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Estabilidade de Liapunov e derivada radial Gerard John Alva Morales TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA E ESTAT ´ ISTICA DA UNIVERSIDADE DE S ˜ AO PAULO PARA OBTENC ¸ ˜ AO DO T ´ ITULO DE DOUTOR EM CI ˆ ENCIAS Programa: Matem´ atica Aplicada Orientador: Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ ılio financeiro do CNPq. ao Paulo, 31 de Outubro de 2014

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Estabilidade de Liapunov e derivada radial

Gerard John Alva Morales

TESE APRESENTADA

AO

INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA

DA

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

PARA

OBTENCAO DO TITULO

DE

DOUTOR EM CIENCIAS

Programa: Matematica Aplicada

Orientador: Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeuauxılio financeiro do CNPq.

Sao Paulo, 31 de Outubro de 2014

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Estabilidade de Liapunov e derivada radial

Esta tese corresponde a redacao final devidamentecorrigida e defendida por Gerard John Alva Morales,e aprovada pela Banca Examinadora.

Sao Paulo, 31 de Outubro de 2014

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia (Orientador) -IME-USP

Prof. Dr. Fabio Armando Tal -IME-USP

Prof. Dr. Ricardo dos Santos Freire Jr. -IME-USP

Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins -IMECC-UNICAMP

Prof. Dr. Fabio dos Santos -UFS

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Dedico este trabalho a:

Isadora, Adriana,Marco, Georgina e Miriam.

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Agradecimentos

Agradeco:

A minha famılia, pelo apoio moral, pelos ensinamentos, pelo carinho,pela confianca e pela forca incondicional que me proporcionaram em todomomento; em particular durante este perıodo no doutorado. Meu carinhoe especial consideracao para: Isadora Silva Alva Morales, Adriana MariaSilva Morales, Marco Ascencion Alva Castillo, Mercedes Georgina Moralesde Alva e Miriam Edith Alva Morales.

A meu orientador, Prof. Dr. Manuel Valentim de Pera Garcia, pelaaceitacao como seu aluno de doutorado no programa de matematica aplicadaem momentos crıticos na minha formacao academica, pela generosidade emcompartilhar comigo a matematica sutil que ele estuda, pela orientacao epelas valiosas sugestoes que tornaram possıvel esta tese. A Profa. Dra.Sonia Regina Garcia, pelas correcoes do portugues e sugestoes que derammaior estetica a este trabalho.

As sugestoes da banca examinadora durante a defesa de esta tese o qualpermitiu consideravel melhoramento na redacao da mesma.

Aos amigos, Prof. Dr. Jorge Manuel Sotomayor Tello, pela cama-radagem proporcionada em momentos de descontracao no IME, FEA-USPdurante a homenagem a Profa. Dra. Marilda Sotomayor e pelas con-versacoes sobre equacoes integro-diferenciais singulares, Prof. Dr. Alexan-dre Patriota Galvao, pelas conversacoes de caracter filosofico durante repeti-das tardes de cafe, Dr. Pedro Losco Takecian, pela cordialidade e pelassugestoes tecnicas sobre Ubuntu, ambiente onde preparei esta tese.

A hospitalidade dos departamentos de matematica e matematica apli-cada do IME-USP que facilitaram o desenvolvimento desta tese, e o auxıliofinanceiro do CNPq.

Extensivos agradecimentos a todas e cada uma das pessoas que con-tribuıram a concretizacao deste trabalho, particulares consideracoes paraJose da Silva, Teodora da Silva, Ana, Paul Lopez, Madalena e Bispo.

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Resumo

Apresentaremos uma classe de energias potenciais Π ∈ C∞(Ω,R) quesao s−decidıveis e que admitem funcoes auxiliares de Cetaev da forma〈∇jsΠ(q), q〉, q ∈ Ω ⊂ Rn que sao s−resistentes.

Palavras-chave: Estabilidade de Liapunov, sistemas Lagrangeanos,Teorema de Dirichlet-Lagrange, k-decidibilidade.

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Abstract

We will present a class of potential energies Π ∈ C∞(Ω,R) that ares−decidable and that admit auxiliary functions of Cetaev of the form 〈∇jsΠ(q), q〉,q ∈ Ω ⊂ Rn which are s−resistant.

Keywords: Liapunov stability, Lagrangian systems, Theorem of Dirichlet-Lagrange, k-decidability.

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Conteudo

1 Introducao 9

2 Preliminares, o problema e um lema 132.1 Funcoes s-decidıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Formulacao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 O problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Lema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Cones tangentes e s-resistencia 213.1 O cone Zs−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Construindo o cone Ks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 s-resistencia de Ps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Aplicacoes da s-resistencia de Ps 394.1 Instabilidade do equilıbrio segundo Liapunov . . . . . . . . . 39

4.1.1 Hipoteses (H1)− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Hipoteses (H1

1 )− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Hipoteses (H2

1 )− (H3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Analise da hipotese (H1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Existencia de trajetorias assintoticas . . . . . . . . . . . . . . 46

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8 CONTEUDO

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Capıtulo 1

Introducao

Neste trabalho, estamos interessados em estudar a estabilidade segundoLiapunov de um equilıbrio (q0, p0) ∈ Rn × Rn do sistema mecanico com ngraus de liberdade, cuja dinamica e governada pelo sistema hamiltoniano

XH(q, p)

q = ∂H

∂p (q, p)

p = −∂H∂q (q, p)

com hamiltoniana H(q, p) = T (q, p) + Π(q), (q, p) ∈ Ω × Rn, onde Ω ⊂ Rne uma vizinhanca aberta de q0. Admitiremos que a energia cinetica T (q, p)e uma forma quadratica definida positiva na variavel p, assim, podemos verque os equilıbrios deste sistema, isto e, os pontos tais que XH(q0, p0) = (0, 0),sao os pontos (q0, 0), em que q0 e um ponto crıtico de Π.

O teorema de Dirichlet-Lagrange afirma que, se em q0 a energia potencialΠ tem um mınimo estrito local, entao o equilıbrio (q0, 0) do sistema XH eestavel.

O seguinte exemplo com 1 grau de liberdade com hamiltoniana definidaem R× R

T (q, p) =1

2p2, Π(q) =

e−1/q2 cos(1/q) , q 6= 00 , q = 0

mostra que a recıproca do teorema de Dirichlet-Lagrange e falsa, pois nestecaso a origem (q0, 0) = (0, 0) e estavel mas Π(q) nao tem mınimo em q0 = 0.Apesar deste exemplo, a situacao de sistemas com um grau de liberdade(n = 1) e a unica em que a estabilidade do equilıbrio e caracterizada deforma completa por propriedades da energia potencial.

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10 CAPITULO 1. INTRODUCAO

De fato, se n = 1, a origem (0, 0) e estavel segundo Liapunov se, e sose, existem sequencias (q+

n ) e (q−n ), convergentes para 0, (q+n ) estritamente

decrescente, (q−n ) estritamente crescente, tais que Π(q+n ) > 0 e Π(q−n ) > 0

(para uma demonstracao veja [LHR]).Em termos topologicos, esta condicao para n = 1 pode ser reescrita

assim, “ para sistemas com um grau de liberdade, a origem (0, 0) e estavelsegundo Liapunov se, e so se, existe um sistema fundamental de vizinhancasda origem, (Un), tal que Π(q) > 0, ∀q ∈ ∂Un, para todo n ∈ N ”.

Durante algum tempo acreditou-se que a condicao acima caracterizassea estabilidade da origem para o caso geral de sistemas com n graus de liber-dade, entretanto, embora esta seja efetivamente uma condicao suficiente paraa estabilidade da origem, ela nao e necessaria, conforme se ve pelo exemploabaixo, devido a Laloy (1977), para o caso de dois graus de liberdade.

Considere em R2 × R2, T (q, p) = 12(p2

1 + p22) e Π(q) a funcao

Π(q1, q2) =

e− 1

q21 cos( 1q1

)− e− 1

q22

[q2

2 + cos( 1q2

)]

, q1q2 6= 0

0 , q1q2 = 0.

Note que, na verdade, Π e de classe C∞. Aqui, o equilıbrio (q0, 0) = (0, 0)do sistema XH e estavel, mas na reta q2 = q1, tem-se para q1 6= 0,Π(q1, q1) = −q2

1e−1/q21 < 0.

Nos dois exemplos anteriores Π e uma funcao C∞, mas nao analıtica,de fato, todas as derivadas de Π em 0 anulam-se. No contexto de funcoesanalıticas o problema da estabilidade de Liapunov de um equilıbrio estadiscutido em [P].

Neste trabalho estudamos um problema que na literatura (ver por exem-plo [LHR]) e conhecido como inversao do teorema de Dirichlet-Lagrange econsiste em estabelecer condicoes suficientes sobre a energia potencial paranosso sistema XH que garantam a instabilidade do equilıbrio (q0, 0) = (0, 0)deste sistema hamiltoniano.

Existem muitos trabalhos relevantes abordando este problema (por ex-emplo [LP], [MN], [GT] e [FGT]), mas o problema ainda nao tem umacompleta solucao para o caso geral de n graus de liberdade.

Um dos primeiros resultados nesta direcao foi mostrado pelo proprioA.M. Liapunov, e mostra que: se a matriz hessiana de Π em q0 mostra queΠ nao tem mınimo nesse ponto, entao (q0, 0) e um equilıbrio instavel dosistema XH . Utilizando a linguagem de jatos pontuais, introduzida por A.Barone em sua tese de livre docencia (veja [B]) e que exporemos abaixo, esteresultado de Liapunov pode ser reparafraseado como: se o jato pontual de

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ordem 2 de Π em q0 mostra que a energia potencial Π nao tem mınimo emq0, entao o equilıbrio (q0, 0) do sistema hamiltoniano XH e instavel.

Na classe de energias potenciais Π que admitem jatos de orden s ≥ 2 noponto crıtico q0, a generalizacao natural deste resultado e a:Conjectura (Liapunov-Barone)Se para algum natural s ≥ 2, o jato de ordem s de Π em q0 mostra quea energia potencial Π nao tem mınimo em q0, entao o equilıbrio (q0, 0) dosistema hamiltoniano XH e instavel.

No caso em que o jato de ordem s de Π e um polinomio homogeneo, nocontexto de n graus de liberdade, o artigo [MN] mostra, usando a teoria davariedade estavel, que, o equilıbrio (q0, 0) do sistema XH , e instavel.

No artigo [GT] mostrou-se que esta conjectura e verdadeira no contextode 2 graus de liberdade, e em [FGT] mostrou-se parcialmente, que a con-jectura e verdadeira no contexto geral de n graus de liberdade. Nestes doisresultados usaram-se funcoes auxiliares como ferramenta basica.

Tanto no trabalho [MN] como em [GT] e [FGT] demonstrou-se nao ape-nas a instabilidade de (q0, 0), mas a existencia de trajetorias assintoticaspara esse equilıbrio.

