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Esquema Fatorial ESQUEMA FATORIAL Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estat´ ıstica 22 de julho de 2017 Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTAT ´ ISTICA EXPERIMENTAL

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Esquema Fatorial

ESQUEMA FATORIAL

Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha

Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica

22 de julho de 2017

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Introducao

Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;

Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Introducao

Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;

Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Introducao

Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;

Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exemplo 1

Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um an-tibiotico com 2 diferentes nıveis de vitamina B12.

Neste caso tem-se um fatorial 2 × 2, com os fatores Antibioticos(A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 nıveis (A1 e A2) e 2 nıveis(V1,V2), respectivamente, e os 2× 2 = 4 tratamentos seriam:

A1V1 A1V2 A2V1 A2V2.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exemplo 2

Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma drogacom 2 idades distintas.

Neste caso tem-se um fatorial 3 × 2 pode-se combinar 3 Doses deuma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e tem-se 3 × 2 = 6tratamentos, que seriam:

D1I1 D1I2

D2I1 D2I2

D3I1 D3I2

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exemplo 3

Num experimento fatorial pode-se combinar 3 variedades, 2adubacoes e 2 epocas de plantio.

Neste caso tem-se um fatorial 3×2×2 pode-se combinar 3 variedades(V1, V2 e V3), 2 Adubacoes (A1 e A2) e 2 epocas de plantio (E1 eE2) e tem-se 3× 2× 2 = 12 tratamentos, que seriam:

V1A1E1 V1A1E2 V1A2E2

V2A1E1 V2A1E2 V2A2E2

V3A1E1 V3A1E2 V3A2E2

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Tipos de efeitos avaliados

Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;

Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Tipos de efeitos avaliados

Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;

Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exemplo 1

Consideremos um experimento fatorial 2 × 2, com os fatores, An-tibiotico (H) e Vitamina B12 (V) nos nıveis:

H1 (sem antibiotico) e H2 (com antibiotico);

V1 (sem vitamina B12) e V2 (com vitamina B12),

adicionados a uma dieta basica. Suponha os seguintes resultados deganho de peso (kg), para os 2 × 2 = 4 tratamentos, nas seguintessituacoes:

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Nao ha interacao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12Totais

Dose do antibiotico V1 V2

H1 20 40 50

H2 30 52 92

Totais 60 82 142

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Esquema Fatorial

IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Ha interacao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12Totais

Dose do antibiotico V1 V2

H1 20 50 70

H2 40 10 50

Totais 60 60 120

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Vantagens

As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relacao aosexperimentos simples sao:

a) Pode-se estudar dois ou mais fatores num unico experimento.

b) Pode-se, por meio dos efeitos das interacoes, verificar se um fatore independente ou dependente do(s) outro(s).

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Desvantagens

As principais desvantagens dos experimentos fatoriais sao:

a) O numero de tratamentos ou combinacoes de nıveis de fatorescresce, rapidamente, com o aumento do numero de nıveis, emcada fator, ou mesmo com o aumento do numero de fatores.

b) A interpretacao dos resultados se torna mais difıcil a medida queaumentamos o numero de nıveis e de fatores no experimento.

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Tabulacao com dois fatores

Seja yijk a resposta observada para o i-esimo nıvel (i = 1, 2, . . . , a)do fator A e j-esimo nıvel (j = 1, 2, . . . , b) do fator B, para a k-esimarepeticao (k = 1, 2, . . . , n). Em geral, os dados serao apresentadosna forma da Tabela 1.

Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial.

Fator B

1 2 . . . b

1 y111, y112, . . . , y11n y121, y122, . . . , y12n . . . y1b1, y1b2, . . . , y1bn

2 y211, y212, . . . , y21n y221, y222, . . . , y22n . . . y2b1, y2b2, . . . , y2bn

Fator A

......

......

...

a ya11, ya12, . . . , ya1n ya21, ya22, . . . , ya2n . . . yab1, yab2, . . . , yabn

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Modelo estatıstico

As observacoes podem ser descritas pelo modelo estatıstico linear:

yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n

em que

µ e o efeito da media geral;

τi e o efeito do i-esimo nıvel do fator linha A;

βj e o efeito do j-esimo nıvel do fator coluna B;

(τβ)ij e o efeito da interacao entre τi e βj ;

εijk e o componente de erro aleatorio.

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

No experimento fatorial com 2 fatores, deseja-se testar a significancia deambos os fatores. Ha interesse em testar hipoteses sobre a igualdade dosefeitos de tratamentos nas linhas, isto e:

H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0

H1 : Pelo menos um τi 6= 0

e a igualdade nos efeitos de tratamentos nas colunas, ou seja:

H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0

H1 : Pelo menos um βj 6= 0

e, ainda, se ha interacao entre os fatores:

H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j

H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Do modelo estatıstico

yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk

{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n

Tem-se que os estimadores de mınimos quadrados para µ, τi , βj e(τβ)ij sao

µ = y ;τi = yi − y , i = 1, 2, . . . , a;

βj = yj − y , j = 1, 2, . . . , b;

ˆ(τβ)ij = yij − yi − yj − y ,i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

ANAVA

Tabela 2: Analise de variancia para um experimento fatorial com 2fatores.

