EST0209CCO - Estatística Aplicada

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Apontamentos de aula do Componente curricular de curso Estatstica Aplicada Cincias Contbeis Prof. Dr. Lus Carlos Ferreira de Almeida 2 Semestre de 2009 Estatstica Aplicada Contabilidade -2 Contedo 1 Correlao e Regresso 1.1 Conceituao 1.2 Correlao Linear 1.3 Regresso Linear 1.4CoeficientedeDeterminaooupoderexplicativodo Modelo (R2) 1.5 Intervalos de confiana para estimativas de Y 1.6 Regresses que se tornam lineares por transformaes 1.7 Sries Temporais 2 Amostragem 2.1 Inferncia Estatstica 2.2 Amostragem 2.3 Plano Amostral 3 Estimao de Parmetros 3.1 Conceitos Gerais 3.2 Tipos de Estimaes de Parmetros 3.3 Intervalos de confiana para mdias 3.4. Estimativa do tipo Bootstrapping 3.5. Intervalos de confiana para propores 3.6 Intervalos de Confiana para populaes finitas 3.7 Estimativa do Intervalo para Totais 3.8 Estimativa do Intervalo para Diferenas 3.9EstimativasdeIntervalosnaAmostragemAleatria Estratificada (AAE) 3.10. Amostragem Aleatria por Conglomerados 3.11 Intervalos de confiana para Propores na AAE e AAC 4Clculodotamanhoda amostra 4.1 Introduo 4.2 Clculo de n para mdias populaes finitas 4.3 Tamanho da amostra para propores populaes finitas 4.4 Clculo de N para populaes Finitas (mdias e propores) 4.5 Amostragem por atributos 5 Amostragem por unidade monetria 5.1 Conceitos Gerais 5.2. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetria 6 Teste de Hipteses 6.1 Conceituao 6.2 Principais conceitos 6.3. Testes de Significncia 7 Testes No paramtricos. 7.1 Aspectos Gerais 7.2 Testes de Ajustamento / Aderncia utilizando 2 Estatstica Aplicada Contabilidade -1 1 Correlao e Regresso 1.1 Conceituao O objetivo deste captulo envolve problemas com duas ou mais variveis numricas, como meiodevisualizarasrelaesexistentesentreelas.Existemdiversastcnicasestatsticasque permitem tais anlises, podendo ser destacadas as Correlao e Regresso. A Anlise de Regresso, dado um conjuntos de variveis independentes e uma dependente,utilizadaprincipalmentecomoobjetivodepreviso,porsuavezaAnlisedeCorrelao utilizada para medir a fora de associao entre variveis numricas. 1.2 Correlao Linear Freqentemente procura-se verificar se existe relao entre duas ou mais variveis. O peso podeestarrelacionadocomaidadedaspessoas;oconsumodasfamliaspodeestarrelacionado comsuarenda;asvendasdeumaempresaeosgastospromocionaispodemrelacionar-se,bem comoademandadeumdeterminadoprodutocomseupreo.Averificaodaexistnciaedo grau de relao entre variveis objeto do estudo da correlao. O estudo da correlao tem por objetivo medir e avaliar o grau de relao existente entre duasvariveisaleatriasAssim,porexemplo,podemosmedirsearelaoentreonmerode filhos de uma famlia forte, fraca ou nula. A correlao linear procura medir a relao entre as variveis X e Y atravs da disposio dos pontos (X, Y) em torno de uma reta Observaes Variveis 12345678 XVendas201225305380560600685735 YLucro1720212325242727 1.2.1 Grfico (Diagrama de Disperso) AsvariveisacimapodemserrepresentadasnumgrficodenominadoDiagramade DispersoquetemcomofinalidadeajudarnadecisodaexistnciaounodeCorrelaodas variveis estudadas. Estatstica Aplicada Contabilidade -2 1.2.2 Medidas de Correlao Ograuderelacionamentoentreduasvariveissintetizadoporumcoeficiente denominando r de Pearson. Esse coeficiente tem duas propriedades. A primeira, relacionada ao seusinal(positivoounegativo)eaoutrasuamagnitude.Osgrficosabaixomostram,deuma forma geral, essas propriedades: 1.2.2.1 Correlao Linear Perfeita Positiva A correlao linear perfeita positiva corresponde situao em que, uma vez plotados os valoresdeXYnumdiagramadedispersoexisteumaretaquepassaportodosospontos Nenhum ponto fica de fora.Nesta situao, o valor de r exatamente igual a 1 1.2.2.2 Correlao Linear Perfeita Negativa Mesmasituaoanterior,squearetaseencontraemsentidocontrrio,nestecasoo valor de r exatamente igual a -1. Estatstica Aplicada Contabilidade -3 1.2.2.3 Correlao Linear Positiva A correlao ser considerada positiva se os valores crescentes de X estiverem associados avalorescrescentesdeY,ouvaloresdecrescentesdeXassociadosavaloresdecrescentesda varivelY.Nestasituao,pode-seafirmarqueexisteumrelacionamentopositivo,moderado, com o valor de r sendo superior a 0,70. 1.2.2.4 Correlao Linear Negativa A correlao ser negativa quando valores crescentes da varivel X estiverem associados a valores decrescentes de Y, ou valores decrescentes de X estiverem associados a valores crescentes de Y. A situao aqui, anloga anterior, no entanto o valor de r negativo, existindo ainda um relacionamento moderado negativo. 1.2.2.5 Correlao Nula Quando no houver relao entre as variveis X e ou seja, quando as variaes de X e Y ocorrerem independentemente no existe correlao entre ela, nesta situao o valor de r igual a Zero.. Estatstica Aplicada Contabilidade -4 1.2.3 Consideraes sobre o valor de r de Pearson Quanto maior a qualidade do ajuste da reta proposta aos pontos do diagrama de disperso (plotagem dos pontos de X e Y), isto , quanto menos distante estiver uma reta traada sobre esses pontos, mais prximo de 1 ou 1 estar o valor de r. No havendo relao linear alguma entre X e Y , teremos r = 0. De uma forma geral podemos dizer que: a) O valor de r sempre vai variar entre 1 e 1: 1 b r b +1; b)Valores de r positivos indicam uma associao direta entre duas variveis; c) Valores de r negativos indicam uma associao inversa entre as variveis; d) Valores de r prximos de 0 indicam a falta de associao entre as variveis. Por sua vez quanto magnitude, temos: r > 0,90 = correlao muito forte 0,80 r y, 2-171,3932Valor auxiliar, no momento, sem uso 0,9765Valor de r Assim temos que o coeficiente de correlao r de Pearson igual0,9765. 1.2.5 Teste de Hiptese para r de Pearson Uma pergunta que pode surgir : a partir de qualmomento podemos considerar o valor de r significativamente pequeno? PararesolveresseproblemaoCoeficientedeCorrelaoentrevariveispodesertestado de sua existncia ou no,com base na seguinte expresso: Estatstica Aplicada Contabilidade -7 212=nrrtcalc aonde:t calculado = valor de t calculado r = valor calculado de r n = nmero de dados o resultado tcalcda frmula deve ser confrontado comvalores tabelados de t,e se: | tcalc | < ttabelado, podemos concluir pela inexistncia de correlao entre as variveis. Paraobtermososvaloresdettabelado,utilizamosaTabeladetdeStudentdaseguinte maneira: linha=n 2graus de liberdade , isto , para o exerccio temos linha 8 2 = 6 coluna =2 , assim para 95% de probabilidade da existncia ou no de regresso temos umerro=5%que,dividopor2,nosindicaacolunade2,5%,comoexemplificado abaixo: Tabela de t de Student - GL10%5%2,5%1%0,5% 13,0786,31412,70631,82163,657 21,8852,9204,3036,9659,925 31,6342,3533,1824,5415,841 41,5332,1322,7763,7474,604 .................. 61,4401,9432,4473,1433,707 .................. 291,3111,6992,0452,4622,756 infinito1,2821,6451,9602,3262,576 Do cruzamento da coluna com a linha temos o valor de 2,447 que representa t tabelado, que servir de base para comparao com t calculado Resolvendo, temos: 212=nrrtcalc =0985 , 112 89765 , 0 19765 , 02= Uma vez que| t calculado | > t tabelado, ou | 11,0985 | > 2,447 , podemos dizer que para 95% de probabilidadeovalorder=0,9765estatisticamentediferentede0,ouseja,existecorrelao entre os pares de dados desse exerccio. Estatstica Aplicada Contabilidade -8 1.2.6.Correlao Espria QuandoduasvariveisXeYforemindependentes,isto,quandonoexisteralaes entreelas,ocoeficientedecorrelaosernulo.Entretanto,algumasvezesistonoocorre podendo, assim mesmo, o coeficiente apresentar um valor prximo de 1. Neste caso a correlao Espria, isto , os valores de correlao so altos mas no existe relao entre essas variveis. 1.3 Regresso Linear Aanlisederegressotemporobjetivodescreveratravsdeummodelomatemtico,a relao existente entre duas variveis, a partir de n observaes dessas variveis. DadoumconjuntodevaloresobservadosdeXeY,construirummodeloderegresso linear de Y sobre X consiste em obter, a partir desses valores, uma reta que melhor represente a relao verdadeira entre essas variveis. A Determinaodosparmetrosdessaretadenominadaajustamento.Oprocessode ajustamento deve partir da escolha da funo atravs da qual os valores de X explicaro os valores de Y. Para isso recorre-se a um grfico conhecido como diagrama de disperso. Esse grfico construdo anotando, em um sistema de coordenadas retangulares, os pontos correspondentes aos pares de observaes de X de Y. Afunoescolhidaseraquelaqueforsugeridapeloconjuntodospontos dispostos no diagrama. Nopresentemdulooajustesedarporumafunolinear(reta)doAreta ajustada representada por Y= a + bX, onde a e b so os parmetros do modelo. O parmetro a o ponto onde a reta ajustada corta o eixo da varivel Y, e o parmetro b a tangente do ngulo que a reta forma com uma paralela ao eixo da varivel X. A reta ajustada denominada, tambm, reta de mnimos quadrados, pois os valores de a e b so obtidos de tal forma que mnima a soma dos quadrados das diferenas entre os valores observados de Y e os obtidos a partir da reta ajustadapara os mesmos valores de X ( )= 2Y Y mnimo,ou= + 0 ) (2Y bx a o que, aps as devidas transformaes matemticas fica assim definido: nXbnYa = e XXXYSSb = Estatstica Aplicada Contabilidade -9 1.3.1 Clculo dos coeficientes a e b Seja o Exemplo 2: Osdadosabaixosereferemaoconsumodecimentoeaonmerodeobraslicenciadasem determinada regio do pas. CidadeConsumo de Cimento(kg *100) Nmero de Obras(em unidades) A11555 B7525 C12842 D12143 E9535 F4524 G13137 H4012 I5313 J10540 a) Ajustar os dados atravs de um modelo linear

Y= a + bX b)admitindo-seumtotalde100 obras qual o consumo previsto de cimento? Recomenda-se sempre construir o Diagrama de Disperso dos dados: Soluo:No caso de no dispormos de calculadores que possam realizar diretamente os clculosdos parmetros a e b, devemos recorrer procedimentos como se seguem: 1) identificao da varivel independente que ser X; 2) identificao da varivel dependente que ser Y. Assim, como o consumo de cimento depende do nmero de obras, esta varivel Y, por sua vez o nmero de obras ser X. Estatstica Aplicada Contabilidade -10 Dessa forma podemos construir a tabela auxiliar: YXX2Y2XY 115553025132256325 7525625 5625 1875 128421764 16384 5376 121431849 14641 5203 95351225 9025 3325 4524576 2025 1080 131371369 17161 4847 4012144 1600 480 5313169 2809 689 105401600 11025 4200 908326123469352033400 1)Determinao dos parmetros b e a XXXYSSb = = =ny xxy SXY. =20 , 379910908 * 32633400 = ( ) =nxx SXX22 = 40 , 171810) 326 (123462= XXXYSSb = =2109 , 240 , 171820 , 3799= nXbnYa ==7249 , 18103262109 , 210908= 2) Equao obtida:Y = a + bX-=> Y = 18,7249 + 2,2109X , 3) Para fazer a previso de Y para X = 100 temos

