Estatística (divisão) População - pucrs.br · Estatística Descritiva Probabilidade Estatística Indutiva Amostragem. 3 Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática- Departamentode

1

Prof. Lorí Viali, [email protected]

http://www.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Coleção de números = estatísticas

� O número de carros vendidos no país

aumentou em 30%.

� A taxa de desemprego atinge, este mês, 7,5%.

� As ações da Telebrás subiram R$ 1,5, hoje.

� Resultados do Carnaval no trânsito: 145

mortos, 2430 feridos.


Estatística: uma definição

A ciência de coletar, organizar,

apresentar, analisar e interpretar

dados numéricos com o objetivo de

tomar melhores decisões.


Estatística (divisão)

Descritiva

Indutiva

Os procedimentos usados paraorganizar, resumir e apresentardados numéricos.

A coleção de métodos etécnicas utilizados para estudaruma população baseado emamostras probabilísticas destapopulação.


População

Uma coleção de todos os

possíveis elementos, objetos ou

medidas de interesse.

2


Censo

Um levantamento efetuado sobre

toda uma população é denominado de

levantamento censitário ou

simplesmente censo.


Amostra

Uma porção ou parte de

uma população de interesse.


Amostragem

O processo de escolha de

uma amostra da população é

denominado de amostragem.


PROBABILIDADE(Matemática) Univariada

ESTATÍSTICA(Matemática

Aplicada)Multivariada

POPULAÇÃO(Censo)

AMOSTRA(Amostragem)

InferênciaErro

PROBABILIDADE

Estatística Descritiva

Probabilidade

Estatística Indutiva

Amostragem

3


Estatística x Probabilidade

Faces Probabilidades Faces Frequências

1 1/6 1 15

2 1/6 2 18

3 1/6 3 23

4 1/6 4 25

5 1/6 5 22

6 1/6 6 17

Total 1 Total 120


Arredondamento

Todo arredondamento é um

erro.

O erro deve ser evitado ou

então minimizado.


Regra básica:

Arrendondar sempre para o

mais próximo.


Exemplos:

1,456 1,46

1,454 1,45

1,475 1,48

1,485 1,48


V

A

R

I

Á

V

E

I

S

QUALITATIVAS

QUANTITATIVAS

ORDINAL

NOMINAL

DISCRETA

CONTÍNUA


NOMINAL

SexoReligião

Estado civil Curso

ORDINAL

Conceito

Grau de Instrução

Mês

Dia da semana

Variável Qualitativa

4


Variável Quantitativa

Número de faltas

Número de irmãos

Número de acertos

Altura

Área

Peso

Volume

CONTÍNUA

DISCRETA



Estatística Descritiva

Organização;

Resumo;

Apresentação.

Conjunto de dados:

�Amostra

ou

�População


Um conjunto de dados é resumido deacordo com as seguintes características:

Tendência ou posição central

Dispersão ou variabilidade

Assimetria (distorção)

Achatamento ou curtose

Amostra ouPopulação


Tendência ou Posição Central

(a) As médias

Si

mples

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática

Interna


A média Aritmética (mean)

nn

1

n

...x

xx

xxx

ii

n21

∑∑ ==

=+++

=

5


A média Geométrica

ni

nn21g

x

x ... .x.xm

∏=

==


A média Harmônica

∑=

+++

=

=

+++

=

xxxx

xxx

m

in

n

h

n

...

n

n

...

1111

1111

21

21


A média Quadrática

nx

nx...xx

m

2i

2n

22

21

q

∑=

=++

=


A média Interna (trimmed mean)

É a mesma média aritmética só

que aplicada sobre o conjunto onde

uma parte dos dados (extremos) é

descartada.


