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Faculdade de Tecnologia de Santo André
Curso de Eletrônica Automotiva
Estudo da dinâmica das rotações e aplicações automotivas como
sistema de controle de estabilidade
Santo André – SP
Outono − 2015
Faculdade de Tecnologia de Santo André
Curso de Eletrônica Automotiva
Estudo da dinâmica das rotações e aplicações
automotivas como sistema de controle de estabilidade
Por
Leonardo Silva Celso
Lucas Almeida de Freitas
Vinícius Amâncio G. Costa
Com orientação desenvolvida pelo
Prof. Dr. Reginaldo de Jesus Costa Farias
Monografia apresentada `a Faculdade de Tecnologia de Santo André como requisito parcial para a obtenção
do título de Tecnólogo em Eletrônica Automotiva.
Comissão Examinadora
Prof. Dr. Reginaldo de Jesus Costa Farias (UEAP) − Orientador.
Prof. Dr. Dirceu Lavoiser
Prof. Cleber William
Santo André − SP
Outono − 2015
FATEC Santo André
Curso de Eletrônica Automotiva
Disciplina
Projeto de Graduação
Orientador: Prof. Dr. Reginaldo de Jesus Costa Farias
Autores
Leonardo da Silva Celso
Lucas Almeida de Freitas
Vinícius Amâncio G. Costa
Santo André − SP
Outono – 2015
Ficha catalográfica
Verso
Agradecimentos
Ao nosso orientador Prof. Dr. Reginaldo de Jesus Costa Farias pela oportunidade е apoio na elaboração
deste trabalho, além das inúmeras palavras e lições aprendidas que nos acompanharão por toda vida.
Aos nossos pais e irmãos pelo amor, incentivo e apoio incondicional.
Abstract
Starting from the study of physical phenomena related to dynamics of rotations we explain the concept of
a gyroscope and its demonstration. We present a research about the applications of the gyroscope
phenomenon and its sensory components in embedded system stability with multiple applications of this
technology in dynamic control systems. Also, present a specific application gyro swing sensor along with its
essential functions of an electronic stability program.
Key words: dynamics of rotation, electronic stability control, gyroscope
Resumo
Partindo do estudo dos fenômenos físicos relacionados a dinâmica das rotações explicamos o conceito de
um giroscópio e sua demonstração. Apresentamos uma investigação sobre as aplicações do fenômeno do
giroscópio e seus componentes sensoriais em sistemas embarcados com diversas aplicações dessa tecnologia
em sistemas de controle dinâmico. Apresentamos também uma aplicação específica, o girômetro de oscilação,
junto com suas funções essências para o funcionamento de um programa eletrônico de estabilidade ESC.
Palavras chave: dinâmica das rotações, controle eletrônico de estabilidade, giroscópio
vii
Sumário Dedicatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Resumo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
Apresentação xiv
Motivação 1
Introdução 2
1 Rotações e momento angular 3
1.1 Cinemática do corpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 O produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 O momento angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.4 Torque e quantidade de movimento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.5 Torque e a quantidade de movimento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 O giroscópio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Giroscópio de demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giroscópio direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Horizonte artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.4 Giroscópio estabilizador de navios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Girocompassos 20
3.1 Girômetro de oscilação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.1.1 Introdução ao Programa Eletrônico de Estabilidade (ESP) para veículos de passeio. . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Ângulo de flutuação e velocidade de guinada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Sensor piezoelétrico de taxa de guinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Conclusões 29
viii
Referencias 31
ix
Lista de ilustrações
Figura 1.1-Regra da mão direita ........................................................................................................................ 4
Figura 1.2- A força F produz um torque Ft.r em torno do centro ................................................................ 7
Figura 1.3-Definindo o torque ................................................................................................................................................ 8
Figura 1.4- Definindo a quantidade de movimento linear de um corpo ..................................................... 9
Figura 1.5- Definindo quantidade de movimento angular de uma partícula .......................................... 11
Figura 2.1 – Precessão de um giroscópio ..................................................................................................... 14
Figura 2.2 – Análise de precessão de um giroscópio ................................................................................... 16
Figura 2.3- Giroscópio de demonstração ...................................................................................................... 17
Figura 3.1 – Giroscópio posicionado no Equador ........................................................................................ 20
Figura 3.2 - Giroscópio com peso apontando sempre para baixo ............................................................. 21
Figura 3.3 – Modelo básico para um sistema de medição com giroscópio· ............................................. 22
Figura 3.4 – Três graus de liberdade de movimento .................................................................................. 24
Figura 3.5 – Dinâmica transversal de um veículo ........................................................................................ 25
Figura 3.6 – ESP com conexões elétricas no veículo .................................................................................... 26
Figure 3.7 – Sensor de taxa de guinada ......................................................................................................... 27
x
Lista de Símbolos
Símbolo 1.1-Produto vetorial ............................................................................................................................. 4
Símbolo 1.2- Produto vetorial e determinante ................................................................................................ 5
Símbolo 1.3-Torque e derivação do momento angular ............................................................................................... 5
Símbolo 1.4- Definição de torque ..................................................................................................................... 7
Símbolo 1.5- Definição de torque ...................................................................................................................... 7
Símbolo 1.6 – Momento angular .................................................................................................................... 10
Símbolo 1.7 – Variação momento angular .................................................................................................... 10
Símbolo 1.8- Vetor momento angular ............................................................................................................ 10
Símbolo 1.9 – Módulo momento angular ...................................................................................................... 10
Símbolo 1.10 – Definição momento angular ................................................................................................. 11
Símbolo 1.11 – Definição momento angular ................................................................................................. 11
Símbolo 1.12– Variação do momento angular ............................................................................................. 12
Símbolo 1.13– Torque externo resultante .................................................................................................... 12
Símbolo 1.14– Integração ................................................................................................................................ 12
Símbolo 1.15 – Movimento Orbital................................................................................................................. 12
Símbolo 1.16 – Movimento Orbital e Momento Angular...........................................................................................12
xi
Apresentação
Este trabalho está disposto em três capítulos, dos quais o primeiro capítulo consiste em uma
abordagem teórica de conceitos físicos relacionados a dinâmica das rotações já conhecidos e
apresentados em diversos livros de física e estudos.
