Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de ... · Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares/ Claudio Henrique da Silveira

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Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de

Avaliação de Ativos Não Lineares

Claudio Henrique da Silveira Barbedo

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto COPPEAD de Administração

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D.

Rio de Janeiro

2008

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Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares

Claudio Henrique da Silveira Barbedo

Tese submetida ao corpo docente do Instituto COPPEAD de Administração, da Universidade

Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do

grau de Doutor.

Aprovada por:

____________________________________________ - Orientador

Prof. Eduardo Facó Lemgruber (COPPEAD/UFRJ)

___________________________________

Prof. Ricardo Pereira Câmara Leal (COPPEAD/UFRJ)

___________________________________

Prof. André Luiz Carvalhal da Silva (COPPEAD/UFRJ)

___________________________________

Prof. Octávio Manuel Bessada Lion (Banco Central)

___________________________________

Prof. Myrian Beatriz Eiras das Neves (Banco Central)

Rio de Janeiro

2008

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Agradecimentos

Inicialmente, ao Banco Central do Brasil, por atuar participativamente na formação

técnica de seus recursos humanos, com uma visão sistêmica e integrada.

Ao Programa PDEE de estágio no exterior da CAPES, que me possibilitou a

oportunidade de aprimoramento acadêmico.

Ao corpo docente do COPPEAD/UFRJ e aos funcionários pela excelência do Instituto.

Ao meu orientador, professor Eduardo Facó, pelo apoio antes e durante todo o curso

de Doutorado. Sua experiência e conhecimento contribuíram de maneira ímpar para que eu

chegasse até aqui.

Aos meus pais “in memorian”.

À minha esposa e aos meus dois filhos, Luiz Felipe e Caio, por suportarem as

constantes ausências, pela compreensão, pelo amor e pela força.

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FICHA CATALOGRÁFICA

Barbedo, Claudio Henrique da Silveira.

Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de

Ativos Não Lineares/ Claudio Henrique da Silveira Barbedo. - Rio de

Janeiro, 2008.

viii, 95f.

Tese (Doutorado em Administração) - Universidade Federal do Rio de

Janeiro – UFRJ, Instituto COPPEAD de Administração, 2008

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber

Opções. 2. Ativos Não-Lineares. 3. Medidas de Risco. I. Lemgruber, Eduardo Facó (orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.

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RESUMO

BARBEDO, Claudio Henrique da Silveira. Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2008. Tese (Doutorado em Administração).

Esta tese explora, através de três ensaios, a aplicação de derivativos, em particular das opções, como instrumento de medida ou de referência de risco no mercado financeiro. No primeiro ensaio, o objetivo é analisar dois fatores de risco bem distintos que contribuem diretamente para a formação da variação de preços dos ativos, ou seja, da volatilidade dos ativos. O primeiro é a variação de preço devido à chegada de novas informações, o que conceitualmente é a definição de volatilidade, o segundo, a variação de preço decorrente da operação do investidor ser uma operação de compra ou de venda do ativo, o que na literatura é definido como spread de compra e venda. A metodologia de estimação do spread de compra ou venda embutido nos preços de mercado do ativo é realizada através de modelos de apreçamento de opção. A metodologia adotada no primeiro ensaio assume, ao invés da opção padrão de Black e Scholes adotada na literatura, uma opção de escolha americana de opção, dado que o ativo-objeto escolhido é uma opção. O segundo ensaio tem por objetivo estender características correntes dos modelos estruturais da literatura de maneira a apresentar um modelo que melhor incorpore as características que levem uma empresa à condição de default. O trabalho avalia probabilidades de default extraídas do mercado de crédito com probabilidades de default extraídas do mercado de ações. A informação da probabilidade de default contida no mercado de crédito é extraída através das posições de dívida registrada nas instituições financeiras na base de dados de crédito do Banco Central do Brasil. A técnica utilizada é a análise de sobrevivência – survival analysis – que captura o efeito do tempo nas probabilidades de default. O modelo estrutural desenvolvido para a comparação com as probabilidades geradas no mercado de crédito é a opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de juros estocásticas, comportamento down-and-out e saltos. O terceiro ensaio conclui a tese ao demonstrar empiricamente que apesar do desenvolvimento de modelos de apreçamento de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os resultados obtidos por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o mundo real. Com isso, inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de opções, como o spread de compra e venda e a probabilidade de default, são medidas aplicáveis no mundo real, ainda que sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando da dedução inicial.

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ABSTRACT

BARBEDO, Claudio Henrique da Silveira. Estimativa de Medidas de Risco através de Modelos de Avaliação de Ativos Não Lineares. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2008. Tese (Doutorado em Administração).

This thesis explores, through three essays, the use of derivatives, especially options, as risk measure in the financial markets. In the first essay, the aim is to analyze two risk factors that compose the asset volatilities. The first is the price changes caused by arriving of unanticipated information, which is the own definition of volatility, the second, the price changes caused by the fact that the transactions are traded at the bid or at the ask prices. The methodology to estimate bid-ask spreads embedded in asset prices is developed through option pricing theory. Instead of standard Black e Scholes options, the proposed model is an American chooser option. The second essay extends currently used structural models to reflect firms’ bankruptcy characteristics and to evaluate the Brazilian debt and equity market. The essay compares default probabilities extracted from the debt market and from the equity market. Debt market default probabilities are analyzed through economic sector loans’ records in the Credit Register Database of the Central Bank of Brazil. The methodology selected is a survival analysis methodology that represents the changes in the default probability over the term of the loans. The structural model developed to reconciliate the debt market default probabilities is an exchange down-and-out barrier option with jumps and stochastic interest rates. The third essay shows empirically that although option pricing methodologies are built in risk-neutral worlds, their results are compatible and convertible to the real world. So, risk measures obtained from option pricing models, as the bid-ask spreads and default probabilities, might be applied in the real world.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................................... 1

1.1 Os Instrumentos Derivativos e o Escopo do Trabalho ..................................................... 1

1.2 Características Gerais do Apreçamento das Opções ........................................................ 4

1.3 Características da Pesquisa ............................................................................................... 7

ENSAIO 1

O Efeito do Spread de Compra e Venda na Volatilidade Implícita das Opções no

Mercado Brasileiro: Um Estudo de caso das Opções de Telemar ..................................... 12

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 14

2 AMOSTRA E TRATAMENTO DA BASE DE DADOS ............................................... 17

3 METODOLOGIA ............................................................................................................. 18

3.1 Apreçamento das Opções pelo Modelo de Black & Scholes e de Merton ..................... 18

3.2 Estratégias Delta-Hedge ................................................................................................. 21

3.3 Mecanismos de Aferição do Spread de Compra e Venda .............................................. 23

3.3.1 Roll (1984) ................................................................................................................... 23

3.3.2 Estimação Através de Modelos de Apreçamento de Opções ...................................... 24

4 RESULTADOS ................................................................................................................ 27

5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 34

ENSAIO 2

Estimação de Probabilidades de Default no Brasil: O Modelo Estrutural de Opção de

Troca com Saltos e Barreira .................................................................................................. 36

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 38

2 O MODELO ..................................................................................................................... 41

3 DADOS ............................................................................................................................ 46

4 O EXPERIMENTO .......................................................................................................... 49

viii

4.1 Resultados do Modelo Estrutural ................................................................................... 50

4.2 A Metodologia da Análise de Sobrevivência ................................................................. 52

4.3 Reconciliando a Informação do Mercado e da Base de Dados de Crédito ..................... 58

5 CONCLUSÃO .................................................................................................................. 60

ENSAIO 3

Uma Maneira Simples de se Extrair Medidas Reais de Modelos de Apreçamento de

Derivativos ............................................................................................................................... 63

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 65

2 O MODELO BINOMIAL ................................................................................................ 67

2.1 Modelo Binomial de 1 Passo .......................................................................................... 68

2.2 Modelo Binomial de N Passos ....................................................................................... 71

3 CONVERSÃO DE PROBABILIDADES DE EXERCÍCIO .......................................... 77

4 OBTENÇÃO DE PROBABILIDADES DE DEFAULT REAIS.................................... 78

5 CONCLUSÃO ................................................................................................................. 80

CONCLUSÃO GERAL ........................................................................................................... 81

APÊNDICE .............................................................................................................................. 83

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 87

1

INTRODUÇÃO

1.1 Os Instrumentos Derivativos e o Escopo do Trabalho

Derivativos existem devido a sua capacidade de contribuir para a eficiência da

economia, seja por proporcionar uma garantia de resultados, seja para diferir tributos ou para

tirar vantagem de uma legislação ou uma situação específica.

Estes instrumentos são importantes para o mercado financeiro porque eles possibilitam

que as empresas separem e operem vários tipos de risco. A essência da atividade econômica é

correr riscos, mas apenas os inerentes ao negócio da empresa. A habilidade dos participantes

do mercado financeiro em ajustar sua exposição ao risco promove uma eficiência no fluxo de

capitais, na medida em que permite que estas empresas conduzam suas operações sem se

expor aos riscos paralelos da atividade econômica desenvolvida.

O mercado financeiro e sua respectiva estrutura legal com seus intrincados laços de

propriedade e direitos e diferentes classes de ações e remunerações aos acionistas estão bem

distantes de um mundo padronizado e sem oportunidades de arbitragem. Além disso, cada

mercado tem características distintas de liquidez, negociação e liquidação de operações,

política de transparência e informações. Derivativos podem ser utilizados para reduzir estes

problemas e para que se tire vantagem de potenciais retornos com limitado risco.

Derivativos em geral são utilizados como formas de remuneração, alavancagem

(aumentando o risco), hedge (diminuindo o risco), para implementação de alternativas

específicas de investimento e para a criação de ativos com características particulares como a

de replicar ou sintetizar uma posição.

Hehn (1996) afirma que os derivativos permitem um empacotamento ou

desempacotamento de ativos em um contrato para a transferência dos pagamentos ou

2

recebimentos em data futura e por isso se constitui em um importante instrumento de

gerenciamento de risco. Entretanto, mais do que um instrumento de administração de risco,

derivativos sempre estiveram intrinsecamente ligados à questão da otimização da relação risco

e retorno, segundo Alexander (1996). Esta questão foi desenvolvida a partir da aplicação de

modelos matemáticos, potencializados pelo expressivo surgimento e desenvolvimento de

produtos financeiros e dos computadores portáteis. O enfoque do problema, apresentado de

maneira resumida, é a maximização do retorno do ativo ou da carteira, dado um nível de risco

tolerado.

Markowitz (1952) soluciona esta questão e apresenta a base da moderna teoria de

carteiras, ao introduzir o conceito de risco como um instrumento avaliado por meio da

variância dos retornos do ativo, isto é, do segundo momento desta distribuição. Entretanto,

somente após o surgimento do CAPM, conforme Haugen (2001) surge à possibilidade de se

entender a relação entre o risco e a estrutura de apreçamento de um ativo.1 A partir da taxa de

juros do ativo livre de risco, um mapa de risco e retorno pôde ser criado para todos os ativos

até então negociados. O novo problema que se desenha então é quando se avalia a

estabilidade destas medidas estatísticas de risco e retorno para diferentes horizontes de tempo,

isto é, o poder preditivo do modelo. Alexander (1996) mostra que para curtos horizontes de

tempo, este poder preditivo é baixo, pois os ativos tendem a ser mais suscetíveis a

performance dos ciclos da economia, mas há uma significativa melhora sobre horizontes de

tempo mais longos. O CAPM possibilita a utilização de sua escala quantitativa para a

alocação ou composição de carteiras baseadas em uma otimização do espectro risco e retorno.

Com isso, o investidor pode decidir se um ativo em particular está “barato”, na medida em

que o seu retorno esperado pela modelagem escolhida é maior que o retorno requerido pelo

mercado no período, sem que haja uma relativa razão justificada.

1 O CAPM foi simultaneamente e independentemente desenvolvido por John Linter (1965), Jan Mossin (1966) e Willian Sharpe (1964).

3

Neste caso, há um julgamento de valor baseado na perspectiva da razão risco e retorno

do investimento. Se o investidor incluir uma quantidade em espécie, como um ativo, dentro

da sua carteira, ele está criando uma carteira replicante, baseado nas premissas de Black &

Scholes (1973), com inerente suposição de variabilidade ou volatilidade dos ativos de risco.

Neste caso, ele está de fato sintetizando o payoff de uma opção, do qual se pode inferir a

volatilidade implícita deste investimento. A partir daí, pode-se então utilizar o preço de

mercado das opções como referência para a estratégia de investimento através da comparação

da volatilidade inerente à estratégia replicante com a volatilidade implícita das opções.

O investidor enfrenta uma situação, a partir de sua expectativa de retorno, em que deve

escolher se compõe sua carteira com os ativos, ou se adquire a opção, pois a aquisição do

derivativo permite travar a variabilidade do retorno. Se a volatilidade implícita da opção é

menor que a da carteira de investimento, parece ser óbvia esta aquisição combinada com a

manutenção da remuneração dos recursos em espécie pela taxa de juros do ativo livre de

risco. Esta função de servir como parâmetro de comparação mostra que as opções

desempenham um importante papel frente a decisões de investimento, pois possibilitam a

mudança na forma de implementação da estratégia.

A partir desta descrição, é nítido o reconhecimento do papel dos derivativos como

instrumento de benchmark de retorno. Como a relação risco e retorno é um dos conceitos

mais atrelados da área de finanças, o trabalho desenvolve a aplicação do conceito de

derivativos como instrumento de benchmark de risco.

A necessidade de novos instrumentos de benchmark de risco surge da prática da

gestão de risco que mostra que considerar o primeiro e segundo momentos da distribuição de

probabilidade do retorno de uma carteira como medida de risco é insatisfatório, na medida em

que não permite identificar anomalias ou mesmo a extensão de possíveis perdas para uma

dada carteira.

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Inicialmente, economistas definiram o risco em investimentos como a dispersão dos

retornos. Keynes (1937, apud Levy e Sarnat, 1984) identificou o risco envolvido em um

investimento como a dispersão de resultados a partir do retorno médio e Hicks (1946, apud

Levy e Sarnat, 1984) identificou a variância dos retornos como medida de risco e considerou

que maior esta dispersão, menor a atratividade do investimento. Por conta disto, Hicks sugeriu

que o terceiro momento centrado na esperança da distribuição deve ser um fator significativo

nas decisões do investidor. Marschak (1938) já ressaltava em seu trabalho que a decisão sob

condições de risco deve refletir todos os momentos da distribuição. Baumol (1963, apud Levy

e Sarnat, 1984) é outro autor que argumenta que a variância por si só não indica risco.

Markowitz (1991) posteriormente reconhece este problema e propõe a semivariância como

uma medida de risco alternativa e preferível.

Hoje, é notável que apesar de toda literatura existente envolvendo modelos robustos de

estimação de volatilidade como os da família GARCH e de volatilidade realizada, a

identificação das medidas de variância e covariância é um problema complexo e que

apresenta diferentes soluções. Motivado por diversos desastres financeiros envolvendo

derivativos, nos quais as medidas tradicionais mostraram-se inadequadas, o Valor em Risco

(VaR) surgiu, então, como medida de risco. Apesar disto, algumas medidas de VaR

continuam a confiar nas medidas de variância e covariância, o que leva a limitações similares

às da própria estimação destas variáveis. O objetivo deste trabalho é explorar a aplicação de

derivativos, em particular das opções, como instrumento de medida ou de benchmark de risco

através de três ensaios aplicados.

1.2 Características Gerais do Apreçamento das Opções

Existem duas principais metodologias de apreçamento de opções. A primeira,

introduzida por Black & Scholes (1973) e Merton (1973), é o método da equação diferencial

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parcial. A técnica consiste na construção de uma equação diferencial parcial a partir de

condições de contorno derivadas das características do preço da opção. Esta equação pode ser

resolvida através de soluções analíticas ou através de métodos numéricos. A segunda, iniciada

por Cox e Ross (1976) e posteriormente por Harrison e Kreps (1979), é o método martingale.

O método consiste em definir o valor da opção como o valor esperado do payoff descontado

sobre uma medida neutra ao risco. Duffie (1996) considera o modelo de Harrison e Kreps

como a estrutura conceitual definitiva para o desenvolvimento da teoria dinâmica dos preços

dos ativos.

A exploração dos principais métodos numéricos de apreçamento da equação

diferencial parcial de Black & Scholes (1973) e Merton (1973) é feita no primeiro ensaio,

com objetivo de calcular o spread de compra e venda de uma opção. Dada a caracterização da

variável spread de compra e venda, descrita no trabalho como uma opção de escolha

americana, a solução numérica aparece devido à impossibilidade de se encontrar uma fórmula

fechada.

O apreçamento de derivativos usualmente ocorre do denominado mundo neutro ao

risco, devido às facilidades características para a implementação do resultado. Neste universo,

uma carteira composta pelo ativo livre de risco e um ativo de risco replicam as características

da opção deste ativo de risco. Para isso, pressupõe-se que a volatilidade do ativo de risco seja

constante, que a taxa de juros seja constante com uma estrutura a termo flat e que o mercado

tenha uma liquidez infinita, ou seja, sem spread de compra e venda. Além disso, o modelo

supõe que o preço de mercado dos ativos comporta-se como um passeio aleatório, que este

ativo não paga dividendos e que não sofre limitações de venda a descoberto.

Logicamente, algumas destas condições podem ser relaxadas, porém, não sem o

contratempo de subseqüentes equações diferenciais parciais muito mais complexas com

limitados ganhos práticos. Entretanto, o problema da acurácia não reside apenas nas

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suposições do modelo, mas principalmente, na estimação dos parâmetros, e especificamente

da volatilidade. Apesar das conhecidas aproximações, o resultado prático é um modelo que se

comporta como uma boa referência e que se aplicado com experiência e avaliado com o

cuidado de se entender suas suposições, fornece importantes informações para a gerência de

risco.

Uma amostra da tentativa de contorno de algumas suposições da equação de Black &

Scholes, como a taxa de juros constante com estrutura a termo flat, e também da própria

estrutura da opção é apresentada no segundo ensaio. O objetivo do trabalho é encontrar

probabilidades de default de empresas, a partir da idéia de Merton (1974) que visualiza uma

empresa como opção.

A partir da equação de Black & Scholes (1973) chegamos à última escala do

apreçamento de derivativos que é o entendimento da compatibilidade dos preços em ambos os

mundos real e neutro ao risco. Isto porque toda a metodologia de apreçamento desenvolvida

pelos autores baseia-se no mundo neutro ao risco e implica na utilização de probabilidades

sintéticas. O terceiro ensaio discute então duas questões importantes envolvidas nos dois

ensaios anteriores. A primeira questão é: se probabilidades sintéticas são diferentes das

probabilidades reais porque os preços não são diferentes? A resposta a esta questão justifica a

utilização da metodologia de apreçamento de opções como instrumento de medida do spread

de compra e venda no primeiro trabalho. A segunda questão é: como converter probabilidades

sintéticas de modelos de opções em probabilidades de default aplicáveis no mundo real? A

resposta a esta questão demonstra como se obteve no segundo ensaio probabilidades de

default verdadeiras. Além disso, o terceiro ensaio mostra que, embora os retornos dos ativos

sejam diferentes nos mundos real e neutro ao risco, a volatilidade é a mesma em ambos os

mundos. Isto abre espaço para a aplicação do conceito de apreçamento de opções em diversas

áreas. Por exemplo, o desenvolvimento de estratégias de seguro de carteiras para a

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modelagem da metodologia de exigência de capital. O seguro de carteiras envolve o hedge de

uma posição pela compra e venda sucessiva dos ativos. A estratégia auto-financiada requer a

quebra da carteira em uma posição em ativo-objeto e uma posição em caixa. À medida que o

preço do ativo-objeto sobe, os recursos são transferidos do caixa para a posição em ativo-

objeto. Se o preço do ativo-objeto cai, esta posição é diminuída e os recursos são transferidos

para o caixa. Estes procedimentos podem replicar comportamentos de alocação de capital ou

mesmo de modelos de valor em risco.