Conjuntos mg mh

4 6 5 4,9 4,8

1 9 5 3 1,8

x

Médias

Exemplo


Relação entre as médias

Dado um conjunto de dados qualquer,

as médias aritmética, geométrica e

harmônica mantém a seguinte relação:

mm hgx ≥≥

6



(a)As

médias

Ponderadas

Aritmética

Geométrica

Harmônica

Quadrática


A média Aritmética Ponderada

∑∑

=

=+++

+++=

wwx

wwwwxwxwx

m

i

ii

k

kkap

.

...

......

21

2211


A média Geométrica Ponderada

∑=

=∑

=

∏w w

w w ... .w.w

i ii

i kkgp

x

xxxm 22

11


A média Harmônica Ponderada

∑

∑

+

=

=

+++

+=

xww

xw

xw

xw

wwwm

i

i

i

k

k

kP

...h

2

2

1

1

21


A média Quadrática Ponderada

∑w

∑ xw=

w+...+w+w

xw+...+xw+xw=m

i

2i

k21

2kk

222

21

qpi1


Produtos p01 p02 q

Carne 4,80 5,52 5 kg

Cana 5,20 4,94 1 l

Ceva 0,80 0,92 12 lt

Pão 1,50 2,10 2 u

Total -- -- --

Exemplo:

7


Produtos p01 p02 α p(0,t)

1 4,80 5,52 0,58 1,15

2 5,20 4,94 0,12 0,95

3 0,80 0,92 0,23 1,15

4 1,50 2,10 0,07 1,40

Total -- -- 1,00 --


114,31%=1,1431 =

=07,0+23,0+12,0+57,0

07,0.40,1+23,0.15,1+12,0.95,0+58,0.15,1=map

Média aritmética ponderada dos

relativos (aumentos) será:

Por este critério o aumento foi de 14,31%.


Média geométrica ponderada dos relativos

(aumentos) será:


%90,113=1390,1 =

=40,115,195,015,1 =

=40,115,195,015,1=m

07,023,012,058,0

1 07,023,012,058,0gp


Média harmônica ponderada dos

relativos (aumentos) será:


%48,113=1348,1=

=

40,107,0

+15,123,0

+95,012,0

+15,158,0

1=m h P



(b) A mediana (median)

me = [x(n/2) + x(n/2)+1]/2 se “n” é par

É o valor que separa o conjunto em

dois subconjuntos do mesmo tamanho.

me = x(n+1)/2 se “n” é ímpar


Separatrizes

A idéia de repartir o conjunto de

dados pode ser levada adiante. Se ele for

repartido em 4 partes tem-se os

QUARTIS, se em 10 os DECIS e se em

100 os PERCENTIS.

8


Considere o seguinte conjunto:

1 -1 0 4 2 5 3

Como n = 7 (ímpar), então x(n+1)/2 = x4

Ordenando o conjunto, tem-se:

-1 0 1 2 4 3 5

Então: me = x4 = 2

Exemplo


Se o conjunto for:

1 -1 0 4 2 5 3 -2Tem-se: n = 8 (par)

Então me = [xn/2+xn/2+1)]/2 = (x4 + x5)/2

Ordenando o conjunto, tem-se:

-2 -1 0 1 2 3 4 5

me = (x4 + x5)/2 = (1 + 2)/2 = 1,50


(c) A moda (mode)

É o(s) valor(es) do conjunto que

mais se repete(m).


Considere o conjunto

0 1 1 2 2 2 3 5

Então: mo = 2

Pois, o dois é o que mais se repete

(três vezes).

Exemplo


Considere o conjunto:

0 1 1 2 2 3 5

Então: mo = 1 e mo = 2

O conjunto é bimodal.



0 1 2 3 4 5 7

Este conjunto é amodal, pois

todos os valores apresentam a mesma

frequência.

