ESTUDO DE MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS

LINEARES COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

Por um ponto situado fora de uma reta se pode traçar uma e somente uma reta paralela a reta

dada.

Ricardo Augusto de Oliveira.

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RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA

ESTUDO DE MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS

LINEARES COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

1° edição

Barra do Bugres

Edição do autor

2012

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RICARDO AUGUSTO DE OLIVEIRA

ESTUDO DE MATRIZES DETERMINANTES E SISTEMAS

LINEARES COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA

OLIVEIRA, R A d. Estudo de matrizes determinantes e sistemas lineares com o uso do software geogebra, 2012, Barra do

Bugres –MT editora Perse, edição do autor.

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1°. Edição Editor: Ricardo Augusto de Oliveira Revisão: Ricardo Augusto de Oliveira Diagramação: Ricardo Augusto de Oliveira Capa: Ricardo Augusto de Oliveira Impressão: Gráfica Perse Imagem da capa: Ricardo Augusto de Oliveira Imagens: Ricardo Augusto de Oliveira

Dados internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP ) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Oliveira, Ricardo Augusto de Estudo de Estudo de matrizes determinantes e sistemas lineares com o uso do sotware geogebra / Ricardo Augusto de Oliveira, 1° ed -- Barra do Bugres: Editora Perse, Edição do autor, 2012-09-04 Obra em 1 v. V. 1 1° ed. Bibliografia.

1. Matemática 2. Matemática – Educação 2. 1. Titulo

ISBN N° 978-85-8196-091-3 CDD 510

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DEDICATORIA

Em primeiro lugar a Deus.

O ser superior, que nos proporcionou anos de saúde e paz interior para superar as dificuldades

encontradas no decorrer do curso.

Agradecemos ainda a nossas famílias, que nos momentos difíceis nos apoiaram e nos tranquilizaram na

harmonia de nossos lares.

Ao Professor Ms° Doutorando William Vieira que muito influenciou como orientador parceiro de todas

as horas.

Aos colegas de pesquisa Tatiane Andrade e Ana Márcia, que estiveram unidos durante todo este trabalho

de estudos na UNEMAT dando idéias e informações preciosas que me valeram na construção desta

coleção.

A minha maravilhosa esposa (Rosilene Maria da Silva Oliveira) que muito me auxiliou, deu força e se

esforçou para que eu não desistisse deste projeto que nada mais é do que uma realização pessoal.

Enfim a todas as pessoas, que de maneira direta ou indiretamente, contribuíram para a conclusão do curso

de Licenciatura Plena em Matemática dos autores, antes um sonho e agora com a conclusão desse

trabalho se torna uma realidade em nossas vidas.

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INTRODUÇÃO

Este livro diz a uma coleção que ainda não está totalizada e que trata de trigonometria, geometria plana,

analítica, vetorial, calculo álgebra, e outros temas do curso de matemática, diz respeita ainda ao objetivo

do autor em publicar materiais que ajude professores e alunos a perceber de maneira mais simples

possível que o uso de softwares como o geogebra muito podem ajudar no ensino e no estudo da

matemática, de aplicar suas experiência apreendidas durante o projeto de iniciação científica vivenciada

na UNEMAT de Barra do Bugres, onde se discutia o uso do software GEOGEBRA e do Ambiente

TELEDUC para a formação continuada de professores.

Neste contexto surge em meio das discussões referentes à qualidade do material, a possibilidade de se

aplicar cursos de geometria plana, analítica, vetorial e de trigonometria com o uso do software

GEOGEBBRA por meio da plataforma de ensino TELEDUC, tanto a professores de matemática

(enfatizando o uso deste recurso que é o software) quanto para alunos de ensino fundamental e médio

(enfatizando a construção de conceitos geométricos), em fim.

Este livro propõe em linguajar misto (matemático cientifico e popular) por meio da transposição didática,

alcançar tanto a professores quanto a alunos para os objetivos acima especificados, dando maior ênfase ao

segundo, de modo que não fique simples de mais para professores ou complicado de mais para alunos

sem muita experiência.

Esta coleção ainda, da mais ênfase as demonstrações dos conceitos geométricos e na forma de como as

construir com os recursos do GEOGEBRA, e por isso se justifica a quantidade de passo a passo

exemplificados neste material.

