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Estabilidade de Liapunov e derivada radial
Gerard John Alva Morales
TESE APRESENTADA
AO
INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA
DA
UNIVERSIDADE DE SAO PAULO
PARA
OBTENCAO DO TITULO
DE
DOUTOR EM CIENCIAS
Programa: Matematica Aplicada
Orientador: Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeuauxılio financeiro do CNPq.
Sao Paulo, 31 de Outubro de 2014
Estabilidade de Liapunov e derivada radial
Esta tese corresponde a redacao final devidamentecorrigida e defendida por Gerard John Alva Morales,e aprovada pela Banca Examinadora.
Sao Paulo, 31 de Outubro de 2014
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia (Orientador) -IME-USP
Prof. Dr. Fabio Armando Tal -IME-USP
Prof. Dr. Ricardo dos Santos Freire Jr. -IME-USP
Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins -IMECC-UNICAMP
Prof. Dr. Fabio dos Santos -UFS
Dedico este trabalho a:
Isadora, Adriana,Marco, Georgina e Miriam.
Agradecimentos
Agradeco:
A minha famılia, pelo apoio moral, pelos ensinamentos, pelo carinho,pela confianca e pela forca incondicional que me proporcionaram em todomomento; em particular durante este perıodo no doutorado. Meu carinhoe especial consideracao para: Isadora Silva Alva Morales, Adriana MariaSilva Morales, Marco Ascencion Alva Castillo, Mercedes Georgina Moralesde Alva e Miriam Edith Alva Morales.
A meu orientador, Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia, pelaaceitacao como seu aluno de doutorado no programa de matematica aplicadaem momentos crıticos na minha formacao academica, pela generosidade emcompartilhar comigo a matematica sutil que ele estuda, pela orientacao epelas valiosas sugestoes que tornaram possıvel esta tese. A Profa. Dra.Sonia Regina Garcia, pelas correcoes do portugues e sugestoes que derammaior estetica a este trabalho.
As sugestoes da banca examinadora durante a defesa de esta tese o qualpermitiu consideravel melhoramento na redacao da mesma.
Aos amigos, Prof. Dr. Jorge Manuel Sotomayor Tello, pela cama-radagem proporcionada em momentos de descontracao no IME, FEA-USPdurante a homenagem a Profa. Dra. Marilda Sotomayor e pelas con-versacoes sobre equacoes integro-diferenciais singulares, Prof. Dr. Alexan-dre Patriota Galvao, pelas conversacoes de caracter filosofico durante repeti-das tardes de cafe, Dr. Pedro Losco Takecian, pela cordialidade e pelassugestoes tecnicas sobre Ubuntu, ambiente onde preparei esta tese.
A hospitalidade dos departamentos de matematica e matematica apli-cada do IME-USP que facilitaram o desenvolvimento desta tese, e o auxıliofinanceiro do CNPq.
Extensivos agradecimentos a todas e cada uma das pessoas que con-tribuıram a concretizacao deste trabalho, particulares consideracoes paraJose da Silva, Teodora da Silva, Ana, Paul Lopez, Madalena e Bispo.
Resumo
Apresentaremos uma classe de energias potenciais Π ∈ C∞(Ω,R) quesao s−decidıveis e que admitem funcoes auxiliares de Cetaev da forma〈∇jsΠ(q), q〉, q ∈ Ω ⊂ Rn que sao s−resistentes.
Palavras-chave: Estabilidade de Liapunov, sistemas Lagrangeanos,Teorema de Dirichlet-Lagrange, k-decidibilidade.
Abstract
We will present a class of potential energies Π ∈ C∞(Ω,R) that ares−decidable and that admit auxiliary functions of Cetaev of the form 〈∇jsΠ(q), q〉,q ∈ Ω ⊂ Rn which are s−resistant.
Keywords: Liapunov stability, Lagrangian systems, Theorem of Dirichlet-Lagrange, k-decidability.
Conteudo
1 Introducao 9
2 Preliminares, o problema e um lema 132.1 Funcoes s-decidıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Formulacao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 O problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Lema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Cones tangentes e s-resistencia 213.1 O cone Zs−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Construindo o cone Ks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 s-resistencia de Ps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Aplicacoes da s-resistencia de Ps 394.1 Instabilidade do equilıbrio segundo Liapunov . . . . . . . . . 39
4.1.1 Hipoteses (H1)− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Hipoteses (H1
1 )− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Hipoteses (H2
1 )− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Analise da hipotese (H1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Existencia de trajetorias assintoticas . . . . . . . . . . . . . . 46
7
8 CONTEUDO
Capıtulo 1
Introducao
Neste trabalho, estamos interessados em estudar a estabilidade segundoLiapunov de um equilıbrio (q0, p0) ∈ Rn × Rn do sistema mecanico com ngraus de liberdade, cuja dinamica e governada pelo sistema hamiltoniano
XH(q, p)
q = ∂H
∂p (q, p)
p = −∂H∂q (q, p)
com hamiltoniana H(q, p) = T (q, p) + Π(q), (q, p) ∈ Ω × Rn, onde Ω ⊂ Rne uma vizinhanca aberta de q0. Admitiremos que a energia cinetica T (q, p)e uma forma quadratica definida positiva na variavel p, assim, podemos verque os equilıbrios deste sistema, isto e, os pontos tais que XH(q0, p0) = (0, 0),sao os pontos (q0, 0), em que q0 e um ponto crıtico de Π.
O teorema de Dirichlet-Lagrange afirma que, se em q0 a energia potencialΠ tem um mınimo estrito local, entao o equilıbrio (q0, 0) do sistema XH eestavel.
O seguinte exemplo com 1 grau de liberdade com hamiltoniana definidaem R× R
T (q, p) =1
2p2, Π(q) =
e−1/q2 cos(1/q) , q 6= 00 , q = 0
mostra que a recıproca do teorema de Dirichlet-Lagrange e falsa, pois nestecaso a origem (q0, 0) = (0, 0) e estavel mas Π(q) nao tem mınimo em q0 = 0.Apesar deste exemplo, a situacao de sistemas com um grau de liberdade(n = 1) e a unica em que a estabilidade do equilıbrio e caracterizada deforma completa por propriedades da energia potencial.
9
10 CAPITULO 1. INTRODUCAO
De fato, se n = 1, a origem (0, 0) e estavel segundo Liapunov se, e sose, existem sequencias (q+
n ) e (q−n ), convergentes para 0, (q+n ) estritamente
decrescente, (q−n ) estritamente crescente, tais que Π(q+n ) > 0 e Π(q−n ) > 0
(para uma demonstracao veja [LHR]).Em termos topologicos, esta condicao para n = 1 pode ser reescrita
assim, “ para sistemas com um grau de liberdade, a origem (0, 0) e estavelsegundo Liapunov se, e so se, existe um sistema fundamental de vizinhancasda origem, (Un), tal que Π(q) > 0, ∀q ∈ ∂Un, para todo n ∈ N ”.
Durante algum tempo acreditou-se que a condicao acima caracterizassea estabilidade da origem para o caso geral de sistemas com n graus de liber-dade, entretanto, embora esta seja efetivamente uma condicao suficiente paraa estabilidade da origem, ela nao e necessaria, conforme se ve pelo exemploabaixo, devido a Laloy (1977), para o caso de dois graus de liberdade.
Considere em R2 × R2, T (q, p) = 12(p2
1 + p22) e Π(q) a funcao
Π(q1, q2) =
e− 1
q21 cos( 1q1
)− e− 1
q22
[q2
2 + cos( 1q2
)]
, q1q2 6= 0
0 , q1q2 = 0.
Note que, na verdade, Π e de classe C∞. Aqui, o equilıbrio (q0, 0) = (0, 0)do sistema XH e estavel, mas na reta q2 = q1, tem-se para q1 6= 0,Π(q1, q1) = −q2
1e−1/q21 < 0.
Nos dois exemplos anteriores Π e uma funcao C∞, mas nao analıtica,de fato, todas as derivadas de Π em 0 anulam-se. No contexto de funcoesanalıticas o problema da estabilidade de Liapunov de um equilıbrio estadiscutido em [P].
Neste trabalho estudamos um problema que na literatura (ver por exem-plo [LHR]) e conhecido como inversao do teorema de Dirichlet-Lagrange econsiste em estabelecer condicoes suficientes sobre a energia potencial paranosso sistema XH que garantam a instabilidade do equilıbrio (q0, 0) = (0, 0)deste sistema hamiltoniano.
Existem muitos trabalhos relevantes abordando este problema (por ex-emplo [LP], [MN], [GT] e [FGT]), mas o problema ainda nao tem umacompleta solucao para o caso geral de n graus de liberdade.
Um dos primeiros resultados nesta direcao foi mostrado pelo proprioA.M. Liapunov, e mostra que: se a matriz hessiana de Π em q0 mostra queΠ nao tem mınimo nesse ponto, entao (q0, 0) e um equilıbrio instavel dosistema XH . Utilizando a linguagem de jatos pontuais, introduzida por A.Barone em sua tese de livre docencia (veja [B]) e que exporemos abaixo, esteresultado de Liapunov pode ser reparafraseado como: se o jato pontual de
11
ordem 2 de Π em q0 mostra que a energia potencial Π nao tem mınimo emq0, entao o equilıbrio (q0, 0) do sistema hamiltoniano XH e instavel.
Na classe de energias potenciais Π que admitem jatos de orden s ≥ 2 noponto crıtico q0, a generalizacao natural deste resultado e a:Conjectura (Liapunov-Barone)Se para algum natural s ≥ 2, o jato de ordem s de Π em q0 mostra quea energia potencial Π nao tem mınimo em q0, entao o equilıbrio (q0, 0) dosistema hamiltoniano XH e instavel.
No caso em que o jato de ordem s de Π e um polinomio homogeneo, nocontexto de n graus de liberdade, o artigo [MN] mostra, usando a teoria davariedade estavel, que, o equilıbrio (q0, 0) do sistema XH , e instavel.
No artigo [GT] mostrou-se que esta conjectura e verdadeira no contextode 2 graus de liberdade, e em [FGT] mostrou-se parcialmente, que a con-jectura e verdadeira no contexto geral de n graus de liberdade. Nestes doisresultados usaram-se funcoes auxiliares como ferramenta basica.
Tanto no trabalho [MN] como em [GT] e [FGT] demonstrou-se nao ape-nas a instabilidade de (q0, 0), mas a existencia de trajetorias assintoticaspara esse equilıbrio.
Outro resultado classico neste problema e um teorema de Cetaev quegarante a instabilidade de (q0, 0) se existe uma componente conexa do con-junto Π−1(−∞, 0) aderente a q0 em que a derivada radial de Π, 〈∇Π(q), q〉,e estritamente negativa (se Π tem essa propriedade diremos que Π e umpotencial de tipo Cetaev).
