Estruturas de Cobertura

7/15/2019 Estruturas de Cobertura

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Estruturas de cobertura (2010.2)

Mauro César de Brito e Silva1

1 – Introdução

Uma cobertura tem primariamente a função de proteger as edificaçõescontra a chuva, vento e sol. As características delas vão depender basicamente do propósito da edificação, disponibilidade de materiais,tradições locais e da grande variedade de concepções arquitetônicas.Considera-se então que elementos que compõem uma cobertura são:

– Elementos de vedação: telhas, lajes, outros – Estrutura portante: é o conjunto de elementos que suporta os

elementos de vedação atendendo as características geométricas do espaço aser coberto. A estrutura pode ser: metálica, concreto armado, madeira,

estruturas mistas e outras. – Acessórios: calhas, condutores, elementos de fixação, peças

especiais de ventilação e iluminação, etc. – Fechamentos laterais: telhas, vidro, alvenaria, outros

1.1 – Elementos de vedação

Os elementos de vedação mais utilizados nas coberturas estruturadasem aço são as telhas de aço (figura 1.1), alumínio e fibrocimento.

Fi gura 1.1

Nos projetos de telhados devem-se observar as características epropriedades das telhas a serem utilizadas, tais como: Inclinaçãorecomendada, recobrimentos lateral e longitudinal, vão máximo admissível,tipos de fixação, acessórios (cumeeiras, rufos, calhas, etc.). A melhor maneira de obter estes dados é consultando os manuais dos fabricantes. Éimportante e indispensável seguir as especificações contidas nos catálogos,pois em caso contrário o fabricante fica isento de qualquer responsabilidade.

1Professor Assistente III, Departamento de Artes e Arquitetura, PUC Goiás, Goiânia, Goiás, Brasil.



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1.2 – Estruturas portante

1.2.1 – Elementos de sustentação das telhas – terças

Sua principal função é de servir de apoio das telhas de cobertura e de

elemento estabilizante das peças em que se apóiam. As seções usuais dasterças são os perfis do tipo “U” laminado e de chapa dobrada do tipo “U”enrijecido como mostra a figura 1.2. Existe a possibilidade de utilização deoutros perfis e outras configurações dependendo do tipo de telha e cargasatuante. As terças quando suportam telhas de aço, alumínio ou fibrocimentopodem ter vãos de até 6 metros quando utilizam perfis em chapa dobrada;vão de até 8 metros para perfis laminados; e vãos maiores que 8 quando sãoconcebidas em treliças de banzos paralelos.

Fi gura 1.2

1.2.2 – Estrutura principal

São aquelas que recebem as cargas devidas aos elementos devedação, terças, vento e eventuais cargas suspensas. A seguir uma relaçãode alguns sistemas estruturais comumente utilizados:

1.2.2.1 – “Telhados em uma água”

São estruturas de vãos pequenos que definem superfícies planas, comdeclividade, cobrindo uma pequena área edificada (figura 1.3) ouestendendo-se para proteger entradas (figura 1.4).

Fi gura 1.3



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Fi gura 1.4

1.2.2.2 – “Tesouras de duas águas”

São estruturas treliçadas do tipo trapezoidais, triangulares e especiais(figuras 1.5 e 1.6), que suportam duas superfícies planas, com declividadesiguais ou distintas, unidas por uma linha central denominada cumeeira. Oespaçamento (4 a 8 m) entre as tesouras ( Le) vai depender do tipo terça e

vedação. As relações econômicas entre o vão e altura das treliças podem ser obtidas na tabela 2 da apostila Estrutura de Aço.

Fi gura 1.5 Fi gura 1.6

1.2.2.3 – Estrutura espacial

Este sistema é predominantemente usado em coberturas planas degrandes vãos, sendo que eles são vencidos em duas direções horizontaisprincipais.

A estrutura pode ser formada por treliças planas que se interceptamcomo mostrado na figura 1.7.

Fi gura 1.7

A figura 1.8 ilustra “Willes, Faber & Dumas Office” localizado emIpswich, Inglaterra, projetado pelo Arquiteto Norman Foster e pelo engenheiroestrutural Anthony Hunt . Esta é uma edificação que faz uso de um sistemaespacial treliçado formado por treliças planas que se interceptam.



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Fi gura 1.8

A estrutura espacial também pode ser idealizada por barras que sãotrianguladas de tal forma que o conjunto destas barras define uma malhaverdadeiramente espacial como é ilustrado na figura 1.9. Notar que asunidades que formam o sistema verdadeiramente espacial podem ter a formapiramidal ou tetraédrica.

Fi gura 1.9

Um exemplo do sistema verdadeiramente espacial pode ser visto nafigura 1.10, que é a cobertura do “St. Francis Hospital ” projetado por “ American Building Systems”.

Fi gura 1.10

É importante saber que no primeiro sistema as treliças podem ser dispostas ortogonalmente ou obliquamente e as treliças também podem ser de uma camada, que são usadas para vãos de até 30 metros ou com treliçasde duas camadas, que são recomendadas para vãos maiores que 30 metros,estes sistemas são mostrados na figura 1.11.

