ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES ...repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/9526/1/PB_COELT_2017_2_15.pdf · controlador LQG/LTR aplicado a inversores monofasicos

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELÉTRICA

CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

LETÍCIA DE ABREU ARAÚJO

ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A

INVERSORES MONOFÁSICOS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

PATO BRANCO

2017

LETÍCIA DE ABREU ARAÚJO

ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A

INVERSORES MONOFÁSICOS

Trabalho de Conclusão de Curso degraduação, apresentado à disciplina deTrabalho de Conclusão de Curso 2,do Curso de Engenharia Elétrica daCoordenação de Engenharia Elétrica - CO-ELT - da Universidade Tecnológica Federaldo Paraná - UTFPR, Câmpus Pato Branco,como requisito parcial para obtenção dotı́tulo de Engenheira Eletricista.

Orientador: Prof. Dr. Rafael Cardoso

PATO BRANCO

2017

TERMO DE APROVAÇÃO

O Trabalho de Conclusão de Curso intitulado ESTUDO DO CONTROLA-

DOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES MONOFÁSICOS do acadêmico Letı́cia

de Abreu Araújo foi considerado APROVADO de acordo com a ata da banca exami-

nadora N◦ 165 de 2017.

Fizeram parte da banca examinadora os professores:

Prof. Dr. Rafael Cardoso

Prof. Dr. Emerson Giovani Carati

Prof. Dr. Jean Patric da Costa

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, minha famı́lia pelo apoio em todos os mo-

mentos e por acreditar em meus sonhos, aos meus amigos que sem eles esse tra-

balho e o caminho percorrido na graduação teria sido muito mais difı́cil, e ao meu

namorado, pelo incentivo, paciência e companheirismo durante a graduação e no de-

senvolvimento deste trabalho.

Também devo agradecer ao professor Rafael Cardoso pela oportunidade de

orientação e desenvolvimento deste trabalho, sempre me incentivando e mostrando

que podemos melhorar.

Finalmente, agradeço à UTFPR, universidade que abriu as portas para uma

nova etapa em minha vida, tornando possı́vel a minha graduação como Engenheira

Eletricista.

RESUMO

ARAÚJO, Leticia de Abreu. Estudo do controlador LQG/LTR aplicado a In-versores Monofásicos. 2017. 51p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação emEngenharia Elétrica) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 2017.

A geração distribuı́da possibilita o consumidor brasileiro gerar sua própriaenergia elétrica e injetar o excedente na rede, esses sistemas em sua totalidade utili-zam inversores para a conexão com à rede de energia elétrica. Para que a conexãocom a rede de energia elétrica ocorra na forma correta é necessário um sistema decontrole que atue sobre o inversor do sistema. Este trabalho apresenta a utilização docontrolador LQG/LTR aplicado a inversores monofásicos conectados a rede de ener-gia elétrica. Para a realização do estudo do controlador LQG/LTR são consideradasvariações na impedância da rede e um ruı́do de medida. Para verificar os resultadosutilizou-se o controlador ressonante para propósito de comparação, pois o mesmo jávem sendo estudado para sistemas conectados a rede. Através deste estudo, pode-seconcluir a eficácia do controlador LQG/LTR diante das incertezas e distúrbios no pontode conexão do inversor monofásico com a rede de energia elétrica.

Palavras-chave: Inversores conectados à rede, controle, controlador PR, controladorLQG/LTR.

ABSTRACT

ARAÚJO, Leticia de Abreu. LQG / LTR Controller Study Applied to Single-Phase Inverters. 2017. 51p. Undergraduate Thesis (Bachelor’s degree in ElectricalEngineering) - Federal University of Technology - Paraná. Pato Branco, 2017.

