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Estruturas de Dados 2

Técnicas de Projeto de Algoritmos

Dividir e Conquistar

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Dividir e Conquistar● Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista

● Introdução● Busca “Recursiva”● Ordenação: InsertionSort, MergeSort, HeapSort e

QuickSort● Resumo

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Dividir e Conquistar● Introdução

● “Dividir e Conquistar” é uma técnica de projeto de

algoritmos que consiste em resolver um problema a

partir da solução de “sub-problemas menores” do

mesmo tipo.

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Dividir e Conquistar● Introdução

● “Dividir e Conquistar” é uma técnica de projeto de

algoritmos que consiste em resolver um problema a

partir da solução de “sub-problemas menores” do

mesmo tipo.● Se os sub-problemas obtidos após a “divisão” ainda

são muito grandes para a solução “direta”, aplica-se

novamente a “divisão”, até ter problemas pequenos o

suficiente para terem solução trivial ou direta.

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Dividir e Conquistar● Introdução

● Após o processo de “divisão” em sub-problemas

menores, e sua “conquista”, basta “combinar” os

resultados dos sub-problemas menores, para obter a

solução para o problema como um todo.

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Dividir e Conquistar Passos para “divisão e conquista”:1. Divisão: propor uma forma de dividir o problema

original em sub-problemas iguais, porém menores

(recursivamente);

2. Conquista: ao se obter sub-problemas “pequenos o

suficiente”, resolvê-los diretamente;

3. Combinação: combinar as soluções de forma a obter

a solução ao problema original.

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Dividir e Conquistar● Vantagens

● Solução “direta” do ponto de vista da recursividade;● Elegância;● Usualmente produz algoritmos eficientes

(complexidade logarítmica!!!)● Desvantagem

● Recursão!!!!

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Dividir e Conquistar● Como aplicar?

● Processo “Indutivo” ao projeto de algoritmos(recursão)● Aplicável sempre que for possível obter “sub-

problemas menores independentes entre si”● Procurar uma divisão “igualitária” de um problema em

diversos sub-problemas.......● Deve ser possível (e de preferência simples e rápido)

combinar os resultados dos sub-problemas....

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Dividir e Conquistar● Justificativa

● Esta técnica pode ser empregada em diversas

situações comuns porém importantes:● Somar N números;● Encontrar um elemento em um vetor ordenado;

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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:

● Como somar N números, a1, a

2, ..., a

n?

● Se n é 1, a soma é o próprio a1.

● Se n>1, podemos dividir o problema em dois sub-problemas menores:1.Somar os números de a

1 até a

n/2 ;

2.Somar os número de an/2

até an ;

3.Somar os resultados!!!

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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:

● Como somar N números, a1, a

2, ..., a

n?

● Eficiência????

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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:

● Como somar N números, a1, a

2, ..., a

n?

● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)

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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:

● Como somar N números, a1, a

2, ..., a

n?

● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)● Claramente NÃO!!!!

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Dividir e Conquistar● Exemplo da aplicação da técnica:

● Como somar N números, a1, a

2, ..., a

n?

● Eficiência????● O(n)......(Melhor que uma abordagem “exaustiva”????)● Claramente NÃO!!!!● Portanto, aplicar “Divisão e Conquista” não garante,

por si só, a obtenção de algoritmos eficientes!

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Dividir e Conquistar● OUTRO exemplo: Buscar um elemento!

● Como encontrar o elemento em um vetor de tamanho N: a

1, a

2, ..., a

n?

● Se n é 1, e o elemento a1 é o procurado, achou,

senão não achou!● Se n>1, podemos dividir o problema em dois sub-

problemas menores:1.Encontrar o elemento no vetor de a

1 até a

n/2

2.Encontrar o elemento no vetor de an/2

até an

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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???

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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....

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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....●Basta aplicá-la “adequadamente”......!

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Dividir e Conquistar● Mas esta técnica não consegue gerar resultados melhores que a “Força Bruta”???●Pode sim.....●Basta aplicá-la “adequadamente”......!●Exemplo de uso adequado: “Busca Binária”.

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Dividir e Conquistar●Busca Binária:● Encontrar um determinado elemento (chave) em um vetor

ordenado de tamanho N: a1, a

2, ..., a

n?:

● Verificar se a chave está na posição ax = a

n/2:

● Se estiver, encontrou!● Se não estiver, realizar a busca binária nos vetores:

a1 até a

x-1,se chave < a

x ,

ou em ax+1

até an se chave > a

x.

