Embed Size (px)
Citation preview
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria de Fátima Aleixo de Luna
Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de
Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva
Construtivista
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2009
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria de Fátima Aleixo de Luna
Estudo das Trajetórias Hipotéticas da Aprendizagem de
Geometria Espacial para o Ensino Médio na Perspectiva
Construtivista
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a
orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.
São Paulo
2009
Banca Examinadora
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
À memória de meu avô Manoel Luiz Batista , por suas grandes histórias , fé e perseverança.
Muitos foram os momentos de ausência, mas
nunca permitimos estranhamentos. Ao contrário,
nos momentos mais difíceis, vocês me retribuíram
além de flores, o mais importante: sorrisos e
abraços! Demonstraram maturidade, em uma fase
de muitas transformações em nossas vidas.
A meus queridos,
Stéfano e Luna
A meu esposo Jeferson Marcial, pela compreensão
e apoio a continuação de meus estudos.
AGRADECIMENTOS
O presente trabalho é fruto de vivência pessoal e profissional. Diante deste fato, muitas
pessoas contribuíram para minha formação. Na impossibilidade de registrar todos os
agradecimentos, deixo meu cordial:
Muito obrigada!
Há pessoas que não poderiam deixar de ser citadas, pois estiveram diretamente
envolvidas na construção deste projeto que contribuíram significativamente em mais
de uma etapa de minha vida.
A Deus, pela vida e, por sempre apresentar caminhos que me levam a continuar na fé,
vencer os desafios, inclusive o de vivenciar um curso de mestrado (não foi fácil, mas não
impossível).
Ao prof. Dr. Armando Traldi Júnior, orientador e cooperador, que soube ser paciente
e dedicado sem perder o rigor, compreendendo minhas limitações, acreditando que elas
poderiam ser aprimoradas (muitos foram os “nãos”, porém essenciais à minha
formação acadêmica).
À Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires e ao Prof. Dr. Armando Traldi Junior pela
coordenação do grupo de pesquisa responsável pela inserção de meu trabalho no projeto, por
proporcionar discussões e sugestões que serviram de crescimento, aprendizado e incentivo à
realização deste estudo.
Um especial agradecimento aos colegas do curso de mestrado, pela colaboração e
incentivo nos momentos mais difíceis.
A Márcia Maioli, por suas sugestões e paciência em observar as atividades.
À Profa. Dra. Rosa Monteiro Paulo e ao Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud, por
aceitarem o convite para participar da banca examinadora e por suas valiosas
contribuições, enriquecendo o estudo.
À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, pela bolsa concedida, tornando
realidade um desejo antigo.
Ao corpo docente do Curso de Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP,
pelo empenho e dedicação profissional. Serão eternamente lembrados.
Ao secretário Francisco Olímpio da Silva, por sua organização e atenção as nossas
solicitações.
Aos docentes, estudantes e equipe gestora da EE Prefeito Nestor de Camargo, que
carinhosamente me permitiram adentrar em seu espaço escolar e vivenciar com eles o
desenvolvimento desta pesquisa.
A meus pais, Felisbela e Alfredo, meus pilares de apoio.
A meus irmãos: Mardônio, César, Manoel, João e Bruno, por compreenderem as
constantes ausências e pela torcida.
A meus sogros, Cacilda e Aristides, minha permanente gratidão pelo esmero com meus
tesouros: Stéfano e Luna.
A meu querido amigo Américo Augusto Barbosa, que constantemente me apoiou,
com palavras de incentivo e esperança.
Aos valiosos amigos, Expedito e Valdeci, pela dedicação e paciência ao saberem tolerar as
lamentações emergidas de meus desabafos.
Aos professores que ao longo desta jornada tive o prazer de rever: Maria Jesuína
Moreira da Costa e Wladimir Nascimento da Silva; e a tantos outros que conheci:
Desiree Ziglio, Heliel Ferreira dos Santos, Maria Geovane Queiroz Bispo, Paulo de
Melo Pereira e Oliveira da Silva Reis.
A extinta EE “Professor Taro Mizutori” e a todos que por ela passaram, foram muitos
anos de convivência e respeito mútuo, aprendendo a trabalhar em equipe (nosso time
continua no coração).
A você, prezado docente, que tem a preocupação de aprimorar não apenas seus
conhecimentos, mas que também considera a possibilidade de alternativas de
trabalho, uma perspectiva de aprender e ensinar.
À professora Ivone Borelli pela atenção e cuidados com a revisão desta pesquisa.
Muito obrigada!
RESUMO
O objetivo da presente pesquisa foi verificar a possibilidade de compatibilizar
perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de
ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem. Faz parte do projeto de pesquisa denominado “Construção de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e implementação de Inovações Curriculares em Matemática no Ensino
Médio”. A fundamentação teórica apoiou-se nas obras de Simon (1995) a respeito de Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA). O estudo realizado foi de natureza qualitativa e envolveu três professores de Matemática da rede pública de São Paulo e
suas atuações com 104 alunos da segunda série do Ensino Médio. A partir do Ciclo de Ensino de Matemática desenvolvido por Simon, elaborou-se THAs, buscando a proposição de tarefas que explorassem investigação, uso de tecnologia, contextos do
cotidiano e em outras áreas de conhecimento e da própria Matemática. Os dados foram coletados por entrevistas semiestruturadas, questionário e observações em dois diferentes momentos: antes e durante o desenvolvimento das THAs. Verificou-se que,
embora as THAs sejam potencialmente ricas, no sentido de produzir situações em que o professor cogite e participe constantemente da (re) organização do planejamento escolar, compreende-se que a THA por si só não garante uma aprendizagem sob perspectivas
construtivistas. Desse modo, constatou-se, conforme já mencionado por diferentes autores, que o professor exerce papel fundamental na mediação da construção do conhecimento de seus alunos. Quanto à atuação do professor, considerou-se que esse
caminho continua sendo desafiador, no sentido dos docentes estarem dispostos a aproximar-se do universo das pesquisas e formação continuada, apoiando-se em diferentes metodologias e procedimentos didáticos. Em relação aos estudantes,
percebeu-se que seu envolvimento apresenta-se mais promissor, quando participa de tarefas que envolvem o uso de tecnologia e manipulação de materiais, particularmente, em relação aos conceitos e procedimentos da Geometria Espacial.
Palavras-chave: Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem. Perspectiva Construtivista. Geometria Espacial. Ensino Médio. Educação Matemática.
ABSTRACT
The aim of this research was to investigate the possibility of harmonizing constructivist
learning perspective to the planning of education, in collaboration researcher and teacher in the particular geometry of space and check the performance of teachers of mathematics in relation to plan activities education, consistent with a constructivist view of
learning. Part of the research project "construction of hypothetical learning trajectories and implementation of curricular innovations in mathematics in high school." The theoretical foundation was based on the works of Simon (1995) about hypothetical learning
trajectories (HLT). The study was qualitative and involved three mathematics teachers from the public schools of Sao Paulo and his performances with 104 students in the second year of high school. From the stages of Mathematics developed by Simon, was
elaborated HLTs, seeking proposing tasks that explore research, use of technology, everyday contexts and in other areas of knowledge and of mathematics itself. Data were collected through semi-structured interviews, questionnaires and observations at two
different times: before and during the development of MASD. It was found that although the MASD are potentially rich in order to produce situations in which the teacher participates cogito is constantly (re) organization of school planning, it is understood that
the HLT itself does not guarantee a constructivist learning perspectives. Thus, it was found, as already mentioned by different authors, the teacher plays a fundamental role in mediating the construction of knowledge of their students. The performance of teachers, it
was considered that this path is still challenging in the sense of teachers' willingness to approach the world of research and continuing education, relying on different methodologies and didactic procedures. For students, it was felt that their involvement has
become more promising, when participating in tasks that involve the use of technology and materials handling, particularly in relation to the concepts and procedures of the Space Geometry.
Keywords: hypothetical learning trajectories. Constructivist Perspective. Space Geometry. High School. Mathematics Education.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA ............................................................................ 12
I Introdução ........................................................................................................... 12
II Problemática ...................................................................................................... 15
III Metodologia e procedimentos metodológicos .................................................. 20
Metodologia ...................................................................................................... 20
Procedimentos metodológicos ......................................................................... 20
Definições para a análise de dados ................................................................. 21
Desenvolvimento da pesquisa .......................................................................... 23
IV Cenários da pesquisa ...................................................................................... 24
Caracterização da escola ................................................................................ 24
Caracterização dos professores colaboradores .............................................. 25
Caracterização dos estudantes ....................................................................... 28
V Estrutura do trabalho ........................................................................................ 28
CAPÍTULO 1 .............................................................................................................. 30
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 30
1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia da
matemática ..................................................................................................... 30
1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista ........................... 32
1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática ......................................... 34
1.2 Trajetórias(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon ....................... 35
1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon ............................... 36
1.2.2 Composição das trajetórias hipotéticas de aprendizagem segundo
Simon .................................................................................................... 38
1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem ..................... 40
1.3 Considerações e reflexões do nosso grupo de pesquisa ............................... 41
1.4 Revisões bibliográficas acerca de investigações sobre ensino
aprendizagem em Geometria Espacial .......................................................... 44
CAPÍTULO 2 .............................................................................................................. 56
A CONSTRUÇÃO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM
SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL (THA) ............................................................ 56
2.1 A construção das THAs .................................................................................. 56
2.2 Motivações para elaboração da primeira versão das Trajetórias Hipotéticas
de Aprendizagem em Geometria Espacial ..................................................... 56
2.3 Definições de expectativas para aprendizagem dos estudantes ................... 59
2.4 Considerações a respeito do software Poly ................................................... 60
2.4.1 O programa Poly ................................................................................... 60
2.5 Hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes ..................... 60
2.6 Composição e elaboração da primeira versão das THAs .............................. 63
2.6.1 Elaboração da primeira atividade .......................................................... 64
2.6.2 Elaboração da Segunda atividade ........................................................ 66
2.6.3 Elaboração da Terceira atividade .......................................................... 67
2.6.4 Elaboração da Quarta atividade ............................................................ 68
2.6.5 Elaboração da Quinta atividade ............................................................ 70
2.7 Plano para atividades de aprendizagem ........................................................ 71
2.8 Leituras da primeira versão das THAs pelos professores colaboradores ...... 72
2.9 Resultados da discussão da THA com o grupo de professores
colaboradores e proposição da segunda versão das THAs ........................... 73
CAPÍTULO 3 .............................................................................................................. 76
O DESENVOLVIMENTO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE
APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA E A ATUAÇÃO DOS PROFESSORES
E ESTUDANTES .................................................................................................. 76
3.1 Observações e reflexões em relação ao desenvolvimento das THAs em
salas de aula .................................................................................................. 77
3.1.1 Organização da classe e “clima” dominante ......................................... 78
3.1.2 Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de
aprendizagem ........................................................................................ 79
3.1.3 Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e
implicações deles na busca de soluções .............................................. 80
3.1.4 Dificuldades observadas e possíveis causas ........................................ 81
3.1.5 Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou
interdisciplinares e recursos tecnológicos ............................................. 83
3.1.6 Adequação do tempo previsto para as tarefas ...................................... 84
3.1.7 Intervenções do professor durante a realização das atividades,
socialização e sistematização das conclusões ..................................... 84
CAPÍTULO 4 .............................................................................................................. 88
NOVOS CONHECIMENTOS DECORRENTES DAS TRAJETÓRIAS
HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM .......................................................... 88
4.1 Novos conhecimentos dos professores colaboradores – momentos de
reflexões do grupo .......................................................................................... 88
4.2 Novos conhecimentos da pesquisadora – reflexões de uma professora-
pesquisadora .................................................................................................. 91
4.3 Sugestões para mudanças nas THAs ............................................................ 94
CAPÍTULO 5 .............................................................................................................. 96
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 96
REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 100
ANEXOS ..................................................................................................................... 106
Anexo A – Questionário para os professores colaboradores................................ 106
Anexo B – Roteiro para observações do desenvolvimento das aulas – O
professor em relação às THAs ........................................................... 109
Anexo C – Apresentação das atividades das THAs com os respectivos
objetivos de aprendizagem................................................................. 111
Anexo D – Relatórios da pesquisadora sobre o desenvolvimento das aulas...... 136
12
APRESENTAÇÃO DA PESQUISA
I Introdução1
Desde 1997, lecionando a disciplina de Matemática, muitas vezes,
deparamo-nos com diferentes desafios. Entre eles a escolha de conteúdos e as
metodologias de ensino destacaram-se em nossas preocupações. Em relação
aos conteúdos, o que mais chamou a atenção foi o da Geometria, visto que
durante nossa trajetória como aluno foi o conteúdo menos abordado pelos
professores.
Diante do exposto e das inquietações com minha própria formação, em
2006, participamos do curso de Especialização em Educação Matemática para
Professores do Ensino Médio oferecido pela Pontifícia Universidade Católica –
PUC/SP em parceria com a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo. O
curso possibilitou-nos explorar e conhecer alguns resultados de pesquisa sobre o
ensino e aprendizagem de Matemática.
Entre os módulos abordados, destacamos o tema que envolve Geometria
que nos proporcionou refletir sobre sua didática e aproximou-nos de teorias e
metodologias de trabalho. Isto me levou a ingressar no Programa de Estudos de
Pós-Graduados em Educação Matemática, pela mesma instituição.
Desse modo, ao Inserir-me em uma das linhas de pesquisa deste
programa “Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores”,
envolvi-me em discussões sobre as implementações de inovações curriculares ____________ 1 Esta dissertação está conforme as regras do Acordo ortográfico.
13
em Matemática para o ensino Médio. Em busca de desenvolver propostas
didáticas para subsidiar reflexões no processo de ensino e aprendizagem de
Matemática, participei do projeto de pesquisa denominado “Construção de
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem e Implementação de Inovações
Curriculares em Matemática no Ensino Médio”, coordenado pelos professores
Armando Traldi Júnior e Célia Maria Carolino Pires, que tem como investigação
os currículos de Matemática no Ensino Médio.
O projeto compõe-se de um conjunto de pesquisas de mestrado e
doutorado que se orientam por algumas referências teóricas comuns. A motivação
para o desenvolvimento do projeto derivou da necessidade de propostas de apoio
à inovação curricular na área de Matemática, considerando alguns princípios
apresentados nas Diretrizes e Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio.
A presente pesquisa tem como objetivo verificar a possibilidade de
compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a
planificação do ensino, em colaboração pesquisador e professor, no caso
particular da Geometria Espacial e verificar a atuação do professor de
Matemática no que se refere às atividades de planejamento de ensino, de
forma compatível com uma perspectiva construtivista de aprendizagem.
Por considerar o termo planificação polissêmico, algumas definições foram
pesquisadas nos dicionários2, como por exemplo, “Ato ou efeito de planificar”;
“Planejamento”; “submeter a um plano”; “Estabelecer planos para implantação ou
execução de serviços”; “Traçar ou desenhar num plano”. Salientamos que, em
nossa pesquisa e nas considerações de Simon (1995), o termo planificação de
ensino tem um sentido amplo e, relaciona-se à ação de desenvolver (desenhar)
um plano de ensino que, em colaboração, professor e pesquisador verifiquem a
possibilidade de desenvolver, na perspectiva construtivista, o ensino da
Geometria Espacial. Nesse sentido, planificar o ensino potencializa desenhar um
contexto vivo e atual do movimento da sala de aula, mostrar possibilidades de
trabalhos, envolvendo os principais agentes do processo ensino e aprendizagem:
estudantes e professores.
____________ 2 http://houaiss.uol.com.br (acesso em 25/06/2009);
Dicionário Completo da Língua Portuguesa – Folha da Tarde. [Coordenação de Flávio Bonfim Pestana]. São Paulo: Melhoramentos, 1992 (31994.) pg. 713
14
Na expectativa de atingir o objetivo desta pesquisa nossa proposta é
elaborar e avaliar trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THAs), que consistem
em definir os objetivos da aprendizagem dos estudantes, tarefas matemáticas que
serão usadas para promover a aprendizagem e levantamento de hipóteses sobre
o processo de aprendizagem dos estudantes, conforme formulação de Simon
(1995).
Para Simon (1995), a geração de uma THA prima por buscar as formas
pelas quais o professor desenvolve seu planejamento para atividades de sala de
aula, identificando como o professor interage com as observações dos
estudantes, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos
conhecimentos.
Assim, consideramos esta investigação relevante, pois poderá contribuir
para a melhor compreensão do papel do professor na elaboração e
desenvolvimento de atividades e com o processo de ensino e aprendizagem dos
estudantes do Ensino Médio em tarefas que envolvem resolução de problemas,
investigação, uso de tecnologias, aplicações de conceitos e procedimentos
matemáticos a situações do cotidiano e em outras áreas de conhecimento. Este
estudo envolveu três professores da rede estadual de ensino e suas atuações
com 104 estudantes da segunda série do Ensino Médio.
A elaboração e o desenvolvimento das THAs sobre a Geometria Espacial
apoiam-se nas orientações dos PCNEM3, PCNEM+4 e OCEM5, que abordam
situações-problema de maneira contextualizada e interdisciplinar. Assim,
procuramos algumas pesquisas na área do ensino e aprendizagem de Geometria
nos Programas de Pós-Graduados da Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo – PUC/SP e Universidade de São Paulo – Faculdade de Educação – USP,
cuja finalidade é situar o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo
de atuação Matemática, para formar subsídios na elaboração da primeira versão
da Trajetória Hipotética de Aprendizagem.
____________ 3 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 1999. 4 Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2002. 5 Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias -
Vol. 2, 2006.
15
II Problemática
Para melhor compreensão de algumas dificuldades relativas ao ensino e
aprendizagem de Geometria e sua inserção no currículo, apresentamos um breve
histórico, com algumas reflexões curriculares e didáticas. Estas reflexões
possibilitaram-nos mostrar alguns dos problemas que favorecem baixo
rendimento na aprendizagem dos alunos, entre eles: a ausência do ensino de
Geometria, a prática e as escolhas metodológicas dos professores.
Miorim (1998) refere que, com a expulsão dos jesuítas do Brasil (1759) e a
estruturação da Reforma Pombalina (1772), inserindo aulas de disciplinas
isoladas, como Aritmética, Álgebra e Geometria começam a ocorrer mudanças no
ensino brasileiro, especialmente no que se refere ao ensino de
Matemática/Geometria.
Ao longo do percurso educacional, houve outras mudanças, como a
Reforma Francisco Campos (1931) com a finalidade de possibilitar um ensino
mais articulado, unindo Álgebra, Aritmética e Geometria em uma única disciplina:
a Matemática. Em contrapartida, na sequência, passamos pela Reforma Gustavo
Capanema (1942), que não prosseguiu com as inovações curriculares da época.
Para Pires (2006), as reformas curriculares exerceram um importante papel
na história da educação brasileira. O Movimento Matemática Moderna (MMM) foi
um dos principais marcos das reformas, ocorrendo alterações curriculares em
vários países, inclusive no Brasil, sendo vinculadas por meio de livros didáticos.
Na apresentação do programa MMM, conforme a autora citada (p. 19), a divisão
era composta por quatro temas: – Relações e funções – Campos numéricos –
Equações e inequações e Geometria. Nesse período, embora a Geometria
estivesse entre os quatro temas desse programa, a autora assinala que a
Geometria e as medidas foram abandonadas, ou melhor, a Geometria era tratada
como tema ilustrativo dos conjuntos ou da álgebra (p. 19).
Ressaltamos que o objetivo do estudo realizado não foi apresentar e
discutir as reformas educacionais ocorridas, porém consideramos importante
compreender um pouco do processo educacional brasileiro. Então, citá-las tem o
propósito de situar o contexto histórico do ensino da Geometria, para que
16
possamos entender um pouco o desencadeamento dos fatos educacionais e suas
influências como métodos e a construção do currículo de Matemática.
Também merecem destaque, as afirmações feitas por Almouloud e Mello6
(2000) a respeito do MMM nas décadas de 1960/1970, como sendo um dos
fatores que influenciaram a formação inadequada de muitos professores no que
tange a aspectos da Geometria. Os autores incluem ainda a formação inicial dos
docentes em relação aos cursos de magistério, bem como os de licenciatura e
formação continuada, destacando que ainda não houve mudanças significativas
nos resultados sobre a aprendizagem dos estudantes e as posturas de novas
práticas do ensino de Matematica, disseminando o estudo da Geometria.
Outro aspecto curricular relevante que se discute é o proposto nas
Diretrizes Curriculares do Ensino Médio, como por exemplo, a importância da
exploração de situações contextualizadas a serem trabalhadas por meio da
resolução de problemas. Esta perspectiva de trabalho, embora tenha o apoio
teórico e uma série considerável de experiências, é ainda pouco conhecida pela
maioria dos professores que recebeu uma formação exatamente na direção
oposta.
Os PCNEM enfatizam que o papel da Matemática no Ensino Médio não é
apenas formativo (que ajuda a estruturar o raciocínio dedutivo) ou instrumental
(ferramenta que auxilia em todas as atividades humanas), mas que ela também
deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas.
Nesse sentido, o documento destaca a importância do aluno perceber que
definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função
de construir novos conceitos e estruturas, com base em outros e que servem para
validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. Propõem ainda que cabe
apresentar ao aluno o conhecimento matemático de modo que ele possa buscar
novas informações e instrumentos necessários para que seja possível continuar
aprendendo. As diferentes funções da Matemática devem ser discutidas e
estimuladas de modo que sejam equilibradamente trabalhadas.
____________ 6 http:/anped.org. br.
17
Atualmente, as preocupações em torno de aspectos metodológicos, as
abordagens do ensino de Geometria e outros temas do curriculo da Matemática,
incluíndo a própria prática do professor, vêm sendo refletidas nas várias
pesquisas em Educação Matemática.
Apesar de existirem muitas pesquisas na área de Educação Matemática,
inclusive focando assuntos geométricos, difundindo a importância de seu ensino,
há certo distanciamento na incorporação dos resultados desses trabalhos e
menos ainda no que tange ao debate e pesquisa sobre questões curriculares pela
comunidade de professores de Matemática.
Para Pires (2009), parte bastante significativa das pesquisas em Educação
Matemática que foram desenvolvidas ao longo das últimas décadas situam-se no
campo da Didática da Matemática e inscrevem-se no campo das abordagens
construtivistas, colocando o foco na construção dos conhecimentos matemáticos
pelos estudantes.
Conforme cita a autora, apoiada em nossas reflexões no grupo de
pesquisa, é bastante frequente certo desconforto quanto à discussão sobre
“currículo” – entendido como planificação de uma trajetória a ser realizada por
alunos, seja ao longo da educação básica ou do ensino superior. Esse
desconforto é causado por uma ideia bastante comum de que, em uma
perspectiva construtivista, esse percurso deve ser ditado pelos interesses dos
alunos e sem definições prévias de conteúdos.
Nesse contexto, consideramos que as questões curriculares podem estar
influenciadas pelo processo de ensino e aprendizagem, pois, envolve a postura
do professor, sua prática na sala de aula e seu diálogo com os alunos.
Assim, compreender a importância do debate sobre as questões
curriculares e metodológicas, especificamente, as ações dos professores na sala
de aula, verificar como as dificuldades sentidas por eles e como as THAs podem
colaborar no processo metodológico, consideramos que o desenho dessa
trajetória, as ações didáticas, pode contribui para verificar a atuação e o olhar dele
para a mudança do quadro do conhecimento da Geometria Espacial.
18
Ainda no âmbito da Educação Matemática, temos as questões referentes à
mudança da prática do professor.
Ao desenvolver uma pesquisa a respeito da mudança da prática de ensino
de Matemática, com professores da Rede Pública, em cursos de formação
continuada sobre sua atuação como professor universitário, Hiratsuka (2004)
entrevistou professores e analisou seus discursos com intenção de apresentar
categorias que lhe permitiram interpretar a respeito do processo da origem da
mudança da prática do professor.
O autor ressalta que:
A mudança da prática do professor é um tema importante e muito presente, pois vários trabalhos desenvolvidos nesse campo buscam apresentar ou subsidiar alternativas metodológicas para a mudança da prática dos professores, e mesmo certos trabalhos das áreas de filosofia e epistemologia têm por objetivo fundamentar ações de mudança da prática (tradicional), a qual é associada a um quadro problemático, até de fracasso, do ensino da Matemática. (HIRATSUKA, 2004, p. 22)
Na sequência, o autor relata que a percepção de descontentamento e, até
mesmo, da angústia de alguns professores com suas práticas e a percepção de
sua ação na convivência com esses professores, pouco auxiliaram na superação
desses sentimentos. Hiratsuka suponha que o problema desses professores
estava em suas formações, pois eles não dominavam o conteúdo que deveriam
ensinar. O autor citado considera também que, ao melhorar a formação
matemática deles e o fato de indicar métodos alternativos do ensino de
Matemática, os problemas eram resolvidos. Entretanto, afirma que os professores
continuavam descontentes com suas práticas. Inquieto com essas e outras
preocupações, Hiratsuka traz o foco de sua pesquisa para a questão da mudança,
como mudar, especialmente, na questão sobre como o professor vive a
experiência da mudança da prática de ensino de Matemática. O autor prossegue,
afirmando que o “ato de mudança, passa por um certo estranhamento em relação
a uma prática habitual. Esse estranhamento poderá conduzir o professor a se
abrir para o real significado de sua prática e a conscientizar-se do papel de seu
ensino, especialmente, para a vida do aluno”.
19
Nesse aspecto, Hiratsuka afirma que:
De qualquer forma, é o professor, e somente ele, quem se impõe a tarefa de mudar. Somente uma escolha consciente, de um homem livre, poderá levá-lo a vencer a insegurança e a superar os obstáculos próprios da conquista de uma prática não habitual. Ele fará a escolha por si, mas não sozinho. Estará no mundo coexistindo com outras pessoas. Dessa forma, poderá ser importante, para a sua decisão, um relacionamento Eu/Outro, estabelecido com uma pessoa através de um diálogo genuíno, em que haja respeito mútuo. Pessoa que poderá discutir sobre Educação como algo maior do que o processo de ensino e que poderá discutir sobre a mudança, prestar-lhe um apoio próximo e, portanto, ser muito significativo nas suas escolhas e na vivência da modificação da prática de ensino. (HIRATSUKA, 2004, p. 42)
Em contrapartida, entendemos que mudanças de qualquer natureza, não
acontecem imediatamente; assim a necessidade de mudar requer antes de tudo,
estabelecer novos hábitos e adaptações na própria metodologia de trabalho do
professor.
Em face dessas e outras questões a respeito do currículo de Matemática,
da formação de professores e da prática docente temos como objetivo de
pesquisa: verificar a possibilidade de compatibilizar perspectivas construtivistas
de aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e
professor, no caso particular da Geometria Espacial e, verificar a atuação do
professor de Matemática no que se refere às atividades de planejamento de
ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de
aprendizagem. Sendo assim, propomos as seguintes questões de pesquisa:
a) Como compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem
com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e
professor, no caso particular da Geometria Espacial?
b) Que atuação pode ter um professor de Matemática no que se refere
às atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com
uma perspectiva construtivista de aprendizagem?
20
III Metodologia e Procedimentos Metodológicos
Apresentamos nesta seção a descrição de nossa metodologia de pesquisa,
bem como os procedimentos metodológicos que permitiram observar e coletar
dados, aproximando-nos da dinâmica do desenvolvimento das THAs em sala de
aula.
Metodologia
Em relação aos tipos de metodologia de pesquisa, Bogdan e Biklen (1994)
consideram como pesquisa qualitativa quando apresenta as seguintes
características: a fonte direta de dados é o ambiente natural – no caso da
investigação realizada a coleta de dados foi feita na própria escola onde os
professores trabalham; a investigação é descritiva. Neste estudo, buscamos
descrever todas as observações. Assim, consideramos nossa pesquisa de
natureza qualitativa e o interesse do investigador é mais no processo do que no
produto.
Procedimentos Metodológicos
Bogdan e Biklen (1994) descrevem que na Investigação Qualitativa, uma
das estratégias mais representativas é a “observação participante”, processo pelo
qual o investigador insere-se ou já faz parte do grupo das pessoas que pretende
estudar e tenta conhecê-las, permitindo que elas o conheçam, e realiza registro
escrito mais próximo possível do que observa.
Para Dencker e Viá (2001), pesquisar implica observar de forma
sistemática e controlada a realidade, procurando revelar todos os seus aspectos
sem, contudo, apoiar-se em ideias preexistentes. Diante da impossibilidade de
descrever a totalidade das ações, o que define a observação sistemática é a
finalidade, porém o principal critério da observação deve ser a relevância do fato.
Como primeiro instrumento para coleta de dados, realizamos as
observações em três diferentes momentos: o primeiro, durante as intervenções
dos professores na leitura da THA, o segundo no decorrer do desenvolvimento
das THAs realizadas na sala de aula, acompanhadas pelas interações
21
professor/aluno e, o terceiro momento, após o desenvolvimento das atividades,
que foram influenciadas pelas interações dos estudantes, professores e
pesquisadora.
O segundo instrumento utilizado para a coleta de dados foi a entrevista,
que apresenta o caráter de complementar os dados colhidos pela observação, na
medida que permite obter elementos pessoais mais detalhados de cada sujeito de
estudo, como suas concepções, ideias, perspectivas e as interpretações das
suas vivências profissionais (Patton, 1987 apud Traldi, 2006).
As entrevistas realizadas tiveram o objetivo de coletar, de maneira informal,
dados em relação à prática pedagógica, conhecimentos tecnológicos e diálogos a
respeito das concepções dos professores colaboradores com a finalidade de
aproximar as relações profissionais, na expectativa de criar um ambiente
favorável ao diálogo permitindo, assim, melhor interação entre docentes e
capturar suas ideias e reflexões em relação à prática docente dos envolvidos no
processo.
O terceiro instrumento de coleta de dados foi o questionário7 distribuído
aos três professores, complementando nossas observações e registros baseados
nas entrevistas, permitindo obter informações a respeito da formação acadêmica,
tempo de magistério, cursos que frequentou ou frequenta e sobre o modo como
entendem o processo de ensino e aprendizagem, envolvendo temas geométricos.
Dessa forma, estruturamos a coleta de dados do estudo realizado que se
configurou pela triangulação, que, de acordo com André (1995), significa
combinar diferentes fontes de dados, métodos de coleta e perspectivas de
investigação. É percebida como uma estratégia para enriquecer a validade da
pesquisa, proporcionar ao pesquisador a possibilidade de construir explicações
dos fenômenos sociais a partir dos quais as evidências emergem.
Definições para a análise de dados
Para Bogdan e Biklen (1994), iniciar a análise de dados é começar o
processo de busca e organização sistemática dos dados coletados. Em nosso
____________ 7 Anexo A.
22
trabalho, os dados foram colhidos por meio das observações, entrevistas e
questionários. Na análise, o objetivo é compreender o que foi reunido no quadro
teórico, visando à compreensão do problema de pesquisa e responder às
questões de investigação.
