ESTRATEGIAS MATE

8/20/2019 ESTRATEGIAS MATE

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PROYECTO

“El placer de atender y enseñar lectura,escritura y matemáticas”

Antología

Educación Secundaria

Matemáticas

Ciclo escolar 2014-2015


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SECRETARIO DE EDUCACIÓN DE GOBIERNO DEL ESTADO

Profr. Vito Lucas Gómez Hernández.

DIRECTOR DE EDUCACIÓN BÁSICA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO

Mtro. Jesús Montañez Telles

RESPONSABLE DEL PROYECTO

Profra. Taide Hervert Zúñiga


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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DE GOBIERNO DEL ESTADO DE SAN LUIS POTOSÍ

Dirección de Educación Secundaria

Proyecto: “El Placer de atender y enseñar lectura, escritura y matemáticas”

Antología para Educación Secundaria

Elaboración y compilación: Profa. Taide Hervert Zúñiga.

Mtra. Ruth Cervantes García.

Profa. María Guadalupe Tristán Gallegos.

Profr. Martín Florencio Ruiz Hernández.

Corrección y estilo Mtro. Jesús Montañez Telles

2015. Impreso y hecho en México

Esta obra es financiada por la Secretaría de Educación Pública.

El programa es público, ajeno a cualquier partido político.

Queda prohibida su venta y su uso para fines distintos a los establecidos en el programa.


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…Aprender a hablar, a escuchar, a leer y escribir, hace r cuentas y tratar a las personas, ser honesto yesforzarse; ser leal y solidario; respetar a los maestros y amar a la familia y a la tierra donde se nació ydonde se vive es lo más importante que se puede aprender en la escuela. Cuando eso no se aprende bien,hay problemas para aprender todo lo demás…

Felipe Garrido, “Recomendaciones para aprovecharlos mejor”. Libros del Rincón. (1999).


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ESTIMADO MAESTRO:

La selección de lecturas y ejercicios que hoy llega a tus manos, ha sido elaborada con el

mejor deseo de apoyar tu quehacer docente, de enriquecer con atractivos textos tu

bagaje de herramientas con las que diariamente educas a los niños potosinos, con las

que contribuyes a formar al mexicano que todos deseamos: reflexivo, propositivo,

participativo, comprometido con sus semejantes y con su país.

En este apoyo encontrarás, además de lecturas adecuadas al nivel educativo en que te

desempeñas, las estrategias necesarias para hacer de cada extracto literario un aliado

para fortalecer en tus alumnos la comprensión de la lectura y como consecuencia de ello

la expresión escrita.

Considerando que las herramientas fundamentales para adquirir cualquier conocimiento

se complementan con el desarrollo del pensamiento lógico matemático, se agregó un

importante capítulo dedicado a presentar a los estudiantes atractivos ejercicios que

pretenden demostrar que la aritmética y sus componentes también pueden aprenderse

en forma amena y divertida.

Con la certeza de saber que como maestro potosino, siempre dispuesto a fortalecer tu

trayecto formativo, habrás de sacar el beneficio esperado a ésta aportación que la

Secretaría de Educación de Gobierno del Estado promueve, aprovecho la oportunidad

para enviarte un cordial saludo y mi reconocimiento a tu esfuerzo profesional.

ATENTAMENTE

PROFR. VITO LUCAS GÓMEZ HERNÁNDEZ.


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SECRETARIO DE EDUCACIÓN DE GOBIERNO DEL ESTADO

PRESENTACIÓN

La antología que hoy tienen en sus manos es un material que trata y pretende

entre otras… apuntalar el trabajo diario de los docentes en el salón de clases a

través de sugerencias y propuestas transformadoras para promover y despertar el

gusto por las matemáticas de los jóvenes alumnos.

Este material de ninguna manera suple los contenidos del programa oficial de la

asignatura de matemáticas, no por ello deja de ser formal y sin fundamento en su

concepción, tiene su valía en diferentes sentidos; * “P or la preparación y arrojo de

quienes se atrevieron a elaborarlo, por la organización de las consignas que

recorren sus páginas” y por la vinculación de la lectura, la escritura y las

matemáticas como herramientas básicas para el aprendizaje de todo lo demás.

Los invitamos a complementarlo utilizando el variado acervo que ha hecho llegar

a las escuela la Secretaría de Educación Pública a través de sus programas

institucionales: “Rincones de Lectura” y el “Programa Nacional de Lectura y

Escritura”, vuelvan a redescubrir su riqueza revisando su Biblioteca Escolar y la

Biblioteca de Aula, les sorprenderá el caudal de conocimientos que en ellas está

depositado.

* Chapela, Luz María. Acompañar la lectura y la escritura

Instituto Hidalguense de Educación. (2015)


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I N D I C E

Carta del Secretario de Educación de Gobierno del Estado a los maestros 5

Presentación 6

Índice 7

Las matemáticas en la biblioteca escolar 9

¿Para qué enseñar matemáticas en la escuela? 10

Sugerencias para la resolución de problemas y/o acertijos 17

Las matemáticas y la vida humana 20

Aprende a interpretar 23

Cuartiles y centiles 26

Números con signo 29

El valor absoluto 32

Reglas para operar con negativos 34

Uso y significado de los racionales 36

El matemático en la cama 38

La dama misteriosa 40

Ecuaciones cuadráticas 41

Gauss y su telescopio 45

Chicles de colores y cumpleaños 46

Blancas y negras 47

Un juego de cartas mágico 49

Antes del inicio 50

Probabilidad y números decimales: Básquetbol y Béisbol) 53

Otros ejemplos 54

Anécdotas, reflexiones y citas de famosos matemáticos 55

Frases y anécdotas de Albert Einstein 58


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Neil DeGrasse Tyson 62

Grandes frases de Carl Sagan para reflexionar 64

Isaac Newton 65

Ejercicios varios 66

Tablas numéricas 67

Regleta de Neper. (Ábaco Neperiano) 73

Una multiplicación fácil 79

Problemas Varios 80

Problemas 81

Soluciones 85

Unos cuantos más 90 Acertijos 109

¿Cómo? Piensa, piensa Resuelvan los acertijos planteados 110

Acertijos de matemáticas 118

El soñador de números 120

Referencias bibliográficas. 127


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I Las matemáticas

en la biblioteca escolar


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¿Para qué enseñar matemática en la escuela?

Roberto Markarian

Libros Maravillosos, Álgebra Recreativa.

Esta pregunta me pareció un poco sorprendente porque podría entenderse quedetrás de ella está el cuestionamiento: ¿Hay que enseñar matemática en laescuela? Casi todos responderían afirmativamente a esto último. Algunos habránolvidado para qué, otros quizás nunca lo supieron. Por lo tanto, la preguntaoriginal tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la respuesta en serio. O sea, noresponder únicamente: porque a los 10 años el niño tiene que saber sumar ymultiplicar. Ésta es una respuesta operativa, pragmática. Soy de los que cree queel niño debe saber operar bien, que no hay computadora que elimine la necesidad

de manipular los números, adquirir una imagen cuantitativa de los objetos de estemundo. Pero no basta.

Estas notas estarán carentes de ejemplificaciones detalladas, de la experiencia detratar con niños de cerca de 10 años, pero pueden tener la validez de quien trata yle gusta tratar con jóvenes en quienes las dificultades de aprendizaje de doslustros antes se reflejan en dolorosos traumas de estudio. Y de quien ha hecho dela enseñanza y de la investigación matemática su profesión

1. Contar

El niño pequeño aprende rápidamente a contar. Luego a distinguir. Deindividualizar los objetos que le rodean pasa a ‘saber’ sus nombres y a distinguirque algunas cosas pueden clasificarse en las mismas categorías. El ejemplomejor estudiado es el de los pares, quizás porque tenemos varias partes delcuerpo que vienen de a dos. Después de distinguir que mis dos manos y lassuyas tienen algo en común, reconoce que la misma propiedad es común a susdos pies y, después, cuando pide un juguete y luego otro, el niño dice dos

juguetes. Y ha empezado a contar.

Los sucesivos números naturales1 hasta alrededor de diez vienen después, y engeneral antes que el uno. Para un adulto esto puede resultar extraño, pero pareceser que inicialmente es tan evidente la individualización de los objetos aisladosque es innecesario ‘contarlos’, y por tanto darle un número (el uno) a su cantidad.La creación de un nombre y un símbolo para expresar la inexistencia de objetoses un asunto definitivamente más complicado. Los niños no adquierenrápidamente la idea del cero, que es la negación de la existencia. La misma


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humanidad necesitó del símbolo muy tardíamente en su desarrollo y suintroducción en nuestro mundo occidental significó un inmenso avance en eldesarrollo de la matemática.

Los niños más interesados pronto se preguntan cuál es el número más grande,

los mejores alumnos llegan a una idea puramente matemática de infinito. Estosniños habrán dado un gran salto en el aprendizaje de la matemática y endesmitificar la disciplina.

He comentado, de esta manera un tanto atípica, para responder a la pregunta pordos razones: Que la aplicación de las leyes formales de las operaciones con losnúmeros naturales es uno de los mejores ejemplos del proceso matemático degeneralización. Que creo —con muchos otros— que el buen conocimiento de lossistemas numéricos (no sólo de los números naturales) es parte necesaria delbagaje básico de quien se dedique a la enseñanza de la disciplina.

