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5/9/2013 1 Prof. Paulo C. Carioca

Estatística fração, variáveis e amostragem

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O que é Fração ?

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È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é

diferente de zero. a/b , com a Є IN e b Є IN. (a pertence ao conjunto

dos números naturais e b pertence ao conjunto dos números naturais

não nulos (com exclusão do zero).

TIPOS DE FRAÇÃO

Fração Própria – é aquela onde o numerador (≠ 0) é menor que o

denominador como por exemplo: 3/5, , 2/7 , 13/17 , etc.

Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o

denominador. Exemplo: 7/2 , 4/4 , 12/4 etc.

Fração decimal é aquela onde o denominador é igual a 10 ou suas potências.

Exemplo: 5/10 , 17/10 , 5/100, 31/1000, etc.

Fração aparente é a fração onde o numerador é múltiplo do denominador.

Exemplo 12/4; representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o numerador é zero , a

fração apresenta o número zero. Assim 0/5 = 0; todo número natural pode ser

apresentado por uma fração com denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado

por 7/1.

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Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes

quando os produtos do numerador de

um pelo denominador das outra são iguais.

Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2

Simplificação de frações

Basta dividir ambos os termos por um divisor comum.

Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2

Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si

(isto é , não possuem outro divisor comum a não ser o número 1).

Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números

primos entre si.

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Comparação de frações

As frações possuem o objetivo de representar partes de um inteiro através de

situações geométricas ou numéricas. Podemos comparar frações utilizando a

representação numérica através de algumas técnicas e propriedades. Comparar

significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou se elas são

iguais. Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo

denominador e lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a

maior é aquela que contém o maior numerador.

Operações com frações - Adição e subtração

a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e

adicionam-se ou subtraem os numeradores.

Exemplo: 2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3

b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo

denominador, obtendo-se dessa forma frações homogêneas.

Exemplo: 4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15

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Comparação de frações

Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo

múltiplo comum dos denominadores como no exemplo acima:

Exemplo: 4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15

5, 3 3

5, 1 5

1, 1

logo m.m.c de 5 e 3 = 5 X 3 = 15

4/5 + 2/3 = 12/15+10/15 = 22/15

Observe que reduzimos ao mesmo denominador 5 e 3 = 15

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Multiplicação de frações : Produto de numeradores por

numeradores e denominadores por denominadores.

Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em

12/21.

O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a

simplificação pelo cancelamento dos fatores comuns dos

numeradores e dos denominadores.

Exemplo: 2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja

3:3 =1 ficando dessa forma 2 X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em

1/7.

Divisão de frações

Produto da primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6

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Potenciação de Frações

Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

(2/5)² = 2²/5² = 4/25

Porcentagem ou Percentagem

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes

sejam iguais a 100.

Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)

30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.

Exemplo:

1) Em uma classe de 30 alunos, 15 foram aprovados. Qual a taxa percentual de

aprovação? 30 ------- 100

15 ------ x

30 - 100 onde: 30x = 100 X 15

30x = 1500 x = 1500/30 = 50% (taxa de aprovação)

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Redução ao Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)

Para comparação de fração e para operações de adição e subtração, efetua-se a

redução dos denominadores ao MMC. Assim, para redução das frações 1/3, ¾,

5/6, deve-se seguir os seguintes passos:

1º - encontra-se o MMC dos denominadores (3, 4, 6)

3 – 4 – 6 2

3 – 2 – 3 2

3 – 1 – 3 3

1 – 1 – 1 12

Operação com frações

a) Adição. Ex.: 1/3 + 7/5 = 5/15 + 21/15 = 26/15

b) Subtração. Ex.: 5/7 - 1/5 = 25/35 - 7/35 = 18/35

c) Multiplicação. Ex.: 3/5 x 2/7 x 25/9 = 10/21

c) Divisão. Ex.: 3/5 2/9 = 3/5 x 9/2 = 22/10

Obtém-se o numerador para cada fração, dividindo-se o denominador

comum encontrado (12) pelo denominador original e multiplicando-se

esse quociente pelo numerador original, resultando: 4/12, 9/12, 10/12.

Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, maior será a

que tiver maior numerador. Assim; 4/12 9/12 10/12, ou 1/3 3/4

5/6

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Operação com frações

e) Potenciação. Ex.: (2/5)3 = 8/125

f ) Radiciação. Ex.: = 11/13

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Regras de arredondamento

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De acordo com a resolução 886/66 do IBGE:

1) <5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer fica inalterado

exemplo: se quiser arredondar para o mais próximo décimo (uma casa após a

vírgula) o seguinte número 53,24 , podemos observar que abandonaremos o 4

que é menor que 5 portanto nosso arredondamento ficará 53,2; se desejar

arredondar para o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois , logo

53,24; Obs.: inteiro 53,2 - 53

2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer aumentará em uma

unidade exemplo : 53,26 logo abandonamos o 6 (>5) – 53,3 (quando décimo) ,

desejando arredondar para o centésimo mais próximo 53,267 – 53,27; obs.:

inteiro 53,6 - 54

3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último

algarismo a permanecer só será aumentado se for ímpar exemplo : arredondar

para o mais próximo décimo 53,25 – abandonamos o cinco e o dois como

número par permanecerá 53,2 , se caso fosse 53,35 – o três como número ímpar

seria aumenta em uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede como

centésimos.

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Variáveis

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Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre

transformações , flexível;

Significado estatístico – característica que vamos estudar em determinada

população.

Quanto à classificação de variáveis tem-se:

Qualitativas (nominal / ordinal) ; Variável qualitativa nominal – Quando os

elementos dessa variável são identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor

dos olhos(azuis, castanhos, verdes);

Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam uma ordem

entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim , péssimo.

Quantitativas (contínua / discreta): Variável quantitativa discreta – valor

muda em saltos ou passos (não existe continuidade) exemplo: número de filhos

de um casal , número de carteiras da sala de aula , etc.

Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um espaço ou

intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e cinco quilos e duzentos

gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta e dois centímetros) , notas de 0 a 10

– 7,5.

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VARIÁVEIS:

Quanto à sua origem, as variáveis ou observações podem ser obtidas de:

• Respostas de Pesquisas. Quem aplica a pesquisa não tem nenhum controle

intencional sobre os fatores que influenciaram as respostas: a contagem de habitantes

de um país, o cadastro de clientes de um banco, a aceitação de um produto por um

determinado tipo de consumidor, aplicação de testes psicológicos, avaliações, etc.

• Respostas por Experimentos. Quem aplica o experimento tem controle

intencional sobre os fatores que influenciam as respostas: o teste de estabilidade de

produtos perecíveis frente a diferentes valores de temperatura e umidade, o desgaste

de componentes de equipamentos mecânicos em condições especificadas, etc.

Unidade elementar é qualquer pessoa, objeto ou coisa que faça parte de uma população.

Dado é o resultado de investigação, cálculo ou pesquisa.

Variável é toda característica que pode assumir diversos valores conforme a pessoa, objeto ou

coisa. As respostas de uma pesquisa ou um experimento são a matéria-prima da análise

estatística em que os dados ou observações são obtidos medindo as características de

uma pessoa, objetos ou coisa. O conjunto dessas respostas ou observações forma uma

unidade elementar, que em geral, está composta de uma ou mais características

denominadas variáveis.

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VARIÁVEIS:

a) Variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos: sexo

(masculino-feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.;

b) Variável quantitativa: quando seus valores são expressos em números

(salários dos operários, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma variável

quantitativa pode ser:

Contínua: É aquela que pode assumir qualquer valor numa escala de valores e resulta

freqüentemente de uma medição sendo usada em geral, em alguma forma de medida,

e se trata geralmente de valor aproximado. As medidas de comprimento, peso, altura,

volume, etc. são exemplos típicos de variável contínua. Resumindo, pode-se dizer que

variáveis contínuas são aquelas que podem assumir qualquer valor, em um conjunto /

intervalo de valores: peso, altura, velocidade, tempo, etc.

