Estatistica Básica - Apostila

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

ESTATÍSTICA

BÁSICA

Prof. DANIEL FURTADO FERREIRA

LAVRAS - MG

1996

i

ÍNDICE

Pag.

I. Conteúdo programático v

II. Bibliografia básica vii

1. Estatística Descritiva 1

1.1. Importância nas ciências agrárias 1

1.2. Coleta, organização e apresentação de dados 2

1.3. Medidas de posição e dispersão 12

1.3.1. Medidas de posição ou de tendência central 12

1.3.2. Medidas de dispersão 21

1.3.3. Medidas de assimetria e curtose 27

1.4. Exercícios 31

2. Distribuição de probabilidade 38

2.1. Conceito e importância 38

2.2. Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades 39

2.3. Distribuição de probabilidades discretas e

contínuas 40

A. Distribuição Binomial 41

B. Distribuição de Poisson 42

C. Distribuição uniforme discreta 45

D. Distribuição normal 45

E. Aproximação normal da Binomial e Poisson 49

ii

Pag.

2.4. Esperança matemática e suas leis 49

2.5. Tabelas de F, χ2 , t e Normal 51

3. Amostragem 49


3.2. Amostra e população 49

3.3. Amostragem probabilística e

não probabilística. 50

3.3.1. Amostragem probabilística 50

3.3.2. Amostragem não probabilística 53

4. Distribuição de amostragem 54


4.2. Distribuição amostral das médias 56

4.2.1. Distribuição de X−

56

4.2.2. Distribuição de X X1 2

− −

− 60

4.3. Distribuição de t, χ2 e F 62

A. Distribuição de t de Student 62

B. Distribuição de χ2 (Qui-Quadrado) 64

C. Distribuição de F de Snedecor 65

4.4. Distribuição amostral das proporções (p) 66

5. Teoria da estimação 69

iii

Pag.


5.2. Estimação por ponto e por intervalo e

propriedades dos estimadores 69

5.3. Estimação de médias, variâncias e proporções 71

5.3.1. Intervalo de confiança para µ 71

5.3.2. Intervalo de confiança para P 73

5.3.3. Intervalo de confiança para diferença entre

médias 77

5.3.4. Intervalo de confiança para σ2 79

5.3.5. Intervalo de confiança para σ 80

5.3.6. Intervalo de confiança para CV 80

5.4. Dimensionamento das amostras 82

6. Teoria da decisão 86


6.2. Hipótese estatística. Erros envolvidos no processo

de decisão 86

6.3. Construção de uma regra de decisão 88

6.3.1. Algoritmo 88

6.3.2. Teste para µ com variância desconhecida 90

6.3.3. Teste para proporções 91

6.3.4. Teste para variância populacional 93

6.3.5. Comparações entre duas médias populacionais 95

iv

A. Variâncias populacionais desconhecidas e diferentes (σ σ12

22≠ ) 95

B. Variâncias populacionais desconhecidas e iguais (σ σ12

22= ) 98

C. Dados emparelhados 99

6.4. Teste de χ2 para ajuste de modelos 102

7. Regressão e Correlação 106

v

MEC/UFLA/DEX

CEX-117 - ESTATÍSTICA

CARGA HORÁRIA: 45 TEÓRICA e 30 PRÁTICA CRÉDITOS: 4

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

I- ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1. IMPORTÂNCIA NAS CIÊNCIAS AGRARIAS

2. COLETA, ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS

3. MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO

4. TÓPICOS EM ESTATÍSTICA DESCRITIVA

II- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. CONCEITO E IMPORTÂNCIA DE PROBABILIDADE

2. VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

3. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISCRETAS E CONTÍNUAS: BINOMIAL,

POISSON, UNIFORME DISCRETA E NORMAL. APROXIMAÇÃO NORMAL.

4. ESPERANÇA MATEMÁTICA E SUAS LEIS.

5. TÓPICOS EM DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES.

vi

III- AMOSTRAGEM

1. IMPORTÂNCIA NAS CIÊNCIAS AGRARIAS

2. AMOSTRA E POPULAÇÃO. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA E NÃO

PROBABILÍSTICA.

3. AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO, ESTRATIFICADA, POR CONGLOMERADO E

SISTEMÁTICA.

4. TÓPICOS EM AMOSTRAGEM.

IV- DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM

1. IMPORTÂNCIA DO ESTUDO EM CIÊNCIAS AGRARIAS.

2. DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DE MEDIAS

3. DISTRIBUIÇÃO DE t, 2χ E F.

4. DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DE PROPORÇÕES.

5. TÓPICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM.

V- TEORIA DA ESTIMAÇÃO

1 . IMPORTÂNCIA NAS CIÊNCIAS AGRARIAS

2. ESTIMATIVAS POR PONTO E POR INTERVALO. PROPRIEDADES DOS

ESTIMADORES.

3. ESTIMATIVAS DE MEDIAS, VARIÂNCIAS E PROPORÇÕES.

4. ERROS DAS ESTIMATIVAS E DIMENSIONAMENTO DAS AMOSTRAS.

5. TÓPICOS EM TEORIA DA ESTIMAÇÃO.

vii

VI- TEORIA DA DECISÃO

1. IMPORTÂNCIA NAS CIÊNCIAS AGRÁRIAS

2. HIPÓTESE ESTATÍSTICA. ERROS ENVOLVIDOS NUM PROCESSO DE DECISÃO.

3. CONSTRUÇÃO DE UMA REGRA DE DECISÃO E MECÂNICA OPERACIONAL DE

APLICAÇÃO DOS TESTES.

4. TESTES DE INDEPENDÊNCIA, ADERÊNCIA E COMPROVAÇÕES DE LEIS.

5. TÓPICOS EM TEORIA DA DECISÃO.

VII- REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

BIBLIOGRAFIA

AQUINO, L.H. de Estatística. Lavras, MG, 1981. Vol. 3 (mimeografado).

BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. Estatística básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 1993.

STEVENSON, W.J. Estatística aplicada à administração. Tradução de Alfredo Alves de Farias.

Harbra, S.P., 1981.

FONSECA, J.S. & MARTINS, G. de A. Curso de estatística, 4a ed., Editora Atlas, S.P., 1993.

GUERRA, M.J. & DONAIRE, D. Estatística indutiva: Teoria e aplicações. Livraria Ciência e

Tecnologia Editora, S.P., 1984.

MEYER, P.L. Probabilidade, aplicações a estatística. Tradução de Ruy C. B. Lourenço Filho,

(ENCE/IBGE), Rio de Janeiro, R.J., 1984.

SNEDECOR, G.W. & COCHRAN, W.G. Statistical methods, 7th edition. The Iowa State University

Press, Ames, Iowa, USA, 1980.

DANIEL FURTADO FERREIRA 1

CAPÍTULO I - ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1.1. IMPORTÂNCIA NAS CIÊNCIAS AGRÁRIAS

estatística é um ramo da matemática que se interessa em obter conclusões a partir

de dados observados e nos métodos científicos para coleta, organização, resumo,

apresentação, análise e interpretação dos dados amostrais. Iniciou-se como método

cientifico a partir de 1925 com os trabalhos de R.A. Fisher, embora os trabalhos

pioneiros de Gauss no fim do século anterior e dos trabalhos de Gosset de 1908, publicados

com o pseudônimo de "Student", foram de extrema importância.

A estatística se divide em estatística descritiva e indutiva (ou inferência). A estatística

descritiva preocupa-se com a coleta, organização e apresentação dos dados amostrais, sem

inferir sobre a população; e a estatística indutiva preocupa-se com a análise e interpretação dos

dados amostrais. Conclusões importantes podem ser inferidas da análise dos dados amostrais.

No entanto, a inferência não pode ser "absolutamente certa", daí a necessidade de se utilizar

uma linguagem de probabilidade.

Na maioria das situações agrícolas as leis de causa e efeito não são conhecidas na

prática pelo pesquisador, no entanto, existe a necessidade de se obter uma solução para os

problemas que surgem naturalmente. Foi com o objetivo de se apresentar tais soluções é que a

estatística se desenvolveu, face às incertezas oriundas da variabilidade dos dados provenientes

das observações dos pesquisadores.

Finalmente é necessário ter em mente que a estatística é um método científico, por meio

do qual o pesquisador pode tomar decisões para solucionar os problemas que são encontrados

durante suas pesquisas. Para que a estatística seja bem usada é necessário conhecer os seus

fundamentos e os seus princípios, e que acima de tudo que o pesquisador tenha a possibilidade

de desenvolver um espírito critico sobre a pesquisa empreendida.

A

ESTATÍSTICA BÁSICA 2

1.2. COLETA, ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS.

As observações se constituem no material básico com que o pesquisador trabalha. Para

que a estatística possa ser aplicada a essas observações, elas devem estar na forma de

números. Para exemplificar, pode-se destacar, por exemplo, que no melhoramento de plantas

esses números podem ser produtividade de uma parcela de milho ou de feijão, na zootecnia

podem ser ganhos de peso por animal sob o efeito de alguma dieta especial, ração com produto

ou dosagem de componente diferente, entre outras possibilidades.

Estes números são os dados e a característica comum inerente aos mesmos é a

variabilidade ou variação que apresentam. Essa característica, que pode assumir diferentes

valores de indivíduo para indivíduo, é chamada de variável. Quando todos os elementos de uma

população ou de uma amostra apresentam o mesmo valor para uma determinada característica,

essa característica é denominada de constante.

As variáveis podem ser qualitativas ou quantitativas. As variáveis qualitativas são

aquelas para as quais uma medição numérica não é possível; e as quantitativas aquelas que

podem ser mensuradas numa escala de valores. As variáveis qualitativas podem ser ordinais ou

nominais. As variáveis quantitativas dividem em discretas e contínuas. As discretas são definidas

em um conjunto enumerável, sendo próprias de dados de contagem. As contínuas por sua vez,

podem assumir qualquer valor real entre dois extremos.

As variáveis são mensuradas em uma amostra, e as suas realizações (ou observações)

podem ser dispostas da seguinte forma:

DADOS BRUTOS: Dados originais na forma com que foram coletados (não foram

numericamente organizados ou ordenados).

Ex. Peso de 10 coelhos híbridos NORFOLK em kg abatidos aos 90 dias.

2,61 2,56 2,47 2,62 2,59

2,56 2,62 2,70 2,49 2,62


De uma forma geral:

X1, X2, ..., Xn.

DADOS ELABORADOS: Dados numéricos arranjados em ordem crescente ou decrescente.

2,47 2,49 2,56 2,56 2,59

2,61 2,62 2,62 2,62 2,70

De uma forma geral:

X(1), X(2), ..., X(n).

Com os dados elaborados pode-se estimar a amplitude total (A), ou seja, a diferença

entre o maior e menor valor da amostra.

A = X(n) – X(1) = MAIOR VALOR - MENOR VALOR

A forma de representar os dados depende da sua natureza. Para dados qualitativos a

enumeração e tabulação e a forma mais simples de representá-los. A seguir será discutido um

exemplo, no qual se destaca a forma de representação dos dados qualitativos mais comuns.

Exemplo: Num determinado estudo de cor de flor, as cores branca e roxa foram observadas. Na

progênie F2 constituída de 100 indivíduos foi anotada a cor de flor:


Tabela 1.1. Representação tabular para representar a herança de cor de flor em uma progênie

F2.

Cor da flor BRANCA ROXA

Número de indivíduos 15 85

Representação gráfica:

0

15

30

45

60

75

90

Branca Roxa

BrancaRoxa

Figura 1.1. Gráfico de colunas para representar a herança de cor de flor em uma progênie F2

15%

85%

RoxaBranca

Figura 1.2. Gráfico de setores para representar a herança de cor de flor em uma progênie F2.

Para os dados quantitativos a forma de representação mais simples é a distribuição de

freqüência. A distribuição de freqüência é a distribuição dos dados em classes ou categorias,

onde o número de elementos pertencentes a cada classe é determinado e representa a

freqüência de classe.


A seguir será abordada uma das formas mais comuns de se construir uma tabela de

distribuição de freqüência. A seqüência de passos é:

(a) Determinar o número de classes (k): geralmente o número de classes é escolhido por muitos

autores em um valor entre 5 e 20, de uma forma empírica. A familiaridade do pesquisador

com os dados é que deve indicar quantas classes devem ser construídas. No entanto, esse

critério pode variar consideravelmente de pesquisador para pesquisador, por isso 2 critérios

são propostos a seguir.

(i) Critério baseado no tamanho amostral (n) proposto por Oliveira (1995).

Em função do tamanho da amostra pode-se determinar o número de classes

ideal, de acordo com os critérios apresentados na Tabela 1.2.

Tabela 1.2. Número de classes (k) determinado em função do tamanho amostral (n) (OLIVEIRA, 1994)

Tamanho da amostra (n) Número de classes (k)

Até 100 n (inteiro mais próximo)

Acima de 100 5 log10 n (inteiro mais próximo)

(ii) Critério baseado na distribuição normal dos dados da amostra proposto por SCOTT (1979).

Partindo-se do pressuposto que os dados seguem a distribuição normal, a qual

possui forma de sino, o número de classes é determinado por:

13Ank 1

3, 49S= +


Em que: A é a amplitude total, n o tamanho da amostra e S o desvio padrão (cuja estimação é

apresentada no Capítulo 2). No exemplo dos coelhos, usando o primeiro critério tem-se:

k = n0,5 = 100,5 = 3,16 ≅ 3 classes.

(b) Amplitude de classe (c)

A amplitude de classe é a diferença entre os limites superior e inferior de uma

determinada classe. Na construção da distribuição de freqüência não é possível saber quais são

os limites de classe a priori e, portanto, deve-se ter uma maneira diferente para determinar c.

Neste material é adotado o seguinte critério.

c Ak

=−1

Para o exemplo: c = 0,230/2 = 0,115kg

(c) Limite inferior da primeira classe (LI1a)

Deve-se iniciar o processo de construção das classes determinando o limite

inferior da primeira classe a ser formada. A escolha deste valor é feita por muitos autores, como

menor valor amostral. No presente material, adota-se o critério a seguir. A idéia por detrás desse

critério é determinar o limite inferior da primeira classe como um valor menor do que o menor

valor observado na amostra, uma vez que por um mero acaso valores da população inferiores a

X(1) podem não ter sido amostrados.

LI1a = X(1) - c/2

No exemplo dos coelhos tem-se: LI1a = 2,47 - 0,115/2 = 2,413.


A forma de representação de uma classe adotada é dada por 2,413 2,528, ou seja, a

classe tem seu limite inferior de 2,413Kg incluído na classe e o seu limite superior de 2,528Kg

excluído. Outra notação pode ser usada, qual seja [2,413; 2,528). O significado é o mesmo do

descrito anteriormente.

(d) Determinação das classes

Para a determinação das k classes é necessário seguir os seguintes passos:

(i) Somar ao valor do limite inferior da primeira classe a amplitude de classe e obter-se o limite

superior;

(ii) O limite superior da primeira classe será o limite inferior da segunda classe;

(iii) Repetem-se os passos (i) e (ii) até completar k classes, ou equivalentemente até que o maior

valor esteja contido na última classe.

No exemplo dos coelhos híbridos Norfolk, a Tabela 1.3. apresenta a distribuição de

freqüências obtida.

Tabela 1.3. Distribuição de freqüência para o peso dos coelhos híbridos Norfolk abatidos aos 90

dias.

Classes (Kg) iX Fi Fri Fpi

2,413 2,528 2,471 2 0,20 20

2,528 2,643 2,586 7 0,70 70

2,643 2,758 2,701 1 0,10 10

Total 10 1,00 100


Uma outra possibilidade utilizada é fazer a tabela das distribuições de freqüências

acumuladas: Freqüência acumulada abaixo de (Fc↓) e acima de (Fc↑), Tabela 1.4 e 1.5.

Tabela 1.4. Distribuição de freqüência acumulada “abaixo de” para o peso dos coelhos híbridos

Norfolk abatidos aos 90 dias.

Abaixo de Fc↓

2,413 0

2,528 2

2,643 9

2,758 10

Tabela 1.5. Distribuição de freqüência acumulada “acima de” para o peso dos coelhos híbridos

Norfolk abatidos aos 90 dias.

Acima de Fc↑

2,413 10

2,528 8

2,643 1

2,758 0

Para fins de análises matemáticas todas as observações contidas num intervalo

de classe são consideradas iguais ao ponto médio da classe. Essa hipótese é conhecida como

hipótese tabular básica (HTB). Os cálculos das medidas de posição ou de dispersão amostral

usando os pontos médios das classes como representantes de todos os seus elementos contém

menor precisão do que àqueles realizados utilizando os dados brutos ou elaborados. No entanto,

estes erros, como já constatado por muitos pesquisadores em estatística, podem ser

considerados desprezíveis e, portanto, devem ser ignorados. A vantagem de se utilizar a

distribuição de freqüência refere-se à simplificação estrutural dos dados sem grandes perdas de


precisão, bem como a aumento da facilidade de cálculos devido a estas simplificações, além de

fornecer uma idéia da forma da distribuição da variável por meio da representação gráfica.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

(a) Histogramas: Retângulos cujas bases são proporcionais às amplitudes de classes e as

áreas proporcionais às freqüências das classes. Se todas as classes tiverem a mesma

amplitude, as alturas dos retângulos são proporcionais às freqüências das classes, e em caso

contrário têm que ser ajustadas por:

F Fci aji

i( .) =

(b) Polígono de freqüência: Gráfico de linhas que une os pontos médios das classes no topo

dos retângulos.

2.300 2.415 2.530 2.645 2.7600

2

4

6

Freq

uênc

ia

C lasses de peso

H istogram a Poligono de frequência

Figura 1.3. Polígono de freqüência e histograma da distribuição dos pesos de coelhos híbridos

norfolk, abatidos aos 90 dias.


Os gráficos das freqüências acumuladas são denominados ogivas e estão apresentados

na Figura 1.4.

2.298 2.413 2.528 2.643 2.758 2.8730

2

4

6

8

10

OGIVAS

Frequência acumulada acima de

Frequência acumulada abaixo de

Frequências acumuladas

Peso dos coelhos

Figura 1.4. Representação gráfica das distribuições acumuladas (ogivas) do peso de coelhos

híbridos Norfolk abatidos aos 90 dias.

Tipos de curvas de freqüências

Com base no polígono de freqüência pode-se classificar o tipo de distribuição

dos dados amostrais ou experimentais. Esta classificação é de suma importância, pois grande

parte das análises que são abordadas posteriormente neste material depende da natureza desta

distribuição, sendo que a maioria requer distribuição do tipo simétrica ou aproximadamente

simétrica.