Tais conceitos como: a cinemática de um corpo rígido, torque e momento angular e uma breve
explicação de uma operação de vetores de extrema importância para descrever fenômenos que
envolvem rotações. O conteúdo presente no primeiro capítulo tem a função de nos fazer compreender a
proposta do trabalho e prosseguir com um conhecimento teórico base para os capítulos seguintes.
No segundo capítulo é apresentado o objeto de estudo principal do trabalho, o giroscópio. Contudo
em um primeiro momento apresentado de uma forma simples demais, ou seja, sem muita aplicação ou
até mesmo sem muita compreensão de sua real utilidade.
Porém ainda nesse capítulo explicamos e definimos suas principais características, comportamentos
e sua influência na dinâmica das rotações. Depois de compreendido o conceito e a aplicação do
giroscópio passamos pelas suas aplicações e construções mais básicas até as mais conhecidas e
difundidas que são: a estabilização de sistemas embarcados e os sensores de orientação inercial como o
horizonte artificial utilizado em aeronaves.
No terceiro capítulo entramos mais a fundo no tema estabilização de sistemas embarcados fazendo
uma explanação de um sistema eletrônico de estabilidade automotivo para veículos de passeio e como a
xii
dinâmica das rotações os afeta. Chegando por fim a aplicação de todos os conceitos vistos nos capítulos
anteriores o giroscópio, ou girômetro, em um programa eletrônico de estabilidade automotivo.
1
Motivação
São muitas as brincadeiras que participamos, especialmente quando crianças. Desde as tradicionais,
como rodar um pião ou andar de bicicleta, até as mais modernas, como os jogos eletrônicos em telefones
celulares, encontramos aplicações muito interessantes de uma grandeza física denominada momento
angular.
Talvez os aparatos mais comuns para a verificação de tal grandeza seja mesmo a observação de um pião
em duas situações. A primeira delas é quando ele não está dotado de uma energia cinética de rotação;
permanece naturalmente em repouso em sua configuração de menor energia potencial gravitacional, ou
seja, “deitado”. A segunda é quando ele possui tal energia cinética de rotação capaz de lhe manter girando
por um período apreciável. Neste caso é comum dizermos que o pião está “dormindo”.
O que pouco sabemos quando crianças (e isso não faz diferença alguma durante a infância!) é que
conceitos como o torque, o momento de inércia e o momento angular são algumas das grandezas físicas que
se combinam para apreciarmos essas e outras brincadeiras como plataformas girantes (gira-gira), bicicletas,
giroscópios etc.
Porém, também é um fato que pouco procura-se saber sobre a aplicabilidade dos conceitos até aqui
apenas. Uma breve investigação ou mesmo uma busca singela a sites na internet ou em livros de física básica
mostra que tais conceitos embasam e explicam os mais diversos fenômenos naturais bem como os mais
variados aparatos tecnológicos: estabilidade em sistemas embarcados como carros, motos, aviões, veículos
espaciais, helicópteros, etc.
Como esta breve motivação discorre sobre temas aparentemente sem correlação¸ que abrangem desde
brincadeiras de criança até a explicação da dinâmica planetária, escolhemos a estabilidade de sistemas
embarcados para o nosso TCC por compreendermos que a aplicação dos conceitos físicos fundamentais que
se mostram largamente presentes nas inovações tecnológicas podem otimizá-la.
2
Introdução
Um dos grandes focos do mercado automobilístico é oferecer cada vez mais segurança para o condutor
do veículo e seus ocupantes. Por isso, há muitos anos a uma preocupação em desenvolver e oferecer
soluções e inovações para área de segurança veicular. Observe-se que isto ocorre desde a criação do cinto de
segurança, em 1959 pelo engenheiro sueco Nils Bohlin, até os sistemas eletrônicos embarcados de
segurança que equipam veículos automotores, como por exemplo, o Anti-lock Brake System (ABS), Anti-Slip
Regulation (ASR), Eletronic Braking System (EBS) e o Eletronic Stability Program (ESP).
Neste trabalho focaremos no Programa de Estabilidade Eletrônico Veicular, conhecido como ESP. Este
atua no momento em que o condutor faz uma manobra ou movimento que ofereça riscos de acidente a ele e
aos ocupantes do veículo. Por isso, a indústria automotiva oferece cada vez mais modelos de controle
eletrônico de estabilidade que evitam derrapagens, mudanças de curso para fora da estrada e
capotamentos.
