1 - Matemática – Ensino Secundário

Preparação para o Exame Nacional 12º Ano

Ano letivo 2018 / 2019 Maio e Junho de 2019

Matemática A Prova Modelo Nº 6

EscolaSecundariade Penafiel

Ficha de Trabalho n 4

Preparacao para exame

12. Ano de Escolaridade Turma G-K

GEOMETRIA NO ESPACO (Revisoes) - CALCULO COMBINATORIO

1. Considera num referencial ortonormado Oxyz, os planos ↵ : x+2y�z+1 = 0 e � : �2x�4y+2z�3 = 0,

e as retas r : (x; y; z) = (0; 1;�1) + k

✓�1

2;�1;

1

2

◆, k 2 R.

1.1. Mostra que os planos sao estritamente paralelos.

1.2. Seja � : 4ax� 2y + a2z = 1, com a 2 R, um plano. Determina a de modo que os planos � e � sejam

perpendiculares.

1.3. Mostra que a reta r e perpendicular ao plano ↵.

1.4. Escreve uma equacao vetorial da reta t estritamente paralela ao plano ↵, e que contem o ponto

T (�1, 2;�1).

2. No referencial ortonormado, Oxyz, esta representado um tronco de piramide, como o que se apresenta na

figura.

Sabe-se que:

a face [AOEC] esta contida no plano xOz;

a face [ABO] esta contida no plano xOy;

a face [OBDE] esta contida no plano yOz;

OA = OB = 4;OE = 5;

o volume da piramide que deu origem ao tronco de piramide

representado e igual803 unidades cubicas.

A

B

C

D E

O

x

y

z

Figura 1

2.1. Determina a area do triangulo [CDE]

2.2. Determina o volume do solido representado.

2.3. Indica as coordenadas da projecao do ponto D no plano xOy.

2.4. Escreve uma equacao vetorial da reta BD.

2.5. Indica a equacao do plano que contem a face [CDE].

2.6. Escreve a equacao da superfıcie esferica de centro no ponto medio de [AB], e de raio ||��!CD||.2.7. Pretende-se numerar as faces do solido com numeros como os do conjunto P = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

De quantas maneiras distintas se podem numerar as faces do solido,

2.7.1. se nao houver restricoes?

2.7.2. se as duas bases do solido so podem ser numeradas com numeros primos, e nao ha faces numeradas

com o mesmo numero.

2.7.3. se as duas bases do solido so podem ser numeradas com numeros pares, e nao ha faces numeradas

com o mesmo numero.

2.7.4. se as bases do solido sao numeradas com os numeros 1 e 2, e nao ha faces numeradas com o

mesmo numero.

2.7.5. se os numeros 5 e 7 tem necessariamente de ser utilizados, e nao ha faces numeradas com o

mesmo numero.

2.8. Com todos os vertices do solido, quantos triangulos se podem desenhar na figura de modo que um

vertice pertenca a uma das bases do solido e os outros dois pertencam a outra base.

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2 - Matemática – Ensino Secundário

3. Na turma do Rodrigo ha 13 raparigas e 17 rapazes.

Durante a aula de Educacao Fısica, o professor disse aos alunos que ia formar uma equipa de dez alunos

para representarem a turma num torneio de basquetebol da escola.

3.1. Quantas equipas pode o professor formar se:

3.1.1. o Rodrigo entra, necessariamente, na equipa.

3.1.2. o Pedro, a Maria e a Beatriz, que sao alunos da turma e atletas federados, fazem parte da equipa.

3.1.3. a Ines e a Marta, que sao alunas da turma, nao fazem parte da equipa.

3.1.4. na sua constituicao houver tantos rapazes como raparigas.

3.1.5. na sua constituicao houver mais rapazes do que raparigas.

3.2. No final da aula o professor disse aos alunos que ja tinha selecionado a equipa. Os alunos escolhidos

foram: Rodrigo, Pedro, Maria, Beatriz, Ricardo, Antonio, Manuel, Goncalo, Jorge e Joao.

Por fim, o professor pediu aos alunos selecionados para se colocarem em fila, pois iria tirar uma

fotografia da equipa.

3.2.1. Determina o numero de fotografias distintas que o professor pode tirar se:

3.2.1.1. as duas raparigas ficarem uma em cada extremo.

3.2.1.2. os elementos do mesmo sexo ficarem juntos.

3.2.1.3. os rapazes ficarem juntos.

3.2.2. O numero de fotografias distintas que o professor pode tirar de modo que as duas raparigas nao

fiquem juntas pode ser dado por:

Resposta A: 9C2 ⇥ 2!⇥ 8! Resposta B: 10!� 9!⇥ 2!

Numa pequena composicao (cinco a dez linhas), explica cada uma das respostas.

