolds de um fluido

viscoelástico, modelo UCM, para um número de Débora de 0.5: figuras 6.25 e 6.26.

Figura 6.25 – Distribuições de tensão τxx ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz]: modelo UCM, De=0.5, Re=0, e razões de forma (a) A=1 e (b) A=8.

s/R

01

23

45

67

8z/(L/2)-10

1

τ xx*

0

40

80

120

160

s/R

01

23

45

67

8z/(L/2)-10

1

τ xx*

0

40

80

120

160

a)

b)

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112

Figura 6.26 – Distribuições de tensão τxy ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz]: modelo UCM, De=0.5, Re=0, e razões de forma (a) A=1 e (b) A=8.

-40

0

40

80

120

160

-1 0 1 2 3 4

T11_A=1

T11_A=8

T12_A=1

T12_A=8

Malha 3D M20x64x12: A = 1; Re = 0

x /R

τ ij/ (ηU

/ R)

x x

y

y

U UCM, De =0.5

Figura 6.27 – Distribuições de tensão τxy e τxx ao longo da superfície do cilindro e a jusante

sobre o plano de simetria [oxz]: modelo UCM, De=0.5, Re=0, e (a) A=1 e (b) A=8.

s/R

01

23

45

67

8z/(L/2)-10

1

τ yx*

0

20

40

60

s/R

01

23

45

67

8z/(L/2)-10

1

τ yx*

0

20

40

60

a)

b)

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113

Embora as diferenças de forma destas distribuições sejam notórias (figuras 6.25 e

6.26), não se observando para A=1 uma zona onde as tensões sejam independentes da

direcção neutra, a avaliação das tensões médias por integração segundo z resulta em

perfis médios de tensões não muito diferentes: Figura 6.27. A redução do máximo de

tensão normal (τxx) sobre o cilindro é de apenas 7.2% quando se aumenta a razão de

forma de 1:1 para 8:1, contra uma variação desse máximo no plano de simetria [oxy] de

27%. Já os perfis médios de tensões de corte (τxy) são praticamente coincidentes.

Por conveniência esta semelhança de perfis médios ilustrou-se (figuras 6.25 a

6.27) com um escoamento não inércial viscoelástico (modelo UCM). A apresentação de

resultados obedecerá no entanto à ordem estabelecida na introdução deste capítulo.

Os perfis de tensões obtidos revelam o escasso grau de refinamento das malhas no

plano de [oxy], sendo apreciável a variação dos perfis de tensão em magnitude e

distribuição com o aumento do grau de refinamento, figuras 6.42 e 6.43 (págs. 122 e

123). Comparativamente com os estudos bidimensionais deste escoamento padrão,

referidos na revisão bibliográfica realizada, 20 células na direcção normal à superfície

do cilindro é de facto um número manifestamente insuficiente para uma formulação

numérica pelo método dos volumes finitos.

No entanto, esta é uma análise 3-D, e o seu principal objectivo é o de estabelecer

tendências na evolução das diferentes grandezas que caracterizam este escoamento e

não valores numéricos precisos. Um aspecto é contudo relevante: o facto de os valores

calculados de força de arrasto serem praticamente insensíveis a estes desvios nos perfis

individuais de tensões.

6.2.1 Escoamento inercial de um fluido newtoniano

A influência da inércia nas distribuição de tensões normais τxx e de corte τxy sobre a

superfície do cilindro encontra-se retratada, para as razões de forma de 1:1 e de 8:1, nas

figuras 6.28 e 6.29, relativas às tensões normais, e tensões de corte nas figuras 6.30 e

6.31. Note-se que o efeito da largura da conduta é quase imperceptível nos perfis

médios exibidos (a escala gráfica é a mesma).

Ambas as distribuições de tensão contribuem para o agravamento do arrasto em

condições de inércia crescente. No entanto, é a distribuição de pressão sobre o cilindro

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114

que se constitui como o principal meio de acção do escoamento sobre o obstáculo no

processo de geração de arrasto (figura 6.32).

-30

-20

-10

0

10

-1 0 1 2 3 4

Re=0

Re=10

Re=20

Re=40

Malha 3D M20x64x12: A = 1; newt.

τ xx :

x /R

τ xx/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.28 – Distribuições de tensão τxx ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz] para diferentes números de Reynolds: fluido newtoniano; A=1.

-30

-20

-10

0

10

-1 0 1 2 3 4

Re=0

Re=10

Re=20

Re=40

Malha 3D M20x64x12: A = 8; newt.

τ xx :

x /R

τ xx/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.29 – Distribuições de tensão τxx ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz] para diferentes números de Reynolds: fluido newtoniano; A=8.

Page 127: Escoamento de fluidos newtonianos e viscoelásticos em ...repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/11868/2/Texto integral.pdf · 5.3.2 Cálculo da força de arrasto exercida sobre

115

-20

-10

0

10

20

30

-1 0 1 2 3

Re=0

Re=10

Re=20

Re=40

Malha 3D M20x64x12: A = 1; newt.τ xy :

x /R

τ xy/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.30 – Distribuições de tensão τxy ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz] para diferentes números de Reynolds: fluido newtoniano; A=1.

-20

-10

0

10

20

30

-1 0 1 2 3

Re=0

Re=10

Re=20

Re=40

Malha 3D M20x64x12: A = 8; newt.τ xy :

x /R

τ xy/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.31 – Distribuições de tensão τxy ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o

plano de simetria [oxz] para diferentes números de Reynolds: fluido newtoniano; A=8.

Page 128: Escoamento de fluidos newtonianos e viscoelásticos em ...repositorio-aberto.up.pt/bitstream/10216/11868/2/Texto integral.pdf · 5.3.2 Cálculo da força de arrasto exercida sobre

116

0

40

80

120

160

200

240

280

320

0 10 20 30 40

A=1

A=8

Malha 3D M20x64x12

Re

Cd

: com

pone

ntes

C d :τ xx

C d :τ xy , τ xx

C d : p, τ xy , τ xx

Figura 6.32 – Contributos cumulativos das diferentes distribuições de tensões e pressão para a geração da força de arrasto: razões de forma A=1 e A=8. Este gráfico não pretende justificar os mecanismos de arrasto mas simplesmente identificar o peso relativo dos diferentes meios de acção directa do fluido sobre o obstáculo no processo de geração de arrasto.

-240

-200

-160

-120

-80

-40

0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A=1 A=8

Malha 3D M20x64x12: A = 1& A=8

x /R

p/( η

U/R

)

x x

y

y

U

Re = 0

Re = 40

Figura 6.33 – Distribuições de pressão ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] para as razões de forma A=1 e A=8: modelo constitutivo newtoniano. Note-se que o efeito da largura finita da conduta é notório sobre a distribuição de

pressão, ao contrário do que sucede com as tensões τxx e τxy. A Figura 6.33 revela essas

diferenças para creeping flow (Re=0) e escoamento a Re=40.

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117

-240

-200

-160

-120

-80

-40

0

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Re=0 Re=10 Re=20 Re=40 Re=30

Malha 3D M20x64x12: A = 1

x /R

p/( η

U/R

)

x x

y

y

U

Figura 6.34 – Evolução das distribuições de pressão ao longo da superfície do cilindro e a

jusante sobre o plano y=0 em função do número de Reynolds: fluido newtoniano; A=1

A Figura 6.34 mostra para a razão de forma de 1:1 a evolução dos perfis médios

de pressão para números de Reynolds crescentes. A desproporção entre os gradientes de

pressão sobre o cilindro comparativamente com o que se verifica em escoamento

desenvolvido, e a sua evolução com o número de Reynolds, são factores que confirmam

a natureza inércial do arrasto, o qual tem como principal agente mecânico as forças de

pressão exercidas sobre a sua superfície cilindro (Figura 6.32).

6.2.2 Influência da elasticidade em creeping flow

O efeito da elasticidade do fluido, neste caso simulada de acordo com o modelo UCM,

sobre os perfis de tensões normal e de corte pode observar-se nas figuras 6.35 a 6.38. Os

resultados apontam para um aumento acentuado das tensões normais (cartesianas) sobre

o cilindro e plano de simetria y=0, a jusante. A evolução dos máximos relativos deste

perfil de tensões exibe qualitativamente a forma das figuras 2.1 e 2.2 obtidas por

diversos autores na análise 2-D deste escoamento padrão (ver capítulo 2). Já do ponto

de vista quantitativo, os desvios observados, em especial sobre o cilindro, são

significativos. Em parte estes devem-se naturalmente ao efeito da largura finita da

conduta. A Figura 6.39 revela-o para as razões de forma de 1:1 e de 8:1. No entanto, a

comparação de simulações, realizadas em malhas M20x12 e M40x24, de um

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118

escoamento inercial (Re=10) «elástico» (De=0.4) sugere o afastamento ainda apreciável

das soluções produzidas em malhas M20x12 da solução limite de convergência com o

grau de refinamento da malha (Figura 6.42).

