Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 203 - ANO 2014 Inferência Estatística Camilo Daleles Rennó [email protected] camilo/estatistica

Estatística: Aplicação ao Sensoriamento RemotoEstatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto

SER 203 - ANO 2014SER 203 - ANO 2014

Inferência EstatísticaInferência Estatística

Camilo Daleles Rennó[email protected]://www.dpi.inpe.br/~camilo/

estatistica/


DISTRIBUIÇÃO CONHECIDAPARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S)

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas de uma urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujo valor representa o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas. Qual a média e variância de X?

Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, 2, 3}

Qual a distribuição de probabilidade de X?Binomial

Quais os parâmetros que definem uma Binomial?n e p

n = 3p = ?


Numa imagem, um pixel é selecionado ao acaso. Define-se uma v.a. X cujo valor representa seu valor digital. Qual a probabilidade deste pixel possuir valor entre 100 e 150?

Quais os valores possíveis de X?X: {0, 1, ..., 255} (considerando uma imagem 8 bits)

Qual a distribuição de probabilidade de X?Desconhecida (discreta)

Que parâmetros são necessários para definir esta distribuição????????

DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA


S

amostra

inferir certas características da população

distribuição desconhecidae/ou

parâmetros desconhecidos

n indivíduos (ou objetos) da população

ex: sortear n pixels de uma imagem(com ou sem reposição)

n realizações da v.a.ex: medir a reflectância de um

objeto n vezes

a amostra constitui um conjunto de n v.a.X1, X2, ..., Xn com mesma distribuição (desconhecida)

Amostra Aleatória

Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros

População Amostra

Distribuição de Probabilidade (ou FDP)

Parâmetros

Distribuição Amostral (Frequências)

Estatísticas(valor fixo)

estimar

(variável aleatória)

pontual (estatísticas)

por intervalo (intervalos de confiança)Estimação

OBS: estatística:é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional) as vezes é chamada simplesmente de estimadorestimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica

método dos momentosmétodo da máxima verossimilhança

Estimação PontualEstimação Pontual

• média populacional

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de ?

Seja X uma v.a. normalmente distribuída com a média () e a variância (2) desconhecidas. Retira-se uma amostra de tamanho n com a finalidade de se estimar e 2.




ˆk é o k-ésimo estimador de

Mas qual é o melhor estimador pontual?

• não tendencioso

ˆ( )kE • variância mínima

ˆ ˆ( ) ( )k jVar Var k j


ExatoImprecis

o

InexatoPreciso

Tiro ao alvo




1

n

ii

x

n

ˆ X 1

( )N

j jj

x FR X x

dados agrupados


média amostral





ˆ( ) ( )E E X

• verificando a tendenciosidade de

1 2 nX X XE

n

1 2

1nE X X X

n

n

n

estimador

não tendencioso

X





ˆ( ) ( )Var Var X 1 2 nX X XVar

n

1 22

1nVar X X X

n

2

2

n

n

2

n

• calculando a variância deX





ˆ( )E 2

ˆ( )Varn

1

n

ii

x

n

ˆ X



• variância populacional 2

De que maneira os valores da amostra podem ser combinados a fim de se produzir uma “boa” estimativa de 2?

2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

Mas será um estimador tendencioso?

2 2 2

1 1

2n n

i i ii i

X X X XX X





2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

1 1

2n n

i ii i

X X X nX

1

1

n

i ni

ii

XX X nX

n

2 2

1

n

ii

X nX

2 2 2

1

2n

ii

X nX nX





2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2( )iVar X 22i iE X E X 2 2

iE X 2 2 2iE X





2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2

( )Var Xn

22E X E X 2 2E X

22 2E X

n





2

2 1ˆ

n

ii

x X

n

2 2

2 1ˆ

n

ii

X nXE E

n

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2 2

1

1 n

ii

E X E Xn

2

2 2 2

n

2 2 2iE X

2

2 2E Xn

2 2n

n

21n

n

estimadortendencioso!

2

2 1ˆ1

n

ii

x Xn

n n





2

2 1

1

n

ii

x Xs

n

2 2E s estimador

não tendencioso

(ver Estimadores.xls)

variância amostral

1

1

( )

( )

N

j j Nj

j jj

x FA X x

X x FR X xn

1

n

ii

xX

n

Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22

X• média amostralValor

Freq. Absolut

a

Freq. Relativa

0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12

Total 12 1

Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.

distribuição amostral

0 2 3 ... 2 7

12 3X

0*1 1*2 2*4 3*3 4*1 5*1 7

12 3X

1 1 1 1 1 1 70* 1* 2* 3* 4* 5*

12 6 3 4 12 12 3X

(usando FA)

(usando FR)

(dados brutos)

(dados agrupados)

2 2 2

1 12

( ) ( )

1 1

N N

j j j jj j

x X FA X x x FA X x nX

sn n

(dados

agrupados)

2 2

1

1

n

ii

x nX

n

2

2 1

1

n

ii

x Xs

n

Estimação Pontual de Estimação Pontual de e e 22

• variância amostral s2

Exemplo: uma amostra (n = 12) é retirada de uma população e os seguintes valores são observados: 0, 2, 3, 5, 2, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 2. Calcule a média e variância amostrais.

22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3

(0 2 ... 2 ) 12*(0 ) (2 ) ... (2 )1,88

11 11s

ValorFreq.

Absoluta

Freq. Relativa

0 1 1/121 2 1/62 4 1/33 3 1/44 1 1/125 1 1/12

Total 12 1

22 2 22 2 2 77 7 732 3 3 3

(0 *1 1 *2 ... 5 *1) 12*(0 ) *1 (1 ) *2 ... (5 ) *11,88

11 11s

distribuição amostral

(dados brutos)

7

3X

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