2. Aprovechar todas las facetas

Necesitamos un verdadero entendimiento generalizado del papel que lamatemática ha jugado y juega en la sociedad en que vivimos. Tratamos dereivindicar el contenido cultural de la matemática y la presentación de lamatemática como la profunda historia y creación humana que en realidad es. Losprofesores deberían saber cómo se han formado las ideas matemáticas para:

•comprender las dificultades que la humanidad tuvo para elaborarlas;

•relacionar unas ideas con otras, relaciones que muchas veces aparecenoscurecidas o incomprensibles en su formulación actual;

•utilizar estos conocimientos como referencia en sus formas de enseñar.

Por otra parte, los profesores de todos los niveles deberíamos saber aprovecharlas muchas facetas de la disciplina, no sólo para entusiasmar a nuestros alumnossino para darle sus auténticas dimensiones. Recapitularemos a continuaciónalgunas de esas facetas que se agregan y complementan con los aspectoshistóricos y culturales antes anotados.

1. Es como un arte en que el enlace entre sus distintas partes y teorías, oentre proposiciones aparentemente desligadas, así como la elegancia ylimpidez de sus razonamientos, la brevedad y elocuencia y, a veces, lasorpresa de sus resultados, son gratos al espíritu, a nuestro modo depensar. Incluso estos aspectos muchas veces satisfacen nuestro sentidoestético.


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2. Es un lenguaje preciso y eficaz. En realidad una de las razones principalespara la existencia y uso de la matemática es la elaboración de un lenguajeque permita resumir la presentación de otras ciencias y disciplinas. Másaún, el análisis sistemático u ordenado de muchos problemas técnicos oprácticos es frecuentemente imposible sin una buena presentación

matemática, sin hacer un modelo formal.

3. Es un eficaz instrumento para resolver cuestiones de la vida cotidiana o dela más sofisticada tecnología. Debidamente formalizado un problema esresoluble utilizando herramientas matemáticas que van de la simple suma,si se trata de saber las deudas que tenemos, hasta difíciles procesos delcálculo numérico si se quiere saber cuán cerca pasará un cometa(hacemos referencia a estos asuntos de cálculo por no poder explicar aquícuestiones relacionadas con consecuencias derivadas directamente de

teorías matemáticas: mecánica cuántica, teoría de la relatividad, etcétera).

4. Por último, relacionados directamente con el primer aspecto tratado en estaenumeración, están los temas vinculados con la investigación matemática.En la enseñanza primaria y secundaria esto lleva a destacar los aspectoslúdicos, a ver los objetos matemáticos en juegos, que son tan importantesen la formación general de los individuos y su intelecto. En la enseñanzamás avanzada se trata de explicar los desafíos abiertos en algunas ramaso de sacar partido de cuestiones relacionadas con los grandes problemas yconjeturas y hasta con la vida personal de los matemáticos (¿sabe usted

por qué el señor Nobel no estableció uno de sus premios para lamatemática?).

Los profesores debemos impregnar la didáctica de la matemática de estoscontenidos culturales, destacar la influencia de la matemática en la formación delos valores más ricos de la humanidad, de su profundo carácter histórico yevolutivo. No quepan dudas de que si ese espíritu caracteriza la enseñanza, suaprendizaje se verá facilitado.

La matemática es difícil (y prestigiosa)

La enseñanza de la matemática en todos los niveles se presenta como unproblema no resuelto. El número de estudiantes que no avanza en el ciclo escolardebido a sus fracasos con la matemática y el número de reprobados en ladisciplina en los demás ciclos de aprendizaje son las manifestaciones inmediatasde esa situación. Ella está tan extendida que los profesores de matemática sonvistos como los grandes verdugos del sistema educativo, como la verdadera trabapara el avance en los estudios secundarios o universitarios. Muchas veces el


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estudiante opta por ciclos o carreras que no tienen la disciplina, aunque no tenganparticular vocación por el resultado final de ellos.

El problema tiene causas y manifestaciones diferenciadas en distintas épocas ypaíses con diversos grados de desarrollo económico y cultural. No me referiré

aquí a estos aspectos.

El objeto de la matemática es un tanto imperceptible. La abstracción de laspropiedades cuantitativas o geométricas que caracterizan a las primeras nocionesestudiadas en los cursos de matemática constituye un proceso de complicadaasimilación. Pequeños errores en este proceso hacen muy difícil la asimilación denuevos conceptos y procedimientos, lo que genera grandes traumas futuros. Porotra parte la memorización de una nomenclatura diferente y muy precisa introducecomponentes que no son usuales en la vida diaria.

Sin embargo, esas mismas dificultades hacen que los que tienen ‘facilidad’ para su aprendizaje gocen de un respeto un tanto extraño y contradictorio. Se les (nos)ve como seres con algún privilegio sobre los demás, y a la vez como ‘bichosraros’. Esto lleva algunas veces a situaciones desagradables o dolorosas delsiguiente tipo: tener que responder con los hombros levantados a la pregunta:¿por qué si tu inteligencia te da para ser matemático no te dedicas a algo que démás dinero?

Las dificultades para la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina no son de hoy.Desde los primeros documentos escritos que se refieren a la enseñanza sedestaca la de la matemática como un modelo a imitar. En el pórtico de la

Academia de Platón estaba escrito: “No entre quien no sepa geometría”.

Durante la Edad Media diversos teoremas de la misma rama eran denominados‘puente de burros’ (ponsasinorum), como una muestra de que eran pocos los que,habiéndose iniciado en la disciplina, lograban salir adelante. La propiaorganización del conocimiento y sus estudios durante la Edad Media rendía cultoa la importancia de la matemática. Se dividían en trivium y quadrivium, tres ycuatro vías. La primera incluía las tres artes liberales relativas a la elocuencia:gramática, retórica y dialéctica. La segunda al conjunto de las cuatro artesmatemáticas: aritmética, geometría, astronomía (¿astrología?) y música. Detrivium, que era la parte fácil de los estudios, procede la expresión ‘trivial’, que losmatemáticos gustamos tanto de usar —y algunos dicen que es ¡lo que norecordamos cómo probar!

Incluso, hace unos cien años se creía que en el receptáculo de la inteligencia(digamos el cerebro) había una ‘bolsa de la matemática’, ¡de cuyo desarrollodependía la facilidad para la disciplina!


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Las dificultades anotadas, que son socialmente percibidas y reconocidas,provocan una grave consecuencia en los alumnos de los ciclos iniciales. El buendesempeño en matemática es considerado, en general, como una muestra desabiduría e inteligencia. Se ve a quienes tienen facilidad para la matemática comogente especial, con alguna dote extraordinaria: el saber matemático goza de

prestigio. Esto se debe, por una parte, a que las dificultades de la disciplina hacenque quien la sabe o la aprende con facilidad sea visto distinto, especialmentedotado; por otra parte, los muchachos con particular facilidad para la matemáticatambién tienen, por lo general, facilidad para conceptualizar en otras disciplinas,para continuar la concatenación lógica de razonamientos, hasta para encontrarsimilitudes en geografía, física...

Este ‘prestigio’ a su vez genera en quienes tienen dificultades un rechazo a lamatemática. Se sienten apabullados, pasan a ignorar la belleza, la coherencia y elordenamiento de la disciplina, y a rechazar todo tipo de formalización por su

semejanza con la formalización matemática. No es infrecuente que estosestudiantes con dificultades sean más retraídos, sientan que no podrán ocuparsitios importantes en su actividad u obtener ocupaciones destacadas y modernas.Se considerarán humillados ante profesores de matemática y, más adelante,muchos de ellos serán incapaces de tener el sustento mínimo para incorporarconocimientos matemáticos o meramente cuantitativos que les permitan avanzarnormalmente en sus estudios.

Los profesores universitarios tenemos experiencias variadas que muestran que ladificultad natural de los conocimientos tratados en nuestros cursos es

frecuentemente un detalle en relación con las barreras psicológicas y eldesinterés de nuestros alumnos. Elementos estos que tienen su origen en lasobservaciones anteriores sobre el prestigio y los temores por el saber matemático.

Ingredientes básicos

Querría insistir un poco más en los aspectos de categorizar y generalizar, porqueme parecen los fundamentales desde el punto de vista de la maduración y avanceintelectual del niño.

Lo que estoy llamando ‘categorización’ es una de las maneras en que se formanlos conceptos. Éste es un paso claramente posterior a la percepción de losobjetos. Por esa razón se debe hacer del aprendizaje de la matemática unaactividad constructiva y de razonamiento, de modo que el alumno reconozcaobjetos concretos, y logre luego que los objetos matemáticos adquieran susignificado. Esto contradice la idea de que los niños simplemente absorben.


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En estos procesos de elaboración de conceptos (matemáticos) el niño debeabstraer (sacar de, retirar, separar lo particular), debe discriminar (separar,distinguir), priorizar (determinar lo que es primero o más importante) y, comoconsecuencia, generalizar. Sin esta generalización no habrá formación deconceptos. La abstracción (discriminación, priorización) y generalización que

forman parte de estas etapas iniciales (en realidad de todas las etapas deaprendizaje matemático) son esencialmente procesos psíquicos, por lo que elniño debe pasar por sí mismo de la percepción a la conceptualización.

Todos estos procesos no son exclusivos de la matemática, pero se danparticularmente puros, diáfanos, en esta disciplina. Por lo mismo es queadquieren particular relevancia en la buena educación general. Por ello mucho delo que sigue se puede leer sustituyendo la palabra matemática por ladenominación de otra disciplina o concepto.