9


(a) A amplitude (h)

(b) O Desvio Médio (dma)

(c) A Variância (s2)

(d) O Desvio Padrão (s)

(e) A Variância Relativa (g2)

(f) O Coeficiente de Variação (s)

Dispersão ou Variabilidade


h = xmáx - xmín

A Amplitude (range)


-2 -1 0 3 5

h = 5 – (-2) = 7


A média é:

15

5

5

53021==

+++−−=x

O dma (average deviation)


-2 -1 0 3 5


Calculando os desvios: xxi −

Tem-se: d1 = -2 – 1 = -3

d2 = -1 – 1 = -2

d3 = 0 – 1 = -1

d4 = 3 – 1 = 2

d5 = 5 – 1 = 4


Como pode ser visto a soma é igual

a zero. Tomando o módulo vem:

40,25

125

|4||2||1||2||3|n

|xx|dma i

==

=++++−+−+−

=

=∑ −

=


Se ao invés de tomar o módulo,

elevarmos ao quadrado, tem-se:

8065

34

5

164149

542123 22222

22

,

((

ni

)))(

)xx(s

==++++

=

=+++

=

==

+−−−

∑ −

A variância (variance)

10


ni

nn....

)xx(

)xx()xx()xx(s

∑ −

−−−

=

=+++

=

2

2222 21

A variância de um conjunto de dadosserá:

xx

sn

i2 22

−=∑


É a raiz quadrada da variância.

xn

x

n

)xx(s 2

2i

2i −

∑=

∑ −=

O Desvio Padrão (standard deviation)


Se extrairmos a raiz quadrada

teremos do resultado anterior teremos o

desvio padrão:

61,280,6n

)xx(s i

2==

∑ −=


g2 = s2 / x 2

g = s / x

A Variância Relativa

O Coeficiente de Variação


O coeficiente de variação do

exemplo anterior, será:

%77,2601

6077,2

x

sg ===


11


Organização;

Resumo;

Apresentação.

Amostra ou

População

Grande Conjuntos de Dados


Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Lascado MenorDesenho Maior

Torto LascadoDesenho EsmalteTorto EsmalteLascado LascadoTorto DesenhoMaior MenorMenor MaiorDesenho Torto

................... ....................

Defeitos em uma linha de produção


Defeito Freqüência %Desenho 71 14,20

Esmalte 95 19,00

Lascado 97 19,40

Maior 70 14,00

Menor 83 16,60

Torto 57 11,40

Trincado 27 5,40

TOTAL 500 100

Distribuição de freqüências

12


SIMPLES

ACUMULADAS

Absoluta

Relativa

Absoluta

Relativa

FREQÜÊNCIAS

Percentual

Apresentação

Percentual

Decimal

Decimal


Valores fi Fi fri fri Fri

0 60 60 0,30 30 30

1 50 110 0,25 25 55

2 40 150 0,20 20 75

3 30 180 0,15 15 90

4 10 190 0,05 5 95

5 6 196 0,03 3 98

6 4 200 0,02 2 100

Total 200 — 1,00 100 —

Frequências: representação



Defeitos em uma linha de produção

14%

20%

19%14%

17%

11%5%

Desenho

Esmalte

Lascado

Maior

Menor

Torto

Trincado


13


Número de irmãos dos alunos da turma G

Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01

0 1 1 6 3 1 3 1 1 0

4 5 1 1 1 0 2 2 4 1

3 1 2 1 1 1 1 5 5 6

4 1 1 0 2 1 4 3 2 2

1 0 2 1 1 2 3 0 1 0



Distribuição de frequências por ponto ou

valores da variável: “Número de irmãos

dos alunos da turma G” da disciplina:

Estatística Aplicada - PUCRS - 2011/01.