Outro resultado classico neste problema e um teorema de Cetaev quegarante a instabilidade de (q0, 0) se existe uma componente conexa do con-junto Π−1(−∞, 0) aderente a q0 em que a derivada radial de Π, 〈∇Π(q), q〉,e estritamente negativa (se Π tem essa propriedade diremos que Π e umpotencial de tipo Cetaev).

Neste trabalho consideramos uma questao que relaciona estas duas for-mas de abordar o problema da inversao do teorema de Dirichlet-Lagrange,mais precisamente, admitiremos que jsΠ mostra que q0 nao e ponto demınimo de Π e que jsΠ e um potencial de tipo Cetaev (isto e, suporemosque a derivada radial de jsΠ, 〈∇jsΠ(q), q〉 e estritamente negativa numacomponente conexa de (jsΠ)−1(−∞, 0)), e procuramos determinar situacoesem que isto garantisse que Π e um potencial de tipo Cetaev (e portanto ainstabilidade de (q0, 0) fica provada).

Conseguimos assim determinar uma classe de energias potenciais em quea instabilidade da origem e garantida por jatos.

O resultado central do trabalho (veja o Teorema 4.1.1) afirma, em lin-guagem um pouco livre (para definicoes precisas veja a secao 2.1) que se aenergia potencial Π : Ω → R, Ω ⊂ Rn aberto com 0 ∈ Ω, e suficientementeregular e tem um ponto crıtico na origem, com Π(0) = 0, satisfaz:

(H1) Para ` ≤ s− 1, j`Π(q) ≥ 0 para q numa vizinhanca da origem.

(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem.

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12 CAPITULO 1. INTRODUCAO

(H3) Existe ε > 0 tal que

q ∈ Rn|jsΠ(q) < 0, |q| < ε \ 0 ⊂ q ∈ Rn|〈∇jsΠ(q), q〉 < 0, |q| < ε.

Entao Π e um potencial de tipo Cetaev.Isso mostra que nos sistemas XH em que as energias potenciais satis-

fazem (H1), (H2) e (H3) o ponto (0, 0) e instavel segundo Liapunov, o quejustifica nossa afirmacao anterior sobre caracterizar uma classe de potenciaisem que a instabilidade e garantida por jatos.

Os resultados obtidos neste trabalho garantem alem da instabilidade daorigem do sistema XH , a existencia de trajetorias assintoticas a origem deXH .

As hipoteses (H2) e (H3) feitas sobre Π sao, em um sentido que expomosno texto, bastante naturais neste contexto. Ja a hipotese (H1) parece, aprimeira vista, um pouco restritiva demais, porem mostramos na secao 4.2que, enfraquecendo um pouco essa hipotese, a conclusao do nosso resultadocentral nao se mantem.

Organizamos nosso trabalho da seguinte forma: no capıtulo 2 apresenta-mos notacoes e definicoes tecnicas que serao de utilidade para depois colocarnosso problema assim como nossas hipoteses na classe supramensionada deenergias potenciais Π. No capıtulo 3 mostramos nosso resultado principal eno capıtulo 4 mostramos algumas consequencias e conclusoes finais.

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Capıtulo 2

Preliminares, o problema eum lema

O objetivo deste capıtulo e apresentar nosso problema e tambem apre-sentar um lema que sera fundamental no resto do trabalho.

2.1 Funcoes s-decidıveis

No espaco euclidiano (Rn, | · |) com a norma usual, consideramos umavizinhanca aberta da origem Ω e denotamos por B(q0, ε) o conjunto aberto

B(q0, ε) = q ∈ Rn| |q − q0| < ε.

Quando q0 = 0, simplesmente denotaremos esta bola por Bε.Como e usual, para funcoes f, g : Ω → R em que g(q) 6= 0 se q 6= 0, a

notacao f = o(g) em 0 significa que

limq→0

f(q)

g(q)= 0.

Definicao 2.1.1 Sejam s um natural nao nulo e Ω uma vizinhanca abertada origem de Rn. Dizemos que uma funcao f : Ω→ R tem jato pontual deordem s na origem, se existe um polinomio de grau menor ou igual a s, quedenotamos por jsf , tal que

f(q) = jsf(q) + o(|q|s).

Observacao 2.1.2 E simples ver que existe no maximo um polinomio quesatisfaz estas condicoes e, se f for de classe Cs, entao f tem jato pontualde ordem s na origem e jsf e o polinomio de Taylor de ordem s de f em 0.

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14 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA

Denotemos por Js(Ω,R) o conjunto das funcoes f : Ω → R, com f(0) = 0,que admitem jato pontual de ordem s na origem.

Diremos que f tem um mınimo forte (respectivamente um maximo forte)na origem se existe ε > 0 tal que f(x) > 0 (respectivamente f(x) < 0) paratodo x ∈ (Ω\0)∩Bε; diz-se que f tem um mınimo fraco (respectivamenteum maximo fraco) na origem se existe ε > 0 tal que f(x) ≥ 0 (respectiva-mente f(x) ≤ 0) para todo x ∈ Ω∩Bε e existe uma sequencia (xk), xk 6= 0,com xk → 0 e f(xk) = 0.

Nestes casos diz-se que f tem extremo forte, ou extremo fraco, na origem.Se f nao tem extremo forte ou fraco na origem, diremos que f tem sela

na origem.Diz-se que as funcoes f : Ω → R e g : Ω → R tem mesmo compor-

tamento em relacao a extremo na origem se f e g tiverem ambas mınimoforte (respectivamente maximo forte) na origem, ou ambas tiverem mınimofraco (respectivamente maximo fraco) na origem, ou ambas tiverem sela naorigem.

Definicao 2.1.3 Uma funcao f ∈ Js(Ω,R) e s-decidıvel se, para cadafuncao g ∈ Js(Ω,R) tal que jsf = jsg, tem-se que ambas as funcoes fe g possuem o mesmo comportamento em relacao a extremo na origem.

Denotamos por Ds(Ω,R) a classe de funcoes f ∈ Js(Ω,R) s-decidıveis naorigem. Uma consequencia direta desta definicao e que, se f ∈ Ds(Ω,R),entao na origem 0, f tem extremo forte ou uma sela, conforme se ve naobservacao abaixo.

Observacao 2.1.4 Se f ∈ Jr(Ω,R) e jrf tem na origem um extremobrando, entao f /∈ Dr(Ω,R). Para ver isto, basta supor, sem perda de gen-eralidade que jrf tem mınimo fraco e considerar a funcao g(q) := jrf(q) +|q|2r ∈ Jr(Ω,R); observemos que enquanto jrf tem mınimo fraco, g temmınimo forte na origem; e se considerarmos g(q) := jrf(q)−|q|2r ∈ Jr(Ω,R),g tem uma sela na origem (ou maximo, caso f ≡ 0).

Mais detalhes acerca de s-decidibilidade podem ser vistos em [B] ou [G].

2.2 Formulacao do problema

Sejam dois numeros naturais k e s, com 2 ≤ k < s, e consideremosfuncoes f ∈ Js(Ω,R) cujo primeiro jato nao nulo e o de ordem k. Entao ojato de ordem s de f na origem, pode ser escrito da seguinte forma

jsf(q) = fk(q) + fk+1(q) + ...+ fs−1(q) + fs(q)

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2.2. FORMULACAO DO PROBLEMA 15

onde, para cada ` ∈ k, ..., s, f`(q) = j`f(q)− j`−1f(q). Note que f` e umpolinomio `−homogeneo (isto e, f`(λq) = λ`f`(q), para todo λ ∈ R e paratodo q ∈ Rn), chamada parte homogenea de grau ` de jsf . Veja ainda quefk = jkf .

Estamos interessados em energias potenciais cujo jato de ordem s mostraque esta funcao nao tem mınimo na origem, mais precisamente isto e for-malizado na definicao abaixo.

Definicao 2.2.1 Dada uma funcao f ∈ Js(Ω,R), dizemos que o jato jsfmostra que f nao tem mınimo na origem se, para cada funcao g ∈ Js(Ω,R)com jsf = jsg, tem-se que g nao tem mınimo na origem.

Observacao 2.2.2 Note que o fato de jsf mostrar que f nao tem mınimona origem nao implica que f e s-decidıvel, por exemplo, se j2f(x, y) = −x2,claro que esse jato mostra que f nao tem mınimo na origem, mas f naoe 2-decidıvel, pois j2f tem maximo nao estrito na origem. Entretanto se oprimeiro jato nao nulo de f na origem tem mınimo fraco nesse ponto e jsfmostra que f nao tem mınimo na origem, e simples ver que f e s-decidıvele tem sela na origem.

Sera de fundamental importancia estudar o comportamento da derivadaradial de jsΠ na origem, Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉; em geral, as funcoes jsΠ ePs nao tem o mesmo comportamento em 0, como pode ser visto no seguinteexemplo

Exemplo 2.2.3 Consideremos um polinomio

f(q1, q) := (aq1 − b|q|2)2 + c|q|4, com a > 0, b > 0, c > 0, b2 > 8c.

e onde q := (q2, ..., qn). Notemos que

∂f

∂q1= 2a(aq1 − b|q|2)

∂f

∂qj=

[− 4abq1 + (4b2 + 4c)|q|2

]qj , j = 2, ..., n

assim, a derivada radial 〈∇f(q), q〉 = ∂f∂q1q1 +

∑nj=2

∂f∂qjqj, escreve-se como

〈∇f(q), q〉 = 2a2(q1 −

3b

2a|q|2)2−(b2 − 8c

2

)|q|4.

E claro que na origem, f(q) tem mınimo forte e 〈∇f(q), q〉 tem uma sela.

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16 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA

A funcao 〈∇f(q), q〉, foi utilizada por Cetaev para mostrar o seguinte resul-tado de instabilidade

Teorema 2.2.4 (N.G. Cetaev [1936])Suponha que Bε ⊂ Ω, para algum ε > 0 e que o sistema hamiltoniano XH

satisfaz as propriedades

1. Θ = q ∈ Bε|Π(q) < 0 6= ∅

2. 0 ∈ ∂Θ

3. 〈∇Π(q), q〉 < 0, ∀q ∈ Θ

entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) e instavel.

Uma demonstracao deste resultado pode ser vista, por exemplo, em [LHR].

Se uma energia potencial Π satisfaz as condicoes deste teorema diremosque Π e um potencial do “tipo Cetaev”.

O que faremos neste trabalho sera determinar se Π e um potencial do“tipo Cetaev”a partir de propriedades de jsΠ. Mais precisamente, descreve-mos este problema a seguir.

2.2.1 O problema

Supondo que jsΠ e uma energia potencial do tipo Cetaev, sera verdadeque Π tambem e uma energia potencial do tipo Cetaev?

Esta questao, sem outras hipoteses, tem uma resposta negativa, mesmoquando jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem, e um exemplomostrando isto sera apresentado em algum detalhe no capıtulo 4.