1.3 Características da Pesquisa

A contribuição deste trabalho reside na identificação dos derivativos como

instrumento de referência de risco, precisamente de liquidez e de crédito. Esta necessidade

surge da prática da gestão de risco e da própria dificuldade estatística de estimação dos

segundos momentos das distribuições. Como a negociação de opções significa, em última

instância, a negociação de volatilidade, o preço destas opções, junto com informações de

probabilidade e payoffs possíveis, se compõe em uma importante variável para o

gerenciamento do risco. A apresentação deste conceito ocorre através de três ensaios. No

primeiro ensaio, o objetivo é analisar dois fatores de risco bem distintos que contribuem

diretamente para a formação da variação de preços dos ativos, ou seja, da volatilidade. O

primeiro é a variação de preço devido à chegada de novas informações, o que conceitualmente

é a definição de volatilidade, o segundo, a variação de preço decorrente da operação do

investidor ser uma operação de compra ou de venda do ativo, o que na literatura é definido

como spread de compra e venda. A metodologia de estimação do spread de compra ou venda

embutido nos preços de mercado do ativo é realizada através de modelos de apreçamento de

opção. Copeland e Galai (1983) destacam que a formação do valor do spread de compra e

venda e a relação deste custo com o preço do ativo e a volatilidade são bem explicadas pelo

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comportamento do preço da opção com as suas demais variáveis. Em seu artigo, os autores

demonstram que as operações de compra e de venda dos agentes no mercado são uma

combinação de opções de compra ou de venda e que os trabalhos empíricos publicados até

então demonstram consistência com este modelo.

A metodologia adotada no primeiro ensaio supõe, ao invés da opção padrão de Black

& Scholes adotada por Copeland e Galai, uma opção de escolha americana de opção, dado

que o ativo-objeto escolhido é a opção de Telemar. O mercado de opções foi escolhido por se

tratar de ativos que espelham a volatilidade do ativo-objeto, na impossibilidade de haver uma

estimativa confiável de volatilidade que realmente defina a medida de risco do ativo-objeto. O

preço da opção tem relação direta com a volatilidade do ativo-objeto, portanto quando se

verifica que uma opção está cara, na realidade, isto significa que a volatilidade do ativo-objeto

está alta. Nota-se que a determinação do preço justo da opção significa a determinação da

volatilidade justa para o mercado.

Pela impossibilidade de se chegar a uma fórmula fechada, elege-se o método das

diferenças finitas como aproximação para as derivadas parciais da equação diferencial parcial

do preço de um derivativo de uma opção ativo-objeto. Os resultados da aplicação da

metodologia proposta para mensuração do spread indicam a correção do viés de estimação de

volatilidades. A volatilidade do mercado brasileiro de opções é reestimada e encontram-se

valores sensivelmente menores, permitindo a correção de outro viés verificado na base de

dados, a identificação de lucros sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem e

delta-hedge. Além disso, contorna-se a limitação da metodologia de cálculo do spread ex-

post, bem como o problema de pouca liquidez de opções sobretudo muito fora-do-dinheiro no

mercado brasileiro, que não chegam a ser negociadas ou apresentam grandes intervalos entre

as negociações. O artigo traz uma contribuição para estimativa do risco de liquidez através de

modelos de VaR considerando a existência do spread de compra e venda no preço dos ativos.

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No segundo artigo, o objetivo é estender as propriedades correntes dos modelos

estruturais da literatura de maneira a apresentar um modelo que melhor incorpore as

características que levem uma empresa à condição de default. O trabalho procura ainda

avaliar probabilidades de default extraídas do mercado de crédito com probabilidades de

default extraídas do mercado de ações. Esta informação é muito importante para a inferência

do VaR de crédito. A informação da probabilidade de default contida no mercado de crédito é

extraída através das posições de dívida registrada nas instituições financeiras dividido por

setor da economia, da base de dados de crédito do Banco Central do Brasil. A técnica

utilizada é a análise de sobrevivência – survival analysis – que captura o efeito do tempo nas

probabilidades de default. A técnica permite uma robusta estimação dos dados censurados,

isto é, dados referentes às empresas que ao tempo do estudo não haviam entrado em default.

O procedimento de estimação é baseado na metodologia de riscos proporcionais de Cox

(1972). Esta técnica está sendo utilizada pela primeira vez na base de dados do Banco Central,

classificada de acordo com os setores da Bovespa, e para isto, foi necessário modificar a base

através da inclusão de variáveis necessárias para a classificação do estado de default.

Para medida da probabilidade de default a partir do valor de mercado das empresas,

utiliza-se a modelagem de risco de crédito desenvolvida inicialmente por Merton (1974).

Neste caso, a probabilidade de default é inferida do valor de mercado das empresas sob

suposições específicas da evolução do movimento do ativo e da dívida. O trabalho original de

Merton é baseado em algumas suposições simplistas sobre a estrutura das empresas, como o

compromisso da firma pagar o valor total da sua dívida aos credores na maturidade. A técnica

supõe que o valor de mercado dos ativos do devedor atinja seu “ponto de default” quando o

valor de mercado cai abaixo do valor das obrigações. A probabilidade de default é

determinada a partir do valor corrente do ativo do devedor, da volatilidade do ativo e do nível

e da composição de sua dívida pela fórmula de Black & Scholes.

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Este trabalho relaxa a suposição de que o default ocorre somente no vencimento da

dívida, a partir de Black e Cox (1976) e Longstaff e Schwartz (1995), e supõe que a

insolvência ocorre a qualquer momento que a dívida é maior que o valor de mercado do ativo.

Neste caso, a opção definida é uma opção com barreira down-and-out. Além disso,

consistente com a literatura e com o comportamento da dívida das empresas, o modelo

também relaxa a hipótese de que o preço de exercício, no caso o valor de mercado da dívida, é

constante ao longo da vida da opção. Para isso, o trabalho supõe que a dívida, assim como o

ativo, se comporta como um movimento browniano geométrico com taxas de juros

estocásticas, modeladas pela estrutura a termo de Vasicek (1977) ou de Cox, Ingersoll e Ross

(1985). Com isso, a opção definida para estimação da probabilidade de não exercício é a

opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de juros estocásticas, comportamento down-

and-out e com saltos. Pelo nosso conhecimento, é a primeira vez que se apresenta esta

fórmula fechada e a aplicação conceitual de uma opção deste tipo.

O terceiro ensaio conclui a tese ao demonstrar empiricamente que apesar do

desenvolvimento de modelos de apreçamento de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os

resultados obtidos por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o

mundo real. Com isso, inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de

opções, como o spread de compra e venda e a probabilidade de default, são medidas

aplicáveis no mundo real, ainda que sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando da

dedução inicial. O ensaio foi desenvolvido a partir da implementação da mudança de medida

de Radon-Nikodym em planilha eletrônica e posteriormente, a apresentação do teorema de

Girsanov (1960).

O ensaio demonstra ainda que a volatilidade do ativo é a mesma no mundo real e no

mundo neutro ao risco e apresenta uma metodologia para se converter probabilidades de

exercício neutras ao risco em probabilidades de exercício reais, objeto de interesse da área de

11

opções reais e da área de crédito, quando o escopo é a estimação de probabilidades de default

através de preços de ações.

12

Ensaio 1 O Efeito do Spread de Compra e Venda na Volatilidade Implícita das Opções no Mercado Brasileiro: Um Estudo de caso das Opções de Telemar

13

RESUMO

Embora não explicitamente reportado, operadores de opção na

Bovespa pagam um preço diferente para compra e para venda. Bases de

dados de preços de fechamento, previamente utilizadas em todos os estudos

sobre o mercado de opções no Brasil, não refletem os valores reais do preço

do ativo, devido à existência do spread. Neste trabalho, usamos um modelo

de opção americana para estimar spreads de compra e venda para opções de

Telemar com objetivo de criar uma base de dados de preços ajustados. O

trabalho mostra que os spreads de compra e venda explicam vários vieses

previamente reportados sobre a volatilidade das opções.

ABSTRACT

Although not explicitly reported, option traders on the Bovespa

exchange pay an implicit bid-ask spread on each trade. Reported transaction

prices that comprise the databases previously used to study the Brazilian

options markets do not reflect actual option values at the time of the trades,

but actual values plus (for purchases) or minus (for sales) the bid-ask spread.

We use an American option model to estimate Telemar call options bid-ask

spreads, and to create a database of spread-adjusted trade prices. We find

that the bid-ask spreads explain several previously reported puzzles

regarding asset volatilities.

14

1 INTRODUÇÃO

O processo de formação de preços dos ativos financeiros no mercado brasileiro

incorpora custos de transação que não são visíveis para investidores. Estes custos são

resultantes de preços diferenciados de execução das ordens, caso estas sejam a mercado ou

limitada.1 A maior velocidade na realização da operação implica em custos referentes à posse

do ativo e à informação por parte de agentes prontos para negociar estas ordens.2 Estes custos

compõem o spread de compra e venda. Como as cotações de preços das bases de dados

disponíveis no Brasil não distinguem este componente, há uma parcela embutida nos preços

dos ativos que são geradas pela existência do spread.

Roll (1984) sugere uma metodologia para calcular o spread de compra ou venda

implícito nas séries de preços de ativos financeiros. Estes valores de spreads ficaram bem

próximos aos indicados para as ações negociadas na NYSE, mas significativamente diferente

para as ações da AMEX.3 Huang e Stoll (1996) encontram estimativas compatíveis desta

metodologia com os custos efetivos da NYSE e da Nasdaq. Schultz (2000) afirma que a

metodologia de Roll apresenta um desempenho surpreendentemente bom quando baseada em

dados intradiários para avaliação do spread das ações da Nasdaq. Após o trabalho de Roll,

uma série de trabalhos aperfeiçoaram sua técnica de covariância serial, como Stoll (1989),

Chu et al. (1996) e Chen e Blenman (2003).

Uma extensa literatura tem documentado a relação entre custos de execução de ordens

e a variação nos preços dos ativos no mercado internacional. Brock e Kleidon (1992), por

exemplo, observam um padrão em forma de “U” para o comportamento intradiário dos

spreads na NYSE. Os autores afirmam que este comportamento na abertura e no fechamento

do pregão é uma resposta dos formadores de mercado às pressões de compra, pelo receio de

1 Ordens a mercado têm execução imediata enquanto as ordens limitadas não possuem garantia de execução. 2 Os custos de informação se referem à seleção adversa, que são custos incorridos pelos formadores de mercado devido a transações com agentes mais bem informados sobre o determinado ativo. 3 New York Stock Exchange e American Stock Exchange, respectivamente.

15

negociar um ativo com agentes mais bem informados. Por outro lado, baixos spreads devem-

se a necessidade de venda pelo receio de deter um elevado estoque de um título. O mesmo

padrão intradiário é verificado para a volatilidade por Abhyankar et al (1997) na Bolsa de

Londres, o que indica uma influência dos custos de execução das ordens nas estimativas das

volatilidades dos ativos.4 Entretanto, como os spreads de compra e venda são visíveis nestes

mercados, é possível reestimar volatilidades implícitas ajustadas a estes custos. No mercado

brasileiro, Moreira e Lemgruber (2004) encontram padrão semelhante para a volatilidade

intradiária do índice Bovespa, o que implicaria na necessidade de um ajuste ao spread de

compra e venda.

Outro ponto que reforça a necessidade de ajuste dos preços dos ativos no Brasil para

estimação da volatilidade é o fato de que trabalhos que analisam volatilidade apresentam

resultados bastante distintos no mercado americano e brasileiro. Latané e Rendleman (1976) e

Beckers (1981) verificam que a volatilidade implícita do mercado de opções americano é uma

medida superior da variância futura do retorno do ativo-objeto. No Brasil, Sanvicente (1996)

constata que as volatilidades implícitas do mercado de opções não são consideradas no

processo de formação dos preços dos ativos-objeto. Gabe e Portugal (2003) verificam que a

volatilidade histórica prevê de maneira mais eficiente a volatilidade futura, quando comparada

à implícita indicada pelo modelo de Black & Scholes. Araújo, Barbedo e Lemgruber (2004)

constatam volatilidades implícitas extremamente altas no mercado de opções no período de

19/02/01 a 16/12/02. Galvão (2002) investiga o uso de dados intradiários com intervalos de

30 minutos na precificação de opções no mercado acionário brasileiro comparando a

eficiência de volatilidades histórica e implícita e conclui que a primeira é mais eficiente em

momentos mais calmos e a segunda em períodos mais voláteis.

4 Outros trabalhos que verificaram este mesmo padrão foram McInish e Wood (1990), Lehmann e Modest (1994) e Werner e Kleidon (1996).

16

O artigo propõe uma metodologia de estimação do spread de compra e venda

embutido nos preços de mercado das opções, com base em Copeland e Galai (1983) para

ajuste do preço dos ativos e estimação de uma volatilidade implícita mais real. O banco de

dados utilizado, pelo nosso conhecimento inexplorado por pesquisadores no mercado

brasileiro, é composto pelos preços intradiários de ações e opções de compra efetivamente

negociadas de 01/12/2003 a 04/12/2004. A metodologia de tratamento das observações de

preços segue Rubinstein (1985).5 A análise dos preços do mercado de opções na base de

dados intradiária permite a eliminação de ruídos de apreçamento e torna possível inferir a

volatilidade do ativo-objeto a partir da variação do preço da opção.

Os resultados da aplicação da metodologia proposta para mensuração do spread

indicam a correção do viés de estimação de volatilidades. A volatilidade do mercado

brasileiro de opções é reestimada e encontram-se valores sensivelmente menores, permitindo

a correção de outro viés verificado na base de dados, a identificação de lucros

sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem e delta-hedge.6 Por último, o

trabalho apresenta uma resposta para a verificação de ruídos em testes empíricos de

precificação de modelos no mercado brasileiro de opção quando classificados de acordo com

a proximidade do dinheiro e investiga a relação de endogeneidade entre a volatilidade e o

spread.

O presente trabalho está organizado da seguinte maneira. A Seção 2 apresenta as

características da amostra e o tratamento da base de dados. A Seção 3 cobre a metodologia do

trabalho. Os resultados obtidos são descritos e comentados na Seção 4, e a Seção 5 conclui o

estudo.

5 Rubinstein (1985) é o primeiro a apresentar uma metodologia de tratamento de dados intradiários para precificação de opções baseado no desenvolvimento da base de dados de opções de Berkeley. 6 Volatilidades implícitas sobre-avaliadas implicam na venda de opções e compra do ativo-objeto para compor a estratégia de delta-hedge. A venda das opções por preços elevados propicia ganhos de arbitragem para parcela elevada das séries analisadas.

17

2 AMOSTRA E TRATAMENTO DA BASE DE DADOS

A amostra consiste de séries de preços intradiários de ações e opções de compra da

empresa Telemar no período de 01/12/03 a 04/12/04, obtidos do banco de dados da Bolsa de

Valores de São Paulo. A base de dados continha todas as negociações efetivamente ocorridas

em cada dia, o que proporcionou a possibilidade de se trabalhar com os dados sem o

artificialismo de aproximações de intervalos de tempo. Neste período, as opções de Telemar

corresponderam por aproximadamente 85% do volume total negociado de opções na Bolsa.

O mercado de opções foi escolhido por se tratar de ativos que melhor espelham a

volatilidade do ativo-objeto, dada a impossibilidade de haver uma estimativa confiável de

volatilidade que realmente defina a medida de risco do ativo-objeto. O preço da opção tem

relação direta com a volatilidade do ativo-objeto, pois quando se verifica que uma opção está

cara, na realidade, isto significa que a volatilidade do ativo-objeto está alta. A determinação

do preço justo da opção significa a determinação da própria volatilidade justa de mercado.

A metodologia de tratamento de dados é baseada em Rubinstein (1985). Trabalha-se

com um subconjunto da base de dados a fim de se reduzir ruídos estatísticos. Os dados

selecionados são os que satisfizeram simultaneamente aos seguintes critérios: a) o preço da

ação permanece constante por um tempo mínimo de 5 minutos; b) as negociações

consideradas são as ocorridas após 10 minutos de abertura do mercado e até 10 minutos antes

do fechamento; c) o número de negócios é maior que 5.

O primeiro critério garante que a opção tenha um tempo suficiente para se ajustar ao

preço da ação, o segundo visa eliminar problemas com preços artificiais que podem ocorrer na

abertura e fechamento do pregão. O terceiro critério tenta assegurar uma razoável liquidez no

mercado de opções e conseqüentemente o preço justo.

Com o tratamento, a base de dados é reduzida de 4.800.000 preços de opções para

83.000. Verifica-se então se o estudo concentrado neste subconjunto poderia causar um

18

resultado diferente, em comparação à alternativa de se trabalhar com a base completa.

Extraem-se amostras da base de dados completa e da base de dados reduzida e apreçam-se as

opções pelo modelo de Black & Scholes. O objetivo é avaliar se os erros de apreçamento,

medidos pela diferença entre o preço do modelo e o de mercado, são diferentes de acordo com

a base de dados. Foram feitas 10 extrações de ambas as bases de dados com 5.000

observações. Para ambas as amostras, não se rejeita a hipótese de que os erros de precificação

são estatisticamente iguais.

3 METODOLOGIA

Para que seja possível verificar o quanto o preço de uma opção, estimada por um

determinado modelo, é diferente do de mercado, necessita-se do preço de mercado da opção,

do preço simultâneo da ação, do tempo para expiração, do preço de exercício, da taxa de juros

até o vencimento e da volatilidade da ação. Supõe-se que apenas o último item é um

problema, tendo em vista que os demais, se não estão completamente contornados pelo

tratamento dos dados, não causam fortes distorções nos preços. A estimação de volatilidade é

a mais significativa dificuldade na precificação de ativos.7 Como a volatilidade implícita

incorpora as expectativas futuras dos agentes de mercado, opta-se por trabalhar com esta

variável. Para diminuir problemas de estimação, trabalha-se com a volatilidade implícita da

transação imediatamente anterior do mesmo preço de exercício, que na grande maioria dos

casos é representada pela negociação do segundo de tempo anterior.

3.1 Apreçamento das Opções pelo Modelo de Black & Scholes e de Merton

Compara-se o desempenho do modelo de apreçamento de Black & Scholes (1973) e o

de saltos de Merton (1973) no mercado brasileiro, pela diferença entre o preço de cada

7 Para uma breve discussão do assunto, veja Lemgruber (1995).

19

modelo e o de mercado.8 A hipótese nula é que os preços de mercado e os do modelo de

Black & Scholes não exibem diferenças sistemáticas. Desta forma, poderíamos afirmar que a

volatilidade do ativo-objeto é razoavelmente conhecida e, portanto, no mercado intradiário, a

estimação de volatilidade não representa um grande obstáculo. A Tabela 1 mostra a raiz do

erro quadrático médio de cada modelo classificado pela proximidade do dinheiro da opção e

tempo para vencimento.

