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estatstica aplicada

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O Y J Y J n 0 3 Y Y O Y J I l d Y Y J l i S l i Y i S 3 - ~I d O : l 3 : l l V N O I S S I : l O H d O Y : l V W H O : l 3 0 O H . L N 3 : l SUMRIO CAPTULO 1 - O que aEstatstica Introduo Conceitos Mtodo estatstico Exerccios CAPTULO 2 - Populao e Amostra Variveis Populao e Amostra Amostragem Exerccios CAPrTUlO 3 - Sries estatsticas Tabelas Sries estatsticas Exerccios CAPTULO4 -Dados Absolutos eRelativos Dados Absolutos Dados relatives Exerccios CAPTULO 5 - Grficos estatsticos Grficos estatsticos Tipos de Grficos Exerccios CAPTULO 6 - Distribuio de Frequncia TabelaPrimitiva Rol Distribuio de Frequncia Exerccios CAPTULO 7 - Representao Grfica da Distribuio de Frequncia Histograma e Polgono de Frequncia Exerccios CAPTULO 8 - Medidas de Posio Mdia Moda Mediana Exerccios BIBLIOGRAFIAANEXOS - A.CensoEscolar B.Tabela de Nmeros Aleatrios ..............................................................03 ..............................................................03 ..............................................................03 ..............................................................03 ..............................................................06 ..............................................................07 ..............................................................07 ..............................................................07 ..............................................................08 ..............................................................10 ..............................................................11 ..............................................................11 ..............................................................12 ..............................................................15 ..............................................................16 ..............................................................16 ..............................................................16 ..............................................................20 ..............................................................21 ..............................................................21 ..............................................................21 ..............................................................30 ..............................................................31 ..............................................................31 ..............................................................31 ..............................................................31 ..............................................................38 ..............................................................39 ..................................................................... 39 ............................................................... 41 ............................................................... 42 ............................................................... 42 ......................................................................46 ......................................................................47 ............................................................... 50 ......................................................................52 ............................................................... 54 ............................................................... 55 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA ____________________CAPTULO1 o que a Estatstica 1.Origem da Estatstica Desdeaantiguidade,ascomunidadesjutilizavamaestatsticaatravsda contagemedasmedies.Elaspraticavamaestatsticaquandofaziamosregistrosdo nmerodehabitantes,denascimentos,debitos,estimativasderiquezas,cobranade impostos,etc.Faziampor acaso,de formaassistemtica,isto ,semo conhecimento do mtodo estatstico. Apartir do sculo XVIII queo estudodestes fatospassouaser realizadoatravs de mtodos e tcnicas. A nova cincia,oumtodo, foibatizada por Estatstica(palavra de origemlatina) por Godofredo Achenwall,o qual determinou o seuobjetivo e suas relaes comas outrascincias,deixando de ser simples catalogaode dados.Seuconjuntode mtodosetcnicas,fundadosnaMatemtica,aplicam-seindistintamenteeconomia, engenharia,agronomia,administrao,educao,enfim,emtodasas reasdaatividade humana, variando apenas o fato e o objeto do estudo. Hoje,comseusprocessosetcnicas,aestatsticatemcontribuindo significativamente para a organizao dos negcios e recursos do mundo contemporneo, facilitando o trabalho dos administradores de qualquer instituio ou empresa. 2.Conceitos da Estatstica ~ AEstatstica umramodaMatemticaquesebaseianaobservao.Elaauxiliaa tirar concluses em situaes de incertezas. ~ A estatstica trata do conjunto de mtodos utilizados para obteno de dados,na sua organizao em tabelas e grficos e na anlise desses dados. ~ AEstatsticaomtodocientficoqueaplicadoaqualquerramodaatividade humana oferece orientao para as decises corretas. ~ AEstatsticaumapartedaMatemticaAplicadaqueoferecemtodosparaa coleta,organizao,descrio,anlise e interpretao dedados,eparaa utilizao dos mesmos na tomada de decises. Estatstica um conjunto de mtodos utilizados para obteno,organizao,anlise e interpretao de dados em qualquer rea da atividade humana. 