Esquema de distribuição dos tratamentos: Fatorial; … em esquema fatorial Experimentos em esquema fatorial são usados quandodois ou mais fatores são estudados, ao mesmo tempo,

Esquema de distribuição dos tratamentos:

Fatorial;

Parcelas subdivididas.

1

Experimentos em esquema Experimentos em esquema Fatorial Fatorial

2

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

Experimentos em esquema fatorialExperimentos em esquema fatorial

Experimentos em esquema fatorial são usados quando dois ou mais fatores são estudados, ao mesmo tempo, para que possam nos conduzir a resultados de interesse.

Pode ser usado em qualquer delineamento: DIC, DCB e DQL.

Os tratamentos são as combinações dos níveis de cada fator.

3

ExemploExemplo 1:

Há o interesse em estudar 2 variedades de cana de açúcar, com 3 diferentes herbicidas.

Seja Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo:Seja Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo:

2 níveis (V1, V2) e

3 níveis (H1, H2, H3).

Teremos 6 tratamentos:

T1 = V1H1 T2 = V1H2 T3 = V1H3

T4 = V2H1 T5 = V2H2 T6 = V2H3.

4Fatorial 2 3

Exemplo 2: Exemplo 2:

Medir os efeitos dos macronutrientes:Nitrogênio (2 níveis), Fósforo (2 níveis) e Potássio (2 níveis)

sobre a produção de cana-de-açúcar da variedade tardia.

Tratamentos: 2 2 2 = 23 = 8N0 P0 K0 N1 P0 K0

N0 P0 K1 N1 P0 K1

N0 P1 K0 N1 P1 K0

N P K N P K

Fatores NíveisNitrogênio (N): N0 – dose 0 de N

N1 – dose 1 de N

Fósforo (P): P – dose 0 de P N0 P1 K1 N1 P1 K1Fósforo (P): P0 – dose 0 de P P1 – dose 1 de P

Potássio (K): K0 – dose 0 de KK1 – dose 1 de K

Forma alternativa de representar o número de fatores e níveis em

um esquema fatorial : (n. de níveis)(n. de fatores)

5

Fatorial 2 2 2 = 23

Efeitos avaliadosEfeitos avaliados

EfeitoEfeito PrincipalPrincipal:: é o efeito de cada fator, independente do efeito dosoutros fatores;

EfeitoEfeito dede InteraçãoInteração: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável emestudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitosdos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator.

6

Para ilustrar o efeito da interação, podemos fazer gráficos exploratórios:

B0 B1

A0

A1

A0

A1

Y

Y

Figuras. Gráfico da resposta média (Y) em função do efeito dos níveis do fator B para os níveis do fator A.

Gráfico exploratórioGráfico exploratório

Não há interação, mas há efeito de escala.

B0 B1

A0

A1

B0 B1

Não há interação, nem há efeito de escala.

Quando há paralelismo, não há interação

Y

7

A0

A1

A0

A1

YY

Figuras. Gráfico da resposta média (Y) em função do efeito dos níveis do fator B para os níveis do fator A.

Interação devida à diferença na grandeza da resposta

A interaçãointeração ocorre devido a um:

sinergismo entre os fatores (Interação positiva).

antagonismo entre os fatores (Interação negativa).

Interação devida à diferença na direção da resposta

B0 B1 B0 B1

8

Modelo estatísticoModelo estatístico

DIC em esquema fatorial com 2 fatores DIC em esquema fatorial com 2 fatores (A e B)(A e B)

ij i j ij ijyij = m + ai + bj + (ab)ij + eij

Efeitos principais

Interação dupla

DCB em esquema fatorial com 2 fatores DCB em esquema fatorial com 2 fatores (A e B)(A e B)

com i=1,2,...,I; j=1,2,...,J, k=1,2,...,K

ijk i j ij k ijkyijk = m + ai + bj + (ab)ij + wk + eijk

Efeitos principais

Interação dupla

9

Tabela 1 - Quadro da análise de variância de um experimento DIC em esquema fatorialcom 2 fatores, A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições.