A análise pode acontecer em diferentes momentos do estudo, isto é,
concomitantemente à coleta de dados ou após a mesma (BOGDAN E BIKLEN,
1994). Em nossa pesquisa, os dados foram coletados, em sua maioria, antes da
análise.
Com a finalidade de responder às questões de pesquisa e, tendo clareza
de que a preocupação com o processo é muito maior do que o produto,
ressaltamos que o interesse maior da investigação não foi a elaboração das
THAs, bem como constatar seu funcionamento mas sim verificar a atuação do
professor em relação aos objetivos de aprendizagem, metodologias de trabalho,
enfim, sua prática docente. Assim, decidimos observar e descrever a atuação do
professor em relação às THAs, com proposição de relatar os acontecimentos o
mais próximo possível da realidade da sala de aula.
Para melhor compreensão em relação às observações do desenvolvimento
das THAs pelos professores, algumas categorias foram sintetizamos no quadro-
resumo a seguir:
Unidade de Observação: O professor em relação às THAs
Campo de Observação Categorias de Observação
O professor em relação às THAs
1) Organização da classe e “clima” dominante 2) Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos
objetivos de aprendizagem 3) Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das
tarefas e implicações deles na busca de soluções 4) Dificuldades observadas e possíveis causas 5) Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas
ou interdisciplinares e recursos tecnológicos 6) Adequação do tempo previsto para as tarefas 7) Intervenções do professor durante a realização das
atividades, socialização e sistematização das conclusões
23
Desenvolvimento da Pesquisa
O desenvolvimento da presente pesquisa foi organizado em três fases:
Fase 1: preparação para o estudo: encontros e discussões no grupo de
pesquisa, revisão bibliográfica referente s pesquisas sobre o ensino e
aprendizagem de Geometria Espacial.
Fase 2: elaboração da trajetória hipotética de aprendizagem pela
pesquisadora, ou seja, definição de objetivos de aprendizagem, indicação
das hipóteses sobre a aprendizagem dos alunos e escolha das tarefas;
discussão da trajetória hipotética de aprendizagem no grupo de pesquisa;
entrevistas com os professores colaboradores do projeto; apresentação da
trajetória hipotética de aprendizagem com os três professores do Ensino
Médio; avaliação dos professores das THAs, com base em seu
conhecimento docente;
Fase 3: desenvolvimento das THAs em três salas de aula pelos
professores colaboradores, com observação direta da pesquisadora.
Entrevista com os três professores do ensino médio, buscando a avaliação
do desenvolvimento das THAs, na interação com os alunos. Discussão
com os três professores a respeito de possíveis mudanças nas THAs;
finalização da pesquisa; escrita da dissertação e elaboração das
considerações finais.
Conforme as etapas de organização citadas acima, o construto das THAs
sobre Geometria Espacial foi fruto de encontros e discussões com o grupo de
pesquisa e desenvolvido com base nos objetivos de aprendizagem dos
estudantes.
Nesse contexto, a pesquisa foi realizada com três professores
colaboradores da rede estadual de São Paulo em uma escola de Ensino Médio,
em dois períodos (vespertino e noturno), na qual foram desenvolvidas as THAs
acompanhadas pela pesquisadora. As quinze aulas, disponibilizadas em
24
cinqüenta minutos cada, foram acompanhadas por registros escritos, com base
no roteiro de observações8 realizadas pela pesquisadora.
IV Cenário da Pesquisa
A seguir descrevemos o cenário do projeto de pesquisa, caracterizando a
escola, professores e estudantes.
Caracterização da escola
O desenvolvimento das THAs ocorreu em uma escola da rede estadual de
ensino situada na zona oeste de São Paulo, embora a escola tenha quase 15
anos de existência, atualmente, está locada em um novo prédio, situado em um
polo industrial, na qual compartilha9 o espaço físico com uma escola da rede
municipal de ensino. Localizada a 26 km do centro da grande metrópole, tem
2000 metros quadrados de área construída, distribuídos em 17 salas de aulas, um
laboratório para ciências físicas, biológicas e químicas, uma sala de informática
(em reforma), uma biblioteca, uma cozinha, pátio e quadra esportiva.
Possui o total de 984 estudantes, distribuídos em dois períodos: vespertino
(240) e noturno (744), contemplando o ensino para Jovens e Adultos (ENCEJA –
Ensino Fundamental e Médio) e o Ensino Médio Regular. A faixa etária dos
estudantes varia entre 14 a 60 anos. Atende estudantes da própria comunidade e
da cidade vizinha por fazer divisa com outro município.
Nosso foco de observação no desenvolvimento das THAs foi apenas das
três salas do segundo ano do Ensino Médio Regular. Duas destas salas no
período vespertino e uma no noturno.
____________ 8 Anexo B. 9 Entende-se por escola compartilhada aquelas unidades escolares que participam do mesmo espaço físico,
sendo uma unidade escolar pertencente ao município (5ª à 8ª série) e outra da rede estadual de ensino. Cada qual com sua respectiva gestão escolar.
25
Caracterização dos professores colaboradores
O questionário10 elaborado teve o objetivo de conhecer um pouco a opinião
desses professores a respeito do ensino e aprendizagem da Geometria Espacial
e sua importância no currículo, sua formação acadêmica; os aspectos
metodológicos de trabalho; os conhecimentos dos softwares matemáticos e sua
aplicação em sala de aula.
Para melhor organização na identificação de informações deste trabalho,
nomeamos os professores como P1, P2 e P3. Estes professores colaboradores
da pesquisa pertencem à mesma unidade escolar. A seguir, relatamos a
descrição dos professores colaboradores no desenvolvimento da THA:
� Professor P1
O professor P1 tem 23 anos de magistério, é do gênero masculino, 47 anos de
idade. É graduado em Ciências com habilitação plena em Matemática, já
trabalhou 15 anos em uma escola particular de ensino. Cursou Pedagogia e
costuma frequentar oficinas de Matemática na Universidade de São Paulo (USP);
já participou de capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.
Segundo o professor, sua metodologia de trabalho, em geral, é
“tradicional”, utiliza-se de aula expositiva para abordar os conteúdos. Enriquece
suas aulas com solicitação de pesquisas relacionadas aos vários temas da
Matemática. Costuma desenvolver atividades em sala de aulas, distribuindo os
estudantes em duplas e, outras vezes, em grupo. Exige que cada estudante
registre suas aulas e respectivas atividades. Como suporte ás aulas, usa o livro
didático, apostila da escola particular onde trabalhou e a revista fornecida pela
Secretaria de Educação.
O professor, diz que “[...] costuma abordar o conteúdo de Geometria
Espacial, dando ênfase à diferenciação de Geometria plana da espacial e procura
esclarecer sua necessidade para entender seu uso na sociedade”. Em relação a
desenvolver atividades que abordem resolução de problemas, P1 afirma utilizar-
se de situações que envolvam embalagens, casas, carros e outros.
____________ 10 Anexo A.
26
Em relação ao uso de softwares, o professor refere que nunca empregou
este recurso nas aulas de Matemática, e fica empolgado em saber que este
projeto possibilita o uso de um software.
O professor acrescenta que o ensino da Geometria, em geral, é deixado de
lado, e que a aprendizagem dos estudantes em relação a esses temas é restrita,
o que dificulta novas aprendizagens. Isso se agrava quando os alunos chegam ao
Ensino Médio, não tendo pré-conhecimentos para avançar nos conteúdos. Assim
muitos estudantes apresentam deficiência básica em conhecimento sobre
Geometria plana.
� Professor P2
O professor P2 tem 10 anos de magistério, é do gênero feminino, 45 anos de
idade. Sua graduação é plena em Matemática, e a maior experiência é no Ensino
Fundamental, tendo pouca vivência no Ensino Médio. Nunca participou das
capacitações oferecidas pela Secretaria de Educação Estadual.
A professora considera que sua metodologia de trabalho é baseada em
aulas expositivas, apresentação de conceitos matemáticos, seguidos de exemplos
e exercícios para abordar os conteúdos. Costuma distribuir os estudantes em
grupos para desenvolverem pesquisas relacionadas aos temas abordados em
sala de aula, em forma de seminários. Para P2, o livro didático e a revista
fornecida pela Secretaria de Educação são seus principais recursos para lecionar
Matemática.
A respeito do ensino de Geometria Espacial, a professora relata não ter
ministrado tal conteúdo a seus alunos. Enfatiza seu entusiasmo, ao receber o
apoio deste projeto e relata que será de grande ajuda não só para seus
conhecimentos como professora, mas também para colaborar no processo de
ensino e aprendizagem de seus alunos. Afirma que, em sua formação acadêmica,
não houve preocupação em destacar esses conteúdos na grade curricular de sua
graduação. Considera que “[...] é importante construir conhecimentos
geométricos, uma vez que a nossa volta estamos sempre cercados por formas e
representações geométricas”.
27
Quanto aos recursos tecnológicos, a professora cita que nunca utilizou este
recurso nas aulas de Matemática e que seus conhecimentos nessa área são
restritos. Disponibiliza-se para conhecê-los de forma a complementar suas aulas
de Matemática.
A professora ainda relata que “[...] provavelmente seus alunos terão
algumas dificuldades em desenvolver as atividades propostas, devido o ensino da
Geometria não ter prioridade nos conteúdos matemáticos abordados pela grande
maioria dos professores. E refere: “[...] Estou disposta a enfrentar o desafio de
desenvolver uma THA sobre esse conteúdo. Você vai me ajudar?”.
Diante desta declaração, disponibilizei algumas horas para esclarecimentos
quanto às dúvidas que a professora por ventura teria.
� Professor P3
O professor P3 tem 23 anos de magistério, é do gênero feminino, 48 anos de
idade. Sua graduação é plena em Matemática e Física, além de ter cursado o
técnico em Construção Civil, já participou das capacitações oferecidas pela
Secretaria de Educação Estadual.
Segundo a professora, sua metodologia de trabalho é baseada em aulas
expositivas, ressalta que “[...] a aula expositiva é só um dos recursos de trabalho
e que as aulas devem ser o momento de diálogos, exercícios, criatividade e
trabalho coletivo na elaboração do conhecimento”.
Em relação à abordagem do conteúdo de Geometria Espacial, comenta
que costuma citar em forma de pesquisa e que esse assunto era mais freqüente,
quando a disciplina desenho geométrico fazia parte da grade curricular. Quanto à
abordagem de resolução de problemas, P3 diz que trabalha muito pouco, afirma
não utilizar nenhum tipo de recurso tecnológico em suas aulas, porém comenta
que a “utilização de softwares torna o assunto mais dinâmico e que chama mais a
atenção do aluno”.
28
Caracterização dos estudantes
Os estudantes envolvidos neste projeto de pesquisa são matriculados na
segunda série do ensino médio e com idade entre 15 e 23 anos. Duas turmas
desses jovens estudantes pertencem ao período diurno e uma em período
noturno. São jovens que, na sua grande maioria não têm vínculo empregatício.
Durante as observações da pesquisadora no desenvolvimento das atividades,
descobriu que entre esses jovens apenas um deles frequenta o curso técnico em
edificações no período oposto ao curso do Ensino Médio. Em relação ao período
diurno há um total de 28 alunos em cada sala, no período noturno, esse número é
de 48 alunos.
V Estrutura do Trabalho
Com o objetivo de situar a leitura, bem como a evolução desta pesquisa,
destacamos a seguir os pontos principais dos cinco capítulos deste estudo.
No primeiro capítulo, enfatizamos a apresentação da fundamentação
teórica que norteia a pesquisa, incluindo um levantamento de pesquisas que
abordam o ensino e aprendizagem sobre o tema Geometria, que auxiliou de
sobremaneira na elaboração das THAs.
O segundo capítulo, apresentamos o processo da construção das THAs,
justificando a escolha dos objetivos de aprendizagem, incluindo as hipóteses das
aprendizagens dos estudantes.
O terceiro capítulo refere-se à descrição das observações do
desenvolvimento das trajetórias hipotéticas de aprendizagem durante as aulas.
Na sequência, apresentamos à leitura das THAs pelos professores colaboradores.
No quarto capítulo, procurou-se identificar os novos conhecimentos, tanto
dos professores, como da pesquisadora.
Por fim, apresentamos as considerações finais desta pesquisa.
30
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E PESQUISAS SOBRE
GEOMETRIA ESPACIAL
Inicialmente, neste capítulo, apresentaremos algumas reflexões sobre o
“construtivismo epistemológico”, ao qual, Simon (1995) faz referência. Em
seguida, ilustramos uma síntese da teoria desenvolvida pelo pensador. Estas
reflexões surgiram de nossas discussões, quando da leitura do texto (traduzido
pelo nosso grupo de pesquisa). Além disso, destacamos algumas revisões
bibliográficas no que tange ao ensino e aprendizagem de Geometria, tendo como
finalidade, situarmos, o que recomendam as recentes pesquisas nesse campo de
atuação matemática.
1.1 O construtivismo epistemológico e a reconstrução da pedagogia da Matemática
Para Simon (1995), o “construtivismo epistemológico tem sido fonte de
pesquisas no ensino da Matemática e tem oferecido uma base para recentes
esforços de uma reforma na Educação Matemática”. No entanto, considera que
embora o construtivismo tenha potencialidade para sustentar mudanças no ensino
da Matemática, é necessário formular modelos de ensino baseados no
construtivismo11.
____________ 11 Os dados apresentados no artigo de Simon foram coletados dentro de uma sala de aula experimental, de
25 alunos, em que pesquisador acompanhou um professor de Matemática em tarefas sobre a construção do conceito de área; a partir da análise dos dados coletados, trabalhou em uma fundamentação teórica, visando à formulação de uma Pedagogia da Matemática.
31
Pires (2009) relata que o autor discute “a tensão criativa entre a meta dos
professores para o ensino e o compromisso de ser sensível ao pensamento
matemático dos seus alunos”. Adiciona em suas reflexões alguns temas, a saber:
a) as atividades de ensino estruturadas e implementas, tendo como ponto central a consideração do pensamento/entendimento dos alunos; b) o planejamento do ensino, gerado a partir de uma trajetória hipotética de aprendizagem dos alunos; c) a formação continuada dos professores, apoiada em reflexões sobre trajetórias hipotéticas de aprendizagem de seus alunos, num processo de permanente elaboração (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 74).
Simon ressalta que a perspectiva construtivista no ensino tem sido foco
para muitos dos estudos empíricos e referenciais teóricos na Educação
Matemática e, como resultado, tem contribuído para inovações nas reformas do
ensino da Matemática, como é o caso, nos Estados Unidos da América, das
proposições do NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática.
Pires (2009) ressalta que, no entender de Simon,
Embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma ‘Pedagogia da Matemática’ baseada na visão construtivista é um desafio considerável, no qual a comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar (PIRES, 2006, p. 75).
Na opinião de Simon, o construtivismo pode contribuir com importantes
caminhos para o ensino da Matemática em sala de aula, embora não estipule um
modelo particular.
Nessa seqüência, Pires explicita: ao referir-se à ‘Pedagogia da
Matemática’, Simon explica que o termo pedagogia tem a intenção de significar
todas as contribuições para a Educação Matemática na sala de aula. Dessa
maneira, o autor inclui não apenas um trabalho multifacetado do professor, mas
também o currículo a ser construído e o desenvolvimento de materiais de ensino.
Assim, o foco específico de seu trabalho está na tomada de decisão a
respeito de conteúdos matemáticos e nas tarefas de ensino da Matemática em
sala de aula. Para expor sua proposta de Ciclo de Ensino de Matemática e de
32
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem, Simon busca situar sua posição em
relação às perspectivas construtivistas e às relações entre construtivismo e
pedagogia da Matemática que destacaremos a seguir.
1.1.1 Recuperando aspectos da perspectiva construtivista
Para Pires (2009), um ponto importante no texto de Simon é a recuperação
de aspectos da perspectiva construtivista. Para Simon, o interesse na difusão do
construtivismo entre teóricos da Educação Matemática, pesquisadores e
praticantes tem moldado o discurso para diferentes pretensões do construtivismo.
De expressões como “Construtivismo Radical” e “Construtivismo Social” derivam algumas orientações, caracterizando a existência de uma diversidade de perspectivas epistemológicas semelhantes dentro dessas categorias. Conseqüentemente, parece importante uma descrição aprofundada da perspectiva construtivista na qual nossa pesquisa está baseada. (SIMON, 1995, p. 4).
Do ponto de vista de Simon, a maior parte das informações que dividem os
recentes debates epistemológicos sobre o conhecimento, é, fundamentalmente,
as que o identificam, como um processo social e as que o tomam como um
processo cognitivo.
A posição radical do construtivismo focaliza a construção individual para obter, desse modo, uma perspectiva cognitiva ou uma perspectiva psicológica. Embora a interação social seja vista como um contexto importante para o conhecimento, o foco está na reorganização cognitiva individual. Em contrapartida, a epistemologia com orientação sociocultural vê a construção mental como um processo socialmente determinado; o conhecimento individual origina-se da dimensão social. Para a perspectiva social, o conhecimento localiza-se na cultura, insere-se num sistema – que é maior que a soma de suas partes. (SIMON, 1995 apud PIRES, 2009, p. 76)
Simon insiste que sua posição evita qualquer extremo, e busca construir
um trabalho teórico baseado em autores como: Blumer (1969), Bauersfeld (1988),
Cobb, Yackel, e Wood (1989) e Von Glasersfeld (1991).
33
Ao referir-se aos trabalhos de Cobb (1989), Simon lembra que, para esse
autor, a coordenação das duas perspectivas construtivistas é necessária para
entender a aprendizagem em sala de aula. Ela não está somente no social ou na
dimensão cognitiva, mas, preferencialmente, na combinação da análise dessas
duas perspectivas.
Simon formula uma analogia à luz das teorias psíquicas:
Nenhuma teoria em particular acena um enfoque suficiente para caracterizar dados psíquicos. Porém cada teoria tem construído uma contribuição significativa para basear teoricamente a pesquisa; considerando ser um enfoque particular e considerando ser um enfoque que acena também para cada teoria em particular, coordena a descoberta que se origina de cada perspectiva moldada para avanços neste campo. (SIMON, 1995, p. 6).
Para o autor, a organização do desenvolvimento do conhecimento em sala
de aula parece uma análise particular coordenada, baseada nas perspectivas
psicológicas (cognitivas) e sociológicas. A análise psicológica da aprendizagem
da Matemática em sala de aula foca-se no conhecimento individual da
Matemática, seu entendimento para o outro, e seu senso de funcionamento na
aula de Matemática. A análise sociológica toma como ponto de partida o
conhecimento e as normas sociais da sala de aula. As “normas sociais” referem-
se àquilo que está entendido como a construção do conhecimento com efetiva
participação dos alunos nas aulas de Matemática. Incluem as expectativas que os
membros da comunidade têm sobre professores e alunos, os conceitos dos meios
utilizados para a elaboração da aula de Matemática e o caminho utilizado para
validar a aula de Matemática.
Simon considera ser proveitoso ter uma visão da Matemática como uma
atividade cognitiva, apreendida por processos culturais e sociais e como
fenômenos sociais e culturais constituídos por uma comunidade altamente
conscientizada.
34
1.1.2 Construtivismo e Pedagogia da Matemática
No entender de Simon (1995), a aprendizagem é como um processo de
construção individual e social mediado por professores com a concepção de um
trabalho estruturado – no qual se entende a aprendizagem dos alunos.
Compreender o desenvolvimento da aprendizagem é extremamente útil e tal fato
leva à questão de como o construtivismo poderia contribuir para a reconstrução
de uma Pedagogia da Matemática.
Novamente, Simon faz referência a autores como Wood, Cobb e Yackel
para os quais os professores devem ter como finalidade a construção de uma
prática que capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem
matemática. Este é o desafio fundamental que deve fascinar os professores de
Matemática, o que implica a necessidade de reconstruir meios para fazer
conhecer a Matemática na escola e, desse modo, meios para ensinar Matemática.
Simon pondera mais uma vez que se o construtivismo é uma teoria
epistemológica, ela não define uma orientação particular de ensino. O
desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou no ensino
realizado. Não existe uma simples função que mapeie a metodologia de ensino
dentro de princípios construtivistas. Ou seja: o construtivismo epistemológico não
determina a apropriação ou inapropriação de estratégias de ensino.
Bauerfied, citado por Simon (apud PIRES, 2009), considera a construção
cognitiva, de natureza essencialmente humana e a processual emergente dos
temas, regularidades e normas entrecruzando Matemática, interação social – para
trazer a cognição e o social juntos – não podem ser construídas com simples
sumários prescritivos de ensino. Assim, não há referências a respeito da
operacionalização de uma perspectiva construtivista social, sem contradizê-la.
Comumente é usada a denominação “ensino construtivista”. No entanto, o
construtivismo não oferece uma noção de como resolver os problemas de ensino
ou de como efetivá-los.
Simon propõe que, para uma perspectiva teórica, a questão que precisa de
atenção é a seguinte: “Em que o construtivismo contribui para o desenvolvimento
de um proveitoso trabalho teórico estruturado pela Pedagogia da Matemática?”
35
Pires destaca sua concordância com Simon, quando ele considera
excessivamente simplista aproveitar a conexão do construtivismo para o ensino
com a romântica noção de “deixar os alunos sozinhos e eles construirão seu
conhecimento matemático”. Ou então: “Colocar alunos em grupos e deixá-los
socializar o modo como eles resolvem seus problemas”. E lembra que nas
experiências educacionais brasileiras idéias como estas foram veiculadas de
forma maciça e ocasionaram grandes problemas no que se refere ao papel do
ensino e do professor.
Em sua experiência com alunos, Simon relata que se perguntava: “Como
poderia entender o pensamento daqueles estudantes e como poderia trabalhar
com eles para verificar se seriam capazes de desenvolver raciocínios mais
poderosos? O autor conclui que, nessas experiências com alunos, ficou bem
nítida a relação entre o projeto de atividades do professor e a consideração do
pensamento que os alunos podem trazer em sua participação nessas atividades –
que conduzem à formulação da ideia das trajetórias hipotéticas de aprendizagem.
1.2 Trajetória(s) hipotética(s) de aprendizagem segundo Simon
Simon (1995) defende a ideia de que a consideração do objetivo da
aprendizagem, as atividades de aprendizagem e o pensamento e conhecimento
dos estudantes são elementos importantes na construção de uma trajetória
hipotética de aprendizagem – parte chave do que ele denomina Ciclo de Ensino
de Matemática.
No que se refere ao conhecimento dos professores de Matemática, além
das hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros diferentes saberes
profissionais intervêm, como por exemplo, teorias de ensino sobre Matemática;
representações matemáticas; materiais didáticos e atividades; e teorias sobre
como os alunos constroem conhecimentos a respeito de um dado assunto –
saberes estes derivados da pesquisa em literatura e/ou da própria experiência
docente.
Durante o desenvolvimento das atividades pelos professores, um objetivo
inicial planejado, geralmente, deveria ser modificado muitas vezes (talvez
36
continuamente), durante o estudo de um conceito matemático particular. Quando
os alunos começam a comprometer-se com as atividades planejadas, os
professores deveriam “comunicar-se” com as observações dos alunos, nas quais
eles formatam novas ideias sobre esse conceito. Assim, o ambiente de
aprendizagem envolveria resultados da interação entre o professor e os alunos e
o modo como eles se engajam em um conteúdo matemático.
Simon refere-se a um comentário de Steffe (1990): um professor pode
propor uma tarefa; mas, como os alunos constroem suas tarefas e suas
experiências é que vão determinar seu potencial de aprendizagem. Assim, por
exemplo, se um aluno dá uma resposta a um problema elaborado pelo professor
e no entendimento do professor não foi uma compreensão adequada sobre os
conceitos ou procedimentos envolvidos, isso deve resultar em um novo objetivo
de ensino sobre o assunto. Temporariamente, este objetivo substitui o original.
Em suas experiências, a discussão na sala de aula impulsionou Simon a
reexaminar diversos conhecimentos para favorecer a elaboração do seu “mapa
conceitual”, destaca que o termo “mapa”, neste contexto, é usado para enfatizar
que o conhecimento do professor serve como um mapa que traduz como ele se
empenha na construção da compreensão dos alunos e identifica o potencial de
aprendizagem.
O autor também ressalta o que observou em relação aos alunos que
mudou sua perspectiva sobre o conhecimento dos alunos e a concepção
matemática envolvida (seu mapa interno). Esta reorganização de perspectivas
contribuiu para modificar seus objetivos, planos para atividades de ensino e
aprendizagem que havia elaborado anteriormente.
1.2.1 O Ciclo de Ensino de Matemática segundo Simon
A análise do episódio de ensino vivenciado por Simon contribuiu para o
desenvolvimento do Ciclo de Ensino Matemático (Figura 1), como um modelo de
inter-relações cíclicas dos aspectos do conhecimento do professor, pensamento e
tomada de atitudes.
37
Figura 1. Ciclo de ensino de Matemática abreviado (Simon, 1995)
Quanto às hipóteses sobre o conhecimento dos alunos para enfatizar que
não temos acesso direto ao conhecimento deles, Simon destaca que:
Como professor, minha concepção do conhecimento matemático dos alunos, está estruturada pelo meu conhecimento da Matemática em questão. Convenientemente, o que observei no gosto pelo pensamento matemático dos alunos e meu entendimento das idéias matemáticas envolveram interconexões. Estes dois fatos são interessantes na esfera do ensino do professor. (SIMON, 995, p. 29).
O autor faz uma referência a Stefe (1990) para o qual, usando seu próprio
conhecimento matemático, os professores de Matemática devem interpretar a
linguagem e as ações de seus alunos e tomar decisões sobre os possíveis
conhecimentos matemáticos destes e sua possibilidade de aprendizagem. Para
Conhecimento do Professor
Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos
Plano do professor para atividades de aprendizagem
Hipóteses do professor sobre o processo de ensino
aprendizagem dos alunos
Constituição interativa nas
atividades de sala de aula
Avaliação do conhecimento dos
alunos
38
Simon, trata-se da meta da aprendizagem do professor para seus alunos que
possibilita uma direção para uma trajetória hipotética de aprendizagem:
Usaremos o termo trajetória hipotética de aprendizagem tanto para fazer referência ao prognóstico do professor, como para o caminho que possibilitará o processamento da aprendizagem. É hipotética porque caracteriza a propensão a uma expectativa. O conhecimento individual dos estudantes ocorre de forma idiossincrática, embora freqüentemente em caminhos similares. O conhecimento do indivíduo tem alguma regularidade (cf. Steffe, Von Glaserfield, Richards e Cobb, 1983), que em sala de aula adquire com atividades matemáticas freqüentes em métodos prognósticos, e que muitos dos alunos em uma mesma sala de aula podem se beneficiar das mesmas tarefas matemáticas.(SIMON, 1995, p. 34)
Desse modo, Simon considera que a trajetória hipotética de aprendizagem
dá ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, baseado em
suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado.
1.2.2 Composição da trajetória hipotética de aprendizagem, segundo Simon
Uma trajetória hipotética de aprendizagem – THA – é composta por três
componentes:
1. o objetivo do professor com direções definidas para a aprendizagem de
seus alunos;
2. as atividades de ensino e
3. o processamento hipotético de aprendizagem (uma suposição de como o
pensamento e o entendimento dos alunos será colocado em ação no
contexto de aprendizagem das atividades).
A criação das possibilidades de modificações da trajetória hipotética de
aprendizagem é a parte central do modelo diagramado a seguir:
39
Para Simon, a trajetória hipotética de aprendizagem pressupõe a
importância da relação entre a meta pretendida e o raciocínio sobre decisões de
ensino e a hipótese sobre esse percurso. Para ele, o desenvolvimento de um
processo hipotético de aprendizagem e o desenvolvimento de atividades dessa
aprendizagem tem uma relação simbólica. A geração de ideias para atividades de
aprendizagem é subordinada à hipótese do professor sobre o desenvolvimento do
pensamento e a aprendizagem de seus alunos. A escolha da palavra “trajetória” é
significativa para designar um caminho. Simon convida a uma analogia:
Façamos uma analogia: considere que você tenha decidido viajar ao redor do mundo para visitar, na seqüência, lugares que você nunca tinha visto. Ir para a França, depois Havaí, depois Inglaterra, sem uma série de itinerário a seguir. Antes, você adquire conhecimento relevante para planejar sua possível jornada. Você faz um plano. Você pode inicialmente planejar toda a viagem ou uma única parte dela. Você estabelece sua viagem de acordo com seu plano. No entanto, você deve fazer constantes ajustes, por causa das condições que irá encontrar. Você continua a adquirir conhecimento sobre a viagem e sobre as regiões que você deseja visitar. Você muda seus planos a respeito da seqüência do seu destino. Você modifica o tamanho e a natureza de sua visita, de acordo com o resultado da interação com as pessoas no decorrer do caminho. Você adiciona os destinos à sua viagem e que não eram de seu conhecimento. O caminho que você utilizará para viajar é sua “trajetória”. O caminho que você antecipa em algum ponto é a sua “trajetória hipotética”. (SIMON, 1995, p. 5)
Trajetória Hipotética de Aprendizagem
Objetivo do professor para a aprendizagem dos alunos
Plano do professor para atividades de aprendizagem
Hipóteses do professor sobre o processo de aprendizagem dos
alunos
40
1.2.3 A geração de uma trajetória hipotética de aprendizagem
Conforme explica Pires (2009), para Simon (1995) a geração de uma THA
prioriza buscar a forma pela qual o professor desenvolve seu planejamento em
atividades de sala de aula, mas também ajuda a identificar como o professor
interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma
experiência e construindo novos conhecimentos.
Esta experiência pela essência da sua construção social é diferente das primeiras antecipações dos professores. Simultaneamente ocorre uma construção social de atividades em sala de aula e a modificação das idéias e conhecimento do professor, que ele vai construir em função do que está acontecendo ou do que aconteceu na sala de aula. (SIMON, 1995, p. 6)
O diagrama da Figura 1, mostrado anteriormente, indica que a avaliação do
pensamento do aluno (com constantes idas ao modelo de ensino apresentado),
pode trazer muitas adaptações a respeito de qualquer conhecimento do professor,
o que possibilita uma nova ou modificada trajetória hipotética de aprendizagem.
Simon destaca a relação entre os vários domínios do conhecimento do
professor, a trajetória hipotética de aprendizagem e as interações com os alunos
(Figura 2). O conhecimento matemático do professor contribui para a identificação
de um objetivo de ensino. Estes domínios de conhecimento, a meta de ensino e o
conhecimento da representação das atividades matemáticas para o professor,
seu conhecimento sobre a aprendizagem individual do aluno, bem como a
concepção de aprendizagem e ensino (ambos, em geral, dentro da Matemática)
contribuem para o desenvolvimento de atividades de aprendizagem e processos
de aprendizagens hipotéticas.