Neste trabalho consideramos uma questao que relaciona estas duas for-mas de abordar o problema da inversao do teorema de Dirichlet-Lagrange,mais precisamente, admitiremos que jsΠ mostra que q0 nao e ponto demınimo de Π e que jsΠ e um potencial de tipo Cetaev (isto e, suporemosque a derivada radial de jsΠ, 〈∇jsΠ(q), q〉 e estritamente negativa numacomponente conexa de (jsΠ)−1(−∞, 0)), e procuramos determinar situacoesem que isto garantisse que Π e um potencial de tipo Cetaev (e portanto ainstabilidade de (q0, 0) fica provada).
Conseguimos assim determinar uma classe de energias potenciais em quea instabilidade da origem e garantida por jatos.
O resultado central do trabalho (veja o Teorema 4.1.1) afirma, em lin-guagem um pouco livre (para definicoes precisas veja a secao 2.1) que se aenergia potencial Π : Ω → R, Ω ⊂ Rn aberto com 0 ∈ Ω, e suficientementeregular e tem um ponto crıtico na origem, com Π(0) = 0, satisfaz:
(H1) Para ` ≤ s− 1, j`Π(q) ≥ 0 para q numa vizinhanca da origem.
(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem.
12 CAPITULO 1. INTRODUCAO
(H3) Existe ε > 0 tal que
q ∈ Rn|jsΠ(q) < 0, |q| < ε \ 0 ⊂ q ∈ Rn|〈∇jsΠ(q), q〉 < 0, |q| < ε.
Entao Π e um potencial de tipo Cetaev.Isso mostra que nos sistemas XH em que as energias potenciais satis-
fazem (H1), (H2) e (H3) o ponto (0, 0) e instavel segundo Liapunov, o quejustifica nossa afirmacao anterior sobre caracterizar uma classe de potenciaisem que a instabilidade e garantida por jatos.
Os resultados obtidos neste trabalho garantem alem da instabilidade daorigem do sistema XH , a existencia de trajetorias assintoticas a origem deXH .
As hipoteses (H2) e (H3) feitas sobre Π sao, em um sentido que expomosno texto, bastante naturais neste contexto. Ja a hipotese (H1) parece, aprimeira vista, um pouco restritiva demais, porem mostramos na secao 4.2que, enfraquecendo um pouco essa hipotese, a conclusao do nosso resultadocentral nao se mantem.
Organizamos nosso trabalho da seguinte forma: no capıtulo 2 apresenta-mos notacoes e definicoes tecnicas que serao de utilidade para depois colocarnosso problema assim como nossas hipoteses na classe supramensionada deenergias potenciais Π. No capıtulo 3 mostramos nosso resultado principal eno capıtulo 4 mostramos algumas consequencias e conclusoes finais.
Capıtulo 2
Preliminares, o problema eum lema
O objetivo deste capıtulo e apresentar nosso problema e tambem apre-sentar um lema que sera fundamental no resto do trabalho.
2.1 Funcoes s-decidıveis
No espaco euclidiano (Rn, | · |) com a norma usual, consideramos umavizinhanca aberta da origem Ω e denotamos por B(q0, ε) o conjunto aberto
B(q0, ε) = q ∈ Rn| |q − q0| < ε.
Quando q0 = 0, simplesmente denotaremos esta bola por Bε.Como e usual, para funcoes f, g : Ω → R em que g(q) 6= 0 se q 6= 0, a
notacao f = o(g) em 0 significa que
limq→0
f(q)
g(q)= 0.
Definicao 2.1.1 Sejam s um natural nao nulo e Ω uma vizinhanca abertada origem de Rn. Dizemos que uma funcao f : Ω→ R tem jato pontual deordem s na origem, se existe um polinomio de grau menor ou igual a s, quedenotamos por jsf , tal que
f(q) = jsf(q) + o(|q|s).
Observacao 2.1.2 E simples ver que existe no maximo um polinomio quesatisfaz estas condicoes e, se f for de classe Cs, entao f tem jato pontualde ordem s na origem e jsf e o polinomio de Taylor de ordem s de f em 0.
13
14 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA
Denotemos por Js(Ω,R) o conjunto das funcoes f : Ω → R, com f(0) = 0,que admitem jato pontual de ordem s na origem.
Diremos que f tem um mınimo forte (respectivamente um maximo forte)na origem se existe ε > 0 tal que f(x) > 0 (respectivamente f(x) < 0) paratodo x ∈ (Ω\0)∩Bε; diz-se que f tem um mınimo fraco (respectivamenteum maximo fraco) na origem se existe ε > 0 tal que f(x) ≥ 0 (respectiva-mente f(x) ≤ 0) para todo x ∈ Ω∩Bε e existe uma sequencia (xk), xk 6= 0,com xk → 0 e f(xk) = 0.
Nestes casos diz-se que f tem extremo forte, ou extremo fraco, na origem.Se f nao tem extremo forte ou fraco na origem, diremos que f tem sela
na origem.Diz-se que as funcoes f : Ω → R e g : Ω → R tem mesmo compor-
tamento em relacao a extremo na origem se f e g tiverem ambas mınimoforte (respectivamente maximo forte) na origem, ou ambas tiverem mınimofraco (respectivamente maximo fraco) na origem, ou ambas tiverem sela naorigem.
Definicao 2.1.3 Uma funcao f ∈ Js(Ω,R) e s-decidıvel se, para cadafuncao g ∈ Js(Ω,R) tal que jsf = jsg, tem-se que ambas as funcoes fe g possuem o mesmo comportamento em relacao a extremo na origem.
Denotamos por Ds(Ω,R) a classe de funcoes f ∈ Js(Ω,R) s-decidıveis naorigem. Uma consequencia direta desta definicao e que, se f ∈ Ds(Ω,R),entao na origem 0, f tem extremo forte ou uma sela, conforme se ve naobservacao abaixo.
Observacao 2.1.4 Se f ∈ Jr(Ω,R) e jrf tem na origem um extremobrando, entao f /∈ Dr(Ω,R). Para ver isto, basta supor, sem perda de gen-eralidade que jrf tem mınimo fraco e considerar a funcao g(q) := jrf(q) +|q|2r ∈ Jr(Ω,R); observemos que enquanto jrf tem mınimo fraco, g temmınimo forte na origem; e se considerarmos g(q) := jrf(q)−|q|2r ∈ Jr(Ω,R),g tem uma sela na origem (ou maximo, caso f ≡ 0).
Mais detalhes acerca de s-decidibilidade podem ser vistos em [B] ou [G].
2.2 Formulacao do problema
Sejam dois numeros naturais k e s, com 2 ≤ k < s, e consideremosfuncoes f ∈ Js(Ω,R) cujo primeiro jato nao nulo e o de ordem k. Entao ojato de ordem s de f na origem, pode ser escrito da seguinte forma
jsf(q) = fk(q) + fk+1(q) + ...+ fs−1(q) + fs(q)
2.2. FORMULACAO DO PROBLEMA 15
onde, para cada ` ∈ k, ..., s, f`(q) = j`f(q)− j`−1f(q). Note que f` e umpolinomio `−homogeneo (isto e, f`(λq) = λ`f`(q), para todo λ ∈ R e paratodo q ∈ Rn), chamada parte homogenea de grau ` de jsf . Veja ainda quefk = jkf .
Estamos interessados em energias potenciais cujo jato de ordem s mostraque esta funcao nao tem mınimo na origem, mais precisamente isto e for-malizado na definicao abaixo.
Definicao 2.2.1 Dada uma funcao f ∈ Js(Ω,R), dizemos que o jato jsfmostra que f nao tem mınimo na origem se, para cada funcao g ∈ Js(Ω,R)com jsf = jsg, tem-se que g nao tem mınimo na origem.
Observacao 2.2.2 Note que o fato de jsf mostrar que f nao tem mınimona origem nao implica que f e s-decidıvel, por exemplo, se j2f(x, y) = −x2,claro que esse jato mostra que f nao tem mınimo na origem, mas f naoe 2-decidıvel, pois j2f tem maximo nao estrito na origem. Entretanto se oprimeiro jato nao nulo de f na origem tem mınimo fraco nesse ponto e jsfmostra que f nao tem mınimo na origem, e simples ver que f e s-decidıvele tem sela na origem.
Sera de fundamental importancia estudar o comportamento da derivadaradial de jsΠ na origem, Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉; em geral, as funcoes jsΠ ePs nao tem o mesmo comportamento em 0, como pode ser visto no seguinteexemplo
Exemplo 2.2.3 Consideremos um polinomio
f(q1, q) := (aq1 − b|q|2)2 + c|q|4, com a > 0, b > 0, c > 0, b2 > 8c.
e onde q := (q2, ..., qn). Notemos que
∂f
∂q1= 2a(aq1 − b|q|2)
∂f
∂qj=
[− 4abq1 + (4b2 + 4c)|q|2
]qj , j = 2, ..., n
assim, a derivada radial 〈∇f(q), q〉 = ∂f∂q1q1 +
∑nj=2
∂f∂qjqj, escreve-se como
〈∇f(q), q〉 = 2a2(q1 −
3b
2a|q|2)2−(b2 − 8c
2
)|q|4.
E claro que na origem, f(q) tem mınimo forte e 〈∇f(q), q〉 tem uma sela.
16 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA
A funcao 〈∇f(q), q〉, foi utilizada por Cetaev para mostrar o seguinte resul-tado de instabilidade
Teorema 2.2.4 (N.G. Cetaev [1936])Suponha que Bε ⊂ Ω, para algum ε > 0 e que o sistema hamiltoniano XH
satisfaz as propriedades
1. Θ = q ∈ Bε|Π(q) < 0 6= ∅
2. 0 ∈ ∂Θ
3. 〈∇Π(q), q〉 < 0, ∀q ∈ Θ
entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) e instavel.
Uma demonstracao deste resultado pode ser vista, por exemplo, em [LHR].
Se uma energia potencial Π satisfaz as condicoes deste teorema diremosque Π e um potencial do “tipo Cetaev”.
O que faremos neste trabalho sera determinar se Π e um potencial do“tipo Cetaev”a partir de propriedades de jsΠ. Mais precisamente, descreve-mos este problema a seguir.
2.2.1 O problema
Supondo que jsΠ e uma energia potencial do tipo Cetaev, sera verdadeque Π tambem e uma energia potencial do tipo Cetaev?
Esta questao, sem outras hipoteses, tem uma resposta negativa, mesmoquando jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem, e um exemplomostrando isto sera apresentado em algum detalhe no capıtulo 4.