Distributed generation allows the Brazilian consumer to generate its ownelectricity and inject surplus into the grid, these systems in their entirety use invertersto connect to the grid. In order for the connection to the electricity grid to take placein the correct way, a control system is required that acts on the system inverter. Thiswork presents the use of the LQG / LTR controller applied to single phase invertersconnected to the electric power grid. In order to perform the LQG / LTR controller study,variations in the network impedance and a disturbance signal at the point of connectionto the network are considered. To verify the results, the resonant controller was usedfor comparison purposes, since it has already been studied for systems connected tothe network. Through this study, one can conclude the efficiency of the LQG / LTRcontroller in the face of uncertainties and disturbances at the point of connection of thesingle-phase inverter with the electric power grid.

Keywords: Single-Phase Grid-Connected Inverters, control, PR controller, LQG/LTRcontroller.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Sistema de Geração de Energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 2: Inversor monofásico de topologia ponte completa conectado à

rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 3: S1 e S2 operando de forma complementar. . . . . . . . . . . . . 15

Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e Não Ideal. 17

Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado. . . . . . . . 18

Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho. . . . . . . . . . . 19

Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante

e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante

e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 9: Sistema considerando a impedância da rede. . . . . . . . . . . 23

Figura 10: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema. . . . . . 24

Figura 11: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema. . . . . . 25

Figura 12: Corrente de referência e corrente de saı́da do inversor monofásico

controlada pelo controlador ressonante. . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 14: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico

no Caso 2 14(a) e no Caso 3 14(b). . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b). . . . 29

Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante

e da planta G(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 17: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico

no Caso 2 17(a) e no Caso 3 17(b). . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 18: Erro de rastreamento no Caso 2 18(a) e no Caso 3 18(b). . . . 32

Figura 19: Diagrama de blocos de Gn(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG. . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo método LQG/LTR. 39

Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controlado pelo

método LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 23: Corrente de referência e a corrente de saı́da do inversor mo-

nofásico no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 24: Erro de rastreamento no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . . . . . 42

Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuação do controlador

ressonante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuação do controlador

LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Máxima Distorção Harmônica de corrente em Percentuais de Cor-

rente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tabela 2: Dados do sistema ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tabela 3: Dados do sistema considerando a impedância da rede. . . . . . 23

Tabela 4: Margem de ganho e de fase para os casos 1, 2 e 3. . . . . . . . 24

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 OBJETIVO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 INVERSOR MONOFÁSICO PONTE COMPLETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 SÍNTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 SISTEMA SEM IMPEDÂNCIA DA REDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 ANÁLISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IM-

PEDÂNCIA DA REDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 RESULTADOS DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . . . . . 26

4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL . . . . . . . . 26

4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPEDÂNCIA DE REDE

NÃO NULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 SÍNTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 MODELAGEM DO SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.5 RESULTADO DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . . . . . . . . . . . . 39

6 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ANEXO A - CÓDIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ANEXO B - SIMULAÇÃO UTILIZADA PARA OBTENÇÃO DOS RESULTADOS . 50

10

1 INTRODUÇÃO

A geração de energia elétrica vem sendo repensada no mundo. Uma pes-

quisa realizada pela Agência Internacional de Energia mostra um aumento na utilização

de fontes renováveis para a geração de energia elétrica, em relação a outras fontes

primárias de energia. Em números, a pesquisa diz que desde 1990, a geração de

energia por fontes renováveis no mundo cresce na média de 3,6% no ano, o que é

ligeiramente mais rápido que a taxa de crescimento de todas as fontes primárias de

energia no mundo que cresce no mesmo perı́odo um percentual de 2,9% (AGENCY,

2016).

No Brasil, de acordo com a Administração de Informação de Energia, a

geração de energia através de fontes renováveis também tem perspectiva de aumento

(AGENCY, 2016). Inclusive a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) tem incen-

tivado a adoção de medidas que buscam soluções alternativas as matrizes já existen-

tes, como a geração distribuı́da, no qual o consumidor pode gerar sua própria energia

elétrica a partir de fontes renováveis ou a cogeração qualificada e fornecer o exce-

dente de energia gerada para a rede de distribuição de sua localidade (ANEEL, 2015).