El aprendizaje se da en el momento en que la matemática informal del niño(basada en nociones intuitivas y procedimientos inventados para operar conaquellas nociones) se transforma en algunas reglas formales que el maestro debecaptar y resumir. Estos cambios se dan, en general, de modo súbito y creandiscontinuidades en el proceso de aprendizaje. Estas discontinuidades sonnaturales e inevitables; los profesores deben estar preparados para ellas puesconstituyen el aprendizaje mismo de la disciplina. Pero, además, para conseguirreales avances, los alumnos deben disponer de herramientas que les permitandar el salto, o sea, establecer vínculos entre la matemática informal y formal. Sepropenderá a crear modelos de situaciones o fenómenos conocidos que permitan

simultáneamente analizar lo intuitivo y experimentar con el correlativo formal.

Deben abrirse etapas de reflexión sobre asuntos que los alumnos hayan pensadopor sí mismos. El niño debe hacer una confrontación activa de los puntos desemejanza entre los datos y las ideas, entre lo intuitivo y lo formal. En esaconfrontación podrá discriminar qué es lo esencial y qué es lo accesorio delconcepto sobre el que está avanzando: las concordancias se harán compatiblescon las diferencias. Esas similitudes serán integradas a un sistema y podrán serreconocidas en cualquier otro ejemplo.

Los conocimientos matemáticos disponibles para el niño están sujetos aconstantes mejoras. Hay asimilación de nuevos conocimientos y acomodamientode los existentes. Por ello se debe aprender como un todo coherente y no comopartes separadas. Esta capacidad de conexión funciona en dos sentidos:cubriendo tanto relaciones entre ideas matemáticas como la relación entrematemática y mundo real. Hay que dar estructura a lo que se está aprendiendo.Se ha llamado a esto ‘entretejer los hilos del aprendizaje’. Pero este entretejido no


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puede llevar a la dispersión de los distintos componentes y la mezcla deconocimientos que responden a necesidades diversas. Por ejemplo, consideroequivocado fraccionar en unidades demasiado pequeñas la exposición ydiscusión de aspectos de la geometría. Si se quiere estudiar el triángulo nodeberían darse un día la definición, varias semanas después las relaciones entre

sus ángulos, luego los distintos tipos, la importancia del concepto de altura o debaricentro. Creo mucho más productivo y superior desde el punto de vista de ladisciplina (donde la memorización de conceptos abstractos no es fácil) tratar lostemas en bloques, aunque las experiencias del niño circunstancialmente no losmotiven directamente.

Como corolario de la observación inmediatamente anterior, surge que las ideasmatemáticas mismas pueden —y deben a cierta altura— constituir tema deestudio, aun en la escuela. No sé por qué a esto se le llama ‘matematizaciónvertical’. La disciplina debe pasar a tener su vida propia. Además del ejemplo

geométrico ya dado, anoto la posibilidad de hacer el estudio de las proporcionesen forma de fracciones cuando se introduce la idea de porcentajes.


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Sugerencias para la resolución de problemas y/o acertijos matemáticos.

1. Haz que el contenido sea irresistible.

La principal pregunta que surge en un estudiante cansado y desmotivado es:

¿Para qué estudio algo que no voy a utilizar nunca? Tu deber como docente esdemostrar para qué les va a servir lo que están aprendiendo y cómo puedenponerlo en práctica. Con un poco de investigación y planeamiento podemosdescubrir cuáles son los temas de actualidad que pueden interesar a los alumnos.Por poner un ejemplo, aprovechando el tema de las olimpiadas se puedeintroducir el estudio de los ángulos, investigando en qué ángulo debe viajar la

jabalina para llegar más lejos. O sea, sacar las matemáticas del libro y aplicarlas aun tema de interés.

2. No premies a tus estudiantes con dulces (o stickers, o demás tipos depremios).

No hay por qué dar la idea de que las matemáticas son tan aburridas que debesmotivarlos con un premio. Si sigues la sugerencia número 1 no necesitarásmotivarlos con dulces.

3. Crea y promueve el trabajo en equipo.

Los alumnos que gustan más de la materia pueden ser de mucha ayuda paraexplicar y ayudar personalmente a sus compañeros.4. Calidad antes que cantidad.

Es preferible dejar menos trabajos y tareas que tengan mayor importancia encuanto al aprendizaje y práctica del contenido. Mucho trabajo sin sentido sólologrará cansar al alumno.

5. Enseña y modela el proceso de pensamiento y resolución al alumno quellega a ellas sin explicar cómo lo hizo.

Es más importante que todos sean capaces de lograr un entendimiento delproceso, aunque la respuesta no sea exacta.

6. Menos calificación y más crítica constructiva.

Al alumno le sirve más una explicación de en qué se equivocó y cómo puedeenmendar el error, así como esperar a que asimile el porqué del resultado queobtuvo, que una simple calificación;


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LAS MATEMÁTICAS Y LA VIDA HUMANADe la Peña José Antonio, (2002).Matemáticas de la vida cotidiana

Biblioteca juvenil ilustrada págs. 24 y 25

Por los siglos los científicos y los médicos han buscado maneras para curarenfermedades y entender el funcionamiento del cuerpo humano. Tanto médicoscomo artistas trataron de cuantificar las proporciones del cuerpo humano. Porejemplo, Leonardo Da Vinci realizó precisos dibujos anatómicos y Galileo estudióel ritmo cardiaco, comparándolo con el ritmo de oscilación de un péndulo.

Actualmente, las matemáticas explican muchas de las funciones del cuerpohumano y son de gran utilidad en el diseño de las técnicas modernas dedetección y tratamiento de enfermedades.

Los espectaculares avances de la medicina han permitido erradicar casi

completamente algunas enfermedades, otras incluso ya no cobran muchasvíctimas. En México, la principal causa de muerte son los problemas cardiacos,pero los accidentes han tomado el lugar que antes tenían algunas enfermedades.

Causas de muerte en México1996

No. De decesos % del total

Corazón 65603 15

Cáncer 49916 11.4

Accidentes 35073 8.0

Otras 285729 65.6Los datos promedio sobre todo tipo de variables físicas del hombre son muyimportantes. Conocer el valor promedio de la presión arterial, la frecuenciacardiaca, la estatura de las personas, su peso, el número de glóbulos en lasangre por mm3 la cantidad de colesterol en la sangre, entre otras cosas, permiteestablecer rangos de normalidad; es decir, las personas que se alejanclaramente del promedio de la población deben ser tratadas con cuidadosmédicos.

En estos últimos años las matemáticas han permitido el desarrollo de nuevastécnicas médicas de diagnóstico y prevención de enfermedades. Entre otrosavances que han impactado la práctica médica contamos los siguientes:Tomografía: Por medio de esta técnica es posible obtener imágenes muyprecisas de órganos internos del cuerpo humano, por supuesto, sin abrirlo,estudios de la actividad cerebral y cardiaca mediante métodos de la moderna


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teoría del caos, uno de los más recientes avances de las matemáticas, uso decomputadoras para la identificación rápida de muestras de DNA, etc.

Sugerencias: que los alumnos ref lexionen y anal icen en grupo dónde t iene

apl icación el tema en los di ferentes s ucesos de la vida co t idiana, obteniendo

la info rmación necesaria para el p lanteamiento, reso lución y análisis de

resul tados de otros ejemplos .

Considerar el nivel socioeconómico, cul tural y el contexto

Elaboren u n texto d e forma indiv id ual que ref leje propu estas d e solución,

op inión, po stur as, etc.


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APRENDER A INTERPRETARBosch Giral, Carl. Gómez Wulschener Claudia (2002).

Una ventana a la incertidumbreBiblioteca juvenil ilustrada pág. 13.

El hecho de que haya una correlación fuerte entre dos variables no siempresignifica que haya una relación causa-efecto entre ellas. En estadística es muyimportante aprender a interpretar correctamente los datos.

Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de tránsito se producenentre vehículos que van a una velocidad moderada; son pocos los accidentes queocurren a una velocidad de más de 150 km por hora.

¿Sign if ica es to que res u lta más seg uro conduc ir a gran ve loc idad ?

Por supuesto que no. Con frecuencia las correlaciones estadísticas no reflejan

causa y efectos. Casi todo el mundo circula a velocidad moderada, y como esnatural la mayoría de los accidentes se producen a estas velocidades.

Un estudio hizo ver que en cierto lugar de Europa se produjo simultáneamente unfuerte crecimiento de la población y un notable incremento del número de nidosde cigüeñas.

¿No es es to una dem ostrac ión de que son las ci güeñas quien es t raen a los

niños al m un do ?

¡No! Esto refleja el hecho de que al aumentar el número de edificios, las cigüeñas

dispusieron de más sitios donde anidar.

Otro estudio demostró que en cierta región las tasas de fallecimiento por cáncereran las más altas del país. En esa misma región, la tasa de consumo de lecheindicaba que dicho alimento era el más consumido.

¿Sign if ica esto que beber leche puede ser causa de cáncer?

¡No! Resulta que en tal zona el clima es benigno, por lo que en ella vive muchagente mayor. Debido a que el cáncer es una enfermedad, en esa región la tasa demortalidad por cáncer es muy alta.

Suele decirse que casi todos los accidentes de automóvil ocurren en casa.

¿Sign if ica esto que v iajar por car reter a, a m uchos ki lóm et ros de nues tra

casa, es menos pel igroso qu e conduc ir en nuestro barr io?

No. las estadísticas reflejan sencillamente que se usa más el coche por losalrededores de nuestra casa que por carreteras alejadas.