A fim de trabalhar no contexto das energias potenciais Π ∈ Js(Ω,R) quenao apresentam mınimo na origem, consideramos Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 e osconjuntos semi-algebricos
As := q ∈ Ω|jsΠ(q) < 0, Cs := q ∈ Ω|Ps(q) < 0
e vamos supor que a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz:
(H1) j`Π(q) ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1;
(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem 0 ∈ Ω;
(H3) existe ε > 0 com Bε ⊂ Ω, tal que (As \ 0) ∩Bε ⊂ Cs ∩Bε.
2.3. LEMA FUNDAMENTAL 17
Claro que (H3) mostra que jsΠ e um potencial do tipo Cetaev.Nosso principal resultado e:
Teorema.“ Se Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), entao Π e um potencial de tipoCetaev ”.
Mostraremos tambem que, enfraquecendo um pouco a hipotese (H1) esseresultado deixa de ser verdadeiro.
2.3 Lema fundamental
Nesta secao colocamos em evidencia a importancia da hipotese (H3), oque sera crucial na construcao feita no proximo capıtulo.
Se γ : [0, ρ]→ Rn e uma curva algebrica tal que γ(0) = 0 e γ(t) 6= 0 paratodo t ∈ (0, ρ]; denotamos por rγ a semi-reta tangente a γ na origem. Paradetalhes tecnicos acerca de curvas algebricas e conjuntos semi-algebricosreferimos a [M].
Lema 2.3.1 Suponha que Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz a hipotese (H3) e seja γ :[0, ρ] → Rn uma curva algebrica tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As se t ∈ (0, ρ].Entao jsΠ|rγ tem maximo local estrito na origem.
DemonstracaoSeja v 6= 0 o versor de γ em 0+. Como jsΠ e um polinomio de grau s, existeε > 0 tal que uma das seguintes possibilidades acontece:
(a) jsΠ(λv) > 0, para todo λ ∈ (0, ε)
(b) jsΠ(λv) = 0, para todo λ ∈ (0, ε)
(c) jsΠ(λv) < 0, para todo λ ∈ (0, ε)
e λv, λ ∈ R+, e uma parametrizacao de rγ . Mostremos que as possibilidades(a) e (b) nao ocorrem.
1. Suponha que (a) ocorre. Tome q = ε2v, entao jsΠ(q) > 0 e escolha
δ > 0 tal que1jsΠ(x) ≥ 0, para todo x tal que |x− q| < δ. Seja agoraΣδ(q) o disco de dimensao n − 1 centrado em q de raio δ, ortogonala v. Tomando entao o tronco de cone ∆ de vertice 0 e base Σδ(q),veja que, como v e o versor de γ em 0+ e, para t > 0, γ(t) ∈ As,
1Neste ponto pode-se garantir jsΠ(x) > 0 em B(q, δ), preferimos a desigualdade brandapois assim faz-se um raciocınio que sera usado mais adiante nesta demonstracao.
18 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA
resulta que existe um ponto p no interior de ∆ tal que jsΠ(p) < 0.Considere a semi-reta de origem 0 que passa por p e note que, como pesta no interior de ∆ existe exatamente um ponto w dessa semi-retaque esta em Σδ(q). Claro que p e um ponto do interior do segmento0w e, como jsΠ e um polinomio, jsΠ(p) < 0 e jsΠ(w) ≥ 0, resulta queexiste tu ∈ (0, 1) tal que o ponto u := tuw do segmento 0w satisfaz,
(i) jsΠ(tw) ≥ 0, se tu ≤ t ≤ 1;
(ii) existe ρ > 0 tal que jsΠ(tw) < 0, se tu − ρ < t < tu.
Portanto u ∈ As \ 0 e ddtj
sΠ(tw)|t=tu ≥ 0. Como
d
dtjsΠ(tw)
∣∣∣t=tu
=⟨∇jsΠ(tuw), w
⟩=
1
tuPs(u)
resulta Ps(u) ≥ 0. Isso contraria a hipotese (H3), e mostra que (a)nao pode acontecer.
2. Suponha que (b) ocorre. Tome outra vez q = ε2v e agora escolha Σ1(q)
o disco de dimensao n− 1 centrado em q de raio 1, ortogonal a v. Seexiste uma sequencia de pontos (qk) ⊂ Σ1(q) \ q, qk → q, tais quejsΠ(qk) < 0 entao q ∈ As \ 0, e como jsΠ(λv) = 0, se λ ∈ (0, ε),resulta
Ps(q) =ε
2
⟨∇jsΠ(
ε
2v), v
⟩=ε
2
d
dλjsΠ(λv)
∣∣∣λ= ε
2
= 0
contrariando outra vez a hipotese (H3). Se isso nao acontece, existeδ > 0 tal que jsΠ(x) ≥ 0, para todo x ∈ Σδ(q), aplicamos o raciociniodo item (a) contrariando a hipotese (H3) tambem neste caso. Assim,(c) ocorre (ver Figura 2.1).
2.3. LEMA FUNDAMENTAL 19
.
rγ
A
γCs
s
0
ε
n−1R
Bε
Figura 2.1: A hipotese (H3)
0
γA 4
C4
rγ
y
Figura 2.2: Sem a hipotese (H3)
Notemos que sem a hipotese (H3) o resultado enunciado no lema acimae falso, para ver isto considere, em R2, Π(x, y) = (y−x2)(y− 3x2) e a curvaγ(t) = (t, 2t2), t ≥ 0. E imediato ver que γ e tangente em 0+ ao semi-eixox ≥ 0 e Π(γ(t)) = −t4 enquanto Π(x, 0) = 3x4 (ver Figura 2.2).
Alem disso, e interessante destacar que o Lema 2.3.1 apresenta apenasconclusoes sobre o sinal de jsΠ em semi retas tangentes a curvas em As enao em Cs, o exemplo a seguir esclarece este ponto.
Considere em R3 o polinomio f(x, y, z) = (x−8z2)2+z4−y6, no semi-eixoy ≥ 0 este polinomio satisfaz f(0, y, 0) = −y6, isto e, este semi-eixo menos aorigem esta contido no conjunto f−1(−∞, 0). Notemos que a derivada radialF (x, y, z) = 〈∇f(x, y, z), (x, y, z)〉, e um polinomio que pode ser escrito como
F (x, y, z) = 2[x− (12 +√
14)z2][x− (12−√
14)z2]− 6y6;
20 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA
rγ
γ
C 6
B
A 6
y
x
Bε
ε
0
Figura 2.3: γ ⊂ C6 \A6 nao satisfaz a conclusao do Lema 2.3.1
notemos tambem que no conjunto
B := (x, y, z) ∈ R3|(12−√
14)z2 ≤ x ≤ (12 +√
14)z2, −az2 ≤ y ≤ az2
onde [(4 +√
14)2 + 1]16 < a < 2, o polinomio
G(x, y, z) := 2[x− (12 +√
14)z2][x− (12−√
14)z2]
satisfaz G((12 ±√
14)z2,±az2, z) = 0 e como F (x, y, z) < G(x, y, z) re-sulta que vale a inclusao B ⊂ C6, onde C6 e a componente conexa deF−1(−∞, 0) que contem o semi-eixo y ≥ 0. Por outro lado, nas curvas((12±
√14)z2,±az2, z) da fronteira de B ve-se que
f(
(12±√
14)z2,±az2, z)
=(
(4±√
14)2 + 1− a6z8)z4,
daqui, se ε = [(4−√
14)2+1]18
a34
temos que f((12 ±√
14)z2,±az2, z) > 0 para
todo 0 < z < ε, portanto
(A6 \ 0) ∩Bε ⊂ B ∩Bε
onde A6 e a componente conexa de f−1(−∞, 0) que contem o semi-eixoy ≥ 0. Mostramos, de fato, a inclusao
(A6 \ 0) ∩Bε ⊂ C6 ∩Bε.
Mas note que, a curva γ(t) = ((12 +√
14)t2, at2, t), t ≥ 0 e tangenteem 0+ ao semi-eixo z ≥ 0, γ(0) = 0, e vale F (γ(t)) = −6a6t12, e se λv e aparametrizacao do semi-eixo z ≥ 0, onde v = (0, 0, 1) e λ ≥ 0 vale tambemf(λv) = 65λ4, e F (λv) = 4f(λv), isto e, a conclusao do Lema 2.3.1 nao evalida para as curvas em [C6 \ (A6 \ 0)] ∩Bε (ver Figura 2.3).
Capıtulo 3
Cones tangentes es-resistencia
Neste capıtulo sera construido um cone positivo Ks ⊂ Rn de verticena origem, no qual tera sentido apresentar nosso resultado principal des−resistencia. Entendemos como cone de vertice na origem a um conjuntoM ⊂ Rn tal que para cada q ∈ M e todo λ ∈ R tem-se λq ∈ M ; M serachamado cone positivo se esta propriedade vale para todo λ ≥ 0.
Lembremos que, a menos de mencao explıcita em contrario, Ω sera umavizinhanca aberta da origem de Rn e Js(Ω,R) representa o conjunto dasfuncoes de Ω em R, de classe C2 e que tem jato pontual de ordem s em 0.
Lembremos tambem que, a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz ashipoteses:
(H1) j`Π(q) ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1;
(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem 0 ∈ Ω;
(H3) existe ε > 0 com Bε ⊂ Ω, tal que (As \ 0) ∩Bε ⊂ Cs ∩Bε.
3.1 O cone Zs−1
Como no capıtulo anterior, se Π ∈ Js(Ω,R) entao denotemos Ps(q) =〈∇jsΠ(q), q〉 e por As e Cs os conjuntos semi-algebricos
As := q ∈ Ω|jsΠ(q) < 0, Cs := q ∈ Ω|Ps(q) < 0.
Lembremos que se γ : [0, ρ] → Ω e uma curva algebrica com γ(0) = 0 eγ(t) 6= 0 se 0 < t ≤ ρ, denota-se por rγ a semireta tangente a γ em 0+.
Uma consequencia direta do Lema 2.3.1 e o seguinte
21
22 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
Corolario 3.1.1 Se Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz a hipotese (H3) e, alem disso,jsΠ e o primeiro jato que mostra que Π nao tem mınimo na origem, entao,para toda curva algebrica γ : [0, ρ] → Rn tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \ 0se 0 < t ≤ ρ, tem-se que Π`|rγ ≡ 0 para todo ` ≤ s − 1 e Πs(q) < 0 paracada q ∈ rγ \ 0.