Assim, a geração distribuı́da permite o consumidor conectar o seu sistema

de geração de energia na rede de distribuição elétrica. Para a conexão desses siste-

mas, tais como o sistema fotovoltaico, são utilizados inversores. Na qual, a função do

inversor é realizar a conversão de tensão CC em CA pois, usualmente, há um estágio

CC para o armazenamento de energia (KANIESKI, 2010).

Os inversores geralmente podem ser classificados segundo ao número de

fases como inversores monofásicos e inversores trifásicos. O inversor escolhido para

estudo é o monofásico, pois é o mais utilizado em aplicações de baixa potência, que

é a que ocorre, por exemplo em sistemas fotovoltaicos residenciais. Esses inverso-

res em geral usam sinais de controle PWM para produzir uma corrente CA de saı́da

(RASHID, 1999), neste trabalho utiliza-se o controle PWM.

Com isso, a Figura 1 descreve o sistema considerado neste trabalho. O

bloco Geração de Energia representa os painéis fotovoltaicos e o conversor CC/CC

utilizado para garantir o máximo aproveitamento de potência do conjunto de painéis.

Como este trabalho tem seu escopo no controle do inversor, este bloco não é deta-

1 Introdução 11

lhado. O bloco Sistema de Controle é o responsável pela correta operação do inversor

e será detalhado ao longo do trabalho. Da mesma forma, a topologia do inversor

utilizada é um inversor monofásico de ponte completa.

Conversor CC/CC

InversorCC/CA

Sistema de Controle

PWM

Rede Elétrica

VREDE

IREDE

Geração deEnergia

Figura 1: Sistema de Geração de Energia.Fonte: Autoria própria

Uma das maiores dificuldades encontrada pelo controle de sistemas dis-

tribuı́dos é no ponto de conexão do inversor com a rede de energia elétrica, devido

as incertezas ocasionadas pelos tipos de cargas conectadas e a impedância da rede

vista no ponto de conexão. Estes distúrbios permitem a presença de harmônicas no

ponto de conexão do inversor com a rede (CHEN et al., 2017).

Assim, o objetivo deste trabalho é o estudo de um método de Controle Ro-

busto que garanta a estabilidade e o desempenho do sistema, mesmo em condições

onde perturbações e incertezas estejam presentes (LUQUE, 2007).

O controlador LQG/LTR, é caracterizado como um controlador robusto mul-

tivariável e os objetivos que este controlador busca atender são: o acompanhamento

de sinais de referência, a rejeição de perturbações externas, a insensibilidade a variações

na planta e a rejeição do erro de medida (CRUZ, 1996).

O método de controle LQG/LTR utiliza dois procedimentos que são: a obtenção

do controlador linear quadrático ótimo e a recuperação das propriedades desejadas

de robustez a ele associada. Para o projeto é preciso especificar o par de matrizes

do observador de estados e assim, definir os parâmetros de controle para garantir a

estabilidade do sistema.

Com isso, este trabalho propõe um estudo do uso do controlador LQG/LTR

1.1 Objetivo Geral 12

aplicado a inversores monofásicos e uma comparação com o uso do controlador res-

sonante aplicado ao mesmo sistema. A comparação com o controlador ressonante

se deve ao fato do mesmo ter recebido grande destaque nas aplicações conectadas

à rede de energia elétrica devido a sua capacidade de eliminar o erro de sinais com

referências senoidais e ser de simples implementação.

Sendo assim, ao final deste trabalho será possı́vel determinar o impacto

da incerteza paramétrica no controlador LQG/LTR aplicado a um inversor monofásico

conectado a rede de energia elétrica.

1.1 OBJETIVO GERAL

O principal objetivo deste trabalho é investigar o uso de um sistema de con-

trole, baseado no controlador LQG/LTR, visando o controle de inversores monofásicos

conectados na rede elétrica de energia.