41
���
������� ��
�����������������
����� �����
������ ��
������������������
�� � ��� ��
����� �����
��������� ��
������������������
��������� ��
����� �����
��������� ��
������������������
������������
���������
������� ��
����������������
��������
����� ������ ��
���������
������������ ��
���������� ��
����� ������ ��
���������������
������ ��
����� ���
������������ ��
���������� ��
����������
������������ ��
�� � ���
�������������
����������!"���
�����������
����!#�� ��
������������
���������
Figura 2. Ciclo de ensino de Matemática. Os domínios do conhecimento do professor e avaliação do conhecimento dos alunos (SIMON, 1995, p. 137).
Conforme Simon, a modificação da trajetória hipotética de aprendizagem
não é alguma coisa que somente ocorre durante o planejamento entre aulas.
O professor está constantemente comprometido em ajustar a trajetória de aprendizagem que “hipotetizou”, para melhor refletir seu aumento de conhecimento. Ele está constantemente percebendo a extensão das modificações e transformações que podem ser construídas por algum ou todos os componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: o método, as atividades e o processamento hipotético da aprendizagem. (SIMON, 1995 apud, PIRES, 2009, p. 84)
1.3 Considerações e reflexões de nosso grupo de pesquisa
Em seu artigo, Pires (2009) apresenta uma síntese de algumas das
reflexões feitas em nosso grupo de pesquisa.
Em relação às questões de como compatibilizar perspectivas
construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, bem como as
42
contribuições das pesquisas na área de Educação Matemática podem contribuir
para a organização de um ensino que potencialize boas situações da
aprendizagem dos alunos, o grupo encontrou no trabalho de Simon elementos
importantes:
1) Sua posição ao afirmar que as visões construtivistas da aprendizagem
têm dado sustentação a fundamentos teóricos na pesquisa de campo da
Educação Matemática; e
2) Dar pistas importantes para que os professores possam compreender e
antecipar a forma de construção dos conhecimentos matemáticos de
seus alunos.
O grupo considera particularmente importante o alerta de Simon no sentido
de que o construtivismo também aponta um desafio para a Educação Matemática,
como desenvolver modelos de ensino em que a construção de conhecimento seja
tomada como perspectiva teórica.
Simon (1995) adverte também que a Educação Matemática não produzirá
métodos com ideias fixas ou plataformas para as ações docentes, e as estruturas
metodológicas deverão sempre suportar transformações experimentais. O Ciclo
de Ensino Matemático retrata uma visão das resoluções construídas pelo
professor, a respeito do conteúdo e das tarefas, modeladas pelo encontro de uma
perspectiva do construtivismo social com o desafio das aulas de Matemática.
Nesse ciclo, são particularmente importantes, algumas premissas:
a) O pensamento/entendimento dos estudantes é especialmente considerado e tem o lugar central na formatação e implementação de instruções. O pensamento/entendimento é um processo contínuo do conjunto de dados e hipóteses construídas.
b) O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre Matemática, também aprendendo e ensinando a respeito do pensamento matemático dos seus alunos.
c) O planejamento das instruções é parecido com a inclusão, a criação de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Esta visão reconhece e valida o método de ensino do professor e a importância de hipóteses sobre o processamento da aprendizagem dos alunos (idéias nas quais eu espero ter demonstrado que não estão em conflito com o construtivismo).
43
d) A transformação continuada do conhecimento do professor cria mudanças contínuas na sua própria trajetória hipotética de aprendizagem. (SIMON 1995 apud PIRES, 2009, p. 8)
Pires (2009) avalia que a leitura dos textos motivou a ampliação das
discussões sobre a atuação do professor de Matemática quanto às atividades de
planejamento do ensino e que deve levar em conta que o aluno desempenha
papel central na construção de suas aprendizagens.
Ressalta que a esse respeito Simon comenta que as indicações sobre a
importância da interação de pequenos grupos e a manipulação de materiais, por
exemplo, podem ser instrumentos valiosos nas mãos dos professores de
Matemática.
No entanto, estes instrumentos não são suficientes para permitir que os
professores sejam arquitetos da produção de situações de aprendizagens que
resultariam no crescimento conceitual de seus alunos. Por exemplo, os
professores novatos, muitas vezes, questionam o conhecimento de seus alunos
(consciente ou inconscientemente), esperando que, no mínimo, um aluno esteja
habilitado a explicar sua ideia para os outros. Perguntam o que devem fazer com
um grupo de alunos para que construam conceitos matemáticos.
Pires (2009) comenta que essas situações, hoje, são bastante comuns no
Brasil. Nos cursos de formação inicial, a chamada “Prática de Ensino” e mesmo
as atividades de estágio, de modo geral, estão muito defasadas quanto a estudos
que possibilitem ao futuro professor a construção de trajetórias hipotéticas de
aprendizagem, tanto em termos teóricos como práticos.
Assim, o jovem professor tende a usar modelos ultrapassados, sem
perceber a necessidade de conhecer e construir modelos de ensino consistentes
e de forma coerente, com teorias – como é o caso das teorias de perspectiva
construtivista. Para mudanças significativas, os jovens professores precisam de
conhecimentos sobre o saber dos alunos, a fim de gerar trajetórias hipotéticas de
aprendizagem e análises conceituais para ensinar Matemática.
Enfim, é fundamental que os professores apropriem-se efetivamente dos
resultados de pesquisas relevantes sobre o conhecimento matemático de
44
crianças e jovens, inovações curriculares, planejamento, construções de
atividades; e é mais importante ainda que se apropriem da idéia de que suas
hipóteses e metas sobre as aprendizagens dos estudantes (e a própria
formatação das atividades) mudam continuamente e promovem novos
conhecimentos e seu efetivo envolvimento na cultura matemática em sala de aula.
1.4 Revisões Bibliográficas a respeito de investigações sobre o
Ensino e Aprendizagem da Geometria Espacial
Para o desenvolvimento deste trabalho, buscamos pesquisas na área do
ensino e aprendizagem de Geometria. Assim, podemos destacar algumas
referências sobre os problemas de ensino e aprendizagem de Geometria, como
por exemplo, Cavalca (1998), Kaleff (2003) e Montenegro (2005), incluindo as
pesquisas dos Programas de Pós - graduados da Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo – PUC/SP e da Universidade de São Paulo – Faculdade de
Educação – USP. O objetivo é situarmos o que recomendam as recentes
pesquisas nesse campo de atuação Matemática, para formar subsídios na
construção de uma primeira versão da Trajetória Hipotética de Aprendizagem
sobre Geometria Espacial.
Entre alguns resultados de trabalhos obtidos por diferentes pesquisadores,
há destaque para problemas relacionados à visualização e compreensão das
propriedades das figuras geométricas no espaço.
Para Cavalca (1998), a ausência de visualização em Geometria pode
“interferir na aprendizagem da Matemática, no que se refere tanto à coerência
como à funcionalidade”. O autor relata que “os alunos têm dificuldades com a
representação gráfica, no que se refere a sua interpretação”. Durante sua
pesquisa busca analisar o desenvolvimento da sequencia didática, envolvendo
situações que favorecem o desenvolvimento das capacidades de interpretar e
fazer representações gráficas planas de objetos do espaço e resolver problemas,
utilizando processos apoiados na visualização.
45
Cavalca (1998) prossegue relatando que “essas duas capacidades são
básicas para a aprendizagem da Geometria Espacial que é possível desenvolver
as habilidades necessárias para a visualização e interpretação de objetos
espaciais e suas representações”.
A preocupação com a visualização em Geometria, também, é citada por
Kaleff (2003) que afirma:
Nesta última década diversas pesquisas em educação matemática apontam para a importância de se incentivar nos meios educacionais o desenvolvimento pelo educando da habilidade de visualizar tanto objetos do mundo real, quanto, em nível mais avançado, conceitos, processos e fenômenos matemáticos. Para alguns pesquisadores, esta habilidade é tão ou mais importante do que a de calcular numericamente e a de simbolizar algebricamente. Além disso, os educadores matemáticos começaram a tomar consciência da importância assumida pelo entendimento das informações visuais em geral, tanto para a formação matemática do educando quanto para sua educação global. (KALEFF, 1998, p. 15)
A autora prossegue destacando que os aspectos ligados à visualização
têm sido pouco enfatizados em nossas escolas elementares e universidades, e
sua pesquisa contribui na melhoria do ensino de Geometria, enfatizando a
visualização geométrica, as representações gráficas e suas interpretações.
Preocupado com a habilidade espacial12 dos alunos que emergem do
Ensino Médio, Montenegro (2005) analisa a amostragem de esboços realizados
por alunos que ingressam na universidade, a fim de conhecer a “bagagem
geométrica” desses alunos e de que maneira representam o pensamento em três
dimensões. Para isso, utilizou-se de exercícios sobre assuntos geométricos
abordando diferentes sistemas de representação.
Montenegro considera ser possível desenvolver conhecimentos novos com
base nos que os alunos já possuem e que a Geometria Espacial pode ser
assimilada por seus conceitos básicos, intuitivos e visuais.
____________ 12 Montenegro (2005, p. 8) considera a habilidade espacial uma capacidade humana que pode ser estimulada
ou abandonada. Neste caso, algumas regiões do cérebro tendem a deteriorar-se ou a serem utilizadas para processar outras funções. Inversamente, a estimulação se faz pela utilização freqüente da capacidade, seja por aplicação direta numa atividade ou por meio de exercícios que envolvam rotação mental de figuras, orientação espacial, reconhecimento de rostos, leitura de mapas, analogia de formas, vistas ou perspectivas de outro ângulo, interpretação múltipla de uma mesma figura, a percepção de padrões que parecem confusos a velocidade e compreensão da visualização espacial e outros aspectos.
46
O autor comenta sobre a deficiência no estudo de Geometria e retrata ser
comum, professores deixarem o conteúdo de Geometria para o final do semestre,
pelo fato de não dominarem ou por que não gostam do assunto ou por preferirem
o aspecto lógico-formal da Matemática. Montenegro afirma que esses e outros
fatores acarretam “prejuízo do lado visual e aplicado. Assim, muitos alunos fazem
um estudo abreviado ou deixam de ter aulas de Geometria”. Na sequência, o
autor refere:
Como resultado da deficiência do estudo de geometria, as formas tridimensionais e a relação da geometria com o mundo físico deixam de ser conhecidas. Conseqüentemente, perde-se a noção de que o mundo real é que dá origem aos conceitos básicos da geometria e não ao contrário, como se poderia supor. (MONTENEGRO, 2005, p. 10)
Para complementar nossas revisões bibliográficas apresentaremos a seguir
pesquisas dos Programas de Pós-graduados da Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo – PUC/SP e da Universidade de São Paulo – Faculdade de
Educação – USP, com o objetivo de mostrar um panorama das recentes
pesquisas nesse campo de atuação Matemática.
Silva (2004) investigou as sinalizações referentes às expectativas de
aprendizagem sobre Geometria, aferindo as orientações das novas propostas
curriculares e quais conhecimentos geométricos são priorizados nos exames
vestibulares de três principais Universidades do Estado de São Paulo e do Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM). Seus estudos foram norteados por duas
questões de pesquisa:
1) “Como se caracterizam as propostas para o ensino de geometria, na Educação Básica, quais as sinalizações dos exames vestibulares e do Exame Nacional do ensino Médio – o ENEM?”
2) “Que conhecimentos geométricos os exames vestibulares e o ENEM estão priorizando e quais as possíveis conseqüências disso para o ensino da Geometria ao longo da Educação Básica?” (SILVA, 2004, p. 15)
O autor utilizou-se das pesquisas bibliográfica e documental e, entre os
critérios adotados para a análise dos dados coletados das questões dos
vestibulares, buscou identificar a classificação do nível de conhecimento
47
desenvolvido, baseado na teoria de Aline Robert (1998) cujo artigo “Ferramentas
de análise de conteúdos a ensinar” classifica o funcionamento do conhecimento
pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível.
Dentre os principais resultados de sua pesquisa, Silva (2004) constatou
que nesses exames vestibulares há predominância do nível de conhecimento
caracterizado por Robert (1998), como mobilizável que os vestibulares organizam
suas questões ao redor de um conjunto restrito de conteúdos e habilidades,
explorando pouquíssimas situações contextualizadas ou interdisciplinares,
característica essa das questões propostas pelo ENEM. Silva (2004) ainda revela
uma forte incoerência entre as expectativas de aprendizagem sobre Geometria,
ao término da Educação Básica, levando em consideração as sinalizações
analisadas em sua pesquisa.
Mariano (2004) em sua pesquisa “Estudo de fatores restritivos para um
bom desempenho dos alunos concluintes do Ensino Médio nos exames do
ENEM, em Geometria” teve como objetivo investigar os aspectos do ensino de
Geometria que podem estar presentes ou escapar à situação desses exames.
Além de relacionar os aspectos do ensino de Geometria no Ensino Médio,
envolvendo questões do ENEM, o autor procurou apresentar em algumas
respostas as causas do insucesso dos alunos ao término do Ensino Médio.
Complementa a pesquisa de Silva (2004), ao analisar algumas atividades
desenvolvidas pelos estudantes em questões do ENEM. Seus estudos foram
norteados pela questão:
“Quais são os fatores restritivos para um bom desempenho dos alunos concluintes do Ensino Médio nos exames do ENEM, particularmente em Geometria?” (MARIANO, 2004, p. 18).
Mariano (2004) utilizou-se de pesquisas bibliográficas, documentais e
experimentais, observou e analisou as aplicações de testes e resoluções de
atividades para diagnosticar o baixo desempenho de alunos concluintes do
Ensino Médio. Uma das teorias em que fundamentou seus estudos foi o trabalho
“Sémiosis et Pensée Humaine – Registres semiótiques et appendissages
intelectelis” (1995) do pesquisador Raymound Duval, que enfatiza a importância
dos signos e registros de representação semiótica.
48
Ao término de sua pesquisa, Mariano (2004) afirma que os fatores
restritivos para o bom desempenho dos alunos vêm em parte das dificuldades de
comunicação com o texto, da falta de compreensão das situações-problema e da
ausência de questões ligadas à contextualização e interdisciplinaridade durante
as aulas de Matemática. O pesquisador ainda sugere Programas de Educação
Continuada aos docentes como alternativa de minimizar as dificuldades
encontradas na formação inadequada do professor.
A pesquisa de Camilo (2007) “Geometria nos currículos dos anos finais do
Ensino Fundamental: uma análise à luz dos modelos teóricos de Josep Gascón”
analisa a trajetória das prescrições curriculares para o ensino de Geometria,
guiando-se pelos modelos teóricos Euclidianista, Quase-empirista e Construtivista
de Josep Gáscon. Ao longo de seu trabalho, a autora procura responder às
seguintes questões de pesquisa:
1) “Como os modelos teóricos denominados Euclidianista, Quase-empirista e Construtivista, são identificados na trajetória particular do ensino de Geometria e qual a implicação disso para a organização curricular na Educação Básica?”
2) “Analisando as prescrições curriculares para o ensino de Geometria hoje, qual a sua base e como estão sendo colocadas em prática na sala de aula?” (CAMILO, 2007, p. 15).
Camilo (2007) desenvolveu seu trabalho, utilizando-se de pesquisa
bibliográfica para análise dos documentos curriculares e atividades geométricas
inseridas em alguns livros didáticos das décadas de 1930 até 1970 e atuais,
acompanhado de um estudo sobre como os currículos mais recentes estão se
desenvolvendo em sala de aula; utiliza como aporte teórico o trabalho “Incidencia
del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes”
desenvolvido pelo pesquisador e professor Josep Gascón.
Na conclusão de seu trabalho, a autora destaca que o uso da perspectiva
Quase-empirista permanece forte nos currículos e livros didáticos, embora os
novos documentos oficiais (PCN) apontem indicações para a perspectiva
Construtivista.
49
Em Lauro (2007), “Percepção – Construção – Representação –
Concepção: Os quatro processos do ensino da Geometria: uma proposta de
articulação”, a autora investiga como as principais Propostas Curriculares do
Sistema Nacional de Ensino abordam a articulação entre os quatro processos
fundamentais na construção do conhecimento geométrico. Ao longo de sua
pesquisa, procura luz para suas questões:
1) “Como ao longo da história do ensino da Matemática, as sucessivas propostas curriculares abordaram a articulação entre a percepção, a construção, a representação e a concepção no ensino da Geometria?”
2) “Considerando os livros didáticos historicamente relevantes e que tiveram um papel importante de referência na atuação do professor em sala de aula, como os mesmos estabelecem equilíbrio e trânsito entre os quatro aspectos citados na construção do conhecimento geométrico?”
3) “Será possível, propor atividades que estejam de acordo com a proposta curricular vigente, ou seja, os PCN’s e que possibilitem o trânsito natural dos quatro processos citados?” (LAURO, 2007, p. 15)
A autora citada utiliza-se da pesquisa documental e apresenta um
panorama das Reformas Nacionais de Ensino, de 1827 a 1998, investigando o
tratamento dado à Geometria, bem como busca o modo pelo qual os quatro
aspectos do aprendizado essencial à Geometria articulam-se no decorrer dessas
reformas de ensino. Como complemento de seus estudos, analisa a organização
do Ensino de Geometria nos principais livros didáticos do Ensino Fundamental do
século XIX até os dias atuais e complementa o estudo com uma proposta de
atividades em Geometria plana baseada nos PCN com fins de articulações entre
percepção, construção, representação e concepção no ensino de Geometria.
Ao término do trabalho, cita que, em todas as épocas, os autores de livros
didáticos sempre abordaram a representação no ensino de Geometria. Em
relação à construção, percebeu em alguns livros selecionados e analisados que
eram compatíveis com o referencial teórico elucidado em sua pesquisa, ou seja,
mesmo se referindo a alguns livros didáticos antigos, sempre houve autores que
se preocuparam em articular os quatro processos fundamentais do ensino da
Geometria. Em relação à sugestão de atividades elaboradas com base nos PCN’s
50
a autora afirma ter respeitado a articulação entre Percepção – Construção –
Representação – Concepção.
Na pesquisa “Análise da organização didática da Geometria Espacial
Métrica nos livros didáticos”, Carvalho (2008), investiga qual a organização que os
livros didáticos de Matemática destinados ao 2º ano do Ensino Médio fazem
referência ao tema Geometria Espacial Métrica e, se tal organização favorece a
construção do pensamento geométrico. Seus estudos foram direcionados a
responder:
1) “Os livros didáticos do 2º ano do Ensino Médio desenvolvem os conteúdos referentes à Geometria Espacial Métrica ou Geometria Tridimensional Métrica dos Poliedros, em especial, prismas e pirâmides, sob as perspectivas dos resultados das pesquisas em Educação Matemática de Duval (1995); Robert (1998); Rommevaux (1999); Parsysz (2000) e Ponte et al (2005) sobre o tema e estão de acordo com os PCNEM, OCEM e PNLEM por serem estes os textos oficiais que regulamentam e orientam a Educação Nacional do Ministério da Educação? (CARVALHO, 2008, p. 74).
O autor utilizou-se de pesquisas disponíveis em documentos oficiais,
dissertações e teses defendidas no Brasil e artigos de congressos nacionais e
internacionais. Assim, três dos oito livros de matemática enviados para o 2º ano
do Ensino Médio pelo Programa Nacional do Livro para o ensino Médio 2006, do
Ministério da Educação e Cultura às escolas da Diretoria de São Bernardo do
Campo – SP foram escolhidos. A análise desses três livros foi fundamentada nos
trabalhos de Duval (1950), Robert (1998) e Parsysz (2000).
Carvalho (2008) conclui que os livros didáticos analisados atendem
parcialmente à construção do pensamento geométrico espacial, pois os
resultados da pesquisa indicam pouca exploração por parte dos autores de
atividades que desenvolvem a visualização. Observou que a representação no
plano das figuras tridimensionais não é estimulada. Há equilíbrio com relação aos
exercícios propostos que exigem os níveis técnicos e mobilizáveis; mas observa
uma discrepância em relação ao nível disponível e à falta de atividades que
possam ser desenvolvidas por software educacional. O autor afirma que esses
fatores contribuem para uma difusão de uma visão equivocada do professor sobre
o ensino da Geometria Espacial Métrica.
51
Desse modo, o autor ressalta:
O docente acaba reforçando uma concepção errônea no ensino da Geometria Espacial Métrica, provavelmente pelo uso do livro didático, que explora atividades, exigindo em sua grande maioria um conhecimento técnico e limitado à aplicação de fórmulas para sua solução (CARVALHO, 2008, p. 138).
Como sugestão para futuras pesquisas, Carvalho (2008, p. 139),
recomenda um “trabalho de conscientização de professores para integrar o uso
de materiais concretos, softwares dinâmicos à sua prática pedagógica no que se
refere ao ensino da Geometria Espacial Métrica”.
Síntese
Considerando as revisões bibliográficas citadas, observamos entre outros
fatores, que a singularidade entre essas pesquisas é a “negligência” no ensino de
Geometria. Por exemplo:
1) Abordagem dos conteúdos de maneira estagnada, com fórmulas
prontas, não desenvolvendo a capacidade de pensamento geométrico
dos estudantes;
2) Formação precária docente em assuntos envolvendo Geometria,
provocando práxis inadequadas à aprendizagem do aluno ou ao
desenvolvimento do pensar geométrico; e
3) Assuntos envolvendo Geometria restrita aos capítulos finais dos livros
didáticos, provocando uma aparente justificativa para impossibilitar sua
planificação de ensino.
Embora estas pesquisas advirtam certa “negligência” no ensino de
Geometria ao longo da trajetória curricular, observamos que demonstram
preocupação ao apresentar as carências desse ensino, objetivando alavancar
possíveis alternativas para inserir o estudo de assuntos sobre Geometria como
meio de amenizar problemas com seu ensino e aprendizagem.
52
Notamos, por exemplo, as inquietações de Cavalca (1998), Kaleff (2003) e
Montenegro (2005) ao incentivar o raciocínio espacial, desenvolvendo atividades
que exploram a visualização, representação gráfica e sua interpretação propondo
aspectos diferenciados para desenvolver a sensibilidade à compreensão
geométrica.
Em seguida, as preocupações de Silva (2004) e Mariano (2004), ao
analisarem os aspectos relacionados ao ensino e ao aprendizado de Geometria
no Ensino Médio, incluindo o levantamento dos propósitos do Exame Nacional do
Ensino Médio (ENEM), possibilitam reflexões aos professores para organizarem
sua planificação do ensino, abrangendo questões desse exame com um olhar
criterioso e despertando a importância da abordagem do conhecimento
geométrico e sua necessidade às diversas áreas do saber.
Em Camilo (2007), temos importantes informações quanto ao ensino da
Geometria em relação a modelos teóricos identificados na trajetória desse ensino,
apresentando análises de alguns livros didáticos em relação a esses modelos
teóricos.
Em Lauro (2007), destaca-se um panorama histórico do ensino de
Matemática, especificamente, de Geometria abordando as Reformas
Educacionais e suas influências, incluindo, também, as análises de alguns livros
didáticos sobre o olhar da “Percepção – Construção – Representação –
Concepção: Os quatro processos do ensino da Geometria”. Já em Carvalho
(2008), notam-se aspectos importantes quanto à importância da história dos
sólidos geométricos e seu surgimento na sociedade, no intuito de compreender
melhor o debate no que diz respeito ao ensino da Geometria Espacial.
Embora as pesquisas aqui apresentadas destaquem a importância de se
ensinar Geometria e que, pouco ou nada se ensina sobre esse tema, estas
pesquisas contribuíram para compreender o modo como o ensino e a
aprendizagem da Geometria são tratados por esses pesquisadores. Apesar de
serem identificados problemas em relação a seu ensino, incluindo a própria
formação do professor, é possível reverter o quadro do baixo desempenho dos
alunos.
53
Para isso, os pesquisadores citados contribuem, especialmente, no que se
refere à preocupação em desenvolver habilidades básicas, como a intuição e a
visualização dos objetos geométricos, indicações da utilização de materiais
concretos, reflexão sobre a elaboração de material didático de modo a permitir
aos alunos o desenvolvimento do raciocínio espacial, bem como a desenvoltura
da criatividade e a autonomia no processo da aprendizagem, além de incentivar a
exploração de softwares nas aulas de Matemática.
Consideramos proveitosas as contribuições e sugestões dos
pesquisadores mencionados e, compartilhamos da ideia de Simon quando se
refere que “a aprendizagem é como um processo de construção individual e social
mediados por professores com a concepção de um trabalho estruturado na qual
se entende a aprendizagem dos alunos”, ponderando “o construtivismo como uma
teoria epistemológica que não define uma orientação particular de ensino”.
Assim, o desenvolvimento do conhecimento está presente no professor ou
no ensino realizado, apreciamos o desenvolvimento das THAs como uma
possibilidade de permitir ao professor a construção de uma prática pedagógica
que capacite seus alunos a percorrerem o caminho da aprendizagem em
Geometria Espacial.
Assim, uma THA possibilita organizar não apenas o plano de ensino do
professor, mais alia também fatores importantes, como: objetivos e as atividades
das aprendizagens, o pensamento e o conhecimento do estudante, como fatores
essenciais em seu Ciclo de Conhecimento Matemático apresentado por Simon
que iremos descrever mais adiante.
Observamos que, com os aspectos de organização do ensino, está o
trabalho do professor em relação ao desenvolvimento do conhecimento de
assuntos relacionados à Geometria Espacial nos alunos, possibilitando verificar
em que medida esses alunos comprometem-se nas atividades planejadas e, ao
mesmo tempo, buscando observar como esses professores se comunicam com a
maneira de pensar dos alunos, que ideias os alunos têm sobre assuntos
geométricos de forma que o professor sistematize os conhecimentos de fato.
54
Simon (1995) relata que o ciclo de aprendizagem da Matemática consiste
em uma dinâmica do envolvimento entre professor e aluno que pode potencializar
a construção do conhecimento.
Sabemos que ensinar é um ato complexo, em razão de uma série de
interferências, sociais, culturais e do próprio currículo da Matemática. No entanto,
consideramos que as THAs fornecem ao professor um papel desafiador pelo
próprio contexto da interação entre o pensamento dos alunos e as interferências
do professor.
56
CAPÍTULO 2
A CONSTRUÇÃO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE
APRENDIZAGEM SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL
Neste segundo capítulo, propomo-nos a descrever o percurso para
construção da primeira versão das THAs. Relatamos a justificativa de cada
atividade. Incluímos nosso plano para atividades de aprendizagem e análises da
primeira versão das THAs pelos professores colaboradores, com base em nossa
avaliação, referente ao conhecimento atual dos estudantes aos quais serão
oferecidas as atividades das THAs.
2.1 A construção das THAs
Para a construção das trajetórias hipotéticas de aprendizagem sobre
Geometria Espacial, baseamo-nos nas discussões do grupo de pesquisa,
experiência de nossa prática docente e, em estudos preliminares, como as
revisões bibliográficas apresentadas no capítulo anterior desta dissertação,
documentos oficiais e artigos.
2.2 Motivações para a elaboração da primeira versão das Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem em Geometria Espacial.
Construir Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem sobre Geometria
Espacial caracterizou-se como um grande desafio. Ao atuar como professores de
Matemática e, lecionar para turmas do Ensino Médio percebemos que os
57
estudantes têm sérios comprometimentos em relação à aprendizagem com temas
envolvendo Geometria, de modo geral. A partir desta e de outras inquietações, ao
longo de nossas experiências, notamos que tais deficiências são geradas
basicamente por dois grandes motivos: 1) não terem tido contato com conteúdos
de Geometria Espacial; 2) não serem potencializadas atividades que provoquem
os estímulos e os objetivos desse ensino. Logo, por esses motivos, esses
estudantes quando se deparam com atividades ou mesmo exames externos que
envolvam esses conteúdos não mostram um desempenho satisfatório.
Por outro lado, Simon (1995) relata que, uma trajetória hipotética de
aprendizagem fornece ao professor a possibilidade de construir seu projeto de
decisões, tomando como premissas suas melhores suposições de como o
conhecimento poderia ser processado e o mais interessante é a suposta alteração
das atividades que ocorrerão em razão das influências do pensamento do aluno.
Então, compartilhar na elaboração de um suposto caminho que viabilize a
compreensão de assuntos envolvendo Geometria Espacial utilizando o
conhecimento do aluno concatenado com nossas hipóteses é no mínimo
provocador e estimulante.
A seguir, destacamos algumas considerações sobre a importância do
ensino e aprendizagem de Geometria apresentadas nos recentes documentos
oficiais:
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio
(PCNEM, BRASIL, 1999), os elementos norteadores que justificam o Ensino da
Geometria devem visar à compreensão significativa e aplicação dos principais
conceitos da Geometria desenvolvendo, entre outras habilidades e competências,
a de identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para
aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade.
As Orientações Educacionais complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNEM+, BRASIL, 2002), destacam como essencial para
a formação do indivíduo não só a leitura como domínio da língua portuguesa, bem
como a necessidade de compreender a situação proposta como um todo, para ser
possível não apenas resolver a situação, mas, intervir na solução final, ou seja,
espera-se que o estudante ao término da escolarização básica seja competente
58
na resolução de problemas, se não de todos, pelo menos dos que permitam
desenvolver formas de pensar em Matemática (PCN+,BRASIL, 2002, p. 112). O
mesmo documento alerta, quanto ao tema estruturador relacionado à Geometria
na qual os temas devem ser articulados, possibilitando ao educando estabelecer
relações de forma consciente no sentido de caminhar de maneira eficaz no
processo de ensino e aprendizagem, ou seja, o aluno precisa entender o real
significado da aprendizagem em Geometria e:
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para compreensão e construção de modelos para resolução de questões matemáticas e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema, o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução de problemas (PCNEM +, BRASIL, 2002, p. 123).
Como complementos às discussões das equipes técnicas dos sistemas
Estaduais de Educação surgem as Orientações Curriculares para o Ensino Médio
– volume 2, com o objetivo de contribuir para a qualidade do ensino da
aprendizagem dos estudantes e endossa a importância dos conhecimentos de
Matemática, agregarem o desenvolvimento de habilidades que caracterizem o
“pensar matematicamente”. Nesse contexto, o estudo da Geometria deve:
Possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida... E complementa; o trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e sistematizado nesta etapa de escolarização. Alguns conceitos estudados no ensino fundamental devem ser consolidados, como, por exemplo, as idéias de congruência, semelhança e proporcionalidade, o Teorema de Tales e suas aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. (OCEM, BRASIL, 2006, p. 75/76).
Agregados a essas leituras e discussões, temos os conhecimentos da
própria docência que nos permitiram elaborar uma primeira versão da trajetória
hipotética de aprendizagem, considerando o estudante como agente principal de
sua aprendizagem, levando em consideração as interações entre professores e
59
estudantes no processo de ensino e aprendizagem em uma perspectiva
construtivista.
2.3 Definições de expectativas para aprendizagem dos estudantes
Sabemos que os assuntos envolvendo Geometria Espacial para o segundo
ano do Ensino Médio são amplos. Assim, na abordagem de seu ensino, há
destaque para expectativas de aprendizagem relacionadas a volumes e áreas de
objetos geométricos. Observamos que não existe preocupação de incentivar os
estudantes para que investiguem as relações e propriedades fundamentais da
geometria em três dimensões. Estas focam a aprendizagem em uma prática
pedagógica desenvolvida por meio de uma aplicação linear, ditando fórmulas para
resolução das atividades.
