Escola Politécnica da Universidade de São Paulo ... · • Cálculo das lajes isoladas TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e (carga uniforme) x m m p x x x

11

Escola Politécnica da Universidade de São PauloDepartamento de Engenharia de Estruturas e Fundações

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ES013Exemplo de um Projeto Completo de um

Edifício de Concreto Armado

Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Ricardo Leopoldo e Silva França

Eng. Rui Nobhiro OyamadaEng. Luís Fernando Kaefer

Aula 4Lajes

ES0ES01313ExemploExemplo de umde um Projeto CompletoProjeto Completo de umde um

EdifEdifííciocio dede Concreto ArmadoConcreto Armado

Prof. Túlio Nogueira BittencourtProf. Túlio Nogueira BittencourtProf. Ricardo Leopoldo e Silva FrançaProf. Ricardo Leopoldo e Silva França

EngEng.. Rui Nobhiro OyamadaRui Nobhiro OyamadaEngEng. . LuísLuís FernandoFernando KaeferKaefer

Aula 4Lajes


Programa daPrograma da AulaAula

� Introdução� Classificação das Lajes� Ações a serem Consideradas� Pré-dimensionamento das Lajes� Vãos Teóricos� Determinação das Condições de Apoio das Lajes� Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico)� Dimensionamento à Flexão� Cálculo das Reações de Apoio

22


Programa daPrograma da AulaAula

� Verificação da Flecha (ELS)� Cisalhamento em Lajes (ELU)� Detalhamento

A apresentação da teoria e sua aplicação ao edifício exemplo serão feitas em paralelo.


IntroduçãoIntrodução

� Definição� É um elemento de superfície (plano S, espessura h)� Cargas normais ao plano médio� Comportamento:

• Primário: Placa• Secundário: Chapa

33



� Comportamento de chapa das lajes



� Hipóteses Simplificadoras:� Manutenção da seção plana após a deformação, em

faixas suficientemente estreitas;� Representação dos elementos por seu plano médio;� Apoios irrecalcáveis (vigas);� Interação com as vigas pode ser desprezada (rigidez à

torção das vigas é muito pequena);

44


ClassificaçãoClassificação

� Armadas em 1 Direção � Armadas em Cruz

2x

y ≤�

�

flecha a

C

lx

D

C

ly ≤ 2 lx

D

curvatura e momento fletor são proporcionaiscurvaturacurvatura ee momento fletor são proporcionaismomento fletor são proporcionais

2x

y >�

�

V2

V1P1 P2

P3 P4

lx B B

A

A

ly

flecha a

TabelasTabelas dede CzernyCzerny (TE)(TE)((VigaViga dede Largura UnitáriaLargura Unitária))

ExemploExemplo


AçõesAções aa serem Consideradasserem Consideradas

� As principais cargas a se considerar são:� Peso próprio da laje;� Peso de eventual enchimento;� Revestimento;� Paredes sobre lajes;� Carregamento acidental.

� Lajes armadas em 2 direções � transformamos todas ascargas em uma carga distribuída

� Lajes armadas em 1 � direção faixas (Aula 2)

55


AçõesAções aa serem Consideradasserem Consideradas

Peso PróprioRevestimento

TotalParedes sobre

LajeCargas

PermanentesCargas

Acidentais TotalLaje h(cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²)

L1=L4=L8=L11 10 2,5 1,12 1,77 5,39 1,5 6,89L2=L3=L9=L10 10 2,5 1,12 2,07 5,69 1,5 7,19

L5=L6 7 1,75 1,12 2,18 5,05 1,5 6,55L7 10 2,5 1,12 1,07 4,69 3 7,69

((valores característicosvalores característicos))

ExemploExemplo


Vãos TeóricosVãos Teóricos

� Para vigas de edifícios:

vãos teóricos das lajes = distância entre eixos de vigas

� Por convenção:

ExemploExemplo

==

maiorvãomenorvão

y

x

�

�

L1L1L2L2

L5L5L7L7

555

432

273

275

460

565365

350

66


Determinação das CondiçõesDeterminação das Condições dede ApoioApoio

� Bordo livre

� Bordo apoiado

� Bordo engastado



� Lajes Isoladas� Para lajes isoladas, admite-se que se utilize:

• Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez;

• Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal;

• Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio.

