1

PARTE I

FUNDAMENTOS DA ESTTICA VETORIAL

O estudo da esttica dos corpos rgidos requer a aplicao de operaes

com vetores. Estes entes matemticos so definidos para representar as grandezas

fsicas que se comportam diferentemente das grandezas escalares. Estas operam

como nmeros reais, enquanto que as grandezas vetoriais so dependentes tambm

da direo (reta suporte e sentido) em que atuam.

1.1 REGRA DO PARALELOGRAMO

Todas as grandezas vetoriais tm sua regra de adio baseada no princpio

do paralelogramo. Este princpio, cuja origem se d em fatos experimentais, diz

que a soma de dois vetores segue o procedimento mostrado na Figura 1.1.

Figura 1.1 - Adio de dois vetores: C = A + B.

Portanto, as caractersticas do vetor-soma C da equao

BAC (1.1)

A B

+ =

A

B C

// A

// B

2

podem ser obtidas utilizando as relaes geomtrica de um tringulo qualquer,

conforme mostrado na Figura (1.2).

Figura 1.2 - Adio dos vetores A e B.

Representando os mdulos dos vetores por a, b e c, podemos obter as

caractersticas do vetor soma atravs das leis do cosseno e do seno :

cos2cos2 22222 babababac (1.2)

e

ccba

sensensensen (1.3)

Atravs do princpio do paralelogramo podemos concluir que

i - AAA 2

ii - 0AAAA )(

1.2 DECOMPOSIO DE VETORES

Dado um vetor, deseja-se realizar sua decomposio em componentes, isto

, em parcelas cuja soma seja igual ao prprio vetor . H infinitas decomposies

possveis de um dado vetor. Para que a decomposio seja nica devemos procurar

o nmero mnimo de parcelas que fazem a composio . No plano a decomposio

de um vetor nica, dada duas direes independentes. Veja o resultado na Figura

1.3. A decomposio espacial nica quando dadas trs direes linearmente

independentes, conforme mostra a Figura 1.5.

B

A

C

3

Figura 1.3 - Componentes do vetor A nas direes u e v: Au + Av = A.

Frequentemente conveniente trabalhar com componentes em direes

ortogonais ou cartesianas. Veja a Figura 1.4.

Figura 1.4 - Componentes ortogonais do vetor A: Ax + Ay = A.

A decomposio de um vetor em trs componentes independentes pode

tambm ser obtida em componentes no ortogonais ou ortogonais, no espao tri-

dimensional. Veja as figuras 1.5 e 1.6.

u

Au

Av A

// u

// v

v

x Ax

Ay A

// x

// y

y

4

Figura 1.5 - Componentes do vetor a nas direes u, v e w: Au + Av + Aw = A.

Figura 1.6 - Componentes ortogonais do vetor A: Ax + Ay + Az = A.

1.3 VETORES NO SISTEMA CARTESIANO

A escolha do sistema de projeo feita de forma a facilitar as operaes

matemticas com grandezas vetoriais. Por esta razo, o sistema de coordenadas

ortogonais xyz conveniente e ser utilizado.

Dado um vetor a pode-se decomp-lo em trs coordenadas ortogonais,

conforme visto no item anterior. Observemos que a decomposio espacial

equivale a duas decomposies ortogonais no plano.

u

Au

Aw

A

// u

// w

w

Av

// v

v

x Ax

Ay

a

// x

// y

z

Az

// z

y

5

Figura 1.7 - Componentes cartesianas do vetor A.

Da figura 1.7, podemos escrever a soma de componentes no plano xy como

yxxy AAA (1.4)

e a soma resultante, em outro plano,

zyxzxy AAAAAA (1.5)

Definimos o versor uA da direo de A como o vetor unitrio que tem a mesma

direo de A, ou seja

AA uAAA

Au (1.6)

onde o mdulo do vetor A dado por

2

z

2

y

2

x AAAA (1.7)

x

Ay

Ax

A

z

Az

y

Axy

6

Vamos agora definir como versores das direes x, y e z os vetores unitrios

nas direes positivas destes eixos, indicados respectivamente por i, j e k. Assim,

as componentes de um vetor A podem ser escritas como

iuA xxxx AA

juA yyyy AA (1.8)

kuA zzzz AA

Onde Ax, Ay e Az, so as intensidades das componentes, positivas se tem o mesmo

sentido do versor e negativas em caso contrrio. Logo , o vetor A pode ser escrito

em coordenadas cartesianas como

kjiA zyx AAA (1.9)

A direo deste vetor dada pelos ngulos diretores, cujos cossenos so:

AAA

zz

y

yx

x

AAAcoscoscos (1.10)

Figura 1.8 - ngulos diretores do vetor A.

