Estabilização dinâmica

O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final

Estabilização Dinâmica

Roberto André Kraenkel

Instituto de Física Teórica - São Paulohttp://www.ift.unesp.br/users/kraenkel

VI Semana da FísicaDepartamento de Física da Universidade Federal do Maranão

Novembro de 2010

Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel


Os tópicos de hoje

O pêndulo simples

Um pêndulo forçado

Muito além do pêndulo

NLS em 2D

Estabilização do soliton de Townes

Final



O pêndulo simples.

I Comecemos com algo muito simples.I Um pêndulo.I A equações de movimento são:

d2ϕ

dt2 + ω20 sinϕ = 0,

I Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, πI 0 é estável, π ínstável.



Um pêndulo forçadoI Consideremos um pêndulo forçado.I Mas, um pêndulo incomum!I Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas

verticais.I A equação de movimento deste sistema é:I

d2ϕ

dt2+

ω20 + a cos 2πft︸︷︷︸

movimento da base

sinϕ = 0

I a é a amplitude and f é a frequência da força.I Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio.I Mas, ... e a sua estabilidade?



Estabilidade

I Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmenteϕ = ϕs + φ , φ� 1 e ϕs = 0 ,π

I Fique com apenas os primeiros termos da expasão:I Você terá uma equação linear para φ:I

d2φ

dt2+(±ω2

0 + a cos 2πft)φ = 0

I +⇒ ϕs = 0I -⇒ ϕs = π

I Esta é a equação de Mathieu.I Vejamos mais sobre ela.



Mathieu

d2φ

dt2+(±ω2

0 + a cos 2πft)φ = 0

I Esta equação é estudada através da teoria de Floquet.I Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto.I Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de

Schrödinger com um potencial periódico.I Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma

coisa parecida com estruturas de bandas.



Mathieu II

I Para cada a e f pode-se resolver a equação acima.I Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles

a e f , é estável.I Caso contrário, é instável.I Assim, plotamos um diagrama no plano a x f .I Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade

pintamos de azul.



Mathieu again

Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f .



EstabilizaçãoI Podemos ver uma região com ω2

0 negativo.corresponde aopêndulo invertido.

I Há lá uma região de estabilidade.I Corresponde a f grande: altas frequênciasI Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o

pêndulo invertido.I Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza".



Outra forma de abordar o problema

I Podemos olhar este problema da seguinte forma:I queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à

uma força paramétrica de alta frequência.

I Vamos direto para o limite de altas frequências.I Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o

movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξrepresenta as oscilações rápidas ao redor da média.

I Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo:queremos uma equa¸ao para Φ.

I É um problema de em que temos duas escalas de tempo.I Resulta que Φ sente um potencial efetivoI Vamos dar uma olhada nele.



O potencial efetivo, em altas frequências









I O potencial sem força externa paramétrica.I O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π,→ estabilização.I Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau.I Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas.



Muito além do pêndulo

I A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas umacuriosidade.

I A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando osistema é foa̧do parametricamente aparece em diversas situações.

I Há uma série de exemplos



Uma profusão de pêndulos













Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar aEquação de Schrödinger Não-linear



I Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás.I Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida".I Pode usar para pintar o seu teto.I Ou ganhar o prm̂io Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é

usada para aprisionar átomos.)I Ou ainda para não cair do cavalo.



NLS em 2DI Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas

dimensões espaciais:

ıut +12∇2u + γ|u|2u = 0

I qual é a física desta equação?I Propagação da luz em meios não-linearesI Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas

tipo ‘panqueca".I O que é isso?

I É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pelaforma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistemaquase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Nãode preocupe com em entender melhor este sistema agora. Maslembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model".



Propriedades da equação NLS

I Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy paraela.

I As soluções são localizadas.I Solitons.

I Em 2D, ela não é integrávelI Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma "

bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes".I Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de

um feixe num meio não-linear.I In BEC é o colapso de condensado atrativo.I Eu ouvi mesmo instável?



Estabilização do soliton de Townes

I Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica

I O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo notempo?E com alta frequência?

I No caso de condensados, facilmente.

I Na ótica teríamos que ter um meio estratificado.



Métodos matemáticos

I Seja então o sistema:

ıut +12∇2u + γ(t/ε)|u|2u = 0 com ε� 1 and γ periódico

I Como extrair infromações dela?

I Três caminhos:

I Aproximação Variational + medianizaçãoI Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de

TownesI Integração numérica .



Resultados

I Estabilização.I É possível encontrar condições para que ocorra.

I O que importa é notar que :I seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt

ε .I é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização.I A não-linearidade deve mudar de sinal.

I Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição énecessária.



Final

I Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade depontos fixos.

I Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveisI Isso acontece em sistemas mecânicos simples,I E em sistemas espacialmente extensos.



Referência

I F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A.Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605.

I



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