N0 de irmãos N0 de alunos0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50


Diagrama de colunas simples da variável:

Número de irmãos dos alunos da

turma G Disciplina: Estatística

Aplicada, PUCRS - 2011/01

14


0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6



Neste caso, a média a dada por:

nx.f

f...ff

x.f...x.fxfx ii

k21

kk2211 ∑=

+++

+++=

A média Aritmética


xi fi fixi0 7 01 21 212 8 163 5 154 4 165 3 156 2 12∑ 50 95

Exemplo:


A média será, então:

irmãos 90,150

95

nx.f x ii ==

∑=

15


Como n = 50 é par, tem-se:

irmão

2 me

xx

xxxx )/(/)/n(/n

12

11

2

2

2625

1250250122

=+

=+

=

=+

=+

=++

A Mediana


Total de dados n = 50 (par)

xi fi Fi

0 7 7

1 21 28

2 8 36

3 5 41

4 4 45

5 3 48

6 2 50

∑∑∑∑ 50 —

Metade dos dados n/2 = 25

Exemplo:


mo = valor(es) que mais se repete(m)

A Moda


xi fi

0 71 212 83 54 45 36 2∑ 50

A moda é igual a1 (um)

Pois ele se repete mais

vezes

Exemplo


h = xmáx - xmín

h = 6 - 0 = 6 irmãos.

A Amplitude

16


Neste caso, o dma será dado por:

n

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio


xi fi fi|xi - |

0 7 7.|0 – 1,90| = 13,301 21 21.|1 – 1,90| = 18,90 2 8 8.|2 – 1,90| = 0,803 5 5.|3 – 1,90| = 5,504 4 4.|4 – 1,90| = 8,40

5 3 3.|5 – 1,90| = 9,30 6 2 2.|6 – 1,90| = 8,20

∑∑∑∑ 50 64,40

x

Exemplo:


O dma será, então:

irmãos 29,150

40,64

n

|xx|.f dma ii ==−∑

=


xn

xfn

)xx(f

n)xx(f....)xx(f)xx(f

s

22ii

2i

2k

22

2

2

i

k211

−∑

=∑ −

=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

A Variância


xi fi fixi2

0 7 02.7 = 01 21 12.21 = 212 8 22.8 = 323 5 32.5 = 454 4 42.4 = 645 3 52.3 = 756 2 62.2 = 72

∑∑∑∑ 50 299

Exemplo:


A variância será, então:

irmãos 3700,2

90,150

299 x

n

xfs

2

22

2

i2 i

=

=−=−∑

=

17


O desvio padrão será dado por:

irmãos 1,54 1,5395

3700,2xn

xfs 22ii

≅=

==−∑

=

O Desvio Padrão


Dividindo o desvio padrão pela

média pelo, tem-se o coeficiente de

variação:

%03,8190,1

539480,1g ==



Idade (em meses) dos alunos

da turma G da disciplina:

Probabilidade e Estatística -

PUCRS - 2011/01


276 245 345 240 270 310 368

334 268 288 336 299 236 239 355 330

287 344 300 244 303 248 251 265 246

240 320 308 299 312 324 289 320 264

252 298 315 255 274 264 263 230 303

369 247 266 275 281 230 234


18


Distribuição por classes ou intervalos da

variável “idade dos alunos da turma G”

da disciplina: Probabilidade e Estatística

da PURCRS - 2011/01.


Idades Número de alunos

230 |--- 250 12250 |--- 270 9270 |--- 290 8290 |--- 310 7310 |--- 330 6330 |--- 350 5350 |--- 370 3

Total 50


Histograma de frequências da

variável “Idade dos alunos da turma

G” de Probabilidade e Estatística da

PUCRS - 2011/01.


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

2 3 0 | - - - 2 50 2 50 | - - - 2 70 2 70 | - - - 2 9 0 2 9 0 | - - - 3 10 3 10 | - - - 3 3 0 3 3 0 | - - - 3 50 3 50 | - - - 3 70

fi / hi


19


Antes de apresentar as medidas, i. é,

representantes do conjunto, é necessário

estabelecer uma notação para alguns

elementos da distribuição.



xi = ponto médio da classe;

fi = frequência simples da classe;

lii = limite inferior da classe;

lsi = limite superior da classe;

hi = amplitude da classe.