Tabela 1 – Diferença entre o Preço das Opções Calculado pelos Modelos de Black & Scholes e Merton e o Preço de Mercado através da Raiz do Erro Quadrático Médio (REQM) no Período de 01/12/03 a 04/12/04, para Toda a Base de Dados Intradiária Tratada pela Metodologia de Rubinstein. O Critério de Classificação da Proximidade do Dinheiro foi pelo Delta da Opção.

Proximidade do Dinheiro Modelo Dias para o Vencimento Todos os

vencimentos1 - 5 6 - 10 11 –20 21 - 30 31 - 40

Muito Fora-do-Dinheiro

Black&Scholes 3.77% 4.83% 2.30% 3.23% 3.50% 3.54% Merton 4.02% 5.21% 2.62% 3.64% 3.35% 3.87%

Estatística KW (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0844) (0.0000) Observações 942 2032 2995 980 56 7005

Fora-do-Dinheiro



No-Dinheiro



Dentro-do-Dinheiro



Muito Dentro-do-Dinheiro



A Estatística de Kruskal-Wallis (KW) é usada para comparar ambos os modelos. P-valores entre parênteses. Todos os valores são estatisticamente diferentes de zero para o nível de significância de 5%.

As opções foram classificadas de acordo com a proximidade do dinheiro, seguindo o

conceito de Costa (1998) para a classificação de opções muito fora-do-dinheiro, que é um

8 A metodologia utilizada para a determinação dos saltos, no modelo de Merton, é a minimização do erro quadrático médio do modelo com os preços de mercado do mês anterior.

20

delta menor que 0,15 e para as muito dentro-do-dinheiro, que é um delta maior que 0,85. Para

as demais, opções fora-do-dinheiro são as que possuem o delta entre 0,15 e 0,4, as no-dinheiro

são as que possuem o delta entre 0,4 e 0,6 e as dentro-do-dinheiro são as que possuem o delta

entre 0,6 e 0,85.9

A Tabela 1 apresenta um padrão de erro que se torna maior à medida que as opções se

aproximam do vencimento e que os preços de exercício decrescem. Verifica-se que à exceção

das opções muito fora-do-dinheiro, que são as que possuem a menor volatilidade, a

metodologia de Merton, que considera a possibilidade de saltos nos preços dos ativos,

apresenta um erro médio menor. Para verificar se o resultado produzido pelo modelo de

Merton é significativamente diferente do de Black & Scholes, foi aplicado o teste não

paramétrico de Kruskal-Wallis. À exceção das opções muito dentro-do-dinheiro, com tempo

de vencimento maior que 31 dias, rejeita-se a hipótese nula de que os valores produzidos

pelos modelos provêm de funções de distribuição similares a 10% de nível de significância.

Isto pode indicar que o processo que melhor se adequa ao comportamento das opções no

mercado brasileiro é o processo contínuo com saltos.10 O teste não paramétrico de Kruskal-

Wallis também é utilizado para verificar se os valores produzidos pelos modelos são

estatisticamente iguais a zero e também se rejeita esta hipótese.

A verificação sistemática de erros de apreçamento, observado na Tabela, pode ser

explicada na literatura, vide Rubinstein (1985), pelo fato do mercado não ser eficiente, pelo

fato da estrutura matemática dos modelos de precificação não ser correta ou pela existência de

variáveis incorretamente estimadas. Em relação ao primeiro argumento, embora possa haver

alguma ineficiência esporádica como demonstrado por Torres, Bonomo e Fernandes (2002),

esta situação é pouco provável, pois deveríamos considerar que não há agentes no mercado

brasileiro capazes de tirar proveito desta situação. Em relação ao modelo de Black & Scholes,

9 O critério adotado visa distribuir da maneira mais uniforme possível as opções pelos três grupos restantes. 10 Para uma discussão mais aprofundada do assunto, veja Carr e Wu (2003).

21

como enfatizado por Hull (2003), apesar de algumas imperfeições já verificadas, nenhum

outro modelo de avaliação de opções apresentou performance superior que justificasse a

preferência pela utilização em seu lugar. Opta-se então pela investigação da variável

volatilidade do preço do ativo.

3.2 Estratégias Delta-Hedge

A avaliação da volatilidade implícita é realizada através de estratégias dinâmicas de

delta-hedge. O objetivo da construção desta estratégia é verificar se, considerando preços

intradiários, estratégias de compra do ativo-objeto e venda da opção ou venda do ativo-objeto

e compra da opção produzem lucros sistemáticos. Isto poderia demonstrar que a volatilidade

do ativo-objeto, a variável considerada mais importante, não estaria razoavelmente apreçada

pelo mercado.

A estratégia utilizada é a compra de uma quantidade delta de ativos-objeto e venda da

opção. São realizadas todas as estratégias delta-hedge possíveis de 07/05/2004 a 04/12/2004,

o que perfaz um total de 85 estratégias. A Figura 1 apresenta o resultado de cada uma delas.

As carteiras iniciais foram criadas considerando a negociação de 1.000 unidades de opção. A

estratégia compreende o ajuste contínuo da posição com a quantidade determinada pelo delta

da opção. Em cada negociação foi considerado um limitador, a fim de tornar a negociação

mais realista, no qual a quantidade de opções compradas ou vendidas não pode ser maior do

que a quantidade efetivamente negociada naquele dia.

22

(1.466)

(966)

(466)

34

534

1.034

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Número de Estratégias

Os lucros máximo e mínimo observados são de R$ 1.092,85 e R$ -1.365,24. A média

de todos os lucros é de R$ 300,00 enquanto que a média da perdas é de R$ -186,00. O lucro

médio de um operador que realizasse todas as estratégias é de R$ 242,69 e a mediana é de R$

170,68. Aproximadamente, 90% das estratégias resultam em lucro no vencimento, o que

significa que a volatilidade implícita com base nos preços negociados é maior que a

volatilidade implícita real do ativo.11 Esta verificação sistemática de lucros na estratégia,

somada a não percepção ou atuação dos agentes neste mercado, pode ser explicada pela

existência de problemas microestruturais que inviabilizam oportunidades de arbitragem,

mesmo considerando que a volatilidade não é negociada a um preço justo. Como o principal

problema microestrutural é o spread de compra e venda implícito nos preços dos ativos, o

estudo investiga as metodologias de estimação e o tratamento da base de dados.

11 Não foram considerados custos de transação, embora Fama e Blume (1966) demonstrem que mesmo um operador paga pelo menos 0,1% de custos. Os lucros verificados nas estratégias continuam significativos ainda que considerados custos operacionais. Por outro lado, a baixa liquidez observada no mercado brasileiro poderia impossibilitar o rebalanciamento perfeito das estratégias e desta forma, impactar de maneira mais significativa o resultado final.

Figura 1 - Lucros e Perdas das Estratégias Delta-Hedge em Reais($). (Cada Ponto Indica uma Série de Opção)

23

3.3 Mecanismos de Aferição do Spread de Compra e Venda

3.3.1 Roll (1984)

A existência do spread é verificada no mercado, segundo Roll (1984), pela covariância

negativa entre series sucessivas de retornos do ativo-objeto, a partir da observação de Fama

(1965) de que a mudança de preço ocorre se e somente se uma informação não antecipada é

recebida pelos agentes do mercado. Portanto, a variância é essencialmente determinada pela

chegada de novas informações e pela covariância entre mudanças sucessivas de preço. Esta

covariância só se justifica se considerarmos que o tipo de ordem da transação, compra ou

venda, influencia o preço do ativo.

Roll apresenta uma estimativa para o spread de compra e venda baseado na

percentagem sobre o preço da ação:

tjtjSpread ,, cov2 −=

onde covj,t é a covariância da série de retornos j com esta mesma série considerando a

defasagem de um tempo t igual a um dia. A Figura 2 apresenta o histograma dos spreads e a

estatística descritiva.

0

10

20

30

40

0% 1% 5% 10% 20% 30% 50% 100% 200% 250%

Spread

Freq

uênc

ia

Figura 2 - Histograma e Estatística Descritiva dos Spreads (de Compra e Venda) Estimados de acordo com a Metodologia de Roll

Mínimo 0.00% 1Q 0.64%

Mediana 1.37% 3Q 8.32%

Máximo 243.34% Média 14.42%

Desvio Padrão 41.62%

24

Foi possível estimar o spread de 83 séries da amostra. Para outras duas series, foram

obtidas covariâncias positivas. Para três series, os spreads estimados ficaram acima de 200%.

Quando estas séries são excluídas da amostra, o valor máximo de spread se reduz para

44,11% com uma média de 6,70%. O spread estimado de acordo com este método apresenta a

tendência de ficar maior à medida que o preço de exercício aumenta. Opções extremamente

fora-do-dinheiro apresentam o maior spread e extremamente dentro-do-dinheiro apresentam o

menor spread.

A grande variação dos spreads verificados nesta metodologia sugere que a técnica ex-

post de Roll pode não ser aplicável para as curtas séries de opções do mercado brasileiro.

Além disso, dado a substancial variação cross section da volatilidade, o spread varia também

de acordo com o tempo, o que sugere a necessidade de um método alternativo para se estimar

um spread de compra e de venda mais coerente com a realidade do mercado.

3.3.2 Estimação Através de Modelos de Apreçamento de Opções

Modelos de apreçamento de opção podem auxiliar a estimação de spreads de opção.

Em um mercado de ordens a mercado, o investidor paga ao market maker um prêmio, o

spread de compra ou de venda, para comprar ou vender a opção pelo preço justo. Copeland e

Galai (1983) argumentam que estes spreads podem ser estimados por uma opção padrão de

Black & Scholes, considerando que a opção européia vence no intervalo de cotação do ativo.

Pode-se observar que a possibilidade de negociação a qualquer momento neste intervalo de

cotação implica que o spread é similar a uma opção americana. Além disso, dado que

investidores podem executar ordens de compra ou de venda, esta escolha tem que ser inclusa

na metodologia de avaliação. A metodologia proposta é uma opção de escolha americana para

estimar os spreads, com preço de exercício igual ao preço justo da opção de Telemar e o

25

preço do ativo igual ao preço justo mais ou menos o spread. O tempo para o vencimento é o

intervalo de cotação do ativo, estimado como um minuto e meio. Os demais parâmetros do

modelo são a taxa negociada nos contratos DI futuro como proxy para a taxa de juros do ativo

livre de risco e a volatilidade implícita da opção de Telemar. Equações (1) e (2) apresentam o

spread de compra e venda em função de opções de compra e venda. O resultado do modelo é

dado pelo ( )spreadspread askbidMax ; .

( )σ,,,, fspreadspread RTKbidKfbid += (1)

( )σ,,,,aa spreadspread fRTKskKfsk += (2)

Como, no problema determinado acima, o cálculo da opção (ou do spread) é iterativo,

isto é, o valor justo do ativo-objeto é somado ou diminuído do próprio valor da opção, e dado

que a opção é americana, opta-se por duas metodologias de estimação de preço. A primeira

por árvore binomial, com 50 passos devido ao problema de iteração, com posterior correção

por procedimentos de redução de variância. A técnica de redução de variância consiste em

avaliar uma opção européia de opção pela metodologia de árvore binomial e por fórmula

fechada. O valor da variável de interesse, a opção americana de opção, é corrigida então pela

diferença entre as duas européias. A segunda metodologia empregada para o cálculo da opção

americana de opção é o método das diferenças finitas.

A aplicação do método das diferenças finitas implica encontrar uma aproximação para

as derivadas parciais da equação diferencial parcial do preço de um derivativo de uma opção

ativo-objeto com base na expansão em série de Taylor. Várias metodologias de diferenças

finitas são sugeridas na literatura. Como apontado por Ikonen e Toivanen (2005), a

estabilidade e a consistência da discretização do tempo é a mais importante propriedade para

o apreçamento de opções por este método. Esta aproximação da derivada do tempo pode ser

26

realizada para frente (forward), para trás (backward) ou centrada. Neste caso, temos os

métodos explícito, implícito e de Crank-Nicolson, respectivamente. O método de Brennan-

Schwartz implica em uma aproximação para trás da derivada do tempo e uma aproximação

centrada para as demais derivadas. O método de Courtadon aplica esta mesma idéia ao

logaritmo do preço do ativo-objeto.12

O processo de seleção envolveu avaliar a efetividade dos esquemas numéricos de

diferenças finitas no apreçamento de uma opção no-dinheiro e compará-los com o preço

gerado pelo modelo de Black & Scholes. A Tabela 2 apresenta a raiz do erro quadrático

médio (REQM) para os cinco métodos selecionados.

Tabela 2 – Comparação de Métodos de Diferença Finita pela Raiz Do Erro Quadrático Médio (REQM) e Tempo de Processamento de CPU (em segundos).

Número de Intervalos de Tempo

Método Explícito Método Ímplicito Método de Brennan- Schwartz Método de Courtadon Método de Crank-

Nicolson

REQM Tempo

de CPU

REQM Tempo

de CPU

REQM Tempo

de CPU

REQM Tempo de CPU REQM

Tempo de

CPU 25 0.05880 0.05 0.00470 0.04 0.00320 0.05 0.05630 0.06 0.00290 0.05 50 0.03940 0.11 0.00230 0.04 0.00120 0.05 0.05609 0.11 0.00250 0.11

100 0.00110 0.16 0.00120 0.05 0.00330 0.05 0.05610 0.17 0.00900 7.11 200 0.00060 0.33 0.00060 0.05 0.00110 0.11 0.05620 0.39 0.00100 9.33

O método selecionado foi o de diferenças finitas implícitas pelo critério de tempo de

processamento da CPU e erro médio. A aproximação escolhida implica na utilização de

diferenças forward-backward para as derivadas parciais da equação diferencial parcial dada

pela Equação (3).

tPP

tP jiji

∆

−=

∂∂ −+ 1,1, ,

GPP

GP jiji

∆

−=

∂∂ −+

21,1, e 2

,1,1,2

2 2G

PPPG

P jijiji

∆

−+=

∂∂ −+

(3)

12 Para maiores detalhes dos métodos, ver Tavella e Randall (2000).

27

A construção do método envolve um espaço M∆t = T (tempo para expiração da opção)

e N∆G = Gmax (preços da opção) que definem um plano com M+1 e N+1 pontos, sendo Pi,j

o preço da opção no tempo i∆t dado que a opção ativo-objeto tem preço j∆G, onde i = 0…N e

j = 0…M. Considerando as condições de contorno para os extremos de Pi,j, pode-se resolver o

conjunto de equações da coluna N–1 e encontrar os valores para todo o plano recursivamente

através da solução do sistema de equações de cada coluna.

4 RESULTADOS

Pelo modelo de apreçamento de opção, os spreads estimados variaram de 1% a 35%

do valor da opção. Com base no trabalho seminal de Demsetz (1968), roda-se uma regressão

destes spreads contra as variáveis de mercado identificadas como importantes para verificar

se relações similares de proporcionalidade são encontradas. Das variáveis significativas, o

spread calculado pela metodologia proposta é proporcional à volatilidade do ativo e ao preço

da opção. Relação similar é verificada por Demsetz ao analisar o comportamento dos spreads

efetivos na NYSE. A Tabela 3 mostra a regressão do spread como variável independente

contra as variáveis descritas acima e a variável quantidade de opções negociadas. Os

resultados encontrados são estatisticamente significativos conforme o p-valor do teste t

descrito.

Tabela 3 – Regressão do Spread contra a Quantidade de Opções Negociadas, Volatilidade Implícita e Preço da Opção no Período.

Variáveis Coeficientes P Valor (Estatística t) Interseção -0,0884 0,0000

Quantidade de Opções Negociadas 0,0000 0,0007

Volatilidade Implícita 0,2613 0,0000 Preço da Opção 0,0246 0,0000

Teste F 0,0000 R-Quadrado 0,7549 A Figura 3 a seguir apresenta os resultados das estratégias delta-hedge implementadas

considerando-se a existência de diferenças entre o preço de compra e o preço de venda do

28

ativo resultante do spread. A simulação das estratégias considerando a existência do spread

apresenta uma específica limitação, dado que nossa base de dados não permite a identificação

se a negociação do ativo é uma transação iniciada por um investidor-comprador ou por um

investidor-vendedor. Considerando-se características operacionais do mercado de opções no

Brasil e o comportamento das opções na base de dados, verifica-se que a maior parte das

opções são levadas até o vencimento. Desta forma, adota-se a necessária simplificação de que

o preço disponibilizado em nossa base de dados é o preço de compra para o investidor. Assim,

o preço de venda deste investidor seria o preço registrado na base de dados diminuído de duas

vezes o spread.13

Partindo-se do resultado das estratégias da Figura 1, no qual há ganhos em quase a

totalidade, verifica-se que a consideração da existência do spread produz uma inversão

significativa nos resultados. A Figura 3 apresenta a estatística descritiva dos resultados das

estratégias de acordo com o método de estimação do spread.

Lucros e perdas estão distribuídos em torno de zero. O valor de uma estratégia que

apostasse na execução de todos os possíveis delta-hedge apresenta valor negativo por todas as

13 O preço de mercado é o preço de compra do ativo, isto é, o preço “justo” acrescido do spread. O preço de venda é o resultado da diminuição do spread no preço justo.

Estatística Diferenças

Finitas (FDM)

Binomial (BT) Roll

Mínimo (1.578,83) (1.572,08) (12.568,91)

1Q (139,04) (156,20) (75,13)

Mediana (30,67) 14,26 13,65

3Q 70,81 1,00 1,00

Máximo 776,30 758,03 998,51

Média (59,02) (14,62) (338,14) Desvio-Padrão 320,71 343,96 2.089,36

Figura 3 – Estatística Descritiva e Histograma, em Valores Financeiros, dos Resultados das Estratégias Delta-Hedge, Aplicando as Estimativas de Spread pela Metodologia de Roll e pela Proposta, segundo os Métodos Binomial e Diferenças Finitas, no Período de 07/05/04 a 04/12/04.

0

5

10

15

20

25

-1000 -750 -500 -250 -50 0 100 200 300 400 800

BT FDM Roll

29

metodologias. A metodologia de Roll apresenta as maiores perdas devido aos spreads acima

de 100% verificados para algumas séries.14 Desconsiderando-se estas séries, a média de todas

as estratégias pela metodologia de Roll passa a ser de R$ 46,29. O valor máximo do ganho

nas estratégias se reduz para R$ 998,51 com os spreads estimados pela metodologia de Roll e

R$ 776,30 e R$ 758,03 quando os spreads são estimados por modelos de apreçamento de

opção. Neste último caso, os resultados das estratégias são menos concentrados nos extremos

e convergem em direção ao meio da distribuição de lucros e perdas.

