Aula  do  Curso  Noic  de  Física,  feito  pela  parceria  do  Noic  com  o  Além  do  Horizonte      

Essa  aula  trata  de  movimentos  oscilatórios  harmônicos  simples  (MHS):  

Pense   numa   oscilação.   Ida   e   volta.   Estudando   esse   movimento,   os   cientistas   encontraram  equações   que   descrevem  o   dito  movimento   harmônico   simples   (MHS).  Uma   análise   simples  desse  pode  ser  obtida  analisando  a  projeção  no  eixo  x  de  um  movimento  circular.  Vejamos:  

 

 

 

Dessa  forma,  sendo  “A”  a  amplitude  do  movimento,  podemos  equacionar:  

𝜽 =  𝜽𝟎 + 𝝎𝒕  

x  =  Acos𝜽  (Equação  da  posição)  

v  =  -­‐vsen𝜃    

isto  é,  a  velocidade  do  eixo  x.  Sendo  v  =  𝜔a:  

v  =  −𝝎Asen𝜽  (Equação  da  velocidade)  

a  =  accos𝜃    

Sendo  ac  =  𝜔!𝐴:  

a  =  −𝝎𝟐Acos𝜽  (Equação  da  aceleração)  

Como  x  =  Acos𝜃,  então:  

a  =  −𝜔!x  

Nota-­‐se,   portanto,   que   a   aceleração   no   MHS   é   proporcional   à   distância   “x”   ao   ponto   de  equilíbrio,  com  sinal  negativo  por  ser  uma  força  restauradora,  ou  seja,  faz  o  movimento  parar  em   máximos   e   então   voltar   a   x   =   0,   passando   ali   com   velocidade   máxima   (para   𝜃 = 90°).  

 

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Assim,   é   interessante   perceber   que   movimentos   que   obedecem   ao   seguinte   modelo  matemático:  

𝑎 =  − !!𝑥  𝑜𝑢  𝐹 = −𝑘𝑥    

São  do  tipo  MHS.  Utilizando  as  ideias  de  período  e  frequência  do  movimento  circular,  também  válidas  para  o  MHS,  usando  o  que  já  foi  mostrado:  

a  =  −𝜔!x  =  − !!𝑥  

𝜔! =𝑘𝑚  

𝜔 =  𝑘𝑚  

Mas  𝜔 =   !!!:  

2𝜋𝑇=

𝑘𝑚  

𝑻 =  𝟐𝝅𝒎𝒌  

𝑓 =1𝑇    

𝒇 =𝟏𝟐𝝅

𝒌𝒎  

Decerto,   tratam-­‐se  das   fórmulas  mais   importantes  do   conteúdo  MHS,   fornecendo  o  período  do  movimento  em  função  da  massa  do  corpo  tratado  e  da  constante  de  proporcionalidade  (k)  da   força.   Observe   ainda   que,   dado   o   produto   dos   termos   em   estudo   com   funções  trigonométricas,   podem-­‐se   achar   máximos   de   módulos   do   espaço,   velocidade   e   aceleração  quando  essas  funções  estão  nos  seus  limites  (+1  e  -­‐1).    

Façamos  uma  questão:  

Dada  a  figura,  calcule  o  período  do  MHS  de  uma  mola  com  constante  elástica  k  =10  π2N/m,  sendo  a  massa  do  corpo  M  =  10  kg.  Calcule  ainda  a  amplitude  do  movimento  em  questão,  sabendo  que  a  velocidade  máxima  do  movimento  é  0,5π  m/s  :  

 

 

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 Usando  a  fórmula  demostrada:  

𝑇 =  2𝜋1010π!

=2𝜋𝜋  

𝑻 = 𝟐𝒔  

Sabendo  que  a  velocidade  máxima  de  um  MHS  é  obtida  pela  maximização  da  função  trigonométrica  (a  descrição  feita  v  =  −𝜔Asen𝜃,  sen𝜃 = +1  𝑜𝑢 − 1,  estudando-­‐se  o  módulo,  𝜔A):  

𝜔A  =  0,5π    

Mas  𝜔 = !"!= !"

