ESTATÍSTICA

Prof.º Mário Castro

Estatística O que é:

É a ciência que coleta, organiza e

interpreta dados colhidos entre um grupo

aleatório de pessoas.

Divisão da estatística:

Estatística geral

Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a

todas as fases do estudo dos fenômenos

de massa. A estatística geral ainda pode

ser dividida em dois subgrupos:

1. Estatística descritiva

Diz respeito à coleta, organização,

classificação, apresentação e descrição

dos dados a serem observados.

2. Estatística indutiva

Visa tirar conclusões sobre a população a

partir de amostras. Refere-se à maneira

de estabelecer conclusões para toda uma

população observando apenas parte

dela.

Conceitos:

População

É todo o conjunto de elementos que

possuam ao menos uma característica

comum observável.

Amostra

É uma parte da população que será

avaliada por um critério comum.

Dados estatísticos

São os valores associados às variáveis

de pesquisas.

Frequências

1. O número de vezes em que a variável

ocorre é chamado frequência absoluta e

é indicado por ni

2. Definimos frequência relativa ( fi )

como a razão entre a frequência

absoluta (ni) e o número total de

observações (n) , ou seja:

n

nf ii

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência

Relativa

(simples)

F.R

Freqüência

absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência

Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os

motoristas foram multados em uma determinada via municipal.

2

20

72 63 78 61 92 83 67 65 79 65

74 89 96 74 63 87 64 75 68 68

45%

30%

15%

10%

9

15

18

20

45%

75%

90%

100%

Velocidade Freqüência

Absoluta

F.A

Freqüência

Relativa

(simples)

F.R

Freqüência

absoluta

acumulada

F.A.A

Freqüência

Relativa

acumulada

F.R.A

60|---- 70

70|---- 80

80|---- 90

90|---- 100

Total

9

6

3

Com base na tabela, responda:

2

20

45%

30%

15%

10%

9

15

18

20

45%

75%

90%

100%

a) Quantos Motoristas foram multados com

velocidade de 80km/h a 90km/h?

b) Qual é o percentual de Motoristas

multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?

c) Quantos Motoristas foram multados com

velocidade abaixo de 90km/h?

d) Qual o percentual de Motoristas multados

com uma velocidade abaixo de 80km/h? 3

30%

18

75%

Representação Gráfica Setores Circulares (Pizza)

Foi feita uma Pesquisa a 400 alunos de uma escola sobre as

atividades esportivas que gostariam de ter na escola. O resultado

foi o seguinte:

Atividade

Esportiva

Nº de alunos

Freqüência

Absoluta

Freqüencia

relativa

Voleibol 80 20%

Basquetebol 120 30%

Futebol 160 40%

Natação 40 10%

Total 400 100%

Representação Gráfica

Setores Circulares (Pizza)

Preferência

20%

30%

40%

10%

Volei

Basquete

futebol

natação

Representação Gráfica

Setores Circulares (Pizza)

Preferência

20,00%

30,00%

40,00%

10,00%

volei

basquete

futebol

natação

144°

108°

72°

36°

Médias

Média Aritmética Simples

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da

variável pelo número deles:

n

x...xxx n21

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma

semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção

média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14

7 7

Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as

duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com

notas 70, 75 e 90 terá média final:

Média Aritmética

Ponderada

(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para

seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro

das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.

Se o aluno foi aprovado com média final ponderada

igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota

obtida por esse aluno na prova IV foi:

7,322321

2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)

56 + 2x = 73 x = 8,5

Média Geométrica

Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra

nn21 ......x.xxx

66.4.9x 3

Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.

A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica

das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:

63.12h

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após

um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio

mensal de aumento desta categoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um

salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores

correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.

1,1287413 2).(1,07)(1,2).(1,1x

Salário Final

7%

12%

20% R$100,00

% de

aumento

Salário

Inicial

R$120,00

R$120,00 R$134,4

R$134,4 R$143,08

Salário Final

12,8741% R$100,00

% de

aumento

Salário

Inicial

R$112,8741

R$112,8741 R$127,4056245 12,8741%

12,8741% R$127,4056245 R$143,08

Percentual médio de aumento: 12,8741%

Média Harmônica

Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.

Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.

108

19

3

36

19

3

9

1

4

1

6

1

Média aritmética dos inversos:

Inverso da Média aritmética dos inversos: 5,6819

108

A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do

candidato. Terá melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em

todas as provas, do que aquele que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:

Outros Conceitos

•Rol

Consiste na organização dos dados em

ordem crescente.

Exemplo: Notas obtidas em uma prova de

matemática no primeiro ano do ensino

médio:

E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

Mediana (Md)

É o valor que ocupa a posição central

de um conjunto de dados ordenados.

Exemplo: Determine a mediana do

Rol abaixo:

Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.

7 elementos

7 elementos

Como o elemento 4 ocupa a posição central,

dizemos que ele é a mediana dos dados

coletados acima.

IMPORTANTE!!!!

Caso o número de elementos do Rol for

par, calculamos a mediana pela média

aritmética dos dois elementos centrais.

Moda (Mo)

É o valor que ocorre com maior frequência em

um conjunto de dados.

Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício

anterior, posto que aparece três vezes no Rol.

Desafio!!!

1- Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota

mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados.

A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto a média dos aprovados foi 77.

Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada

e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados

passou a ser 80 e dos reprovados 68,8.

72,220

12.(77)8.(65)Média

a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos pontos extras.

b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram

nota para aprovação?

Como foi adicionado 5 pontos a todos os alunos, a média de toda turma sobe para 72,2 + 5 =

77,2. Sabemos que alguns alunos (x) anteriormente reprovados conseguiram, após o aumento,

aprovar.Assim:

x = 3

Amplitude

É a diferença entre o maior valor e o menor

valor de um conjunto de dados

Ex.: Os valores seguintes representam o

número de gols marcados pela seleção

brasileira nas últimas 5 copas do mundo.

11, 14, 18, 10, 9

Amplitude = 18 – 9 = 9

Variância

Desvio Padrão:

É a raiz quadrada da variância

VDp

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

É a média aritmética dos quadrados

dos desvios.

Um aluno obteve as seguintes notas na

disciplina de matemática nos 4 bimestres:

Média aritmética = 7

4

9685

Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2

nota 2: 8 – 7 = 1

nota 3: 6 – 7 = - 1

nota 4: 9 – 7 = 2

2,54

21)(1(-2)V

2222

1,582,5Dp

Quanto mais próximo de zero é o desvio

padrão, mais homogênea (regular) é a

amostra.

Candidatos que obtém menor desvio

padrão são considerados mais regulares.

Bim 1º 2º 3º 4º

notas 5 8 6 9

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.

N 1 N 2 N 3 N 4

Paulo 5 2 5 8

João 4 8 3 5

Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?

Média aritmética =

Paulo

54

8525

Média aritmética =

João 5

4

5384

Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0

Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3

nota 3: 5 – 5 = 0

nota 4: 8 – 5 = 3

Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1

João nota 2: 8 – 5 = 3

nota 3: 3 – 5 = -2

nota 4: 5 – 5 = 0

4,54

232023)(20PauloVariância

2,124,5VPadrãoDesvio

3,54

2022)(232(-1)JoãoVariância

1,873,5VPadrãoDesvio

Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

• Bom Trabalho alunos!

• SIGA OS PASSOS AQUI CITADO E

TUDO DARÁ CERTO!

PROFESSOR MÁRIO CÉSAR CASTRO