As estruturas espaciais são sistemas de alta eficiência estrutural

devido basicamente dois fatores: o grau muito alto de indeterminação estáticae a triangulação interna de suas barras. Entretanto o projeto estrutural e a



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construção desse sistema estrutural são muito complicados, fazendo dele umsistema estrutural de custo mais elevado do que o das estruturas de treliçasplanas. Para vãos maiores de 20 metros as estruturas verdadeiramenteespaciais são economicamente competitivas com as estruturasconvencionais. Já as estruturas espaciais formada por interseção de treliças

planas normalmente são usadas para vãos variando de 15 a 20 metros.

Fi gura 1.11

Considerando que o sistema verdadeiramente espacial vence vãos emduas direções, a forma do plano quadrada é a mais indicada como mostra afigura 1.12.

Fi gura 1.12

Via de regra as barras das estruturas espaciais são pequenas e leves,fazendo delas estruturas de fácil transporte e montagem; freqüentemente asbarras dessas estruturas são ligadas umas as outras através de parafusos nonível do terreno da obra, e na seqüência o conjunto estrutural é içado até suaposição final.

A principal desvantagem das estruturas espaciais é sua complexidade.Em particular, a dificuldade de elaboração do projeto e da fabricação dos nóspor conta do alto grau de complexidade de sua geometria, e a tolerância defabricação dos componentes deve ser pequena devido ao alto grau deindeterminação estática.



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Existem algumas estruturas espaciais que os elementos de ligaçãodas barras, os nós, são patenteados. A estrutura espacial “Mero” e “Nodus”são exemplos desses sistemas. As dimensões aproximadas, como altura emódulo, da estrutura espacial do tipo “Mero” podem ser obtidas na tabela 1.

Tabela 1Vão (m) Modulo (m) Altura da treliça (m)

Até 15 2 a 3 Até 1,5

15 a 27,5 2,4 a 3 1,5 a 2,1

27,5 a 36 2,4 a 3,6 2,1 a 2,5

36 a 50 3,6 a 4,8 2,5 a 4,0

50 a 100 4,8 a 6,0 3,6 a 4,8

1.2.2.4 – “Shed”

São estruturas em que os vãos são de no máximo a 40 metros, e ondeé necessária uma iluminação mais ou menos uniforme no plano de trabalho.São estruturas formadas por estruturas principais em forma de treliças debanzos paralelos (vigas mestras), que recebem as traves (peças de almacheia ou treliçadas) com vãos em torno de 5 metros e que por sua vezrecebem as terças (figuras 1.13 e 1.14).




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1.2.2.5 – “Arcos”

São estruturas de grandes vãos e que suportam grandes cargasverticais. Espaçamento entre arcos ( Le) em torno de 6 metros e alturaseconômicas dos arcos podem ser obtidas na tabela 2 da apostila Estrutura de

Aço. É uma estrutura muito flexível, e constituída normalmente por treliças debanzos paralelos de pequena altura (figuras 1.15 e 1.16).


1.3 – Contraventamentos

As estruturas metálicas são formadas por elementos muito esbeltos eé necessário que sua estabilidade seja garantida. Uma das maneiras degarantir esta estabilidade é através de elementos secundários que diminuemos seus comprimentos de flambagem e absorvem possíveis cargas fora doplano de trabalho das estruturas principais. As figuras 1.17 e 1.18 mostramas diagonais de contraventamento de um sistema de cobertura.

Fi gura 1.17

Fi gura 1.18



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1.4 – Tirantes (Linhas de correntes)

Os tirantes das terças garantem a estabilidade e absorvem acomponente de carga permanente no plano do telhado, diminuindo o vão daterça neste plano, como mostram as figuras 1.19 e 1.20.

Fi gura 1.19

Fi gura 1.20

1.5 – Cargas na cobertura

1.5.1 – Cargas permanentes (G )

São constituídas pelos pesos próprios: da estrutura [terças, estruturaprincipal, contraventamentos, etc.] + telhas + peças especiais (calhas, rufos,lanternim) + instalações penduradas na estrutura + forro + outras.

- O peso próprio das telhas é obtido nos catálogos dos fabricantes- As outras cargas segundo projetos específicos

1.5.2 – Cargas acidentais – ação do vento (W )

As cargas de vento são obtidas conforme determinação da NBR6123/80 (NB 599/87).

1.5.3 – Cargas tecnológicas

São decorrentes da fixação de equipamentos de movimentação de

cargas na estrutura de cobertura conforme projeto específico, tais como:guinchos em monovias, correia transportadoras, pontes rolantes, outras.



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1.5.4 – Sobrecargas em coberturas(NBR 8800/86)

Nas coberturas comuns, não sujeitas a acúmulos de quaisquer material, e na ausência de especificação em contrário, deve ser prevista uma

sobrecarga nominal mínima de 0,25 kN/m

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, em projeção horizontal.

2 – Telhados de “duas águas”

2.1 – Introdução

Os telhados de “duas águas” são normalmente estruturados atravésde tesouras, que recebem as cargas devidas ao material de cobrimento, pesodas terças, vento, peso próprio e eventuais cargas suspensas.

A distância entre tesouras é geralmente dada pelos espaçamentosentre colunas, que dependem, basicamente, da função a que se destina a

edificação. Quando o espaçamento entre colunas é muito grande, torna-semais econômico o uso de tesouras intermediarias.

A corda ou banzo superior das tesouras treliçadas é projetado paraleloà cobertura. A inclinação da cobertura vai depender do material utilizado oudo efeito arquitetônico que se deseja obter, dentro dos limites da declividademínima permitidas pelo material. Já a corda ou banzo inferior das treliçasgeralmente são horizontais.

