Capítulo 4 - Concordância de Curvas Horizontais

4.1 Introdução

O traçado em planta de uma estrada é composto de trechos retos concordados com curvas circulares, sendo que essas são usadas para desviar a estrada de obstáculos que não possam ser vencidos economicamente.

A escolha do raio a ser adotado para uma determinada curva de um traçado depende da análise de diversos fatores específicos da curva e da harmonia do conjunto de elementos que constituirão a planta de estrada. Muitas vezes problemas locais obrigam o uso de raios de valor baixo, dois fatores principais limitam estes valores a serem adotados:

Estabilidade dos veículos que percorrem a curva com grande velocidade; Mínimas condições de visibilidade.

4.2 Características Geométricas das Curvas Horizontais

A figura abaixo mostra a geometria da concordância das curvas horizontais circulares com as tangentes (trechos retos) do traçado e a nomenclatura adotada.

Chamando-se de desenvolvimento (D) da curva circular ao comprimento do arco de círculo compreendido entre os pontos PC e PT e grau da curva (G) ao ângulo com vértice em (O) que corresponde a um desenvolvimento e 20 m (uma estaca) teremos:

- grau da curva:

para G em graus e Rc em metros

- tangente da curva:

- desenvolvimento do trecho circular:

para AC e G em graus e D em metros ou

para Rc e D em metros e AC em radianos.

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- Estaca do PC: Est. do PC = Est. do PI – T

- Est. do PT: Est. do PT = Est. do PC + D

4.3 Estabilidade de Veículos em Curvas Horizontais SuperelevadasChama-se de superelevação a declividade transversal da pista feita em torno do

bordo interno, nas curvas, proporcionando maior estabilidade aos veículos.

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Condição de Equilíbrio: Pt + Fa = Fc

( é pequeno)

Fórmula geral da superelevação

Expressão geral teórica usada pelo DNER Fazendo: v(m/s) V(Km/h) g = 9,8 m/s2

onde:e - superelevação (%);V - velocidade de projeto (km/h);R - raio da curva (m);f - coeficiente de atrito.

4.3.1 Valores Máximos da Superelevação:O valor da superelevação a ser adotado para uma determinada curva circular

deve ser limitado a um valor máximo por razões práticas, como: curva com uma superelevação alta pode provocar o deslizamento do veículo para o interior da curva ou mesmo o tombamento de veículo que percorram a curva com velocidade muito baixa ou parem sobre a curva por qualquer motivo.

Os valores máximos adotados, segundo a AASHTO, são determinados em função dos seguintes fatores:

- Condições climáticas, isto é, freqüência de ocorrência de chuvas, e eventual ocorrência de gelo ou neve;

- Condições topográficas do local;

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- Tipo de área: rural ou urbana;- Freqüência de trafego lento no trecho considerado.A AASHTO considera os seguintes valores para a superelevação máxima:

FatoresDeterminantes

Máxima superelevação

AASHTOZona rural - Boas condições 0,12Zona rural - Possibilidade de gelo ou neve 0,08Zona urbana ou trechos de baixa velocidade 0,06

O DNER estabeleceu uma fórmula prática para o cálculo da superelevação, considerando uma redução de 25 % na velocidade de projeto:

4.3.2 Valores Máximos de Coeficiente de Atrito LateralQuando um veículo percorre uma curva horizontal circular o máximo valor do

atrito lateral é o valor do atrito desenvolvido entre o pneu do veículo e a superfície do pavimento na iminência de escorregamento. A tabela abaixo mostra os resultados obtidos nas pistas experimentais para os valores máximos de atrito lateral:

Velocidade(km/h)

fmax

AASHTO BARNETT LA TORRE

50 0.16 0.16 0.1660 0.15 0.16 0.1570 0.15 0.16 -80 0.14 0.16 0.1490 0.13 0.16 -

100 0.13 0.15 0.13110 0.12 - -120 0.11 0.14 0.12

4.4 Raio Mínimo de Curvas Circulares

Deve atender a seguintes condições: garantir a estabilidade dos veículos e garantir condições mínimas de visibilidade em toda a curva.

4.4.1 Raio Mínimo em Função da Estabilidade

Na eminência do escorregamento, o menor raio a ser adotado para a curva pode ser calculado considerando-se valores máximos de superelevação e coeficiente de atrito lateral:

onde:V - velocidade de projeto (km/h);g - gravidade (m/s2);emax - superelevação máxima na curva;

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fmax = coeficiente de atrito lateral máximo.

