16-05-11 7.1

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA

2º SEMESTRE 2010 / 11

EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 7 Análise de Clusters

16-05-11 7.2

7.1 (A1) Considere a seguinte matriz de distâncias :

0436

025

01

0

4

3

2

1

4321

Determine os clusters para estes 4 objectos assumindo:

a) Um modelo hierárquico "single linkage". b) Um modelo hierárquico "complete linkage". c) Um modelo hierárquico "average linkage". d) Desenhe os dendrogramas e compare os resultados dos três modelos. 7.2. (T) Considere agora a matriz de distâncias:

08536

01072

096

04

0

5

4

3

2

1

54321

Repita as alíneas a) a d) do exercício anterior. 7.3. (A1) Uma amostra para as cotações das acções de 5 empresas transaccionadas na NYSE permitiu calcular a

seguinte matriz de correlações entre as cotações dos títulos (arredondadas a 2 casas decimais):

152.43.32.46.

144.39.39.

160.51.

158.

1

Texaco

Exxon

CarbideUnion

PontDu

ChemicalAllied

TexacoExxonCarbide

UnionPontDu

Chemical

Allied

Usando as correlações como medida de semelhança entre os títulos construa os clusters das acções

usando os modelos de "single linkage" e "complete linkage".

16-05-11 7.3

7.4. (A1) Para quatro indivíduos (A … D) foram medidas as variáveis X1 e X2 obtendo-se:

Indiv. X1 X2

A 5 4 B 1 -2 C -1 1 D 3 1

Use o algoritmo das K-médias para dividir os indivíduos em K=2 grupos.

a) Comece com os grupos (AB) e (CD).

b) Repita começando com os grupos (AC) e (BD).

7.5. (A2) O quadro seguinte apresenta dados sobre 43 marcas comerciais de cereais de pequeno almoço para os quais se mediram 9 variáveis (dispõe destes dados no ficheiro CEREAIS.SAV)

X1 - Fabricante X2 - teor de calorias X3 - " proteínas X4 - " gordura X5 - " sódio X6 - " fibras X7 - " hidratos de carbono X8 - " açúcar X9 - " potássi0

Utilize o SPSS para a) Calcular a distância euclideana entre cada par de marcas de cereais. b) Utilizando essas distâncias agrupar as marcas de cereais usando os métodos de "single linkage" e

"complete linkage". Compare os dendrogramas.

c) Utilize os algoritmo das K-médias para agrupar as marcas de cereais. Use K=2 , 3 e 4 e compare os

resultados.