O teste não paramétrico de Kruskal-Wallis foi utilizado para avaliar a hipótese nula

que todas as metodologias produzem resultados que representam a mesma função de

distribuição. Ao nível de confiança de 95%, a hipótese nula não é rejeitada. Isto significa que

os resultados do modelo proposto são estatisticamente similares com os encontrados pela

metodologia de Roll. A técnica de Roll prevê ganho em 46 das 85 estratégias ou 54% das

vezes, que é uma previsão bastante “justa” considerando que se trata de uma estratégia sem

desembolso inicial. A metodologia proposta prevê ganho em 48 das 85 vezes pelo modelo

binomial e 33 das 85 vezes pelo método de diferenças finitas. Isto demonstra que os lucros de

estratégias delta-hedge tendem a zero quando a volatilidade implícita é corretamente avaliada.

O método de diferenças finitas é mais conservador que o de Roll, o que pode ser

verificado pelo próprio histograma, porém obteve resultados semelhantes de inversão do sinal

do resultado das estratégias delta-hedge em 62 estratégias. Dos resultados diferentes das

metodologias de apreçamento de opção em relação à de Roll, 13 aconteceram em opções

muito dentro-do-dinheiro que são as que apresentam o menor spread pelo método das

covariâncias. A metodologia proposta apresenta ainda a perspectiva da possibilidade de

reestimação da volatilidade “justa” para cada preço de exercício e vencimento, tendo em vista

14 Nestes casos, considera-se o spread como sendo o próprio preço da opção.

30

que o spread é calculado para cada negociação intradiária. Como conseqüência, a

metodologia permite a composição de uma base de dados de preços justos.

Uma suposição da hipótese de eficiência de mercado é que não haja um padrão de

comportamento nas séries temporais de retornos dos ativos financeiros. Conseqüentemente,

não seria possível verificar movimentos de reversão de preços, pois isto atrairia a atenção de

day traders e outros especialistas para se antecipar a estes movimentos, que não espelham

uma verdadeira chegada de novas informações. Este padrão de previsibilidade indicaria ainda

que o mercado foi incapaz de prover liquidez para a formação do preço justo do ativo.

Constroem-se então índices de variância intradiário, para um teste comparativo do

padrão de previsibilidade nos preços com e sem o spread de compra e venda. Para cada

negociação, a razão de variância é calculada pela multiplicação da volatilidade implícita pela

raiz quadrada do prazo em ano até o vencimento. As volatilidades utilizadas são a

efetivamente negociada e a volatilidade calculada sem o spread incluído no preço do ativo. O

resultado esperado é que, sem o spread, o padrão de comportamento dos preços tenha uma

tendência a um passeio aleatório e que a volatilidade ajustada ao prazo seja comparativamente

próxima, em cada preço de exercício, o que provê uma medida de risco mais fiel à idéia de

variações causadas exclusivamente pela chegada de novas informações.

Inicialmente, testa-se se as novas volatilidades implícitas calculadas sem o spread são

estatisticamente diferentes das volatilidades implícitas anteriores pelo teste estatístico anterior

a 95% de nível de confiança. Há rejeição sistemática da hipótese nula de igualdade das

volatilidades à exceção das séries fora e ou muito fora-do-dinheiro. Para estas séries, a

amostra pequena de dados inviabiliza algumas comparações.15

A seguir, utiliza-se o desvio-padrão das volatilidades estimadas em cada preço de

exercício, como o parâmetro referencial para verificar se o conjunto das novas volatilidades

15 As séries mais fora-do-dinheiro de vencimento em agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro apresentam amostras menor que 20 negociações.

31

implícitas, sem o spread, está mais próxima estatisticamente do que o conjunto das

volatilidades estimadas considerando o spread. A Tabela 4 apresenta os resultados.

Tabela 4 – Estatística das Volatilidades Implícitas Estimadas com Spreads(Amostra sem Ajuste) e sem Spreads Embutidos nos Preços do Ativo (Amostra com Ajuste).

Opção Amostra sem Ajuste Amostra com Ajuste Vencimento da Série Média Desvio-Padrão Média Desvio-Padrão

Janeiro 35,54% 10,31% 34,09% 8,21% Fevereiro 33,87% 5,12% 30,32% 2,52%

Março 41,64% 8,77% 38,82% 5,17% Abril 40,84% 4,49% 39,03% 4,36% Maio 38,31% 1,52% 37,23% 1,51% Junho 36,11% 3,17% 34,73% 2,65% Julho 35,77% 6,05% 34,13% 3,18%

Agosto 38,26% 4,21% 37,18% 3,77% Setembro 33,88% 3,79% 32,83% 3,08% Outubro 33,16% 3,97% 32,07% 3,18%

Novembro 29,22% 3,22% 28,43% 2,80% Dezembro 27,85% 1,76% 26,99% 1,22%

Verifica-se que a volatilidade implícita estimada sem o spread, classificada de acordo

com o vencimento da série, é comparativamente menos dispersa, o que ratifica parcialmente a

hipótese descrita anteriormente. No caso das séries de opção que vencem em fevereiro e

julho, esta dispersão é reduzida para 50% do valor anterior. A conclusão é que, supondo-se a

existência de um spread nos preços de mercado, verifica-se que o padrão de previsibilidade

nos preços é consideravelmente menor, o que poderia inviabilizar operações de arbitragem de

investidores para correção de imperfeições nos preços.

A Tabela 5 demonstra o quanto estas volatilidades são diferentes de acordo com a

proximidade do dinheiro, quando estimadas com ou sem o spread, o que poderia ratificar a

afirmação de que os ruídos associados aos preços negociados tornam testes de seleção do

melhor modelo de precificação do mercado uma difícil tarefa.

32

Pela Tabela, verifica-se um padrão de comportamento que poderia explicar os erros

crescentes, partindo-se da opção mais fora-do-dinheiro para a mais dentro-do-dinheiro,

verificados na Tabela 1 pelas metodologias de Black & Scholes e de Merton. Empiricamente,

percebe-se que quanto mais dentro do dinheiro está a opção, maior a diferença entre a

volatilidade implícita da amostra com e sem spreads embutidos nos preços.

A Tabela 5 distingue dois tipos de causas de volatilidade. O que se classifica como

volatilidade dos ativos do mercado brasileiro pode ser causada pela chegada de novas

informações ou pela variação do spread implícito no preço do ativo. A influência desta

segunda variável é tão menor quanto mais explícita ela esteja no mercado, ou seja, é menor

em um mercado regulamentado com spread de compra e venda e competição entre os market

makers. Dado a não verificação destas características no mercado brasileiro, é importante

determinar em que extensão o spread implícito no preço do ativo influencia a volatilidade do

ativo.

Para este propósito, utilizou-se inicialmente o teste de causalidade de Granger.

Entretanto, para o nível de confiança de 99%, não foi possível distinguir os efeitos entre as

variáveis. Por esta razão, examina-se a endogeneidade entre o spread implícito no preço do

ativo e a volatilidade do ativo através de modelos de mínimos quadrados de dois estágios

(two-stage least squares method).

Tabela 5 – Volatilidades Implícitas Estimadas com Spreads (Amostra sem Ajuste) e sem Spreads Embutidos nos Preços do Ativo (Amostra com Ajuste), Classificadas de acordo com a Proximidade do Dinheiro.

Proximidade do Dinheiro Amostra sem Ajuste

Amostra com Ajuste

Diferença relativa

Muito Fora-do-Dinheiro 37,12% 36,22% 2,48% Fora-do-Dinheiro 35,91% 35,04% 2,49%

No-Dinheiro 34,78% 33,38% 4,20% Dentro-do-Dinheiro 35,79% 33,40% 7,15%

Muito Dentro-do-Dinheiro 36,83% 31,45% 17,10%

33

Um sistema de equações simultâneas é definido para determinar se o spread implícito

no preço do ativo determina a volatilidade do ativo ou vice versa. Ambas as variáveis são

incluídas na especificação do modelo de mínimos quadrados. A primeira equação é

representada pela seguinte notação:

QtdecPreçocVolccSpread 4321 +++= (4)

Onde Vol é a volatilidade do ativo, eçoPr é o preço de negociação do ativo-objeto e

Qtde é a quantidade de opção comprada ou vendida em cada negociação. A segunda equação

é representada por:

TctcSpreadccVol 8765 Re +++= (5)

Onde tRe é o retorno do ativo-objeto e T é o tempo para vencimento da opção. Se o

coeficiente 2c na Equação 4, simultaneamente determinado, é significante, há uma indicação

que a volatilidade é importante para explicar o spread de compra e venda. Por outro lado, se o

coeficiente 6c na Equação 5, simultaneamente determinado, é significante, há uma indicação

que o spread de compra e venda é importante para explicar a volatilidade. Os resultados para

o mês de janeiro são demonstrados na Tabela 6.

Tabela 6 – Regressão de Mínimos Quadrados de Dois Estágios, segundo as Equações (4) e (5), Aplicada as Amostras do Mês de Janeiro. Mínimos quadrados de

dois estágios (Marquardt)

Coeficientes Erro Padrão P-valor da Estatística t

Intercepto -0,0188 0,0057 0,0011 Volatilidade -0,0052 0,0210 0,8016

Preço 0,0439 0,0011 0,0000 Quantidade 0,0000 0,0000 0,0000 Intercepto 0,3576 0,0019 0,0000

Spread 1,2083 0,0095 0,0000 Retorno -0,7749 0,1831 0,0000

Tempo para Vencto -0,0037 0,0001 0,0000 Equação: SPREAD = C(1) + C(2)*VOL + C(3)*PRECO + C(4)*QTDE Observações: 7967

R2 0,76 R2 Ajustado 0,76 Equação: VOL = C(5) + C(6)*SPREAD + C(7)*RET + C(8)*TEMPO Observações: 7967

R2 0.78 R2 Ajustado 0.78

34

A Tabela 6 demonstra que o coeficiente 2c não é significante e que o coeficiente 6c é

significante, o que indica que a alta volatilidade do ativo é explicada devido ao spread

implícito no seu preço. Entretanto, esta conclusão é bastante limitada dado que os coeficientes

de 2c e 6c dos demais vencimentos não são significativos ao nível de confiança de 99%.

A verificação da influência dos spreads na volatilidade dos ativos é consistente com

uma gama de trabalhos empíricos que documentaram padrões de U nos dados intradiários dos

spreads de compra e venda do mercado de ações, como em Chan, Chung e Johnson (1995),

Werner e Kleidon (1996), Abhyankar et al (1997), Brockman e Chung (1998) e Ahn, Bae e

Chan (1999). Em todos os casos, esta componente era isolada, o que gerava valores

consideravelmente menores de volatilidade.

5 CONCLUSÃO

Este trabalho se propôs a apresentar alternativas para estimar o spread de compra e

venda de ativos. A contribuição do trabalho é a apresentação de uma opção de escolha

americana como uma alternativa eficiente para estimativa de spreads de opção. A base de

dados escolhida é composta pelos preços intradiários da ação e das opções de Telemar de

dezembro de 2003 a dezembro de 2004. Quando a existência do spread é considerada nos

preços do ativo, a volatilidade implícita se reduz de forma consistente e o conjunto de

volatilidade de diversos preços de exercício de opção tende a uma menor dispersão. O

trabalho demonstra que os spreads influenciam na estimativa da volatilidade das opções.

Estratégias delta-hedge são criadas para verificar possibilidade de arbitragem. Quando

os spreads são considerados, os lucros das estratégias tendem a zero, o que indica a

importância deste componente em trabalhos que investigam a possibilidade de lucros em

estratégias no mercado brasileiro. Os spreads são estimados pela técnica de Roll e por duas

metodologias iterativas baseadas em modelos de apreçamento de opção. Estes modelos

35

permitem a obtenção de spreads ex-ante e produzem resultados consistentes com um fair

game. Os spreads estimados pela opção de escolha americana apresentam resultados

estatisticamente similares aos resultados ex post da técnica de Roll.

Esta pesquisa não se esgota nestes procedimentos. Uma base de dados com indicação

da identificação do iniciador da transação poderia contornar uma importante limitação

deste estudo. Além disso, um período maior da base de dados poderia auxiliar na

determinação da endogeneidade entre spread e volatilidade. Soma-se a isso, a aplicação de

outras técnicas de apreçamento de opções para a determinação do spread e técnicas

econométricas para tratamento da relação spread-volatilidade.

36

Ensaio 2

Estimação de Probabilidades de Default no Brasil: O Modelo Estrutural de Opção de Troca com Saltos e Barreira

37

RESUMO O trabalho desenvolve uma fórmula tratável de um modelo estrutural para a

estimação de probabilidades de default de empresas. O modelo supõe neutralidade de

risco para a modelagem do comportamento do movimento do ativo e da dívida da

empresa. O modelo é compatível com vários modelos de estrutura a termo de taxa de

juros e possui como características, efeitos de saltos que aproximam a chegada de

informação e uma barreira estocástica que simula o ponto de falência da empresa.

Comparam-se os resultados deste modelo com as probabilidades de default da base de

dados de crédito do Banco Central estimadas pela metodologia de análise de

sobrevivência. O desempenho do modelo é superior a outros três modelos estruturais.

Utilizam-se também as probabilidades de default de setores para calibrar o modelo. O

processo é executado através de ajustes na volatilidade do salto. Esta análise permite

demonstrar que a volatilidade do salto explica relativamente bem as diferenças

verificadas entre as probabilidades de default geradas no mercado de dívida e as

probabilidades de default estimadas através de preços de mercado.

ABSTRACT We develop a non-complex and tractable structural model to calculate firm’s

default probability. We assume risk-neutrality to model the behavior of the firm’s

asset and debt. The model is compatible with general term structure of interest rates.

Jump factors proxy the arrival of information. A stochastic barrier simulates firm’s

bankruptcy. We compare our model estimates’ results with the default probabilities

predicted by a survival analysis applied to the debt information database of Central

Bank of Brazil. The experiment results are very good. Our model outperforms other

three structural models. Finally, we use firm’s sector failure probabilities to calibrate

the model. This process can be executed through adjusts in the model jump volatility.

It is shown that the jump volatility variable explains relatively well the difference

between debt and equity market failure probabilities observed.

38

1 INTRODUÇÃO

O Acordo de Basiléia II orienta Bancos Centrais a monitorar o risco de crédito das

carteiras de instituições financeiras através de regras de requerimento mínimo de capital.

Desde 1988 o Acordo motiva seus membros a adoção de modelos proprietários. Neste

sentido, Cipollini e Missaglia (2004) destacam que há, desde então, um imenso número de

pesquisas na literatura financeira sobre risco de crédito. Como os gerentes de risco costumam

focar na sua probabilidade de perdas, os autores afirmam que esta análise de risco de crédito

deveria ser baseada no mesmo princípio usado para estimar o valor em risco de mercado, ou

seja, em valores de mercado. Duffie e Singleton (2003) também afirmam que probabilidades

de default desempenham um papel central nos modelos de risco de crédito. Tudela e Young

(2005) afirmam que a correta estimação das probabilidades de default é essencial para a

estabilidade do sistema financeiro e para uma política de crédito mais acurada.

Modelos estruturais e reduzidos são usados para avaliar estas probabilidades. No

primeiro modelo, inicialmente proposto por Merton (1974), é utilizada a abordagem de ativos

contingentes e a insolvência é ativada por um processo de gatilho. No segundo, apresentado

em Duffie e Singleton (1999), o evento de insolvência é ativado por um processo de

intensidade, governado por uma hazard rate, usualmente modelada como uma variável de

Poisson. Modelos estruturais ganharam mais popularidade entre bancos centrais e

organizações internacionais. O Banco da Inglaterra e o Banco Central Europeu publicam suas

estimativas de indicadores de probabilidades de default baseados no modelo de Merton desde

2004, nos seus Financial Stability Reviews.1 O Fundo Monetário Internacional também provê

estes indicadores baseados no mesmo modelo.

KMV e Moody’s desenvolveram, de maneira muito bem sucedida, modelos de risco

de crédito com base na metodologia estrutural. Crosbie e Bohn (2002) demonstram que o 1 Veja Bank of England (2004) e European Central Bank (2004).

39

KMV estende a estrutura do trabalho de Black e Scholes (1973) e Merton. O KMV supõe que

a empresa é uma opção perpétua com o ponto de insolvência se comportando como uma

barreira para o valor de mercado do ativo da empresa. Múltiplas classes de dívida são

modeladas. Os resultados do KMV são apoiados por uma base de dados com mais de 250.000

empresas por ano e 4.700 eventos de insolvência que são usados para encontrar a distância ao

default da empresa, uma medida que indica o número de desvios padrões que a empresa está

distante do seu ponto de insolvência. Sobehart e Stein (2000) demonstram que o modelo da

Moody’s é o modelo de Merton com informações adicionais do modelo reduzido. A Moody’s

usa informação de crédito das empresas e variáveis macroeconômicas, através de uma

regressão logística, para obter um ajuste nas probabilidades de default.

Tudela e Young (2005) percebem um ganho na precisão da metodologia da Moody’s e

do KMV quando a informação do modelo estrutural e do modelo reduzido são combinadas.

Os procedimentos da Moody’s e do KMV tentam integrar a informação disponível no

mercado de dívida e no mercado de ações. Esta integração é muito importante, pois a falta de

coerência destas informações poderia encorajar operações de arbitragem. Mitchell, Pedersen e

Pulvino (2007) demonstram como um arbitrador pode lucrar com preços descasados entre o

mercado de dívida e o de ações. Chatiras e Mukherjee (2004) afirmam que oportunidades de

arbitragem ocorrem porque os mercados, quase freqüentemente, reagem diferente uns dos

outros à chegada de informação. Os autores executam várias operações de arbitragem bem

sucedidas usando informações obtidas do mercado de dívida e do mercado de derivativos.

No Brasil, Prado, Bastos e Duarte (2000) destacam que a motivação para o

desenvolvimento de modelos sofisticados de risco de crédito é restrito pela falta de

informação dos mercados de dívida. De fato, o processo de constituição de base de dados por

parte de instituições de crédito ainda é incipiente e a divulgação é muito limitada até por conta

de problemas jurídicos em relação ao sigilo dos dados. Esta restrição leva ao natural

40

desenvolvimento de modelos estruturais. Entretanto, a quantidade de trabalhos empíricos no

mercado brasileiro sobre este tema é desprezível. Hermanny (2000) aplica o modelo de

Merton para avaliar probabilidades de default de duas empresas. Seus resultados corretamente

indicam uma prévia alta probabilidade de quebra para uma das empresas que posteriormente

se tornou insolvente. Minardi (2005) compara probabilidades de default extraídas do modelo

de Merton com avaliações de crédito de empresas brasileiras pelas agências Moody’s e

Standard and Poor’s. A autora não encontrou diferenças significativas entre as variáveis

estudadas.

O objetivo do trabalho é estender a aplicação de modelos estruturais usuais para que

estes reflitam características verificadas em processos de insolvência de empresas. O trabalho

avalia o mercado de dívida e o mercado de ações brasileiro. O modelo proposto compara o

valor de mercado dos ativos com o tamanho da dívida na estrutura de capital da empresa em

qualquer tempo até o vencimento. A estrutura da dívida e, conseqüentemente, o ponto de

insolvência apresenta um movimento estocástico.2 Esta incerteza é capturada através da

suposição de que a razão dívida-ativo evolui como um movimento browniano geométrico.