3. O Mtodo Estatstico Voc j percebeu que em todo momento utilizamos o mtodo estatstico,ououvimos falar dedadosestatsticos?Nonossodia-a-diaestamossempreescutandoinformaes sobre taxas de desemprego,ndice de acidentesno trnsito,taxas de inflao,ndices de mortalidade,velocidademdia,quilometragemdo carro,mdias de estudantes,preo da 3 TCNICODESECRETARIA ESCOLAR ESTATSTICA cestabsica,percentualdeaumentodosalriomnimo,etc.Todasessasinformaes sooresultadodeumtrabalhoestatsticobaseadonaobservaodefenmenos estatsticos. Diantedessaconvivnciadiriacomtantosdadosestatsticos,defundamental importnciaoconhecimentodomtodoestatstico,vistoqueelenosauxiliana compreensodasapresentaesestatsticas,podeminimizarosriscosdesermos iludidosporestatsticose,demodogeral,constituiumvaliosoinstrumentoparatomada de decises. 3.1. O que o Mtodo Estatstico? O mtodo estatstico ummtodo cientfico que se aplica no campo das cincias humanasesociais.Eleadmitetodasascausaspresentes,registrandosuasvariaese determinando que influncias cabem a cada uma delas. Aestatstica temduas preocupaes fundamentais:como obter dados teis e o que fazercomeles.Aprimeiradizrespeitoaosmtodosdecoletadedados;asegunda bastanteampla,envolveaorganizaoinicialeoresumodosdados,afimdeextrair informaes teis,e em seguida analisar e interpretar essas informaes. Dessa forma a estatstica pode ser:descritiva e indutiva ouinferencial. ~AEstatstica Descritiva a parte da estatstica que utiliza nmeros paradescrever fatos.Esse ramo daestatstica resumee simplificaasinformaes coma finalidade detornarascoisasmaisfceisdeentender,derelataredediscutir.Ataxade desemprego,ocustodevida,ondicedeanalfabetismo,tudoissoseenquadra nessa categoria. ~AEstatsticaIndutivaouInferencialapartedaestatsticaqueanalisae interpreta osdados. A Estatstica pode ser estatstica descritiva e estatstica indutiva ou inferencial VocvaientenderqueessesdoisramosdaEstatsticanososeparadosou distintos,estoentrelaados.Descrever eresumir dadosconstituiaprimeirafasedesua anlise.Portanto,uma etapa complementa a outra. A Estatstica Descritiva procura a coleta,a organizao e a descrio dos dados. A estatstica Indutiva ou Inferencial analisa e interpreta esses dados. 3.2.Etapas do Mtodo Estatstico: Podemos distinguir as seguintes etapas no mtodo estatstico: ~Coleta dos dados aps a formulao de umplano (deve haver clareza na finalidade de umestudo ou anlise); ~Crtica dos dados; ~Apurao dos dados;e ~Exposio ouapresentao dos dados. ~Anlise e interpretao dos dados. 4 TCNICODESECRETARIAESCOLAR ESTATSTICA 3.2.1. A coleta dos dados A coleta dos dados inicia-se aps umplanejamento,atravs do qual determinada a finalidadedeumestudoouanlisede formabemclara,bemcomosoestabelecidasas caractersticas mensurveis do fenmeno que se vaipesquisar. A coleta dos dados pode ser realizadade forma direta ouindireta. ~Acoletadiretafeitasobreelementosinformativosderegistrosobrigatrios, podendo ser classificada assim: Contnua:quandofeitacontinuamente.Exemplo:registrodenascimentos,bitos, casamentos,etc. Peridica:quandofeitaemintervaloconstantedetempo. ocasodoscensoscensodoIBGE(10em10anos),censoescolar(anualmente),avaliaesdos alunos (mensais,bimestrais); Ocasional:quando realizada eventualmente, a fim de atender a uma emergncia. o caso das epidemias. ~Acoletaindiretafeitacombaseemdadosjexistentes(coletadireta).Por exemplo:emuma pesquisa sobre a mortalidade infantil,so coletados dados que j foram colhidos atravs de uma coleta direta. 3.2.2.Acrticadosdadosafasequesucedecoletadosdados,devendoser realizadacriteriosamente.Osdadosdevemser cuidadosamentecriticados,procurade possveis falhas,a fimde se evitar erros grosseiros que possaminfluir nos resultados. 3.2.3.Aapuraodosdadosoprocessamentodedadosobtidoseadisposio mediante critrios de classificao. 3.2.4.Aexposioouapresentaoconsistenoresumoeapresentaodosdados. Tudo queseplanejouprecisa ficar registrado,documentado,paraseevitar esquecimento dosdados.Osdadosestatsticosdevemserresumidoseapresentadosdeforma adequada,atravsdetabelasegrficos,facilitandoacompreensovisualdosclculos matemtico-estatsticos que lhes deram origem. 3.2.5.Anliseeinterpretaoderesultados- OobjetivomaiordaEstatsticatirar conclusessobreotodo(populao),apartirdasinformaesfornecidasporparte representativadotodo(amostra).Assim,realizadasasfasesanteriores(estatstica descritiva),fazemosumaanlisedosresultadosobtidosatravsdosmtodosda estatstica inferencial e tiramos desses resultados concluses e previses.Deve-se relatar asconclusesdemaneiraquesejamfacilmenteentendidasporquemasforusarna tomada de deciso. 5 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA ESTATSTICA APLICADA EDUCACO Exerccios - Captulo 1 1.Defina o termo Estatstica. 2.Qual a finalidade do mtodo estatstico? 3.Quais os principais ramos da Estatstica? 4.Em que consiste a Estatstica Descritiva? 5.As concluses,as inferncias pertencem a que parte da Estatstica? 6.Cite as fases do mtodo estatstico. 7.O que significa a coleta de dados no trabalho estatstico? 8.Que cuidados devem ser observados durante a apurao dos dados estatsticos? 9.Para que serve a anlise e a interpretao dos dados estatsticos? 10.Como podem ser apresentados ouexpostos os dados estatsticos? 11.Naadministraoescolaroobjetodeestudoaescola.Queaspectospoderoser trabalhados estatisticamente dentro de uma escola? 12.Voc acha que a Estatstica importante no mundo atual? Por qu? 13.Pesquise em jornais e/ourevistas tipos de dados estatsticos relacionados educao de nosso pas. 14.Emsua vida pessoal, voc utiliza a estatstica?Deque maneira? 6 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA ____________________CAPTULO2 Populao e Amostra 1. Variveis Voc j sabe que utilizamos a Estatstica quando queremos estudar um fenmeno. Quandoestudamosumfenmenopodemosencontrardiferentesresultados.Aesses possveis resultados chamamos de variveis. IVarivel o conjunto de resultados possveis de um fenmeno. Veja os exemplos: >- Para o fenmeno "sexo",so dois osresultados possveis:masculino e feminino >- Paraofenmeno"nmerodefilhos"humnmeroderesultadospossveis expressos atravs de nmeros naturais:0,1,2,3,... Pelosexemplosdemonstradosacimapodemosconcluir queumavarivelpode ser qualitativa e quantitativa. 