O ESP é um sistema que evoluiu e foi se integrando a partir do ABS. Os sistemas atuais de estabilidade
fazem o controle do veículo por meio de atuadores nos freios em cada roda e do controle do torque gerado
pelo motor. Para o sistema atuar é preciso o monitoramento das intenções de manobra do condutor e as
reações do veículo. Para isso, o sistema se baseia em diversos sensores que são instalados em lugares
específicos do veículo.
Os sensores que fazem a leitura da dinâmica veicular em um dado momento são basicamente os
acelerômetros e giroscópios, além dos sensores de velocidade das rodas e de esterçamento da direção.
Embasados nos princípios físicos da dinâmica das rotações e algumas de suas aplicações iremos
compreender a estabilidade de sistemas embarcados e os fundamentos que regem o funcionamento global
do sistema.
3
Capítulo 1
Rotações e momento angular
1.1 Cinemática do corpo rígido
-Corpo rígido
Um corpo é definido como rígido quando a distância entre suas partículas quaisquer do corpo é
invariável. Embora nenhum corpo rígido seja perfeitamente rígido, entendemos tal conceito como o de um
corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas. Ou ainda pensamos em termos de
deformações suficientemente pequenas para que possam ser desprezados em primeira aproximação.
-Translação
Dizemos que um corpo rígido tem um movimento de translação quando a direção de qualquer segmento
que une dois de seus pontos não se altera durante o movimento. Como consequência todos os pontos
descrevem curvas paralelas, ou seja, superponíveis umas às outras por translação. Observemos ainda que
todos os pontos sofrem o mesmo intervalo de tempo, de modo que num mesmo instante observamos a
mesma velocidade e a mesma aceleração de translação. Para estudarmos o movimento de translação de um
corpo rígido, basta estuda-lo para qualquer um de seus pontos (por exemplo, o centro de massa).
-Rotação
Se fixarmos dois pontos A e B de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida
por AB, pois todos eles têm que manter inalterados suas distancias de A e B. Qualquer partícula do corpo
situada fora desta reta tem que manter invariável sua distância ao eixo AB, de modo que só pode descrever
um círculo com centro nesse eixo. Logo AB é um eixo de rotação: todas as partículas descrevem círculos com
centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo.
4
1.2 O produto vetorial
O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere de o
produto escalar por ser também um vetor, ao invés de escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de seu
vetor resultante ser sempre perpendicular aos dois vetores originais. O produto vetorial será base
indispensável para os futuros temas abordado em nosso trabalho.
O produto vetorial de dois vetores A~ e B~ é o vetor cuja direção é perpendicular ao plano
definido por A~ e B~ e sentido tal que, visto da extremidade de gira aproximando-se de B~, no sentido
anti-horário. A magnitude de nos fornece, na qual α é o menor ângulo entre A~ e B~. Nota-se que esta
magnitude é igual a área do paralelogramo construído sobre os dois vetores. A orientação do vetor C~ é
definida pela regra da mão direita, isto é como se os dedos se curvassem no sentido do vetor A~ para o vetor
B~, tendo como vetor resultante seu polegar apontando para cima, como mostra a figura 1.1. Fonte : Autor
Figura 1.1: Comparação entre as duas figuras.
Fonte: Autor
Observe que nessa definição α é o menor angulo entre os dois vetores e n é um vetor unitário
perpendicular a cada um dos vetores com a orientação de C~.
Como o sentido de rotação de A~ para B~ é contrário ao de B~ para A~ , temos:
( a ) ( b )
5
A~ × B~ = −B~ × A~ (1.1)
Observe que ainda é importante a manutenção da ordem da multiplicação dos dois vetores em um
produto vetorial. Por \im, sera apresentado o produto vetorial na base cartesiana, a saber, i × j = k , j × k =
i e k × i = j e, tambem, a observaçao de que i × i = j × j = k × k = 0.
Há ainda uma maneira mnemônica de desenvolvermos um produto vetorial entre dois vetores escritos
numa base como a cartesiana. Para isso, basta desenvolvermos a relação abaixo como a resolvermos um
determinante1.
(1.2)
1.3 O momento angular
O momento angular é uma grandeza vetorial, em que seu resultado é o produto do momento linear (p) e a
posição (r). Sua unidade no sistema internacional é kg.m2/s ou J/s.
Para entendermos o momento angular devemos ter um ponto de observação (origem), em que uma
partícula em movimento ao redor da origem, irá apresentar um momento angular que será o produto entre
sua posição e seu momento linear.
Por se tratar de uma grandeza vetorial, para sabermos a orientação e o sentido do vetor momento
angular, é necessário fazer o produto vetorial entre o vetor posição e o vetor momento linear, e o resultado
que será o vetor momento angular, sempre será perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e
momento linear.
Outra grandeza vetorial que está intimamente ligada ao momento angular é o torque. Assim para
grandezas angulares o torque em uma partícula é a taxa de variação do momento angular (dL~) durante
certo período (dt).
1 O determinante ´e uma grandeza escalar...
6
(1.3)
Sendo assim, podemos entender a lei de conservação do momento angular. A lei de conservação do
momento angular diz que o momento angular total em certo instante inicial (ti), é igual ao momento angular
total em certo instante posterior (tf).
