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ESTUDIO DIDCTICO COMPARATIVO DEL USO DE INSTRUMENTOS EN LA
ENSEANZA DE LA CONSTRUCCIN DE POLIEDROS: EL CASO DE LA
REGLA Y EL COMPS Y EL DISEO ASISTIDO POR COMPUTADOR.
HUGO GARCA CALDERN
UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA
MAESTRA EN EDUCACIN NFASIS EN EDUCACIN MATEMTICA
SANTIAGO DE CALI 2008
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ESTUDIO DIDCTICO COMPARATIVO DEL USO DE INSTRUMENTOS EN LA
ENSEANZA DE LA CONSTRUCCIN DE POLIEDROS: EL CASO DE LA
REGLA Y EL COMPS Y EL DISEO ASISTIDO POR COMPUTADOR.
HUGO GARCA CALDERN
TESIS PARA OPTAR POR EL TTULO DE MAGSTER EN EDUCACIN
DIRECTOR DE TESIS: JORGE ARCE CHAVES
CODIRECTOR DE TESIS: CSAR AUGUSTO DELGADO GARCA
UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIN Y PEDAGOGA
MAESTRA EN EDUCACIN NFASIS EN EDUCACIN MATEMTICA
SANTIAGO DE CALI 2008
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CONTENIDO
Pg
INTRODUCCIN 5
1. ESTADO DEL ARTE 9
1.1 EL USO DEL COMPUTADOR Y LOS PROGRAMAS GRAFICADORES 10
1.2 DIFICULTADES HALLADAS AL TRATAR CONCEPTOS GEOMTRICOS 19
1.3 PROPUESTAS PARA LA ENSEANZA DE CONCEPTOS GEOMTRICOS 23
1.4 FENMENOS DIDCTICOS DE LA DEMOSTRACIN 26
1.5 SABERES INCORPORADOS AL ESTUDIO DIDCTICO 35
2 FUNDAMENTOS CONCEPTUALES Y TERICOS 42
2.1 FUNDAMENTOS CONCEPTUALES 42
2.1.1 Significados de algunos conceptos geomtricos. 44
2.1.2 Significados de algunos conceptos afines. 49
2.1.3 Significados de algunos conceptos de la didctica. 52
2.1.4 Funciones de los instrumentos. 58
2.2 FUNDAMENTOS TERICOS 63
2.2.1 Caracterizacin didctica 68
3 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN Y LA METODOLOGA 78
3.1 EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN 78
3.2 LA METODOLOGA DE INVESTIGACIN 83
3.2.1 Fase uno, anlisis preliminares y a-priori 83
3.2.2 Fase dos, concepcin de las situaciones didcticas y
adidcticas. 84
3.2.3 Fase tres, puesta en marcha. 87
3.2.4 Fase cuatro, anlisis a posteriori 90
4 ANLISIS PRELIMINARES Y A-PRIORI 91
4.1 ANLISIS PRELIMINARES 91
4.1.1 Anlisis de propuestas curriculares y de textos escolares.
92
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4.1.2 Concepciones sobre cmo construir poliedros. 135
4.1.3 Concepciones y dificultades de los estudiantes. 161
4.1.4 Resultados preliminares. 171
4.2 ANLISIS A-PRIORI 173
4.2.1 Fijacin de criterios para estudiar la problemtica. 176
4.2.2 Anlisis epistemolgico, cognitivo y didctico. 180
5 DISEO DE LAS SITUACIONES DIDCTICAS Y ADIDCTICAS 190
5.1 FUNDAMENTOS QUE SE INCORPORARON 191
5.2 SITUACIN PROBLEMA QUE SE FORMUL 197
5.3 CMO AFRONTAR LA SITUACIN 201
6 ANLISIS APOSTERIORI 226
6.1 ANLISIS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS ESTUDIANTES 226
6.1.1 Resultados de la experiencia piloto. 227
6.1.2 Resultados de la experiencia definitiva. 232
6.1.3 Resultados de la identificacin de ventajas y limitaciones.
239
6.2 ANLISIS DE LO PREVISTO Y LO SUCEDIDO 244
6.2.1 Confrontacin de los dos anlisis. 248
6.2.2 Aportes del estudio didctico. 255
7 PROYECCIONES 260
CONCLUSIONES 264 BIBLIOGRAFA 275 REFERENCIAS DOCUMENTALES
281
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ANEXOS
Pg
Anexo A: Transcripcin de unas definiciones de conceptos
geomtricos 288
Anexo B: Trascripcin de respuestas de la prueba piloto 290
Anexo C: Trascripcin de respuestas de la prueba definitiva
296
Anexo D: Trascripcin de respuestas del sondeo 304
Anexo E: Trascripcin de respuestas del sondeo NO 1 306
Anexo F: Trascripcin de respuestas del sondeo NO 2 311
Anexo G: Gua de trabajo para construir poliedros 314
Anexo H: Planteamiento de enunciados de las situaciones 316
Anexo I: Registros que no se analizaron 318
Anexo J: Registros de la construccin de un prisma NO 1 327
Anexo K: Registros de la construccin de un prisma NO 2 331
Anexo L: Registros de la construccin de un prisma NO 3 335
Anexo LL: Registros de la construccin de un prisma NO 4 339
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DIAGRAMAS, TABLAS Y FIGURAS
Pg
Diagrama de contenidos del Bloque Modular de Dibujo Tcnico del
SENA 109
Diagrama de la Unidad 7: Geometra 123
Diagrama de la estructura temtica de la cartilla: Construcciones
geomtricas 4
127
Diagrama de la estructura temtica de la cartilla: Proyecciones
didricas y
ortogonales 6 129
Diagrama de la unidad No 3: Proyeccin didrica o multiplanar
132
Diagrama de la estructura temtica del texto Dibujo tcnico 10
135
Figura 4.1.2.1. Porcentaje de profesores por rea 151
Tabla 4.2.1.1. Total de respuestas por cuestionario 152
Tabla 4.1.2.2. Distribucin de frecuencias por tipos de ventajas
153
Tabla 4.1.2.3. Distribucin de frecuencias por tipos de
limitaciones 156
TABLA 4.1.2.4. Distribucin de frecuencias en qu consiste
construir una figura
geomtrica 159
Tabla 4.1.2.5. Distribucin de frecuencias de aspectos que
intervienen para
construir un poliedro con regla y comps y el CAD 160
Tabla 4.1.2.6. Distribucin de frecuencia de distinciones entre
dibujar y construir
162
-
Tabla 4.1.2.7. Distribucin de frecuencias por herramientas
usadas para construir
una figura geomtrica. 164
Tabla 4.1.2.8. Distribucin de frecuencias por inconvenientes que
presentan las
herramientas. 165
Tabla 4.1.2.9. Distribucin de frecuencias por habilidades para
construir una figura
geomtrica. 166
Tabla 5.3.1. Prismas rectos 218
Dibujo de isomtricos de prismas rectos con CAD 219
Tabla 5.3.2. Conceptos geomtricos y habilidades 221
Construccin de un cuadrado con regla y el comps 226
Construccin de un rectngulo con regla y el comps 227
Construccin de un cuadrado con el programa CAD 228
Construccin de un rectngulo con el programa CAD 230
Construccin del prisma recto con regla y el comps 232
Construccin de un prisma recto con el programa CAD 233
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RESUMEN
En este trabajo se indagaron diversas investigaciones y se
analizaron diseos
curriculares, textos escolares, cartillas, encuestas y sondeos,
orientados a la
concepcin de situaciones, las que se usaron en las
experimentaciones en donde
se observaron las acciones del estudiante y se obtuvieron sus
registros, y luego se
precisaron cules fueron las ventajas y limitaciones didcticas
que se presentaron.
Tuvo como objetivo central, indagar en los registros y en las
interacciones de los
estudiantes, las ventajas y limitaciones didcticas que se
produjeron con el uso de
la regla y el comps, y el programa de diseo asistido por
computador y, como
objetivos especficos, utilizar situaciones didcticas y
adidcticas en la enseanza
de la construccin geomtrica de poliedros para la identificacin
de las ventajas y
limitaciones didcticas, teniendo como referente la teora de las
situaciones
didcticas de Brousseau, y, determinar las ventajas y
limitaciones didcticas que
se dieron con el uso de una herramienta y la otra.
El proceso se llev a cabo basado en la metodologa de la
ingeniera didctica; en
el que se hicieron los anlisis preliminares y a priori, el diseo
de la
instrumentacin que se puso a prueba con profesores y
estudiantes, la concepcin
de las situaciones didcticas y adidcticas y los anlisis a
posteriori.
Los resultados fueron: hallazgo de los estudios que
proporcionaron los
conocimientos y los conceptos geomtricos para el diseo de los
instrumentos,
verificacin de las deficiencias que tuvo el estudiante en el
campo de la
construccin de poliedros y las relaciones que se dieron entre
los
comportamientos y el uso de las herramientas con las
producciones,
determinacin de las ventajas didcticas para el uso de la
instrumentacin y las
-
limitaciones en el cumplimiento de los objetivos de aprendizaje,
y delimitacin del
ambiente ideal para la enseanza.
Palabras clave: ventajas y limitaciones didcticas, regla, comps,
programa CAD,
construccin geomtrica, poliedro, situacin didctica y adidctica,
e, ingeniera
didctica.
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INTRODUCCIN
Este informe de investigacin contiene los resmenes de las
diversas fuentes de
informacin que se consultaron y analizaron afines y relacionadas
a la
construccin geomtrica de poliedros con regla y el comps y el
programa de
diseo asistido por computador, los resultados de las
exploraciones que se
realizaron para elegir las propuestas curriculares y textos
escolares; las
inferencias que se hicieron a la informacin conseguida por medio
de encuestas y
sondeos; los resultados de los anlisis e interpretaciones de la
puesta en marcha
de las experiencias, las proyecciones y conclusiones que se
derivaron.