DemonstracaoSeja uma curva algebrica γ : [0, ρ] → Rn tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \ 0se 0 < t ≤ ρ; parametrizemos a semi-reta rγ = τq0 com τ ≥ 0 para algumq0 ∈ rγ \ 0. Do Lema 2.3.1 segue que
jsΠ(q) < 0, ∀q ∈ (rγ \ 0) ∩Bε0
para algum 0 < ε0 < 1. Usando jsΠ =∑
`≤s−1 Π` + Πs e a homogeneidadedas funcoes Π`, podemos escrever
jsΠ(τq0) =∑`≤s−1
τ `Π`(q0) + τ sΠs(q0).
Suponha, por absurdo, que para algum ` ≤ s − 1, Π`|rγ 6= 0, tomemos`0 = min` ≤ s − 1 : Π`|rγ 6= 0, entao Π`0 |rγ e uma funcao homogenea degrau `0, portanto ou Π`0 |rγ tem mınimo estrito em 0 ou tem maximo estritoem 0. No primeiro caso Π`0(q0) > 0 e jsΠ(τq0) = τ `0Π`0(q0) + o(|q0|s),donde jsΠ|rγ tem mınimo estrito local em 0, contrariando o Lema 2.3.1. Nosegundo caso j`0Π mostra que Π nao tem mınimo na origem, contrariandoa hipotese, pois `0 < s.
Observacao 3.1.2 Considere
Zs−1 :=s−1⋂`=k
q ∈ Ω
∣∣Π`(q) = 0\ 0.
Observemos que, Zs−1 ⊂ (js−1Π)−1(0) e, da homogeneidade das funcoesΠ`, segue que Zs−1 ∪ 0 e um cone de vertice em 0.
Observacao 3.1.3 O Corolario 3.1.1, mostra que se Π ∈ Js(Ω,R) e jsΠ eo primeiro jato que mostra que Π nao tem mınimo na origem, entao existepelo menos uma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 paratodo q ∈ r \ 0.
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 23
Proposicao 3.1.4 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), sejauma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 e denotemos por ∆r a componenteconexa de Zs−1 que contem r. Se Πs(q0) < 0 para algum q0 ∈ r \ 0, entaoΠs(q) < 0 para todo q ∈ ∆r \ 0.
DemonstracaoDa conexidade de ∆r, basta mostrar que Πs(q) 6= 0 para todo q ∈ ∆r \ 0.Suponha por absurdo que, para algum q1 ∈ ∆r \ 0, vale Πs(q1) = 0.Notemos primeiro que na reta ` = tq0|t ∈ R tem-se Πs(tq0) = tsΠs(q0),assim o unico ponto de ` onde Πs anula-se e a origem, portanto q1 /∈ `.Tomemos entao q∗ o ponto do segmento q0q1 mais afastado de q1 tal queΠs(q
∗) = 0 e Πs(q) < 0 se q esta no segmento q0q∗ \ q∗. Entao, pelasobservacoes precedentes, q∗ 6= 0, e temos que q∗ ∈ As \ 0 e jsΠ(q∗) = 0,contrariando (H3).
3.2 Construindo o cone KsSe r ⊂ Zs−1 e uma semi-reta de origem em 0 e q ∈ r \ 0 um ponto
fixado, podemos considerar aqui o hiperplano [r]⊥ ortogonal a r que passapor q. Vamos construir um cone fechado Kr ⊂ Rn contendo r e de verticena origem; simplesmente consideramos uma bola fechada B ⊂ [r]⊥ de centroem q e raio δ > 0, com B ∩ Zs−1 ⊂ ∆r, e definindo Kr como
Kr :=⋃x∈B
Lx, Lx := λx|0 ≤ λ.
Este cone fechado sera util no futuro para uma construcao mais sofisticada.
Proposicao 3.2.1 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), sejauma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todo q ∈r \ 0 e considere a componente conexa ∆r de Zs−1 que contem r. Entaoexiste um cone fechado Kr ⊂ Rn de vertice na origem tal que
1. r \ 0 ⊂ (Kr),
2. Πs(q) < 0 para todo q ∈ Kr \ 0,
3. Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r.
24 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
K r
∆r
r
0
B
R
n−1
Figura 3.1: O cone Kr e o cone ∆r ⊂ Zs−1.
DemonstracaoFixemos um ponto q0 ∈ r\0 e escolhamos um numero 0 < δ0 < 1 pequenoo suficiente tal que B∩Zs−1 ⊂ ∆r, onde B ⊂ [r]⊥ e a bola fechada de centroem q0 e raio δ0 > 0 de [r]⊥; como feito acima, o conjunto Kr dado por
Kr :=⋃x∈B
Lx, Lx := λx|0 ≤ λ
e de fato um cone fechado de vertice em 0 e como vale Lq0 = r, segueentao o item 1. Como Πs(q0) < 0, da continuidade da funcao Πs segueque eventualmente diminuindo δ0 > 0, se necessario, tem-se Πs(x) < 0 paratodo x ∈ B, e sendo Πs uma funcao homogenea tem-se que Πs(q) < 0 paratodo q ∈ Lx \ 0 e todo x ∈ B, consequentemente Πs(q) < 0 para todoq ∈ Kr \0, isto mostra o item 2. Para obter o item 3, note que, como Kr eZs−1 sao cones de vertice na origem, entao, se y ∈ Kr∩Zs−1, ty ∈ Kr∩Zs−1,
para todo t > 0, assim tomando t? = |q0||y| , tem-se t?y ∈ B ∩ Zs−1, portanto
Kr ∩ Zs−1 =⋃x∈B
(Lx ∩ Zs−1) =⋃
x∈B∩Zs−1
Lx.
Como B ∩ Zs−1 ⊂ ∆r, resulta da conexidade de ∆r que y ∈ ∆r, concluindoa demonstracao (ver Figura 3.1).
Observacao 3.2.2 A Proposicao 3.2.1 diz que, para cada semi-reta r ⊂Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todo q ∈ r \ 0, o cone Kr
construido so intersepta Zs−1 na componente conexa ∆r que contem r.
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 25
Corolario 3.2.3 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e con-sidere uma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todoq ∈ r \ 0, e seja ∆r a componente conexa de Zs−1 que contem r. Entaoexiste um cone Ks ⊂ Rn de vertice na origem tal que
(a) ∆r \ 0 ⊂ (Ks).
(b) Se q ∈ ∂Ks\0 existe ` ∈ k, · · · , s−1 tal que Π`(q) > 0 e Πj(q) = 0para j < `.
(c) Πs(q) < 0 para todo q ∈ Ks \ 0.
DemonstracaoDa Proposicao 3.1.4, temos que para cada semi-reta r ⊂ ∆r de origem em 0tem-se Πs(q) < 0 para todo q ∈ r\0 e da Proposicao 3.2.1, existe um conefechado Kr ⊂ Rn de vertice na origem com as propriedades la descritas, istoe:
1. r \ 0 ⊂ (Kr),
2. Πs(q) < 0 para todo q ∈ Kr \ 0,
3. Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r.
Definamos o conjunto Ks como sendo
Ks :=⋃r⊂∆r
Kr.
Seja q ∈ Ks \ 0 arbitrario, entao q ∈ Kr \ 0 para alguma semi-retar ⊂ ∆r, tal que r \ 0 ⊂ Kr ; daqui segue que, Πs(q) < 0 e alem disto, paracada λ ≥ 0 vale λq ∈ Kr; isto mostra o item (c) e que Ks e de fato um conede vertice em 0.
Notemos que para todo r ⊂ ∆r, o conjunto⋃r⊂∆r
(Kr) e aberto e⋃
r⊂∆r(Kr)
⊂ Ks, portanto⋃r⊂∆r
(Kr) ⊂ (Ks), e daqui obtemos as
seguintes inclusoes
(∆r \ 0) =⋃r⊂∆r
(r \ 0) ⊂⋃r⊂∆r
(Kr) ⊂ (Ks),
o que mostra o item (a).Agora note que Ks ∩ Zs−1 =
⋃r⊂∆r
Kr ∩ Zs−1 e, pela Proposicao 3.2.1Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r \ 0, assim
Ks ∩ Zs−1 ⊂ ∆r \ 0 ⊂ (Ks).
26 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
r ∆r0
R
n−1
Fi
K s
Figura 3.2: O cone Ks e algum cone Fi ⊂ ∂Ks \ 0 (k ≤ i ≤ s− 1).
Como Zs−1 = Zs−1 ∪ 0, e claro que se q ∈ Zs−1 e q 6= 0, entao q ∈ Zs−1,o que mostra que ∂Ks ∩ Zs−1 ∩Bδ = ∅, para todo δ > 0.
Portanto, se q ∈ ∂Ks e q 6= 0, entao q ∈ (Zs−1)c, e como
(Zs−1)c =
s−1⋃`=k
q ∈ Ω
∣∣Π`(q) 6= 0
vem que, para todo q ∈ ∂Ks\0, existe `1 ∈ k, ..., s−1 tal que Π`1(q) 6= 0.Podemos considerar o menor destes numeros `1(q) := min`1 ∈ k, · · · , s−
1|Π`1(q) 6= 0, e definir subconjuntos F` ⊂ ∂Ks \ 0 da forma
F` :=q ∈ ∂Ks \ 0
∣∣∣`1(q) = `, ` ∈ k, ..., s− 1.
Note que (ver Figura 3.2)
s−1⋃`=k
F` = (∂Ks \ 0).
Proposicao 3.2.4 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1)−(H3). Entaoexistem ε > 0 e m > 0 tal que o cone Ks ⊂ Rn dado no Corolario 3.2.3satisfaz:
(i) js−1Π(q) ≥ m2 |q|
s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε,
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 27
(ii) Ps−1(q) ≥ (s− 1)m2 |q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.
DemonstracaoTem-se que ∂Ks e um cone de vertice na origem. Seja S a esfera de centrona origem e raio 1; o conjunto ∂Ks ∩ S e compacto.
Se x ∈ ∂Ks ∩ S entao x ∈ F` para algum ` ∈ k, ..., s − 1 e portantoΠ`(x) > 0. Existe εx > 0 tal que Π`(q) > 0 para todo q ∈ (∂Ks∩S)∩Bεx(x);podemos definir Bx = (∂Ks ∩ S) ∩Bεx(x) e considerar
mx = minq∈BxΠ`(q) > 0
Se Cone(Bx) e o cone de vertice na origem gerado por Bx, e q ∈ Cone(Bx),q 6= 0, entao (ver Figura 3.3)
j`Π(q) = j`−1Π(q) + Π`(q) ≥ Π`(q) = |q|`Π`
( q|q|
)≥ mx|q|`.
Para s > `+ 1, escrevendo js−1Π = j`Π + js−1` Π, vem js−1
` Π = Π`+1 + ...+Πs−1, e portanto j`(js−1
` Π) = 0. Se q ∈ Cone(Bx), q 6= 0, entao
js−1Π(q) = j`Π(q) + js−1` Π(q) ≥ mx|q|` + js−1
` Π(q),
e como j`(js−1` Π) = 0 existe ρx > 0 tal que se 0 < |q| < ρx entao
|js−1` Π(q)| ≤ mx
2|q|`.