SIMÉTRICA ASS. Á DIREITA

ASS. Á ESQUERDA BIMODAL

MULTIMODAL


1.3. Medidas de posição e dispersão.

1.3.1. Medidas de posição ou de tendência central

Uma medida de tendência central procura sintetizar as informações da amostra em um

único e informativo valor. Ao examinar uma distribuição amostral simétrica ou aproximadamente

simétrica, nota-se que geralmente que os dados são mais freqüentes perto de um valor central e

são mais raros ao afastar-se deste. A obtenção deste valor central é de importância fundamental

tanto para a pesquisa quanto para a extensão. Pode-se exemplificar através de uma situação em

que em uma grande firma produtora de milho, o empregador exige do agrônomo que este lhe

forneça uma estimativa da produtividade da área de 10.000 ha plantados em uma região. O

empregador tomará uma grande decisão com base nesta estimativa. Utilizando métodos de

amostragem apropriados e uma medida de posição e de seu erro, o agrônomo pode fornecer as

informações solicitadas com grande probabilidade de acerto. Este é um problema que pode ser

solucionado com o auxílio e conhecimento das técnicas estatísticas. As principais medidas de

posição estão apresentadas a seguir.

(a) Média aritmética

A média é a principal medida de posição, sendo utilizada principalmente quando

os dados apresentam distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, como acontece com

a maioria das situações práticas. Deve-se diferenciar, por meio de notação apropriada à média

populacional da amostral. A população refere-se a todos os elementos de interesse do

pesquisador para a qual fica praticamente impossível tomar as informações elemento a

elemento. A amostra por sua vez refere-se a um subconjunto de elementos desta população e

obtida de acordo com alguns critérios, de tal forma que haja uma representatividade da

população da qual foi extraída, e para qual se deseja extrapolar as informações (inferências

estatísticas). No exemplo anterior da plantação de milho, a população refere-se a todos os


10.000ha plantados e uma amostra poderia ser de 20ha distribuídos ao acaso pela região

plantada. Será utilizada para diferenciar a média da amostra e da população a seguinte notação:

Simbologia:X PARA AMOSTRA

PARA POPULA Ç Ã Oµ⎧

⎨⎪

⎩⎪

em que, o estimador da média populacional é:

XX

nX X X

n

ii

n

n=∑

=+ + +=1 1 2 ...

em que, n é o tamanho da amostra,

Para o exemplo dos coelhos (dados elaborados), tem-se que:

X=2 47 2 49 2 70

102 584

, , ,,

+ + += kg

Para os dados agrupados em distribuição de freqüência o estimador é:

k

i ii 1

X FX

n==∑

em que, iX é o ponto médio e Fi é a freqüência da classe i.

Para o exemplo dos coelhos em questão:


X =2 471 2 2 586 7 2 701 1

102 5745

, , ,,

× + × + ×= kg

Alguém pode questionar a razão da diferença observada no uso dos dois

estimadores. A resposta é dada pela hipótese tabular básica, a qual considera que todos os

elementos de uma classe são representados pelo seu ponto médio, fato este, que não é

verdadeiro em praticamente todas as situações. Desta forma, este último resultado é apenas

aproximado. No entanto, o erro cometido é mínimo e, portanto, pode ser desprezado.

Propriedades da média

(i) A soma algébrica dos desvios em relação à média aritmética é nula.

( )X Xii

n− =∑

=0

1

(ii) A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados em relação a sua média e um

valor mínimo.

( )D X Xii

n= −∑

=

2

1 representa um valor mínimo.

Demonstração:

Fazendo:

( )D X Aii

n= −∑

=

2

1

Expandindo o somatório e derivando D em relação a A tem-se:


( ) ( )D X A X AX A X AX Aii

n

i ii

n

ii

n

ii

n

i

n= − =∑ − +∑ = ∑ −∑ + ∑

= = = = =

2

1

2 2

1

2

1 1

2

12 2

∂∂DA

X nAii

n= − ∑ +

=2 2

1

Igualando a derivada a zero, e resolvendo em A, tem-se:

∂∂DA

X nA

nA X

AX

nX

ii

n

ii

n

ii

n

= − ∑ + =

= ∑

=∑

=

=

=

=

2 2 0

2 2

1

1

1

Portanto, o ponto ótimo obtido igualando a primeira derivada a zero, pode ser um

ponto de máximo ou de mínimo. Para certificar que o valor de D, quando A é igual à média

amostral, é um valor mínimo basta mostrar que a segunda derivada é positiva. A segunda

derivada de D em relação a A é dada por:

∂∂ ∂

DA A

n= >2 0

Verifica-se que para qualquer tamanho de amostra o valor 2n será positivo,

ficando concluído assim a demonstração.

(iii) A média de um conjunto de dados acrescido (ou subtraído) em cada elemento por uma

constante e igual à média original mais (ou menos) essa constante.

X'=X ± K

em que X' é a média do novo conjunto de dados.


(iv) Multiplicando todos os dados por uma constante a nova média será igual ao produto da

média anterior pela constante.

X′=KX

(v) A média é influenciada por valores extremos

(vi) Não pode ser mensurada em distribuições com classes indeterminadas.

Exemplo,

Classes Fi

5 10

10 20

20 50

50 ou mais

10

20

45.

20

(b) Mediana (md )

A mediana divide as observações ordenadas em partes iguais. Para sua determinação é

necessário o conhecimento da posição central. Basicamente têm-se duas situações distintas:

(i) Se n for par: ( ) ( )(n 2) / 2n / 2

d

X Xm

2++

=

(ii) Se n for impar: ( )d (n 1) / 2m X +=

Exemplo 1. No caso dos coelhos a posição central esta entre o 50 e o 60 elemento. Portanto, a

mediana é a média aritmética destas duas observações.


md = (2,59 + 2,61)/2 = 2,60Kg

Exemplo 2. A = 1, 2, 3. n=3 ⇒ md = X(2) = 2

No caso de dados agrupados a mediana pode ser calculada de acordo com a seguinte

expressão:

m LI

nF

Fcd md

A

mdmd= +

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2

Em que, Fmd: freqüência da classe mediana; cmd: amplitude da classe mediana; FA: freqüência

acumulada das classes anteriores à classe mediana; e Limd é o limite inferior da classe mediana.

A classe mediana é a classe que contém a posição n/2 (posição mediana) da

distribuição de freqüência.

No exemplo: Posição mediana = 10/2 = 5 (contida na 2a classe), FA= 2; Limd = 2,528 Fmd

= 7 e cmd = 0,115kg.

md = 2,528 + [(5-2)/7] x 0,115 = 2,577 kg

Propriedades

(i) md ' = md ± K (somando constante aos dados)

(ii) md ' = md .K (multiplicando os dados por uma constante)


(iii) ΣiXi-md representa um valor mínimo

Muitas vezes existem dúvidas de qual medida utilizar para sintetizar os dados

amostrais. Como uma regra geral, pode-se definir qual medida é mais conveniente para uma

dada situação com base na análise do histograma ou do polígono de freqüências. Se a

distribuição dos dados for assimétrica, isto é quando valores extremos predominam em uma das

caudas da distribuição, deve se preferir a mediana como medida sintetizadora. Isto se deve ao

fato da mediana ser pouco sensível a presença de valores extremos, sendo considerada mais

robusta que a média. O termo robusto é o termo técnico usado para indicar esta propriedade da

mediana em relação à média aritmética, que quando a situação de simetria é violada a mediana

é uma medida que sofre menos “interferências” nas suas estimativas.

(c) moda (mo)

A moda é definida para dados qualitativos ou para quantitativos discretos como

sendo o valor de maior freqüência na amostra. Para dados quantitativos contínuos a moda é o

valor de maior densidade. Portanto para dados quantitativos contínuos o estimador da moda é

baseado na distribuição de freqüências. Esse estimador busca encontrar o ponto de máximo do

polígono de freqüências. Um conjunto pode ter mais de uma moda ou até mesmo não ter moda.

O estimador da moda para dados quantitativos contínuos é definido a partir da

distribuição de freqüência por meio de um método geométrico, o qual conduz a seguinte

expressão:

1o mo mo

1 2

m LI c= +∆ + ∆∆

LImo : limite inferior da classe modal;

∆1: diferença entre as freqüências da classe modal e a classe anterior;


∆2: diferença entre as freqüências da classe modal e a classe posterior;

cmo : amplitude da classe modal;

Classe modal é a classe com maior freqüência.

No exemplo, a classe modal foi à segunda: 2,528 2,643 com F2=7. Logo,

mo = 2,528 + (7-2)/[(7-2)+(7-1)]0,115 = 2,580Kg

O estimador da moda pode também ser considerado como o valor médio da

classe modal, como é apresentado por diversos autores. A justificativa é dada pela hipótese

tabular básica, que diz que todos os valores de uma classe são iguais ao seu ponto médio.

Como neste caso a classe modal é a de maior freqüência, a moda é considerada como igual a

este ponto médio. Nesse material o método geométrico anteriormente apresentado é

considerado, por ser considerado mais eficiente.

É conveniente comentar que as calculadoras eletrônicas não fornecem os

cálculos da mediana e da moda, o que para grandes conjuntos de dados, seus cálculos exatos

podem ser extremamente laborioso.

Propriedades

(i) mo' = mo ± K (somando K a todos os dados)

(ii) mo' = mo .K (multiplicando todos os dados por K)

Relações empíricas entre média, mediana e moda

(i) X = md = mo (distribuição simétrica)

(ii) X > md > mo (distribuição assimétrica à direita)


(iii) X < md < mo (distribuição assimétrica à esquerda)

Outras medidas de posição

(i) média geométrica (G)

Definida somente para números positivos, da seguinte forma:

G X X Xnn= 1 2. ...

Usada principalmente para variáveis que crescem em progressão geométrica,

como, por exemplo, o número de bactérias em uma colônia. Espera-se que a cada reprodução, o

número de bactérias dobre.

(ii) Média harmônica (H)

n

i 1 i

1H1 1n X=

=

∑

(iii) Média aparada (XA )

A média aparada é obtida eliminando do conjunto de dados m observações

menores e m observações maiores. O valor de m corresponde a uma percentagem entre 2,5% e

20% do número total de observações. Esta eliminação dos valores extremos é para eliminar o

efeito de observações discrepantes, conhecidas como outliers, no cálculo da média aritmética.


A título de ilustração considere o conjunto de dados a seguir e com o cálculo da média

aritmética e da média aparada com m=1 (5%) das observações.

1 4 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 10 10 40

A média é: X = 8 80, a média aparada XA =+ + +

= =4 5 10

1813518

7 50...

,

1.3.2. Medidas de dispersão

As medidas de posição não informam sobre a variabilidade dos dados e são

insuficientes para sintetizar as informações amostrais. Para exemplificar este fato, têm-se a

seguir três amostras com a mesma média:

A=8, 8, 9, 10, 11, 12, 12 X A = 10

B=5, 6, 8, 10, 12, 14, 15 X B = 10

C=1, 2, 5, 10, 15, 18, 19 X C = 10

Pode se observar que as amostras diferem grandemente em variabilidade. Por esta

razão torna-se necessário estabelecer medidas que indiquem o grau de dispersão, ou

variabilidade em relação ao valor central. Desta forma pode-se afirmar que uma amostra deve

ser representada por uma medida de posição e dispersão. As principais medidas de dispersão

que são abordadas estão apresentadas a seguir.

(a) Amplitude total (A)


A amplitude é definida como a diferença entre o maior e o menor valor de uma amostra.

No exemplo do peso de coelhos a amplitude foi A = 0,23kg. A amplitude tem a desvantagem de

(i) só considerar os valores extremos para o seu cálculo, e principalmente se houver “outlier” ela

será grandemente afetada. Como só dois extremos são considerados amostras com valores

intermediários praticamente idênticos podem apresentar grande amplitude se só o maior e o

menor valor discrepar dos demais; e (ii) ser influenciada pelo tamanho da amostra, pois à

medida que a amostra aumenta a amplitude tende a ser maior. Esta última desvantagem, não

será demonstrada aqui por requerer conhecimentos profundos de estatísticas de ordens.

(b) Variância e desvio padrão

Para contornar a desvantagem de que apenas dois valores são utilizados para o cálculo

da amplitude, poderia ser cogitado, então, o uso de a soma dos desvios em relação à média

como medida de dispersão ou de variabilidade. No entanto, esta medida não é adequada, devido

ao fato de a soma de desvios em relação à média ser nula, sendo que todos as amostras

apresentariam variabilidade nula.

Assim, uma medida da variabilidade que considera todas as observações e que é a mais

utilizada na maioria das situações na estatística, devido às propriedades que possui, é a

variância ou a sua raiz quadrada, o desvio padrão. A variância pode ser entendida como se

fosse praticamente a “média” da soma de quadrados de desvios em relação à média. Numa

amostra de tamanho n deveria ser utilizado este valor (n) como divisor desta soma de quadrados

de desvios. No entanto, devido a motivos associados a propriedades dos estimadores, o divisor

da variância amostral é dado por n-1 em lugar de n na expressão do estimador da variância.

Simbologia


População: Variância ⇒ 2σ Desvio padrão ⇒ σ

Amostra: Variância ⇒ S2 Desvio padrão ⇒ S

A variância amostral é dada por:

( )S

X X

n

ii

n

2

2

1

1=

−∑

−=

em que, n - 1 é denominado graus de liberdade.

A unidade da variância é igual ao quadrado da unidade dos dados originais. O

desvio padrão, por sua vez, é expresso na mesma unidade do conjunto de dados, sendo obtido

pela extração da raiz quadrada da variância.

Para o cálculo da variância ou desvio padrão amostral a partir dos dados

elaborados pode-se usar a expressão anterior. No entanto, devido à necessidade de se calcular

os desvios em relação à média e calcular, ainda, o seu quadrado, erros de arredondamentos

ocorrem com freqüência. Por essa razão é preferível utilizar as seguintes expressões:

2n

ini 12 2

ii 1

X1S X

n 1 n=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

Para a obtenção do desvio padrão, basta extrair a raiz quadrada:

S S= 2


No exemplo dos coelhos:

S2 = (66,8116-25,842/10)/9 = 0,00456kg2

S = 0 00456, = 0,0675kg

Cálculo para dados agrupados em distribuições de freqüência:

2n

i ini 12 2

i ii 1

FX1S FX

n 1 n=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑ Variância

S S= 2 Desvio padrão

Para o exemplo:

S2 = [(2x2,4712+7x2,5862+1x2,7012) - (2x2,471+7x2,586+1x2,701)2 /10]/9= 0,004261kg2

S = 0,065279kg

A variância e o desvio padrão medem a variabilidade absoluta de uma amostra.

Portanto, a variabilidade de amostras de grandezas diferentes ou de médias diferentes não pode

ser comparada diretamente pelas estimativas da variância ou do desvio padrão obtidas. Para

esclarecer este fato os três conjuntos a seguir são ilustrativos.

X = 1, 2, 3; Y = 101, 102, 103 e Z = 1001, 1002, 1003


Sx = 1,0; Sy = 1,0 e Sz = 1,0

Os três conjuntos possuem a mesma variabilidade absoluta, porém é bastante

intuitivo que os desvios padrão de valores iguais a 1 têm importâncias diferentes. É conveniente

observar que um desvio padrão igual a 1 é mais importante no conjunto X, pois representa 50%

do valor médio.

Propriedades

(i) Variância

Somando ou subtraindo uma constante aos dados a variância não se altera;

Multiplicando todos os dados por uma constante K a nova variância ficara

multiplicada por K2.

(ii) Desvio padrão

Somando ou subtraindo uma constante K aos dados o desvio padrão não se altera;

Multiplicando todos os dados por uma constante K o novo desvio padrão fica

multiplicado por K.

(c) Coeficiente de variação (CV)

O desvio padrão ou variância permitem a comparação da variabilidade entre conjuntos

numéricos que possuem a mesma média e a mesma unidade de medida ou grandeza. Diz-se

que o desvio padrão é uma medida de dispersão absoluta. Nos casos em que os conjuntos


possuem diferentes unidades e possuem médias diferentes, uma medida de dispersão relativa,

como o coeficiente de variação (CV), é indispensável para se comparar à variabilidade. O

coeficiente de variação refere-se à variabilidade dos dados mensurada em relação a sua média,

sendo obtido pela expressão seguinte.

CVSX

x= 100

No exemplo dos três conjuntos apresentados anteriormente, tem-se:

CVx=50%; CVy=1% e CVz=0,1%

Portanto, o conjunto X apresentou uma maior variabilidade em relação aos demais. No

exemplo dos coelhos o CV = (0,0675/2,584) x 100 =2,61% representa relativamente uma

pequena dispersão dos dados em relação ao valor central.

Um outro exemplo, referente a dados de temperatura e de precipitação num

determinado período está apresentado na Tabela 1.6. Verifica-se que a temperatura apresentou

uma maior variabilidade relativa do que a apresentada pela precipitação, pois o CV foi maior

para essa variável. Se fossem comparados os desvios padrão, a conclusão seria de que a

precipitação seria mais variável que a temperatura. Essa conclusão seria, não obstante,

incorreta, pois as grandezas são bastante diferentes.

Tabela 1.6. Estatísticas amostrais de posição e dispersão de uma determinada região em um

determinado período referente à temperatura e precipitação.

Estatísticas amostrais

Temperatura

Precipitação

Média

220C

800mm

S

50C

100mm


CV

22,7%

12,5%

(d) Erro padrão da média ( XS )

Quando se obtém uma amostra aleatória de tamanho n, estima-se a média

populacional. É bastante intuitivo supor que se uma nova amostra aleatória for realizada a

estimativa obtida será diferente daquela da primeira amostra. Esse processo se repetido

fornecerá estimativas diferentes em cada etapa. Dessa forma, reconhece-se que as médias

amostrais estão sujeitas à variação e formam populações de médias amostrais, quando todas as

possíveis (ou as infinitas) amostras são retiradas de uma população. No entanto, é intuitivo,

também, o conceito de que as médias amostrais variem menos que uma simples observação. A

variabilidade de uma média é estimada pelo seu erro padrão ( XS ):

SSnX

=

O erro padrão fornece um mecanismo de medir a precisão com que a média

populacional foi estimada. Para o exemplo dos coelhos o erro padrão é:

X

0,0675S 0,02135kg10

= =

Nesse caso o erro padrão foi de 0,02135kg e representou 0,83% do valor médio,

indicando que a média foi estimada com alta precisão. Nos próximos capítulos outros métodos

para avaliação da precisão com que uma média foi calculada são apresentados.