Discreta: é aquela que pode assumir apenas um conjunto limitado de valores em

qualquer escala de medida e, em geral inteiros, sendo obtida mediante alguma forma

de contagem. É uma variável cujos valores podem ser todos relacionados. Uma

variável é discreta quando assume alguns valores dentro de certo intervalo. A

produção diária de carros de uma fábrica de automóveis, é teoricamente um número

inteiro de carros. O número de funcionários de uma empresa só pode ser um número

inteiro, não pode ser fracionado. O número de filhos de um casal. O resultado de um

sorteio. O número de habitantes de uma cidade. O número de alunos de uma sala de

aula. O número de veículos faturados por uma empresa e quantidade vendida de um

produto X, são exemplos de variáveis discretas.

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Amostragem

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CONCEITOS BÁSICOS

• POPULAÇÃO OBJETO: É a população total de interesse sobre a qual

desejamos obter informações.

• CARACTERÍSTICA POPULACIONAL: Este é o aspecto da população

que interessa ser medido.

• UNIDADE AMOSTRAL: Deve ser definida de acordo com o interesse do

estudo, podendo ser uma peça, um indivíduo, uma família, uma fazenda, etc. A

escolha deve ser feita no início da investigação.

• AMOSTRA: Conjunto formado por um subconjunto da população.

• CENSO: Exame de todos os elementos da população.

• ERRO AMOSTRAL: É a diferença entre um resultado amostral e o

verdadeiro resultado populacional.

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Amostragem

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AMOSTRA

Amostra é o subconjunto de unidades elementares selecionadas de uma

população.

AMOSTRAGEM

A amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar um subconjunto de

uma população, objetivando levantar informações sobre fatos relativos a esse

subconjunto, com a intenção de inferir o comportamento da população. A

amostra é uma parte, um subconjunto de um espaço amostral. Uma amostra deve

reunir características básicas de uma população. A amostragem permite recolher

amostras, e ainda garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha.

Desta forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser

escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é

muito importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão

estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população.

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Amostragem

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A importância de uma amostra está na avaliação de grandezas desconhecidas de

uma população e a qualidade desta avaliação depende basicamente da

representatividade da amostra e a representatividade de uma amostra depende

de sua capacidade de reproduzir as características básicas de sua população.

Muito provavelmente você não será capaz de entrevistar toda uma população de

pessoas ou examinar todo um conjunto de objetos, então você se orienta por um

pequeno grupo retirado de uma população / conjunto.

Você vai inferir o comportamento da população com base nos resultados

descritos da amostra. Uma amostra é uma parte integrante de uma população e a

diferença básica entre os conceitos de amostra e população é que a amostra

representa parte do todo, enquanto a população representa o todo. Mas à medida

que o tamanho da amostra for crescendo, tais informações vão se tornando cada

vez mais verdadeiras.

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Amostragem

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Diversos fatores justificam os trabalhos com amostras, no lugar de

estudar a respectiva população, entre os quais, destacam-se:

• Custo: as despesas com operacionalização estatística da população

são geralmente bem maiores que com a averiguação de uma amostra.

• Velocidade: as pesquisas realizadas com amostras são mais rápidas,

em virtude de conter um menor número de unidades.

• Praticidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão da

população tornas as pesquisas impraticáveis.

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Amostragem

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EXEMPLO

• Uma fábrica de automóveis não efetua inspeção e ensaios em 100% dos itens

que serão agregados ao automóvel, faz as verificações de qualidade e

conformidade em momentos específicos durante a produção, seja no início, meio

ou fim. Logo no início do processo produtivo, é efetuada a inspeção (usando

técnicas de amostragem) dos lotes de produtos recebidos.

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Séries Estatísticas

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