Y= 18,7249 + 2,2109*100 = 239,8142 Deacordocomomodeloobtido,paraumtotalde100unidadesemconstruooconsumode cimento estimado ser de 239,8142 Estatstica Aplicada Contabilidade -11 1.3.1.1 Clculo dos coeficientes a e b com calculadoras financeiras Alternativamente, dispondo de uma calculadora HP 12-C, a soluo fica da seguinte forma: Seqncia de ComandoVisorObservaes 0Limpa todos os registradores estatsticos 115 55 1Indicao que o 1o par de dados foi inserido 75 25 2Indicao que o 2o par de dados foi inserido 128 42 3Indicao que o 3o par de dados foi inserido 121 43 4Indicao que o 4o par de dados foi inserido 95 35 5Indicao que o 5o par de dados foi inserido 45 24 6Indicao que o 6o par de dados foi inserido 131 37 7Indicao que o 7o par de dados foi inserido 40 12 8Indicao que o 8o par de dados foi inserido 53 13 9Indicao que o 9o par de dados foi inserido 105 40 10Indicao que o 10o par de dados foi inserido 0 necessrio limpar o visor < >r y, 2 18,7249Valor do coeficientea < >r y, 2 20,9358Valor acessrio (sem uso imediato) 0,8709Coeficiente de correlao (r) < R > < > 2,2109Valor do Coeficiente b 100 < >r y, 2239,8142Estimativa de Y para X = 100 Ateno: certifique-se que o primeiro termo do par corresponda sempre ao valor de Y, e o segundo ao valor de X 1.4 Coeficiente de Determinao ou poder explicativo do Modelo (R2) FreqentementedenominadoCoeficientedeDeterminao,opoderexplicativoda regressotemporobjetivoavaliaraqualidadedoajuste.Seuvalorforneceaproporoda variao total da varivel Y explicada pela varivel X atravs da funo ajustada. O valor de R2 obtido elevando-se o valor de r (coeficiente de correlao) ao quadrado. Quando R2 = 0, a variao aplicada de Y zero, ou seja, a reta ajustada paralela ao eixo da varivel X SeR2=1,aretaajustadaexplicartodaavariaodeY.Assimsendo,quantomais prximodaunidade estiverovalordeR2,melhoraqualidadedoajustedafunoaospontosdo diagrama de disperso e quanto mais prximo de zero pior ser a qualidade do ajuste. Seopoderexplicativofor,porexemplo,98%,istosignificaque98%dasvariaesdeY soaplicadasporXatravsdafunoescolhidapararelacionarasduasvariveise2%so atribudas a causas aleatrias. Estatstica Aplicada Contabilidade -12 Os quadros a seguir mostram os resultados grficos para cada situao de R2 Exemplo 3: Para os dados de exemplo anterior calcular o valor de R2 Conforme visto anteriormente (correlao), ovalor de r expresso porYY xxXYS SS =ny xxy SXY. =20 , 379910908 * 32633400 = ( ) =nxx SXX22 = 40 , 171810) 326 (123462= ( ) =nyy SYY22 =60 , 1107310) 908 (935202= Estatstica Aplicada Contabilidade -13 Ento r =YY xxXYS SS=8709 , 060 , 11073 * 40 , 171820 , 3799= . Assim teremos: r = 0,8709, por sua vezr2 = 0,87092 = 0,7585 ou 75,85% Issosignificaque78,5%dasvariaesobservadaspodemseratribudasaomodeloeo restante a causas aleatrias. Pela HP 12-C, basta elevar ao quadrado o valor de r obtido por ocasio dos clculos dos coeficientesa e b. 1.5 Intervalos de confiana para estimativas de Y AtenoEsse tpico fica muito facilitado se desenvolvido com uso da HP12-C Ainda que seja possvel fazer uma previso para os valores de Y,deve-se ter claro que esta uma estimativa pontual, na realidade o verdadeiro valor de Y pode variar tanto para mais quanto para menos. Assim,possvelcalcularumintervalodeconfianaparaasestimativasdeYdadoum valor de X, sendo esse intervalo de confiana expresso da seguinte forma: ( )XXiYX nSX XnS t Y22^11 * *+ + . sendo tn-2 = valor tabelado de t para n-2 graus de liberdades e determinado grau de significncia, isto , linha n 2 e coluna de alfa/2. SYX= ( )22nY Y= 22 nXY b Y a Y, Xi=valor de X para o qual se quer calcular o intervalo de confiana; SXX =( )nXX22; X = mdia dos valores observados de X 1.5.1 Clculo de Intervalo de Confiana Exemplo4:ConsiderandoosdadosdoExemplodadoanteriormente,qualointervalode confiana para a estimativa de Y Para X = 100? No exemplo a Equao obtida foi :Y = a + bX=> Y = 18,7249 + 2,2109X Para fazer a previso de Y para X = 100 substitumos o valor de X na equao: Y= 18,7249 + 2,2109*100 = 239,8142 Estatstica Aplicada Contabilidade -14 Uma vez que a HP 12-Ccalcula a estimativa de Y para qualquer valor que estiver no visor podemos, alternativamente fazer: 100 < >r y, 2, que resultar em 239,8142 No esquecer que na HP-12C, uma vez os dados armazenados, possvel calcular para, qualquer valor de X, arespectivapreviso de Y, sem que seja necessrio operar a equao obtida. 1.5.1.1 Etapas de Clculo do Intervalo de confiana: Considerando que a frmula ( )XXiYX nSX XnS t2211 * *+ +, temos: t n 2= 2,306 (valor de t tabelado, linha 8 e coluna do 2,5%, conforme exemplo abaixo: Tabela de t de Student - GL10%5%2,5%1%0,5% 13,0786,31412,70631,82163,657 21,8852,9204,3036,9659,925 31,6342,3533,1824,5415,841 41,5332,1322,7763,7474,604 .................. 81,3971,8602,3062,8963.355 .................. 291,3111,6992,0452,4622,756 infinito1,2821,6451,9602,3262,576 =( )22= nY YSYX= 22 nXY b Y a Y = 2Y = ou RCL 5 = 93520 Y= ou RCL4 = 908 XY = ou RCL 6 = 33400 a = 18,7249 b = 2,2109 n = 10 Estatstica Aplicada Contabilidade -15 Substituindo temos: 22 = nXY b Y a YSYX=2816 , 182 1033400 * 2109 , 2 908 * 7249 , 18 93520= , Xi = valor de X para o qual se quer calcular o intervalo de confiana, para esse exerccio o valor de Xi = 100 SXX =( )nXX22 , para resolvermos esse termo existem dois caminhos: 1)Fazerusodeumatabelaauxiliar,conformecalculadanoExemplo1,comosrespectivos somatrios, e operar os clculos SXX =( )nXX22 40 , 171810326123462= , 2)OudiretamentepelaHP12Cpartirdainformaoqueosprincipaissomatriosesto armazenados em sua memriada seguinte forma: R1n ; R2x; e R3x2, Assim, pode-se operar essa conta diretamente: 322 1 1718,40 X = mdia dos valores observados de X X = 6 , 3210326= Essa informao pode ser obtida diretamente da seguinte forma: < >x0 , que resultar em 32,60. Substituindo os valores obtidos na frmula temos que o intervalo de confiana : 239,8142 40 , 1718) 6 , 32 100 (1011 * 2816 , 18 * 306 , 22+ +239,8142 81,5704 Dessa forma o intervalo de confiana para Y estimado ser de 81,57 isto , o valor de Y poder variardemaisoumenos81,57podendosernomximo321,38enomnimode158,24para95%de confiana ou P(158,24 ^Y321,38) = 0,95. Estatstica Aplicada Contabilidade -16 1.6 Regresses que se tornam lineares por transformaes EmmuitoscasosaformafuncionalentreasvariveisXeYnolinearnaquala varivel Y uma funo no linear de X,nesse caso existem vrias funes que, a princpio no so lineares,podem,mediantetransformaessetornaremlineares,cujosparmetrospodemser estimados pelas frmulas de regresso linear. 1.6.1 Principais curvas passveis de linearizao Seroapresentadasaseguirasprincipaiscurvasquesopassveisdelinearizao, devendo ser lembrado que da existncia de outras formas que no sero objetos de nossa anlise. 1.6.1.1 Funo Potncia ou Geomtrica Talformafuncionaltemmuitasaplicaes,sobretudonaestimaodefunesde produo e demanda. No caso de funes de produo, torna-se possvel testar a existncia de ou no de retornos constantes, crescentes ou decrescentes de escala do uso de algum insumo. De modo geral, ousodetalfuno adequadotodavez queumavarivelcrescecom oaumentodeoutra,porm com taxas decrescentes ou crescentes; Forma Especificativa da funo:Y = a * Xb Transformao da funo: Ln Y = Ln a + b * Ln X Y =a+ b* X Nessa situao existe a necessidade de transformar as variveis X e Y em Ln X e Ln Y, uma vez realizada essa transformao procede-se comose a funo fosse linear. Estatstica Aplicada Contabilidade -17 Exemplo 5. Os dados abaixo relacionam gastos com propaganda e vendas. MsVendas (Y) Gastos com Prop. (X) X = Ln XY = Ln Y J2020,6931472,995732 F2841,3862943,332205 M3561,7917593,555348 A4882,0794423,871201 M54102,3025853,988984 J58122,4849074.060443 J60142,6390574,094345 A61162,7725894,110874 S60182,8903724,094345 O62202,9957324,127134 Obter a funo do tipo Y = a * X b calcular R2 e para um gasto em propaganda de 25, qual seria o valor esperado das vendas Resoluo: Neste caso trabalharemos com os novos dados em Ln de X e Y Dados do problema:X = 22,035884XY = 86,791902X2 = 53,393936 Y = 38,230610Y2 = 147,563724 I) Determinao dos parmetros a e b da funo: ( )( )( ) =nXXnY XXYb22 5268 , 010035884 , 22393936 , 5310035884 , 22 * 230610 , 38791902 , 862= nXbnYa == 662211 , 210035884 , 225268 , 010230610 , 38= Dessa forma a equao ficaria da seguinte forma: Ln Y = 2,662211 + 0,5268 * Ln X , aplicando o inverso do logaritmo (ex) temos: Y = 14,3279 * X0,5268 II) clculo der=( ) ( )(((

(((

nYYnXXnY XXY2222*) )( (

Estatstica Aplicada Contabilidade -18 r = 977003 , 010230610 , 38563724 , 147 *10035884 , 22393936 , 5310035884 , 22 * 230610 , 38791902 , 862 2=|||

\||||

\| = R2 = 0,9545 III) Previso de vendas para investimentosem propaganda = 25 Podemos resolver essa previso de duas formas, a primeira utilizando-se da expresso Ln Y = 2,662211 + 0,5268 * Ln X, e a segunda por Y = 14,3279 * X0,5268 Primeiro caso: Ln Y = 2,662211 + 0,5268 * Ln X Ln Y = 2,662211 + 0,5268 * Ln (25) Ln Y = 2,662211 + 0,5268 *3,218876 Ln Y = 4,357915, invertendo o logaritmo temos Y = 78,09 Segundo caso: Y = 14,3279 * X0,5268Y = 14,3279 * 250,5268 Y = 78,09 1.6.1.2 Funo Exponencial a)Funo Exponencial Semilogartmica I A funo exponencial frequentemente usada para descrever processos de crescimento contnuo ou aproximadamente contnuo de uma varivel no tempo. Particularmente, tem-se que Y = a * bt, onde t = tempo. Pode-se igualmente aplicar tal funoquandoumavarivelcresce(oudecresce)comosacrscimosdeoutra,pormataxas crescentes (decrescentes). Nessecaso,etiltambmparacaptaroefeitodarendadisponvelsobreapoupana, soboargumentodequeestatemcrescimentomaisdoqueproporcionalemrelaorenda.A restrio que a varivel dependente assuma somente valores positivos. Estatstica Aplicada Contabilidade -19 Forma especificativa da funo Y = a * bX