1.3.3. Medidas de assimetria e curtose

Como foi visto várias medidas sintetizadoras da amostra são apresentadas,

destacando-se suas vantagens e desvantagens. São apresentadas, também, formas gráficas

para avaliação da natureza da distribuição dos dados. Neste último caso por uma inspeção

empírica o pesquisador podia inferir que tipo de distribuição os dados de sua pesquisa

apresentavam. Naquele instante deu-se ênfase a simetria da distribuição, ou seja, se a forma da

distribuição apresentava uma concentração maior dos valores em torno do valor central e se à

medida que se afastassem em ambas as direções deste centro, o comportamento se mantinha

semelhante, reduzindo-se as freqüências. Uma forma de se estimar o grau de assimetria ou de

simetria de uma distribuição, pode ser dada pelo coeficiente de assimetria, cuja notação para

representá-lo é a3 ou 1b , sendo esta última notação mais conhecida na literatura.

3 13

2 2a b

mm m

= =

em que, m2 e m3 são momentos de ordem 2 e 3, respectivamente, centrados para a média,

podendo ser obtidos por:

( )2

1

2

mx x

n

ii

n

=−∑

= e ( )

31

3

mx x

n

ii

n

=−∑

=

O coeficiente de assimetria pode ser interpretado da seguinte forma:

i. a3 < 0 distribuição assimétrica à esquerda;

ii. a3 = 0 distribuição simétrica.

iii. a3 > 0 distribuição assimétrica à direita.


Nas situações reais da pesquisa, esta informação é de grande valia, uma vez,

que os processos de decisão e estimação são baseados em distribuições simétricas. Como os

dados destas pesquisas referem-se a amostras de uma população, dificilmente o coeficiente de

assimetria será exatamente igual a zero, mesmo quando proveniente de uma distribuição

sabidamente simétrica. Para que não se infira incorretamente a respeito da natureza da

distribuição quanto à simetria, no capítulo 6, será apresentado um critério estatístico para fazer

este julgamento.

Uma outra medida para verificar a natureza da distribuição, é denominada de

curtose, a qual é representada por a4 ou b2. Esta é uma medida do grau de achatamento da

distribuição quando comparada ao de uma distribuição conhecida como distribuição normal, que

será vista no capítulo 2. Para esta distribuição normal o valor de a4 é 3, sendo denominada de

distribuição mesocúrtica. Valores de a4 maiores que 3, representam as distribuições

leptocúrticas, ou seja, são mais “afiladas“ que a distribuição normal. E distribuições com valores

de a4 menores do que 3 representam as distribuições platicúrticas, ou seja, aquelas mais

achatadas do que a normal.

O coeficiente de curtose pode ser estimado pela seguinte expressão:

4 24

22a b

mm

= =

em que, m4 é o momento de ordem 4 centrado na média, podendo ser estimado por:

( )4

1

4

mx x

n

ii

n

=−∑

=

Na Figura 1.5 estão representados os tipos de distribuição quanto ao grau de

achatamento, em relação aos valores do coeficiente de curtose.


Figura 1.5. Tipos de distribuições quanto ao grau de achatamento (curtose): leptocúrtica,

mesocúrtica e platicúrtica.

Exemplo: Calcular os coeficiente de assimetria e de curtose para os dados de peso de coelhos

apresentados anteriormente, e discutir sobre os resultados encontrados.

Os coeficientes m2, m3 e m4 devem ser calculados inicialmente. Devido às

elevadas potências aconselha-se a utilização de planilhas eletrônicas na obtenção destes

coeficientes. Os valores desses momentos para o exemplo estão apresentados a seguir.

( )n 2

ii 1

2

xm

n

x=

−=∑

=0,004104

( )n 3

ii 1

3

xm

n

x=

−=∑

=-0,000062112

( )n 4

ii 1

4

xm

n

x=

−=∑

=0,000043419552

leptocúrtica

mesocúrtica

platicúrtica


O próximo passo é utilizar as expressões para obter as estimativas do

coeficiente de assimetria (a3)e de curtose (a4):

3 13

2 2a b

mm m

= = =-0,2362

4 24

22a b

mm

= = =2,5779

Como o valor de assimetria é menor que zero, pode se inferir que a distribuição

possui assimetria negativa, ou seja, é considerada assimétrica à esquerda. Da mesma forma

pode-se inferir que a distribuição é platicúrtica, uma vez que seu coeficiente de curtose é inferior

a 3. Como já comentado, os valores amostrais destas estatísticas, em geral não são exatamente

iguais aos padrões de uma normal, mesmo quando são provenientes de uma distribuição

sabidamente normal. Então, neste momento, ainda não há como saber com grande segurança

se a diferença dos valores desta estatística para os padrões da distribuição normal é irrelevante

ou não. A resposta para essa questão será fornecida no capítulo 6.


1.4. Exercícios

1.4.1. Técnicas de somatório

1. Índices ou notação por índices

O símbolo Xj (leia X índice j) representa qualquer um dos n valores, X1, X2, ..., Xn,

assumidos pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados. A letra j, usada como índice,

pode representar qualquer um dos valores: 1, 2, ..., n. Evidentemente pode ser usada qualquer

outra letra além de j.

2. Notação de somatório

O símbolo X jj

n

=∑

1 é usado para representar a soma de todos os valores Xj desde j=1 até

j = n, ou seja, por definição:

X jj

n

=∑

1 =X1 + X2 + ... + Xn,

O símbolo Σ é a letra grega sigma, que indica soma.

3. Propriedades

3.1. aX jj

n

=∑

1= aX1 + aX2 + ... + aXn=a X j

j

n

=∑

1

3.2. Y Xj jj

n

=∑

1= Y1 X1 + Y2X2 + ... + YnXn

3.3. ( )aX bY a X b Yj jj

n

jj

n

jj

n+∑ = ∑ + ∑

= = =1 1 1

3.4. K nKj

n=∑

=1

Obs. a, b e K são constantes e X e Y variáveis aleatórias.

4. Soma de variáveis arranjadas com dupla identificação

É um procedimento comum que os dados de um experimento ou de uma amostragem

serem representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices

(Xi j). O índice i representa as linhas e o índice j às colunas. Um exemplo, apresentado na Tabela 1.7,

refere-se à produção média por hectare de uma gramínea após a utilização de adubos nitrogenados e

fosfatados. Três quantidades de nitrogênio foram aplicadas e quatro doses de fósforo.


Tabela 1.7. Produtividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 3 doses de N em combinação com 4

doses de P observados em um experimento zootécnico.

Teor de nitrogênio (j)

Teor de fósforo (i) 1 2 3

1 4,6 5,0 5,5

2 5,0 5,5 6,1

3 5,2 5,8 6,4

4 6,0 6,2 6,8

Em algumas análises estatísticas é necessário muitas vezes somar as linhas e/ou colunas,

bem como toda a tabela. A notação de somatório pode ser utilizada com essa finalidade. Como dois fatores

determinam a produtividade, dois índices são utilizados para representá-los, como comentado

anteriormente. Assim, dois símbolos de somatórios podem ser utilizados em alguns casos. Assim será

definido, o seguinte somatório:

i. Somar todas as produtividades da Tabela 1.. 4 3

i j 11 12 43i 1 j 1

4,6 5,0 6,8 68,1x x x x= =

= + + + = + + + =∑∑

ii. Somar cada uma das linhas

ijj

i i ix x x x i=∑ = + + ∀ =

1

3

1 2 3 1 2 3 4, , ,

Assim por exemplo, para fósforo dose 2 (i=2), a produtividade total é:

21

3

21 22 23 5 0 5 5 6 1 16 6jj

x x x x=∑ = + + = + + =, , , ,

iii. Somar cada uma das colunas

iji

j j j jx x x x x j=∑ = + + + ∀ =

1

4

1 2 3 4 1 2 3, ,

Assim por exemplo, para nitrogênio dose 3 (j=3), a produtividade total é:

ii

x x x x x31

4

13 23 33 43 5 5 6 1 6 4 6 8 24 8=∑ = + + + = + + + =, , , , ,


5. Exercícios propostos

Sejam os conjuntos de dados a seguir:

X=2, 4, 4, 3, 2

Y=1, 2, 3, 6, 7

Obtenha:

5.1. X jj=∑

1

4 5.2. Y j

j=∑

1

5

5.3. 4 2

1

5X j

j=∑ 5.4. X Yj j

j=∑

1

5

5.5. ( )3 21

5X Yj j

j+∑

= 5.6. X Y Yj j

jj

j+∑ ∑

= =2

4 2

1

5

6. Seja

n

jj 1

XX

n==∑

a média aritmética e Sn

XX

njj

n jj

n

2 2

1

1

2

11

=−

∑ −∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

= a variância. Dado o

conjunto de dados X=2, 4, 5, 6, 1, 8, calcule a sua média e variância.

7. Demonstre numericamente e algebricamente que n

jj 1

(X X) 0=

− =∑ . Use os dados do exemplo anterior

para demonstrar numericamente.

8. Obtenha a partir da Tabela 1.7, as seguintes somas:

8.1. ijji

X2

1

3

1

4

==∑∑ 8.2. ij

iX j2

1

41 2 3

=∑ = , ,

8.3. ijj

X i2

1

31 2 3 4

=∑ = , , ,

1.4.2. Coleta organização e apresentação de dados

1. Os dados apresentados a seguir são relativos às produções de 50 plantas de uma progênie F2 de feijoeiro

em g/planta, avaliados no Departamento de Biologia da UFLA, em 1997.


2,81 3,19 3,49 3,76 6,02 8,23 2,23 3,01 4,43 13,94 3,10 1,52 3,38

2,85 4,64 7,33 6,78 13,12 13,84 9,40 6,20 2,39 9,19 7,07 9,20 13,46

3,90 8,99 7,97 5,15 12,95 25,52 6,61 16,56 9,60 6,71 6,73 3,86 3,50

4,80 8,40 13,86 6,53 18,44 22,14 9,15 8,75 10,86 14,20 10,09

a) Agrupe os dados, determinando o número de classes pelo critério de Oliveira.

b) Faça o histograma e o polígono de freqüência num mesmo gráfico.

c) Construir as distribuições de freqüências acumuladas.

d) Trace as ogivas no mesmo plano cartesiano.

e) Qual é a porcentagem de plantas com produtividade superior a 9g/planta. Utilize as ogivas e a

interpolação algébrica a partir da distribuição de freqüência. Compare e discuta os resultados obtidos com a

proporção amostral exata, obtida dos dados elaborados.

f) Discuta sobre a natureza da distribuição, baseado no item b?

g) Acima de qual produtividade estão 50% das plantas (25 plantas)?

h) Qual a porcentagem de plantas com produtividade inferior a 3,5g?

i) Obtenha as produtividades que deixam 25% de plantas com produtividade acima das mesmas e 25%

abaixo.

Obs. Utilize em todos os casos (g, h, i) a distribuição de freqüência.

1.4.3. Medidas de posição

1. Foi realizada na região Oeste do Paraná, no município de Marechal Cândido Rondon, em

1992, um levantamento da produtividade leiteira diária de 30 produtores rurais, atendidos pelo

plano “Panela Cheia” (Roesler, 1997). Os resultados da produtividade diária dos 30 produtores

estão apresentados a seguir.

8,13 8,23 8,60 8,80 8,97 9,05 9,12 9,30 9,35 9,78

9,80 9,86 9,90 9,95 10,00 10,11 10,13 10,15 10,16 10,23

10,31 10,33 10,40 10,46 10,50 11,14 11,29 11,46 12,05 12,14

Obtenha as seguintes estimativas das medidas de posição:

a) Média aritmética

b) Média aparada (m=2)

c) Mediana

d) Cheque que ( )X Xjj

n−∑ =

−

=10 .


e) Se for multiplicado a produtividade por 0,27 de cada produtor, para se obter a renda média por

produtor/animal/dia, qual, qual será o valor para amostra?

f) obtenha a média harmônica.

2) Faça a distribuição de freqüência destes dados e calcule:

a) Média aritmética

b) Mediana

c) Moda

d) Faça a comparação destes valores com os obtidos no exercício anterior, e discuta sobre as

razões das diferenças.

e) Trace o histograma e o polígono de freqüência

f) Baseado nestes gráficos, determine qual é a natureza da distribuição, quanto à simetria.

Baseado nesta resposta indique qual medida de posição é a mais adequada para representar os

dados amostrais. Justifique

g) Se você fosse solicitado pelo prefeito da cidade para estimar a produtividade de leite total

diária da cidade, como você faria?

Informações adicionais: número de produtores de leite da cidade - 7309; Quantidade total de

vacas (média da amostra) - 11,80 vacas/produtor; Número médio de vacas em lactação: 8,075.

1.4.4. Medidas de dispersão

1. Foi realizada na região Oeste do Paraná, no município de Marechal Cândido Rondon, em

1992, um levantamento da produtividade leiteira diária de 20 produtores rurais, atendidos pelo

plano “Panela Cheia” (Roesler, 1997). Os resultados dos intervalos de parto (em meses) dos 20

produtores estão apresentados a seguir.

11,80 11,90 12,00 12,30 12,80 12,99 13,10 13,50 13,80 14,10

14,55 14,65 14,70 15,00 15,10 15,20 15,50 15,80 15,90 15,96

Obtenha as seguintes estimativas das medidas de dispersão:

a) Amplitude total

b) Variância e desvio padrão

c) Coeficiente de variação

d) Erro padrão da média

e) Em cada caso anterior comentar, sobre o significado da estimativa obtida e sobre a forma que

devem ser aplicadas.


f) Se cada dado for dividido por 12, para se obter o intervalo de partos em anos, qual será os

novos valores da amplitude, variância, desvio padrão, CV e erro padrão da média?

2) Faça a distribuição de freqüência destes dados e calcule:

a) Amplitude, variância, desvio padrão, CV e erro padrão da média?

b) Faça a comparação destes valores com os obtidos no exercício anterior, e discuta sobre as

razões das diferenças.

c) Se você fosse solicitado a representar os dados por duas medidas, quais você usaria e por

que?

d) Após o programa Panela Cheia o intervalo de partos apresentou média de 13,85 e desvio

padrão de 2,00 meses. Qual é na sua opinião a situação que apresentou maior variabilidade,

ante ou após o Programa?

3) A seguir estão apresentadas às estimativas dos coeficientes de assimetria e de curtose de

algumas situações amostrais. Classifique cada uma delas quanto à simetria e o grau de

achatamento da distribuição de freqüência, baseando-se nas estimativas destes coeficientes.

Coef. simetria (a3) Coef. curtose (a4) Class. da simetria Class. da curtose 0,5 3,0 -2,0 2,0 2,0 2,0 3,0 3,0 0,0 3,0 0,0 3,5 -3,0 4,5

1.5. Literatura citada

ROESLER, D.A. Impactos do programa de crédito por equivalência-produto no sistema de

produção de leite - um estudo no oeste do Paraná - Brasil. Lavras, MG, Agosto, 1997.

89p. (Dissertação de Mestrado).

CAPÍTULO II - DISTRIBUIÇÃO DE

PROBABILIDADE

2.1. CONCEITO E IMPORTÂNCIA

Na experimentação agropecuária um dos principais objetivos é a retirada de

conclusões a partir de experimentos que envolvem incertezas. Na obtenção das conclusões é

necessário o uso da teoria da probabilidade. Os dados de uma amostra são realizações de

variáveis aleatórias. Inúmeros modelos probabilísticos podem ser usados para modelar a

ocorrência à distribuição e facilitar a compreensão de como os eventos aleatórios ocorrem. A

inferência estatística usa esses modelos e suas propriedades para formular as principais teorias

utilizadas pelos investigadores científicos em suas pesquisas.

Nesse material, apenas uma abordagem simplificada do conceito de probabilidade

é apresentada. Nessa abordagem a probabilidade é relacionada com a ocorrência de um evento

em relação a todas possibilidades possíveis. Se um evento pode ocorrer de "a" maneiras

diferentes num total de “n” modos possíveis, então a probabilidade de ocorrência do evento é

definida por: pan

= . Assim, o conjunto de todas as possíveis formas de ocorrer um determinado

fenômeno deve ser especificado ou pelo menos enumerado. Esse conjunto é denominado de

espaço amostral. O subconjunto de interesse é denominado de evento.

Exemplo: Seja o nascimento de fêmeas numa leitegada de tamanho 3. Qual é a probabilidade de

nascer 2 fêmeas? e nenhuma fêmea?

Os eventos possíveis são apresentados a seguir pelo espaço amostral Ω:

Ω: 1.MMM; 2.MMF; 3.MFM; 4.FMM; 5.MFF; 6.FMF; 7.FFM; 8.FFF

DANIEL FURTADO FERREIRA

40

E1 =ocorrência de duas fêmeas=5,6,7

p = Prob E1 = 3/8 =0,375 = 37,50%

E2=não ocorrência de fêmeas=1

p = Prob E2 = 1/8 =0,1250 = 12,50%

2.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

As variáveis aleatórias podem assumir qualquer valor de um determinado conjunto

de dados, denominado de domínio da variável aleatória. Como já foi visto, elas podem ser

discretas ou continuas. Será visto duas principais distribuições discretas e a mais importante das

continuas, a distribuição normal. Nesse curso, devido a carga horária limitada e a grande

quantidade de assuntos a serem tratados, são penalizados alguns conceitos fundamentais de

probabilidade, regras de contagem e análise combinatória.

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS

Se uma variável X pode assumir um conjunto de valores discretos X1, X2, ..., Xn

com probabilidades p1, p2, ..., pn, sendo Σpi=1, diz-se que está definida uma distribuição de

probabilidade de X.

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS

Neste caso X pode assumir um conjunto continuo de valores. O polígono de

freqüência amostral torna-se, no limite de uma população, uma curva continua. Essa curva

contínua é denominada distribuição de probabilidade contínua. As probabilidades dos eventos são

definidas por áreas sob essa curva.


µ a b

A área total sob a curva limitada pelo eixo X é igual a 1. E a área entre a e b

fornece a probabilidade de X estar entre a e b.

2.3. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DISCRETAS E CONTINUAS.

A. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

A distribuição binomial é apropriada para situações em que se têm 2 únicos

resultados: sucesso e fracasso quando se obtém uma amostra de um único elemento da

população. Se em uma amostra de tamanho n forem mantidas constantes as probabilidades

associadas ao sucesso e ao fracasso, pode-se definir a variável X pelo número de sucessos

observados. Essa variável tem distribuição binomial. São exemplos de variáveis binomiais:

florescimentos de plantas de uma espécie em uma amostra de tamanho n; nascimento de fêmeas

em uma amostra de tamanho n; entre outros. A distribuição binomial é a mais importante das

distribuições de v.a.discretas.


42

Se p e a probabilidade do sucesso de um evento ocorrer em uma única tentativa e

q=1-p e a probabilidade do fracasso, então, a probabilidade do evento ocorrer x vezes em n

tentativas é apresentada a seguir:

P(X=x)= nx x n xC p q −

em, nxC

nx n x

=−!

!( )! e x é o número de sucessos ocorridos em n tentativas. x=0, 1, 2, ..., n.

Exemplo. No nascimento de dois bezerros considerando o sucesso a ocorrência de fêmeas,

pergunta-se qual a probabilidade de nascer 2 fêmeas? 1 fêmea? e nascer pelo menos uma fêmea?

n=2; p=1/2; q=1-p = 1/2 e X: número de fêmeas; x=0, 1, 2.

Ω=MM, MF, FM, FF

P(X=2)= 2

2 012

12

0 25 25%2 2 2!

! !,⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

−

P(X=1)= 2

1 112

12

0 50 50%1 2 1!

! !,⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

−

P(X≥1) = P(Pelo menos uma fêmea)=P(X=1)+P(X=2)=0,25+0,50=75%

P(X=0)= 25%


A distribuição de probabilidade de X (número de fêmeas), está apresentada no

Tabela 2.1. A distribuição de probabilidade refere-se aos possíveis valores que X pode assumir

associados as suas respectivas probabilidades de ocorrência.

x 0 1 2

P(X=x) 0,25 0,50 0,25

Tabela 2.1. Distribuição de probabilidade da ocorrência de fêmeas.

A função de distribuição de probabilidade refere-se as probabilidades acumuladas.

No exemplo, refere-se à probabilidade de ocorrência de no máximo x fêmeas e é representada por

F(x).

F(x) = P (X≤x) = P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=x-1)+P(X=x)

Ex. F(1) = P(X≤1) = P(X=0)+P(X=1)=0,25+0,50=0,75=75%

F(2) = P(X≤2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0,25+0,50+0,25=100%

Média e Variância da Binomial

2x xnp npq np(1 p)µ = σ = = −

B. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A distribuição de Poisson pode ser vista como sendo uma aproximação da

binomial quando o n é grande tendendo para ∞ e a probabilidade do sucesso p é pequena

tendendo para zero, permanecendo finito e não nulo o produto np (média da distribuição). Na

prática, para uma boa aproximação, adota-se n≥50 e p≤0,10. A distribuição de Poisson, também,


44

pode ser vista como sendo a distribuição de uma variável X que mede a ocorrência do número de

elementos por unidade de tempo, área ou volume. Assim, por exemplo, a ocorrência de uma planta

de uma determinada espécie por unidade de área pode ser modelada pela distribuição Poisson; a

ocorrência de formigueiros por talhão; a ocorrência do número de uma determinada doença por

uma determinada unidade de tempo; entre outros.

Função de densidade

P(X=x) = −kx

ekx!

onde, k =np é a média da distribuição.

Função de distribuição de Poisson:

F(x) = P(X≤x) = −

=

∑ kt

t

x

ekt!0

Exemplo: 2% dos animais de um rebanho estão atacados por uma doença. Qual a probabilidade

de encontrar em uma amostra de 100 animais:

(i) nenhum animal doente?

(ii) 1 doente?

(iii) 2 doentes?

(iv) mais de três animais doentes?

n=100>50 e p=0,02 < 0,10 (sucesso ou fracasso) ⇒ Poisson.

k=np=100x0,02=2

(i) P(X=0)= −202

0e !=13,53%


(ii) P(X=1)= 2 1e 21!

−

=27,07%

(iii) P(X=2)= 2 2e 22!

−

=27,07%

(iv) P(X>3) = 1-F(3)=1-P(X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)]=1-0,8571=14,29%

Média e Variância da Poisson

x xnp k np kµ σ= = = =2

A distribuição Poisson possui média e variâncias iguais.

C. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE UNIFORME DISCRETA

Uma variável aleatória discreta X assumindo valores x1, x2, . . ., xk terá distribuição

uniforme discreta se todos elementos forem equiprováveis. A função de densidade de

probabilidade é dada por:

P(X=x)=1k

; x = x1, x2, . . ., xk


46

D. DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É a mais importante das distribuições do grupo continuo pela grande aplicabilidade

em pesquisas das ciências agrárias. A distribuição normal tem densidade dada por:

2

2(x )

22

1f (x) e2

−µ−

σ=πσ

Em que µ e σ2 são os parâmetros dessa distribuição, os quais são respectivamente

a média e variância dessa distribuição. O gráfico da função normal é:

Propriedades

(i) simétrica em relação a µ ;

(ii) tem forma de sino;

(iii) fica completamente definida conhecendo-se a sua média e variância;

(iv) é assintótica em relação à abscissa;

(v) área total sob a curva e igual a 1.


Distribuição normal reduzida ou padronizada

(σ2 = 1 e µ = 0)

Se X ∩ N(µ , σ2) então a V.A. Z, definida por: XZ −µ

=σ

, terá distribuição normal

padronizada-N(0,1). Sabe-se que a probabilidade de X estar entre dois valores quaisquer (a, b) é

dada pela área sob a curva normal entre estes valores:

µ a b

P(a<X<b)= ∫ab f(x) dx

Como o cálculo dessa integral não é trivial, usam-se as tabelas obtidas a partir da

curva normal padronizada. Calcular a área compreendida entre 0 e 1 na curva normal reduzida.


48

0 1

Consultando a tabela da curva normal padrão obtém-se:

P(0≤Z≤1) = 0,3413.

A tabela só fornece valores positivos de Z. Portanto se a probabilidade desejada

corresponde à área de 0 a -1, deve-se usar a propriedade de simetria da curva normal.

P(-1≤Z≤0)=P(0≤Z≤1)=0,3413

Em muitas situações práticas os parâmetros da distribuição normal são

desconhecidos e devem ser estimados da amostra. Nesse caso a as probabilidades são apenas

estimativas das reais probabilidades. As estimativas são tanto melhores, quanto maiores forem às

amostras das populações normais obtidas. Um exemplo de aplicação dessa natureza é

apresentado a seguir.

Exemplo: No exemplo dos coelhos híbridos, assumindo distribuição normal dos pesos, tem-se que

X =2,584 e S=0,0675. Qual é a probabilidade de encontrar um animal pesando mais que

2,701Kg?


P(X>2,701)=?

(i) Usar gráfico para visualizar melhor a probabilidade desejada

2 , 7 0 12 , 5 8 4

(ii) Colocar X na forma reduzida:

Zc = X X

S

−=

−2 701 2

0 0675

, ,584

,=1,73

1 ,7 30

(iii) P(X>2,701) = P(Z>1,73)=0,50-0,4582= 0,0418 ⇒ P(X>2,701) = 4,18%


50

E. Aproximação normal das distribuições Binomial e Poisson

(i) Binomial

X ∩ B(n,p)

Deseja-se calcular probabilidades tais como P(X≥7), P(0≤X≤4), etc. Pode-se fazer

tal cálculo usando a própria distribuição binomial ou usar a aproximação normal. No caso da

aproximação normal, o erro cometido será tanto menor quanto maior for n e quanto mais próximo

de 0,50 estiver o valor de p. Alguns autores afirmam que quando np≥5 a aproximação normal é

considerada boa.

EX. X ∩ B(n=10, p=0,50). Qual P(X≥7)?

Usando a Binomial:

P(X≥7)=P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0,171875=17,1875%

Usando a aproximação Normal:

µx= np =10x0,50 = 5 ≥ 5

σ2 = npq =10x0,5x0,5 = 2,5

Como P(X≥7) inclui o 7 e X segue uma distribuição discreta, deve-se fazer correção para

descontinuidade, para que P(X=7) seja considerada na aproximação normal, e o erro seja

minimizado.


P(X≥7) inclui o 7, logo se deve considerar no caso contínuo P(X>6,5) (pois considera a

probabilidade de X ser 6,5 ou mais). Se fosse P(X>7), que não inclui o valor 7 deve-se calcular a

P(X>7,5).

Observe a figura ilustrativa a seguir para visualizar as correções de continuidade

apresentadas. A probabilidade de cada valor de X é estimada no caso contínuo pela área do

retângulo correspondente sob a curva contínua usada para aproximar a distribuição discreta.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(X>6,5) = P(Z> Zc), onde Zc é dado por:

Zc= X x

x

− µσ

= 6 5 0

2

,5 ,

,5

− = 0,95

P(Z>0,95) = 0,1711 = 17,11%

O erro cometido é desprezível.


52

(ii) Poisson

Nesse caso o processo é análogo, sendo que a média e a variância são dados por:

µx= np =k e σ2 = np=k

Ex. Seja k=5 e n=100. Qual a P(X>7)?

Deve ser feito o ajuste para descontinuidade:

P(X>7) não inclui o 7, logo a probabilidade desejada será: P(X>7,5) na aproximação Normal.

P(X>7,5) = P(Z>Zc) = P(Z>1,12), pois:

Zc = X x

x

− µ

σ =

7 5 5 05

, ,− = 1,12

P(Z>1,12) = 0,50 - P(0<Z<1,12) =0,50 - 0,3686 = 0,1314 = 13,14%

A probabilidade exata foi calculada usando um algoritmo em Pascal, e o resultado

obtido foi: P(X>7)=13,34%. Novamente observa-se que o erro cometido foi pequeno, não sendo

importante.

2.4. ESPERANÇAS MATEMÁTICAS

A média de uma variável aleatória X recebe o nome de valor esperado ou

esperança matemática de X. E é definida por:

E(X) = n

i ii

x P(X x )=∑ , se X é uma v.a. discreta.


E(X) = xf x dx( )−∞

∞

∫ , se X é uma v.a. contínua

Propriedades

(i) Sejam a e b constantes:

E(aX+b) = aE(X) + b (X v.a. discreta)

E(aX+b) = (ax b)f (x)dx a xf (x)dx b+ = +∫ ∫ (X v.a. contínua)

(ii) E[X-E(X)]2 é um valor mínimo (variância de X)

(iii) E[X-E(X)]=0

2.5. EXERCÍCIOS

2.5.1. Distribuição de probabilidades discretas

1. Considere ninhadas de 4 filhotes de coelhos. Construa todos os possíveis eventos de

nascimentos quanto ao sexo dos filhotes. Ex. (MMMM), (MMMF), etc.

a) sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X.

b) Calcule as probabilidades dos seguintes eventos, pelo conceito de probabilidade.

i) nascimento de exatamente duas fêmeas?

ii) nascimento de pelo menos um macho?

iii) nascimento de pelo menos duas fêmeas?

iv) nascimento de no máximo uma fêmea?

c) Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 4 filhotes. Em quantas vocês

espera encontrar exatamente 1 macho?

2) Suponha que X (V.A. discreta) seja o número de animais doentes de uma determinada raça.

Sabe-se que esta doença é controlada geneticamente e que ataca 1/3 da raça. Numa amostra de

5 animais, pede-se:

a) A distribuição de probabilidade de X? (Use a binomial)

b) A probabilidade de haver na amostra mais de 1 animal doente?

c) A probabilidade de haver mais de um animal sadio?


54

d) A probabilidade de haver no máximo três animais doentes?

e) A função de distribuição de probabilidade de X, F(X).

f) A média e a variância?

3) Numa lâmina verificou-se que existiam em média 2,5 bactérias/cm2. A lâmina foi subdividida em

300 quadrados de 1cm2. Em quantos destes quadrados vocês espera encontrar no máximo 1

bactéria? Qual é a probabilidade de se encontrar mais de 3 bactérias por centímetro quadrado?

4) Um pesquisador da área de zootecnia conseguiu uma série de dados dos últimos 120 anos,

com o registro do número de uma doença rara em eqüinos da localidade em que trabalhava. Os

dados obtidos foram:

Número de doenças 0 1 2 3 4 5

Número de anos 50 42 20 5 2 1

a) Estime o número médio de doenças /ano?

b) Calcule para cada valor de X, as probabilidades associadas. suponha que X possua distribuição

de Poisson.

c) Calcule a freqüência esperada (em anos) para cada valor de X.

d) Compare os resultados esperados com os observados. Com base nesta comparação, você

pode afirmar que a distribuição de Poisson é adequada para explicar a ocorrência desta doença na

região de estudo? Justifique.

2.5.2. Distribuição de probabilidades contínuas

1. Calcule e faça os esboços dos gráficos para representar as seguintes probabilidades da

distribuição normal padronizada N(0,1), com média zero e variância 1: P(Z≥1,96), P(Z≥0,95),

P(Z≤1,54), P(Z≤-1,645) e P(-0,45≤Z≤2,00).

2. Encontre o valor de Zc tal que: P(Z> Zc)=0,025, P(Z< Zc)=0,600 e P(1<Z< Zc)=0,1200.


3. A variável aleatória X (quantidade de kg de leite produzidos por um animal diariamente,

considerando uma determinada raça e rebanho) segue a distribuição normal e possui média

9,87kg/dia/animal e variância 8,87(kg/animal/dia)2. Calcule a P(X<3), P(X>8), P(10<X<12),

P(7<X<11,5). Qual é o valor Xc, tal que 90% das vacas tem produtividade inferior ao mesmo, ou

seja, P(X<Xc)=0,90?

4. no nascimento de 80 bezerros qual é a probabilidade de nascer pelo menos 30 fêmeas? E de

nascer pelo menos 70 fêmeas? Usar a aproximação normal.

5.Seja X uma variável aleatória discreta, que representa a incidência de uma doença num

determinado rebanho. Supor que X possua distribuição de Poisson com média, K=17. Determine

as seguintes probabilidades pela aproximação normal, para uma amostra de 200 animais.

(a) P(15≤x≤16) (b) P(X≤22) (c) P(X=13) (d) F(15)

(e) Calcule o valor exato de (c) pela Poisson. Determine o erro de aproximação encontrado.

CAPÍTULO III - AMOSTRAGEM

3.1. IMPORTÂNCIA

O objetivo é fazer inferência sobre a população, como descrito no Quadro 3.1, ou

seja, fazer afirmações sobre características da população, tomando-se por base os resultados da

amostra. O processo pelo qual por meio da amostra são estudadas as características

populacionais e denominado de amostragem. Para a validade deste processo as amostras devem

ser representativas. As vantagens do processo de amostragem em relação ao censo é o menor

custo, o menor tempo e a maior precisão.

POPULAÇÃO

µ

σ 2

P

⎯⎯→

Parâmetros populacionais desconhecidos

AMOSTRA

⎯⎯→

X

S

P

2

^

Estimadores amostrais

Quadro 3.1. Descrição do processo de amostragem pelo qual se obtém uma

caracterização do universo desconhecido que é a população.

3.2. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA E NÃO PROBABILÍSTICA.

A amostragem é o conjunto de técnicas para se obter um subconjunto de valores

de um universo desconhecido para se caracterizá-lo. Esse universo de valores é a população e o

subconjunto é a amostra. População e amostra podem ser definidas de uma forma bastante

simplificada por: (i) população é o conjunto de todos os elementos que tem pelo menos uma

característica comum de interesse. Por exemplo, a população de árvores de eucaliptos da Aracruz

Celulose no Espírito Santo e Bahia; (ii) e amostra é um subconjunto da população, o qual deve

possuir características da população de onde foi extraído.


A amostragem se subdivide em dois tipos fundamentais: a amostragem

probabilística e a amostragem não probabilística. A amostragem probabilística é aquela em que

todos os indivíduos da população possuem probabilidade conhecida e não nula de pertencer à

amostra. A principal característica desse processo é a realização de sorteio para a obtenção da

amostra. Uma amostra obtida por um processo probabilístico é denominada de amostra aleatória.

Dentre os tipos de amostragem probabilística destacam-se:

Amostragem simples ao acaso (ASA)

Sistemática

Conglomerado

Estratificada

A amostragem não probabilística, por outro lado, é aquela em que nem todos os

elementos populacionais têm chance não nula de pertencer à amostra, sendo caracterizada pela

ausência de sorteio, ou quando o sorteio é realizado alguns elementos da população são excluídos

do sorteio por alguma razão qualquer. Os principais tipos são: Inacessibilidade a toda população;

Amostragem sem norma (a esmo);

População formada por material que é continuo (gases e líquidos); e

Intencional.

3.2.1. AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA

(A) AMOSTRAGEM SIMPLES AO ACASO (ASA) Para se realizar esse tipo de amostragem enumeram-se todos os elementos da

população alvo e sorteiam-se n elementos dessa seqüência através de um dispositivo aleatório

qualquer, o qual pode ser a tabela de números aleatórios, papéis numerados em urna, ou a função

“random” em computadores e calculadoras. Esse tipo de amostragem pode ser realizado com

reposição ou sem reposição. Para realizar esse tipo de amostragem a população deve ser

uniforme internamente ou homogênea. A homogeneidade é difícil de ser determinada, porém de

forma alguma significa ausência de variabilidade na população alvo.

Com reposição: Nn amostras possíveis.

Sem reposição: NnC

nn N n

=−

!!( )!

amostras possíveis.

Exemplo: Pop.=A, B, C com N=3. Retirar amostras de tamanho n = 2 com e sem reposição.

Com reposição: 32 = 9 amostras possíveis.


58

Amostras possíveis: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC

Sem reposição: 3!/(2!1!)= 3

Amostras possíveis: AB,AC,BC

(B) AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA

E uma simplificação do processo anterior. Neste caso o primeiro elemento e

sorteado e os demais são retirados em uma progressão aritmética, com uma determinada razão r,

ate completar o total de elementos da amostra (n). Para isso a população deve estar disposta de

tal forma que se consiga sistematizar a forma de obter as unidades amostrais. Da mesma forma,

exige uma determinada homogeneidade da população alvo.

