Estabilidade e Realimentação Fundamentos de Controlo DEEC/ISTIsabel Lourtie Sistemas de Controlo: Realimentação Objectivos gerais Estabilidade de entrada

Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Sistemas de Controlo: Realimentação

Objectivos gerais

Estabilidade de entrada limitada /saída limitadaCritério de Routh-Hurwitz

RealimentaçãoRejeição de perturbaçoesSensibilidade à variação de parâmetrosErro em regime permanente



Sistemas de Controlo

• Bom seguimento do sinal de referência• Boa rejeição dos efeitos das perturbações• Rapidez de resposta

• Estabilidade• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros• Robustez de estabilidade

Objectivos Gerais:



Estabilidade

O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada

SLIT causal estável:

nº polos nº zeros

Todos os polos têm parte real negativa (SPCE)

tr ty sH

Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.



regime transitórioresposta estacionária

KsH

1s

K

Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário

K1

1

s

sR sY

tueK

K

K

Kty

sKsY tK

11

11

1

1s

K



tueK

K

K

Kty tK

11

11

Estabilidade

tutr 1 Ks

K

1

2K

3

2

ssH

tuety t1

3

3

2

3

2

Regime transitório tende para zero

Sistema estável

Polo em (SPCE) 3s

Regime transitório tende para infinito

2K

1

2

s

sH

tuety t122

Sistema instável

Polo em (SPCD) 1s



Estabilidade tr tytyty transest sH

Todos os polos de no SPCE

sHRegime transitório tende para zero

Estabilidade

Existe pelo menos 1 polo de no SPCD

sHRegime transitório tende para infinito Instabilidade

Regime transitório é um sinal limitado

Polos simples Estabilidade marginal ou crítica

Instabilidade

Polos múltiplos

Regime transitório é um sinal ilimitado

Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário

sH



Critério de Routh-Hurwitz

Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário

011

1 asasasas nn

nn

Teste de Hurwitz

Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:

1. ;

2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.

s

0,,1,0 iani ni ,1,0 ia

Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário

Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de

s s



Critério de Routh

Critério de Routh-Hurwitz 011

1 asasasas nn

nn

Teste de Hurwitz

Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:

1. ;

2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.

s

0,,1,0 iani

ni ,1,0 ia

Têm pelo menos um polo no SPCD ou sobre o eixo imaginário

Exemplos

154323 23456 sssssss – não satisfaz a condição 2

5273 245 sssss – não satisfaz a condição 1

10835 234 sssss

– satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir



2ª linha: 12 inni a

1ª linha: 22 inni a

77

66

55

44

33

22

11

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn sasasasasasasasas


0

1

3

2

14

13

12

11

14321

ss

ssss

n

n

nnnnn

nnnnn

1º passo:

Matriz de Routh



Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh

2º passo:

01

0

11

1

33

32

31

3

24

23

22

21

2

14

13

12

11

14321

ss

ssss

nnnn

nnnnn

nnnnn

nnnnn

20

det1

11

11

21

21

11

nj

jni

jn

jni

jn

jnjn

i

coluna pivot

Critério de Routh:

O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot.

Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE



Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I

8126 23 ssssO teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir

83

3286

121

0

1

2

3

s

s

ss

86

121det6

1

3

32

03

3286

det

3321

8

Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot

todas as raízes no SPCE



dividir por 2

83

3286

121

0

1

2

3

s

s

ss

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I

8126 23 ssss Propriedade:Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot

83

3243

121

0

1

2

3

s

s

ss

43

121det3

1

3

32

4

0

3

3243

det

3321



Critério de Routh-Hurwitz Exemplo II

104735 2345 ssssss O teste de Hurwitz é verificado.

nada a concluir

Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot

duas raízes no SPCD

103

29

104

3

25

81075431

0

1

2

3

4

5

s

s

s

s

ss



Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(zero na coluna pivot)

1011422 2345 ssssss

??

??60

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss

Um zero na coluna pivot

10124

106

10124

610421121

0

21

2

3

4

5

s

s

s

sss

10124

106

10124

2

Determinar a estrutura da matriz quando 0

106

1060

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss



106

1060

10421121

0

1

2

3

4

5

ssssss

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares

4533 2345 ssssss

Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras.

Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD.

existe uma raíz no SPCD

existe mais uma raíz no SPCD



Casos singulares(linha de zeros)


4455 2345 ssssss

??

??00

451451

0

1

2

3

4

5

ssssss

Linha de zeros

Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário



Casos singulares(linha de zeros)


4455 2345 ssssss

??

??00

451451

0

1

2

3

4

5

ssssss

Linha de zeros

1º passo: construir o polinómio auxiliar

a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros

45 24 sssQ

2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de

sssQds

d104 3

45

18

42

5104

451451

0

1

2

3

4

5

s

s

s

sss

Polinómio auxiliar



45

18

42

5104

451451

0

1

2

3

4

5

s

s

s

sss

Polinómio auxiliar

Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(linha de zeros)

4455 2345 ssssss

Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário.

Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD.

Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário.

Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE.

sQ s

As raízes de são também raízes de . sQ s



K464

123 sss

sR sY

Critério de Routh-Hurwitz Exemplo

Ksss

KsH

464 23

Para que valores de é o sistema estável?

K

Matriz de Routh:

Ks

Ks

Kss

44

2044

61

0

1

2

3

04

2004

KK

Sistema estável:

204 K



O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho

sW sYK

Não é possível atenuar o efeito de sobre sW sY

Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção

cadeia aberta

K sG

sW

sY sR

00

sRsWsYsYsY

sWsGsRsKGsY

cadeia fechada

K sG

sW

sY sR

sWsKG

sGsR

sKG

sKGsY

11



Rejeição de perturbações exemplo

K

1

1

s

sW

sY sR

5K 10K

100K30K

saída sem perturbação

perturbação

saída com perturbação



Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores

0

000

00

sWsR

sNsR

sNsW sYsYsYsY

sNsKG

sKGsW

sKG

sGsR

sKG

sKGsY

111

K sG

sW

sY sR

sN ruído nos sensores

• Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído

• Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente



Sensibilidade à variação de parâmetros

sHsKG

sKGsM

1

Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s):M

G

dG

dM

GdG

MdM

S MG

sHsKGsM

sG

sHsKG

sHsGKsHsKGKS M

G

1

1

1

12

2

Quanto maior KGH menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar.

K sG

sR sY

sH



Erro em regime estacionário

sG

sR sY sE

Erro em regime estacionário:

teet

lim

Sinal de erro:

tytrte

sEsGsRsYsRsE

sRsG

sE

1

1

Nn

Nm

pspspss

zszszsKsG

21

21

Sistema (em cadeia fechada) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem.

TVF:

ssRsG

ssEess 1

1limlim

00




s

sR1

tutr 1

t

ttutr 1

t

t

tuttr 12

2

1

sina

is d

e te

ste

escalão

rampa

parábola

2

1

ssR

3

1

ssR

- erro estático de posiçãope

- erro estático de velocidadeve

- erro estático de aceleraçãoae




Erro estático de posição

1;0;

lim21

21

0 NNK

pspspss

zszszsKK p

NnN

m

sp

ssRsG

es 1

1lim

0

s

sR1

sGsGe

ss

p

00 lim1

1

1

1lim

pK (coeficiente de erro estático de posição)

superiorou 1 tipode sistema;0

0 tipode sistema;1

1

pp Ke




Erro estático de velocidade

2;1;00;0

lim21

121

0NNKN

pspspss

zszszsKK v

NnN

m

sv

ssRsG

es 1

1lim

0

2

1

ssR ssGssG

es

sv

00 lim

1

1

1lim

vK (coeficiente de erro estático de velocidade)


1 tipode sistema;1

0 tipode sistema;

vv K

e




Erro estático de aceleração

3;2;01,0;0

lim21

221

0NNK

N

pspspss

zszszsKK a

NnN

m

sa

ssRsG

es 1

1lim

0

3

1

ssR sGsssG

es

sa 2

0

20 lim

1

1

1lim

aK (coeficiente de erro estático de aceleração)


2 tipode sistema;1

1ou 0 tipode sistema;

aa K

e




r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

r(t)y(t)

ttt

ttt

ttt

10

50

ssG

10

1502

ss

ssG 10

50

sssG

Tipo 0 Tipo1 Tipo 2

61

51

51

sG

sR sY sE

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