A fim de trabalhar no contexto das energias potenciais Π ∈ Js(Ω,R) quenao apresentam mınimo na origem, consideramos Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 e osconjuntos semi-algebricos

As := q ∈ Ω|jsΠ(q) < 0, Cs := q ∈ Ω|Ps(q) < 0

e vamos supor que a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz:

(H1) j`Π(q) ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1;

(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem 0 ∈ Ω;

(H3) existe ε > 0 com Bε ⊂ Ω, tal que (As \ 0) ∩Bε ⊂ Cs ∩Bε.

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2.3. LEMA FUNDAMENTAL 17

Claro que (H3) mostra que jsΠ e um potencial do tipo Cetaev.Nosso principal resultado e:

Teorema.“ Se Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), entao Π e um potencial de tipoCetaev ”.

Mostraremos tambem que, enfraquecendo um pouco a hipotese (H1) esseresultado deixa de ser verdadeiro.

2.3 Lema fundamental

Nesta secao colocamos em evidencia a importancia da hipotese (H3), oque sera crucial na construcao feita no proximo capıtulo.

Se γ : [0, ρ]→ Rn e uma curva algebrica tal que γ(0) = 0 e γ(t) 6= 0 paratodo t ∈ (0, ρ]; denotamos por rγ a semi-reta tangente a γ na origem. Paradetalhes tecnicos acerca de curvas algebricas e conjuntos semi-algebricosreferimos a [M].

Lema 2.3.1 Suponha que Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz a hipotese (H3) e seja γ :[0, ρ] → Rn uma curva algebrica tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As se t ∈ (0, ρ].Entao jsΠ|rγ tem maximo local estrito na origem.

DemonstracaoSeja v 6= 0 o versor de γ em 0+. Como jsΠ e um polinomio de grau s, existeε > 0 tal que uma das seguintes possibilidades acontece:

(a) jsΠ(λv) > 0, para todo λ ∈ (0, ε)

(b) jsΠ(λv) = 0, para todo λ ∈ (0, ε)

(c) jsΠ(λv) < 0, para todo λ ∈ (0, ε)

e λv, λ ∈ R+, e uma parametrizacao de rγ . Mostremos que as possibilidades(a) e (b) nao ocorrem.

1. Suponha que (a) ocorre. Tome q = ε2v, entao jsΠ(q) > 0 e escolha

δ > 0 tal que1jsΠ(x) ≥ 0, para todo x tal que |x− q| < δ. Seja agoraΣδ(q) o disco de dimensao n − 1 centrado em q de raio δ, ortogonala v. Tomando entao o tronco de cone ∆ de vertice 0 e base Σδ(q),veja que, como v e o versor de γ em 0+ e, para t > 0, γ(t) ∈ As,

1Neste ponto pode-se garantir jsΠ(x) > 0 em B(q, δ), preferimos a desigualdade brandapois assim faz-se um raciocınio que sera usado mais adiante nesta demonstracao.

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18 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA

resulta que existe um ponto p no interior de ∆ tal que jsΠ(p) < 0.Considere a semi-reta de origem 0 que passa por p e note que, como pesta no interior de ∆ existe exatamente um ponto w dessa semi-retaque esta em Σδ(q). Claro que p e um ponto do interior do segmento0w e, como jsΠ e um polinomio, jsΠ(p) < 0 e jsΠ(w) ≥ 0, resulta queexiste tu ∈ (0, 1) tal que o ponto u := tuw do segmento 0w satisfaz,

(i) jsΠ(tw) ≥ 0, se tu ≤ t ≤ 1;

(ii) existe ρ > 0 tal que jsΠ(tw) < 0, se tu − ρ < t < tu.

Portanto u ∈ As \ 0 e ddtj

sΠ(tw)|t=tu ≥ 0. Como

d

dtjsΠ(tw)

∣∣∣t=tu

=⟨∇jsΠ(tuw), w

⟩=

1

tuPs(u)

resulta Ps(u) ≥ 0. Isso contraria a hipotese (H3), e mostra que (a)nao pode acontecer.

2. Suponha que (b) ocorre. Tome outra vez q = ε2v e agora escolha Σ1(q)

o disco de dimensao n− 1 centrado em q de raio 1, ortogonal a v. Seexiste uma sequencia de pontos (qk) ⊂ Σ1(q) \ q, qk → q, tais quejsΠ(qk) < 0 entao q ∈ As \ 0, e como jsΠ(λv) = 0, se λ ∈ (0, ε),resulta

Ps(q) =ε

2

⟨∇jsΠ(

ε

2v), v

⟩=ε

2

d

dλjsΠ(λv)

∣∣∣λ= ε

2

= 0

contrariando outra vez a hipotese (H3). Se isso nao acontece, existeδ > 0 tal que jsΠ(x) ≥ 0, para todo x ∈ Σδ(q), aplicamos o raciociniodo item (a) contrariando a hipotese (H3) tambem neste caso. Assim,(c) ocorre (ver Figura 2.1).

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2.3. LEMA FUNDAMENTAL 19

.

A

γCs

s

0

ε

n−1R

Figura 2.1: A hipotese (H3)

0

γA 4

C4

y

Figura 2.2: Sem a hipotese (H3)

Notemos que sem a hipotese (H3) o resultado enunciado no lema acimae falso, para ver isto considere, em R2, Π(x, y) = (y−x2)(y− 3x2) e a curvaγ(t) = (t, 2t2), t ≥ 0. E imediato ver que γ e tangente em 0+ ao semi-eixox ≥ 0 e Π(γ(t)) = −t4 enquanto Π(x, 0) = 3x4 (ver Figura 2.2).

Alem disso, e interessante destacar que o Lema 2.3.1 apresenta apenasconclusoes sobre o sinal de jsΠ em semi retas tangentes a curvas em As enao em Cs, o exemplo a seguir esclarece este ponto.

Considere em R3 o polinomio f(x, y, z) = (x−8z2)2+z4−y6, no semi-eixoy ≥ 0 este polinomio satisfaz f(0, y, 0) = −y6, isto e, este semi-eixo menos aorigem esta contido no conjunto f−1(−∞, 0). Notemos que a derivada radialF (x, y, z) = 〈∇f(x, y, z), (x, y, z)〉, e um polinomio que pode ser escrito como

F (x, y, z) = 2[x− (12 +√

14)z2][x− (12−√

14)z2]− 6y6;

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20 CAPITULO 2. PRELIMINARES, O PROBLEMA E UM LEMA

γ

C 6

B

A 6

y

x

ε

0

Figura 2.3: γ ⊂ C6 \A6 nao satisfaz a conclusao do Lema 2.3.1

notemos tambem que no conjunto

B := (x, y, z) ∈ R3|(12−√

14)z2 ≤ x ≤ (12 +√

14)z2, −az2 ≤ y ≤ az2

onde [(4 +√

14)2 + 1]16 < a < 2, o polinomio

G(x, y, z) := 2[x− (12 +√

14)z2][x− (12−√

14)z2]

satisfaz G((12 ±√

14)z2,±az2, z) = 0 e como F (x, y, z) < G(x, y, z) re-sulta que vale a inclusao B ⊂ C6, onde C6 e a componente conexa deF−1(−∞, 0) que contem o semi-eixo y ≥ 0. Por outro lado, nas curvas((12±

√14)z2,±az2, z) da fronteira de B ve-se que

f(

(12±√

14)z2,±az2, z)

=(

(4±√

14)2 + 1− a6z8)z4,

daqui, se ε = [(4−√

14)2+1]18

a34

temos que f((12 ±√

14)z2,±az2, z) > 0 para

todo 0 < z < ε, portanto

(A6 \ 0) ∩Bε ⊂ B ∩Bε

onde A6 e a componente conexa de f−1(−∞, 0) que contem o semi-eixoy ≥ 0. Mostramos, de fato, a inclusao

(A6 \ 0) ∩Bε ⊂ C6 ∩Bε.

Mas note que, a curva γ(t) = ((12 +√

14)t2, at2, t), t ≥ 0 e tangenteem 0+ ao semi-eixo z ≥ 0, γ(0) = 0, e vale F (γ(t)) = −6a6t12, e se λv e aparametrizacao do semi-eixo z ≥ 0, onde v = (0, 0, 1) e λ ≥ 0 vale tambemf(λv) = 65λ4, e F (λv) = 4f(λv), isto e, a conclusao do Lema 2.3.1 nao evalida para as curvas em [C6 \ (A6 \ 0)] ∩Bε (ver Figura 2.3).

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Capıtulo 3

Cones tangentes es-resistencia

Neste capıtulo sera construido um cone positivo Ks ⊂ Rn de verticena origem, no qual tera sentido apresentar nosso resultado principal des−resistencia. Entendemos como cone de vertice na origem a um conjuntoM ⊂ Rn tal que para cada q ∈ M e todo λ ∈ R tem-se λq ∈ M ; M serachamado cone positivo se esta propriedade vale para todo λ ≥ 0.

Lembremos que, a menos de mencao explıcita em contrario, Ω sera umavizinhanca aberta da origem de Rn e Js(Ω,R) representa o conjunto dasfuncoes de Ω em R, de classe C2 e que tem jato pontual de ordem s em 0.

Lembremos tambem que, a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz ashipoteses:

(H1) j`Π(q) ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1;

(H2) jsΠ mostra que Π nao tem mınimo na origem 0 ∈ Ω;

(H3) existe ε > 0 com Bε ⊂ Ω, tal que (As \ 0) ∩Bε ⊂ Cs ∩Bε.

3.1 O cone Zs−1

Como no capıtulo anterior, se Π ∈ Js(Ω,R) entao denotemos Ps(q) =〈∇jsΠ(q), q〉 e por As e Cs os conjuntos semi-algebricos

As := q ∈ Ω|jsΠ(q) < 0, Cs := q ∈ Ω|Ps(q) < 0.

Lembremos que se γ : [0, ρ] → Ω e uma curva algebrica com γ(0) = 0 eγ(t) 6= 0 se 0 < t ≤ ρ, denota-se por rγ a semireta tangente a γ em 0+.

Uma consequencia direta do Lema 2.3.1 e o seguinte

21

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22 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

Corolario 3.1.1 Se Π ∈ Js(Ω,R) satisfaz a hipotese (H3) e, alem disso,jsΠ e o primeiro jato que mostra que Π nao tem mınimo na origem, entao,para toda curva algebrica γ : [0, ρ] → Rn tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \ 0se 0 < t ≤ ρ, tem-se que Π`|rγ ≡ 0 para todo ` ≤ s − 1 e Πs(q) < 0 paracada q ∈ rγ \ 0.

DemonstracaoSeja uma curva algebrica γ : [0, ρ] → Rn tal que γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \ 0se 0 < t ≤ ρ; parametrizemos a semi-reta rγ = τq0 com τ ≥ 0 para algumq0 ∈ rγ \ 0. Do Lema 2.3.1 segue que

jsΠ(q) < 0, ∀q ∈ (rγ \ 0) ∩Bε0

para algum 0 < ε0 < 1. Usando jsΠ =∑

`≤s−1 Π` + Πs e a homogeneidadedas funcoes Π`, podemos escrever

jsΠ(τq0) =∑`≤s−1

τ `Π`(q0) + τ sΠs(q0).