O quadro da ANOVA O quadro da ANOVA –– DICDIC em esquema fatorial com 2 fatoresem esquema fatorial com 2 fatores

C.V. g.l. SQ QM F_calc F_tab

A (I - 1) SQA QMA QMA/QMRes

B (J - 1) SQB QMB QMB/QMRes

AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes [(I - 1) (J – 1); n1]

(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -

10

(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -

Resíduo n1 = IJ(K – 1) SQRes QMRes - -

Total IJK – 1 SQTotal - - -

C.V. g.l. SQ QM F_calc F_tab



AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes [(I - 1) (J – 1); n2]

Tabela 2 - Quadro da análise de variância de um experimento em DBC em esquemafatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições (oublocos):

O quadro da ANOVA O quadro da ANOVA –– DCBDCB em esquema fatorial com 2 fatoresem esquema fatorial com 2 fatores

(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -

Bloco (K - 1) SQBloco QMBloco QMBloco/QMRes -

Resíduo n2 = (IJ – 1)(K – 1) SQRes QMRes - -

Total IJK – 1 SQTotal - - -

11

Hipóteses a serem testadasHipóteses a serem testadas

A primeira hipótese a ser testada em um esquema fatorial é o efeito dainteração, que é dado pelas hipóteses:

H0: Não há efeito da interação dos fatores

Ha: Há efeito da interação dos fatores

Se o efeito da interação não for significativo, ou seja, os efeitos dosfatores atuam de forma independente, estudamos os efeitos principais defatores atuam de forma independente, estudamos os efeitos principais decada fator como antes.

Agora, se o efeito da interação for significativo, ou seja, os efeitos dosfatores atuam de forma dependente, o efeito de um fator depende do níveldo outro fator, devemos fazer o desdobramento.

12

Esquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatores

13

Exemplo 1Exemplo 1

Um ensaio foi executado para determinar os efeitos da irrigação (com esem) e da adubação (química e orgânica) sobre a produção total de matériaseca (kg/ha) de capim elefante (Pennisetum purpureum: Schum.) cv“Cameroon”, em um DIC com 4 repetições.

TratamentosTratamentos: 2 2 = 22 = 4I0 A0 I1 A0

FatoresFatores NíveisNíveisAdubação (A): A0 – adubação orgânica

A1 – adubação química I0 A0 I1 A0

I0 A1 I1 A1

A1 – adubação química

Irrigação (I): I0 – sem irrigação I1 – com irrigação

I0 A0 I1 A1 I0 A1 I0 A0

I0 A1 I0 A1 I0 A0 I0 A1

I1 A1 I0 A1 I1 A1 I0 A1

I0 A0 I0 A1 I1 A1 I0 A1

Croqui do experimento:Croqui do experimento:

14

Irrigação AdubaçãoRepetição

Totais1 2 3 4

ComOrgânica 32,70 30,50 31,55 28,00 122,75

Química 28,40 28,50 25,86 29,68 112,44

SemOrgânica 18,05 18,10 20,72 19,80 76,67

Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13

Os dados do experimento em DIC em esquema fatorial com 2 fatores são:

Exemplo 1Exemplo 1

irrig adub repet ms

Tabulação:irrig_adub.csv

Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13

Total - - - - - 390,99

15

irrig adub repet ms

CI Ao 1 32,70

CI Aq 1 28,40

SI Ao 1 18,05

SI Aq 1 18,13

CI Ao 2 30,50

CI Aq 2 28,50

SI Ao 2 18,10

SI Aq 2 21,00

CI Ao 3 31,55

CI Aq 3 25,86

SI Ao 3 20,72

SI Aq 3 19,50

CI Ao 4 28,00

CI Aq 4 29,68

SI Ao 4 19,80

SI Aq 4 20,50

No R:

## Entrada dos dados para análise

dados<- read.csv2(‘irrig_adub.csv’, head=T); dados

hatCIAO /6875,304

75,122

hatSIAO /1675,194

67,76

hatCIAQ /11,284

44,112

hatSIAQ /7825,194

13,79

Exemplo 1Exemplo 1Gráfico da interaçãoGráfico da interação

16Interação devida à diferença

na grandeza da resposta

O modelo para o DIC em esquema fatorial com 2 fatores é dado por:Considere os fatores A (com I níveis) e B (com J níveis), com Krepetições dos tratamentos

i = 1, 2, ..., I j = 1, 2, ..., J k = 1, 2, …, K

y : valor da parcela que recebeu o nível i do fator A e o nível j do

yijk = m + ai + bj + (ab)ij + eijk

Exemplo 1Exemplo 1Modelo estatísticoModelo estatístico

yijk : valor da parcela que recebeu o nível i do fator A e o nível j do fator B na repetição k.

i : média geral

ai: efeito do nível i de A

bj : efeito do nível j de B

(ab)ij : efeito da interação dos fatores A e B

eijk : efeito dos fatores não controlados que recebeu a combinação de tratamento, envolvendo o nível i de A e o nível j de B na repetição k.