1 – Tesou ra de alm a cheia com altura v ariável (f igu ra 2.1)

As tesouras de alma cheia apresentam algumas vantagens, tais como:pequena altura, facilidade de limpeza, pintura e conservação, entretanto sãoestruturas mais pesadas que as tesouras treliçadas.

Fi gura 2.1

2 - Tesou ra trapezoidal (f igu ra 2.2)

Resultam em tesoura mais alta que as triangulares e obviamente comesforços axiais menores nos banzos.Resolvem melhor os detalhes de apoio no que diz respeito o encaixe das

calhas.Podem ser articuladas ou engastadas.

Fi gura 2.2



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3 - Tesou ra triangu lar (f igu ra 2.3)

Elas só podem ser articuladas, o que resulta em esforços elevados nosbanzos junto aos apoios, entretanto elas são tesouras com menores alturastotais de construção se comparada com as trapezoidais.

Fi gura 2.3

4 - Tesou ras especi ais (f igura 2.4)

Para grandes inclinações podem-se usar treliças com banzo inferior nãohorizontal ou treliças de banzos paralelos.

Estas estruturas são muito flexíveis e os apoios devem ser rígidos e fixos. A rigidez da estrutura pode ser melhorada com adição de tirantes ligando

os apoios. Entretanto esta solução tem dois inconvenientes: o tirante sótrabalha a tração e a obstrução do espaço interno.

Fi gura 2.4



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2.2 – Determinação do esquema geral dos telhados

O esquema geral dos telhados de “2 águas” é determinado a partir dosseguintes dados:

- vão da tesoura ( L);

- inclinação do telhado;- tipo de telha (espaçamento entre apoios, recobrimentos, largura útil,fixações);

- tipo de apoio;- altura econômica da treliça ( L/7 a L/20)- disposição das diagonais;- fechamento lateral- calhas e outros

2.2.1 – Distribuição de telhas e espaçamento entre terças

O recobrimento longitudinal mínimo das telhas faz parte dasespecificações técnicas contidas nos catálogos fornecidos pelos fabricantes.Portanto, é necessário verificar se o espaçamento entre terças estabelecidono esquema geral do telhado respeita este recobrimento. Em função dainclinação do telhado, tipo de calha e dos detalhes de fixação, a equação 2.1pode ser usada para fazer esta verificação como ilustra a figura 2.5.

d = L (comprimento da telha) – c (recobrimento) (2.1)

Fi gura 2.5

2.2.2 – Exemplo

Determinação do esquema geral de uma cobertura de “2 águas”, figura 2.6,usando como vedação telha trapezoidal de aço zincado:

Dados:- Largura da edificação = 24,9 m- Comprimento da edificação = 73 m- Altura da coluna = 5 m (CS 300 x 32 kg/m)

Solução - considerando que a face das colunas está no limite da largura da

edificação e o apoio da estrutura de cobertura esta no eixo das colunas,teremos:



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Fi gura 2.6

Vão: L = 24900 – 300 = 24600 mm

Telha aço galvanizado trapezoidal GR40 (trapézio de 40 # 0,5 mm) daGravia (http://www.gravia.com/) - Espaçamento entre apoios (terças) = 2500 mm (Quatro apoios)- Sobreposição longitudinal para inclinação maior que 10% = 200 mm- Largura útil = 970 mm

Terças em perfil chapa dobrada com vão máximo de 6 m- Perfil adotado: U enrijecido 150 mm de altura

Pode-se determinar o comprimento ( L1), usando teorema de Pitágoras(figura 2.7):

Fi gura 2.7

L12 = 123002 + 18452 = 12437,6 mm

Espaçamento entre terças (figura 2.8):

Como a distância entre apoios (terças) = 2500 mm, o número de espaçamentosdeverá ser maior ou igual:

12437,6 / 2500 ≥ 4,98, adotar = 5 espaçamento

Portanto, o espaçamento deverá ser igual:

12437,6 / 5 = 2487,52, adotar = 2490 mm, portanto: L1 = 2490 x 5 = 12450 mm

Fi gura 2.8

http://www.gravia.com/






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2.2.3 – Possíveis tipos de treliças

Lembrando que as treliças são estruturas constituídas por barras deeixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhastriangulares. Essas articulações são designadas NÓS e as cargas externas

devem ser sempre aplicadas nestes pontos.

– Triangular (figuras 2.9 e 2.10)

Fi gura 2.9

Fi gura 2.10

– Trapezoidal (figuras 2.11 e 2.12)

Fi gura 2.11

Fi gura 2.12



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– Especial – Banzos paralelos (figura 2.13)

Fi gura 2.13

2.3 – Cargas no telhado

2.3.1 – Cargas permanentes (G )

São constituídas pelos pesos próprios: da estrutura [terças (tabela 1),tesouras (tabela 2), contraventamentos (tabela 3), etc.] + telhas + peçasespeciais (calhas, rufos, lanternim) + instalações penduradas na estrutura +forro + outras

Tabela 2

Peso próprio das terças = g t (kN/m )

Vão da terça (m)

Tipo 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0

Chapa dobrada 0,020 0,023 0,026 0,029 0,033 0,040

Laminada 0,023 0,026 0,030 0,034 0,038 0,046

Tabela 3Peso próprio das tesouras = g T (kN/m )

Vão da tesoura (m)

Tipo 15 20 25 30

Soldada 0,040 0,048 0,056 0,064

Parafusada 0,050 0,058 0,066 0,074

Tabela 4

Peso próprio dos contraventamentos = g ct v (kN/m )

Vão da tesoura (m)

15 20 25 300,010 0,013 0,016 0,020

- O peso próprio das telhas é obtido nos catálogos dos fabricantes- As outras cargas segundo projetos específicos

2.3.2 – Cargas acidentais – ação do vento (w )

As cargas de vento são obtidas conforme determinação da NBR6123/80 (NB 599/87).

