Estudo Dirigido Resolvido

IFBa – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia

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Estudo Dirigido Elipse

1. Definição

Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertences a um plano . Elipse é o lugar geométrico de um ponto P, pertencente ao mesmo plano, que se move de maneira que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre igual a uma constante.

d(P, F1) + d(P, F2) = k i

2. Principais Elementos da Elipse

Focos pontos F1 e F2

Centro ponto médio C do segmento

Vértices pontos A1, A2, B1, B2, de intersecção da elipse com os eixos

Eixo maior segmento , este segmento contém os focos

Eixo menor segmento , e perpendicular ao eixo maior no ponto C

Se , Do triângulo , teremos uma relação notável:

Medida da distância focal, Medida do eixo menor, Medida do eixo maior, ? (usaremos a definição da elipse para deduzi-la)

P

F1 F2

α

C F1 F2

A2 A1

B2

B1

a b

c


2

Observe que , então pela definição temos:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a i E se ,

d(A1, F1) = x e d(A1, F2) = x + 2c Então,

Desta maneira, deduzimos que a medida do eixo maior,

Uma importante característica da elipse é sua excentricidade, que é definida pela relação

e usualmente é representada pela letra e. Logo, temos:

Curiosidade: 1ª Lei de Kepler “Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol

ocupa um dos focos”. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que

suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Jupiter 0,05, a de Marte 0,09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O “campeão” de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com excentricidade 0,967 (quase 1) e leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do Sol.

Cometa Halley

Júpiter Sol


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3. Equações Reduzidas

Com a finalidade de obtermos uma equação da elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples.

Seja a elipse de centro C . Consideramos dois casos: 1º) O eixo maior está sobre Ox

Seja P um ponto qualquer da

elipse de focos F1 e F2 .

Pela definição, tem-se

ou

ou, em coordenadas

Como pela relação notável, tem-se , resulta

Dividindo ambos os termos da equação por , vem

que é a equação reduzida da elipse para este caso.

y

x

P(x, y)

F2(c, 0) F1(-c, 0)

A1 A2

B1

B2

C(0, 0)


4

2º) O eixo maior está sobre Oy Com procedimento análogo ao 1º caso, com os

focos F1 e F2 , obteremos a equação

que é a equação reduzida da elipse para este caso.

Observação Como em toda elipse tem-se , para saber se a elipse tem o seu eixo maior sobre

ou sobre , basta observar onde está o maior denominador na sua equação reduzida. Se esse for denominador de , o eixo maior está sobre . Caso contrário, estará sobre .

Por exemplo, na equação reduzida

o maior denominador é 9. Como ele é denominador de , o eixo maior da elipse está sobre . No caso temos

e, portanto, as intersecções com os eixos são os quatro pontos e .

Observemos, por outro lado, que se na equação anterior

fizermos , vem e para , vem , o que confirma as intersecções com os eixos em e .

P(x, y)

(0, c)

(0, -c)

F1

F2

y

x

y

x

3

-3

-2 2

A2

B2 B1

C(0, 0)

A1


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Exemplos

Nos problemas 1 e 2, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos eixos; b) os focos; c) um esboço do gráfico; d) a excentricidade.

1)

a) Para expressar a equação para a forma reduzida, dividimos todos os termos da equação por 16

Maior denominador: 16. Logo, e o eixo maior da elipse está sobre o eixo Então, e e

b)

Logo, os focos são F1 e F2

c) Gráfico:

d)

2)

a) A forma reduzida desta equação é

Neste caso . Logo, não há eixo maior ou menor

4

-4

-2 2

F1(0, -√12)

F2(0, √12)


6

Então,

e e

b)

Logo, os dois focos coincidem com o centro c) Gráfico:

d)

A circunferência pode ser considera uma elipse de excentricidade nula.

3) Uma elipse de centro na origem tem a medida do eixo menor igual a 6, focos no eixo e

passando pelo ponto . Determinar sua equação. Como os focos estão no eixo , a equação da elipse é do tipo

E como o eixo menor mede 6, isto é

E o ponto P pertence a elipse, as suas coordenadas devem verificar a equação

Logo, a equação procurada é

3

3 -3

-3


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4. Outras Formas da Equação da Elipse Seja uma elipse de centro . Consideraremos somente os casos de os eixos

da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. 1º) O eixo maior é paralelo a Ox Utilizando uma conveniente

translação de eixos, obtemos um novo sistema em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo . Logo, sua equação reduzida é

Para expressá-la em relação ao

sistema , utilizamos as fórmulas de translação de eixos

e

que substituídas na equação anterior, resulta

que é a forma padrão para este caso.

2º) O eixo maior é paralelo a Oy De modo análogo ao 1º caso, temos

Assim por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto , eixo maior medindo 10

( , e eixo menor medindo 8 ( , apresenta a equação:

se A1A2 //

ou

se A1A2 //

Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.

y’

y

P

F2 F1 y

k

h

x

O’ = C

x’

y’ A1 A2 x’

x O


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Exemplos

1) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo , tem centro C , excentricidade

e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse.

Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo , sua equação é da forma

com e Precisamos determinar e . Mas

e

Sendo

, vem

De , resulta

Donde . Logo a equação da elipse é

Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os

termos, obteremos outra forma da equação da elipse:

que é uma equação geral desta elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a

eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma

com e de mesmo sinal. Em particular, quando esta equação poderá representar uma circunferência.


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2) Dada a elipse de equação , determinar: a) sua equação na forma padrão b) o centro c) a medida dos eixos

d) os focos e) um esboço do gráfico f) a excentricidade

Solução

a) Iniciemos escrevendo a equação na forma padrão

b) Como e são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:

C c) Como sabemos o valor de e , da equação obtida acima, temos:

e e

d) Para determinar os focos precisamos do valor de .

De

Logo, os focos são F1 e F2

e) Gráfico:

f)

(1, 4)

(1, 2)

(1, 0)

(-2, 2) (4, 2)

(1-√5, 2) (1+√5, 2)


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5. Equações Paramétricas Consideremos a elipse de equação

Tracemos a circunferência de centro O e raio

igual ao semi-eixo maior da elipse (Figura 12). Seja P um ponto qualquer desta elipse.

A reta que passa por P e é paralela ao eixo , intercepta a circunferência em A e o eixo em A’, e o raio AO determina com o eixo um ângulo .

Do triângulo vem

Como é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada do mesmo ponto é calculada

substituindo o valor de na equação da elipse:

e

Observamos que para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse, e

quando varia de a , o ponto P parte de e “descreve” a elipse na sentido anti-horário. Então, é o parâmetro e o sistema

constitui as equações paramétricas dessa elipse.

Figura 1

O

P

A

A’ a

b

y

x θ


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No caso da elipse ser

com eixo maior sobre , suas equações paramétricas são

Quando o centro da elipse for C , pela translação de eixos obtemos

ou

eixo maior paralelo a

e

ou

eixo maior paralelo a

Exemplo Obter as equações paramétricas da elipse de equação

Solução

Como e são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:

C

Como sabemos o valor de e , da equação obtida acima, temos:

(eixo maior sobre

Logo, as equações paramétricas procuradas são


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6. Exercícios Propostos

1) Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.

a) Vértices A e excentricidade

b) Vértices A e passando por P

2) Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas.

a) Focos F1 e F2 , e excentricidade

b) Centro C , um foco F e tangente ao eixo

3) Obter as equações paramétricas da elipse de equação

4) Obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas

5) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade

viaja ao redor de um planeta situado em um

dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 , calcular a maior distância.

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