Para que exista a conservação do momento angular em um sistema o torque externo resultante deve ser
nulo. Como o momento angular é uma grandeza vetorial ele apresenta componentes em três direções
mutuamente perpendiculares entre si. Assim, dependendo do torque externo aplicado ao sistema, pode
ocorrer a conservação do momento angular em uma ou duas direções, mas não em todas.
Em suas aplicações a lei de conservação de momento angular está ligada a uma distribuição de massa, de
forma que há uma variação no momento de inércia de um corpo que está girando em torno de um eixo.
Como o momento angular será o mesmo, serão sua velocidade angular e momento de inércia que irão
variar. Quando sua velocidade angular está baixa o momento de inércia do corpo é alto, e quando a
velocidade angular é alta, seu momento de inércia é baixo, isso sem nenhuma influência de um torque
externo.
1.4 Torque e quantidade de movimento angular
Introdução ao torque
O torque é uma grandeza vetorial da física, que é definido a partir de uma força que é aplicada sobre um
objeto com a função de fazê-lo girar em torno de seu próprio eixo ou em torno de um ponto central que é
definido sobre este objeto, que é chamado de ponto pivô.
7
Figura 1.2: A força F produz um torque Ft.r em torno do centro
Fonte: Tipler, 2006, p.308
Calculando torques
A figura 1.2 mostra uma força F~ agindo em um corpo de massa m, que tem seu movimento restrito a
girar em torno de um eixo fixo, que é expresso através de O. Na figura, ~r é o vetor distância do ponto de
aplicação da força F~ a partir do ponto O.(a) Devido ´a força F~ sobre o corpo, é gerado um torque ~τ que é
expresso pela seguinte equação:
~τ = F~ ×~r, (1.4)
na qual Ft representa a componente tangencial da força.
A princípio, está fórmula é tudo que se precisa para calcular o torque, porém, os cálculos se tornam mais
simples, se houver expressões alternativas. Pode-se ver que
(1.5)
na qual φ é o ângulo da direção radial da força (Fr) e a direção da força (F~), portanto, pode-se dizer que
.
8
Figura 1.3: Comparação entre as duas figuras.
Fonte: Tipler, 2006, p.308
Na figura 1.3 pode-se ver que rsenφ = ℓ na qual φ é a distância perpendicular entre o eixo fixo O e a linha
de ação (linha na qual é aplicada a força).
9
1.5 Torque e a quantidade de movimento angular
Figura 1.4: Comparação entre as duas figuras.
Fonte: Tipler, 2006, p.340
A figura 1.4 exibe um corpo de massa m, com uma velocidade v, em uma posição r em relação a um ponto de
origem O. A quantidade de movimento linear deste corpo é definida por
P~ = m~v (1.6)
10
A quantidade de movimento linear é o que torna possível estudar a transferência de movimento. Como
por exemplo, numa partida de bilhar, vemos que uma bolinha transfere seu movimento para outra bolinha.
A quantidade de movimento angular deste mesmo corpo é definida como o produto vetorial da posição
(~r) e quantidade de movimento linear (p~), portanto
L~ = ~r × p~ (1.7)
Movimento angular é uma grandeza física que envolve movimento de rotação e translação deste corpo, e
relaciona a distribuição de massa deste corpo no espaço. Como por exemplo, uma bailarina rotacionando em
seu próprio eixo com os braços abertos. Quando a bailarina deixa os braços rentes ao corpo, a velocidade
dela aumenta, pois, a distribuição de massa da bailarina fica menor, acontecendo o fenômeno da
conservação angular.
Se os vetores ~r (vetor posição) e p~ (quantidade de movimento linear) forem posicionados no plano
entre os eixos x e y, o vetor L~ (quantidade de movimento angular) ficará paralelo ao eixo z, como ilustrado
na figura (??). Assim, o vetor L~ é expresso como:
L~ = ~r × p~, (1.8)
cujo módulo é dado por
L = m · v · r · senφ, (1.9)
Na qual φ é o ângulo que se forma entre os vetores ~r e p~ nos eixos x e y.
11
Figura 1.5: Comparação entre as duas figuras.
Fonte: Tipler, 2006, p.340
A figura 1.5 ilustra uma partícula de massa m, velocidade ~v a uma posição ~r em relação ao ponto de
origem O. Esta partícula está presa em um disco circular com massa desprezível, que está apoiado no plano
xy. O disco gira em torno de seu eixo e tem uma velocidade angular ω. A velocidade ~v da partícula e a
velocidade angular do disco (ω) estão relacionadas por ~v = ~r × ω~.
Neste caso, a quantidade de movimento angular desta partícula será expressa por
L~ = ~r × p~ = ~r × m~v,
cujo módulo é dado por
(1.10)
L = m · v · r · senφ = mr2ω (1.11)Neste caso, o termo mr2 é o momento de inércia da partícula, ou seja, expressa o grau de dificuldade em
se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação, em relação ao eixo z. Uma vez que isso acontece,
tem-se
12
L = m · r2 · ω (1.12)
Existem diversos resultados relacionando o torque e à quantidade de movimento angular. Citamos, por exemplo
(1.13)
Vemos nesta fórmula que o torque externo resultante é igual a taxa de variação do movimento angular
em função da variação do tempo da quantidade de movimento angular do sistema. Se realizarmos a
integração de ambos os lados desta equação em relação ao tempo:
Z
∆L~sistema = τExternoresultantedt (1.14)
Decompõe-se o total de quantidade angular em relação a um ponto O em duas: Quantidade de
movimento angular. Orbital e quantidade de movimento angular de rotação. Como por exemplo, a terra
apresenta uma quantidade de movimento angular devido a sua rotação em seu próprio eixo e tem uma
quantidade de movimento angular orbital devido ao seu movimento orbital em torno do sol, portanto a
quantidade de movimento angular da terra em relação ao sol é a soma das quantidades de movimento
angular de rotação e orbital.