Exemplo: Uma determinada região possui 10.000 plantas de eucaliptos. Obter uma amostra de 50

plantas (n=50).

r = 10.000 ÷ 50 = 200;

Sorteia-se o primeiro elemento da amostra;

Com razão r = 200 os demais elementos são amostrados;

Se por exemplo sorteou-se o elemento número 20, a amostra será:

Amostra = 20, 220, 420, 620, ..., 9820

(C) AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO Quando a população apresenta uma subdivisão natural de grupos menores

(denominados conglomerados), sorteia-se um número suficiente desses grupos (ou

conglomerados) e dentro dos conglomerados sorteia-se parte dos elementos para compor a

amostra. Esse tipo de amostragem tem menor custo que os anteriores.

Exemplo: Estimar o número de cabeças de gados de certa região. Sorteiam-se alguns municípios

dessa região e dentro deles algumas propriedades para compor a amostra.

(D) AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA A população é constituída de subpopulações (estratos) que são homogêneos

internamente, podendo ser heterogêneos de estrato para estrato. Dessa forma, a amostragem

deve ser realizada fazendo com que todos os estratos populacionais sejam representados na

amostra final obtida. Para especificar número de elementos/estrato que irá compor a amostra, são

considerados três métodos: uniforme, proporcional e ótima. Esses métodos dependem

basicamente do tamanho dos estrados populacionais e de sua variabilidade.


(i) UNIFORME

De K estratos retiram-se amostras de mesmo tamanho. Usada quando os estratos

populacionais possuem o mesmo tamanho (freqüência). O tamanho amostral do i-ésimo estrato é

dado por:

inn

K=

A seguir é apresentada uma situação fictícia de uma determinada região em que

se pretendia amostrar n = 50 propriedades de uma população com N = 500 propriedades rurais

distribuídas em relação ao tamanho de suas áreas conforme Tabela 3.1, apresentada a seguir. A

variável estratificadora foi o tamanho da área e objetivo da pesquisa era caracterizar o padrão

tecnológico da agricultura utilizada na região. Essa variável foi escolhida como estratificadora por

considerar que o grau de tecnologia dependa do tamanho da propriedade.

Áreas (ha) Número de propriedades Tamanho amostral

0 2 100 10

2 5 98 10

5 10 104 10

10 20 102 10

20 40 96 10

Total 500 50

Tabela 3.1. Número de propriedades amostradas uniformemente de uma população estratificada

pela área.

Em cada estrato uma amostragem simples ao acaso ou uma amostragem

sistemática é realizada para retirar os 10 elementos necessários à pesquisa.

(ii) PROPORCIONAL

Esse tipo de amostragem é realizado quando os tamanhos dos estratos

populacionais são distintos. O estrato i fornece uma quantidade ni de elementos, proporcional ao

tamanho Ni populacional do respectivo estrato, para formar a amostra de tamanho n. O tamanho

do estrato i (i = 1,2, ..., K) é dado por:

iinN

Nn=


60

A seguir é apresentada uma outra situação em uma outra região que se pretendia

caracterizar o padrão tecnológico da agricultura utilizada. Conforme o caso anterior uma amostra

de n = 50 elementos deve ser extraída da população de N = 1.000 propriedades existentes e

distribuída conforme as áreas apresentadas na Tabela 3.2.

Áreas (ha) Número de propriedades Tamanho amostral

0 2 500 25

2 5 320 16

5 10 100 5

10 20 50 3

20 40 30 1

1000 50

Tabela 3.2. Número de propriedades amostradas proporcionalmente de uma população

estratificada quanto à área.

(iii) ÓTIMA

Nesse tipo de amostragem são considerados o tamanho a variabilidade de cada

estrato populacional para a extração da amostra. De cada estrato retira-se uma quantidade ni de

elementos, a qual é proporcional ao tamanho (Ni) e ao desvio padrão populacional do respectivo

estrato (σi), dada por:

nN n

Ni

i i

i ii

k=

=∑

σ

σ1

As principais características desse método podem ser resumidas por:

a obtenção de informações sobre a população é otimizada, pois no estrato que houver menor

variação haverá uma menor quantidade de elementos amostrados;

a necessidade de conhecer o desvio padrão populacional em cada estrato, para a variável

estratificadora é a principal dificuldade. Dessa forma, a variabilidade da variável estratificadora

que tem influencia direta na variável resposta alvo da pesquisa pode ser usada. Também, é


possível realizar amostragens piloto em cada estrato e obter estimativas dessa variabilidade.

Esses procedimentos, no entanto, não garante a optimalidade do método.

3.2.2. AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA

(A) INACESSIBILIDADE A TODA POPULAÇÃO

Amostragem é realizada na parte da população que é acessível.

Exemplo. Fabricação de um certo implemento agrícola: amostra é realizada nos implementos

produzidos, a outra parte é hipotética (não foi ainda produzida).

(B) AMOSTRAGEM SEM NORMA (A ESMO)

Não se usa nenhum sorteio embora o amostrador procure ser aleatório.

Exemplo: Escolher 100 galinhas num galinheiro com 3.000 aves.

Se a população for homogênea, então o processo é equivalente à amostragem

probabilística.

(C) POPULAÇÃO FORMADA DE MATERIAL CONTÍNUO

Exemplo: Liquido ou gás ⇒ homogeneizar e retirar a amostra a esmo. Obs. É impraticável sortear.

(D) INTENCIONAL

O pesquisador escolhe deliberadamente certos elementos para formar a amostra,

baseado num pré-julgamento. Por exemplo, uma pesquisa de mercado para lançar uma nova

marca de leite tipo longa vida é realizada. O pesquisador selecionou apenas indivíduos com poder

aquisitivo médio/alto.


62

3.3. EXERCÍCIOS

1. As 35 plantas de uma de uma determinada espécie (população), pertencentes a um parque

ecológico, possuem os seguintes diâmetros a altura do peito em cm (DAP): 25, 20, 35, 21, 22,

22, 24 25, 30, 38, 24, 20, 20, 25, 20, 19, 25, 23, 20, 24, 28, 24, 24, 22, 28, 26, 23, 25, 22, 27,

25, 23, 28, 27, 22. Com o objetivo de estimar o DAP médio, como você extrairia uma amostra

simples ao acaso, de tamanho n=10 desta população. Dê todos os detalhes.

2. Suponha que as plantas desta população estejam distribuídas em 5 fileiras de 7 plantas. Faça

uma amostragem sistemática de 10 plantas, dê os detalhes do processo amostral e do sorteio

realizado.

3. Uma empresa agrícola tem 3.414 empregados repartidos nos seguintes setores:

Setores Número de funcionários

Administrativo Transporte Campo Outros

314948

1.451701

Para se estudar o nível salarial médio da empresa, resolveu-se fazer uma amostra de 50

funcionários. Você julga que a ASA seria apropriada, para este caso? Se afirmativo, justifique sua

resposta, caso contrário, discuta qual método seria adequado? detalhe o processo de amostragem

neste caso.

4. Quais são as situações em que a amostragem estratificada deve ser preferida à amostragem

simples ao acaso?

5. Qual é a principal diferença entre amostra probabilística e não-probabilística?

6. Diferencie: ASA e amostra sistemática, amostra estratificada e amostra sistemática?

7. Qual é a principal idéia sob a determinação do tamanho do estrato na amostragem estratificada

ótima, em relação à variabilidade do estrato populacional i?

CAPÍTULO IV - DISTRIBUIÇÃO DE

AMOSTRAGEM

4.1. IMPORTÂNCIA

A inferência estatística é baseada nas distribuições amostrais e na teoria

probabilística. Por exemplo, se existe interesse em saber a incidência de doenças em uma cultivar

em uma região especifica, deve-se realizar um estudo baseado em dados amostrais ou

experimentais. Para se fazer inferência é necessário saber como as estimativas variam de amostra

para amostra, como são os erros de estimação e qual modelo probabilístico pode ser usado para

esse propósito. O que se deseja determinar é como é o processo de distribuição amostral. No

Quadro 4.1 apresenta-se o esquema da distribuição amostral em que uma população com um

parâmetro θ desconhecido é reamostrada um número grande (k), às vezes infinito, de vezes e as

estimativas ti de um estimador T de θ são obtidas. O interesse está na distribuição de T.

POPULAÇÃO ⇒ AMOSTRAS

θ

Parâmetro

populacional

desconhecido

⇒

⇒

.

.

.

⇒

1 ⇒ t1

2 ⇒ t2

.

.

.

K ⇒ tk

Quadro 4.1. Descrição do processo de amostragem, onde k amostras são retiradas de uma

população com um parâmetro θ de interesse e se obtém estimativas ti, i=1,2...,k.

CEX 117 - ESTATÍSTICA DANIEL FURTADO FERREIRA

64

Resumo do processo descrito no Quadro 4.1:

(i) Dada uma população com um parâmetro θ de interesse, que pode ser a média (µ), variância

(σ2), proporção (P), etc.

(ii) Retiram-se k amostras por um processo aleatório qualquer.

(iii) Calcula-se o valor t para cada amostra da estatística T.

Obs. A estatística T representa um estimador de θ. Assim, por exemplo, se θ refere-se à média

populacional, T será a média amostral.

(iv) Com os valores t1, t2, ..., tk (estimativas) das K amostras faz-se a distribuição de T.

θ Τ

FIGURA 4.1. Distribuição amostral do estimador T

Nesse processo algumas definições devem ser formalizadas para que o leitor possa ter

uma ampla caracterização de todo ele.


65

Definições

Parâmetros – Constantes inerentes a populações relacionadas a uma determinada variável de

interesse (X);

Estimador ou estatística - É uma variável aleatória que é função dos elementos amostrais Xi,

i=1,2, ..., n.

Exemplo: A média amostral (X ) é um estimador de µ (parâmetro populacional).

Estimativa - É o valor numérico do estimador em uma determinada amostra.

4.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS

São apresentadas a seguir as distribuições amostrais das médias e das diferenças

entre médias.

4.2.1. DISTRIBUIÇÃO DE X

Para se ilustrar o processo de distribuição amostral das médias é considerada uma

população uniforme discreta com três valores apresentados a seguir. A população considerada e

seus respectivos parâmetros são:

Pop. = 1, 2, 3 N=3, µ=2,0 e σ2=2/3

Na obtenção da distribuição de amostragem das médias podem ser retiradas

amostras com ou sem reposição dessa população, como já comentado anteriormente. Esses dois


66

processos são descritos a seguir utilizando amostras de tamanho n=2. Todas as possíveis

amostras foram extraídas dessa população e a distribuição das médias foi então obtida.

(a) Amostras com reposição

Nesse processo cada elemento após ter sido amostrado retorna a população

podendo ser sorteado novamente. Considerando amostras de tamanho 2 (n=2) as médias

amostrais correspondentes são apresentadas na Tabela 4.1.

Amostras X Amostras X Amostras X

1,1 1,0 2,1 1,5 3,1 2,0

1,2 1,5 2,2 2,0 3,2 2,5

1,3 2,0 2,3 2,5 3,3 3,0

Tabela 4.1. Amostras e médias amostrais possíveis retiradas de uma população de tamanho igual

a 3.

Calculando-se a média de todas as médias amostrais:

Logo,

É possível provar que a média das médias amostrais é igual a média populacional,

para todas os tamanhos de amostras e para todas as populações amostradas.

Variância das médias amostrais amostrais:

µ X =+ + + + =1 0 15 2 0 3 0

92 0, , , ... , ,

Xµ µ= = 2 0,


67

σX

i

iXX

2 2

1

9 1

9 2

1

9 9= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

=∑∑

Dividindo σ2/σX2 = n = 2

É possível demonstrar que a variância das médias amostrais é sempre igual a

variância da população dividida pelo respectivo tamanho da amostra.

Fazendo a distribuição de freqüência e o histograma:

X Fi

1,0 1

1,5 2

2,0 3

2,5 2

3,0 1

Total 9

Tabela 4.2. Distribuição de freqüências das médias amostrais para amostras de tamanho n=2

retiradas com reposição.

⇒ σσ

X n2

2

=


68

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Figura 4.2. Distribuição amostral das médias - amostragem com reposição e n=2.

Se n = 1:

1 2 3

Figura 4.3. Distribuição amostral das médias - amostragem com reposição e n=1.

À medida que n aumenta o histograma, ou a distribuição de freqüência vai se tornando mais

concentrada em torno da média populacional. Quando n é suficientemente grande a distribuição

de X vai se aproximando da distribuição normal independentemente da distribuição

populacional. Esse resultado é conhecido como Teorema do Limite Central (TLC).


69

TLC: A distribuição das médias amostrais obtidas de amostras de tamanho n selecionadas ao

acaso de uma população qualquer com tamanho N, média µ e variância σ2, será

aproximadamente normal com µ µX= e σ

σX n2

2

= (amostragem com reposição ou sem

reposição com população infinita) ou σσ

X nxN n

N2

2

1=

−

− (amostragem sem reposição com

população finitan

N≥ 0 05, ). Se n≥30 a aproximação é considerada boa.

(b) Amostras sem reposição

Utilizando o mesmo exemplo, com n=2 e N=3 tem-se:

Amostras X

1,2 1,5

1,3 2,0

2,3 2,5

Quadro 4.2. Distribuição das médias amostrais retiradas sem reposição de uma população de

tamanho 3.

Verifica-se que:

µ µX= = 2 0, e σ

σX n

xN n

N2

2

1=

−

− = (2/3)/2 x (3-2)/(3-1) = 1/6


70

Esse resultado é válido para todas as populações finitas. Para populações infinitas, o fator

de correção na expressão da variância N nN 1−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠ não deve ser usado. Assim, em populações

infinitas mesmo que a amostra seja realizada sem reposição a variância populacional é dada por

σσ

X nxN n

N2

2

1=

−

−.

4.2.2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DE MÉDIAS.

Para descrever essa distribuição amostral considere duas populações com

diferentes médias e variâncias, conforme apresentado no esquema seguinte. Se forem retiradas

todas (infinitas ou não) amostras de tamanhos n1 da primeira população e todas de tamanho n2 da

segunda e forem obtidas todas as diferenças possíveis entre as médias das amostras da

população 1 em relação às médias das amostras da população 2 e então obtida a distribuição de

amostragem dessa diferença é possível fazer inferências com base nesses resultados para os

parâmetros µ1 e µ2.

Pop 1 - µσ

1

1

2

⎧⎨⎩

Pop. 2 - µσ

2

2

2

⎧⎨⎩

↓AMOSTRAS

n1

↓AMOSTRAS

n2

XX

n

n

ii

11

1

1

=∑= X

Xn

n

ii

21

2

2

=∑=


71

Se for calculada todas as diferenças entre as médias X 1 e X 2 para todas as

amostras possíveis de cada população e obter-se sua distribuição, então a média e variância

dessa distribuição são:

X X1 2 1 2− = −µ µ µ e X Xn n1 2

2 12

1

22

2− = +σ

σ σ

Exemplo: Um vendedor afirma que duas rações possuem o mesmo efeito no ganho de pesos de

determinados animais, i. e., µ1=µ2. Em um ensaio obtiveram-se os seguintes resultados:

Ração A Ração B

n1=30

X 1 =33Kg

S1=5Kg

n2=30

X 2 =30Kg

S2=4Kg

Quadro 4.3. Resultados do ganho de pesos de animais após terem sido submetidos as rações A e

B, respectivamente, durante 1 semana.

Com base nesse ensaio, você acredita na afirmação do vendedor?

µ1 - µ2=0 por hipótese ⇒ µ1 - µ2 ≥ 0 (por suspeita que a média da ração A é superior a da ração

B, ou seja, que a ração A é mais eficiente que a ração B, quanto ao efeito no ganho de peso dos

animais, por hipótese).

Calculam-se em seguida as estimativas das variâncias da diferença entre as

médias. E adotando que as diferenças das médias amostrais possuem distribuição normal tem-se:

X XSS

n

S

n1 22 1

2

1

22

2

25 16

301 3667− = + =

+= ,


72

Como os parâmetros da distribuição normal são desconhecidos usa-se a

estimativa da variância no lugar desse parâmetro. A distribuição normal nesse caso é apenas

aproximada e válida para grandes amostras. O valor padronizado de Z, considerando a hipótese

de igualdade das médias das duas populações como verdadeira é:

CZ =−

=3 0

1 36672 57

,,

Para testar a hipótese de que as rações não diferem quanto ao ganho de peso proporcionado,

deve-se calcular a probabilidade de que o ganho de peso padronizado supere o limite de 2,57.

Em outras palavras, seria determinar a probabilidade, adotando a hipótese de que as rações são

iguais, de que a diferença de 3kg observada foi devido apenas ao acaso.

P(Z>Zc) = P(Z>2,57) = 0,50-0,4949 = 0,51%

Sob a hipótese de que as rações não possuem efeitos diferenciais, a probabilidade

que a diferença amostral de 3kg entre as duas rações, seja devida ao acaso é de apenas 0,51%.

Portanto é mais fácil acreditar que as rações A e B tenham efeitos diferentes para o ganho de peso

dos animais, do que acreditar que a diferença amostral de 3kg seja devida ao acaso, haja vista, a

pequena probabilidade (0,51%) de que essa diferença seja devida ao acaso.

4.3. DISTRIBUIÇÃO DE t, χ2 E F

Outras importantes distribuições amostrais que desempenham papel crucial na

estatística são as distribuições t, qui-quadrado e F. Essas distribuições participam dos testes de

hipóteses e da estimação de parâmetros das amostragens de populações normais ou

aproximadamente normais.


73

(A) DISTRIBUIÇÃO DE t DE STUDENT

Foi visto que as médias amostrais segue a distribuição normal, i. e., X n

N( Xµ µ= ; Xn

22

σσ

= ), dessa forma, pode-se obter o valor da curva normal padronizada, N(0,1),

calculando o valor padronizado por:

CZX

n

=− µσ

que também segue a distribuição normal padrão, N(0,1).

No entanto, se não se conhece a variância populacional, situação mais comum na

pratica, e se as amostras forem pequenas (n<30), e S2 (variância da amostra), sujeita à variação

amostral, for usada como estimador de σ2, os valores estandardizados, de uma população normal:

CtXS

n

=− µ

seguem uma distribuição de t de Student, com n-1 graus de liberdade:

Características da distribuição de t

(i) Simétrica em relação à média;

(ii) Forma de sino;

(iii) Quando n tende para infinito, a distribuição de t, se torna equivalente à distribuição normal;

(iv) Possui n-1 graus de liberdade.


74

Exemplo: Um agricultor afirma que sua produtividade média é de 2,20t/ha. Um agrônomo numa

amostra de n=25 parcelas obteve uma média de 1,70t/ha, e desvio padrão de 0,8t/ha. Baseado no

resultado da amostra é possível que o agricultor esteja superestimando sua produtividade média?

