Estatística Erros e var. aleatórias Erros e variáveis aleatórias 1 -tipos dos erros, exactidão e precisão -variáveis aleatórias e seus tipos -função de

EstatísticaErros e var. aleatórias

Erros e variáveis aleatórias

1

-tipos dos erros, exactidão e precisão

-variáveis aleatórias e seus tipos

-função de distribuição cumulativa

-função de distribuição de probabilidade, e função densidade de probabilidade

-distribuições conjuntas de duas variáveis aleatórias

-valor de esperança matemática e suas propriedades

-variância e suas propriedades, covariância

-desigualdades de Markov e Chebyshev

Pontos mais importantes:


Revisão sugerida:

- Integração de funções simples (linear, exponencial)

- Integração de funções simples com duas variáveis

- Definição de funções matemáticos

- Definição de valor médio de uma função contínua

2


Em qualquer área de estudos de que resultem valores numéricos, é essencial uma estimativa dos erros associados à medição, sem isso temos pouca informação.

3

-a concentração de ácido láctico em duas mostras de iogurte produzido pela lactobacilos “A” e “B” são 100mg/l e 107 mg/l respectivamente. Se o erro de determinação for 1 mg/l as amostras são diferentes? E se o erro de determinação for 10 mg/l?

- Em quatro réplicas da mesma titulação resultam consumos de 24.69, 24.73, 24.77 e 25.39 ml. Podemos desprezar o último valor?


4

Tipos dos erros:

-erro grosso: um erro muito sério, a experiência tem que ser repetida

-erro aleatório: resultados individuais andam à volta do valor verdadeiro sem uma sequência previsível. A grandeza deste tipo do erro determina a precisão da experiência. É impossível eliminar, mas pode ser facilmente quantificado.

-erro sistemático: desvio de medição do valor verdadeiro no mesmo sentido. O termo correspondente a este erro chama-se exactidão. Geralmente é difícil identificar.

erro aleatório

erro sistemáticoincerteza


5

Exemplo: 4 alunos (A-D) titularam exactamente 10ml de 0.1M NaOH com exactamente 0.1 HCl. A experiência foi repetida 5 vezes.

10.00 10.309.70

Resultado correcto

A

B

C

D

ml

Preciso, não exacto

Não preciso, exacto

Não preciso, não exacto

Preciso, exacto


6

Objectivos da análise estatística:

-cuidadoso planeamento das experiências

-análise dos resultados e quantificação dos erros


7

Variáveis aleatórias (v.a.):

o resultado (quantidade) de uma experiência (estatística) não se conhece antecipadamente, pois pode ter vários valores, mas se conhece as probabilidades de ocorrência, chama-se a isto uma variável aleatória.

Seja X o total do lançamento de dois dados honestos:P { X = 2} = P{( 1, 1)} = 1/ 36P { X = 3} = P{( 1, 2),( 2, 1)} = 2/ 36P { X = 4} = P{( 1, 3),( 2, 2),( 3, 1)} = 3/ 36P { X = 5} = P{( 1, 4),( 2, 3),( 3, 2),( 4, 1)} = 4/ 36P { X = 6} = P{( 1, 5),( 2, 4),( 3, 3),( 4, 2),( 5, 1)} = 5/ 36P { X = 7} = P{( 1, 6),( 2, 5),( 3, 4),( 4, 3),( 5, 2),( 6, 1)} = 6/ 36P { X = 8} = P{( 2, 6),( 3, 5),( 4, 4),( 5, 3),( 6, 2)} = 5/ 36P { X = 9} = P{( 3, 6),( 4, 5),( 5, 4),( 6, 3)} = 4/ 36P { X = 10} = P{( 4, 6),( 5, 5),( 6, 4)} = 3/ 36P { X = 11} = P{( 5, 6),( 6, 5)} = 2/ 36P { X = 12} = P{( 6, 6)} = 1/ 36


8

Tipos de variáveis aleatórias:

-discreta: variável aleatória que só pode ter um número de valores numeráveis

e.g. seja Y o número de vezes que se lança uma moedahonesta até sair coroa.P{ Y = 1} = 1/ 2P{ Y = 2} = 1/ 4...P{ Y = n } = ½ (½) n -1

Y só pode assumir valores inteiros positivos; Os p Y n formam uma sequência infinita numerável. X e Y são variáveis aleatórias discretas.

-contínua: pode assumir qualquer valor real positivo, o seu domínio tem a potência do contínuo

e.g. duração da vida de uma automóvel


9

Função de distribuição cumulativa:

Para descrever variáveis aleatórias e as suas probabilidades é muito útil definir a função F de uma variável aleatória X,

F=P(Xx) x

F é a probabilidade de X ter um valor menor ou igual a x.