Transformao :Ln Y = Ln a + X Ln b Y = a + X b Este tipo de funo exige apenas a transformao dos valores de Y em Logaritmo. b) Forma Semilogartmica II Talformafuncional(Ycomoexpoente)muitousadaemEconomia.Umexemplo seria a mensurao do efeito Engel sobre o consumo. Tal efeito implica que as taxas de variao das despesas individuais de consumo de um dado bem so positivas, mas declinam com os acrscimos de renda. claroquetalformaespecificativapodeserusadaemoutrassituaes,desdequeos acrscimosoudecrscimosdavariveldependentecomorespostadasalteraesnavarivel explicativa no sejam proporcionais com o crescimento desta. Forma especificativa da funo eY = a * Xb Transformao :Y = Ln a + b Ln X Y = a + X b Nessecaso,atransformaoemlogaritmodeveserfeitatantoparaosvaloresdeX, quanto para os valores Y. 1.6.1.3 Forma Hiperblica ou Recproca Talformafuncionaltemconfiguraosemelhanteadasfuneslogartmicae semilogartmica. A diferena que as variveis nos dois tipos da funo hiperblica podem assumir tanto valores positivos quanto negativos, o que no ocorre naquelas formas especificativas. Portanto, pode-seutilizarafunohiperblica,quandoarelaoentreasvariveisnoforlineareestas assumirem valores diferentes de zero. Estatstica Aplicada Contabilidade -20 a)Funo Hiprbole I (Recproca I) Forma especificativa da funo Y = a b X 1 Transformao :Y = a b X1 Nesse caso devemos transformar os valores de X no seu inverso (transformao recproca). b) Funo Hiprbole III (Recproca II) Forma especificativa da funo Y = bX a +1 Transformao :Y-1 = a + bX Nesse caso devemos transformar os valores de Y no seu inverso (1/Y) 1.6.2 Resumo das Principais transformaes De uma forma geral so essas as principais formas passveis de linearizao: Tipo de FunoForma OriginalFormaLinearizadapor transformao Restries das variveis na forma transformada 1. LinearY = a + bxnenhumaNenhuma 2. GeomtricaY = a * XbLn Y = Ln a + bLnXY > 0 e X > 0 3. Exponencial IY = a * bXLn Y = Ln a + XLnbY > 0 4. Exponencial IIeY = a * Xb Y = Ln a + bLnXX > 0 5. Hiperblica IIY = a + bX-1usa-se 1/X em vez de X X 0 6. Hiperblica IIIY= 1/(a+bX)1/Y = a +bX Y 0 Estatstica Aplicada Contabilidade -21 1.6.3 Critrios de escolha da forma funcional adequada Como critrio inicial para escolha da funo adequada, deve-se plotar os valores de X e Ynumdiagramadedisperso,quefornecerumaindicaoprviadomodelofuncionalaser adotado. Noentanto,namaioriadoscasos,umasimplesanlisegrficanopermiteresolver perfeitamenteoproblemadaespecificao(escolhadomodeloadequado),emvistadeserdifcil inferirumafunoparaanuvemdepontosformadapelosparesdeobservaodeYeXno sistema cartesiano-ortogonal. Assim, outros critrios adicionais de medida podem ser adotados. Um deles o da comparao dos coeficientes de determinao (R2), ou poder descritivo, das regresses geradas por formas especificativas diferentes. A melhor forma especificativa dever ser aquelaqueapresentarummaiorcoeficientededeterminao,assim,seR2LINEAR>R2 GEOMTRICA, ento a forma especificativa LINEAR ser prefervel GEOMTRICA. Deve-se lembrar que os critrios aqui sugeridos, bem como outros que poderiam s-lo, tendo em vista a discusso do problema da especificao, devero ser encarados com a devida cautela, e isto porque nem sempre a funo que melhor se ajusta aos dados observados (melhor os descreve) a que melhor explica o fenmeno em observao. De uma forma geral temos poucas informaes sobre a forma funcional mais adequada a ser usada na especificao de uma forma funcional. Ademais, no existe nenhuma regra prtica para a soluo do problema. Na verdade, cada pesquisador decide pela escolha da forma especificativa dos modelosqueformula.Nessesentido,aespecificaodeummodelomaisumaartedoqueuma tcnica.Apesardisso,existemalgunscritriosgeraisquenorteiamaescolhadaformafuncional,a saber: Simplicidade:entreumaformafuncionalsimpleseumacomplexa,tende-seaescolhera primeira,seambasexplicamofenmenodemodoigualmentebem.Avirtudeda simplicidade talvez a razo pela qual muito pesquisador escolhe a forma linear. Indicaodateoriacomooobjetivodeummodelodarcontedoempricos formulaestericas,ousodevriasformasfuncionaiseaescolhadaqueapresenta resultadosmaissatisfatrios,massemumajustificativaterica,poderresultarnuma mensuraodesprovidadesignificadoterico,isto,seriaumarelaoespria,ummero exerccio estatstico, e no uma anlise propriamente estatstica Poder preditivo na verdade, um modelo no deve apenas sumariar um fenmeno efetivo, mas tambm ser til para previses. Isso significa que a forma funcional deve, pelo menos, ajustar-se bem aos dados Finalmente, deve ser ressaltado a existncia de critrios mais elaborados que podem ser usadas como ferramentas adicionais para a escolha de um modelo adequado, devendo ser destacado a anlisedosresduos,queconsistenosvaloresresultantesdadiferenaentreYobservadoeY esperadopelaaplicaodomodeloobtido,assuntoessequefogeaoescopodocontedodessa disciplina.

Estatstica Aplicada Contabilidade -22 1.7 Sries Temporais Chamamosdesriestemporaisoucronolgicasquandoosregistrossobreofenmeno observado (ou a varivel observada) so realizados em instantes distintos e sucessivos de tempo. Otempopodeserobservado,paracitaralgunsexemplos,decincoemcincominutos,de meiaemmeiahora,dehoraemhora,semanalmente,mensalmente,bimestralmente, trimestralmente, semestralmente, anualmente, de cinco em cinco anos, etc. Matematicamente,podemosexprimirumasrietemporalcomooconjuntodosvaloresY1, Y2, Y3,...Yi para a varivel de interesse Y registrados nos tempos t1, t2, t3, ... ti. Ento, a varivel Y pode ser expressa em funo do tempo t como: Y = f(t) 1.7.1 Objetivo da anlise das sries cronolgicas Oestudodassriestemporaistemporobjetivodescrevereanalisarocomportamento passadodofenmenovisandoacompreensodocomportamentodasrieeaconseqente previso de movimentos futuros. Ou seja, a anlise das sries temporais permite: Investigaromecanismogeradordasrie(conheceromodelomatemticoqueexpliqueo fenmeno ao longo do tempo); Fazer previses futuras da srie (de curto, de mdio e de longo prazos); Descrever apenas o comportamento da srie (utilizao do histograma e de outros grficos, verificao da existncia de tendncias, ciclos e variaes sazonais; etc.) Procurar periodicidade relevantes nos dados (estudos das variaes cclicas e sazonais). Nesseestudoamaiorpartedosfenmenosobservadosregistradaaolongodotempo (produo,consumo,comercializao,investimento,nmerodeempregados,renda,etc.).Para analis-lossoelaboradosmodelosmatemticosutilizandootempocomoavarivel independente.Algunsacreditamqueatravsdessesmodelostorna-sepossveldeterminaros perodos de expanso ou perodos de recesso de uma economia. Oquenopodemosnegarautilidadedaanlisedassriestemporaisparaasanlises econmicas de curto prazo e da anlise do desempenho econmico no mdio e longo prazos. 1.7.2 Componentes das Sries Cronolgicas Antesdeiniciarmosaanlisepropriamenteditadeumasrietemporal,extremamente til visualizarmos o fenmeno num grfico de linhas (ou grfico de curvas). A seguir, para ilustrar, foiapresentadoonmerodepassageirosnoAeroportoWWWWWregistradomensalmentede 1985 a 1999. No grfico foi apenas marcado por J o ms de janeiro. Podemos observar que as informaes ora sobem ora descem, mas existe uma tendncia ao longo do tempo de crescimento para o nmero de passageiros.Na anlise das sries cronolgicas vamos aprender a determinar essa tendncia e a estudar as flutuaes do fenmeno. Vamos estudar as componentes de uma srie temporal. Estatstica Aplicada Contabilidade -23 Uma srie temporal composta de quatro componentes. So elas: A tendncia secular; As variaes sazonais ou estacionais; As variaes cclicas; e As variaes aleatrias, irregulares ou errticas. 1.7.2.1 Tendncia secular(T) A tendncia secular ou apenas tendncia a direo geral da srie. Ou seja, o movimento persistente ao longo do tempo em alguma direo. o movimento de longo prazo da srie 1.7.2.2 Variaes sazonais ou estacionais (S) Essasvariaesspodemserobservadasnasriequandoosdadossoregistradosem perodo de tempo inferior a um ano (por exemplo, semana, quinzena, ms, trimestre, semestre). A variao sazonal um movimento de curto prazo. No grfico anterior podemos observar que existe claramente a componente sazonal. Nos mesesdedezembro,janeiroefevereiroobservamosqueonmerodepassageirosencontra-se num patamar bem inferior aos observados para os meses de junho, julho e agosto. Observamos, portanto,queonmerodepassageiropequenonosmesesdeinvernonosEEUUeaumenta bastante durante o vero, no aeroporto observado. Estatstica Aplicada Contabilidade -24 1.7.2.3 Variaes cclicas(C)

A ocorrncia dessa componente da srie observada em torno da tendncia ao longo do tempoemintervalosiguaisoumaioresqueumano.Quandoasriesuficientementelonga podemos observar ciclos econmicos. 1.7.2.4 Variaes aleatrias, irregulares ou errticas (E)

Essaltimacomponenterefere-sesperturbaesgeradasporfatoreseventuaisouque nopodemserprevistoscomo,porexemplo,guerras,inundaes,geadas,grevesououtros fatores que no se repetem regularmente. 1.7.3Decomposio das componentes de uma srie temporal