Substituindo (1.10) em (1.9) obtemos facilmente

x

Ay Ax

A

z

Az

y y

z

x

7

)coscos(cos

coscoscos

kjiA

kAjAiAA

zyx

zyx (1.11)

Comparando (1.11) com (1.6), obtemos

kjiu zyxA coscoscos (1.12)

Portanto

1z2

y

2

x

2 coscoscos (1.13)

1.4 ADIO DE VETORES NO SISTEMA CARTESIANO

Sejam dados dois vetores A e B no sistema cartesiano,

kjiA z1y1x11 AAA

kjiA z2y2x22 AAA

Sua soma ou resultante R dada por

kji

kjikjiAAR

)()()( z2z1y2y1x2x1

z2y2x2z1y1x121

AAAAAA

AAAAAA (1.14)

Assim, a soma de vetores Ai sendo i = 1, 2, , n , pode ser escrita como

kjiARn

1i

z

n

1i

y

n

1i

x

n

1i

i AAA (1.15)

ou em componentes

n

1i

zz

n

1i

yy

n

1i

xx ARARAR (1.16)

8

1.5 VETOR POSIO

Define-se um vetor r como vetor posio de um ponto P(x,y,z), ao vetor

kjir zyx (1.17)

Figura 1.9 - Vetor posio r.

Assim para dois pontos quaisquer A e B os seus vetores posio so dados

por

kjir AAAA zyx e kjir BBBB zyx (1.18)

Podemos escrever o vetor posio de B em relao a A, ver figura 1.10, a partir

dos vetores posio de A e B fazendo,

ABAB rrr (1.19)

ou

kjirrr )()()( ABABABABAB zzyyxx (1.20)

x

r

z

xi

y yj

zk

P(x,y,z)

9

Figura 1.10 - Vetor posio de B em relao a A: rAB.

Portanto, o vetor unitrio da direo AB, de A para B, ser dado por:

2

AB

2

AB

2

AB

ABABAB

AB

ABAB

zzyyxx

zzyyxx

)()()(

)()()( kji

r

ru (1.21)

Observe-se que

ABBA uu (1.22)

1.6 PRODUTO ESCALAR

Define-se o produto escalar entre dois vetores A e B como o escalar c, tal

que

Figura 1.11 - Vetores A e B.

y

x

rAB

z

A

B

rA

rB

xA

yA

zA

xB

yB

zB

A

B

10

cosBABAc para 1800 (1.23)

A partir desta definio podemos observar que esta operao satisfaz as

seguintes propriedades:

1 - Comutativa: ABA

2 - Distributiva: CABACBA )(

3 - Produto por escalar: aaaa )()()()( BABABABA

O produto escalar de dois vetores A e B em coordenadas cartesianas, na

forma geral, dado por:

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjikjiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

BABABA

BABABA

CBBAAA

(1.24)

Sabendo que

100

010

001

kkjkik

kjjjij

kijiii

(1.25)

o produto escalar (1.24) fica igual a

zzyyxx BABABABA (1.26)

Uma das aplicaes importantes do produto escalar a sua utilizao para

determinar o ngulo entre dois vetores. Outra aplicao tambm bastante utilizada

a obteno das projees ortogonais de um vetor em direes dadas.

11

1.7 PRODUTO VETORIAL

Sejam dados dois vetores A e B. Define-se o produto vetorial de A por B ao

vetor C, tal que

BAC (1.27)

onde

senBAC para 1800 (1.28)

Sua direo dada pelo vetor unitrio uC, ou seja,

C

CuC versor normal ao plano de A e B (1.29)

Figura 1.12 - Produto vetorial: C = A x B.

Assim, as caractersticas do vetor C so dadas por:

senBAC o mdulo do vetor C

o ngulo entre os vetores A e B

Cu o versor da direo do vetor C, perpendicular ao plano de A e B, dado

pela regra da mo direita, ver figura 1.12.

