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ESTAT ´ ISTICA B ´ ASICA DISTRIBUIC ¸ ˜ AO NORMAL DE PROBABILIDADE (MODELO NORMAL) Tiago Viana Flor de Santana www.uel.br/pessoal/tiagodesantana/ [email protected] – sala 07 Curso: MATEM ´ ATICA Universidade Estadual de Londrina – UEL Departamento de Estat´ ıstica – DSTA

ESTATÍSTICA BÁSICA - DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE ... · DISTRIBUIC˘AO NORMAL DE PROBABILIDADE~ (MODELO NORMAL) 1 Introdu˘c~ao 2 Fun˘c~ao densidade de probabilidade

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ESTATISTICA BASICADISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE

(MODELO NORMAL)

Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Curso: MATEMATICA

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

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DISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE(MODELO NORMAL)

1 Introducao

2 Funcao densidade de probabilidade

3 Esperanca e variancia

4 Normal padrao

5 Tabela Z

6 Para o Lar

Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 23

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Introducao

A distribuicao Normal conhecida tambem como distribuicao Gaussi-ana, devido a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) em seus tra-balhos sobre erros de observacoes, e o modelo probabilıstico maisimportante em estatıstica;

Um dos principais motivos da importancia desse modelo se deve ao“Teorema Central do Limite”que afirma que:

“ainda que os dados nao sejam provenientes de uma Normal a mediados dados converge para a Normal conforme o numero de dados au-menta”.

Alem disso diversos estudos praticos tem como resultado uma distri-buicao Normal.

E pode-se obter resultados aproximados de distribuicoes discretas comoos modelos Binomial e Poisson, por meio da distribuicao Normal.

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Funcao densidade de probabilidade

Definicao

Uma v.a. X tem distribuicao Normal com parametros µ e σ2 se sua fdp e

f (x) =1√

2πσ2exp

[−1

2

(x − µσ

)2], −∞ < x <∞

em que µ ∈ R e σ2 > 0.

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Funcao densidade de probabilidade

O grafico da fdp da Normal e

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Funcao densidade de probabilidade

Propriedades

1 f (x) ≥ 0 para x real;

2

∞∫−∞

f (x)dx = 1 – (Prove);

3 f (x)→ 0 quando x → ±∞;

4 Os pontos µ− σ e µ+ σ sao pontos de inflexao de f ;

5 f ′(µ) = 0 – Ponto de maximo de f ;

6 f (µ) = 1/√

2πσ2 – Valor maximo de f ;

7 f (µ+ x) = f (µ− x) – f e simetrica em relacao a x = µ.

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Esperanca e variancia

A esperanca matematica da Normal e o proprio parametro µ

E (X ) =

∞∫−∞

xf (x)dx = µ (Prove).

A esperanca de X 2, conhecido como segundo momento e

E (X 2) =

∞∫−∞

x2f (x)dx = σ2 + µ2 (Prove).

A partir de E (X ) e E (X 2) obtem-se a variancia de uma v.a. normalmentedistribuida.

Var(X ) = E (X 2)− E 2(X ) = σ2

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Esperanca e variancia

Exemplo

Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.

Calcule a media e o desvio padrao de X.

A media eE (X ) = 5.

O desvio padrao e

DP(X ) =√

Var(X ) =√

36 = 6.

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Esperanca e variancia

Exemplo

Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.

Calcule a media e o desvio padrao de X.

A media eE (X ) = 5.

O desvio padrao e

DP(X ) =√

Var(X ) =√

36 = 6.

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Normal padrao

Fixando µ = 0 e σ2 = 1, obtem-se a Normal padrao, cuja densidade eindicada por

φ(z) =1√2π

exp

(−1

2z2

), −∞ < z <∞.

A notacao usada para indicar que uma v.a. X tem distribuicao Normal sera

X ∼ Normal(µ, σ2).

No caso da Normal padrao sera

Z ∼ Normal(0, 1).

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Normal padrao

Grafico da Normal padrao

x−1 0 1

f(x)

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Normal padrao

Teorema

Se X ∼ Normal(µ, σ2), entao a v.a. definida por

Z =X − µσ

∼ Normal(0, 1)

Prova

FZ (t) = P(Z ≤ t) = P(X − µσ

≤ t

)= P(X ≤ σt + µ) =

=

σt+µ∫−∞

1√2πσ2

exp

[−1

2

(x − µσ

)2]dx =

∗=

t∫−∞

1√2π

exp

(−1

2z2

)dz ; ∗z = (x − µ)/σ.