Este movimento conjunto é modelado por uma opção de troca com uma barreira flutuante que

indica o momento de insolvência. Para reconciliar os mercados de dívida e de ações adiciona-

se um processo de salto ao modelo. O modelo final é uma opção de troca com barreira down-

and-out, com saltos e com taxa estocástica de juros. Este modelo é uma extensão de modelos

estruturais tradicionais e reflete de maneira mais precisa características verificadas no

mercado brasileiro de dívida. Pelo nosso conhecimento, esta é a primeira vez que esta

metodologia é proposta. Embora o resultado final não seja uma fórmula fechada, na

concepção plena da definição, apresenta-se uma aproximação computacional bem razoável. O

modelo proposto permite combinar informações do mercado de dívida e do mercado de ações. 2 Por exemplo, é comum que as empresas ajustem suas obrigações à medida que elas estejam próximas do ponto de insolvência. Benos e Papanastasopoulos (2007) afirmam que as obrigações aumentam com a aproximação do momento de falência.

41

Os preços das ações são obtidos da base da Bovespa. Para incorporar as informações do

mercado de dívida, analisam-se os registros da base de dados de crédito do Banco Central do

Brasil, divididos por setores da economia, através de uma metodologia de análise de

sobrevivência (survival analysis). Na seqüência, um experimento é conduzido para avaliar o

desempenho comparativo do modelo proposto com três outros modelos estruturais. O modelo

proposto apresenta os melhores resultados.

O trabalho está organizado da seguinte maneira. A Seção 2 deriva o modelo. Além

disso, apresenta-se uma discussão sobre as diferenças entre o modelo proposto e os demais

modelos da literatura. A Seção 3 descreve as bases de dados utilizadas, principalmente a base

de dados de crédito do Banco Central, e o tratamento dos dados para a extração das

probabilidades de default. A Seção 4 apresenta os resultados e uma breve descrição da

metodologia de análise de sobrevivência. A Seção 5 conclui o trabalho e discute as limitações

do modelo proposto.

2 O MODELO

Black e Scholes (1973) e Merton (1974) introduziram a base acadêmica para o

desenvolvimento de modelos estruturais de análise de risco de crédito. Eles brilhantemente

demonstraram que o valor da empresa é contingente ao valor de mercado dos ativos. Esta base

teórica possibilitou uma consistente e intuitiva estrutura para avaliar o nível de endividamento

da empresa e sua estrutura de capital. Outros autores então estenderam as suposições de

Merton para que este modelo pudesse se comportar mais próximo de condições reais de

mercado. Black e Cox (1976) remediam o problema da suposição de que a insolvência só

poderia acontecer no vencimento da dívida. Os autores introduzem uma barreira de

insolvência fixa que caso atingida em qualquer instante do tempo determinaria o momento de

insolvência. Zhou (1997) apresenta uma versão de modelagem que permite a ocorrência de

42

processos de saltos no comportamento do valor de mercado do ativo. Longstaff e Schwartz

(1995) combinaram a estrutura desenvolvida por Merton com o modelo de Vasicek de taxa de

juros e uma estrutura exógena de determinação da insolvência financeira. Jones, Mason e

Rosenfeld (1984) também relaxam a suposição de taxa de juros determinística. Os autores

concluem que a introdução de taxa de juros com comportamentos estocásticos melhora o

desempenho dos modelos que empregam a análise de ativos contingentes. Kim, Ramaswamy

e Sundaresan (1993) incorporam o procedimento descrito em Cox, Ingersoll e Ross (1985)

para a modelagem da estrutura a termo de taxa de juros e observam o fluxo de caixa da

empresa para a determinação das condições de falência. Collin-Dufresne e Goldstein (2001)

apresentam um modelo que estende o trabalho de Longstaff e Schwartz (1995) e incluem

barreiras de insolvência estocástica. Madan e Unal (1998) e Duffie e Singleton (1999)

desenvolvem uma classe de modelos de taxa de juros com comportamentos estocásticos que

incorporam a possibilidade de variações abruptas (hazard rate) no comportamento do ativo de

maneira a permitir a probabilidade imediata de insolvência.

O trabalho apresenta uma opção de troca com barreira down-and-out, com saltos e

com taxa estocástica de juros para a estimação da probabilidade de default de uma empresa.

Valores de mercado dos ativos e valores da dívida são, por suposição, sensíveis a variações de

taxa de juros e ao comportamento da hazard rate. Em relação ao valor de mercado do ativo, a

suposição é coerente com os demais modelos da literatura. Em relação ao valor da dívida, esta

suposição reflete características do mercado brasileiro. Em 2006, por exemplo, 56% das

dívidas das empresas de curto e longo prazo com bancos privados foram negociadas a taxas

flutuantes.3 O modelo adota as suposições padrão que as negociações ocorrem de maneira

contínua em um mercado perfeito e sem custos de transação, sem impostos e os valores de

3 Febraban (2006).

43

mercado obedecem a um processo de difusão lognormal. O modelo permite ainda que uma

grande variedade de estruturas a termo de taxa de juros possa ser adotada.

Para incorporar os saltos no comportamento do valor de mercado dos ativos, ),(1 tS e

da dívida, ),(2 tS segue-se o processo descrito em Merton (1976), definido por:

( ) 2,1,,~,)()1()()()(

=−−++=−

iNxdttdNetdBdttS

tdSii

ixxiiii

xiii

i

i σµµλσω (1)

onde )(tdBi é o processo Browniano padrão para o ativo i, )(tdNi é um processo de

contagem Poisson com taxa iλ , iω é a tendência ou a taxa de retorno esperada do movimento,

iσ é a volatilidade e iµ é o efeito esperado do tamanho do salto nos preços do ativo, dado

por ]1[ −ixQ eE .

Aplica-se o Lema de Itô para obtenção do movimento relativo entre os ativos 1 e 2,

obtendo-se:

)]()()1)(1()()1()()1()(

))()(()[()()(

)()(

21211122

2211212

2212

1

2

1

2121 tdNtdNeetdNetdNedt

tdBtdBdttStS

tStS

d

xxxx −−+−+−+−

+−+−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−µλµλ

σσσρσσωω (2)

onde, ρ é a correlação entre o processo de difusão do valor de mercado do ativo e da dívida.4

Os últimos três termos da Equação 2 são os processos de saltos do movimento do ativo e da

dívida. Seguindo Merton, a suposição padrão é que os termos são independentes do

componente Browniano. O último termo da Equação reflete a co-dependência entre os saltos.

Em ocasiões de stress de crédito, espera-se observar saltos simultâneos do ativo e da dívida na

mesma direção. Em circunstâncias normais, é razoável pressupor que os componentes

aleatórios de salto, ix , são independentes e refletirão a alteração do risco por setores

4 Em modelos estruturais esta correlação é sempre positiva. A medida que a parcela de risco da dívida diminui e a dívida tende a livre de risco, a correlação cai e tende a zero.

44

econômicos e segundo fatores macroeconômicos.5 Como conseqüência, o último termo da

Equação (2) desaparece.

Para se mover para uma medida martingale equivalente, executa-se uma mudança de

medida através de ),()(~

tdBdttBd iii += θ 21

11 ρσ

σωθ −

−=

r e 22

22 σ

σωθ −

−=

r , para obter:6

)]()1()()1()())()([( 2111222

~

21

~

121 tdNetdNedttBdtBd

PdP xx

t

t −+−+−+−= −µλµλσσ (3)

A Equação (3) mostra que )()(

2

1

tStSPt = se comporta como um processo padrão de

comportamento de retornos com dois componentes de saltos independentes.

De acordo com a demonstração em Merton (1976), pode-se verificar que a dinâmica

do preço do ativo com dois componentes de saltos independentes apresenta a seguinte

equação integro-diferencial:

0)()],(),([21)(

2

12

222

221121 =−+−

∂∂

+∂∂

−−+∂∂ ∑ ∫

=

+∞

∞−

−

n

xxn dxxftSCtSeCrC

PCP

PCPr

tC λσµλµλ (4)

A Equação (4) é a solução para a Equação (3). Considerando que )),(),(,( 221 σtStStC

é o preço da opção de troca convencional de dois ativos, o preço da opção de troca com saltos

é dado por:

)2),(),(,(!!

)()( 22

21

2122

2121

0

21)(

0

21

Tm

TntStStC

mnTTe

m

mnT

n

δδσρσσσ

λλλλ

++−+∑∑∞

=

+−∞

=

, (5)

onde λ é o número esperado de saltos por ano e δ a mudança percentual no preço do ativo

explicado pelos saltos.

5 Verificou-se que no período de 2000 a 2003, a dívida das empresas estudadas estava muito ligada a fatores macroeconômicos, como taxas indexadas a outras moedas e taxas pós fixadas. 6 Margrabe (1978) foi o primeiro a prover uma solução analítica para a opção de troca. A mesma solução pode ser alcançada através da mudança de medida descrita acima.

45

A partir daí, segue-se a idéia apresentada em Liu e Wang (1999) no qual a incerteza da

estrutura a termo de taxa de juros é capturada por um processo estocástico generalista como o

descrito no modelo de Vasicek (1977) ou em Cox, Ingersoll e Ross (1985). A suposição é que

a taxa de juros segue um movimento Browniano, )()( 00 tdWtdB = . Aplica-se a decomposição

de Cholesky para a obtenção dos Brownianos dos ativos 1 e 2 na Equação (6). A estrutura de

correlação dos ativos é dada por 01ρ , 02ρ e 12ρ , onde o subscrito 0 indica a taxa de juros, e 1 e

2 os respectivos ativos.

)(1)()( 12010011 tdWtdWtdB ρρ −+=

)(1

)(1)(1

)()( 2201

20201122

021201

0201120022 tdWtdWtdWtdB

ρρρρρ

ρρρρρ

−−−+

−+= −−

(6)

Conseqüentemente, o novo processo )(tP , conforme definido inicialmente na

Equação (1), passa a ser dado por:

.2,1),,(~,)()1()()()()(

=−−++=−

iNxdttdNetdBdttrtP

tdPii

ixxiiii

xii

i

i σµµλσ (7)

Seguindo a demonstração de Liu e Wang (1999), a fórmula final para a opção de troca

com saltos e taxas de juros estocásticas é dada por:7

)]()([!!

)()(,,22,,11

0

21)(

0

21

xdSxdSmn

TTemnmn

m

mnT

nφφ

λλλλ

−∑∑∞

=

+−∞

=

(8)

onde ∫=−+−+

=T

tpmn sdBx

TxTtStS

xd )(,)''()''(2))()(ln(

)( 0022011

201

21

202

2221

,,1 σρσρσρσρσ

,)()( ,,1,,2 Txdxd pmnmn σ−= 20220111221

21

22 )''()''2''( ρσρσρσσσσσ −−−+=p

7 Liu e Wang (1999) apresentam uma formula fechada para o apreçamento de uma opção de troca com taxa de juros estocásticas.

46

e,'2

121

21 T

nδσσ +=

Tm 2

222

22'

δσσ +=

A partir daí, usa-se uma fórmula de barreira de opção para derivar a função de

probabilidade acumulada da primeira passagem no tempo, isto é, a freqüência esperada de

insolvência anterior ao vencimento da dívida. Para modelar este comportamento estocástico

do valor de mercado do ativo e da dívida, incorpora-se ao modelo uma barreira down-and-out

que representa um gatilho de falência. A probabilidade que uma empresa representada por

uma opção down-and-out entre em estado de insolvência até um tempo T é dado por:

,))(

)((log())()((log(

!!)()( 1

2

2

1

0

21)(

0

21

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +×+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ += ∑∑

∞

=

+−∞

= TtS

tS

WT

tStS

mnTTe

PDppm

mnT

n σ

ηφ

σ

ηφ

λλλλ

(9)

onde ∫∫

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

=T

p

p

Tp

TdssrdssrtS

tS

W0

2

20

2

1

2

)2)((e,2)()(

)(log(2exp ση

σ

σ

A primeira parte da Equação (9), seguinte ao somatório, é derivada de Merton e

expressa a probabilidade que o valor de mercado do ativo esteja abaixo da barreira de

insolvência no tempo T. O termo seguinte leva em conta as trajetórias possíveis do

movimento do valor de mercado do ativo e mede a probabilidade de que o ponto de barreira

seja cruzado antes do tempo T.

3 DADOS

As fontes das bases de dados usadas para estimar as probabilidades de default através

dos modelos estrutural e reduzido são a Economática e a base de dados da central de risco de

47

crédito do Banco Central do Brasil. A primeira base é um banco privado de informações com

preços de mercado e informações de balanços e demonstrativos contábeis para empresas

listadas. A base de dados da central de risco de crédito do Banco Central do Brasil é um banco

de informações oficiais de todas as transações acima de R$ 5.000,00 no Brasil. Esta base foi

criada em 1997 para permitir o aprimoramento das atividades de supervisão. A base contém

informações-chave de crédito para o uso da fiscalização do Banco. O acesso a informação foi

permitido sem a identificação individual e incluiu, dentre várias características das empresas,

registros de crédito, exposições e vencimentos, a classificação de risco dos próprios bancos,

as perdas e garantias. Os dados são dispostos em bases mensais. As instituições financeiras

podem obter a informação agregada de tomadores de recurso, porém somente com expressa

autorização destes. Em 2002, a base de dados alcançou mais que 7 milhões de registros, com

72% relacionados a indivíduos, representando 27% do total da exposição de crédito, e 28%

relacionado a empresas, representando 73% do total da exposição de crédito.8 Os registros de

crédito das empresas são classificados por cada instituição financeira em nove níveis de risco,

de acordo com um sistema de ordenamento determinado pelo Banco Central. O tomador é

considerado em insolvência se sua classificação de crédito foi incluída nos últimos cinco

grupos por alguma instituição financeira. Com isso, caracteriza-se que a empresa está em

estado de default. Isto significa que a definição de insolvência neste trabalho tanto pode estar

ligado ao não pagamento total de dívidas, como ao atraso parcial por um período maior que

90 dias. Esta limitação da classificação decorre do fato de se trabalhar com critérios

previamente definidos pelo Banco Central. Como regra geral, as classificações são revistas a

cada doze meses ou a cada seis meses se a dívida do tomador estiver acima de um

determinado nível.

8 Para uma melhor descrição da base de dados, ver Schechtman et al (2004). A partir de 2004, a base incorporou novas informações de crédito e passou a ser denominada Sistema de Informações de Crédito do Banco Central.

48

A comparação entre os resultados do modelo estrutural e do modelo reduzido é

possível desde que as amostras sejam representações da mesma população de empresas. O

problema inicial é que enquanto se verifica um número muito grande de empresas na base de

dados do Banco Central, este número é significativamente pequeno na bolsa de valores de São

Paulo, pois as empresas listadas são geralmente as maiores corporações do país. Além disso,

poucas empresas da Bovespa apresentam a liquidez necessária para a implementação do

modelo.9 O critério de seleção destas empresas na Bovespa foi o ranking de liquidez da

Economática em 2002.10 Os dados coletados foram preços de ações, número de ações

negociadas, dívida e taxa de juros livre de risco.11 A amostra final contém 47 empresas não

financeiras cujo volume de negociação corresponde a aproximadamente 50% do volume de

negociação total da Bovespa em 2002.12 Todas as empresas foram classificadas nos seus

respectivos setores econômicos de acordo com os dados da base de crédito: petroquímica,

siderurgia, papel e celulose, alimentos, bebidas e cigarro, têxtil, telecomunicações e energia.13

O faturamento líquido da amostra selecionada corresponde a aproximadamente 45% do

faturamento total das empresas listadas em 2002. As estatísticas do faturamento líquido são

usadas para selecionar a amostra de empresas da base de dados do Banco Central. Esta

amostra final representa 30% dos maiores empréstimos corporativos, divididos por setores

econômicos, de janeiro de 2002 a abril de 2004.

A Tabela 1 apresenta o relacionamento entre os faturamentos de ambas as bases. As

estatísticas da base de dados do Banco Central foram providas pelo próprio Banco e por isso,

9 Em 2002, havia cerca de 410 empresas listadas na Bovespa, mas como demonstrado por Medeiros e Ramos (2004) somente 70 empresas já respondiam por 97,6% do volume negociado. 10 O indicador de liquidez da Economática apresenta informações de todas as empresas listadas. O critério considera o número de negócios, o volume financeiro e o número de dias de negociação com pelo menos um negócio. 11 Os contratos futuros de DI de um dia foram usados como aproximação para a taxa livre de risco. 12 O volume de negociação total é reduzido devido a: 1) Instituições Financeiras correspondiam a aproximadamente 11% do volume da Bolsa; 2) Petrobrás e Vale do Rio Doce, que correspondiam a 20% do volume de negócios, foram excluídas, pois cada empresa representava aproximadamente 100% do seu respectivo setor econômico e não estavam incluídas na base de dados de crédito. 13 Geração de energia e transmissão estão incluídos neste ultimo grupo.

49

não foi possível a aplicação de testes não paramétricos. O teste t indica que não é possível

rejeitar a hipótese nula de que a média das séries é igual. O teste F não rejeita a hipótese nula

de que a variância das séries é igual. Desta forma, supõe-se que as amostras são

representações da mesma população.

Tabela 1 – Estatística Descritiva do Faturamento Líquido das Empresas Listadas e das Empresas com os 30% Maiores Empréstimos da Base de Dados do Banco Central (BC). Dados em Milhões de Reais.

Estatística Base de Dados da

Economática (Modelo Estrutural)

Base de Dados do BC (Modelo Reduzido)

Média 3.383 3.014 Mediana 1.816 1.645

Desv. Padrão 4.031 3.833 1o Quantil 805 523 3o Quantil 5.398 4.218 Número de

Firmas 47 60

4 O EXPERIMENTO

Para cada empresa da amostra, estima-se a probabilidade de default através do modelo

proposto. Um intervalo de confiança de 95% é criado para checar se os resultados são

compatíveis com os obtidos pela análise de sobrevivência aplicada na base de dados do Banco

Central. Além disso, para avaliar o desempenho do modelo proposto, comparam-se estes

resultados com o de outros três modelos: o modelo de Merton simples, o modelo de Merton

com uma estrutura down-and-out e o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção

down-and-out de troca com taxas de juros estocásticas. No final, reconciliam-se as

probabilidades de default do modelo proposto com a da base de dados do Banco Central

através da calibragem do parâmetro de volatilidade do salto.

50

4.1 Resultados do Modelo Estrutural

Emprega-se o método dos cumulantes, descrito em Beckers (1981), para a estimação

dos saltos anuais verificados para cada empresa e suas respectivas alterações percentuais nos

preços dos ativos. Supõe-se que a probabilidade de saltos é diferente para cada ação e que o

salto é definido como qualquer retorno maior que três desvios padrões. Uma janela móvel de

cinco anos, com dados de informações dos balanços, é utilizada para se estimar a correlação

entre os valores de mercado do ativo e da dívida.14 Janelas de um ano são utilizadas para se

estimar volatilidades das ações e da taxa de juros. A covariância entre as ações e a dívida é

obtida ao se igualar as volatilidades dos dois lados do balanço patrimonial. A covariância

entre a dívida e a taxa de juros depende da covariância entre os ativos e a taxa de juros e a

covariância entre as ações e a taxa de juros. Utiliza-se um conjunto de dados de um ano para

estimar estes últimos parâmetros. Supõe-se que o valor de mercado da dívida é o montante de

empréstimos de curto e longo prazo, montantes devidos a credores e outras obrigações de

longo prazo.15

As correlações entre ativos e dívida, classificados por setores econômicos, são baixas

e muito próximas. A verificação de altas correlações poderia apontar reações simultâneas às

informações por parte de ativos e dívidas. A correlação média foi de 0,025 indicando que não

houve choques simultâneos de preços e que as probabilidades de default estimadas são

estáveis ao longo do tempo analisado. Este último ponto é reforçado pelo fato de que a

volatilidade anual da taxa de juros, 2,23%, foi baixa, e que as volatilidades dos ativos das

empresas também foram muito baixas. Estas volatilidades variaram de 0,78% a 31,18%.