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Projetar e simular um sistema de controle baseado no controlador ressonantepara um inversor conectado a rede de distribuição monofásica ideal para propósitos

de comparação.

• Considerar uma rede não ideal com o acoplamento de um filtro L e analisar seuefeito no desempenho do controlador e na estabilidade do sistema.

• Projetar um controlador LQG/LTR e analisar seu desempenho para sistema co-nectado a rede não ideal.

• Realizar simulações computacionais para comparar o desempenho do controla-dor LQG/LTR com o controlador ressonante para rede não ideais.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Esta monografia está dividida em seis Capı́tulos. Sendo o primeiro a introdução,

os outros estão descritos na sequência.

• O Capı́tulo 2 contém a revisão teórica do trabalho. Nele são apresentados osprincipais conceitos relativos ao inversor e ao sistema de controle. Ainda nesse

Capı́tulo, também são abordados os fundamentos do controlador Ressonante e

do controlador LQG/LTR.

1.3 Organização do trabalho 13

• O Capı́tulo 3 é reservado para a modelagem do sistema, descrição e projeto doControlador Ressonante. Nele é modelado uma planta ideal com um filtro L, ou

seja, não é considerada a impedância da rede.

• O Capı́tulo 4 apresenta os resultados da atuação do controlador Ressonante nosistema modelado no Capı́tulo 3. Os resultados obtidos são analisados e discu-

tidos.

• O Capı́tulo 5 é apresentado o método LQG/LTR. Inicialmente é feita a mode-lagem do sistema, para a aplicação do método LQG/LTR. Posteriormente, o

controlador LQG/LTR é projetado e, finalmente, são apresentados os resulta-

dos obtidos com a atuação do controlador LQG/LTR avaliando sua eficiência em

comparação ao controlador Ressonante.

• No Capı́tulo 6 é realizada a comparação da atuação do controlador LQG/LTRcom o controlador ressonante, avaliando-se sua eficiência.

• O Capı́tulo 7 finaliza o trabalho estabelecendo as principais conclusões e pro-pondo sugestões para trabalhos futuros.

14

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 INTRODUÇÃO

Este capı́tulo apresenta os principais tópicos relevantes no contexto deste

trabalho. É realizada uma breve revisão sobre o inversor monofásico ponte completa,

bem como é apresentado o controlador ressonante. Os conceitos básicos do controle

LQG/LTR são também introduzidos. Ao final deste capı́tulo será possı́vel entender a

base de funcionamento dos controladores propostos e as metodologias utilizadas para

o projeto de cada um deles.

2.2 INVERSOR MONOFÁSICO PONTE COMPLETA

O inversor tem um importante papel na geração distribuı́da, pois é ele quem

possibilita um sistema de geração de energia, como por exemplo os sistemas fotovol-

taicos, eólicos, baseados em células de combustı́vel e micro turbinas operarem co-

nectados com a rede de energia elétrica.

Devido o aumento da tecnologia na área de eletrônica de potência, no mer-

cado é encontrada uma grande variedade de topologias de inversores. A topologia de

ponte completa, apresentada na Figura 2, é usualmente utilizada em sistemas fotovol-

taicos. Comparada ao inversor meia ponte, o inversor de ponte completa consegue

processar maior quantidade de energia com o mesmo valor de barramento CC.

UPWM

Figura 2: Inversor monofásico de topologia ponte completa conec-tado à rede.Fonte: Autoria própria.

O inversor de ponte completa monofásico possui dois braços compostos

por um par de chaves semicondutoras, de modo que as chaves S1 e S4, assim como

2.2 Inversor Monofásico Ponte Completa 15

as chaves S3 e S2 operam de forma complementar, como apresentado na Figura 3.

UPWM

Figura 3: S1 e S2 operando de forma complementar.Fonte: Autoria própria.