Pararealizarmosaanlisedeumasrietemporalprecisamosfazeradecomposiodas componentesoumovimentosanteriormenteexplicitadoseinvestigarocomportamentodecada umaseparadamente.Matematicamente,podemosescreverqueasobservaesdofenmenoso funo da tendncia, das variaes cclicas, das variaes sazonais e das variaes aleatrias. 1.7.3.1 As hipteses aditivas e multiplicativas Tipos de modelos para a anlise das sries temporais: i)Modeloaditivoosmovimentossazonaiscclicosealeatriossoindependentesda componente tendncia e seus efeitos absolutos operam de forma aditiva: E+S+C+T=Y ii)Modelomultiplicativo os movimentos atuam proporcionalmente ao nvel geral da srie (a tendncia): ECTE=Y iii) Modelos mistos (ES)+(TE)= You (ESC)+E= Y ou qualquer outra combinao No podemos determinar a priori qual o melhor modelo a ser utilizado, vai depender do grau de sucesso alcanado com a aplicao da hiptese aditiva, multiplicativa ou mista. 1.7.4 Determinao e eliminao dos componentes cronolgicos 1.7.4.1 Determinao da tendncia Para determinarmos essa componente da srie podemos faz-lo de duas maneiras: i) Atravs do mtodo das mdias mveis; ii) Atravs do ajustamento de uma funo matemtica: um modelo linear, quadrtico, exponencial, logstico, etc. Estatstica Aplicada Contabilidade -25 i) Determinao da tendncia pelo Mtodo das Mdias Mveis Objetivo:Suavizarasvariaesdassriesporumprocessodesucessivasmdias (aritmtica, geomtrica, etc.) Neste caso, a tendncia no forada a adaptar-se a qualquer funo matemtica, porm este mtodo no permite fazer previses. ii) Determinao da tendncia pelo Mtodo dos Mnimos Quadrados Objetivo:Ajustarumafunomatemticasrietemporalparadeterminaodadireo geral. Nomduloanteriorvimoscomoajustarumafunomatemticapelomtododos mnimos quadrados quando so dados n pares de observaes para duas variveis. O ajustamento ser utilizado nesta etapa da anlise das sries temporais, com uma nica diferena: agora a varivel independente, chamada anteriormente de X, ser a varivel tempo, que a denotaremos por t. Isto : Y = f(t) , onde t = tempo Avantagemdadeterminaodatendnciaporummodelomatemtico,emrelaoao mtodo das mdias mveis, que podemos fazer estimativas futuras para a srie dada. 1.7.5 Previses utilizando a componente sazonal Vimosanteriormentequepodemosfazerprevisesutilizandoapenasatendncialinear Entretanto,quandoasobservaesforemregistradasemperododetempoinferioraumano, existem muitos fenmenos econmicos que podemos observar a componente sazonal. Portanto,elaborarestimativassemlevaremconsideraoessacomponentepodelevara resultadosnosatisfatrios.Peloexemploaseguirpodemosverificarumasdasprincipais aplicaesdesriestemporais,paraprevises,naqualestconsidera-setambmosfatores sazonais. Exemplo 6: Seja a venda de determinado artigo de inverno. As vendas realizadas em cada um dos trimestres dos ltimos quatro anos constam do quadroabaixo: Trimestre Ano IIIIIIIV 20031252 20041362 20051364 20062284 Considerando uma tendncia linear, faa uma previso para as vendas para o ano de 2007. Resoluo:Vamosdefinirospassosquedevemosseguirquandopretendemosdeterminara tendncia de uma srie temporal: 1 Passo: Elaborar o grfico para definir visualmente quais as funes matemticas que poderiam ser ajustadas, nesse caso o ajuste utilizado ser linear Estatstica Aplicada Contabilidade -26 Valores de Y em funo do tempo01234567891 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 Passo: Determinar os parmetros da funo escolhida: Utilizando um modelo linear podemos calcular os parmetros da reta que ajusta os dados, nesse caso a funo ser: Y = 1,80 + 0,17 t Os parmetros da funo foram calculados conforme visto no Mdulo de Regresso Linear. 3o Passo: Obtida a reta, podemos estimar o valor central dos valores de Y estimado em qualquer poca. Nesse passo dividimos os valores de Y observados pelo de Y estimados tYOBSYESPYOBS/YESP 111,970,51 222,140,93 352,312,16 422,480,81 512,650,38 632,821,06 762,992,00 823,160,63 913,340,30 1033,510,86 1163,681,63 1243,851,04 1324,020,50 1424,190,48 1584,361,84 1644,530,88 Estatstica Aplicada Contabilidade -27 4o Passo: Tabula-se os resultados YOBS/YESP, obtendo-se o seguinte quadro: Trimestre Ano IIIIIIIV 20030,510,932,160,81 20040,381,062,000,63 20050,300,861,631,04 20060,500,481,840,88 5oPasso:amdiadosvaloresYOBS/YESP, paracadatrimestre,seraestimativa dofatorsazonal, respectivamente para os semestres I, II, III e IV. FI = (0,51 + 0,38 + 0,30 + 0,50)/4 = 0,43 FII = (0,93 + 1,06 + 0,86 + 0,48)/4 = 0,83 FIII = (2,16 + 2,00 + 1,63 + 1,84)/4 = 1,91 FIV = (0,81 + 0,63 + 1,04 + 0,88)/4 = 0,84 6o Passo: Com base na equao de regresso obtida e utilizando-se os fatores sazonais obtidas no 5o passo, podemos estimar as vendas futuras, da seguinte maneira: Y = (a + b*t)*F 1o trimestre de 2007t = 17 Y = (1,80 + 0,17 * 17)*0,43 = 2,02 2o trimestre de 2007t = 18Y = (1,80 + 0,17 * 18)*0,83 = 4,03 3o trimestre de 2007t = 19Y = (1,80 + 0,17 * 19)*1,91 = 9,61 4o trimestre de 2007t = 20Y = (1,80 + 0,17 * 20)*0,84 = 4,37 Estatstica Aplicada Contabilidade -28 2 Amostragem Emauditoria,astcnicasdeamostragemvisamcoletareavaliarevidnciasnumricas dasentidadesadministrativasnointuitodedeterminarerelatarograudeadequaodas informaes obtidas a critrios previamente definidos. Isso se deve natureza antieconmica das auditorias que pretendam investigar todo o universo visado. Astcnicasemquesto,porsebasearememprincpiosestatsticosdemonstrveis, apresentam as seguintes vantagens: a) o tamanho da amostra e o erro amostral podem ser estimados prvia e objetivamente; b) as amostragens conduzidas por auditores diferentes podem ser combinadas; c)oscensos,almdeseremdemorados,podemcontermaiserrosno-amostraisdoqueas amostras; d) os resultados amostrais so objetivos e, por extenso, defensveis; e)osresultadosdaauditoriapodemseravaliadoscomseguranaeextrapoladosparatodaa populao. 2.1 Inferncia Estatstica Acrescentedemandapordadosnumricosobservadosaolongodahistriaest estreitamente relacionada com o desenvolvimento da estatstica descritiva. Modernamente,porm, graasaodesenvolvimentodainfernciaestatstica,partindo de extenses da teoria da probabilidade, que a estatstica passou a ser amplamenteempregada por todo tipo de pesquisa. Arelevnciadosmtodosdeinfernciaestatsticadeve-seaofatodequeastcnicasde amostragemtornaram-seindispensveis,poisocrescimentopopulacionaltornouexcessivamente onerosa,demoradaecomplexaacoletadedadossobretodaapopulao.Decisesrelacionadas com as caractersticas da populao devem se basear em informaes extradas de amostras, com a teoriadaprobabilidadefornecendooeloentreambasmedianteadefiniodaprobabilidadede que os resultados amostrais espelhem os parmetros populacionais. Convm frisar que, para que a anlise estatstica seja til ao processo de tomada de deciso, os dados coletados devem ser apropriados, ou seja, livres de vieses, ambigidades ou outros tipos deerro,poisessasdeficinciasdificilmentepoderosercompensadas,mesmopelosmais modernos mtodos estatsticos. 2.2 Amostragem Oprocessodeseretirarumaamostradapopulaodenomina-seamostragem,que basicamente podem ser de dois tipos: amostragens aleatrias e no aleatrias. 2.2.1 Amostragens no aleatrias Nessecasoaamostraobtidaintencionalmentenoseaplicandoelaasregrasda estatstica clssica. Estatstica Aplicada Contabilidade -29 Os resultados no podem ser generalizados e so vlidos apenas para a prpria amostra 2.2.2 Amostragens Aleatrias Existem quatro tipos bsicos de amostragens aleatrias, quais sejam: 2.2.2.1 Amostragem Aleatria Simples ou Ocasional oprocessomaiselementarefreqentementeutilizado.Todososelementosda populaotmigualprobabilidadedeseremescolhidos.Paraumapopulaofinitaoprocesso deve ser sem reposio. Todos os elementos da populao devem ser numerados. Para realizar o sorteio dos elementos da populao devemos usar uma Tabela de Nmeros Aleatrios, ou algum processo computacional para isto, como por exemplo, a funo =() aleatrio do Excel. Emboraaamostragemaleatriasimplesnoseja,necessariamente,aestratgiaamostralmaiseficienteeeconmica,elafuncionacomobaseparaasestratgiasmais sofisticadas. As suas principais caractersticas constam da figura a seguir: Oelemento-chavedequalquerestratgiaamostralaobtenoemanutenodeum cadastro atualizado (i.e., sistema de referncia ou, na lngua inglesa, frame) de todos os itens ou indivduos que compem a populao da qual ser extrada a amostra (i.e., populao-alvo). Casoalgunsgruposdeitensouindivduosnosejamadequadamentecontempladospelo cadastro, a populao-alvo e a verdadeira populao diferiro. Dessa forma, as estimativas geradas pelasamostrasaleatriasserovlidasparaapopulao-alvo,masviesadasparaaverdadeira populao. 2.2.2.2 Amostragem Sistemtica Trata-sedeumavariaodaAmostragemAleatriaOcasional,convenientequandoa populao est naturalmente ordenada, como fichas em um fichrio, lista telefnica, etc. Ex.: N = 5000 n = 50, ento 10 = =nNr , (P.A. de razo) Sorteia-se usando a Tabela de Nmeros Aleatriosumnmeroentre1e10,(x=3),o nmero sorteado refere-se ao 1o elemento da amostra, logo os elementos da amostra sero: Estatstica Aplicada Contabilidade -30 O 3 , 13 , 23 , 33 e assim sucessivamente, como mostrado abaixo. 12345678910111213141516171819202122232425262728293031

2.2.2.3 Amostragem Estratificada umprocessodeamostragemusadoquandonosdepararmoscompopulaes heterogneas,naqualsepodedistinguirsub-populaesmaisoumenoshomogneas, denominados estratos. Apsadeterminaodosestratos,seleciona-seumaamostraaleatriadecadaumasub-populao (estrato). Asdiversassubamostrasretiradasdassubpopulaesdevemserproporcionaisaos respectivosnmerosdeelementosdosestratos,eguardaremaproporcionalidadeemrelaoa variabilidade de cada estrato, obtendo-se uma estratificao tima. Tiposdevariveisquepodemserusadasemestratificao:idade,classessociais,sexo, profisso, salrio, procedncia, etc. Exemplo1:Vamosobterumaamostraproporcionalestratificadade10%paraapesquisada estatura de 90 alunos de uma escola onde 54 so meninos e 36 so meninas. Temos aqui dois estratos, sexo masculino e sexo feminino. a) O primeiro passo determinar o tamanho da amostra em cada estrato: b) Numeramos os alunos de 01 a 90, sendo que de 01 a 54 correspondem meninos e de 55 a 90 meninas. c) obtemos uma amostra aleatria ou sistemtica de cada sexo e reunimos as informaes numa s amostra, denominada amostra estratificada. A figura a seguir exemplifica o processo da amostragem estratificada A amostragem estratificada apresenta avantagem da possibilidade de se obter estimativas mais precisas quando comparadas da amostragem aleatria Estatstica Aplicada Contabilidade -31 2.2.2.4 Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos) Algumaspopulaesnopermitem,outornam-seextremamentedifcilquese identifiquemseuselementos,maspodemosidentificarsubgruposdapopulao.Emtaiscasos, umaamostraaleatriasimplesdessessubgrupos(conglomerados)podemserescolhida,euma contagem completa deve ser feita no conglomerado sorteado. Como exemplo, poderamos dizer, numapesquisasobreacidadedeSorocaba,quecadaregiodacidadepoderepresentarum conglomerado. Normalmente um plano de amostragem pode incorporar vrios desses tipos. Por exemplo, ositensdapopulaopodemserosfuncionriosdasdiversasempresasexistentesemSorocaba, porexemplo,doramodemetalurgia.Comoexistemvriasempresasnacidade,cadaumadelas representa um conglomerado. De forma aleatria sorteia-se ento os empresas (conglomerados) e dentro de cada empresa procede-se a pesquisa com todos os seus funcionrios.