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Hemos narrado algunos episodios que subrayan la imp ortancia de no lanzarsea sacar impl icaciones de t ipo caus al tan p ronto s e t iene not ic ia de un

suc eso que pareciera tener simple lógica. ¡Cuidado, hay que aprender a

interpretar la!



la info rmac ión necesaria para el p lanteamiento , resoluc ión y análisis de






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CUARTILES Y CENTILESBosch Giral,Carl. Gómez Wulschener Claudia (2002).

Una ventana a la incertidumbreBiblioteca juvenil ilustrada pág. 18.

En estadística se utilizan varios parámetros. Algunos dan idea de ciertassituaciones y son necesarios para entender mejor otras distribuciones.

Por ejemplo, si los padres de Juanito van a la escuela a ver cuál es el nivel de suhijo en cierta asignatura y el profesor contesta: “En este curso la media fue de7.3y la desviación fue de 2.4, así que como la calificación de su hijo fue 5.5,resulta que….”, los padres no habrán entendido absolutamente nada. Ellosesperan respuestas del tipo:

“su hijo es mediano” ,

“el trabajo de su hijo es regular” ,

“su hijo es de los

mejore s” , “su hijo no es el peor, pero se encuentra de la mitad hacia abajo”

Dichas respuestas dan una idea de cuál es la situación de Juanito. El profesor nosestá dando referencias de cómo está el alumno respecto a los demás, es decir,nos indica si hay muchos o pocos, mejores o peores que él. Esto es lo que sepretende con los siguientes parámetros estadísticos.

Imagínate que ordenemos a todos los individuos que estamos describiendo enprimero, segundo, tercero,… según los valores que toma la variable de menor amayor.

Habrá un valor por debajo del cual quede la mitad de la población y por encima deél la otra mitad (tal vez más uno o menos uno). A ese valor s e le l lamamediana. En la figura se indica con “M”.

Además hay otros dos valores. Uno que separa a la población en un cuarto o 25%por debajo y un 75% o tres cuartos por encima . A este punto se le l lama cuarti linferior y en la figura se denota con “CI”.

Análogamente se define al cuart i l super ior como el número que deja a 25% de lapoblación por encima y al 75% de la población por debajo, en la figura se denota

con “CS”


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NÚMEROS CON SIGNOLuz María Marván, (2002).Representación numérica

Biblioteca juvenil ilustrada

Dos números son simétricos cuando están a la misma distancia del cero, pero uno

antes y otro después. Por ejemplo, en la recta numérica de la ilustración elsimétrico del número A es el número B, y el simétrico del número B es A. Paraindicar que un número es simétrico de otro se utiliza el signo - .

Así, si el número B señalado en la recta de la ilustración es 7, entonces el símbolodel número A es -7, éste último se llama menos siete.Puesto que el símbolo del número A es -7, cuando escribimos -(-7), que se lee“menos siete”, nos referimos al simétrico de -7, es decir 7.

El uso del signo - para referirse al simétrico de un número permite, por ejemplodistinguir una temperatura de 35 grados sobre cero de una temperatura de 35

grados bajo cero. Para referirnos a la primera, bastaría con escribir “35 grados” ocon decir” treinta y cinco grados” y, para referirnos a la segunda, podríamosescribir “- 35 grados” o decir “menos treinta y cinco grados”

A 0 B

Igualmente, para distinguir un punto a una altura de 3000 metros sobre el niveldel mar de uno de 3000 metros bajo el nivel del mar, podríamos decir que laprimera es de tres mil metros (3000 m) y la otra es menos tres mil metros(-3000m).

Por otra parte, cuando una persona no solamente no tiene dinero, sino queademás debe 500 pesos, podríamos decir que “tiene menos 500 pesos” y escribeque “tiene -500 pesos”.

En las rectas numéricas, las cantidades que se encuentran del lado izquierdo

siempre son menores a las del lado derecho, por ejemplo, -6 es un númeromenor que -3. De igual manera, -6 y -3 son números menores que cero.

¿Sabías que a lo números menores que cero se les llama negativos, y a los queson más grandes que cero se les llama positivos?


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A muchas personas les parece extraño que haya números menores que cero. Dehecho, en los sistemas primitivos no existía la representación de los númerosnegativos. No fue sino a principios del siglo XIII cuando algunos matemáticos(entre otros Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci) empezaron autilizarlos; pero sin atreverse a llamarlos números, pues lo habrían tachado de

locos.

Fibonacci. Los llamó debitum (deudas), y a los problemas algebraicos que sólopodían resolverse utilizándolos los llamó problemas inconvenientes.









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EL VALOR ABSOLUTOLuz María Marván, (2002).Representación numérica


El valor absoluto es la distancia que hay entre un número y cero. Por ejemplo,como la distancia entre los números 5 y 0 es de 5 unidades, el valor absoluto de 5es 5; lo mismo sucede con el valor absoluto de -5: como la distancia entre losnúmero -5 y 0 es de cinco unidades, el valor absoluto de -5 es 5.

Para simbolizar el valor absoluto de un número se usan dos rayas verticales de lasiguiente manera:

|5| significa valor absoluto de 5 (y dicho valor es 5).

|-5| significa valor absoluto de -5 (y dicho valor es 5).|0| significa valor absoluto de 0 (y dicho valor es o).

| | Significa el valor absoluto de 7/4 (y dicho valor es 7/4).

|-7/4| significa valor absoluto de -7/4 (y dicho valor es 7/4).

Si el número es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo, y si el número esnegativo, su valor absoluto es su simétrico.

Tres de las siguientes expresiones son distintas maneras de escribir el número 5,

y las otras tres son distintas maneras de escribir el número -5 ¿Cuáles son 5 ycuáles - 5?|5|-||5|-(-|-5|)-(-(-5))|-(-(-5))|-||0-5||

Cuando los matemáticos decidieron aceptar que los negativos eran números, nosólo tuvieron que escoger un símbolo para representar al simétrico de un númeroy otro para representar su valor absoluto. También tuvieron que tomar una seriede acuerdos importantes, lo cual no fue fácil. Por ejemplo, se tenía que decidir siconvenía que un número como -3 fuera menor que -5 o si, por el contrario, lo queconvenía era decidir que -3 fuera mayor que -5; también se tenía que decidir entre


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otras cosas, cómo se iban a hacer las operaciones aritméticas en las que uno ovarios de los números fueran negativos.

En algunos casos (pero no en todos) este tipo de decisiones, podían tomarse conbase en el análisis de situaciones de la vida cotidiana en las que se pudieran usar

números negativos. Por ejemplo, si se piensa en los negativos como temperaturabajo cero, el hecho de que una temperatura de -5° sea más baja que una de -3°sugiere que conviene acordar que -5 sea un número menor que -3. Es decir,conviene acordar que cuanto más se aleje del cero un número negativo, sea máspequeño. Y esto fue precisamente lo que hicieron los matemáticos: Decretaronque al comparar números negativos, el menor iba a ser aquel que tuviera mayorvalor absoluto.

Por otra parte, si se piensa en los negativos como deudas, resulta necesario un

sistema para sumarlos. Por ejemplo, cuando un número como -5 se usa paraindicar que se deben 5 pesos y el número -3 se usa para indicar que se deben 3pesos, puede tomarse en cuenta que juntando ambas deudas se obtiene una de 8pesos, de modo que -5 más -3 sea -8.

Esto es, lo que convienen al sumar dos números negativos es que el resultadosea negativo y obtenerlos sumándolos valores absolutos a los sumandos. Estofue precisamente lo que acordaron los matemáticos:

Para sumar dos números negativos, bastaba con sumar sus valores absolutos y

transformar en negativo el resultado.Pero en otros casos, como el de la multiplicación o la división de dos númerosnegativos, la decisión de cómo operar con ellos no podía tomarse con base en elanálisis de alguna situación de la vida cotidiana en al que se tuviera quemultiplicar o dividir dos números negativos, porque en la realidad no existía talsituación.

Sugerencias: que los alumn os ref lexionen y anal icen en grupo dónde t iene





Elaboren u n texto de form a indiv idual que ref leje propu estas de so lución,



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REGLAS PARA OPERAR CON NEGATIVOS Luz María Marván, (2002).

Representación numéricaBiblioteca juvenil ilustrada

Los matemáticos decidieron que la suma de un número positivo y uno negativosería en algunas ocasiones positivo y en otras, negativo, dependiendo de cuál delos dos sumandos estuviera más lejos del cero. Es decir, dependiendo cuál de losdos tuviera mayor absoluto. Acordaron que:

(8) + (-5)= 3 cuando el de mayor valor absoluto fue el positivo, el resultado seríapositivo.

(-8) + (5) = -3 cuando el de mayor valor absoluto fuera el negativo, el resultadosería negativo.(-8) + (8) = 0 cuando los dos tuvieran el mismo valor absoluto, es decir, cuandolos sumando números simétrico, el resultado de la suma no sería ni positivo ninegativo: sería cero.

También decidieron que para obtener el valor absoluto del resultado, seconsideraría el valor absoluto de cada sumando y se le restaría al mayor de losdos valores absolutos el valor absoluto del menor.

La decisión de cómo hacer algunas operaciones no siempre podía tomarse conbase en alguna situación de la vida cotidiana en donde los números negativos sepueden utilizar.

Por ejemplo, en la vida cotidiana no hay alguna situación en la que se tenga quedividir -10 entre -2 o multiplicar -7 por -3; por ello era imposible decidir cómohacer estas operaciones basándose en la vida cotidiana. De hecho, quienes senegaban a aceptar que los negativos fueran números argumentaban, entre otrascosas, que no podían ser considerados como tales puesto que existían

operaciones aritméticas que no se podían efectuar con ellos.