Assim, para delimitar nosso trabalho, definimos algumas expectativas de
aprendizagem para os estudantes que podem ser importantes para desenvolver o
raciocínio do pensamento geométrico. Estas expectativas são identificadas a
seguir:
� Usar formas geométricas tridimensionais para representar ou visualizar
partes do “mundo real”;
� Associar objetos sólidos às suas diferentes representações
bidimensionais;
� Reconhecer elementos e características de prismas, estabelecendo
relações entre vértices, faces e arestas e elaborando conjecturas sobre
tais relações
� Explorar os Poliedros Regulares, seu papel na arte e na explicação
sobre o universo;
� Explorar secções cônicas, identificando suas curvas em objetos
tridimensionais.
60
2.4 Considerações a respeito do software Poly
Ao elaborarmos as THAs, buscamos diversificar as estratégias de trabalho
em diferentes atividades, entre elas, o recurso tecnológico como um dos meios
alternativos de incentivar os alunos no processo de ensino e aprendizagem.
Assim, optamos por proporcionar aos alunos o programa Poly, por dois motivos:
(1) ser um programa livre (versão avaliação) e de manipulação; (2) a investigação
da própria tarefa em explorar poliedros convexos, permitindo aos estudantes
realizarem conjecturas por meio da visualização e rotação das imagens.
2.4.1 O programa Poly
O programa Poly13 é um software educacional, tipo shareware, que foi
desenvolvido pela Pedagoguery Software Inc. Tem como finalidade, auxiliar os
estudantes a investigarem algumas categorias de sólidos geométricos, entre eles
os poliedros regulares, sólidos arquimedianos e prismas. Este programa
possibilita aos estudantes analisarem dinamicamente, em três diferentes
maneiras de manipulação: imagens tridimensionais, planificações e incrustações
topológicas no plano. Embora o programa Poly não possua características de
programas interativos que permitem a criação e a manipulação de figuras, com
base em suas propriedades, é um importante recurso tecnológico para os
estudantes utilizarem em sala de aula, pois permite uma rápida visualização,
promovendo aulas investigativas em relação aos assuntos de Geometria.
2.5 Hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos estudantes
Conforme menções anteriores, esta pesquisa sobre Geometria Espacial
tem por objetivo verificar como podem ser organizadas e desenvolvidas THAs em
sala de aula, considerando que algumas metodologias e/ou estratégias possam
contribuir para a aprendizagem dos estudantes, norteadas por: abordagens que
____________ 13 WWW.peda.com/poly/welcome.html.
61
explorem situações interdisciplinares e contextualizadas a serem desenvolvidas
por meio de resolução de problemas e utilização de recursos tecnológicos, como
por exemplo, uso de softwares. Particularmente, nesta THA utilizamos o software
Poly.
Com relação à interdisciplinaridade e contextualização, os PCNEM
destacam que são recursos complementares para ampliar as inúmeras
possibilidades de interação entre disciplinas e entre as áreas nas quais disciplinas
venham a ser agrupadas (PCNEM, BRASIL, 1999, p. 97).
Quanto ao uso de tecnologia, as OCEM afirmam que, “há programas de
computador (softwares), nos quais os alunos podem explorar e construir
diferentes conceitos matemáticos”. Na sequência, enfatiza que esses softwares:
Apresentam recursos que provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas (OCEM, 2006, p. 88).
Para explorar essas metodologias e/ou estratégias de ensino, nossa
justificativa deriva da observação de como as aulas de Matemática são
constantemente desenvolvidas e apresentadas aos estudantes do Ensino Médio.
No decorrer de nossas experiências docentes e contato com pesquisas
desenvolvidas na área de Educação Matemática, notamos que o ensino da
Geometria além de ser negligenciado, quando ocorre sua abordagem de ensino,
muitas vezes, desenvolve-se de forma linear, utilizando-se de repetições da
técnica estudada. Neste aspecto, conceitos geométricos são simplesmente
expostos aos estudantes, que os utilizam por intermédio da memorização de
técnicas e regras matemáticas.
Sabemos que a Geometria Espacial é ferramenta importante no contexto
das várias áreas do conhecimento. Sem os aspectos geométricos, não
poderíamos representar as diversas situações, características e necessidades de
outras áreas do saber, que estão representadas em suas ricas formas de
exposição e representatividade, desde a mais remota civilização.
62
Assim, uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre a Geometria
Espacial, utiliza-se de um contexto interdisciplinar e, em alguns momentos, da
contextualização histórica, de modo que o estudante possa mobilizar seus
conhecimentos matemáticos e aplicá-los em outras áreas do conhecimento e no
próprio conhecimento da Matemática.
Sendo assim o grupo de pesquisa que estamos inseridos, considera que
essas metodologias vêm ao encontro do que Simon (1995) aprecia ser importante
no decorrer do desenvolvimento das THAs, isto é, o papel do professor passa de
transmissor para mediador e colaborador do conhecimento. Nesse processo, o
estudante passa a ser o agente principal de sua própria aprendizagem.
No entanto, destacamos que o processo de ensino construtivista da
aprendizagem ao qual Simon (1995) refere-se, não é aquele no qual os
professores deixam seus estudantes construírem seus conhecimentos a seu
modo (sem orientação devida). Mas, a partir de um plano de ensino, com
objetivos prédeterminados, possa conjecturar hipóteses de aprendizagens,
interagir com o pensamento dos estudantes para promover capacidade de simular
estratégias para enfrentar e resolver determinadas situações-problema
contextualizadas, interdisciplinares e da própria Matemática, intervindo e
refletindo em novos conhecimentos
A seguir, apresentamos, resumidamente, nossas hipóteses sobre a
aprendizagem dos alunos:
H1 – Envolver áreas afins, aplicações em diferentes ciências, contribuir
para que o aluno perceba que os conhecimentos matemáticos estão
relacionados a acontecimentos naturais e sociais, em diferentes
contextos da realidade (perspectivas da interdisciplinaridade e da
contextualização);
H2 – Uma THA deve contemplar sempre que possível, em diferentes
momentos e dependendo dos objetivos pretendidos, tarefas como:
resolução de problemas, investigações e de atividades com a
finalidade de sistematização e mesmo treino de alguns
procedimentos;
63
H3 – Nas situações de aprendizagem (em particular de Geometria Espacial),
é importante explorar a construção do pensamento geométrico, por
meio do reconhecimento e associação de objetos do “mundo real”
com figuras geométricas tridimensionais, construção e manipulação
(material concreto) dos sólidos, desenvolver a capacidade de
visualização e suas diferentes representações bidimensionais
(planificações de um mesmo sólido), bem como estimular os registros
na língua materna (leitura e interpretação de texto) que presumimos
ser pouco explorado durante as aulas. E, por fim, utilizar-se de
recurso tecnológico, como um dos meios de estimular o aprendizado
dos alunos nas aulas de matemática.
2.6 Composição e elaboração da primeira versão das THAs
Apoiados nas leituras realizadas sobre estudos em Educação Matemática,
documentos oficiais, como por exemplo: PCNM14, PCNM+15 e OCEM16, e no
levantamento de pesquisas em Educação Matemática a respeito de temas do
ensino e aprendizagem de Geometria e, em nossos conhecimentos e
experiências em sala de aula, foi elaborada a primeira versão17 das Trajetórias
Hipotéticas de Aprendizagem de Geometria Espacial.
Para cada expectativa de aprendizagem, estabelecemos um objetivo geral,
acompanhado do objetivo específico na composição de cada tarefa. A versão
destinada ao professor colaborador apresenta as devidas orientações para cada
atividade.
____________ 14 Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 1999. 15 Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio, 2002. 16 Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias,
2006. 17 Anexo C.
64
2.6.1 Elaboração da primeira atividade
Primeira atividade - composta de cinco tarefas.
Objetivo geral: reconhecer formas geométricas tridimensionais para
representar ou visualizar partes do “mundo real”.
Objetivos específicos:
− Associar objetos do “mundo real” com figuras geométricas
tridimensionais;
− Reconhecer o nome de alguns sólidos geométricos e esboçar o desenho
desses sólidos;
− Identificar convexidade em figuras tridimensionais;
− Identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma.
Como nossa proposta de trabalho baseia-se em uma perspectiva
construtivista de ensino e aprendizagem, em vez de começar pela teoria, a
primeira atividade parte do reconhecimento das figuras tridimensionais presentes
no “mundo real” e explora o estudo dos sólidos geométricos. Propicia aos
estudantes explicitarem para si e aos colegas características de figuras
consideradas planas e não-planas, reconhecendo nelas formas geométricas
tridimensionais que representam o espaço onde estão situados.
Elaboração
Para a construção da primeira atividade, tivemos como objetivo geral a
preocupação de estimular a aprendizagem dos estudantes quanto ao aspecto de
reconhecer formas geométricas tridimensionais para representar ou visualizar
partes do “mundo real”. A proposta curricular para o Ensino Médio destaca: “Usar
as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma
capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para
resolução de questões de matemática e de outras disciplinas” (PCNM+, BRASIL,
1999, p. 123).
65
Nesse contexto, a primeira atividade foi composta por cinco tarefas que
consideramos serem estímulos para iniciar a exploração de conhecimentos sobre
Geometria Espacial, em que os estudantes têm conhecimentos anteriores e
experiência do mundo que os rodeia. Logo, a tarefa 1 teve como objetivo
específico a associação de objetos do “mundo real” com figuras geométricas
tridimensionais, a fim de incentivar os estudantes a perceberem as associações
das construções realizadas por meio do olhar humano, suas necessidades e o
quanto de influência existe nessa relação “mundo real” e objetos tridimensionais.
Na continuação, temos a tarefa 2, cujo objetivo específico foi reconhecer o
nome de alguns sólidos geométricos e esboçar o desenho desses sólidos. Para
isso, solicitou-se aos estudantes o uso de dicionários para encontrar o significado
das palavras, estabelecendo certa autonomia no processo de aprendizagem, pois
o professor pode disponibilizar diferentes dicionários e, no final da tarefa, os
próprios alunos podem socializar suas buscas, expandindo as informações a toda
sala, propondo também uma breve discussão sobre os significados encontrados,
incluindo relações com as figuras tridimensionais apresentadas na tarefa 1 desta
primeira atividade. Após a busca pelos significados das palavras, acreditamos que
os estudantes possam representar essas figuras por meio de seus esboços,
conforme foi solicitado na mesma tarefa.
Nossa pesquisa referiu-se a uma proposta metodológica construtivista,
consideramos que, após as explorações das tarefas 1 e 2, os estudantes
tivessem condições de perceber que a parte da Matemática que estuda as formas
tridimensionais denomina-se Geometria Espacial e pode ser explorada em dois
grandes grupos: Corpos redondos: os que apresentam superfícies
arredondadas, como por exemplo, o cilindro, cone e a esfera; e Poliedros: os que
apresentam apenas superfícies planas, sendo os poliedros considerados
convexos e não-convexos, citando alguns exemplos destas explorações.
Em seguida, finalizamos a primeira atividade com as tarefas 3 e 4, cujos
objetivos específicos foram, respectivamente, identificar a convexidade em figuras
tridimensionais e identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma de
base pentagonal.
66
2.6.2 Segunda atividade
Segunda atividade – composta de cinco tarefas
Objetivo Geral: reconhecer objetos sólidos e suas diferentes
representações bidimensionais.
Objetivos específicos:
− Perceber as diferentes planificações do tetraedro;
− Desenhar as diferentes planificações do cubo;
− Investigar as planificações do cone e do cilindro;
− Identificar a representação bidimensional de uma embalagem; e
− Identificar a planificação de objetos tridimensionais;
A segunda atividade visou a favorecer o desenvolvimento do pensamento
geométrico dos estudantes em relação às diferentes planificações de um mesmo
sólido geométrico, bem como reconhecer as planificações de algumas figuras
tridimensionais, facilitando o trabalho com as áreas das superfícies de sólidos em
estudos futuros.
Elaboração
A preocupação para elaborar a segunda atividade, cujo objetivo geral foi
reconhecer os objetos sólidos e suas diferentes representações bidimensionais
que surgiram dos resultados insatisfatórios de algumas atividades fornecidas
durante minhas experiências em sala de aula.
Quando do desenvolvimento de algumas tarefas relacionadas a encontrar
a área de superfícies sólidas, os estudantes enfrentavam dificuldades para
visualizar suas faces. E, também, pelo fato de alguns livros didáticos apenas
apresentarem a planificação dos sólidos de maneira pronta e em uma única
representação bidimensional, não estimulando outras maneiras de planificar um
mesmo sólido.
67
Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM: “... as
expressões que permitem determinar a medida da área das superfícies dos
sólidos podem ser estabelecidas facilmente a partir de suas planificações”.
(OCEM, BRASIL, 2006, p. 76).
Nesse sentido, a segunda atividade compõe-se por cinco tarefas: as duas
primeiras exploraram as diferentes planificações que podem ser feitas ao
tetraedro e ao cubo, possibilitando aos estudantes identificar estratégias para
encontrar essas planificações. Na sequência, investigou-se como podem ser
representadas as planificações do cilindro e do cone. Já as tarefas 4 e 5
contemplaram os objetivos específicos para identificar a representação
bidimensional de uma embalagem e Identificar a planificação de objetos
tridimensionais, respectivamente. O último item da tarefa 5 exigiu dos estudantes
a justificativa para cada erro cometido ao tentar planificar um tetraedro, uma vez
que a primeira tarefa era relacionada a explorar as diferentes planificações desse
sólido geométrico.
2.6.3 Terceira atividade
Terceira atividade – composta de quatro tarefas
Objetivo Geral: reconhecer elementos e características de prismas e
pirâmides, estabelecendo relações entre o número de vértices, faces e arestas
elaborando conjecturas sobre tais relações.
Objetivos específicos:
− Diferenciar prismas de pirâmides;
− Reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides,
estabelecendo relações numéricas de seus elementos;
− Estabelecer relações entre a quantidade de vértices, faces e arestas e
identificar a relação de Euler em poliedros convexos; e
− Aplicar a relação de Euler em situações-problema.
68
A terceira atividade teve o objetivo de reconhecer elementos e
características de prismas e pirâmides, propondo aos estudantes que
estabelecessem suas propriedades e as representassem por meio da linguagem
matemática.
Elaboração
O objetivo geral da terceira atividade foi reconhecer elementos e
características de prismas e pirâmides, estabelecendo as relações entre vértices,
faces e arestas elaborando conjecturas sobre tais relações.
Esta atividade foi composta de quatro tarefas, sendo o objetivo específico
da tarefa: diferenciar prismas de pirâmides, propondo aos estudantes relatarem
suas conjecturas em relação às suas características.
Na tarefa 2, o objetivo específico foi reconhecer elementos e
características de prismas e pirâmides, estabelecendo relações numéricas entre
seus elementos, com base nos dados inseridos nas duas tabelas apresentadas
aos estudantes, com o propósito deles perceberem tais relações numéricas e as
registrarem na atividade. Um processo análogo ocorreu com a tarefa 3, cujo
objetivo específico foi estabelecer as relações entre vértices, faces e arestas e
identificar a relação de Euler em poliedros convexos, momento oportuno para
institucionalizar essa relação. Para finalizar a terceira atividade, a tarefa 4 teve
como objetivo específico a aplicação da relação de Euler em situações-problema.
2.6.4 Quarta atividade
Quarta atividade – composta de cinco tarefas
Objetivo Geral: explorar os “Poliedros Regulares”, seu papel na arte e nas
explicações sobre o Universo.
Objetivos específicos:
− Explorar os poliedros regulares por meio do software Poly e investigar
suas propriedades;
69
− Verificar a existência de apenas cinco poliedros regulares por meio da
construção de polígonos regulares;
− Explorar a história dos “Poliedros de Platão” na literatura e provar a
existência de apenas cinco poliedros regulares com base nas
informações do texto;
− Identificar a relação de Euler nos sólidos considerados poliedros
regulares e, com auxílio dessa relação demonstrar a existência desses
poliedros regulares;
− Pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas
explicações sobre o Universo.
Elaboração
A quarta atividade teve como objetivo geral explorar os poliedros regulares,
seu papel na arte e nas explicações sobre o Universo. Este é um momento rico e
oportuno para investigar os diferentes aspectos de interesses desses poliedros e
especial atenção do por que da existência de apenas cinco poliedros regulares.
Para isto, a quarta atividade foi composta por quatro tarefas. Sendo
reservada para a tarefa 1, uma exploração desses poliedros no ambiente
informatizado, com o propósito de investigarem virtualmente aspectos de suas
propriedades. Consideramos que, embora as escolas públicas estejam
estruturadas com sala de informática, pouquíssimos alunos e professores têm
acesso às novas tecnologias de comunicação em relação a softwares
matemáticos para complementar seus estudos e aprendizagens no espaço
escolar.
Ressaltamos que recursos tecnológicos fazem parte do contexto da
sociedade contemporânea que embora este recurso não seja o único meio de
aprendizagem, o mesmo é um meio de colaborar de modo investigativo nas aulas
de Matemática.
Em relação à tarefa 2, procuramos explorar a construção desses sólidos,
no intuito de perceber suas propriedades por meio de situações empíricas. Lauro
(2007) ressalta em sua pesquisa a importância entre a articulação dos quatro
70
processos necessários à construção de conhecimentos geométricos: Percepção –
Construção – Representação – Concepção.
Escolhemos algumas atividades diversificadas para a quarta atividade,
porque, quando os Poliedros Regulares são apresentados aos estudantes,
geralmente, é de forma direta, como os livros didáticos apresentam, destacando
seus elementos e disponibilizando suas propriedades de maneira linear.
Desse modo, não propicia aos estudantes conjecturarem a respeito de
suas características, prejudicando o entendimento do porque da existência de
apenas cinco poliedros regulares, ficando apenas a memorização desse assunto.
A inserção do texto, nesta atividade, foi no sentido de retratar um pouco da
história desses sólidos e suas influências, para que os estudantes refletissem e
percebessem que o conhecimento também é produto de algumas investigações
do passado. Como complemento da exploração e conjecturas nesse processo de
aprendizagem, inserimos uma pesquisa, no intuito dos estudantes refletirem a
respeito das explorações desses conhecimentos na transformação de fatos
relevantes na sociedade e como esse conhecimento vem sendo divulgado ao
longo dessa trajetória.
2.6.5 Quinta atividade
Quinta atividade – composta de seis tarefas
Objetivo Geral: explorar seções cônicas, identificando suas superfícies em
objetos tridimensionais.
Objetivos específicos:
− Identificar os sólidos de revolução por meio da rotação completa de
superfícies;
− Associar a rotação de figuras planas aos sólidos de revolução;
− Perceber as superfícies curvas resultantes de alguns cortes no cilindro;
− Relacionar as curvas cônicas às superfícies dessas secções;
71
− Relacionar as curvas cônicas às diferentes representações do “mundo
real”;
− Pesquisar sobre as secções cônicas e suas influências nos avanços e
transformações da sociedade.
Elaboração
Esta quinta atividade teve como objetivo geral explorar seções cônicas,
identificando suas superfícies em objetos tridimensionais. A motivação para
desenvolvê-la deriva das dificuldades apresentadas pelos estudantes, quando
assuntos envolvendo Geometria analítica, por exemplo, necessitam de
conhecimentos prévios para relacionarem as curvas cônicas às superfícies das
secções de cones.
Inicialmente, visou desenvolver nos estudantes a capacidade de identificar
os sólidos de revolução por meio da rotação completa de superfícies, associar a
rotação de figuras planas aos sólidos de revolução e conjecturar que figuras
geométricas planas potencializam a geração de diferentes sólidos de revolução.
Explorar a percepção das superfícies curvas resultantes de algumas inclinações
do cilindro contendo um líquido; investigar a percepção das diferentes inclinações
do plano quando intercepta a(s) geratriz(es) do cone, servindo-se de uma breve
história do surgimento dessas superfícies curvas com objetivo de explorar as
secções cônicas, identificando a obtenção de diversos cortes com base na
inclinação do plano para olhar às influências dessas curvas e sua presença no
“mundo real.
2.7 Plano para atividades de aprendizagem
As atividades de aprendizagem foram organizadas para serem
desenvolvidas em 15 aulas de 50 minutos cada. No total foram programadas
cinco atividades, cada uma acompanhada de objetivo geral seguida por tarefas
matemáticas e seus respectivos objetivos específicos.
72
Algumas destas atividades foram programadas para serem desenvolvidas
em dupla ou grupo, explorando o diálogo e discussões com os colegas de classe.
Em relação às estratégias para o professor desenvolver as tarefas, estas
foram orientadas quando do primeiro encontro com os três professores
colaboradores, no que se refere à perspectiva construtivista da aprendizagem.
Sobretudo, para disponibilizarem um “tempo”, para que os estudantes pudessem
explorar e tentar resolver as atividades e, em seguida, promover uma discussão
das questões institucionalizando o conceito. Esperávamos que o estudante
utilizasse conhecimentos adquiridos nas atividades anteriores e conjecturassem
propriedades de figuras tridimensionais, estabelecendo reflexões e aplicando os
conhecimentos em situações-problema.
As THAs do aluno diferem-se da versão do professor em razão das
sugestões das estratégias para seu desenvolvimento, bem como a resolução das
atividades.
2.8 Leituras da primeira versão das THAs pelos professores
colaboradores
Após apresentação do projeto de pesquisa aos professores colaboradores
das THAs, o segundo encontro com os três professores teve o propósito de
levantar discussões a respeito de prováveis alterações para (re) elaborar as
atividades. Dadas as opiniões e/ou sugestões desses professores, o segundo
momento tinha a expectativa de construir uma segunda versão das THAs para ser
desenvolvida em sala de aula.
Quando do novo encontro entre professores colaboradores e a
pesquisadora para discussão e esboço das futuras alterações e/ou sugestões
sobre as THAs, os professores optaram por realizar interferências em relação às
tarefas só após desenvolvimento da primeira versão. Mas, todos discutiram e
concluíram a respeito de apresentar o objetivo geral e específico de cada
atividade aos estudantes, como meio deles começarem a apropriar-se dos
objetivos de cada aula, como uma postura positiva e organizada de ensino.
73
Mas sentiram-se à vontade para relatar que, possivelmente, os alunos
encontrariam dificuldades para desenvolver as atividades com temas envolvendo
geometria espacial, pelo fato de não terem afinidades com esses temas,
considerando que, em conteúdos ligados à Geometria plana, os estudantes
demonstram uma série de dificuldades e acrescentaram, ainda, a ausência
desses conteúdos desde as séries iniciais como fator responsável pelo estudante
não avançar nos conhecimentos sobre Geometria.
Em contrapartida, afirmaram ser um trabalho desafiador e que as
alterações surgiriam no decorrer das experiências em sala de aula, momento este
em que os alunos apontariam como retorno suas dúvidas e ansiedades.
Sentiram-se entusiasmados pelas THAs contemplar momentos com
software matemático, mas admitem não ter familiaridade com nenhum tipo de
software. Os três professores afirmaram não conhecerem o software Poly.
Frente à exposição dos três professores colaboradores, organizarmos o
roteiro para explanação e familiarização do referido software entre os professores.
Em nossas discussões, incluímos uma possível adaptação do espaço físico, para
uso da informática, caso a infraestrutura não ficasse pronta até o desenvolvimento
da quarta atividade.
2.9 Resultados da discussão das THAs com o grupo de professores
colaboradores e proposição da segunda versão da THA.
Em face dos relatos e discussão sobre a suposta análise da primeira
versão das THAs pelos professores colaboradores quanto a primeira versão das
THAs sobre Geometria Espacial, não houve alteração na segunda versão das
THAs. No decorrer do encontro, a pesquisadora ressaltou a importância de (re)
afirmar os objetivos de construir e aplicar uma THA sobre Geometria Espacial,
estabelecendo um clima de cooperação e valorizando a voz do professor, visto
que uma THA valoriza vários aspectos, inclusive, o compartilhar ansiedades e
futuros desafios em relação à construção do conhecimento e o quão importante é
o somatório das possibilidades de reorganização da THA, envolvendo professores
74
colaboradores, alunos e pesquisadora. Neste caminho, Simon, 1995 apud Pires,
2008 destaca:
Que a geração de uma THA prioriza buscar as formas pelas quais o professor desenvolve seu planejamento em atividades de sala de aula, mas também identificar como o professor interage com as observações dos alunos, coletivamente, constituindo uma experiência e construindo novos conhecimentos.
De fato, a construção de uma THA e todo o processo que a permeia,
privilegia uma série de ações conjuntas, como: desde saber ouvir outros
profissionais da mesma área, o pensamento que o aluno tem sobre determinado
tema e, em especial, saber adequar os momentos, para que ocorram alterações
coletivamente, é um processo que Simon destaca como importante em sua
pesquisa.
Nesse sentido, talvez os professores tenha ficado na expectativa de
vivenciar o desenvolvimento das THAs sem alterar a primeira versão, em razão
da apresentação do roteiro de atividades já determinado.
Após as discussão desses fatos, professores colaboradores e
pesquisadora estabeleceram iniciar o desenvolvimento das THAs sobre
Geometria Espacial. Mas, antes decidiram informar aos alunos envolvidos a
respeito do projeto de pesquisa. Então o professor-coordenador de escola
organizou um horário para que a pesquisadora fosse à sala de aula e expusesse
o roteiro do projeto em questão e sua data de início.
76
CAPÍTULO 3
O DESENVOLVIMENTO DAS TRAJETÓRIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAGEM EM SALA DE AULA E A ATUAÇÃO DOS
PROFESSORES E ESTUDANTES
Neste capítulo, apresentamos alguns dados listados com base no
relatório18 de observações do desenvolvimento de cada aula. A finalidade da
observação direta teve o propósito de compreender melhor a atuação dos
professores em atividades que se apóiam em uma perspectiva construtivista de
ensino em relação às atividades organizadas e definições de objetivos de
aprendizagem.
Na ocasião do início do desenvolvimento das atividades, P3 informou que
não poderia disponibilizar todas as aulas semanais de Matemática para o
desenvolvimento do projeto. Sua justificativa foi motivada por sua turma pertencer
ao período noturno, e a grade curricular dispor de quatro aulas semanais.
Dada a exposição da situação e o cuidado para não comprometer o
conteúdo em andamento dos estudantes, P3 disponibilizou duas aulas semanais
para o projeto de pesquisa proposto. Desse modo, P3 desenvolvia as tarefas das
THAs, sempre às quintas-feiras.
Para o período vespertino, o desenvolvimento do projeto iniciou-se em 15
de abril de 2009, mas para o período noturno, o início ocorreu a partir da primeira
semana de maio de 2009, pelo motivo explanado no parágrafo acima.
____________ 18 Anexo D.
77
3.1 Observações e reflexões em relação ao desenvolvimento das
THAs em salas de aula
O primeiro contato com as salas de aula pela pesquisadora foi muito
importante, no que se refere à explicação de sua presença como observadora do
desenvolvimento das atividades pelos estudantes e interações entre eles,
professor e a própria pesquisadora.
Durante o desenvolvimento das THAs, os professores percorriam a sala de
aula realizando interferências com os estudantes. Mas, P1, quando verificava que
os estudantes não conseguiam progredir nas tarefas, recorria à lousa para
explanar o assunto, corrigindo-os. P2 disponibilizava mais tempo e, geralmente,
orientava as duplas e/ou grupo sem recorrer à lousa. Embora, P3 realizasse uma
breve explanação das definições dos assuntos na lousa, durante as tarefas
realizadas pelos alunos, o professor, também disponibilizava mais tempo para
que os alunos tentassem realizá-las e, posteriormente sistematizava-as no quadro
negro.
Com frequência os estudantes levantavam perguntas ao professor, no
intuito de obter respostas já prontas. Então, o grande desafio, durante o percurso
do desenvolvimento das THAs, foi estimular esses estudantes a pensarem sobre
suas hipóteses de resolução frente às atividades propostas.
No entanto, controlar os anseios de estudantes e não responder
imediatamente às suas expectativas foi exercício contínuo nas atitudes dos
professores colaboradores.
Sempre havia um desconforto inicial por parte dos estudantes quando não
obtinham uma resposta imediata, mas com a interferência do professor ao
estimular outras perguntas, para que respondessem à primeira. Com o
desenvolvimento das atividades, os estudantes percebiam que respostas
imediatas não ajudariam na aprendizagem, mas a estimulação de outros
questionamentos esboçava uma espécie de rede de conexões que proporcionava
transformação dos questionamentos em informações valiosas para desenvolver
as atividades propostas. Isso foi notado pela pesquisadora, mas os estudantes
78
apresentavam uma série de dificuldades quanto aos conceitos de geometria
plana.
Quanto à discussão entre os estudantes que apresentavam alguns
conhecimentos geométricos, esclareciam dúvidas, culminando, assim, para o
encadeamento das inter-relações existentes entre geometria plana e espacial.
Quando dos encontros com os professores colaboradores e a
pesquisadora, já eram previstas as situações de insucesso com conhecimentos
sobre Geometria plana. Logo, em nossas discussões destacamos que a
Geometria Espacial seria uma grande oportunidade de entender os
conhecimentos da Geometria plana, visto que elas se entrelaçam a toda momento
em nosso cotidiano.
A seguir, descrevemos nossas impressões baseadas no relatório de
observações do desenvolvimento de cada aula. Destacamos sete categorias que
emergiram da leitura desses relatórios em relação aos acontecimentos das três
turmas.
3.1.1 Organização da classe e “clima” dominante
Os professores colaboradores, ao iniciarem suas aulas, sempre procuravam
estabelecer certa ordem em sala de aula, como por exemplo, os estudantes
situados cada qual em suas carteiras. Com exceção do professor P3, neste caso,
a aula era constantemente interrompida pela entrada dos alunos durante os dez
primeiros minutos da aula, visto que pertenciam ao período noturno e alguns
alunos chegavam direto de seus trabalhos.
O professor P1, sempre estabelecia a organização dos alunos
individualmente, explicava o assunto e só depois solicitava-lhes que formassem
as duplas ou grupos. Ainda orientava as duplas ou grupos, embora estivessem
compartilhando o desenvolvimento das atividades cada aluno deveria registrar
suas observações em seus respectivos cadernos. Em relação ao professor P2,
ficou decidido desde o início das atividades que estas seriam realizadas em dupla
ou em grupo. Já o professor P3, não fez orientações quanto à organização da
79
sala e desenvolvimento das atividades. À medida que os estudantes iam
chegando, eles mesmos se disponibilizavam, geralmente, em duplas para o
desenvolvimento das tarefas.
3.1.2 Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de
aprendizagem
Durante o desenvolvimento do projeto, os três professores não
demonstraram dificuldades em relação ao conteúdo matemático proposto.