16-05-11 7.4

Marca X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9

ACCheerios G 110 2 2 180 1.5 10.5 10 70

Cheerios G 110 6 2 290 2 17 1 105

CocoaPuffs G 110 1 1 180 0 12 13 55

CountChocula G 110 1 1 180 0 12 13 65

GoldenGrahams G 110 1 1 280 0 15 9 45

HoneyNutCheerios G 110 3 1 250 1.5 11.5 10 90

Kix G 110 2 1 260 0 21 3 40

LuckyCharms G 110 2 1 180 0 12 12 55

MultiGrainCheerios G 100 2 1 220 2 15 6 90

OatmealRaisinCrisp G 130 3 2 170 1.5 13.5 10 120

RaisinNutBran G 100 3 2 140 2.5 10.5 8 140

TotalCornFlakes G 110 2 1 200 0 21 3 35

TotalRaisinBran G 140 3 1 190 4 15 14 230

TotalWholeGrain G 100 3 1 200 3 16 3 110

Trix G 110 1 1 140 0 13 12 25

Cheaties G 100 3 1 200 3 17 3 110

WheatiesHoneyGold G 110 2 1 200 1 16 8 60

AllBran K 70 4 1 260 9 7 5 320

AppleJacks K 110 2 0 125 1 11 14 30

CornFlakes K 100 2 0 290 1 21 2 35

CornPops K 110 1 0 90 1 13 12 20

CracklinOatBran K 110 3 3 140 4 10 7 160

Crispix K 110 2 0 220 1 21 3 30

FrootLoops K 110 2 1 125 1 11 13 30

FrostedFlakes K 110 1 0 200 1 14 11 25

FrostedMiniWheats K 100 3 0 0 3 14 7 100

FruitfulBran K 120 3 0 240 5 14 12 190

JustRightCrunchyNuggets K 110 2 1 170 1 17 6 60

MueslixCrispyBlend K 160 3 2 150 3 17 13 160

NutNHoneyCrunch K 120 2 1 190 0 15 9 40

NutriGrainAlmondRaisin K 140 3 2 220 3 21 7 130

NutriGrainWheat K 90 3 0 170 3 18 2 90

Product19 K 100 3 0 320 1 20 3 45

RaisinBran K 120 3 1 210 5 14 12 240

RiceKrispies K 110 2 0 290 0 22 3 35

Smacks K 110 2 1 70 1 9 15 40

SpecialK K 110 6 0 230 1 16 3 55

CapNCrunch Q 120 1 2 220 0 12 12 35

HoneyGrahamOhs Q 120 1 2 220 1 12 11 45

Life Q 100 4 2 150 2 12 6 95

PuffedRice Q 50 1 0 0 0 13 0 15

PuffedWheat Q 50 2 0 0 1 10 0 50

QuakerOatmeal Q 100 5 2 0 2.7 1 1 110

16-05-11 7.5

7.6. (A2) (do teste de frequência de 24.JUN.2000) Um colega seu está apostado em fazer o trabalho de Estatística Multivariada a partir dos dados disponíveis

numa base com a caracterização dos hotéis portugueses (aliás, já sua conhecida!). Como simpatizou muito

com as técnicas de Análise de Clusters, decidiu-se por aplicá-las por forma a agrupar os hotéis mais

semelhantes. Para ensaiar a utilização da técnica, começou por construir um quadro com apenas cinco

hotéis e dez variáveis binárias que assinalam a presença (1) ou ausência (0) de algumas facilidades:

nome cidade snack restaura conferen cofrquar piscina ginásio cabeleir ténis garagem

1 Hotel do Elevador 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

2 Hotel Ofir 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0

3 Hotel Horus 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

4 Hotel Vermar 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1

5 GaiaHotel 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1

Como aprendeu que uma análise de clusters começa sempre pelo cálculo de uma matriz de

dissemelhanças (ou distâncias) entre as observações consideradas, o seu colega decidiu calcular uma.

Como é estudioso sabe que, porque as variáveis são binárias, não deve usar os conceitos de distância mais

habitualmente usados e porque gosta de inovar, propõe a utilização da medida de dissemelhança de Lance

e Williams (também conhecida por coeficiente não métrico de Bray-Curtis) dada por

(b+c)/(2a+b+c), onde a representa o número de atributos presentes em ambos os casos e b e c

representam o os números de atributos presentes num dos casos e ausentes no outro.

a) Compare este conceito com os apresentados na aula para variáveis binárias, diga entre que valores

pode variar, qual o significado dos extremos e que argumentos podem justificar a sua adopção.

b) Usando o SPSS o seu colega obteve a seguinte matriz de dissemelhanças:

Proximity Matrix

.778 .818 .800 .714

.778 .250 .200 .500

.818 .250 .176 .429

.800 .200 .176 .385

.714 .500 .429 .385

1:Hotel do Elevador

2:Hotel Of ir

3:Hotel Horus

4:Hotel Vermar

5:GaiaHotel

1:Hotel do

Elevador 2:Hotel Of ir 3:Hotel Horus

4:Hotel

Vermar 5:GaiaHotel

Binary Lance-and-Williams Nonmetric Measure

This is a dissimilarity matrix

A partir desta matriz construa o dendograma para uma aglomeração hierárquica simples (nearest neighbor).

16-05-11 7.6

7.7. (A2) (usando os dados do teste de freq. de 27.JAN.2004) O ficheiro Ex7-7.xls apresenta os dados do consumo médio de proteínas em diversos tipos de alimentos

para 25 países europeus (São dados de 1973 citados em Manly, 1994). Os valores são consumos médios

diários em gr. por pessoa e as variáveis referem-se a nove grupos de alimentos:

redmeat - carnes vermelhas;

whitemea - carnes brancas;

eggs - ovos;

milk - leite;

fish - peixe;

cereals - cereias;

starchyf - féculas (batata e outras)

pulsenut - leguminosas e oleaginosas;

fruveget - frutas e vegetais.

Pretende-se agora agrupar os países com hábitos alimentares semelhantes (no que toca a quantidades e

fontes de proteínas) recorrendo à Análise de Clusters.

a) Faz sentido a utilização desta técnica?

b) Proponha um conceito de distância e um método de agregação e use o SPSS para constituir os

grupos.