O desenho abaixo apresenta o esquema de como se d a amostragem por conglomerados Quandoosconglomeradossocompostosporumagrandequantidadede elementos, entretanto, pode-se estimar as estatsticas referentes a cada conglomerados por meiodaamostragemaleatriasimples.Essatcnicadenominadade amostragem aleatria por conglomerados em dois estgios, que tambm no ser examinada em funo do nvel de sofisticao matemtica 2.3 Plano Amostral O ponto de partida de toda amostra o plano amostral, o qual documenta os passos e os procedimentosenvolvidosnautilizaodetcnicasdeamostragem,devendoenvolverasetapas definidas a seguir: a.estipular os objetivos do uso de tcnicas de amostragem, explicando-se o porqu da no-utilizao de um censo; b.definiroselementosdapopulao,ouseja,osindivduosouobjetosacercadosquais sero feitas estimativas; c.definir o tamanho da populao, recorrendo-se, se necessrio, a estimativas; d.examinarocadastrodapopulaoou,casonoestejadisponvel,adescriodositens relevantes para a seleo; e.descrever a tcnica de amostragem a ser utilizada e justificar a escolha; f.descrever os procedimentos seguidos na execuo do trabalho; Estatstica Aplicada Contabilidade -32 g.estabelecer o nvel de confiana; h.determinar o tamanho da amostra e a preciso desejada, o que freqentemente requer uma amostra preliminar; i.escolher as tcnicas de coleta, armazenamento e anlise dos dados. Omaioroumenorsucessodosestudosamostrais,independentementedoseutipo, costuma guardar relao direta com a melhor ou pior observncia dessas etapas. Estatstica Aplicada Contabilidade -33 3 Estimao de Parmetros 3.1 Conceitos Gerais EstimaodeParmetrosumprocessodeinduo,isto,combasenosvalores observadosnaamostrapodemosinferirousejaestimarosvaloresdeparmetros populacionaisdesconhecidos.Essencialmente,qualquercaractersticadeumapopulaopode ser estimada a partir de uma amostra aleatria, entre os mais comuns temos a mdia e o desvio padro de uma populao e a proporo populacional. Oclculodeprobabilidadenosfornecevriosmodelosdedistribuies,(binomial, Poisson,normal,etc.),sendoqueumafamliamuitoimportante,paranossosestudosada Distribuio Normal. Essa, no entanto, s perfeitamente caracterizada quando conhecemos, de forma direta ou indireta, seus dois parmetros bsicos: mdia da populao : desvio padro da populao: Quandonopossvelsaber,deformadireta,amdiae/ouodesviopadrodeuma populao, possvel obtermos estimativas para esses valores, num processo que denominado deestimaodeparmetros,Essesparmetros,obtidosatravsdeumaamostraaleatriadessa populao, e so denominados mdia amostral (x) e desvio padroamostral (s). Porvezespodesurgiroproblemade,aoescolhermosessesestimadores,apartirda amostra, estarmos incorrendo em erros de estimao. Devido a esse fato, surge a idia de se construir um intervalo em torno dessa estimativa, demodoqueesseintervalotenhaumaprobabilidadeconhecidadeconteroverdadeirovalor desses parmetros, ao qual denominaremos de Intervalo de confiana. Admitindo-se um valor de igual a 1 (ou 100%), vamos considerar ou nvel ou grau de confiana do respectivo intervalo, como sendo 1 - , de que um intervalo de confiana contenha o valor do parmetro. Estatstica Aplicada Contabilidade -34 Vemosque(normalmente5ou1%)seraprobabilidadedeerronaestimaodo nosso intervalo, isto , para igual a 5%, significa a probabilidade de errarmos ao afirmar que o valor do parmetro est contido no intervalo de confiana determinado, e 95% a probabilidade do intervalo conter o parmetro estimado. Uma vez que essa probabilidade de erro, simtrica curva normal, devemos dividir pordois,ouseja,nocasodaprobabilidadedeerroser5%(),issosignificaquetemos2,5% (/2), para cada lado da curva. Afiguraaseguirapresentaacurvadedistribuionormalnasituaoemqueest dividido em duas partes com /2 para cada lado da curva. 3.2 Tipos de Estimaes de Parmetros 3.2.1 Estimao Pontual usadaquandoapartirdaamostraprocura -se obterumnicovalordecerto parmetro populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais. Principais estatsticas de estimao pontual - Mdia Amostral( x ) - Proporo Amostral(s) - Varincia Amostral(s2) 3.2.2 Estimao Intervalar Umaoutramaneiradesecalcularumestimativadeumparmetrodesconhecido, Estatstica Aplicada Contabilidade -35 construirumintervalodeconfianaparaesseparmetrocomumaprobabilidadede 1 (nvel de confiana) de que o intervalo contenha o verdadeiro parmetro. Dessa maneira, seronveldesignificncia,isto,oerroqueseestarcometendoaoafirmarqueoparmetro est entre o limite inferior e o superior calculado, como pode ser visto na figura abaixo: Podemosdizerque95%dasvezes,ointervaloacimacontmaverdadeiramdiapopulacional.Istonoo mesmo que afirmar que 95% a probabilidade do parmetro cair dentro do intervalo, o que constituir um erro, pois um parmetro (nmero) e ele est ou no no intervalo. 3.3 Intervalos de confiana para mdias Naimpossibilidadedeseconheceramdiaverdadeiradeumapopulao,recorremosa mtodosqueapartirdaamostrapossvelestimarumintervalodeconfianaquedadauma probabilidade,conteramdiaverdadeira.Noentanto,preliminarmentedevemosverificaros seguintes pontos: a) o desvio padro populacional conhecido? b) o desvio padro foi obtido a partir da amostra? c) a populao finita ou no? do conhecimento dessas informaes que podemos fazer a opo pelo teste adequado, isto , se o teste z ou t (valores tabelados em funo dos graus de liberdade e da probabilidade de erro = , normalmente 5% ou 1%), ou se ser necessrio fazer uma correo dos resultados. Assim podemos ter as seguintes situaes 3.3.1 Intervalo de confiana para a mdia da populao, quando conhecido Partindo do pressuposto que conhecemos o desvio padroda populao, masno a sua mdia, possvel a partir de uma amostra, determinar um intervalo de confiana para a mdia da populao tendo como base os dados da amostra. Suponhamosqueovalordeconhecido,equedesejamosapartirdeumaamostra obteralmdeumindicadordamdiapopulacionalumindicadordaprecisodessaestimativa, atravsdoclculodasprobabilidades,esabendoqueavarivelreduzidaZ,possvel,umavez estabelecidoaprobabilidadedeerro,determinarquaisoslimitessuperioreseinferioresda mdia populacional desconhecida, da seguinte forma: Intervalo de Confiana nxz Estatstica Aplicada Contabilidade -36 x = mdia da amostra =n erro padro, definido como o valor do desvio padro, dividido pela raizde n =2zvalor tabelado de z, para a probabilidade, que estamos procurando. Exemplo7:Suponha-seumafbricadefolhasdepapel,cujaproduonormalmente distribuda,comcomprimentoesperadode28cmedesvio-padroconhecidode0,05cm.Caso sejaselecionadaumaamostrade100folhaseamdiaobtidatenhasidode27,995cm,quala estimativa do intervalo da mdia para um nvel de confiana de 95%? z para 95%, temo = 5%, em testes bilaterais igual a 1,96 O valor de z tabelado, pode ser obtido na Tabela de t de Studentna linha do infinito, utilizando-se a coluna do 2,5%, uma vez que o erro alfa de 5% foi dividido em duas partes com 2,5% para cada lado, conforme pode ser observado abaixo: Tabela de t de Student -GL10%5%2,5%1%0,5% v0,100,050,0250,010,005 13,0786,31412,70631,82163,657 21,8852,9204,3036,9659,925 ---------------- 261,3151,7062,0562,4792,779 271,3141,7032,0522,4732,771 281,3131,7012,0482,4672,763 291,3111,6992,0452,4622,756 infinito1,2821,6451,9602,3262,576 erro padro =5 , 2100995 , 27= IC = 27,995 1,96* =100995 , 27 27,995 0,0098 Assim o intervalo de confiana que contm a mdia populacional ser ou P(27,9852 0,1750 1,645200) 1750 , 0 1 ( 1750 , 0 ,=>0,1750 0,0442 Estatstica Aplicada Contabilidade -40 Dessaforma,para=10%,amostraselecionadaindicaquede13,08%a21,92%das revistas so distribudas com defeito, com 90% de nvel de confiana de que o intervalo [0,1308; 0,2192]sejaumdosintervalosqueefetivamentecontmoparmetrodesejado.Note-seque quantomenoronveldeconfiana,menorointervaloestimado.Dessaforma,aconfianaea preciso das estimativas variam inversamente.. Paraumadadacombinaodenea,osintervalosdeconfianaestimadospara propores, necessariamente envolvendo variveis categricas, costumam ser maiores, ou menos precisos, do que os intervalos estimados para variveis contnuas. Enquanto que no primeiro tipo de estimativa as observaes so agrupadas em uma quantidade finita de categorias, no segundo, as observaes so mais variadas, agregando mais informao estimativa. 3.6 Intervalos de Confiana para populaes finitas O Teorema do Limite Central e os erros-padro da mdia e da proporo baseiam-se na premissa de que as amostras so selecionadas com reposio, porm, em geral,as pesquisas no apenassoconduzidassemreposio,comoenvolvemumaporcentagemsignificativada populao.Assim,quandon/Nsuperiora0,05,deve-seusarumFatordeCorreopara PopulaesFinitas(CPF)noclculodoserrospadrodamdiaedaproporo.Essefator definido pela equao indicada a seguir: 1 Nn N , onde N = tamanho da populao n = tamanho da amostra Esse fator de correo, tanto deve ser utilizado quando tratar-se de intervalos de confiana para mdia como para propores. Assim teramos o intervalo da seguinte forma: Para mdias (z)Para mdias (t)Para propores nxz *1 Nn N nsx1 nt *1 Nn N np pz p) ' 1 ( ''2*1 Nn N Estatstica Aplicada Contabilidade -41 Exemplo10.Considerandoqueumaamostradequatroelementosextradadeumapopulao normal,com50elementosforneceumdiade8,2edesviopadro(s)de0,40,construirum intervalo de confiana de 99% para a mdia dessa populao. IC = nsx1 nt1 Nn N, assim 1 504 50440 , 0841 , 5 2 , 8 , IC =8,20 1,132 3.7 Estimativa do Intervalo para Totais O total (T) obtido multiplicando-se a mdia amostral pelo tamanho da populao, ou seja: T = N. X. O respectivo intervalo de confiana, por sua vez, : |||

\|||

\|1. . .1Nn NnSt N X Nn N = tamanho da populao; X = Mdia da amostra =1 nt Valor tabelado de t para n 1graus de liberdade, para um determinado valor de alfa Caso a amostra seja suficientemente grande pode utilizar o valor de zS = Desvio padro da amostra n = tamanho da amostra Importante: s utilizar 1 Nn Nse n/N05 , 0 Estatstica Aplicada Contabilidade -42 Exemplo 11: Aplicao da Estimativa do Intervalo para Totais Suponha-seumarquivocontendo5.000ordensbancrias,normalmentedistribudas,mascujos montanteedesvio-padronosoconhecidos.Umaamostrade100ordensgerouosseguintes resultados:X=R$1.076,39eS=R$273,62.Qualomontanteestimadodasordense respectivo intervalo, para um nvel de confiana de 95%? Dadoquen/N>0,05,tem-sequeapopulaopodeserconsideradainfinita,noexistindo, portanto, necessidade de utilizar o fator de correo para populaes finitas Estimativa pontual = T = N. X= 5.000 x 1.076,39 = $ 5.381.950,00 Intervalo de confiana, dado que temos mais de 30 dados, podemos procurar o valor de tabelado de t nalinha do infinito da tabela e coluna do 2,5% = 1,984 , o intervalo de confiana ser: ||

\|nSt N X Nn. . .1 = 5.381.950,00 5.000 x 1,960 ||

\|10062 , 273 = 5.381.950,00 268.147,60 Portanto,aestimativapontualparaomontantedeR$5.381.950,00,enquantoqueo intervalo estimado para o nvel de confiana desejado, [R$ 5.113.802,40; R$ 5.650.097,60]. 3.8 Estimativa do Intervalo para Diferenas Aestimaodadiferenaempregadaquandosecrqueosregistrosreferentesaum conjuntodeitenscontmerros,cujomontantedeseja-seconhecer.Essatcnica,comumem trabalhos de auditoria, envolve os seguintes procedimentos: a) seleo de uma amostra de tamanho apropriado; b) clculo da diferena amostral mdia ( D) entre o valor observado do item e o valor constante do registro, ou seja: ,1nDDnii == com Di = (Xi, observado Xi, registrado) c) clculo do desvio-padro (SD) amostral das diferenas: 1122==nD n DSniiD d) estimativa do intervalo de confiana da diferena total, ou seja: |||

\|||

\|1. . .1Nn NnSt N D NDn Estatstica Aplicada Contabilidade -43 Exemplo12:Suponhaumcadastrocontendo5.000 ordensbancrias,normalmentedistribudas, mas cujo desvio-padro no conhecido. Uma amostra de 100 ordens identificou 14 ordens cujos valores diferiam dos valores constantes do cadastro. Qual o montante estimado das diferenas e o respectivo intervalo para um nvel de confiana de 95%? A amostragem revelou as seguintes diferenas (Di): R$ 75,41 R$ 38,97R$108,54 R$ 37,18R$ 62,75R$ 118,32 R$ 88,84 R$ 127,74R$ 55,42 R$ 39,03R$ 29,41R$ 47,99R$ 28,73 e R$84,05. Dadoquen/N>0,05,tem-sequeapopulaopodeserconsideradainfinita,noexistindo, portanto, necessidade de utilizar o fator de correo para populaes finitas ,1nDDnii == = 100) 05 , 84 73 , 28 99 , 47 ... 54 , 108 97 , 38 41 , 75 (1001=+ + + + + +i = 6,9034 A diferena mdia, por documento, na amostra de $ 6,9034 A diferena mdia total tem um valor estimado de N. D = 5.000 x 6,9034 = 34.517,00 O valor de SDserdado por: 1122==nD n DSniiD =2294 , 271 1009034 , 6 100 3720 , 168 . 782= x. Ovalordetdatabelapodeserencontradonalinhadoinfinito,colunado2,5%,sendoiguala 1,960 Assim temos que o intervalo de confiana para as diferenas ser: ||

\|nSt N D NDn. . .1 = 34.517,00 5.000 x 1,960 ||

\|1002294 , 27 = 34.517,00 26.684,81 Portanto,aestimativapontualparaomontantedasdiferenasdeR$34.517,00, enquantoqueointervaloestimado,paraonveldeconfianadesejado,[R$7.832,19;R$ 61.201,81]. Estatstica Aplicada Contabilidade -44 3.9 Estimativas de Intervalos na Amostragem Aleatria Estratificada (AAE) Caso os membros da equipe de auditoria acreditem que haja uma estreita relao entre o objeto do trabalho e uma dada caracterstica da populao ou julguem que um subgrupo especfico da populao particularmente interessante para os propsitos da investigao, convm recorrer amostragem estratificada, na qual a populao dividida em k-estratos mutuamente excludentes e exaustivos, selecionando-se uma amostra aleatria simples de cada estrato. Note-se que se os k-estratos da populao contm N1, N2, ..., Nk elementos, ento: N1 + N2 + ... + Nk = N Da mesma forma, se as k-amostras tm tamanhos n1, n2, ..., nk, o tamanho total da amostra (n) : n1 + n2 + ... + nk = n 3.9.1. Estimao de Mdiasna AAE As mdias populacionais dos k-estratos so denotadas por meio dos smbolos :1, :2, ..., :k, enquanto que os smbolos1 X ,2 X ,...,k Xcorrespondem s k-mdias amostrais. Considerando-seoj-simoestrato,tem-sequej X ,obtidoapartirdeumaamostraaleatriasimples,um estimador no-viesado de :j. A varincia do estimador da mdia amostral do estrato em questo ( 2j xS), por sua vez, definida pela seguinte equao: jj jjjxjNn NnSS= .22, com 2jS=estimativa da varincia populacional do j-simo estrato Uma vez apuradas as k-mdias amostrais, a estimao da mdia populacional geral ( AE X) imediata: NX NXkjjjAE==1, com AE = amostragem estratificada. Estatstica Aplicada Contabilidade -45 Considerando-sequeasamostrasselecionadasemcadaestratosomutuamente independentes,tem-sequeaestimativano-viesadadodesviopadrodoestimadordamdia populacional geral ( AE xS ) : 212 2NS NSkjj xjAE x== Paransuperiorouiguala120,ointervalodeconfianadamdiapopulacionalgeral verdadeira (:), para Z dado pelo a desejado, : por: AE xAE S Z X . Nocasodeamostraspequenasdeve-sesubstituirovalortabeladodeZpelovalordet paran1grausdeliberdade,ficandoafunoointervalodeconfianadefinidodaseguinte forma: AE xAE S t X . Exemplo13.O Ministrio do Trabalho e Emprego oferece cursos de requalificao profissional em155locaisnaregiosul:60noRioGrandedoSul,50noParane45emSantaCatarina.O ministrio cogita acrescentar mais um curso ao rol j disponvel. No intuito de estimar de quanto seria a demanda mensal mdia por local pelo novo curso, procedeu-se ao acrscimo cogitado em 12 locais no Rio Grande do Sul, 10 no Paran e 9 em Santa Catarina, selecionados aleatoriamente. Aolongodeumms,apurou-se,combasenasquantidadesdepessoasqueseinscreveramno novo curso, os seguintes resultados amostrais (i.e., mdia e desvio-padro): a)RS X= 21,2eSRS = 12,80; b)PR X= 13,3eSPR = 11,40; c)SC X = 26,1eSSC=9,20 Para que a demanda mensal mdia por local seja obtida, note-se, primeiramente, que: a) NRS = 60 e nRS = 12; b) NPR= 50 e nPR = 10; c) NSC = 45 e nSC = 9; d) N = 155 e n= 31. A estimativa da mdia populacional : NX NXkjjjAE==1, 155) 10 , 26 45 ( ) 30 , 13 50 ( ) 20 , 21 60 ( + + com 20,07 ; com j = RS, PR e SC. Estatstica Aplicada Contabilidade -46 As varincias dos estimadores da mdia de cada estrato, por sua vez, so: a)9227 , 1060) 12 60 (.1280 , 12.2 22===RSRS RSRSRSRS xnn NnSS b)3968 , 1050) 10 50 (.1040 , 11.2 22===PRPR PRPRPRPR xnn NnSS c)5236 , 745) 9 45 (.920 , 9.2 22===SCSC SCSCSCSC xnn NnSS Com essas varincias, j se poderia definir os intervalos de confiana das mdias dos estratos. No entanto, o intervalo desejado refere-se mdia geral. Para isso, preciso calcular AE xS , ou seja: 212 2NS NSkjj xjAE x== = 22 2 21555236 , 7 45 3968 , 10 50 9227 , 10 60 + + = 1,8310 Parade5%n=31(n< 120),assim,nessecaso temosqueusasosvalorestabeladodetde student, no caso t30; 0,05 = 2,042. Assim, o intervalo de confiana da mdia geral : AE xAE S t X . =8310 , 1 042 , 2 07 , 20 , ou 20,07 3,74 Dessa forma, pode-se afirmar, com um nvel de confiana de 95%, que a demanda mensal mediapor local pelo novo curso est compreendida no intervalo [16,33; 23,81]. 3.10. Amostragem Aleatria por Conglomerados Confrontadas,porexemplo,comaausnciadeumcadastrocompletoouconfivel,ou com os altos custos associados realizao de entrevistas de contato direto, as equipes de auditoria podemoptarpelaamostragemporconglomerados.Trata-sedeumprocedimentorecomendvel quando a populao pode ser subdividida em conglomerados menores, que sejam geograficamente compactos (p. ex., bairros ou quarteires de uma cidade). Nessamodalidadedeamostragem,seleciona-se,primeiramente,umaamostraaleatria simples de conglomerados. Em seguida, todos os seus membros so entrevistados. Emoutraspalavras,aamostragemporconglomeradosequivaleaumaamostraaleatria simples seguida de um censo. 3.10.1 Estimao de Mdias na AAC SuponhaequeapopulaosedividaemMconglomerados,queumaamostraaleatria simplesdemconglomeradostenhasidoselecionadaequeseusintegrantes(N1,N2,...,Nm) tenham sido entrevistados. Com base nas mdiasamostrais dos conglomerados escolhidos ( 1 X , 2 X ,...,m X ) , tem-se que a estimativa pontual da mdiaAC X ,as varincias dos estimadores e o intervalo de confiana correspondente, para n superior ou igual a 120, so assim definidos: Estatstica Aplicada Contabilidade -47 a) ===mjlmjjjACNX NX11 , com AC = amostragem por conglomerados . b) 221..ACmjjAC xSmNMm MS|||