xi fi xi

230 |--- 250 12 240250 |--- 270 9 260270 |--- 290 8 280290 |--- 310 7 300310 |--- 330 6 320330 |--- 350 5 340350 |--- 370 3 360

∑∑∑∑ 50 —

O Ponto Médio da Classe


xi fi fi. xi

240 12 2880260 9 2340280 8 2240300 7 2100320 6 1920340 5 1700360 3 1080

∑∑∑∑ 50 14260

A Média da Distribuição

20


A média será:

meses 20,28550

14260

nx.f x ii

==∑

=

Exemplo:


Neste caso, utilizam-se as

frequências acumuladas para identificar

a classe mediana, i. é, a que contém o(s)

valor(es) central(is).

A Mediana


Total de dados n = 50 (par)

Metade dos dados n/2 = 25

xi fi Fi

230 |--- 250 12 12250 |--- 270 9 21270 |--- 290 8 29290 |--- 310 7 36310 |--- 330 6 42330 |--- 350 5 47350 |--- 370 3 50

∑∑∑∑ 50 —

Exemplo:


Portanto, a classe mediana é a

terceira. Assim i = 3. A mediana será

obtida através da seguinte expressão:


meses 2808

420 270

8

212

50

20702

8

212

50

20702 f

F2n

hli mi

1i

iie

=+=

−

+=

=

−

+=

−

+=−


Neste caso é preciso inicialmente

apontar a classe modal, i. é, a de maior

freqüência. Neste exemplo é a primeira

com fi = 12. Assim i = 1.

A Moda

21


Classe modal, pois

fi = 12.

i xi fi

1 230 |--- 250 122 250 |--- 270 93 270 |--- 290 84 290 |--- 310 75 310 |--- 330 66 330 |--- 350 57 350 |--- 370 3

— ∑∑∑∑ 50

Exemplo


Portanto a moda poderá ser

obtida através de uma das seguintes

expressões:


Critério de King:

meses 250 9

9.20023

90

9.20302

ff

fhli m

1i 1i

1iiio

=

+=

=

++=

++=

− +

+


Critério de Czuber:

meses 246 16230

924

12.20023

)90(12.2

012.20302

)ff(f.2

ffhli m

1ii

i

1i

1iiio

=+=

=

−+=

=

+−

−+=

=

+−

−+=

− +

−


h = xmáx - xmín

h = 370 - 230 = 140 meses

A Amplitude

22


Neste caso, o dma será dado por:

n

|xx|.f

f...ff

|xx|f...|xx|f|xx|fdma

ii

k21

k21 k21

−∑=

=+++

−++−+−=

O Desvio Médio Absoluto


xxi fi fi.|xi - |

240 12 12.|240 – 285,20| = 542,40260 9 9.|260 – 285,20| = 226,80 280 8 8.|280 – 285,20| = 41,60300 7 7.|300 – 285,20| = 103,60320 6 6.|320 – 285,20| = 208,80340 5 5.|340 – 285,20| = 274,00360 3 3.|360 – 285,20| = 224,40

∑∑∑∑ 50 1621,60

Exemplo


O dma será, então:

meses 32,43

50

60,1621

n

|xx|.f dma ii

=

==−∑

=


xn

xfn

)xx(f

n

)xx(f....)xx(f)xx(fs

22ii

2i

2k

22

2

2

i

k211

−∑

=∑ −

=

=−++−+−

=

Neste caso, a variância será:

A Variância


xi fi fi. xi2

240 12 12.2402 = 691200 260 9 9.2462 = 608400280 8 8.2802 = 627200300 7 7.3002 = 630000320 6 6.3202 = 614400340 5 5.3402 = 578000360 3 3.3602 = 388800