L~ = L~Orbital + L~rotacao, (1.15)
na qual LOrbital representa a quantidade de movimento angular de uma partícula de massa m localizada no
centro de massa e se move com a mesma velocidade deste.
L~Orbital = ~rcmxm~vcm (1.16)
na qual Lrotacao representa a quantidade de movimento angular do sistema em relação a seu centro de massa.
13
Capítulo 2
O giroscópio
A partir dos conceitos físicos apresentados como o torque, movimento angular e conservação do movimento
angular podemos agora apresentar o objeto principal de estudo deste trabalho, o giroscópio.
Os giroscópios podem ser objetos muito intrigantes, pois se movem de formas peculiares e parecem
desafiar a gravidade. Estas propriedades especiais fazem do giroscópio um objeto extremamente
importante, sendo usado em bicicletas, sistemas de navegação avançados como em aviões, em sistemas de
estabilidade veicular e naval e em sistemas de orientação inercial. Um avião comum usa uma média de uma
dúzia de giroscópios. A estação espacial russa Mir usava 11 giroscópios para manter sua orientação com o
sol, e o telescópio espacial Hubble possui também muitos giroscópios. Efeitos giroscópios são também
usados em brinquedos como ioiôs e frisbees.
Um giroscópio simples é formado por uma roda, que é fixada em um eixo e é livre para girar nesse eixo
como é visto na figura abaixo. E ele possui dois comportamentos, que são: a roda cair livremente se não
apresentar nenhuma rotação e o outro a roda girar em torno do seu próprio eixo e em torno do ponto O,
movimento chamado de precessão. Esses comportamentos serão explicados a seguir.
14
Figura 2.1 – Precessão de um giroscópio
Fonte: Halliday, 2011, p. 315
A roda cai livremente
Se a roda estiver parada, sem apresentar rotação o único movimento que será capaz de fazer é em direção
para baixo, isso devido a força gravitacional (Fp=Mg) aplicada sobre ela. Se a roda não girar ela não vai
poder fazer outra coisa a não ser descer. Nessa condição o torque produzido pelos vetores força
gravitacional multiplicado pelo vetor r é igual a T = m · g · r · sen90◦ = Mgr. Sendo r a distância entre o ponto
O e o eixo de rotação da roda.
Nesse caso o torque é horizontal e a quantidade de movimento angular inicial é nula, de modo que a
variação na quantidade de movimento angular é igual a própria quantidade de movimento angular que
também é horizontal.
O movimento de precessão
Já a roda girando apresenta movimento angular (vecL), que pode ser observado na imagem na mesma
direção do eixo x. Este movimento angular (L~) é resultante do produto entre a velocidade angular da roda
15
(ω) e o seu momento de inércia (I~), assim L = ω · I. A força gravitacional (Fp) multiplica por r vetorial tem
como resultado um torque em direção ao eixo y, ou seja, a força gravitacional é direcionada para baixo, mas
o torque resultante é lateral.
Para entender o movimento de precessão devemos lembrar que a variação da quantidade de movimento
angular da roda deve estar no sentido do torque resultante que age sobre ela, podemos observar esse
fenômeno na figura abaixo, onde o torque resultante se encontra na horizontal, ou seja, no mesmo plano do
vetor quantidade de movimento angular L~.
Assim temos uma grande quantidade de movimento angular direcionada ao longo do eixo da roda e uma
variação na quantidade de movimento angular dL~ no mesmo sentido do torque ~τ. Podemos observar na
figura essa variação do movimento angular no sentido do torque, que faz a roda girar em torno do seu eixo
fixo, o ponto O, e o movimento angular em torno do eixo da roda faz com que a roda permaneça girando em
torno do seu próprio eixo, apresentado quantidade de movimento angular devido a sua rotação em torno de
seu eixo e translação em torno do eixo fixo. Esse movimento, que impressiona quando observado pela
primeira vez, é chamado de precessão.
16
Figura 2.2 – Análise da precessão
Fonte: Tipler, 2006, p.345
Recapitulando, agora podemos responder à pergunta mais comum, quando o movimento de precessão
do giroscópio é observado pela primeira vez, porque o giroscópio em rotação permanece suspenso em vez
de cair, como o giroscópio estacionário?
Porque quando o giroscópio em rotação é e liberado, o torque produzido pela força gravitacional (Mg),
faz variar, não um momento angular que é inicialmente nulo como visto anteriormente quando o giroscópio
não apresenta rotação, mas um momento angular já existente, graças a rotação da roda. Concluindo o torque
pode mudar a orientação de movimento angular L, mas não seu módulo que é conservado pela lei de
conservação do movimento angular.
