Estruturas II Formula Rio Vigas Madeira Serrada

MATERIAIS TÉCNICAS E ESTRUTURAS II FORMULÁRIO PARA CÁLCULO DE VIGAS DE MADEIRA SERRADA

1

COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

As combinações últimas normais são dadas pela expressão:

onde Gi,k representa os valores característicos das ações permanentes, Q1,k o valor característico da ação variável considerada como ação principal para a combinação considerada e ψ0jQj,k os valores reduzidos de combinação das demais ações variáveis, determinados de acordo com a Tabela I.2.

COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇ ÃO

As combinações de longa duração são consideradas no controle usual das deformações das estruturas. Nestas combinações, todas as ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração.

Estas combinações são expressas por

onde os coeficientes ψ2j estão especificados na Tabela I.2.

As combinações de média duração são consideradas quando o controle das deformações é particularmente importante, como no caso de existirem materiais frágeis não estruturais ligados a estrutura. Nestas condições, a ação variável principal Q1,k atua com o seu valor correspondente à classe de média duração e as demais ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração.


lj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

22,11

1,, ψψ ∑∑

==++=

onde os coeficientes ψ1 e ψ2 são dados na Tabela I.2.

As combinações de curta duração são consideradas quando for particularmente importante impedir defeitos decorrentes das deformações da estrutura. Nestas combinações, a variável principal Q1 participa com seu valor característico e as demais ações com seus valores correspondentes a média duração.


kj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

21,1

1,, ∑∑

==Ψ++=

Tabela I.1 – Classes de carregamento

Ação variável principal da combinação Classes de

carregamento Duração acumulada Ordem de grandeza da duração

acumulada da ação característica

Permanente Permanente Vida útil da construção Longa duração Longa duração Mais de seis meses Média duração Média duração Uma semana a seis meses Curta duração Curta duração Menos de uma semana Duração instantânea Duração instantânea Muito curta

k,j

n

1jj2

m

1ik,iuti,d QψGF ∑∑

==

+=

++= ∑∑

==

n

2jk,jj0k1Q

m

1ik,iGid QψQγGγF


2

Tabela I.2 – Fatores de combinação e de utilização

Ações em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2

Variações uniformes de temperatura em relação à média local 0,6 0,5 0,3 Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0,0

Ações acidentais dos edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem elevadas concentrações de pessoas

0,4 0,3 0,2

Locais onde há predominância de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas

0,7 0,6 0,4

Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

VALORES DE CÁLCULO DAS AÇÕES (F d)

Tabela I.5 – Ações permanentes indiretas Para efeitos

Combinações desfavoráveis favoráveis

Normais γg = 1,2 γg = 0,0 Especiais ou de

construção γg = 1,2 γg = 0,0

Excepcionais γg = 0,0 γg = 0,0

VALORES DE CÁLCULO DA RESISTÊNCIA Os valores de cálculo da resistência da madeira são dados pela expressão:

w

wkwd

fkf

γmod=

onde kmod é o coeficiente de modificação e γw corresponde aos coeficientes de ponderação.

COEFICIENTES DE MODIFICAÇÃO O coeficiente de modificação kmod é formado pelo produto: kmod = kmod,1⋅ kmod,2⋅ kmod,3

Tabela III.3 – Valores de kmod 1

Tipos de madeira Classes de

carregamento

Ordem de grandeza prevista da duração acumulada da ação

variável principal da combinação

Madeira serrada, MLC e madeira

compensada

Madeira recomposta

Permanente Vida útil da construção 0,60 0,30 Longa duração Mais de seis meses 0,70 0,45 Média duração Uma semana a seis messes 0,80 0,65 Curta duração Menos de uma semana 0,90 0,90 Instantânea Muito curta 1,10 1,10

Tabela I.4 – Ações permanentes de grande variabilidade

Para efeitos Combinações

desfavoráveis favoráveis Normais γg = 1,4 γg = 0,9

Especiais ou de construção

γg = 1,3 γg = 0,9

Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9

Tabela I.3 – Ações permanentes de pequena variabilidade

Para efeitos Combinações

desfavoráveis favoráveis Normais γg =1,3 γg = 1,0


γg = 1,2 γg = 1,0

Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0 Tabela I.6 – Ações variáveis

