Escola Secundária de Jácome Ratton

Ano Lectivo 2010/2011 Matemática Aplicada às Ciências Sociais

Dados bidimensionais ou bivariados – são dados obtidos de pares de

variáveis.

A amostra de dados bivariados pode representar-se por (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn).

Diagrama de dispersão ou nuvem de pontos representativa da

distribuição estatística – é uma representação gráfica para os dados

bivariados, em que cada par de dados (xi, yi) é representado por um ponto de

coordenadas (xi, yi), num sistema de eixos coordenados.

Exemplo:

a) Represente os dados num diagrama de dispersão.

b) Explique se a ideia do professor faz ou não sentido.

c) Determine as coordenadas do centro de gravidade e assinale-o no diagrama de

dispersão.

Um professor tem uma turma com 18 alunos e pensa que os

seus alunos que têm boas classificações em Matemática

também são bons alunos em Física. No final do 1ºperíodo

verificou que:

Aluno A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

Classificação em

Matemática (x) 6 8 8 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 18

Classificação em

Física (y) 5 7 10 10 12 12 10 15 15 13 12 13 16 17 12 15 18 18

a) Represente os dados num diagrama de dispersão.

Aluno A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

Classificação em

Matemática (x) 6 8 8 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 18

Classificação em

Física (y) 5 7 10 10 12 12 10 15 15 13 12 13 16 17 12 15 18 18

b) Explique se a ideia do professor faz ou não sentido.

Sim, a ideia do professor faz sentido porque existe uma relação estatística acentuada

entre as duas variáveis. .

Aluno A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

Classificação em

Matemática (x) 6 8 8 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 18

Classificação em

Física (y) 5 7 10 10 12 12 10 15 15 13 12 13 16 17 12 15 18 18

c) Determine as coordenadas do centro de gravidade e assinale-o no diagrama de

dispersão.

Análise gráfica de dados bidimensionais

A tabela mostra a classificação num teste de estatística de 12 estudantes, as

horas dedicadas à sua preparação, o número de horas gastas a ver televisão no

fim-de-semana que precedeu o teste e a altura de cada estudante.

Classificação no teste 8 9 10 8 10 11 12 12 13 14 14 9

Horas de estudo para o teste 1 1,5 2 0,5 1,5 2,5 3 2,5 3 3,5 3 1

Horas a ver televisão 5 6 3 4 5 3 2 3 1 1 2 5

Altura 155 16

5 155

17

0

18

0

17

0 165 175 160 165 175 175

Faça um estudo gráfico para a classificação no teste e cada uma das outras

variáveis. Comente cada um dos gráficos.

Classificação no teste 8 9 10 8 10 11 12 12 13 14 14 9

Horas de estudo para o teste 1 1,5 2 0,5 1,5 2,5 3 2,5 3 3,5 3 1

Horas a ver televisão 5 6 3 4 5 3 2 3 1 1 2 5

Altura 155 16

5 155

17

0

18

0

17

0 165 175 160 165 175 175

Classificação no teste e Horas de estudo para o teste

A recta que “melhor se aproxima” de todos os

pontos do gráfico tem declive positivo.

Variáveis positivamente associadas ou

associação positiva entre as variáveis – aos

maiores valores de uma variável correspondem,

geralmente, os maiores valores da outra.

Quem passa mais tempo a estudar obtém,

geralmente, melhor classificação no teste.

Classificação no teste 8 9 10 8 10 11 12 12 13 14 14 9

Horas de estudo para o teste 1 1,5 2 0,5 1,5 2,5 3 2,5 3 3,5 3 1

Horas a ver televisão 5 6 3 4 5 3 2 3 1 1 2 5

Altura 155 16

5 155

17

0

18

0

17

0 165 175 160 165 175 175

Classificação no teste e Horas a ver televisão

A recta que “melhor se aproxima” de todos os

pontos do gráfico tem declive negativo.

Variáveis negativamente associadas ou

associação negativa entre as variáveis – aos

maiores valores de uma variável correspondem,

geralmente, os menores valores da outra.