∑∑∑∑ 50 4 138 000

Exemplo


A variância será, então:

meses 420,961

20,28550

4138000

xn

xfs

2

2

2

2

i2 i

=

=−=

=−∑

=

23


O desvio padrão será dado por:

meses 37,70 37,6956

96,1420xn

xfs 22ii

≅=

==−∑

=

O Desvio Padrão


Dividindo o desvio padrão pela

média, tem-se o coeficiente de variação:

%22,1320,285

695623,37g ==



Skewness


Primeiro Coeficiente ( de Pearson)

a1 = (Média - Moda) / Desvio Padrão

Segundo Coeficiente ( de Pearson)

a2 = 3.(Média - Mediana) / Desvio Padrão


Coeficiente Quartílico

CQA =[(Q3 - Q2) - (Q2 - Q1)]/(Q3 - Q1)

Coeficiente do Momento

a3 = m3/s3, onde m3 = Σ(X - )3/nx


Coeficiente = 0

Conjunto SimétricoProvão 2000

Curso: Odonto

24


Coeficiente < 0

Conjunto: Negativamente Assimétrico

Provão 2000

Curso: Jornalismo


Coeficiente > 0

Conjunto: Positivamente Assimétrico

Provão 2000

Curso: Eng. Elétrica


(Kurtosis)


Coeficiente de Curtose (momentos)

xa4 = m4/s4, onde m4 = Σ(X - )4/n


Provão 2000

Curso: Odonto

Coeficiente = 3 ou 0

Conjunto: Mesocúrtico


Coeficiente > 3 ou (> 0)

Conjunto: Leptocúrtico

Provão 2000

Curso: Matemática

25


Coeficiente < 3 ou (< 0)

Conjunto: Platicúrtico

Provão 1999

Curso: Eng. Civil



Então:

Se y = ax +b

b+xa=y

sa=s 2x

22y

s|a|=s xy



Análise Exploratória de Dados

As técnicas de análise exploratória de

dados consistem em gráficos, simples de

desenhar, que podem ser utilizados para resumir

rapidamente um conjunto de dados. Uma destas

técnicas é uma forma de apresentação de dados

conhecida como Caule e Folha.


Apresentação Caule e Folha

Para ilustrar esta forma de

apresentação vamos supor que o conjunto a

seguir é o resultado de um teste do tipo

Psicotécnico de 100 questões aplicados a 40

candidatos a um emprego em uma grande

organização industrial.

26


44 53 67 89 98 37 60 55

48 88 47 65 82 85 90 74

41 61 72 73 77 81 60 89

52 90 62 64 66 59 50 65

50 40 93 79 55 49 56 73

Resultado de um teste, do tipo Psicotécnico de

100 questões, aplicado a 40 candidatos.

Exemplo


3 7

4 0 1 4 7 8 9 9

5 0 0 2 3 5 5 6 9

6 0 0 1 2 4 5 5 6 7

7 2 3 3 3 4 7 9

8 1 2 5 5 8 8 9

9 0 0 3 8

Ramo e Folhas


Girando a representação 90 graus tem-

se um diagrama semelhante a um

histograma. Esta representação possui duas

vantagens sobre o histograma:

É mais fácil de construir;

Apresenta os dados reais.


1565 1790 1644 1679 2008

1675 1900 1832 1756 1766

1580 1945 1733 1922 1854

1975 1870 1812 1954 1888

1634 1785 1855 2044 1965

Faça um representação utilizando a

dezena como unidade de folha.

Exercício


BoxPlot – Caixa e Bigodes

Outra forma de ter uma ideia do

conjunto de dados é utilizar a regra dos

cinco itens. Nem sempre a média e o desvio

padrão são as melhores alternativas para

resumir um conjunto de dados.


A média e o desvio padrão podem

sofrer forte influência de valores extremos

e além disso não fornecem uma idéia da

assimetria do conjunto de dados. Como

alternativa as seguintes cinco medidas são

sugeridas (Tukey, 1977):

27


(i) A mediana;

(ii) Os extremos (máximo e mínimo);

(iii) Os quartis.