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Agora a partir desse ponto do trabalho iremos exemplificar algumas das aplicações mais comuns de
giroscópios como instrumentos de precisão, antes de falarmos da nossa aplicação principal que é o
giroscópio em um sistema eletrônico automotivo.
2.1 Giroscópio de demonstração
A figura abaixo mostra um giroscópio de demonstração, uma vez que o rotor do giroscópio é girado em
certa orientação, o mesmo permanece nesta mesma orientação até mesmo se levantarmos a base ou se
movermos ao redor de uma direção arbitrária.Se empurrarmos o ponto A para baixo, criando um torque
no giroscópio, o mesmo não irá se mover para baixo, irá se mover lateralmente, na direção de Y. Portanto
se produzirmos um torque ao redor de qualquer eixo, o mesmo sempre irá rotacionar
perpendicularmente ao torque.
Figura 2.3 – Giroscópio de Demonstração
Fonte: Fenyman, dicas de física, p.110
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2.2 Giroscópio direcional
Veremos um exemplo de giroscópio direcional: Com um avião realizando curvas de um lado para o outro, o
piloto fica sem orientação nenhuma, com o giroscópio direcional, ele sempre aponta a mesma direção,
ajudando o piloto a restabelecer sua orientação.
Quando o avião está no solo, deve-se calibrar sua bussola magnética para fixar o eixo do giroscópio para
alguma posição, digamos o norte. Assim sendo, que em qualquer manobra que o piloto realizar, o giroscópio
estará apontando o norte, dando uma direção, para o piloto não perder sua orientação.
2.3 Horizonte artificial
É um dispositivo feito para sempre determinar a direção para cima. Para realizar isso, com avião em solo,
deve-se calibrar o giroscópio com o eixo para cima, assim sendo, com o avião no ar, realizando manobras e
rodopiando o giroscópio, o mesmo manterá sua orientação vertical, ajudando o piloto a se manter
orientado.
Se adicionarmos um peso aos gimbals no ponto A do giroscópio, ilustrado na figura 4.1, com isso, o ponto
A ficará para baixo, com o seu eixo na vertical. Quando o avião está em linha reta, devido gravidade, o peso é
puxado para baixo, e tende o giro a se manter na vertical, porém quando o avião se move para outro ângulo,
o giroscópio resiste precessão (fenômeno físico que consiste na mudança do eixo de rotação de um objeto) e
se move apenas um pouco. Consequentemente, quando o mesmo parar de fazer manobras, o peso puxará o
mesmo para a mesma direção que estava.
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2.4 Giroscópio estabilizador de navios
Neste caso, não é apenas um giroscópio comum com seu eixo vertical para manter o navio estável, pois se
um torque lançar a frente do navio para cima, este giroscópio iria precessar para um lado, fazendo com que
o navio balance muito. Devido a este problema, um giroscópio comum não funciona. Em vez disso, o navio
tem um giroscópio muito pequeno, que é chamado de giroscópio mestre, com seu eixo na vertical como por
exemplo. No momento que um torque é gerado no navio, o mesmo irá balançar, fazendo com que o
giroscópio mestre saia um pouco do eixo vertical, neste momento, o giroscópio mestre gera contatos
elétricos, que ativa um giroscópio auxiliar gigante, que é usado somente para estabilizar o navio. Se o navio
começar a balançar para direita ou para esquerda, o giroscópio move-se para frente ou para trás, no sentido
contrário do balanço do navio, e isso acontece para endireitar o navio.
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Capítulo 3
Girocompassos
Veremos outro dispositivo usado em navios, chamado de girocompasso. Ao contrário de um giroscópio
direcional que aponta o Norte, porém se desvia um pouco do Norte devido ao atrito presente nas
planetárias, e deve ser ajustado periodicamente. Devido a esse desvio, um girocompasso busca o
“verdadeiro” norte, que é no sentido de rotação da terra.
Suponha que estamos olhando para terra em algum lugar do polo norte e girando ao redor dela no
sentido anti-horário, e montamos um giroscópio em algum lugar, digamos no equador.
Figura 3.1 – Giroscópio posicionado no Equador
Fonte: Feynman, dicas de física, p.115
Seis horas depois, o giroscópio permanece apontando para a mesma direção pois não existe nenhum
atrito e nenhum torque no giroscópio, mas se nós tivéssemos parados olhando para ele, iramos perceber o
giroscópio girando lentamente, e seis horas depois ele deveria estar apontando para cima. Agora, imagine se
colocarmos um peso no giroscópio, mostrado na figura abaixo, o peso iria deixar o eixo de giro
perpendicular a gravidade, ou seja, para baixo.
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Figura 3.2 - Giroscópio com peso apontando sempre para baixo
Fonte: Feynman, dicas de física, p.116
E devido ao fato da terra girar, o peso irá se levantar e com certeza o peso irá descer depois, e devido a
isso, criará um torque paralelo `a rotação da terra, que fará que o giroscópio gire em ângulos retos. Se o eixo
do girocompasso aponta para o norte, não há razão para que o girocompasso saia desse modo. Porém, se o
mesmo estiver apontando um pouco para Leste-Oeste e como a terra gira, o peso dirigirá o eixo em direção
ao norte. Assim que este dispositivo sempre procura o Norte.