Em relação à abordagem e orientações para o desenvolvimento das
tarefas, P1 e P3, geralmente recorriam à lousa para explanar os assuntos. A
diferença marcante entre eles dava-se pelo modo que disponibilizavam as
informações. P1 unia suas explicações verbais às representações e imagens dos
sólidos no quadro negro. Já P3, geralmente, fazia uma breve descrição das
definições de alguns assuntos, como por exemplo, diferenciação de Geometria
plana e tridimensional, prismas e pirâmides, entre outros.
P2 instigava os alunos com perguntas em relação às tarefas serem
desenvolvidas, buscava levantar os conhecimentos que eles possuíam.
Embora, durante as entrevistas e questionários dos professores, eles
tivessem afirmado ministrar suas aulas de forma tradicional, observamos que P1e
P3 se apresentava mais tradicional em relação à P2.
Nas discussões geradas durante o intervalo das aulas, P1 admitia que era
muito difícil mudar sua prática, advinda de muitos anos de magistério.
Argumentava que não conseguia disponibilizar muito tempo para os estudantes
ficarem pensando. Então, após alguns instantes, foi até a lousa e sistematizou a
aula prevista para o dia.
Nesse aspecto P2, era determinada, antes de iniciar suas aulas, solicitava
aos alunos que participassem com suas ideias e pensamentos. Só depois desse
distribuía as atividades para desenvolvimento.
80
Os três professores sempre iniciavam as aulas, destacando os objetivos de
aprendizagem. O fato foi destacado por eles durante nossas primeiras reuniões,
quando observaram a organização das atividades, acompanhadas de objetivo
geral e seus respectivos objetivos específicos em relação a cada tarefa. Segundo
os professores, é um modo de chamar a atenção dos alunos para o que se
pretende estudar/explicar naquela aula e, também, uma maneira do professor ter
clareza em relação à meta de aprendizagem dos alunos. Algumas vezes, o
professor lia os objetivos de aprendizagem, outras vezes, solicitava a algum aluno
que o fizesse.
Uma rotina comum, entre esses professores eram as solicitações de
trabalhos/pesquisas como complemento das aulas de Matemática. Em relação a
trabalhos coletivos, P2 e P3 eram favoráveis, enquanto que P1 apresentava uma
postura diferente – orientava os alunos a desenvolverem as pesquisas e trabalhos
individualmente. Mas, P1 e P3 apenas solicitavam as pesquisas no formato
escrito, acompanhado da conclusão dos alunos. P2 orientava os alunos a
apresentarem as pesquisas em duas versões: (1) parte escrita e (2) forma de
seminário/ exposição.
Os professores, também, destacaram que a avaliação do bimestre dar-se-
ia pela participação dos alunos no desenvolvimento das atividades e entrega das
pesquisas. O professor P1 alertou seus alunos que, algumas vezes, eles iriam
trabalhar em dupla ou em grupo, porém cada aluno deveria registrar as tarefas
individualmente, sendo cobrado como participação e complemento no
desempenho do bimestre.
3.1.3 Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações
deles na busca de soluções
Notamos que os alunos mostravam-se menos inibidos para relatarem sobre
suas experiências na realização de tarefas e explorar suas dúvidas quando
estavam trabalhando em dupla ou grupo. Percebeu-se certa timidez, que
podemos traduzir como receio de perguntar, quando estão realizando as
atividades individualmente.
81
Observamos, também, que os alunos tinham um diálogo saudável com os
professores envolvidos no projeto. Esse aspecto foi destacado, por meio das
dúvidas dos alunos, quando recorriam ao professor.
Em relação aos textos, alguns alunos não se integraram à leitura
imediatamente. Quando um colega iniciou a leitura, aos poucos os demais alunos
também se engajavam. O mesmo ocorreu, quando os alunos foram solicitados a
demonstrarem a existência de cinco poliedros regulares e a provarem sua
existência a partir de informações contidas no texto. Nossa hipótese era que os
alunos não tinham contato com textos, nem com demonstrações e provas nas
aulas de Matemática.
3.1.4 Dificuldades observadas e possíveis causas
Durante o desenvolvimento das tarefas, percebemos que os estudantes, de
fato não tiveram muito contato com assuntos envolvendo Geometria Espacial.
Conforme discussão anterior com os professores colaboradores, essa hipótese
veio ao encontro da realidade da sala de aula. Mas, no desenrolar das tarefas,
notamos que esses estudantes tinham potencialidade para construírem
conhecimentos geométricos. Bastando para isso, ser oferecida a oportunidade.
Em relação a primeira atividade, apesar dos alunos estranharem o uso de
dicionários na aula de Matemática, notou-se um avanço no aspecto de agregar
novos conhecimentos em relação a comparar imagens e relacioná-las aos
desenhos que foram propostos a esboçar. Destacamos também algumas
confusões, como por exemplo, denominar o cubo de “quadrado” sem observar
que o cubo tem seis faces quadradas. As dificuldades encontradas por esses
estudantes estavam relacionadas com a nomeação dos sólidos, fazendo confusão
com a Geometria plana e espacial e, particularmente, na questão de identificar os
polígonos que compõem o prisma de base pentagonal, por exemplo.
Quanto a segunda atividade, percebemos que as maiores dificuldades dos
estudantes deram-se, pelo fato, deles não terem contato anterior com
planificações de sólidos geométricos. Notamos, também, que a estratégia de
82
utilizar o molde, especialmente, para o tetraedro favoreceu os alunos a
conjecturarem sobre outras possibilidades de planificação.
Embora nenhum aluno tenha conferido que existiam 11 planificações
diferentes para representar o hexaedro (cubo), esta foi uma atividade que todos
se envolveram bastante, ficaram ansiosos para ver quem construía uma
planificação considerada correta. Este foi um momento de troca de informações
interessante entre eles. Tanto a observadora, como os professores colaboradores
ouviam as seguintes falas: “Não pode ser assim, porque se você tentar fechar a
pirâmide não vai conseguir... um lado (se referindo à face) vai ficar em cima da
outra”; “Desse jeito, está errado... olha só... tem um ponto (referindo-se ao vértice)
que une quatro pontas dos triângulos... na hora de montar vai precisar de uma
figura quadrada pra fechar o negócio” (trecho referente a segunda atividade).
Notamos que relatos como esses mostravam indícios, de que os
estudantes apresentam potencialidades de aprendizagem. E as estratégias, neste
caso, o apoio do material concreto, são necessários para melhorar a
compreensão do estudante, estimulando-os a levantarem hipóteses, verificando
seus próprios erros, corrigindo-os entre seus pares.
No que se refere a terceira atividade, notamos que as dificuldades das
tarefas foram marcadas pela confusão para identificar corretamente os elementos
dos poliedros. Em relação à descoberta das relações numéricas entre a base de
prismas e pirâmides, os estudantes ficaram empolgados para descobrir por eles
mesmos estas características. Muitos frisaram que não precisava ficar contando
toda hora as arestas, vértices e faces, se souberem essas características. A
relação de Euler foi estabelecida sem dificuldade pelos alunos. Apenas tiveram
dificuldades para aplicá-la nas situações-problema da tarefa 4, os itens “a” e “c”,
justamente, por não se darem conta de que as arestas são contadas em dobro,
pelo fato de que duas faces têm uma aresta em comum.
Durante o desenvolvimento da quarta atividade, os alunos tiveram
dificuldade na construção do pentágono e hexágono regular e em relação ao
estabelecimento da desigualdade solicitada na tarefa 3.
83
Notamos que as possíveis causas dessas dificuldades, deviam-se aos
alunos não terem o hábito de realizar tarefas geométricas, utilizando régua e
transferidor, entre outros materiais. Logo, não sabiam construí-los e, também, a
ausência de explorar as atividades que possibilitassem demonstração de
expressões de desigualdade, como a solicitada na tarefa 3, desta mesma
atividade.
Por último, uma questão que também requeria atenção, referia-se aos
textos, tanto a quarta como a quinta atividade disponibilizavam textos para leitura
e compreensão da Matemática. Nesse aspecto, alguns alunos estranharam essa
situação. Muitos justificaram que os textos eram muito longos. Observamos que
considerar os “textos longos” deva-se ao fato de que não estavam familiarizados
com eles nas aulas de Matemática.
3.1.5 Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares
e recursos tecnológicos
Embora os alunos tenham sentido certo estranhamento em relação aos
textos que foram abordados nas THAs, observamos o interesse deles para saber
sobre aspectos da história da Matemática e sua aplicação. Quanto às tarefas de
investigação, os alunos empolgavam-se com as discussões entre os colegas,
como por exemplo, na exploração de encontrar outras maneiras de planificar um
sólido – chegaram a disputar quem conseguia mais representações das
planificações.
Em relação ao apoio tecnológico, notamos que os alunos interessavam-se
mais por esses recursos. Embora esta aula tenha sido prejudicada em termos da
sala de informática da escola não estar pronta, os próprios alunos organizaram-
se, de modo a se revezarem em dupla e explorarem o programa Poly. Ao passo
que as duplas revezavam-se, os demais alunos, acompanhavam as explorações
do software pela outra por meio do Data Show disponibilizado pela escola.
84
3.1.6 Adequação do tempo previsto para as tarefas
Com exceção da quarta atividade, as demais foram desenvolvidas,
conforme as projeções previstas para o desenvolvimento das THAs.
Os professores tiveram de disponibilizar um número maior de aulas, além
das previstas, para que a quarta atividade pudesse ser completada. O motivo
referiu-se a problemas relacionados a três aspectos: 1) Adaptação de uma sala
para disponibilizar o recurso tecnológico aos alunos; 2) os alunos não levarem
materiais (cartolina, régua, compasso, transferidor, etc.) para as produções
solicitadas em relação à construção dos polígonos regulares; 3) a própria
construção dos sólidos geométricos requereu dos alunos um maior tempo para
montá-los.
Embora esta atividade tenha demandado um maior número de aulas, a
mesma provocou nos alunos um envolvimento geral. Primeiro, entusiasmaram-se
quando tiveram contato com o programa Poly que, segundo eles, nunca tinham
participado de aulas, utilizando a tecnologia nas aulas de Matemática. Um
segundo aspecto foi, embora tivessem certa resistência na construção dos
polígonos regulares, utilizando materiais como régua e transferidor, que
percebiam uma empolgação ao concluírem suas montagens, finalizando-as com
decorações, conforme suas preferências.
3.1.7 Intervenções do professor durante a realização das atividades,
socialização e sistematização das conclusões
Entre as intervenções realizadas pelos professores, destacamos as
interferências em relação ao vocabulário dos alunos com palavras do contexto da
Geometria, sem refletir sobre seu real significado, como por exemplo, utilizar a
palavra quadrado para referir-se tanto ao cubo como propriamente ao quadrado.
Nossa hipótese, para este caso, deve-se ao fato dos alunos não vivenciarem a
manipulação desses objetos e explorarem suas características e propriedades,
não favorecendo discussões nesse sentido em situações anteriores. Outro
exemplo bastante comum e não menos importante ocorreu com as palavras
85
círculo e circunferência. Sempre que os professores percebiam esses equívocos,
imediatamente, os alunos eram alertados para corrigir suas falhas.
Outro aspecto que destacamos, é em relação à solicitação de pesquisas
relacionadas aos temas envolvidos nas tarefas. Na prática desses três
professores, parece ser hábito a solicitação de pesquisas. Mas, P1 e P3, apenas
solicitaram as pesquisas no formato escrito, acompanhadas de conclusão dos
alunos. Já P2, orientou os alunos a apresentarem as pesquisas em duas versões:
(1) parte escrita e (2) forma de seminário/ exposição.
No decorrer do desenvolvimento das tarefas, as observações em relação
às interações entre professores e estudantes nos permitiram refletir a respeito não
só da atuação dos professores, mas também na participação do aluno na
construção do conhecimento de assuntos geométricos.
Quanto aos professores observamos que existia certa ansiedade em
apresentar uma explicitação do conteúdo (definição, elementos, propriedades,
etc.) aos alunos e na sequência apresentar as soluções das tarefas, interferindo
para refletir e discutir o assunto proposto, prejudicando, assim, a troca de
informações entre os alunos.
Observamos que, muitas vezes, essa ansiedade era gerada em razão da
postura inicial dos estudantes. Conforme nossos relatórios, os alunos envolvidos
no desenvolvimento das tarefas, geralmente, dirigiam-se aos professores, na
busca de obter uma resposta quase que imediata para as tarefas.
Nossa hipótese para essa situação deve-se ao fato de não haver um hábito
de cultivar a investigação dos assuntos matemáticos de modo geral, como por
exemplo, buscar verificar os conhecimentos que os alunos disponibilizam durante
as aulas, instigando-os a explorem seus pensamentos e ideias, disponibilizando
certo tempo para encontrarem possíveis soluções.
Em contrapartida, observamos que, em alguns momentos, os alunos
ficavam em “silêncio” ao iniciar as tarefas. À medida que um dos alunos da turma
esboçava conflitos na aprendizagem, imediatamente, outros alunos sentiam-se
encorajados a expor suas indagações.
86
Embora os três professores colaboradores tivessem compreendido a
proposta do projeto e tentasse disponibilizar determinado tempo, para que os
alunos esboçassem suas ideias, no intuito de desenvolver um diálogo entre eles,
na busca de comunicar e adquirir conhecimento, pois, ao mesmo tempo em que
os auxiliavam, estava aprendendo a entender o pensamento dos alunos,
verificamos, conforme relatório de nossas observações que esta dinâmica de
trabalho deve ser construída e aprimorada.
Nesse sentido, o desenvolvimento das THAs, proporcionou aos
professores reflexões em suas ações pedagógicas, especialmente, na busca de
estimular a circulação das ideias, informações e sugestões dos alunos, não se
desprendendo dos objetivos de aprendizagem.
No entanto, é preciso romper com as práticas de ensino, pois, ao mesmo
tempo que necessitam conhecer as ideias dos alunos, devem sistematizar os
assuntos programados, o que demanda um contínuo exercício de suas ações em
sala de aula.
88
CAPÍTULO 4
NOVOS CONHECIMENTOS DECORRENTES DA TRAJETÓRIA
HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM
Neste capítulo, apresentamos reflexões a respeito da construção dos
novos conhecimentos dos professores colaboradores que participaram do projeto,
bem como meus conhecimentos na situação de pesquisadora. Na sequencia,
pautamos as sugestões para mudanças nas THAs.
4.1 Novos conhecimentos dos professores colaboradores – momentos
de reflexões do grupo
A experiência realizada com o desenvolvimento das THAs em sala de aula
possibilitou o levantamento de algumas reflexões por parte dos professores
colaboradores nos seguintes aspectos:
� Controlar a ansiedade de explicar e/ou apresentar respostas/resoluções
prontas (definições, exemplos prontos, etc.) e observar mais as
discussões dos alunos, encaminhando-as em forma de perguntas,
direcionando os alunos no sentido de perceber outros possíveis
encaminhamentos no percurso do raciocínio.
� Oportunizar a interação entre os próprios colegas de sala, respeitando o
pensar do outro, oferecendo espaço para discussão;
89
� A inclusão de texto que retrate a história da Matemática, como reflexão
na construção do conhecimento matemático;
� A importância de desenvolver nos estudantes a construção do
pensamento geométrico, de maneira a explorar outros recursos
didáticos, além do quadro negro, como por exemplo, materiais
concretos, incentivar a construção dos sólidos, utilizando compasso,
esquadro e transferidor, com o apoio da tecnologia. Além de pesquisas
sobre assuntos básicos de Geometria, como reforço para os estudantes
completarem seus estudos referentes ao tema solicitado;
� A importância das pesquisas “chegarem” até o espaço escolar;
� As THAs possibilitou pensar em um plano de ensino de uma forma mais
ampla, assegurando objetivos de aprendizagem, organização das
atividades, pensar antes nas possíveis respostas dos alunos. Se no
meio do caminho não der certo, é necessário repensar sobre a
estratégia de trabalho. Embora, o somatório de itens faça o professor
repensar em suas ações em sala de aula, isso tudo leva muito tempo e
preparo;
� Uso do software como possibilidade de enriquecer as aulas de
Matemática, e envolver os alunos nas tarefas;
� Os estudantes interessam-se mais pelas aulas, quando se engajam em
atividades que utilizam material concreto; e
� Atividades em dupla ou em grupo incentivam a participação dos alunos
nas discussões e levantamento de hipóteses na construção do
pensamento geométrico.
Embora os professores tenham considerado importantes os fatores
explicitados acima, eles argumentavam ser difícil mudar a prática de ensino.
Destacavam que, há muitos anos, vêm trabalhando de maneira tradicional e
admitiam não ser impossível transformar sua metodologia de trabalho. Afirmaram
que em uma sala de aula com muitos alunos (48, por exemplo) desenvolver um
trabalho na perspectiva construtivista é muito proveitoso, por envolver muitos
alunos e seus pensamentos, porém trabalhoso, pois demanda tempo para
90
investigar, listar e discutir os pensamentos dos alunos e, por fim, sistematizar o
assunto.
Acrescentaram, ainda, que é um momento oportuno de perceber que todos
ganham, pois alunos e professores aprendem ao mesmo tempo. Mas, é preciso
que estejam dispostos a tentar mudar a rotina de trabalho, o que não ocorre de
imediato.
Ao longo do diálogo com os professores colaboradores, percebeu-se que
era comum na fala deles, o fator tempo, ou seja, organizar objetivos de
aprendizagem, pensar na elaboração de atividades, supor hipóteses dos alunos e
rever todo esse processo, reorganizar as tarefas, demanda tempo e
disponibilidade para assegurar a participação ativa dos alunos.
Os professores destacaram que desenvolver as THAs em sala de aula foi
um trabalho importante e desafiador, especialmente, por refletirem sobre os
objetivos da aprendizagem, justificando que apresentá-los aos alunos
proporcionou duas possibilidades: 1) Cuidado com o planejamento de atividades,
não fugindo do objetivo de aprendizagem que o professor deseja alcançar com
seus alunos; 2) Uma maneira dos alunos estarem “antenados” com o que vai
acontecer na aula.
Embora as reflexões mais destacadas pelos professores fossem
direcionadas às dificuldades encontradas por eles e às ações durante o
desenvolvimento das THAs em sala de aula, observamos que há um aspecto
importante que Simon relata ao listar suas premissas e que os professores
também procuraram assumir:
O conhecimento do professor envolve-se simultaneamente com o crescimento do conhecimento do aluno. Como os alunos estão aprendendo Matemática, o professor está aprendendo sobre Matemática, também aprendendo e ensinando a respeito do pensamento matemático dos seus alunos (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 93)
Outro aspecto que destacamos foi que o próprio professor parecia ter
ciência, ao se referir à mudança de sua prática de trabalho, o que consideramos
similar às reflexões de Hiratsuka (2004), quando afirma que mudar implica
“estranhamento que poderá conduzir o professor a se abri para o real significado
91
de sua prática e a conscientizar-se do papel do seu ensino, especialmente para a
vida do aluno”.
Finalizamos estas reflexões, destacando que, apesar dos professores
considerarem a questão do “tempo” disponibilizado para desenvolver atividades
na perspectiva construtivista de ensino (deixarem os alunos exporem suas
idéias/pensamentos, discuti-las e na sequência sistematizar o assunto) e
afirmarem da dificuldade de mudar sua prática de trabalho, eles manifestaram ter
apreciado desenvolver as THAs, pois possibilitou um olhar mais crítico a suas
metodologias de trabalho, como por exemplo, o uso de recurso tecnológico,
inserção de textos nas aulas de Matemática, bem como aproximar os alunos de
questões contextualizadas e/ou interdisciplinares. E, também, um alerta em
relação a deixarem os alunos à própria sorte da aprendizagem, como se eles
fossem capazes de descobrir estratégias o tempo todo.
Embora os professores não tenham dado ênfase às discussões a respeito
do processo de construção do conhecimento dos alunos, as questões de como
interferir nos aspectos das hipóteses de aprendizagem e modificá-las, não
podemos deixar de destacar o interesse deles em querer refletir sobre suas
metodologias de trabalho.
4.2 Novos conhecimentos da pesquisadora – reflexões de uma
professora-pesquisadora
Fazer parte de uma pesquisa, envolvendo a Matemática na Estrutura
Curricular e Formação de Professores, já era de início um grande desafio a
superar. Considerando que cada professor é único e molda-se diante de suas
experiências e adaptações das mudanças não apenas curriculares, mas acima de
tudo baseados em sua formação acadêmica, vivencia em sala de aula e seus
anseios profissionais.
Logo, considero um momento de reflexão em vários aspectos, entre eles, o
fato de ser professora e estar inserida em um grupo de pesquisa que se dedicou a
92
elaborar THAs, com o propósito de desenvolver subsídios para o processo ensino
e aprendizagem de Matemática – outro grande desafio.
Entretanto, a experiência para elaborar as THAs foi vivenciada por
encontros e desencontros não apenas no sentido de realizar escolhas de
objetivos de aprendizagem, visto que as pesquisas em Educação Matemática já
citadas neste trabalho retratavam a negligência do ensino de Geometria.
Especialmente enriquecedoras, foram as reflexões que iam surgindo ao
vivenciar conflitos na escolha de conteúdos a serem abordados na THA de
Geometria Espacial. Não foi uma tarefa fácil selecionar os objetivos de
aprendizagem, direcioná-los de maneira a projetar êxito e garantir aprendizagem
dos alunos. Embora, tivéssemos ciência de que não existiria uma THA perfeita,
tínhamos a preocupação de apresentá-la adequadamente.
Durante a elaboração das tarefas, tive muitos momentos de angústia, no
sentido de envolver atividades que proporcionassem a interdisciplinaridade e
contextualização da Matemática. Considero ter explorado mais as questões de
investigação nas tarefas elaboradas.
Deste modo, participar da elaboração das THAs foi um exercício de
contínua reflexão, análise de minhas próprias falhas e aceitá-las, como um
processo de amadurecimento em minha formação profissional.
Outro aspecto que considero importante, foi em relação à proximidade das
pesquisas em Educação Matemática nas discussões com nosso grupo de
pesquisa. Ao mesmo tempo em que essas pesquisas são importantes, incorporá-
las em nosso trabalho, não é um processo rápido e fácil. Mas, necessário, pois
permite a capacitação constante e atualizada que possibilita aprender sempre em
relação às metodologias, teorias e recursos tecnológicos.
Entretanto, reconhecer a importância dessas pesquisas não é sinônimo de
sucesso, especialmente, em relação à aprendizagem do aluno. Verifico que é
preciso se indignar com nossas próprias ações pedagógicas, observando que a
mudança é necessária para que novos conhecimentos sejam incorporados a
nossa prática docente e, que o professor de Matemática precisa buscar um olhar
crítico em suas reflexões, na busca de reorganizar suas ações.
93
Outro aspecto que devemos considerar, é o fato desses três professores
disponibilizarem-se a desenvolver as THAs com seus respectivos alunos.
Considero um ponto de partida para reflexões e futuras mudanças na prática
desses professores. Vejo nessa disposição oportunidade de aprendizagem,
momentos de refletir sobre nossas concepções e práticas de trabalho (incluo-me,
pois antes de ser pesquisadora, sou professora de Matemática).
Nesse contexto, as THAs propiciaram um papel importante para responder
nossas questões de pesquisas. Especialmente sob a perspectiva construtivista de
ensino, contribuindo para reflexões em relação à ideia equivocada de deixar os
alunos à própria sorte da aprendizagem, como se eles fossem capazes de
descobrir estratégias o tempo todo. Mas, é essencialmente, importante na
questão do trabalho multifacetado do professor, conforme Simon explícita na
Figura 2 (domínios do conhecimento do professor, THA e interações com os
alunos) do segundo capítulo desta pesquisa. E, também, reflexões no sentido de
assegurar a criação de um ambiente de maior comunicação em sala de aula que
permitirá maior participação do aluno na elaboração de seu conhecimento, com
os estímulos do ensino e aprendizagem indicado pelo professor durante suas
intervenções.
Compreendi, então, que novos conhecimentos são possíveis quando nos
permitimos tentar mudar, refletindo e adaptando nossas escolhas, as escolhas do
outro e na busca de informações, bem como a importância de apropriar-se de
pesquisas em nossa área de atuação, fornecendo subsídios a nossa formação e
na busca de mudar o panorama do ensino e aprendizagem e o currículo de
Matemática.
Considero, também, que acima de tudo é fundamental aceitar nossos
limites, pois mesmo estando próximos às pesquisas em Educação Matemática,
conhecer um pouco das teorias de ensino e aprendizagem não significa conhecer
tudo sobre essas teorias. Daí, a importância de estarmos em contato com essas
pesquisas, aproximando-nos desse universo de informações, possibilitando refletir
e rever nossas aprendizagens, bem como nossa prática docente.
94
4.3 Sugestões para mudanças nas THAs
Assim, incorporar pesquisas na área de Educação Matemática não é um
trabalho fácil, indicar mudanças nas THAs, também, não foi diferente,
especialmente, por se tratar de assuntos envolvendo Geometria Espacial.
Quando os professores colaboradores foram discutir e sugerir a respeito
das alterações nas THAs desenvolvida em sala de aula, suas sugestões
estiveram pautadas em acrescentar mais atividades do que propriamente alterar
as tarefas. Os três professores envolvidos no projeto de pesquisa proposto
justificaram que as atividades elaboradas contêm expectativas de aprendizagem
básicas e importantes para explorar assuntos geométricos. Sugeriram que,
futuramente, fosse apresentada uma THA que envolvesse situações-problema
que abordando cálculo de áreas e volumes de sólidos geométricos. Mas, não
apresentaram as sugestões para inserir mais atividades.
96
CAPÍTULO 5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho, buscou-se verificar a possibilidade de compatibilizar
perspectivas construtivistas de aprendizagem com a planificação do ensino, em
colaboração pesquisador e professor, no caso particular da Geometria Espacial e,
verificar qual foi a atuação do professor de Matemática no que se refere às
atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva
construtivista de aprendizagem.
Ainda que as nossas discussões com o grupo de pesquisa tenham
compreendido que:
Embora o construtivismo tenha apresentado aos professores de Matemática caminhos proveitosos para o entendimento de como se processam as aprendizagens, a tarefa da reconstrução de uma ‘Pedagogia da Matemática’ baseada na visão construtivista é um desafio considerável, no qual a comunidade de Educação Matemática tem apenas começado a trabalhar (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 75).
Impulsionados pelo desafio de elaborar Trajetórias Hipotéticas de
Aprendizagens organizadas com base nos objetivos, hipóteses de aprendizagens
dos alunos, expectativas de alterações das tarefas a partir da interação aluno-
professor, concordamos com Simon, quando afirma ser um “desafio” e
consideramos que sua valorização e incorporação depende especialmente, da
atuação do professor de Matemática, pois é ele quem vivencia a dinâmica da sala
de aula.
97
Assim, retomamos às nossas questões de pesquisa com o objetivo de
apresentar nossas considerações:
Em relação a compatibilizar perspectivas construtivistas de
aprendizagem com a planificação do ensino, em colaboração pesquisador e
professor, no caso particular da Geometria Espacial, percebemos que,
embora a teoria construtivista não estipule um caminho definitivo para a
aprendizagem dos alunos, verificamos que suas contribuições podem ser
significativas no processo de ensino e aprendizagem. Desde que o professor
garanta não apenas uma organização e decisão dos conteúdos matemáticos e
tarefas que serão desenvolvidas pelos alunos, mas, investigue o pensamento do
aluno durante a realização das atividades em sala de aula, de modo a enriquecer
e reformular as expectativas estabelecidas anteriormente, redirecionando o
planejamento de aulas.
Embora os professores não tenham alterado significativamente as THAs,
notamos que o desenvolvimento do projeto e o compartilhar discussões,
baseadas na dinâmica da sala de aula proporcionou aos professores reflexões
sobre suas práticas pedagógicas e, consequentemente sobre as hipóteses de
aprendizagem dos alunos.
Notamos que as THAs são potencialmente ricas, no sentido de produzir
situações em que o professor cogite e participe constantemente da (re)
organização do planejamento escolar. Mas, compreendemos que as THAs, por si
só, não garante uma aprendizagem com perspectivas construtivistas.
Concordamos com Simon, quando o autor alerta que a “Educação
Matemática não produzirá métodos com ideias fixas ou plataformas para as ações
docentes, e as estruturas metodológicas deverão sempre suportar transformações
experimentais”.
Nesse contexto, as THAs, oferecem um panorama de inter-relações
cíclicas dos aspectos do conhecimento do docente, pensamento, tomada de
decisões, bem como interação dos alunos. Portanto, uma oportunidade do
professor gerenciar não só conteúdos, mas tarefas matemáticas, bem como
98
modelá-las pelo encontro de uma perspectiva construtivista de ensino, à medida
que ocorre a influência mútua entre professor e aluno.
Deste modo, as premissas listadas por Simon, baseadas no Ciclo de
aprendizagem de Matemática, além de fundamentais, são desafiadoras no
processo para compatibilizar perspectivas construtivistas de aprendizagem com a
planificação do ensino, pois o professor precisa envolver-se com o
pensamento/entendimento dos alunos, para buscar compreender seus
pensamentos na resolução matemática, gerando a transformação constante do
conhecimento do professor, bem como sua (re) organização na elaboração das
atividades.
Assim, consideramos, conforme já mencionado por diferentes autores, que
o professor exerce papel fundamental na mediação da construção do
conhecimento de seus alunos. Muito embora entendamos que a perspectiva
construtivista congregada à planificação do ensino não garanta sucesso nas
práticas pedagógicas. Observamos que, no mínimo, podem garantir um caminho
para a reflexão da atuação do professor, tanto no aspecto profissional como no
processo de ensino e aprendizagem dos estudantes.
Quanto à atuação do professor de Matemática no que se refere às
atividades de planejamento de ensino, de forma compatível com uma
perspectiva construtivista de aprendizagem, consideramos que a dinâmica
oferecida por meio das tarefas das THAs em Geometria Espacial proporcionou
aos docentes outro olhar na possibilidade de atuar em sala de aula. Como, por
exemplo, na diversidade de recursos didáticos e inclusão de textos, favorecendo a
aprendizagem dos alunos.
Embora os professores afirmassem que, em suas metodologias de
trabalho, não tinham o hábito de utilizar manipulação de matérias e nunca tinham
usado recursos tecnológicos para enriquecer suas aulas sobre assuntos de
Geometria Espacial, observamos que esses recursos podem ser instrumentos
valiosos para a efetivação das tarefas solicitadas. A esse respeito Simon (apud,
PIRES, 2009), comenta que “indicações sobre a importância da interação de
pequenos grupos e a manipulação de materiais, por exemplo, podem ser
instrumentos valiosos nas mãos dos professores de Matemática”.
99
No entanto, Pires afirma que estes “instrumentos não são suficientes para
permitir que professores sejam arquitetos da produção de situações de
aprendizagens que resultariam em crescimento conceitual de seus alunos”.