17

DIC com esquema fatorial com 2 fatores: A (I níveis), B (J níveis) e K repetições.

Quadro da ANOVAQuadro da ANOVAExemplo 1Exemplo 1

C.V. g.l. SQ QM F_calc



AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes

(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - -

18

(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - -

Resíduo IJ(K – 1) SQRes QMRes -

Total IJK – 1 SQTotal - -

I J K

Irrigação AdubaçãoRepetição

Totais1 2 3 4

ComOrgânica 32,70 30,50 31,55 28,00 122,75

Química 28,40 28,50 25,86 29,68 112,44

SemOrgânica 18,05 18,10 20,72 19,80 76,67

Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13

Total - - - - - 390,99

I = 2 (Adub.)J = 2 (Irrig.)K = 4 (Rep.)

I J

Correção:

19

Quadro auxiliar para o cálculo das variações de A, B e (A B)

(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais

Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42

Adub. Química 112,44 79,13 191,57

Totais 235,19 155,80 390,99

Uma tabela auxiliar sempre

ajuda nos cálculos!

= 10,192020

QMRes = 29,8219/12 = 2,4851

QMA = ...

QMB = ...QMB = ...

QMAB = ...

OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO

A análise de um delineamento em esquema fatorial SEMPREcomeça pela interação de maior grau, no caso a dupla.

21


Irrigação (I) 1 393,9233 393,9233 158,51

Adubação (A) 1 3,8514 3,8514 1,55

I A 1 10,1920 10,1920 4,10

Resíduo 12 29,8219 2,4851 -

Total 15 437,7886 - -

ANOVAANOVA Seja = 0,05

75,4%)5,12,1( F

*ns

ns

Para α = 5%, a interação não foi significativa, indicando existir umparalelismo ou independência entre os efeitos dos fatores. Então asconclusões são feitas para efeito principal de IRRIGAÇÃO e ADUBAÇÃO.

Logo, existe apenas efeito do fator IRRIGAÇÃO.

Teste de comparações múltiplas

(Por exemplo: Tukey.)

Mas qual nível de irrigação difere de qual?

22

ANOVAANOVA Seja = 0,10

18,3%)10,12,1( F


Irrigação (I) 1 393,9233 393,9233 158,51

Adubação (A) 1 3,8514 3,8514 1,55

I A 1 10,1920 10,1920 4,10

Resíduo 12 29,8219 2,4851 -

Total 15 437,7886 - -

*ns

*

Para α = 10%, a interação foi significativa, indicando existir um efeito dainteração ou dependência entre os fatores.

Logo, o procedimento é realizar o desdobramento do efeito da interação,desconsiderando os testes para os efeitos principais.

23

DesdobramentoDesdobramentoDesdobramentoDesdobramento

24

Exemplo 2Exemplo 2

Um pesquisador pretende estudar o comportamento de 4 operadores namanipulação 5 aparelhos, para medição de alturas de plantas (Eucaliptus salignacom 7 anos de idade). O DCB com 10 blocos em esquema fatorial 4 5, em quecada árvore é um bloco.

Aparelho 1: hipsômetro de Blume-LeissAparelho 2: hipsômetro de HagaAparelho 3: hipsômetro de WeiseAparelho 4: Prancheta dendrométricaAparelho 5: Trena

DesdobramentoDesdobramento

Aparelho 5: Trena

FV gl SQ QM F

Aparelhos (A) 4 15,4697 3,8674 9,37**

Operadores (O) 3 1,4277 0,4759 1,15n.s.

Interação (AO) 12 10,5503 0,8792 2,13*

(Tratamento) (19) (27,4477) (1,4446) (3,50)

Bloco 9 1565,2699 173,9189 –

Resíduos 171 70,6004 0,4129 –

Total 199 1663,3180 – –

Fatores dependentesdependentes: estudar um fator dentro

do outro (e/ou vice e versa).