As cargas devido à ação de vento podem ser obtidas na tabela 4. Esta tabela considera apenas “Terreno plano ou fracamente acidentado”, ascategorias I I , I I I e I V, o gru po 2 e a classe A. Portanto, ela estabelecevalores de carga de vento necessário para avaliação de pré-

dimensionamento das barras das treliças de coberturas de “2 águas” nosprojetos de arquitetura.



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a) Velocidade básica do vento, V o, varia no Brasil entre 30 a 50 m/s,sendo que o valor estabelecido pela norma NBR 6123/80 para a cidade deGoiânia igual a 33 m/s.

b) A altura “z” considera o nível acima do terreno

c) A rugosidade do terreno é classificada em 5 categorias:

- Categoria I - superfícies lisas: lagos e rios; pântanos semvegetação

- Categoria II - terrenos abertos em nível, obstáculos máximos a1 m de altura: pântanos com vegetação rala; campos de aviação; pradarias echarnecas; fazendas sem sebes ou muros

- Categoria III – terrenos planos, obstáculos com altura médiade 3 m: granjas e casas de campo, com exceção das partes com matos;fazendas com sebes e/ou muros; subúrbios a considerável distância docentro, com casas baixas e esparsas

- Categoria IV – terrenos cobertos por obstáculos numerosos epouco espaçados, com obstáculos de média altura igual a 10 m: zonas deparques e bosques com muitas árvores; subúrbios densamente construídos;áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas

- Categoria V – terrenos cobertos por obstáculos numerosos,obstáculos com altura mínima de 25 m: centro da cidade; complexosindustriais bem desenvolvidos; florestas com árvores altas de copas isoladas

d) A classe das edificações é dividida em:

- Classe A: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou

vertical menor que 20 m- Classe B: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou

vertical da superfície frontal esteja entre 20 e 50 m- Classe C: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou

vertical da superfície frontal maior que 50 m

e) Os grupos são classificados nas seguintes edificações:

- Grupo 1: hospitais, quartéis de bombeiros e de forças desegurança, centrais de comunicação, etc.

- Grupo 2: hotéis e residências- Grupo 3: depósitos, silos, construções rurais, etc.- Grupo 4: telhas, vidros, painéis de vedação, etc- Grupo 5: estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção

Tabela 5

3 6 9 12

II 0,59 0,60 0,54 0,69

III 0,52 0,53 0,58 0,62

IV 0,42 0,43 0,48 0,52

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Pressão dinâmica "q" (kN/m2) - Terreno plano ou fracamente acidentado

CATEGORIA GRUPOClasse A



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2.3.3 – Cargas tecnológicas

São decorrentes da fixação de equipamentos de movimentação de cargasna estrutura de cobertura conforme projeto específico, tais como: guinchosem monovias, correia transportadoras, pontes rolantes, outras.

2.3.4 – Sobrecargas em coberturas(NBR 8800/86)

Nas coberturas comuns, não sujeitas a acúmulos de quaisquer material, ena ausência de especificação em contrário, deve ser prevista umasobrecarga nominal mínima de 0,25 kN/m2, em projeção horizontal.

2.4 – Determinação das cargas nos nós

2.4.1 – Cargas permanentes

São cargas concentradas aplicadas nos nós onde as terças estãoconectadas e sua intensidade é igual à carga permanente total (G)multiplicada por: comprimento de influência (d ) do nó, espaçamento entretesoura ( Le) e co-seno do ângulo de inclinação do telhado ( ). Ver ilustração2.16 e equação 2.2.

Fi gura 2.16

G 2 = L e x d x cos x G (2.2)

2.4.2 – Cargas de vento

Também são cargas concentradas aplicadas nos nós onde as terçasestão conectadas e sua intensidade é igual às cargas de vento (W )multiplicadas por: comprimento de influência (d ) do nó e o espaçamento entre

tesoura ( Le). Ver figura 2.17 e equação 2.3.

Fi gura 2.17

W 2 = L e x d x W (2.3)

2.4.3 – Outras cargas

Serão determinadas de maneira análoga as anteriores.



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2.4.4 – Exemplo

A figura 2.18 ilustra o esquema geral de uma cobertura, sendo que asterças estão posicionadas nos nós do banzo superior da treliça.