É considerado, para fins de se avaliar a afirmação feita, que a produtividade média

de 2,20t/ha seja verdadeira. Usando este valor como verdadeiro determinar se a diferença de

0,50t/ha (2,2-1,70) é devida apenas ao acaso, ou realmente é porque a hipótese é falsa. Para isso,

calcula-se a probabilidade de que a diferença encontrada seja devida ao acaso, usando a hipótese

como verdadeira. Se esta probabilidade é baixa, é mais fácil acreditar que a hipótese é falsa, do

que ela ocorreu devido ao acaso. O valor de t calculado é:

Ct =−

= −1 7 2 2

0 8

25

3125, ,

, ,

A avaliação da probabilidade exata na distribuição de t é difícil de ser obtida,

exceto quando se utilizam alguns softwares de estatística e probabilidade. Portanto, são definidas

regiões que correspondem a probabilidades pequenas (5% e 1%) divididas nos extremos da curva,

como ilustrado na Figura 4.4. Se o valor de tc cai numa destas regiões a probabilidade do evento

ter ocorrido devido ao acaso deve ser menor que os níveis estipulados. Desta forma, para o

exemplo, o valor de tc=-3,125 caiu na região achurada, apresentada na Figura 4.4.

2 , 5 % 2 , 5 %

9 5 %

0 2 , 0 6 4- 2 , 0 6 4

FIGURA 4.4. Região crítica ou de rejeição da hipótese da distribuição amostral de t para uma

amostra de n=25, com média 1,70t/ha e desvio padrão de 0,8t/ha.


75

Conclusão: Como o valor de tc=-3,125 supera o valor em módulo de t tabelado ao nível de 95%

de confiança, rejeita-se a afirmação do agricultor.

(B) DISTRIBUIÇÃO DE χ2 (QUI-QUADRADO)

A variável aleatória obtida por: 22

2

1χ

σ=

−( )n S, é definida como qui-quadrado. Sua

distribuição é conhecida por distribuição de qui-quadrado, sendo também dependente do número

de graus de liberdade (n - 1), como na distribuição de t de Student.

Esta distribuição é usada principalmente, entre diversas aplicações, na

determinação de intervalos de confiança para variâncias e desvios padrões. Curvas de aderência

entre uma distribuição teórica e uma distribuição experimental, e ajuste de freqüências teóricas

esperadas e freqüências experimentais observadas. Detalhes de sua utilização serão vistos no

capítulo de estimação.

Exemplo: Qual o valor de 2χ cuja área acima do mesmo é de 5%, obtido numa amostra de

n=25.

Consultando a tabela de qui-quadrado para 24 graus de liberdade e 5% de

probabilidade, tem-se a representação apresentada na Figura 4.5. O valor de qui-quadrado

tabelado é 36,415.


76

00

36,415

Região de reje ição de H 0

5%Região de aceitação de H0

95%

FIGURA 4.5. Região crítica ou de rejeição da hipótese da distribuição de qui-quadrado para uma

amostra de n=25.

(C) DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR

A estatística definida por: FS

S=

12

12

22

22

σ

σ

segue a distribuição F de Snedecor. É usada

para testar a igualdade entre duas variâncias e na análise de variância (estatística experimental),

para se efetuar o teste da hipótese de igualdade de efeitos tratamentos que se deseja comparar.

As tabelas de F, são consultadas de acordo com os graus de liberdade (n1-1) associados à

variância 1 (numerador da expressão) na primeira linha, e graus de liberdade (n2-1) associados à

variância 2 (denominador da expressão) na primeira coluna, e probabilidade desejada.


77

n1-1

n2-1 1 2 3 4 5 ... ∞

1 2 3 4 . . . ∞

F1 F2 F3 F4 F5 F∞ . . . . . .

F1 F2 F3 F4 F5 F∞

QUADRO 4.4. Esquema da tabela de F, para n1-1 e n2-1 graus de liberdade. Os valores Fi

representam os valores tabelados da distribuição de F.

4.4. DISTRIBUIÇÃO DE AMOSTRAGEM DE PROPORÇÕES (P)

Para se estudar a distribuição de amostragem para proporções, a

população considerada foi definida no esquema 4.1. A partir desta população serão realizadas

diversas amostragens.

POPULAÇÃO Parâmetro populacional desconhecido

⇒

ESQUEMA 4.1. População de tamanho N, com N1 elementos que constitui um evento de interesse

para o pesquisador, Neste caso, P representa a proporção de elementos favoráveis do evento, em

relação à população.

N1

N

P=N1/N


78

A partir do esquema 4.1, definiu-se:

N: tamanho total da população; por exemplo, total de plantas doentes e sadias de um campo de

produção de sementes genéticas.

N1: número total de elementos da população que constituem um evento de interesse do

pesquisador. Por exemplo, o numero de plantas doentes deste campo de produção de

sementes.

Se for realizado um processo de amostragem, com K amostras, tem-se a

distribuição de amostragem apresentada no Quadro 4.5.

Amostras Tamanho Estimador

1

2

.

.

.

K

n

n

.

.

.

n

1

1

Pnn

=

2

2

Pnn

=

.

.

.

k

k

Pnn

=

QUADRO 4.5. Distribuição de amostragem para K amostras de tamanho n retiradas de uma

população de tamanho N.

Fazendo a distribuição de P , tem-se a distribuição amostral das proporções, cuja

média e variância são:

P Pµ = e P

P Pn

2 1σ =

−( )

Se np≥5 a distribuição pode ser bem aproximada pela normal. Com populações

finitas e amostras sem reposição, a média e variância são:


79

P Pµ = e P

P Pn

xN nN

2 11

σ =− −

−

( )

Se for feita a distribuição do número de sucessos ni ao invés de P , tem-se a

distribuição definida com média e variâncias:

X nPµ = e X nP P2 1σ = −( )

E para populações finitas e amostragem sem reposição:

X nPµ = e X nP PN nN

2 11

σ = −−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟( )

Pode ser observado que se trata da distribuição binomial, já estudada

anteriormente. Assim, a distribuição de p também é binomial, embora possa ser aproximada pela

normal em algumas situações de p próximo a ½ e n grande.

CAPÍTULO V - TEORIA DA ESTIMAÇÃO


Foi visto que a inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre

uma população com base em dados amostrais, uma vez que os parâmetros populacionais são

desconhecidos na maioria das situações práticas. Muitos problemas, na área agrícola, necessitam

desse tipo de inferência.

POPULAÇÃO

µ

σ 2

P

⎯⎯→

Parâmetros populacionais desconhecidos

AMOSTRA

⎯⎯→

X

S

P

2

^

Estimadores amostrais

TABELA 5.1. Descrição do processo de amostragem de uma população com parâmetros

desconhecidos com os respectivos estimadores (ou estatísticas).

Na inferência pode-se salientar

(a) Estimação de parâmetros: é o processo que usa os resultados amostrais (estatísticas) para

inferir, fazer afirmações ou conjecturas, sobre a população (parâmetros);

(b) Testes de hipóteses sobre parâmetros populacionais.

5.2. ESTIMAÇÃO POR PONTO E POR INTERVALO

(a) Estimação por ponto: obtém-se nesse caso um único valor amostral. Ex. X é uma estatística

usada para fazer a estimação por ponto de µ.

ESTATÍSTICA

81

Obs. Como já foi visto, o estimador (ou estatística) é uma variável aleatória que é função dos

elementos amostrais e a estimativa é o valor numérico obtido pelo estimador em uma certa

amostra.

Principais propriedades de um estimador

(i) Não viciado ou não viesado: Quando sua esperança (valor médio) é igual ao próprio valor do

parâmetro populacional que se pretende estimar.

Ex. E( X ) = µ, portanto X é um estimador não viciado de µ; por outro lado, E(S) ≠ σ, portanto S é

um estimador viciado de σ.

(ii) Consistência: Um estimador será consistente se além de não viciado sua variância tende para

zero, quando n tende para ∞.

Ex. Como, E( X )=µ e n

Xn n→∞ →∞

= =lim lim22

0σσ

, portanto, X é um estimador consistente de µ.

(iii) Eficiência: o estimador de maior eficiência é o que possui menor variância.

(b) Estimação por intervalo

A estimação por intervalo é feita quando a partir da amostra procura-se construir

intervalos de confiança, com uma certa probabilidade, de conter o parâmetro populacional. As

probabilidades utilizadas são em geral de 95% e 99%. As estimativas por ponto, as quais foram

vistas até agora, são usadas quando se necessita, pelo menos aproximadamente, conhecer o

valor do parâmetro para utilizá-lo numa expressão qualquer.

No entanto, os estimadores são variáveis aleatórias, e as estimativas obtidas

quase certamente são distintas do valor do parâmetro, ou seja, quase certamente se comete um

erro de estimação. Por esta razão torna-se necessário à construção de intervalos de confiança que


tenha probabilidade (1-α) de conter o valor do parâmetro. O nível α é chamado de nível de

significância, e refere-se à probabilidade de se cometer o erro tipo I, rejeitar uma hipótese

verdadeira. No caso, o nível de probabilidade α, refere-se à probabilidade do IC não conter o valor

paramétrico. Como os níveis de confiança são, em geral, fixados com 95% e 99%, α será igual a

5% e 1%, respectivamente. Um pesquisador desavisado, poderia pensar em diminuir o máximo

possível o valor de α, no entanto, é conveniente lembrar neste instante que este valor é

inversamente proporcional a probabilidade de se cometer o erro tipo II. Então, não se pode reduzir

demasiadamente o valor de α, sem aumentar a probabilidade de se aceitar uma hipótese falsa

como verdadeira (erro tipo II).

Exemplo de IC: Com 95% de confiança a verdadeira média da produtividade de milho BR201 está

entre [4,0 t/ha; 6,0 t/ha], para um determinado nível de utilização de tecnologia.

5.3. ESTIMAÇÃO DE MÉDIAS, VARIÂNCIAS PROPORÇÃO E COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.

Será visto nos itens subsequentes, a estimação por intervalo dos principais

parâmetros estudados no curso de estatística. Todos os exemplos apresentados adotam os níveis

de 95% ou 99% de confiança.

5.3.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µ

Como foi visto no capítulo de distribuição de amostragem (capítulo IV), na prática

não se conhece a variância populacional (σ2) e deve-se usar seu estimador amostral (S2). Nesse

caso a distribuição de X será aproximadamente normal. Quanto maior o tamanho de n, melhor

será a aproximação. Na prática, quando n≥30, a aproximação é considerada boa, e a distribuição

normal pode ser usada.

ESTATÍSTICA

83

No entanto quando n<30, o estimador da variância populacional (S2), está sujeito

às variações amostrais, e a distribuição de t é mais apropriada. Por outro lado, foi comentado que

quando n aumenta a distribuição de t de Student se aproxima da distribuição normal. Por essa

razão, será usada somente a distribuição de t, independentemente do tamanho da amostra. No

entanto, o pesquisador fica livre para escolher entre as duas distribuições quando n≥30. A seguir,

estão apresentadas as regras para se obter os IC para µ, de populações finitas e infinitas e

amostragem com ou sem reposição.

Populações infinitas ou finitas e amostras com reposição

Sabe-se, como já abordado no capítulo IV, que X ∩ N(µ, σ

n). No entanto, como

em geral, nas situações práticas, não se conhece a variância populacional, então se deve utilizar o

estimador, S2, e a distribuição de t, como já argumentado anteriormente. Desta forma, a regra para

construção do IC neste caso é:

onde, eSnt= α/2 e tα/2 com n - 1 graus de liberdade (GL).

Populações finitas ( nN> 0 05, ) e amostras sem reposição.

A regra geral é a mesma para o caso da amostragem ser feita com reposição de

populações finitas ou amostragem com ou sem reposição de populações infinitas, e está

apresentada a seguir:

IC1-α: X ± e

IC1-α: X ± e


onde, / 2

S N neN 1nzα

−=

− e tα/2 com n - 1 graus de liberdade (GL), sendo a única alteração o

fator de correção para amostragem sem reposição de populações finitas.

5.3.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA P (PROPORÇÃO)

As mesmas observações usadas para média valem para as proporções, no que se

refere-se ao uso de um estimador da variância populacional, que neste caso é pqn

. No entanto

neste caso, devido a algumas considerações de ordem teórica que não serão abordadas neste

material, por fugir do seu objetivo, a distribuição de amostragem aproximada é a normal. Neste

caso é usada a distribuição normal para construir os intervalos de confiança, além de outras

aproximações que fornecem melhores resultados. As aproximações do intervalo de confiança são

apresentadas a seguir. Primeiramente é apresentada a aproximação de normal e posteriormente,

serão apresentados dois métodos aproximados e um exato.

5.3.2.1. IC para P utilizando a aproximação normal

A seguir serão apresentados os IC obtidos a partir da aproximação normal. Esta

aproximação é recomendada quando p tende para 0,5 e n tende para ∞.

Populações infinitas ou finitas e amostras com reposição

ESTATÍSTICA

85

O IC é dado pela regra geral:

onde, e zpqn

= α / 2 .

Populações finitas ( nN> 0 05, ) e amostras sem reposição

Da mesma forma anterior, o intervalo de confiança aproximado é:

onde, e zpqn

N nN

=−−α / 2 1

, sendo a única alteração o fator de correção para amostragem sem

reposição de populações finitas.

É conveniente salientar que a aproximação normal para populações finitas é apenas uma

aproximação grosseira, uma vez que o modelo normal assume populações infinitas. Mesmo em

condições favoráveis de P próximo a ½ ou grandes tamanhos amostrais, tal aproximação é ainda

considerada grosseira.

5.3.2.2. IC para P de Blyth

Outras aproximações baseadas na distribuição normal são conhecidas na literatura

e apresentadas a seguir. A primeira delas devida a Blyth (1986) é baseada na seguinte

padronização, a qual tem distribuição aproximadamente normal, mas que não pode ser utilizada

em situações reais devido ao fato de exigir que o parâmetro binomial p seja conhecido. Em todos

os casos são apresentadas as seguintes definições necessárias para a obtenção do intervalo de

confiança. Seja n o tamanho da amostra e y o número de sucessos (y=0, 1, 2, ..., n-1, n).

IC1-α: p ± e

IC1-α: p ± e


Nos casos especiais em que y=0 e y=n, deve-se proceder da seguinte forma:

Se y=0, o LI do IC é tomado como 0 e o LS obtido conforme a expressão apresentada.

Se y=n, o LS do IC é tomado como 1 e o LI obtido conforme a expressão apresentada.

y np

np pz

+ −

−= −

0 5

12

,

( )/α

Elevando ao quadrado, ambos os lados desta expressão e resolvendo a equação

quadrática em p, e checando as raízes para satisfazer a expressão, o resultado é:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

LIz

n

yn

zn

yn

yn

zn

zn

LSz

n

yn

zn

yn

yn

zn

zn

=

+

−−

−−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=

+

++

+−

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

1

1

0 5 0 51

0 54 2

1

1

0 5 0 51

0 54 2

22

2 22

22

22

2 22

22

α

α α α

α

α α α

/

/ / /

/

/ / /

, , ,

, , ,

5.3.2.3. IC para P de Pratt

Usando a aproximação de qui-quadrado para F, Pratt (1968) derivou a forma

alternativa para os limites de confiança para o parâmetro binomial, a qual é apresentada a seguir.

ESTATÍSTICA

87

[ ][ ]

[ ]

LIy

n y

y n y n z y n y n z n

y y z

LSyn y

y n y n z y n y n z n

y y

= +− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− + − − + − + + − + +

− + +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= ++−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ − − − − + − + − + +

+ − + +

−

11

81 1 9 8 3 9 1 9 5 1

81 9 2 1

11 81 1 9 8 3 9 1 9 5 1

81 1 9 1 2

22 2

2

22

2

3 1

22 2

2

2

( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )(

/ /

/

/ /

α α

α

α α

[ ]α / )22

3 1

1z +

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

5.3.2.4. IC exato para P utilizando a distribuição de F

O intervalo de confiança exato para o estimador de máxima verossimilhança de P

dado por pyn

= , em que y representa o número de sucessos do evento sob estudo em uma

amostra de tamanho n, geralmente é obtido por processos numéricos iterativos. Estes processos

se tornam lentos, em geral, quando n e y crescem, requerendo grande quantidade de tempo de

computação.

Um intervalo de confiança exato, utilizando a distribuição de F é apresentado por

Leemis & Trivedi (1996). Este intervalo é em geral de rápido cálculo, vistos que muitos softwares já

apresentam os percentis da distribuição de F em suas rotinas. Este intervalo é apresentado a

seguir:

IC1-α: 1

11

1

112 2 1 1 2 2 1 2 2

+− +

+−

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥− + − + −

n yyF

n yy Fy n y y n y; ( ); / ( ); ( ); /

;

( )α α

em que, F refere-se ao valor cuja probabilidade α/2 ou 1-α/2 é da cauda superior direita da

distribuição de F; n é o tamanho da amostra e y o número de sucessos (y=0, 1, 2, ..., n-1, n).

Nos casos especiais em que y=0 e y=n, deve-se proceder da mesma forma

descrita anteriormente, ou seja:


Se y=0, o LI do IC é tomado como 0 e o LS obtido anteriormente.

Se y=n, o LS do IC é tomado como 1 e o LI obtido anteriormente.

Convém lembrar que uma importante propriedade da distribuição de F permite que

sejam obtidos os percentis 1-α/2 a partir dos percentis α/2, da seguinte forma:

FFv v

v v1 2 1 2

2 1 2

1, , /

, , /− =α

α

5.3.2.5. Exemplos

a) n=10 y=3 α=0,05 p =0,30

Método LI LS

1 - Exato 0,067 0,652

2 - Aproximação normal 0,016 0,584

3 – Aproximação de Blyth 0,081 0,646

4 - Aproximação de Pratt 0,065 0,652

b) n=100 y=30 α=0,05 p =0,30

Método LI LS

1 – Exato 0,212 0,400

2 - Aproximação normal 0,210 0,390

3 - Aproximação Blyth 0,215 0,401

4 - Aproximação Pratt 0,212 0,400

ESTATÍSTICA

89

A aproximação normal é a pior de todas, principalmente quando p afasta-se de 0,5

e até mesmo quando n é grande (n=100). A aproximação de Pratt é a melhor aproximação dentre

todas as aproximações, mesmo em situações de p afastado de ½ e/ou de n pequeno.