1.1. Qualitativa - quando seus valores so expressos por atributos. Exemplo:sexo,estado civil,classe social,cor,profisso, campo de estudo, etc. 1.2. Quantitativa - quando seus valores so expressos atravs de nmero. Exemplo:nOdefilhos,nOdealunosmatriculados,idadedealunos,salrios,peso, altura etc. Essa varivel pode ser contnua e discreta. >- Contnua- quandoosdadossoresultantesdemedies,podendoassumir qualquervalorentredoislimites(numintervalocontnuo).Caractersticascomo:altura, peso,comprimento,espessura,dimetro,velocidade,temperatura,etc. Exemplo:Opesodeumaluno.Elepodepesar72kg,comopodepesar 72,5kgou 72,54kg,etc. >- Discreta- quandoosdadossoresultantesdecontagemdonmerodeitens,s podemtervaloresinteiros.Nessecaso,avarivelpodeassumirqualquervalordo conjuntoN={1,2,3 ...}. Exemplo:O nmero de alunos de uma escola;nmero de alunos numa sala de aula; nmero de pontos obtidos numa competio,etc. 2.Populao e Amostra EmEstatstica,aoestudarmosumconjuntodeobjetos,deindivduosoude ocorrncias,podemosconsiderartodooconjuntooupartedesseconjunto.Quando estudamostodooconjuntochamamospopulao,equandoestudamosapenasuma parte desse conjunto chamamos de amostra. Imagine,porexemplo,umcampeonatoquadrangularentreFlamengo,Corinthias, AtlticoeGrmio,sendorealizadoemumnicodia,noMaracan.Sequisermossaber qualacomposiodatorcidaqueestnoestdio,podemosdesenvolveroestudo, entrevistando: 7 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA );>O conjunto de todos os torcedores que esto no estdio (populao) );>Ouparte desse conjunto de torcedores (amostra). Ostermos"populao"e"amostra"sereferema umconjuntodecircunstncias,ou seja,emdeterminadocaso,osalunosdeumcursodaUniversidadepodemser consideradosumapopulao,jemoutrasituao,osmesmosalunospodemser considerados uma amostra de todos osalunos da Universidade. Populaoestatstica,ouuniversoestatstico,oconjuntodetodososelementos envolvidosno fenmenoa ser estudado,compelomenosumacaracterstica comum.Por exemplo,osestudantesconstituemumapopulao,poisapresentamumacaracterstica comum: so todas as pessoas que estudam. Aparceladogrupo examinada chamadadeamostra,e o grupo todo - do qualse extraia amostra - designado populaoouuniverso.Oselementos quecompemuma populaopodemser:indivduos,firmas,produtos,escolas,alunos,preos,ouqualquer coisaque possa ser mensurada,contada ouordenada. svezes,fatorescomocustoetempotornamaamostraprefervelumestudo completodapopulao.Por exemplo,o custodeumcensopodetorn-loinvivelpor se tratardeumnmerograndedeelementos,porissonamaioriadasvezesosestudos estatsticossorealizadosatravsdeamostras,pormnecessrioqueaamostra represente a populao da qual foi extrada. A amostra deve ser representativa da populao,isto ,ela deve possuir asmesmas caractersticasbsicasdapopulao,deveconter nasmesmasproporestudoo quea populaopossuiqualitativaequantitativamente,afimdequetenhamosresultados confiveis. Populao o conjunto de elementos envolvidos no fenmeno a ser estudado. Amostra um subconjunto finito da populao. 2.1. Amostragem A amostragem uma tcnica especialpararecolher amostras,que garante o acaso na escolha. A amostra deve ser imparcial,a fimde que cada elemento da populao passe a ter amesmachancedeserescolhido,oquegaranteamostraocarterde representatividade.Destacaremos trs das principais tcnicas de amostragem: 2.1.1. Amostragem Casual ou Aleatria Simples Aamostragemaleatriasimplesdegrandeimportncianaanliseestatstica, poisemboranenhumplanodeamostragempossagarantirqueaamostraseja exatamentesemelhantepopulaodaqualfoiextrada,umaamostraaleatriasimples permiteestimaro valordoerropossvel,isto,dizer "quoprxima"estaamostrada populao. Essatcnicaapropriadaparaapopulaoemqueoselementosso homogneos,e deve conter,pelo menos,10% dos elementos da populao. Exemplo:Grupo de alunos do Centro de Formao Profissional 8 TCNICODE SECRETARIAESCOLARESTATSTICA SuponhamosqueaDiretoradessainstituiodesejeconheceravidaSOCIOeconmicadosseus200alunos.Comoapopulaogrande,elaresolveufazerum levantamentoporamostragemem10%dosalunos.Atravsdesorteio,comfichas numeradas deum a duzentos, ela faz a seleo de 20alunos. 2.1.2. Amostragem Proporcional Estratificada A amostra dividida emsubpopulaes (estratos) comumnmero de elementos proporcional ao de cada grupo que formaa populao. Observe:so dois estratos (sexo masculino e sexo feminino),e queremos uma amostra de 10% da populao.Logo teremos: SEXOPOPULAO10%AMOSTRA M5410x54=5,45 100 F3610x36=3,64 100 10 x 90 = 9,0 Total909100 Numeramos osalunos de01a90,sendoquede01a 54correspondemaosexo masculino,ede55a90,aosexofeminino.Utilizandoatabeladenmerosaleatrios, tomando a primeira e a segunda colunas da esquerda,de cima para baixo,ento obtemos os seguintes nmeros: 57,28,92,90,80,22,56,79,53,18,53,03,27,05,40 Temos:28,22,53,18,03 - para osmeninos, e57,90,80,56 - para as meninas 2.1.3. Amostragem Sistemtica Quando oselementos da populao j seachamordenados,nohnecessidade deconstruirosistemadereferncia.Soexemplos:aopronturiosmdicosdeum hospital,osprdios de uma rua,etc. Estetipodeseleoconsisteemselecionaroselementosaintervalosregulares (de tanto a tanto),e favorece a incluso na amostra de todos os elementos. Por exemplo: As casas de umconjunto habitacional Neste caso,a seleo doselementos da amostrapodeser feitapor uma sistema impostopelopesquisador.Vejamoscomoelepodeselecionar10casasentre200.Deve usar ointervalodeseleodadopeloquocientedonmerodeelementosdapopulao, dividido pelo nmero da amostra.Ento ser: 200 = 20(intervalo) 10 Assim,de20em20retira-seumelemento.Sorteia-seapenasoprimeiro,para encontrar osdemais bastaacrescentar 20.Escolhemospor sorteio casualumnmero de 1 a 20(inclusive),o nmero sorteado ser o primeiro elemento da amostra. Imagine que o nmero sorteado foio 13,osoutros a serem