7.8. (T) (do teste de frequência de 6.JAN.2006) Um colega seu está a experimentar a utilização da Análise de Clusters. Trabalhando com o conjunto de

dados no Quadro 7.8.1, obteve o output do SPSS para a utilização dum método hierárquico de clustering

que consta abaixo.

Indivíduo X1 X2 X3 X4 X5

A 3.0 4.0 2.5 1.5 5.0

B 2.0 5.0 1.5 2.0 1.5

C 4.5 3.5 4.0 3.0 2.5

D 4.0 2.5 1.5 3.5 4.0

E 2.0 3.0 2.0 1.5 2.0

F 1.0 2.5 4.0 2.0 4.5

Quadro 7.8.1

a) Diga, justificando, qual o método hierárquico utilizado.

b) Complete o aglomeration schedule e acrescente ao dendrograma uma escala para as distâncias

apropriada ao problema.

c) Como ficam divididas as observações se decidir formar dois clusters? Trata-se duma solução possível

no caso de utilizar o algoritmo das K-médias (com k=2)?

OUTPUT:

16-05-11 7.7

Proximity Matrix

Case

Squared Euclidean Distance

1 2 3 4 5 6

1 ,00 15,50 13,25 ... 11,25 9,00

2 15,50 ,00 16,75 18,75 4,75 22,50

3 13,25 16,75 ,00 10,00 13,00 18,25

4 ... 18,75 10,00 ,00 12,50 17,75

5 11,25 4,75 13,00 12,50 ,00 11,75

6 9,00 22,50 18,25 17,75 11,75 ,00

This is a dissimilarity matrix Agglomeration Schedule

Stage

Cluster Combined

Coefficients

Stage Cluster First Appears

Next Stage Cluster 1 Cluster 2 Cluster 1 Cluster 2

1 2 5 4,750 0 0 5

2 1 6 9,000 0 0 3

3 1 4 9,250 2 0 4

4 ... ... ... ... ... ...

5 ... ... ... ... ... ...

* * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * *

Dendrogram using ..............

Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25

Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+

2

5

1

6

4

3

16-05-11 7.8

7.9. (Do exame de 26.JUN.2007) No Quadro 7.9.1 tem as notas de três testes e da prova final numa disciplina da nossa Universidade.

Utilizou-se esta informação para fazer uma análise de clusters dos alunos considerando, primeiro a "block

distance" (isto é distância de Minkovski com m=1) e depois a distância euclideana. Os resultados obtidos

para o método hierárquico com ligações médias apresentam-se no Output 7.9.2.

a) Compare os resultados, referindo-se especialmente aos objectivos do clustering no que toca à

variabilidade intra e inter clusters. (Seja sucinto na resposta.)

b) Repare agora que, nesta análise, os trabalhos (que são de grupo) têm um peso tão grande que quase

se podem identificar os grupos de trabalho nos dendogramas. Um seu colega sugeriu então que se

padronizassem as variáveis. Outro sugeriu que se fizesse o clustering com base na nota de fim de

semestre. Que comentários lhe merecem estas sugestões?

c) Eu preferi construir uma nova variável, que é a média aritmética das notas dos três trabalhos. Fiz então

o clustering usando esta média e a nota do teste de frequência. O resultado desta minha análise

apresenta-se no Output 7.9.3. Que comentários lhe suscita?