Melhorias na construção e no design de giroscópios
Os melhores giroscópios que poderiam ter feitos hão mais ou menos 10 anos, possuem um deslocamento de
2 a 3 graus, como por exemplo, se você estava viajando em um submarino por dez horas, o eixo de seu
giroscópio poderia estar fora mais de 30 graus. O primeiro e principal truque para melhorar os giroscópios
foi colocar a roda do giroscópio dentro de uma lata e mergulhá-la no óleo. A lata é completamente cercada
por ´óleo e livre para girar ao redor de seu eixo, igual mostra a figura abaixo
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Dessa maneira, há muito pouco peso a ser sustentados nos pivôs, logo os anéis de sustentação podem ser
utilizados para sustentar os pivôs. Os anéis de sustentação suportam pouca força lateral, porém não
precisam suportar muita força lateral, e eles possuem um atrito muito pequeno. Essa foi a primeira grande
melhoria: flutuar a roda do giroscópio e usar anéis de sustentação no pivô para sustentar tudo isso.
Outra maneira de melhoria foi o fato de nunca usar o giroscópio para criar nenhum tipo de força ou
forças muito grandes. De maneira que nós temos falado, a roda do giroscópio precessa sobre o eixo de saída,
e nós medimos quanto é essa precessão.
E foi-se criando mais métodos em todos esses anos para a criação de um giroscópio melhor e mais
preciso. O maior princípio de todos os dispositivos de precisão desse tipo, não é tanto em fazer tudo
perfeito, mas fazer tudo bem definido e preciso.
Figura 3.3 – Modelo básico para um sistema de medição com giroscópio
Fonte: Feynman, dicas de física, p. 120
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3.1 Girômetro de oscilação 3.1.1 Introdução ao Programa Eletrônico de Estabilidade (ESP) para veículos de
passeio
Segundo Bosch (2005, pg. 820) ” O programa eletrônico de estabilidade, ESP (controle da dinâmica do
veículo) é um sistema de controle no sistema de freio e na árvore de transmissão, que evita a derrapagem
do veículo. O ABS evita o bloqueio das rodas ao frear, o ASR evita que as rodas patinem ao tracionar, ESP
garante que o veículo não ”empurre” ou fique instável ao dirigir. ”
Inicialmente, o sistema ESP utiliza algumas características da dinâmica veicular para fazer um controle
sobre o veículo por meio do monitoramento de certos aspectos ligados à dinâmica de movimentos laterais
apresentados por ele e seu comportamento de auto condução influenciada em conjunto com o
escorregamento dos pneus.
O controle dinâmico do veículo é embasado no monitoramento dos três graus de liberdade de
movimento apresentados, que são: velocidade em torno de seu eixo longitudinal, velocidade em torno de
seu eixo transversal e velocidade em torno de seu eixo vertical, que correspondem, respectivamente, aos
movimentos de rolamento, arfagem e guinada.
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Figura 3.4 – Três graus de liberdade de movimento
Fonte: Norma SAE
O ESP atua quando a trajetória do veículo não condiz com suas características de ângulo de
esterçamento, apresentando um ângulo de flutuação (β) ou de rolagem, como visto na figura abaixo que
indica o ângulo de inclinação da carroceria, e certa velocidade de guinada que indica a velocidade em que
esse mesmo ângulo está variando.
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Figura 3.5 – Dinâmica transversal de um veículo
Fonte: Bosch, Manual de Tecnologia Automotiva, p.821
O sistema atua controlando esse ângulo de flutuação e velocidade de guinada como mostra a figura
abaixo.
1. entrada de grau, ângulo do volante fixo;
2. percurso em pista de boa aderência;
3. percurso em pista lisa, com controle de velocidade de guinada;
4. percurso em pista lisa com controle adicional do Ângulo de flutuação (ESP).
Para fazer tal controle, o sistema utiliza de uma lógica onde são comparados os comportamentos,
nominal e real do veículo, com intuito de minimizar tais diferenças entre seus comportamentos para um
melhor controle sobre o sistema.
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O comportamento nominal é basicamente o desejo do motorista em realizar certas manobras durante a
condução do veículo. Para isso o sistema capta alguns sinais essenciais, pois são os parâmetros de entrada
do controlador do ESP. Os parâmetros são giro do volante, através do sensor de ângulo da direção(6),
desaceleração desejada, através do sensor de pressão prévia(8), o torque de tração desejado, a partir do
sistema de gerenciamento do motor(3), coeficiente de aderência e velocidade do veículo, os quais são
fornecidos pelos sensores de velocidade nas rodas(2), sensor de aceleração lateral (9), sensor de velocidade
de guinada (9) e sensor de pré-carga(5).
Figura 3.6 – ESP com conexões elétricas no veículo
Fonte: Bosch, Manual de Tecnologia Automotiva, p.828
Assim diante desses parâmetros e cálculos feitos pelo sistema de controle, o programa de estabilidade
atua de duas maneiras, através da unidade hidráulica dos sistemas ABS e ASR, onde se possibilita a
frenagem das 4 rodas, e do gerenciamento do torque gerado pelo motor, via interface CAN, para o controle
do escorregamento de tração quando o veículo se encontra em situações de risco, ou apresenta trajetória
para fora da estrada.
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3.1.2 Ângulo de flutuação e velocidade de guinada
O principal controlador da dinâmica do veículo em um programa eletrônico de estabilidade é sempre
verificar o estado das variáveis angulo de flutuação e velocidade de guinada. A componente chave desse
sistema é o sensor giroscópio ou um girômetro de oscilação.