Embora as volatilidades das ações tenham sido bem consideráveis, de 30% para as mais

14 Informações financeiras de balanços contábeis foram a única fonte de informação de preços disponível para a obtenção das correlações. 15 Yu e Fung (2005) destacam razões para a inclusão de empréstimos de curto prazo e montantes devidos a credores como proxy para as obrigações das empresas. Eles afirmam que a probabilidade da dívida de curto prazo causar insolvência é alta.

51

líquidas até 70%, volatilidades baixas das dívidas e a alavancagem financeira explicam as

baixas volatilidades dos ativos.

Para calcular a probabilidade de default na Equação (9), necessita-se conhecer o valor

de mercado dos ativos e sua volatilidade. Segue-se então o procedimento iterativo descrito em

Merton (1974) para obtenção destas variáveis. O valor de mercado das ações, na Equação (8),

é função do valor da empresa, a volatilidade dos retornos das ações e o valor da dívida.16 A

volatilidade do valor dos ativos da empresa é função da volatilidade dos retornos das ações,

do valor de mercado das ações e dos ativos e de sua derivada apresentado pela variável

)(,,1 xd mnφ na Equação (8).

A Tabela 2 apresenta as probabilidades de default estimadas pelo modelo proposto

para cada setor econômico.17 Os vencimentos indicados correspondem aos dois maiores na

base de dados de crédito para cada setor. Estima-se um intervalo de confiança de 95%. Este

intervalo é baseado em Merton (1974). A variância das perdas da carteira depende dos pesos

de cada empresa na matriz de covariância. A covariância da insolvência de duas empresas é

estimada supondo-se que a probabilidade conjunta de default é dada por uma distribuição

normal bivariada. As variações dos intervalos são conseqüência direta da distribuição

binomial.

Pelos dados da Tabela 2, verificamos a não evidência de correlação entre as

probabilidades de default dos setores e a alavancagem das empresas que compõem o setor. O

setor com a menor probabilidade de default observada, papel e celulose, é o terceiro mais

alavancado. O setor com a maior probabilidade de default, têxtil, é apenas o sétimo mais

alavancado. Este descasamento entre probabilidades de default e alavancagem é verificado

16 O valor de mercado das ações é igual ao produto do número de ações em circulação pelo preço da ação. 17 Os resultados da Tabela foram obtidos com a suposição de saltos não simultâneos, como discutido na passagem da Equação 2 para 3. Entretanto, é possível que os saltos aconteçam sempre de maneira simultânea. Para comparar esta hipótese com a do modelo proposto, rodamos simulações de Monte Carlo para obter probabilidades de default de acordo com a Equação 2. As probabilidades de default obtidas da simulação apresentam resultados muito similares aos do modelo proposto.

52

ainda quando se estima probabilidades de default de setores pela média ponderada de cada

empresa, considerando seus respectivos valores de capitalização de mercado. Os intervalos de

confiança apresentados nas colunas 5 e 6 da Tabela 2 são usados para avaliar o modelo a luz

dos resultados da base de dados de crédito.

Tabela 2 - Probabilidades de Default (PD) Médias por Setores Econômicos e Intervalos de Confiança de 95% (IC). As probabilidades de default individuais são estimadas por uma opção down-and-out de troca com taxas de juros estocásticas e saltos. As probabilidades médias são obtidas por uma ponderação com pesos iguais para cada empresa. A amostra consiste de 47 empresas. A alavancagem é obtida pela razão entre valor de mercado dos ativos e dívida.

Setor Econômico #

Fir-mas

PD Médio

Maturidade do Default

(meses)

IC 95%

IC 95%

PD Ponderada

pela Capitalização

Alavancagem Média

Petroquímica 10 4.90% 12 0.00% 15.52% 3.15%

0.47 6.48% 15 0.00% 18.41% 4.86%

Siderurgia 8 5.12% 12 0.00% 17.28% 4.11%

0.69 6.82% 15 0.00% 20.80% 5.85%

Papel e Celulose 5 0.51% 7 0.00% 5.75% 0.50%

0.51 0.66% 8 0.00% 6.62% 0.65%

Alimentos 3 2.36% 12 0.00% 16.56% 1.40%

0.46 3.57% 15 0.00% 20.75% 1.95%

Bebida e Tabaco 2 1.05% 1 0.00% 13.14% 0.86%

0.27 1.45% 15 0.00% 15.66% 1.11%

Têxtil e Roupas 4 12.35% 12 0.00% 37.13% 1.91%

0.35 14.92% 15 0.00% 41.46% 2.56%

Telecomunicação 5 0.71% 10 0.00% 7.76% 0.69%

0.44 1.01% 12 0.00% 9.49% 1.02%

Energia 10 2.73% 12 0.00% 13.60% 3.09%

0.67 3.93% 15 0.00% 17.32% 4.38%

4.2 A Metodologia da Análise de Sobrevivência

Há uma ligação entre os resultados produzidos por modelos estruturais e pelos

reduzidos. Thomas (2006) afirma que não há diferença conceitual entre modelos estruturais e

53

reduzidos. Segundo o autor, a única diferença é relativa a maneira de se tratar a informação.

Guo, Jarrow e Zeng (2005) provêem uma rigorosa análise matemática para transformar

modelos estruturais em modelos de intensidade reduzidos. Elizalde (2005) deriva uma taxa

acumulada de insolvência consistente com um modelo reduzido através da especificação de

um modelo estrutural, onde investidores não tem acesso a informações completas sobre a

dinâmica dos processos que disparam a insolvência das empresas.

A técnica de análise de sobrevivência é derivada de modelos de forma reduzida. Seus

resultados representam as mudanças na probabilidade de default ao longo da vida útil do

empréstimo. A técnica especifica a probabilidade de falha, dado que não houve insolvência,

até um período determinado t, que permite a comparação com um modelo estrutural down-

and-out. O resultado deste modelo difere de outros modelos tradicionais, como a regressão

logística, porque incorpora o momento da insolvência no ciclo de vida do empréstimo. A

metodologia supõe a insolvência como a realização de um processo aleatório em que o

momento é uma variável aleatória cuja distribuição de probabilidade pode ser caracterizada

por uma função de sobrevivência, )(1)(Prob)( tFtTtS −=>= , onde t é o tempo da falha, T

é o tempo do evento, S(t) a função de sobrevivência e F(t) é a função de distribuição

cumulativa para a variável aleatória.

A função de densidade de probabilidade f(t) é igual a -dS(t)/dt = S’(t). A função risco

(hazard function) )(th utilizada para descrever a distribuição do tempo até a insolvência é

).(/)(/)/(lim)( ' tStSdttTdttTtPth −=>+<<=

Embora várias funções de risco pudessem ser utilizadas para a estimação das

probabilidades de falha, emprega-se a função de risco proporcional proposta por Cox (1972).

Além do fato do modelo ser o mais empregado em regressões de dados de sobrevivência,

54

outro motivo que levou a seleção deste modelo, é a não necessidade de suposições sobre a

distribuição dos dados.18 O modelo apresenta a seguinte forma:

),()(),/( 0 BXgthBXth = (10)

Onde X representa uma coleção de variáveis que afeta a probabilidade de falha. )(0 th é o

termo não paramétrico denominado função de risco de linha de base (baseline hazard

function). B representa os coeficientes do modelo, a serem estimados, que descrevem como

cada variável indicada afeta a probabilidade de falha. A função g apresenta um

comportamento exponencial.

Nossa amostra de dados de crédito compreende a informação de crédito mensal de 60

empresas do mercado brasileiro, divididas pelos oito setores da Tabela 2, o que perfaz um

total de 12.000 registros aproximadamente. As variáveis explicatórias utilizadas na análise de

sobrevivência são os pagamentos em dia, a dívida total, a dívida atrasada, as perdas

anteriores, o colateral, que é uma garantia diretamente ligada à operação, a instituição

financeira credora e/ou o conglomerado financeiro a que ela pertence, a classificação de

crédito do evento e outras garantias gerais envolvidas na operação. As variáveis pagamentos

em dia e dívida atrasada são subdivididas em períodos conforme definido pelo Banco Central.

A regressão para cada setor econômico segue a Equação 10. A Tabela 3 lista as regressões

finais, as variáveis por setor e os p-valores do teste t.

18 Glennon e Nigro (2005), Whalen (1991) e Lane, Looney e Wansley (1986).

55

Tabela 3 – Regressões de Análise de Sobrevivência por Setores Econômicos. As Variáveis Explicatórias são: B) pagamentos em dia por vencimento: B1: até 180 dias; B2: de 181

a 360; e B3 mias de 360 dias; C) dívida total; E) dívida atrasada por período: E1:de 15 a 60 dias; E2: de 61a 180 dias; E3: de 181 a 360 e E4, mais de 360 dias; F) perdas; G) colateral; H) instituição financeira e I)conglomerado financeiro. A regressão segue a Equação 10.

Setor Econômico Equações

Petroquímica

E11082.2C1003.2B2103.77-B11021.1 -6-8-77 ×+×+××−= −PD

)0014.0()0921.0()0230.0()0370.0(

Siderurgia

C1016.7B3106.99-B2101.12-B11063.9 -8-8-78 ×+×××−= −PD

)0002.0()0000.0()0040.0()0000.0(

E21025.3E1108.1 -7-7 ×+×+

)0000.0()0130.0(

Papel e Celulose I104.2E2105.99B21034.1B11061.2 -4-867 ×+×+×−×−= −−PD

)0627.0()0480.0()0211.0()0680.0(

Alimentos E31043.1E21018.3E1108.45B11016.3 -5-7-87 ×+×+×+×−= −PD

)0027.0()0360.0()0011.0()0380.0(

Bebida e Tabaco G103.1C103.2B3102.41-B2102.4-B11035.2 -6-6-6-66 ×+×+×××−= −PD

)0620.0()0630.0()0641.0()0580.0()0570.0(

Têxtil

+×+×××−= − C1074.3B3103.62-B2104.94-B11062.6 -7-7-77PD )0000.0()0000.0()0000.0()0000.0(

F108.01-E11084.2 -8-7 ××+

)2800.0()0120.0(

Telecomunicação

E2102.1C1093.1B3101.97-B2102.7-B11099.1 -7-7-7-77 ×+×+×××−= −PD

)0130.0()0001.0()000.0()0004.0()0000.0(

Energia

+×+×××−= − C101.3B3103.16-B2103.02-B11011.3 -7-7-77PD )0026.0()0019.0()0046.0()0022.0(

H101.05-G106.34E21085.1 -3-9-7 ××+×+ )0075.0()2800.0()0720.0(

Para cada registro de cada empresa há dezesseis variáveis explicatórias. As empresas

foram agrupadas por setor e o critério de seleção das variáveis foi a razão de verossimilhança

e o teste t. Os sinais das variáveis gerados pela regressão provêem uma interessante

caracterização das estimativas de probabilidade de default. Por exemplo, verifica-se que os

pagamentos em dia são negativamente relacionados à probabilidade de default. Dívidas

56

atrasadas e o montante de dívida total são positivamente relacionados. Em relação às demais

variáveis do modelo, não foi possível verificar relações significativas.19

A Tabela 4 apresenta as estimativas de probabilidades de default para cada setor

econômico pela metodologia de análise de sobrevivência. O setor têxtil e o siderúrgico

apresentam as maiores probabilidades de default. Este fato também é verificado na Tabela 2.

Outra similaridade entre as Tabelas 2 e 4 é o fato de não ter sido verificado o relacionamento

entre as probabilidades de default dos setores e suas respectivas alavancagens.

As probabilidades de default listadas na Tabela 4 são estimadas para os dois maiores

vencimentos. Os resultados de cada setor da Tabela 4 são comparados às estimativas de

probabilidades de default e aos seus respectivos intervalos de confiança indicados na Tabela

2. Estes resultados também são comparados as estimativas de probabilidade de default de três

outros modelos: o modelo de Merton simples, o modelo de Merton com uma estrutura down-

and-out e o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out com

taxa de juros estocástica.

Tabela 4 – Probabilidades de Default (PD) por Setores Econômicos. Os resultados são obtidos pela metodologia de análise de sobrevivência aplicada aos 30% maiores empréstimos da base de dados de crédito. As maturidades dos defaults são as duas maiores extraídas da base.

Setor Econômico Default

PD Default

PD (em meses) (em meses)

Petroquímica 12 1.00% 15 1.20% Siderurgia 12 7.90% 15 8.10%

Papel e Celulose 7 0.00% 8 0.00% Alimentos 12 0.90% 15 1.00%

Bebida e Tabaco 1 0.00% 15 0.00% Têxtil 12 7.50% 15 8.80%

Telecomunicação 10 3.30% 12 3.30% Energia 12 5.90% 15 6.20%

19 Foi rodada uma regressão de painel, mas as variáveis garantias gerais e perdas não tiveram coeficientes significativos.

57

Para o modelo proposto, verifica-se que as probabilidades de default da base de dados

de crédito listadas na Tabela 4 estão dentro do intervalo de confiança, apresentados na Tabela

2, para todos os setores e vencimentos. Este fato não é observado para os outros três modelos.

Para o modelo de Merton simples e para a versão down-and-out, as probabilidades de falha

dos setores de siderurgia, telecomunicações e energia não estão dentro do intervalo de

confiança. Para o modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out

e taxas de juros estocásticas, a exceção de telecomunicações, todos os setores encontram-se

incluídos no intervalo.

O teste de médias revela que os resultados do modelo proposto são menos dispersos

que os resultados das demais metodologias. Com isso, as probabilidades de default para o

conjunto de empresas do mesmo setor econômico são mais próximas. Além disso, quando o

processo de salto é levado em consideração, há uma correção dos erros de estimação de cada

empresa na direção correta do intervalo de confiança. Para 77,8% das situações, quando a

opção de troca down-and-out apresenta uma probabilidade de default maior que a

probabilidade da base de dados de crédito, a inclusão do salto ajusta a probabilidade para

baixo. Quando a opção de troca down-and-out apresenta uma probabilidade de default menor

que a probabilidade da base de dados de crédito, a inclusão do salto ajusta a probabilidade

para cima em 100% das vezes.

A Tabela 5 apresenta a estatística descritiva dos erros de estimação, bem como a

distância padrão da probabilidade de default de cada modelo e das estimativas da Tabela 4. O

modelo de Merton com uma estrutura de uma opção de troca down-and-out com taxa de juros

estocástica e saltos apresenta a menor mediana e desvio padrão das medidas de erro.

58

Tabela 5 – Estatística Descritiva das Medidas de Erro dos Modelos Estruturais.

Estatística Merton (1974)

Merton Down-and-

Out

Opção de Troca

Down-and-Out

Opção de Troca

Down-and-Out com

Saltos Mínimo (1,58) (1,58) (1,58) (1,51)

1o Quantil (0,82) (0,69) (0,56) (0,51) Mediana (0,52) (0,43) (0,35) (0,31)

3o Quantil (0,35) (0,34) (0,10) 0,20 Máximo 5,49 9,02 15,16 12,74 Média (0,45) (0,28) 0,37 0,38 Desv. Padrão 1,15 1,70 2,80 2,47

4.3 Reconciliando a Informação do Mercado e da Base de Dados de Crédito

Duffie e Lando (2001) demonstram que é possível transformar um modelo estrutural

com um tempo para default previsível em um modelo de forma reduzido. Astebro e Chen

(2003) afirmam que efeitos de processos de saltos deveriam ser incorporados ao modelo

estrutural para ajustar estes resultados com as probabilidades de default dos modelos

reduzidos. O objetivo é estimar o impacto da informação do mercado de crédito através de um

evento de salto no preço da ação da empresa. Devido à base de dados de crédito estudada não

possibilitar a estimativa da probabilidade de default de cada firma, utiliza-se as probabilidades

de setores da Tabela 4 como proxies. O modelo proposto é flexível o suficiente para se ajustar

a diferentes estruturas de spreads de crédito o que permite o seu uso como modelo de

previsão. Por conta desta propriedade, estimam-se as mudanças percentuais do preço da ação

explicadas pelo salto de maneira que os resultados do modelo estrutural de cada empresa

sejam iguais às probabilidades de default de setores econômicos da Tabela 4.

59

Tabela 6 – Estatística Descritiva das Volatilidades do Salto (δ). Os resultados foram estimados para cada empresa, mas estão apresentados por setores.

Estatística (δ)

Energia Alimentos Têxtil Telecom. Siderurgia Petroquímica

Mínimo 0,50% 0,17% 5,60% 4,30% 1,06% 9,30% 1o Quantil 2,75% 2,24% 9,40% 6,85% 2,78% 11,15% Mediana 5,10% 4,30% 13,20% 9,75% 3,60% 13,00%

3o Quantil 8,20% 18,15% 17,00% 15,58% 18,35% 15,85% Máximo 12,20% 32,00% 20,80% 26,90% 28,10% 18,70% Média 5,51% 12,16% 13,20% 12,68% 10,72% 13,67% Desv. Padrão 3,74% 17,31% 10,75% 9,97% 10,78% 4,74%

A Tabela 6 apresenta a estatística descritiva das volatilidades dos saltos das empresas

classificadas por setor econômico. A análise dos resultados proporciona um interessante

insight sobre a utilização de modelos estruturais para a estimação de probabilidades de default

no período estudado. Assim como na Tabela 5, como os resultados não apresentam uma

distribuição normal, usa-se a mediana como medida primária de tendência central. Para a

maioria dos setores, as volatilidades observadas no mercado de ações não são altas o bastante

para igualar as probabilidades de default em ambos os mercados. Isto ocorre porque há

informação negativa ou uma maior aversão a risco no mercado de dívida destes setores. Por

exemplo, observa-se que a volatilidade do setor têxtil deveria ser 13,20% maior para que

houvesse uma reconciliação entre os mercados de ação e dívida. No setor petroquímico,

dever-se-ia observar uma volatilidade 13% maior. Isto significa que credores são mais

cuidadosos quando estão lidando com empresas destes setores econômicos. Para o setor de

siderurgia, uma volatilidade somente 3,6% maior já reconciliaria ambos os mercados.

Por outro lado, em alguns setores observa-se que as volatilidades do mercado de ações

são muito altas, como o papel e celulose e bebidas e fumo. Nestes setores, ou os credores não

percebem o risco da mesma forma que os investidores do mercado de ações, ou apresentam

comportamento de tomadores de risco.

60

O desvio padrão indica o quão disperso esta medida de aversão a risco do mercado de

ações, indicada pela volatilidade teórica do salto, está distribuída entre as empresas. Os

setores de alimentos e siderurgia apresentam medidas de dispersão bem consideráveis. Isto

significa que as empresas destes setores são mais heterogêneas, o que pode ser confirmado

pelas diferenças entre os máximos e mínimos. Por outro lado, as empresas dos setores de

energia e petroquímica aparentam ser mais homogêneas.