Usando a Função de distribuição cumulativa podemos determinar todas

as probabilidades. Suponha que queremos calcular a probabilidade de

P(a<X b). Aplicando Axioma III temos,

P (Xb)= P (X a)+P(a<X b) P(a<X b)= F(b)-F(a)

F(b) F(a)


10

Exemplo: qual é a probabilidade de X>1 se,

0x

0x

)xexp(1

0)x(F 2

Características: -crescente monótona -F(-)=0- F()=1-todas as funções reais com estas características definem funções de distribuição

P(X>1)= 1-P(X1)= 1-F(1)= exp(-1)=0.386


11

Função de distribuição de probabilidade: Seja X uma variável aleatória discreta. A função de distribuição de

probabilidades p(a) de X é definida pela,

p(a)=P(X=a)

Características: -X só pode ter valores x1,x2,...,xn, onde n é finito,p(xi)>0, i=1,2,...,np(x)=0, todos outros

-

-a relação entre F(x) e p(x):

-F(x) é uma função de degrau

1i

i 1)x(p

ax

)x(p)a(F


12

Exemplo: Seja X uma variável aleatória que pode assumir valores de 1,2,3 com as respectivas probabilidades, 1/2, 1/3, 1/6

x

p(x)

1

1/6

1/3

1/2

32

x

F(x)

1

1/2

5/61

32

p(1)=1/2p(2)=1/3p(3)=1/6

a3

3a2

2a1

1a

1

6/5

2/1

0

)a(F


13

Função densidade de probabilidade: No caso de uma variável contínua a probabilidade P(X=a)=0. Seja X

uma v.a. contínua, existe uma função não negativa f(x) definida

para xR, que tem a propriedade,

b

a

dx)x(f)bXa(P

onde f(x) chama-se Função densidade de probabilidade de X. A

probabilidade de X estar em (b-a) é igual o integral de f(x) sob b-a.

Também pode se dizer que a probabilidade de X estar na vizinhança

de “a” no intervalo é igual a f(a),

)a(fdx)x(f)2

aX2

a(P2

a

2a


14

Características:

a

dx)x(f)aX(P)a(F

dx)x(f)X(P1

- 0dx)x(f)aX(Pa

a

-

-

Exemplo: Seja X uma v.a. tal que:

outros para

2x0

0

)x2x4(8

3)x(f

2

Calcule a probabilidade x>1!

2

1

2

1

2

1

5.0dx)x2x4(8

3dx)x(fdx)x(f)1x(p

da

)a(dF)a(f


15

Distribuições conjuntas de duas v.a.:

Muitas vezes o que tem interesse é saber as probabilidades de duas variáveis aleatórias. A definição de função de distribuição conjunta de X e Y,

F(x,y)=P(Xx, Y y)x,y

Teoricamente, qualquer questão de probabilidade sobre X e Y pode ser calculada sabendo F(X,Y).A função de distribuição de individuais,

F(x)= P(Xx)= P(Xx, Y )=F(x, );

F(y)= P(Yy)= P(X, Y y)=F(,y);

As características das funções de distribuição são também verdadeiras para v.a. conjuntas


16

No caso de variáveis discretas, a função de distribuição de probabilidade de X (x1,x2,...) e Y (y1,y2,...) é definida pela:

p(xi,yj)=P(X=xi,Y=yj)

)y,x(p)xX(P)x(p jj

iiiX ),()()( ji

ijjY yxpyYPyp

A função de distribuição de probabilidade individual (marginal) pode obter-se:

i \ j 0 1 2 3 p (X i)0 0. 15 0. 1000 0. 0875 0. 0375 0. 37501 0. 1000 0. 1750 0. 1125 0 0. 38752 0. 0875 0. 1125 0 0 0. 20003 0. 0375 0 0 0 0. 0375p (Y j) 0. 3750 0. 3875 0. 2000 0. 0375 1

Exemplo: Sequência das probabilidades de ter X filhos e Y filhas numa família portuguesa se: 15% tem 0, 20% tem 1, 35% tem 2 e 30% tem 3 crianças.


17

Se X e Y foram duas v.a.-s contínuas, existe uma função f(x,y) para a qual se verifica:

d

c

b

a

dxdy)y,x(f)dYc,bXa(P X,YR

Onde f(x,y) se chama função densidade de probabilidade conjunta de X e Y. As funções densidade de probabilidade marginais são dadas por:

b

a

X

b

a

dx)x(fdydx)y,x(f)bXa(P

d

c

Y

d

c

dy)y(fdxdy)y,x(f)dYc(P

A relação entre F(x,y) e f(x,y):

db

)d,b(F)d,b(fdxdy)y,x(f)dY,bX(Pd)F(b,

2d b


18

Exemplo: Seja f(x,y) a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias continuas X e Y:

outros para

yx,0

0

ee2)y,x(f

y2x

Calcule a) P(X>1,Y<1) e b) P(X<a).