77



� Painéis de Lajes

� Situação Normal



� Casos Particulares

88



→<

→≥

maiormenor

maiormenor

32

32

��

��

Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento. ser feita a compatibilização dos esforços de engastamento.



ExemploExemplo

99


Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))

� Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses:

� Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente;

� Consideração das vigas como sendo apoiosindeslocáveis;

� Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída.



� Lajes Armadas em 1 Direção� Lajes Isoladas

1010



� Lajes Armadas em 1 Direção� Lajes Contínuas



� Lajes Armadas em 2 Direções

mmxx = momento= momento fletorfletor por unidade de largura com plano de atuapor unidade de largura com plano de atuaçãção paralelo ao paralelo a llxx;;mmyy = momento= momento fletorfletor por unidade de largura com plano de atuapor unidade de largura com plano de atuaçãção paralelo ao paralelo a llyy..

B

A

C

α

lx ≤ ly

ly A

B

C

α

lx

ly

ao

ao ao

1111



� Procedimento:• Cálculo das lajes isoladas

TABELA 2 - TIPO 2ALaje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda menor engastada (carga uniforme)

mp

xx

x

=�

2

α

m p

yx

y

=�

2

α

′ = −mp

yx

y

�2

β

wp

Ehmaxx=

�4

32α

ν = 0 2,

Beton-Kalender (1976)

� �y x/ α x α y βx βyα 2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,21,05 29,2 25,0 11,3 27,61,10 26,1 24,4 10,9 24,71,15 23,7 23,9 10,4 22,31,20 22,0 23,8 10,1 20,31,25 20,2 23,6 9,8 18,71,30 19,0 23,7 9,6 17,31,35 17,8 23,7 9,3 16,11,40 16,8 23,8 9,2 15,11,45 15,8 23,9 9,0 14,21,50 15,1 24,0 8,9 13,51,55 14,3 24,0 8,8 12,81,60 13,8 24,0 8,7 12,21,65 13,2 24,0 8,6 11,71,70 12,8 24,0 8,5 11,21,75 12,3 24,0 8,45 10,81,80 12,0 24,0 8,4 10,51,85 11,5 24,0 8,35 10,11,90 11,3 24,0 8,3 9,91,95 10,9 24,0 8,25 9,62,00 10,8 24,0 8,2 9,4>2 8,0 24,0 8,0 6,7

m x my �y

�x

m’y

x

2x

xpmα

= �

y

2x

ypmα

= �

x

2x

bxpmβ

= �

y

2x

bypmβ

= �



� Lajes adjacentes

⋅⋅

+

≥

2b

1b

2b1b

12b

m8,0m8,02

mm

m

( )12bbiifinal,i12bbi mm5,0mmmmse −+=→<

ExemploExemplo

1212


Cálculo das SolicitaçõesCálculo das Solicitações ((Cálculo ElásticoCálculo Elástico))TABELA 2 - T IPO 2A

Laje com 3 bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada

(carga uniforme)

mp

xx

x

=�

2

α

m p

yx

y

= �2

α

′ = −mp

yx

y

�2

β

wp

Ehmaxx=

�4

32α

ν = 0 2,


� �y x/ α x α y

β x βy

α 2

1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

m x

my

� y

�x

m’y

T ABELA 4 - TIPO 3Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e

as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme)

m

px

x

x

=�

2

α

m p

yx

y

= �2

α

′ = −m px

x

x

�2

β

′ = −mp

yx

y

�2

β

w pEhmax

x= �4

32α

ν = 0 2,


� �y x/ α xα y βx βy

α 2

1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,31,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,11,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,51,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,71,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,91,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,21,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,81,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,51,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,51,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,51,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,71,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,11,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,51,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,01,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,51,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,11,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,71,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,41,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,01,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,82,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