25

FV gl SQ

Aparelhos (A) 4 15,4697

Operadores d. A1 3 SQO_d._A1


FV gl SQ

Operadores (O) 3 1,4277

Aparelhos d. O1 4 SQA_d._O1


No exemploexemplo 22:

Estudar o comportamento dasOPERADORES dentro de cadanível de APARELHO.

Estudar o comportamento dasAPARELHO dentro de cadanível de OPERADOR.




(Tratamento) (19) (27,4477)

Bloco 9 1565,2699

Resíduos 171 70,6004

Total 199 1663,3180



(Tratamento) (19) (27,4477)

Bloco 9 1565,2699

Resíduos 171 70,6004

Total 199 1663,3180

= glO + gl(AO) = glA + gl(AO)26

NoNo exemploexemplo 11 Estudar o comportamento das

IRRIGAÇÕES dentro de cadanível de ADUBAÇÃO.

Estudar o comportamento dasADUBAÇÕES dentro de cadanível de IRRIGAÇÃO.

DesdobramentoDesdobramento

Para realizar o desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator

(e/ou vice e versa).

nível de ADUBAÇÃO.

FV gl SQ

Adubação (A) 1 SQAdub

Irrigação d. A0 1 SQI_d._A0

Irrigação d. A1 1 SQI_d._A1

(Tratamento) (3) (SQTrat)

Resíduos 12 SQRes

Total 15 SQTotal

nível de IRRIGAÇÃO.

FV gl SQ

Irrigação (I) 1 SQI

Adubação d. I0 1 SQA_d._I0

Adubação d. I1 1 SQA_d._I1

(Tratamento) (3) (SQTrat)

Resíduos 12 SQRes

Total 15 SQTotal

27



Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42

Adub. Química 112,44 79,13 191,57

Totais 235,19 155,80 390,99

Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de aduboExemplo 1:Exemplo 1:

28

ANOVA do comportamento das IRRIGAÇÕES dentro de cada nível de ADUBAÇÃO

Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de adubo

Conclusões:

Quando se utiliza Adubo Orgânico, o efeito de irrigação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante.

Quando se utiliza Adubo Químico, o efeito de irrigação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante;

Mas em qual nível é responsável por diferença?

18,3%)10,12,1( F

29

1) É melhor irrigar ou não irrigar quando utiliza-se adubo orgânico?

2) É melhor irrigar ou não irrigar quando utiliza-se adubo químico?

Teste de Médias duas a duas

Teste t


Teste t

Teste de Tukey

Teste de Duncan

etc...

30

Comparações múltiplas Comparações múltiplas -- TukeyTukey


Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42

Adub. Química 112,44 79,13 191,57

Totais 235,19 155,80 390,99

IRRIGAÇÃO dentro adubo orgânico IRRIGAÇÃO dentro adubo químico


9863,14

4851,252,2

.

Re%)10;12,2(

rep

sQMq

a

b

a

b

hatCIAO /6875,304

75,122

hatSIAO /1675,194

67,76

hatCIAQ /11,284

44,112

hatSIAQ /7825,194

13,79

émelhor irrigar

émelhor irrigar

52,11|ˆˆ||ˆ| 1 SIAOCIAO

mmy 3275,8|ˆˆ||ˆ| 2 SIAQCIAQ

mmy

31

Conclusões:

1. Quando se utiliza Adubo Orgânico, há diferença significativa na produçãode M.S. de capim elefante, sendo melhor com Irrigação.

2. Quando se utiliza Adubo Químico, há diferença significativa na produçãode M.S. de capim elefante, sendo melhor com Irrigação.


Irrigação

Adubo Com Sem

Orgânica 30,68 A 19,16 B

Química 28,11 A 19,78 B

As comparações devem ser feitas nas linhas.

32



Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42

Adub. Química 112,44 79,13 191,57

Totais 235,19 155,80 390,99

Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de IrrigaçãoExemplo 1:Exemplo 1:

33

ANOVA do comportamento das ADUBAÇÕES dentro de cada nível de IRRIGAÇÃO

Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de Irrigação

****

18,3FConclusões

Quando se utiliza Irrigação, o efeito de adubação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante;

Quando não se utiliza irrigação, o efeito de adubação não é significativo naprodução de M.S. de capim elefante.

Mas em qual nível é responsável por diferença?