\|== , onde1) .(12 22==mX X NSmjAC jjAC Com o intervalo de confiana sendo assim definido:AC xAC S Z X . Observe-seque,nopresentecontexto,asinfernciaspodemserfeitascomuma quantidaderelativamentepequenadeinformaespreviamentedisponveisacercadapopulao. Bastaqueapopulaopossaserclaramentedivididaemconglomerados.Sequerototalde elementosdapopulaoprecisaserconhecido,devendo-seapenasdeterminaraquantidadede elementosdecadaconglomeradoselecionado,oqueumaconseqncianecessriadocenso requerido pelas verses mais simples da amostragem porconglomerados. Exemplo14.Umaamostraaleatriasimplescom5quarteiresselecionadadeumarea residencialcomumtotalde125quarteires.Cadaumadasresidnciasdosquarteires selecionadosfoivisitadanointuitodeseapurararendafamiliar.ATabelaabaixodiscriminaa renda anual mdia( ) j X , nos quarteires que compuseram a amostra. Quarteiro selecionado (j) j X(em R$) Quantidade de domiclios (Nj) 114.527,0041 218.412,0039 338.409,0021 414.699,0032 537.647,0025 Pede-se para que seja calculada a renda anual mdia de toda a rea. Primeiramente, tem-se que: M = 125 e m = 5. A quantidade total de domiclios: =201 jjN= (41 + 39 + 21 +32 + 25) = 158 A estimativa pontual da mdia :===mjlmjjjACNX NX11 =21 , 353 . 22158807 . 531 . 3158) 25 647 . 37 ( ... ) 39 412 . 18 ( ) 41 527 . 14 (= = + + + Estatstica Aplicada Contabilidade -48 Para o clculo da estimativa do desvio padro 221..ACmjjAC xSmNMm MS|||

\|==, necessrio, preliminarmente: 80 , 992 . 45) 158 (2251= =|||

\|=mNjj , e Para os clculos de 1) .(12 22==mX X NSmjAC jjAC ,devemos utilizar a tabela auxiliar: Nj j XAC X2 2) .( AC jjX X N 4114.527,0022.353,21412 x (14.527 22.353,21)2 = 102.960.515.342,653918.412,0022.353,21392 x (18.412 22.353,21)2 = 23.625.900.257,70 2138.409,0022.353,21212 x (38.409 22.353,21)2 = 113.684.681.103,13 3214.699,0022.353,21322 x (14.699 22.353,21)2 = 59.993.017.061,48 2537.647,0022.353,21252 x (37.647 22.353,21)2 =146.187.507.852,56 2 2) .( AC jjX X N 446.451.621.617,52 Assim, ==1 552 , 617 . 621 . 451 . 4462ACS 111.612.905.404,38 Dessa maneira 221..ACmjjAC xSmNMm MS|||

\|== = 38 , 404 . 905 . 612 . 111 .51581255 1252 = 4.632,56 Portanto, o intervalo de confiana dado por AC xAC S Z X . ,ser igual a: 22.353,21 1,96x4.632,56ou22.353,21 9.079,81ou[13.273,40;31.433,02],para95%de probabilidade. Esse tipo de clculo, dado a magnitude dos valores envolvidos, exigeuma grande preciso nas operaes, nasquaispequenosarredondamentospodemlevaragrandesdiferenasnofinal.Porisso, recomendvel o uso das memrias da calculadora HP12-C. Estatstica Aplicada Contabilidade -49 3.11 Intervalos de confiana para Propores na AAE e AAC possvelconstruirintervalosdeconfianaparaproporesamostrais,tantoparaas Amostragensaleatriasestratificadaquantonaaleatriaporconglomerados.Noentanto,ainda que as mesmas no envolvam clculos complexos, esse assunto no ser tratado no mbito desse curso, sendo apresentado apenas as respectivas frmulas para tanto. 3.11.1 Propores para AAE A estimativa de intervalos para propores populacionais pode ser assim definida: a) Np Npkjj jAE==1, com jp= proporo amostral de sucessos do j-simo estrato; b) 2122NS NSkjj p jAE p== , com jj jjj jj pNn Nnp pS= .1) 1 ( 2, c) Intervalo de confiana dado por AE p AES Z p. 3.11.2 Propores para AAC A estimativa de intervalos para propores populacionais pode ser assim definida: a) ===mjlmjj jACNp Np11, com AC = amostragem por conglomerados . b) 221..ACmjjAC pSmNMm MS|||

\|== , onde1) .(12 22==mp p NSmjAC j jAC Com o intervalo de confiana sendo assim definido:AC p ACS Z p. Estatstica Aplicada Contabilidade -50 4 Clculo do tamanho da amostra 4.1 Introduo claro que o resultado da expresso z * nrepresenta uma variao absoluta de quanto varia para mais ou menos a mdia populacional (vamos denominar e0essa variao). Dessa forma ao se obter um intervalo de confiana normalmente no temos um controle de quanto este vai variar em torno da mdia amostral.Por uma questo de mtodo desejvel que estavariao(erro)nosejamuitogrande,nessecasopodemosfixarumlimitemximode variaoemtornodessamdiaecompararcomointervalodeconfianaobtidoatravsdos clculos,podendo-seaofinalfazerumaoposedevemosaceitarounoesseintervalode confiana. Normalmente,oprocedimentoadotadoparaverificarseumaamostraapresentaum nmerosuficientededados,demontarumaamostrapiloto,edelafazerumaestimativado desvio padro, caso a expresso fornea um nmero de dados n menor que o da amostra piloto, estajsuficiente,casocontrrio,faz-se novaamostragemutilizando-seessenovoncomo base de dados e repete-se o clculo partir das novas estimativas. 4.2 Clculo de n para mdias populaes finitas Umavezdefinidaqualavariaomximaquepodemosadmitiremtornodamdia amostral,utilizando-sedovalordedesviopadrodaamostraefixandoaprobabilidadeque desejamos podemos, com facilidade, saber se o nmero de elementos da amostra suficiente para o nosso problema ou no. Exemplo15.Vamossuporquesedesejadetalformaqueavariaodointervalodeconfiana no seja superior a 2 anos, para mais ou para menos. No caso de uma amostra com 40 elementos queforneceumdia29,edesviopadroiguala8,para=5%,calculandoointervalode confiana temos: 48 , 2 2940896 , 1 29 = Ointervalodeconfianade2,48superioraoquefoipr-determinado,assimteremos que aumentar o nmero de elementos da amostra, atravs da frmula abaixo: 20|||

\|=ez nx onde:e0 o limite mximo de variao que desejamos ter, assim, refazendo os clculos com os dados do prprio exerccio teremos 62 46 , 612896 , 12 = ||

\|= na amostra mnima necessria para cumprir o pr-estabelecido de 62 elementos Estatstica Aplicada Contabilidade -51 Exemplo 16. Qual o tamanho de amostra suficiente para estimarmos uma populao infinita cujo desviopadrodeumaamostrapilotode200elementosforneceuumdesviopadrodeigual4, para 95% de confiana e preciso de 0,5. Essa amostragem suficiente? n = z*se02|\

||= > n = 1,96*40,52|\

|| = 245,8 => 246 Logo,necessitamosdeumaamostrade246elementos,assimaamostragemrealizadanofoi suficiente, devendo ser aumenta em pelo menos 46 elementos. 4.3 Tamanho da amostra para propores populaes finitas No caso de intervalo de confiana para mdia, uma vez definido o valor de e0, e conhecida uma estimativa inicial do desvio padro foi possvel calcular o tamanho mnimo para uma amostra que satisfaa o valor mximo de e0. Da mesma maneira, para propores populacionais, possvel calcular o tamanho mnimo de uma amostra que satisfaa uma condio de e0 previamente estabelecido, podendo existir, nesse casoduassituaes,aprimeira,naqualconhecemosoutemosinformaesdaproporoda caracterstica que estamos analisando; e no segundo caso, no qual no temos nenhuma indicao respeito dessa informao. 4.3.1. Tamanho da amostra mnima necessria (conhecido a proporo prvia) Damesmaformaquenointervalodeconfianaparamdia,desejvelquevariaodo intervalo de confiana para a proporo no seja muito grande, devendo-se nesse caso ser fixado a variao mxima desejvel. |||

\|=202) ' 1 '*(ep pz n onde: p = proporo inicial (obtida atravs de uma amostra piloto) z = valor tabelado dado uma probabilidade alfa e0 = erro mximo admitido. Exemplo17.Umaamostrade200bateriasacusou20comdefeitosnumaremessa.Usandoum intervalo de confiana de 95% ( =5%) determinarqual o nmero mnimo de baterias que devem ser amostradas caso se deseje a o erro mximo e0 seja uma variao mxima de 2%. Assim: p = proporo inicial (obtida atravs de uma amostra piloto) =20/200=> 0,10z = valor tabelado dado uma probabilidade alfa = 1,96 e0 = erro mximo admitido = 0,02 Estatstica Aplicada Contabilidade -52 |||

\|=202) ' 1 '*(ep pz n , substituindo|||

\| =2202 , 0) 10 , 0 1 ( * 10 , 096 , 1 n = 864,36 865 peas 4.3.2. Tamanho da amostra mnima necessria (quando desconhecida a proporo prvia) desejvel que se conhea pelo menos uma indicao inicial de p, o que nem sempre possvel.Nessecasonecessriodefinirumaamostraquecontempletodasaspropores possveis, condio essa que satisfeita, ao admitirmos que a caracterstica que estamos estudando esteja dividida exatamente meio a meio, ou seja, metade da amostra apresenta certa caracterstica e outra metade no, ficando dessa forma a expresso: |||

\|=202) 5 , 0 1 ( * 5 , 0ez n Exemplo18:Umfabricantedeflashesdesejaestimaraprobabilidadedeumflashesfuncionar. Determine o nmero de observaes que devem ser feitas para estimar um intervalo de confiana comumavariaomximade0,04sobreaproporocomdefeitos,paraumintervalode confiana de 95%. R. Uma vez que no sabemos a proporo inicial com defeitos, deve-se assumir que metade tem problemas e metade no |||