%8.31)e1(e1eee2

1e2

dye2edy)e(e2dydxee2)1Y,1X(P

21211

0y21

1

0

1

0

y21

1

xy21

0 1

y2x

aaa

0

x

a

0

xa

0 0y2xa

0 0

y2x

e11edxe

dx10edxe2

1e2dxdyee2)aX(P

Nota: Os conceitos de distribuição conjuntas podem ser facilmente generalizados para “n” v.a.-s.

a)

b)


19

Distribuições condicionais de duas v.a.:

-Discretas:

)F(P

)EF(P)F|E(P

)y(p

)y,x(p

)yY(P

)yY,xX(P)y|x(p

Y

Assim, é relativamente fácil definir a função de distr. de prob. condicional:

-Contínuas:

dxyxfyYbxaPyf

yxfyxf

b

aY )|()|(

)(

),()|(

-Independência:

f(x,y)=fX(x)fY(y)p(x,y)=pX(x)pY(y)


20

Valor de esperança matemática:

O valor esperança de uma variável aleatória discreta X é a média pesada dos valores possíveis:

i

iii

ii )x(px)xX(PxXE

O factor de peso é a probabilidade do correspondente valor da v.a. Por outras palavras, o valor de esperança é o valor médio que se obtém após um grande número de repetições.

Exemplo: Seja X uma v.a. que representa o dinheiro que uma pessoa ganha num jogo de azar (x1, x2, ... xn) com as probabilidades respectivas (p(x1), p(x2), ... P(xn)). Calcule quanto é que pode esperar ganhar por jogo numa noite. Aproximadamente toda noite Np(xi) vezes vamos ganhar xi (nota que ni= Np(xi)), por isso o dinheiro total que vamos ganhar:

XE)x(pxN

)x(Npx)x(Npx

n

1iii

n

1iii

jogo porn

1iii


21

Um caso especial é quando todos os valores de v.a. tem a mesma probabilidade:

N

x

N

1x)xX(PxXE i

i

ii

iii

Exemplo: Calcule o valor de esperança dos lançamentos do um dado

5.36

654321)i(ip)x(pxXE

6

1i

6

1iii


22

Exemplo: Suponha que uma aula teórica deve acabar alguns minutos depois hh:50 min. As que horas vai acabar a aula em média se a função densidade de probabilidade do atraso é dada pela:

outros para

15x0

015

1)x(f

5.730

15dx

15

xdx)x(xfXE

215

0

15

0

Em média a aula acaba hh:58 min.

Agora, suponha que X é uma v.a. continua. A probabilidade de X estar na vizinhança (para dx pequeno) de x é:

P(x<X<x+dx)f(x)dx

Com analogia ao caso de v.a. discreta o valor de esperança pode ser facilmente obtida:

dx)x(xfXE


23

Propriedades de valor de esperança matemática:

Dada uma v.a. X e a correspondente distribuição de probabilidade. Suponha que estamos interessados no valor de esperança de uma função de g(X) (E[g(X)]). Como se calcule?

Discreta: i

iii

ii )x(p)x(g)xX(P)x(g)X(gE

Exemplo: Seja X uma v.a. com a função de distr. de probabilidade:p(0)=0.2p(1)=0.5p(2)=0.3

Calcule E[X2]

7.13.45.012.00)x(p)x(gX)X(gE3

1iii

2


24

Exemplo: O tempo que demora a localizar um problema no processamento de leite (X) tem uma função densidade de probabilidade:

Contínua:

dx)x(f)x(g)X(gE

outros para

1x0

0

1)x(f

O custo relacionado a reparação é X3 mil contos. Qual é o custo esperado de resolução dos problemas?

25.0dxxdx)x(f)x(g)X(gE1

0

31

0


25

Caso especial: transformação linear de v.a., g(X)=aX+b, onde a e b são constantes

Discreta:

bXaE)x(pb)x(pxa)x(p)bax(baXEi

ii

iii

ii

Contínua:

bXaEdx)x(fbdx)x(xfadx)x(f)bax(baXE


26

As propriedades de valores de esperança pode ser aplicadas para mais que uma v.a.

Discreta:

Contínua:

y x

)y,x(p)y,x(g)Y,X(gE

dydx)y,x(f)y,x(g)Y,X(gE

E.g.

YEXEdy)y(yfdx)x(xfdydx)y,x(fydxdy)y,x(fx

dydx)y,x(yfdydx)y,x(xfdydx)y,x(f)yx(YXE

YX

E[X1+ X2+...+ Xn]= E[X1]+E[ X2]+...+E[ Xn]


27

Variância:

As funções de distribuição de probabilidade podem-lhes tornar complicadas, por isso seria muito útil somar as características mais essenciais em umas medidas. O valor de esperança E[X] é um bom candidato, mas insuficiente, porque não fornece informação sobre a dispersão da v.a. em volta da média pesada.