!= π:  

πA = 0,5π  

𝑨 = 𝟎,𝟓  𝐦 = 𝟓𝟎  𝐜𝐦    

A   relação   entre   a   velocidade  máxima   em   um  MHS   e   a   amplitude   pode   ser  mais   facilmente  encontrada  por  conservação  de  energia.  Sabe-­‐se  que,  em  um  ponto  de  máximo  deslocamento,  de  virada  do  MHS,  a  energia  potencial  na  mola  é  máxima,  com  deformação  máxima  da  mola,  isto  é,  vale  a  amplitude.  Essa  energia  é  toda  convertida  em  cinética  no  ponto  de  equilíbrio.  Por  conta  disso,  pode-­‐se  escrever:  

kA!

2=m𝑣!!á!

2    

𝑨 = 𝒗𝒎á𝒙𝒎𝒌  

Testando:  

𝐴 = 0,5π10  10π!

 

𝑨 = 𝟎,𝟓𝒎 = 𝟓𝟎𝒄𝒎  

Observe  que,  em  cada  ponto  da  trajetória  do  MHS,  há  essa  alternância  entre  energia  potencial  e   cinética,   somente   sendo   essas   nulas   ou   máximas   nos   pontos   especiais   do   movimento.   A  soma  de  ambas,  porém,  é  constante.  A  energia  mecânica  (total  tratada),  em  teoria,  conserva-­‐se.  Observe,  assim,  que  a  amplitude  só  depende  da  energia  dada,  não  importando  o  período.  

 

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Muitas   vezes,   é   comum   tratar   do   MHS   com   pequenas   oscilações,   permitindo   certas  aproximações   que   levam   ao   movimento   harmônico   simples.   Um   exemplo   disso,   também   o  mais  comum,  é  o  da  oscilação  de  um  pêndulo.  

 

Observe  que  a  força  de  restauração  desse  movimento  é:  

       𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃  

Mas,   como   se   trata   de   um   ângulo   pequeno,   vale   a  aproximação:  

𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝑡𝑔𝜃   ≅ 𝜃  (em  radianos)  

De  tal  forma  que(𝜃 = !!)  

 𝐹 = −𝑚𝑔 !!= −!"

!𝑥  

Isto  é:  

𝑘 =𝑚𝑔𝑙  

Usando  na  fórmula:  

𝑇 = 2𝜋𝑚𝑚𝑔𝑙

 

𝑻 = 𝟐𝝅𝒍𝒈  

Um  importante  resultado.  

(UFRS)   Um   pêndulo   simples,   de   comprimento   L,   tem   um   período   de   oscilação   T,   num  determinado   local.   Para   que   o   período   de   oscilação   passe   a   valer   2T,   no   mesmo   local,   o  comprimento  do  pêndulo  deve  ser  aumentado  para:    a)  1  L    b)  2  L    c)  4  L    d)  5  L    e)  7  L    Faz-­‐se:    

 

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𝑇!𝑇!=

𝑙!𝑙!= 2  

𝑙! = 4𝑙! = 4𝐿  

Item  C  

Uma  última  questão:    (ITA)Uma  mola  de  constante  elástica  k  e  massa  desprezível  está  suspensa  verticalmente  com  a  extremidade  livre  na  posição  O.  Prende-­‐se  nessa  extremidade  um  corpo  de  massa  m  que  é,  em  seguida,  abandonado  na  posição  O  com  velocidade  inicial  nula.  A  aceleração  local  da  gravidade  é  g.  Calcule  a  expressão  que  determina  a  posição  abaixo  de  O  atingida  pela  massa  m.  

 

 

Observe   que,   achando-­‐se   o   ponto   de   equilíbrio,   de  resultante  das  forças  igual  a  zero,  basta  dizer  que,  dado  o  mínimo  (mola  não  deformada)  a  esse  é  a  amplitude,  sendo  o  total  abaixado  duas  vezes:    Felástica  =  Fgravitacional    

     𝑘𝑥   =  𝑚𝑔    

     x   =  A   =  𝑚𝑔𝑘

 

 

𝑫𝑻𝒐𝒕 =𝟐𝒎𝒈𝒌