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No entanto é importantíssimo que o leitor antes de se aventurar neste fascículo, passear nos manuais do

software geogebra, fazer pequenas atividades de reconhecimento do software, e estar em acesso a bons

materiais (impressos ou virtuais) de trigonometria para que possa acompanhar cada detalhe deste material

que não é nem fácil de mais e nem mesmo muito complicado, servindo assim para o estudo de alunos e

professores sem grande distanciamento de público.

Esperamos que o mesmo fosse de muita utilidade tanto para os que gostam da disciplina e buscam formas

de estudá-las ou transpor seus conceitos fundamentais, quanto para iniciantes em cursos de matemática,

seja no ensino fundamental, médio graduação ou continuada.

Estaremos sempre dispostos a receber correções criticas e opiniões de nossos leitores.

Que Deus lhe abençoe com esta leitura.

algustoricardo@hotmail.com

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Conteúdo INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 7

DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES ...................................................................................... 10

Exercícios ................................................................................................................................. 25

Exercícios ................................................................................................................................. 34

Transformações lineares ............................................................................................................. 35

Exercícios ................................................................................................................................. 68

Propriedades de matrizes ............................................................................................................ 69

Soma de matrizes .................................................................................................................... 69

Multiplicação por escalar......................................................................................................... 75

Multiplicação de matrizes........................................................................................................ 75

Determinantes ............................................................................................................................. 84

Introdução ................................................................................................................................... 84

Teoremas ..................................................................................................................................... 88

Propriedades dos determinantes ................................................................................................ 99

Sistemas lineares ....................................................................................................................... 106

Representação geométrica do sistema linear ........................................................................... 110

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DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES Bloco retangular de termos que geram expressões, equações mão não um número, de modo que possamos

montar sistemas de determinantes a fim de encontrar a sua razão ou solução.

O teorema ou o uso das matrizes tiveram seu desenvolvimento com vários matemáticos, mas em especial

podemos mencionar Cayley que com outros matemáticos do século XVIII e XIX transportaram a representação

geométrica da matriz (por meio da teoria das formas quadráticas) que é a área de um paralelogramo se tratando

de um espaço bidimensional ou o volume de um paralelepípedo se tratando de um espaço tridimensional, para a

notação matricial que é o que pretendemos fazer neste livro, através da notação matricial perceber o que estes

matemáticos já sabiam e que pouco pude perceber.

O estudo das matrizes exige que tomemos elementos básicos a seu estudo, tais como: N=[1,2,3,4...) o conjunto

dos números naturais, o produto cartesiano de naturais e naturais escrito como NXN={(a,b): a e b são números

naturais} e Smn={(i,j): 1,=i,=m, 1,=j,=n} ou seja, para cada elemento aij tense que i varia de 1 á m e j varia de 1 a n

sendo m e n respectivamente o número de linhas e colunas da matriz A.

Observação:

M e n são a ordem da matriz A, m linhas e n colunas;

Cada elemento de uma matriz será representado por aij ou bij ou cij conforme a matriz e sua posição na matriz, ou

seja, um elemento estará na 2° linha e 3° coluna quanto estiver representado por c23;

A notação de uma matriz será dada por A=(aij) para todo elemento da matriz A localizada na ordem m linhas e n

colunas.

Assim sua representação matricial será:

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A= a11 a12 a13 ... a1n b21 b22 b23 ... b1n

. . . .

. . . .

. . . .

cm1 cm2 cm3 ... cmn mxn

Beleza, como este curso não é uma introdução ao curso de matrizes, então vamos encurtar um pouco para

entrarmos no que realmente nos interessa a representação e o estudo das matrizes no software.

Abra o software geogebra na pagina em branco vamos deixar o eixo e a janela de álgebra aparecendo.

Para que possamos inserir uma matriz dois por dois (2x2) precisamos digitar na janela de entrada a matriz

conforme exemplo abaixo:

Seja a matriz M= 3 5 7 5 a matriz quadrada de ordem 2x2 Digite na janela de entrada M={{3,5},{7,5}} Sendo {3,5} a primeira linha e {7,5} a segunda.

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Note que a matriz só apareceu na janela de álgebra, não se assuste, logo faremos a mesma aparecer.

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Digite agora a matriz M1 como sendo a matriz inversa da matriz M. M1=matrizinversa[M]

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Lembrando agora de matriz identidade, onde a identidade é sempre o produto de M por M1, ou seja, multiplicação da matriz M pela sua matriz Inversa. Faça da seguinte forma, M2=M*M1

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Chame agora de M3 a matriz nula de ordem 2x2, M3={{0,0},{0,0}}