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-1 0 1 2 3 4

newt.

De=0.1

De=0.2

De=0.3

De=0.4

De=0.5

Malha 3D M20x64x12: A = 1; Re = 0τ xx :

x /R

τ xx/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.35 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxx ao longo da

superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] para Re=0: modelo UCM, A=1.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-1 0 1 2 3 4

newt.

De=0.1

De=0.2

De=0.3

De=0.4

De=0.5

Malha 3D M20x64x12: A = 8; Re = 0τ xx :

x /R

τ xx/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.36 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxx ao longo da

superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] para Re=0: modelo UCM, A=8.

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119

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-1 0 1 2 3

newt.

De=0.1

De=0.2

De=0.3

De=0.4

De=0.5

Malha 3D M20x64x12: A = 1; Re = 0τ xy :

x /R

τ xy/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.37 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxy ao longo da

superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] para Re=0: modelo UCM, A=1.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-1 0 1 2 3

newt.

De=0.1

De=0.2

De=0.3

De=0.4

De=0.5

Malha 3D M20x64x12: A = 8; Re = 0τ xy :

x /R

τ xy/

( ηU

/R)

x x

y

y

U

Figura 6.38 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxy ao longo da

superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] para Re=0: modelo UCM, A=8.

Contrariamente ao efeito isolado da inércia, a elasticidade faz surgir uma

distribuição de tensões normais (τxx) quase exclusivamente de tracção, com o

deslocamento do máximo absoluto para montante da geratriz superior do cilindro. Esta

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120

resposta resulta na diminuição do valor de arrasto produzido directamente por esta

tensão. A partir de De=0.4 a força resultante desta distribuição (Figura 6.36) tem

sentido contracorrente: o cilindro é puxado para montante (Figura 6.40).

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1º máximo: A=1

2º máximo: A=1

1º máximo A=8

2º máximo: A=8

Malhas 3D M20x64x12: A = 1 & 8; Re = 0

De

τ xx/

( ηU

/R)

τ xx :

Figura 6.39 – Evolução, em função do número de Débora, dos máximos relativos dos perfis de

tensões médias τxx para as razões de forma da secção da conduta A=1 e A=8: modelo UCM.

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Malha 3D M20x64x12: A = 8; Re = 0

De

Cd

: com

pone

ntes

C d _ τ xx

C d _ τ xy

C d _ p

C d _ τ xx + τ xy

Figura 6.40 – Contributos individuais das diferentes distribuições de tensões e pressão para a

geração da força de arrasto (A=8). A origem da escala de Cd não coincide com o eixo [De].

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121

Contudo note-se que os perfis de tensões normais (τxx) e de corte (τxy) mostrados

estão associados ao referencial cartesiano estabelecido na Figura 4.1, não sendo por isso

válida a assumpção de que o arrasto por corte esteja a aumentar com o número de

Débora. A combinação destas duas tensões resulta num referencial polar numa

distribuição de tensões (de corte) tangenciais à superfície do cilindro relativamente

insensível à elasticidade do fluido (Figura 6.46, pág. 125). Por outro lado as tensões

normais radiais não existem para este modelo viscoelástico36 e as tensões normais

circunferenciais não actuam sobre a superfície do cilindro. Assim, do ponto de vista

estritamente mecânico (caracterização das forças em presença), o arrasto é

essencialmente o resultado de forças de pressão, essas sim consideravelmente afectadas

pela elasticidade do fluido. Veja-se a alteração qualitativa da distribuição de pressão

com o aumento do número de Débora: os perfis surgem agora com concavidade

invertida face ao escoamento newtoniano, Figura 6.41, o que resulta para a mesma

queda de pressão numa diminuição da acção de arrasto. Porém, a partir de um número

de Débora compreendido entre 0.4 e 0.5, observa-se o aumento da queda de pressão

através do cilindro; um contínuo aumento da elasticidade resultará eventualmente na

estabilização do arrasto por pressão (Figura 6.40).

-60

-40

-20

0

-1 0 1 2 3 4

De=0

De=0.2

De=0.4

De=0.5

Malha 3D M20x64x12, A = 8

x /R

p/( η

U/ R

)

x x

y

y

U

Figura 6.41 – Evolução das distribuições de pressão ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o plano y=0 em função do número de Débora: modelo UCM; A=8. Neste gráfico não surgem representados todos perfis calculados por conveniência de leitura.

36 Sobre a superfície do cilindro o escoamento é puramente de corte. Nestas condições, e para o modelo UCM, a segunda diferença de tensões normais, correspondente à direcção radial, é nula.

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122

6.2.3 Influência da elasticidade em escoamentos inerciais

Como já foi referido, apenas foi possível realizar um número limitado de simulações

computacionais do efeito combinado da inércia e da elasticidade do fluido (modelo

UCM), tabela 6.6, por exiguidade de tempo, e por dificuldades acrescidas em se obter

convergência de soluções para números de Débora superiores a 0.4 com Re=10 (razão

de forma de 8:1). A simulação de escoamentos para razões de forma mais reduzidas

constatou-se ainda mais difícil.

As figuras 6.42 a 6.46 referem-se apenas à geometria de conduta com razão de

forma de 8:1. Para a secção quadrada as distribuições de tensões e pressão são

qualitativamente semelhantes, ainda que a magnitude das tensões e pressão seja mais

elevada.

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-1 0 1 2 3 4

De=0.4_Re=10: M40x24

newt._Re=10: M20x12

De=0.2_Re=10: M20x12

De=0.4_Re=10: M20x12

Malhas 3D: M20x64x12 & M40x128x24_A = 8

x /R

τ xx/

( ηU

/ R)

x x

y

y

U

Figura 6.42 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxx ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] em escoamentos inerciais: modelo convectivo superior de Maxwell (UCM); razão de forma A=8.

As figuras 6.42 e 6.43 revelam a rápida evolução das tensões normais (τxx) e de

corte (τxy) sobre a superfície do cilindro com o aumento da elasticidade. Os máximos

absolutos destas distribuições de tensões ocorrem a montante do plano de simetria [oyz];

a sua magnitude é semelhante. O aspecto mais relevante que aí figura prende-se com a

discrepância de perfis de tensões obtidos por soluções com graus de refinamento

distintos: M20x12 e M40x24. Este aspecto já foi discutido, e é inerente ao reduzido

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123

grau de refinamento da malha no plano de escoamento [oxy]. Note-se no entanto que o

perfil de pressão é bem menos sensível ao refinamento da malha (Figura 6.44).

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

-1 0 1 2 3

De=0.4_Re=10: M40x24

newt._Re=10: M20x12

De=0.2_Re=10: M20x12

De=0.4_Re=10: M20x12

x /R

τ xy/

( ηU

/R)

x x

y

y

U

Malhas 3D: M20x64x12 & M40x128x24_A = 8

Figura 6.43 – Influência da elasticidade sobre as distribuições de tensão τxy ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] em escoamentos inerciais: modelo convectivo superior de Maxwell (UCM); razão de forma A=8.

-100

-80

-60

-40

-20

0

-1 0 1 2 3 4

De=0.4_Re=10: M40x24

newt._Re=10: M20x12

De=0.2_Re=10: M20x12

De=0.4_Re=10: M20x12

Malhas 3D: M20x64x12 & M40x128x24_A = 8

x /R

p/( η

U/ R

)

x x

y

y

U

Figura 6.44 – Influência da elasticidade sobre a distribuição de pressão ao longo da superfície do cilindro e a jusante sobre o plano de simetria [oxz] em escoamentos inerciais: modelo convectivo superior de Maxwell (UCM); razão de forma A=8.

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124

Os perfis de pressão (Figura 6.44) sugerem que a elasticidade exerce uma

influência progressivamente decrescente sobre a distribuição de pressões para uma

mesma variação do número de Débora, ao contrário do que sucede com as tensões. Em

condições de inércia não nula, em concreto para Re=10, verifica-se uma alteração

significativa da forma destes perfis por comparação com o escoamento em creeping

flow (Figura 6.41). Estes não são agora tão favoráveis à redução do arrasto de pressão.

A Tabela 6.7 e Figura 6.45 apresentam o peso relativo das distribuições de tensões

e pressão no processo geração de arrasto.