La importancia de este estudio est en comprender el mbito de la
construccin
geomtrica de poliedros que es un ambiente propicio para
familiarizarse con la
instrumentacin para el diseo en los primeros niveles que deben
afrontar los
estudiantes de las especialidades tcnicas y tecnolgicas. Sus
aportes se sitan
en la resolucin de problemas, las aplicaciones para disear,
reproducir y mejorar
los productos, el uso de nuevas tecnologas y las implicaciones
que tienen al
tratarlas en el proceso de enseanza. Tambin se tratan los
fundamentos con los
que se puede mejorar el proceso de enseanza en el aula de
clases, igualmente,
que los principios para disear situaciones didcticas y
adidcticas sobre la
construccin de poliedros que faciliten desarrollar la autonoma
en los estudiantes.
Desde lo terico tuvo como referente la teora de las situaciones
didcticas, en la
que se destacan los conceptos de obstculo epistemolgico,
situacin didctica,
situacin adidctica, situacin fundamental, contrato didctico,
transposicin
didctica y los tres supuestos siguientes: el estudiante aprende
por adaptacin a
-
12
un medio como producto de contradicciones y dificultades, el
saber se construye
entre las buenas preguntas y las buenas respuestas y cuando el
estudiante es
capaz de resolver situaciones adidcticas se aprendi un
saber.
La instrumentacin que se .puso a prueba, posibilit la
identificacin de los
fundamentos y los conocimientos con los que se constituy un
saber a ensear, el
que se incorpor en el diseo de situaciones, con la informacin
que se consigui
de la puesta en marcha de stas, se interpret y organiz para
contrastarla con la
prevista y determinar los argumentos para esclarecer el
planteamiento del
interrogante Cules son las ventajas y limitaciones didcticas que
tiene el uso de
la regla y el comps y, el programa de diseo asistido por
computador para hacer
la construccin geomtrica de un poliedro?.
Las intenciones del estudio estuvieron centradas en utilizar
situaciones didcticas
y adidcticas en la enseanza para la identificacin de las
ventajas y limitaciones
didcticas de la construccin geomtrica de una determinada familia
de poliedros,
tanto con la regla y el comps, y el programa de diseo asistido
por computador y,
en determinar las ventajas y limitaciones didcticas que se
dieron en los dos
procesos, tanto el que se realiz con la regla y el comps como el
que se hizo con
el programa de diseo asistido por computador, en el aprendizaje
y la enseanza.
El informe tiene siete captulos que corresponden a los anlisis e
interpretaciones
de investigaciones, al fundamento terico y conceptual, el
problema de
investigacin y su metodologa, a los anlisis preliminares y
a-priori, a la
concepcin de las situaciones didcticas, a los resultados de la
puesta en marcha
de las experiencias y el anlisis a posteriori, las proyecciones
y las conclusiones
del estudio.
-
13
En el captulo uno, se clasificaron las investigaciones que se
hallaron en la misma
rea de indagacin en cuatro apartados, teniendo en cuenta los
nexos temticos y
en cada uno se hizo un resumen sinttico. Con los saberes
tratados en los
resmenes sintticos y las conclusiones que se obtuvieron en cada
uno, se
derivaron los conocimientos geomtricos, epistemolgicos,
didcticos y tericos
que se encontraron relacionados para construir poliedros y se
incorporaron en las
temticas del estudio didctico.
En el captulo dos, se explicitan las caractersticas didcticas,
el fundamento
terico y conceptual, las relaciones que se establecieron en el
sistema didctico,
los inconvenientes que se presentaron y los conocimientos que se
pusieron en
juego en la construccin geomtrica de poliedros.
El captulo tres trata sobre el problema de investigacin, los
objetivos, las hiptesis
y se describe cada una de las fases que se llev a cabo basadas
en la
metodologa de la ingeniera didctica
En el captulo cuatro, se hacen los anlisis preliminares que
fundamentan la
concepcin de las situaciones didcticas de la ingeniera. stos
fueron el producto
de indagaciones en lo curricular, en los textos escolares, en
las opiniones de
profesores, y en los sondeos realizados a los estudiantes. Al
final, se analizan a-
priori la dimensin epistemolgica, cognitiva y didctica, y como
resultado se
plantearon las hiptesis del estudio.
En el captulo cinco, se trata lo concerniente a la concepcin de
las situaciones
didcticas y adidcticas en el campo de las construcciones
geomtricas de
poliedros. Para ello, se identificaron los conocimientos que
posean los estudiantes
y se derivaron de los anlisis hechos en el captulo uno, dos,
tres y cuatro los
fundamentos y los conceptos geomtricos con las que se
estructuraron, enseguida
-
14
se dieron instrucciones para llevarlas a cabo y se previ lo que
haran para
resolverlas.
En el captulo seis, se analizaron e interpretaron las
interacciones y la informacin
contenida en los registros. Enseguida se hicieron dos anlisis
sintticos, uno a la
parte predctiva, basado en las previsiones para poner en marcha
las situaciones y
otro, a posteriori fundamentado en las observaciones obtenidas
en las
experiencias. A partir de los resultados que se derivaron de la
confrontacin, se
precisaron los argumentos para fundamentar la validez de las
hiptesis y hacer
nuevos aportes.
En el captulo siete, se exponen algunos planteamientos que
surgieron durante las
diferentes averiguaciones y actividades que se hicieron en el
estudio didctico.
Por ltimo, se tratan las conclusiones y se adjuntan los anexos
que recogen unas
definiciones de conceptos geomtricos, las respuestas a las
encuestas y sondeos
planteados, y los registros que elaboraron los estudiantes y que
sirvieron para
fundamentar los resultados.
-
1 ESTADO DEL ARTE
El estudio didctico comparativo se inici con una revisin
bibliogrfica especfica
para hallar informacin, conocimientos y saberes especficos o
relacionados sobre
el estado del campo de las ventajas y limitaciones didcticas que
tienen el uso de
la regla sin marcas y comps y el programa de diseo asistido por
computador (En
ingls Computer Aided Desig (CAD)) en la construccin de
poliedros, con la
intencin de aproximar respuestas a una de las preguntas
derivadas del problema
de investigacin que se formul as: Qu estudios se han realizado
en la misma
rea de indagacin o en campos afines con la construccin
geomtrica?
Las investigaciones halladas (propuestas didcticas, propuestas
metodolgicas,
debates, ponencias, artculos, exploraciones y estudios), con
nexos al campo de
las ventajas y limitaciones didcticas que tienen el uso de la
regla sin marcas y
comps, y el CAD, se clasificaron teniendo en cuenta un sector
afn donde se
pudieran ubicar y las relaciones temticas que vinculan el uso de
la
instrumentacin (herramientas fsicas, conocimientos y conceptos
que intervienen
en la construccin geomtrica) para construir poliedros.
De las que se han hecho en la misma rea de indagacin o en campos
afines, se
identificaron cuatro en el interior del campo del problema de
investigacin: a la
primera, se le denomin el uso del computador y los programas
graficadores; a
la segunda, dificultades halladas al tratar conceptos
geomtricos, a la tercera,
propuestas didcticas para la enseanza de conceptos geomtricos y,
a la cuarta,
fenmenos didcticos de la demostracin.
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16
Para facilitar la interpretacin de los aspectos expuestos en
cada investigacin, se
hizo un resumen a cada una, basado en lo que trata y las
conclusiones a que
lleg. Enseguida, con el conjunto de resmenes de cada
denominacin
anteriormente mencionada, se hizo un resumen sinttico.
Por ltimo, se analiz e interpret lo arrojado en los resmenes
sintticos, de
donde se dedujeron algunos conocimientos, saberes y estrategias
que fueron
incorporados en el diseo de la instrumentacin que se puso en
juego, con la que
se consigui la informacin que sirvi para estructurar las
respuestas que se
dieron a las preguntas que se derivaron del problema de
investigacin.
1.1 EL USO DEL COMPUTADOR Y LOS PROGRAMAS GRAFICADORES
Pere Marqus Graells (2000), analiza e identifica algunas
ventajas e
inconvenientes en el aprendizaje, que estn vinculados al uso del
computador
como soporte para ejecutar materiales multimedia, y determina
las siguientes
ventajas: motiva a dedicar ms tiempo a trabajar y aprender,
individualiza el
trabajo, desarrolla la iniciativa, propicia el trabajo en grupo,
aprendizaje con
menos tiempo, aprendizaje a partir de los errores, permite
realizar muy diversos
tipos de tratamiento a una informacin muy amplia y variada,
mltiples
perspectivas e itinerarios, proporciona la autoevaluacin del
estudiante,
interaccin y continua actividad intelectual, abarata los costos
de la formacin,
contacto con las nuevas tecnologas y el lenguaje audiovisual,
constituye un buen
medio de investigacin didctica en el aula, facilita la evaluacin
y control, liberan
al profesor de trabajos repetitivos, proporciona entornos de
aprendizaje e
-
17
instrumentos para el proceso de la informacin, proporciona una
gran flexibilidad
en los horarios de estudio y una descentralizacin geogrfica de
la formacin.
Igualmente, menciona los siguientes inconvenientes: el exceso de
motivacin
puede provocar adiccin, distraccin (se dedican a jugar en vez de
trabajar),
ansiedad, aislamiento, dilogos muy rgidos, aprendizajes
superficiales,
desorientacin informativa, dependencia de los dems, visin
parcial de la
realidad, control de calidad insuficiente, falta de conocimiento
de los lenguajes,
cansancio visual y otros problemas fsicos, desarrollo de
estrategias de mnimo
esfuerzo y la formacin del profesorado supone un costo
aadido.
Julin Conesa Pastor y otros (2000), plantean, si es conveniente
reemplazar la
enseanza de los contenidos de la geometra descriptiva por el uso
del programa
CAD; y en el caso que se ensee ste, a qu se debe dedicar mas
tiempo?, a la
enseanza terica, o a usar el programa. Las argumentaciones que
se dieron
alrededor de lo antes planteado conducen a determinar tres
posturas: usar, no
usar el computador y, la intermedia, usar los instrumentos
tradicionales y el
computador.