4. Numa caixa ha quatro bolas brancas, tres pretas e tres azuis.

Extraem-se, sucessivamente e sem reposicao, as dez bolas que se encontram

na caixa, e colocam-se em fila sobre uma mesa, formando desta forma, uma

sequencia de cores.

Nota: As bolas da mesma cor nao distinguem.

Determina o numero de sequencias que se podem constituir se:

4.1. nao houver restricoes.

4.2. as bolas azuis saem todas seguidas logo no inıcio da extracao.

4.3. as bolas brancas saem todas seguidas.

4.4. as bolas saem agrupadas por cores.

Figura 2

5. Numa certa linha do triangulo de Pascal, a soma dos seus elementos e igual a 2048.

5.1. Quanto elementos tem essa linha do triangulo de Pascal?

5.2. Determina a soma dos tres ultimos elementos da linha seguinte.

5.3. Determina o maior elemento da linha anterior.

6. Considera o desenvolvimento de

✓� 1

x� 1p

x

◆12

, com x > 0.

6.1. Determina, caso exista, o coeficiente do termo de grau quatro do desenvolvimento.

6.2. Determina o termo medio do desenvolvimento.

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3 - Matemática – Ensino Secundário

EscolaSecundariade Penafiel

Ficha de Trabalho n 5

Preparacao para exame

12. Ano de Escolaridade Turma K-G

TRIGONOMETRIA

Recorda:

Seja [ABC] um triangulo

Lei dos senos

sin A

a=

sin B

b=

sin C

c

Seja [ABC] um triangulo

Lei dos cossenos (Teorema de Carnot)

a2 = b2 + c2 � 2bc cos A

tg(x) =sin(x)

cos(x)

sin2(x) + cos

2(x) = 1

1 + tan2(x) =

1

cos2(x)

(No conjunto onde as expressoes tem

significado)

�1 sin(x) 1, 8x 2 R

�1 cos(x) 1, 8x 2 R

f e uma funcao par se f(�x) = f(x), 8 � x, x 2 Df

f e uma funcao ımpar se f(�x) = �f(x), 8 � x, x 2 Df

1. Na figura 1 estao representadas tres arvores, identificadas por A, B e C.

Sabe-se que:

ACB = 52�;

BAC = 82�;

as arvores A e B distam de 6.4m, isto e,

AB = 6.4m;

A

B

C

6.4

82�

52�

Figura 1

Qual e a distancia entre a arvore A e a arvore C?

Numa das opcoes esta o valor dessa distancia, arredondado as decimas.

Em qual delas?

(A) 5.9m

(B) 5.6m

(C) 5.7m

(D) 5.8m

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4 - Matemática – Ensino Secundário

2. Na figura 2 esta representado um triangulo obtusangulo [ABC].

Sabe-se que:

CBA = 120�;

BAC = 30�;

AC = 12m

Determina o valor exato do perımetro do

triangulo [ABC].

A

B

C12

120�

30�

Figura 2

3. Observa a figura 3. Os pontos R , I e M representam tres casas.

R ! casa do Rodrigo

I ! casa da Ines

M ! casa da Marta

Sabe-se que:

as casa da Ines e da Marta estao a mesma distancia da casa do Rodrigo,

e essa distancia e de 6km;

IRM = 30�.

Determina A distancia entre a casa da Ines e da casa da Marta. Apresenta o

resultado arredondado as centesimas.

R

I M

6 6

30�

Figura 3

4. Na figura 4 esta representado um trapezio [ACDE] e um triangulo [ABC].

Sabe-se que:

CD = 4;

AC = b;

BC = a;

BAC = ABE = 2✓;

ACB = DBC = ✓;

Mostra que b =4 sin(3✓)

sin(✓) sin(2✓).

A

B

C

a

b

E D

4

2✓ ✓

✓2✓

Figura 4

Professor Francisco Cabral Pagina 2 de 5 Preparacao para Exame Ficha n 5

5 - Matemática – Ensino Secundário

5. Na figura 5 esta representado um hexagono regular [ABCDEF ], inscrito numa circunferencia centrada

em O.

5.1. A imagem do ponto B pela rotacao de centro

O e angulo generalizado (�120�;�8) e:

(A) A

(B) E

(C) F

(D) D

5.2. Em qual das opcoes esta o lado do hexagono

que e intersetado pela semirreta OP , sendo Pa imagem do ponto E pela rotacao de centro

O e angulo de amplitude 1450�?

(A) [EF ]

(B) [CD]

(C) [DE]

(D) [BC]

C

DE

F

A B

O

Figura 5

6. Na figura 6 esta representado um octogono regular [ABCDEFGH], inscrito numa circunferencia de centro

O.

Sabe-se que:

o octogono tem perımetro 40dm.