Se a tensão CC de entrada do inversor for constante, uma tensão variável

de saı́da pode ser obtida pela variação do ganho do inversor, a qual é normalmente

realizada pelo controle de PWM (RASHID, 1999). A forma de corrente de saı́da deste in-

versor deve ser senoidal, mas na prática não é senoidal pelo fato de conter harmônicos

oriundos da modulação PWM. Em sistemas que utilizam-se inversores conectados à

rede, esses harmônicos causados pela modulação PWM são indesejáveis.

Essas componentes harmônicas, podem causar: problemas como a degradação

do fator de potência, distorções nas formas de onda de corrente e tensão, aqueci-

mento de elementos reativos e irradiações de ondas eletromagnéticas (ALEX-SANDER

et al., 2008).

Ainda, de acordo com a norma IEEE 1547, as condições que devem ser

atendidas para a conexão com à rede em relação a máxima distorção de corrente,

são apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1: Máxima Distorção Harmônica de corrente em Percentuais de Corrente.

Ordem Harmônica Individual(harmônicas ı́mpares) h

2.3 Controlador Ressonante 16

2.3 CONTROLADOR RESSONANTE

O controlador ressonante é um controlador baseado no princı́pio do modelo

interno, ou seja, para que seja garantido o seguimento de referência e/ou rejeição à

pertubação, adiciona-se à malha de controle, ou na planta ou no controlador, um termo

que apresente ganho infinito na frequência que se deseja seguir e/ou rejeitar (SCHILDT,

2014).

No controle de inversores, o objetivo do controlador é seguir uma referência

senoidal com frequência w0. No controlador ressonante, w0 é a sua frequência de

ressonância, que neste trabalho, relaciona-se com a frequência da rede, isto é 60Hz.

Assim, tem-se que w0 ' 377 rad/s.

A estrutura do controlador na forma ideal é apresentada na Equação 1.

Nessa configuração considera-se um par de pólos complexos e conjugados sobre o

eixo imaginário exatamente na frequência do sinal de referência w0.

Cres = kp +kr.s

s2 + w02(1)

O controlador na forma ideal garante erro nulo em regime permanente para

uma entrada senoidal de frequência w0. Entretanto, para evitar problemas de esta-

bilidade associados a um ganho infinito, é acrescentado uma constante de amorte-

cimento wa na função de transferência do controlador PR (TEODORESCU et al., 2006).

A função de transferência do controlador PR com a constante de amortecimento é

apresentada na Equação 2.

Cres = kp +kr.wa.s

s2 + wa.s+ w02(2)

A introdução da constante de amortecimento reduz o ganho do controla-

dor na frequência w0 e faz com que o ganho deste em torno da frequência de res-

sonância seja maior. Dessa forma, garante-se que o controlador tenha um ganho

elevado mesmo se a frequência de referência divergir ligeiramente de w0.

A Figura 4 ilustra a diferença na resposta em frequência do controlador

ressonante ideal e do controlador com constante de amortecimento.

2.4 Controlador LQG/LTR 17

0

100

200

300

Magn

itude

(d

B)

100 101 102 103

-45

0

45

90

Fa

se (

deg

)

Ideal

Não Ideal

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e Não Ideal.Fonte: Autoria própria.

O ganho kp é escolhido de modo que a planta seja estável e tenha uma boa

resposta dinâmica. O ganho kr é projetado de forma a corrigir o erro de amplitude e

fase sem comprometer a margem de fase (NAHAR, 2015).

2.4 CONTROLADOR LQG/LTR

O método LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Reco-

very ) inicialmente foi proposto por (DOYLE; STEIN, 1981) para o projeto de controlado-

res. Esse método trata-se de uma técnica de controle robusto, ou seja, tolerante a

grandes incertezas e distúrbios, que pode ser aplicado tanto em sistemas SISO (Sin-

gle Input – Single Output) quanto MIMO (Multiple Input – Multiple Output) (SILVA et al.,

2014).

Para descrever a metodologia de funcionamento do controlador LQG/LTR

um diagrama geral do sistema a ser estudado é apresentado na forma de diagramas

de blocos na figura 5.