Combinações Ações variáveis

em geral Efeitos de

temperatura Normais γQ = 1,4 γQ = 1,2


γQ = 1,2 γQ = 1,0

Excepcionais γQ = 1,0 γQ = 0,0


3


Tipos de madeira Classes

de umidade

Umidade relativa do ambiente Umidade de equilíbrio da

madeira

Madeira serrada, MLC e madeira

compensada

Madeira recomposta

1 Uamb ≤ 65% 12% 1,0 1,0 2 65% ≤ Uamb ≤ 75% 15% 1,0 1,0 3 75% ≤ Uamb ≤ 85% 18% 0,8 0,9 4 Uamb ≥ 85% ( longos períodos) ≥ 25% 0,8 0,9 Observação: kmod,2= 0,65 para madeira submersa.


1ª categoria 1,0 Madeira dicotiledônea serrada 2ª categoria 0,8

Madeira conífera serrada 1ª e 2ª categorias 0,8 peças retas 0,8 ou 1,0

Madeira laminada colada peças curvas

2

000.21

−r

t

Onde: “t” é a espessura das lâminas e “r” é o menor raio de curvatura das lâminas

COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO Os coeficientes de ponderação γw para estados limites últimos têm seus valores básicos especificados abaixo:

a) estados limites últimos decorrentes de tensões de compressão paralela às fibras: γwc=1,4 b) estados limites últimos decorrentes de tensões de tração paralela às fibras: γwt=1,8 c) estados limites últimos decorrentes de tensões de cisalhamento paralelo às fibras: γwv=1,8

AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA POR CLASSES

Tabela III.1 – Coníferas (padrão de referência 12%) Classes fc0,k

MPa fV0,k MPa

Ec0,m MPa

ρbas,m kg/m3

ρaparente kg/m3

C20 20 4 3.500 400 500 C25 25 5 8.500 450 550 C30 30 6 14.500 500 600

Tabela III.2 – Dicotiledôneas (padrão de referência U=12%)

Classes fc0,k MPa

fV0,k MPa

Ec0,m MPa

ρbas,m kg/m3

ρaparente kg/m3

C20 20 4 9.500 500 650 C30 30 5 14.500 650 800 C40 40 6 19.500 750 950 C60 60 8 24.500 800 1.000

Observações: ρbas,m é a densidade básica da madeira, por convenção, é definida pelo quociente da massa seca pelo volume saturado do corpo de prova; ρaparente é a massa específica convencional, definida pela razão entre a massa e o volume de corpos de prova com o teor de umidade U=12%. Quando se trabalha com classes de madeiras, admite-se que:

f t0,d = fc0,d


4

Tabela III.7 – Valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de florestamento (U = 12%)

Nome vulgar Nome botânico ρap(12%) kg/m3

fc0 MPa

ft0 MPa

ft90 MPa

fv MPa

Ec0 MPa

Angelim araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876 Angelim ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 Angelim pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912

Angelim p. verdadeiro Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 Canafístula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613

Cedro amargo Cedrella odorata 604 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 Cedro doce Cedrella spp 600 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002

Eucalipto alba Eucaliptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 Eucalipto citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 Eucalipto grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813

Eucalipto paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 Eucalipto punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 Eucalipto saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 Eucalipto umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577

Eucalipto urophyla Eucalyptus urophyla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011

Jatobá Hymenaea spp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 Louro preto Ocotea spp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185

Maçaranduba Manikara spp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 Sucupira Diplotropis spp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724

Tabela III.8 – Valores médios de madeiras coníferas nativas e de florestamento (U = 12%)

Nome vulgar Nome botânico ρap(12%) kg/m3

fc0 MPa

ft0 MPa

ft90 MPa

fv MPa

Ec0

MPa Pinho do Paraná Auracaria angustifolia 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225

Pinus caribea P.caribea var.caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431 Pinus bahamensis P.carib.var.bahamensis 537 32,6 52,7 2,4 6,8 7110 Pinus hondurensis P.caribea v.hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868