Quienes sí querían que los negativos se aceptaran como números, pasaron unbuen tiempo pensando cómo podían diseñarse las reglas para operar con ellos y,finalmente, decidieron formularlas de modo que al agregar los números negativosal sistema numérico que ya existía, éste no perdiera algunas de las propiedadesque ya tenía.


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En pocas palabras, las reglas para hacer operaciones en donde intervienennúmeros negativos no se idearon tomando como base ejemplos de la vidacotidiana, sino procurando que no se perdieran muchas de las propiedades quetenían las operaciones cuando estas se hacían únicamente con números

positivos.

Por ejemplo, cuando sólo había números positivos, al dividir cualquier númeroentre sí mismo el resultado siempre era 1. Si se quería que esta propiedad no seperdiera, convenía diseñar la división de negativos de modo que un númeronegativo dividido entre sí mismo fuera 1; es decir, que de modo que el resultadode una división como -5 entre -5 fuera 1. Para ello, convenía decretar que tanto ladivisión de dos números positivos como la división de dos números negativosfueran positivos.

Y cuando sólo había números positivos, sucedía también que siempre que a unnúmero se le restaba un número menor que él, que el número obtenido era “ladistancia” que había entre ambos. Por ejemplo, el resultado de la resta 7 menos 4es 3.

Este mismo principio se siguió para inventar la resta de números negativos. Así, elresultado de -4 menos - 7 es 3.

Esto es, resultaba conveniente planear la resta de negativos de modo que en una

operación como -(-7) pudier a interpretarse como “más 7”. Sugerencias: que los alumnos ref lexionen y anal icen en grupo dónde t iene








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USOS Y SIGNIFICADOS DE LOS RACIONALESLuz María Marván, (2002).Representación numérica


Cuando los hombres de la antigüedad medían su estatura usando una vara ydecían que medían, digamos dos varas y un quinto, lo que hacían en realidad eracomparar su tamaño con la de una vara. Y si medían el largo de un terrenomediante un terreno mediante una cuerda y decían que dicho largo era “doscuerdas” o “cuatro cuerdas” y tres octavos”, entonces estaban comparando ellargo del terreno con el de la cuerda.

En algunas civilizaciones estas situaciones fueron las que ocasionaron lanecesidad de trabajar con cantidades no enteras y dieron origen a la invención de

números como , , , o , es decir números de la forma :

Tal vez, ya sepas que a los números que pueden escribirse así, los matemáticoslos llaman racionales. Pero quizá no sepas que tienen distintos usos ysignificados.

Un número como se usa para referirnos a una “fracción” o parte de algo: si

alguien parte un chocolate en cuatro pedazos iguales y se come tres de ellos, al

decir “me comí del chocolate”, está diciendo qué parte del chocolate se comió.

Así mismo se utiliza para referirse a un peso, a una longitud, o a una distancia:”

pesa de kilo” o “caminé de kilómetro”. Pero es raro que alguien diga “pesa

de kilo” o “caminé de kilómetro”, y más raro aún sería partir un chocolate

en 404 partes exactamente iguales, comerse 101 y después decir “me comí

del chocolate.

Sin embargo si en un poblado hay 404 adultos y a 101 les gusta un disco, parareferirnos a la parte de la población adulta a la que le gusta el disco, podemos

decir que dicha parte es . Al escribir . Estamos, además, relacionando el


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número 101 con el número 404; así podemos decir que los números racionalesson también una relación entre dos cantidades.

Por otra parte, cuando un pastel se reparte entre 4 personas, de modo que a cada

una le toque la misma cantidad, cada persona recibe de pastel. En este

sentido, el número , es la división de 1 entre 4 y es también el número obtenido

al hacer dicha división.

Igualmente, en el supuesto caso de que algún día necesitaras repartir 3 pastelesiguales entre 4 persona, de modo que a cada una le tocara la misma cantidad;para hacer dicho reparto, podrías repartir cada pastel en cuartos, de manera quese obtuvieran doce pedazos iguales y dar a cada invitado tres pedazos. Como

cada pedazo es de pastel a cada persona le tocarán entonces de pastel,

en este caso, es la división de 3 entre 4 y el número obtenido de dicha división.

En pocas palabras, los números racionales son también una división y el número

obtenido al hacerla.

Instrucciones:

Ahora que sabes los diferentes usos y significados de los números racionales,

interpreta de varias maneras diferentes el número .








es la división de 3 entre 4 y

el número obtenido de dicha

división.


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EL MATEMÁTICO EN LA CAMAConcepción Ruiz. Sergio De Régules, (2002).

Crónicas Algébricas

Biblioteca juvenil ilustrada pág. 38

Nota: Tam bién pod rás r em itir te a la página 30 del lib ro de la m isma ser ie

Una Ventana a las Incógnitas.

René Descartes era un poco perezoso. De niño su padre lo inscribió en una de lasmejores escuelas de Francia: el internado de la Fleche, donde estuvo hasta los 16años. Como era delicado de salud, René tenía autorización para quedarse en lacama hasta la hora que quisiera. La costumbre de levantarse tarde, queDescartes adquirió en la escuela, lo acompañó toda su vida y el matemático

francés hizo en la cama una buena parte de sus grandes contribuciones a lasmatemáticas y a la filosofía.

Se cuenta en particular que Descartes inventó las coordenadas cartesianas un díaen que estaba acostado, contemplando absorto los “ires y venires” de una moscaque se paseaba por el techo del cuarto.

La descripción de la trayectoria de una mosca en el techo es un problemamatemático que no carece de interés. En esa época Descartes se interesabaespecialmente en el estudio de las curvas y la manera de describirlas

matemáticamente. El paseo de la mosca en el techo se podía describir por mediode una curva en un plano. Los puntos de la curva eran las posiciones que ibaocupando la mosca en su andar.

Para describir la curva matemáticamente, se dijo descartes, bastaría tener unamanera de especificar la posición de cada punto en el plano. Luego trazómentalmente la siguiente figura en el techo de su cuarto.

El plano cartesiano. El eje horizontal se llama eje de las abscisas (o eje x) y elvertical se llama eje de las ordenadas (o eje y ).

Y

X


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En el plano cartesiano las coordenadas de un punto pueden tener valorespositivos o negativos, según en qué región del plano se encuentre el punto.

Instrucciones:

De acuerdo al plano que se te presenta, ubica y dibuja una mosca en cada uno delos puntos, por donde pasó la mosca de Descartes que recorrió de: (1,1) a (2,4),(3,5), (4,4) y (5,2).

Sugerencias: que los alumnos ref lexionen y anal icen en grupo dónde t ieneapl icación el tema en los di ferentes s ucesos de la vida c ot idiana, obteniendo




Elaboren u n texto de form a indiv idual que ref leje propu estas de so lución,

opinión, postu ras, etc.


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LA DAMA MISTERIOSAConcepción Ruiz. Sergio De Régules, (2002).

Crónicas Algebraicas


En 1704 se publicó en Inglaterra el primer número de una revista anual llamadaDiario de las Damas . Era una revista novedosa. Contenía acertijos, poemas yproblemas matemáticos que las lectoras tenían que resolver. Muchas mujerescolaboraban tanto con preguntas como con respuestas.

En 1754 una desconocida llamada María Atkinson envió a la revista un problemade geometría. Entre los lectores que resolvieron el problema se encontraba ciertocaballero que tuvo el atrevimiento de preguntar la edad de la autora. María lecontestó con este acertijo:

Cinc o v eces s iete y s iete veces tres sumaréis a mi s años y l a suma qu e

tend réis exc ede a ocho oc ho s, como el do ble de mi edad su pera a vein tiséis

La edad de María está esconda en este acertijo. Decimos que es la incógnita delacertijo incógnito, es decir, “no conocido”.

Sacar del escondite la edad de María es muy fácil usando el lenguaje álgebra.¿Cómo traducimos los versos de María en versos matemáticos?

Como la edad de María es la incógnita y en matemáticas las incógnitas sedenotan con una letra, la llamaremos . Cinco v eces siete y siete veces tres,

Quiere decir que haya que sumar (5 x 7) y (7 x 3) que es 35+21 = 56

Sumaréis a m is años . Ahora María nos pide sumar a su edad el resultado de laoperación del primer verso. + 56 Y la s um a qu e tendréis ex cede a oc ho

ochos .

“Ocho ochos” es lo mismo que 8 x 8 = 64. Lo que dice este verso es que la

cantidad

(x+ 56 ) es mayor que 64. La diferencia entre ambos números {o sea qué tanto esmayor (x + 56) que 64} se puede escribir en lenguaje matemático así

(x + 56) – 64 . ¿Cuánto vale esta diferencia? Eso lo dice en el siguiente verso.

Como el doble de mi edad supera a veintiséis.


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El doble de la edad de María es 2xy es mayor que 26. La diferencia entre 2x y 26 se puede escribir así: 2x – 26 y los últimos versos dicen que ambas diferenciasson iguales; de modo que el acertijo de María quiere decir que:

2x – 26 = (x +56) – 64.

Esta es una ecuación con una incógnita x. Se dice que es de primer grado porqueel máximo exponente con el que aparece la incógnita es 1 (x 1 = x) .

Para quitarle el disfraz a x hay que resolver esta ecuación:

En primer lugar, simplifiquemos la ecuación.