Tabela 6.7 – Individualização dos contributos relativos das diferentes distribuições de tensões,

τxx e τxy, e pressão para a força de arrasto: modelo constitutivo viscoelástico UCM, Re=10, A=8

M20x64x12 (A=8) M40x128x24 (A=8) De

[1] [2] [3] [1] [2] [3]

0.0 0.124 0.154 0.722 0.2 -0.240 0.505 0.734 0.4 -0.622 0.860 0.762 -0.660 0.897 0.763 [1], [2], [3]: Respectivamente, forças de arrasto devidas às tensões τxx, τxy e pressão, normalizadas pela força de arrasto global.

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Malha 3D M20x64x12, A=8: Re =10

De

Cd

: com

pone

ntes

C d :τ xx

C d :τ xy

C d : p

Figura 6.45 – Individualização dos contributos relativos das diferentes distribuições de tensões,

τxx e τxy, e pressão para a força de arrasto: modelo UCM, Re=10, A=8

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125

Também em escoamentos inerciais o «arrasto de pressão» é dominante,

correspondendo a aproximadamente 75% da força de arrasto total. Sublinha-se uma vez

mais que ocorrência de tensões normais e tensões de corte fortemente crescentes (no

referencial cartesiano) com a elasticidade do fluido não corresponde de modo algum ao

seu modo de acção sobre o obstáculo. Estas duas tensões quando combinadas

traduzem-se por distribuições de tensões (de corte) tangenciais à superfície do cilindro

pouco sensíveis ao aumento do número de Débora; Figura 6.46. Contudo o estiramento

elástico do fluido enquanto contorna o cilindro resulta numa acção de tracção que afecta

significativamente a distribuição de pressões na sua proximidade (Figura 6.44) e deste

modo a força de arrasto.

0

40

80

120

160

200

240

280

0 1 2 3

Malha 3D M20x64x12, A = 8

s /R

τ ij /

( ηU

/ R)

τ r θ : Re =10; De =0.4

τ θθ : Re =10; De =0.4

τ r θ : Re =10; De =0

Figura 6.46 – Distribuições de tensões de acordo com m referencial polar: modelo UCM,

Re=10, A=8

Para números de Reynolds superiores a ~14 (Figura 6.23) o efeito inercial de

agravamento do arrasto prevalece sobre a influência benéfica da elasticidade. Os

resultados produzidos, porém, não permitem concluir se a elasticidade do fluido

contribui também de algum modo para o aumento da força de arrasto, em condições de

inércia elevada.

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126

6.3 Campo de velocidades Por regra todos os perfis de velocidades em função de y, obtidos em determinado plano

x=X , referem-se a valores médios resultantes de integração segundo z (formulação 5.2).

Deste modo, as velocidades médias Ux resultam comparáveis com perfis análogos em

escoamento 2-D até razões de forma do canal de 1:1, improváveis do ponto de vista da

realização experimental de escoamentos «bidimensionais».

Refira-se desde já que uma das conclusões deste trabalho é a de que o escoamento

num canal rectangular com razão de forma de 8:1 não pode ser considerado

bidimensional. Não do ponto de vista do arrasto gerado local e globalmente (secção

6.1), e ainda menos do ponto de vista das estruturas de circulação em torno do cilindro,

as quais se revelam complexas em escoamento inerciais e com o efeitos 3D notórios

mesmo para Re=0 com o modelo constitutivo newtoniano. A proximidade das paredes

fundo e topo da conduta (Figura 5.1) justificam este comportamento. Estas conclusões

reforçam os resultados experimentais produzidos por Verhelst et al. (2001) quanto à

natureza tridimensional de escoamentos gerados em condutas com geometrias similares.

6.3.1 Escoamento a baixo número de Reynolds

É objectivo caracterizar o escoamento em função da razão de forma da conduta. Tal será

realizado considerando primeiramente as semelhanças encontradas entre a solução

bidimensional e as soluções numéricas para canais de largura finita quanto a: (i) perfis

de velocidade axial ao longo do plano y=0 (em função de x), Figura 6.47; (ii) perfis de

velocidades médias em função de y para diferentes valores de x, Figura 6.48; (iii)

linhas de corrente, Figuras 6.49 e 6.50. Este último aspecto foi estudado ao longo dos

sucessivos planos z que contêm os nós centrais das células que constituem as malhas

usadas no cálculo, não tendo sido observadas diferenças numa extensão central de 75%

do cilindro até razões de forma de 1:1.

No escoamento bidimensional, para cada plano y=Y , a velocidade é apenas

função de x, contrariamente ao que sucede no escoamento 3D. Entre estes domínios

geométricos estabelece-se a seguinte analogia: dimensão ilimitada segundo z versus

largura finita do canal; velocidade uniforme segundo essa direcção versus velocidade

média ao longo de z, para um dado ponto do plano [oxy]. A Figura 6.47 apresenta de

acordo com a formulação (5.2) essa comparação.

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127

0.0

0.5

1.0

1.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Solução 2D Malha 3D M20x64x12: Re = 0; newt.

x /R

x x

y

y

U

(z) u x

(x,0

)/U

A = 8A = 1 A = 2-1

A = 4-1

A = 8-1

A = 0

Figura 6.47 – Perfis de velocidade média (por integração segundo z) sobre o plano de simetria

y=0 para diferentes razões de forma. Comparação destes perfis com a solução 2D (A= ∞) e com

o escoamento de Hele-Shaw limite A=0 (o equivalente ao campo potencial de velocidades em

escoamento confiando com velocidade de corrente livre igual a U).

Note-se a quase coincidência dos perfis 2D e médios 3D para A≥8 (domínio de

integração em z). A solução bidimensional foi obtida pela malha M80. Se esta

comparação fosse realizada localmente sobre o eixo da conduta a velocidade seria

ux=1.628U para A=8 (de acordo com a equação 5.1). Mesmo para uma razão de forma

de 1:1, os perfis de velocidade média não diferem da solução 2D senão em 4% (tabela

5.2). Em relação a este ponto, o que importa reter é a semelhança de perfis para A> 1.

Os perfis médios por integração em z demonstram-se assim representativos da

solução bidimensional. Embora a magnitude das velocidades seja dependente de z,

globalmente o efeito de terceira dimensão não é ainda notório. A Figura 6.48 reforça

esta conclusão: aí comparam-se os perfis médios 3D com a mesma solução 2D, acima

referida, para determinados valores de x.

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128

-2

-1

0

1

2

0.0 1.0 2.0 3.0

y/R

x=-5R (A=1) x=-5R (A=8) x=-R x=0 Solução 2D

A=1 A=8

Figura 6.48 – Perfis de velocidades médias Ux (por integração segundo z) para diferentes valores de x: razões de forma de 1:1 e de 8:1. Comparação destes perfis com a solução 2D M80.

Na Figura 6.48 pode observar-se a boa aproximção dos perfis médios 3D às

soluções bidimensionais equivalentes, mesmo para a razão de forma de 1:1. Note-se no

entanto o melhor nível de aproximação nas zonas onde os gradientes axiais de

velocidade são mais pronunciados. Os perfis x=-5R são aqui apresentados por estarem

no limiar da zona de escoamento aparentemente desenvolvido (de acordo com a Figura

6.47).

Esta semelhança global de perfis de velocidade deixa supor igual similitude das

linhas de corrente para A≥1. As figuras 6.49, 6.50 e 6.51 apresentam estes resultados

sobre o plano central z=0 para as razões de forma A=8,1,1/2, A=1/2,1/4,1/8, e

A=1/16,1/32,1/64, respectivamente. Todas as linhas de corrente foram geradas a partir

do campo de velocidades desenvolvido. Na Figura 6.49 o espaçamento vertical fez-se

inicialmente uniforme e igual a R/10. Já as figuras 6.50 e 6.51 mostram, sobre o plano

z=0, apenas as linhas de corrente relativas a y=R/10 e y=R, uma vez que a sua

representação exaustiva resultaria agora (para A <1/2) extremamente confusa.

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129

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=8A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=1A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=2-1A Re

Figura 6.49 – Comparação de linhas de corrente observadas sobre o plano z=0 para diferentes

razões de forma: soluções 3D M20x12 (traço grosso a azul) versus solução 2D M80 (traço fino).