Pinus elliottii Pinus elliottii v. elliottii 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889 Pinus oocarpa Pinus oocarpa shiede 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904 Pinus taeda Pinus taeda L. 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304

VIGAS DE MADEIRA

VÃO TEÓRICO

h

oLL ′

hL o +

apoiosdoissobreViga valormenorL =cm10L

hL

L

o

o

++

′

contínuaVigah

oL oL←→h

21

L LL ′=


5

SEÇÃO TRANSVERSAL MÍNIMA DE VIGAS DE MADEIRA SERRADA

Tabela IV 1– Dimensões mínimas das seções retangulares

Espessura

mínima (cm) Área

mínima (cm2) Seção

mínima (cm×cm) Peças principais – seções simples 5 50 5×10 Peças componentes de seções múltiplas 2,5 35 2,5×14 Peças secundárias – seções simples 2,5 18 2,5×7,5 Peças componentes de seções múltiplas 1,8 18 1,8×10

VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

TENSÕES NORMAIS DEVIDO AO MOMENTO FLETOR De acordo com a NBR7190/1997, nas peças submetidas à flexão simples reta, isto é, submetidas a momento fletor cujo plano de ação contém um dos eixos principais de inércia da seção trans-versal resistente, a segurança fica garantida em relação ao estado limite último referente às tensões normais pelo cumprimento simultâneo das condições: Onde: ♣ σc,d e σt,d são as tensões máximas de cálculo atuantes, respectivamente, nas borda mais comprimida e na borda mais

tracionada da seção transversal considerada; ♣ Md é o momento fletor de cálculo, obtido a partir da combinação das ações em estados limites últimos ; ♣ fcd e ftd são as resistências à compressão e à tração paralelas às fibras, respectivamente. ♣ Jz é o momento de inércia da seção transversal resistente em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao

plano de ação do momento fletor atuante (O eixo z coincide com a linha neutra); No caso particular de seção retangular, de base b e altura h, a aplicação das fórmulas acima conduz às seguintes expressões:

TENSÕES TANGENCIAIS DEVIDO À FORÇA CORTANTE

Nas peças submetidas à flexão com força cortante, a condição de segurança em relação ás tensões tangenciais é dada por:

onde τd é o valor de cálculo da máxima tensão de cisalhamento no ponto mais solicitado da viga e fV0,d é o valor de cálculo da resistência ao cisalhamento paralelo às fibras. Em peças de seção transversal retangular, de largura b e altura h, tem-se para o extremo de τd numa seção de força cortante Vd (equação estabelecida com base nas hipóteses de Jourawski):

2hfJ

MoufJ

2h

Md,cz

dd,cz

d

d,c

⋅≤≤

⋅=σ

2

hfJ

MoufJ

2

hM

d,tJdd,t

z

d

d,t

⋅≤≤=σ

zM

comprimidaBorda↓

tracionadaBorda↑

tσ

cσ

ty

h

b

cyCz z

wdwddtctcz fhb

fWMhb

WWh

yyhb

I66212

223 ⋅=⋅≤⋅====⋅=

dVd f ,0≤τ

bh

Vdd ⋅=

2

3τ


6

Havendo entalhes no bordo tracionado da viga, de modo que a altura seja reduzida de h para h', a tensão cisalhante na seção mais fraca deve ser ampliada pelo fator h/h', obtendo-se no caso de seção retangular:

A expressão é válida para h'> 0,75 h. Quando h'≤ 0,75 h, a fim de neutralizar a tendência de fendilhamento da viga, recomenda-se o emprego de parafusos verticais dimensionados à tração axial para a totalidade da força cortante a ser transmitida ou o emprego de mísulas de comprimento não menor de três vezes a altura do entalhe. Entretanto, o limite absoluto h' ≥ 0,5 h deve ser sempre respeitado em todas as situações.

VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO

A determinação das deformações nas vigas deve ser feita através do módulo de elasticidade efetivo paralelo às fibras Ec0,ef , determinado pela expressão:

Nas construções correntes as verificações de segurança em relação aos estados limites de utilização são feitas admitindo-se apenas os carregamentos usuais, correspondentes às combinações de longa duração, expressas por:

A flecha efetiva uef , calculada pela soma das parcelas devidas à carga permanente uG e a à carga acidental uQ , não deve superar 1/200 dos vãos entre os apoios, nem 1/100 do comprimento dos balanços.

Observação – As flechas devidas às ações permanentes podem ser reduzidas de uma contraflecha u0 , desde que seja satisfeita a condição u0 ≤ 2/3 uG.

As flechas totais, incluindo o efeito de fluência, devido às ações consideradas, não devem superar 1/350 dos vãos, nem 1/175 do comprimento dos balanços. As flechas devidas apenas às ações variáveis da combinação considerada não devem superar 1/300 dos vãos ou 1/150 do comprimento dos balanços, nem o limite de 15mm.

'hh'h 'hh

α

31≤αtg

''2

3

h

h

bh

Vdd ⋅⋅=τ

mcefc EkkkE ,03mod2mod1mod,0 ⋅⋅⋅=

k,Qj

n

1jj2

m

1ik,Giuti,d FFF ∑ψ+∑=

==

Guu 32

0 ≤

L

Qu

Gu

limuuef ≤


7

Flechas limite Combinação das ações L Flecha limite

Vão entre apoios 200

Lfff QGlim =+=

Comprimento do balanço 100

Lfff QGlim =+=

Construções correntes kj

n

jj

m

ikiutid QGF ,

12

1,, ∑∑

==+= ψ

Contraflecha: Go f32f ≤


Lfff QGlim =+=

Construções com materiais frágeis não estruturais

ligados á estrutura

j

n

jjk

m

ikiutid QQGF

22,11

1,, ∑∑

==++= ψψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=


Lfff QGlim =+=

Quando for importante

impedir defeitos decorrentes de deformações da

estrutura

kj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

21,1

1,, ∑∑

==++= ψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=

q

F

F F

q

F

F

a aL

aL

EI

qL

384

5 4( )323 224

xLxLEI

qx +−8

2qL

4

FL ( )22 4348

xLEI

Fx −EI

FL

48

3

( ) axxaaLEI

Fx ≤≤−− 0336

22a

( )22 4324

aLEI

Fa −( )

233

622 L

xaaxLxEI

Fa ≤≤−− a

Fa

teCEIViga =⇒ deflexãoy = flechau =

2

2qL− ( )222

4624

xLxLEI

qx +−EI

qL

8

4

Fa−

FL− ( )xlEI

Fx −36

2

EI

FL

3

3

( ) axxaEI

Fx ≤≤− 036

2

a

( ) LxaaxEI

Fa ≤≤− a36

2

( )aLEI

Fa −36

2

flechaseDeflexões3IVTabela −−−−

máxM


8

ESTABILIDADE LATERAL DAS VIGAS

As vigas esbeltas apresentam o fenômeno da flambagem lateral, que é uma forma de instabilidade envolvendo flexão e torção. A flambagem lateral pode ser evitada por amarrações que impeçam a torção da viga. Para vigas de seção

retangular, existem estudos teóricos comprovados experimentalmente.

Recomendações da ABNT A NBR7190, recomenda que as vigas fletidas, além de satisfazerem as condições de segurança quanto à limitação de tensões e deformações, devem ter sua estabilidade lateral verificada por teoria cuja validade tenha sido verificada experimentalmente.

Entretanto, essa verificação de segurança em relação ao estado limite último de instabilidade lateral é dispensada

quando forem satisfeitas as seguintes condições:

♣ Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções extremas em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Existirem um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L da viga, afastados entre si a uma distância não maior que L1, que também impeçam a rotação dessas seções transversais em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Para as vigas de seção transversal retangular, de largura b e altura h medida no plano de atuação do carregamento:

d,0cM

ef,0c

f

E

b

a

β≤

Onde:

Ec0,ef é o módulo de elasticidade efetivo; fco,d é a resistência de cálculo à compressão paralela às fibras; a é a distância máxima entre contraventamentos.ou travamentos intermediários.

A tabela abaixo dá os valores de βM para carregamento normal

h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 βM 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8

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