Dados:- Telha de aço galvanizada com peso de 0,0495 kN/m2 - Aço MR-250 – Laminado e soldado- Terças em chapa dobrada com vão = 5 m- Localização: no subúrbio de Goiânia- Edificação para indústria- Altura máxima da edificação = 6 m

Fi gura 2.18

Determinação dos carregamentos atuantes:

A – Permanente:

g telha = 0,0495 kN/m2 g terça = 0,033 kN/m2

g tesoura = 0,056 kN/m2 g ctv = 0,016 kN/m2

G = 0,0495 + 0,033 + 0,056 + 0,016 = 0,155 kN/m2

B – Acidental - Vento: (segundo tabela 4)

W = 0,43 kN/m2

Determinação das cargas nos nós da treliça:

A – Permanente:

Usando a formula 2.2 (G i = L e x d x cos x G) :

Nós 1 e 21 (figura 2.19):

G1 = G21 = Le x d x cos x G = 5 x 1,25 x (12300/12450) x 0,155 = 0,96 kN Nós 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 e 19 (figura 2.19):

G3 ... G19 = Le x d x cos x G = 5 x (2.1,25) x (12300/12450) x 0,155 = 1,91 kN



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Fi gura 2.19

B – Acidental - Vento:

Usando a formula 2.3 (W i = L e x d x W) :

Nós 1, 11 (x2) e 21 (figura 2.20):

W 1 = W 11 = W 21 = Le x d x W = 5 x 1,25 x 0,43 = 2,69 kN Nós 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17 e 19 (figura 2.20):

W 3 ... W 9 = W 13 ... W 19 = Le x d x W = 5 x (2.1,25) x 0,43 = 5,38 kN

Fi gura 2.20

2.5 – Cálculo isostático dos esforços nas barras da treliça

Os esforços nas barras que compõem uma treliça, devido àssolicitações dos diversos carregamentos, poderão ser encontradosalgebricamente usando o “Método dos Nós”, que será utilizado nesteexemplo, ou graficamente usando o “Processo de Cremona”.

2.5.1 – Carga permanente

Cálculo das reações de apoio (figura 2.21):

Fi gura 2.21



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A - aplicando as equações da estática (Ver apostila – Análise Estrutural):

F x = 0 R xA = 0

F y = 0 R yA + R yB – (2x0,96) - (9x1,91) = 0 R yA + R yB = 19,11 kN

M A = 0 R yB.24,6 – 1,91x2,46x45 – 0,96x24,6 = 0 R yB = 235,05/24,6 = 9,56 kN

B – substituindo o valor de R yB na segunda equação:

R yA + 9,56 =19,11 R yA = 9,56 kN

Devido à simetria da estrutura e do carregamento a solução considerará somenteum dos lados da tesoura como ilustrado na figura 2.22:

Fi gura 2.22

C – começando por um nó com no máximo duas barras com esforçosdesconhecidos, o nó “A” por exemplo:

- Usando as equações de equilíbrio:

F x = 0 F AB = 0

F y = 0 9,56 + F AM = 0 F AM = -9,56 kN

D – outro nó com no máximo duas barras com esforços internosdesconhecidos, o nó “M” por exemplo:

= 81,097º e = 67,878º



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F x = 0 F MN sen81,097+ F MB sen67,878 = 0 F MN = - F MB sen67,878/sen81,097 (I)

F y = 0 9,56 – 0,96 - F MBcos67,878 + F MN cos81,097 = 0 (II)

Substituindo (I) em (II):

8,6 - F MBcos67,878 – (F MB sen67,878/sen81,097)cos81,097 = 0 F MB = 16,49 kN

Substituindo o valor F MB em (I):

F MN = - 16,49sen67,878/sen81,097 F MN = - 15,46 kN

E – outro nó com no máximo duas barras com esforços internosdesconhecidos, o nó “B” por exemplo:

= 67,878º


F x = 0 F BC – 16,49sen67,878 = 0 F BC = 15,28 kN

F y = 0 F BN + 16,49cos67,878 = 0 F BN = - 6,21 kN

F – outro nó com no máximo duas barras com esforços internosdesconhecidos, o nó “N” por exemplo:

= 81,097º e = 60,614º


F x = 0 F NP sen81,097+ F NC sen60,614 + 15,46sen81,097 = 0

F NP = – (15,46 + 0,882F NC ) F NP = -24,19 kN



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F y = 0 6,21 + 15,46cos81,097 + F NP cos81,097 - F NC cos60,614 = 0

8,603 + 0,155F NP – 0,491F NC = 0 (I)

Substituindo o valor F NP em (I):

F NC = - (15,46 + 0,882F NC )0,155/0,491 + 17,532 F NC = 9,90 kN

G – outro nó com no máximo duas barras com esforços internosdesconhecidos, o nó “C” por exemplo:

= 60,614º


F x = 0 F CD – 9,90sen60,614 - 15,28 = 0 F CD = 23,91 kN

F y = 0 9,90cos60,614 + F CP = 0 F CP = - 4,86 kN

H – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos

desconhecidos, o nó “P” por exemplo:

= 81,097º e r = 54,254º

- Usando as equações de equilíbrio: F x = 0 F PR sen81,097+ F PD sen54,254 + 24,19sen81,097 = 0

F PR = – (24,19 + 0,822F PD ) F PR = -27,59 kN

F y = 0 4,86 – 1,91 + 24,19cos81,097 + F PRcos81,097 – F PDcos54,254 = 0

6,694 + 0,155F PR – 0,584F PD = 0 (I)

Substituindo o valor F PR em (I):

F PD = - (24,19 + 0,822F PD )0,155/0,584 + 11,462 F PD = 4,14 kN



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I – Utilizando o mesmo procedimento anterior os valores dos esforços dasoutras barras podem ser encontrados:

Banzo superior:

F RS = -29,93 kN, F ST = -30,05 kN, F TU = -30,15 kN, F UV = -28,94 kN, F VX = -27,95 kN, F XY = -26,07 kN e F YZ = -24,50 kN;

Banzo inferior:

F DE = 27,23 kN, F EF = 29,57 kN, F FG = 29,69 kN, F GH = 29,78 kN,

F HJ = 28,59 kN, F JK = 27,62 kN e F KL = 25,76 kN;

Montantes:

F RD = -2,42 kN, F SE = -2,05 kN, F TF = -0,13 kN, F UG = -0,11 kN, F VH = 1,61 kN, F XJ = 1,46 kN, F YK = 3,07 kN, F ZL = 5,67 kN;

Diagonais:

F RE = 3,11 kN, F SF = 0,18 kN, F TG = 0,14 kN, F UH = -2,01 kN,

F VJ = -1,76 kN, F XK = -3,60 kN e F YL = -3,23 kN

2.5.2 – Carga acidental - vento

Cálculo das reações de apoio (figura 1.23):

Figura 2.23

A - aplicando as equações da estática (Ver apostila – Análise Estrutural):

F x = 0 R xA = 0

F y = 0 R yA + R yB – (4x2,69xsen81,097) - (8x5,38xsen81,097) = 0

R yA + R yB = 53,152 kN

M A = 0 R yB.24,6 – (5,38x2,46x40 + 2,69x2x24,6)sen81,097 = 0R yB = 653,77/24,6 = - 26,576 kN



23

B – substituindo o valor de R yB na segunda equação:

R yA + 26,576 = 53,152 R yA = - 26,576 kN

Devido à simetria da estrutura e do carregamento a solução considerará somenteum dos lados da tesoura como ilustrado na figura 2.24:

Figura 2.24

C – começando por um nó com no máximo duas barras com esforçosdesconhecidos, o nó “A” por exemplo:


F x = 0 F AB = 0

F y = 0 -26,58 + F AM = 0 F AM = 26,58 kN

D – outro nó com no máximo duas barras com esforços internosdesconhecidos, o nó “M” por exemplo:

= 81,097º e = 67,878º


F x = 0 F MN sen81,097+ F MB sen67,878 – 2,69cos81,087 = 0

F MN = - 0,938F MB + 0,421 (I)



24

F y = 0 2,69sen81,097 – 26,58 - F MBcos67,878 + F MN cos81,097 = 0 (II)

Substituindo (I) em (II):

– 23,922 - F MBcos67,878 + (- 0,938F MB + 0,421)cos81,097 = 0 F MB = -45,72 kN

Substituindo o valor F MB em (I):

F MN = - 0,938(-45,72) + 0,421 F MN = 43,31 kN

E – Utilizando o mesmo procedimento anterior os valores dos esforços dasoutras barras podem ser encontrados:

Banzo superior:

F NP = 67,45 kN, F PR = 77,58 kN, F RS = 84,04 kN, F ST =85,02 kN, F TU = 85,12 kN,

F UV = 82,37 kN, F VX = 79,46 kN, F XY = 74,86 kN e F YZ = 70,29 kN;

Banzo inferior:

F BC =- 42,28 kN, F CD =-66,22 kN, F DE =-75,40 kN, F EF =-81,77 kN, F FG =-81,91 kN,

F GH = -82,00 kN, F HJ = -78,46 kN, F JK = -75,59 kN e F KL = -70,21 kN

Montantes:

F NB = 17,21 kN, F PC = 13,48 kN, F RD = 6,60 kN, F SE = 5,60 kN, F TF = 0,14 kN,

F UG = 0,11 kN, F VH = -4,77 kN, F XJ = -4,33 kN, F YK = -8,91 kN e F ZL = -16,42 kN

Diagonais:

F NC = -27,47 kN, F PD = -11,31 kN, F RE = -8,48 kN, F SF = -0,20 kN, F TG = -0,14 kN,

F UH = 5,94 kN, F VJ = 5,20 kN, F XK = 10,43 kN e F YL = 9,35 kN



25

2.5.3 – Resumo dos esforços atuantes

Barras Perm. (kN) Vento (kN) P. + V. (kN)

B a n z o S u p e r i o

r

F MN - 15,46 43,31 27,85

F NP -24,19 67,45 43,26

F PR -27,59 77,58 49,99

F RS -29,93 84,04 54,11

F ST -30,05 85,02 54,97

F TU -30,15 85,12 54,97

F UV -28,94 82,37 53,43

F VX -27,95 79,46 51,51

F XY -26,07 74,86 48,79

F YZ -24,50 70,29 45,79


B a n z o I n f e r i o r

F AB 0 0 0

F BC 15,28 - 42,28 - 27,00

F CD 23,91 - 66,22 - 43,31 F DE 27,23 - 75,40 - 48,17

F EF 29,57 - 81,77 - 52,20

F FG 29,69 - 81,91 - 52,22

F GH 29,78 - 82,00 -52,22

F HJ 28,59 - 78,46 - 49,87

F JK 27,62 - 75,59 - 47,97

F KL 25,76 - 70,21 - 44,45


M o n t a n t e s

F MA -9,56 26,58 17,02

F NB -6,21 17,21 11,00

F PC -4,86 13,48 8,62 F RD -2,42 6,60 4,18

F SE -2,05 5,60 3,55

F TF -0,13 0,14 0,01

F UG -0,11 0,11 0

F VH 1,61 -4,77 - 3,16

F XJ 1,46 -4,33 - 2,87

F YK 3,07 -8,91 - 5,84

F ZL 5,67 -16,42 - 10,75


D i a g o n a i s

F MB 16,49 -45,72 - 29,23

F NC 9,90 -27,47 - 17,57 F PD 4,14 -11,31 - 7,17

F RE 3,11 -8,48 - 5,37

F SF 0,18 -0,20 - 0,02

F TG 0,14 -0,14 0

F UH -2,01 5,94 3,93

F VJ -1,76 5,20 3,44

F XK -3,60 10,43 6,83

F YL -3,23 9,35 6,12



26

2.6 – Pré-dimensionamento das barras críticas da treliça

2.6.1 – Banzo superior

Solução: Considerando as informações contidas na apostila “Elementosestruturais de aço para projetos de arquitetura: Pré-dimensionamento” pode-