Estas cinco medidas são denominadas

de estatísticas de ordem.


Representação

A informação fornecida por estes cinco

números pode ser representada em um

diagrama denominado de “Diagrama Caixa

e Bigode” (BoxPlot). O desenho fornece

uma idéia da posição, dispersão, assimetria

e dados discrepantes do conjunto (outliers).


Traçar um retângulo tendo como extremos

os quartis e englobando a mediana. Calcular a

distância interquartil, isto é: DQ = Q3 – Q1

Determinar os limites dos pontos

discrepantes: Q1 – 1,5 DQ

Q3 + 1,5 DQ


Qualquer valor abaixo de Q1 – 1,5 DQ ou

acima de Q3 + 1,5 DQ será considerado um

valor discrepante (outlier). Para obter o

diagrama caixa e bigode (boxplot) traçar duas

linhas a partir do centro do retângulo e em lados

opostos até o último ponto do conjunto que não

seja um ponto discrepante.


BoxPlot

x xx

Q1 Q2 Q3

D5,1+Q Q3DQD5,1-Q Q1


3 5 7 5 3 6 8 5 2

4 5 5 6 9 8 6 8 1

7 12 4 8 7 4 6

Obtenha o diagrama Caixa e Bigode para o

número de paradas semanais para manutenção de

uma máquina.

Exemplo:

28


Mínimo 1

Quartil um 4

Mediana 6

Quartil três 7

Máximo 12

Os cinco valores são:

Exemplo

Os demais são:

D 7 – 4 = 3

Q1- 1,5D -0,5

Q3 + 1,5D 11,5

Outlier 12


BoxPlot

12

4=Q1 6=Q2 7=Q3

5,11=D5,1+Q Q33=DQD5,1-Q=5,0- Q1

91


Wilfredo Pareto

O Diagrama de Pareto é uma

homenagem ao engenheiro, filósofo, sociólogo

e economista italiano Vilfredo Frederico

Samaso Pareto (1848 - 1923). Pareto foi um

dos pioneiros na aplicação de análises

matemáticas ao estudo dos fenômenos sócio-

econômicos.Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Wilfredo enunciou, em 1897, o que

passou a ser conhecido como “Principio de

Pareto” que afirma: “80% das dificuldades

tem origem em 20% dos problemas”. Este

principio poderia ser colocado como existem

muitos itens triviais mas poucos vitais.


Diagrama

O Diagrama de Pareto é um gráfico

de colunas simples, onde a variável está

em ordem de importância frequência de

ocorrência ou custo) dos problemas ou

defeitos.


Normalmente o diagrama envolve a

frequência simples combinada com a

frequência acumulada em um único

gráfico. É, também, comum a colocação de

um sistemas de eixos X’Y’ auxiliares.

29


Exercício:

Considerando os dados sobre o

“Número de defeitos” numa linha de

produção de azulejos, construa o Diagrama

de Pareto para a distribuição dada.


Defeitos Número de Azulejos

Desenho 71

Esmalte 95

Lascado 97

Maior 70

Menor 83

Torto 57

Trincado 27

Total 500


Solução:

Ordenando as frequências dadas e

calculando as frequências relativas e

relativas acumuladas, tem-se:


Ordenando as frequências, tem-se:

Defeitos Número de Azulejos

Lascado 97

Esmalte 95

Menor 83

Desenho 71

Maior 70

Torto 57

Trincado 27

Total 500


Calculando as demais frequências:

Defeitos % de azulejos Freq. acumulada

Lascado 19,4 19,4

Esmalte 19,0 38,4

Menor 16,6 55,0

Desenho 14,2 69,2

Maior 14,0 83,2

Torto 11,4 94,6

Trincado 5,4 100,0

Total 100 ----Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática - Departamento de Estatística - PUCRS

Diagrama de Pareto

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Lascado Esmalte Menor Desenho Maior Torto Trincado

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

%20

%80

30


Posições Relativas

A média e o desvio padrão são as duas

principais medidas utilizadas para descrever

um conjunto de dados. Elas, também,

podem ser utilizadas para comparações, isto

é, para fornecer a posição relativa de um

valor em relação ao conjunto como um todo.