E.g.: A altura dos adultos de Portugal em média é 1.70 m. Um extraterrestre de Marte podia pensar que ninguém é mais alto que 1.71m, um outro de Vénus podia pensar que há pessoas mais baixas que 0.1m.

O que longe os valores de X podem ser esperados da média )-E[X-]=0 ----> não funciona

-E[|X-|] ----> não é conveniente calcular o modulo

-E[(X-)2]


28

Variância: Var(X)=E[(X-)2]=2

Cálculo alternativo:

22

2222

2222

-]E[X

E[X]2-]E[X][EX]E[2-]E[X

)]X2-E[(X ])-E[(XVar(X)

Exemplo: Calcule a variância dos lançamentos do um dado

2

7

6

654321)i(ip

6

1i

6

91

6

654321)i(piXE

2222226

1i

22

2=91/6-(7/2)2=35/12


29

Propriedades da variância:

)X(Vara])-E[(Xa])-(XE[a

])a-E[(aX]b)a-bE[(aX

]b])E[aX-bE[(aXb)Var(aX

22222

22

2

)X(Varb)Var(X

0Var(b)

)X(VaraVar(aX) 2

)X(Var2)X2(VarX)Var(X 2


30

Suponha que num supermercado o peso de embalagem de pimento assado tem =0.5 kg com Var=0.05kg2. A dispersão é grande ou não? É difícil avaliar, porque e Var(X) não têm a mesma dimensão.

Desvio padrão ():)X(Var

No exemplo anterior, =0.5 kg e =0.22kg, a dispersão dos peso das embalagens é bastante grande.


31

Covariância:

A covariância é medida de dependência linear entre variáveis aleatórias. Definição de covariância de duas v.a.:

E[X]E[Y]-E[XY]-E[XY]

]X[E]YE[-E[XY]

]X-Y-E[XY )]-)(Y-E[(XY)Cov(X,

yxxyyx

yxyx

yxyxyxyx

Propriedades: a) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

b) Cov(X,X)=Var(X)

c) Cov(aX,Y)=aCov(X,Y)

d) Cov(X+Z,Y)=Cov(X,Y)+Cov(Z,Y)

e) v.a. independentes Cov(X,Y)=0


32

Propriedade d) pode ser generalizada para a covariância de X e Y:

n

1i

m

1jji

m

1jj

n

1ii )YX(CovY,XCov

Assim, a variância de soma de n v.a.-s pode ser determinada usando a propriedade b:

n

1i

m

ij1j

ji

n

1ii

n

1ii

n

1jj

n

1ii )YX(Cov)X(VarXVarX,XCov

Independência(!):

n

1ii

n

1ii )X(VarXVar


33

Exemplos para Cov(X,Y)0:

-altura e peso das pessoas: Pessoas mais altas tendem ser mais pesadas-----> cov>0

-velocidade de reacção dos condutores e a quantidade de álcool consumido: com aumento de álcool bebido, a velocidade de reacção diminuí-----> cov<0

O valor de covariância depende das unidades usadas no cálculo (kg/g; min/s; l/ml, etc.). A “covariância normalizada” chama-se coeficiente de correlação:

1)Y(Var)X(Var

)Y,X(Cov)Y,X(Corr1 y,x

Independência: x,y=0


34

Por vezes dado um número de v.a. (e.g. parâmetros de um modelo matemático) e queremos saber a dependência linear entre eles. O resultado é a matriz de covariância (simétrica):

n1n

212

n1211

ji

x2

xx

x2

xx

xxxxx2

xx

Ou em termos de coeficiente de correlação:

1

1

1

1n

12

n121

ji

xx

xx

xxxx

xx


35

Desigualdades de Markov e Chebyshev:

-Desigualdade de Markov: se a v.a. X for não-negativa, então:

0a

a

XE)aX(P

v.a. contínua:

)()()(

)()()()(00

aXaPdxxfadxxaf

dxxxfdxxxfdxxxfdxxxfXE

aa

aa

a

-Desigualdade de Chebyshev: seja a=k2 e a v.a. não-negativa igual a (X-)2:

2

2

2

222

k

k

)X(E)k)X((P)kX(P


36

A importância destas desigualdades é que permitem estabelecer limites de probabilidades quando só a média e/ou a variância estão conhecidas (sem saber a função de distribuição de probabilidade)

Exemplo: O número de testes feitos num laboratório de controlo de qualidade em média 50/dia.

-Calcule o limite da probabilidade do número de testes exceder 75 num dia!

P(X>75)E[X]/75=50/75=2/3

-se a variância for 25, qual é o limite de prob. de o número de testes serem cera de 40-60/dia?

P(|X-50|10) 2/102=1/4 ------> P(|X-50|<10) >1-1/4=3/4

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