se obter um perfil adequado: (Aço ASTM A-36 e cantoneira de abas iguais):

a O esforço máximo de tração no banzo superior, barra ST = 54,97 kN

f t = P / A ≤ 146 Mpa

A ≥ 54970 / 146 ≥ 376,5 mm2 = 3,77 cm2

2xL 1 1/4” x 1 1/4” # 1/8” (3,00 kg/m) A g = 3,86 cm2 , r x = 0,98 cm, r y = 1,45 cm

É recomendável que as barras apresentem rigidez suficiente para evitar deformações

ou vibrações L x /r x = 125/0,98 = 128 < 300; L y /r y = 250/1,45 = 172 < 300

b O esforço máximo de compressão no banzo superior, barra TU = 30,15 kN

1º Passo: Adotar um perfil (pode ser o anterior):

2xL 1 1/4” x 1 1/4” # 1/8”

2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: L flx = 125 cm, L fly = 250 cm (considerando o BS contraventado a cada terça),

= 125 / 0,98 = 128

= 250 / 1,45 = 172

3º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensãoadmissível de flambagem:

Para = 172 f fl = 35 Mpa

4º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensãoadmissível de flambagem:

f at = 30150 / 386 = 78,1 Mpa > f fl = 63 Mpa O perfil não é suficiente

5º Passo: Adotar outro perfil:

2xL 1 3 /4” x 1 3 /4” # 1/8” (A = 5,42 cm2 , r x = 1,39 cm, r y = 1,96 cm )

6º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez:

L flx = 125 cm, L fly = 250 cm (considerando o BS contraventado a cada terça),

= 125 / 1,39 = 90

= 250 / 1,96 = 128



27




f at = 30150 / 542 = 55,6 Mpa < f fl = 63 Mpa O perfil é suficiente

Perf il adotado para o Banzo superior: 2x L 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8”

2.6.2 – Banzo inferior

Solução: Fazendo as mesmas considerações anteriores:

a O esforço máximo de tração no banzo inferior, barra GH = 29,78 kN

f t = P / A ≤ 146 Mpa

A ≥ 29780 / 146 ≥ 204 mm2 = 2,04 cm2

2x L 7/8” x 7/8” # 1/8” ( 2,08 kg/m) A g = 2,64 cm 2 , r x = 0,66 cm, r y = 1,05 cm

Verificando a esbeltez da peça:

L flx /r x = 123/0,66 = 186 < 300; L fly /r y = 246/1,05 = 234 < 300

b O esforço máximo de compressão no banzo inferior, barra GH = 52,22 kN


2xL 7/8” x 7/8” # 1/8”


L flx = 123 cm, L fly = 246 cm (considerando o BI contraventado na direção da terça),

= 123 / 0,66 = 186

= 246 / 1,05 = 234 > 200 (adorar outro perfil)

3º Passo: Adotar outro perfil:

2xL 2” x 2” # 3/16” (A = 9,16 cm2 , r x = 1,58 cm, r y = 2,32 cm )

4º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: L flx = 123 cm, L fly = 246 cm (considerando o BI contraventado na direção da terça),

= 123 / 1,58 = 77

= 246 / 2,32 = 106



28


Para = 106 f fl = 92Mpa6º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensãoadmissível de flambagem:

f at = 52220 / 916 = 57 Mpa < f fl = 92 Mpa O perfil é suficiente

Perf il adotado para o Banzo inf er ior : 2x L 2” x 2” # 3/16”

2.6.3 – Montante


a O esforço máximo de tração no montante, barra MA = 17,02 kN

f t = P / A ≤ 146 Mpa

A ≥ 17020 / 146 ≥ 116,6 mm2 = 1,17 cm2

2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” (2,08 kg/m) A g = 2,64 cm2 , r x = 0,66 cm, r y = 1,05 cm

Verificando a esbeltez da peça: L/r min = 50/0,66 = 76 < 300

b O esforço máximo de compressão no montante, barra ZL = 10,75 kN


2xL 7/8” x 7/8” # 1/8”


L flx = L fly = 243 cm

= L fl / r min = 243 / 0,66 = 368 > 200 (adotar outro perfil)

3º Passo: Adotando outro perfil:

2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” (A = 5,42 cm2 , r x = 1,39 cm, r y = 1,96 cm )



= L fl / r min = 243 / 1,39 = 175





Perf il adotado para o Montante: 2x L 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8”



29

2.6.4 – Diagonal:


a O esforço máximo de tração na diagonal, barra MB = 16,49 kN

f t = P / A ≤ 146 Mpa

A ≥ 16490 / 146 ≥ 112,9 mm2 = 1,13 cm2

2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” (2,08 kg/m) A g = 2,64 cm2 , r x = 0,66 cm, r y = 1,05 cm