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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:

3 5 7 8 9 11 12 19

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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:

3 5 7 8 9 11 12 19

3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)Ñ!

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Dividir e Conquistar●Busca Binária: Exemplo:Encontrar o número 12 na lista:

3 5 7 8 9 11 12 19

3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)Ñ!

3 5 7 8 9 11 12 19 (está na posição X=n/2?)S!

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Dividir e Conquistar●Busca Binária:● Tá, mas e daí????

● Bem, a eficiência deste algoritmo é Θ(lg n).... ● Muito mais eficiente que a abordagem “Força Bruta”.....●....pena que o vetor precisa estar ordenado.......●....mas podemos aplicar a técnica de Divisão e Conquista

para ordenar vetores também!!!!!

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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:

● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a

2, ...,

an

● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela

“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a

1 até a

n/2

2.Outro vetor de an/2

até an

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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:

● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a

2, ...,

an

● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela

“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a

1 até a

n/2

2.Outro vetor de an/2

até an

● Esta maneira de ordenar dá origem ao algoritmo recursivo de ordenação “MergeSort”!!!

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Dividir e Conquistar● Ordenação com Divisão e Conquista:

● Problema: Ordenar um vetor de tamanho N: a1, a

2, ...,

an

● Um vetor de um elemento já está ordenado!● Um vetor de tamanho n pode ser ordenado pela

“intercalação” de dois sub-vetores:1.Um vetor de a

1 até a

n/2

2.Outro vetor de an/2

até an

● Esta maneira de ordenar dá origem ao algoritmo recursivo de ordenação “MergeSort”!!!

● Isto é projetar um algoritmo por divisão e conquista!!!

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Dividir e Conquistar● MergeSort:

● Se a função “intercala” for eficiente=O(n)● Detalhe: para conseguir implementar a intercalação de

forma eficiente, é necessário um “vetor auxiliar”, o que

aumenta a memória necessária para o algoritmo...não é

uma ordenação “in-place”,como a Ordenação por

Seleção● T(n) = 2T(n/2) + O(n)● Logo, Mergesort é Θ(n lg n) (Master)

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Dividir e Conquistar● MergeSort(A, e, d): : Pseudo-Código

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Dividir e Conquistar● Intercala(A, e, d): Pseudo-Código

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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento

qualquer de S.

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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento

qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos

elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.

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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento

qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos

elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.

● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.

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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento

qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos

elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.

● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.

● Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado.

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Dividir e Conquistar●Aplicando “Dividir e Conquistar” de outra forma:● Seja S um conjunto de n ≥ 2 inteiros e x um elemento

qualquer de S.● Sejam S1 e S2 os subconjuntos de {S − x} dos

elementos menores ou iguais a x e maiores que x, respectivamente.

● Ambos S1 e S2 possuem menos de n elementos. Por hipótese de indução, sabemos ordenar os conjuntos S1 e S2.

● Podemos obter S ordenado concatenando S1 ordenado, x e S2 ordenado.

● Esta abordagem dá origem ao algoritmo “QuickSort”!!!

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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.

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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.●Conseguimos fazer essa divisão com (n) operações: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado.

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Dividir e Conquistar● Em contraste ao Mergesort, no Quicksort é a operação de divisão que é mais custosa: depois de escolhermos o pivô(x), temos que separar os elementos do vetor maiores que o x dos menores ou iguais a x.●Conseguimos fazer essa divisão com (n) operações: basta varrer o vetor com dois apontadores, um varrendo da direita para a esquerda e outro da esquerda para a direita, em busca de elementos situados na parte errada do vetor, e trocar um par de elementos de lugar quando encontrado.●Após essa etapa basta ordenarmos os dois trechos do vetor recursivamente para obtermos o vetor ordenado, ou seja, a conquista é imediata.

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Dividir e Conquistar● Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Código:

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Dividir e Conquistar● Quicksort(A,e,d) - Pseudo-Código(cont):

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Dividir e Conquistar

Quicksort- Idéia Base1. Selecionar um elemento para ser o pivô2. Rearranjar a lista de modo que todos os elementos nas posições a esquerda do pivô sejam menores ou iguais a ele, e aqueles a direita do pivô sejam maiores que ele.3. Permutar o pivô com o último elemento da primeira sub-lista(menores ou iguais). Agora o pivô está em sua posição final.4. Ordenar as duas sub-listas.