selecionados sero: 33,53,73,93,113,133,153, 173e 193 Este tipo de seleo permite a incluso dos elementos do incio da lista at o fim. 9 TCNICODESECRETARIAESCOLAR ESTATSTICA ESTATisTICA APLICADA EDUCAO Exerccios - Captulo 2 1.Classifiqueasvariveisabaixoemqualitativasouquantitativas.Sequantitativas, identifique se so discretas oucontnuas. a.Populao: alunos de uma cidade .. Varivel: cor dos olhos ....................................................................................... b.P.:Estao meteorolgica de uma cidade V'"t- I.,.d..preclpl aao p uVlometnca,urante umano ................................................. . c.P.:Pregos produzidos por uma mquina. V.:comprimento ................................................................................................. . d.P.:Casais residentes emuma cidade. V.:sexo dos filhos .............................................................................................. . e.P.:Propriedades agrcolas do Brasil. V.:produo de algodo .................................................................................... . f.P.:Bibliotecas da cidade de Fortaleza. V.:nmero de volumes ..................................................................................... . g.P.:Alunos de uma Universidade V.:estaturas dos alunos ................................................................................... . h.P.:Alunos do 5a ano da Escola X V.:notas de uma prova..................................................................................... . i.P.:Funcionrios de uma Academia V.:estado civil dos funcionrios....................................................................... . j.P.:Peas produzidas por certa mquina V.:nmero de peas produzidas por dia......................................................... . I.P.:Peas produzidas por certa mquina V.:dimetro externo das peas ........................................................................ . 2.Na Escola So Leopoldo,para estudar a preferncia em relao a refrigerantes, sortearam-se150 estudantes entre 1000 matriculados. Agora,responda: a)Qual a populao envolvida napesquisa? b)Que tipo de amostra utilizada? c)Que valor representa a amostra considerada? 3. ODiretordeumaempresa,naqualtrabalham600funcionrios,sendo280dosexo masculinoe320dosexofeminino,querendoconhecerascondiesdevidas6cioeconmicadeseusfuncionrios,enodispondodetempoparaentrevistartodasas famlias,resolveu fazer umlevantamento por amostragem em10% dessa populao. ObtenhaparaesseDiretor os elementoscomponentesdaamostra.Quantosalunos de ~ a ~ r o ? ~ 4. Emseucampodeatividadesdexemplodeduaspopulaesquepoderiamser estudadas,e que variveispoderiam ser pesquisadas? 10 ---------------------------------------TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA CAPTULO3 Sries Estatsticas 1. Tabelas Osresultadosdeumestudo estatsticodevemser apresentados atravs de tabelas ougrficosparaque forneaminformaesrpidaseseguras.Astabelassintetizamos valoresqueumaoumaisvariveispodemassumir,dando-nosumavisoglobalda variao dessa oudessas variveis. O que uma tabela? [abela um quadro que resumeumconjunto de observaes.1 Qual o objetivo de uma tabela? A tabela objetiva fornecer o mximo de informao emummnimo de espao. Quais so os elementos de uma tabela?Uma tabela composta de: ~corpo - oconjuntodelinhasecolunasquecontminformaessobreavarivel em estudo; ~cabealho - a parte superior da tabela que especificao contedo das colunas; ~colunaIndicadora- aprimeiraesquerdaondeseregistramascategoriasda varivel,ouseja,o contedo das linhas; ~linhas- soretasimaginriasquefacilitamaleitura,nosentidohorizontal,de dados que se inscrevemnos seus cruzamentos comas colunas; ~casa ou clula - o espao destinado a ums nmero; ~ttulo- conjuntodeinformaes,asmaiscompletaspossveis,respondendoas seguintes perguntas:O que? Quando? Onde? localizado no topo da tabela; ~fonte, notas e as chamadas - so elementos complementares da tabela que aparecem,de preferncia,no seurodap. Exemplo: Produo de caf Brasil- 1991/19954- ttulo cabealho~ANOSPRODUO coluna indicadora ~ 1991[2.53514 casaouclula 19922.666 corpo----t19932.1224 linhas 19943.750 19952.007 Rodap----tFonte:IBGE 11 TCNICODESECRETARIA ESCOLAR ESTATSTICA Segundo conveno adotadauniversalmente,as tabelas devero ser fechadasno alto,abaixodottuloeembaixo,acimadafonte,comlinhasmaisgrossas,ficandoas lateraisabertas.Acolunamuitoextensadeveterdecincoemcincolinhasumintervalo embranco.Uma tabela jamais ter uma casa ouclula vaga. DeacordocomaResoluo886daFundaoIBGE,nascasasouclulas devemos colocar: ~umtravesso(-)quandoovalorzero,nosquantonaturezadascoisas, como quanto ao resultado do inqurito; ~trs pontos ( ...) quando no se dispe de dados; ~umpontodeinterrogao(?)quandotemosdvidaquantoexatidode determinado valor; ~zero(O)quandoovalormenorque1emaiorquezero.Seosvaloresso expressosemnumeraisdecimais,precisamosacrescentarpartedecimalum nmero correspondente de zeros (0,0;0,00;0,000; ...). 2.Sries Estatsticas Assriesestatsticas sumarizamumconjuntoordenadodeobservaesatravsdo tempo,espao e espcie do fenmeno. O que uma srie estatstica? Srie Estatstica todatabela que apresenta a distribuio deum conjunto de dados estatsticos em funo da poca,do local ou da espcie. Vocviunoconceitoacimaquenumasriepodemosobservar a existnciadetrs elementosoufatores:otempo,oespaoeaespcie.Conformevarieumdesses elementos,podemos classificar a srie em:histrica, geogrfica ouespecfica. 