Faz se necessário, portanto, que novamente o professor tenha uma
atuação frente às novas possibilidades de metodologias, enfrentando o desafio de
estar atualizado com pesquisas em sua área de atuação e cursos de formação
continuada. Verificamos que apenas a seleção e organização dos conteúdos não
podem ser o único critério de atuação do professor. As atividades de
planejamento de ensino, de forma compatível com uma perspectiva construtivista
de aprendizagem levam em consideração aspectos relacionadas à utilização de
recursos diversificados, bem como as interações que ocorrem no
desenvolvimento de tarefas.
Portanto, valorizar e melhorar o desempenho dos alunos depende muito da
atuação do professor. Logo, especialmente, ele decide sobre a disposição de
aproximar-se do universo das diferentes possibilidades de metodologias e
procedimentos didáticos. O caminho continua sendo desafiador, pois é necessário
estar engajado no processo permanente de construção do saber, ou seja, no
mínimo estar a par das pesquisas relacionadas à sua área de atuação.
Nossas discussões decididamente são cada vez mais pautadas no sentido
de que o professor de Matemática deve buscar a reflexão em todas as suas
ações que, a partir delas, deve compreender e readaptar suas ações, no
constante desafio de rever suas práticas pedagógicas. Portanto, a apropriação
efetiva de resultados de pesquisas relevantes sobre o conhecimento matemático
de alunos, inovações curriculares, planejamento, construções de atividade, são
fundamentais para melhorar a qualidade de ensino dos estudantes.
Salientamos que esta investigação sobre THAs é apenas um desafio inicial
para futuros trabalhos que pretendem objetivar contribuições para a Educação
Matemática e suas ações na dinâmica da sala de aula.
100
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, Saddo A.; MELLO Elizabbeth G. S. de. Iniciação à demonstração
aprendendo conceitos geométricos. 23ª reunião ANPED: WWW.anped.org.br
ANDRÉ, M. E. D. A. Etnografia na prática escolar. Campinas: Papirus, 1995.
BISHOP, Allan. J. Enculturación matemática: la educación matemática desde una
perspectiva cultural. Barcelona: Paidós. 1991.
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação: uma
introdução às teorias e aos métodos. Trad. Maria J. Álvares, Sara B. dos Santos e
Telmo M. Batista. Porto: Porto Editora, 1994.
BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica,
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio (PCNEM), Matemática, Brasília,
1999.
_____. Ministério da Educação. PCN+ Ensino Médio (PCNEM+): Orientações
Educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília,
2002.
_____. Ministério da Educação. Ciências da Natureza, Matemática e suas
Tecnologias. Secretaria de Educação Básica, Orientações Curriculares para o
Ensino Médio (OCEM); v. 2. Brasília, 2006.
CAMILO, Christiane Molina. Geometria nos Currículos dos anos finais do Ensino
Fundamental: Uma análise à Luz dos Modelos teóricos de Josep Gascón.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC, 2007.
101
CARVALHO, L. S. Análise da organização didática da geometria espacial métrica
nos livros didáticos. Dissertação de mestrado em Educação Matemática. São
Paulo: PUC, 2008.
CAVALCA, A. P. V. Espaço e representação gráfica: visualização e interpretação.
São Paulo: EDUC. 1998.
CLEMENTS, D. H. y SARAMA, J. (2004). Learning trajectories in mathematics
education. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 81-89.
COLL, Cesar. Psicologia e Currículo: uma aproximação psicopedagógica à
elaboração do currículo escolar - tradução de Cláudia Schilling. São Paulo: Ed.
Ática, 1997.
CURI, E. Formação de professores de Matemática: realidade presente e
perspectivas futuras. (Dissertação de mestrado) PUC/SP, 2000.
DENCKER, A. F. M; VIÁ, S. C. Pesquisa empírica em ciências humanas. São
Paulo: Futura, 2001.
Dicionário Completo da Língua Portuguesa – Folha da Tarde. [Coordenação de
Flávio Bonfim Pestana]. São Paulo: Melhoramentos, 1992 (31994.) p. 713
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática elementar, V. 10:
Geometria Espacial, Posição e Métrica. São Paulo: Atual, 2005.
DOLL JR., W. E. Currículo: uma perspectiva pós moderna. Tradução de Maria
Adriana Veríssimo Veronese. Porto Alegre: Artes Médicas,1997.
FAZENDA, I. C. A Interdisciplinaridade no ensino brasileiro. São Paulo: Edições
Loyola, 1979.
EVES, Howard. História da Geometria; Trad. Hygino H. Domingues. – Tópicos de
história da matemática para uso em sala de aula; V. 3. São Paulo: Atual, 1992.
GÓMEZ, P. y LUPIÁÑEZ, J. L. (2007). Trayectorias hipotéticas de aprendizaje en
la formación inicial de profesores de matemáticas de secundaria. PNA, 1(2), 79-
98.
102
GRAVEMEIJER, K. (2004). Local instruction theories as means of support for
teachers in reform mathematics education. Mathematical Thinking and Learning,
6(2), 105-128.
GRAVEMEIJER, K., COBB, P., BOWERS, J. y WHITENACK, J. W. (2000).
Symbolizing, modeling, and instructional design. En P. Cobb, E. Yackel y K.
McClain (Eds.), Symbolizing and communicating in mathematics classrooms.
Perspectives on discourse, tools, and instructional design (p. 225-273). Hillsdale:
Lawrence Erlbaum Associates.
HIRATSUKA, P. I. A mudança na prática do professor de Matemática: Uma visão
fenomenológica. Bolema, ano 17, n. 21, p.21 a 43, 2004.
KALEFF, A. M. M. R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao caçulo do
volume através de quebra-cabeças e outros materiais concretos. Niterói: EdUFF,
2003.
LAURO, Maira Mendias. Percepção – Construção – Representação – Concepção
Os quatro processos do ensino da Geometria: uma proposta de articulação.
Dissertação de Mestrado em Educação. São Paulo: USP, 2007.
LESH, R. y YOON, C. (2004). Evolving communities of mind –In which
development involves several interacting and simultaneously developing strands.
Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 205-226.
MACEDO, Lino de. Competências e habilidades: elementos de uma reflexão
pedagógica. In paper de palestra na Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas em 1998.
MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o
conhecimento como rede. Tese de Livre Docência. Faculdade de Educação da
Universidade de São Paulo. São Paulo: USP, 1994.
_____. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. Coleção vivendo a
Matemática. São Paulo: Ed. Scipione, 1996.
103
MARIANO, Vanderlei. Estudo de fatores para um bom desempenho dos alunos
concluintes do Ensino Médio nos exames do ENEM, em Geometria. Dissertação
de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC, 2004.
MENEZES, L. C. O Brasileiro está chegando ao ensino médio. Programa de
Melhoria e Expansão do ensino médio no Estado de São Paulo. mimeo. Governo
do Estado de São Paulo, São Paulo: 2001
.
Michaelis. Dicionário escolar da Língua Portuguesa. Ed. Melhoramentos, São
Paulo: Ed. Melhoramentos 2002, p. 190.
MIORIM, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São
Paulo: Atual: 1998.
MONTENEGRO, G. A. Inteligência visual e 3D: Compreendendo Conceitos
Básicos de Geometria Espacial. São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
MORAN, J. Massetto, M. e Behrens, M. Novas tecnologias e mediação
pedagógica. São Paulo: Papirus, 2000.
PERRENOUD, Philippe. A formação de competências na escola. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1997.
_____. Formação contínua e obrigatoriedade de competência na profissão do
professor. Revista Idéias, São Paulo, n.30, 1998.
_____. Dez novas competências para Ensinar. Porto Alegre: Artes Médicas Sul.
2000.
_____. Novas competências para ensinar. Tradução Patrícia C. Ramos. Porto
Alegre: Artmed, 2000.
PIRES, C.M.C. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de rede,
São Paulo: FTD, 2000.
_____.Formulações basilares e reflexões sobre a inserção da matemática no
currículo visando à superação do binômio máquina e produtividade. Educação
Matemática Pesquisa. São Paulo: EDUC, 2004.
104
_____. Orientações Curriculares para a Educação Básica: qual o caminho?
Revista de Educação PUC-Campinas, Campinas, v. 18, p. 25-34, 2005.
_____. Matemática e sua inserção curricular. São Paulo: Ed. PROEM, 2006.
_____. Perspectivas construtivistas e organizações curriculares: um encontro com
as formulações de Martin Simon. Revista Educação Matemática. São Paulo, v. 11,
nº 1, pp. 70-89, 2009.
PONTE, J. P. Perspectivas de desenvolvimento profissional de professores de
Matemática. In: João Pedro Ponte et al org). Desenvolvimento Profissional de
Professores de Matemática: Que Formação? Lisboa: SPCE 1995.
SÃO PAULO (ESTADO) SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Coordenadoria de
Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino de
Matemática no segundo grau. São Paulo, SE/CENP, 1992.
_____. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Educacional:
Currículo e Avaliação. São Paulo, SE/CENP, 1992.
_____. Avaliação dos concluintes do ensino médio/97. Programa de Expansão e
Melhoria do ensino médio. Vol. 1. São Paulo, 2000.
_____. O currículo na escola média: desafios e perspectivas. São Paulo:
SE/CENP, 2004.
SILVA, Benedito Cardoso da. “Identificando sinalizações referentes às
expectativas de aprendizagem sobre Geometria ao término da Educação Básica “.
Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC, 2004.
SIMON, M. A. (1995). Reconstructing mathematics pedagogy from a constructivist
perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 26(2), 114-145.
SIMON, M. A. y Tzur, R. (2004). Explicating the role of mathematical tasks in
conceptual learning: an elaboration of the hypothetical learning trajectory.
Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 91-104.
105
STEFFE, L. P. (2004). On the construction of learning trajectories of children: The
case of conmensurable fractions. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 129-
162.
TEUKOLSKY, R. Secções cônicas: um tópico interessante e enriquecedor. In:
LINDQUIST M. M.; SHULTE, A. P. (Org.) Aprendendo e Ensinando Geometria.
Tradução de Hygino H. Domingos. São Paulo: Atual, 1994.
TRALDI, Armando Junior. Formação de formadores de professores de
Matemática: Identificação de possibilidades e limites de estratégia de organização
de grupos colaborativos. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São
Paulo: PUC, 2006.
XIMENES, S. Minidicionário da Língua Portuguesa. São Paulo: Ediouro - 2ª ed.
2000, p. 192.
Endereços eletrônicos
http:/anped.org. br
http://houaiss.uol.com.br
http:// images.google.com.br
WWW.peda.com/poly/welcome.html
106
ANEXOS
ANEXO A - Questionário para os professores colaboradores
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO Programa de Estudos Pós-Graduação em Educação Matemática
Escola Estadual ____________________________________________
Pesquisa: Professor colaborador da THA em Geometria Espacial.
Caro (a) Professor (a),
Esta pesquisa é parte integrante da dissertação de mestrado profissional em
Ensino de Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC-SP, intitulada: UMA ABORDAGEM DE GEOMETRIA
ESPACIAL PARA O ENSINO MÉDIO NUMA PERSPECTIVA CONSTRUTIVISTA
e tem por objetivo traçar um perfil da opinião do professor colaborador sobre o
tema Geometria Espacial.
Agradecemos antecipadamente sua participação e colaboração.
1) Nome _______________________________________________________
2) Formação _______________________ (Graduação Plena em Matemática/
Complementação/ Bacharelado)
3) Localização da escola __________________ D.E. ___________________
4) Tempo de magistério.____________________________
5) Professor: Efetivo ( ) OFA ( )
107
6) Segmento que leciona: ( ) E.F. I ( ) E.F.II ( ) E.M.
7) Pós-Graduação cursada e/ou em andamento
a) ( ) Extensão b) ( ) Aperfeiçoamento c) ( ) Especialização
d) ( ) Mestrado e) ( ) Doutorado f) ( )sem pós-graduação
8) Já participou de cursos que a SEE–SP proporcionou para a formação
continuada de professores, como Teia do Saber e Ensino Médio em Rede
(EMR)? ______.
9) Em caso afirmativo, cite-os e relate a contribuição desses cursos em sua
prática docente.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10) Comente sobre o que a Educação Matemática representa para você.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11) Qual metodologia de trabalho costume abordar em sala de aula?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12) Este ano o ensino da escola pública está passando por mudanças, nos
quais o professor tem uma organização de conteúdos a cumprir,
apresentada pela SEE-SP do respectivo bimestre e série, utilizando uma
apostila elaborada pela própria secretaria, contemplando sugestões de
abordagens de exploração dos temas a trabalhar em sala de aula. Antes
desse sistema e/ou dentro dele, utiliza recursos didáticos além do livro?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
108
13) Em nossa pesquisa, estamos desenvolvendo o conteúdo de Geometria
Espacial. Como você costuma abordar esse tema em sala de aula?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14) Os alunos compreendem a importância do tema?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15) Costuma trabalhar com resolução de problemas para desenvolver e/ou
aplicar o conteúdo envolvendo Geometria espacial?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16) Que metodologia de trabalho você usa ao abordar temas que envolvem
construção de gráficos?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
17) Que software você conhece para o estudo de temas envolvendo
Geometria espacial?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18) Já realizou atividades com os alunos, utilizando o recurso de algum
software nas aulas de Matemática?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19) Comente o que você acha sobre a utilização de softwares para o estudo de
temas envolvendo Geometria espacial.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
109
ANEXO B - Roteiro para observações do desenvolvimento das aulas – O
professor em relação à THA
Turma Número de alunos presentes Data Professor(a) Identificação da Aula Assunto
1) Organização da classe e “clima” dominante:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Consignas do professor sobre tarefas e explicitação dos objetivos de
aprendizagem:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Combinados com a classe:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) Atitudes dos estudantes no desenvolvimento das tarefas e implicações
deles na busca de soluções:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5) Eventuais problemas relacionados à leitura e compreensão de textos:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6) Interação entre alunos na realização de tarefas: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
110
7) Dificuldades observadas e possíveis causas:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8) Interesse dos estudantes por tarefas contextualizadas ou interdisciplinares
e recursos tecnológicos:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9) Adequação do tempo previsto para as tarefas:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
10)Intervenções do professor durante a realização das atividades: socialização
e sistematização das conclusões:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11) Socialização e sistematização das conclusões:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12)Outras observações:
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
111
ANEXO C - Apresentação das atividades da THA com os respectivos
objetivos de aprendizagem
PRIMEIRA ATIVIDADE
Objetivo geral: reconhecer formas geométricas tridimensionais para representar
ou visualizar partes do “mundo real”.
Tarefa 1
Objetivo específico: associar objetos do “mundo real” com figuras geométricas
tridimensionais
a) Observe as representações a seguir e associe as imagens, conforme suas
respectivas semelhanças:
b) Das figuras do item “a”, quais representam figuras que possuem apenas
superfícies planas?
c) Das figuras do item “a”, quais representam figuras com superfícies
arredondadas?
Observe que foram formados dois grupos de figuras: as figuras com apenas
superfícies planas e figuras com superfícies arredondadas.
112
Tarefa 2
Objetivo específico: reconhecer o nome de alguns sólidos geométricos e
esboçar o desenho desses sólidos.
1. Com o apoio de um dicionário registre o significado das seguintes palavras:
a) Cone b) Prisma c) Cilindro d) Tetraedro e) Esfera
2. A partir do significado das palavras encontradas, faça um esboço das seguintes
figuras:
a) Cone b) Prisma c) Cilindro d) Tetraedro e) Esfera
O campo da Matemática que se dedica ao estudo das formas tridimensionais, isto
é, formas que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura é
conhecido por Geometria Espacial. Observe à sua volta e veja que o mundo está
repleto de suas diversas representações, seja em objetos criados pelo homem ou
em elementos da própria natureza como por exemplo, os cristais.
As figuras geométricas espaciais podem ser classificadas em dois grandes
grupos:
Corpos redondos - os que apresentam superfícies arredondadas, como por
exemplo, o cilindro, o cone e a esfera.
Poliedros - os que apresentam apenas superfícies planas. Sendo os poliedros
considerados convexos e não convexos. Veja exemplos:
113
Os elementos dos poliedros são: faces, vértices e arestas.
Observação: Para este estudo, vamos considerar apenas os poliedros convexos.
Tarefa 3
3. Complete a tabela com base nas imagens da tarefa 1:
Nomeação Corpos redondos
Poliedros
Cone X X
Prisma Cilindro
Tarefa 4
Objetivo específico: identificar convexidade em figuras tridimensionais
a) Considere as figuras a seguir. Qual não é considerada um poliedro convexo.
114
b) Das figuras a seguir, a única que é considerada convexa é:
Tarefa19 5
Objetivo específico: identificar os diferentes polígonos que compõem o prisma.
Temos abaixo, a imagem de um galpão. Aparentemente, o galpão tem a forma de
um dos sólidos discutidos anteriormente.
a) Um aluno disse que esse sólido geométrico tem a forma de um paralelepípedo.
Você concorda?
b) Outro aluno precisa decidir qual das alternativas a seguir representa os
polígonos que compõe esse prisma. Qual alternativa você indica?
____________ 19 Atividade 1 – Tarefa 4 – Adaptada – SARESP 2000.
115
SEGUNDA ATIVIDADE
Objetivo Geral: reconhecer objetos sólidos e suas diferentes representações
bidimensionais.
Tarefa 1
Objetivo específico: perceber as diferentes planificações do tetraedro.
a) A seguir, as figuras mostram o processo de uma das planificações do tetraedro.
Esta planificação pode ser representada em uma malha de pontos, da seguinte
forma:
b) Use a malha de pontos abaixo e apresente outras planificações do tetraedro.
Se preferir não use a malha de pontos.
116
c) Qual é a estratégia que você utiliza ao representar diferentes planificações
desse tetraedro?
Tarefa 2
Objetivo específico: desenhar as diferentes planificações do cubo.
O hexaedro regular é um poliedro conhecido pelo nome cubo. Com o apoio da
malha quadriculada a seguir, desenhe as possibilidades de planificação desse
poliedro.
Quantos modos de planificação existem para esse poliedro?
Observe que planificar um poliedro consiste em representar suas superfícies em
um plano, ou seja, é a forma de apresentar os modelos dos sólidos em forma de
molde que, em Matemática denominamos de representação bidimensional ou,
simplesmente, planificações dos sólidos. Perceba que, geralmente, existe a
possibilidade de fazer mais de uma planificação para a mesma figura, bastando
para isso estar atento aos cortes feitos pelas arestas e aos polígonos das faces
(superfícies poligonais).
Tarefa 3
Objetivo específico: investigar as planificações do cone e do cilindro.
117
Você investigou a planificação de poliedros. Como será a planificação de alguns
corpos redondos?
a) Cilindro? b) Cone?
Tarefa 4
Objetivo específico: identificar a representação bidimensional de uma
embalagem.
Antes de ser montada, uma embalagem tem a seguinte planificação:
Ela deverá ser montada para embalar um dos produtos abaixo:
Qual produto melhor se encaixa na embalagem a ser montada?
118
Tarefa 5
Objetivo específico: identificar a planificação de objetos tridimensionais.
a)20 João e seu amigo decidiram acampar neste final de semana e optaram pelo
formato da barraca abaixo:
Indique o item que representa a planificação deste objeto?
b)21 Uma determinada caixa de presentes tem a forma de um tetraedro regular,
que nada mais é que uma pirâmide em que todas as faces são triângulos
equiláteros.
A caixa desmontada corresponde à planificação descrita em:
____________ 20 Atividade 2 – tarefa 4 – item a – adaptada – Prova Brasil 21 Atividade 2 – Tarefa 4 – item b – SARESP 2007
119
c)22 A planificação abaixo corresponde ao sólido:
d) Qual figura a seguir não pode representar a planificação de um octaedro
regular?
e)23 A seguir, o desenho é o tronco do cone. Qual alternativa pode representar a
planificação desse sólido?
____________ 22 Atividade 2 – Tarefa 4 – item c – SARESP 2005 23 Atividade 2 – Tarefa 4 – Adaptada - tem e – SARESP 2000
120
b) Ao desenhar planificações do tetraedro, um aluno cometeu erros. Observe:
a) Qual foi o erro do item a? b) Qual foi o erro do item b?
c) Qual foi o erro do item c? d) Qual foi o erro do item d?
TERCEIRA ATIVIDADE
Objetivo Geral: reconhecer elementos e características de prismas e pirâmides,
estabelecendo relações entre vértices, faces e arestas, elaborando conjecturas
sobre tais relações.
Tarefa 1
Objetivo específico: Diferenciar prismas de pirâmides.
a) Observe o seguinte grupo de poliedros:
A partir de agora, separe esse grupo em dois subgrupos, justificando o critério
adotado.
121
Observe as duplas de figuras a seguir:
Para cada dupla, verifique a quantidade de faces de cada elemento. O que você
percebeu?
Note que mesmo as duplas de figuras, tendo quantidades de faces congruentes,
suas formas são diferentes.
Vamos distinguir entre os poliedros duas classificações importantes: prismas e
pirâmides.
Prisma: é o poliedro limitado por dois polígonos iguais e paralelos e por tantos
paralelogramos quantos são os lados desses polígonos. Os polígonos iguais e
paralelos chamam-se bases do prisma e os paralelogramos são as faces laterais.
(Freire, 1948)
Pirâmide: é o poliedro limitado por um polígono qualquer e por triângulos que têm
um vértice comum. O polígono qualquer é considerado base da pirâmide; os
triângulos são as faces laterais e o vértice comum destas é o vértice da pirâmide.
As arestas que partem do vértice, chamam-se arestas laterais da pirâmide.
(Freire, 1948)
Note que prismas e pirâmides recebem nomes, conforme os polígonos da base.
Exemplos:
122
Será possível classificar todos os poliedros em prismas e pirâmides? Caso
contrário, cite exemplos de poliedros que não são nem prismas, nem pirâmides.
Tarefa 2
Objetivo específico: reconhecer elementos e características de prismas e
pirâmides, estabelecendo relações numéricas de seus elementos.
a) Para cada subgrupo da atividade 1 (item a), coloque a letra correspondente ao
nome dessa figura geométrica, completando as tabelas que seguem:
Tabela 1
Figuras Geométricas Números de
lados do polígono da
base (n)
Números de
Faces (F)
Números de
Vértices (V)
Números de
Arestas (A)
( ) Hexaedro (cubo) ( ) Paralelepípedo oblíquo ( ) Prisma de base triangular ( ) Prisma de base hexagonal E se fosse um prisma de base pentagonal?
Relação numérica entre o número de lados dos polígonos das bases do prisma
Tabela 2
Figuras Geométricas Números
de lados do polígono
da base (n)
Números de
Faces (F)
Números de
Vértices (V)
Números de
Arestas (A)
( ) Pirâmide de base triangular ( ) Pirâmide de base hexagonal ( ) Pirâmide de base pentagonal E se fosse uma pirâmide de base octogonal?
Relação numérica entre o número de lados do polígono da base da pirâmide.
123
Tarefa 3
Objetivo específico: estabelecer relações entre vértices, faces e arestas e
identificar a relação de Euler em poliedros convexos.
Você também já deve ter notado que esses poliedros estão constantemente em
nosso dia a dia, sem darmos conta da relação matemática existente entre eles.
Mas já, em 1572, o matemático suíço Euler observou uma relação muito
importante nesses poliedros. Então, mãos à obra! Procure preencher o quadro a
seguir e verifique você também.
Sólidos ou planificações de sólidos Número de faces (F)
Número de vértices (V)
Número de arestas (A)
Prisma pentagonal 10
Pirâmide de base quadrada planificada 5
Prisma triangular
Pirâmide triangular (tetraedro) 4
Paralelepípedo retangular planificado 12
Após preencher a tabela, encontre uma maneira de relacionar o número de faces,
vértices e arestas.
124
Tarefa 4
Objetivo específico: aplicar a relação de Euler em situações-problema.
a) (Unirio-RJ) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de
rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. Encontre o número de vértices desse cristal.
b) (Giovanni, 2000) Em um poliedro convexo, o número de faces é 8 e o de
vértices é 12. Calcular o número de arestas.
c) (Fatec-SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados
e 4 faces com 5 lados. Calcule o número de vértices desse poliedro.
QUARTA ATIVIDADE
Objetivo Geral: explorar os poliedros regulares, seu papel na arte e nas
explicações sobre o Universo.
Tarefa 1 – atividade em dupla – sala de informática.
Objetivos específicos: explorar os poliedros regulares por meio do software Poly
e investigar suas propriedades.
a) A partir da tela apresentada no software Poly, selecione os ”Poliedros
Platônicos”.
b) Quantos são? Vocês já conheciam esses sólidos?
c) Quais são os nomes desses sólidos?
d) Observe a forma de cada face desses sólidos. Existe alguma semelhança
entre eles?
e) Quantas arestas, no mínimo, são necessárias para formar um vértice (V)?
125
f) O que podemos afirmar sobre o número de arestas em relação a face de
cada poliedro?
g) Registre suas principais observações, ao explorar os Poliedros regulares no
software Poly.
Tarefa24 2
Objetivo específico: verificar a existência de apenas cinco poliedros regulares,
por meio da construção de polígonos regulares.
Atividade para ser desenvolvida em grupo: cinco estudantes por grupo.
Material necessário: régua; compasso, esquadro, cartolina e fita adesiva
Considerando os itens a seguir, verifique por que será que existem apenas cinco
poliedros regulares?
1. Construa os seguintes polígonos regulares, sendo as medidas do lado 5 cm,
por exemplo.
a) triângulo eqüilátero b) quadrado c) pentágono d) hexágono.
2. Em seguida, utilizando cartolina, reproduza esses polígonos, conforme
quantidade a seguir:
50 triângulos equiláteros
40 quadrados
20 pentágonos
20 hexágonos
3. Com o apoio da fita adesiva, verifique:
a) È possível montar um poliedro com um, dois polígonos regulares?
b) Quantos polígonos são necessários para construir um poliedro?
c) É possível formar um vértice do poliedro com seis triângulos eqüiláteros? E
com quatro quadrados? E com quatro pentágonos? E com três
hexágonos? Por quê? ____________ 24 Tarefa adaptada de Machado (1996) – Os poliedros de Platão e os dedos da mão – Coleção Vivendo a
Matemática.
126
d) Construa poliedros, respeitando a solicitação a seguir em relação à
construção dos vértices com:
(a) 3 triângulos eqüiláteros (e) 4 triângulos equiláteros
(b) 5 triângulos eqüiláteros (f) 3 pentágonos
(c) 3 quadrados (g) 2 quadrados e 2 triângulos
(d) 2 hexágonos e 1 pentágono
Dos poliedros que você construiu, quais são regulares? Por quê?
4. Construa um poliedro utilizando seis triângulos equiláteros. Trata-se de um
poliedro regular? Por quê?
Tarefa 3
Objetivo específico: explorar a história dos “Poliedros de Platão” na literatura e
provar a existência de apenas cinco poliedros regulares, a partir de informações
do texto.
Leia o texto a seguir, extraído do livro intitulado – Tópicos de História da
Matemática para uso em sala de aula – Eves (1992, p. 58/59) e procure
responder às questões solicitadas sobre o mundo dos poliedros regulares.
Poliedros regulares Os poliedros regulares fazem parte do estudo da geometria desde que esse estudo se iniciou. Eles têm uma beleza simétrica que fascinou os homens em todos os tempos. Alguns poliedros regulares eram conhecidos dos antigos egípcios, que os usavam, em sua arquitetura. Os pitagóricos (c.500 a.C.) provavelmente descobriram três dos cinco poliedros regulares e fizeram deles uma parte importante do estudo da geometria. Os gregos acreditavam que os cinco sólidos correspondiam aos elementos do Universo – o tetraedro ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao Universo. Pouco depois dos pitagóricos, Platão (c. 350 a. C) e seus seguidores estudaram esses sólidos com tal intensidade, que eles se tornaram conhecidos como “Poliedros de Platão”.
127
Os poliedros regulares estão presentes na natureza: os três sob a forma de cristais e os outros dois como esqueletos de animais marinhos microscópicos. Todavia, sua beleza e simetria é que mantiveram o interesse do ser humano por eles através dos séculos. Não há nenhuma disciplina matemática específica baseada nos cinco sólidos, mas muita coisa importante da matemática foi descoberta como subproduto do estudo dessas figuras. Teatetus escreveu um tratado sobre os cinco sólidos por volta do ano 380 a. C, e diz-se que ele foi o primeiro a provar que há exatamente cinco poliedros regulares. Mais tarde Euclides (c. 300 a. C) dedicou a maior parte de seu décimo terceiro livro a teoremas sobre esses sólidos. Depois dos gregos, o interesse pelo assunto diminuiu, e os sólidos nunca mais alcançaram o mesmo interesse e a mesma importância daquele período. As considerações atuais sobre os cinco sólidos tendem a ser topológicas, como se pode observar numa definição moderna, ou seja, de que um sólido é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces.
a) Segundo o texto de Eves (1992), esses poliedros foram “notados” apenas por
Platão?
b) Não é difícil provar que não existem outros poliedros regulares além dos cinco
mencionados no texto. Ainda segundo Eves (1992, p. 59/60),
O matemático suíço Ludwig Schlafli (1814-1895) concebeu o símbolo corrente [p, q] para os poliedros regulares, onde p indica o número de lados de cada polígono regular e q o número de polígonos que incidem em cada vértice. Seja [p, q] um poliedro regular genérico. O valor (em graus) de cada ângulo dos polígonos regulares que formam suas arestas pode ser expresso por 180 – (360/p). Considerando que [p, q] é convexo, a soma dos ângulos em cada vértice é menor que 360 graus.
A partir das informações acima, estabeleça uma desigualdade e conclua por que
existem cinco poliedros regulares.
Tarefa 4
Objetivo específico: identificar a relação de Euler nos sólidos considerados
poliedros regulares e, com auxílio dessa relação demonstrar a existência desses
poliedros regulares.
128
Observe os poliedros regulares:
Complete a tabela e verifique se a relação de Euler é válida para esses poliedros.
Poliedros Regulares
Número de faces
(F)
Número de vértices (V)
Número de arestas (A)
Relação de Euler:
O que você pode observar?
Caros estudantes, vocês puderam conhecer um pouco da história destes famosos
poliedros regulares por meio de software, texto, construção dos sólidos e
acompanhar a verificação da relação de Euler para esses poliedros. Agora,
vamos propor outra demonstração da existência de cinco Poliedros Regulares.
Conhecendo os elementos de um poliedro regular:
129
Segundo Dolce; Pompeo25 (2005) temos que:
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: a) todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas, b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de
arestas, c) vale a relação de Euler (V - A + F = 2).
A partir destas informações, procure demonstrar a existência de cinco poliedros
regulares, respondendo:
a) Como podemos representar uma lei matemática para a condição “a”?
b) Como podemos representar uma lei matemática para a condição “b”?
c) Substitua os dados encontrados referente às condições “a” e “b” na relação de
Euler.
d) Dividindo-se os dois membros desta igualdade por 2, encontramos:
(2A/m)/2A + (2A/n)/2A = A/2A + 2/2A
e) Cuidado! Não esqueça que n e m têm restrições. Quais são elas?
f) Com essas informações m e n podem assumir quaisquer valores? Por quê?
