Estudo Bobinas Telemetria Sensor

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  • UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA E

    INFORMTICA INDUSTRIAL CPGEI

    Prof. DSc. SRGIO FRANCISCO PICHORIM DAELN

    ESTUDO DE BOBINAS PARA SENSORES E TELEMETRIA

    P E S Q U I S A, E S T U D O & R E V I S O.

    CURITIBA Setembro de 2011

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 2

    1. INDUTNCIAS DE BOBINAS

    A indutncia (L) a propriedade de um circuito eltrico de causar a induo de uma tenso (v) proporcional variao no tempo da corrente (i) no circuito, ou seja

    (1)

    Quando esta tenso induzida no mesmo circuito onde circula a corrente, denomina-se de auto-indutncia. Para circuitos diferentes, L denominado de indutncia mtua. Tanto a auto-indutncia de um circuito como a indutncia mtua (Mij) entre dois circuitos eltricos (Ci e Cj) podem ser determinadas pela equao clssica de Neumann (SILVESTER, 1968; SOMA et al. 1987)

    (2) onde o a permeabilidade magntica do meio (4.10-7 H/m no vcuo), dsi e dsj so os segmentos infinitesimais de cada circuito e Rij a distncia entre os dois segmentos. Como mostrado na figura 1.

    Figura 1 Dois circuitos fechados.

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 3

    1.1 INDUTNCIA MTUA ENTRE ANIS CIRCULARES COAXIAIS

    Para dois circuitos em forma de anis (crculos de raios a e b) coaxiais (no mesmo eixo) e separados por uma distncia D (figura 2), a indutncia mtua entre eles, aplicando a equao de Neumann (SILVESTER, 1968), determinada por

    (3) onde k um fator geomtrico dado por (PICHORIM e ABATTI, 2004)

    (4)

    As funes K(k) e E(k), chamadas de integrais elpticas completas de primeira e segunda espcie, respectivamente, so as integrais definidas (SILVESTRE, 1968)

    (5) e

    . (6) Nenhuma expresso algbrica geral pode ser dada para estas integrais, entretanto

    so de interesse suficiente para formar uma parte da coleo padronizada das funes transcendentais tabuladas ou ainda expressas em srie de potncias (SILVESTER, 1968, SPIEGEL, 1973).

    Figura 2: Bobinas circulares coaxiais (raios a e b, distncia z=D) com representao de

    algumas linhas de campo geradas pela corrente i. Modificado de Pichorim (2003).

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 4

    1.2 AUTO-INDUTNCIA DE UM ANEL CIRCULAR

    A auto-indutncia de um anel pode ser determinada a partir da soluo anterior. Para isso, faz-se a sobreposio dos circuitos i e j (anis de mesmo raio a=b) separados apenas pela espessura do fio condutor (dimetro d) que forma o anel. Fazendo D=d e a=b, o valor do fator geomtrico k (equao 4) tende para 1, j que o raio (a) muito maior que o dimetro (d) do fio (apenas lembrando que se trata de um anel e no de um toro). Contudo, quando k=1, a funo K(k) se torna indeterminada. Assim, uma aproximao mais realstica pode ser obtida desprezando-se o fluxo magntico dentro do condutor (SILVESTER, 1968, TERMAN, 1943). Portanto, a auto-indutncia de um anel (raio a e dimetro do condutor d) pode ser determinada por

    (7) 1.3 AUTO-INDUTNCIA DE UM SOLENIDE (HLICE) DE CAMADA SIMPLES

    Para uma bobina helicoidal (solenide) de raio a, n espiras e comprimento l, a auto-indutncia total (Ls) poderia ser tambm determinada pela equao de Neumann (circuito helicoidal da figura 3 com t variando de 0 a l, ou seja, de comprimento total 2.a.n), mas tambm no existe uma soluo analtica.

    Figura 3- Solenide helicoidal de raio a, comprimento l e n espiras.

    Uma soluo numrica aproximada pode ser obtida considerando-se cada espira

    como um anel, computando-se a contribuio das auto-indutncias de cada espira (Lti) e as indutncias mtuas entre todas as espiras (Mij), ou seja, a auto-indutncia

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 5

    (8)

    O valor de Lti calculado pela equao 7 e Mij (somente para i j) calculado por

    (9) onde b igual ao raio a e Dij a distncia entre as espiras i e j.

    A soluo pode ser implementada numericamente com o auxlio de qualquer software de manipulao matemtica (Excel, MatLab, Mathematica, SigmaPlot) ou mesmo por um programa desenvolvido especialmente para este fim (C++ ou Visual Basic) (ROVERI, 2007).

    Terman (1943) apresenta uma soluo um pouco mais prtica, onde a auto-indutncia (Ls), dada em H, calculada pela simples equao

    Ls = n2.2.a.F/ 25,4 (10) onde o raio a deve ser dado em milmetros e o parmetro F, fator de forma dependente da relao dimetro pelo comprimento do solenide, dado por uma tabela ou pela curva da figura 4 (TERMAN, 1943, tab.12). Uma frmula emprica mais simples e aproximada, vlida para baixas freqncias,

    Ls = n2.a2/(9.a+10.l) (11) onde Ls dado em H, o raio a e o comprimento l devem ser fornecidos em polegadas. Est frmula vlida para solenides longos com l > 0.8.a (TERMAN, 1943).