2.1. Srie Histrica, Cronolgica ou Temporal: Asriehistricaquandoapresentanacolunaindicadoraavariveltempo(anos, meses,semanas,etc) Exemplo: Matrculas naEscola X no quatrinio1990/1993 AnosMatrcula 1990800 19911100 19921500 19931800 Fonte:APA 12 TCNICODESECRETARIAESCOLAR ESTATSTICA 2.2. Srie Geogrfica, Espacial ou Territorial: Asriegeogrficaquandodescrevenacolunaindicadoraavarivelespao (municpios,regies,zonas,etc.), ficando fixoso tempo e a espcie. Exemplo: Durao Mdia dos Estudos Superiores 1994 PasesINmero Itlia7,5 Alemanha7,0 Frana7,0 Holanda5,9 Inglaterramenos de 4 Fonte:Revista Veja 2.3. Srie Especfica ou Categrica: Asrieespecficaquandooquevariaaespcieoucategoriadofenmeno, ficando fixos o espao geogrfico e o tempo. Exemplo: Matrculas nas Escolas Municipais da Cidade X - 1995 SriesAlunos 125.000 219.000 315.000 4 10.800 Fonte:Fictcia 3.Sries Conjugadas (Tabela de Dupla Entrada) Muitas vezestemosnecessidade deapresentar emumanicatabelaa variaode valores de mais de uma varivel,isto ,fazer a conjugao de duas oumais sries. Conjugandoduassriesemumanicatabela,obtemosumatabeladedupla entrada.Emumatabeladessetipoficamcriadasduasordensdeclassificao:uma horizontal(linha)eumavertical(coluna).Acolunaindicadoraapresentara varivelque se deseja enfatizar. 13 TCNICODESECRETARIA ESCOLAR ESTATSTICA Exemplo: Terminais Telefnicos emServio 1991/1993 Regies199119921993 Norte342.938375.658403.49 Nordeste1.287.8131.379.1011.486.64! Sudeste6.234.5016.729.4677.231.63, Sul1.497.3151.608.9891.746.23: Centro-Oeste713.357778.925884.822 Fonte:Ministrio das Comunicaes A conjugao,no exemplo dado, foi srie geogrfica-srie histrica, que d origem srie geogrfico-histrica ougeogrfico temporal. Podemosteraindaoutrostiposdesriesconjugadas,asquaispoderoser denominadas de acordo comas variveis que representam:histrico-geogrfica (variam tempoeespao),histrico-especificativa(variamtempoeespcie),especificativogeogrfica(variamespcieeespao),especificativo-especificativa(variamespciee espcie). 4.Distribuio de Frequncia Adistribuiodefrequnciaumasrieestatsticaqueresumeosresultadosde uma varivel quantitativa, geralmente contnua. Esteconceitoestatsticode grandeimportncia,portanto,sertratadocommaior profundidade no captulo 7. Vejamos umexemplo de distribuio de frequncia: Estaturas de 50 Professores da Escola X- 2004 Estaturas (cm) INde alunos 1401-15010 1501- 16035 160,- 1703 1701-1801 180 I- 1901 I=50 Fonte:Dados fictcios 14 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA ESTATSTICA APLICADA EDUCAO Exerccios - Captulo 3 1.Classifique as sries estatsticas: PRODUO BRASILEIRAAVICULTURA BRASILEIRA DEBORRACHA NATURAL1992 AnoToneladasEspciesNmero 199129.543Galinhas20.160 199230.712Galos,Frangos435.465 199340.663Codornas2.488 Fonte:IBGEFonte:IBGE VACINAO CONTRAEXPORTAO BRASILEIRA POLlOMELlTE -19931985 - 1990 - 1995 RegiesQuantidadeImportadores198519901995 Norte211.209Amrica Latina13,013,425,6 Nordeste631.040EUAe Canad28,226,322,2 Sudeste1.119.708Europa33,935,220,7 Sul418.785sia e Oceania10,917,715,4 Centro-Oeste185.823frica e O.Mdio14,08,85,5 Fonte:Ministrio da SadeFontes:MIC e SECEX 2.Sessenta jurados escolherama sede das Olimpadas entrecincopases(A,B,C,D e E).UmaentrevistacomessesjuradosrevelouquenovedelesoptarampelopasA, seis por B,27 por C,trs por D e15 por E.Pede-se: a)construa a srie estatstica correspondente e b)classifique a srie segundo a varivel. 3.D exemplo de uma srie conjugada histrico-especificativa. 4.Procure exemplos de sries estatsticas em jornais e revistas,copie e classi"fique-as. 15 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA _______________________________________CAPTULO4 Dados Absolutos e Dados Relativos 1. Dados Absolutos Dadosabsolutossoosdadosestatsticosresultantesdacoletadiretadafonte atravs das contagens oumedidas. Osdadosabsolutostraduzemumresultadoexatoefiel,masnorepresentamde imediatoassuasconclusesnumricas.Essesvaloresteromaiorsignificadoseos tomarmoscomrefernciaa outros valoresparacomparao.Daa necessidade que tem aestatsticadosdadosrelativos.Portanto,paramaior significaoosdados absolutos deverosofrertransformaoemnmerosrelativos,oquepossibilitarinterpretaes comparativas. 2.Dados Relativos Dadosrelativossooresultadodecomparaesporquociente(razes)quese estabelecementredados absolutos, facilitando as comparaes entre quantidades. Portanto,quandofazemoscomparaoentrevaloresabsolutosestamos transformando-os emdados relativos. Abordaremosaquiosnmerosrelativosdemaiorsignificaoparaotrabalho estatstico escolar:percentagens,ndices de densidade,coeficientes e taxas. 2.1. As percentagens Apercentagemoupercentagem o nmerorelativomaisusado.Elaexpressauma relaodapartecomotodoembase100,ouseja,umaporoproporcionadasobre uma quantia de 100 unidades. Vejamos a seguinte srie como exemplo: Matrculas nas Universidades das cidades A e B - 1995 CursosAlunos matriculados cidade Acidade B Pedagogia19.28638.660 Matemtica1.6813.399 Geografia234424 Total21.20142.483 Fonte:dados fictcios 16 TCNICODESECRETARIAESCOLAR ESTATSTICA o primeiro passo calcular as percentagens dos alunos de cada curso: CidadeACidade B Pedagogia:19.286. 100 =90,96= 91,0Pedagogia:38.660 . 100= 91,0 21.20142.483 Matemtica:1.681.100= 7,92=7,9Matemtica:3.399.100 =8,0 21.20142.483 Geografia:234. 100= 1,10=1,1Geografia:424.100=1,0 21.20142.483 Usandoosnmerosabsolutosnoficafcilconcluirqualdascidadestem, comparativamente,maiornmerodealunosemcadagrau,vistoqueonmerototalde alunos diferente nas duas cidades. Usaremos,ento,osnmerosrelativos,acrescentandotabelaascolunas correspondentes spercentagens comos dados encontrados acima,formandoumanova srie. Vejamos: Matrculas nas Universidades da cidade A e B - 1995 CursosCidade A%Cidade B% Pedagogia19.28691,038.66091,0 Matemtica1.6817,93.3998,0 Geografia2341,14241,0 Total21.201100,042.483100,0 Fonte:Dados Fictcios Os valores dessanovacolunanos dizem que,de cada100 alunos da cidade A,91 % estomatriculadosnocursodePedagogia;8%,aproximadamente,nocursode Matemtica;e1%nocursodeGeografia.NoColgioB,podemosobservaromesmo resultado. Comosvaloresrelativosencontrados(percentagens),podemosafirmar, seguramente,queambasascidadescontamcomomesmonmerodealunosemcada curso. Oempregodapercentagemdegrandevaliaquandonossointuitodestacara participao da parte no todo. Nopodemos deixar de lembrar que aspercentagens devero totalizar sempre100. Sehouver necessidade de ajustamentos,os dados soarredondados ata primeiracasa decimal. 