C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcal

A a− 1 SQA QMA = SQA

a−1 Fcal = QMA

QMRes

B b − 1 SQB QMB = SQA

b−1 Fcal = QMB

QMRes

A× B (a− 1)(b − 1) SQA×B QMA×B = SQA×B

(a−1)(b−1) Fcal = QMA×B

QMRes

Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes = SQRes

ab(n−1)

Total abn − 1 SQTotal

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Soma de quadrados

Assim, tem-se:

SQTotal = SQA + SQB + SQA×B︸ ︷︷ ︸+SQRes ,

de forma que a soma de quadrados total e dada por:

SQTotal =a∑

i=1

b∑j=1

n∑k=1

y2ijk −

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

As somas de quadrados para os efeitos principais sao:

SQA =a∑

i=1

T 2Ai

bn−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

SQB =b∑

j=1

T 2Bj

an−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Para o calculo da soma de quadrados da interacao, SQAxB , deve-se, ini-cialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B,denotada por SQA,B . Logo,

SQA,B =a∑

i=1

b∑j=1

T 2AiBj

n−

(∑ai=1

∑bj=1

∑nk=1 yijk

)2

abn

Esta soma de quadrados contem SQA e SQB . Portanto, a soma de qua-drados da interacao e:

SQAxB = SQA,B − SQA − SQB ,

e, a soma de quadrados de resıduos, obtem pela diferenca:

SQRes = SQTotal − SQA − SQB − SQAxB .

Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do

efeito conjunto e sempre igual a soma de quadrados de tratamentos.

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exemplo

A Tabela 20 apresenta os dados do desenvolvimento das mudas de 2 especies de euca-liptos (E1 e E2) plantados em 3 tipos de recipientes (R1, R2 e R3).

Tabela 3: Alturas medias das mudas, em centımetros, aos 80 dias

de idade.

EspeciesRecipientes

E1 E2

TRi

26,2 26,0 24,8 24,6R125,0 25,4

102,626,7 25,2

101,3 203, 9

25,7 26,3 19,6 21,1R225,1 26,4

103,519,0 18,6

78,3 181, 8

22,8 19,4 19,8 21,4R318,8 19,2

80,222,8 21,3

85,3 165, 5

TEj 286,3 264,9 551,2

A um nıvel de significancia de 5%, os fatores Especies de eucaliptos e tipos de recipientes

atuam de forma independente?

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exercıcio 1Num experimento planejado para avaliar tres detergentes, um laboratorio lavou roupatres vezes em cada combinacao de detergente e temperatura de agua, obtendo porcen-tagens de roupas bem lavadas, dadas a seguir:

Detergente A Detergente B Detergente C

Agua fria 45 39 46 43 46 41 55 48 53

Agua morna 37 32 43 40 37 46 56 51 53

Agua quente 42 42 46 44 45 38 46 49 42

A um nıvel de 0,01 de significancia, pede-se:

a) ha efeito da interacao entre o tipo de detergente e a temperatura da agua?Justifique sua resposta.

b) Ha efeito de temperatura da agua na porcentagem de roupas bem lavadas?Justifique sua resposta. Se sim, qual temperatura tem uma maior porcentagem?

c) Ha efeito de detergente na porcentagem de roupas bem lavadas? Justifique suaresposta. Se sim, qual detergente tem uma maior porcentagem?

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IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia

Exercıcio 2

Em um experimento em blocos casualizados, no esquema fatorial 23, foi estudadaa adubacao da cultura do cafeeiro. As producoes de cafe coco, em kg por parcelade 105m2, foram:

Tratamentos Blocos TotaisI II III IV V VI

N0P0K0 31,8 40,5 25,7 25,7 37,2 45,3 206,2N0P0K1 25,6 32,4 39,6 48,9 20,6 33,7 200,8N0P1K0 36,2 37,8 40,9 44,8 32,4 38,4 230,5N0P1K1 37,1 53,0 36,4 43,0 19,7 30,4 219,6N1P0K0 35,3 39,0 36,0 33,5 28,2 42,4 214,4N1P0K1 51,5 66,1 51,7 52,0 56,5 58,2 336,0N1P1K0 43,8 32,7 43,3 41,8 31,9 37,7 231,2N1P1K1 47,0 49,9 50,9 49,1 71,7 39,6 308,2

Totais 308,3 351,4 324,5 338,8 298,2 325,7 1946,9

Faca a analise de variancia para o esquema fatorial e conclua. Considere um

nıvel de significancia de 5%.

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