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130

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=2-1A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=4-1A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=8-1A Re

Figura 6.50 – Comparação de linhas de corrente observadas sobre o plano z=0 para diferentes

razões de forma: soluções 3D M20x12 (traço grosso a azul) versus solução 2D M80 (traço fino

superior) e escoamento potencial confinado (traço fino inferior). Devido às discrepâncias

observadas entre estas soluções apenas se representam as linhas de corrente geradas a partir dos

pontos (x, y): (-10R, R/10), (-10R, R). A solução A=1/2 repete-se sob esta nova forma.

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131

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=16-1A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=32-1A Re

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=64-1A Re

Figura 6.51 – Comparação de linhas de corrente observadas sobre o plano z=0 para diferentes

razões de forma: soluções 3D M20x8 (traço grosso a azul) versus solução 2D M80 (traço fino

superior) e escoamento potencial confinado (traço fino inferior). Devido às discrepâncias

observadas entre estas soluções apenas se representam as linhas de corrente geradas a partir dos

pontos (x, y): (-10R, R/10), (-10R, R).

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132

No caso do escoamento na conduta de secção quadrada (A=1) já é visível um

pequeno deslocamento das linhas de corrente no sentido de aproximação do cilindro.

Esta tendência acentua-se com a diminuição da largura do canal. Nestas condições as

linhas de corrente deslocam-se progressivamente desde a solução creeping flow

(escoamento confinado) até à solução equivalente a um escoamento potencial

confinado, linhas de corrente mais próximas do cilindro a traço fino (figuras 6.50 e

6.51). De facto nestas figuras a solução representada é a de um escoamento Hele-Shaw

em canal com razão de forma de 1:512, solução 3D M40x16 (ver capítulo 5).

A Figura 6.52 mostra a evolução das linhas de corrente para A=1 em função do

afastamento (adimensional) ao plano de simetria [oxy], z*=z/(L/2),

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=0.754A Re=1 z*

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

=0 (newt.)=0.985A Re=1 z*

Figura 6.52 – Comparação de linhas de corrente observadas na proximidade da parede de topo

para A=1: soluções 3D M20x12 (traço grosso a azul) versus solução 2D M80 (traço fino). A

imagem (a) mostra o limiar da zona de semelhança (3D/2D) a uma distância dessa parede de

aproximadamente um quarto da meia largura do canal.

a)

b)

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133

A Figura 6.52(a) confirma, para a razão de forma de 1:1, a semelhança de

soluções (2D e 3D) numa zona central ainda relativamente extensa (aproximadamente

75% do comprimento do cilindro). A influência das paredes sobre o campo de

velocidades restringe-se assim a cerca de 25% do meio comprimento do cilindro.

Para A=8 este efeito ainda se observa, embora limitado a uma zona ainda mais

restrita. A Figura 6.53 revela a alteração da forma37 do perfil de velocidades (ux) em

relação àquele observado no plano central para uma distância à parede de topo de 1/100

(L/2), na zona onde o escoamento está mais estrangulado (x=0).

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0.0 0.5 1.0 1.5

y/R z/(L/2)=0

z/(L/2)=0.990

x x

y

y

U

u x (0,y,Z )/ (y )U (0,Z )

x =0

Solução 3D M20x64x18

x =0

Figura 6.53 – Comparação de perfis de velocidade na proximidade da parede de topo, z=0.99 (L/2), e sobre o plano central z=0, para x=0: Razão de forma do canal de 8:1.

As semelhanças acima referidas resultam da comparação da solução 2D com a

projecção das linhas de rasto sobre o plano [oxy], ou seja, observa-se a

proporcionalidade das componentes ux e uy obtidas nos dois domínios de escoamento.

No entanto o campo de velocidades em canais de dimensão finita revelou-se mais

complexo do que as semelhanças acima referidas sugerem. Os desvios relativamente ao

escoamento bidimensional serão agora considerados. A Figura 6.54 ilustra para as

razões de forma de 1:1 e de 8:1 a disposição das linhas de rasto que são tangentes ao

cilindro, junto à parede, numa extensão de 0.25 L/2.

37 Os perfis representados surgem normalizados em função da sua própria velocidade média, isto é, a área definida por cada uma das figuras é unitária. Desta forma comparam-se apenas quanto à forma.

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134

A=1

A=8

Figura 6.54 – Disposição das linhas de corrente que são tangentes ao cilindro, junto à parede,

numa extensão de um quarto da meia largura da conduta: razões de forma A=1 e A=8. As linhas

de rasto representadas foram geradas na vizinhança da geratriz superior do cilindro.

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135

Com base nas figuras 6.53 e 6.54, pode inferir-se que as trajectórias (escoamentos

estacionários) exibidas por pontos materiais do fluido divergem ao contornar o cilindro,

elevando-se nitidamente acima da sua superfície junto às paredes laterais (Figura 6.55).

Este efeito pode justificar-se intuitivamente pela presença simultânea de duas

superfícies sólidas que confinam o escoamento nessa zona.

Figura 6.55 – Disposição das linhas de corrente em toda a extensão do cilindro para a razão de A=1. Estas linhas de corrente foram geradas a partir da zona de escoamento desenvolvido sobre o mesmo plano y, ao contrário daquelas representadas na Figura 6.54.

Note-se que o fluido que se desloca imediatamente acima da superfície do

cilindro, junto à parede, sofre uma inflexão de trajectória tanto maior quanto menor é a

largura do canal (Figuras 6.53 e 6.54). Este efeito tridimensional reflecte-se na

distribuição de velocidades nas zonas de escoamento não desenvolvido. A Figura 6.56

caracteriza precisamente o campo de velocidades imediatamente a jusante do cilindro,

sobre o plano de simetria y=0, sob a forma de «curvas de nível» relativas à componente

de velocidade ux para um canal com razão de forma de 8:1 (note-se que ao contrário da

abcissa x a dimensão z surge normalizada pelo meio comprimento do cilindro).

Os resultados obtidos para esta geometria, por simulação computacional numa

malha M40x24, revelam a existência de dois corredores laterais, a uma distância

normalizada de 0.20 a 0.25 (L/2) das paredes laterais, onde a velocidade longitudinal do

escoamento é máxima.

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136

0.10

0.30

0.50

0.90

1.10

1.30

1.50

0.70

x/R

z/(L

/2)

1 2 3 4 5

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 6.56 – Campo de velocidades (componente segundo x) sobre o plano de simetria y=0 para um canal com razão de foram de 8:1. Note-se como a velocidade aumenta visivelmente desde o eixo da conduta até uma distância da parede de ~0.25 (L/2), para x> 2.

x/R

-10

0

10

20

Distribuição de velocidade: ux

Figura 6.57 – Representação 3D da distribuição de velocidades (componente ux) sobre o plano de simetria y=0, para um canal com razão de forma de 8:1. Note-se a estabilização da forma dos sucessivos perfis de velocidade para x> 20R (escoamento desenvolvido). Solução M40x24.

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137

A Figura 6.57 tem por objectivo ilustrar essa evolução dos perfis de velocidade

axial sobre o plano de simetria y=0. Os perfis de velocidades obtidos nessas condições

foram já estudados no capítulo 5.

Com o propósito de verificar este comportamento do escoamento, realizaram-se

simulações para a razão de forma de 8:1 variando o grau de refinamento global, malhas

M20x12 e M40x24, e apenas o número de células segundo a direcção z, malha M20x18.

Os resultados obtidos retratam exactamente a mesma forma de perfil como se mostra na

Figura 6.58 para diferentes razões de forma. Refira-se ainda que a forma dos perfis de

velocidade em função de y, no plano z=0 e na zona onde ocorrem estes picos de

velocidade, é quase parabólica, ou seja, este efeito não se restringe ao plano de simetria.

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

A= 16, x= 6R (M20x12)

A= 8, x= 5R (M20x18)

A= 4, x= 4R (M20x12)

u x(X

,0,z

)/U

Plano y = 0

z /(L /2)

Re = 0

Figura 6.58 – Perfis de velocidade ux a jusante do cilindro sobre o plano de simetria y=0 para diferentes valores de x. Os perfis mostrados são aqueles que exibem de modo mais pronunciado este efeito tridimensional. Os escoamentos simulam condições de inércia nula.

Sendo os resultados computacionais acima apresentados relativos ao escoamento

a baixo número de Reynolds (de facto fez-se Re=0) e o modelo constitutivo newtoniano,

conclui-se que este é um efeito exclusivamente tridimensional decorrente da largura

finita do canal. No trabalho experimental de Verhelst et al. (2001), este mesmo

comportamento do escoamento encontra-se documentado: para uma solução newtoniana

em escoamento a um número de Reynolds de 0.23, estes autores observaram, a

montante e a jusante do cilindro, junto a este e às paredes laterais, estes mesmos picos

de velocidade axial.