17 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA Veja outro exemplo comasporcentagens j calculadas: Populao brasileira nas dcadas de1940 a 2000 Populao em% da populao em Dcadas milhescidades 194041,231 195051,936 196070,045 197093,156 1980119,068 1991146,876 2000169,581 Osnmerosapresentam-seemformaabreviada.Em1940,apopulaodoBrasil era41.236.315pessoas,conformedadosdoCenso.Percebaquenatabelafoi arredondado (aproximado) e apresentado na formaabreviada: 41,2 milhes de pessoas. Nmero: 41.236.315 Valor arredondado: 41.200.000 Valor abreviado: 41,2 milhes 2.2. Indices Osndices so razes entre duas grandezas tais que uma no inclui a outra. yExemplos de ndices: Quociente Intelectual =idade mentalx100 idade cronolgica Densidade Demogrfica =populao superfcie yExemplos de ndices econmicos: Produo per capita =valor total de produo populao Renda per capita =renda populao yIndices de Densidade Escolar: Os Indices de Densidade Escolar expressamumarazo entre variveis de diferentes espcies.Vejamososndicesdedensidadeescolarmaisusadosnoplanejamentoda educao: Densidade corpo discente= (indice de alunos por professor) Corpo docente Densidade corpo discente= (ndice de alunopor metro quadrado) rea Densidade corpo discente=(indice de alunospor sala de aula) sala de aula 18 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA Densidade corpo discente=(ndice de alunos por unidade escolar) Unidade escolar 2.3. Os coeficientes Ocoeficientearazoentreovalordeumavariveleoutravariveldamesma espcie,tomada como referncia,numa relao de parte para o todo. ~Exemplos de coeficientes: Coeficiente de natalidade=nmero de nascimentos populao Coeficiente de mortalidade=nmeros de bitos populao total ~Coeficientes educacionais: Coeficiente de Evaso Escolar=Nmeros de alunos evadidos Nmero inicial de matrculas Coeficiente de Aproveitamento Escolar =Nmeros de alunos aprovados Nmero final de matrculas Coeficiente de Recuperao Escolar =Nmero de alunos recuperados Nmero de alunos em recuperao Coeficiente de Repetncia=Nmero de matrculas de repetentes Nmero de matrculas totais Coeficiente de Escolarizao=Matrcula Geral=(crianas matriculados) Populao Escolarizvel O coeficientedeEscolarizao umindicador do atendimento escolar emrelao populao escolarizvel.O complementodessepercentualdarondiceinverso,ouseja o coeficiente de crianas no escolarizadas. Coeficiente de Produtividade Anual =Aprovaco no final do ano=(alunos aprovados) Matrcula final O coeficiente de Produtividade Anual umindicador de aprovao anual dos alunos. 2.4. As taxas Astaxassooscoeficientesmultiplicadospor umapotnciade10,100,1000,etc, conforme a convenincia. ~Exemplos de taxas: Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x1.000 (0/00) Taxa de natalidade =coeficiente de natalidade x 1.000 (0/00) Taxa de evaso escolar = coeficiente de evaso escolar x 100 (%) Taxa de reprovao = coeficiente de reprovao x 100 (%) Taxa de analfabetismo = coeficiente de analfabetismo x1.000 (0/00) Taxa de domiclios comsaneamento = coeficiente de domiclios x1000 (0/00) 19 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA ESTATSTICA APLICADA EDUCAO Exerccios - Captulo 4 1.Considerando que Minas Gerais, em1992,apresentou: Populao:15.957, 6 milhabitantes Superfcie:586.624 km2 Nascimentos: 292.036 bitos:99.281 Combases nos dados acima citados calcule: a)o ndice de densidade demogrfica b)a taxa de natalidade c)a taxa de mortalidade 2.Umlaboratriorealizou,numcertodia,noventacoletasdesangue.Umdositens analisadosfoiogruposanguneodosistemaABO.Dessetotal,constatou-seque27 coletaseramdogruposanguneo A,36doB,18doABe9 doO.Comessesdados, construaumatabelarelacionandoosgrupossanguneoseasfrequnciasabsolutae relativa. 3. Uma escola registrou emmaro,na1asrie,a matrcula de 40 alunos e a matrcula efetiva,emdezembro, de 35alunos.Qual foia taxa de evaso? TEE= 4.Algumas estatsticas de dois municpios: EstatsticasMunicpios AIB Matrculas60.0008.000 Professores1.200200 Aprovao36.0004.800 Unidades30040 Salas-aula1.000170 Calcule e interprete os seguintes nmeros relativos: Coeficiente deprodutividade Indice de densidade aluno/professor Indice de densidade aluno/unidade Indice de densidade alunos/sala-aula 5. Pesquise em jornais e/ourevistas tipos de coeficientes, taxas e ndices educacionais. 20 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATfsTICA --------------------------------------CAPTULO5 Grficos Estatsticos 1.Grficos Estatsticos Voc viuque aps a coleta de dados, estes so sumarizados em uma srie estatstica, e emseguida transformados emnmeros relativos,porm o trabalho estatstico ainda no foi concludo,pois passar por uma segunda transformao: o grfico. O grfico estatstico uma forma de comunicao do fenmeno em estudo emtermos visuais,cujoobjetivoodeproduzir,noinvestigadorounopblicoemgeral,uma impressomaisrpidaevivadofenmeno,jqueosgrficosfalammaisrpido compreenso que as sries. O que um grfico estatstico? O grfico estatstico uma forma de apresentao de dados em termos visuais. Os requisitos fundamentais de um grfico so:simplicidade, clareza e veracidade. Visandoaessasqualidadesrecomenda-sequeapresentemasseguintes caractersticas:proporcionalidade,alturacom3/4a2/3dalargura;ttuloesubttulo; inclusodelegendasecoordenadasqueorientemavistanaleituradogrfico; sombreados que agradem vista e no ocasionem iluso de tica. 2. Tipos de Grficos Vejamos os principais tipos de grficos: ~O Diagrama ougrfico de duas dimenses ~O Cartograma ~O Pictograma ougrfico fantasia Neste captulo nos deteremos nos conceitos dos diagramas,haja vista a relevante importncia para o nosso estudo. 