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Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.ufrgs.br/~viali/

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Coleção de números = estatísticasColeção de números = estatísticas O número de carros vendidos no país O número de carros vendidos no país

aumentou em 30%. aumentou em 30%. A taxa de desemprego atinge, este mês, A taxa de desemprego atinge, este mês,

7,5%.7,5%. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje. Resultados do Carnaval no trânsito: 145 Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.mortos, 2430 feridos.

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Estatística: Estatística: uma definição

A ciência de coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar dados numéricos com o objetivo de tomar melhores decisões.

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Estatística (divisão)Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usados para organizar, resumir e apresentar dados numéricos.

A coleção de métodos e técnicas utilizados para estudar uma população baseado em amostras probabilísticas desta população.

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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO

Uma coleção de todos os possíveis elementos, objetos ou medidas de interesse.

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CENSOCENSO

Um levantamento efetuado sobre toda uma população é denominado de levantamento censitário ou simplesmente censo.

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AMOSTRAAMOSTRA

Uma porção ou parte de uma população de interesse.

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AMOSTRAGEMAMOSTRAGEM

O processo de escolha de uma amostra da população é denominado de amostragem.

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PROBABILIDADEPROBABILIDADE(Matemática)(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICAESTATÍSTICA(Matemática(Matemática

Aplicada)Aplicada) Multivariada

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POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE

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Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem

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Estatística x ProbabilidadeEstatística x Probabilidade

Faces Probabilidades Faces Freqüências1 1/6 1 152 1/6 2 183 1/6 3 234 1/6 4 255 1/6 5 226 1/6 6 17

Total 1 Total 120

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ArredondamentoArredondamento

Todo arredondamento é um erro.

O erro deve ser evitado ou então minimizado.

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ArredondamentoArredondamento

Regra básica:Arrendondar sempre para

o mais próximo.

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É ímpar

É parAumenta

Não aumenta

Exemplos:Exemplos:

1,456 1,46 1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,48

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VVAARRIIÁÁVVEEIISS

QUALITATIVASQUALITATIVAS

QUANTITATIVASQUANTITATIVAS

ORDINALORDINAL

NOMINALNOMINAL

DISCRETADISCRETA

CONTÍNUACONTÍNUA

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NOMINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

ORDINAL

ConceitoGrau de Instrução

MêsDia da semana

Variável QualitativaVariável Qualitativa

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Variável QualitativaVariável Qualitativa

Número de faltasNúmero de irmãosNúmero de acertos

AlturaÁreaPeso

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA

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ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA

Organização;

Resumo;

Apresentação.

Conjunto de dados:

Amostra

ou

População

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Um conjunto de dados é resumido de acordo com as seguintes características:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidade

Assimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ou

População

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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(a) As médias

Si

mples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna

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A média Aritmética (A média Aritmética (mean))

nxx

n1

nx...xxx

ii

n21

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A média GeométricaA média Geométrica

ni

nn21g

x

x ... .x.xm

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A média HarmônicaA média Harmônica

xxxx

xxx

m

in

n

h

n ...

n

n

...

1111

1111

21

21

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A média QuadráticaA média Quadrática

nx

nx...xxm

2i

2n

22

21

q

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A média Interna (A média Interna (trimmed mean))

É a mesma média aritmética só

que aplicada sobre o conjunto onde uma parte dos dados (extremos) é descartada.

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Conjuntos mgmh

4 6 5 4,9 4,8

1 9 5 3 1,8

xMédias

ExemploExemplo

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Relação entre as médiasRelação entre as médias

Dado um conjunto de dados

qualquer, as médias aritmética, geométrica e harmônica mantém a seguinte relação:

mm hgx

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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(a) As médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

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A média Aritmética PonderadaA média Aritmética Ponderada

wwx

wwwwxwxwxm

i

ii

k

kkap

.

.........

21

2211

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A média Geométrica PonderadaA média Geométrica Ponderada

w w

w w ... .w.w

i ii

i kkgp

x

xxxm 2211

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A média Harmônica PonderadaA média Harmônica Ponderada

xww

xw

xw

xw

wwwm

i

i

i

k

k

kP

...h

2

2

1

1

21

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A média Quadrática PonderadaA média Quadrática Ponderada

∑ w∑ xw

=w+...+w+w

xw+...+xw+xw=m

i

2i

k21

2kk

222

21

qpi1

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Produtos p01 p02 q

Carne 4,80 5,52 5 kg

Cana 5,20 4,94 1 l

Ceva 0,80 0,92 12 ltPão 1,50 2,10 2 u

Total -- -- --

ExemploExemplo

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P p01 p02 p(0,t)

1 4,80 5,52 0,58 1,15

2 5,20 4,94 0,12 0,95

3 0,80 0,92 0,23 1,15

4 1,50 2,10 0,07 1,40

Total -- -- 1,00 --

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114,31%=1,1431 =

=07,0+23,0+12,0+57,0

07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map

Média aritmética ponderada dos relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 14,31%.

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Média geométrica ponderada dos relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 13,90%.

%90,113=1390,1 = =40,115,195,015,1 =

=40,115,195,015,1=m07,023,012,058,0

1 07,023,012,058,0gp

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Média harmônica ponderada dos relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 13,48%.

%48,113=1348,1=

=

40,107,0

+15,123,0

+95,012,0

+15,158,0

1=mhP

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Tendência ou Posição CentralTendência ou Posição Central

(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar

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Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de

dados pode ser levada adiante. Se ele for repartido em 4 partes tem-se os QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em 100 os PERCENTIS.

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Considere o seguinte conjunto:1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 4 3 5Então: me = x4 = 2

ExemploExemplo

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Se o conjunto for:1 -1 0 4 2 5 3 -2

Tem-se: n = 8 (par)Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50

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(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).

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Considere o conjunto0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete (três vezes).

ExemploExemplo

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Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

Conjunto bimodal

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Considere o conjunto:

0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois todos os valores apresentam a mesma freqüência.

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(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou VariabilidadeDispersão ou Variabilidade

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h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)

Considere o conjunto:

-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7

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A média é:

155

553021

x

O dma (average deviation)

Considere o conjunto:

-2 -1 0 3 5

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Calculando os desvios: xxi

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4

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Como pode ser visto a soma é igual a zero. Tomando o módulo vem:

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

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Se ao invés de tomar o módulo, elevarmos ao quadrado, tem-se:

8065

345

164149

542123 22222

22

,

((

ni

)))(

)xx(s

A variância (variance)

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ni

nn....

)xx(

)xx()xx()xx(s

2

2222 21

A variância de um conjunto de dados será:

xxs ni2 22

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É a raiz quadrada da variância

xnx

n)xx(s 2

2i

2i

O Desvio Padrão (standard deviation)

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Se extrairmos a raiz quadrada teremos do resultado anterior teremos o desvio padrão:

61,280,6n

)xx(s i2

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g2 = s2 / x2

g = s / x

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação

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O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2xsg