Concluyen que es necesario hacer bocetos a mano alzada para
fundamentar las
ideas y los conceptos; afirman que se deben realizar ejercicios
mediante los
instrumentos tradicionales que posibiliten fomentar la capacidad
de visin
espacial, y que el CAD no es sino una forma de concretar los
conocimientos que
se adquieren mediante la enseanza tradicional, y que de ninguna
manera podran
sustituir a la expresin grfica, porque el estudiante debe usar
los distintos
sistemas de representacin ms usuales en ingeniera (Didrico,
Planos acotados
y Axonomtrico).
-
18
Adn F. Sanz y A. Cobos Moyano (2000), exponen la fundamentacin y
los
alcances que tiene la expresin grfica. Con respecto a la
enseanza de los
contenidos y la metodologa del programa de CAD, definen tres
tendencias, as:
orientacin hacia el uso del programa; explicacin terica de un
determinado CAD
que proporcione al estudiante el conocimiento bsico de los
comandos; presentar
una teora y los conocimientos usados por los sistemas CAD.
Concluyen, que es necesario sustituir los contenidos que se
ensean en la
geometra descriptiva para introducir los conceptos tericos
bsicos y la
metodologa orientarla hacia un mayor uso del computador y la
informtica grfica.
M. A. Murray-Lasso (2000), estudia las diferencias que se
producen en la
enseanza para trazar figuras geomtricas planas entre
instrumentos tradicionales
como la regla sin marcas, el transportador, las escuadras y el
comps, y, el
programa LOGO.
Sostiene que es indispensable que los estudiantes se
familiaricen con el uso de
regla sin marcas y comps, y el ambiente computarizado LOGO, por
dos razones:
el ambiente computacional facilita resolver problemas
cientficos, tcnicos y es afn
con la automatizacin; y los tradicionales hay que aprenderlos
porque fomentan la
organizacin del razonamiento.
Concluye que muchas de las diferencias entre el ambiente
tradicional y el
ambiente LOGO, se basan en las condiciones impuestas al uso de
la regla sin
marcas y comps; la diferencia de enfoques entre la geometra
Euclidiana y la
geometra analtica. La primera, enfatiza lo geomtrico en donde lo
importante son
los objetos geomtricos. La segunda, se basa en el plano
cartesiano para poder
determinar puntos por medio de dos nmeros y se utilizan el
lgebra y la
trigonometra para determinar distancias con precisin.
-
19
Mara Jos Gonzlez Lpez (2000), estudia si, el uso del programa
CABRI es
necesario para hacer una demostracin. Toma como base la
siguiente afirmacin:
Cuando los estudiantes son capaces de producir muchas
configuraciones fcil y rpidamente, entonces simplemente no tienen
necesidad de ms conviccin/verificacin. El problema se intensifica
por una facilidad de Cabri que permite chequear si ciertas
caractersticas de las configuraciones (perpendicularidad,
pertenencia a,) son ciertas en general. [] El ordenador,
funcionando como una mquina de demostracin reduce (elimina) la
necesidad de los estudiantes de generar demostracin (verificacin)
(De Villiers, 1998, p.374).
De lo mencionado en la cita deriva, que el uso del programa es
un obstculo para
demostrar, entendida como conviccin/verificacin, y es de
utilidad para las
demostraciones que se basan en la explicacin y
descubrimiento.
Analiza una situacin que se puso en juego con profesores, la que
consista en
construir una cometa dinmica y en la que se obtuvieron dos
resultados; el
primero, permitir a los estudiantes descubrir y formular una
conjetura, y el
segundo guiarlos hacia una explicacin que ilustre la demostracin
como
descubrimiento; esto lo lleva a expresar que las actividades de
la situacin fueron
explicitadas para que slo una fuera necesario resolverla con la
intervencin del
profesor. Finalmente, concluye que no es el programa, ni la
interaccin
espontnea la que puede generar explicaciones, sino la preparacin
de la
situacin lo que genera los resultados esperados.
Jos Arqumedes Gmez Gabaldn (2000), basado en la teora propuesta
por
Efraim Fischbein donde el objeto geomtrico es tratado como
poseedor de dos
componentes, uno conceptual y otro figural, estudia en el
programa CABRI las
diferentes acciones que pueden llevarse a cabo con la
construccin de figuras
geomtricas.
-
20
Concluye que las ventajas que tiene el uso del programa CABRI
son: posibilita que
las figuras adquieran vida propia mediante el movimiento,
permite ir a una fase
cualquiera del dibujo, admite aplicaciones para geometra en 2D y
3D, facilita un
aprendizaje individualizado ya que los diferentes dibujos
realizados son
susceptibles de ser puestos en la red para que el estudiante
pueda repasarlos
desde su casa, el trazado del dibujo paso a paso de acuerdo con
el ritmo del
aprendizaje, permiten apartarse de las exposiciones estticas en
el tablero.
ngela Alemn de Snchez (2002), estudia los usos que se dieron al
computador
en la enseanza de las matemticas, entre ellos menciona los
siguientes: como
tablero electrnico, como Hojas electrnicas, como Editor de
ecuaciones, permite
solucionar problemas de puntos crticos de una funcin para
clasificarlos como
mximos o mnimos relativos, la simulacin de fenmenos naturales,
en el uso de
juegos educativos, en lenguajes de programacin para el
aprendizaje de
conceptos, y apoyo a la administracin de la docencia.
Concluye que el uso del computador en sus diversas modalidades
ofrece, sobre
otros mtodos de enseanza, ventajas tales como: participacin
activa del
estudiante en su aprendizaje, interaccin entre el estudiante y
la mquina, la
posibilidad de dar una atencin individual al estudiante, la
posibilidad de crear
micromundos que le permiten explorar y conjeturar, permite el
desarrollo cognitivo
del estudiante, control del tiempo y secuencia del aprendizaje
por el estudiante, y
a travs de la retroalimentacin inmediata, l puede aprender de
sus errores.
Mercedes Anido y otros (2002), estudian una propuesta de
aprendizaje en la
enseanza de la Geometra analtica, que permite seleccionar
situaciones
didcticas concretas en las que se utiliza el programa SCILAB, en
forma tal que la
interaccin de los estudiantes con el computador facilite el paso
de las
abstracciones a la integracin de los cuadros algebraico y
geomtrico que
-
21
requieren un aprendizaje significativo de la Geometra Analtica
en el primer ao
de estudios superiores.
La propuesta se puede resolver de varias formas por los
estudiantes, usando el
programa SCILAB. A partir de la representacin se hace la
induccin de las
propiedades de las supercnicas 1 para realizar situaciones de
accin, de
formulacin e institucionalizacin. La realizacin de stas y el
anlisis a-priori,
permiten identificar las posibilidades de la representacin
computarizada para la
profundizacin del concepto de familias de curvas generadas por
la variacin de
un parmetro.
Vera Luca de Mendonca Silva (2003), estudia en escuelas del
Brasil el modo de
insercin, acceso y uso de los computadores en ellas. Encuentra,
que la mayora
de instituciones no cuentan con instalaciones apropiadas, con
los materiales y el
personal capacitado, lo que les dificulta llevar a cabo la
formacin.
Concluye que la escuela con el computador como recurso didctico,
gener en los
estudiantes un cambio en la forma de pensar y sus relaciones.
Signific la
descentralizacin del saber, y represent un cambio en la forma de
ensear y de
valorar el aprendizaje.
Carlos Erario Morciego Garca (2004), estudia lo que fue la
enseanza de la
geometra y el dibujo tcnico en escuelas, liceos y universidades
de cuba. Analiza
las propuestas y programas de estudio y su aplicacin, y destaca
el grado de
profundizacin que se logr, el aumento de publicaciones en lo
tcnico, en el
1 Supercnicas: familia de curvas que se generan a partir de dar
distintos valores numricos a e en una ecuacin del tipo: y se
categorizan de acuerdo a los rangos que tome dicho exponente.
-
22
contenido pedaggico y artstico. Afirma que desde Gaspard Monge 2
, la
Geometra descriptiva ha sido la base terica del Dibujo tcnico en
casi todos los
pases y ahora es la base del CAD.
Describe cmo la expresin grfica se convierte en un rea del
conocimiento que se articula con otras y hace un estudio de campo
de donde deriva que en algunas
empresas y entidades, el programa que usan para los proyectos de
ingeniera y
arquitectura es el AutoCAD.
Concluye, que en la expresin grfica, existen planteamientos
similares en otros
pases sobre el impacto de las nuevas Tecnologas de la Informacin
y las
Comunicaciones, que obligan a modificar la dedicacin y los
contenidos de los
programas. Las nuevas tecnologas influyen en el desarrollo de la
Ingeniera
grfica y en el futuro de las reas relacionadas, como la Geometra
descriptiva y el
Dibujo tcnico, lo que contribuye a fomentar la creatividad y a
mejorar la formacin
del profesional.
RESUMEN SINTTICO. En este tipo de investigaciones se pueden
caracterizar
tres subsectores afines, a saber:
A) Los que estudian el uso del computador como soporte para
ejecutar
materiales multimedia y para llevar a cabo tareas de las
matemticas dedican
esfuerzos para saber qu puede proporcionar la mquina. En stos
se
determinan que es una buena ayuda tanto en la enseanza como en
el
aprendizaje, que es una herramienta que presenta ciertas
ventajas, como 2 Gaspard Monge, matemtico francs que desarroll el
sistema didrico. ste es uno de los cuatro sistemas fundamentales de
proyeccin que integra la geometra descriptiva (Raya Moral, 1999,
p.13). sta tiene por objeto establecer las normas y fijar las
propiedades en virtud de las cuales se pueden, no solamente
representar los cuerpos que tienen tres dimensiones, sobre una
superficie que tiene dos, sino que, a su vez, de dichas
representaciones se pueden deducir elementos que nos pueda
interesar medir, en unos casos, o determinar su forma y posicin, en
otras.