A partir da definio de produto vetorial pode-se concluir que:

i) ABBA

ii) BABABA aaa )(

iii) CABACBA )(

B A

C

12

Quando os vetores esto apresentados na forma cartesiana, o produto

vetorial pode ser feito usando as seguintes propriedades dos vetores unitrios:

0kkijkjik

ikj0jjkij

jkikji0ii

(1.30)

Sejam os vetores A e B escritos em suas componentes

kjiB

kjiA

zyx

zyx

BBB

AAA (1.31)

O produto vetorial de A por B ser dado por

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjikjiBA

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

BABABA

BABABA

BBBAAA

(1.32)

ou, aplicando os produtos de versores dados em (1.30) obtemos

kjiBA )()()( xyyxzxxzyzzy BABABABABABA (1.33)

Este resultado tambm pode ser obtido a partir do seguinte determinante

kjiC

kji

BAC

)()()( xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

BABABABABABA

BBB

AAA

(1.34)

13

1.8 MOMENTO DE UMA FORA EM RELAO A UM PONTO

Vamos definir a grandeza vetorial denominada momento de uma fora em

relao a um ponto. Sejam dados uma fora F e um ponto O. O momento desta

fora em relao a um ponto O definido por

FrMO (1.35)

onde r o vetor posio de um ponto qualquer da reta suporte da fora F em

relao ao ponto O.

Figura 1.13 - Momento de uma fora F em relao a O.

Pela definio de produto vetorial, este momento tem as seguintes

propriedades:

senO FrM o mdulo do momento e

o ngulo entre os vetores r e F

A direo do momento perpendicular ao plano de r e F, cujo sentido

dado pela regra da mo direita, ver figura 1.13.

Podemos observa que

dsenO FFrM (1.36)

onde d a distncia da reta suporte de F ao ponto O.

F

r

MO

O

d

14

1.9 MOMENTO DE UMA FORA EM RELAO A UM EIXO

Vamos definir a grandeza vetorial denominada momento de uma fora em

relao a um eixo. Sejam dados uma fora F, um eixo a e suas componentes

ortogonais Fa e Fb, onde Fa a componente paralela ao eixo a. O momento desta

fora em relao ao eixo a definido por

abaaa dM uFuM (1.37)

Atravs da figura 1.14 podemos observar como so obtidas as componentes Fa e

Fb da fora F e a distncia d entre a reta suporte da fora F e o eixo a.

Figura 1.14 - Momento de uma fora F em relao ao eixo a.

Este clculo nem sempre fcil atravs da geometria. Podemos verificar

que tomando o momento de F em relao a um ponto P qualquer do eixo a:

FrMP (1.38)

e fazendo a projeo deste momento neste eixo, ou seja,

)()( FruuFruM aaaPaM (1.39)

o resultado obtido igual a Ma ou seja

F

Ma a

a

b a

d

Fa

Fb

15

dM baPa FuM (1.40)

Portanto, de (1.37) e (1.40) temos

aaPa uuMM )( (1.41)

Observemos que a projeo do momento MP sobre o eixo a, equao (1.39), pode

ser calculada facilmente atravs do determinante

zyx

zyx

azayax

aaPa

FFF

rrr

uuu

M )( FruuM (1.42)

1.10 MOMENTO DE UM BINRIO

O sistema de foras mostrado na figura 1.15 um denominado binrio se

estas foras so paralelas, de mesmo mdulo e com sentidos contrrios,

21 FF (1.43)

Calculando o momento deste binrio em relao a um ponto P qualquer obtemos

2211P FrFrM (1.44)

Figura 1.15 - Momento de um binrio.

Sendo um binrio, FF1 e FF2 , podemos escrever

r2

P

r F2

F1

r1

16

FrrFrFrM )( 2121P (1.45)

ou

FrMP (1.46)

Conclumos ento que o momento do binrio no depende do ponto P tomado para

o clculo dos momentos de cada uma de suas foras. Logo

FrMB (1.47)

O momento do binrio tem as seguintes caractersticas

dB FM o mdulo do momento do binrio, onde

d a distncia entre as retas suportes das foras do binrio.

A direo do momento perpendicular ao plano que contm F1 e F2, com

sentido dado pela regra da mo direita, ver figura 1.16.

Figura 1.16 - Direo do vetor do momento de um binrio.

