Ano Lectivo 2013 /2014

MATEMÁTICA A 11º Ano

Matemática A – 11º 1 de 4

Tema 2 : Introdução ao cálculo diferencial (I) Unidade 1 : Funções racionais

Estudo intuitivo de funções de expressão ( ) , 0a

f x ax

= ≠

OBJETIVOS

• Caracterizar analiticamente a função real de variável real definida por ( ) , 0a

f x ax

= ≠ :

• Domínio • Contradomínio • Zeros e sinal • Extremos e monotonia • Injetividade • Continuidade • Paridade

• Reconhecer características do gráfico da função ( ) , 0a

f x ax

= ≠

• Simetrias

• Assintotas (vertical e horizontal)

____________________________

Matemática A – 11º 2 de 4

Características analíticas e gráficas das funções racionais definidas por expressões do

tipo , 0a

ax

≠

0a > 0a <

Características analíticas

Domínio de definição: { }\ 0ℝ Domínio de definição: { }\ 0ℝ

Contradomínio: { }\ 0ℝ Contradomínio: { }\ 0ℝ

Não tem zeros.

] [,0 ( ) 0x f x∈ −∞ ⇔ <

] [0, ( ) 0x f x∈ +∞ ⇔ >

Não tem zeros

] [,0 ( ) 0x f x∈ −∞ ⇔ >

] [0, ( ) 0x f x∈ +∞ ⇔ <

Não tem extremos

É estritamente decrescente em ] [,0−∞ e

estritamente decrescente em ] [0,+∞

Não é uma função decrescente

Não tem extremos

É estritamente crescente em ] [,0−∞ e estritamente

crescente em ] [0,+∞

Não é uma função crescente

É contínua É contínua

É injetiva É injetiva

É ímpar: ( ) ( ) , 0f x f x x− = ≠ É ímpar: ( ) ( ) , 0f x f x x− = ≠

Características gráficas

O gráfico é uma hipérbole equilátera O gráfico é uma hipérbole equilátera

O gráfico é simétrico em relação à origem

(centro da hipérbole)

O gráfico é simétrico em relação à origem

(centro da hipérbole)

O gráfico não interseta os eixos coordenados O gráfico não interseta os eixos coordenados

O gráfico é simétrico em relação às retas

bissetrizes dos quadrantes pares e dos

O gráfico é simétrico em relação às retas bissetrizes

dos quadrantes pares e dos quadrantes ímpares:

Matemática A – 11º 3 de 4

quadrantes ímpares: y x= − e y x= y x= − e y x=

A reta de equação 0x = (eixo Oy ) é uma

assintota vertical do gráfico

A reta de equação 0y = (eixo Ox ) é uma

assintota horizontal do gráfico

A reta de equação 0x = (eixo Oy ) é uma assintota

vertical do gráfico

A reta de equação 0y = (eixo Ox ) é uma assintota

horizontal do gráfico

O centro da hipérbole (ponto de intersecção das assíntotas) é o ponto de coordenadas (0,0)

Os vértices da hipérbole (pontos de intersecção

da hipérbole com o eixo de simetria y x= ) são

os pontos de coordenadas

( ) ( ), , ,a a a a− −

Os vértices da hipérbole (pontos de intersecção da

hipérbole com o eixo de simetria y x= − ) são os

pontos de coordenadas

( ) ( ), , ,a a a a− − − − − −

O parâmetro a determina:

• O tipo de monotonia da função em cada intervalo ] [,0−∞ , ] [0,+∞

• A curvatura da hipérbole e o afastamento dos 2 ramos

Matemática A – 11º 4 de 4

TPC

1. Seja [ ]AB um diâmetro da circunferência de centro O e R um ponto

fixo, exterior à circunferência.

1.1 Exprime 'RA����

em função de RB����

e de 'BA����

e mostra que:

'RA RA RA RB⋅ = ⋅���� ���� ���� ����

1.2 Identifica o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vetorial

. 0PB AB =���� ����

.

2. A figura 2 representa uma semicircunferência de centro O . A corda [ ]AC mede 2 unidades e faz um

ângulo de amplitude θ com o diâmetro [ ]AB .

Exprime em função de θ :

2.1 ,DC AB e OC .

2.2 a área da parte não colorida.

Figura 2

Figura 1