-
23
fomentar las habilidades intelectuales y motrices, y algunos
inconvenientes,
uno de ellos, que no facilita el desarrollo de la
creatividad.
Lo expuesto en cada investigacin, del subsector antes enunciado,
deriv en las
conclusiones siguientes:
El uso del computador facilita el aprendizaje y la estructuracin
del
conocimiento en el estudiante.
El computador es una ayuda didctica, que favorece fomentar
habilidades
intelectuales y motrices.
La actividad que realiza el estudiante usando el computador debe
ser
orientada y controlada por el profesor para que se favorezca el
fomento de las
habilidades.
La mayora de las instituciones educativas no cuentan con
instalaciones
apropiadas, con materiales y personal capacitado, para ajustarse
a los cambios
que actualmente demandan las comunidades, lo que dificulta
llevar a cabo
formacin con el uso del computador.
B) Los que estudian la enseanza de la geometra y el Dibujo
tcnico, el
uso de los programas CAD y LOGO, y herramientas tradicionales
(la regla sin
marcas, el comps, el transportador y la escuadra) para
identificar las
diferencias que hay al construir figuras geomtricas con el uso
de stos.
Analizan lo que fue la enseanza de la geometra descriptiva y
el
dibujo tcnico, y cmo una y otra, se convirtieron en un
conocimiento
fundamental para el estudio de la ingeniera grfica, el programa
CAD, el
trazado de formas artificiales y naturales por medio de la
representacin de
isomtricos y vistas.
Con respecto a la enseanza de los contenidos y la metodologa
para usar el programa CAD, se definen tres tendencias, as:
orientacin hacia
el uso del programa; explicacin terica de un determinado CAD
que
-
24
proporcione al estudiante el conocimiento bsico de los comandos,
y
presentar una teora y los conocimientos usados por los sistemas
CADs.
En relacin a la enseanza del trazado de figuras geomtricas
planas, se exploran las diferencias que se producen con el uso
del programa
LOGO y las herramientas tradicionales. Opinan que es conveniente
el uso
tanto de la regla sin marcas y comps, como el programa, por dos
razones: el
programa facilita resolver problemas cientficos y tcnicos y los
tradicionales
hay que aprenderlos porque fomentan la organizacin del
razonamiento.
De lo tratado en cada investigacin, del subsector antes
mencionado se derivaron
las siguientes conclusiones:
Las diferencias entre el uso de las herramientas tradicionales y
el programa
LOGO, se basan en las condiciones impuestas al uso de la regla
sin marcas y
comps, y los enfoques entre la geometra Euclidiana y la geometra
analtica.
Es necesario cambiar la forma de ensear la geometra descriptiva
para
introducir los conceptos tericos bsicos y la metodologa
orientarla hacia el uso
de programas graficadores y las herramientas tradicionales.
Para fundamentar las ideas y los conceptos se deben hacer
bocetos a
mano alzada y realizar ejercicios con las herramientas
tradicionales que posibiliten
fomentar la capacidad de visin espacial, y los programas
graficadores son una
ayuda didctica que facilita el aprendizaje de los conocimientos
geomtricos.
La Geometra descriptiva y el Dibujo tcnico se integraron
alrededor de la
expresin grfica, la que se convirti en el eje de la formacin de
los ingenieros.
C) Los que estudian el uso de los programas CABRI y SCILAB
para
representar, trazar y hacer construcciones de figuras
geomtricas. Esbozan
actividades con la intencin de saber en qu pueden contribuir
para hacer
una demostracin, y si, el uso de stos, permite llevar a cabo
situaciones de
-
25
aprendizaje donde el estudiante movilice conceptos de la
geometra analtica
tanto en lo algebraico, como en lo geomtrico y viceversa.
Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que
caracterizan lo
anteriormente expuesto son las que se mencionan a
continuacin:
El uso de los programas graficadores implica que las actividades
sean
preparadas, teniendo en cuenta que con stos se facilita hacer
demostraciones
basadas en la explicacin y el descubrimiento.
Las actividades donde se requiera demostrar y sean llevadas a
cabo usando
programas graficadores, pueden ocasionar obstculos sino se tiene
en cuenta la
explicacin y descubrimiento.
Los programas graficadores ofrecen ventajas para trazar y
dibujar las figuras
geomtricas.
Por ltimo, las ventajas e inconvenientes tratados sirven
tenerlos en cuenta
cuando se usen la regla sin marcas y comps, y el CAD para
construir poliedros.
1.2 DIFICULTADES HALLADAS AL TRATAR CONCEPTOS GEOMTRICOS
Gregoria Guilln Soler (2000), estudia los procesos de enseanza y
aprendizaje,
y obtiene informacin de cmo los estudiantes construyen ciertos
objetos
mentales 3 relacionados con los slidos y cmo van progresando
durante el
3 Con respecto al trmino objeto mental, Luis Puig (2000, p.17)
indica, que podemos partir de una imagen inicial: la contraposicin
objeto mental/concepto es una contraposicin entre lo que est en la
cabeza de las personas -los objetos mentales- y lo que est en las
matemticas como disciplina los conceptos. Y seala, que la idea de
objeto mental hay que verla como un medio de organizacin de
fenmenos. Y que los objetos mentales se constituyen en cadenas
fenmenos/medios de organizacin, de la misma manera que sucede con
los conceptos, con el consiguiente aumento de nivel. Las propias
definiciones de los conceptos pueden formar parte de los objetos
mentales que se estn constituyendo pero no los sustituyen.
-
26
proceso de aprendizaje, incorporando propiedades e ideas errneas
en los objetos
mentales que forman con los prismas, pirmides, el cilindro, el
cono y la esfera.
Define como prismas de caras regulares la familia que tienen
bases regulares y
caras laterales cuadradas. Los prismas de caras iguales son los
romboedros y
considera el cubo como un romboedro.
La ideas errneas que identifica son: las ocasionadas por las
propias
representaciones fsicas de los slidos, las fomentadas por el
propio proceso de
enseanza al introducir los conceptos con modelos fsicos, las que
pueden
ocasionarse por el proceso de aprendizaje cuando surgen
problemas de lenguaje,
los juicios para establecer las propiedades que se encuentran en
las subfamilias o
las que se basan en parte de la figura.
Al continuar su investigacin, Gregoria Guilln Soler (2001) hace
una breve
descripcin sobre la clasificacin de los prismas y las tareas en
las cuales, es
necesario identificar y enumerar las subfamilias. Trata los
errores y las dificultades
que se presentan en la representacin e identificacin tanto
visual como en
lenguaje escrito. Muestra que al disear las tareas para
introducir conceptos
geomtricos hay que dar distintos ejemplos de cada uno o que
surjan en el
contexto de la actividad. En tareas para hacer construcciones de
modelos fsicos,
se deben colocar muestras construidas en diferentes materiales y
en distintos
contextos para que se observen.
Juan Pablo Mora (2001), estudia las soluciones que se dieron al
problema de la
duplicacin del cubo y cmo stas originaron conocimientos
geomtricos y
matemticos y expone las que plantearon Hipcrates, Arquitas,
Menecmo,
Eudoxo4, Nicomedes, Apolunio, Heron, Diocles, Eratstenes y
Arqumedes.
4 Eudoxo us en la solucin del problema de la duplicacin del cubo
un procedimiento que consista en inscribir o circunscribir figuras
rectilneas en una figura curvilnea, y repetir el proceso aumentando
el nmero
-
27
Afirma que los tres problemas clsicos de construccion geomtrica,
no tienen
solucin usando slo la regla sin marcas y comps, pero pueden
tener una
solucin aproximada por otros mtodos como el uso de las cnicas o
las curvas
como la cisoide de Diocles o la concoide de Nicomedes.
Concluye que el estudio del problema se vincul a los problemas
de la cuadratura
del crculo y la triseccin del ngulo y que a partir de los
intentos de solucin
surgi: seccin de cnicas, descubrimiento de los inconmensurables,
los nmeros
irracionales, mtodo de exhauscin y el clculo aproximado del
nmero pi5.
Precisa que la aparicin de los nmeros inconmensurables fue
insuficiente para
comparar la diagonal de un cuadrado, de un cubo o de un pentgono
regular con
su lado o arista respectivamente, stas parejas de segmentos
son
inconmensurables, por pequea que sea la unidad de medida
elegida. Es posible
que los inconmensurables dieran origen a los nmeros irracionales
ya que son
atribuidos a la aparicin de la raz cbica de dos, en el problema
de la duplicacin
del cubo, o, a la demostracin de la inconmensurabilidad de la
diagonal de un
cuadrado6.
Roberto Lpez y Mercedes Anido (2001), estudian las dificultades
que se le
presentaron a los estudiantes en el primer ao de Arquitectura,
en el rea de la
geometra tales como: dificultades por carencias en la formacin,
deficiencia en lo
de lados o caras indefinidamente, de esta forma las figuras
rectilneas se aproximaran cada vez ms a las curvilneas. 5 Arqumedes
muestra, un procedimiento para construir polgonos inscritos y
circunscritos, con un nmero de lados cada vez mayor que puede
iniciar con un tringulo o con un cuadrado, e ir duplicando el nmero
de vrtices y de lados, y cortar los arcos circulares o lados
correspondientes de cada polgono. As; de un cuadrado inscrito se
puede construir el octgono, un polgono de 16, de 32, de 64, de 128
lados y as sucesivamente; y elabor un mtodo para calcular una
aproximacin del valor de pi entre permetro del crculo y el dimetro,
ste se conoce como el mtodo predecesor del clculo de lmites. 6 Una
limitacin que se encontraron los griegos en la construccin
geomtrica, se hall en la medicin de la diagonal del cuadrado de
lado una unidad.