2.1. Diagramas Osdiagramassogrficosgeomtricosde,nomximo,duasdimenses.Parasua construo, em geral fazemos uso do sistema cartesiano. Dentre os principais diagramas, destacamos: ~Grfico emlinhas ou em curvas ~Grfico em colunas ou embarras ~Grfico em colunas ou embarras mltiplas ~Grfico em setores 21 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA a.Grfico emlinhas ouem curva Este tipo de grfico seutiliza dalinhapoligonalpararepresentar asrieestatstica. Seuprincipalobjetivo evidenciar a tendnciaou forma como o fenmeno est evoluindo ouinvoluindo,atravsdotempo,utilizando,paraisso,umalinhapoligonal.exclusivo para a representao da srie histrica. ParaconstruirOgrficoemlinhasfazemos,usodeduasretasperpendiculares,os eixoscoordenados(xey)eopontodeinterseo,aorigem.Dafaz-searelaono espaogeomtricodavarivelindependentetempo,comavariveldependenteem estudo. Observe a seguinte srie: Matrculas naDelegacia X no quatrinio1987/1990-MG AnosMatrculas 1987107.000 1988109.000 1989110.000 1990118.300 Fonte:Boletins Anuais Veja o grfico correspondente srie: Matrculas naDelegacia X no quatrinio 1987/1990-MG Matrcula (milhares)118 116 114 112 110 108 106 o 1987198819891990anos Fonte:Boletins Anuais Observao:Ozero,demodogeral,deverserindicadosemprequepossvel, especialmente no eixo vertical. 22 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA b.Grfico em colunas ou em barras a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos verticalmente (emcolunas) ouhorizontalmente (embarras). ~Grfico em colunas Nessetipodegrfico,ascategoriasdavarivelsoregistradashorizontalmentee sobreelassolevantadascolunasdealturascorrespondentesvarivelfrequncia.Os retngulosdevemteramesmabase,easalturassoproporcionaisaosrespectivos dados,havendo entre as colunasumintervalo mais estreito (aproximadamente 2/4ou2/3 dalargura da coluna). Esse tipo de grfico usado para representar as sries especficas e geogrficas. ConstruiremosumatabelabaseadaemumapesquisarealizadapelaSecretaria de Sadedeumacidade,visandoconheceroshbitosdehigienebucaldapopulao, identificouemumdeseusitensotipodecremedentalmaisconsumidoetabelouos seguintes dados: Exemplo de srie especfica: Consumo de creme dental nacidade X Tipo de creme dentalINde pessoas Flor80 Bicarbonato de sdio20 Menta e flor60 Flor e bicarbonato de sdio40 Fonte:Secretaria de Sade Observe o grfico emcolunas correspondente esta srie: Consumo de creme dental na cidade X pessoas 80 60 40 20 I FlorBicarbonato de sdio Menta e flor Flor e B.de Sdio Tipo de creme dental Fonte:Secretaria daSade 23 TCNICODESECRETARIA ESCOLAR ESTATSTICA ~ Grfico em barras Nogrficoembarrasosretngulossodispostoshorizontalmente.Osretngulos devem ter a mesma altura e os comprimentos so proporcionais aos respectivos dados. Estegrficosedistinguedogrficoemcolunaspelatrocadeposioentrea variveleafrequncia.Nesteafrequnciarepresentadanalinhahorizontaleas categorias da varivel so registradas verticalmente. Exemplo de grfico em barras considerando a srie geogrfica: Matrcula naDelegacia X por Regies - 2000 - CE RegiesAlunos 1a 7.000 2a 45.000 3a 18.000 Fonte:Boletins Semestrais Vejamos o grfico correspondente srie: Matrcula naDelegacia X por Regies-2000-CE Regies 3a 2a 1a o612182430364248alunos (milhares) Fonte:Boletins Semestrais Alinhadaescalapoderserdispensada,desdequeseregistremosvaloresda varivel(matrcula) dentro das barras. Observaes: Semprequeosdizeresa sereminscritossoextensosdevemosdar prefernciaao grfico embarras (sries geogrficas e especficas); Aordemaser observadaa cronolgica, seasrieforhistrica;eadecrescente, se a srie for geogrficaou especfica; Adistnciaentre ascolunas(oubarras),nodeversermenor queametadenem maior que os dois teros dalargura (ouda altura) dos retngulos. 24 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA c.Grficos em colunas ou barras mltiplas Estetipodegrficogeralmenteempregadoquandoqueremosrepresentar, simultaneamente,doisoumaisfenmenosestudadoscomopropsitodecomparao. Oscritriostcnicosparaconstruosoosmesmosdogrficodecolunasoubarras simples,acrescentando-se aqui a legenda paraidentificao das subcategorias. Observe a srie especificativo-especificativa: Alunos da EscolaX - CE 2004 Tipo SrieNovatoRepetenteTotal 4a 55560 3a 501969 2a 13015145 f20080280 Total435119554 Fonte:Boletim Anual Vejamos o grfico correspondente: Escola X - CE 2004 alunos 200 160 120 80 40 o11--1---' 1a.2a.3a. D novatos ~ repetentes 4a.sries Fonte:Boletim Anual d.Grfico em Setores ou Pizza O grfico em setores oupizza a representao grfica de uma srie estatstica por meio de um crculo,dividido em setores. Estegrficoutilizadoprincipalmentequandosepretendeobteraparticipao percentualdosdadosemrelaoaotodo,oquepossvelquandocomparamoscada valordasriecomototal.Ototal(100%)representadopelocrculo(360),quefica 25 TCNICODESECRETARIAESCOLARESTATSTICA divididoemtantossetoresquantassoaspartes.spartescorrespondeonmerode setores,cujas reas so respectivamente proporcionais aos dados da srie. Os360do crculosodivididospelascategoriasdavarivel,proporcionalmentes freqnciasobservadas.Cadacategoriacorresponderaumadivisoousetor,dao nome grfico emsetores. Obtemoscadasetorpormeiodeumaregradetrssimplesedireta,lembrando sempre que o total da srie corresponde a 360. Vejamos o exemplo coma srie geogrfica: Matrcula na Delegacia X por Regies - 2000 - CE RegiesAlunos 1a 7.000 2a 45.000 3a 18.000 Total70.000 Fonte:Boletins Semestrais Resolvendo atravs de regra de trs,obtemos os valores em graus referentes aos setores: , x1 =7.000.360 =36 ~x1 =360 70.000 x?- = 45.000.360=231,4 ~x?- =231,470.000 x3x3 =18.000. 