18,3%)10,12,1( F

34

Comparações múltiplas Comparações múltiplas -- TukeyTukey

ADUB. dentro COM IRRIGAÇÃO


Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42

Adub. Química 112,44 79,13 191,57

Totais 235,19 155,80 390,99

ADUB. dentro SEM IRRIGAÇÃO


615,0|ˆˆ||ˆ| 2 AQSIAOSI

mmy

ADUB. dentro COM IRRIGAÇÃO

a

a

a

b

ADUB. dentro SEM IRRIGAÇÃO

5775,2|ˆˆ||ˆ| 1 AQCIAOCI

mmy

hatAOCI /6875,304

75,122

hatAQCI /11,284

44,112

é melhor adubo

orgânico

hatAOSI /1675,194

67,76

hatAQSI /7825,194

13,79

Tanto faz o adubo

9863,14

4851,252,2

.

Re%)10;12,2(

rep

sQMq

35

Conclusões: 1. Quando se utiliza Irrigação, há diferença significativa na produção de

M.S. de capim elefante, sendo melhor com Adubo Orgânico.

2. Quando não se utiliza Irrigação, não há diferença na produção de M.S.de capim elefante, tanto com adubo orgânico como adubo químico.


Irrigação

Adubo Com Sem

Orgânica 30,68 a 19,16 a

Química 28,11 b 19,78 a

As comparações devem ser feitas nas colunas

36

Irrigação

Adubo Com Sem

Orgânica 30,68 a A 19,16 a B

Química 28,11 b A 19,78 a B

Forma de apresentar os resultadosForma de apresentar os resultados

Quadro resumo das médiasQuadro resumo das médias

a) Para Adubo, letras minúsculas iguais nas colunas indicam que as médias não diferem entre si, pelo teste de TUKEY ( = 10%).

b) Para Irrigação, letras maiúsculas iguais nas linhas indicam que asmédias não diferem entre si, pelo teste TUKEY ( = 10%) .

37

Temos o seguinte esquema para um delineamento em esquema fatorial com 2 fatores

Fator Quantitativo: Regressão

Significativa

Fatores dependentes:

estudar um fator dentro do outroIteração de maior

ordem AB

Fator Qualitativo: Teste de comparações

múltiplas

H0

H1

Não significativa

ANOVA

As pressuposições devem ser satisfeitas!

Fatores independentes:

estudar os fatores

principais Fator Quantitativo: Regressão

Fator Qualitativo: Teste de comparações

múltiplas

38

Esquema fatorialEsquema fatorial

VantagensVantagens

a)a) Pode-se num mesmo experimento estudarem-se 2 ou mais fatores;

b)b) Permitem tirar conclusões mais amplas, permitindo o estudo dos efeitosprincipais e o efeito da interação entre os fatores;

c)c) O n.º de graus de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado comc)c) O n.º de graus de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado comos experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir avariância residual, aumentando a precisão do experimento.

39

Esquema fatorialEsquema fatorial

DesvantagensDesvantagens

a)a) Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentossimples.

b)b) O número de tratamentos (combinações) cresce rapidamente quando seaumenta ou o n.o de níveis por fator, ou o n.o de fatores, ou ambos. Isso podetrazer problemas quanto à homogeneidade da área experimental.

Fatores Níveis Tratamento

A e B 3 e 4 12

A e B 5 e 5 25

A, B e C 3, 4 e 2 24

A, B e C 3, 4 e 3 36

Há, no entanto, alternativas para secontornar essa desvantagem:

Usar Fatoriais Fracionários;

Usar Blocos Incompletos;

Usar o confundimento que é umatécnica específica para fatoriais em blocos.

40

Tarefa

1) Tabule os dados do exemplo 1 no excel, salve com extensão “csv” eexporte os dados para o software R.

2) Utilize a função fat2.dic (com as devidas substituições) do pacoteExpDes.pt para realizar a análise estatística feita anteriormente.

Verifique as pressuposições da ANOVA também.

No R:require(ExpDes.pt)? fat2.dic

41

# fat2.dic(fator1, fator2, resp, quali = c(TRUE, TRUE), mcomp = "tukey", fac.names = c("F1", "F2"), sigT = 0.05, sigF = 0.05)

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Esquema de distribuição dos tratamentos: Fatorial; … em esquema fatorial Experimentos em esquema fatorial são usados quandodois ou mais fatores são estudados, ao mesmo tempo,