Assim, se 0 < |q| < ρx e q ∈ Cone(Bx), tem-se
js−1Π(q) ≥ mx
2|q|`.
A famılia C = Bεx(x)|x ∈ ∂Ks∩S e uma cobertura por abertos de ∂Ks∩S.Seja Bεx1 (x1), Bεx2 (x2), ..., Bεxr (xr) uma subcobertura finita de C tal que
∂Ks ∩ S ⊂ Bεx1 (x1) ∪Bεx2 (x2) ∪ ... ∪Bεxr (xr).
Como Bxi = (∂Ks ∩ S) ∩Bεxi (xi), i ∈ 1, ..., r, segue que
∂Ks ∩ S ⊂ Bx1 ∪Bx2 ∪ ... ∪Bxr .
Notemos que xi ∈ ∂Ks ∩ S, i ∈ 1, ..., r, entao pelo procedimento anterior,para cada i ∈ 1, ..., r existem mxi > 0, ρxi > 0 e `i ∈ k, ..., s − 1 taisque, se 0 < |q| < ρxi e q ∈ Cone(Bxi) tem-se
js−1Π(q) ≥ mxi
2|q|`i .
28 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
Consideremos agora os numeros
m := minmx1 , ...,mxr > 0, ρ := minρx1 , ..., ρxr > 0,
e seja q ∈ ∂Ks, q 6= 0; e claro que xq = q|q| ∈ S e como ∂Ks e um cone de
vertice na origem xq = q|q| ∈ ∂Ks, logo xq ∈ ∂Ks∩S, portanto xq ∈ Bεxiq (xiq)
para algum iq ∈ 1, ..., r, consequentemente tem-se que xq ∈ Bxiq ; e alemdisso observemos que q = |q|xq ∈ Cone(Bxiq ). Assim, se 0 < |q| < ρobtemos
js−1Π(q) ≥mxiq
2|q|`iq ≥ m
2|q|`iq .
Portanto, se 0 < ε′ < minρ, 1 tem-se
js−1Π(q) ≥ m
2|q|`iq ≥ m
2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ ,
o qual mostra o item (i) em Bε′ .
Para ver o item (ii) note que, como js−1Π(q) =∑s−2
`=k Π`(q) + Πs−1(q),podemos escrever a seguinte estimativa
Πs−1(q) ≥ m
2|q|s−1 −
s−2∑`=k
Π`(q), ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ .
Pela hipotese (H1) vale j`Π(q) ≥ 0 se k ≤ ` ≤ s − 1 e q ∈ Bε′ ; e comoj`Π(q) = j`−1Π(q) + Π`(q) =
∑`−1i=k Πi(q) + Π`(q), podemos escrever
Π`(q) ≥ −`−1∑i=k
Πi(q), ∀q ∈ Bε′ , k + 1 ≤ ` ≤ s− 1
Dado q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε′ temos que tq ∈ ∂Ks \ 0 para todo t > 0.Como vale `
`+1 <`+1`+2 para cada ` ∈ N, temos que k
k+1 = mink≤`≤s−1 ``+1.
Consideremos 0 < t < kk+1 , as estimativas dadas acima e a identidade
Ps−1(q) = 〈∇js−1Π(q), q〉 =s−1∑`=k
`Π`(q)
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 29
para mostrar as seguintes desigualdades
Ps−1(tq) =s−2∑`=k
`t`Π`(q) + (s− 1)ts−1Πs−1(q)
≥s−2∑`=k
`t`Π`(q) + (s− 1)ts−1(m
2|q|s−1 −
s−2∑`=k
Π`(q))
=s−2∑`=k
(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q) + (s− 1)ts−1m
2|q|s−1
=
s−3∑`=k
(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q) + ((s− 2)ts−2 − (s− 1)ts−1)Πs−2(q)
+(s− 1)ts−1m
2|q|s−1
≥s−3∑`=k
(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q)− ((s− 2)ts−2 − (s− 1)ts−1)
s−3∑`=k
Π`(q)
+(s− 1)ts−1m
2|q|s−1
=s−3∑`=k
(`t` − (s− 2)ts−2)Π`(q) + (s− 1)ts−1m
2|q|s−1
...
= (ktk − (k + 1)tk+1)Πk(q) + (s− 1)ts−1m
2|q|s−1
= (k − (k + 1)t)Πk(tq) + (s− 1)m
2|tq|s−1.
Daqui, como Πk(tq) = jkΠ(tq) ≥ 0 e 0 < t < kk+1 resulta
Ps−1(tq) ≥ (s− 1)m
2|tq|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ , 0 < t <
k
k + 1
Portanto, se ε = kk+1ε
′ obtemos o afirmado
Ps−1(q) ≥ (s− 1)m
2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.
30 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
Ks
Cone(B x )xB
εx( x )
1
0
S
Figura 3.3: Um ponto x ∈ ∂Ks ∩ S e o cone Cone(Bx).
Corolario 3.2.5 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3). Entaoexiste ε > 0 tal que o cone Ks ⊂ Rn dado no Corolario 3.2.3, satisfaz:
(i)′ jsΠ(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε,
(ii)′ Ps(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.
DemonstracaoDo item (c) dado no Corolario 3.2.3, tem-se que Πs(q) < 0 para cada q ∈Ks \ 0; logo vale Πs(
q|q|) = |q|−sΠs(q) < 0 para cada q ∈ Ks \ 0, e como
a esfera ∂B1 de raio 1 e compacta, existem constantes M1 > 0, M2 > 0 taisque
−M1 ≤ Πs
( q|q|
)≤ −M2, ∀q ∈ (Ks \ 0).
Da Proposicao 3.2.4, item (i), existem uma constante uniforme m > 0 e onumero 0 < ε′ < 1 tais que
js−1Π(q) ≥ m
2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ .
Assim, para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ resulta
jsΠ(q) = js−1Π(q) + Πs(q) ≥m
2|q|s−1 −M1|q|s = |q|s−1
(m2−M1|q|
)e considerando ε1 = minε′, m
2M1 obtemos o afirmado no item (i)′, em Bε1 .
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 31
Analogamente, da Proposicao 3.2.4, item (ii), existe 0 < ε′′ < 1 tal que
Ps−1(q) ≥ (s− 1)m
2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′′ ,
logo, para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′′ obtemos
Ps(q) = Ps−1(q) + sΠs(q) ≥ (s− 1)m
2|q|s−1 − sM1|q|s
= |q|s−1[(s− 1)
m
2− sM1|q|
],
e considerando ε2 = minε′′, (s−1)m2sM1
obtemos o afirmado no item (ii)′, emBε2 . Agora tome ε = minε1, ε2.
Observacao 3.2.6 Do Corolario 3.2.3, temos que, se o conjunto
Ms−1 :=r ⊂ Zs−1
∣∣ Πs|(r\0) < 06= ∅
for conexo, entao Ms−1 = ∆r para alguma semi-reta r ⊂ Ms−1 de origemem 0. O conjunto Ms−1 e de fato um cone positivo de vertice na origem esera chamado de cone tangente ao conjunto As, pois, para qualquer curvaalgebrica γ : [0, ρ] −→ Ω com γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \0 se 0 < t ≤ ρ, tem-seque rγ ⊂Ms−1.
Admitindo que o cone tangente Ms−1 ao conjunto As e constituido poruma unica componente conexa, temos a seguinte consequencia
Corolario 3.2.7 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e sejar uma semi-reta de origem 0 contida em Ms−1. Se As e Cs sao, respectiva-mente as componentes conexas de As e Cs que contem r \ 0 e Ks e o conedado pelo Corolario 3.2.3, entao existe 0 < ε0 < 1 tal que
(Cs \ 0) ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .
Demonstracao
Do Lema 2.3.1, o cone tangente a As \ 0 e
Ms−1 = r ⊂ Zs−1| Πs|(r\0) < 0
e satisfaz a inclusao Ms−1 ⊂ As pois jsΠ|(r\0) = Πs|(r\0) para cada semi-reta r ∈ Ms−1; do item (a) dado no Corolario 3.2.3 temos Ms−1 ⊂ (Ks), e
32 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
do item (b) segue que a fronteira ∂Ks \ 0 nao e tangente a As \ 0 pois(∂Ks \ 0) ∩ Zs−1 ∩Bε = ∅ para todo ε > 0.
Alem disto, do item (i)′ dado no Corolario 3.2.5, existe 0 < ε1 < 1 talque jsΠ(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε1 , assim, diminuindo ε1 senecessario, obtemos
(As \ 0) ∩Bε1 ⊂ (Ks) ∩Bε1
e, como do item (c) dado no Corolario 3.2.3, vale Πs(q) < 0 para cadaq ∈ Ks \ 0, tem-se
Πs(q) < 0, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .
Pela hipotese (H3) vale a inclusao (As \ 0) ∩ Bε1 ⊂ Cs ∩ Bε1 , conse-quentemente vale Ps(q) < 0, para todo q ∈ (∂As \ 0) ∩ Bε1 , e comoPs(q) = 〈∇jsΠ(q), q〉 satisfaz a igualdade (dada na proxima secao, no Lema3.3.1)
Ps(q) = (s− 1)jsΠ(q)−s−2∑`=k
j`Π(q) + Πs(q)
utilizando a hipotese (H1) obtemos daqui que
Ps(q) ≤ Πs(q), ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .
Lembremos que como Ks e um cone positivo de vertice na origem, fechado,existem constantes M1 > 0 e M2 > 0 tais que
−M1 ≤ Πs
( q|q|
)≤ −M2, ∀q ∈ (Ks \ 0).
Seja agora uma funcao o(|q|s), esta funcao satisfaz limq→0o(|q|s)|q|s = 0, isto e,
para M2 > 0 existe 0 < ε1 < ε1 tal que∣∣∣o(|q|s)|q|s∣∣∣ < M2
2, ∀q ∈ Bε1 .
Daqui, se q ∈ (Ks \ 0) ∩Bε1 tem-se
Πs(q) + o(|q|s) = |q|s[Πs
( q|q|
)+o(|q|s)|q|s
]≤ −M2
2|q|s,
3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 33
CsK s
r
M
ε
Bε
0
o
o
s−1
Figura 3.4: O conjunto Cs e o cone Ks.
consequentemente, como para cada q ∈ (∂As \ 0) ∩ Bε1 existe uma semi-reta contida em (Ks) ∩Bε1 passando pela origem e por q, vale que
Πs(q) + o(|q|s) ≤ −M2
2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .
Assim, usando a desigualdade
Ps(q) ≤ Πs(q), ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1
resulta que
Ps(q) + o(|q|s) ≤ −M2
2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .
Alem disto, do item (ii)′ dado no Corolario 3.2.5, existe 0 < ε2 < 1 talque Ps(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε2 , assim, se considerarmosε0 = minε2, ε1, obtemos (ver Figura 3.4)
(Cs \ 0) ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .
Observacao 3.2.8 A desigualdade
Ps(q) + o(|q|s) ≤ −M2
2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1
vista no Corolario 3.2.7 mostra uma propriedade do polinomio Ps no con-junto (∂As\0)∩Bε1 que na proxima secao sera definida como s-resistencia.
34 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
Esta propriedade refere-se a resistencia do sinal de um polinomio num con-junto. Neste caso tem-se claramente que o sinal de Ps(q)+o(|q|s) e o mesmoque o de Ps(q) em (∂As \ 0)∩Bε1, isto e, o sinal de Ps(q) “resiste”a per-turbacoes de ordem o(|q|s) no conjunto (∂As \0)∩Bε1 em uma vizinhancada origem.
Observacao 3.2.9 Se Ms−1 e constituido por mais de uma componenteconexa, aplicamos a cada componente o corolario 3.2.7.
3.3 s-resistencia de Ps
Comecamos esta secao dando a seguinte estimativa para Ps
Lema 3.3.1 Se Π ∈ Js(Ω,R), entao jsΠ(q) =∑s
`=k Π`(q) e sua derivadaradial Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 satisfazem a seguinte igualdade:
Ps(q) = (s− 1)jsΠ(q)−s−2∑`=k
j`Π(q) + Πs(q).
DemonstracaoComo Π` e uma funcao homogenea para todo ` ∈ k, ..., s, obtemos doteorema de Euler que Ps(q) =
∑s`=k `Π`(q), e a igualdade segue diretamente.
Admitindo que os conjuntos As e Cs, assim como o cone Ms−1 tangenteao conjunto As, sao todos constituidos por uma unica componente conexa,o seguinte resultado de crucial importancia e obtido:
Proposicao 3.3.2 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1)−(H3). Entaoexistem 0 < ε < 1 e um conjunto semi-algebrico Ws ⊂ Bε tais que 0 ∈ ∂Ws,e:
1. (As \ 0) ∩Bε ⊂W s ⊂W s \ 0 ⊂ (Cs) ∩Bε.
2. Πs(q) < 0 para todo q ∈W s\0 e, ademais, existem constantes α > 0e β > 0 tais que:
(a) Se q ∈ ∂Ws \ 0, entao jsΠ(q) ≥ −αΠs(q);
(b) Se q ∈W s \ 0, entao Ps(q) ≤ βΠs(q).
3.3. S-RESISTENCIA DE PS 35
DemonstracaoConsideremos a seguinte famılia a um parametro de conjuntos semi-algebricosWλs := q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0, onde Q(q, λ) ∈ R[q, λ] sao polinomios definidos
como
Q(q, λ) := (s− 1)jsΠ(q) + λ[−
s−2∑`=k
j`Π(q) + Πs(q)].
Observemos que estes polinomios satisfazem o seguinte:
(i) Q(q, 0) = (s− 1)jsΠ(q) para todo q ∈ Ω, o qual mostra que W0s = As;
(ii) Q(q, 1) = Ps(q) para todo q ∈ Ω, mostrando que W1s = Cs;
(iii) ∂Q∂λ (q, λ) = −
∑s−2`=k j
`Π(q) + Πs(q) para todo q ∈ Ω, daqui que, uti-lizando a hipotese (H1), obtemos
∂Q
∂λ(q, λ) < Πs(q) < 0, ∀q ∈ Ks \ 0, ∀λ ∈ [0, 1],
onde Ks e o cone construido no Corolario 3.2.7 (e que tem a estruturadada no Corolario 3.2.3).
Consideremos 0 < ε0 < 1 dado no Corolario 3.2.7; do item (iii), sendo asfuncoes Q(q, ·) decrescentes, para todo q ∈ (Ks \ 0) ∩ Bε0 temos que, afamılia Wλ
s e crescente em λ, isto e; se 0 < λ1 < λ2 < 1 valem as seguintesinclusoes
(As \ 0) ∩Bε0 ⊂ Wλ1s ∩Bε0 ⊂ Wλ2
s ∩Bε0 ⊂ Cs ∩Bε0
Para algum numero 0 < ε < ε0 < 1, consideremos o conjunto semi-algebrico
Ws := W1/2s ∩ Bε, e claro que 0 ∈ ∂Ws e que Ws ⊂ Bε satisfaz o item 1. E
claro tambem que, da inclusao
W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε ⊂ (Ks) ∩Bε
e do Corolario 3.2.3, tem-se que Πs(q) < 0 para todo q ∈W s\0. Daqui, seq ∈ ∂Ws\0, entao Q(q, 1/2) = 0, de onde obtemos a seguinte desigualdade
(s− 1)jsΠ(q) = −(1/2)[−
s−2∑`=k
j`Π(q) + Πs(q)]≥ −(1/2)Πs(q)
o que mostra o item 2-(a) com α = 12(s−1) .
36 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
C s
WsA s
0
ε
Bε
1/2
Figura 3.5: O conjunto Ws e a s-resitencia.
Por outro lado, se q ∈W s\0, entaoQ(q, 1/2) ≤ 0, de onde conseguimosa segunda desigualdade
Ps(q) = Q(q, 1) = Q(q, 1/2) +Q(q, 1)−Q(q, 1/2)
≤ (1/2)[−
s−2∑`=k
j`Π(q) + Πs(q)]
≤ (1/2)Πs(q)
mostrando o item 2-(b) com β = 12 (ver Figura 3.5).
Consideremos a seguinte
Definicao 3.3.3 Seja U ⊂ Ω um conjunto aberto com 0 ∈ ∂U e f umpolinomio de grau menor ou igual a s tal que f(0) = 0 e f(q) < 0 paracada q ∈ U . Dizemos que f e s-resistente em U \ 0, se para toda funcaoh ∈ Js(Ω,R) com jsh ≡ 0, existe ε = ε(h) > 0 tal que f(q) + h(q) < 0 paracada q ∈ (U \ 0) ∩Bε.
Podemos agora, apresentar nosso resultado principal em termos de s-resistencia.
Teorema 3.3.4 Se Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e se W s e o con-junto dado na Proposicao 3.3.2, entao
(i) Existe 0 < ε1 < 1 tal que Π(q) > 0, para todo q ∈ (∂Ws \ 0) ∩Bε1.
3.3. S-RESISTENCIA DE PS 37
(ii) Existe 0 < ε2 < 1 tal que, Ps e s-resistente em (W s \ 0) ∩Bε2.
DemonstracaoConsideremos 0 < ε0 < 1 obtido na Proposicao 3.3.2, tal que
Πs(q) < 0, ∀q ∈W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .
Como em qualquer curva algebrica γ : [0, 1)→W s com γ(0) = 0, γ(t) 6= 0 set > 0, tem-se que 0 e ponto de maximo de Πs|γ , existe 0 < ε1 = ε1(ε0) < ε0
tal que
Πs(q) ≤ −ε0|q|s, ∀q ∈W s \ 0 ∩Bε1 .
Na vizinhanca Bε0 , a funcao Π pode ser escrita, por hipotese, da seguinteforma
Π(q) = jsΠ(q) + o(|q|s), q ∈ Bε0 ,
onde o(|q|s) e uma funcao contınua satisfazendo limq→0o(|q|s)|q|s = 0, portanto
|o(|q|s)| < αε0
2|q|s, ∀q ∈ Bε1 \ 0.
Assim, do item 2-(a) dado na Proposicao 3.3.2, podemos obter, para todoq ∈ (∂Ws \ 0) ∩Bε1 a seguinte desigualdade
Π(q) = jsΠ(q) + o(|q|s) ≥ −αΠs(q) + o(|q|s) > αε0
2|q|s,
o que mostra o item (i), para ε1 ≤ αε02 .
Considere agora 0 < ε1 < 1, obtido na Proposicao 3.3.2. Sabemos que
Πs(q) < 0, ∀q ∈W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε1 ⊂ (Ks) ∩Bε1
e, como na prova do item anterior, existe 0 < ε2 = ε2(ε1) < ε1 tal que
Πs(q) ≤ −ε1|q|s, ∀q ∈W s \ 0 ∩Bε2 .
Seja agora h ∈ Js(Ω,R) uma funcao definida em Bε1 ⊂ Ω, tal que jsh ≡ 0;por definicao h(q) = o(|q|s), q ∈ Bε1 , portanto,
|h(q)| < βε1
2|q|s, ∀q ∈ Bε2 \ 0.
38 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA
Assim, do item 2-(b) dado na Proposicao 3.3.2, podemos obter, para todoq ∈ (W s \ 0) ∩Bε2 a seguinte desigualdade
Ps(q) + h(q) ≤ βΠs(q) + h(q) ≤ −βε1
2|q|s,
mostrando o item (ii) para ε2 ≤ βε12 , isto e, mostra-se a s-resistencia de
Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 no conjunto (W s \ 0) ∩Bε2 .
Observacao 3.3.5 Considere a componente conexa Θ do conjunto Bε2 ∩Π−1((−∞, 0)) que contem o cone tangente (Ms−1 \ 0) ∩Bε2. Obtemos daProposicao 3.3.2 que
Θ ∩ (∂Ws \ 0) ∩Bε2 = ∅
e, como (Ms−1\0)∩Bε2 ⊂ Θ∩Ws∩Bε2 6= ∅, da conexidade de Θ, obtemosa inclusao
Θ ⊂Ws ∩Bε2 ⊂ (W s \ 0) ∩Bε2 .
Portanto, Ps e s-resistente em Θ.
Corolario 3.3.6 Suponha que Π = jsΠ + R satisfaz as hipoteses (H1) −(H3), e que exista a funcao ∇R(q) = o(|q|s−1). Se W s e um conjunto dadona Proposicao 3.3.2, entao existe 0 < ε3 < 1, tal que 〈∇Π(q), q〉 < 0 paratodo q ∈ (W s \ 0) ∩Bε3.
DemonstracaoConsiderando a funcao h(q) := 〈∇R(q), q〉, temos
〈∇Π(q), q〉 = Ps(q) + h(q)
e o resultado segue da s-resistencia da funcao Ps dada no Teorema 3.3.4.