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138

Este comportamento deixa de se observar para razões de forma inferiores a 3. Do

mesmo modo, com o aumento da largura da conduta, para A> 10, este efeito esbate-se.

A inércia promove de modo acentuado estes picos de velocidade.

Este efeito não se observou em quaisquer circunstâncias simuladas na zona de

máximo estrangulamento do escoamento (entre o cilindro e as paredes norte e sul). A

Figura 6.59 mostra os perfis de velocidade em função de z obtidos precisamente nessa

zona para x=0 e y=1.5R: razões de forma A=1 e A=8. Estes perfis de velocidade são

mais uniformes do que aqueles que ocorrem em escoamento desenvolvido (Figura 5.8).

Note-se que o valor médio de qualquer um destes gráficos surge indicado na Figura 6.48

para x=0, y=1.5R e escoamento a Re=0.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

A=8

A=1

z /(L /2)

u x/U

x = 0y = 1.5R

Figura 6.59 – Perfis de velocidade ux sobre o cilindro para x=0 e y=1.5R; zona de máximo

estrangulamento do escoamento. Simulações com modelo newtoniano para Re=0 (A=1 e A=8).

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139

6.3.2 Escoamentos inerciais

A influência da inércia no campo de velocidades reflecte-se essencialmente a jusante do

cilindro. O comprimento necessário ao desenvolvimento do escoamento aumenta

significativamente com o número de Reynolds, surgindo recirculação sobre o plano

central quando aquele excede um valor aproximado de 5.9; a dimensão desta zona de

escoamento secundário aumenta apreciavelmente com o número de Reynolds.

Qualitativamente estes resultados podem observar-se na Figura 6.60.

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

2D «Creeping flow» Solução 3D M20x64x12; newt.

x /R

y

y

U

(z) u x

(x,0

)/U

Re = 0Re = 1.6Re = 2.5Re = 4.0Re = 6.3Re = 10 Re = 14Re = 20Re = 28Re = 40

Figura 6.60 – Perfis médios (domínio de integração segundo z) de velocidade axial (ux) sobre o

plano de simetria y=0, em função do número de Reynolds: razão de forma da conduta A=8.

No espaço vizinho ao cilindro, a montante do plano x=0 (zona de máximo

estrangulamento do escoamento), os perfis de velocidade axial em função de y

uniformizam-se com o número de Reynolds, isto é, o quociente entre a velocidade

máxima e a velocidade média de escoamento decresce; a taxa de deformação aumenta

assim significativamente junto às paredes norte e sul com consequente agravamento dos

gradientes axiais de pressão e assim da força de arrasto.

A montante do obstáculo e com o aumento do número de Reynolds a velocidade

máxima diminui em magnitude e a zona onde esta ocorre desloca-se no sentido de

aproximação ao cilindro ou plano de simetria y=0; figuras 6.61 e 6.62 (esquerda). Pelo

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140

contrário, a jusante da geratriz superior do cilindro a velocidade máxima de escoamento

aumenta consideravelmente com a inércia. A Figura 6.62 (direita) mostra essa

tendência. Os perfis de velocidade apresentados nas figuras 6.61 e 6.62 referem-se a

valores médios obtidos por integração segundo z. Não se observam alterações

significativas destes perfis médios com a variação da razão de foram da conduta. As

linhas a traço interrompido referem-se a um canal com secção quadrada (A=1).

1.0

1.5

2.0

0.0 1.0 2.0 3.0

y/R

(z) U (0,y )/U

Re = 0Re = 10Re = 20Re = 40

x x

y

y

U

x = 0

x = 0

Soluções 3D M20x12

Figura 6.61 – Perfis de velocidade média Ux (por integração segundo z) para de x=0: A=8. A

linha a traço interrompido refere-se à razão de forma A=1.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 1.0 2.0

y/R

(z) U (0,y )/U

Re = 0Re = 10Re = 20Re = 40

x x

y

y

U

x = -1

x = -1

Soluções 3D M20x12

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5 0.5 1.5 2.5

y/R

(z) U (0,y )/U

Re = 40Re = 20Re = 10Re = 0

x x

y

y

U

x = 1

x = 1

Soluções 3D M20x12

Figura 6.62 – Perfis de velocidade média Ux (por integração segundo z) para de x=-1 e x=1:

A=8. A linha a traço interrompido refere-se à razão de forma A=1.

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141

Naturalmente que as alterações do campo de velocidades acima referidas se

reflectem visivelmente nas linhas de corrente. Por comparação com o escoamento a

baixo número de Reynolds, estas aproximam-se ligeiramente do cilindro a montante da

geratriz superior e afastam-se significativamente a jusante. A Figura 6.63 mostra a

evolução das trajectórias no seio do fluido (escoamento estacionário) para diferentes

números de Reynolds. A posição inicial das linhas de corrente definiu-se de modo

semelhante ao já usado nas figuras 6.50 a 6.52. Pretende-se assim evitar a representação

das zonas de recirculação, as quais se revelam regiões de escoamento aberto e

fortemente tridimensional; a sua visualização para números de Reynolds tão diversos

resultaria graficamente ilegível

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

=0,10,20,40 (newt.)=0A Re=8 z

Figura 6.63 – Comparação de linhas de corrente para diferentes números de Reynolds. Estas linhas foram geradas a partir da zona de escoamento desenvolvido para y=R/10 e y=R. Note-se que as linhas de corrente se afastam do cilindro (para x> 0) para números de Reynolds crescentes.

Ainda antes de se analisar em detalhe as estruturas de recirculação importa estudar

a distribuição de velocidades axiais segundo a terceira dimensão do escoamento. Assim,

à semelhança do que acontecia em escoamentos não inerciais, observa-se o surgimento

de corredores próximos das paredes laterais onde a velocidade é máxima. Este efeito

acentua-se significativamente com o aumento do número de Reynolds para canais

relativamente largos (A=8). Nas simulações realizadas com condutas de secção

quadrada (A=1) o mesmo também se observa.

A Figura 6.64 mostra essa distribuição da componente de velocidade axial (ux)

sobre o plano de simetria y=0 para Re=20 e A=8. A forma côncava da distribuição até se

desenvolver o escoamento é nítida. Para esta mesma razão de forma a Figura 6.65

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142

apresenta de modo mais preciso, para x=6R, a evolução dos perfis transversais de

velocidade (ao longo de z) com o número de Reynolds. Refira-se que todas as solução

apresentadas foram obtidas em malhas M20x12. No entanto, para alguns casos foram

produzidas soluções com malhas mais refinadas segundo z (M20x18). Estas confirmam

a forma dos perfis exibidos na Figura 6.65. Para a razão de forma de 8:1 e com uma

malha globalmente mais refinada (M40x24) também se constatou a concordância de

resultados (Re=0 e Re=40). No entanto, sendo o objectivo principal a caracterização de

tendências e não o estabelecimento de quaisquer valores de referência, na ausência de

soluções igualmente refinadas para todos os casos estudados optou-se por se apresentar

graficamente todos os resultados em função das soluções 3D M20x12. Deste modo a

comparação de diferentes condições de escoamento crê-se mais objectiva.

x/R

-10

0

10

20

Distribuição de velocidades: ux

Figura 6.64 – Representação 3D da distribuição de velocidades (componente ux) sobre o plano

de simetria y=0, para um canal com razão de foram de 8:1 Solução M20x64x18.

Apenas no caso da simulação realizada para A=8 e Re=40, se apresentam na

Figura 6.66 os perfis de velocidade axial em função de y que se observam sobre o plano

de simetria z=0 e nas zonas de mínimo e de máximo de velocidade. Estes permitem

concluir que a rápida recuperação de velocidade na proximidade das paredes não é um

efeito limitado à vizinhança do plano de simetria [oxz] pois é ainda observável para

y=0.8R. A diminuição da largura da conduta inibe ou retarda em termos de número de

Reynolds o surgimento deste efeito (Figura 6.67).

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143

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Re = 10Re = 14

Re = 20

Re = 28

Re = 40

z /(L /2)

u x/U

x = 6R ; y = 0 Solução M20x64x12 (A =8); newt.

A

B

C

Figura 6.65 – Influência da inércia nos perfis de velocidade (componente ux) em função de z

sobre o plano y=0 para x=6R e A=8. As letras A, B e C, identificam as zonas a que

correspondem os perfis de velocidades em função de y apresentados na Figura (6.66). O limite

superior da figura exibe a disposição transversal dos nós centrais das células da malha M20x12

usada nas diferentes simulações.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

y/R

u x /U

Soluções 3D M20x12 (A =8): Re =40

A

B

C

Figura 6.66 – Perfis de velocidades (componente ux) em função de y: (A) sobre o plano z=0;

(B) na zona de velocidade mínima; e (C) de pico de velocidade sobre o plano y=0 (ver Figura

6.65). Escoamento a um número de Reynolds de 40 em canal com razão de forma de 8:1.