A localização desse sensor deve estar o mais próximo possível do centro de massa do veículo, podendo
ser encontrado montado no habitáculo ou no porta-malas.
Os girômetros de oscilação em princípio nada mais são que giroscópios mecânicos. Só que utilizam a
aceleração de coriólis que ocorre durante o movimento de rotação para fins de medição. Esses sensores
medem a taxa absoluta de guinada, com relação ao eixo Z do veículo. Apresentaremos um tipo de girômetros
utilizados no mercado automotivo: sensor piezoelétrico de taxa de guinada.
3.1.3 Sensor piezoelétrico de taxa de guinada
Figura 3.7 – Sensor de taxa de guinada
Fonte: Bosch, Manual de Tecnologia Automotiva, p.121
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A estrutura do sensor consiste em 4 pares de elementos piezoelétricos(1 a 4), cilindro de oscilação(5),
uma placa base(6), e pinos de conexão(7) que fixam o sensor a algum local.
O sensor funciona da seguinte maneira: os pares de elementos piezoelétricos que são chamados de nós
reagem `a rotação do cilindro base devido a rotação numa taxa de guinda, assim esses nós apresentam um
deslocamento periférico induzindo forças proporcionais à velocidade de rotação.
Os pares 1-1 induzem oscilação radial ressonante num cilindro oco metálico, 2-2 controla o cilindro
numa amplitude de oscilação constante, 3-3 detecta o estado de deslocamento periférico dos nós e a força
que surge nesse momento e o 4-4 produz um valor de referência igual 0.
Esse sistema, aliado a uma filtragem usando retificação de fase fixa e um complexo circuito de
compensação para lidar com a sensibilidade desse sensor a temperatura, fornece um sinal de saída
extremamente preciso para ser utilizado pelos calculadores do sistema de estabilidade.
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Conclusões
A primeira análise feita neste trabalho nos traz a refletir sobre como os princípios físicos torque e
momento angular, apresentados no primeiro capítulo através de cálculos e sistemas físicos básicos,
conseguem explicar e moldar inúmeros modelos de aplicação da dinâmica das rotações. Mostramos
como estes conceitos estão relacionados a lei da conservação do momento angular, onde devido a essa
lei de conservação do momento podemos entender de que modo os giroscópios funcionam e como
podemos utilizá-los como poderosos instrumentos de precisão tanto de orientação inercial como de
navegação espacial.
A análise feita sobre a precessão dos giroscópios é o que nos faz entender que em um sistema em que
o giroscópio estiver ligado a uma alimentação devida e com o seu eixo de saída devidamente
monitorado, podemos utilizar esse comportamento, de precessão, para fins de medição. Uma vez
posicionado o giroscópio em uma determinada orientação qualquer movimento que fizemos para tirá-lo
dessa orientação nos proporcionará um sinal de saída elétrico correspondente ao quanto o giroscópio
apresentou precessão.
Quando falamos dos sistemas eletrônicos de estabilidade para veículos de passeios podemos
trazer a toda a teoria mostrada anteriormente para uma aplicação de nosso interesse e também de
interesse para o setor automotivo, a física a eletrônica e a engenharia em prol da segurança veicular.
Exemplificando o funcionamento geral, mostramos como as principais variáveis controladas por um
sistema eletrônico de estabilidade, como o ângulo de flutuação (β), são dependentes dos conceitos físicos
apresentados no trabalho e como os comportamentos apresentados pelo sistema dependem de um
sensor giroscópio para realizar a leitura necessária da dinâmica veicular, para que se possa intervir no
sistema antes de acontecer um desvio de trajetória do veículo.
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O ângulo de flutuação (β), causado por uma tendência da dinâmica veicular em fazer o veículo girar
em torno de seu eixo Z apresentando um movimento de guinada, afeta o sensor giroscópio, no caso
girômetro de oscilação, fazendo a precessão, nesse momento os circuitos integrados ao sensor realizam
a medição do sinal de saída, que é proporcional ao quanto a carroceria girou em torno do eixo Z. Assim
com base nesses valores medidos e em valores de referência extraídos de testes o controlador do
sistema ESP decidi a melhor maneira de atuar para que o veículo permaneça em sua trajetória.
O desenvolvimento deste trabalho nos trouxe um conhecimento muito profundo sobre o uso do
efeito giroscópico e suas aplicações, principalmente na tecnologia automotiva. Entendemos a real
utilização do giroscópio como um sensor de estabilidade, seu comportamento e como podemos utilizar
desse comportamento para realizar um sensoriamento de um sistema de controle de estabilidade.
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Bibliografia
[1] Fundamentos da Física vol. 1 – 8 Edição - Halliday Resnick
[2] Física para cientistas e engenheiros Vol.1 - 5a Edição - Paul A. Tipler e Gene Mosca, 2006
[3] Lições de Física de Feynman - A Edição Definitiva Dicas de Física parte 4 - Richard P. Feynman
[4] Manual de Tecnologia Automotiva – 25 Edição - Robert Bosch
[5] Revista Scientific American Brasil nº 59 págs. 92 e 93 - abril 2007
[6] The Mechanical Universe and Beyond" – Caltech - 1985 / 86