Suponha, por absurdo, que para algum ` ≤ s − 1, Π`|rγ 6= 0, tomemos`0 = min` ≤ s − 1 : Π`|rγ 6= 0, entao Π`0 |rγ e uma funcao homogenea degrau `0, portanto ou Π`0 |rγ tem mınimo estrito em 0 ou tem maximo estritoem 0. No primeiro caso Π`0(q0) > 0 e jsΠ(τq0) = τ `0Π`0(q0) + o(|q0|s),donde jsΠ|rγ tem mınimo estrito local em 0, contrariando o Lema 2.3.1. Nosegundo caso j`0Π mostra que Π nao tem mınimo na origem, contrariandoa hipotese, pois `0 < s.

Observacao 3.1.2 Considere

Zs−1 :=s−1⋂`=k

q ∈ Ω

∣∣Π`(q) = 0\ 0.

Observemos que, Zs−1 ⊂ (js−1Π)−1(0) e, da homogeneidade das funcoesΠ`, segue que Zs−1 ∪ 0 e um cone de vertice em 0.

Observacao 3.1.3 O Corolario 3.1.1, mostra que se Π ∈ Js(Ω,R) e jsΠ eo primeiro jato que mostra que Π nao tem mınimo na origem, entao existepelo menos uma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 paratodo q ∈ r \ 0.

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 23

Proposicao 3.1.4 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), sejauma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 e denotemos por ∆r a componenteconexa de Zs−1 que contem r. Se Πs(q0) < 0 para algum q0 ∈ r \ 0, entaoΠs(q) < 0 para todo q ∈ ∆r \ 0.

DemonstracaoDa conexidade de ∆r, basta mostrar que Πs(q) 6= 0 para todo q ∈ ∆r \ 0.Suponha por absurdo que, para algum q1 ∈ ∆r \ 0, vale Πs(q1) = 0.Notemos primeiro que na reta ` = tq0|t ∈ R tem-se Πs(tq0) = tsΠs(q0),assim o unico ponto de ` onde Πs anula-se e a origem, portanto q1 /∈ `.Tomemos entao q∗ o ponto do segmento q0q1 mais afastado de q1 tal queΠs(q

∗) = 0 e Πs(q) < 0 se q esta no segmento q0q∗ \ q∗. Entao, pelasobservacoes precedentes, q∗ 6= 0, e temos que q∗ ∈ As \ 0 e jsΠ(q∗) = 0,contrariando (H3).

3.2 Construindo o cone KsSe r ⊂ Zs−1 e uma semi-reta de origem em 0 e q ∈ r \ 0 um ponto

fixado, podemos considerar aqui o hiperplano [r]⊥ ortogonal a r que passapor q. Vamos construir um cone fechado Kr ⊂ Rn contendo r e de verticena origem; simplesmente consideramos uma bola fechada B ⊂ [r]⊥ de centroem q e raio δ > 0, com B ∩ Zs−1 ⊂ ∆r, e definindo Kr como

Kr :=⋃x∈B

Lx, Lx := λx|0 ≤ λ.

Este cone fechado sera util no futuro para uma construcao mais sofisticada.

Proposicao 3.2.1 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), sejauma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todo q ∈r \ 0 e considere a componente conexa ∆r de Zs−1 que contem r. Entaoexiste um cone fechado Kr ⊂ Rn de vertice na origem tal que

1. r \ 0 ⊂ (Kr),

2. Πs(q) < 0 para todo q ∈ Kr \ 0,

3. Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r.

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24 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

K r

∆r

r

0

B

R

n−1

Figura 3.1: O cone Kr e o cone ∆r ⊂ Zs−1.

DemonstracaoFixemos um ponto q0 ∈ r\0 e escolhamos um numero 0 < δ0 < 1 pequenoo suficiente tal que B∩Zs−1 ⊂ ∆r, onde B ⊂ [r]⊥ e a bola fechada de centroem q0 e raio δ0 > 0 de [r]⊥; como feito acima, o conjunto Kr dado por

Kr :=⋃x∈B

Lx, Lx := λx|0 ≤ λ

e de fato um cone fechado de vertice em 0 e como vale Lq0 = r, segueentao o item 1. Como Πs(q0) < 0, da continuidade da funcao Πs segueque eventualmente diminuindo δ0 > 0, se necessario, tem-se Πs(x) < 0 paratodo x ∈ B, e sendo Πs uma funcao homogenea tem-se que Πs(q) < 0 paratodo q ∈ Lx \ 0 e todo x ∈ B, consequentemente Πs(q) < 0 para todoq ∈ Kr \0, isto mostra o item 2. Para obter o item 3, note que, como Kr eZs−1 sao cones de vertice na origem, entao, se y ∈ Kr∩Zs−1, ty ∈ Kr∩Zs−1,

para todo t > 0, assim tomando t? = |q0||y| , tem-se t?y ∈ B ∩ Zs−1, portanto

Kr ∩ Zs−1 =⋃x∈B

(Lx ∩ Zs−1) =⋃

x∈B∩Zs−1

Lx.

Como B ∩ Zs−1 ⊂ ∆r, resulta da conexidade de ∆r que y ∈ ∆r, concluindoa demonstracao (ver Figura 3.1).

Observacao 3.2.2 A Proposicao 3.2.1 diz que, para cada semi-reta r ⊂Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todo q ∈ r \ 0, o cone Kr

construido so intersepta Zs−1 na componente conexa ∆r que contem r.

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 25

Corolario 3.2.3 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e con-sidere uma semi-reta r ⊂ Zs−1 de origem em 0 tal que Πs(q) < 0 para todoq ∈ r \ 0, e seja ∆r a componente conexa de Zs−1 que contem r. Entaoexiste um cone Ks ⊂ Rn de vertice na origem tal que

(a) ∆r \ 0 ⊂ (Ks).

(b) Se q ∈ ∂Ks\0 existe ` ∈ k, · · · , s−1 tal que Π`(q) > 0 e Πj(q) = 0para j < `.

(c) Πs(q) < 0 para todo q ∈ Ks \ 0.

DemonstracaoDa Proposicao 3.1.4, temos que para cada semi-reta r ⊂ ∆r de origem em 0tem-se Πs(q) < 0 para todo q ∈ r\0 e da Proposicao 3.2.1, existe um conefechado Kr ⊂ Rn de vertice na origem com as propriedades la descritas, istoe:

1. r \ 0 ⊂ (Kr),

2. Πs(q) < 0 para todo q ∈ Kr \ 0,

3. Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r.

Definamos o conjunto Ks como sendo

Ks :=⋃r⊂∆r

Kr.

Seja q ∈ Ks \ 0 arbitrario, entao q ∈ Kr \ 0 para alguma semi-retar ⊂ ∆r, tal que r \ 0 ⊂ Kr ; daqui segue que, Πs(q) < 0 e alem disto, paracada λ ≥ 0 vale λq ∈ Kr; isto mostra o item (c) e que Ks e de fato um conede vertice em 0.

Notemos que para todo r ⊂ ∆r, o conjunto⋃r⊂∆r

(Kr) e aberto e⋃

r⊂∆r(Kr)

⊂ Ks, portanto⋃r⊂∆r

(Kr) ⊂ (Ks), e daqui obtemos as

seguintes inclusoes

(∆r \ 0) =⋃r⊂∆r

(r \ 0) ⊂⋃r⊂∆r

(Kr) ⊂ (Ks),

o que mostra o item (a).Agora note que Ks ∩ Zs−1 =

⋃r⊂∆r

Kr ∩ Zs−1 e, pela Proposicao 3.2.1Kr ∩ Zs−1 ⊂ ∆r \ 0, assim

Ks ∩ Zs−1 ⊂ ∆r \ 0 ⊂ (Ks).

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26 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

r ∆r0

R

n−1

Fi

K s

Figura 3.2: O cone Ks e algum cone Fi ⊂ ∂Ks \ 0 (k ≤ i ≤ s− 1).

Como Zs−1 = Zs−1 ∪ 0, e claro que se q ∈ Zs−1 e q 6= 0, entao q ∈ Zs−1,o que mostra que ∂Ks ∩ Zs−1 ∩Bδ = ∅, para todo δ > 0.

Portanto, se q ∈ ∂Ks e q 6= 0, entao q ∈ (Zs−1)c, e como

(Zs−1)c =

s−1⋃`=k

q ∈ Ω

∣∣Π`(q) 6= 0

vem que, para todo q ∈ ∂Ks\0, existe `1 ∈ k, ..., s−1 tal que Π`1(q) 6= 0.Podemos considerar o menor destes numeros `1(q) := min`1 ∈ k, · · · , s−

1|Π`1(q) 6= 0, e definir subconjuntos F` ⊂ ∂Ks \ 0 da forma

F` :=q ∈ ∂Ks \ 0

∣∣∣`1(q) = `, ` ∈ k, ..., s− 1.

Note que (ver Figura 3.2)

s−1⋃`=k

F` = (∂Ks \ 0).

Proposicao 3.2.4 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1)−(H3). Entaoexistem ε > 0 e m > 0 tal que o cone Ks ⊂ Rn dado no Corolario 3.2.3satisfaz:

(i) js−1Π(q) ≥ m2 |q|

s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε,

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 27

(ii) Ps−1(q) ≥ (s− 1)m2 |q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.

DemonstracaoTem-se que ∂Ks e um cone de vertice na origem. Seja S a esfera de centrona origem e raio 1; o conjunto ∂Ks ∩ S e compacto.

Se x ∈ ∂Ks ∩ S entao x ∈ F` para algum ` ∈ k, ..., s − 1 e portantoΠ`(x) > 0. Existe εx > 0 tal que Π`(q) > 0 para todo q ∈ (∂Ks∩S)∩Bεx(x);podemos definir Bx = (∂Ks ∩ S) ∩Bεx(x) e considerar

mx = minq∈BxΠ`(q) > 0

Se Cone(Bx) e o cone de vertice na origem gerado por Bx, e q ∈ Cone(Bx),q 6= 0, entao (ver Figura 3.3)

j`Π(q) = j`−1Π(q) + Π`(q) ≥ Π`(q) = |q|`Π`

( q|q|

)≥ mx|q|`.

Para s > `+ 1, escrevendo js−1Π = j`Π + js−1` Π, vem js−1

` Π = Π`+1 + ...+Πs−1, e portanto j`(js−1

` Π) = 0. Se q ∈ Cone(Bx), q 6= 0, entao

js−1Π(q) = j`Π(q) + js−1` Π(q) ≥ mx|q|` + js−1

` Π(q),

e como j`(js−1` Π) = 0 existe ρx > 0 tal que se 0 < |q| < ρx entao

|js−1` Π(q)| ≤ mx

2|q|`.