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144

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Re = 10

Re = 20

Re = 40

z /(L /2)

u x/U

x = 6R ; y = 0

Solução M20x64x12 (A =1); newt.

∆u

Figura 6.67 – Influência da inércia nos perfis de velocidade (componente ux) em função de z,

sobre o plano y=0 para x=6R: conduta de secção quadrada. O limite superior da figura exibe a

disposição transversal dos nós centrais das células da malha M20x12 usada nas diferentes

simulações.

A magnitude da diferença de velocidades que se verifica entre esses corredores

laterais e o plano central, ∆u* (Figura 6.66), não é aparentemente influenciada pela

inércia enquanto não se verifica a separação do escoamento. Com o aparecimento de

recirculação (Re ≅6, A= 8) essa diferença de velocidades aumenta inicialmente de modo

quase linear com o número de Reynolds até Re≅30. A Figura 6.68 ilustra este

comportamento.

A localização em relação ao eixo do cilindro da zona onde se observa a máxima

diferença de velocidades evolui também de modo aparentemente linear com o número

de Reynolds, Figura 6.69, mas também neste caso de modo absolutamente distinto

conforme o escoamento se processa com ou sem recirculação. Os ajustes apresentados

não pretendem ilustrar de modo algum uma tendência precisa. Tal não é possível em

virtude das malhas serem já relativamente grosseiras a essa distância do cilindro.

A não uniformidade da distribuição de velocidades a jusante do cilindro resulta

em zonas de recirculação fortemente dependente de z. As figuras 6.70 e 6.71 mostram a

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145

variação do comprimento de recirculação LR. Pode também observar-se, para um

mesmo plano z, que a velocidade de escoamento a jusante da recirculação é de algum

modo inversamente proporcional à sua dimensão nesse plano.

0.00

0.02

0.04

0.06

0 1 2 3 4 5

Escoamento sem recirculação

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 10 20 30 40

Escoamento com recirculação

Re Re

∆u

/U

∆u=u máx -u z=0

∆u

/U

Figura 6.68 – Magnitude da diferença entre o máximo absoluto do perfil de velocidades e o seu

valor sobre o eixo da conduta: ∆u* (ver Figura 6.67). A recta de ajuste apresentada na figura da

direita não considera o ponto a Re=40.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40

Recirculação inexistente

Escoamento com recirculação

x u/R

Re

Solução M20x64x12: A=8; newt.

Figura 6.69 – Localização axial do valor máximo de ∆u*. Novamente é possível identificar

comportamentos distintos conforme se verifica ou não recirculação.

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146

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Re = 10

Re = 14

Re = 20

Re = 28

Re = 40

z /(L /2)

Plano y = 0 Solução M20x64x12 (A =8); newt.L R

/R

Figura 6.70 – Comprimento de recirculação em função de z para diferentes números de

Reynolds. Razão de forma da secção do canal A=8.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Re = 10

Re = 20

Re = 40

z /(L /2)

L R/R

Plano y = 0 Solução M20x64x12 (A =1); newt.

Figura 6.71 – Comprimento de recirculação em função de z para diferentes números de

Reynolds. Conduta de secção quadrada (A=1).

Ao contrário do que se observou no caso do canal A=8, o aumento do

comprimento de recirculação na vizinhança das paredes laterais para A=1 permite

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147

concluir que a recirculação se inicia aí e não sobre o plano de simetria z=0. Contudo

para esta geometria não foram realizadas simulações com números de Reynolds

adequados à comprovação desta hipótese.

Os perfis de velocidades das figuras 6.66 e 6.67 foram obtidos à mesma distância

do eixo do cilindro (x=6R). Porém, no caso do canal de secção quadrada, a não

uniformidade do perfil de velocidades sobre o plano y=0 é mais evidente sobre a

fronteira da zona de recirculação, entre x=3R e x=4R. Estes perfis, Figura 6.72, ilustram

claramente que qualquer analogia com o campo bidimensional de velocidades é agora

excessiva tal é a dependência com z da velocidade axial de escoamento.

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0z /(L /2)

u x/U

x = 4R

Solução M20x64x12 (A =1): Re =40; newt.

x = 3R

x = 3.5R

B

A

Plano y =0

Figura 6.72 – Conduta de secção quadrada (A=1): perfis de velocidade (componente ux) em função de z sobre o plano y=0 na proximidade da fronteira da zona de recirculação (ver Figura 6.71). As letras A, B, identificam respectivamente, os planos a que correspondem os perfis de velocidades em função de y a apresentar na Figura 6.73.

Note-se que este efeito não se limita à vizinhança do plano de simetria y=0; a

diferença de velocidades entre os planos (A) e (B) acentua-se com y até y≅R/4. A

representação dos perfis de velocidade axial em função de y sobre esses planos, patente

na Figura 6.73, permite concluir que o aumento de velocidade sobre o plano (B) é mais

acentuado do que sobre o plano de simetria (A).

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148

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

u x /U

x = 3.0Rx = 3.5Rx = 4.0R

A B

x = 3.0Rx = 3.5Rx = 4.0R

Plano z = 0 Plano z = 0.5(L /2)

u x /Uy/

R

y/R

Figura 6.73 – Perfis de velocidades (componente ux) função de y sobre o plano z=0 (A) e na

zona de velocidade máxima sobre o plano y=0 (B); ver Figura 6.72. Secção A=1 e escoamento

inércial a Re=40.

A variação com z do campo de velocidades sob a forma de linhas de rasto

projectadas no plano [oxy] verificou-se subjectiva e não será apresentada. Isto deve-se

ao facto da zona de a recirculação ser aberta e de o escoamento ser aí fortemente

tridimensional. Refira-se que o termo recirculação deve ser entendido agora em sentido

lato, uma vez que nenhuma partícula aí permanece indefinidamente.

A Figura 6.74 representa a projecção das linhas de rasto sobre o plano de

escoamento bidimensional. A Figura 6.74(a) refere-se ao plano central (z=0) e a Figura

6.74(b) ao plano z=0.68(L/2), onde se observa o maior comprimento da zona de

escoamento separado. Embora todas as linhas de rasto tenham sido geradas sobre esses

planos estas não são linhas planas. As estruturas de escoamento revelam que o fluido

não se encontra aprisionado no interior da fronteira aparente dessa região.

As Figuras 6.75(a) e 6.76 mostram que a recirculação que se observa sobre o

plano de simetria z=0 é alimentada por fluido que se desloca paralelamente ao cilindro

desde a parede lateral. A Figura 6.75(b) revela as trajectórias (escoamento estacionário)

das partículas de fluido que contornam o cilindro imediatamente acima da sua superfície

junto à parede lateral. Também neste caso o fluido entra aparentemente em recirculação

mas de facto o seu trajecto helicoidal acaba por se desenrolar sobre o plano de simetria

y=0. A Figuras 6.75 e 6.76 referem-se às razões de forma A=8 e A=1, respectivamente.

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149

x/R

y/R

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

=40 (newt.)=0z* ReA=8

x/R

y/R

-2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

=40 (newt.)=0.682z* ReA=8

Figura 6.74 – Projecção das linhas de rasto (3D) sobre o (a) plano de simetria z=0 e (b) sobre o plano onde a recirculação é mais extensa. Razão de forma de 8:1. Note-se que z*= z/(L/2).

Figura 6.75 – Modos de escoamentos no interior da zona de recirculação aparente para A=8. À esquerda, as linhas de rasto, sem enrolamento, foram geradas com espaçamento uniforme sobre a geratriz superior do cilindro de modo a definirem uma superfície envolvente da zona de recirculação. À direita as linhas foram geradas sobre o cilindro junto à parede.

a)

b)

a) b)

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150

Figura 6.76 – Modo de escoamento no interior da zona de recirculação aparente para A=1 e Re=10. As linhas de rasto foram geradas junto à parede lateral sobre o plano de simetria y=0, a montante do cilindro.

Conclui-se assim que o escoamento num canal com razão de forma de 8:1 é ainda

nitidamente tridimensional. Os perfis de velocidade transversal (uz), que a Figura 6.77

mostra, confirmam-no. Note-se a ocorrência dos máximos de velocidade transversal na

zona onde se observam os picos de velocidade axial já referidos (Figuras 6.58 e 6.65).

