ESTATÍSTICA BÁSICA - Variável Aleatória Contínua · Fun˘c~ao densidade de probabilidade Cujo gr a co e apresentado abaixo e a probabilidade de X estar entre a e b, indicada

ESTATISTICA BASICAVariavel Aleatoria Contınua

Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Curso: MATEMATICA

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Variavel Aleatoria Contınua

1 Introducao

2 Funcao distribuicao acumulada

3 Funcao densidade de probabilidadeExercıcios

4 Esperanca e variancia matematicaExercıcios

Prof.o T. V.F.S. (UEL/DSTA) ESTATISTICA BASICA 2 / 34

Introducao

Definicao

Uma funcao X , definida sobre o espaco amostral Ω e assumindo valoresnum intervalo de numeros reais e dita uma variavel aleatoria contınua.

X : Ω −→ Rω 7−→ X (ω)


Introducao

Exemplos

1 Uma valvula eletronica e instalada em um circuito, seja X o perıodode tempo em que a valvula funciona. X e uma v.a. contınua positiva(X ≥ 0);

2 Um navio petroleiro sofre um acidente no qual seu casco e rompido eo oleo e derramado. Seja Y a v.a. que determina a area atingida pelooleo do navio;

3 A variacao da bolsa de valores, pode ser representada por uma v.a. queassume valores reais;

4 A temperatura de um cidade;


Funcao distribuicao acumulada

Definicao

Dada uma v.a. contınua X , denomina-se funcao distribuicao acumulada(fda) a funcao F , tal que

F (x) = P(X ≤ x) , ∀x ∈ R.

A fda satisfaz as seguintes propriedades:

i. limx→−∞

F (x) = 0;

ii. limx→∞

F (x) = 1;

iii.dF (x)

dx≥ 0.

Das propriedades i, ii e iii observa-se que F e monotona e limitada,0 ≤ F (x) ≤ 1 .


Funcao distribuicao acumulada

Exemplo

Seja a fda

F (x) =

1− e−x se x > 0;

0, se x ≤ 0.

Tem-se que

1 limx→−∞

F (x) = 0;

2 limx→∞

F (x) = limx→∞

(1− e−x) = 1;

3dF (x)

dx=

d

dx(1− e−x) = e−x > 0.


Funcao densidade de probabilidade

Exemplo 2

O ponteiro dos segundos de um relogio mecanico pode parar a qualquerinstante, devido a algum defeito tecnico, ou termico da bateria.

Seja X o angulo, em graus, que esse ponteiro forma com o eixo verticalpassando pelo centro do mostrador.

Conforme ilustracao a seguir:





1 Levando em consideracao que o relogio e mecanico e portanto, o pon-teiro “salta” 60 vezes para completar uma volta (60 segundos);

2 Admitindo que o ponteiro tenha probabilidade igual de parar em qual-quer ponto do relogio;

3 Pode-se construir o modelo probabilıstico:

X = xi 0 6 12 18 · · · 348 354

p(xi ) 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60

Note que60∑i=1

p(xi ) = 60× 1

60= 1



Considere agora, um relogio eletronico.

1 Onde o ponteiro dos segundo se move continuamente;

2 E portanto, X pode assumir qualquer valor em [0, 360);

3 O ponteiro tem probabilidade igual de parar em qualquer ponto dorelogio, ou seja,

P(X = x) = p ∀ x ∈ A = [0, 360);

4 Entao ∑x∈A

P(X = x) 6= 1



Como existem infinitos pontos nos quais o ponteiro pode parar, cada umcom igual probabilidade.

Nao faz sentido falar na probabilidade de ocorrencia de um angulo particular,pois essa probabilidade sera sempre igual a zero.

Portanto, para determinar probabilidade no caso de v.a. contınua faz-senecessario a funcao densidade de probabilidade (fdp).