5.3.3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA DE MÉDIAS

Muitas vezes o pesquisador se depara com o problema de estimar o efeito

diferencial entre duas populações ou entre dois tratamentos, para alguma variável de interesse.

Estas inferências sobre as médias de duas populações podem ser feitas utilizando os IC para

diferenças entre as médias destas populações.

(a) Variâncias populacionais desconhecidas e diferentes ( 12

22σ σ≠ )

Foi visto, no capítulo de distribuição de amostragem, capítulo IV, que a distribuição

da diferença entre médias, é aproximadamente normal, com média 1 2µ µ− e variância 12

1

22

2

σ σ

n n+ .

No entanto, como, em geral, não se conhece na prática a variância de ambas as populações,

deve-se utilizar, os estimadores amostrais. Desta forma, como já comentado nos casos anteriores,

a distribuição apropriada é a distribuição de t de Student. No caso de variâncias populacionais

diferentes, o teste t é apenas aproximado. As razões deste fato estão fora do propósito deste

material, e não será discutido. Neste caso, a regra geral, é:

IC1-α: 1 2X X e− ±


onde, α2

12

1

22

2e t S

nSn= + e α

2t possui ν graus de liberdade, dados por Satterthwaite (1946):

ν =+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

12

1

22

2

2

12

1

2

1

22

2

2

21 1

Sn

Sn

Sn

Sn

n n

(b) Variâncias populacionais desconhecidas e iguais ( 12

22σ σ= )

As mesmas considerações feitas no item (a) se aplicam aqui também. No entanto,

quando as variâncias são iguais, como neste tópico, o teste t é exato. Por outro lado, alguém pode

questionar: se as variâncias populacionais são desconhecidas, como se pode afirmar que elas são

iguais ou diferentes? A resposta, para essa pergunta, poderá ser formulada apenas no capítulo

seguinte, em que será apresentado, baseado nos estimadores das variâncias populacionais, um

teste para a hipótese de igualdade das variâncias populacionais. Neste capítulo, a informação de

que as variâncias populacionais são iguais ou diferentes, será fornecida, até que seja apresentado

o teste comentado. Desta forma, a regra geral é:

em que, α2

1 11 2

e t n nSP= + e α

2t possui n1 + n2 - 2 graus de liberdade. Como as variâncias das

duas populações são iguais, uma melhor estimador da variância comum é obtida pela média

ponderada das variâncias amostrais, cujos pesos são os graus de liberdade de cada amostra. Esta

variância é definida por PS2 , onde o subscrito “p” refere-se a palavra americana “pooled” que

IC1-α: 1 2X X e− ±

ESTATÍSTICA

91

significa, combinada. Portanto, o símbolo SP refere-se ao estimador do desvio padrão combinado,

o qual é apresentado a seguir:

( ) ( )2 21 1 2 2

p1 2

n 1 S n 1 SS

n n 2− + −

=+ −

5.3.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA DE UMA POPULAÇÃO

NORMAL.

Como foi visto no capítulo IV, ( )n S−1 2

2σ segue a distribuição de χ2. Portanto pode-

se construir o IC para σ2, baseado nesta distribuição, da seguinte forma:

IC1-α: ( )

;( )

/ /

n nS S− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−

1 12

22

2

1 22

α αχ χ

em que, 1 22

22

−α αχ χ/ /e são os valores da distribuição de qui-quadrado com n - 1 graus de

liberdade.

5.3.5. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DESVIO PADRÃO DE UMA

POPULAÇÃO NORMAL.

Da mesma forma que para variância, o IC desvio padrão é dado pela regra geral

apresentada a seguir. Observe que se trata da raiz quadrada dos limites do IC para variância.


IC1-α: ( )

;( )

/ /

n nS S− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

1 12

22

2

1 22

α αχ χ

em que, 1 22

22

−α αχ χ/ /e são os quantis superiores da distribuição de qui-quadrado com n - 1

graus de liberdade.

5.3.6. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Seja, kSX

= um estimador do CV populacional K =σµ

, na escala de 0 a 1. Como

se sabe uma estimativa por ponto deste parâmetro é muito importante para se avaliar a

variabilidade de uma variável de interesse e na experimentação para se avaliar a precisão

experimental. No entanto, o IC é muito mais informativo para se inferir a respeito deste parâmetro.

Para se obter o IC Vangen (1996) apresenta a expressão de McKay, relatada a

seguir. Sejam, 21 ; / 2U ν α= χ e 2

2 ; 1 / 2U ν − α= χ os percentis 1-α/2 e α/2 da cauda direita da

distribuição de qui-quadrado com ν=n-1 graus de liberdade, então o IC modificado de McKay para

o CV de uma população normal é:

IC1-α/2: k

Uk

Uk

Uk

U1 2 1 2 2 221

12

11

++

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

++

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

ν ν ν ν

;

Exemplo: Dada à amostra com 5 tensões mensuradas em plantas: 326, 302, 307, 299, 329. As

estatísticas amostrais são: X = 312,6; S=13,94; k=0,0446. Com α=0,05, determinar o IC para o CV

populacional.

ESTATÍSTICA

93

21 4;0,025U 11,14= χ = e 2

2 4;0,975U 0, 4844= χ = , então:

IC0,95: [0,0267; 0,1287]

Observa-se que se trata de um intervalo assimétrico por ser baseado na

distribuição de qui-quadrado. Pode-se inferir também que, o CV populacional se encontra entre

2,67% e 12,87% com 95% de confiança.

EXEMPLOS

1. Em uma amostra de 25 plantas de uma variedade braquítica de milho foi encontrada a média de

altura de 122cm e variância amostral de 28cm2. Obtenha o IC de 95% de confiança para a

média (µ) da variedade em questão.

Como o tamanho da população não foi fornecido, deve-se considerar que a fração da

amostra em relação ao da população é menor que 5%, devendo esta população ser

considerada infinita. Com 95% de confiança tem-se que α=0,05. Para graus de liberdade de

n-1=24 o valor de t0,025 é 2,064. Portanto:

e = =2 0642825

218, , , logo,

IC0,95: 122 ± 2,18 = [119,82; 124,18]

Com 95% de confiança pode-se afirmar que a média da variedade braquítica de

milho está compreendida entre 119,82cm a 124,18cm.


2. De uma população de tamanho N=40, foi retirada uma amostra de tamanho n=10. A média da

amostra foi de 130,2cm e a variância foi de 69,2888cm2. Faça o IC para a média populacional

com 90% de confiança.

Com 90% de confiança tem-se que α=0,10. Para graus de liberdade de n-1=9 o valor de

t0,05 é 1,833. Portanto:

e =−−

=183369 2888

1040 1040 1

4 23,,

, , logo,

IC0,90: 130,2 ± 4,23 = [125,97; 134,43]

5.4. DIMENSIONAMENTO DE AMOSTRAS

O tamanho da amostra esta diretamente relacionado com a precisão das

estimativas. O erro "e" é conhecido como semi-amplitude do IC. Assim, o pesquisador interessado

na estimação de um parâmetro populacional com maior precisão do que a encontrada em estudos

prévios, ou seja, com um menor erro e sem alterar o nível de confiança, deve aumentar o tamanho

da amostra (n). A seguir são discutidas formas de dimensionar amostra para estimar os

parâmetros: média ou a proporção.

5.4.1. Dimensionamento da amostra para obter uma determinada precisão na

estimação da média populacional.

Foi visto que para o calculo do intervalo de confiança calculava-se a

semi-amplitude desse intervalo por: eSnt= α/2 . Assim, se o valor de α e o valor desse erro forem

ESTATÍSTICA

95

fixados pode-se estimar a amostra adequada. Portanto, para que o pesquisador possa determinar

o tamanho da amostra ideal é necessário conhecer uma estimativa do desvio padrão populacional

e ter-se uma idéia do erro que se deseja cometer. Para isso, pode-se fazer uma pequena amostra,

denominada amostra piloto, que fornecerá estes valores. Uma regra para se determinar o tamanho

amostral, é apresentada a seguir:

2/ 2S tn

eα×⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Essa fórmula deve ser utilizada iterativamente, pois para se obter o tamanho da

amostra depende-se do quantil tα/2 que por sua vez depende dos graus de liberdade, que são

desconhecidos. Assim, obtém-se o valor de t com os graus de liberdade da amostra piloto e

calcula-se utilizando a fórmula proposta o valor de n. Com esse novo valor de n, obtém-se novo

quantil superior de t de Student e refaz-se o cálculo de n. O processo é aplicado reiteradas vezes

até que uma dada estimativa de n não difira da imediatamente anterior para uma dada precisão

pré-estipulada.

Com base nas informações obtidas “a priori” na amostra piloto conclui-se qual deve

ser o tamanho da amostra para aqueles níveis de significância e precisão estabelecidos. Se o

tamanho da amostra for menor que o da amostra piloto, indica que nenhum elemento deve ser

acrescido à amostra.

5.4.2. Dimensionamento da amostra para a estimação de proporções.

Utilizando-se o mesmo raciocínio do item 5.4.1 tem-se a seguinte regra de

dimensionamento de amostras.


nz

ep p=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

α 22

1( )

É conveniente salientar que essa fórmula não depende de processos iterativos

como o anterior. Isso porque o valor de zα/2, quantil superior da distribuição normal, não depende

de graus de liberdade para ser computado. No entanto, depende de uma estimativa de P, a qual

pode ser obtida em uma amostra piloto.

Para contornar o problema de se ter que realizar uma amostra piloto adota-se o

seguinte procedimento. Como o valor de ( )p p1− tem máximo quando ,p = 0 5 , então, para que

não haja uma dependência de estimativas de P em amostras piloto, obtém-se o nmax. Esse valor de

n garante na pior das hipóteses que o erro cometido no processo de estimação não irá ser maior

do que aquele fixado a priori para o coeficiente de confiança adotado. Isso se verifica pois com o

valor ½ têm-se o máximo do valor de ( )p p1− .

nz

e=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α / 2

2

2

Exemplo: Em uma amostra y=57 em n=150 plantas apresentaram uma determinada doença. Essa

amostra é suficiente para estimar a proporção de plantas doentes com erro de 0,08 e 95% de

confiança?

,p = = =57

1500 38 38% e z0,025=1,96

n x x plantas=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅

1 960 08

0 38 0 62 1412,

,, ,

ESTATÍSTICA

97

Conclui-se que a amostra de 150 plantas foi suficiente para estimar a proporção de

plantas doentes com o erro e a confiança desejados.

Para esse exemplo, utilizando-se a expressão de nmax tem-se:

nx

plantas=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅

1 962 0 08

1502,

,

Nesse caso verifica-se que, também, nenhuma planta deveria ser incluída na

amostra. Esta última situação é mais conservadora e o pesquisador deve optar entre uma maior

confiabilidade ou uma maior economia.

5.5. Referências

LEEMIS, L.M.; TRIVEDI, K.S. A comparison of approximate interval estimators for the

Bernoulli parameter. The American Statistician. V. 50, n.1, p.63-68, February, 1996.

VANGEN, M.G. Confidence interval for a normal coefficient of variation. The American

Statistician. V.50, n.1, February, 1996.

BLYTH, C.R. Approximate binomial confidence limits. Journal of the American Statistical

Association. v.81, n.395, p.843-855, 1986.

PRATT, J.W. A normal approximation for binomial, F, beta, and other common, related tail

probabilities, II. Journal of the American Statistical Association. n.63, p.1457-1483,

1968.

CAPÍTULO V - TEORIA DA DECISÃO


Na prática é necessário, com muita freqüência, tomar decisões a respeito das

populações, com base nas informações das amostras. Para se tomar decisões é conveniente à

formulação de hipóteses. Essas hipóteses podem ser verdadeiras ou não. A tomada de decisão

será então baseada no teste desta hipótese. Uma decisão errada pode levar a grandes prejuízos,

daí a importância desse capítulo, que tem por objetivo demonstrar os procedimentos para se testar

hipóteses sobre os principais parâmetros populacionais.

6.2. TIPOS DE HIPÓTESES - ERROS ENVOLVIDOS NA DECISÃO

No teste das hipóteses que são formuladas, existe sempre a probabilidade de se

cometer erros, nas decisões tomadas. Inicialmente, antes de se comentar sobre os erros, será

visto que as hipóteses são de dois tipos básicos, que estão apresentadas a seguir. (i) Hipótese

nula (H0) - aquela que será testada; admite-se que a diferença entre a estimativa e o parâmetro

populacional é devida ao acaso; e (ii) Hipótese alternativa (H1) - qualquer hipótese diferente de H0,

isto é, é aquela que será aceita se H0 for rejeitada.

Ex: H0: µA=10

H1: µA>10

Dois tipos de erros podem ser cometidos, como comentado anteriormente, os

quais estão apresentados a seguir:

(i) Erro tipo I: erro que se comete ao rejeitar uma hipótese verdadeira.

(ii) Erro tipo II: erro que se comete ao aceitar uma hipótese falsa como verdadeira.

ESTATÍSTICA 99

Os erros tipo I e tipo II e as suas respectivas probabilidades, bem como às

probabilidades de se tomar as decisões corretas estão apresentados na Tabela 6.1.

Decisão

Realidade

H0 verdadeira H0 falsa

Aceitar H0

Decisão correta

1 - α

Erro tipo II

β

Rejeitar H0

Erro tipo I

α

Decisão correta

1 - β

Tabela 6.1. Probabilidades de se cometer os erros tipo I e II, e de se tomar à decisão correta para

os testes de hipóteses.

CARACTERÍSTICAS

(i) Erro tipo I e tipo II são correlacionados: O aumento da probabilidade de ocorrência de um

reduz a probabilidade de ocorrência do outro;

(ii) Erro tipo I é controlado com a escolha de α.

(iii) A única forma de causar uma redução de α e β simultaneamente é aumentar o tamanho

da amostra.

(iv) Se H0 for falsa, β será maior quanto mais próximo o valor do parâmetro estiver do valor

sob a hipótese H0.

Neste capítulo será realizado apenas teste de significância, haja vista que não se

pode controlar diretamente a probabilidade de se cometer o erro tipo II a não ser indiretamente

com amostras representativas e suficientemente grandes e escolha de testes mais poderosos.


6.3. CONSTRUÇÃO DE UMA REGRA DE DECISÃO.

6.3.1. ALGORITMO

(i) Formular as hipóteses H0 e H1;

(ii) Usar a teoria estatística e as informações disponíveis para julgar o estimador adequado;

(iii) Fixar α e usar esse valor para criar a região crítica;

R R H 0

α

R R H 0

1 − α

Figura 6.1. Região crítica para um teste unilateral, usando a distribuição de t de student ou a

normal.

(iv) Calcular o valor da estatística que norteará a decisão;

(v) Se o valor da estatística pertencer RAH0 não se rejeita H0, caso contrario rejeita-se.

Exemplo. Uma máquina de empacotar café foi regulada para 500g. O fabricante resolveu fazer

amostras de 16 pacotes de 2 em 2 horas. Numa dessas amostras ele encontrou X =492g e

ESTATÍSTICA 101

S2=400g2. Ele resolveu consultar um estatístico se deveria paralisar a máquina para novo ajuste.

Qual seria sua decisão?

(i) H0: µ=500g

H1: µ≠500g (Hipótese bilateral) ou

H1: µ<500g (Hipótese unilateral).

(ii) X ∩ t (µ,40016

)

(iii) α = 0,01

R R H 0α /2

R R H 0

1 − α

R R H 0

α / 2

0 2 ,9 4 7- 2 ,9 4 7

B IL A T E R A L- 2 ,6 0 2 0

R A H 0R R H 01 -α /2α

U N IL A T E R A L

Figura 6.2. Regiões de rejeição de H0 para o teste bilateral e unilateral ao nível de 1%

(mutuamente exclusivos).

(iv) ct =−

= −492 500

204

1 60,

O tc é o mesmo independentemente se o teste for unilateral ou bilateral. O que se

alteram são as regiões de rejeição e aceitação de H0.

(v) tc = -1,60 ∈ a RAH0 em ambos os casos (unilateral e bilateral). Portanto, o desvio da média

amostral para a média hipotética proposta em H0 foi devido ao acaso. Então, esta hipótese não

deve ser rejeitada no valor nominal de 1% de significância.


6.3.2. TESTE PARA MÉDIA POPULACIONAL NORMAL COM VARIÂNCIA

DESCONHECIDA

Sabe-se do capítulo IV, que X ∩ t (µ,2S

n). Desta forma, o algoritmo para o teste

de hipótese é:

(i) H0: µ = µo

H1: µ ≠ µo (Hipótese bilateral) ou

H1: µ > µo (Hipótese unilateral) ou

H1: µ < µo (Hipótese unilateral).

(ii) cot

XSn

=− µ

(ii) Define-se a região de rejeição de H0 com:

tα/2 com n - 1 GL para o teste bilateral;

tα com n - 1 GL para o teste unilateral (µ > µo); e

-tα com n - 1 GL para o teste unilateral (µ < µo).

(iii) Rejeita-se H0 se c tabt t≥ , ou seja, se tc ∈ RRH0.

Existe uma relação direta entre teste de significância e intervalos de confiança. Com a

construção do IC pode-se verificar se o valor do parâmetro sob H0 se encontra no mesmo. Se

afirmativo não se rejeita H0, caso contrário, rejeita-se.

Para amostras sem reposição em populações finitas (n/N>0,05), o erro padrão da média é:

Sn

N nN−

−1

portanto, o valor de tc, neste caso é:

ESTATÍSTICA 103

ctX

Sn

N nN

=−

−

−

0

1

µ

Exemplo: No caso dos coelhos abatidos aos 90 dias (n=10, X =2,584Kg, S=0,0675Kg), teste a

hipótese de que a média populacional é igual a 2,701Kg, contra a hipótese alternativa que ela é

menor que 2,701Kg. Dado, α=0,05.

(i) H0: µ = 2,701kg ⇒ µo=2,701

H1: µ < 2,701kg

(ii) cot

XSn

=−

=−

= −µ 2 584 2 701

0 067510

5 481, ,

, ,

(iii) t0,05 = 1,833 ⇒ -t0,05 = -1,833 com 9 GL.

(iv) Como c tabt t≥ , ou seja, 5,481>1,833, então Rejeita-se H0 ao nível de 5% de probabilidade

pelo teste t, ou seja, a média do peso ao abate aos 90 dias é inferior a 2,701kg, com 95% de

confiança.