-0.05

0.00

0.05

0.10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Re=0

Re=1.6

Re=4.0

Re=6.3

Re=6.3

Re=10

Re=20

De =0A =8

x /R =6

z /(L /2)

u z/U

Figura 6.77 – Perfis de velocidade transversal (uz) sobre o plano de simetria y=0 para A=8.

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151

6.3.3 Influência da elasticidade para escoamento não inercial

O efeito da elasticidade é aqui novamente simulado de acordo com o modelo UCM. Os

resultados obtidos são relativamente limitados quanto à gama de número de Débora

(De≤0.5) devido a dificuldades crescentes de convergência de soluções na proximidade

desse limite. Isto deve-se por um lado ao facto de este número ser apresentado em função

da velocidade média de escoamento, que não é representativa do que ocorre na zona

central da conduta (limitação inerente a simulações 3D), mas por outro deve-se à

dependência do cálculo com a estrutura da malha, uma vez que com o aumento do grau

de refinamento os problemas de convergência rapidamente se tornam insuperáveis,

especialmente, quando se simulam escoamentos sob efeito combinado da inércia e da

elasticidade. A redução da largura do canal resulta no agravamento das dificuldades

referidas relativas a essas simulações.

Assim, para a gama de números de Débora simulada não se observaram alterações

significativas do campo de velocidades. A montante do cilindro a evolução da velocidade

média axial sobre o plano de simetria y=0, até ao ponto de estagnação, verificou-se

praticamente indiferenciável do campo de velocidades newtoniano (Figura 6.78). Já a

jusante é evidente que a elasticidade retarda a recuperação de velocidade. O

comprimento necessário ao desenvolvimento do escoamento aumenta significativamente

com o número de Débora.

0.0

0.5

1.0

1.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

newt.

De=0.25

De=0.500.0

0.5

1.0

1.5

-4 -2 0 2 4 6 8

A = 1; Re = 0

Malha 3D M20x64x12: A = 8; Re = 0

x /R

x x

y

y

U

(z) u x

(x,0

)/U

Figura 6.78 – Influência da elasticidade, modelo UCM, sobre os perfis de velocidade média (obtidos por integração segundo z) sobre o plano de simetria y=0 para diferentes razões de forma: A=8 e A=1. Comparação destes perfis com a solução newtoniana.

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152

A Figura 6.78 compara a solução newtoniana com os casos viscoelásticos De=0.25

e 0.50. Refira-se que foram produzidas soluções também para De=0.1, 0.2, 0.3 e 0.4, no

entanto, o desvio observado a jusante do cilindro, Figura 6.78, evolui com este número de

modo tão acentuado que a representação de todos os perfis se entendeu confusa. Assim, a

solução a traço interrompido apresentada, mais não é do que a média aritmética das

soluções De=0.2 e De=0.3 (a sua proximidade valida este procedimento). Nesta figura

inclui-se a representação dos mesmos perfis médios para A=1. A figura secundária apenas

pretende evidenciar a semelhança (verificada) de perfis, verificando-se apenas um menor

valor de velocidade média sobre o plano se simetria (-4%). Refira-se que esta é uma

avaliação global, por integração segundo z, das velocidades observadas para uma mesma

posição x.

Sobre o eixo da conduta a magnitude da velocidade aumenta apreciavelmente com

a redução da razão de forma (ver capítulo 5). Aí a resposta elástica do fluido acentua-se

apreciavelmente. A Figura 6.79 mostra para A=1 o perfil de velocidades ao longo de x;

este mostra precisamente uma recuperação de velocidade mais tardia do que a observada

na Figura 6.78, relativa a velocidades médias. Este comportamento só seria exibido num

escoamento 2D para um número de Débora claramente superior a 0.5 (Alves et al., 2001).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

newt.

De=0.25

De=0.50

Malha 3D M20x64x12: A = 1; Re = 0

x /R

x x

y

y

U

u x(x

,0,0

)/U

Figura 6.79 – Influência da elasticidade, modelo UCM, sobre os perfis de velocidade axial ao

longo do eixo da conduta; razão de forma 1:1. Comparação com a respectiva solução newtoniana.

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153

Sobre o cilindro os perfis médios de velocidade ux (formulação 5.1) em função de y

verificaram-se graficamente coincidentes com a solução newtoniana até x=-1. Na zona de

máximo estrangulamento do escoamento, e a jusante, estes perfis diferenciam-se

significativamente. A Figura 6.80 mostra esses perfis de velocidade para x=0 e x=1.

Ainda assim, a jusante do cilindro, não se observa mais do que um ligeiro aumento da

velocidade média em planos y centrais, a jusante do cilindro. Nesta zona os perfis de

velocidade em função de z surgem alongados segundo x por comparação com aqueles

produzidos por fluidos newtonianos. A elasticidade do fluido contribui assim para a

redução dos gradientes de velocidade junto das paredes (norte – sul e fundo – topo).

Como consequência o gradiente de pressão diminui e com ele a força de arrasto

essencialmente dependente da distribuição de pressão (ver figuras 6.40 e 6.41). A Figura

6.81 mostra esses perfis no plano y com maior velocidade média de escoamento para as

razões de forma A=1 e A=8.

Apesar de diferenças de magnitude e de distribuição de velocidades (em função de

z), o facto é que as componentes ux e uy variam de modo proporcional à solução

newtoniana. As linhas de rasto que a Figura 6.82 mostra assim o demonstram para A=8 e

De=0.5. A concordância, em particular no campo próximo ao cilindro, é notável.

1.0

1.5

2.0

0.0 1.0 2.0 3.0

y/R

(z) U (0,y )/U

De = 0x x

y

y

U

x= 0

x = 0

Soluções 3D M20x12

De = 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-0.5 0.5 1.5 2.5

y/R

(z) U (0,y )/U

De = 0.5

x x

y

y

U

x = 1

x = 1

Soluções 3D M20x12

De = 0

Figura 6.80 – Influência da elasticidade (modelo UCM, De=0.5) sobre os perfis de velocidade média em z, função de y, para x=0 (à esquerda) e x=1 (à direita). Comparação com a solução newtoniana (De=0). Os resultados obtidos para as razões de forma A=8 e A=1 são graficamente coincidentes. Escoamentos a Re=0.

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154

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

A=8_newt. A=1_newt.

A=8_De=0.5 A=1_De=0.5

z /(L /2)

u x/U

x = 0; y = 1.5R

Figura 6.81 – Perfis de velocidade ux sobre o cilindro para x=0 e y=1.5R; zona de máximo estrangulamento do escoamento a Re=0. Simulações com modelo UCM, De=0.5, para A=1 e A=8; comparação de resultados com a solução newtoniana.

x/R

y/R

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

1

2

=0 (newt.), 0.5 (UCM)=0A De=8 z

x/R

y/R

-2 -1 0 1 20

1

Figura 6.82 – Comparação de linhas de rasto a Re=0, sobre o plano de simetria y=0, entre as soluções newtoniana e modelo UCM, De=0.5 (traço grosso azul). Razão de forma do canal A=8.

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155

Figura 6.83 – Efeito tridimensional produzido no escoamento a Re=0 na vizinhança das paredes laterais. Modelo newtoniano (à esquerda) e UCM a De=0.5. Razão de forma do canal de 8:1. Note-se como o efeito 3D é mais acentuado na ausência de resposta elástica do fluido.

Figura 6.84 – Efeito tridimensional produzido no escoamento na proximidade das paredes laterais para Re=0. Modelo newtoniano e UCM, De=0.5. Razão de forma do canal de 8:1. As linhas de rasto foram neste caso geradas para montante e jusante da linha vertical contígua à parede e que intersecta o eixo do cilindro.

O estiramento do fluido em trono do cilindro resulta na diminuição do efeito de

parede, visível nas figuras 6.83 e 6.84, já notado em escoamentos a baixo número de

Reynolds (e mesmo para Re=0) com o modelo newtoniano (figuras 6.53 e 6.54). Também

os picos de velocidade, então observados na proximidade das paredes laterais na zona

central do escoamento (em y), são agora menos intensos. A Figura 6.85 mostra os perfis

de velocidade obtidos sobre o plano de simetria y=0 de acordo com o modelo newtoniano

e UCM, De=0.5, na zona em que esses picos são mais evidentes.