As medidas da volatilidade teórica dos saltos podem ser úteis para a previsão de

probabilidades de default. A incerteza dos modelos na previsão das probabilidades pode ser

explicada pela não consideração do fator de salto. Este fator pode ser utilizado como uma

penalidade nos modelos estruturais de maneira a produzir resultados precisos entre os

mercados de ação e de crédito ou entre modelos estruturais e reduzidos. Para a amostra

estudada, a penalidade mínima para qualquer setor não chega a uma volatilidade do salto

maior do que 10%. Por exemplo, para o setor de alimentos, a penalidade mínima é de 0,17% e

a máxima, uma volatilidade maior em 32%.

5 CONCLUSÃO

A pesquisa desenvolve uma fórmula tratável de um modelo estrutural que permite o

cálculo de probabilidades de default de empresas. Este modelo proposto é desenvolvido sob

suposições de processos neutros ao risco para o comportamento do ativo e da dívida através

de movimentos Brownianos geométricos. O modelo é compatível com uma série de estruturas

a termo de taxa de juros. Fatores de saltos são adicionados ao modelo proposto para tornar o

modelo sensível à chegada de novas informações. Além disso, o modelo apresenta uma

barreira estocástica para detectar a insolvência em qualquer momento que o valor de mercado

do ativo alcance um valor menor do que a dívida. O modelo final apresentado é uma

aproximação computacional bem razoável para estimativas de probabilidades de default.

61

Um experimento é conduzido no mercado brasileiro, através da base de dados de

crédito do Banco Central. Os registros da base foram classificados de acordo com os setores

econômicos e as probabilidades de default foram estimadas através da metodologia de análise

de sobrevivência. Verifica-se que se considerarmos os dados agregados por setor econômico,

todas as probabilidades de default geradas na base de dados de crédito estão dentro do

intervalo de confiança do modelo proposto. Este resultado foi comparado com os resultados

gerados por três outros modelos estruturais e o desempenho de todos eles foi relativamente

pior.

Quando as probabilidades de default individuais das empresas, geradas pelo modelo

estrutural proposto, são comparadas como as probabilidades de default setoriais da base de

crédito os resultados não são tão bons. Isto já era esperado, pois para esta segunda base de

dados não é possível estimar a probabilidade de default de cada empresa. Para ultrapassar esta

limitação, utilizam-se as probabilidades de default setoriais como uma referência para a

calibragem do modelo proposto. O processo é executado através do ajuste da volatilidade do

salto. O procedimento gera resultados interessantes. Demonstra-se que a variável calibrada

explica de maneira bem razoável a diferença entre as probabilidades de default verificadas no

mercado de ações e no mercado de dívida.

Modelos estruturais, por definição, apresentam a limitação de necessitarem de dados

de mercado. Esta característica, dado o atual estágio do mercado de capitais brasileiros e dado

ao número pequeno de empresas listadas, pode inviabilizar uma aplicação mais ampla deste

modelo. Entretanto, como detalhado anteriormente, dado a dificuldade da obtenção de bases

de dados, este modelo ainda se apresenta como a melhor alternativa para estimativa e

tratamento do risco de crédito, principalmente se complementado por informações de modelos

reduzidos. Para futuras pesquisas, uma base de dados de crédito com identificação das

empresas poderia auxiliar na melhor compreensão e no teste dos resultados deste modelo.

62

Destaca-se ainda, que dado que o salto é o fator responsável pela efetiva correção dos erros de

estimação, pelo menos se considerarmos a amostra estudada, modelos estruturais mais

simples, decorrentes do caso geral deduzido neste trabalho, poderiam ser testados. Desta

forma, poderíamos ter pelo menos mais dois modelos com perspectivas de apresentarem bons

resultados: O modelo de Merton com saltos e um modelo com estrutura de uma opção de

troca com saltos.

63

Ensaio 3

Uma Maneira Simples de se Extrair Medidas Reais de Modelos de Apreçamento de Derivativos

64

RESUMO

O objetivo deste artigo é explicar o porquê de apesar dos preços

extraídos dos modelos de opções serem estimados com base em probabilidades

sintéticas, eles serem os mesmos no mundo real e no mundo neutro ao risco.

Recursos de planilha eletrônica são apresentados para a discussão de princípios

teóricos relacionados ao apreçamento de derivativos, por exemplo, a igualdade

entre volatilidades reais e volatilidades neutras ao risco. Além disso, uma rotina

de conversão de probabilidades sintéticas para probabilidades reais é

apresentada, o que é muito útil para a análise de problemas de opções reais e

para a estimação de probabilidades de default de empresas.

ABSTRACT This paper is helpful to explain students that although synthetic

probabilities are different from true probabilities, derivative prices are the same

in real and risk-neutral worlds. We explore the resources of an Excel

spreadsheet to discuss the main theoretical principles related to options. For

example, we show that risk-neutral and true volatilities are equal, even though

securities expected returns are different in both worlds. We present a routine to

convert derivatives models synthetic probabilities of exercise into actual

probabilities, which is a very useful tool to analyze real option problems as, for

instance, the task of estimating company’s default probabilities.

65

1 INTRODUÇÃO

Em 1973, Fisher Black e Myron Scholes (Black e Scholes, 1973) publicaram seu trabalho

seminal sobre precificação e hedging de opções européias plain vanilla. Uma solução fechada foi

derivada e o lema de Itô (Itô, 1942) foi formalmente apresentado à área de finanças. Embora a

fórmula apresente uma solução analítica elegante, o modelo mais intuitivo só apareceu em 1979,

com o trabalho de Cox, Ross e Rubinstein (Cox, Ross e Rubinstein, 1979). Este modelo facilitou

o entendimento sobre o apreçamento de derivativos e o apreçamento de opções reais,

rapidamente tornando-se disseminado por operadores e interessados na área.

Neste trabalho de 1979, os autores demonstram que a solução do modelo converge para

Black & Scholes quando as mesmas suposições se fazem válidas, quando o período de tempo

tende a infinito e o comprimento de cada passo é infinitesimalmente curto. A criação de carteiras

sem risco exclui oportunidades de arbitragem e permite a obtenção de preços justos dos

derivativos ao se descontar os payoffs ponderados pelas probabilidades sintéticas pela taxa de

juros do ativo livre de risco. Como conseqüência, o conceito de neutralidade ao risco aparece e os

preços de todos os derivativos tornam-se função das probabilidades sintéticas, dos payoffs

esperados e da taxa de juros.

Entender que, apesar das probabilidades sintéticas serem diferentes das probabilidades

reais, o preço dos derivativos é o mesmo em ambos os mundos, não é uma tarefa muito simples.

Além disso, a complexidade pode aumentar se a informação desejada é a probabilidade, ao invés

do preço, pois neste caso há a necessidade de tratamento das informações estimadas no mundo

neutro ao risco. A metodologia desenvolvida pela KMV (2001 e 2002) foi a primeira a tratar a

probabilidade de default neutra ao risco de Black & Scholes. Através de uma base de dados

própria de freqüências de default de empresas, a metodologia chega a uma probabilidade de

default verdadeira, ajustada ao risco para qualquer horizonte de tempo. Farmen et al (2000)

66

apontam que a estimação da probabilidade de default verdadeira é crucial para que os bancos

consigam computar dentre outras informações, perdas esperadas e perdas inesperadas, o capital

econômico e medidas de retorno ajustadas para risco. O artigo deriva um modelo de conversão e

discute exemplos numéricos da diferença entre probabilidades de default sintéticas e reais e as

conseqüências na gestão de risco de crédito. Em suas conclusões, os autores ressaltam que os

bancos não devem ignorar informações do mercado de ações, principalmente a probabilidade de

default derivada de modelos de opção, mas devem ajustar esta estimativa devido à possibilidade

das probabilidades neutras ao risco subestimarem o risco verdadeiro. A partir daí, vários

trabalhos empíricos investigaram a relação entre probabilidades de default sintéticas e reais,

como Bohn (2000), Huang e Huang (2003) e Driesen (2005). Dois importantes estudos apontam

para diferenças significativas entre probabilidades estimadas no mundo neutro ao risco e

probabilidades estimadas no mundo real. Liu et al (2003) encontram diferenças significativas

entre densidades neutras ao risco e densidades verdadeiras e derivam uma transformação através

de calibragem de fatores estatísticos. Berndt et al (2004) realizam o mais extensivo estudo

empírico sobre probabilidades de default. Neste estudo, preços de mercado de CDS (credit

default swaps) são utilizados para inferir probabilidades de default neutras ao risco. Os autores

rodaram regressões dos spreads observados para os CDS’s de 5 anos contra freqüências

esperadas de default de 5 anos de uma grande quantidade de empresas. A pesquisa demonstra que

probabilidades de default verdadeiras e neutras ao risco podem diferir substancialmente. Com

isso, os autores recomendam cuidados a serem considerados no gerenciamento do risco e

principalmente, a necessidade da distinção dos dois conceitos, mundo neutro ao risco e mundo

real, quando da apresentação de dados das empresas.

Este trabalho discute o problema de estimação de variáveis no mundo neutro ao risco e no

mundo real de uma maneira bem simples, provendo uma metodologia para se entender a intuição

67

por trás do uso de mudanças de medida de probabilidade. No caso discreto, a mudança de

probabilidade é possível devido ao teorema de Radon-Nikodym, que transforma a média sem

alterar a variância. No caso contínuo, a mudança é possível devido ao teorema de Girsanov

(1960). Através de uma planilha eletrônica, demonstra-se que apesar dos retornos dos ativos

serem diferentes no mundo real e no mundo neutro ao risco, a volatilidade é a mesma. Além

disso, exercícios são apresentados para ilustrar a metodologia de obtenção de probabilidades de

exercício verdadeiras.

O artigo está dividido na seguinte estrutura: a Seção 2 discute o modelo binomial e

apresenta um modelo teórico de mudança de medida através de árvores binomiais. A Seção 3

apresenta o processo de conversão de probabilidades de exercício. A Seção 4 ilustra um exemplo

aplicado a probabilidades de default e a Seção 5 conclui o estudo.

2 O MODELO BINOMIAL

O modelo binomial requer a quebra do tempo para expiração do derivativo em intervalos

de tempo ou passos. O movimento do ativo-objeto é representado em uma árvore recombinada de

preços com ramificações para baixo e para cima. A árvore representa todas as possíveis

trajetórias que o ativo-objeto pode realizar durante a vida da opção. Na data de expiração, isto é,

no final da árvore, todos os valores intrínsecos da opção são determinados. Subsequentemente, os

preços das opções em cada passo da árvore são obtidos de trás para frente, através de

probabilidades neutras ao risco do ativo-objeto de movimento para cima ou para baixo

descontadas pelo ativo livre de risco. Ajustes para dividendos e exercícios de opções de venda

americana são também possíveis.

68

2.1 Modelo Binomial de 1 Passo

Este exemplo segue as suposições de Cox, Ross e Rubinstein sobre o movimento do preço

do ativo-objeto. Considera-se uma opção de compra padrão de um ativo-objeto que não paga

dividendos, com os seguintes parâmetros:

Preço do Ativo Atual = $100

Preço de Exercício = $110

Volatilidade Anual do Ativo = 60%

Taxa de Juros Livre de Risco (em ano) = 6%

Tempo para o Vencimento (em dias) = 180

Como demonstrado por Copeland, Weston e Shastri (2005), a suposição de não

arbitragem permite o cálculo de probabilidades neutras ao risco baseadas no movimento binomial

do ativo-objeto e na taxa de juros do ativo livre de risco. Supondo-se que o preço do ativo-objeto

pode se mover para cima por um fator de crescimento u ou para baixo por um fator d, a

probabilidade sintética ,q é dada por du

drq−−+

=1 , onde, tSeu ∆= σ e tSed ∆−= σ .

Na formula acima, t∆ indica o intervalo de tempo de um passo, em bases anuais, isto é, o

tempo para expiração dividido pelo número de passos, r é a taxa de juros de um passo do ativo

livre de risco e Sσ a volatilidade anual. Os resultados são válidos para qualquer par de u e d, com

a restrição por arbitragem de que urd ≤+≤1 .

A taxa de retorno e a variância do ativo-objeto em um mundo binomial neutro ao risco são

dadas por 1))1(( −−+= dqquµ e 22 ))(1( duqq −−=σ . A taxa de retorno anual e a variância

69

anual são ]1)1[( 1 −+ ∆tµ e t∆σ , respectivamente. O lado esquerdo da Tabela 1 apresenta os

resultados da opção descrita acima para o modelo binomial de um passo. Os preços dos

derivativos e as respectivas taxas de retorno esperadas, ou drifts, são obtidas e apresentadas no

lado direito da Tabela. Observe que no mundo neutro ao risco, todos os retornos esperados são

iguais. Estes retornos esperados são calculados pelo produto dos retornos esperados da opção na

árvore binomial de um passo pelas suas respectivas probabilidades sintéticas. A probabilidade

sintética da opção de compra (call) é q. Para a opção de venda européia (put), a probabilidade

sintética é 1-q.

Tabela 1. Avaliação Neutra ao Risco do Modelo Binomial de 1 Passo

Resultados do Mundo Neutro ao RiscoPreço da Ação (S) 100 Preço da Opção de Compra 17,86640402Preço de Exercício (K) 110 Preço da Opção de Venda 24,70784888Volatilidade anual (σs) 60%Tempo para Vencimento (dias) 180 Ação Call PutTaxa de Juros Livre de Risco 6% Retorno Esperado de 1 passo 2,956% 2,956% 2,956%Número de Passos 1 Retorno Esperado Anual 6,00% 6,00% 6,00%

Parâmetros∆ t 0,5 Volatilidade da Ação 1 passo 0,432716909

Tx de Juros sem Risco 1 passo 2,956% Volatilidade Anual da Ação 0,611954122u 1,52846516d 0,654251092 Probabilidade de Exercício da Call 42,93%

q (probabilidade sintética) 0,429313524 Probabilidade de Exercício da Put 57,07%

Dados

=(1+6%)^0,5-1

=1- 42,93%

As probabilidades indicadas acima para os títulos não são as verdadeiras probabilidades.

As probabilidades de exercício verdadeiras dos derivativos são obtidas se supormos que

conhecemos o custo de capital do ativo-objeto, kS, isto é, o retorno esperado pelo investidor por

estar investindo nesta ação. Desta forma, podemos estimar as probabilidades verdadeiras para

70

movimentos de subida e descida, p e 1-p. A probabilidade de subida é ,1du

dksp t

−−+

= ∆ onde

tks∆ é o custo de capital de um passo. A equação necessária para o cálculo da volatilidade no

mundo real é similar à do mundo neutro ao risco, apresentada anteriormente, porém com p ao

invés de q.

A Tabela 2 reapresenta os dados com objetivo de indicar a probabilidade verdadeira ,p a

verdadeira taxa de retorno anual para os três títulos, suas volatilidades e a probabilidade de

exercício estimada pelo modelo binomial de um passo. No exemplo, o custo de capital anual da

ação é supostamente dado como 30%.

Tabela 2. Variáveis do Mundo Real do Modelo Binomial de 1 Passo

Resultados do Mundo RealPreço da Ação (S) 100 Preço da Opção de Compra 17,86640402Preço de Exercício (K) 110 Preço da Opção de Venda 24,70784888Volatilidade anual (σs) 60%Tempo para Vencimento (dias) 180 Ação Call PutTaxa de Juros Livre de Risco 6% Retorno Esperado de 1 passo 14,018% 33,30% -19,87%Custo de Capital Anual da Ação 30% Retorno Esperado Anual 30,00% 77,69% -35,79%Número de Passos 1

Parâmetros Volatilidade da Ação 1 passo 0,434372456∆ t 0,5 Volatilidade Anual da Ação 0,614295419

Custo de Capital 1 passo 14,018%u 1,52846516 Probabilidade de Exercício da Call 55,58%d 0,654251092 Probabilidade de Exercício da Put 44,42%

p (probabilidade verdadeira) 0,555841356

Dados

=(1+30%)^0,5-1

Ao compararmos os resultados das Tabelas 1 e 2, observa-se que no mundo real os

retornos esperados dos títulos não são semelhantes. Assim como na Tabela 1, o retorno esperado

é dado como o produto dos retornos esperados da opção na árvore binomial de um passo pelas

suas respectivas probabilidades, neste caso, verdadeiras. O retorno esperado da opção de compra

71

é maior que o retorno esperado da ação devido ao maior risco. O retorno esperado da opção de

venda é negativo, o que indica que investidores compram este título apenas para hedge. A

probabilidade de exercício da opção de compra é maior no mundo real do que no mundo neutro

ao risco. Por outro lado, a probabilidade de exercício da opção de venda é menor. Os fatores de

subida e descida não se alteram. Com relação às volatilidades, embora os retornos esperados dos

títulos sejam consideravelmente diferentes em ambos os mundos, as volatilidades anuais são

bastante próximas.

2.2 Modelo Binomial de N Passos

À medida que o número de passos aumenta, há uma convergência entre a distribuição de

probabilidade do modelo binomial e a função de distribuição normal. Cox, Ross e Rubinstein

demonstram que se teu ∆= σ e ted ∆−= σ , então os preços do ativo-objeto apresentam uma

distribuição lognormal e os resultados do modelo convergem para Black & Scholes. A Tabela 3

apresenta o resultado para diferentes números de passos de 1 a 10.000. Verifica-se que, no mundo

neutro ao risco, os retornos esperados são os mesmos para todos os ativos, ou seja, a taxa de juros

do ativo livre de risco. Este valor não se altera com a variação do número de passos. À medida

que o número de passos aumenta, os preços dos derivativos convergem para Black & Scholes.

A Tabela 3 apresenta resultados do modelo binomial de n passos no mundo neutro ao

risco e no mundo real para opções de compra e de venda. Os resultados indicam que retornos

esperados no mundo real e no mundo neutro ao risco são diferentes e que a diferença entre a

volatilidade real e a volatilidade neutra ao risco converge rapidamente para zero. Os retornos

esperados são estimados por funções em visual basic apresentadas no Apêndice. A mudança de

referência de risco, q e p, também denominada de mudança de medida é conduzida pela

72

adaptação do retorno esperado do ativo-objeto, ou o drift. Esta mudança não causa modificação

da volatilidade. Entretanto, as diferenças entre a probabilidade de exercício neutra ao risco e a

probabilidade de exercício real são significativamente diferentes. A Figura 1 ilustra o

comportamento das diferenças entre as volatilidades e das diferenças entre as probabilidades em

ambos os mundos de acordo com o número de passos.

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

14,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 80 160320

6401000

1500Passos

Dife

renç

a en

tre

as

Prob

abili

dade

s

-0,25%

-0,20%

-0,15%

-0,10%

-0,05%

0,00%

Dife

renç

a en

tre

as

Vola

tilid

ades

Figura 1. Diferenças entre as Probabilidades e as Volatilidades Estimadas no Mundo Real e no Mundo Neutro ao Risco, de acordo com o Número de Passos.