-
28
aprehendido, escaso conocimiento de la geometra Euclidiana
elemental,
dificultades de utilizacin del lenguaje grfico y simblico,
imposibilidad de uso de
los registros verbales, numricos, simblicos y grficos,
dificultad para visualizar
en el plano y en el espacio las propiedades de los vectores,
dificultades en la
particin del espacio en octantes, dificultades en el manejo
bidireccional de la
relacin entre R2 y R3 y entre el plano y el espacio, carencias
en el conocimiento y
manejo de los sistemas de proyecciones, dificultades en la
comprensin y
construccin de un lugar geomtrico dado por una propiedad y
recprocamente.
Despus de hacer experimentaciones con estudiantes y analizar la
informacin
conseguida, confrontan los datos obtenidos con los de la
hiptesis inicial, y
concluyen que el trabajo con herramientas computacionales
facilita el recorrido de
las fases del aprendizaje que propone Van Hiele7 y se verifican
las etapas del
desarrollo de la percepcin espacial que seala Pallascio y
otros8. De igual forma,
evalan en los primeros semestres universitarios el mtodo de
enseanza
tradicional en la formacin de un pensamiento geomtrico visual y
un pensamiento
formal.
RESUMEN SINTTICO. En este tipo de investigaciones se estudian
las
dificultades que se producen en el aprendizaje de los conceptos
geomtricos; uso
de estrategias didcticas que ayudaron a precisar las carencias
que se presentan
en los estudiantes. Son tratados los errores que se encontraron
en la
representacin e interpretacin de las familias de los prismas y
su identificacin
visual, y en lenguaje escrito. La forma cmo estructuran los
conceptos
7 Anne Teppo (1991); trata los cuatro niveles de razonamiento
que plantea el modelo de Van Hiele que son: reconocimiento,
anlisis, clasificacin y deduccin formal. 8 En el estudio de la
percepcin espacial, R. Pallascio y otros proponen cinco etapas: la
visualizacin, la estructuracin, la traduccin, la determinacin y la
clasificacin (Arias y Vallejo Gerena, 2002, p.12).
-
29
geomtricos relacionados con los slidos y los inconvenientes que
se les
presentan por el deficiente conocimiento que poseen de la
geometra elemental.
Con relacin al estudio de las soluciones dadas al problema de la
duplicacin del
cubo, indican que se trata de representar el nmero irracional
que diera la solucin
por medio de construcciones geomtricas con la regla sin marcas y
comps.
Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que se
relacionan con el
estudio de las dificultades que se identificaron y los
conocimientos geomtricos y
matemticos que se hallaron, son las que se mencionan a
continuacin:
Los estudiantes incorporan propiedades e ideas errneas en los
objetos
mentales que forman con el estudio de algunos slidos.
Las ideas errneas son originadas por las representaciones fsicas
y la
introduccin de conceptos por medio de modelos fsicos en la
enseanza.
Al disear las tareas para introducir los conceptos geomtricos se
debe tener
en cuenta ejemplos que muestren los slidos construdos en
diferentes materiales
y diferentes contextos.
Evaluar en los primeros semestres de estudio el mtodo de
enseanza
tradicional en la formacin de un pensamiento geomtrico visual y
formal.
La bsqueda de soluciones al problema de la duplicacin del cubo
di
origen a conocimientos geomtricos y matemticos como las
secciones cnicas y
los inconmensurables y se podra decir que los nmeros
irracionales9 permiten
asociarlos con dichas soluciones, ya que algunos pueden ser
representados por
medio de construcciones geomtricas.
9 el descubrimiento de los irracionales hizo que los griegos
abandonaran la presunta certeza absoluta de la intuicin aritmtica y
la cambiaran por la intuicin geomtrica; para ello elaboraron la
teora de las proporciones. (Gascn, 1998, p3).
-
30
1.3 PROPUESTAS PARA LA ENSEANZA DE CONCEPTOS GEOMTRICOS.
Oscar Jess San Martn Sicre y Hayde Mascareo Gallegos (2001);
exponen una
propuesta didctica diseada con base en la Teora de Guy
Brousseau. sta se
fundamenta en seis aspectos enunciados as: motivacin de tipo
cognoscitivo;
actividades ldicas; planteamiento de problemas significativos;
desarrollo de
diversas actividades de aprendizaje que propician las acciones
cognitivas en los
estudiantes; la formulacin de sus descubrimientos; los procesos
de validacin del
conocimiento, y las caractersticas de las intervenciones
pedaggicas.
La ponen a prueba con estudiantes de segundo grado de educacin
primaria para
saber sin son capaces por si mismos de construir la tabla del
dos, cuando para
ello se pone en juego la Teora de las Situaciones didcticas.
Concluye, que el
investigador debe conseguir despertar el inters para que los
estudiantes puedan
apropiarse del problema e intentar resolverlo, si esto sucede,
habr conseguido la
devolucin del problema.
scar Jess San Martn Sicre (2002), expone una propuesta didctica
con un
enfoque constructivista, basado en el principio que el
estudiante es quien de
manera activa construye su propio conocimiento como resultado de
sus
interacciones tanto con el medio fsico como con el social. sta
se fundamenta en
hacer construcciones geomtricas con el transportador sin marcas,
como las
siguientes:
* Dada una recta m y un punto A sobre la misma, levantar la
perpendicular a m que pase por el punto A.
* Dada una recta n y un punto B exterior a la misma, construir
la perpendicular a n que pase por el punto B.
-
31
* Dada una recta p y un punto C exterior a la misma, construir
la paralela a p que pase por el punto C.
Deduce que el uso del transportador sin marcas en la solucin de
problemas de
construcciones geomtricas est constituido por lo que l denomina
carcter
virtual; lo que se puede asemejar a la escuadra porque en el
semicrculo de ste
se puede trazar un tringulo rectngulo ya que, todo ngulo
inscrito en un
semicrculo es un ngulo recto.
Yulaimis Leyva Gonzlez (2004), plantea una propuesta que
facilita la formulacin
de problemas geomtricos, compuesta de acciones dirigidas a
estimular el
surgimiento de nuevos interrogantes a partir de un objeto
geomtrico y propone
una metodologa para ponerla en marcha en el contexto
escolar.
Los componentes de sta son: seleccionar un objeto conocido para
plantear el
problema, analizar las partes que constituyen el objeto,
clasificar e identificar
propiedades de cada una de las partes, buscar relaciones entre
stas, y fijar las
relaciones por medio de sus propiedades.
Concluye que desde el punto de vista terico la propuesta se
puede realizar
porque facilita la formulacin de problemas geomtricos y se puede
mejorar por
medio de la prctica o el anlisis terico.
Ariana Rodrguez Surez y otros (2004), elaboran una propuesta
documentados
en experiencias que tienen de la enseanza de la asignatura
Geometra
descriptiva, de la revisin y fundamentacin terica del currculo,
de la revisin
bibliogrfica y de la exigencia de un nuevo profesional. sta
permite explicar
diferentes fenmenos y procesos y mejorar las deficiencias que
presentan los
estudiantes.
-
32
La propuesta metodolgica se basa en tres temticas, dos sobre
geometra
descriptiva y una sobre la formacin de valores, enunciados de la
manera
siguiente: la primera, se basa en generalidades, proyecciones
ortogonales del
punto, la recta y el plano; situaciones relativas del punto, la
recta y el plano, y
mtodo de transformacin del abatimiento; la segunda, trata de los
poliedros,
lneas y superficies curvas; desarrollo de superficies y
axonometras, y la tercera,
de la responsabilidad, honestidad, esttica, independencia y
creatividad.
RESUMEN SINTTICO. En este tipo de investigaciones se estudian
algunas
propuestas para la enseanza de conceptos geomtricos, que buscan
mejorar el
proceso de aprendizaje en las reas de la geometra y la geometra
descriptiva.
En stas, unas se fundamentan en probar que los estudiantes
pueden construir su
conocimiento como resultado de interacciones con el medio, como
la que intenta
mostrar que los estudiantes son capaces de construir la tabla
del dos y la que
demuestra que usar el transportador sin marcas, es similar a
usar la escuadra
para construir figuras geomtricas planas; otra se fundamenta en
experiencias que
se tienen de la enseanza de la Geometra descriptiva, de la
revisin y
fundamentacin terica del currculo; de la revisin bibliogrfica y
de la exigencia
de un nuevo profesional que permita explicar diferentes fenmenos
y procesos y
mejorar las deficiencias que presentan los estudiantes.
Las conclusiones que se derivan de las investigaciones que se
basan en la
enseanza de conceptos geomtricos son las que se mencionan a
continuacin:
Desde el punto de vista terico se puede llevar a cabo la
propuesta de la
formulacin de problemas geomtricos y mejorarla por medio del
anlisis terico.
El uso del transportador sin marcas es semejante a usar una
escuadra sin
marcas.
Ensear, la geometra descriptiva teniendo en cuenta los valores
humanos.
-
33
Despertar inters en los estudiantes para que se puedan apropiar
del
problema propuesto y poder lograr as su devolucin.
1.4 FENMENOS DIDCTICOS DE LA DEMOSTRACIN
Isabel Escudero (2000), plantea un ejercicio sobre el corte de
un cubo por un
plano y se trata de justificar si la seccin es un cuadrado.
Expresa que parece
haber una progresin que va desde lo informal a lo formal que
afecta los
razonamientos.
Hace un anlisis de las respuestas dadas al ejercicio e
interrelaciona sus
comentarios sobre lo que el estudiante conoce del programa CABRI
y deduce que
no es el programa CABRI lo que puede generar explicaciones sino
el diseo de las
actividades el que facilita conseguir los resultados
esperados.
Concluye, que una exigencia para usar el programa CABRI, es que
la figura
geomtrica conserve su relacin espacial, independiente de los
desplazamientos
que se hagan al dibujo en la pantalla. Para ello se debe
comunicar al computador
un procedimiento de construccin que permita identificar las
relaciones espaciales.
ngel Martnez Recio (2001), considera que la demostracin
matemtica admite
distintas interpretaciones. La que prevalece es la demostracin
deductiva formal.