Verificando a esbeltez da peça: L/r min = 133/0,66 = 202 < 300

b O esforço máximo de compressão no montante, barra MB = 29,23 kN


2xL 7/8” x 7/8” # 1/8”



= L fl / r min = 133 / 0,66 = 201 > 200 (adotar outro perfil)

3º Passo: Adotando outro perfil:

2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” (A = 5,42 cm2 , r x = 1,39 cm, r y = 1,96 cm )


= L fl / r min = 133 / 1,39 = 96



6º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão

admissível de flambagem:


Perfi l adotado para a Di agonal: 2x L 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8”

2.6.5 - Resumo dos perfis adotados:

Banzo Superior 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8”

Banzo inferior 2xL 2” x 2” # 3/16”

Montante 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” Diagonal 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8”



30

Observações: 1 – Não existe a possibilidade de utilização de perfis flexíveis (cabos) na composição da treliça, poisos esforços finais, ver item 2.6.3, nas barras são tanto de tração como de compressão;2 – Apesar de ter sido utilizado dupla cantoneira laminada como seção transversal das peças quecompõem a treliça é possível a utilização de outros tipos de perfil, tais como perfil “U” em chapa

dobrada;

3 – Os perfis adotados anteriormente devem ser utilizados somente como referencia para definição do projeto de arquitetura da estrutura;4 – Carga de vento adotada, que foi estabelecida na tabela 4, tem como referencia a cidade deGoiânia.

3 – Exercícios Propostos

1 - Determinar treliças (triangular, trapezoidal e especial) de uma coberturade “2 águas” da edificação da figura 3.1.

Figura 3.1

Dados:- Telha trapezoidal de aço zincado segundo catálogo da figura 3.2;- largura da edificação = 25 m- Altura dos pilares = 5 m (CS 300 x 32 kg/m)

2 - Determinar treliças (triangular, trapezoidal e especial) de uma coberturade “2 águas” da edificação da figura 3.1, considerando que existe uma platibanda suportada por um sistema de vigas conectadas aos pilares, ouseja, é necessário pré-dimensionar calhas nas extremidades das treliças.

3 - Esboçar uma treliça trapezoidal de uma água considerando que sua alturamínima seja de 600 mm.

Esta treliça é suporte de uma cobertura com os seguintes dados:- Telha trapezoidal de alumínio com vão máximo admissível de 2100 mm;- Comprimento da edificação de 60000 mm;

- Largura da edificação de 10000 mm (face externa dos pilares);- Inclinação mínima de 10%;- Pilares de 4000 mm de altura com seção de 300 x 300 de concreto armado;- A treliça deve estar apoiada no eixo da seção transversal do pilar;- Considerar uma calha trapezoidal de dimensões mínimas:(base maior = 500 mm; base menor = 250 mm e altura = 250 mm);- Existe uma treliça horizontal conectada à face externa do pilar que temcomo objetivo obstruir a visão da cobertura da edificação;- Os comprimentos de flambagem das diagonais não devem ser superiores a2000 mm em relação ao plano da treliça.

4 – Em que situações as treliças de cobertura dos tipos trapezoidais,triangulares e especiais seriam mais apropriadas nos projetos arquitetônicos.



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5 – A determinação do sistema estrutural no projeto de arquitetura de umaedificação é feita segundo a linguagem do material estrutural, e cabe aoarquiteto projetar também os elementos arquitetônicos da estrutura. Explique.

6 – Um sistema estrutural utilizando treliças espaciais do tipo “Mero” tem vãolivre de 80 metros. Qual devem ser as medidas dos módulos e altura dastreliças?

7 – Uma cobertura em arco, apoiada em pilares laminados de 6 metros, tem40 metros de vão livre. Qual deveria ser a altura da treliça do arco se adistância entre arcos fosse de 5000 mm e telha ondulada de alumínio comonda de 15 mm e 5 mm de espessura? Faça um esboço deste arco.

8 – Uma cobertura industrial deve ser estruturada utilizado um “Shed”. Façaum esboço da estrutura da edificação, considerando que o vão livre da viga

mestra é de 30 metros e as traves treliçadas, com distâncias de 6 metrosentre elas, em banzos paralelos com vão livre de 8 metros. Usar a telha docatálogo da figura 3.2;

Figura 3.2



4 – Referencias bibliográficas

1 – Rebello, Y.C.P., Estruturas de Aço, Concreto e Madeira – Atendimento da ExpectativaDimensional, Zigurate Editora, São Paulo, 2005.

2 – MacDonald, A.J., Structural Design for Architecture, Reed Educational and Professional

Publishing Ltd., Great Britain, 1997.

3 – Robbin, T., Engineering a New Architecture, Yale University Press, New Haven andLondon, 1996.

4 – McCormac, J.C., Structural Steel Design-LRFD Method, Harper Collins CollegePublishers, New York, 1995.

5 – Thornton, C. H., Exposed Structure in Building Design, McGraw-Hill Inc., U.S.A., 1993.

6 – Queiroz, G., Elementos das Estruturas de aço, Belo Horizonte, 1991.

7 – Pfeil, W., Estruturas de Aço – Dimensionamento prático, Livros Técnicos e CientíficosEditora Ltda., Rio de Janeiro, 1988.

8 – MIC, Manual Brasileiro para Cálculo de Estruturas Metálicas, Rio de Janeiro, 1986

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Estruturas de Cobertura