Capıtulo 4
Aplicacoes da s-resistenciade Ps
Neste capıtulo usaremos nosso resultado sobre s-resistencia do capıtuloanterior para obter uma resposta positiva a conjectura de Liapunov apre-sentada no Capıtulo 1 para energias potenciais Π ∈ Js(Ω,R) que satisfazemas hipoteses (H1) − (H3). Variantes das hipoteses (H1) − (H3) serao apre-sentadas e veremos em que medida a conjectura de Liapunov e ainda valida.
4.1 Instabilidade do equilıbrio segundo Liapunov
Estudemos aqui a estabilidade segundo Liapunov do equilıbrio (q0, p0) =(0, 0) ∈ Rn × Rn, com n ≥ 2 graus de liberdade, cuja dinamica e governadapelo sistema hamiltoniano
XH(q, p)
q = ∂H
∂p (q, p)
p = −∂H∂q (q, p)
com hamiltoniana H(q, p) = T (q, p) + Π(q), (q, p) ∈ Ω × Rn onde Ω ⊂ Rne uma vizinhanca aberta da origem. Suporemos que a energia cinetica eda forma T (q, p) := 1
2〈p,B(q)p〉, sendo B(q) uma matriz simetrica definida
positiva, de clase C2(Ω,Rn2).
4.1.1 Hipoteses (H1)− (H3)
No que segue, dizer que o sistema hamiltoniano XH satisfaz as hipoteses(H1) − (H3) sera equivalente a dizer que a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R)
39
40 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS
satisfaz as hipoteses (H1) − (H3). Admitiremos tambem que, se Π(q) =jsΠ(q) + R(q), entao ∇R(q) e de ordem o(|q|s−1) em uma vizinhanca daorigem.
Teorema 4.1.1 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H1)− (H3), entao Π e uma energia potencial do tipo Cetaev e, portanto, oequilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundo Liapunov.
DemonstracaoSeja ε > 0, o numero dado no item (ii) do Teorema 3.3.4, tal que Bε ⊂ Ω.
Temos deste resultado, a existencia do conjunto Ws :=W1/2s ∩ Bε 6= ∅ com
0 ∈ ∂Ws tal que Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 e s-resistente em (W s \ 0) ∩ Bε;alem disso, na prova do Teorema 3.3.4 foi mostrado que se Θ e a componenteconexa de Π−1((−∞, 0)) ∩Bε que contem o cone tangente Ms−1 ∩Bε, valea inclusao
Θ ⊂Ws ∩Π−1((−∞, 0)) ∩Bε ⊂ (W s \ 0) ∩Bε,
diminuindo ε se necessario. Portanto, do Corolario 3.3.6, resulta
〈∇Π(q), q〉 < 0, ∀q ∈ Θ.
Agora vai-se apresentar, nas secoes 4.1.2 e 4.1.3, casos particulares doteorema 4.1.1. De um ponto de vista formal nao haveria necessidade defazer a demonstracao da instabilidade da origem nestes casos, visto seremcasos particulares do nosso teorema principal, mas optamos por apresentardemonstracoes explıcitas para cada caso pois, alem de serem mais simplesdo que a do Teorema 4.1.1, ilustram tecnicas e procedimentos usuais nestaarea, podendo eventualmente vir a ser usadas em outras situacoes no futuro.
4.1.2 Hipoteses (H11 )− (H3)
Aqui substituimos nossa hipotese (H1) pela seguinte hipotese
(H11 ) Π` ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1.
Corolario 4.1.2 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H1
1 )−(H3), entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundoLiapunov.
4.1. INSTABILIDADE DO EQUILIBRIO SEGUNDO LIAPUNOV 41
DemonstracaoE claro que a hipotese (H1
1 ) implica na hipotese (H1), entao com as hipoteses(H1
1 ) − (H3), podemos obter tambem um numero ε > 0 e um conjunto
Ws := W1/2s ∩ Bε de maneira similar ao feito na Proposicao 3.3.2. Neste
caso particular o conjuntoW1/2s e obtido como um elemento da famılia a um
parametro Wλs = q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0 de conjuntos semi-algebricos, onde
Q(q, λ) := (s− 1)jsΠ(q) + λ[ s−2∑`=k
(`− (s− 1))Π`(q) + Πs(q)], λ ∈ [0, 1].
Para ε > 0 pequeno suficiente, o conjunto Ws :=W1/2s ∩Bε, de fato, satisfaz
a Proposicao 3.3.2 com constantes α = 12(s−1) e β = 1
2 .
4.1.3 Hipoteses (H21 )− (H3)
Aqui substituimos nossa hipotese (H1) pela seguinte hipotese
(H21 ) Existe ν ∈ k, ..., s− 1 tal que numa vizinhanca da origem Πr ≥ 0 e
Π` ≤ 0, se k ≤ r ≤ ν e ν + 1 ≤ ` ≤ s− 1 e, alem disso js−1Π ≥ 0.
Corolario 4.1.3 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H2
1 )−(H3), entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundoLiapunov.
DemonstracaoE claro que as hipoteses (H2
1 ) − (H3) implicam nas hipoteses (H1) − (H3),entao de maneira similar ao feito na Proposicao 3.3.2 conseguimos aqui
tambem um numero ε > 0 e um conjunto Ws := W1/2s ∩ Bε, onde W1/2
s
neste caso particular, e obtido como um elemento da famılia a um parametroWλs = q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0 com λ ∈ [0, 1], de conjuntos semi-algebricos, onde
Q(q, λ) = νjsΠ(q) + λ[ ν−1∑r=k
(r − ν)Πr(q) +
s−1∑`=ν+1
(`− ν)Π`(q) + (s− ν)Πs(q)]
Para ε pequeno suficiente, o conjunto Ws := W1/2s ∩ Bε tambem satisfaz a
Proposicao 3.3.2 com constantes α = s−ν2ν e β = s−ν
2 .
42 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS
4.2 Analise da hipotese (H1)
Nesta secao, analisamos o que acontece se substituimos nossa hipotese(H1) pela seguinte hipotese
(H31 ) js−1Π ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω.
Ou seja, supomos que jkΠ e o primeiro jato nao nulo de Π e e semi-definido positivo, jsΠ e o primeiro jato de Π que mostra que Π nao temmınimo na origem e js−1Π e semi-definido positivo.
Estas hipoteses pareciam, quando comecamos o trabalho, “hipotesesmais naturais” para, supondo-se que jsΠ e um potencial de tipo Cetaevpodemos concluir que Π tambem seria um potencial de tipo Cetaev.
Veremos que isto nao e verdade, mostraremos um exemplo no plano emque k = 6, s = 12, j12Π mostra que Π nao tem mınimo na origem, j11Π esemidefinido positivo na origem, a derivada radial de j12Π e negativa numacomponente conexa de (j12Π)−1((−∞, 0)) e, apesar disso, nao e verdadeque a derivada radial de Π seja negativa em alguma componente conexa deΠ−1((−∞, 0)).
Isto mostra que as hipoteses consideradas na secao anterior nao podemser “muito enfraquecidas” se quisermos usar a derivada radial de Π comofuncao de Cetaev.
Exemplo 4.2.1 Consideremos o polinomio de duas variaveis
f(x, y) =8
3y6 − 3y4x4 +
9
10y2x8 − 1
12x12 − y12
na nossa notacao usual f = f6 + ... + f12, com as seguintes parcelas ho-mogeneas
f6(x, y) =8
3y6 ≥ 0, f7(x, y) = 0,
f8(x, y) = −3y4x4 ≤ 0, f9(x, y) = 0,
f10(x, y) =9
10y2x8 ≥ 0, f11(x, y) = 0,
f12(x, y) = − 1
12x12 − y12 ≤ 0.
Claro que j12f tem sela na origem e j6f , seu primeiro jato nao nulo, e semi-definido positivo. Note tambem que j12f mostra que f nao tem mınimo naorigem, pois j12f(x, 0) = −x12
12 .
4.2. ANALISE DA HIPOTESE (H1) 43
Alem disso, o jato
j11f(x, y) =8
3y6 − 3y4x4 +
9
10y2x8 = y2(
8
3y4 − 3y2x4 +
9
10x8)
e semi-definido positivo e so se anula no eixo x. Para ver isto, basta observaro polinomio
g(x, y) = (8
3y4 − 3y2x4 +
9
10x8)
como um polinomio na variavel y2 e ver que o discriminante satisfaz
∆(x) = (−3x4)2 − 4(8
3)(
9
10x8) = 9x8(1− 16
15) < 0, ∀x ∈ R \ 0
que juntamente com g(x, 0) = 910x
8 > 0, mostra que g(x, y) e uma funcaopositiva que so se anula na origem.
Ja o jato
j8f(x, y) =8
3y6 − 3y4x4 =
8
3y4(y2 − 9
8x4)
=8
3y4(y − 3
2√
2x2)(y +
3
2√
2x2)
nao e semi-definido positivo e tem uma sela na origem.Isso mostra que o fato do primeiro jato nao nulo de f ser semi-definido
positivo, jsf ser o primeiro jato que mostra que f nao tem mınimo na origeme js−1f ser semi-definido positivo, nao e suficiente para garantir que j`f ≥ 0se ` ≤ s− 1.
Consideraremos agora a derivada radial de f ,
F (x, y) = 〈∇f(x, y), (x, y)〉 = 16y6 − 24y4x4 + 9y2x8 − x12 − 12y12,
e mostraremos que numa vizinhanca da origem,
f−1(
(−∞, 0))⊂ F−1
((−∞, 0)
).
Pode-se escrever F (x, y) da seguinte forma
F (x, y) = (16y6 − 8y4x4 + y2x8) + (−16y4x4 + 8y2x8 − x12)− 12y12
= (y − x2)(y + x2)(2y − x2)2(2y + x2)2 − 12y12.
Notemos que o conjunto L := (x, y) ∈ R2| − x2 ≤ y ≤ x2 e o polinomioQ(x, y) := (y − x2)(y + x2)(2y − x2)2(2y + x2)2 satisfazem
Q(x, y) ≤ 0, ∀(x, y) ∈ L,
Q(x,±x2) = 0, Q(x,±1
2x2) = 0.
44 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS
Note que as curvas (x,±x2) sao a fronteira de L e as curvas (x,±12x
2) estaono interior de L.
Como F (x, y) = Q(x, y)− 12y12 ≤ Q(x, y) temos que vale a inclusao
L ⊂ C12,
onde C12 e a componente conexa de F−1((−∞, 0)) que contem o eixo x.Consideremos tambem A12, a componente conexa de f−1((−∞, 0)) que
contem o eixo x.
Lema 4.2.2 Existe ε0 > 0 tal que (A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ C12 ∩Bε0.
DemonstracaoObservemos que nas curvas (x,±x2) vale a igualdade
f(x,±x2) =(29
60− x12
)x12.
Daqui vem que, se ε0 = (2960)
112 , entao f(x,±x2) > 0, para 0 < x < ε0.