Esta interpretacin es restringida desde un punto de vista
epistemolgico y
conduce a dificultades en distintos niveles educativos. Acorde
con dicha razn,
revisa la interpretacin formalista de la demostracin matemtica
para ajustar su
significado a otras formas de argumentacin usadas por los
matemticos y
cercanas a las prcticas de los estudiantes.
-
34
Usa la idea de esquema personal de demostracin como esquema
representativo
de respuestas personales dadas por un colectivo amplio de
estudiantes.
Encuentra cuatro tipos bsicos de esquemas personales de
demostracin
matemtica: informal, emprico-inductiva, deductiva informal y
deductiva formal.
Concluye que se puede ampliar el sentido formalista que se da a
la demostracin
hacia la argumentacin informal, la prueba emprico-inductiva, la
demostracin
deductiva informal y la demostracin deductiva formal que
constituyen aspectos
complementarios. stas son fases de un proceso que comienza con
la formulacin
de las primeras conjeturas hasta los procesos finales de
expresin formalizada.
Csar Senz Castro (2001), examina estudios experimentales sobre
la prctica
escolar de la demostracin, los obstculos, las dificultades
epistemolgicas,
cognitivas y didcticas del concepto. Sostiene que la demostracin
lgico
matemtica se puede abordar como un concepto amplio, abierto y
menos formal.
Mediante el anlisis de problemas que tienen como objetivo
estudiar el sistema
conjetura-demostracin, llevados a cabo con estudiantes de
secundaria, concluye
que las tareas matemticas de explorar, formular preguntas,
conjeturar y
reorganizar las conjeturas, son las reas ms atractivas y
aquellas por las que el
aprendizaje de las matemticas puede ser de utilidad. Evidencia
la necesidad de
trabajar el sistema de conjeturas, pruebas y refutaciones.
Juan Godino y ngel Recio (2001), hacen un estudio sistemtico
sobre los
diversos significados de la demostracin en distintos contextos
institucionales, los
que son atribuidos al vocablo por cientficos y comunidad
acadmica, as como su
relacin con otras nociones prximas, tales como explicacin,
argumentacin,
razonamiento, y verificacin.
-
35
Es razonable que los estudiantes tengan dificultades en
identificar el uso de cada
tipo de argumentacin debido a que se encuentran simultneamente
relacionados
con distintas instituciones en las que se ponen en prctica
distintos esquemas
argumentativos.
Concluyen que tales esquemas institucionales de demostracin
pueden ser
factores explicativos de los esquemas subjetivos, por lo que,
deben ser tenidos en
cuenta e investigados con ms profundidad.
Marcelino Ibaes Jaln (2001), intenta dar respuesta a algunos
cuestionamientos
que surgen al reflexionar sobre el aprendizaje de la demostracin
matemtica. En
particular: En qu consiste entender las demostraciones
matemticas? Qu
clase de pruebas convencen a los estudiantes? Reconocen los
estudiantes las
demostraciones matemticas? y Cmo influye la forma de redactar
los
enunciados de los teoremas en su comprensin?
Hace el anlisis de las actividades que realizan los estudiantes
y encuentra que
presentan dificultades en la comprensin para hacer
demostraciones; concluye
que para entender qu es una demostracin y su procedimiento
matemtico, se
deben tener en cuenta tres condiciones, a saber: comprender el
enunciado, lo que
incluye aspectos matemticos, semnticos y lgicos; entender los
pasos,
comprenderla de forma general, y conocer los procesos de clculo,
los de
visualizacin, los de analoga y los geomtricos.
La clase de pruebas que convencen a un estudiante depende de su
esquema de
prueba, en el caso de los bachilleres no es sencillo
determinarlo.
-
36
Carmen Samper de Caicedo y otros (2003), indican que la forma
como se
presenta un problema de demostracin influye en la manera de
entenderlo y
solucionarlo. La formulacin de los enunciados en las actividades
es un
componente fundamental del ambiente de aprendizaje para la
comprensin de los
estudiantes.
Lo que ocup la atencin en la preparacin de las actividades de
Geometra plana,
fue el planteamiento del enunciado que favoreciera la actividad
demostrativa. La
experiencia incluy acciones propias de la heurstica, como
visualizar, explorar,
analizar, conjeturar y verificar.
Concluyen que el anlisis y las descripciones logradas de la
actividad
demostrativa, deja entrever que efectivamente hay diferencias
ocasionadas en la
formulacin del enunciado. Una de ellas tiene que ver con la
anticipacin de una
respuesta: si el enunciado prcticamente la insina o si lo que se
pide es hacer un
estudio acerca de un tema tiene poco sentido explicitar la
intuicin que se pueda
tener al respecto. Otra diferencia tiene que ver con la
posibilidad de enunciar un
teorema en el formato usual de la geometra. Es natural que la
respuesta al
problema planteado sirva de referencia para formular el teorema
y por
consiguiente entre ms disfrazado est el hecho geomtrico, ser ms
difcil para
el estudiante encontrar la esencia del mismo.
Hctor Bohrquez y Ana Ismenia Hernndez de Rincn (2003), estudian
si el
razonamiento comn constituye un obstculo epistemolgico para el
aprendizaje
de la geometra. Los estudiantes tienen la concepcin de que es
vlido razonar en
geometra de la misma forma que se hace usualmente dentro del
contexto
cotidiano.
-
37
Este obstculo se manifiesta por lo general en situaciones para
las cuales, dada la
hiptesis de una implicacin, el individuo presume la unicidad de
dicha hiptesis
por desconocer la existencia de otras que conduzcan a la misma
tesis. La alta
incidencia que se da permite concluir que su presencia se
encuentra generalizada
en la poblacin, lo cual puede caracterizarse como obstculo
epistemolgico.
Marcelino Ibaes y Toms Ortega (2003), estudian el reconocimiento
en diferentes
procesos matemticos con estudiantes de primer curso de
bachillerato.
Determinan las dificultades que los estudiantes tienen en esta
tarea y se proponen
instrucciones mediante las cuales es posible mejorar esta
habilidad.
Por medio de encuestas y actividades se evalan a profesores y
estudiantes de
diferentes niveles sobre si saben identificar qu es una
demostracin. Elaboran el
concepto de reconocimiento como una idea que comprende tres
fases: distincin,
identificacin y toma de conciencia de sus consecuencias.
Algunas de las conclusiones que enuncian son las siguientes: el
reconocimiento
de la demostracin est en relacin con la evolucin del esquema de
prueba del
estudiante y, en gran parte, viene determinado por los esquemas
inductivos. El
reconocimiento de los procesos matemticos por parte del
estudiante puede
mejorar con instrucciones adecuadas.
Antonio Jess Pan Collantes (2005), presenta una demostracin
sobre la
imposibilidad de dar una solucin con regla y comps a los tres
problemas
clsicos de la geometra y lo hace en tres fases:
En la primera fase, trata sobre la aparicin de la regla sin
marcas y comps, y la
importancia que tiene para los griegos resolver los problemas
geomtricos con
stos, ya que se pueden trazar figuras geomtricas con muy buena
simetra.
-
38
Las condiciones que impusieron para construir figuras geomtricas
y las
limitaciones10 que hallaron para solucionar la duplicacin del
cubo, la cuadratura
del crculo y la triseccin del ngulo, condujo a los matemticos11
a averiguar, qu
se poda hacer con regla qu con comps y a plantear alternativas
que facilitara
construir figuras geomtricas; es as como algunos obtuvieron los
resultados
siguientes: mostrar que se pueden hacer algunas construcciones
geomtricas slo
con el comps; probar que toda construccin geomtrica con la regla
y comps
puede ser llevada a cabo con una regla y un comps rgido (Es una
herramienta
que permite trazar circunferencias de un nico radio prefijado);
demostrar que slo
es necesaria una regla y una circunferencia fija en papel para
hacer ciertas
construcciones geomtricas, y probar que las construcciones
geomtricas hechas
con la regla sin marcas y comps se pueden hacer usando slo comps
y una
lnea recta definida por dos puntos, sin trazarla.
En la segunda fase, hace una breve introduccin a la teora
algebraica de cuerpos
y extensiones. Plantea tres definiciones y un teorema 12 para
hacer la
demostracin.
10 Una de las limitaciones que hallaron los griegos para
construir un cuadrado de igual rea que un crculo, est en poder
construir la raz cuadrada del nmero pi. 11 Entre ellos, Carl
Friedrich Gauss, intent construir el heptgono regular usando la
regla y el comps, y demostr que dicha construccin es imposible. No
obstante, aport mtodos para construir figuras de diecisiete lados,
doscientos cincuenta y siete lados, y sesenta y cinco mil
quinientos treinta y siete lados. Adems, que las construcciones con
regla y el comps de polgonos regulares con un nmero de lados impar,
slo eran posibles, cuando el nmero de lados era primo de la serie
3, 5, 17, 257, y 65537 o un producto de dos o ms de stos nmeros. 12
Definicin 1. Un cuerpo es un anillo conmutativo (F, +, ) tal que 0
es distinto de 1 y todos los elementos de F salvo 0 tienen inverso
multiplicativo. Esto es, un cuerpo es un conjunto con las mismas
propiedades para la adicin y la multiplicacin que los reales (R),
los racionales (Q) o los complejos (C). Definicin 2. Dados dos
cuerpos K y K, se dice que K es una extensin de K si K K. Nos
centraremos nicamente en las extensiones de la forma K = K(x), esto
es, el menor cuerpo que contenga a K y a x, siendo x un elemento
que no pertenezca a K (si perteneciese, entonces K(x) = K).
Definicin 3. Se define el grado de una extensin K K y se simboliza
por [K : K] como la dimensin de K considerado como espacio
vectorial sobre K. Es fcil probar que si la extensin es de la forma
K K(x) el grado coincide con el grado del polinomio irreducible con
coeficientes en K que verifica x.
-
39
En la tercera fase, valindose de lo que significa una
construccin con la regla sin
marcas y comps, y de lo planteado en la fase anterior, hace la
demostracin con
cada problema por reduccin al absurdo y concluye, que es
imposible dar solucin
a los tres problemas clsicos.