Para facilitar suas observações complete a tabela a seguir: e, registre suas
conclusões:
m n F V A Poliedro
Conclusões:
____________ 25 Fundamentos da Matemática, v. 10, pg. 130.
130
Tarefa 5
Objetivo específico: pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e
nas explicações sobre o Universo.
Cada grupo deverá apresentar uma pesquisa sobre esses poliedros, destacando
suas influências por meio da arte e das explicações sobre o Universo.
QUINTA ATIVIDADE
Objetivo Geral: explorar as seções cônicas, identificando suas superfícies em
objetos tridimensionais.
Tarefa 1
Objetivo específico: identificar os sólidos de revolução por meio da rotação
completa de superfícies.
a) Observe o triângulo retângulo a seguir:
Considere que um dos catetos desse polígono esteja fixado em uma reta “e”. Em
seguida suponha um movimento de rotação completo dessa superfície em torno
da reta “e”.
131
Qual sólido a seguir foi gerado pela rotação completa do triângulo retângulo?
b) E os dois outros itens, que polígonos foram usados para gerá-los? (sugestão:
esboce o desenho dessas superfícies).
c) Considere o semicírculo abaixo. Em seguida, suponha uma rotação completa
dessa superfície em torno de seu diâmetro. O que obtemos?
Você deve ter notado que a partir da rotação completa de figuras planas, podem-
ser gerados corpos redondos, como foi o caso do cone, do cilindro e do tronco de
cone, por exemplo.
Tarefa26 2
Objetivo específico: associar a rotação de figuras planas aos sólidos de
revolução.
Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada,
sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo.
Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada, obtêm-se os sólidos de
revolução que estão na coluna da direita.
____________ 26 Atividade 5 – Tarefa 2 – ENEM 1999
132
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução
obtidos, é:
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E (B) 1A, 2B, 3C, 4E, 5D
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C (D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C
Tarefa 3
Objetivos específicos: perceber as superfícies curvas resultantes de alguns
cortes no cilindro.
a) Suponha que as peças de queijo abaixo lembrem a forma de um cilindro:
Um funcionário do mercado teve de disponibilizar esse produto em várias
bandejas. Para isso realizou diferentes cortes na peça. Observe as inclinações
em relação aos cortes e as possibilidades de superfícies geradas.
133
b) Também é possível observar superfícies semelhantes a estas ao colocar água
em um recipiente cilíndrico e variar a inclinação desse líquido no cilindro.
Observe o contorno da superfície do líquido:
c) Leia o texto a seguir:
Diz a lenda que as secções cônicas originaram-se em Atenas, por volta do ano 430 a.C., como resultado de uma peste. Através do oráculo de Delfos, Zeus anunciou aos sofridos cidadãos que o fim da peste estava condicionado à construção de um altar a Apolo cujo tamanho fosse o dobro daquele já existente, que tinha a forma de um cubo. Todas as tentativas para dobrar o cubo com régua e compasso fracassaram. Por volta do ano 340 a.C., Menaecmo encontrou duas soluções usando cônicas. A questão é saber como eram descritas as cônicas primitivamente. Os escritos de Menaecmo perderam-se. Contudo, segundo Gêmino, os antigos só usavam cones retos para definir secção cônica. Destas, distinguiam três tipos, conforme a secção meridiana fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou ângulo obtuso, Obtinham-se então as três secções cônicas seccionado-se a superfície do cone com um plano perpendicular a uma de suas geratrizes (Figura 14.1)
Apolônio de Perga (262-200 a.C.) deixou um tratado respeitável sobre cônicas, em oito livros. Seu grande avanço foi ter conseguido gerar todas as cônicas a partir de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de intersecção (fig. 14.2). Atribui-se a Apolônio, também, o mérito de ter cunhado os nomes parábola, elipse e hipérbole.
134
Se o plano de intersecção passa pelo vértice do cone, obtém-se uma cônica degenerada. Uma cônica degenerada pode ser simplesmente um ponto, uma reta ou um par de retas concorrentes. Aqui consideraremos apenas cônicas não degeneradas. (LINDQUIST; SHULTE, 1994, p. 192-193).
Segundo o texto, tanto Menaecmo como Apolônio tinham grandes interesses em
estudar as secções cônicas. Que diferenciação há entre suas descobertas?
Tarefa 4
Objetivo específico: relacionar as curvas cônicas às superfícies dessas secções.
Após a leitura do texto, indique qual das superfícies a seguir está relacionada com
as curvas cônicas:
As secções cônicas resultam de diferentes inclinações do plano em um cone e
freqüentemente podemos observar suas curvas nas mais diferentes formas
geométricas que se assemelham aos objetos do cotidiano. Observem a seu redor,
quantos objetos foram criados a partir de cortes geométricos semelhantes às
secções cônicas.
135
Tarefa 5
Objetivo específico: Relacionar as curvas cônicas as diferentes representações
do “mundo real”.
A seguir relacione as imagens que mais se assemelham às curvas cônicas.
Tarefa 6
Objetivo específico: pesquisar sobre as secções cônicas e suas influências nos
avanços e transformações da sociedade.
Cada grupo deverá apresentar uma pesquisar sobre secções cônicas, destacando
suas influências por meio dos avanços e transformações da sociedade.
136
ANEXO D – Relatórios da pesquisadora sobre o desenvolvimento das aulas
Relatório referente a primeira atividade
* O trabalho do Professor P1
O desenvolvimento da THA pelo P1 iniciou-se reforçando o motivo da
presença da pesquisadora durante o desenvolvimento das atividades. Em
seguida, explicou aos estudantes que a primeira aula tinha o objetivo de discutir
ideias da Geometria plana e espacial. Para isso, contou com o recurso do quadro
negro para registrar os conhecimentos que os estudantes tinham sobre os dois
temas. Para dar início a esses registros, fez o seguinte comentário com os
estudantes:
Professor (P1): “Quando colocamos o pé no chão, estamos pisando no plano,
certo?!”
Estudantes: “certo” (todos)
Professor (P1): “Agora imaginem esse espaço da sala de aula. Há partes que
não estão totalmente no plano. Mas, sim no espaço, ok?”
Estudantes: “Ok!” (todos)
À medida que o professor perguntava aos estudantes sobre assuntos
geométricos, estes respondiam palavras que eram de conhecimento deles. Ao
final da explanação do professor, o quadro negro estava semelhante à imagem a
seguir:
137
A partir desta coleta de dados com os estudantes, o professor (P1)
distribuiu a primeira atividade da THA para que eles iniciassem seu
desenvolvimento, orientando-os quanto ao objetivo geral da referida tarefa. Assim,
leu o objetivo geral aos estudantes e solicitou que os objetivos específicos fossem
lidos por eles próprios, a fim de estarem conectados com o que estava sendo
proposto naquela aula. Embora os estudantes houvessem respondido às
perguntas do professor e estas terem sido expostas no quadro negro, percebeu-
se que os estudantes faziam bastante confusão quantos aos nomes destinados
aos objetos, dando destaque para objetos criados a partir das semelhanças dos
objetos geométricos. Durante essa dinâmica, o professor sistematizava os nomes
corretos, deixando entre parênteses as falas dos alunos.
Em relação à primeira atividade, a maioria dos estudantes não teve
dificuldade para associar objetos do “mundo real” com figuras tridimensionais.
Quanto ao uso do dicionário nas aulas de matemática, houve “borbulho” como,
por exemplo:
Estudante A: “Dicionário na aula de matemática? Pra quê?”
Professor: “Ok. Caso você saiba o significado das palavras corretamente, não
precisa recorrer ao dicionário.”
Estudante A: “Não, professor, eu não entendo desses nomes, isso pra mim é
nome feio. Eu quero um dicionário.”
Após esse breve diálogo, os estudantes, trocavam entre si as informações
extraídas do dicionário, e recorriam ao professor, quando se deparavam com
palavras que não eram do vocabulário habitual deles.
As demais tarefas, a maior dificuldade por parte dos estudantes foi a de
número 5. Dos 23 estudantes presentes, 15 disseram que o galpão assemelha-se
à forma de um paralelepípedo. Quando esses estudantes foram questionados
pelo professor, imediatamente um dos oito estudantes que tinham uma resposta
contrária, disse à sala:
138
Estudante B: “Lógico, que não professor! Procura ai meu (referindo-se aos
colegas de classe) no dicionário o significado de paralelepípedo que vocês vão
ver que não é igual a esse galpão”. E complementou:
− “Lá embaixo, no item b, não bate com o significado do dicionário,
porque em todas as alternativas diz que são tantos pentágonos e
retângulos”.
Na realidade, o que o estudante Cleyton estava querendo dizer aos
colegas é que as características do paralelepípedo têm faces delimitadas por
paralelogramos, dos quais os opostos são iguais e paralelos e que nenhuma das
alternativas contemplava apenas paralelogramos, pelo contrário, as alternativas
eram compostas por pentágonos e retângulos. Esse foi um momento que deve
ser destacado, porque os próprios estudantes perceberam que um dos colegas de
classe estava pensando com coerência. E que muitos não tinham atentado para
esses detalhes.
A primeira atividade teve duração de 2h aulas, cada uma de 50 minutos
(dias: 15 e 16/04/2009). Embora o professor tenha se antecipado com
levantamentos de dados sobre Geometria, os estudantes não sabiam o que era a
representação de um tetraedo, por exemplo. Logo foi importante a busca do
significado das palavras pelo dicionário, seguido do esboço dessas figuras,
facilitando a compreensão desses elementos, como parte da Geometria espacial.
Embora a maioria dos estudantes tenha comentado que não tinha habilidade para
desenhar, todos apresentaram os esboços solicitados na tarefa.
Em relação aos conhecimentos do professor, este não apresentou
nenhuma dificuldade. Talvez sua ansiedade de explicar primeiro o conteúdo,
tenha origem em sua prática em sala de aula. Como ele mesmo afirmou ter uma
postura tradicional de abordar os conteúdos matemáticos. Assim, o processo de
aplicação de uma atividade que demanda tempo para os estudantes pensarem e
explorarem seus pensamentos necessita de uma prática constante a ser
desenvolvida na profissão docente. No final desta atividade, o professor orientou
os estudantes a trazerem alguns sólidos geométricos para a próxima aula, para
os estudantes manipulá-los e ter um melhor contato com os sólidos.
139
* O trabalho do professor P2
Inicialmente P2, explicou o papel da observadora durante o
desenvolvimento das atividades, fez explanação do projeto e do tema a ser
desenvolvido. Em seguida, perguntou aos estudantes:
− “Vocês sabem me dizer do que se trata esse estudo? Formas
Geométricas Tridimensionais?”
Estudante D: “O que é isso?”
Estudante E: “Eu já ouvi falar, mas não sei explicar...”.
Professora: “Então, a partir de agora, vou distribuir as atividades, vou dar um
tempinho para vocês realizarem. Depois voltamos a nos falar. Ok?!”
Assim, P2, o fez. Deu tempo para que os estudantes pudessem realizar a
primeira atividade. Durante o desenvolvimento das tarefas, a professora percorria
a sala, verificando como os alunos estavam se “saindo”.
Logo um estudante perguntou à professora:
“Quem é o cone aqui dessas figuras, professora?”. Nesse momento a
professora dirigiu-se até a carteira do aluno, verificando que as associações
estavam corretas e que o estudante antes de procurar o significado das palavras
no dicionário, já tinha lido a questão seguinte, onde era solicitado o esboço de
algumas figuras geométricas, entre elas o cone. Na busca de acalmar o aluno, ela
o orientou primeiro para encontrar o significado das palavras, depois se não
conseguisse complementar seu conhecimento, chamasse a novamente. Mesmo
com certa resistência, o estudante pegou um dicionário e partiu para o registro da
tarefa 2, cujo objetivo específico era conhecer o nome de alguns sólidos
geométricos com o apoio de um dicionário.
Na verdade, este aluno encorajou outros a esboçarem suas dificuldades à
professora. Então, ela percebendo que a inquietação era de muitos colegas,
indagou:
“Quem já localizou no dicionário a palavra cone?”
140
Estudante T: “Eu achei professora. Aqui diz assim: Sólido com base circular, que
diminui uniformemente seu diâmetro, terminando em ponta”. (Michaelis. Dicionário
escolar da Língua Portuguesa. São Paulo: Ed. Melhoramentos, 2002, p. 190)
Estudante G: “Eu também achei: Sólido formado por um plano na base, em geral
circular, é afunilado, na superfície lateral, em direção a um ponto fixo, chamado
vértice”. (XIMENES, São Paulo: Ediouro, 2000, p. 192).
Esse momento despertou os alunos que estavam com dificuldade de
lembrar a imagem de um cone a apontar para a professora que não precisava que
ela dissesse, pois já tinham a figura do cone na tarefa de número um, em que
eles fizeram as associações. Só não lembravam que aquela figura se chamava
cone. Um processo análogo ocorreu com o tetraedro.
A professora (P2), percebendo a dificuldade dos estudantes em lembrar os
nomes de alguns sólidos e suas respectivas imagens, solicitou à classe uma
pesquisa sobre as formas tridimensionais.
As demais atividades foram desenvolvidas sem dificuldades pelos
estudantes, com exceção da tarefa cinco. Dos 24 estudantes presentes nesta
atividade, 16 responderam no item “a” que o galpão (prisma de base pentagonal)
assemelhava-se ao paralelepípedo.
Dos 16 estudantes que concordaram que a imagem do galpão
assemelhava-se ao paralelepípedo, oito responderam apenas sim, sem justificar.
Sete estudantes responderam sim, “porque os quatro lados são iguais” e um
estudante relatou que sim, “porque suas faces opostas são paralelas”.
Ao perceber essa confusão por parte de muitos estudantes, a professora
solicitou aos outros alunos que tinham respondido corretamente, a justificativa
para o “não”. Pediu silêncio para que pudessem ouvir os devidos esclarecimentos
dos colegas.
Dos oito estudantes que responderam não, apenas quatro alunos
justificaram o “não” da seguinte maneira:
Estudante M: “Não tem nada a ver”
141
Estudante N: “Não, pois a forma de um paralelepípedo é totalmente diferente da
imagem”.
Estudante J: “Não concordo, porque a imagem parece mais com um tetraedro, e
tem dois lados iguais, de frente e os lados”.
Estudante L: “Não, pois todos os paralelepípedos têm partes retangulares”.
Diante destas confusões, a professora pediu calma e explicou as
características de um paralelepípedo e de um prisma de base pentagonal,
fazendo o esboço desses sólidos na lousa, destacando suas características com
os estudantes, desfazendo as confusões. A professora destacou, também, que
ambos são considerados prismas, sendo o paralelepípedo um caso especial, por
conter todas as faces em forma de quadriláteros.
Assim, no dia seguinte, os alunos trouxeram as pesquisas e cada grupo foi
até o quadro negro para apresentar aos colegas de classe o que tinha
encontrado. O interessante, nesse processo, foi à empolgação dos estudantes.
Isso foi notado pelas pesquisas que trouxeram, incluindo alguns livros, pesquisa
na internet e até montagem de alguns desses sólidos. Muitos relataram à
professora que não tinham estudado esse tema ainda. De fato, isso foi uma
surpresa para a observadora, que não havia conjecturado esta hipótese (pesquisa
e alguns alunos nunca terem contato com essas figuras).
Sabemos que pesquisas em Educação Matemática apontam para o baixo
desempenho dos assuntos geométricos, porém, geralmente, em séries iniciais os
alunos têm algum contato com esses conteúdos. A hipótese posterior, como
observadora deste trabalho, é que esses alunos tenham visto ou ouvido falar
dessas figuras, mas de uma forma pronta, não fazendo sentido para sua
aprendizagem, por isso o “esquecimento”.
Esta atividade durou 3h aulas de 50 minutos (14/15 e 16/04/2009). Neste
caso, a justificativa para essa hora aula a mais deveu-se à apresentação da
pesquisa solicitada pela professora colaboradora. Embora as apresentações não
estivessem programadas para este momento, foi de grande valia para que os
estudantes se integrassem com a nomeação e algumas das características
desses sólidos.
142
Durante o desenvolvimento da primeira atividade, os estudantes
demonstraram bastante interesse pelo tema. Estranharam o uso de dicionários na
aula de Matemática e, também, não tinham costume de esboçar desenhos das
figuras.
No decorrer da primeira atividade, P2, estava empolgada com as
interações dos estudantes, porém apresentava certa inquietação quando os
estudantes pediam sua ajuda (queriam respostas imediatas). Nesse aspecto, a
professora fazia bastante esforço para não responder aos estudantes, devolvendo
a pergunta a outros alunos, de forma a confrontar as ideias. Com essa estratégia,
sempre iniciava um pequeno debate em sala de aula.
No final da atividade, voltou à pergunta inicial: “E agora, vocês sabem me
dizer do que se trata o estudo de formas geométricas tridimensionais?” Nesse
momento, muitos começaram a falar ao mesmo tempo. Suas respostas eram
muito semelhantes a: “estudo dos sólidos geométricos, como o cubo, o
paralelepípedo, o cone e outros mais”.
* O trabalho do Professor P3
Antes de iniciar a descrição do desenvolvimento das THAs pelo professor
P3, destacamos que, as tarefas ocorriam sempre às quintas-feiras (duas aulas). O
acordo foi afirmado entre a pesquisadora e o professor, em razão da turma estar
no período noturno. A justificativa foi apresentada pelo fato do professor não
poder parar o conteúdo que já estava em andamento e também, porque, nesse
período a grade curricular de Matemática é reduzida para quatro aulas semanais.
P3 iniciou a aula justificando a presença da pesquisadora. Em seguida,
utilizou-se do quadro negro para definir o significado da palavra poliedro, definiu e
exemplicou figuras planas e não planas, justificando a importância de estudar os
conceitos da Geometria Espacial. Em seguida, esboçou alguns exemplos, como o
prisma de base pentagonal, o cone e o cilindro na lousa. Disponibilizou alguns
modelos de sólidos geométricos aos alunos, dizendo-lhes que a partir daquela
aula iriam retomar os assuntos geométricos.
143
Após a explanação, P3 distribuiu as atividades aos alunos. Durante o
desenvolvimento desta atividade, os alunos relataram não saber desenhar direito
as figuras e, que não estavam acostumados a utilizar o dicionário nas aulas de
Matemática.
Ao final da aula, P3 solicitou-lhes uma pesquisa sobre os sólidos
geométricos, incluindo os elementos dos sólidos pesquisados. Orientou-os a
realizarem a pesquisa em grupo de cinco alunos. A duração desta atividade foi de
2h aulas de 50 minutos e foram nos dias 29/04 e 07/05/09.
Análise do desenvolvimento da primeira atividade
Durante o desenvolvimento da primeira atividade, percebemos que os
estudantes, de fato, não tiveram muito contato com assuntos envolvendo
Geometria Espacial. Conforme a discussão anterior com os professores
colaboradores, esta hipótese veio ao encontro da realidade da sala de aula. Mas,
no desenrolar das tarefas, notamos que esses estudantes têm potencialidade
para construir conhecimentos geométricos, bastando para isso ser oferecida a
oportunidade. Apesar das duas classes estranharem o uso de dicionários na aula
de Matemática, notou-se um avanço no aspecto de agregar novos conhecimentos
em relação a comparar imagens e relacioná-las aos desenhos que foram
propostos a esboçar. Destacamos, também, algumas confusões, como por
exemplo, denominar o cubo de “quadrado” sem observar que o cubo tem seis
faces quadradas. As dificuldades encontradas por esses estudantes estão
relacionadas com a nomeação dos sólidos, fazendo confusão com a Geometria
plana e espacial e, particularmente, a tarefa cinco desta atividade, na questão de
identificar os polígonos que compoem o prisma de base pentagonal.
Em relação à prática dos professores, embora relatem ministrar suas aulas
de forma tradicional, observamos que P1 e P3 apresenta-se mais tradicionais em
relação à P2.
Nas discussões geradas durante o intervalo das aulas, P1 admite que seja
muito difícil mudar sua prática, advinda de muitos anos de magistério. Argumenta
que não consegue disponibilizar muito tempo para os estudantes ficarem
pensando. Então, após alguns instantes, vai até a lousa e sistematiza a aula
144
prevista para o dia. Nesse aspecto, P1 é organizado, antes de iniciar suas aulas,
solicita aos alunos organização e postura. Só depois desse processo, inicia a
aula. Mas admite ser interessante a perspectiva construtivista de aprendizagem e
surpreende-se com a resposta do estudante Cleyton ao argumentar que as
alternativas da tarefa de número cinco não iam ao encontro das características de
um paralelepípedo.
Em relação à P2, que também relatou ter um perfil tradicional ao ministrar
suas aulas, està se apresentou ansiosa e cautelosa durante as interrogações dos
estudantes. Percebeu-se que sua ansiedade provavelmente seja oriunda de sua
prática. Mas mostrou-se desejosa de mudar sua metodologia de trabalho. Até
mesmo por conta de relatar que não tem experiência com assuntos geométricos.
Também se surpreendeu com a discussão dos estudantes quanto a reconhecer a
imagem do cone e a procura do significado da palavra no dicionário.
Quanto ao trabalho de P3, os alunos questionaram pouco, talvez pela sua
explanação e definição de alguns conceitos geométricos. Só houve interferências
dos alunos em relação a desenhar as figuras solicitadas e quanto ao uso do
dicionário.
Nesta primeira atividade, observamos ser possível não negligenciar o
ensino da Geometria Espacial, visto que os estudantes são grandes
potencializadores na construção desse conhecimento.
Relatório referente a segunda atividade
* O trabalho do Professor P1
Após organizar sua sala de aula, P1 esclareceu aos estudantes que nesta
segunda atividade iria ficar mais clara a relação da Geometria plana e espacial.
Antes de entregar a atividade, dirigiu-se ao quadro negro, desenhou o cubo e foi
explicando aos estudantes todas suas faces. Na continuação, pediu aos alunos
que imaginassem todas as faces desse cubo, sendo desmembradas de forma a
deixar todas totalmente no plano. Finaliza sua exposição, dizendo aos alunos que,
na Matemática, chamamos esse processo de planificação dos sólidos
geométricos. A seguir, um resumo de suas anotações no quadro negro:
145
Após suas explicações, distribuiu as atividades aos estudantes para que
pudessem realizá-las.
A tarefa 1 iniciava com o processo de uma das planificações do tetraedo e
os estudantes tinham de apresentar outras formas de planificar esse mesmo
sólido. Inicialmente os estudantes não entendiam como poderiam exemplificar
outras formas diferentes. Para os estudantes aquela planificação apresentada era
a única maneira, além de se surpreenderem com esse assunto.
A seguir, as primeiras tentativas de apresentar diferentes maneiras de
planificar um tetraedo:
Identificadas a dificuldade dos alunos, P1, imediatamente disponibilizou
alguns moldes de triângulos equiláteros aos estudantes, para que eles pudessem
realizar conjecturas em relação a outras formas de planificar o mesmo sólido.
Com essa estratégia, os estudantes sentiram-se mais confiantes e integraram-se
com outros colegas na busca de outras soluções, conforme imagens a seguir:
146
Ao realizarem a tarefa 2, cujo objetivo era apresentar as várias
possibilidades de planificar um hexaedro, os estudantes, não sentiram grandes
dificuldades. Notamos que isso se deveu a dois aspectos: 1) à exposição inicial
do professor ao apresentar uma primeira possibilidade; 2) às estratégias
desenvolvidas pelos estudantes na tarefa anterior (planificação do tetraedro).
As demais tarefas foram desenvolvidas sem grandes dificuldades, com
exceção das tentativas de planificar o cone. Muitos perguntaram à P1, como
planificar esse sólido. No intuito de ajudá-los, P1 foi à lousa, questionando a
respeito da composição da forma do cone. Os estudantes não sabiam de fato
responder coerentemente, apenas destacavam que havia uma base circular, mas
estavam com dúvidas na forma da face lateral. Assim, representaram seus
esboços ao professor, com o intuito de receber mais auxílio. A seguir, alguns
exemplos:
Por meio das imagens acima, verifica-se que a dificuldade em planificar o
cone, esteve em função de representar sua face lateral.
Na verdade P1, também, não se “lembrava como era a face lateral do
cone. Dirigiu-se à observadora e solicitou ajuda.
Então, discutimos a respeito de estimular os estudantes no sentido de
imaginarem um círculo de modo que pudessem utilizar apenas um setor dele.
Imediatamente P1, relembrou que de fato a face lateral de um cone é
representada por uma superfície demarcada por um setor circular.
Em face desse episódio, P1desenhou um círculo na lousa, demarcou um
arco qualquer e apresentou aos estudantes a planificação correta de um cone.
Embora os estudantes não tivessem contato com a planificação de alguns
sólidos geométricos, eles participaram ativamente do desenvolvimento das
147
atividades. As interações entre os próprios colegas e o professor favoreceram o
processo, pois à medida que um colega encontrava um modelo diferente da
planificação do cubo ou do tetraedro, ficava empolgado em mostrar ao professor e
aos outros colegas.
A atividade teve duração de 2h aulas e ocorreu no dia 17/04/2009.
* O trabalho do Professor P2
Antes de distribuir o material da segunda atividade, a professora comentou
o objetivo geral das tarefas. E perguntou aos estudantes se eles sabiam
representar a planificação de um sólido qualquer.
No primeiro momento, os estudantes silenciaram-se. E a professora no
intuito de estimular o raciocínio começou a conservar com eles, perguntando-lhes
como eles fariam para representar o desenho de uma caixa em forma de
paralelepípedo totalmente aberta, em seus cadernos. Nesse momento, o aluno
Maurício citou que durante a pesquisa dos nomes de alguns sólidos (primeira
atividade) tinha visto algo parecido e era com o desenho de um cubo.
A professora aproveitou a fala do aluno e pediu para ele contar aos colegas
da classe o que tinha visto. Maurício fez um pouco mais que isso, pediu licença à
professora e foi até a lousa desenhar o cubo e, também, as seis faces do cubo
planificadas. Então, os colegas de classe responderam à professora que era a
mesma coisa que: – “abrir toda a caixa”.
Continuando o diálogo, a professora relatou que, em Matemática esse
processo tem o nome específico de planificação, e esse era o objetivo da aula.
Assim, distribuiu a atividade para os alunos desenvolverem.
Um processo semelhante com o que havia ocorrido com o professor P1,
aconteceu com a professora P2, pois precisou disponibilizar moldes do triângulo
equilátero, para que os estudantes realizassem suas conjecturas. No caso da
tarefa 2 (planificação do cubo), já se tornou um processo mais imaginário de
representar as diferentes formas de planificar esse sólido. Inclusive, a maior
dificuldade desta segunda atividade foi com respeito à planificação do cone.
148
Os esboços foram semelhantes às representações do professor P1, tanto
estudantes como a professora não lembravam a representação da planificação
desse sólido. Então, novamente a observadora solicitou a professora P2 para que
estimulasse os estudantes a pensarem em um círculo e demarcar um setor
circular de forma a considerar esta “parte” para unir os segmentos (raios) desse
setor circular, supondo a formação de um cone.
As demais tarefas tiveram um bom desenvolvimento pelos estudantes,
visto que as discussões geradas durante a aula favoreceram positivamente a
realização das tarefas. A duração da atividade também se desenvolveu em 2 h
aulas (17/04/2009).
* O trabalho do Professor P3
Antes de distribuir a atividade aos estudantes P3, fez uma explanação
sobre o processo de planificar um sólido. Como exemplo, citou a planificação de
um cubo e na sequência orientou os alunos para que desenvolvessem a tarefa 1
da segunda atividade. No início, os alunos não entenderam como poderia surgir
outra planificação do tetraedro. Muitos chamavam P3 para dizer que não havia
outra maneira de planificar. Na ocasião, a professora distribuiu os triângulos
equiláteros às duplas, orientando-as realizarem as tentativas. Só após algumas
tentativas com o material disponibilizado, os estudantes esboçaram outras
maneiras de planificar o tetraedro. Durante o processo, os alunos envolveram-se
149
em uma disputa saudável para verificar quais duplas conseguiriam mais maneiras
diferentes de planificar o tetraedro.
Na realização da tarefa 2, os estudantes não usarem nenhum apoio
concreto para esboçar algumas planificações do cubo. Embora nenhum estudante
tenha apresentado as 11 planificações do cubo, foi possível observar que
entenderam que não existe apenas uma única maneira de planificar um sólido.
Nas demais atividades, não houve maiores problemas e, prosseguiram as
discussões e correções pela professora.
Esta atividade teve a durou 4 h aulas e verificou-se nos dias 14 e 21/05/09.
Análise do desenvolvimento da segunda atividade
Percebemos que as maiores dificuldades dos estudantes basearam-se no
fato deles de não terem contato anterior com planificações de sólidos
geométricos. Notamos, também, que a estratégia de utilizar o molde,
especialmente, para o tetraedro favoreceu os alunos a conjecturarem sobre
outras possibilidades de planificação.
150
Embora nenhum aluno tenha concluído que havia 11 planificações
diferentes para representar o hexaedro (cubo), esta foi uma atividade que todos
se envolveram bastante, ficaram ansiosos para ver quem construía uma
planificação considerada correta. Este foi um momento de troca de informações
interessante entre eles. Tanto a observadora, como os professores colaboradores
ouviam as seguintes falas: “Não pode ser assim, porque se você tentar fechar a
pirâmide, não vai conseguir... um lado (se referindo à face) vai ficar em cima da
outra”; “Desse jeito, tá errado... olha só... tem um ponto (referindo-se ao vértice)
que une quatro pontas dos triângulos..., na hora de montar vai precisar de uma
figura quadrada pra fechar o negócio”.
Notamos que relatos como estes mostram indícios de que os estudantes
apresentam potencialidades de aprendizagem. Neste caso, as estratégias de
apoio do material concreto são necessárias para melhorar a compreensão do
estudante, estimulando-os a levantarem hipóteses, verificando seus próprios erros
e corrigindo-os entre seus pares.
Relatório referente a terceira atividade
* O trabalho do Professor P1
O professor P1 distribuiu as atividades aos estudantes, orientando-os
quanto a seu objetivo geral. Deixou um espaço para exposição de alguns sólidos
construídos pelos próprios alunos anteriormente, de modo que a classe usasse
os, caso precisassem. No início, os estudantes não tiveram dificuldades para
identificar os dois subgrupos de sólidos. Mas não conseguiam justificar os critérios
que adotaram, com exceção de citar que classificaram as pirâmides porque elas
tinham “uma ponta em comum”. Diante do fato, o professor orientou os alunos a
olharem um pouco mais com critério às faces laterais e às faces das bases do
outro subgrupo. Foi, então, que um dos estudantes citou: “Já entendi, professor.
O outro grupo tem duas bases uma de frente pra outra, igualzinha. Não é isso?”.
P1: Isso. Mas vamos melhorar um pouco mais esse entendimento. Observe cada
uma dessas bases... O que acontece com suas faces laterais?
151
Depois de um tempo, alguns estudantes responderam que o número de
faces das imagens mudava, conforme a quantidade de lados da figura da base.