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Dividir e Conquistar●QuickSort – Exemplo

5 3 1 9 8 2 4 7partition

2 3 1 4 5 8 9 7 2 3 1 4

partition 1 2 3 4

partition 13 4 partition 4

8 9 7partition 7 8 9

7 9

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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo

Quicksort executa no pior caso ?

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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo

Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),

mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.

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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo

Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),

mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.

● No pior caso, cada divisão sucessiva do Quicksort separa um único elemento dos demais, recaindo na recorrência:

T(n) =

)

0, se n = 1T(n) = T(n − 1) + n, se n > 1,

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Dividir e Conquistar● Quicksort – Análise da Complexidade ● Quantas comparações e quantas trocas o algoritmo

Quicksort executa no pior caso ?● Certamente a operação de divisão tem complexidade (n),

mas o tamanho dos dois subproblemas depende do pivô escolhido.

● No pior caso, cada divisão sucessiva do Quicksort separa um único elemento dos demais, recaindo na recorrência:

T(n) =

)

0, se n = 1T(n) = T(n − 1) + n, se n > 1,

● Portanto, (n2) comparações e trocas são executadas no pior caso!!!!!!

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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????

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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos

eficiente que o Mergesort no pior caso.

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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos

eficiente que o Mergesort no pior caso.● Entretanto, no caso médio, o Quicksort efetua (n log n)

comparações e trocas.

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Dividir e Conquistar● Mas o Quicksort não era o algoritmo de ordenação mais eficiente????● Então, o algoritmo Quicksort é assintoticamente menos

eficiente que o Mergesort no pior caso.● Entretanto, no caso médio, o Quicksort efetua (n log n)

comparações e trocas.● Assim, na prática, o Quicksort é bastante eficiente, com

uma vantagem adicional em relação ao Mergesort: é “in place”, isto é, não utiliza um vetor auxiliar.

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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....

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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....●Desta forma, supondo uma divisão do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separação entre os maiores e os menores que o pivô sendo O(n)....

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Dividir e Conquistar● Considerando que o pior caso não ocorre com freqüência, pois usualmente, pegando um “pivô” aleatório, é “muito difícil” escolher sempre um pivô que divida o vetor de tamanho n em dois vetores, um dos menores e outro dos maiores que o pivô, com tamanhos (n-1) e 1....●Desta forma, supondo uma divisão do vetor de tamanho n em dois sub-vetores (n/2), e considerando o tempo de separação entre os maiores e os menores que o pivô sendo O(n)....●O tempo médio T(n)=2T(n/2)+O(n) = O(n lg n)

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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?

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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????

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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????● Este algoritmo chama-se “HeapSort”.

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Dividir e Conquistar● Ordenação: Mas não há um algoritmo que seja eficiente em todos os casos, e “in place” ao mesmo tempo?● Vocês tinham que perguntar?????● Este algoritmo chama-se “HeapSort”.● E é baseado numa estrutura de dados “inteligente” denominada “Heap”..... implementa uma “fila de prioridades”....● Podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● (Mas o Quicksort ainda é mais rápido!!!!)

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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!

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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● Mas o que é um Heap???

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Dividir e Conquistar● Ordenação por Heap(HeapSort):● Tarefa: Implementar a estrutura de dados “Heap” para podermos utilizá-la para fazer uma ordenação “in-place” e Θ(n lg n)!!!!● Mas o que é um Heap???● É uma “simulação” de uma árvore binária completa utilizando um vetor!!!!

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Dividir e Conquistar● Heap:● Vetor que apresenta as seguintes características:● Vetor A de tamanho N (lenght(A) = nº de nodos da árvore)● A[1] = raiz da árvore binária (primeira posição do vetor)● Para calcular a posição de qualquer nodo, utilizamos as funções PARENT, LEFT E RIGHT:PARENT(i)

return i/2 ⌊ ⌋LEFT(i)

return 2i RIGHT(i)

return 2i + 1

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Dividir e Conquistar● Heap: (Cormen)

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Dividir e Conquistar● Heap: ● Característica que distingue um Heap de uma árvore binária :● A[PARENT(i)] ≥ A[i] (Max-Heap)

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Dividir e Conquistar● Como utilizar um Heap para Ordenar????● O Heap permite que o elemento máximo do conjunto seja

determinado e corretamente posicionado no vetor em tempo constante, trocando o primeiro elemento do heap com o último.