Os sinais apresentados na figura representam os sinais que compõem o

sistema a ser estudado, de modo que r(s) representa a referência do sistema, u(s) o

sinal de controle gerado pelo controlador (K(s)), y(s) o sinal de saı́da do sistema, d(s)

as pertubações ou ruı́dos, n(s) são as incertezas e G(s) a planta do sistema.

Os objetivos que o controlador LQG/LTR deve atender são:

• que a saı́da y(s) acompanhe o sinal de referência r(s);


n(s)

Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado.Fonte: Autoria própria.

• que o sinal de pertubação d(s) seja rejeitado sobre a saı́da y(s);• e que apresente estabilidade e desempenho robusto diante de incertezas no

modelo.

Para garantir essas especificações é projetado o controlador K(s), ou seja,

o controlador LQG/LTR, o método combina instrumentos como o controlador linear

ótimo quadrático (LQR) e o Filtro de Kalman, de onde se justifica a parte ”LQG”(Linear

Quadrático Gaussiano) (CRUZ, 1996).

O controlador linear ótimo quadrático (LQR) garante a estabilidade do sis-

tema regulado em malha fechada, se condições como margem de ganho e margem

de fase são satisfeitas. A dificuldade encontrada pelo LQR é que sua implementação

requer a realimentação de todos os estados do sistema, mas na prática nem todos

esses estados são acessı́veis.

Uma forma de resolver este problema, é utilizando observadores de estado,

para que assim todos os estados do sistema sejam realimentados. Em 1979, (DOYLE;

STEIN, 1979) apresentaram um artigo com o procedimento de ajuste para controlado-

res lineares com observadores de estado, pois (DOYLE; STEIN, 1979) haviam provado

que a utilização de observadores podia reduzir a robustez do regulador LQR.

Sendo assim, foi proposto o método LQG/LTR, que é o projeto de con-

troladores combinados com observadores, em que utiliza a técnica de loop transfer

recovery (LTR) em conjunto com a fomulação do regulador linear gaussiano (LQG).

A metodologia LQG/LTR se assemelha ao cálculo dos ganhos de um filtro de Kal-

man, mas com algumas modificações nas matrizes de covariância das pertubações

atuantes no sistema e dos ruı́dos de medição das saı́das do sistema SILVA.

2.5 Phase-Locked Loop - PLL 19

2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL

Uma parte crı́tica em sistemas de controle de inversores monofásicos co-

nectados a rede é a sincronização do sistema de geração de energia com a rede

elétrica.

Diferentes técnicas vem sendo utilizadas na literatura para a sincronização

de sistemas de geração com a rede elétrica. Uma técnica bem disseminada é Phase-

Locked Loop, PLL. A ideia principal do PLL é gerar um sinal cujo ângulo de fase

encontra-se continuamente rastreando variações do ângulo de fase de um dado sinal

(MARANGONI, 2012). Normalmente a estratégia utilizada nesse sistema é estimar a

diferença entre o ângulo de fase do sinal de entrada e do sinal gerado e levar este

valor a zero por meio de uma malha de controle.

Em sua totalidade, os sistemas PLL’s são baseados em três partes. A pri-

meira parte é o detector de fase (Phase Detector - PD), o PD é quem gera o sinal de

erro de fase, esse sinal de erro gerado é o erro entre o sinal de entrada e a fase esti-

mada. A segunda parte trata-se um loop filter (Loop Filter - LF), o LF é responsável

por eliminar distúrbios gerados dentro do loop de controle do PLL. O LF também deve

garantir uma resposta dinâmica, um bom rastreamento das caracterı́sticas do sinal de

entrada e manter a estabilidade do PLL. Em aplicações relacionadas a sistemas de

energia elétrica, o LF geralmente é um controlador proporcional integral (PI). A última

parte é um oscilador controlado de tensão (Voltage-controlled Oscillator - VCO), o qual

gera o sinal de saı́da, ou seja, o sinal com as caracterı́sticas do sinal de entrada, de

modo que essas caracterı́sticas são a frequência e a velocidade angular do sinal de

entrada do PLL.