A

B

C

D

E

F

G

H

O

Figura 6

6.1. Utilizando letras da figura, indica o lado extremidade do angulo orientado com lado origem OF e

amplitude �2205�.

6.2. Em qual das opcoes esta a imagem do ponto H pela rotacao de centro O e angulo generalizado

(�135�;�7)?

(A) E

(B) C

(C) B

(D) A

6.3. Determina a area do triangulo [FGH]. Apresenta o resultado arredondado as centesimas.

6.4. Determina o perımetro do triangulo [CFH]. Apresenta o resultado arredondado as decimas.

Nota: Nos calculos intermedios conserva tres casas decimais.

Professor Francisco Cabral Pagina 3 de 5 Preparacao para Exame Ficha n 5

6 - Matemática – Ensino Secundário

7. Na figura 7 estao representadas tres vilas, Arribas de Baixo, Arribas de Cima e Ribeira Brava, identificadas,

respetivamente, por A, B e C, e um tunel que vai ser construıdo para ligar a vila de Arribas de Baixo a

vila de Arribas de Cima.

Sabe-se que:

as vilas de Arribas de Baixo e de Ribeira

Brava distam 2km;

as vilas de Arribas de Cima e de Ribeira

Brava distam 3km;

BCA = 60�;

Determina o comprimento do tunel (AB).

Apresenta o resultado arredondado as

centesimas.

A

RibeiraBrava

C

B

ArribasdeCimaArribasdeBaixo

2km 3km

Tunel a construir

60�

Figura 7

8. Dois jovens lancaram um drone com uma camara de filmar sobre a cidade

onde residem para fazerem um documentario. Ao fim de algum tempo o drone

encontra-se a uma certa distancia do solo. No solo estao os dois jovens, que

tem exatamente a mesma estatura de 1.6m, afastados 40 metros, um do outro,

e que observam o drone segundo angulos de amplitudes 37�e 52

�, tal como se

observa na figura 9. Figura 8: Drone

Sabe-se que:

o drone encontra-se no ponto C e os jovens nos pontos

A e B;

AB = 40m;

AF = 1.6m;

A bBC = 37�;

C bAB = 52�.

Determina a distancia do drone ao solo e a distancia entre o

jovem que se encontra no ponto A e o drone, apresentando

o resultado com duas casas decimais.

Obs.: O desenho nao esta feito a escala.

B

C

A

E F

Figura 9

9. Na figura 10 esta representado um triangulo retangulo [ABC] inscrito na semicircunferencia de raio 6.

Sabe-se que:

O ponto B move-se no arco AC, nunca coincidindo

com A nem com C; xA

B

C

Figura 10

9.1. Mostra que a area da regiao sombreada, e dada, em funcao de x, por A(x) = 18⇡ � 72 · sinx · cosx,sendo x 2

⇤0;

⇡2

⇥.

9.2. Para um determinado valor de x, sabe-se que tgx =23 . Determina o valor exato da area da regiao

sombreada.

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7 - Matemática – Ensino Secundário

10. Considera o triangulo [ABC], retangulo em A, representado na figura 11.

Sabe-se que:

A bBC = ↵;

B bCA = �;

AB = x;

AC = y;

BC = z;

A

B

C

Figura 11

Prova quesin

�⇡2 � ↵

�+ cos(⇡ + �)

tg(⇡ � �) · cos� =y � x

x.

11. Mostra que, no domınio em que as expressoes tem validade, se tem:

11.1.� cos

2 x

1 + sinx= sinx� 1

11.2.1� 1

tg2x

1 +1

tg2x

� 1 = �2 cos2 x

12. Considera a funcao f , definida em R por f(x) = 2 sin(2x).

Pode-se afirmar que a expressao geral dos zeros da funcao f e?

(A) x = k⇡, k 2 Z(B) x = 2k⇡, k 2 Z(C) x = k ⇡

2 , k 2 Z(D) x = k 3⇡

4 , k 2 Z

13. sin(�⇡ � x) + cos

✓3⇡

2� x

◆e igual a:

(A) sinx� cosx

(B) 2 sinx

(C) �2 sinx

(D) 0

14. Considera a funcao f , definida em R, por f(x) =p2� 3 sin(⇡ � 2x).

O contradomınio da funcao f e?

(A) [�3 +p2; 3 +

p2]

(B) ]� 3 +p2; 3 +

p2[

(C) [3�p2; 3 +

p2]

(D) ]3�p2; 3 +

p2[

15. Considera as funcoes f e g, definidas em R, por f(x) = sin2(x) e g(x) = cos(3x).

Pode-se afirmar que:

(A) as funcoes f e g sao ımpares

(B) a funcao f e par e a funcao g e ımpar

(C) a funcao f e ımpar e a funcao g e par

(D) as funcoes f e g sao pares

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