mx

my

y

x

m’x

m’y

TABELA 8 - TIPO 5BLaje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e

outra livremente apoiada (carga uniforme)

m

px

x

x

=�

2

α

m py

x

y

=�

2

α

′ = −mp

xx

x

�2

β

′ = −m py

x

y

�2

β

w

pEhmax

x= �4

32α

ν = 0 2,


� �y x/ α x α y βx βyα 2

1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,41,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,61,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,71,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,11,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,11,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,51,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,21,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,91,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,91,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,01,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,21,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,51,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,01,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,41,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,01,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,61,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,41,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,21,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,91,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,82,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

mx

my

m’x m’x

m’y


DimensionamentoDimensionamento àà FlexãoFlexão

O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura igual àespessura total da laje, h.

φy φx c

h dy

dx

dydx

100 cm

Asy

Asx

Altura ÚtilAltura Útil

ExemploExemplo

1313



md = γf mk = 1,4 mk

100 cm

h d 0,8x

md

0,85fcd

Rcd

Rsd

−−=

cd2

d

fbd425,0m

11d25,1x (x<x34)

)x4,0d(fm

Ayd

ds −

= ExemploExemplo



md = γf mk = 1,4 mk

100 cm

h d 0,8x

md

0,85fcd

Rcd

Rsd

−−=

cd2

d

fbd425,0m

11d25,1x (x<x34)

)x4,0d(fm

Ayd

ds −

= ExemploExemplo

1414


Cálculo das ReaçõesCálculo das Reações dede ApoioApoio

� Charneiras Plásticas

� Método aproximado:� 45o entre dois apoios de mesmo tipo;� 60o a partir do apoio considerado engastado, se

o outro for considerado simplesmente apoiado;� 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha

for livre (NBR6118).

� sempre a 45o (Prof. Lauro)


Verificação da FlechaVerificação da Flecha (ELS)(ELS)

� Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são:� Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas

equações para o cálculo de deformações elásticas na viga de largura unitária;

� Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny .

ckcs f560085,0E ⋅=

23

cs

4x

hEpa

α= �

1515


Verificação da FlechaVerificação da Flecha (ELS)(ELS)

� As flechas devem ser verificadas para ações decurta e longa duração:

Curta duração:

→≤

balançospara250

500ax

x

1�

�

Longa duração:

→≤

balançospara150

300ax

x

2�

�

q7,0g4,2p* +=

q7,0p* =

ExemploExemplo


CisalhamentoCisalhamento emem LajesLajes

� Verificação do concreto:

� Verificação da dispensa da armadura transversal

wuwd τ≤τbd

vbdv kfd

wd⋅γ==τ

MPa5,4f25,0 cdwu ≤⋅β=τ com β = 0,5

1wuwd τ≤τ ck41wu fψ=τ4

14 60,0 ρ=ψ

(considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura transversal inclinada a 45o)

para cm15h ≤(em MPa)

Onde Onde ρρ11 éé a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio.

ExemploExemplo

1616


DetalhamentoDetalhamento� Escolha da bitola e espaçamento

10h

)(mm3,6mm4

≤φ

−

bhde%15,0A mín,s =

para lajes armadas em 2 direções Armadura Positiva:

=bhde%15,0bhde%10,0

A mín,s para lajes armadas em 1 direção

Armadura NegativaTaxas MínimasTaxas Mínimas dede ArmaduraArmadura

O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é:As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura“principal” fosse menor que a de distribuição.

A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos quehajam estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T.