Assim, se 0 < |q| < ρx e q ∈ Cone(Bx), tem-se

js−1Π(q) ≥ mx

2|q|`.

A famılia C = Bεx(x)|x ∈ ∂Ks∩S e uma cobertura por abertos de ∂Ks∩S.Seja Bεx1 (x1), Bεx2 (x2), ..., Bεxr (xr) uma subcobertura finita de C tal que

∂Ks ∩ S ⊂ Bεx1 (x1) ∪Bεx2 (x2) ∪ ... ∪Bεxr (xr).

Como Bxi = (∂Ks ∩ S) ∩Bεxi (xi), i ∈ 1, ..., r, segue que

∂Ks ∩ S ⊂ Bx1 ∪Bx2 ∪ ... ∪Bxr .

Notemos que xi ∈ ∂Ks ∩ S, i ∈ 1, ..., r, entao pelo procedimento anterior,para cada i ∈ 1, ..., r existem mxi > 0, ρxi > 0 e `i ∈ k, ..., s − 1 taisque, se 0 < |q| < ρxi e q ∈ Cone(Bxi) tem-se

js−1Π(q) ≥ mxi

2|q|`i .

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28 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

Consideremos agora os numeros

m := minmx1 , ...,mxr > 0, ρ := minρx1 , ..., ρxr > 0,

e seja q ∈ ∂Ks, q 6= 0; e claro que xq = q|q| ∈ S e como ∂Ks e um cone de

vertice na origem xq = q|q| ∈ ∂Ks, logo xq ∈ ∂Ks∩S, portanto xq ∈ Bεxiq (xiq)

para algum iq ∈ 1, ..., r, consequentemente tem-se que xq ∈ Bxiq ; e alemdisso observemos que q = |q|xq ∈ Cone(Bxiq ). Assim, se 0 < |q| < ρobtemos

js−1Π(q) ≥mxiq

2|q|`iq ≥ m

2|q|`iq .

Portanto, se 0 < ε′ < minρ, 1 tem-se

js−1Π(q) ≥ m

2|q|`iq ≥ m

2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ ,

o qual mostra o item (i) em Bε′ .

Para ver o item (ii) note que, como js−1Π(q) =∑s−2

`=k Π`(q) + Πs−1(q),podemos escrever a seguinte estimativa

Πs−1(q) ≥ m

2|q|s−1 −

s−2∑`=k

Π`(q), ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ .

Pela hipotese (H1) vale j`Π(q) ≥ 0 se k ≤ ` ≤ s − 1 e q ∈ Bε′ ; e comoj`Π(q) = j`−1Π(q) + Π`(q) =

∑`−1i=k Πi(q) + Π`(q), podemos escrever

Π`(q) ≥ −`−1∑i=k

Πi(q), ∀q ∈ Bε′ , k + 1 ≤ ` ≤ s− 1

Dado q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε′ temos que tq ∈ ∂Ks \ 0 para todo t > 0.Como vale `

`+1 <`+1`+2 para cada ` ∈ N, temos que k

k+1 = mink≤`≤s−1 ``+1.

Consideremos 0 < t < kk+1 , as estimativas dadas acima e a identidade

Ps−1(q) = 〈∇js−1Π(q), q〉 =s−1∑`=k

`Π`(q)

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 29

para mostrar as seguintes desigualdades

Ps−1(tq) =s−2∑`=k

`t`Π`(q) + (s− 1)ts−1Πs−1(q)

≥s−2∑`=k

`t`Π`(q) + (s− 1)ts−1(m

2|q|s−1 −

s−2∑`=k

Π`(q))

=s−2∑`=k

(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q) + (s− 1)ts−1m

2|q|s−1

=

s−3∑`=k

(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q) + ((s− 2)ts−2 − (s− 1)ts−1)Πs−2(q)

+(s− 1)ts−1m

2|q|s−1

≥s−3∑`=k

(`t` − (s− 1)ts−1)Π`(q)− ((s− 2)ts−2 − (s− 1)ts−1)

s−3∑`=k

Π`(q)

+(s− 1)ts−1m

2|q|s−1

=s−3∑`=k

(`t` − (s− 2)ts−2)Π`(q) + (s− 1)ts−1m

2|q|s−1

...

= (ktk − (k + 1)tk+1)Πk(q) + (s− 1)ts−1m

2|q|s−1

= (k − (k + 1)t)Πk(tq) + (s− 1)m

2|tq|s−1.

Daqui, como Πk(tq) = jkΠ(tq) ≥ 0 e 0 < t < kk+1 resulta

Ps−1(tq) ≥ (s− 1)m

2|tq|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ , 0 < t <

k

k + 1

Portanto, se ε = kk+1ε

′ obtemos o afirmado

Ps−1(q) ≥ (s− 1)m

2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.

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30 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

Ks

Cone(B x )xB

εx( x )

1

0

S

Figura 3.3: Um ponto x ∈ ∂Ks ∩ S e o cone Cone(Bx).

Corolario 3.2.5 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3). Entaoexiste ε > 0 tal que o cone Ks ⊂ Rn dado no Corolario 3.2.3, satisfaz:

(i)′ jsΠ(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε,

(ii)′ Ps(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε.

DemonstracaoDo item (c) dado no Corolario 3.2.3, tem-se que Πs(q) < 0 para cada q ∈Ks \ 0; logo vale Πs(

q|q|) = |q|−sΠs(q) < 0 para cada q ∈ Ks \ 0, e como

a esfera ∂B1 de raio 1 e compacta, existem constantes M1 > 0, M2 > 0 taisque

−M1 ≤ Πs

( q|q|

)≤ −M2, ∀q ∈ (Ks \ 0).

Da Proposicao 3.2.4, item (i), existem uma constante uniforme m > 0 e onumero 0 < ε′ < 1 tais que

js−1Π(q) ≥ m

2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ .

Assim, para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′ resulta

jsΠ(q) = js−1Π(q) + Πs(q) ≥m

2|q|s−1 −M1|q|s = |q|s−1

(m2−M1|q|

)e considerando ε1 = minε′, m

2M1 obtemos o afirmado no item (i)′, em Bε1 .

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 31

Analogamente, da Proposicao 3.2.4, item (ii), existe 0 < ε′′ < 1 tal que

Ps−1(q) ≥ (s− 1)m

2|q|s−1, ∀q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′′ ,

logo, para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩Bε′′ obtemos

Ps(q) = Ps−1(q) + sΠs(q) ≥ (s− 1)m

2|q|s−1 − sM1|q|s

= |q|s−1[(s− 1)

m

2− sM1|q|

],

e considerando ε2 = minε′′, (s−1)m2sM1

obtemos o afirmado no item (ii)′, emBε2 . Agora tome ε = minε1, ε2.

Observacao 3.2.6 Do Corolario 3.2.3, temos que, se o conjunto

Ms−1 :=r ⊂ Zs−1

∣∣ Πs|(r\0) < 06= ∅

for conexo, entao Ms−1 = ∆r para alguma semi-reta r ⊂ Ms−1 de origemem 0. O conjunto Ms−1 e de fato um cone positivo de vertice na origem esera chamado de cone tangente ao conjunto As, pois, para qualquer curvaalgebrica γ : [0, ρ] −→ Ω com γ(0) = 0 e γ(t) ∈ As \0 se 0 < t ≤ ρ, tem-seque rγ ⊂Ms−1.

Admitindo que o cone tangente Ms−1 ao conjunto As e constituido poruma unica componente conexa, temos a seguinte consequencia

Corolario 3.2.7 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e sejar uma semi-reta de origem 0 contida em Ms−1. Se As e Cs sao, respectiva-mente as componentes conexas de As e Cs que contem r \ 0 e Ks e o conedado pelo Corolario 3.2.3, entao existe 0 < ε0 < 1 tal que

(Cs \ 0) ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .

Demonstracao

Do Lema 2.3.1, o cone tangente a As \ 0 e

Ms−1 = r ⊂ Zs−1| Πs|(r\0) < 0

e satisfaz a inclusao Ms−1 ⊂ As pois jsΠ|(r\0) = Πs|(r\0) para cada semi-reta r ∈ Ms−1; do item (a) dado no Corolario 3.2.3 temos Ms−1 ⊂ (Ks), e

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32 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

do item (b) segue que a fronteira ∂Ks \ 0 nao e tangente a As \ 0 pois(∂Ks \ 0) ∩ Zs−1 ∩Bε = ∅ para todo ε > 0.

Alem disto, do item (i)′ dado no Corolario 3.2.5, existe 0 < ε1 < 1 talque jsΠ(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε1 , assim, diminuindo ε1 senecessario, obtemos

(As \ 0) ∩Bε1 ⊂ (Ks) ∩Bε1

e, como do item (c) dado no Corolario 3.2.3, vale Πs(q) < 0 para cadaq ∈ Ks \ 0, tem-se

Πs(q) < 0, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .

Pela hipotese (H3) vale a inclusao (As \ 0) ∩ Bε1 ⊂ Cs ∩ Bε1 , conse-quentemente vale Ps(q) < 0, para todo q ∈ (∂As \ 0) ∩ Bε1 , e comoPs(q) = 〈∇jsΠ(q), q〉 satisfaz a igualdade (dada na proxima secao, no Lema3.3.1)

Ps(q) = (s− 1)jsΠ(q)−s−2∑`=k

j`Π(q) + Πs(q)

utilizando a hipotese (H1) obtemos daqui que

Ps(q) ≤ Πs(q), ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .

Lembremos que como Ks e um cone positivo de vertice na origem, fechado,existem constantes M1 > 0 e M2 > 0 tais que

−M1 ≤ Πs

( q|q|

)≤ −M2, ∀q ∈ (Ks \ 0).

Seja agora uma funcao o(|q|s), esta funcao satisfaz limq→0o(|q|s)|q|s = 0, isto e,

para M2 > 0 existe 0 < ε1 < ε1 tal que∣∣∣o(|q|s)|q|s∣∣∣ < M2

2, ∀q ∈ Bε1 .

Daqui, se q ∈ (Ks \ 0) ∩Bε1 tem-se

Πs(q) + o(|q|s) = |q|s[Πs

( q|q|

)+o(|q|s)|q|s

]≤ −M2

2|q|s,

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3.2. CONSTRUINDO O CONE KS 33

CsK s

r

M

ε

0

o

o

s−1

Figura 3.4: O conjunto Cs e o cone Ks.

consequentemente, como para cada q ∈ (∂As \ 0) ∩ Bε1 existe uma semi-reta contida em (Ks) ∩Bε1 passando pela origem e por q, vale que

Πs(q) + o(|q|s) ≤ −M2

2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .

Assim, usando a desigualdade

Ps(q) ≤ Πs(q), ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1

resulta que

Ps(q) + o(|q|s) ≤ −M2

2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1 .