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 6

    Figura 4 Fator F em funo da relao dimetro pelo comprimento do solenide de

    camada simples. Modificada da Fig.19 de Terman (1943). 1.4 AUTO-INDUTNCIA DE ESPIRAL PLANA (PANQUECA) DE CAMADA SIMPLES

    Para uma bobina espiral (panqueca) de raio interno a, raio externo A e n espiras, a auto-indutncia total (Ls) poderia ser tambm determinada pela equao de Neumann (circuito espiral da figura 5 com comprimento total .n.(a+A)), mas tambm no existe uma soluo analtica.

    Uma soluo numrica aproximada pode ser obtida considerando-se cada espira como um anel, computando-se a contribuio das auto-indutncias de cada espira (Lti) e as indutncias mtuas entre todas as espiras (Mij), assim como foi realizado para o solenide. Para tal, utiliza-se as mesmas equaes 8 e 9, substituindo-se a distncia Dij=0 (as espiras esto no mesmo plano) e fazendo os raios dos anis ai e bj variarem de a at A.

    O raio do anel circular equivalente de cada espira da panqueca (ai ou bj) pode ser determinado pela relao:

    (12) onde a e A so os raios interno e externo, respectivamente.

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 7

    A soluo pode ser implementada numericamente com o auxlio de qualquer software de manipulao matemtica (Excel, MatLab, Mathematica, SigmaPlot) ou mesmo por um programa desenvolvido especialmente para este fim (C++ ou Visual Basic) (ROVERI, 2007).

    Figura 5 Bobina espiral plana (panqueca) de n espiras e raios a e A.

    Grover (1946) apresenta uma soluo um pouco mais prtica, onde a auto-

    indutncia (Ls), dada em nH, calculada pela equao

    Ls = n2.Acm.P.F (13) onde Acm o raio mdio em centmetros, P um valor tabelado que depende dos raios a e A e o parmetro F, tambm tabelado, faz a compensao do espao entre as espiras (GROVER, 1946, tabelas 24, 25 e 26). Terman (1943) apresenta uma determinao grfica para um parmetro K (figura 6) que depende dos raios da bobina, e onde a indutncia (em H) calculada por

    Ls = n2.Am.K (14)

    onde Am o raio mdio em polegadas (TERMAN, 1943, fig. 24). Uma soluo ainda mais simples para a determinao da auto-indutncia de bobinas panqueca, vlida para a < 0,8 A,

    Ls = n2.(A+a)2 / (150.A70.a) (15)

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 8

    onde a e A so em centmetro e Ls dado em H (TERMAN, 1943 e LAGOMA, 1946).

    Figura 6 Parmetro geomtrico K para bobinas espirais planas (panquecas), onde m o

    raio mdio (A/2+a/2) e h a altura da bobina (Aa). Modificada de Terman (1943).

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    2. CAPACITNCIAS DE BOBINAS

    A capacitncia (C) a habilidade de um corpo de armazenar cargas eltricas. Em um circuito eltrico, ela definida com a propriedade de causar a circulao de uma corrente (i) proporcional variao no tempo da tenso (v), ou seja

    (16) 2.1 GEOMETRIA

    De maneira geral a capacitncia calculada entre duas superfcies condutoras planas (de rea A) em paralelo (distncia de separao d) separadas por um meio no condutor com permissividade relativa r

    (17)

    onde o a permissividade do vcuo e vale 8,854 pF/m. No entanto, neste estudo necessita-se da capacitncia entre condutores cilndricos em paralelo (espiras de um enrolamento). Na figura 7 so apresentadas as variveis geomtricas que so envolvidas da determinao da capacitncia entre duas espiras (Ctt) consecutivas. As espiras so de seo transversal circular de raio do condutor r e espessura do isolante t (permissividade relativa r) separadas por uma distncia p. O comprimento da espira (permetro) lt e Do e Dc so dimetros dos condutores, com e sem a camada isolante, respectivamente.

    Figura 7 Geometria e variveis para a determinao da capacitncia entre espiras (Ctt). Modificada de Massarini & Kazimierczuk (1997).

  • Pichorim, S. F. (DSc.) Estudo de Bobinas para Sensores e Telemetria - 10

    2.2 CAPACITNCIA ENTRE ESPIRAS

    Existem vrios artigos com equaes que se aplicam a situaes ligeiramente diferentes para se determinar a capacitncia entre espiras consecutivas (Ctt), a seguir so apresentados alguns exemplos.

    Massarini e Kazimierczuk (1997) apresentam uma equao simplificada mais completa, ou seja

    (18) onde

    (19)

    A partir da equao (18), assumindo que a espessura do isolante t muito pequena, faz-se o limite de ln (Do/Dc) tendendo a zero ser igual a 2.t/Do, tem-se (MASSARINI et al, 1996)

    (20)

    Ou ainda, para os