RESUMEN SINTTICO. Los cuestionamientos que surgen al reflexionar
sobre el aprendizaje de la demostracin 13 matemtica son: En qu se
fundamenta?,
Cules pueden llevar a cabo los estudiantes?, Se puede
identificar una
demostracin matemtica? y En qu forma la redaccin de los
enunciados,
afecta comprenderla? Los anlisis de las actividades de
aprendizaje realizados
para dar respuesta a los cuestionamientos antes planteados
llevan a expresar que
los estudiantes presentan dificultades, obstculos, dificultades
epistemolgicas,
cognitivas y didcticas en la comprensin para hacer
demostraciones. Tambin,
por medio de encuestas y actividades se evalan, a profesores de
diferentes
niveles para saber si pueden identificar lo que es una
demostracin.
Al estudiar el razonamiento comn, en contraste con el cientfico,
conduce a
afirmar que aquel constituye un obstculo epistemolgico para el
aprendizaje de la
geometra. Los estudiantes tienen la concepcin de que es vlido
razonar en
geometra de la misma forma que se hace usualmente dentro del
contexto
cotidiano.
De igual manera, es estudiado el reconocimiento en tareas de
geometra y los
estilos de la demostracin que tienen que ver con el tipo de
inteligencia del Teorema 4. Sean K, F y H tres cuerpos con K F H.
Se verifica que [H : K] = [H : F] [F : K]. (Pan Collantes, 2005).
El subrayado con negrita es nuestro. 13 Aristteles (1997, p.60)
sostiene que la demostracin debe partir de un principio, recaer
sobre un objeto y demostrar algo de ese objeto, es decir, sta se
basa en principios que l denomina axiomas, los cuales deben servir
para demostrar.
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40
estudiante. Por medio de la idea de esquema personal de
demostracin, son
encontrados, cuatro tipos bsicos de esquemas personales de
demostracin
matemtica: argumentacin informal, la prueba emprico-inductiva,
la
demostracin deductiva informal y demostracin deductiva
formal.
Son estudiados los diferentes significados atribudos a la
demostracin, en
distintos contextos institucionales, por cientficos y comunidad
acadmica as
como su relacin con nociones prximas como explicacin,
argumentacin,
razonamiento y verificacin. La que prevalece es la deductiva
formal y lleva a
dificultades.
La formulacin de las actividades es un componente fundamental de
organizacin
de la clase para implementar una concepcin de demostracin. La
forma como se
presenta un problema, influye en la manera de entenderlo y
solucionarlo.
Se hace el anlisis a las respuestas dadas al ejercicio sobre el
corte de un cubo
por un plano para justificar si la seccin es un cuadrado y se
articulan con lo que
se sabe del programa CABRI y se deriva, que no es el programa lo
que puede
generar explicaciones sino el diseo de las actividades, lo que
facilita conseguir
los resultados esperados.
Por ltimo, las condiciones impuestas para construir figuras
geomtricas y las
limitaciones para hallar la solucin de la duplicacin del cubo,
la cuadratura del
crculo y la triseccin del ngulo, llevaron a los matemticos a
buscar soluciones,
lo que dio origen a otras alternativas en el uso de las
herramientas para construir
figuras geomtricas y a demostrar la imposibilidad de darles
solucin.
Las conclusiones, que se derivan de lo tratado sobre las
investigaciones basadas
en la demostracin, son las siguientes:
-
41
El proceso de reconocimiento comprende tres fases: distincin,
identificacin
y toma de conciencia de sus consecuencias.
Las tareas matemticas de explorar, formular preguntas,
conjeturar y
reorganizar las conjeturas, deben ser estudiadas a
profundidad.
La clase de demostraciones que entienden los estudiantes
dependen de su
esquema de prueba.
La argumentacin informal, la prueba emprico inductiva, la
demostracin
deductiva informal, y la demostracin deductiva formal
constituyen aspectos
complementarios de la demostracin.
Una exigencia para el uso del programa CABRI es que la figura
geomtrica
debe conservar su relacin espacial, independiente de los
desplazamientos que se
hagan en la pantalla al dibujo; para ello, se debe comunicar al
computador un
procedimiento geomtrico de construccin.
Para entender qu es una demostracin y su procedimiento se deben
tener
en cuenta tres condiciones: a) comprender el enunciado, los
pasos de la
demostracin y entenderla de forma general, y c) conocer los
procesos de clculo,
los de visualizacin, los de analoga y los de geometra.
La demostracin realizada sobre la imposibilidad de dar una
solucin a los
tres problemas clsicos, muestra que probablemente los griegos no
disponan de
los implementos, de los conocimientos y conceptos geomtricos
para
solucionarlos. La regla y el comps facilitan la solucin de una
buena cantidad de
problemas pero son insuficientes porque algunos no se pueden
resolver.
Las investigaciones consultadas proporcionan las orientaciones
para
implementar una concepcin sobre la demostracin y proporcionan
los
conocimientos que permiten prever cul ser su comportamiento en
el aprendizaje
de conceptos geomtricos para construir poliedros.
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42
1.5 SABERES INCORPORADOS AL ESTUDIO DIDCTICO
Lo tratado en los resmenes y resmenes sintticos facilit
visualizar las
relaciones e implicaciones que hay con el problema de
investigacin. Podra
decirse, que el surgimiento de una avalancha de tecnologas en
los programas
para usar en el computador, alucin a unos profesores, y otros,
rechazaron la
implementacin de stas porque atentaban contra sus prcticas
tradicionales de
enseanza. Dentro de este contexto, se vislumbra que los
ambientes que se
pueden generar, a partir de los programas y las tecnologas
tradicionales, pueden
conducir a integrar, mejorar o generar alternativas, que
posibiliten el uso de las
prcticas tradicionales y modernas.
Desde lo expuesto, los objetos geomtricos que se pueden
movilizar en el saln
de clase que usen tecnologas informticas o herramientas
tradicionales llevan a
plantear en la enseanza estrategias y logsticas que consideren
la presencia de
stos, ya que tanto unos como otros, son medios que permiten
desarrollar de
modo distinto, ciertas habilidades a nivel intelectual y motriz
que movilizan
conceptos, conocimientos, aptitudes y actitudes en el proceso de
aprendizaje.
Se colocarn en relacin los elementos encontrados en los trabajos
sobre las
problemticas afines a esta investigacin y algunos aspectos
epistemolgicos que
definen algunas restricciones del saber objeto de indagacin.
stos, pueden ser
incorporados en el diseo de la instrumentacin y en la
estructuracin de las
respuestas que se dieron a los cuestionamientos que se
formularon.
La interpretacin que se ha hecho permite asegurar que si bien,
las
investigaciones abordan tpicos en relacin directa con las
temticas del estudio
didctico, stas deben ser entendidas como facetas que se pueden
articular, o no,
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43
a ste. Desde est perspectiva, podra decirse que no fue posible
encontrar
estudios que de forma especfica indaguen sobre la construccin
geomtrica de
poliedros usando la regla sin marcas y comps, y el CAD. En este
sentido, los
estudios tipificados slo corresponden aquellos que son afines o
que se
encuentran relacionados con el campo de investigacin.
En cuanto a los conceptos geomtricos que el estudiante debe
poseer, desde lo
tratado en la totalidad de las investigaciones, se podra decir
que se precisa tener
conocimiento de un poliedro, del sistema didrico para construir
los isomtricos y
las vistas.
Establecer relaciones entre las funciones de la regla sin marcas
y comps y los
comandos del programa CAD, tales como: el comando lnea, el
comando punto, el
comando arco y el comando crculo; las representaciones de stos
podran ser
semejantes a los trazos que se hacen con la regla sin marcas y
comps o
viceversa. En este sentido es claro que los conocimientos que
debe poseer un
estudiante para hacer una construccin geomtrica de un poliedro
son aquellos
que se relacionan con los objetos geomtricos bsicos tales como
punto, lnea
recta, plano y sus relaciones.
Las construcciones geomtricas bsicas tales como construir la
mediatriz a un
segmento dado, construir la perpendicular a una recta a travs de
uno de sus
puntos, construir la perpendicular a una recta a travs de un
punto exterior,
construir una recta paralela a travs de un punto exterior a una
recta dada,
construir un ngulo congruente a un ngulo dado, construir ngulos
de 300, 450, y
600, y construir la bisectriz a un ngulo dado, pueden ser
llevadas a cabo con la
regla sin marcas y comps y/o el programa CAD.
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44
En lo referente a las variables macro-didcticas estarn dadas en
funcin de la
verificacin de los conocimientos previos que posean los
estudiantes, las
interacciones y relaciones que se construyen para dar solucin a
las situaciones
problema y la maestra que se tenga en convertir situaciones
problemas para que
el estudiante las lleve a cabo de forma independiente. La
caracterstica
fundamental es que las construcciones geomtricas de poliedros se
puedan
realizar con la regla y comps y el programa CAD o viceversa.
Lo tratado por medio de las tipificaciones indican que las
variables didcticas para
disear situaciones didcticas y adidcticas en la enseanza pueden
ser las que
tienen como referencia el tipo de slido, los programas
graficadores (CAD, CABRI,
LOGO, SCILAB), las escuadras, el transportador, la regla y
comps, ya que con
estos se pueden hacer variaciones en las problemticas que
enfrente el estudiante
al construir un poliedro y mediante stas establecer
diferenciaciones que son
inters en la indagacin. Las actividades que se deben llevar a
cabo son: las que
tienen que ver con los modelos de los poliedros y los enunciados
que por medio
de stos sean propuestos.
Segn lo expuesto en los estudios hallados es necesario disear
las actividades
para conseguir los resultados esperados, y formularlas de tal
forma que sean
claras, que no sugieran posibles respuestas para que los
estudiantes las
entiendan y las puedan resolver. Lo que sirvi para incorporarlo
en las situaciones
que se llevaron a cabo con los estudiantes.