Alem disto, do item (ii)′ dado no Corolario 3.2.5, existe 0 < ε2 < 1 talque Ps(q) > 0 para cada q ∈ (∂Ks \ 0) ∩ Bε2 , assim, se considerarmosε0 = minε2, ε1, obtemos (ver Figura 3.4)

(Cs \ 0) ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .

Observacao 3.2.8 A desigualdade

Ps(q) + o(|q|s) ≤ −M2

2|q|s, ∀q ∈ (∂As \ 0) ∩Bε1

vista no Corolario 3.2.7 mostra uma propriedade do polinomio Ps no con-junto (∂As\0)∩Bε1 que na proxima secao sera definida como s-resistencia.

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34 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

Esta propriedade refere-se a resistencia do sinal de um polinomio num con-junto. Neste caso tem-se claramente que o sinal de Ps(q)+o(|q|s) e o mesmoque o de Ps(q) em (∂As \ 0)∩Bε1, isto e, o sinal de Ps(q) “resiste”a per-turbacoes de ordem o(|q|s) no conjunto (∂As \0)∩Bε1 em uma vizinhancada origem.

Observacao 3.2.9 Se Ms−1 e constituido por mais de uma componenteconexa, aplicamos a cada componente o corolario 3.2.7.

3.3 s-resistencia de Ps

Comecamos esta secao dando a seguinte estimativa para Ps

Lema 3.3.1 Se Π ∈ Js(Ω,R), entao jsΠ(q) =∑s

`=k Π`(q) e sua derivadaradial Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 satisfazem a seguinte igualdade:

Ps(q) = (s− 1)jsΠ(q)−s−2∑`=k

j`Π(q) + Πs(q).

DemonstracaoComo Π` e uma funcao homogenea para todo ` ∈ k, ..., s, obtemos doteorema de Euler que Ps(q) =

∑s`=k `Π`(q), e a igualdade segue diretamente.

Admitindo que os conjuntos As e Cs, assim como o cone Ms−1 tangenteao conjunto As, sao todos constituidos por uma unica componente conexa,o seguinte resultado de crucial importancia e obtido:

Proposicao 3.3.2 Suponha que Π satisfaz as hipoteses (H1)−(H3). Entaoexistem 0 < ε < 1 e um conjunto semi-algebrico Ws ⊂ Bε tais que 0 ∈ ∂Ws,e:

1. (As \ 0) ∩Bε ⊂W s ⊂W s \ 0 ⊂ (Cs) ∩Bε.

2. Πs(q) < 0 para todo q ∈W s\0 e, ademais, existem constantes α > 0e β > 0 tais que:

(a) Se q ∈ ∂Ws \ 0, entao jsΠ(q) ≥ −αΠs(q);

(b) Se q ∈W s \ 0, entao Ps(q) ≤ βΠs(q).

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3.3. S-RESISTENCIA DE PS 35

DemonstracaoConsideremos a seguinte famılia a um parametro de conjuntos semi-algebricosWλs := q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0, onde Q(q, λ) ∈ R[q, λ] sao polinomios definidos

como

Q(q, λ) := (s− 1)jsΠ(q) + λ[−

s−2∑`=k

j`Π(q) + Πs(q)].

Observemos que estes polinomios satisfazem o seguinte:

(i) Q(q, 0) = (s− 1)jsΠ(q) para todo q ∈ Ω, o qual mostra que W0s = As;

(ii) Q(q, 1) = Ps(q) para todo q ∈ Ω, mostrando que W1s = Cs;

(iii) ∂Q∂λ (q, λ) = −

∑s−2`=k j

`Π(q) + Πs(q) para todo q ∈ Ω, daqui que, uti-lizando a hipotese (H1), obtemos

∂Q

∂λ(q, λ) < Πs(q) < 0, ∀q ∈ Ks \ 0, ∀λ ∈ [0, 1],

onde Ks e o cone construido no Corolario 3.2.7 (e que tem a estruturadada no Corolario 3.2.3).

Consideremos 0 < ε0 < 1 dado no Corolario 3.2.7; do item (iii), sendo asfuncoes Q(q, ·) decrescentes, para todo q ∈ (Ks \ 0) ∩ Bε0 temos que, afamılia Wλ

s e crescente em λ, isto e; se 0 < λ1 < λ2 < 1 valem as seguintesinclusoes

(As \ 0) ∩Bε0 ⊂ Wλ1s ∩Bε0 ⊂ Wλ2

s ∩Bε0 ⊂ Cs ∩Bε0

Para algum numero 0 < ε < ε0 < 1, consideremos o conjunto semi-algebrico

Ws := W1/2s ∩ Bε, e claro que 0 ∈ ∂Ws e que Ws ⊂ Bε satisfaz o item 1. E

claro tambem que, da inclusao

W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε ⊂ (Ks) ∩Bε

e do Corolario 3.2.3, tem-se que Πs(q) < 0 para todo q ∈W s\0. Daqui, seq ∈ ∂Ws\0, entao Q(q, 1/2) = 0, de onde obtemos a seguinte desigualdade

(s− 1)jsΠ(q) = −(1/2)[−

s−2∑`=k

j`Π(q) + Πs(q)]≥ −(1/2)Πs(q)

o que mostra o item 2-(a) com α = 12(s−1) .

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36 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

C s

WsA s

0

ε

1/2

Figura 3.5: O conjunto Ws e a s-resitencia.

Por outro lado, se q ∈W s\0, entaoQ(q, 1/2) ≤ 0, de onde conseguimosa segunda desigualdade

Ps(q) = Q(q, 1) = Q(q, 1/2) +Q(q, 1)−Q(q, 1/2)

≤ (1/2)[−

s−2∑`=k

j`Π(q) + Πs(q)]

≤ (1/2)Πs(q)

mostrando o item 2-(b) com β = 12 (ver Figura 3.5).

Consideremos a seguinte

Definicao 3.3.3 Seja U ⊂ Ω um conjunto aberto com 0 ∈ ∂U e f umpolinomio de grau menor ou igual a s tal que f(0) = 0 e f(q) < 0 paracada q ∈ U . Dizemos que f e s-resistente em U \ 0, se para toda funcaoh ∈ Js(Ω,R) com jsh ≡ 0, existe ε = ε(h) > 0 tal que f(q) + h(q) < 0 paracada q ∈ (U \ 0) ∩Bε.

Podemos agora, apresentar nosso resultado principal em termos de s-resistencia.

Teorema 3.3.4 Se Π satisfaz as hipoteses (H1) − (H3), e se W s e o con-junto dado na Proposicao 3.3.2, entao

(i) Existe 0 < ε1 < 1 tal que Π(q) > 0, para todo q ∈ (∂Ws \ 0) ∩Bε1.

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3.3. S-RESISTENCIA DE PS 37

(ii) Existe 0 < ε2 < 1 tal que, Ps e s-resistente em (W s \ 0) ∩Bε2.

DemonstracaoConsideremos 0 < ε0 < 1 obtido na Proposicao 3.3.2, tal que

Πs(q) < 0, ∀q ∈W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε0 ⊂ (Ks) ∩Bε0 .

Como em qualquer curva algebrica γ : [0, 1)→W s com γ(0) = 0, γ(t) 6= 0 set > 0, tem-se que 0 e ponto de maximo de Πs|γ , existe 0 < ε1 = ε1(ε0) < ε0

tal que

Πs(q) ≤ −ε0|q|s, ∀q ∈W s \ 0 ∩Bε1 .

Na vizinhanca Bε0 , a funcao Π pode ser escrita, por hipotese, da seguinteforma

Π(q) = jsΠ(q) + o(|q|s), q ∈ Bε0 ,

onde o(|q|s) e uma funcao contınua satisfazendo limq→0o(|q|s)|q|s = 0, portanto

|o(|q|s)| < αε0

2|q|s, ∀q ∈ Bε1 \ 0.

Assim, do item 2-(a) dado na Proposicao 3.3.2, podemos obter, para todoq ∈ (∂Ws \ 0) ∩Bε1 a seguinte desigualdade

Π(q) = jsΠ(q) + o(|q|s) ≥ −αΠs(q) + o(|q|s) > αε0

2|q|s,

o que mostra o item (i), para ε1 ≤ αε02 .

Considere agora 0 < ε1 < 1, obtido na Proposicao 3.3.2. Sabemos que

Πs(q) < 0, ∀q ∈W s \ 0 ⊂ Cs ∩Bε1 ⊂ (Ks) ∩Bε1

e, como na prova do item anterior, existe 0 < ε2 = ε2(ε1) < ε1 tal que

Πs(q) ≤ −ε1|q|s, ∀q ∈W s \ 0 ∩Bε2 .

Seja agora h ∈ Js(Ω,R) uma funcao definida em Bε1 ⊂ Ω, tal que jsh ≡ 0;por definicao h(q) = o(|q|s), q ∈ Bε1 , portanto,

|h(q)| < βε1

2|q|s, ∀q ∈ Bε2 \ 0.

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38 CAPITULO 3. CONES TANGENTES E S-RESISTENCIA

Assim, do item 2-(b) dado na Proposicao 3.3.2, podemos obter, para todoq ∈ (W s \ 0) ∩Bε2 a seguinte desigualdade

Ps(q) + h(q) ≤ βΠs(q) + h(q) ≤ −βε1

2|q|s,

mostrando o item (ii) para ε2 ≤ βε12 , isto e, mostra-se a s-resistencia de

Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 no conjunto (W s \ 0) ∩Bε2 .

Observacao 3.3.5 Considere a componente conexa Θ do conjunto Bε2 ∩Π−1((−∞, 0)) que contem o cone tangente (Ms−1 \ 0) ∩Bε2. Obtemos daProposicao 3.3.2 que

Θ ∩ (∂Ws \ 0) ∩Bε2 = ∅

e, como (Ms−1\0)∩Bε2 ⊂ Θ∩Ws∩Bε2 6= ∅, da conexidade de Θ, obtemosa inclusao

Θ ⊂Ws ∩Bε2 ⊂ (W s \ 0) ∩Bε2 .

Portanto, Ps e s-resistente em Θ.

Corolario 3.3.6 Suponha que Π = jsΠ + R satisfaz as hipoteses (H1) −(H3), e que exista a funcao ∇R(q) = o(|q|s−1). Se W s e um conjunto dadona Proposicao 3.3.2, entao existe 0 < ε3 < 1, tal que 〈∇Π(q), q〉 < 0 paratodo q ∈ (W s \ 0) ∩Bε3.

DemonstracaoConsiderando a funcao h(q) := 〈∇R(q), q〉, temos

〈∇Π(q), q〉 = Ps(q) + h(q)

e o resultado segue da s-resistencia da funcao Ps dada no Teorema 3.3.4.

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Capıtulo 4

Aplicacoes da s-resistenciade Ps

Neste capıtulo usaremos nosso resultado sobre s-resistencia do capıtuloanterior para obter uma resposta positiva a conjectura de Liapunov apre-sentada no Capıtulo 1 para energias potenciais Π ∈ Js(Ω,R) que satisfazemas hipoteses (H1) − (H3). Variantes das hipoteses (H1) − (H3) serao apre-sentadas e veremos em que medida a conjectura de Liapunov e ainda valida.