Quem passa mais tempo a ver televisão,

geralmente, obtém pior classificação no teste.

Classificação no teste 8 9 10 8 10 11 12 12 13 14 14 9

Horas de estudo para o teste 1 1,5 2 0,5 1,5 2,5 3 2,5 3 3,5 3 1

Horas a ver televisão 5 6 3 4 5 3 2 3 1 1 2 5

Altura 155 16

5 155

17

0

18

0

17

0 165 175 160 165 175 175

Classificação no teste e Altura

A nuvem de pontos encontra-se bastante

dispersa assim não existe uma associação

clara entre as duas variáveis.

A altura do estudante não tem qualquer

influência sobre a sua classificação no teste.

Exercício: Observe os seguintes diagramas de dispersão:

(A) (B) (C)

(D) (E) (F)

Indique, pela letra correspondente, aqueles em que se observa:

uma associação positiva;

uma associação negativa;

não há uma associação clara entre as duas variáveis.

A, C e F

B e D

E

Coeficiente de Correlação Linear

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y

r

x x y y

1

2 2

1 1

xi – Valores das observações de uma das variáveis;

yi – Valores das observações correspondentes da

outra variável;

Exemplo:

Maior grau de

associação

Maior coeficiente

de correlação

Interpretação geométrica do coeficiente de correlação

Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear (r)

O valor do coeficiente de correlação varia entre -1 e 1.

Se r é positivo, a correlação é positiva (ou a associação entre as variáveis é

positiva) e a dependência entre as variáveis é tanto mais forte quanto mais próximo

estiver de 1.

Se r é negativo, a correlação é negativa (ou a associação entre as variáveis é

negativa) e a dependência entre as variáveis é tanto mais forte quanto mais

próximo estiver de -1.

Os valores -1 e 1 são atingidos quando à recta de regressão pertencem todos os

pontos da nuvem.

Quando r = 0 a correlação é nula e não existe associação entre as variáveis.

A correlação não é afectada por uma mudança de unidades das variáveis.

Exercício: Observe os seguintes diagramas de dispersão:

(A) (B) (C) (D)

A cada um dos diagramas faça corresponder o valor de r.

r - 0,01 0,02 - 0,98 0,92 0,59 - 0,93

Diagrama (A) (B) (C) (D)

Determinar o coeficiente de correlação com recurso à calculadora

Aluno A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

Classificação em

Matemática (x) 6 8 8 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 16 16 17 17 18

Classificação em

Física (y) 5 7 10 10 12 12 10 15 15 13 12 13 16 17 12 15 18 18

Recta de Regressão

Quando duas variáveis estão fortemente correlacionadas os pontos do

diagrama de dispersão colocam-se em torno de uma recta.

A recta que torna mínima a soma dos quadrados dos desvios dos pontos em relação à recta

designa-se por recta de regressão e pode ser definida por uma equação do tipo: y = ax+b.

Exemplo: Suspenderam-se objectos de diferentes massas numa mola

deformando-a e registaram-se os correspondentes

alongamentos da mola, como se mostra na tabela:

Recta de regressão para fazer estimativas

O Nuno pratica atletismo. Depois de terminada uma prova anotou as suas pulsações.

Quantas pulsações teria o Nuno 1,8 min depois de terminada a prova?

Quantas pulsações teria o Nuno 30 min depois de terminada a prova?

1,8 min depois de terminar a prova o Nuno teria 110 pulsações.

Não faz sentido calcular y(30) porque 30 min depois de terminar a prova o Nuno terá a

pulsação normal.

Exercício: O comprimento y, em milímetros, de uma peça de metal foi

medido a várias temperaturas x, em graus Celsius, obtendo-se

os seguintes resultados:

a) Desenhe o diagrama de dispersão.

b) Obtenha, com a calculadora, a equação da recta de regressão e represente-a

no gráfico.

c) Use a recta de regressão para estimar o comprimento da peça quando a

temperatura é de 72ºC e quando a temperatura é de 130ºC.