6.3.3. TESTES PARA PROPORÇÕES

Para se testar a hipótese de que a proporção de uma população é igual a um dado

valor (P0) o seguinte algoritmo deverá ser implementado. Este algoritmo pressupõe que a

distribuição do estimador de P é aproximadamente normal e que quando se utiliza o estimador da

variância a distribuição adequada passará a ser a distribuição t de Student.


(i) Formulam-se as hipóteses de nulidade e a alternativa, que pode ser unilateral ou bilateral.

H0: P = Po

H1: P ≠ Po (Hipótese bilateral) ou

H1: P > Po (Hipótese unilateral) ou

H1: P < Po (Hipótese unilateral).

(ii) O nível crítico, ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I é fixado em geral por α = 5% ou

α = 1%

(iii) Determina-se o valor da estatística do teste adequado por:

czP P

P Pn

=−

−( )0

1

(iv) Se c tabz z≥ rejeita-se H0

Exemplo: Numa amostra de 100 plantas de um campo de produção de sementes, verificou-se que

2% estavam com uma determinada doença. Teste a hipótese que a verdadeira proporção de

doenças do campo é igual a 3,5%, como afirma um técnico de inspeção do campo de produção de

sementes.

(i) Determinando as hipóteses

H0: P = 0,035

H1: P < 0,035 (unilateral)

(ii) Fixar o nível de significância em 5%

(iii) Calculando o valor de zc

ESTATÍSTICA 105

ztP P

P Pn

=−

−=

−−

= −( )

, ,, ( , )

,0

1

0 02 0 0350 02 1 0 02

100

1 07

(iv) o valor de tabelado é: z0,05=-1,645 com 99 GL

(v) Como c tabz z≤ , aceita-se H0 ao nível de 95% de confiança, ou seja, a não existe razão

para duvidar que a média da incidência de doença no campo não seja de 3,5%. A

diferença amostral de 1,5% foi apenas casual.

6.3.4. TESTE PARA VARIÂNCIA POPULACIONAL σ2

A seguir é apresentado o algoritmo para se testar hipóteses sobre uma variância

de uma população com distribuição normal. O teste adequado é o de χ2, cuja distribuição foi vista

no capítulo IV.

(i) Formulam-se as hipóteses de nulidade e alternativa, a qual pode ser unilateral ou bilateral.

H0: 202σ σ=

H1: 202σ σ≠ (Hipótese bilateral); ou

H1: 202σ σ> (Hipótese unilateral); ou

H1: 202σ σ< (Hipótese unilateral).

(ii) O valor crítico de significância ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I é fixada em α = 5%

ou α = 1%

(iii) Determina-se o valor da estatística, para o teste adequado por:

c

n S22

02

1χ

σ=

−( )


(iv) Determinar a região critica (RRH0)

00

R A H 0

R R H 0

χ 2

1 − α

α / 2

α / 2χ 2

1 - α / 2

R R H 0α / 2

Figura 6.3. Regiões críticas (RRH0) para o teste bilateral, da hipótese apresentada em (i).

00

R A H 0

R R H 0

χ 2

1 - α

α

α

Figura 6.4. Região crítica (RRH0) para o teste unilateral, da hipótese apresentada em (i).

ESTATÍSTICA 107

00

R R H 0 α

R A H 0 1 - α

χ 21 - α

Figura 6.5. Região crítica (RRH0) para o teste unilateral, da hipótese apresentada em (i).

(v) Se c2χ ∈ RRH0 definidas nas Figuras 6.3, 6.4 e 6.5, rejeita-se H0

6.3.5. COMPARAÇÕES ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS

Um dos principais testes apresentado refere-se à necessidade de comparar duas

médias populacionais distintas. Este teste tem grande aplicabilidade nas ciências agrárias, que é o

principal interesse deste material. Muitas vezes deseja-se comparar dois tratamentos distintos,

duas variedades de qualquer espécie quanto à produtividade, duas rações na dieta de animais,

entre diversos outros exemplos. A seguir é apresentada a situação em que normalmente estas

comparações podem ser realizadas do ponto de vista prático. As situações mais teóricas fogem do

objetivo do presente material, e não serão abordadas.

(A) VARIÂNCIAS POPULACIONAIS DESCONHECIDAS E DIFERENTES ( 12

22σ σ≠ )

Duas médias populacionais distintas podem ser comparadas por este método,

desde que a amostragem, ou até mesmo a experimentação, seja realizada de forma independente

para cada uma delas. Alguém, no entanto, pode questionar o fato de que se as variâncias


populacionais são desconhecidas, fato bastante comum na prática, então, como saber se elas são

diferentes, para enquadrar o teste nesta opção. Para responder esta pergunta, antes de apresentar

o algoritmo para o teste da hipótese de igualdade entre as duas médias populacionais, será

apresentado o teste para a hipótese de igualdade das variâncias populacionais.

A.1. Teste para hipótese de igualdade entre as variâncias populacionais

Inicialmente deve ser lembrado neste ponto que a estatística definida por:

FS

S=

12

12

22

22

σ

σ

segue a distribuição F de Snedecor. É usada para testar a igualdade entre duas

variâncias. As tabelas de F, são consultadas de acordo com os graus de liberdade n1-1 associados

a variância 1 (numerador da expressão) na primeira linha, e graus de liberdade n2-1 associados a

variância 2 (denominador da expressão), na primeira coluna, e probabilidade desejada.

Pode-se observar que a estatística F, se H0: 12

22σ σ= for verdadeira, se resume em

FSSc =

12

22 . Desta forma Fc segue a distribuição de F, e um valor observado, muito alto, ou seja, um

valor que deixe menos de 5% ou menos de 1% dos valores de F acima do mesmo deve ser

considerado significativo. Desta forma, este valor indica que é mais fácil acreditar que a hipótese,

não seja verdadeira, do que este grande valor tenha ocorrido ao acaso. O algoritmo para realizar o

teste está apresentado a seguir.

i) Formulam-se as hipóteses de nulidade e alternativa bilateral.

H0: 12

22σ σ=

H1: 12

22σ σ≠

(ii) Fixa-se o valor crítico, ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I, que em geral é:

ESTATÍSTICA 109

α = 5% ou α = 1%


FSSc =

12

22

As variâncias amostrais são denominadas de tal forma que 12

22S S≥ . Desta forma Fc será sempre

maior ou igual a 1.

(iv) Rejeita-se a hipótese H0 se Fc≥Fα/2 com (n1 - 1) e (n2 - 1) GL, respectivamente.

A.2. Teste para hipótese de igualdade entre as médias populacionais

Rejeitando-se a hipótese apresentada em A.1, o seguinte algoritmo deverá ser

usado. Para o caso de se aceitar a hipótese em questão o procedimento adequado a ser adotado

para o teste é aquele do item B.

(i) Formulam-se as hipóteses de nulidade e alternativa, as quais podem ser unilaterais ou bilaterais

H0: µ1-µ2 = 0

H1: µ1-µ2 ≠ 0 (bilateral); ou

H1: µ1-µ2 > 0 (unilateral); ou

H1: µ1-µ2 < 0 (unilateral); ou

O teste de que a diferença entre as médias populacionais é igual a zero, equivale

ao teste de que elas são iguais.

(ii) Fixa-se o nível crítico, ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I, que em geral é:

α = 5% ou α = 1%



ctX X

Sn

Sn

=−

+

1 2

12

1

22

2

onde, tα/2 (teste bilateral) ou tα (teste unilateral) possui ν graus de liberdade dados por:

22 21 2

1 22 22 2

1 2

1 2

1 2

S Sn n

S Sn n

n 1 n 1

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ν =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

− −

Convém salientar que este teste, quando as variâncias populacionais são distintas,

é apenas aproximado. Estudos de simulação feitos por Borges & Ferreira (1996) demonstra que

este teste mantém satisfatoriamente a probabilidade de se cometer o erro tipo I, mesmo, para

baixos tamanhos amostrais, mas o erro tipo II fica comprometido à medida que magnitude da

razão entre as variâncias populacionais aumenta.

(B) VARIÂNCIAS POPULACIONAIS DESCONHECIDAS E IGUAIS ( 12

22σ σ= )

Como no caso do item A.2, o teste para hipótese de igualdade entre duas médias

populacionais quando as variâncias são iguais, segue praticamente todos os passos. O primeiro

passo é verificar se realmente as variâncias populacionais são iguais, conforme descrito no item

A.1. O segundo passo consiste em implementar o seguinte algoritmo, lembrando que o teste, sob a

pressuposição de igualdade de variâncias, é exato:

ESTATÍSTICA 111

(i) Formulam-se as hipóteses de nulidade e alternativa, as quais podem ser unilaterais ou

bilaterais:

H0: µ1-µ2 = 0

H1: µ1-µ2 ≠ 0 (bilateral); ou

H1: µ1-µ2 > 0 (unilateral); ou

H1: µ1-µ2 < 0 (unilateral); ou

O teste de que a diferença entre as médias populacionais é igual a zero equivale

ao teste de que elas são iguais.

(ii) Se fixa o nível crítico, ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I, que em geral é:

α = 5% ou α = 1%


c

p

tX X

Sn n

=−

+

1 2

1 2

1 1

em que, tα/2 (teste bilateral) ou tα (teste unilateral) possui ν=n1+n2-2 graus de liberdade.

Como as variâncias das duas populações são iguais, o melhor estimador da

variância comum é obtido por uma variância média ponderada pelos graus de liberdade de cada

amostra. Esta variância é definida por PS2 , onde o subscrito “p” refere-se a palavra americana

“pooled” que significa, combinada. Portanto, o símbolo SP apresentado, refere-se ao estimador do

desvio padrão combinado que é a raiz quadrada da variância, o qual é apresentado a seguir:

PSn S n S

n n=

− + −

+ −

( ) ( )1 12

2 22

1 2

1 1

2


(C) DADOS PAREADOS

Quando os dados são relacionados dois a dois, eles são denominados pareados.

É comum na experimentação, tomar-se dados de uma amostra de uma população antes e após a

aplicação de um determinado tratamento. Como, cada elemento da amostra é mensurado antes e

após o tratamento diz-se que os dados são pareados.

Exemplo: os dados de peso de bezerros foram medidos antes e depois da aplicação de uma

ração nova, em uma amostra de tamanho n=5. Seja,

X: peso antes do tratamento (ração nova); e

Y: peso após tratamento;

n=5 bezerros.

Bezerros 1 2 3 4 5

Xi 100 105 108 106 110

Yi 120 115 130 140 112

Diferença

(Di)

20 10 22 34 2

Tabela 6.2. Peso de cinco bezerros antes (Xi) e após (Yi) o tratamento de uma ração nova por um

mês, além da diferença (Di) entre o peso após e antes do tratamento (ganho de peso do período).

Neste exemplo fica claro que os dados são pareados, pois são mensurados cinco

bezerros antes e após a dieta com uma ração específica. Antes de prosseguir, é necessário, que

se calcule algumas estatísticas básicas, desta variável aleatória Di. Estas estatísticas são a média

e o desvio padrão.

Média: DD

n

ii

n

=∑=1

ESTATÍSTICA 113

Desvio Padrão: D ii

n ii

n

Sn

DD

n=

−∑ −

∑⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

=11

2 1

2

Se a ração, para o exemplo em questão, ou o tratamento qualquer que se deseja

testar, não possui efeito significativo, então se espera que não haja diferença entre as medidas

antes e após o tratamento ser aplicado. Desta forma, a diferença média real livre dos efeitos de

meio deve ser testada para hipótese de que ela é realmente igual a zero. Esta hipótese seguida

dos testes apropriados está apresentada a seguir:

(i) Determinar as hipóteses

H0: µD = D0

H1: µD ≠ D0 Bilateral; ou

H1: µD > D0 Unilateral;

H1: µD < D0 Unilateral

(ii) Se fixa o nível crítico, ou a probabilidade de se cometer o erro tipo I, que em geral é α = 5% ou

α = 1%.


cD

tD D

Sn

=− 0

(iv) Rejeita-se H0 se |tc| > |ttab|.


Voltando para o exemplo do ganho de peso nos bezerros, tem-se os seguintes

resultados: D kg= 17 6, e DS kg= 12 1984,

As hipóteses de nulidade e alternativa são:

H0: µD = 0

H1: µD > 0 Unilateral;

que significa que está se testando a ausência de efeito da ração para promover o

ganho de peso, contra a alternativa que esta possui um efeito positivo no ganho de peso. O valor

de tc, utilizando as expressões anteriormente apresentadas, foi de 3,226. O valor de ttabelado (t0,05) foi

2,132 com n-1=4 GL. Então, como |tc| > |ttab| rejeita-se H0, existe efeito positivo da ração no ganho

de peso dos bezerros.

6.4. TESTE DE χ2 PARA AJUSTAMENTO DE MODELOS

Muitos modelos teóricos, para os valores da variável aleatória, fornecem as

freqüências relativas esperadas. Estes modelos teóricos muitas vezes podem ser aplicados a

dados experimentais observados em um dado fenômeno. Neste caso, cada valor da variável

aleatória (classe) possui uma freqüência observada em uma amostra de tamanho n. De acordo

com as características deste fenômeno, pode-se elaborar um modelo teórico para ajustá-lo. Com

base neste modelo podem-se obter as freqüências relativas esperadas nesta amostra de tamanho

n. Pela comparação das freqüências observadas e esperadas pode se avaliar a qualidade do

ajustamento. Porém, uma avaliação, visual além de muito pobre, pode não conseguir distinguir

entre afastamentos entre as freqüências esperadas e observadas que são devidos ao acaso e os

que são estatisticamente significativos. Para um tratamento adequado de problemas desta

ESTATÍSTICA 115

natureza, o teste de χ2 é recomendado. A seguir será apresentado, como proceder para se avaliar

o ajuste de um modelo teórico a dados observados experimentalmente (curvas ou ajustes de

aderência).

Passos para ajuste de qui-quadrado

(i) Primeiro passo é determinar qual o modelo teórico deve ser usado: Isto normalmente não é

trivial, mesmo para pesquisadores experientes. Este primeiro passo é o mais importante, pois

uma escolha errada de um modelo levará a um ajustamento muito pobre ou na maioria dos

casos a um não ajustamento;

(ii) Calcular de acordo com o modelo proposto as freqüências esperadas (FE) para cada classe da

variável aleatória;

(iii) Comparar as freqüências esperadas com as freqüências observadas (Fo) através do seguinte

teste:

c

i i

ii

KFo FE

FE2

2

1χ =

−⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∑=

Em que, Foi é a freqüência observada da classe i; Fei é a freqüência esperada da

classe i; K é o número de classes; e gl = K - 1 é o número de graus de liberdade.

(iv) A hipótese que se testa é H0: o modelo teórico se ajusta à distribuição observada. O valor de

qui-quadrado calculado em (iii) deve ser comparado com o valor crítico da distribuição de


qui-quadrado para um nível de significância de α e com K-1 graus de liberdade. Rejeita-se H0

se αχ χK GL

c−

<1

2 2 .

Exemplo: Verificar se os dados abaixo estão de acordo com a 2a lei de Mendel, ou seja, lei da

segregação independente de genes. Na Tabela 6.2, estão apresentados o fenótipo de dois genes,

um que controla, a altura das plantas, as quais podem ser alta ou anã, e o outro que controla o tipo

de folha, que podem ser normal ou tipo batata. Se os genes forem independentes, ou seja, se

estiverem situados em cromossomos diferentes, então é esperada pelos geneticistas a seguinte

segregação fenotípica na geração F2 de um certo cruzamento: 9 plantas altas com folha normal : 3

plantas altas com folha batata : 3 plantas anãs com folha normal : 1 planta anã com folha batata

(9:3:3:1).

Fenótipo da planta Tipo da folha FO FE

ALTA NORMAL 925 900

ALTA BATATA 309 300

ANÃ NORMAL 280 300

ANÃ BATATA 86 100

- TOTAL 1600 1600

Tabela 6.3. Segregação fenotípica observada e esperada para geração F2 de um cruzamento entre

uma linhagem alta de folha normal com outra anã de folha batata. A freqüência esperada foi

baseada no modelo de segregação independente dos genes que controlam a altura de planta e o

tipo de folha (2a lei de Mendel), na proporção de 9:3:3:1.

(i) formulam-se as hipóteses:

H0: Os dados observados estão de acordo com a 2a lei de Mendel;

H1: Os dados observados não estão de acordo com a 2a lei de

(ii) calculam-se as freqüências esperadas tomando-se por base a hipótese H0: As freqüências

esperadas estão apresentadas na Tabela 6.3.

ESTATÍSTICA 117

(iii) calcula-se o valor da estatística para o teste por:

c2χ =(925-900)2/900 + (309-300)2/300 + (280-300)2/300 + (86-100)2/100=4,258

(iv) o valor tabelado é:

0 052

,χ = 7,815 com 3 GL.

(v) conclusão:

como c2χ < 0 05

2,χ aceita-se H0, ou seja, os dados seguem a 2a lei de Mendel, ou

seja os genes para controle da altura de planta e do tipo de folha, são independentes.

$$SSrrQQGGLLFHFHVV7DEHOD $ 3UREDELOLGDGHV D GD GLVWULEXLomR QRUPDO SDGUmR 1 SDUD YDORUHV GR TXDQWLO =WSDGURQL]DGRGHDFRUGRFRPRVHJXLQWHHYHQWR3==W D

=W

7DEHOD$3UREDELOLGDGHVDGDGLVWULEXLomRQRUPDOSDGUmR1SDUDYDORUHVGRTXDQWLO=WSDGURQL]DGRGHDFRUGRFRPRVHJXLQWHHYHQWR3=!=W D=

7DEHOD$4XDQWLVVXSHULRUHVGDGLVWULEXLomRGHTXLTXDGUDGR DF FRPQ JUDXVGHOLEHUGDGHHSDUDGLIHUHQWHV YDORUHV GD SUREDELOLGDGH D GH DFRUGR FRP R VHJXLQWH HYHQWR 3 DF ! F D Q

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7DEHOD $ /LPLWHV FUtWLFRV TXDQWLV VXSHULRUHV D ZD GR WHVWH GRV SRVWRV FRP VLQDLV GH:LOFR[RQSDUDGLIHUHQWHVYDORUHVGDSUREDELOLGDGHDGHDFRUGRFRPRVHJXLQWHHYHQWRSUREDELOtVWLFR 3: Z Dt t D D DQW QW

9DORUHVFUtWLFRVVLPpWULFRVTXDQWLVVXSHULRUHVD ZD VmRREWLGRVSRU W W Q Q Z Z D D

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Estatistica Básica - Apostila