4.1 Instabilidade do equilıbrio segundo Liapunov

Estudemos aqui a estabilidade segundo Liapunov do equilıbrio (q0, p0) =(0, 0) ∈ Rn × Rn, com n ≥ 2 graus de liberdade, cuja dinamica e governadapelo sistema hamiltoniano

XH(q, p)

q = ∂H

∂p (q, p)

p = −∂H∂q (q, p)

com hamiltoniana H(q, p) = T (q, p) + Π(q), (q, p) ∈ Ω × Rn onde Ω ⊂ Rne uma vizinhanca aberta da origem. Suporemos que a energia cinetica eda forma T (q, p) := 1

2〈p,B(q)p〉, sendo B(q) uma matriz simetrica definida

positiva, de clase C2(Ω,Rn2).

4.1.1 Hipoteses (H1)− (H3)

No que segue, dizer que o sistema hamiltoniano XH satisfaz as hipoteses(H1) − (H3) sera equivalente a dizer que a energia potencial Π ∈ Js(Ω,R)

39

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40 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS

satisfaz as hipoteses (H1) − (H3). Admitiremos tambem que, se Π(q) =jsΠ(q) + R(q), entao ∇R(q) e de ordem o(|q|s−1) em uma vizinhanca daorigem.

Teorema 4.1.1 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H1)− (H3), entao Π e uma energia potencial do tipo Cetaev e, portanto, oequilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundo Liapunov.

DemonstracaoSeja ε > 0, o numero dado no item (ii) do Teorema 3.3.4, tal que Bε ⊂ Ω.

Temos deste resultado, a existencia do conjunto Ws :=W1/2s ∩ Bε 6= ∅ com

0 ∈ ∂Ws tal que Ps(q) := 〈∇jsΠ(q), q〉 e s-resistente em (W s \ 0) ∩ Bε;alem disso, na prova do Teorema 3.3.4 foi mostrado que se Θ e a componenteconexa de Π−1((−∞, 0)) ∩Bε que contem o cone tangente Ms−1 ∩Bε, valea inclusao

Θ ⊂Ws ∩Π−1((−∞, 0)) ∩Bε ⊂ (W s \ 0) ∩Bε,

diminuindo ε se necessario. Portanto, do Corolario 3.3.6, resulta

〈∇Π(q), q〉 < 0, ∀q ∈ Θ.

Agora vai-se apresentar, nas secoes 4.1.2 e 4.1.3, casos particulares doteorema 4.1.1. De um ponto de vista formal nao haveria necessidade defazer a demonstracao da instabilidade da origem nestes casos, visto seremcasos particulares do nosso teorema principal, mas optamos por apresentardemonstracoes explıcitas para cada caso pois, alem de serem mais simplesdo que a do Teorema 4.1.1, ilustram tecnicas e procedimentos usuais nestaarea, podendo eventualmente vir a ser usadas em outras situacoes no futuro.

4.1.2 Hipoteses (H11 )− (H3)

Aqui substituimos nossa hipotese (H1) pela seguinte hipotese

(H11 ) Π` ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω, se ` ≤ s− 1.

Corolario 4.1.2 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H1

1 )−(H3), entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundoLiapunov.

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4.1. INSTABILIDADE DO EQUILIBRIO SEGUNDO LIAPUNOV 41

DemonstracaoE claro que a hipotese (H1

1 ) implica na hipotese (H1), entao com as hipoteses(H1

1 ) − (H3), podemos obter tambem um numero ε > 0 e um conjunto

Ws := W1/2s ∩ Bε de maneira similar ao feito na Proposicao 3.3.2. Neste

caso particular o conjuntoW1/2s e obtido como um elemento da famılia a um

parametro Wλs = q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0 de conjuntos semi-algebricos, onde

Q(q, λ) := (s− 1)jsΠ(q) + λ[ s−2∑`=k

(`− (s− 1))Π`(q) + Πs(q)], λ ∈ [0, 1].

Para ε > 0 pequeno suficiente, o conjunto Ws :=W1/2s ∩Bε, de fato, satisfaz

a Proposicao 3.3.2 com constantes α = 12(s−1) e β = 1

2 .

4.1.3 Hipoteses (H21 )− (H3)

Aqui substituimos nossa hipotese (H1) pela seguinte hipotese

(H21 ) Existe ν ∈ k, ..., s− 1 tal que numa vizinhanca da origem Πr ≥ 0 e

Π` ≤ 0, se k ≤ r ≤ ν e ν + 1 ≤ ` ≤ s− 1 e, alem disso js−1Π ≥ 0.

Corolario 4.1.3 Se o sistema hamiltoniano XH(q, p) satisfaz as hipoteses(H2

1 )−(H3), entao o equilıbrio (q, p) = (0, 0) deste sistema e instavel segundoLiapunov.

DemonstracaoE claro que as hipoteses (H2

1 ) − (H3) implicam nas hipoteses (H1) − (H3),entao de maneira similar ao feito na Proposicao 3.3.2 conseguimos aqui

tambem um numero ε > 0 e um conjunto Ws := W1/2s ∩ Bε, onde W1/2

s

neste caso particular, e obtido como um elemento da famılia a um parametroWλs = q ∈ Ω|Q(q, λ) < 0 com λ ∈ [0, 1], de conjuntos semi-algebricos, onde

Q(q, λ) = νjsΠ(q) + λ[ ν−1∑r=k

(r − ν)Πr(q) +

s−1∑`=ν+1

(`− ν)Π`(q) + (s− ν)Πs(q)]

Para ε pequeno suficiente, o conjunto Ws := W1/2s ∩ Bε tambem satisfaz a

Proposicao 3.3.2 com constantes α = s−ν2ν e β = s−ν

2 .

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42 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS

4.2 Analise da hipotese (H1)

Nesta secao, analisamos o que acontece se substituimos nossa hipotese(H1) pela seguinte hipotese

(H31 ) js−1Π ≥ 0 numa vizinhanca da origem 0 ∈ Ω.

Ou seja, supomos que jkΠ e o primeiro jato nao nulo de Π e e semi-definido positivo, jsΠ e o primeiro jato de Π que mostra que Π nao temmınimo na origem e js−1Π e semi-definido positivo.

Estas hipoteses pareciam, quando comecamos o trabalho, “hipotesesmais naturais” para, supondo-se que jsΠ e um potencial de tipo Cetaevpodemos concluir que Π tambem seria um potencial de tipo Cetaev.

Veremos que isto nao e verdade, mostraremos um exemplo no plano emque k = 6, s = 12, j12Π mostra que Π nao tem mınimo na origem, j11Π esemidefinido positivo na origem, a derivada radial de j12Π e negativa numacomponente conexa de (j12Π)−1((−∞, 0)) e, apesar disso, nao e verdadeque a derivada radial de Π seja negativa em alguma componente conexa deΠ−1((−∞, 0)).

Isto mostra que as hipoteses consideradas na secao anterior nao podemser “muito enfraquecidas” se quisermos usar a derivada radial de Π comofuncao de Cetaev.

Exemplo 4.2.1 Consideremos o polinomio de duas variaveis

f(x, y) =8

3y6 − 3y4x4 +

9

10y2x8 − 1

12x12 − y12

na nossa notacao usual f = f6 + ... + f12, com as seguintes parcelas ho-mogeneas

f6(x, y) =8

3y6 ≥ 0, f7(x, y) = 0,

f8(x, y) = −3y4x4 ≤ 0, f9(x, y) = 0,

f10(x, y) =9

10y2x8 ≥ 0, f11(x, y) = 0,

f12(x, y) = − 1

12x12 − y12 ≤ 0.

Claro que j12f tem sela na origem e j6f , seu primeiro jato nao nulo, e semi-definido positivo. Note tambem que j12f mostra que f nao tem mınimo naorigem, pois j12f(x, 0) = −x12

12 .

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4.2. ANALISE DA HIPOTESE (H1) 43

Alem disso, o jato

j11f(x, y) =8

3y6 − 3y4x4 +

9

10y2x8 = y2(

8

3y4 − 3y2x4 +

9

10x8)

e semi-definido positivo e so se anula no eixo x. Para ver isto, basta observaro polinomio

g(x, y) = (8

3y4 − 3y2x4 +

9

10x8)

como um polinomio na variavel y2 e ver que o discriminante satisfaz

∆(x) = (−3x4)2 − 4(8

3)(

9

10x8) = 9x8(1− 16

15) < 0, ∀x ∈ R \ 0

que juntamente com g(x, 0) = 910x

8 > 0, mostra que g(x, y) e uma funcaopositiva que so se anula na origem.

Ja o jato

j8f(x, y) =8

3y6 − 3y4x4 =

8

3y4(y2 − 9

8x4)

=8

3y4(y − 3

2√

2x2)(y +

3

2√

2x2)

nao e semi-definido positivo e tem uma sela na origem.Isso mostra que o fato do primeiro jato nao nulo de f ser semi-definido

positivo, jsf ser o primeiro jato que mostra que f nao tem mınimo na origeme js−1f ser semi-definido positivo, nao e suficiente para garantir que j`f ≥ 0se ` ≤ s− 1.

Consideraremos agora a derivada radial de f ,

F (x, y) = 〈∇f(x, y), (x, y)〉 = 16y6 − 24y4x4 + 9y2x8 − x12 − 12y12,

e mostraremos que numa vizinhanca da origem,

f−1(

(−∞, 0))⊂ F−1

((−∞, 0)

).

Pode-se escrever F (x, y) da seguinte forma

F (x, y) = (16y6 − 8y4x4 + y2x8) + (−16y4x4 + 8y2x8 − x12)− 12y12

= (y − x2)(y + x2)(2y − x2)2(2y + x2)2 − 12y12.

Notemos que o conjunto L := (x, y) ∈ R2| − x2 ≤ y ≤ x2 e o polinomioQ(x, y) := (y − x2)(y + x2)(2y − x2)2(2y + x2)2 satisfazem

Q(x, y) ≤ 0, ∀(x, y) ∈ L,

Q(x,±x2) = 0, Q(x,±1

2x2) = 0.

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44 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS

Note que as curvas (x,±x2) sao a fronteira de L e as curvas (x,±12x

2) estaono interior de L.

Como F (x, y) = Q(x, y)− 12y12 ≤ Q(x, y) temos que vale a inclusao

L ⊂ C12,

onde C12 e a componente conexa de F−1((−∞, 0)) que contem o eixo x.Consideremos tambem A12, a componente conexa de f−1((−∞, 0)) que

contem o eixo x.

Lema 4.2.2 Existe ε0 > 0 tal que (A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ C12 ∩Bε0.

DemonstracaoObservemos que nas curvas (x,±x2) vale a igualdade

f(x,±x2) =(29

60− x12

)x12.