16-05-11 7.9

Quadro 7.9.1

Aluno T1 T2 T3 F

1 16,0 14,0 16,0 12,6

2 16,0 17,0 19,0 7,5

3 15,0 14,0 15,0 11,0

4 16,0 17,0 19,0 13,0

5 16,0 17,0 15,0 14,3

6 16,0 17,0 19,0 12,8

7 16,0 17,0 15,0 8,3

8 16,0 17,0 19,0 11,8

9 16,0 17,0 15,0 13,3

10 16,0 17,0 15,0 6,0

11 15,0 14,0 15,0 8,8

12 16,0 14,0 16,0 12,6

13 16,0 16,0 15,5 9,5

14 16,0 16,0 15,5 9,0

15 16,0 16,0 15,5 13,7

16 16,0 14,0 16,0 5,7

17 16,0 14,0 16,0 13,5

18 16,0 17,0 19,0 11,5

19 16,0 16,0 15,5 8,4

20 16,0 14,0 16,0 11,5

21 15,0 14,0 15,0 12,3

22 17,0 17,0 17,0 12,5

23 17,0 17,0 18,0 15,5

24 17,0 17,0 17,0 18,0

25 17,0 17,0 18,0 16,5

26 17,0 17,0 18,0 9,3

27 13,0 14,0 15,0 11,0

28 17,0 17,0 18,0 11,5

29 13,0 14,0 15,0 9,5

30 13,0 14,0 15,0 11,0

31 17,0 17,0 17,0 12,3

32 13,0 14,0 15,0 8,5

Quadro 7.9.1

16-05-11 7.10

Output 7.9.2 (1/4)

Clustering c/ "block distance"

Agglomeration Schedule

Stage Cluster Combined

Coefficients

Stage Cluster First Appears

Next Stage

Cluster 1 Cluster 2 Cluster 2 Cluster 1

1 27 30 .000 0 0 16

2 1 12 5.000E-02 0 0 7

3 22 31 .250 0 0 15

4 8 18 .250 0 0 13

5 4 6 .250 0 0 13

6 13 14 .500 0 0 8

7 1 17 .925 2 0 14

8 13 19 .930 6 0 18

9 29 32 1.000 0 0 16

10 23 25 1.000 0 0 20

11 5 9 1.000 0 0 17

12 3 21 1.250 0 0 19

13 4 8 1.250 5 4 21

14 1 20 1.383 7 0 25

15 22 28 1.875 3 0 21

16 27 29 2.000 1 9 22

17 5 15 2.000 11 0 25

18 7 13 2.210 0 8 24

19 3 11 2.875 12 0 22

20 23 24 3.000 10 0 29

21 4 22 3.333 13 15 26

22 3 27 3.542 19 16 28

23 2 26 3.750 0 0 26

24 7 10 3.908 18 0 27

25 1 5 4.737 14 17 28

26 2 4 5.089 23 21 29

27 7 16 5.614 24 0 30

28 1 3 6.723 25 22 30

29 2 23 6.852 26 20 31

30 1 7 7.215 28 27 31

31 1 2 9.553 30 29 0

16-05-11 7.11

Output 7.9.2 (2/4)

* * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * *

Dendrogram using Average Linkage (Between Groups)

Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25

Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+

27 -+---------+

30 -+ +-------+

29 -----+-----+ I

32 -----+ +---------------+

3 -------+-------+ I I

21 -------+ +---+ I

11 ---------------+ +-+

1 -+---+ I I

12 -+ +-+ I I

17 -----+ +-----------------+ I I

20 -------+ +---------+ I

5 -----+-----+ I I

9 -----+ +-------------+ +-----------+

15 -----------+ I I

13 ---+-+ I I

14 ---+ +-----+ I I

19 -----+ +---------+ I I

7 -----------+ +-------+ I I

10 ---------------------+ +-------+ I

16 -----------------------------+ I

23 -----+---------+ I

25 -----+ +-------------------+ I

24 ---------------+ I I

8 -+-----+ I I

18 -+ +---------+ +-------------+

4 -+-----+ I I

6 -+ +---------+ I

22 -+-------+ I I I

31 -+ +-------+ +-------+

28 ---------+ I

2 -------------------+-------+

26 -------------------+

16-05-11 7.12

Output 7.9.2 (3/4)

Clustering c/ distância euclideana

Agglomeration Schedule

Stage

Cluster Combined

Coefficients

Stage Cluster First Appears

Next Stage Cluster 1 Cluster 2 Cluster 2 Cluster 1

1 27 30 .000 0 0 19

2 1 12 5.000E-02 0 0 8

3 22 31 .250 0 0 15

4 8 18 .250 0 0 14

5 4 6 .250 0 0 14

6 13 14 .500 0 0 7

7 13 19 .901 6 0 17

8 1 17 .925 2 0 16

9 29 32 1.000 0 0 19

10 23 25 1.000 0 0 21

11 5 9 1.000 0 0 12

12 5 15 1.226 11 0 25

13 3 21 1.250 0 0 18

14 4 8 1.250 5 4 20

15 22 28 1.332 3 0 20

16 1 20 1.383 8 0 18

17 7 13 1.387 0 7 24

18 1 3 1.875 16 13 25

19 27 29 2.000 1 9 23

20 4 22 2.121 14 15 28

21 23 24 2.248 10 0 30

22 2 26 2.250 0 0 26

23 11 27 2.543 0 19 29

24 7 10 2.934 17 0 26

25 1 5 3.298 18 12 28

26 2 7 3.674 22 24 27

27 2 16 4.082 26 0 29

28 1 4 4.100 25 20 30

29 2 11 4.715 27 23 31

30 1 23 5.081 28 21 31

31 1 2 5.884 30 29 0

16-05-11 7.13

Output 7.9.2 (4/4)

* * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * *

Dendrogram using Average Linkage (Between Groups)

Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25

Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+

27 -+---------------+

30 -+ +---+

29 ---------+-------+ +-------------------+

32 ---------+ I I

11 ---------------------+ I

2 -------------------+-----------+ +-------+

26 -------------------+ I I I

13 -----+-+ +---+ I I

14 -----+ +---+ I I I I

19 -------+ +-------------+ I +-----+ I

7 -----------+ +-----+ I I

10 -------------------------+ I I

16 -----------------------------------+ I

23 ---------+---------+ I

25 ---------+ +-----------------------+ I

24 -------------------+ I I

8 ---+-------+ I I

18 ---+ +-------+ I I

4 ---+-------+ I +-----+

6 ---+ +---------------+ I

22 ---+-------+ I I I

31 ---+ +-------+ I I

28 -----------+ +-------+

5 ---------+-+ I

9 ---------+ +-----------------+ I

15 -----------+ I I

3 -----------+---+ +-----+

21 -----------+ I I

1 -+-----+ +-------------+

12 -+ +---+ I

17 -------+ +---+

20 -----------+

16-05-11 7.14

Output 7.9.3 (1/2)

Agglomeration Schedule

Stage Cluster Combined

Coefficients

Stage Cluster First Appears

Next Stage

Cluster 1 Cluster 2 Cluster 2 Cluster 1

1 27 30 .000 0 0 12

2 18 28 .000 0 0 6

3 1 12 5.000E-02 0 0 15

4 7 19 .186 0 0 17

5 22 31 .250 0 0 10

6 8 18 .250 0 2 21

7 4 6 .250 0 0 10

8 9 15 .480 0 0 11

9 13 14 .500 0 0 17

10 4 22 .610 7 5 21

11 9 17 .625 8 0 16

12 3 27 .667 0 1 23

13 11 32 .712 0 0 19

14 10 16 .731 0 0 29

15 1 21 .742 3 0 20

16 5 9 .859 0 11 26

17 7 13 .957 4 9 22

18 23 25 1.000 0 0 25

19 11 29 1.002 13 0 27

20 1 20 1.051 15 0 23

21 4 8 1.077 10 6 26

22 7 26 1.612 17 0 24

23 1 3 1.620 20 12 28

24 2 7 1.923 0 22 27

25 23 24 2.029 18 0 31

26 4 5 2.149 21 16 28

27 2 11 2.286 24 19 29

28 1 4 2.518 23 26 30

29 2 10 3.136 27 14 30

30 1 2 4.459 28 29 31

31 1 23 6.192 30 25 0

16-05-11 7.15

Output 7.9.3 (2/2)

* * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * *

Dendrogram using Average Linkage (Between Groups)

Rescaled Distance Cluster Combine

C A S E 0 5 10 15 20 25

Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+

27 -+---+

30 -+ +-------+

3 -----+ I

1 -+---+ +-------+

12 -+ +---+ I I

21 -----+ +---+ I

20 ---------+ I

9 ---+-+ +---------------+

15 ---+ +-+ I I

17 -----+ +---------+ I I

5 -------+ I I I

18 -+-+ +---+ I

28 -+ +-----+ I I

8 ---+ +-------+ +-----------+

22 ---+-+ I I I

31 ---+ +---+ I I

4 ---+-+ I I

6 ---+ I I

10 -----+-------------------+ I I

16 -----+ I I I

11 -----+---+ +-----------+ I

32 -----+ +---------+ I I

29 ---------+ I I I

7 -+-----+ +-----+ I

19 -+ +-----+ I I

13 -----+-+ +-+ I I

14 -----+ I +---+ I

26 -------------+ I I

2 ---------------+ I

23 ---------+-------+ I

25 ---------+ +-------------------------------+

24 -----------------+