Com esta informação, os estudantes continuaram a realizar a atividade. Portanto,
não conseguiram citar exemplos de poliedros que não são nem prismas nem
pirâmides, como por exemplo, o dodecaedro e o icosaedro. Então, o professor
sistematizou esta parte, pois notou que os estudantes de fato não sabiam.
Em relação à tarefa 2, o professor percebendo a confusão que os
estudantes estavam fazendo com o levantamento de dados referente aos
elementos dos poliedros, isto é, faces, arestas e vértices, pediu um tempo à
classe para revisar esses conceitos. Assim que estas dificuldades foram sanadas,
os alunos preencheram as tabelas sem maiores dificuldades. Observamos que
muitos alunos contaram esses elementos um a um. O interessante aconteceu
depois do preenchimento de tabela, quando os estudantes perceberam a
regularidade existente entre os lados dos polígonos em relação às pirâmides e
aos prismas, ouvimos alguns comentários, como por exemplo: “Agora é que vi
que não precisava contar um a um (referindo-se aos elementos dos poliedros em
questão)”.
Na sequência, os estudantes encontraram a relação de Euler também com
facilidade. Três dos alunos presentes não tinham conseguido contar os elementos
dos poliedros, o problema foi sanado com a ajuda de outros colegas da sala.
Em relação à tarefa 4, seu objetivo era aplicar a relação de Euler em
situações-problema. O que dificultou para os estudantes encontrarem a solução
da tarefa 4 itens “a” e “c”, foi observado por meio do desenvolvimento dos
cálculos, isto é, das 60 faces triangulares multiplicadas por três que obtiveram 180
arestas, mas não prestaram atenção no fato de que cada aresta, comum a duas
faces, foi contada em dobro. Logo o número de arestas, na verdade, era a metade
desse número (90). O mesmo ocorreu com o item “c”, só perceberam o problema,
quando o professor questionou-os em relação ao significado da aresta de um
poliedro.
A atividade teve 25 alunos presentes, mas dois destes surpreenderam,
tanto o professor como a observadora. Em lugar de apresentar a fórmula de
Euler, um deles mostrou os três itens (“a”, “b” e “c”) em forma de tabela. O
152
segundo estudante ao realizar o item “b” esboçou o desenho de um prisma de
base hexagonal, a partir desse desenho concluiu que o número de aresta era
igual a 12. A seguir, imagens desta situação de resolução.
A duração desta atividade foi de 3h aulas e aconteceu nos dias 22/23 e
24/04/09
* O trabalho do Professor P2
A professora apresentou as atividades aos estudantes e solicitou que um
aluno lesse o objetivo geral da atividade. Após a leitura, os estudantes
começaram a desenvolvê-la. Logo de início, surgiram algumas dúvidas em
relação aos subgrupos que tinham de criar. Mesmo apresentando ansiedade para
explicar aos estudantes as características básicas de prismas e pirâmides, P2
procurou controlar-se. Em seguida, pediu aos estudantes, que observassem mais
detalhadamente todas as imagens e utilizassem os sólidos que estavam
disponíveis na sala.
Na verdade, as dificuldades que os estudantes apontaram à professora
eram muito semelhantes às dos estudantes do professor P1. Identificaram os dois
subgrupos, destacando as pirâmides primeiro. Embora falassem que o outro
subgrupo era considerado prisma, tiveram dificuldades para se justificar.
153
Então, P2 foi ao quadro negro desenhou três prismas de base triangular,
pentagonal e hexagonal e solicitou que relatassem sobre seus elementos,
prestando atenção à formação de suas bases. Esta estratégia foi suficiente para
que eles percebessem que o número de faces laterais dependia dos polígonos da
base desses prismas.
Em relação às tabelas, os estudantes também fizeram no início pequenas
confusões em relação a faces, vértices e arestas. Novamente a professora
interferiu para esclarecer tais dúvidas.
Muitos estudantes acharam interessante que haviam descoberto sozinhos
ou com os colegas as relações numéricas existentes entre o número de lados dos
polígonos da base de prisma e das pirâmides e, também, a relação de Euler.
Suas dificuldades estiveram na contagem das arestas duas vezes, sem perceber
que a cada duas faces há uma aresta em comum.
A atividade foi desenvolvida nos dias 22/23 e 24/04/09, e durou 3 h aulas.
* O trabalho do Professor P3
P3 dirigiu-se à lousa, definindo prismas e pirâmides. Em seguida,
comentou sobre os trabalhos que eles haviam lhe entregue, enfatizando que a
pesquisa realizada iria ajudar bastante no desenvolvimento da terceira atividade.
Prosseguiu, com a distribuição da atividade.
De fato, os estudantes não sentiram dificuldades para diferenciar prisma de
pirâmide. Mas, na tarefa 2 tiveram dificuldades para diferenciar vértices e arestas,
confundindo os dados no preenchimento das tabelas. P3, interferiu, pediu calma
aos estudantes e utilizou a lousa, explicando o significado de cada elemento dos
poliedros. Após a explanação, orientou os estudantes a terminarem de completar
a atividade, encontrando a relação numérica existente entre o número de lados
dos polígonos das bases do prisma e da base da pirâmide.
Antes dos estudantes desenvolverem a tarefa três, a professora fez um
breve comentário para que observarem a tabela e verificassem a existência de
uma relação matemática. Os estudantes pediram para que a professora não
154
falasse, pois eles iriam encontrar. E, assim, acharam divertido encontrar a relação
de Euler.
Quanto à tarefa 4, os alunos desta turma não sentiram dificuldades para
resolver as atividades.
A atividade foi desenvolvida nos dias 28/05 e 04/06/09 e durou 04 horas
aulas.
Análise do desenvolvimento da terceira atividade
Notamos que as dificuldades desta atividade foram marcadas pela
confusão para identificar corretamente os elementos dos poliedros. Em relação à
descoberta das relações numéricas entre a base de prismas e pirâmides, os
estudantes ficaram empolgados para descobrir por eles mesmos estas
características. Muitos frisaram que não precisava ficar contando toda hora as
arestas, vértices e faces, se soubessem estas características. A relação de Euler
foi estabelecida sem dificuldades pelos alunos. Apenas tiveram dificuldades para
aplicá-la às situações-problema da tarefa 4, nos itens “a” e “c”, justamente por não
se darem conta de que as arestas são contadas em dobro, pelo fato de que duas
faces tem-se uma aresta em comum.
Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores, não houve
nenhuma situação embaraçosa. Apenas, em muitos momentos do
desenvolvimento da atividade, faziam esforço para não responder imediatamente
a resolução das atividades aos alunos. Assim, procuraram fornecer um tempo
para que os alunos discutissem suas ideias.
Relatório referente a quarta atividade
Na ocasião do desenvolvimento desta atividade, especificamente a tarefa
1, foi necessário adaptar as salas de aulas com um data show e um notebook
para que os estudantes tivessem acesso ao programa Poly, em razão da reforma
do prédio, incluindo o laboratório de informática, que ainda não estava pronto.
155
* O trabalho do Professor P1
Em relação à tarefa 1, P1 comentou o objetivo geral da quarta atividade
aos estudantes. Seguiu com a apresentação do programa Poly para os
estudantes, mostrando as janelas de acesso do programa, convidando-os
organizadamente para explorarem o programa. Nesse ínterim, P1 disponibilizou
as atividades em dupla, para que os estudantes pudessem responder.
Percebemos que os estudantes ficaram empolgados por ter contato com esse tipo
de programa e, pelo fato, da aula de Matemática estar sendo enriquecida com a
informática. Durante o desenvolvimento desta tarefa, os estudantes envolveram-
se mutuamente, pois à medida que um colega explorava o programa, eles
estabeleciam diálogos e trocas de informações, como por exemplo:
− “Com isso, é mais fácil a gente ver as arestas, vértices e faces com mais
clareza, porque dá pra movimentar e ver em outra posição”
− “É, agora, eu tô entendendo, quer dizer, vendo, como uma aresta é
formada realmente por dois lados da figura” (referindo-se à união de dois
polígonos para compor uma aresta).
− É assim, ó: a cada duas faces, tem uma vareta, que o professor chama
de aresta. Não é professor?”.
Esta tarefa durou 2h aulas e ocorreu com um maior número de participação
e concentração dos estudantes, provavelmente, pelo fato do envolvimento e da
estratégia do uso da informática.
Antes do término da aula, P1 orientou os estudantes que trouxessem o
material solicitado para a próxima tarefa, comentando que eles iriam construir
alguns dos poliedros que exploraram no programa Poly.
Quando do desenvolvimento da tarefa 2, P1 solicitou a organização dos
grupos compostos por cinco alunos e distribuiu a atividade. Uma das primeiras
dificuldades de cada grupo foi em relação ao material solicitado, muitos haviam
“esquecido”. O fato deve-se, provavelmente, pela a não utilização desse tipo de
material pelos estudantes com frequência, em especial, esquadro e compasso.
Apenas um aluno (único que frequenta um curso técnico) carregava em sua
mochila estes materiais.
156
Mediante o fato, a escola forneceu o material, para que a aula
prosseguisse. Dentre as construções solicitadas, o polígono pentagonal regular foi
o que mais gerou dúvidas. Enquanto os demais polígonos regulares foram
construídos por meio de régua e esquadro; quando da construção do pentágono
regular por este processo, gerava irritação nos estudantes, e estes chamavam o
professor:
Grupos - ”Professor, não conseguimos fechar o pentágono direitinho, com todos
os lados com a mesma medida”. Como é que constrói um pentágono regular
certo, sem ficar torto?
P1 – Nesse momento, o professor convidou os estudantes a prestarem atenção a
suas explicações. Foi à lousa e desenhou uma circunferência, lembrando que
uma volta completa da mesma equivale ao valor de 360º. E a soma dos ângulos
externos de qualquer polígono é sempre 360º. Lembrou que nos polígonos
regulares todos os ângulos são idênticos, então, bastava dividir 360º pelo número
de lados do polígono regular desejado. Prosseguindo, afirmou que, nesse caso,
temos 360º divididos por cinco, resultando assim em 72º, encontrando a medida
de cada ângulo externo desse polígono. Incentivou os estudantes a prosseguirem
na construção do polígono com estas informações.
Após as informações, alguns estudantes falaram para o professor que não
tinham pensado daquela maneira, pois construíram o triângulo equilátero e o
quadrado por meio de régua, compasso e esquadro. Verificamos que os
estudantes estavam curiosos com os cálculos dos outros polígonos regulares e os
mesmos foram realizar os cálculos para esses polígonos, verificando que o valor
de seus respectivos ângulos externos e internos vinha de encontro com o que os
professor havia explicado.
P1 finalizou o diálogo, afirmando que na Matemática não existe uma única
maneira de resolver uma situação e que é importante pensar em algumas
possibilidades de resoluções.
Nesse momento um dos componentes de outro grupo, destacou-se da
seguinte maneira:
157
− “Professor conseguimos montar o pentágono, juntando cinco triângulos
iguais ao primeiro (referindo-se ao triângulo equilátero), venha ver”. E ai
pegamos outros seis triângulos para formar o hexágono e deu certo. E
pro quadrado, juntamos quatro triângulos. Venha ver que legal que
ficou!”.
Enquanto isso, os outros grupos ficaram curiosos e queriam fazer o mesmo
procedimento.
O professor, então, elogiou o grupo, comentando sobre as possibilidades
de resolução de uma situação e que a troca de diálogo entre os grupos era
importante para a construção do conhecimento e que esse modo só foi possível,
porque de fato verificou-se que a soma dos ângulos externos de qualquer
polígono é sempre igual a 360º e com a realização dos cálculos para os polígonos
regulares em questão verificava-se esse fato também.
Embora esta quarta atividade tenha demandado um maior número de aulas
(8 h aulas), ela foi importante em vários aspectos, entre eles, no uso do programa
Poly, como uma estratégia a mais para que os estudantes pudessem explorar os
poliedros virtualmente e a sua construção, observando o surgimento das arestas,
vértices e composição das faces, possibilitando aos estudantes conjecturarem
sobre as características dos poliedros regulares.
Ao finalizar a tarefa, a solicitação da construção de um poliedro utilizando
seis triângulos equiláteros foi importante, pois propôs aos estudantes dúvidas e
reflexões em relação à diferenciação entre poliedros regulares ou não. È
importante ressaltar que isso só foi possível, após construírem o poliedro e
perceberem que dois vértices foram formados pela junção de três faces, e os
outros três vértices foram formados pela junção de quatro faces,
descaracterizando que fosse um poliedro regular.
158
Em relação à tarefa 3, o professor, solicitou a leitura silenciosa do texto,
para, em seguida, tentarem esboçar suas conclusões. Observando que os alunos
não conseguiam chegar a nenhuma conclusão, P1 organizou na lousa a relação
de desigualdade para que os estudantes pudessem observar um dos casos.
Antes, reforçou a ideia que os estudantes tinham assimilado pela apresentação
do programa Poly e das construções dos poliedros, observando a quantidade de
vértices em relação à quantidade de faces, como por exemplo, a situação do
cubo, que era mais conhecida por todos, antes da apresentação das atividades
propostas pelas THAs. Assim, forneceu na lousa o seguinte esquema:
Vamos considerar as informações do texto sendo:
p o número de lados do polígono regular e
q o número de polígonos que incide em cada vértice.
Assim temos: (180 – 360/p)q < 360; tomando, como exemplo, o cubo,
verificamos que p = 3 e q = 4. Ao substituirmos esses valores em p e q
respectivamente, verificamos que;
240 < 360. Agora, tentem verificar o que ocorre com os demais poliedros
regulares.
Assim, os estudantes verificaram que os casos (p,q) que surgiram eram
apenas (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) e (5,3).
A tarefa 5, foi finalizada com a entrega dos trabalho ao professor,
acompanhada de uma breve explicação das pesquisas realizadas. Alguns
estudantes destacaram os poliedros na arte, como por exemplo, algumas obras
de Escher; um pouco da história de Kepler e suas descobertas sobre o Universo e
a comparação com os poliedros. A maioria das pesquisas foi extraída de sites,
acompanhadas de imagens. Este momento, também, foi enriquecedor, pois os
alunos conversavam entre si, demonstrando surpresa ao pesquisarem sobre o
trabalho, comentando a respeito da história da Matemática com os fenômenos
ligados à natureza e outras invenções, dizendo que “os cientistas não tinham
muita coisa pra fazer na época: por isso, ficavam pensando alto... e fazendo
ligação com as coisas ao redor... e o pior é que eles tinham bom senso”. Os
estudantes afirmaram que, não tinham conhecimento daquelas informações e que
159
não conheciam o programa Poly e, também, não tinham visto os chamados
poliedros regulares.
* O trabalho do Professor P2
A professora iniciou a aula, solicitando aos estudantes que se
organizassem em dupla para o desenvolvimento da atividade. Justificou o motivo
da adaptação da aula de informática ser em uma sala de aula convencional e, em
seguida, comentou sobre o programa Poly e sua disponibilidade gratuita,
incentivando-os a pesquisarem o programa (alunos que têm computador em
casa), ou mesmo em Lan House (como é de costume de muitos alunos).
Comentou também, que teve conhecimento do programa há pouco tempo,
mais que era de fácil manuseio que eles iriam gostar da brincadeira. Antes de
entregar a atividade, apresentou um triângulo (face de um tetraedro regular) na
tela, perguntando aos estudantes, se eles reconheciam aquele polígono? Todos
responderam que sim, acompanhado de seu nome (triângulo). P2, então,
prosseguiu com outros questionamentos, como por exemplo: – Agora vamos
imaginar a movimentação desta figura, o que será que vai aparecer?
Estudantes: “o triângulo visto de outro lado”.
P2: Vamos ver?! (e movimentou o mouse lentamente, para que os estudantes
pudessem olhar com calma).
Estudantes: “Nossa! Apareceu aquele poliedro que nós montamos! Que coisa
maluca! Movimenta pra cima, professora! Deixa eu ir ai, olhar!” ( na verdade o
estudante queria explorar o programa).
P2: Calma! Que vocês irão poder explorar um pouco, deixe-me terminar de
realizar alguns comentários, para que possam desenvolver a atividade.
Prosseguiu abrindo algumas janelas do programa e comentando sobre suas
funções.
Após estas orientações, entregou as atividades aos estudantes. Embora
não houvesse computadores disponíveis às duplas, os estudantes iam
observando a movimentação de outros colegas e discutindo juntos as possíveis
160
respostas da atividade. Esta aula teve a duração de 2h aulas, e os alunos
queriam continuar explorando o programa. Notoriamente, foi observado que os
alunos identificam o uso da tecnologia, como aliado a seu aprendizado.
Assim, prosseguiram as demais tarefas desta atividade, Sempre que uma
nova tarefa era apresentada aos estudantes, P2 solicitava-lhes a leitura do
objetivo da aula e realizava alguns questionamentos, como seguem exemplos:
Tarefa 2
P2 – Vocês conseguem construir estes polígonos regulares? Observem a
característica que cada um deve ter, e após a construção façam os moldes
solicitados na tarefa. Qual a característica básica de qualquer polígono regular?
Um dos componentes do grupo disse que eram muitas perguntas ao
mesmo tempo e pediu calma à professora (todos riram, inclusive, a professora).
Nisso, outro aluno disse que um “polígono regular tem que ter todos os
lados iguais e que lembrava como construía o triângulo equilátero e o quadrado,
mais não tinha ideia de como construir o pentágono e o hexágono regular...”
Nesse instante, a professora orientou os grupos a fazerem suas tentativas,
para depois abrir a discussão, e à medida do possível um colega ir ajudando o
outro de modo que a atividade pudesse ser desenvolvida por todos.
Ao perceber que os estudantes estavam com dificuldades para prosseguir
com a atividade, P2 solicitou atenção e convidou-os a pensarem no valor de cada
ângulo interno e externo desses polígonos regulares. Citou como exemplo o
triângulo equilátero. Em seguida, questionou-os em relação à soma desses
ângulos externos. Alguns alunos responderam que era o valor de 360º, Desse
modo, a aula virou um diálogo entre eles:
P2: “Então, agora vamos pensar no seguinte. Se a soma dos ângulos externos,
como vocês mesmos responderam, tem o valor de 360º. O que devemos fazer
para encontrar a medida de cada um deles?
Estudantes: “Acho que temos que fazer a divisão – 360º dividido pelo número de
lados deles, não é ?
161
P2: “Que tal vocês tentarem?!
Nesse momento, os alunos já tinham percebido que, para determinar a
medida de cada ângulo externo, bastava dividir 360º pelo número de lados de
cada polígono regular solicitado, e partir para a construção de cada um deles,
criando os moldes para desenvolver a próxima atividade.
Nesse movimento, havia um grupo que tinha conseguido por meio da
montagem de triângulos equiláteros a formação do pentágono regular. Um
processo semelhante ocorrereu com a turma de P1.
As maiores dificuldades para o desenvolvimento desta atividade
assemelharam-se à turma do professor P1, porque os estudantes não levaram o
material solicitado à sala, incluindo a dificuldade de construir o pentágono e
hexágono regular, e o estabelecimento da desigualdade solicitada na tarefa 3.
Em relação à tarefa 5, cujo objetivo geral era despertar o interesse para
pesquisar sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas explicações sobre
o Universo, os grupos realizaram a pesquisa e apresentaram aos colegas de sala,
como já era de hábito na sala de aula. Apresentamos a seguir um trabalho
elaborado por um dos grupos de alunos da turma de P2:
162
* O trabalho do Professor P3
Ao termino da terceira atividade, P3 comentou com os alunos que a
próxima atividade seria com a apresentação do programa Poly. Nesse instante os
alunos ficaram curiosos, pois, eles disseram não conhecer o programa.
No dia do desenvolvimento da tarefa 1, P3 apresentou o programa Poly
para os estudantes, mostrando as janelas de acesso do programa, convidando-os
163
em dupla para explorarem o programa. Somente depois, de apresentar o
programa, P3 disponibilizou as atividades em dupla, para que os estudantes
pudessem responder.
Antes do término da aula, P3 orientou os estudantes que trouxessem o
material solicitado para a próxima tarefa, comentando que eles iriam construir
alguns dos poliedros que exploraram no programa Poly.
Quando da organização dos grupos para desenvolver a tarefa 2, P3
verificou que os alunos não haviam se programado com relação ao material
solicitado. Assim, o professor disponibilizou os materiais necessários à produção
da tarefa.
Durante o desenvolvimento desta tarefa, os alunos sentiram dificuldades
para construírem os polígonos regulares pentágono e hexágono. Apenas uma
aluna, apresentou a construção correta, e passou a orientar os colegas da sala.
Em relação à tarefa 3, o professor, solicitou a leitura silenciosa do texto,
para, em seguida, tentarem esboçar suas conclusões. Observando que os alunos
não conseguiam chegar a nenhuma conclusão, P3 dirigiu à lousa e explanou a
tarefa aos alunos.
Quanto à realização da tarefa 4, os alunos não sentiram dificuldades a
respeito da relação de Euler e os poliedros regulares, porém precisaram do apoio
do professor para demonstrarem a existência dos cinco poliedros regulares.
164
E quanto à pesquisa solicitada, todos os alunos apresentaram. Muitos,
disseram que tinham gostado da pesquisa e, não tinham estudado os poliedros
regulares, nem visto as associações deles com o envolvimento da arte e das
explicações de Kepler, por exemplo, a respeito do universo.
Outro aluno comentou com a professora que, no final de semana passado,
havia realizado um exame para fazer parte de um curso técnico e tinham duas
questões envolvendo o assunto de poliedros. Segundo o aluno, as aulas da
professora, foram fundamentais para resolver as questões solicitadas.
Esta atividade teve a duração de 06 h aulas e ocorreu nos dias 18/06,
25/06 e 20/08/09.
Análise do desenvolvimento da quarta atividade
Particularmente, esta atividade foi bastante representativa para os alunos,
considerando que eles envolveram-se mais nas tarefas. Consideramos que o
entusiasmo deu-se pelo fato do apoio do programa Poly e as próprias construções
dos poliedros.
Em relação às dificuldades apresentadas pelos alunos, primeiramente,
foram marcadas em razão de não comprometerem-se com materiais de apoio à
construção de figuras geométricas, como régua, compasso, transferidor, por
exemplo.
No segundo momento, as três turmas, sentiram bastante dificuldade para
construir os polígonos regulares pentágono e hexágono. Consideramos que esses
alunos não tenham tido oportunidade anteriormente com essas construções.
Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores,
consideramos que não houve problemas, exceto a respeito da ansiedade do
fechamento da atividade devido ao tempo programada para a realização das
tarefas, pois, demandou um maior número de aulas para ser desenvolvidas.
Outro aspecto que chamou à atenção foi em relação aos textos: os alunos
não têm o hábito de leitura, especialmente, em assuntos matemáticos. Muito dos
alunos pontuavam que os textos eram longos.
165
No final, desta quarta atividade, os alunos tiveram como tarefa, pesquisar
sobre os poliedros regulares, seu papel na arte e nas explicações sobre o
Universo. As três turmas realizaram a pesquisa, sendo que os alunos de P1 e P3,
apenas entregaram a pesquisa aos professores, alguns alunos comentavam com
os professores a respeito de suas pesquisas e que tinham descobertos outras
informações do assunto, por meio da internet. Já a turma de alunos de P2, além
de apresentar a pesquisa na forma escrita, também o fez em forma de seminário
para os grupos de colegas apreciarem as pesquisas. Ainda em relação à turma do
professor P2, um dos grupos de alunos elaborou uma espécie de livreto a respeito
dos poliedros regulares conforme protocolo apresentado no desenvolvimento da
quarta atividade pelo P2.
Relatório referente à quinta atividade
* O trabalho do Professor P1
Esta atividade durou 2h aulas e ocorreu nos dias 26 e 27/05/2009. No
primeiro dia, P1 solicitou à coordenação, o equipamento necessário para utilizar o
data show em sala de aula. Assim, explanou as tarefas contidas na atividade,
para que os estudantes tivessem uma visão geral de como iria ocorrer as
atividades, inclusive, agendou a tarefa 5 (pesquisa sobre secções cônicas), para
que os estudantes se organizassem para completar os estudos da atividade em
questão.
Desta vez, não entregou a atividade aos alunos. Foi comentando uma a
uma por meio do telão; após distribuiu a atividade.
Em relação à tarefa 1, P1 esclareceu aos estudantes a importância do
conhecimento geométrico, na criação de algumas ferramentas que são utilizadas,
por exemplo, por mecânicos e ferreiros. Citou que esses profissionais produzem
ferramentas com precisão e de grande utilidade. Falou a função da “camisa de
pistão” utilizada nos carros, como exemplo do cotidiano, e muitas pessoas não
dão importância para esse conhecimento e suas funções nos objetos que
utilizamos. Comentou que existem peças que podem ser produzidas por um
166
processo chamado rotação e que cada forma depende do formato gerado pelo
movimento.
Durante o desenvolvimento da tarefa 1, alguns alunos não lembravam o
nome da figura que representava o trapézio, que gerava o tronco de cone, sendo
auxiliados pelos próprios colegas de classe.
Outro estudante chamou o professor para demonstrar o que tinha
aprendido em uma instituição de que participava em seu bairro, o aluno foi até a
lousa e representou um eixo vertical, em seguida, começou a esboçar algumas
“elipses” (sequencialmente – umas maiores e outras menores), na sequência,
interligava-as com segmentos de retas, ou mesmo, linhas curvas, sugerindo o
surgimento de algumas imagens de objetos, como garrafa pet, panela de pressão
e flauta, conforme imagens a seguir:
167
O estudante F comentou com P1: “Achei interessante conhecer esse
assunto e não tinha pensado que poderia ser na aula de Matemática”. Os demais
colegas gostaram da ideia de desenhar os objetos a partir de imagens que se
assemelhavam às elipses.
Embora os alunos não encontrassem dificuldades para realizar esta última
atividade, relataram não ter conhecimento sobre secções cônicas, que era um
assunto novo para eles, nem tinham pensado na possibilidade da criação de
outros objetos geométricos a partir de secções cônicas. Destacaram que a
pesquisa sobre o assunto foi interessante, pois “navegaram na internet” e
168
encontraram muitas informações a respeito de construções de pontes, antenas
parabólicas e outras descobertas sobre as funções e criações pelo homem por
meio desse conhecimento. Os estudantes afirmaram que não tinham visto a
Matemática desse modo.
* O trabalho do Professor P2
Esta atividade teve a duração de 2 h aulas e ocorreu nos dias 26 e
29/05/2009. P2 organizou a sala de aula, como de costume, comentou sobre os
objetivos da quinta atividade e agendou o próximo tema de pesquisa na lousa:
“Secções cônicas e suas influências na construção da sociedade. Os alunos
indagaram a respeito do assunto, afirmando não terem ouvido falar do assunto. A
professora respondeu que pesquisa era para isso mesmo, buscar informações
daquilo que conhecemos pouco ou nada sobre o assunto.
Um dos alunos disse o seguinte; professora, a senhora pede muita
pesquisa, não é aula de história ou geografia, é de Matemática! P2 respondeu
com humor, dizendo que a Matemática de hoje existe em razão das histórias e
construções do conhecimento que ficaram no passado. Logo, era importante
pesquisar sobre muitos assuntos.
Antes de distribuir a atividade aos estudantes, P2 comentou que a aula
seria dedicada a investigar alguns sólidos de revolução e explorar um pouco
sobre secções cônicas.
Estudante M: O que é isso?
P2: Vamos, imaginar uma pequena superficíe em forma de retângulo. Em
seguida, vamos pensar que ela está fixa em um eixo, semelhante a este (fez o
esboço na lousa).... De modo que ao girarmos obtenhamos um formato... um
objeto. Como vocês imaginam ser a geração desse objeto?
Estudante M: Não sei não, tem que pensar demais...
P2: Vamos lá. Imaginem que esse pequeno retângulo vai iniciar o giro nesse
ponto (apoiando-se no esboço que representou na lousa)... quando voltar a ele
completa o ciclo. Observem que o retângulo está representando uma região plana
169
(geometria plana) e todo esse movimento irá gerar um objeto em três dimensões
(geometria espacial). Que objeto vocês conhecem que se assemelha a essa
movimentação?
Alguns estudantes: “Acho que vai formar um cilindro, parecido com aquele da
atividade anterior que a senhora pediu pra gente planificar”.
P2: “Isso mesmo! Observem que também podemos obter alguns objetos por meio
da rotação completa a partir de uma superfície”.
Após essa conversa com a classe, P2 distribuiu a atividade para que os
estudantes pudessem desenvolvê-la.
Em relação à tarefa 1 desta atividade, a dificuldade encontrada foi em
razão de lembrar o nome da superfície que, ao rotacionar, gerava o tronco de
cone. Neste caso, dos 25 estudantes presentes, apenas quatro citaram o trapézio.
As demais tarefas, embora tenham relatado não conhecer e estranhar os nomes
como hipérbole e elipse, não tiveram dificuldades para prosseguir. Para concluir,
os estudantes apresentaram a pesquisa solicitada na tarefa 5 em grupo de cinco
alunos, trazendo as informações coletadas à sala, por escrito, incluindo imagens
e, oralmente, aos colegas. Este foi um momento enriquecedor, pois os grupos
trocavam informações das fontes de pesquisa.
* O trabalho do Professor P3
Para o desenvolvimento desta atividade, a professora, organizou duplas de
alunos. Em seguida, distribuiu a atividade e solicitou que eles fossem
desenvolvendo.
À medida que os alunos, liam, solicitavam a ajuda da professora. Suas
dúvidas estavam relacionadas sobre questões de rotação de figuras. A professora
dirigiu-se à lousa e explanou o assunto. Ao término de sua explicação, solicitou
que os alunos apresentassem uma pesquisa sobre o assunto para a próxima
aula.
170
Ao pesquisarem sobre o assunto, os alunos, disseram que nunca tinham
ouvido falar em secções cônicas e descobriram sites interessantes sobre o
assunto.
Esta atividade teve a duração de 3 h aulas e ocorreu nos dias 27/08 e
03/09/2009.
Análise do desenvolvimento da quinta atividade
O desenvolvimento da quinta atividade ocorreu por meio de leitura e
discussão dos alunos e professores, especialmente, em relação à turma de P1. A
maior dificuldade das três turmas esteve relacionada com assuntos sobre rotação
de figuras e propriamente a respeito de secções cônicas. Considerando que as
três turmas tenham relatado aos professores que não conheciam esse assunto.
Nesta atividade, destacamos a informação do estudante F, referente à
turma do 2º B – período vespertino, dialogando com seu professor (P1) ao
esboçar desenhos de alguns objetos a partir de representações de “elipses” e sua
surpresa com o assunto em sala de aula.
Em relação aos conhecimentos dos professores colaboradores, estes,
também relataram que foi a primeira vez que desenvolviam atividades
relacionadas às secções cônicas em sala de aula para alunos do 2º colegial. Os
professores consideraram importante para despertar o conhecimento dos alunos,
especialmente, quando forem abordar assuntos sobre geometria analítica no 3º
ano do colegial.