2x – 26 = x - 8

Ahora pasemos todas las x de un lado y todas las constantes (aquellos términosque no tienen x ) del otro.

2x – x = - 8 + 26

Volvamos a simplificar. Como 2x – x = x y -8 + 26 = 18

Entonces queda:

X= 18

María Atkinson tenía 18 años cuando envió el acertijo al Diario de las damas.Cuando el distinguido caballero descubrió la edad de nuestra heroína replicó:

“Una espléndida edad para casarse, señorita”.









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ECUACIONES CUADRÁTICASConcepción Ruiz. Sergio de Régules, (2002).

Crónicas AlgebraicasBiblioteca juvenil ilustrada pág. 14

Al-Jwarizmi escribió un libro en el cual presenta ejemplo de ecuaciones desegundo grado, como veremos a continuación:¿Cuál es el cuadrado que sumado dan diez raíces da el número 39?

Debes tomar la mitad del número de raíces esto es 5, y multiplicarlo por sí mismo,con lo que obtienes 25, cantidad a la que se le sumará el número simple 39, y deestos procedimientos resulta 64.

Después tomará la raíz cuadrada de este número, que es 8 , y le restarás la mitadde las raíces, esto es 5 , y obtienes así el 3, que es el valor buscado.

En la notación moderna el problema consiste en resolver la ecuación

x 2 + 10 x = 39

Usemos la fórmula general. Para hacerlo es necesario escribir la ecuación como

x 2 + 10x -39 = 0 Usemos la fórmula general. Para hacerlo es necesario escribirla ecuación como x 2 + 10 x – 39 = 0

x =

En la ecuación los valores de a, b, y c son:

a = 1 b = 10 c = -39 y al sustituir en la fórmula general nos queda:

x = haciendo cuentecillas:

x =

x =

x = Las dos soluciones de la ecuación son:

x = = = 3


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x = = = - 13 La solución x= -13 no era válida para los árabes por ser

negativa, por lo que Al-Jwarizmi no la contempla cuando resuelve el problema.

Sugerencias: que los alumnos ref lexionen y anal icen en grupo dónde t ieneapl icación el tema en los di ferentes s ucesos de la vida co t idiana, obteniendo

la info rmac ión necesaria para el p lanteamiento , resolución y análisis d e






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GAUSS Y SU TELESCOPIOBosch Giral, Claudia Gómez Wulschener, (2002).

Una ventana a la incertidumbreBiblioteca juvenil ilustrada pág. 26

El matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue también unapasionado astrónomo. Hay muchas anécdotas sobre éste gran matemático. Alos siete años empezó la escuela primaria y su potencial y brillantez fuerondetectadas casi siempre por sus maestros.

Cuentan que un día los compañeros de clase de Gauss estaban muy inquietos yno dejaban hablar a la maestra. Entonces ella, harta de gritos les pidió quehicieran una suma que pensaba sería muy larga y de esa manera los tendríacallados por algún rato.

Les pidió que sumaran todos los números del 1 al 100. Su sorpresa fue enormecuando Carl se acercó a su escritorio después de un minuto para decirle quehabía terminado. ¡Su resultado era correcto! Gauss colocó los números de lasiguiente manera:

1+2+3+4+…+48+49+50+51+…+98+99+100=50x101=5050



la info rmac ión necesaria para el planteamiento , resoluc ión y análisis de





1 2 3 4 5 --------------------------------------------------- 49 50

100 99 98 97 96 --------------------------------------------------- 52 51


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CHICLES DE COLORES Y CUMPLEAÑOSDe la Peña José Antonio, (2002).Matemáticas de la vida cotidiana

Biblioteca juvenil ilustrada págs. 38 y 39

Hay muchas situaciones en la vida en que no sabemos qué va a pasar, pero nosgustaría saberlo. Por ejemplo, cuando compramos un boleto para participar enuna rifa o sorteo o cuando participamos en un concurso de pronósticosdeportivos. La teoría de probabilidad no puede indicar lo que podemos esperar entodas estas situaciones.

Juan va a una farmacia en donde hay una máquina que vende chicles de colores.Cada vez que deposita un peso, la máquina le devuelve un chicle, pero Juan nosabe de qué color será. Juan desea un chicle rojo, pero antes de depositar suprimera moneda cuenta cuántos chicles hay en el ánfora de la máquina:10

chicles rojos, 6 azules y 9 blancos. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un chiclerojo al depositar su primer peso? ¿Cuál es la probabilidad de que Juan obtengaun chicle rojo si está dispuesto a gastar hasta 3 pesos?

Ayudemos a Juan. Según la regla de Laplace debemos de contar cuántosresultados posibles existen al depositar la primera moneda: hay 25 resultadosposibles, de los cuales 1º son exitosos. Por lo tanto, la probabilidad de sacar unchicle rojo al depositar su primera moneda es de 10/25= 0.4. Si al depositar elprimer peso no sale el chicle rojo, entonces la probabilidad de sacarlo con lasegunda moneda es de 10/24 = 0.416, pues ahora sólo quedan 24 chicles en elánfora. La probabilidad de que Juan obtenga el chicle deseado con 3 pesos sepuede calcular así: si con 3 pesos no obtienen el chicle rojo, quiere decir que conla primera moneda obtuvo otro color, lo cual puede ocurrir con una probabilidadde 15/25, con la segunda moneda, obtuvo también otro color, lo cual puede ocurrircon la probabilidad de 14/24 y de igual manera con la tercera moneda obtiene uncolor diferente al rojo, lo que puede ocurrir con la probabilidad de 13/23. Puestoque los tres sucesos son independientes, entonces la probabilidad de que noobtenga el chicle deseado es de:15/25 X 14/24 X 13/23 = 0.19

Por tanto, podemos concluir que la probabilidad de que Juan tenga el chicle rojoluego de usar 1, 2, o 3 pesos es de 0.19 X 0.81

Eso no es una mala noticia para Juan. Quiere decir que si va a la farmacia todoslos días del año, dispuesto a gastar 3 pesos para obtener el chicle rojo, loobtendrá aproximadamente en 295 días (observa que 365 X 0.81 = 295.65).


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BLANCAS Y NEGRASGermán Bernabeu Soria, (2010).

Recursos para el aula100 problemas matemáticos, pág. 28

Disponemos de tres cajas con dos bolas en cada una de ellas. En una caja la dosbolas son blancas, en otra, las dos son negras y en la otra una blanca y otranegra. Sin conocer las cajas y sin ver el contenido de ellas, meto la mano al azary saco una bola blanca.

¿Cuál es la probabilidad de que la otra bola que queda en la caja sea blanca?


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UN JUEGO DE CARTAS MÁGICOBosch Giral, Claudia Gómez Wulschener, (2002).


Existen muchos trucos de matemáticas en losque intervienen las matemáticas. Tal es el casodel siguiente truco, que es sencillo y se explicafácilmente con álgebra, pero parece realmentemisterioso.

Toma un juego de 52 cartas y mézclalas bien.Dáselo a una persona y pídele que haga tresmontones de la siguiente manera: pide a lapersona que elija tres cartas y que complete

sobre la primera de ellas hasta el 13 (en este juego el as vale 1, la jota 11, la reina12, el rey 13 y las demás el número que indican). Luego que haga lo mismo conlas otras dos cartas obteniendo tres montones.

Pide a la persona que te está ayudando que te de las cartas sobrantes y que tedeje ver dos de las cartas; tu adivinarás fácilmente la tercera. Para esto suma elvalor de las dos cartas que se ven, súmale diez y resta esa cantidad del númerode cartas que sobraron. El número que se obtiene es el de la tercera carta.

Por ejemplo, si las cartas que escogió la persona son 5, 7 y jota, completa cada

montón hasta 13.

Pide a la persona que te muestre las 2 cartas. Suma esos dos valores más 10.11+7+10= 28Sobraron 33 cartas. Así, en la carta tapada tenemos que 33-28=5 Por lo tanto, setrata de un cinco. ¿Por qué funciona?Tenemos tres cartas cuyos valores son a, b y c respectivamente. Completamoshasta 13, es decir, usamos13-a+1 cartas para el primer montón13-b+1 cartas para el segundo montón

13-c+1 cartas para el tercer montón Así que nos quedan 52- [(13-a+1) +(13-b+1)+(13-c+1)]= 10 + a+b+cSupongamos que nos enseñan las cartas b y c. Así que hacemos b+c+10 y lorestamos del número anterior:10+a+b+c-(b+c+10)= a


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ANTES DEL INICIOBosch Giral, Claudia Gómez Wulschener, (2002).


Los juegos de azar son tan viejos como la sociedad misma. Se sabe que desde3500 años antes de nuestra era se hacían apuestas sobre el juego de dados. Sehan encontrado pinturas que describen dichos juegos en las paredes de algunastumbas egipcias y en vasijas griegas.

La suerte siempre ha sido fascinante. Según la mitología griega, el mundomoderno empieza cuando Zeus, Poseidón y Hades tiran un dado para repartirseel universo. En esa ocasión Zeus gana el primer premio: el cielo; Poseidón, elsegundo: el mar; y Hades se tiene que conformar con el infierno.

Aunque parezca extraño no fue sino hasta 1654 cuando se empezó a trabajar en

los juegos de azar, desde un punto de vista matemático. Resulta sorprendenteque los griegos no lo hicieran antes, pues para ellos las matemáticas eran laforma suprema del conocimiento. Tal vez no hicieron estudios profundos en éstarama porque no veían un orden en el azar, que cada evento es impredecible.