Daqui vem que, se ε0 = (2960)

112 , entao f(x,±x2) > 0, para 0 < x < ε0.

Portanto

(A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ L ∩Bε0 ,

e como L ⊂ C12, temos que (A12 \ 0) ∩Bε0 ⊂ C12 ∩Bε0 .

Agora sera exbido um conjunto aderente a origem de R2 e neste conjuntoanalisamos a 12-resistencia dos polinomios f e F .

Lema 4.2.3 Se Π : R2 → R e uma funcao que na origem (x, y) = (0, 0)tem jato 12 igual a f , entao se R = (x, y) ∈ R2| − 3

4x2 ≤ y ≤ 3

4x2, vale

que:

(i) Existe ε1 > 0 tal que Π(x, y) < 0 se (x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0),

(ii) F nao e 12-resistente em R.

DemonstracaoNas curvas (x, λx2), com λ ∈ R \ 0, temos que f satisfaz

f(x, λx2) = h(λ)x12 − (λx2)12 ≤ h(λ)x12,

onde h(λ) = 83λ

6−3λ4 + 910λ

2− 112 e uma funcao par que se anula em algum

ponto λ0 ∈ (56 ,

78) e

h(λ) < 0, ∀λ ∈ (−λ0, λ0)

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4.2. ANALISE DA HIPOTESE (H1) 45

alem disto, em λ1 =√

38(1− 1√

5) < 3

4 , h|(−λ0,λ0) tem um maximo global,

portanto

f(x, λx2) ≤ h(λ1)x12, ∀λ ∈[− 3

4,3

4

].

A funcao Π e da forma Π(x, y) = f(x, y) + k(x, y), e k(x, y) e o(|(x, y)|12)na origem, entao dado δ > 0 existe ε1 = ε1(δ) > 0 satisfazendo

|k(x, y)| < δ|(x, y)|12, ∀(x, y) ∈ Bε1

para δ = −h(λ1)27

> 0, temos que

Π(x, y) ≤ h(λ1)x12 − h(λ1)

2x12 =

h(λ1)

2x12, ∀(x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0),

isto mostra o item (i).

Para ver o item (ii), basta considerar a funcao F (x, y)+14x14; podemosver que as curvas (x,±1

2x2) estao no interior do conjunto R e

F(x,±1

2x2)

+ 14x14 = Q(x,±1

2x2)− 12(±1

2x2)12 + 14x14

= − 12

212x24 + 14x14

tem mınimo em x = 0. Como F (x, y) nas curvas (x,±x2) tem maximo emx = 0, isto mostra que F (x, y) nao e 12-resistente em R.

Observemos que F (x, y) + 14x14 e a derivada radial de f(x, y) + x14 eque a funcao Π(x, y) = f(x, y) + x14 ainda satisfaz

Π(x, y) ≤ h(λ1)x12 + x14 < 0, ∀(x, y) ∈ (R ∩Bε1) \ (0, 0).

Isso mostra que, se Π(x, y) = f(x, y) + x14, nao e verdade que vale〈∇Π(x, y), (x, y)〉 < 0 se Π(x, y) < 0, embora Π satisfaca (H3

1 )− (H3).

Com este exemplo fica claro que as hipoteses (H31 ) − (H3) nao sao su-

ficientes para mostrar instabilidade do equilıbrio (q0, 0) = (0, 0) do nossosistema hamiltoniano XH , usando 〈∇Π(x, y), (x, y)〉 como funcao de Cetaev.

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46 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS

4.3 Existencia de trajetorias assintoticas

Nesta secao consideramos o sistema hamiltonianoXH(q, p) dado na secao4.1 satisfazendo as hipoteses (H1) − (H3) e estudamos a existencia de tra-jetorias deste sistema que sao assintoticas a origem. Este estudo, de fato, eum problema relevante em sistemas hamiltonianos, ver por exemplo [P].

Para mostrar a existencia de trajetorias assintoticas no nosso caso es-tabeleceremos um resultado que relaciona trajetorias assintoticas e funcoesauxiliares.

Considere Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, f : Ω→ Rn uma funcao de classeC1 e a equacao diferencial

x = f(x). (4.1)

Suponha que x ∈ Ω e f(x) = 0; entao x e um ponto de equilıbrio de (4.1)e exibiremos uma condicao suficiente para a existencia de uma solucao x(t)de (4.1) tal que limt→−∞ x(t) = x, que e uma solucao assintotica a x parat→ −∞.

E um resultado bem conhecido de Cetaev que, se existe um subconjuntoaberto U de Ω com x ∈ ∂U e uma funcao V : Ω → R tal que V < 0 emU , V = 0 em ∂U e V < 0 em U , entao x e um ponto de equilıbrio instavelde (4.1). Para provar a existencia da solucao assintotica a x precisamosfortalecer a hipotese sobre V . Mais precisamente

Teorema 4.3.1 Suponha que temos Ω, U , f e V como acima e alem disto,que

V (x) < 0, ∀x ∈ ∂U \ x.

Entao existe uma solucao de (4.1) assintotica a x quando t→ −∞.

Vamos provar uma forma mais forte deste resultado usando duas funcoesauxiliares, mais precisamente:

Teorema 4.3.2 Suponha que temos Ω, U , f e x como acima, e admita queexistem duas funcoes C1, V e W , definidas em Ω tais que

(i) V (x) < 0, ∀x ∈ U \ x,

(ii) W (x) < 0, ∀x ∈ U ,

(iii) W (x) = 0, ∀x ∈ ∂U ,

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4.3. EXISTENCIA DE TRAJETORIAS ASSINTOTICAS 47

(iv) W (x) ≤ 0, ∀x ∈ U .

Entao existe uma solucao de (4.1) assintotica a x quando t→ −∞.

Note que o Teorema 4.3.1 e um caso particular do Teorema 4.3.2 quandoV = W , entao e suficiente provar o ultimo resultado.

DemonstracaoSeja ε > 0 tal que B = x ∈ Rn| |x− x| ≤ ε esta contido em Ω e denotepor Uε o conjunto B ∩ U .

Considere um ponto z ∈ Uε .Provaremos primeiro que a solucao xz de (4.1) tal que xz(0) = z deixa

Uε atraves de S = Uε ∩ ∂B. Para isto, e suficiente mostrar que xz nao podepermanecer em Uε no futuro, pois por (ii), (iii) e (iv) temos que xz(t) /∈ ∂Upara cada t > 0 em que esta solucao e definida.

Suponha, por contradicao, que xz permanece em Uε no futuro. Entaousando a compacidade de Uε temos que xz e definida em [0,∞), e, comoW (x) = 0, vemos por (iii) e (iv) que ha um δ > 0 tal que δ ≤ |xz(t)−x| ≤ ε,para todo t > 0.

Agora, aplicando (i) vemos que h = V xz e uma funcao C1 definida em[0,∞) e ha um c > 0 tal que h(t) < −c.

Isto e uma contradicao com o fato de h ser limitada em [0,∞).Considere agora uma sequencia xn ∈ Uε convergente para x, e denote

por φn a solucao de (4.1) com φn(0) = xn. Seja yn o ponto de S em queφn deixa Uε pela primeira vez e Tn > 0 o primeiro numero positivo tal queφn(Tn) = yn.

Como xn → x, que e um ponto de equilıbrio de (4.1), temos, pela de-pendencia contınua das solucoes de uma equacao diferencial ordinaria comrespeito as condicoes iniciais, que Tn →∞ quando n→∞.

Podemos supor, pela compacidade de S, que yn converge para um pontoy ∈ S. Seja φ a solucao de (4.1) com φ(0) = y.

Novamente pela dependencia contınua das solucoes com respeito as condi-coes iniciais e facil ver que existe um T > 0 tal que φ(t) ∈ Uε para t ∈ [−T, 0);alem disso provaremos que φ(t) ∈ Uε para todo t < 0 para o qual φ e definida.

De fato, suponha, por contradicao, que isto e falso. Entao existe umλ < 0 tal que φ(λ) /∈ Uε, e como Tn →∞, ha um n suficientemente grandetal que Tn > 2|λ|. Entao, pelo teorema da dependencia contınua, φn devedeixar Uε em um instante tn tal que 0 < tn < Tn; mas isto e uma contradicaocom a escolha de yn e Tn. Portanto, como Uε e compacto temos que φ edefinida em (−∞, 0] e o conjunto alfa limite de esta solucao, Λ, deve ser naovazio.

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48 CAPITULO 4. APLICACOES DA S-RESISTENCIA DE PS

Considere a funcao C1, g = V φ, a qual e definida em (−∞, 0] e elimitada e estritamente decrescente. Entao existe ρ tal que limt→−∞ g(t) =ρ.

Isto mostra que se z ∈ Λ entao V (z) = ρ, logo, pela invariancia doconjunto alfa limite, temos V (z) = 0.

Agora, usando que Λ ⊂ Uε e (i), concluimos que Λ = x.

Fazemos um uso imediato deste resultado para provar:

Corolario 4.3.3 Seja H = T + Π uma funcao hamiltoniana definida emΩ×Rn, em que a energia potencial de classe C2, Π : Ω→ R, tem um pontocrıtico em 0 ∈ Ω, e seja B = q ∈ Ω| |q| < ε. Se existe uma componenteconexa C de Π−1((−∞, 0)) aderente a origem tal que 〈∇Π(q), q〉 < 0 paraq ∈ (C \ 0) ∩B, entao existe uma trajetoria assintotica a 0.

DemonstracaoE suficiente considerar

U = (q, p) ∈ C × Rn| 〈q, p〉 > 0, |(q, p)| < ε e H(q, p) < 0

e funcoes V,W : U → R definidas por V (q, p) = −〈q, p〉 e W (q, p) =〈q, p〉H(q, p).

Entao, se lembramos que T e homogenea de grau 2 em relacao a variavelp, uma aplicacao do teorema de Euler para funcoes homogeneas e equacaohamiltoniana mostra que

V (q, p) = −[2T (q, p)−

⟨∂T∂q

(q, p), q⟩− 〈∇Π(q), q〉

],

W (q, p) =[2T (q, p)−

⟨∂T∂q

(q, p), q⟩− 〈∇Π(q), q〉

]H(q, p).

Observe agora que podemos escolher ε > 0 suficientemente pequeno paraobter R(q, p) = 2T (q, p)−〈∂T∂q (q, p), q〉 > 0 se |q| < ε e p 6= 0. De fato, esta euma consequencia de R ser quadratica com respecto a p e R(0, p) = 2T (0, p)ser definida positiva.

Entao vemos que as condicoes (ii), (iii) e (iv) do Teorema 4.3.2 saoverificadas.

Agora, se (q, p) ∈ U \ 0 temos q 6= 0, pois, caso contrario, p 6= 0 eH(0, p) > 0, o que contraria (0, p) ∈ U .

Isto mostra que V < 0 em U \ 0 e podemos aplicar o Teorema 4.3.2 afim de obter a nossa tese.

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