ESTATÍSTICA BÁSICA - DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE ...· DISTRIBUIC˘AO NORMAL DE PROBABILIDADE~

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  • ESTATISTICA BASICADISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE

    (MODELO NORMAL)

    Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

    tiagodesantana@uel.br sala 07

    Curso: MATEMATICA

    Universidade Estadual de Londrina UELDepartamento de Estatstica DSTA

  • DISTRIBUICAO NORMAL DE PROBABILIDADE(MODELO NORMAL)

    1 Introducao

    2 Funcao densidade de probabilidade

    3 Esperanca e variancia

    4 Normal padrao

    5 Tabela Z

    6 Para o Lar

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 2 / 23

  • Introducao

    A distribuicao Normal conhecida tambem como distribuicao Gaussi-ana, devido a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) em seus tra-balhos sobre erros de observacoes, e o modelo probabilstico maisimportante em estatstica;

    Um dos principais motivos da importancia desse modelo se deve aoTeorema Central do Limiteque afirma que:

    ainda que os dados nao sejam provenientes de uma Normal a mediados dados converge para a Normal conforme o numero de dados au-menta.

    Alem disso diversos estudos praticos tem como resultado uma distri-buicao Normal.

    E pode-se obter resultados aproximados de distribuicoes discretas comoos modelos Binomial e Poisson, por meio da distribuicao Normal.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 3 / 23

  • Funcao densidade de probabilidade

    Definicao

    Uma v.a. X tem distribuicao Normal com parametros e 2 se sua fdp e

    f (x) =1

    22exp

    [1

    2

    (x

    )2], < x 0.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 4 / 23

  • Funcao densidade de probabilidade

    O grafico da fdp da Normal e

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 5 / 23

  • Funcao densidade de probabilidade

    Propriedades

    1 f (x) 0 para x real;

    2

    f (x)dx = 1 (Prove);

    3 f (x) 0 quando x ;

    4 Os pontos e + sao pontos de inflexao de f ;

    5 f () = 0 Ponto de maximo de f ;

    6 f () = 1/

    22 Valor maximo de f ;

    7 f (+ x) = f ( x) f e simetrica em relacao a x = .

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 6 / 23

  • Esperanca e variancia

    A esperanca matematica da Normal e o proprio parametro

    E (X ) =

    xf (x)dx = (Prove).

    A esperanca de X 2, conhecido como segundo momento e

    E (X 2) =

    x2f (x)dx = 2 + 2 (Prove).

    A partir de E (X ) e E (X 2) obtem-se a variancia de uma v.a. normalmentedistribuida.

    Var(X ) = E (X 2) E 2(X ) = 2

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 7 / 23

  • Esperanca e variancia

    Exemplo

    Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.

    Calcule a media e o desvio padrao de X.

    A media eE (X ) = 5.

    O desvio padrao e

    DP(X ) =

    Var(X ) =

    36 = 6.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 8 / 23

  • Esperanca e variancia

    Exemplo

    Seja a v.a. X seguindo distribuicao Normal com media 5 e variancia 36.

    Calcule a media e o desvio padrao de X.

    A media eE (X ) = 5.

    O desvio padrao e

    DP(X ) =

    Var(X ) =

    36 = 6.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 8 / 23

  • Normal padrao

    Fixando = 0 e 2 = 1, obtem-se a Normal padrao, cuja densidade eindicada por

    (z) =12

    exp

    (1

    2z2), < z

  • Normal padrao

    Grafico da Normal padrao

    x1 0 1

    f(x)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 10 / 23

  • Normal padrao

    Teorema

    Se X Normal(, 2), entao a v.a. definida por

    Z =X

    Normal(0, 1)

    Prova

    FZ (t) = P(Z t) = P(X

    t)

    = P(X t + ) =

    =

    t+

    122

    exp

    [1

    2

    (x

    )2]dx =

    =

    t

    12

    exp

    (1

    2z2)dz ; z = (x )/.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 11 / 23

  • Normal padrao

    Portanto, se

    X Normal(, 2) e Z = X

    entao

    E (Z ) = 0 ; Var(Z ) = 1

    e

    Z Normal(0, 1)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 12 / 23

  • Normal padrao

    A fda da Normal padrao e

    (z) =

    z

    (t)dt =12

    z

    et2/2dt

    0 z

    1/2

    (z)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 13 / 23

  • Tabela Z

    Suponha, que X Normal(, 2) e deseja-se calcular

    P(a < X < b) =b

    a

    f (x)dx

    essa probabilidade e ilustrada abaixo

    a b x

    f(x)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 14 / 23

  • Tabela Z

    Entretanto,

    1 A integral ba f (x)dx nao pode ser calculada analiticamente;

    2 E so pode ser obtida aproximadamente, por meio de integracao numerica;

    3 No entanto, para cada par (, ), e (a, b) seria necessario um novoprocedimento de integracao numerica para o calculo de P(a X b);