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Normal padrao

Portanto, se

X ∼ Normal(µ, σ2) e Z =X − µσ

entao

E (Z ) = 0 ; Var(Z ) = 1

e

Z ∼ Normal(0, 1)

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Normal padrao

A fda da Normal padrao e

Φ(z) =

z∫−∞

φ(t)dt =1√2π

z∫−∞

e−t2/2dt

0 z

1/2

Φ(z)

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Tabela Z

Suponha, que X ∼ Normal(µ, σ2) e deseja-se calcular

P(a < X < b) =

b∫a

f (x)dx

essa probabilidade e ilustrada abaixo

a b x

f(x)

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Tabela Z

Entretanto,

1 A integral∫ ba f (x)dx nao pode ser calculada analiticamente;

2 E so pode ser obtida aproximadamente, por meio de integracao numerica;

3 No entanto, para cada par (µ, σ), e (a, b) seria necessario um novoprocedimento de integracao numerica para o calculo de P(a ≤ X ≤ b);

4 Usando a transformacao Z = (X−µ)/σ o trabalho se resume a escolhado par (a, b);

5 Em particular, admitindo o par (−b, b)

P(−b ≤ X ≤ b) = P(−b − µσ

≤ Z ≤ b − µσ

)Simetria

= 2P(0 ≤ Z ≤ zt) .

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Tabela Z

A probabilidade P(0 ≤ Z ≤ zt) pode ser obtida em tabela para variosvalores de zt .

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Tabela Z

Exemplo

Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(

3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√

16

)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),

ou seja,

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).

Usando a tabela anterior obtem-se

P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.

Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.

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Tabela Z

Exemplo

Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(

3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√

16

)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),

ou seja,

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).

Usando a tabela anterior obtem-se

P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.

Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.

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Tabela Z

Exemplo

Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(

3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√

16

)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),

ou seja,

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).

Usando a tabela anterior obtem-se

P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.

Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.

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Tabela Z

Exemplo

Seja X ∼ Normal(3, 16). Calcule P(3 ≤ X ≤ 9, 92).

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(

3− 3√16≤ Z ≤ 9, 92− 3√

16

)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73),

ou seja,

P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73).

Usando a tabela anterior obtem-se

P(0 ≤ Z ≤ 1, 73) = 0, 45818.

Portanto, P(3 ≤ X ≤ 9, 92) = 0, 45818.

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Tabela Z

Note que apesar da tabela apresentar probabilidade somente para

P(0 ≤ Z ≤ zt),

Pode-se obter probabilidades mais gerais por meio das propriedades de P eda simetria da Normal.

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Tabela Z

Exemplo

P(−1, 73 ≤ Z ≤ 0)Simetria

= P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)

P(Z ≥ 1, 73) = 1− P(Z ≤ 1, 73)

= 1− [P(Z ≤ 0) + P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)]

= 1− 0, 5− P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)

= 0, 5− P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)

P(Z ≤ −1, 73)Simetria

= P(Z ≥ 1, 73)

P(0, 47 ≤ Z ≤ 1, 73) = P(0 ≤ Z ≤ 1, 73)− P(0 ≤ Z ≤ 0, 47)

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Tabela Z

Exemplo

Os depositos efetuados no Banco da Ribeira durante o mes de Janeiro saodistribuıdos normalmente, com media de $10 000, 00 e desvio padrao de$1 500, 00. Um deposito e selecionado ao acaso dentre todos os referentesao mes em questao. Qual a probabilidade de que o deposito seja:

a) $10 000, 00 ou menos; (0,5)

b) pelo menos $10 000, 00; (0,5)

c) um valor entre $12 000, 00 e $15 000, 00; (0,09133)

d) maior do que $20 000, 00. (∼= 0)

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Tabela Z

Exemplo

Seja X ∼ Normal(100, 100), calcule:

a) P(|X − 100| ≤ 10);

b) o valor a, tal que P(100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 95.

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Tabela Z

Exemplo

As alturas de 10 000 alunos de colegio tem distribuicao aproximadamenteNormal, com media 170 cm e desvio padrao 5 cm.

a) Qual o numero esperado de alunos com altura superior a 165 cm?

b) Qual o intervalo simetrico em torno da media que contera 75% dasalturas dos alunos?

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Para o Lar

Para o lar

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