4.5 Condições Mínimas de Visibilidade nas Curvas HorizontaisDefinido o raio mínimo quanto à estabilidade para projeto de uma estrada, deve-

se verificar para cada curva horizontal se o valor do raio adotado satisfaz às condições mínimas de visibilidade de uma distância superior à distância de frenagem (Df), considerando o caso mais geral.

Assim em cada curva deve-se verificar:

a) A visibilidade em função dos obstáculos existentes;

b) A visibilidade em função da posição e inclinação dos taludes.

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4.6 Alargamento das Pistas nas Curvas - SuperlarguraA pista de uma estrada, muitas vezes é alargada nas curvas para dar ao

motorista as mesmas condições de operação do veículo encontradas nos trechos em tangente.

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Pistas estreitas e/ou com curvas fechadas (raio pequeno) precisam aumentar sua largura nos trechos em curva, mesmo que a velocidade do veículo seja baixa porque:a) quando um motorista percorre uma curva circular e o ângulo de entrada das rodas é constante, a trajetória de cada ponto do veículo é circular. O anel circular formado pela trajetória de seus pontos extremos é mais largo que o gabarito transversal do veículo em linha reta.b) o motorista tem uma maior dificuldade em manter o veículo sobre o eixo de sua faixa de tráfego.

A largura do gabarito BC não tem importância sobre a superlargura e sim sobre a largura da faixa de tráfego, já estabelecida. A superlargura deve ser tal que impeça que o veículo invada a faixa de tráfego adjacente.

Da figura, tem-se: = AE = OE - AO = R - AO (1)OAB é um triângulo retângulo: (AO)2 = (OB)2 + (AB)2

Substituindo em (1):

Considerando a pista com duas faixas de tráfego:

A fim de combater a deformação produzida pela perspectiva, na qual a pista estreita-se bruscamente nas curvas, causando um efeito desagradável de fundo psicológico nos motoristas, foi feita uma correção na fórmula acima o que aumenta o valor as superlargura:

a) AASHTO (correção em função do raio da curva)

b) DNER (correção em função da velocidade e do raio)

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onde:n = número de faixas por eixo;R = raio da curva (m);L = distância entre eixos (6 a 10 m).V = velocidade do veículo (m/s)

A distribuição da superlargura deve corresponder à curva circular, acompanhando a superelevação.

Exercícios

1) Determinar o valor da superelevação e da superlargura para uma curva de raio 300m cuja velocidade de projeto é de 100 km/h. São dados: g = 10m/s2, coeficiente de atrito = 0,14, pista com 2 faixas, distância máxima entre eixos = 10 m.

2) Um veículo trafega por uma rodovia pavimentada de classe II, em região plana com uma pista de 2 faixas. Calcular a distância de visibilidade para pista molhada, considerando as seguintes situações: a) a presença de um bloco de rocha na mesma faixa de tráfego, b) um veículo trafegando na contramão, c) a manobra de ultrapassagem de um caminhão que se desloca com a velocidade diretriz, d) um veículo parado na mesma faixa de tráfego, num declive de 2,5 %. Dados:

t1 = 4.15 st2 = 10 sd3 = 60 ma = 0.80 km/h.s e 0.21 m/s2

4.7 Locação de Curvas

Vários são os processos empregados para a locação de curvas e dentre ele citamos os seguintes: das transversais ou de interseção, das ordenadas sobre a tangente, das ordenadas sobre a corda e processo das deflexões. Sendo que o último é, praticamente, o único processo empregado no Brasil. Entre nós quando falamos em locação de uma curva, estamos nos referindo ao processo de deflexão sobre a tangente. Pode acontecer, esporadicamente, que se use outro processo.

Antes de começar a descrever o processo das deflexões é necessário se apresentar algumas definições:a) Azimute: é o ângulo horizontal formado entre a direção Norte-Sul até o alinhamento. Este pode ser medido a partir do Norte ou a partir do Sul, para a direita ou para esquerda, podendo variar de 0 a 360.b) Deflexão: o ângulo formado pelo segmento AB e a tangente AI é a deflexão de AB em relação à tangente AI. É chamada de deflexão total da curva e tem como medida a metade do ângulo central. Se o ângulo central for dado em graus, teremos a corda de 20 metros e a deflexão da corda será:

a) Deflexão por metro (dm): é a deflexão de uma corda de 1m em relação a tangente externa, logo:

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Suponhamos que o PC está localizado na estaca 6, temos que marcar a estaca 7, 8, etc., que são eqüidistantes 20 metros. A curva é definida pelo seu grau G (grau da curva é o ângulo central da curva que subtende uma corda determinada – 20 m no Brasil).