    4 Usando a transformacao Z = (X)/ o trabalho se resume a escolhado par (a, b);

    5 Em particular, admitindo o par (b, b)

    P(b X b) = P(b

    Z b

    )Simetria

    = 2P(0 Z zt) .

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 15 / 23

  • Tabela Z

    A probabilidade P(0 Z zt) pode ser obtida em tabela para variosvalores de zt .

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 16 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92).

    P(3 X 9, 92) = P(

    3 316 Z 9, 92 3

    16

    )= P(0 Z 1, 73),

    ou seja,

    P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73).

    Usando a tabela anterior obtem-se

    P(0 Z 1, 73) = 0, 45818.

    Portanto, P(3 X 9, 92) = 0, 45818.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 17 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92).

    P(3 X 9, 92) = P(

    3 316 Z 9, 92 3

    16

    )= P(0 Z 1, 73),

    ou seja,

    P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73).

    Usando a tabela anterior obtem-se

    P(0 Z 1, 73) = 0, 45818.

    Portanto, P(3 X 9, 92) = 0, 45818.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 17 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92).

    P(3 X 9, 92) = P(

    3 316 Z 9, 92 3

    16

    )= P(0 Z 1, 73),

    ou seja,

    P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73).

    Usando a tabela anterior obtem-se

    P(0 Z 1, 73) = 0, 45818.

    Portanto, P(3 X 9, 92) = 0, 45818.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 17 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Seja X Normal(3, 16). Calcule P(3 X 9, 92).

    P(3 X 9, 92) = P(

    3 316 Z 9, 92 3

    16

    )= P(0 Z 1, 73),

    ou seja,

    P(3 X 9, 92) = P(0 Z 1, 73).

    Usando a tabela anterior obtem-se

    P(0 Z 1, 73) = 0, 45818.

    Portanto, P(3 X 9, 92) = 0, 45818.Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 17 / 23

  • Tabela Z

    Note que apesar da tabela apresentar probabilidade somente para

    P(0 Z zt),

    Pode-se obter probabilidades mais gerais por meio das propriedades de P eda simetria da Normal.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 18 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    P(1, 73 Z 0) Simetria= P(0 Z 1, 73)

    P(Z 1, 73) = 1 P(Z 1, 73)= 1 [P(Z 0) + P(0 Z 1, 73)]= 1 0, 5 P(0 Z 1, 73)= 0, 5 P(0 Z 1, 73)

    P(Z 1, 73) Simetria= P(Z 1, 73)

    P(0, 47 Z 1, 73) = P(0 Z 1, 73) P(0 Z 0, 47)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 19 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Os depositos efetuados no Banco da Ribeira durante o mes de Janeiro saodistribudos normalmente, com media de $10 000, 00 e desvio padrao de$1 500, 00. Um deposito e selecionado ao acaso dentre todos os referentesao mes em questao. Qual a probabilidade de que o deposito seja:

    a) $10 000, 00 ou menos; (0,5)

    b) pelo menos $10 000, 00; (0,5)

    c) um valor entre $12 000, 00 e $15 000, 00; (0,09133)

    d) maior do que $20 000, 00. (= 0)

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 20 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    Seja X Normal(100, 100), calcule:

    a) P(|X 100| 10);

    b) o valor a, tal que P(100 a X 100 + a) = 0, 95.

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 21 / 23

  • Tabela Z

    Exemplo

    As alturas de 10 000 alunos de colegio tem distribuicao aproximadamenteNormal, com media 170 cm e desvio padrao 5 cm.

    a) Qual o numero esperado de alunos com altura superior a 165 cm?

    b) Qual o intervalo simetrico em torno da media que contera 75% dasalturas dos alunos?

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 22 / 23

  • Para o Lar

    Para o lar

    Exerccios Paginas

    15,16,18,19,20 189

    Santana,T.V.F. (UEL/DSTA) ESTATISTICA 23 / 23

    IntroduoFuno densidade de probabilidadeEsperana e varinciaNormal padroTabela ZPara o Lar