1.11 SISTEMAS EQUIVALENTES - DEFINIO

Seja um corpo rgido com vrias foras e binrios a ele aplicados. A fora

resultante dada por

n

1i

iR FF (1.48)

e o momento resultante em relao a um ponto O dado por

F2

F1

MB

17

m

1j

Bj

n

1i

iiBRFRORO r MFMMM ,, (1.49)

Figura 1.17 - Foras e binrios aplicados a um corpo rgido.

Dois sistemas de foras e binrios so ditos equivalentes quando ambos tm

a mesma fora resultante e o mesmo momento em relao a qualquer ponto. fcil

observar que um sistema de foras e binrios possui infinitos sistemas

equivalentes, embora todos tenham a mesma fora resultante. Assim o sistema

mostrado na figura 1.17 tem como um de seus sistemas equivalentes aquele cuja

resultante aplicada no ponto O seja igual FR dada na (1.48) e cujo binrio seja

igual MRO dado por (1.49).

O binrio aplicado a um corpo rgido um vetor livre, mas o momento

resultante dado por (1.49) depende do ponto de referncia escolhido O.

1.12 SISTEMAS EQUIVALENTES - UMA FORA APLICADA

Vamos tomar um corpo com uma fora F aplicada no ponto P. Desejamos

encontrar o sistema equivalente num ponto O, que est na linha de ao da fora.

O que fazemos e acrescentar ao sistema inicial, duas foras cuja resultante nula.

Seja este sistema agora formado por F, F1=F e F2= -F. Como podemos facilmente

observar o sistema equivalente resultar numa translao de F de P para O.

MB1

O

F2

F1

Fn

MBm

MB2

r1

r2 rn

18

Figura 1.18 - Sistema equivalente em O a uma fora - O na reta de ao da fora.

Figura 1.19 - Sistema equivalente em O a uma fora - O qualquer.

Vamos encontrar o sistema equivalente num ponto O, que est em qualquer

posio. O que fazemos acrescentar novamente ao sistema inicial, duas foras

cuja resultante nula. Seja este sistema agora formado por F, F1=F e F2= -F.

Como podemos facilmente observar o sistema equivalente resultar numa

translao de F de P para O e um momento do binrio formado por F e F2 = -F.

Observe que este o binrio do sistema equivalente em O. Para qualquer outro

ponto temos outro binrio, uma vez que o vetor posio r ser diferente.

O

F1= F

F

P

F2= -F

O

F

F

P

F2= -F

O

F1= F

F

P

F2= -F

O

F1= F

F

P

F2= -F

MFO = r F

r

19

1.13 SISTEMAS EQUIVALENTES - VRIAS FORAS E BINRIOS APLICADOS

Seguindo o procedimento da figura 1.19, o sistema equivalente em O ao

sistema formado pelo conjunto de n foras e m binrios mostrado na figura 1.20,

obtido usando o procedimento mostrado acima para cada uma das n foras. O

resultado final corresponde a um sistema equivalente com uma fora igual a ( 1.48)

aplicada em O e um binrio igual a (1.49), ou seja:

n

1i

iE FF e m

1i

Bi

n

1i

iiEO r MFM (1.50)

Figura 1.20 - Sistema equivalente em O.

1.14 REDUO DE SISTEMAS EQUIVALENTES

FORA E BINRIO PERPENDICULARES

Vamos analisar uma situao onde o sistema equivalente dado por (1.50)

tal que os vetores de fora FE e do momento do binrio ME so perpendiculares

entre si. Neste caso possvel sempre encontrar outro sistema equivalente num

ponto G cujo binrio MEG nulo e, portanto, um sistema equivalente com uma

fora igual resultante FE aplicada no ponto G. H uma exceo bvia, quando a

fora resultante FE nula. Neste caso no existe tal ponto G e o sistema original

se reduz a um sistema equivalente a um binrio, ou seja, se reduz a duas foras.

MB1

O

F2

F1

Fn

MBm

MB2

r1

r2 rn

O

FE

MEO

20

Figura 1.21 - Sistema equivalente com uma fora em G.

Neste caso o ponto G deve ser obtido de tal maneira que

0EEOEG FrMM (1.51)

ou seja

0EGOEO FrM (1.52)

Para os sistemas planos de foras, a condio de perpendicularidade entre a

fora FE e o momento do binrio ME sempre observada, desde que FE no seja

nula. Quando a fora resultante nula o sistema plano se reduz a um binrio, ou

seja, a um par de foras de mesma intensidade, direes paralelas e sentidos

contrrios.