Escolha da BitolaEscolha da Bitola ��


DetalhamentoDetalhamento

Espaçamento entreEspaçamento entre asas barrasbarras

22 direçõesdireções: s : s ≤≤ 20cm20cm11 direçãodireção: s : s ≤≤ 20cm, 2h20cm, 2h

s s ≥≥ 8cm (8cm (concretagemconcretagem

ArmaduraArmadura dede distribuiçãodistribuição

≥≥ 20% da 20% da áárea da armadura principal (1rea da armadura principal (1 diredireçãçãoo););≥≥ 0,9 cm0,9 cm22/m;/m;s s ≤≤ 33cm; e33cm; edeve respeitar as taxas de armadura mdeve respeitar as taxas de armadura míínimanima

1717



ExemploExemplo Bitolas comerciais

φ = diâmetro nominal da barra em mm As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 4 0,125 0,1 5 0,2 0,16

6,3 0,315 0,25 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63

12,5 1,25 1,0

100 cm

h

s s


DetalhamentoDetalhamentoEspaç. Bitola

cm 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 7 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 28,57 8 1,00 1,56 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 25,00 9 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 22,22

10 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 20,00 11 0,73 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 18,18 12 0,67 1,04 1,67 2,63 4,17 6,67 10,42 16,67 13 0,62 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 15,38 14 0,57 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 14,29 15 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 13,33 16 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 12,50 17 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 11,76 18 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 11,11 19 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 10,53 20 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,00

1818



� Determinação do comprimento das barras:� Armadura Positiva

É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φou 6cm no apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas.



� Determinação do comprimento das barras:� Armadura Negativa

Deve cobrir o diagrama de momento fletornegativo. Em geral, utiliza-se uma extensão �x/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes,adota-se �x = �>vão).

Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje adjacente, com extensãode �balanço.

1919



� Barras alternadas ExemploExemplo


V9(19-12/55)P13(19/65) V1

5(12

/55)

L5h=7cm

V7(12/55)

P14(20/160)

L9

V11(12/55)

L7h=10cm

V4(19-12/55)

V14(

19/5

5)

(19/65)P7

(19/65)P1

V1(19/55)

h=10cm

(20/285)P8

L1

(110/19)P2

(20/140)h=10cmL2 P9

V5(12/55) V18(

10/4

0)

V3(12/55)

(20/40)P3

P15(20/160)

V8(12/55)

(20/140)P10

P4(20/40)

30 N1 - 0 8,0 c/ 18 - c= 569

30 N

1 - 0

8,0

c/ 1

8 - c

= 56

9

2020


V4(19-12/55)

V9(19-12/55)

P7

P13(19/65)

(19/65)

V14(

19/5

5)

P1(19/65) V1(19/55)

V18

(10/

40)

V15

(12/

55) h=7cm

L5V7(12/55)

P8(20/285)

(20/160)P14

L9

V11(12/55)

h=10cmL7

V5(12/55)

L1h=10cm

P2(110/19)

(20/140)h=10cmL2 P9 V3(12/55)

P3(20/40)

(20/160)P15

(20/140)P10

P4(20/40)

108

108

115115



� Tabela de Ferros

� Tabela Resumo

Comprimento (m) No. φ (mm) Quant. Unitário Total

... ... ... ... ...

φ (mm) C. Total (m)

Peso (kg)

... ... ...

2121


PlantaPlanta dede FormasFormas

P17 P18

P13

P7P8

P1 P2

P19 P20

P9 P10

P14 P15

P3 P4V1(19/55) V2

V3(12/55)

V6(12/55)

V4(19-12/55)

V7(12/55) V8(12/55

V9(19-12/55)

V11(12/55)

V12(19/55)

V15(

19/5

5)V1

6(19

/55)

V17

(12/

55)

V18(

12/5

5)

V19

(12/

55)

V20

(10/

40)

V21(

12/5

5)

(19/65) (110/19) (20/40) (20/40)

(20/140)(20/140)

(20/160) (20/160)

(20/90) (20/90)(110/19)(19/65)

(19/65)

(19/65)

(20/285)

L1h=10cm

L2h=10cm

L5h=7cm L7

h=10cm

L8h=10cm

L9h=10cm

LE

432

555

275

273

460

565

365

206

144

161 350

204

VE(19/55) V

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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo ... · • Cálculo das lajes isoladas TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e (carga uniforme) x m m p x x x