Definicao

Uma funcao f e dita funcao densidade de probabilidade (fdp) se satisfaz:

f (x) = F ′(x)

ou ainda,

f (x) = limh→0

F (x + h)− F (x)

h= lim

h→0

P(X ≤ x + h)− P(X ≤ x)

h

= limh→0

P(x ≤ X ≤ x + h)

h

Portanto,

f (x) = F ′(x) = limh→0

P(x ≤ X ≤ x + h)

h



f (x) = limh→0

P(x ≤ X ≤ x + h)

h

1 A interpretacao da fdp e analoga a densidade quando na construcaodo histograma.

2 O valor f (x) informa a concentracao de probabilidade no ponto,ou seja, f fornece indicacao sobre a probabilidade de ocorrencia da v.a.X .

3 Nao se deve confundir f (x) com a probabilidade de ocorrerencia de Xem torno do ponto x .



Propriedades

i. f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, pois

F (x) e uma funcao crescente monotona;

ii.∫∞−∞ f (x)dx = 1, pois∫ ∞

−∞F ′(x)dx = lim

t→∞F (t)− lim

t→−∞F (t) = 1− 0 = 1

iii.∫ ba f (x)dx = P(a ≤ X ≤ b), pois∫ b

aF ′(x)dx = F (b)− F (a) = P(X ≤ b)− P(X ≤ a) = P(a ≤ X ≤ b)



Exemplo 2 cont.: A fda adequada para esse exemplo e

F (x) =

0, se x < 0;

x/360 se 0 ≤ x < 360;

1, se x ≥ 360.

Derivando F (x) obtem-se a fdp

f (x) =

0, se x < 0;

1/360 se 0 ≤ x < 360;

0, se x ≥ 360.



Cujo grafico e apresentado abaixo e a probabilidade de X estar entre a e b,indicada pela regiao hachurada

0 360 x

1/360

f(x)

a b

b − a360

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

af (x)dx =

∫ b

a

1

360dx =

b − a

360.



Dessa forma, podemos por exemplo, calcular a probabilidade de o ponteiroparar entre os numeros XII e III do relogio.

P(0 ≤ X ≤ 90) =90− 0

360=

1

4.



1 Teoricamente qualquer funcao que satisfaca as propriedades

f (x) ≥ 0 e∫∞−∞ f (x)dx = 1

e uma fdp de uma v.a. contınua;

2 A v.a. fica completamente definida pela sua fdp;

3 Dada a fdp de uma v.a. obtem-se a sua fda e vice-versa.



Exemplo 3 Seja a funcao

f (x) =

0, se x < 0;

2x se 0 ≤ x < 1;

0, se x ≥ 1.

0 1/2 1 x

2

f(x)

Note que:

f (x) ≥ 0 , ∀ x ∈ R e

∫ ∞−∞

f (x)dx = 1

Portanto, f representa a fdp de uma v.a. contınua X .



Exemplo 3 Seja a funcao

f (x) =

0, se x < 0;

2x se 0 ≤ x < 1;

0, se x ≥ 1.

0 1/2 1 x

2

f(x)

Note que:

f (x) ≥ 0 , ∀ x ∈ R e

∫ ∞−∞

f (x)dx = 1

Portanto, f representa a fdp de uma v.a. contınua X .



E pode-se, por exemplo, calcular a probabilidade de X estar entre doispontos quaisquer a e b.

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a2x dx = b2 − a2

Fazendo a = 0 e b = 1/2, tem-se

P(0 ≤ X ≤ 1/2) =

∫ 1/2

02x dx =

1

4



A fda pode ser obtida integrando f , obtendo

F (x) =

0, se x < 0;

x2 se 0 ≤ x < 1;

1, se x ≥ 1.

0 1 x

1

F(x)



Exemplo 3 Dada a funcao

f (x) =

2e−2x se x > 0;

0, se x ≤ 0.

a) Mostre que esta e uma fdp;

b) Calcule a probabilidade de X > 10.