Lo que cambió ésta concepción fue el considerar no sólo un evento, si no ver quepasa al repetir dicho evento varias veces: es entonces cuando aparecen ciertospatrones que se pueden estudiar mediante las matemáticas.

Si Zeus, Poseidón y Hades hubiesen repetido su juego cada año, entonces al

cabo de los siglos cada uno de ellos hubiera estado un tercio del tiempo en elcielo, otro tercio en el mar y otro tercio en el infierno.

Los dados fueron el principal interés de Cardano (1501-1576) Este científico delsiglo XVI repartía su tiempo entre las matemáticas, la curación de los enfermos ylas apuestas en los juegos de azar. Escribió un libro publicado en 1525, sobreobservaciones matemáticas acerca de cómo asignar un valor numérico a losposibles resultados al tirar un dado.

Supongamos que se lanza un dado, dice Cardano, hay las mismas posibilidadesde que en la cara superior salga cualquiera de los números del 1 al 6. Así la

posibilidad de que salga alguno de los números del 1 al 6 es de .

Hoy se usa la palabra probabilidad, de esa manera decimos que la probabilidadque salga el 5 es de 1/6. De igual forma decimos que la probabilidad de que salga

el 1 o el 2 debe ser o


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Cardano continuó realizando cálculos sobre las probabilidades en los dados. Porejemplo, razonaba de la siguiente manera: La probabilidad de sacar dos seis enlos tiros consecutivos es de:

veces , es decir, .

Se multiplican las dos posibilidades, ya que cada uno de los seis resultados de laprimera tirada del dado puede ocurrir con cada uno de los seis resultados de lasegunda tirada del dado, es decir. Son 36 posibles combinaciones.

También analizó el siguiente problema:

Si se toman dos dados ¿cuál es la probabilidad de que la suma de dos númerosque salgan sea 5? Para cada dado hay 6 posibilidades así que habrá 6X6 = a 36 posibilidades en total al lanzar ambos dados.

¿Cuántas de estas posibilidades darán como suma 5? Hagamos una lista de los

casos favorables: 1 y 4, 2 y 3, 3 y 2, 4 y 1

Es decir, cuatro posibilidades, así que de los 36 resultados posibles, hay cuatro

favorables, de modo que la posibilidad de que salga una suma de 5 es: =

A pesar de este fino análisis, Cardano no logró llegar a la abstracción y acercarsemás a la teoría moderna de la probabilidad, se limitó simplemente a hacerestudios puntuales sobre ciertos juegos de azar.


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PROBABILIDAD Y NÚMEROS DECIMALES: BÁSQUETBOL Y BÉISBOL

Carlos Hernández Garciadiego, (2002).Matemáticas y Deportes


Un jugador de basquetbol tiene una eficiencia en tiros de castigo de 0.75 durantela última temporada. ¿Si va a tirar un tiro de castigo cuál es la probabilidad de queenceste?

Si escribimos 0.75 como fracción, tenemos:

0.75 =

La eficiencia de 0.75 significa que cada 100 tiros de castigo que ejecuta, encesta75. Observa la analogía de razonamiento y la expresión de probabilidad.

P= número de casos favorablesNúmero total de casos

Así que la probabilidad de que enceste el siguiente tiro de castigo es de 0.75

Debemos hacer notar que en realidad no sabemos cuántos tiros de castigo haejecutado el jugador en la temporada, si no que basta con conocer el valor delcociente de:

Tiros encestadosTotal de tiros ejecutados

Aun que no c ono zcamos el número de t i ros encestados y el total de t iros

ejecutados.

La probabi l idad de qu e suceda un evento pu ede estar dada mediante un

número decimal entre cero y uno aun que no c ono zcamos indiv idu almente el

número de caso s favorab les y el número total de caso s.

El promedio de bateo de un beisbolista es el cociente: ¿qué datos necesitaráspara poder usar la siguiente expresión?

Hits anotadosVeces al bat


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Otros ejemplos:

Un jugador de futbol anota 6 de cada 7 tiros penales ¿cuál es la probabilidad de

que anote un penal?

Un beisbolista tiene un promedio de bateo de 0.300 contra lanzador derecho y de0.200 contra lanzador zurdo. Si el partido está acabando y el resultado del partidodepende en gran medida de lo que batee este jugador, el entrenador contrariopuede optar por cambiar al lanzador. ¿qué tipo de lanzador le mandaría: zurdo odiestro?









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II Anécdotas, reflexiones y citas

de famosos matemáticos


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Poincaré, el ambidiestro Los amigos de Jules Henri Poincaré, destacaban de este matemático francés suparticular torpeza para dibujar el esquema más sencillo.

De ahí que le llamaran el ambidiestro, ya que “podía dibujar igual de mal con lamano derecha que con la izquierda.”

El despiste de David Hilbert

El matemático alemán David Hilbert, recibió en su casa a un profesor reciénllegado a la Universidad de Gotinga. Después de presentarse, el invitado se quitóel sombrero y se sentó. Al cabo de unos minutos de conversación, Hilbert, queprobablemente tenía la cabeza en otros menesteres, decidió que la visita ya habíadurado lo suficiente y poniéndose el sombrero de su invitado, se despidió

cortésmente y se fue de su propia casa.

Sugerencia:

Que los alumno s recuerden, redacten y comp artan algunas si tuaciones que

hayan viv ido a part i r de la siguiente frase: por despistado en una oc asión,

me sucedió…

Uno más en la familiaEl matemático P. G. Lejeune Dirichlet, no era muy amigo de escribir cartas. Hizouna excepción cuando nació su primer hijo.Dirichlet, mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje: 1+1=3.

Sugeren cia: que los alum nos escrib an mensajes con código s numérico s o

símb olos que inventen para comu nicarse.

Hilbert y el Teorema de Fermat

En los primeros tiempos de la aviación invitaron al matemático alemán DavidHilbert a dar una conferencia sobre el tema que él quisiera. La conferencia creóuna gran expectación ya que el tema elegido fue:

“La prueba del último Teorema de Fermat”.

http://blogs.20minutos.es/yaestaellistoquetodolosabe/diez-curiosas-anecdotas-de-famosos-matematicos/http://blogs.20minutos.es/yaestaellistoquetodolosabe/diez-curiosas-anecdotas-de-famosos-matematicos/


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Llegó el día y Hilbert dio la conferencia. La exposición fue muy brillante pero notuvo nada que ver con el último teorema de Fermat.

Cuando le preguntaron el porqué del título contesto:

“Oh, el título era solamente para el caso de que el avión se estrellara”

Sugerencia: que el alumno comparta exper iencias en dond e en alguna

ocasión ha sid o demasiado p recavido, y que al f inal le resul tó anecdót ico.

En busca del saber

Euclides se encontraba impartiendo una clase en Alejandría cuando, uno de susalumnos, le preguntó que para qué servían todas aquellas demostraciones tanextensas y complejas que explicaba el matemático.

Pausadamente, Euclides, se dirigió a otro de los estudiantes presentes y le dijo:

-Dele una moneda y que se marche. Lo que éste busca no es el saber, es otracosa.

Sugerencia: que el alumno ref lexione en relación s obre el esfuerzo para

poder ob tener con ocim iento y que este no siempre está ligado p ara obtener

cos as materiales.


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FRASES Y ANÉCDOTAS DE ALBERT EINSTENSáenz, E. (2014).

Anécdotas curiosas sobre Albert Einstein.

Albert Einstein

Fue un físico nacido en Alemania. Posteriormente se nacionalizó suizo yestadounidense. Está considerado como uno de los científicos más notables yconocidos del siglo XX.

Taciturno:

El pequeño Einstein no dio señales tempranas de genio. De hecho, fue lento paraaprender a hablar, tenía un comportamiento taciturno de niño y, en lugar de jugarcon sus compañeros, tendía a caminar pensativo y a soñar despierto.

La Brújula:Uno de los primeros momentos de asombro de su vida fue descubrir una brújulamagnética de su padre cuando tenía cuatro o cinco años. Observar cómo la agujaseñalaba siempre en la misma dirección le dejó fascinado.

Demócrata:

El ideal científico de Einstein era la democracia, que en su libro "Mis ideas y

opiniones" definía como "Que se respete a cada hombre como individuo y que nose convierta a ninguno de ellos en ídolo". En cuanto al dinero consideraba que"solo apela al egoísmo e invita irresistiblemente al abuso".

El frigorífico de Einstein: Además de físico teórico, Einstein fue inventor. Una de sus creaciones másinteresantes fue un tipo de refrigerador, que decidió fabricar después de escucharque una familia que vivía en Berlín, había muerto al romperse el precinto delrefrigerador de la casa y desprender todos sus gases tóxicos. Einstein quería queel nuevo no tuviera partes que pudieran romperse, que fuera más seguro,

eliminando la bomba usada para comprimir el refrigerante. Y creó la bombaEinstein - Szilard basada en electromagnetismo. Además era silencioso y aprueba de emisiones.

Violinista:Einstein era aficionado a dos cosas: la navegación en vela y la música. Tocaba elviolín, y parece que la conexión entre este instrumento y la ciencia la conoció


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gracias a Pitágoras, uno de los primeros científicos que estudió la acústica, y queademás creó cuerdas tensas con puentes deslizables, fundamento del actualviolín.

Se trata de ser curioso:

“Lo importante es no dejar de hacerse preguntas.”, “No tengo talentos especiales,pero sí soy profundamente curioso.”

La alegría de ver:

“La alegría de ver y entender es el más perfecto don de la naturaleza.”