Observemos que para um sistema de n foras, no qual todas as foras so

concorrentes num nico ponto P, o sistema equivalente neste ponto reduzido a

uma nica fora, igual resultante de todas as foras aplicadas.

1.15 REDUO DE SISTEMAS EQUIVALENTES

FORA E BINRIO NO PERPENDICULARES

Para um sistema qualquer de foras e binrios como o mostrado na figura

1.21 podemos encontrar um sistema equivalente em O, conforme ali mostrado. Se

tomarmos agora as projees do momento equivalente MEO nas direes paralela e

perpendicular fora FE, MEO1 e MEO2 respectivamente, obtemos o sistema

equivalente mostrado na figura 1.22.

O

FE

MEO

FE

G

-FE

rGO O

FE

MEO

G

21

Figura 1.22 - Sistema equivalente em O - componentes de MEO.

Podemos agora obter outro sistema equivalente num ponto G para a fora FE e o

componente MOE2 do binrio, perpendiculares entre si, aplicando a (1.52).

Portanto, o sistema resultante num determinado ponto G, tal que

0EGO2EO FrM (1.53)

equivalente a uma fora igual a FE e um momento do binrio MEOa , paralelos

entre si, ver figura 1.23. Neste caso usual se dizer que o sistema foi reduzido a

uma fora e um torsor, nomenclatura inadequada, pois pode -se confundir com o

esforo interno denominado momento torsor, que ser visto em captulo posterior.

Figura 1.23 - Sistema equivalente em G - fora e torsor.

O G

FE

MEOa

O

FE

MEO

G O

FE

MEO

G

MEO2

MEO1

22

1.16 SISTEMAS EQUIVALENTES CARGAS DISTRIBUDAS

At aqui as foras foram consideradas uma grandeza vetorial de ao

pontual, isto , aplicadas num determinado ponto do corpo rgido. De fato, estas

foras so modelos matemticos das foras reais, que atuam de forma distribuda

ao longo de uma superfcie ou que correspondem ao de campos que atuam

sobre o volume todo de um corpo. Vamos considerar aqui as distribuies de carga

sobre superfcies.

A ao de ventos, escoamentos de fludos ou mesmo peso de materiais

suportados por superfcies so modeladas atravs da grandeza presso p, que tem

unidades de fora sobre rea, por exemplo, N/m2 ou lb/ft

2. Em muitas aplicaes

de elementos estruturais lineares, com espessura constante e, esta grandeza

substituda pela grandeza fora distribuda w, que corresponde a

epw (1.54)

cujas unidades so, por exemplo, N/m ou lb/ft.

Seja uma fora distribuda w(x), conforme mostra a figura 1.24.

Figura 1.24 - Carga distribuda w(x) e concentrada dF = w(x)dx.

Pelo que foi visto sobre sistemas equivalentes, a fora equivalente a este sistema

de fora distribuda a resultante da fora distribuda w(x). Esta resultante dada

pela soma de todas as foras paralelas elementares dF aplicadas ao longo de x. O

resultado desta soma igual a:

L

0E dxxwF )( (1.55)

O

dF = w(x)dx

x

x dx

y

O

w(x) = p(x) e

x

x dx

y L

23

Para se encontrar o sistema equivalente num ponto qualquer, por exemplo

no ponto O, alm da fora resultante precisamos aplicar a condio de momento

equivalente. Calculando o momento da fora dF em relao O, obtemos

dxxwxdFxdM )( (1.56)

Portanto, o momento equivalente em O igual soma de todos os momentos

elementares dM , cujo resultado

L

0EO dxxwxM )( (1.57)

Figura 1.25 - Fora w(x) e sistema equivalente em O.

Assim, o sistema equivalente no ponto O aquele mostrado na figura 1.25. Como

FE e MEO so perpendiculares entre si, podemos tambm encontrar a posio C de

outro sistema equivalente na qual o momento equivalente nulo. Neste caso a

fora equivalente FE se localizar numa posio tal que, ver figura 1.26,

0xFMM CEEOE (1.58)

ou

E

EOC

F

Mx (1.59)

Figura 1.26 - Sistemas equivalentes em O e no centro C da distribuio.

O

FE

xC

C

O

FE

MEO

w(x)

O

FE

MEO