360 =92,6 ~=926='-=70.000Total=360,0Comosdadosencontrados,marcamosnumcrculoderaioarbitrrio,comaajuda deumtransferidor,osnguloscorrespondentesacadavalor,oudeformamaisprtica, coma ajuda de umcomputador,obteremos o seguinte grfico: recomendvelregistrardentrodossetoresascategoriasdavarivel acompanhadasdosrespectivosndicespercentuais.Portanto,necessriotransformar os valores encontrados em graus,emndicespercentuais. 26 TCNICODESECRETARIAESCOLAR ESTATSTICA Veja como calcular: x1 = 36, O . 100= 1O~x1 = 10% 360 x?= 231,4. 100= 64~x?=64% 360 x3 x3 = = 92,5.100= 26~26% 360Total=100% Com os valores percentuais encontrados j podemos concluir o nosso grfico. Matrcula na Delegacia X por Regies -2000 - CE 28 Regio 64% Fonte:Boletins Semestrais Observaes: Quandoasrie japresentaosdadospercentuais,obtemososrespectivosvalores emgraus multiplicando o valor percentual por 3,6; O grfico emsetores s deve ser utilizado quando h,no mximo,sete dados. 2.2.Cartograma Ocartogramaarepresentaogrficadeumfenmenogeogrfico,porisso constitudo sobre uma carta geogrfica. Estegrficoutilizadoquandooobjetivoodefigurarosdadosestatsticos diretamente relacionados comreas geogrficas oupolticas. Temos como exemplo a srie geogrfica: Populao Projetada da Regio Sul do Brasil 1994 ESTADOSPOPULAO Paran8.651.100 Santa Catarina4.767.800 Rio Grande do Sul9.475.900 Total22.894.800 Fonte:IBGE 27 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA Veja o grfico correspondente: Populao Projetada da Regio Sul do Brasil Legenda: .400.000 habitantes 2.3.Pictograma Conhecidoaindacomogrficopictrico,opictogramaconstituiumdosprocessos grficosquemelhorfalaaopblico,pelasuaformaaomesmotempoatraentee sugestiva,almde ser de fcilcompreenso.As frequnciassoregistradasatravsde figuras representativas do fenmeno. Hopictricoquesubstituiacoluna,comotambmoquesubstituiabarra.No primeirocaso,asfigurasserodealturascorrespondentesscolunas,frequncias.No segundocaso,cadafiguraequivaleaumgrupodefrequncias,equivalnciaessaque dever ser registradanalegenda. As duas linhas coordenadas - horizontal e vertical- so dispensveis. Esse tipo de grfico usado parailustrar as sries geogrficas e especificativas. Consideremos a seguinte srie histrica: Populao do Brasil 1960-90 AnosHabitantes (milhares) 196070.070,4 197093.139,0 1980118.562,5 1990155.822,4 Fonte:IBGE 28 TCNICODESECRETARIA ESCOLARESTATSTICA Veja a representao pictrica: Populao do Brasil 1960-90 Milhares 1960 1970 kAAAi 1980 A1x =725c::>x=4 x590 Logo, a torneira forneceu 4litros em 5 minutos. Vejamos, agora, exemplos de regra de trs simples inversa. 1) Uma torneira, jorrando 20 litros de gua por minuto,enche um reservatrio em 6 horas.Qual o tempo em que encher omesmo reservatrio, uma torneira com uma vazode 30 litros de gua por minuto? Dados do problema: 20 litros correspondem a 6 horas. 30 litros correspondero a x horas. 17 Vamos representar a quantia a ser paga corno juro pela letra x.Ternos, ento: x = (4% de 400).3 x= (0,04. 400).3 x=48 Ao todo(capital + juro) ela dever pagar aoBanco 400 + 48= 448, ou seja, Lcia vai pagar R$48,00 de juro, e o valor final do emprstimo, nas condies dadas, ser de R$448,00. Vejamos nosistema de juros compostos, quanto Lciapagaria: 1 ms:J sabemos;J=R$16,00eM=R$416,00 2 ms:Agora P = 416ei= 4%; ento J = ----. 416=16,64eM = J + P =16,64 + 416 = 432,64 100 3 ms:Agora P = 432,64 e i = 4% J= -.L.432,64=17,31eM= 17,31+432,64=449,95 100 Aps os trs meses, Lcia deveria pagar R$449,95. Comparando este emprstimo nos dois sistemas: Juros simplesP = 400,001 msM = 416,002 msM = 432,003 msM= 448,00 Juros compostosP = 400,001 msM = 416,002 msM = 432,643 msM= 449,95 Observeque,ao finaldo3ms, o montante calculado nosistema de juros compostos maior que no sistema de juros simples. Nesse caso, a diferena pequena, apenas deR$1,95, mas imagine se fosse num emprstimo grande, por exemplo, de dois milhes de reais! Resumindo: Cornocalcularjurossimplesacadaperodo.Observeoqueocorrecomomontanteemn(em inmeros) perodos: perodo inicial, M=P primeiro perodo, M = P + J = P + Pi = P (1+ i) segundo perodo, M = P + J + J = P + Pi + Pi = P + 2Pi = P (1 + 2i) terceiro perodo, M = P + 3J = P + 3Pi =P (1+ 3i) n- simo perodo, M = P+ nJ = P + nPi = P (1+ni) Assim, para qualquer perodo teremos que:1M= P (1+ ni)1 Como calcular juros compostos: Capital inicialM = P Montante1 msM = P (1+ i) Montante 2 msM = [P(1+ i)](1+i) = P (1+ i) = P (1+ ii Montante 3 msM = [P(1+ ii] (1+ i) = P (1+ i)3 Montante 4 msM = [PP(1+ i)3](1+ i) = P (1+ i)4 Assim, teremos a seguinte frmula quando o prazo n meses, trimestres, quadrimestres, semestres, anos, etc., para:1M = P (1 + i ) 1 ?1 EXERCCIOS 1)Um emprstimofoifeitopara ser liquidadoem 4meses,nosistema de jurossimples(SJS).O principal foiR$800,00 e o montante, ao final,r$1.280,00. Qual a taxa de juros ao ms (a.m.)? 2)Qualdeveser oprazo para quea aplicaodeum capital deR$600,00renda um montante de R$780,00 a uma taxa de juros simples de 0,5% a.d.? 3)Quantorendeude juros umemprstimocujomontantefoideR$552,00auma taxadejuros simples de 30% a.a., num prazo de 6 meses? Qual o capital inicial? 4) Um capital inicial deR$ 300,00 foiaplicado durante 4 meses, no sistema de juros compostos taxa de juros de 5% a.m.Qual o montante aofinaldos 4 meses? 5)Qual foio total de juros pagos num emprstimo de R$150,00 para ser quitado aps 6 semanas, a uma taxa de juros de 3% por semana, nosistema composto? 6) Thiago abriu uma caderneta de poupana com um depsito de R$200,00.Se os rendimentos, ao finaldo primeiro, segundo e terceiro meses, foram,respectivamente, de 5%, 8% e 6%, qual foi seu saldo aofinal do terceiro trimestre? 7)Uma aplicao, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao ms, rendeu R$1.920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada? ,...,,...,