Portanto
(A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ L ∩Bε0 ,
e como L ⊂ C12, temos que (A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ C12 ∩Bε0 .
Agora sera exbido um conjunto aderente a origem de R2 e neste conjuntoanalisamos a 12-resistencia dos polinomios f e F .
Lema 4.2.3 Se Π : R2 → R e uma funcao que na origem (x, y) = (0, 0)tem jato 12 igual a f , entao se R = (x, y) ∈ R2| − 3
4x2 ≤ y ≤ 3
4x2, vale
que:
(i) Existe ε1 > 0 tal que Π(x, y) < 0 se (x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0),
(ii) F nao e 12-resistente em R.
DemonstracaoNas curvas (x, λx2), com λ ∈ R \ 0, temos que f satisfaz
f(x, λx2) = h(λ)x12 − (λx2)12 ≤ h(λ)x12,
onde h(λ) = 83λ
6−3λ4 + 910λ
2− 112 e uma funcao par que se anula em algum
ponto λ0 ∈ (56 ,
78) e
h(λ) < 0, ∀λ ∈ (−λ0, λ0)
4.2. ANALISE DA HIPOTESE (H1) 45
alem disto, em λ1 =√
38(1− 1√
5) < 3
4 , h|(−λ0,λ0) tem um maximo global,
portanto
f(x, λx2) ≤ h(λ1)x12, ∀λ ∈[− 3
4,3
4
].
A funcao Π e da forma Π(x, y) = f(x, y) + k(x, y), e k(x, y) e o(|(x, y)|12)na origem, entao dado δ > 0 existe ε1 = ε1(δ) > 0 satisfazendo
|k(x, y)| < δ|(x, y)|12, ∀(x, y) ∈ Bε1
para δ = −h(λ1)27
> 0, temos que
Π(x, y) ≤ h(λ1)x12 − h(λ1)
2x12 =
h(λ1)
2x12, ∀(x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0),
isto mostra o item (i).
Para ver o item (ii), basta considerar a funcao F (x, y)+14x14; podemosver que as curvas (x,±1
2x2) estao no interior do conjunto R e
F(x,±1
2x2)
+ 14x14 = Q(x,±1
2x2)− 12(±1
2x2)12 + 14x14
= − 12
212x24 + 14x14
tem mınimo em x = 0. Como F (x, y) nas curvas (x,±x2) tem maximo emx = 0, isto mostra que F (x, y) nao e 12-resistente em R.
Observemos que F (x, y) + 14x14 e a derivada radial de f(x, y) + x14 eque a funcao Π(x, y) = f(x, y) + x14 ainda satisfaz
Π(x, y) ≤ h(λ1)x12 + x14 < 0, ∀(x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0).
Isso mostra que, se Π(x, y) = f(x, y) + x14, nao e verdade que vale〈∇Π(x, y), (x, y)〉 < 0 se Π(x, y) < 0, embora Π satisfaca (H3
1 )− (H3).
Com este exemplo fica claro que as hipoteses (H31 ) − (H3) nao sao su-
ficientes para mostrar instabilidade do equilıbrio (q0, 0) = (0, 0) do nossosistema hamiltoniano XH , usando 〈∇Π(x, y), (x, y)〉 como funcao de Cetaev.
46 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS
4.3 Existencia de trajetorias assintoticas
Nesta secao consideramos o sistema hamiltonianoXH(q, p) dado na secao4.1 satisfazendo as hipoteses (H1) − (H3) e estudamos a existencia de tra-jetorias deste sistema que sao assintoticas a origem. Este estudo, de fato, eum problema relevante em sistemas hamiltonianos, ver por exemplo [P].
Para mostrar a existencia de trajetorias assintoticas no nosso caso es-tabeleceremos um resultado que relaciona trajetorias assintoticas e funcoesauxiliares.
Considere Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, f : Ω→ Rn uma funcao de classeC1 e a equacao diferencial
x = f(x). (4.1)
Suponha que x ∈ Ω e f(x) = 0; entao x e um ponto de equilıbrio de (4.1)e exibiremos uma condicao suficiente para a existencia de uma solucao x(t)de (4.1) tal que limt→−∞ x(t) = x, que e uma solucao assintotica a x parat→ −∞.
E um resultado bem conhecido de Cetaev que, se existe um subconjuntoaberto U de Ω com x ∈ ∂U e uma funcao V : Ω → R tal que V < 0 emU , V = 0 em ∂U e V < 0 em U , entao x e um ponto de equilıbrio instavelde (4.1). Para provar a existencia da solucao assintotica a x precisamosfortalecer a hipotese sobre V . Mais precisamente
Teorema 4.3.1 Suponha que temos Ω, U , f e V como acima e alem disto,que
V (x) < 0, ∀x ∈ ∂U \ x.
Entao existe uma solucao de (4.1) assintotica a x quando t→ −∞.
Vamos provar uma forma mais forte deste resultado usando duas funcoesauxiliares, mais precisamente:
Teorema 4.3.2 Suponha que temos Ω, U , f e x como acima, e admita queexistem duas funcoes C1, V e W , definidas em Ω tais que
(i) V (x) < 0, ∀x ∈ U \ x,
(ii) W (x) < 0, ∀x ∈ U ,
(iii) W (x) = 0, ∀x ∈ ∂U ,
4.3. EXISTENCIA DE TRAJETORIAS ASSINTOTICAS 47
(iv) W (x) ≤ 0, ∀x ∈ U .
Entao existe uma solucao de (4.1) assintotica a x quando t→ −∞.
Note que o Teorema 4.3.1 e um caso particular do Teorema 4.3.2 quandoV = W , entao e suficiente provar o ultimo resultado.
DemonstracaoSeja ε > 0 tal que B = x ∈ Rn| |x− x| ≤ ε esta contido em Ω e denotepor Uε o conjunto B ∩ U .
Considere um ponto z ∈ Uε .Provaremos primeiro que a solucao xz de (4.1) tal que xz(0) = z deixa
Uε atraves de S = Uε ∩ ∂B. Para isto, e suficiente mostrar que xz nao podepermanecer em Uε no futuro, pois por (ii), (iii) e (iv) temos que xz(t) /∈ ∂Upara cada t > 0 em que esta solucao e definida.
Suponha, por contradicao, que xz permanece em Uε no futuro. Entaousando a compacidade de Uε temos que xz e definida em [0,∞), e, comoW (x) = 0, vemos por (iii) e (iv) que ha um δ > 0 tal que δ ≤ |xz(t)−x| ≤ ε,para todo t > 0.
Agora, aplicando (i) vemos que h = V xz e uma funcao C1 definida em[0,∞) e ha um c > 0 tal que h(t) < −c.
Isto e uma contradicao com o fato de h ser limitada em [0,∞).Considere agora uma sequencia xn ∈ Uε convergente para x, e denote
por φn a solucao de (4.1) com φn(0) = xn. Seja yn o ponto de S em queφn deixa Uε pela primeira vez e Tn > 0 o primeiro numero positivo tal queφn(Tn) = yn.
Como xn → x, que e um ponto de equilıbrio de (4.1), temos, pela de-pendencia contınua das solucoes de uma equacao diferencial ordinaria comrespeito as condicoes iniciais, que Tn →∞ quando n→∞.
Podemos supor, pela compacidade de S, que yn converge para um pontoy ∈ S. Seja φ a solucao de (4.1) com φ(0) = y.
Novamente pela dependencia contınua das solucoes com respeito as condi-coes iniciais e facil ver que existe um T > 0 tal que φ(t) ∈ Uε para t ∈ [−T, 0);alem disso provaremos que φ(t) ∈ Uε para todo t < 0 para o qual φ e definida.
De fato, suponha, por contradicao, que isto e falso. Entao existe umλ < 0 tal que φ(λ) /∈ Uε, e como Tn →∞, ha um n suficientemente grandetal que Tn > 2|λ|. Entao, pelo teorema da dependencia contınua, φn devedeixar Uε em um instante tn tal que 0 < tn < Tn; mas isto e uma contradicaocom a escolha de yn e Tn. Portanto, como Uε e compacto temos que φ edefinida em (−∞, 0] e o conjunto alfa limite de esta solucao, Λ, deve ser naovazio.
48 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS
Considere a funcao C1, g = V φ, a qual e definida em (−∞, 0] e elimitada e estritamente decrescente. Entao existe ρ tal que limt→−∞ g(t) =ρ.
Isto mostra que se z ∈ Λ entao V (z) = ρ, logo, pela invariancia doconjunto alfa limite, temos V (z) = 0.
Agora, usando que Λ ⊂ Uε e (i), concluimos que Λ = x.
Fazemos um uso imediato deste resultado para provar:
Corolario 4.3.3 Seja H = T + Π uma funcao hamiltoniana definida emΩ×Rn, em que a energia potencial de classe C2, Π : Ω→ R, tem um pontocrıtico em 0 ∈ Ω, e seja B = q ∈ Ω| |q| < ε. Se existe uma componenteconexa C de Π−1((−∞, 0)) aderente a origem tal que 〈∇Π(q), q〉 < 0 paraq ∈ (C \ 0) ∩B, entao existe uma trajetoria assintotica a 0.
DemonstracaoE suficiente considerar
U = (q, p) ∈ C × Rn| 〈q, p〉 > 0, |(q, p)| < ε e H(q, p) < 0
e funcoes V,W : U → R definidas por V (q, p) = −〈q, p〉 e W (q, p) =〈q, p〉H(q, p).
Entao, se lembramos que T e homogenea de grau 2 em relacao a variavelp, uma aplicacao do teorema de Euler para funcoes homogeneas e equacaohamiltoniana mostra que
V (q, p) = −[2T (q, p)−
⟨∂T∂q
(q, p), q⟩− 〈∇Π(q), q〉
],
W (q, p) =[2T (q, p)−
⟨∂T∂q
(q, p), q⟩− 〈∇Π(q), q〉
]H(q, p).
Observe agora que podemos escolher ε > 0 suficientemente pequeno paraobter R(q, p) = 2T (q, p)−〈∂T∂q (q, p), q〉 > 0 se |q| < ε e p 6= 0. De fato, esta euma consequencia de R ser quadratica com respecto a p e R(0, p) = 2T (0, p)ser definida positiva.
Entao vemos que as condicoes (ii), (iii) e (iv) do Teorema 4.3.2 saoverificadas.
Agora, se (q, p) ∈ U \ 0 temos q 6= 0, pois, caso contrario, p 6= 0 eH(0, p) > 0, o que contraria (0, p) ∈ U .
Isto mostra que V < 0 em U \ 0 e podemos aplicar o Teorema 4.3.2 afim de obter a nossa tese.
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