Una actividad central que se previ realizar en este estudio
didctico fue disear
situaciones didcticas y adidcticas para la enseanza de la
construccin
geomtrica de una determinada familia de poliedros, tanto con la
regla y el
comps, y el programa de diseo asistido por computador, teniendo
como
referente la teora de las situaciones didcticas de
Brousseau.
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45
En los estudios expuestos, se percibe que las habilidades de
pensamiento que se
ponen en juego son diversas desde las que hacen referencia a las
concepciones
acerca de la matemtica, mtodos, procesos del pensamiento
matemtico y
caractersticas tpicas de la matemtica entre otras son objeto de
indagacin pero
en este estudio nos interesamos por las que intervienen con el
uso de la regla y el
comps y el programa CAD.
Las que se fomentan en el estudiante con el programa CAD son las
siguientes:
saber encender y apagar el computador, reconocer los conos y
herramientas ms
comunes del escritorio, manejar el puntero del mouse y el
teclado, saber justificar
lo que se hace para construir una figura geomtrica, aprender a
partir de los
errores, acceder a bases de datos por medio de Internet,
interactuar con la
ventana del programa y estimular la creatividad, y las
habilidades que se fomentan
en el estudiante con el uso de la regla sin marcas y comps son:
saber trazar,
conocer las funciones de las herramientas, saber justificar lo
que se hace para
hacer una construccin geomtrica, interactuar en el espacio de la
hoja de papel y
fomentar la iniciativa.
Los requerimientos para que un estudiante transfiera las
habilidades de un
contexto donde se use el programa CAD a otro donde se use la
regla sin marcas y
comps, son: fundamentacin de los conceptos geomtricos
bsicos,
conocimiento de los iconos y los comandos, y realizacin de
ejercicios para
fomentar la capacidad de visin espacial.
En cuanto a la transferencia de las habilidades de un contexto
donde se use la
regla sin marcas y comps a otro donde se use el CAD, y
viceversa, es posible
preverlo con los conocimientos e ideas que plantean las
tipificaciones, mas no se
puede determinar con precisin; es probable que las habilidades
que alcanzan los
estudiantes con un instrumento, se puedan transferir a otro o
viceversa.
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46
Desde una mirada al contexto global de las investigaciones
halladas, los
ambientes propicios que se deducen para orientar y poner en
marcha situaciones
didcticas y adidcticas para construir poliedros usando regla y
comps y el
programa CAD son aquellos donde se puedan generar problemticas
que
permitan fomentar las habilidades motrices e intelectuales en
los estudiantes. Las
herramientas y materiales que deben poseer son: reglas,
compases, el programa
CAD (CD), lpices, marcadores, computadores, mesas, sillas, y
tableros. Desde
esta perspectiva quedan implicados las tcnicas, las tecnologas
que son
incorporadas y los procesos y mtodos que son aplicados.
Las restricciones que se pueden tener en cuenta son las que se
mencionan a
continuacin:
* Desde lo epistemolgico, la complejidad para demostrar y las
dificultades encontradas por el escaso conocimiento geomtrico para
darle solucin a los
problemas 14 de construir algunos polgonos y poliedros, y la
enseanza
basada en la cantidad (lo numrico y la medida), ocasionaron
oposicin para
que la construccin geomtrica fuera un saber poco enseado.
Las tecnologas tradicionales (regla y comps) presentaron
limitaciones
para construir algunas figuras geomtricas, tambin se deriva que
el
aprendizaje de los conceptos geomtricos present dificultades, en
tanto que
la tecnologa informtica (uso del computador y programas
graficadores)
ofrece facilidades para el aprendizaje y la estructuracin del
conocimiento,
favorece fomentar habilidades intelectuales y motrices.
Construir figuras geomtricas usando tecnologa informtica, basada
en
el enfoque de la geometra analtica, puede tener algunas
limitaciones, 14 Problema cientficos = Ideales explicativos
Capacidades corrientes. As pues, el desequilibrio entre I y C es la
fuente de los conflictos que se constituyen en problemas para la
comunidad cientfica y el motor del progreso de la empresa cientfica
en la bsqueda, siempre incompleta, de nuevos re-equilibrios entre I
y C. (Delgado Garca, 2000, p.4).
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47
teniendo en cuenta la demostracin que hizo Antonio Jess Pan
Collantes, al
demostrar la imposibilidad de resolver los tres problemas
clsicos, en la que
se fundament, en planteamientos de la geometra analtica y en la
teora de
cuerpos y extensiones.
En lo que concierne al conocimiento geomtrico para construir
figuras
geomtricas, surge un cuestionamiento alrededor de lo planteado
Cules
son las construcciones que se pueden hacer con dichos
instrumentos?
Desde la perspectiva de este estudio, se articula el proceso de
proyeccin
ortogonal con el proceso de construccin geomtrica,
vinculando
instrumentacin tradicional e informtica, conservando las
condiciones
impuestas por los griegos y asumiendo los principios de la
geometra
descriptiva para hacer la construccin geomtrica.
* Desde lo cognitivo, la poca movilidad que se dio para
construir figuras geomtricas, no contribuy a que se fomentarn las
habilidades motrices e
intelectuales y de visin espacial.
Las ideas originadas por las representaciones fsicas, la
introduccin de
conceptos por medio de modelos fsicos, y los valores humanos,
son
aspectos a tener en cuenta en la formulacin de las situaciones
adidcticas
que sean propuestas y poder lograr as su devolucin.
* Desde lo didctico, el uso de la tecnologa no ha sido
comprendido por los profesores para impartir la educacin valindose
de stos, estableciendo
estrategias para que sea as. sta ofrece ventajas e
inconvenientes y pueden
ser tenidos en cuenta en la forma de ensear y aprender a
construir
poliedros.
Las actividades deben ser preparadas para que permitan al
profesor
orientar y controlar el proceso y favorezca el fomento de las
habilidades; para
ello, es necesario usar los programas graficadores como ayudas
didcticas
para ensear la geometra, ya que facilitan el aprendizaje y
proporcionan
ventajas para trazar y dibujar las figuras geomtricas.
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El anlisis hecho en las investigaciones proporciona argumentos
razonables para
incorporarlos en el diseo de las situaciones y prever los
comportamientos que
tengan los estudiantes para hacer construcciones geomtricas.
Pareciera que las interpretaciones que se pueden dar en forma
global a los
resultados llevarn a dar respuesta a la pregunta de investigacin
planteada.
Desde un punto de vista parcial puede ser que sea cierto, pero
desde la
integracin de las diferentes variables que componen el problema,
faltara
esclarecer los procesos mediante los cuales se puedan establecer
las relaciones
con las interacciones con determinadas poblaciones, con el diseo
de situaciones.
Desde esta perspectiva, las investigaciones expuestas pueden slo
aportar las
orientaciones de las variables referidas a las ventajas y
limitaciones didcticas que
se pueden presentar en la enseanza y aprendizaje de los objetos
geomtricos, el
conocimiento de la instrumentacin y la utilidad de los programas
graficadores.
Finalmente, una tecnologa de inters que se identific para el
estudio en los
resultados de las diferentes investigaciones se centra en
desarrollar estrategias
que resuelvan las dificultades y obstculos que se presentan en
los procesos para
ensear y aprender geometra.
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2. FUNDAMENTOS CONCEPTUALES Y TERICOS
En este captulo se precisaron las caractersticas didcticas a
partir de las
interpretaciones que se hicieron en las diversas fuentes de
informacin que fueron
halladas, en contexto, en las interacciones, en los registros
producidos por los
estudiantes al construir poliedros usando la regla sin marcas y
el comps, y el
programa de diseo asistido por computador y, en las relaciones
que se
establecieron en el interior del sistema didctico en
funcionamiento.
Fueron explicitados los conceptos y los fundamentos que se
requirieron poner en
juego para comprender el funcionamiento del sistema didctico y
las interacciones
entre el profesor, los estudiantes y la instrumentacin. La teora
que fundament lo
antes tratado fu la Teora de las Situaciones Didcticas.
2.1 FUNDAMENTOS CONCEPTUALES
Las herramientas fsicas usadas para construir poliedros fueron:
el lpiz con el que
se dibujo a mano alzada, la regla sin marcas y el comps con los
que se trazaron
lneas rectas y circunferencias, y el computador con el programa
CAD con el que
se hicieron representaciones de lneas rectas, segmentos y
crculos usando
comandos o conos.
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Cuando los estudiantes usaron la regla y el comps y, el
computador con un CAD
para construirlo, se gener un ambiente que los motiv y les
facilit la
estructuracin de los conceptos geomtricos y, fomentaron un
pensamiento
geomtrico ubicado en la modelacin y el diseo, y es probable que
puedan servir
de introduccin al interesante dominio de la automatizacin que
tiene tanta
importancia en la vida moderna (Pontes Pedradas, 2005, p.11). En
la enseanza
sirvieron de ayuda didctica para plantear situaciones y
propiciar las interacciones
entre los estudiantes donde los conceptos geomtricos adquirieron
sentido con
problemticas de la realidad.
Los conceptos geomtricos puestos en juego, resultaron de las
interpretaciones
que se hicieron en propuestas curriculares y textos, con los que
se determin el
saber a ensear teniendo como referente el planteamiento
establecido por Edwin
Hemmerling (2002, p.332) referido a un procedimiento en el cual
todo problema de construccin puede resolverse siguiendo los pasos
siguientes:
Paso I: Un enunciado del problema que dir lo que se va a
construir. Paso II: Una figura representando las partes dadas. Paso
III: Un enunciado de lo que se da en la representacin del paso II.
Paso IV: Un enunciado de lo que se va a construir, es decir, el
resultado final que debe obtenerse. Paso V: La construccin, con una
descripcin de cada paso. Debe darse una justificacin de cada paso
en la construccin.
Paso VI: Una demostracin de que la construccin en el paso V
proporciona los resultados deseados.
L