Com o teodolito em PC, faremos a deflexão a, ângulo da tangente com a visada para a estaca 7, de valor igual a metade do grau da curva. Assim sendo, sobre a visada PC-7, mede-se a distância de 20 metros e tem-se a estaca 7. A estaca 8 será dada pelo ângulo b e pela medição da corda 7-8 (que neste caso é de 20 metros). Para a estaca 9 teríamos analogamente, distância 8-9 (20 metros), situado sobre a visada PC-9. Neste caso, seguindo o conceito de deflexão, teríamos: a =1/2 G, b = G e c = 3/2 G.

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Há certos casos, entretanto, em que, com o instrumento instalado no PC, não podemos avistar os pontos seguintes, a partir de certa estaca; é o caso de haver um obstáculo, se o terreno for muito acidentado ou coberto de vegetação densa. Assim sendo, é necessário que se faça mudanças de base, tantas quanto forem necessárias, para a realização da locação.

Exemplo Numérico:

Locação da 1a estaca da curva, pelo processo das deflexões:

Exemplo, suposto PC = 25 + 9 m. Distância PC – Est. 26 = 11 m. A deflexão para a 1a estaca (26) será:

= 11 . G/40; R = 143,36 m; G = 8, virá:dm = 8/40 = 0,2 = 12’, então: = 11 . 12’ = 132’ = 2 12’

Exemplo de Cálculo de LocaçãoSeja uma tangente cujo azimute é de 42 10’. Na estaca 125 + 1,30 m está o

PC de uma curva à direita, de raio 312,58 m, grau 3 40’. A segunda tangente faz com a primeira uma deflexão de 30.

Assim, temos:

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PT = PC + D PT = (125 + 1,30) + 163,636 PT = 2501,30 + 163,636PT = 2664,9364 PT = 133 + 4,93 m

A primeira estaca inteira da curva é a 126, cuja distância do PC é:

20,00 – 1,30 = 18,70 m

A deflexão parcial correspondente é:

As deflexões parciais para a locação das outras estacas inteiras são de:

A deflexão parcial correspondente ao último lance da locação, isto é, da estaca 133 ao PT, sendo a corda para locação de 4,936 m, é de:

Verificação:1 ................................................. = 142’51”7 . 20 = 7 . 150’ ......................... = 1250’00”n ................................................. = 027’09” --------------- 1500’00” = AC/2 = deflexão total

EstacasDeflexõesParciais

DeflexõesAcumuladas

AzimutesLidos

AzimutesCalculados Observações

125 +1,30 m 4210’ NE126 142’51” 142’51”127 150’00” 332’51”128 ” 522’51”129 ” 712’51”130 ” 902’51”131 ” 1052’51”132 ” 1242’51”133 ” 1432’51” 5642’51”

133 + 4,936 027’09” 1500’00” 5710’ NE

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Lê-se o azimute da tangente anterior antes de começar a locação da curva e calcula-se os azimutes em todos os pontos de mudanças; isso tem por fim obter-se um meio de verificar se a locação foi bem feita, pois o ângulo compreendido entre os dados pelos azimutes extremos a contar sempre do norte deve ser igual à deflexão total acumulada.

No exemplo anterior, temos: 5710’ - 4210’ = 1500’00”, que confere com a deflexão total ou acumulada da

curva.

4.8 Geometria das Curvas Horizontais de Transição

A definição de um traçado de uma estrada por meio de linhas retas concordando diretamente com curvas circulares, só pode ser admitida em casos especiais. A descontinuidade da curvatura que existe no ponto de passagem da tangente para a circular (ponto PC) ou da circular para a tangente (ponto PT) não pode ser aceita em um traçado racional.

Na passagem do trecho em tangente para o trecho circular e vice-versa, deverá existir um trecho com curvatura progressiva para cumprir as seguintes funções :a) permitir uma variação progressiva da superelevação, teoricamente nula nos trechos retos e de valor constate nos trechos circulares.

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b) Possibilitar uma variação contínua de aceleração centrípeta na passagem da tangente para o trecho circular.c) Proporcionar um traçado fluente, sem impressão de descontinuidade da curvatura e esteticamente agradável, graças à variação suave da curvatura.

Essas curvas de curvatura progressiva são chamadas de curvas de transição e seu raio instantâneo varia em cada ponto desde o valor Rc (na concordância com o trecho circular de raio Rc) até o valor infinito (na concordância com o trecho em tangente).

4.8.1 Tipos de Curvas Usadas para Transição

Qualquer curva contínua cujo raio instantâneo varie de ponto para ponto poderá ser usada como curva de transição, segundo os projetistas mais experientes, algumas curvas especiais oferecem vantagens no seu uso, ou pela maior facilidade de cálculo ou porque atendem melhor às exigências de um bom traçado.