O escore “z”

Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra de “n”

observações. Sejam e “s” a média e o

desvio padrão da amostra. Então o escore zi

é o valor que fornece a posição relativa de

cada xi da amostra, tendo como ponto de

referência a média e como medida de

afastamento o desvio padrão.

x


O escore “z”

s

x-xz i

i=

O escore z fornece o número de

desvios padrão que cada valor está acima ou

abaixo da média. O escore –1,5, significa

que este valor está um desvio e meio abaixo

da média.


O escore Z é também uma

variável, que é obtida pela

transformação da amostra original. Ela

apresenta média igual a zero e desvio

padrão igual a um.


Exemplo

Considere o seguinte amostra:

36 39 38 41 45 44 35 48 35 40

40 40 36 41 37 38 37 39 39 44

42 42 39 43 42 41 39 41 35 40

44 36 40 37 40 36 39 47 40 43

34 45 38 42 46 41 43 37 38 38


0

1

2

3

4

5

6

7

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

37,0-Curtose

33,0Assimetria

=

=

31


Calcular os escores “z” para cada

valor da amostra. Representar os valores

da amostras e os escores em diagramas

para verificar se houve alteração no

formato da distribuição dos dados.


Solução:

A média e o desvio padrão da amostra são:

40 e 3,2619. Então os escores padronizados serão:

0,3066 0,9197 -0,9197 -0,6131 -0,6131

-1,2263 -0,3066 -0,6131 0,3066 1,5328

1,2263 -1,5328 2,4526 -1,5328 0,0000

0,0000 0,0000 -1,2263 0,3066 -0,9197

-0,6131 -0,9197 -0,3066 -0,3066 1,2263

0,6131 0,6131 -0,3066 0,9197 0,6131

0,3066 -0,3066 0,3066 -1,5328 0,0000

1,2263 -1,2263 0,0000 -0,9197 0,0000

-1,2263 -0,3066 2,1460 0,0000 0,9197

-1,8394 1,5328 -0,6131 0,6131 1,8394


0

1

2

3

4

5

6

7

-1,84 -1,23 -0,61 0,00 0,61 1,23 1,84 2,45

31,0-Curtose

37,0Assimetria

=

=


Propriedades:

A média do escore padronizado é zero;

O desvio padrão do escore padronizado

é um.

A forma da distribuição do escore

padronizado é a mesma dos dados

originais.


Escalas:

O escore Z não é utilizado

normalmente da forma como é calculado.

É comum a utilização de uma escala linear

de transformação. As duas mais utilizadas

são:


Escalas

A escala T que é obtida através da

seguinte transformação

T = 10.Z + 50

A escala “A” que é utilizada nos

vestibulares é obtida por:

A = 100.Z + 500

32


Teorema de Chebyshev

O teorema de Chebyshev permite

verificar qual é o percentual mínimo de

valores de um conjunto de dados que

deve estar um “certo número” de desvios

em torno da média.


Em qualquer conjunto de dados com

desvio padrão “s”, pelo menos

(1 – 1/z2) dos valores do conjunto devem

estar entre “z” desvios em torno da média,

onde “z” é um valor tal que

z > 1.


Exemplos:

Assim pelo menos:

75% dos valores estão dentro de z = 2

desvios a partir da média;


desvios a contar da média;


desvios a contar da média.


1 - 1/4 = 75%.

S2<X-X

Documents

Estatística (divisão) População - pucrs.br · Estatística Descritiva Probabilidade Estatística Indutiva Amostragem. 3 Prof. Lorí Viali, Dr. – FAculdade de Matemática- Departamentode