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156

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

newt.: x= 5R

UCM(De=0.5): x=8R

u x(X

,0,z

)/UPlano y = 0

z /(L /2)

Re = 0

Figura 6.85 – Perfis de velocidade ux a jusante do cilindro sobre o plano de simetria y=0 para diferentes valores de x: modelo newtoniano versus modelo UCM a De=0.5. Escoamentos em condições de inércia nula (Re=0). Os perfis apresentados são aqueles que exibem de modo mais pronunciado este efeito tridimensional.

A Figura 6.86 mostra a evolução deste parâmetro (∆u) com a razão de forma da

conduta pelo modelo newtoniano e com o número de Débora, modelo UCM. Em todos os

casos trata-se de escoamentos a baixo número de Reynolds (de facto fez-se Re=0).

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

1 10 100A

∆u

/U

Plano y = 0

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.0 0.2 0.4 0.6De

Plano y = 0

∆u

/U

Re =0; De =0 A =8; Re =0

Figura 6.86 – Magnitude (∆u) da diferença entre o máximo absoluto do perfil de velocidades ux e o seu valor sobre o eixo da conduta, em função da razão de forma da conduta (à esquerda), modelo newtoniano, e em função do número de Débora, modelo UCM. Os dois casos referem-se a escoamentos em condições de inércia desprezável (Re=0).

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157

A amplitude de velocidade38 ∆u (Figura 6.86) é, de acordo com as soluções

computacionais M20x64x12, para o modelo newtoniano de 0.042U e para De=0.5,

modelo UCM, de 0.022U. Com refinamento da malha, realizado nalguns casos, estes

valores aumentam ligeiramente (0.044U pela solução M40x128x24, para A=8, Re=0 e

De=0).

Devido a constrangimentos de tempo, não foi possível caracterizar a influência da

elasticidade de um fluido viscoelástico UCM sobre o escoamento inercial, em particular

no que respeita a efeitos 3D. Refira-se no entanto que as diferenças de comportamento

observadas entre De=0 e De=0.4, para Re=10, são qualitativamente pouco significativas

para os números de Reynolds e de Débora alcançados (Re≤10 e De≤0.4).

38 De acordo com a definição apresentada na Figura 6.67 (pág. 144).

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158

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159

Capítulo 7

Conclusões e sugestões para trabalho futuro Este capítulo encerra a tese. As principais conclusões deste trabalho são aqui apresentadas, bem como algumas sugestões para trabalhos futuros. 7.1 Conclusões O trabalho numérico realizado constou da simulação de escoamentos de fluidos

newtonianos e viscoelásticos (modelo UCM) em torno de um cilindro confinado no

interior de um canal rectangular tridimensional, usando método dos volumes finitos.

Este estudo tinha como objectivos principais a caracterização da força de arrasto e do

campo de velocidades em função de parâmetros dinâmicos (Re, De) e geométricos do

escoamento (razão de forma do canal). Neste estudo, a razão de bloqueamento é

constante, Β =1/2, e o regime de escoamento laminar e estacionário. Os resultados

obtidos referem-se essencialmente a escoamentos newtonianos. Assim, relativamente à

caracterização da força de arrasto destacam-se as seguintes conclusões:

Os valores de coeficiente de arrasto são fortemente dependentes da razão de forma

do canal. Por exemplo, em escoamentos a baixo número de Reynolds com fluido

newtoniano, o valor global da força de arrasto por unidade de comprimento é, para

A=8, 1.36% superior ao obtido em condições de escoamento bidimensionais. Para

A=1 esta diferença aumenta para 12.7%.

Esta dependência prende-se com o facto do arrasto ser essencialmente devido a

gradientes axiais de pressão, por sua vez dependentes das tensões de corte que se

desenvolvem nas paredes da conduta. Estas tensões aumentam com a diminuição da

distância entre paredes. Em todas as condições de escoamento simuladas para A=8,

(0,0) ≤ (Re, De) ≤ (40,0.5), a fracção do arrasto total exercido sobre o cilindro

devido a forças de pressão nunca é inferior a 65%.

No escoamento 3D ou 2D, a baixo número de Reynolds, a redução do arrasto com a

elasticidade do fluido é percentualmente idêntica. As diferenças observadas são da

ordem de grandeza da incerteza associada ao cálculo realizado (de 0.3%). Por

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160

exemplo, para A=1 e De=0.5 (Re=0) verificou-se, relativamente ao escoamento

newtoniano, uma redução da força de arrasto de 27.8%. Os valores de referência

obtidos por Alves et al. (2001) para o mesmo número de Débora em escoamento 2D

reflectem uma redução de 27.4%. Esta conclusão assenta em simulações com o

modelo viscoelástico UCM para A≥1. Para razões de forma inferiores não foi

possível obter soluções computacionais por este modelo constitutivo. A

generalização desta conclusão a toda a gama de valores de A poderá não ser válida.

A inércia do escoamento agrava significativamente a acção de arrasto. Para Re>10 o

aumento desta força é quase linear com o número de Reynolds. O quociente entre a

força de arrasto inercial (Re>>1) e a força de arrasto em creeping flow (Re=0) é

praticamente independente da razão de forma da conduta para A≥2. Por exemplo,

para Re=40 e A=2 verifica-se que a força de arrasto aumenta de um factor de 1.989.

Para A=8 (Re=40) este mesmo factor é de 1.961.

Para A≥4, a distribuição da carga de arrasto na zona central do cilindro, numa

extensão de 50% do seu comprimento, é uniforme a menos de 1% do valor máximo

verificado sobre o plano de simetria z=0. O valor do coeficiente de arrasto calculado

com base no valor médio do perfil de velocidades desenvolvido a montante do

cilindro, neste mesmo plano z=0, verifica-se mais desviado da solução 2D do que

aquele que resulta da consideração de grandezas globais de força e velocidade.

No que respeita ao campo de velocidades destacam-se as seguintes conclusões:

Para A≥1, a projecção das linhas de rasto (escoamento 3D) geradas na zona central

do escoamento, numa extensão de 0.75L, sobre o plano de escoamento [oxy] é

praticamente coincidente com as linhas de corrente 2D.

No entanto, junto às paredes laterais, as linhas de rasto tangentes ao cilindro,

imediatamente acima sua geratriz superior, afastam-se significativamente das

paredes na vizinhança do plano de simetria y=0. Este efeito tridimensional é mais

intenso quando a largura do canal diminui. A elasticidade aparentemente promove o

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alongamento do fluido enquanto este contorna o cilindro, reduzindo a inflexão das

linhas de rasto observada com fluidos newtonianos.

Na proximidade do cilindro, a uma pequena distância das paredes laterais (a

~0.2L/2, para A=8) observam-se corredores de escoamento preferencial onde a

velocidade longitudinal é máxima. Este efeito ocorre para Re=0 com fluidos

newtonianos e viscoelásticos, ainda que a elasticidade do fluido (modelo UCM)

diminua a sua intensidade. Por seu turno, a inércia promove significativamente estes

picos de velocidade.

Em escoamentos inerciais com separação de escoamento, newtoniano ou

viscoelástico, surgem zonas de recirculação aparente, isto é, onde o escoamento não

está isolado, ao contrário do que sucede com a geometria de canal 2D. Uma

qualquer partícula de fluido descreve nessa região uma trajectória helicoidal

(escoamento estacionário) no sentido de afastamento das paredes laterais, acabando

por reentrar na zona de escoamento longitudinal. Refira-se que a extensão da

recirculação, superior a 3R para A>1, se estende até uma zona onde a malha é já

manifestamente grosseira. Por limitações de tempo, a caracterização do efeito da

elasticidade nos padrões de escoamento observados aí não pôde ser realizada.

Finalmente refira-se a dependência do desempenho numérico em relação à estrutura

da malha computacional, entendendo-se aqui por desempenho a capacidade de se

obterem soluções convergentes com o refinamento da malha.

7.2 Sugestões para trabalho futuro A extensão do estudo deste escoamento tridimensional, realizado essencialmente com o

modelo constitutivo newtoniano (por exiguidade de tempo), ao vasto domínio da

viscoelasticidade entende-se relevante.

Também se julga pertinente estudar em maior detalhe até que ponto a

viscoelasticidade promove uma diminuição significativa da recirculação em estado

estacionário, e se este efeito se reflecte eventualmente numa estabilização do

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escoamento acima do número de Reynolds crítico a partir do qual se observa um

comportamento transiente com um fluido newtoniano.

Já a natureza marcadamente tridimensional do escoamento, estudado em regime

estacionário sob a influência da inércia, sugere como interessante quantificar até que

ponto em regime instacionário as estruturas de escoamento na esteira do cilindro se

desviam das previsões obtidas por simulações computacionais em canais com geometria

bidimensional.

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