Curvas usuais:

a) Espiral

b) Lemniscata

c) Parábola Cúbica

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Para pequenos valores do ângulo de transição (caso normal dos traçados de estradas) as três curvas relacionadas apresentam valores semelhantes. Devido a maior facilidade de cálculo dos elementos da curva e preparo de elementos para as cadernetas de locação muitas vezes é usada a lemniscata ou a parábola cúbica como curva de transição, porém, embora trabalhosa a espiral é a curva que melhor atende as exigências de um traçado racional.

A espiral é a curva descrita por um veículo que trafega a uma velocidade constante, enquanto o motorista gira o volante a uma velocidade angular constante. A figura abaixo mostra esquematicamente uma espiral de equação:

R . L = NPara um ponto P genérico, L = comprimento da curva desde a origem até o

ponto P.R = raio instantâneo no ponto P;N = parâmetro da espiral (constante).

Com o advento dos computadores que hoje permitem o rápido cálculo dos diversos elementos da transição, bem como, a elaboração direta de cadernetas de locação, o uso das espirais vem sendo cada vez mais generalizado.

Considerando a conveniência técnica do uso da espiral trataremos apenas desse tipo de curva.

4.8.2 Escolha do Comprimento da Transição

Sendo a espiral uma curva da equação:

R . L = N

A determinação da constante N está relacionada ao valor do comprimento de transição (Ls) a ser adotado para a curva. Definido o valor de Ls a condição necessária à concordância da transição com a circular impõe:

Rc . Ls = N

Onde:

Rc = raio da curva circular;

Ls = comprimento de transição adotado.

Conhecido o valor do raio da curva circular (Rc) e adotado um valor conveniente para o comprimento de transição (Ls) o valor da constante (N) estará definido.

# Valores Mínimos e Máximos do Comprimento de Transição

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A determinação do comprimento mínimo de transição (Lsmin) é feita de forma que a variação da aceleração centrípeta (ac) que atua sobre um veículo que percorra a transição com uma velocidade (V) constante, não ultrapasse valores confortáveis.

A variação confortável da aceleração centrípeta por unidade de tempo (J) não deve ultrapassar o valor de 0,6 m/s3.

Para um veículo que percorra a curva de transição com velocidade constante em um tempo (ts), a variação da aceleração centrípeta será:

ou

Adotando-se um Jmáx = 0,6 m/s3, podemos definir o valor do comprimento de transição correspondente a essa variação máxima de aceleração centrípeta:

nas unidades usuais:

onde:Lsmin = comprimento mínimo de transição (m);Rc = raio do trecho circular (m);V = velocidade de projeto (km/h).

A condição para chegarmos ao máximo comprimento de transição é = 0 = AC - 2s = 0 teremos AC = 2s ou smax= AC/2 smax = máximo valor do ângulo de transição.

Valor máximo do comprimento de transição Ls:

Lsmax = 2 . Rc . smax Lsmax = Rc . AConde:

Lsmax = máximo valor do comprimento de transição (m);Rc = raio do trecho circular (m);AC = ângulo central (rad.).

O valor do comprimento de transição Ls a ser adotado será necessariamente um valor compreendido entre os limites: Lsmin e Lsmax.

# Escolha do Valor de LsA escolha de um comprimento de transição muito grande gera grandes valores

de P (afastamento da curva circular), criando um deslocamento do trecho circular, em relação à sua posição primitiva muito grande. Para chegarmos a um Ls desejável, visando o conforto do usuário, utilizaremos a seguinte fórmula:

Lsdesej. = 2 . Lsmin

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4.8.3 Cálculo dos Elementos Necessários à Definição da CurvaFórmulas utilizadas:

a) Ângulo de transição:

b) Abcissa dos pontos SC e CS:

c) Ordenadas dos pontos SC e Cs:

d) Abcissa do centro:

e) Afastamento:

f) Tangente Total:

g) Est. da TS = Est. do PI – TT

h) Est. da SC = Est. da TS + Ls

i) Ângulo central do trecho circular:

j) Desenvolvimento do trecho circular:

k) Est. da CS = Est. da SC + D

l) Est. da ST = Est. da CS + Ls

m) Distância entre o PI e acurva circular:

Exercício

1) Projetar uma rodovia para Vp = 100 km/h. Calcular os comprimentos de transição mínimo, máximo e desejável para uma curva horizontal, cujo raio no trecho circular é 600 m, sendo o AC= 60.

2) Com os dados do exercício anterior e adotando o Ls desejável, calcular os elementos da curva.

3) Ainda com os dados do exercício anterior e sabendo-se que a estaca do PI é igual a 847 + 12,20 m, calcular as estacas da TS, SC, CS, ST.

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