Funcao densidade de probabilidade Exercıcios

Exercıcios para o lar

2,3 e 4 – pagina 172

1) Uma v.a. X tem distribuicao triangular no intervalo [0, 1] se sua fdp fordada por

f (x) =

0 , x < 0;Cx , se 0 ≤ x ≤ 1/2C (1− x) , 1/2 ≤ x ≤ 10, , x > 1.

a) Qual valor deve ter a constante C?

b) Faca o grafico de f (x).

c) Determine P(X ≤ 1/2), P(X > 1/2) e P(1/4 ≤ X ≤ 3/4)



2) Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10cm,e seja X a distancia do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. Afdp de X e

f (x) =

kx , 0 ≤ x < 10;0, , caso contrario.

a) Qual a probabilidade de acertar o centro do alvo, se esse for um cırculode 1cm de raio?

b) Mostra que a probabilidade de acertar qualquer cırculo concentrico eproporcional a sua area.



3) Encotre o valor da constante c se

f (x) =

c/x2 , x ≥ 10;0, , x < 10

for uma densidade. Encontre P(X > 15).


Esperanca e variancia matematica

Definicao

A esperanca matematica de uma v.a contınua X e obtida calculando

E (X ) =

∞∫−∞

xf (x)dx



Exemplo 4 A esperanca para o exemplo do relogio eletrico e dada por

E (X ) =

360∫0

x1

360dx =

[1

360

x2

2

]360

0

= 180.

ou seja, espera-se que o ponteiro dos segundos pare em media na posicao180 (numero VI ).



Definicao

A variancia de uma v.a. X e obtida da expressao

Var(X ) = E

[ x − E (X ) ]2

=

∞∫−∞

[ x − E (X ) ]2 f (x)dx

ou de forma mais simples

Var(X ) = E (X 2)− E 2(X )



Exemplo 5 A variancia para o exemplo do relogio, cuja E (X ) = 180, podeser obtida a partir da expressao

Var(X ) = E (X 2)− E 2(X )

como

E (X 2) =

360∫0

x2 1

360dx =

[1

360

x3

3

]360

0

= 43200.

entao

Var(X ) = 43200− 1802 = 10800

ou ainda

DP(X ) =√Var(X ) =

√10800 = 103, 923



Resumindo: Segundo o modelo teorico, espera-se que o ponteiro dos se-gundos do relogio pare em media na posicao 180 com desvio padrao de103, 923.

Logo, um intervalo centrado na media e com dois desvios de amplitude edado por:

E (X )± DP(X ) = [76 ; 284]

com probabilidade de ocorrencia de

P(76 ≤ X ≤ 284) =284− 76

360∼= 58%



Exemplo 3 Cont.: Dada da fdp

f (x) =

2e−2x se x > 0;

0, se x ≤ 0.

a) Determine a fda;

b) Calcule a E (X ), Var(X ) e o DP(X ).



a) A fda e dada por

F (x) =

∫f (x)dx =

∫2e−2xdx = c − e−2x ,

e sabendo que

limx→∞

F (x) = 1 ⇔ limx→∞

(c − e−2x

)= 1 ⇒ c = 1.

Logo

F (x) =

1− e−2x se x > 0;

0, se x ≤ 0.



b) A E (X ) e dada por

E (X ) =

∞∫−∞

xf (x)dx =

∞∫0

x2e−2xdxu=e−2x

= −1

2

1∫0

ln(u)du =1

2,

e E (X 2) e dada por

E (X 2) =

∞∫−∞

x2f (x)dx =

∞∫−∞

x22e−2xdxu=e−2x

=1

4

1∫0

ln2(u)du =1

2,

portanto a Var(X ) e

Var(X ) = E (X 2)− E 2(X ) =1

2− 1

4=

1

4

Assim a E (X ) = 1/2 e a Var(X ) = 1/4.


Esperanca e variancia matematica Exercıcios

Exercıcios para o lar

5,8,9 e 10 – pagina 177 e 178.


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