\|=202) 5 , 0 1 ( * 5 , 0ez n => |||

\|=2204 , 0) 5 , 0 1 ( * 5 , 096 , 1 n =>n = 600,25 601 claroquesemprepreferveltrabalharcomumaestimativadep,poisissoimplicanecessariamentenumn menor do que aquele obtido quando se trabalha com p= 0,50. 4.4 Clculo de N para populaes Finitas (mdias e propores) Porvezesocorrequedesejamoscalcularotamanhodeumaamostranumasituaoem que a populao a ser estudada finita. Nessasituaooprocedimentoaseradotado,tantoparaocasodenparamdiascomo para propores, de calcular o tamanho de amostra supondo que se trata de populao infinita denominando o tamanho da amostra como n0; umavez que nesse caso conhecemos o tamanho da populao N verificamos se n0/N superior a 0,05, caso seja, devemos recalcular n atravs da seguinte expresso: n= Nnn1100+ Exemplo 19. Uma amostra piloto forneceu os seguintes dados: mdia igual a 35; desvio padro iguala8.Supondoqueessaamostrapertenceaumapolpaode500elementosqualseriao tamanho da amostra mnima necessria para que e0 no fosse superior a 2. (alfa = 5%) Estatstica Aplicada Contabilidade -53 Dados = 500 n = z*se02|\

|| = > n == ||

\|228 * 1,96 61,46 => 62 05 . 0 124 . 050062> = =Nn ento n =Nnn1100+= >n=56 25 , 555001 62162= =+ Exemplo20.Calcularotamanhodeumaamostraparaavaliaraverdadeiraproporo populacional de forma que o erro mximo seja de 2%, para um conjunto de dados cuja populao no ultrapassa 10000 elementos. (alfa = 1%) R. Uma vez que no sabemos a proporo inicial com defeitos, deve-se assumir que metade tem problemas e metade no |||

\| =202) 5 , 0 1 ( * 5 , 0ez n => |||

\|=2202 , 0) 5 , 0 1 * 5 , 0576 . 2 n =>n = 4147.36 4148

05 . 0 4148 . 0100004148> = =Nn

ento n =Nnn1100+= >n=2933 07 . 2932100001 414814148= =+ 4.5 Amostragem por atributos A amostragem por atributos tem como objetivo determinar, com base em dados amostrais, qualonvelmximodeerroexistenteemdeterminadapopulao,considerandoparatantose determinado documento ou procedimento est de acordo ou no com determinada norma. Arealizaodetipodeamostragemquetemcomofundamentoadistribuio hipergeomtrica aproximada por uma distribuio de Poisson, parte dos seguintes princpios: a) a taxa de erros tolerveis na populao ser no mximo 20%; b) a proporo de erros esperados na populao de no mximo de 7% a 8,5% c) populao com no mnimo 5.000 dados A proporo mxima de erros tolerveis na populao deve ser preliminarmente definida pelasequipesdeauditoriassujeitasprincipalmenterealidadecomqualsetrabalha.Estataxa tambm pode ser estimada com base no julgamento do auditor ou em dados prvios oriundos de outros levantamentos. Estatstica Aplicada Contabilidade -54 Atabelaaseguirapresentaosprincipaisintervalosparaastaxasdeerrosmximos tolerveis. Taxa de erro tolervel Nvel avaliado planejado do Risco de Controle Garantia desejada para amostra do Teste de Controle 2-5%Baixo nvelAlto ou substancial 6-10%Nvel ModeradoBaixo ou moderado 11-20%Ligeiramente abaixo do mximoBaixo no testarMximoNenhuma Para a realizao desse processo de amostragem necessrio que se tenha um valor prvio do taxa de erros existentes na populao que est sendo examinada. Em situaes em que no se conhea esse valor um procedimento recomendvel selecionar uma amostra piloto de 50 ou 60 para estimar esse valor. Umavezdeterminadoataxadeerrosesperadosnapopulao,onveldeerromximo aceitvelparaaprovaoeonveldesignificnciaadotadomedianteousodetabelaspossvel estimar o nmero de itens a serem amostrados. Exemplo21:Umauditorpretenderealizarumtestedecontroleparaavaliarasrotinasde elaboraodecontratosdeumaempresa.Otesteparadeterminarseoscontratosforam assinados depois da devidas verificaes cadastrais (crdito, documentos, referncias, etc.). Dados para o teste: 95% de confiana Proporo mxima admissvel de erro 5% Expectativa de erros na populao 0,75% Soluo:Adeterminaodotamanhodaamostraextremamentefcil,nocaso,bastausara tabela, na seguinte forma: Oresultadoindicaque93documentosdevemseramostradosequeseadmite,nomximo,1 documento errado na amostra. Vamossuporquenaamostraforamidentificados3documentoserrados,nocasoaconcluso que na populao, para 95% de probabilidade, supera o limite de 5%. de documentos errados. Estatstica Aplicada Contabilidade -55 Tamanho de amostras para testes de controle - 5% Taxa tolervel % % 23456789101520 0,00149(0)99(0)74(0)59(0)49(0)42(0)36(0)32(0)29(0)19(0)14(0) 0,25236(1)157(1)117(1)93(1)78(1)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 0,50*157(1)117(1)93(1)78(1)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 0,75*208(2)117(1)93(1)78(1)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 1,00**156(2)93(1)78(1)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 1,25**156(2)124(2)78(1)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 1,50**192(3)124(2)103(2)66(1)58(1)51(1)46(1)30(1)22(1) 1,75**227(4)153(3)103(2)88(2)77(2)51(1)46(1)30(1)22(1) 2,00***181(4)127(3)88(2)77(2)68(2)46(1)30(1)22(1) 2,25***208(5)127(3)88(2)77(2)68(2)61(2)30(1)22(1) 2,50****150(4)109(3)77(2)68(2)61(2)30(1)22(1) 2,75****173(5)109(3)95(3)68(2)61(2)30(1)22(1) 3,00****195(6)129(4)95(3)84(3)61(2)30(1)22(1) 3,25*****148(5)112(4)84(3)61(2)30(1)22(1) 3,50*****167(6)112(4)84(3)76(3)40(2)22(1) 3,75*****185(7)129(5)100(4)76(3)40(2)22(1) 4,00******146(6)100(4)89(4)40(2)22(1) 5,00*******158(8)116(6)40(2)30(2) 6,00********179(11)50(3)30(2) Expectativa da taxa de erros existentes na populao 7,00*********68(5)37(3) (nmero esperado de desvios entre parntesis) Estatstica Aplicada Contabilidade -56 Tamanho de amostras para testes de controle - 10% Taxa tolervel % % 23456789101520 0,00114(0)76(0)57(0)45(0)38(0)32(0)28(0)25(0)22(0)15(0)11(0) 0,25194(1)129(1)96(1)77(1)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 0,50194(1)129(1)96(1)77(1)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 0,75265(2)129(1)96(1)77(1)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 1,00*176(2)96(1)77(1)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 1,25*221(3)132(2)77(1)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 1,50**132(2)105(2)64(1)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 1,75**166(3)105(2)88(2)55(1)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 2,00**198(4)132(3)88(2)75(2)48(1)42(1)38(1)25(1)18(1) 2,25***132(3)88(2)75(2)65(2)42(1)38(1)25(1)18(1) 2,50***158(4)110(3)75(2)65(2)58(2)38(1)25(1)18(1) 2,75***209(6)132(4)94(3)65(2)58(2)52(2)25(1)18(1) 3,00****153(5)94(3)65(2)58(2)52(2)25(1)18(1) 3,25****194(7)113(4)82(3)58(2)52(2)25(1)18(1) 3,50*****113(4)82(3)73(3)52(2)25(1)18(1) 3,75*****131(5)98(4)73(3)52(2)25(1)18(1) 4,00*****149(6)98(4)73(3)65(3)25(1)18(1) 4,50*****218(10)130(6)87(4)65(3)34(2)18(1) 5,00******160(8)115(6)78(4)34(2)18(1) 5,50*******142(8)103(6)34(2)18(1) 6,00*******182(11)116(7)45(3)25(2) 7,00********199(14)52(4)25(2) 7,50*********52(4)25(2) 8,00*********60(5)25(2) Expectativa da taxa de erros existentes na populao 8,50*********68(6)32(3) Estatstica Aplicada Contabilidade -57 5 Amostragem por unidade monetria 5.1 Conceitos Gerais Nosmdulosanterioresforamtratadasasmodalidadesclssicasdeamostragemde variveis(i.e.,estimaodemdias,totaisediferenas)eporatributo(i.e.,estimaode propores). Nas amostragens por atributo, porm, as tcnicas examinadas no so aplicveis aos casosnosquaisasprobabilidadesdeseleovariamcomoocorrequandoasamostrasso selecionadas sem reposio de populaes finitas. Nessas situaes, a distribuio de probabilidades mais apropriada , em vez da binomial, a hipergeomtricaque,sobcertascircunstnciaspodeseraproximadaporumadistribuiode Poisson.Essadistribuioempregada,p.ex.,emcontrolesdequalidadeoudeadernciaa critriospreestabelecidos,nosquaisosdesviosemrelaoaocritriodefinidosotratados igualmente, ainda que os valores envolvidos difiram entre si. Nocontroledequalidadeoudeaderncia,otamanhodaamostra,parapopulaescom mais de quinhentos elementos, definido pela equao: pCni =1 , onde: 1 , iC = ndice de confiabilidade; i= quantidade prevista de erros na amostra; = nvel de erro ou risco de aceitao incorreta p = proporo mxima de erros admitidos na populao. Geralmente,ondicedeconfiabilidade( 1 , iC )obtidoapartirdequadroscomooda Tabela a seguir: ndices de Confiabilidade para Vrias Quantidades Previstas de Erros e Nveis de Confiana Quantidade prevista de erros na amostra (i) 0123 45678910 14,616,648,4110,0511,6113,1114,5716,0017,4018,7820,14 53,004,756,307,769,1610,5211,8513,1514,4415,7116,91 102,313,895,336,687,999,2710,5311,7712,9914,2154,41 151,903,384,726,027,278,509,7110,9012,08 201,613,004,285,526,737,919,0810,2411,38 251,392,703,935,116,287,438,569,6910,81 301,212,443,624,775,907,018,129,2110,31 371,002,143,254,345,436,497,568,637,67 Nvel de confiana (1 ) % 500,701,682,683,684,685,686,677,678,67 Estatstica Aplicada Contabilidade -58 Exemplo22:Emumaauditoria,pretende-serealizarumtestedeconformidade.Aproporo mxima de erros admitidos para que a populao examinada seja aprovada pelo teste 2%, com nvel de confiana de 95% ( = 5%). Qual o tamanho da amostra? Com p = 0,02 e a = 0,95, e prevendo-se que: a) a amostra no conter erros (C0;0,95 = 3,0), tem-se:15002 , 000 , 3= = =pCnb) a amostra conter um nico erro (C1;0,95 = 4,75), tem-se:23502 , 075 , 4= = =pCn 5.2. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetria AAmostragemporUnidadeMonetria(AUM)tambmumaamostragempor atributo baseada na distribuio hipergeomtrica. Essa tcnica permite estimar o montante monetrio de uma dada populao. Trata-se de uma tcnica geralmente utilizada em auditorias financeiras, que tm por objetivo verificar se os registros contbeis so fidedignos. Diferentemente da amostragem por variveis, a AUM no exige o prvio conhecimento da quantidade de elementos da populao e da varincia dos valores que a compem. Essa tcnicabaseia-senasseguintesinformaes:aproporomximadeerrosadmitidosna populao(p),previamentedefinidapelaequipedeauditoria,ondicedeconfiabilidade ( 1 , iC ),obtidoapartirdetestesdeconformidade,eomontanteconstantedosregistros contbeis(M),oqualdefineapopulaodaqualaamostraextrada.Comooselementosda populaocorrespondemsunidadesmonetriasqueintegramomontante, convmnotarquea probabilidade de incluso na amostra de um dado registro diminui quando o seu valor subestimado, sendo nula no caso de omisso. Dessaforma,hnaAUM umvisemfavordosregistrossuperestimadosourepetidos. OutracaractersticadaAUMquemerecemenoapremissadequenohdiferenas superiores a 100% entre os valores registrados e observados. O tamanho da amostra na AUM definido pela seguinte equao: pCn =1 ; 0, comMMpR= =MO A E MA P A A Onde: 1 ; 0C Fator de Preciso Bsica (ndice de confiabilidade supondo-se que a amostrano contm erros); MRMaterialidade Restrita ou Preciso Bsica (diferena mxima entre osmontantes registrado e estimado supondo-se que a amostra no contm erros); M montante registrado; MAMaterialidade Ampla (diferena mxima entre os montantes registrado eestimado que no implica a impugnao do conjunto de lanamentos contbeis); AEErroAmostralPrevisto[estimativadadiferenaqueserobservadanaamostra entre os montantes registrado e estimado caso os membros da equipe de auditoria antecipem a ocorrncia de erros (i > 0)]; PA Estimativa da Ampliao do Intervalo de Preciso (margem de errosuplementar arbitrada quando se prev a ocorrncia de erros na amostra);OA outros ajustes arbitrados pelos membros da equipe de auditoria. Estatstica Aplicada Contabilidade -59 Dessaforma,osmembrosdaequipedeauditoriadevemdefinir,inicialmente,a MaterialidadeAmpla(MA).Emseguida,deve-searbitrarosajustesjulgadosnecessrios,osquais devemsersubtradosda MA,definindoa MaterialidadeRestrita(MR).ConvmnotarqueMR ep so diretamente proporcionais. Dessaforma,quantomenorforaprimeira,menorseraltima,oqueaumentan. Conseqentemente, os ajustes feitos ainda na fase de planejamento devem permitir a obteno de resultados amostrais robustos ainda que haja pequenos desvios em relao s premissas utilizadas originalmente. 5.2.1 Tamanho da amostra deve ser calculado na AUM. Emumaauditoria,oconjuntodelanamentoscontbeisexaminados,totalizandoR$ 2.000.000,00, considerado fidedigno se a diferena entre os montantes estimado e registrado noforsuperioraR$100.000,00.Paraumnveldeconfianade95%,qualotamanhoda amostra? Desconsiderando-se a necessidade de ajustes, tem-se: MR = 100.000,00 M = 2.000.000,00 MMpR== 00 , 000 . 000 . 200 , 000 . 100= 0,05 com i = 0 e1 = 95%, tem-se 1 , iC = 3 e pCn =1 ; 0 =6005 , 03= 5.2.3 Seleo dos Elementos Amostrais na AUM Definido o tamanho da amostra (n), procede-se seleo dos seus elementos. Primeiro, calcula-se o intervalo amostral (IA): nMIA = Em seguida, escolhe-se aleatoriamente uma unidade monetria compreendida em cada um dossucessivosintervalosamostrais.Porfim,soselecionadosparaanliseosregistroscontbeis correspondentes s unidades monetrias escolhidas, como mostrado no Exemplo acima Noexemplotratadoanteriormente,qualointervaloamostral?Dadoumconjunto hipottico de lanamentos contbeis, como devem ser selecionados os elementos amostrais? Supondo-se que o sistema de controle interno confivel e que, por conseguinte, pode-se prever que a amostra no conter erros, tem-se n = 60. Dessa forma: I nMIA ==33 , 333 . 336000 , 000 . 000 . 2= Estatstica Aplicada Contabilidade -60 Tendo como base o Valor do Intervalo amostral deve-se proceder a seleo dos itens que comporoaamostraacadaintervalodeR$33.333,33,tendocomobaseoroldetodosos documentos. Para o ponto de partida, o primeiro item deve ser sorteado. Supondo que o valor sorteado sejaR$16.000,00esteseroprimeiroelementoamostralebaseando-senoroldelanamentos indicados abaixo, a amostra obtida da seguinte forma: Item Valor Registrado Valor Acumulado Unidade Monetria Selecionada Clculos 110.000,0010.000,00- 218.500,0028.500,0016.000,0016.000,00 + 33.333,33 = 49.333,33 320.000,0048.500,00-- 46.000,0054.500,0049.333,3349.333,33 + 33.333,33 = 82.666,66 56.500,0061.000,00- 646.000,00107.000,0082.666,6682.666,66 + 33.333,33 = 115.999,99 79.600,00116.600,00115.999,99115.999,99 + 33.333,33 = 149.333,32 816.400,00133.000,00- 9126.750,00,259.750,00182.666,64 149.333,32 + 33.333,33 =182.666,64 182.666,64 + 33.333,33 = 215.999,97 215.999,97 + 33.333,33 = 249.333,30 249.333,33 + 33.333,33 = 282.666,63 1027.250,00287.000,00282.664,00282.666,63 + 33.333,33 = 315.999,96 115.700,00292.700,00 1215.155,45307.855,45 131.000,00308.855,45 1418.101,00325.957,45315.999,99315.999.96+ 33.333,33 = 349.333,29 ............... Convmnotarqueosregistroscomvaloresiguaisousuperioresaointervaloamostralso necessariamenteselecionadosparaaamostra.O9itemdorolmostradoacima,p.ex.,consta quatrovezesdaamostraporser3,8vezessuperioraointervalo.Nessescasos,aequipede auditoria tem duas alternativas: a) diminuir o nvel de confiana (a) em decorrncia da reduo do tamanho efetivo da amostra (no presenteexemplo,supondo-sequeosdemaisitenssoinferioresaR$33.333,33,otamanho efetivo da amostra 57); b)examinarseparadamenteositenscomvaloreselevados,considerando-osumanicavezna amostra e ajustando-se o intervalo amostral para os demais elementos. A segunda alternativa a mais adequada por no implicar reduo no nvel de confiana. Umavezselecionadaeexaminadaaamostra,deve-seestimaradiferenaentreosmontantes registrado e estimado. Estatstica Aplicada Contabilidade -61 5.2.4 Etapas de clculo do AUM 1) identificar os itens cujos valores observados diferem dos valores registrados; 2) calcular a diferena entre os valores observado e registrado; 3)agrupar as diferenas conforme sejam superiores a zero (registros superestimados) ou inferiores a zero (registros subestimados); 4) separar as diferenas associadas a itens com valores superiores ao intervalo amostral; 5)extrapolarasdiferenasassociadasaitenscomvaloresinferioresaointervaloamostralpara todo o intervalo; 6)colocaremordemdecrescenteasdiferenasassociadasaitenscomvaloresinferioresao intervalo amostral e obter a AmpliaodoIntervalodePreciso(AP) quando a quantidade deerrossuperarasexpectativasdaequipedeauditoria,detalmodoqueasdiferenas observadas sejam ajustadas sem que o tamanho da amostra tenha de ser recalculado; 7) calcular o saldo lquido dos erros ajustados; 8)somarasdiferenasassociadasaitenscomvaloressuperioresaosaldolquidodoserros ajustados; 9)compararassuperestimaeseassubestimaestotaiscomamaterialidadepreestabelecida, verificando se os demonstrativos examinados podem ou no ser considerados fidedignos; 10)estudarquerecomendaesdeveroserfeitascasoaMaterialidadeAmpla(MA) preestabelecida no seja respeitada (p. ex.: determinar a correo dos erros observados; reavaliar o nvel de confiana e o tamanho da amostra empregados; determinar aumentos nas provises; apenas atestar a nofidedignidade dos demonstrativos examinados). AAmpliaodoIntervalodePreciso(AP)obtidamultiplicando-seoFatorde AmpliaodoIntervalodePreciso(jAPF )pelaextrapolaodoserrosamostraisparao intervalo amostral (IA): ARO R jAPitemPIVV VF A . .((

