Estrutura eletrônica e “energética” de superfícies vicinais usando um modelo Tight-binding

H = T + k V(r – Rk)

a1a2

a3

H |> = |>

Usando uma base de orbitais atômicos, podemos associar a cada átomo i da cécula unitária orbitais tipo atômicos |i>

Posso então escrever: |> = i ci |i>

= s, px, py, pz, dxy, dyz, dzx, dx^2-y^2, d3z^2-r^2

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4: semicondutores 9: metais de transição

<|H|> <i|H|j> integrais de overlap

Ortogonais: <i|H|j> = ij

Não ortogonais: <i|H|j> = Sij

<i|H|j> possui contribuições de 3 regiões: 1) centrada ao redor de |i>2) centrada ao redor de |j>3) centrada ao redor de V(r-Rk)

Classificação das integrais

• se todas as três regiões estão localizadas no mesmo átomo (i=j=k) esta integral é conhecida como “on-site integral”

• se a posição do potencial for a mesma de uma das funções de onda enquanto a outra função está localizada em outra regiãio do espaço (i=kj) esta integral é conhecida como “two centre integral”

• Se nenhuma das regiões coencidem (ijk) esta integral é conhecida como “three-centre integral”. (normalmente pequena se comparado com as integrais anteriores)

•Se as funções de onda estão na mesma região do espaço mas o potencial não (i=jk), esta integral corresponde a uma correção de campo do cristal ao termo “on-site”. (nao é levada em conta aqui)

0i = a + b i

2/3 + c i4/3 + d i

2

“on-site terms” <i| H |i> (elementos da diagonal)

Nos fornecem as energias dos estados s, p e d: s, p, d

Como os níveis atômicos devem depender o “ambiente atômico”:

ETot = noccn - Nval Vi

determinados a partir de um ajuste à estrutura de banda e à energia total obtidas via cálculos ab initio para estruturas cristalográficas diferentes (volume).

Caso os átomos não sejam neutros, devemos adicionar este termo para garantir, localmente, a neutralidade de caga.

“two-centre terms” <i| H |j> (hopping integrals)

ss, sp, sd, pp, pd, dd, pp, pd, dd, dd Momento angular dos orbitais

especifica a componente do momento angular na direção que une os dois átomos

Estrutura eletrônica

Base: ondas de Block 2D localizadas em cada camada

número de átomos na camada l

Soluções da eq. Schröndinger

Eq. a ser resolvida:

matrizes (9Nslab x 9Nslab)

Para se determinar n(k//), varia-se k// ao longo de linhas de simetria na zona de Brillouin da superfície

Pode-se também calcular “Local Density of States” (LDOS) na camada l:

e a “spectral Local Density of States” (por átomo da superfície)

Energia da superfície e do degrau

Nslab

n

A energia de superfície por átomo da superfície de uma superfície vicinal pode obtida de

Es(n) = ½ (Eslab(n) – Nslab Ebulk)

Energia de superfície por área

(n) = Es(n)/A(n)

h

n

n0

d=(p-1+f)b0

A energia do degrau por unidade de comprimento de degrau () de uma superfície vicinal é definida como:

(n) = (n0)cos() + ()sen()/h

A equação acima pode ser re-escrita em uma forma mais conveniente:

Estep(n0,p) = Es(n0,p) - (p-1+f)Es(n0,)