● O trecho restante do vetor (do índice 1 ao n −1), que pode ter deixado de ter a estrutura de heap, volte a tê-la com número de trocas de elementos proporcional à altura da árvore.

● O algoritmo Heapsort consiste então da construção de um heap com os elementos a serem ordenados, seguida de sucessivas trocas do primeiro com o último elemento e rearranjos do heap.

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Dividir e Conquistar● HeapSort(A, n) - Pseudo-Código:

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Dividir e Conquistar● AjustaHeap(A, i, n) - Pseudo-Código:

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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):

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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):

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Dividir e Conquistar●Exemplo do Funcionamento de AjustaHeap(A,2,10):

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Dividir e Conquistar● Complexidade do HeapSort:● Quantas comparações e quantas trocas são

executadas no pior caso na etapa de ordenação do algoritmo Heapsort?

● No pior caso, a função AjustaHeap efetua (h) comparações e trocas, onde h é a altura do heap que contém os elementos que resta ordenar.

● Como o heap representa uma árvore binária completa, então h ∈ Θ(log i ), onde i é o número de elementos do heap.

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Dividir e Conquistar● Complexidade do HeapSort:● Logo, a complexidade da etapa de ordenação do

Heapsort é:

● Portanto, no pior caso, a etapa de ordenação efetua O(n log n) comparações e trocas!

● Mas e a construção do Heap????

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap()\

●Se o trecho de 1 a i do vetor tem estrutura de Heap, é fácil adicionar a folha i + 1 ao Heap e em seguida rearranjá-lo,garantindo que o trecho de 1 a i + 1 tem estrutura de Heap.● Esta é a abordagem top-down para construção do Heap.

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – Pseudo-Código (Top-Down):

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – (Top-Down):● Quantas comparações e quantas trocas são

executadas no pior caso na construção do heap pela abordagem top-down ?

● O rearranjo do heap na iteração i efetua (h) comparações e trocas no pior caso, onde h é a altura da árvore representada pelo trecho do Heap de 1 a i . Logo, h ∈ Θ(log i ).

● Portanto, o número de comparações e trocas efetuadas construção do Heap por esta abordagem é:

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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.

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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.●(Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparações e trocas......)

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Dividir e Conquistar● Então, o algoritmo Heapsort efetua ao todo Θ (n log n) comparações e trocas no pior caso.●(Bem....sendo mais preciso, executa 2 n log n comparações e trocas......)●Mas existe maneira mais eficiente de construir um Heap?

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Dividir e Conquistar● Suponha que o trecho de i a n do vetor é tal que, para

todo j , i ≤ j ≤ n, a subárvore de raiz j representada por esse trecho do vetor tem estrutura de heap.

● Note que, em particular, o trecho de ⌊n/2⌋ + 1 a n do vetor● satisfaz a propriedade, pois inclui apenas folhas da árvore● binária de n elementos.● Podemos então executar AjustaHeap(A, i − 1, n),

garantindo assim que o trecho de i − 1 a n satisfaz a propriedade.

● Esta é a abordagem bottom-up para construção do Heap.

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, n) – Pseudo-Código Alternativo...:

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap(A, 6) – Exemplo: A=[2,9,7,6,5,8]

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Dividir e Conquistar● ConstroiHeap – Complexidade:● Quantas comparações e quantas trocas são executadas

no pior caso na construção do Heap pela abordagem bottom-up ?

● O(n lo g n)!● Mas é possível provar matematicamente que este pior

caso é O(n).... utilizando o conhecimento sobre a “altura” de cada sub-árvore aonde se executa o AjustaHeap().

● Ainda assim, o algoritmo HeapSort() continua sendo Θ(n lo g n)

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Dividir e Conquistar● Parte Prática:● Implementar os algoritmos “MergeSort”, “QuickSort” e “HeapSort” apresentados, rodar uma “batelada” de testes para medir os tempos de execução e a quantidade de comparações executada por cada algoritmo, comparando os resultados!

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Dividir e Conquistar - Conclusão:● Estes slides são baseados no material

disponibilizado pelos profs. Cid Carvalho de Souza e Cândida Nunes da Silva, da UNICAMP.

● Qualquer incorretude é, entretanto, de inteira responsabilidade do prof. João Alberto Fabro, da UTFPR.

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Dividir e Conquistar - Prós e Contras:

● Prós:●

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Dividir e Conquistar - Prós e Contras:

● Contras:●