Entender nuestra conexión:“Un ser humano es parte del todo que llamamos Universo, una parte limitada en eltiempo y en el espacio. Está convencido de que él mismo, sus pensamientos ysus sentimientos, son algo independiente de los demás, una especie de ilusión

óptica de su conciencia. Esa ilusión es una cárcel para nosotros, los limita anuestros deseos personales y a sentir afecto por los pocos que tenemos máscerca. Nuestra tarea tiene que ser liberarnos de esa cárcel, ampliando nuestrocírculo de compasión, para abarcar a todos los seres vivos y a toda la naturaleza.”

¿Progreso?

“La palabra progreso no tiene ningún sentido mientras haya niños infelices.”

El Mal:

“El problema del hombre no está en la bomba atóm ica, sino en su corazón.”

Simple y Claro:

“Si tu intención es describir la verdad, hazlo con sencillez y la elegancia déjaselaal sastre.”, “No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárseloa tu abuela.”

La belleza del misterio:“El misterio es la cosa más bonita que podemos experimentar. Es la fuente detodo arte y ciencia verdadera”.

Valorar la producción:“El valor del producto se halla en la producción”.

Inténtalo, siempre inténtalo:

“Una persona que nunca ha cometido un error nunca intenta nada nuevo”.


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Importa que actúes, importa que recuerdes:

“La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las qu ese sientan a ver lo que pasa”.

Siempre hay que probar cosas nuevas

“Una locura es hacer la misma cosa una y otra vez, esperando obtener resultadosdiferentes. Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo”.

Querer es poder:“Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energíaatómica: la voluntad”.

La Imaginación lo es todo:“La imaginación es más importante que el conocimiento”.


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NEIL DEGRASSE TYSON

Código espagueti.com (2015)Neil deGrasse Tyson explica cuál es el sentido de la vida.

Astrofísico norteamericano y divulgador de la ciencia. Nació y se crio en la ciudadde Nueva York donde fue educado en las escuelas públicas hasta su graduaciónde la Escuela Secundaria de Ciencias del Bronx. Tyson pasó a obtener suLicenciatura en Física por la Universidad de Harvard y su doctorado en Astrofísicade Columbia.

Los intereses de investigación profesional de Tyson son amplios, pero incluyen laformación de estrellas, estrellas que explotan, galaxias enanas, y la estructura dela Vía Láctea.

¿Cuál es el sentido de la vida?“Creo que la gente se hace esa pregunta creyendo que ‘significado’ es algo quepuedes ir a buscar y decir, ‘Aquí está, lo he encontrado. Aquí está el significadoque había estado buscando’. Ese escenario, sin embargo, no considera laposibilidad de que “significado” sea algo que tú creas. Lo manufac turas para timismo y para los otros [...]. Si vivo un día en el que no aprendo un poco más de loque sabía el día anterior, creo que he desperdiciado el día. Así que, a la genteque al final del año escolar dicen ‘¡llegó el verano! ¡Ya no tengo que pensar más!’,yo les diría que no estoy de acuerdo. Pensar nos lleva más cerca de la

naturaleza. Aprender cómo funcionan las cosas te da poder para influenciar en loseventos. Te da poder para ayudar a la gente que pudiera necesitarlo, o ayudarte ati mismo […]. Cuando pienso en el significado de la vida, creo que esa no es unaeterna pregunta sin respuesta. Para mí, su respuesta es algo que tengo queencontrar todos los días”.

El universo está en Nosotros:

“Nosotros somos parte de este Universo, estamos en este Universo, pero quizásmás importante que estos dos hechos, es que el Universo está en nosotros” .

Lo que importan las Matemáticas:“Hay gente que dice: "Nunca voy a necesitar las matemáticas" [...]. Incluso puedeque tú nunca hayas aprendido algo de matemáticas. Ahí está el truco: vayas o noa usar las matemáticas en tu vida, el hecho de que hayas sido capaz deentenderlas deja una huella en tu cerebro que no existía antes, y esa huella es laque te convierte en un solucionador de problemas”.


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Inspiración:

“Los mejores educadores son los que inspiran a sus alumnos”.

El poder del entendimiento:

“A las personas les gusta entender algo que antes no entendía. Es una sensación

de poder.”

La diferencia está ahí:

“El estudiante que sigue aprendiendo por su cuenta... Eso es lo que separa a lostriunfadores de los que sólo hacen la tarea”.

Los niños:

“Los niños deben poder romper cosas más a menudo. Eso es una consecuenciade la exploración. La exploración es lo que haces cuando no sabes lo que estáshaciendo.”

Confundirte está bien, abre tu mente:

“Una cosa es segura, cuanto más profundamente confundido hayas estado en tuvida, más abierta se vuelve tu mente a nuevas ideas”.

Educación:

“Pasamos el primer año de la vida de un niño enseñándole a caminar y a escribir,y el resto de su vida a guardar silencio y sentarse, algo no funciona bien”.

Actualízate:

“Mi punto de vista es que si tu filosofía no se actualiza cada día, estás cegado atodo lo que el universo puede ofrecerte”.

Creatividad:

“La creatividad es ver lo que todo el mundo ve, pero idear un pensamiento nuevoque nunca se ha pensado antes y expresarlo de alguna manera”.









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GRANDES FRASES DE CARL SAGAN PARA REFLEXIONARPINO, F. (2014).

Ojo curioso. 25 grandes frasesDe Carl Sagan para reflexionar.

Carl Edward Sagan

El astrónomo nace en 1934 en Brooklyn, Nueva York. Se graduó de laUniversidad de Chicago, donde estudió planetas y exploró teorías de inteligenciaextraterrestre. Fue nombrado director del laboratorio de Cornell de EstudiosPlanetarios en 1968 y trabajó con la NASA en varios proyectos. Un activistaantinuclear, Sagan introdujo la idea del "invierno nuclear" en 1983. Él escribió unanovela, varios libros y artículos académicos y la serie de televisión Cosmos.

Divulgar ese amor por la ciencia:“Después de todo, cuando estás enamorado, quieres contarlo a todo el mundo.Por eso, la idea de que los científicos no hablen al público de la ciencia me pareceaberrante”.

Ciencia y tecnología:

“Vivimos en una sociedad exquisitamente dependiente de las ciencias y latecnología, en la cual prácticamente nadie sabe nada acerca de la ciencia o latecnología”.

La Ciencia no es perfecta, pero es la mejor herramienta que tenemos“La ciencia no es perfecta, con frecuencia se utiliza mal, no es más que unaherramienta, pero es la mejor herramienta que tenemos, se corrige a sí misma,está siempre evolucionando y se puede aplicar a todo. Con esta herramientaconquistamos lo imposible”.

Nuestra obligación:

“Nuestra lealtad es para las especies y el planeta. Nuestra obligación desobrevivir no es sólo para nosotros mismos sino también para ese cosmos,antiguo y vasto, del cual derivamos”.

Imaginación:

“La imaginación frecuentemente nos llevará a mundos que jamás fueron. Pero sinella, no iremos a ningún lado”.


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Isaac Newton

Científico, físico, filósofo, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, más conocidos como los Principios, dondedescribió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica

Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Fue, también, uno de loshombres más respetados por la sociedad inglesa en sus tiempos y quizá elcientífico más religioso que se haya mencionado, hábito que muchos desconocen.

Nuestro mejor amigo:

“Amicus Plato, amicus Aristóteles, magisamica veritas [Platón es mi amigo, Aristóteles es mi amigo, pero mi mejor amigo es la verdad”.

Variedad:

“La unidad en la variedad, y la variedad en la unidad es la ley suprema delUniverso”.

Nuestra obligación:

“Nuestra lealtad es para las especies y el planeta. Nuestra obligación desobrevivir no es sólo para nosotros mismos sino también para ese cosmos,antiguo y vasto, del cual derivamos”.

Imaginación:“La imaginación frecuentemente nos llevará a mundos que jamás fueron. Pero sin

ella, no iremos a ningún lado”.






Elaboren u n texto d e forma indiv idual que ref leje propu estas de solución,



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III Ejercicios varios


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Tablas numéricas

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REGLETA NEPER. (ÁBACO NEPERIANO)

A finales de 1617 Neper publicó su obra titulada Rabdologiae seu numerationis pervírg ulas lib ri du o en la que describe un instrumento de cálculo, conocido comúnmentecomo ábaco Neperiano que permite reducir los productos a sumas y los cocientes arestas.

El ábaco neperiano consiste en un tablero con reborde sobre el cual se colocanun conjunto de varillas rectangulares móviles que colocadas adecuadamentesirven para facilitar la multiplicación usando el sistema de numeración indo-arábico

(a)


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(b)

Fig. Ábaco neperiano: (a) un ejemplar construido en madera (b) diagrama en el que se distinguen claramente eltablero y un juego de varillas.

La orilla izquierda del reborde, funciona como una varilla fija y está dividida en 9casillas iguales cada una de las cuales contiene un dígito del 1 al 9, comenzando

con el uno en la parte superior y finalizando con el 9 en la casilla inferior.

Un juego de varillas está compuesto por 10, una para cada dígito del 0 al La cara frontal de cada varilla está dividida en 9 casillas cuadradas. La casillasuperior se deja tal cual y las ocho restantes se dividen en mitades por medio deun trazo diagonal.

En la casilla superior se coloca el dígito al que corresponde la varilla y en lassiguientes se escribe el resultado de la multiplicación del dígito por 2, 3,…, 9,respectivamente. Los díg

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ESTRATEGIAS MATE