= Onde: VR = Valor Registrado VO = Valor Observado 1) 1 ( , ) 1 );( 1 ( = + j jjAPC C Fj = posio relativa dos erros amostrais dispostos em ordem decrescente de grandeza; C1;1-a = C0; 1 0 . Os Fatores de Ampliao do Intervalo de Preciso (jAPF)constam da tabela a seguir: Estatstica Aplicada Contabilidade -62 Tabela: Fatores de Ampliao do Intervalo de Preciso jAPFNvel de Confiana (1 ) Erros Observados (j) 50%60%70%80%85%90%95%99% 10,000,110,240,380,480,590,751,03 20,000,080,180,280,350,430,550,77 30,000,070,150,240,290,360,460,64 40,000,060,130,210,250,310,400,56 50,000,060,120,190,230,280,360,50 60,000,050,110,170,210,260,330,46 70,000,040,100,160,190,240,310,43 80,000,040,090,150,180,220,290,41 90,000,040,090,140,170,210,27 100,000,040,080,130,160,200,26 5.2.5 Aplicao da Amostragem por Unidade Monetria Verificarseumconjuntohipotticoderegistroscontbeisfidedigno.Ascaractersticas gerais da pesquisa amostral so: montante registrado (M): R$ 2.000.000,00; materialidade ampla (MA): R$ 100.000,00; materialidade restrita (MR): R$ 95.000,00; Soluo: a) Clculo de pMR = 95.000,00 M = 2.000.000,00 MMpR== 00 , 000 . 000 . 200 , 000 . 95= 0,0475 Nesse caso a proporo mxima de erros admitida na populao (p): 0,0475 ou 4,75% b) Clculo do tamanho da amostra Uma vez que a quantidade prevista de erros na amostra (i) =0 zero E o nvel de confiana 1 = 95%,; tem-se 1 , iC = 3 e pCn =1 ; 0 =64 1579 , 630475 , 03 = itens c) Clculo do Intervalo AmostralM = 2.000.000,00 n = 65 nMIA ==00 , 250 . 316400 , 000 . 000 . 2= Estatstica Aplicada Contabilidade -63 Nodecorrerdainvestigao,constatou-seentreosvaloresobservadoseregistradosas diferenas indicadas na Tabela abaixo: ItemValor Registrado Valor Observado DiferenaObservao 1343.125,0042.625,00500,00 Item superestimado examinado separadamente por ser superior ao intervalo amostral 292.500,002.600,00(100,00) Itemsubestimadoexaminadonocontextoda amostra por ser inferior ao intervalo amostral. 352.000,001.800,00200,00 Item superestimado examinado no contexto da amostra por ser inferior ao intervalo amostral. 574.000,004.200,00(200,00) Itemsubestimadoexaminadonocontextoda amostra por ser inferior ao intervalo amostral. d) Agrupar os itens superestimados e subestimados, itens com erros para maior: 13 e 35; itens com erros para menor: 29 e 57. e) Extrapolar para o intervalo amostral as diferenas referentes aos itens cujos valores so inferiores ao intervalo ARO RiIVV VE .((

= - extrapolao do erro referente ao item 35 125 . 3 250 . 31 .000 . 2800 . 1 000 . 235=((

= E- extrapolao do erro referente ao item 29 250 . 1 250 . 31 .500 . 2600 . 2 500 . 229 =((

= E- extrapolao do erro referente ao item 5750 , 562 . 1 250 . 31 .000 . 4200 . 4 000 . 457 =((

= E : f) impacto lquido dos erros extrapolados ( iE = Erros amostrais) iE= E29 + E35 + E57 = 3.125 + (-1.250) + (-1.562,50) = 312,50 g) Fatores de ampliao do intervalo de preciso Como h mais de um erro para menor referente a itens com valores inferiores ao intervalo amostral, esses erros devem ser dispostos em ordem decrescente, cabendo a primeira posio ao item 57 e a segunda ao item 29. Essa ordenao deve-se necessidade de se multiplicar os erros por diferentes Fatores de Ampliao do Intervalo de Preciso jAPF. Para um nvel de confiana de 95% e uma previso inicial de que a amostra no conteria erros, o que faz i igual a 0 para j igual a 1, tem-se: 1APF=C1;0,95 C0;0,95 1= 4,75 3,00 1 = 0,75; 2APF= C2;0,95 C1;0,95 1= 6,30 4,75 1 = 0,55. Os fatores de ampliao j esto tabelados, o que facilita bastante esses clculos Estatstica Aplicada Contabilidade -64 h) Ampliao do Intervalo de Preciso (AP) AampliaodoIntervalodePrecisoAPobtidamultiplicando-se jAPF pelas extrapolaes dos erros referentes a itens com valores inferiores ao intervalo amostral, que devem ser tratados separadamente e somando-se os valores referentes a cada tipo de erro: - Ampliao para os itens Superestimados oAP PF E A. 13535. =3.125 x 0,75 = 2.343,75 (AP para os itens superestimados) 35Pados SuperestimPA A= = 2.343,75 - Ampliao para os itens Subestimados; oAP PF E A. 15757. =1.562,50 x 0,75 =1.171,87 oAP PF E A. 22929. = 1.250,00 x 0,55 =687,50 57 29P Pos SubestimadPA A A + == 1.171,87 + (687,50) =1.859,37 (AP para os itens subestimados) i) Construo dos Intervalos Paraaconstruodosintervalosdeprecisonecessrioacumularoserrosamostrais, erros de itens superiores ao intervalo amostral, materialidade restrita e a ampliao do intervalo de preciso para erros superestimados e subestimados. Assim temos: a) erros para maior, dado por: + + +ados SuperestimP Rados SuperestimmaiorIAiA M E E (E29 + E35 + E57) + E13 + MR + 35PA= 312,50 + 500 + 95.000 + 2343,75 = 98.156,25 b) erros para menor: + +os SubestimadP Ros SubestimadmenorIA iA M E E = (E29 + E35 + E57) + 0 MR + (57 29P PA A + ) = 312,50 + 0 95.000 + ( 1.859,37) = 96.546,87 j) Concluses Comoamaterialidadeampla(MA=100.000,00)superioraosdoisvalorescalculados acima, conclui-se que os lanamentos contbeis examinados so, com 95% de certeza, fidedignos, no apresentando uma diferena superior a 5%. ConvmnotarqueousodeumamaterialidaderestritadeR$95.000,00,aoaumentaro tamanho da amostra de 60 para 64 elementos, permitiu a obteno de estimativas robustas embora tenham sido observados 4 erros na amostra. Estatstica Aplicada Contabilidade -65 6 Teste de Hipteses 6.1 Conceituao Nos estudos que tratam da construo de Intervalos de Confiana vimos como, a partir da mdia amostral, possvel estabelecer intervalos