73

Tabela 3. Retorno Esperado e Volatilidade do Ativo-Objeto, Preços de Opções e Probabilidades de Exercício do Modelo Binomial de N Passos

PassosRetorno

Esperado Anual

Volatilidade Anual

Retorno Esperado

Anual

Volatilidade Anual Preço

Retorno Esperado

Anual

Probabilidade de Exercício

Retorno Esperado

Anual

Probabilidade de Exercício Preço

Retorno Esperado

Anual


Retorno Esperado

Anual


1 6,00% 61,20% 30,00% 61,43% 17,8664 6,00% 42,93% 77,69% 55,58% 24,7078 6,00% 57,07% -35,79% 44,42%5 6,00% 60,24% 30,00% 60,30% 14,5685 6,00% 44,02% 111,01% 54,18% 21,4099 6,00% 55,98% -35,87% 45,82%

10 6,00% 60,12% 30,00% 60,15% 14,4900 6,00% 32,26% 114,16% 41,58% 21,3314 6,00% 67,74% -35,08% 58,42%50 6,00% 60,02% 30,00% 60,03% 14,1842 6,00% 38,77% 117,19% 48,27% 21,0256 6,00% 61,23% -35,50% 51,73%

100 6,00% 60,01% 30,00% 60,02% 14,1532 6,00% 32,87% 117,60% 41,98% 20,9947 6,00% 67,13% -35,51% 58,02%500 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1693 6,00% 35,68% 117,56% 44,97% 21,0107 6,00% 64,32% -35,44% 55,03%

1000 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1652 6,00% 35,76% 117,61% 45,06% 21,0066 6,00% 64,24% -35,44% 54,94%10000 6,00% 60,00% 30,00% 60,00% 14,1614 6,00% 35,44% 117,65% 44,71% 21,0028 6,00% 64,56% -35,45% 55,29%

Mundo Neutro ao Risco Mundo RealAtivo-Objeto

Mundo Neutro ao Risco Mundo RealOpção de Compra Opção de Venda

Mundo Neutro ao Risco Mundo Real

Os resultados por Black & Scholes são: Preço da Opção de Compra = 14,1612; Preço da Opção de Venda Européia = 21,0027; Probabilidade de Exercício da Opção de Compra N(d2) = 35,64%, e N(-d2) = 64,36% para a Opção de Venda Européia. Neste exemplo, os preços das opções de compra e de venda são dados pelas funções ‘opt_binomial’. As probabilidades de exercício são estimadas por ‘Prob_exercise_binomial’ e os retornos esperados anuais são calculados por ‘opt_binomial_expectedreturn’. Estas funções encontram-se no Apêndice.

74

Pelo gráfico, a diferença entre volatilidades tende a zero. Isto significa que à medida

que nos movemos para uma medida de risco diferente, a taxa esperada de crescimento do

retorno do ativo muda, mas a volatilidade permanece a mesma. Isto ocorre devido à mudança

de probabilidade. No caso discreto, a mudança de probabilidade é possível pela aplicação do

teorema de Radon-Nikodym. Pelo teorema, se a derivada da medida neutra ao risco com

respeito à medida do mundo real existe, então, este resultado pode ser utilizado para

transformar a média sem alterar a variância.

Considere o movimento de um ativo representado por uma árvore de dois passos,

conforme a Figura 2.

Tempo 0 Tempo 1 Tempo 2

Do tempo zero ao tempo dois, podem-se seguir as seguintes trajetórias: {0, 1, 2}, {0,

1, 0}, {0, -1, 0} e {0, -1, -2}. As probabilidades de cada trajetória podem ser representadas de

acordo com a Tabela 4.

p3

1-p3

1-p1

1-p2

p2 p1

0

1

-1

2

0

-2

Figura 2. Árvore Recombinante de Dois Passos.

75

Tabela 4. Probabilidades de Trajetórias Possíveis na Árvore Recombinante de Dois Passos. Trajetória Probabilidade

{0, 1, 2} p1 p2 = : 1π

{0, 1, 0} p1(1- p2) = : 2π

{0, -1, 0} (1 - p1) p3 = : 3π

{0, -1, -2} (1 - p1)(1 – p3) = : 4π

Este mapeamento de trajetórias representado pelas probabilidades de trajetórias pode

ser visto como a especificação da Medida P. Conhecendo-se 1π , 2π , 3π e 4π é possível

determinar-se p1, p2 e p3. Esta mesma trajetória também pode ser representada com

probabilidades q1, q2 e q3. Neste caso, as novas probabilidades de trajetórias seriam

'1π , '

2π , '3π e '

4π e a medida correspondente a estas especificações é a Medida Q. Dado a razão

i

i

ππ '

para cada trajetória i, o mapeamento de trajetórias destas razões pode ser escrito como

dPdQ . Esta variável é denominada a derivada de Radon-Nikodym de Q com respeito a P no

tempo 2. A Figura 3 a seguir retrata como se dá a mudança de medida.

76

Para um processo estocástico contínuo, a mudança é possível devido à aplicação do

teorema de Girsanov (1960). O teorema permite que todos os derivativos possam ser

apreçados como se o investidor fosse neutro ao risco. Como conseqüência do teorema, o drift,

que incorpora preferências de risco do investidor, é somente uma medida de probabilidade e

não uma variável que necessita ser estimada para o modelo de apreçamento. Com isso,

embora dois investidores quaisquer possam discordar da taxa de retorno esperada de uma

ação, eles irão concordar sobre o valor justo da opção desta ação, supondo que eles estimem a

mesma volatilidade.

O teorema de Girsanov foi importante para a aplicação dos martingales no

apreçamento de opções.1 A definição de um processo de Itô significa estimar a probabilidade

de cada trajetória que o processo pode seguir, através de uma função densidade de

probabilidade. Entretanto, uma simples função não irá capturar a natureza do processo, nem

mesmo todas as distribuições para cada tempo t. Necessita-se de todas as distribuições em

cada tempo t condicional a cada história Sℑ para todos os tempos s < t. Estas distribuições

são determinadas sobre uma medida de probabilidade. Aplicando o teorema de Girsanov,

1 A teoria de martingales foi proposta originalmente por Ville (1939) e permite que se estime o preço livre de arbitragem de qualquer ativo.

2'2 ππ

3'3 ππ

Figura 3. Mudança de Medida no Último Passo da Árvore, de acordo com a Derivada de Radon-Nikodym.

4'4 ππ

1'1 ππ

77

muda-se esta medida e o novo processo pode ser reescrito como uma integral de Itô cujo

processo é martingale.2

A intuição de tempo contínuo na Figura 1 é obtida pelo maior número de passos e

demonstra que a diferença de volatilidades é zero. Isto significa que mudanças de medida de

neutro ao risco para real não impactam a volatilidade. Em relação às probabilidades, a

diferença entre a medida neutra ao risco e a real se estabiliza. Com isso, faz-se necessário uma

conversão de probabilidades.

3 CONVERSÃO DE PROBABILIDADES DE EXERCÍCIO

O modelo que reproduz o comportamento do preço do ativo S pode ser aproximado

pela dinâmica descrita por uma equação diferencial estocástica, ,SdWSdtdS σµ += onde σ é

a volatilidade dos retornos do ativo e µ é o retorno esperado do ativo. No mundo neutro ao

risco, como o preço de mercado do risco é zero, o comportamento deste mesmo ativo seria

,~

WSdrSdtdS σ+= onde r é a taxa de juros do ativo livre de risco. Girsanov mostra que os

dois processos estão relacionados se dtdWWd λ+=~

. Desta forma, a solução obtida no

mundo neutro ao risco é válida no mundo real, e, comparando-se as equações diferenciais dos

dois mundos, verificamos que σµλ )( r−= .

Considerando que λ é o retorno esperado da ação no mundo real e que quando o

número de passos aumenta, a binomial tende a uma função de distribuição normal cumulativa

Φ , a transformação de uma probabilidade neutra ao risco ( rn ) de uma opção de compra para

uma probabilidade real ( R ) é dada por:

))(( 1 λ+ΦΦ= − rnR

2 Ver Shreve (2003).

78

Para uma opção de venda, o sinal anterior ao retorno esperado da ação no mundo real

deve ser negativo. Esta mudança é extremamente útil para derivativos com fórmulas fechadas.

Seja um warrant com preço de conversão de $28, preço da ação de $25, volatilidade 30%,

taxa de juros livre de risco de 14.5% e custo de capital de 25%. Pela equação de Black &

Scholes, temos uma probabilidade de exercício de 79%. Entretanto, se convertermos esta

probabilidade de exercício para o mundo real, chegamos ao valor de 96%. Esta precisão é

importante para que investidores possam compreender realmente os benefícios deste título.

Para a opção descrita no item 2.1, o prêmio de risco é dado por, ( )

TTRK

S

fS

σλ

−= ,

onde, SK e fR , são os custos de capital e a taxa de juros livre de risco, e Sσ a volatilidade

anual. Desta forma, temos que ( ) ,%301ln +=SK ( ) %,60e5.0,%61ln ==+= Sf TR σ com

um prêmio de risco, λ , de 0.2405. Por Black & Scholes, ( )2dN é a probabilidade de

exercício, igual a 35,64%, e 2d sua inversa, igual a –0,3681. A probabilidade de exercício

verdadeira da opção de compra é obtida adicionando-se o λ a 2d , cujo resultado é -0.1276, e

estimando-se sua correspondente distribuição normal cumulativa padrão, no caso igual a

44.92%.

4 OBTENÇÃO DE PROBABILIDADES DE DEFAULT REAIS

A metodologia examinada acima é útil para estimar probabilidades de default reais

baseadas em preços de ações. A probabilidade de default neutra ao risco é estimada pelos

procedimentos sugeridos por Merton (1974), no qual a empresa é avaliada como uma opção.

Neste caso, se os ativos estimados a valor de mercado é menor ou igual ao valor de mercado

da dívida, a empresa será entregue aos credores. Neste exercício, replica-se o exemplo

apresentado no capítulo vinte e seis de Hull (2003), convertendo-se a probabilidade sintética

79

para a verdadeira. O valor de mercado das ações da empresa é de $ 3 milhões com uma

volatilidade anual de 80%. A empresa apresenta um montante de dívidas no valor de $ 10

milhões a ser paga em um ano. A taxa de juros livre de risco é de 5% e o custo de capital da

ação é definido como 16%.

A aplicação do modelo de Merton demanda a solução do par de equações simultâneas

que resolve a volatilidade do ativo )( Vσ e o valor de mercado dos ativos da empresa )( 0V . A

primeira equação é a própria formula de Black & Scholes no qual o ativo-objeto é o ativo da

empresa e o valor da opção de compra é o valor de mercado das ações (1). A segunda equação

é obtida a partir do lema de Itô (2).

)()( 2100 dNDedNVE rT−−= (1)

010 )( VdNE VE σσ = (2)

onde TddT

TrDVd VV

V σσ

σ−=

++= 12

20

1 e)()/ln( .

No exemplo, temos que 10e1,05,0,8,0,30 ===== DTrE Eσ . Resolvendo as equações (1)

e (2), encontramos que 2123,0e40,120 == VV σ . A probabilidade de exercício neutra ao

risco, ( )2dN , é a probabilidade que a empresa honre a dívida. Conseqüentemente, a

probabilidade de default é 12,7%ou127,0)(1 2 =− dN .

Agora, podemos estimar o custo médio ponderado de capital da empresa (CMPC). O

valor de mercado da dívida é 40,900 =− EV . Isto representa 75% do valor dos ativos. O

custo de capital da dívida é TValueMarketValueFace /)/ln( 0623,01/)4,9/10( == Ln .

80

Como o custo de capital das ações foi fornecido, supondo uma alíquota zero de imposto de

renda, temos que 0623,0*75,016,0*25,0 +=CMPC 0,085987= .

O prêmio de risco λ é 170,012123,0

05,0085987,0=

− . Com isso, chegamos a

probabilidade de default verdadeira, 16,53%, dada pela distribuição normal cumulativa padrão

de 9731,0170,014,12 −=+−=+− λd .

5 CONCLUSÃO

Este artigo ilustra o processo de mudança de medida de probabilidade através de um

exemplo em planilha eletrônica. A exploração dos recursos das planilhas é apresentada nas

tabelas e em funções de visual basic descritas no apêndice.

Simula-se o modelo binomial com diferentes números de passos para se ilustrar a

convergência no caso discreto e no caso contínuo. Para simulações com elevado número de

passos, a distribuição de probabilidade binomial tende para uma função de distribuição

normal. Adicionalmente, demonstra-se que volatilidades no mundo neutro ao risco e no

mundo real são iguais, mesmo sabendo-se que os retornos esperados são diferentes. O artigo

apresenta um modelo teórico de mudança de medida através de árvores binomiais utilizando a

derivada de Radon-Nikodym e termina com um exercício prático de conversão de

probabilidades de exercício do mundo neutro ao risco para o mundo real, que é bastante útil

em processos de análise de opções reais e para estimação de probabilidades de default.

81

CONCLUSÃO GERAL

O objetivo deste trabalho foi explorar a aplicação de derivativos, em particular das

opções, como instrumento de medida ou de referência de risco através de três ensaios

aplicados.

No primeiro ensaio, adota-se uma opção de escolha americana para as estimativas dos

spreads de compra e venda embutido nos preços das opções de Telemar. A base do trabalho é

o artigo de Copeland e Galai (1983) que destacam que a formação do valor do spread de

compra e venda e a relação deste custo com o preço do ativo e a volatilidade são bem

explicadas pelo comportamento do preço de uma opção. Os resultados da aplicação da

metodologia proposta para mensuração do spread indicam a correção do viés de estimação de

volatilidades. A volatilidade do mercado brasileiro de opções é reestimada e encontram-se

valores sensivelmente menores, permitindo a correção de outro viés verificado na base de

dados, a identificação de lucros sistematicamente positivos para estratégias de arbitragem.

Além disso, contorna-se a limitação da metodologia de cálculo do spread ex-post, bem como

o problema da estimação de spreads para opções de pouca liquidez, sobretudo as muito fora-

do-dinheiro.

No segundo ensaio, adota-se uma opção de troca de Margrabe (1978), com taxas de

juros estocásticas, comportamento down-and-out e com saltos para estimativa das

probabilidades de default de empresas no mercado brasileiro. A base deste trabalho é a

modelagem de risco de crédito por opções, desenvolvida inicialmente por Merton (1974).

Apresenta-se, pela primeira vez, um modelo que contorna uma série de limitações empíricas

para a estimação da probabilidade de default e absorve todos os demais modelos da literatura,

fazendo com que estes se tornem casos específicos. Os resultados da aplicação do modelo

proposto mostram que ao considerarmos os dados agregados por setor econômico, todas as

probabilidades de default geradas na base de dados de crédito do Banco Central estão dentro

82

do intervalo de confiança deste modelo. Este resultado foi comparado com os resultados

gerados por três outros modelos estruturais e o desempenho de todos eles foi relativamente

pior. Além disso, os resultados do modelo proposto são menos dispersos que os resultados das

demais metodologias e quando o processo de salto é levado em consideração, há uma

correção dos erros de estimação de cada empresa na direção correta do intervalo de confiança.

Por último, verifica-se que o modelo proposto é flexível o suficiente para se ajustar a

diferentes estruturas de spreads de crédito o que permite o seu uso como modelo de previsão.

O terceiro ensaio demonstra empiricamente que apesar do desenvolvimento de

modelos de precificação de opções ser feito no mundo neutro ao risco, os resultados obtidos

por estes modelos são perfeitamente compatíveis e conversíveis para o mundo real. Com isso,

inferências de medidas de risco conseguidas através dos modelos de opções, como o spread de

compra e venda e a probabilidade de default, são medidas aplicáveis no mundo real, ainda que

sujeitas a suposições matemáticas restritivas quando de sua dedução inicial.

83

APÊNDICE

Funções em Visual Basic (Excel versão português) Utilizadas no Terceiro Ensaio

'Variáveis

'S e K em valores monetários

'rf – Taxa anual

'T – Em dias

'Vol – Volatilidade Anual

'n = número de passos

'type = Call ou Put

Function opt_binomial(S, K, rf, u, d, T, n, type)

'Estima o preço da opção de acordo com o modelo Binomial

rf = Log(1 + rf) / 360 * (T / n)

If UCase(Left(type, 1)) = "C" Then

alfa = 1

Else

alfa = -1

End If

q = (Exp(rf) - d) / (u - d)

For i = 0 To n

sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * _

Application.Max(alfa * (S * u ^ i * d ^ (n - i) - K), 0)

Next i

sol = sol * Exp(-rf * n)

If Left(type, 1) = "p" Then sol = K * Exp(-rf * n) - S + sol

opt_binomial = sol

End Function

84

_________________________________________________________________________

Function Prob_exercise_binomial(S, K, rf, u, d, n, type, q)

'Estima a Probabilidade de Exercício da Opção de acordo com o modelo Binomial

'q = probabilidade no mundo real ou no mundo neutro ao risco

a = Int(Log(K / S * d ^ (-n)) / Log(u / d)) + 1

For i = a To n

sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0)

Next i

If Left(type, 1) = "p" Then sol = 1 - sol

Prob_exercise_binomial = sol

End Function

____________________________________________________________________

Function Prob_exercise_BS(S, K, rf, vol, T, type)

' Estima a Probabilidade de Exercício da Opção usando o modelo de Black & Scholes

rf = Log(1 + rf)

T = T / 360

d2 = (Log(S / K) + (rf - vol ^ 2 / 2) * T) / (vol * Sqr(T))

sol = Application.NormSDist(d2)

If Left(type, 1) = "p" Then sol = 1 - sol

Prob_exercise_BS = sol

End Function

85

_____________________________________________________________________

Function call_BS(S, K, rf, vol, T, type)

' Estima o preço da opção usando o modelo de Black & Scholes

alfa = 1

rf = Log(1 + rf)

T = T / 360

If Left(type, 1) = "p" Then alfa = -1

d1 = (Log(S / K) + (rf + vol ^ 2 / 2) * T) / (vol * Sqr(T))

d2 = d1 - vol * Sqr(T)

nd1 = Application.NormSDist(alfa * d1)

nd2 = Application.NormSDist(alfa * d2)

sol = S * alfa * nd1 - K * alfa * Exp(-rf * T) * nd2

call_BS = sol

End Function

_________________________________________________________________________

Function opt_binomial_expectedreturn(S, K, rf, Ks, vol, T, n, type, World)

'Estima o retorno esperado de acordo com o modelo Binomial

'World - ‘Neutro’ ou ‘Real’

'Ks – Custo de Capital da Empresa

dt = T / 360 / n

u = Exp(vol * Sqr(dt))

d = Exp(-vol * Sqr(dt))

If UCase(Left(type, 1)) = "C" Then

alfa = 1

Else alfa = -1

End If

If UCase(Left(world, 1)) = "N" Then

z = rf

Else z = Ks

End If

' Taxa de Juros Efetiva

86

rf = (1 + z) ^ (T / 360 / n) - 1

q = (1 + rf - d) / (u - d)

If K = 0 Then

x = S

Else x = opt_binomial(S, K, rf, u, d, T, n, type)

End If

If K <> 0 Then

For i = 0 To n

sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * _

(Application.Max(alfa * (S * u ^ i * d ^ (n - i) - K), 0) / x - 1)

Next i

Else For i = 0 To n

sol = sol + Application.BinomDist(i, n, q, 0) * (S * u ^ i * d ^ (n - i) / x - 1)

Next i

End If

sol = (1 + sol) ^ (360 / T) - 1

opt_binomial_expectedreturn = sol

End Function

87

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