Na Figura 6 é apresentado o diagrama interno do bloco PLL que será utili-

zado neste trabalho.

cos Entrada*

Freq

XPID VCO

Ganho

Detector de fase

Filtro

Freq

wtEntrada

Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho.Fonte: Autoria própria (Baseado no software Matlab).

20

3 SÍNTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE

3.1 INTRODUÇÃO

Este capı́tulo tem o objetivo de descrever a modelagem de um inversor

monofásico para aplicação em geração distribuı́da. Inicialmente, considera-se um,

modelo simplificado onde a impedância de rede é desprezada. Na sequência, um

controlador ressonante é projetado considerando este modelo simplificado. Um estudo

de estabilidade é apresentado para o sistema controlado pelo controlador ressonante

considerando-se os efeitos da inserção da impedância da rede.

3.2 SISTEMA SEM IMPEDÂNCIA DA REDE

Para iniciar o estudo do controlador Ressonante aplicado a inversores mo-

nofásicos, inicia-se com uma planta ideal, ou seja, não foi considerado a impedância

da rede. A planta ideal já foi ilustrada na Figura 2, e seus parâmetros são descritos na

Tabela 2.

Tabela 2: Dados do sistema ideal.

Parâmetros Descrição Valor

L Indutância 2, 5mH

Vcc Tensão CC 300V

Vrede(RMS) Tensão da Rede 127V

frede Frequência da Rede 60Hz

finv Frequência de Chaveamento 10kHz

Fonte: Autoria Própria.

A função de transferência encontrada para o sistema ideal é apresentada

na equação 3. E a partir da modelagem do sistema ideal é projetado o controlador

PR.

3.2 Sistema sem Impedância da Rede 21

G(s) =ig(s)

UPWM(s)=

1

sL(3)

Para o controlador PR foi considerada a frequência de ressonância como

sendo a da rede. Logo tem-se w0 ' 377rad/s, a frequência de amortecimento esco-lhida foi de fa = 10Hz, então wa = 2 · π · 10rad/s. Com isso, o próximo passo foideterminar os ganhos kp e kr.

Primeiro determinou-se o ganho kp. Para determinar kp utilizou-se o dia-

grama de Bode para encontrar um valor de ganho kp onde o sistema seja estável. E

por meio da simulação realizada pelo software matlab foram feitos os ajustes para que

ganho kp apresentasse uma boa resposta dinâmica.

O diagrama de Bode apresentado na Figura 7 mostra o comportamento do

controlador ressonante com a planta e o ganho kp escolhido. Observando a Figura 7

podemos ver que a margem de fase encontrada para o ganho kp é de 88, 7◦ garantindo

assim que o sistema com o controlador seja estável.

-20

0

20

40

60

80

Ma

gn

itud

e (

dB

)

100 101 102 103 104-180

-135

-90

-45

0

Fa

se (

de

g)

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Margem de Fase: 88.7º

Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.

Para especificar o ganho kr, o critério que deve ser atendido é que o ganho

apresentado no diagrama de Bode, deve ser o maior possı́vel na frequência de w0 '377rad/s. Sendo assim, foi realizado uma rotina no software Matlab para investigar

um valor de ganho que na frequência de w0 ' 377rad/s atenda esse critério. A rotinaé iniciada com kr igual a 500 e realiza incrementos de 50 até kr igual a 750. Os

diagramas de Bode são apresentados na Figura 8.

3.3 Análise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede 22

0

20

40

60

80M

ag

nitu

de

(d

B)

101 102 103-180

-135

-90

-45

0

Fa

se

(d

eg

)

kr=550

kr=600

kr=650

kr=700

kr=750

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.

Dessa forma, como apresentado na Figura 8 o ganho kr = 750 é o que

apresenta maior ganho na frequência de w0 ' 377rad/s. Logo determinou-se que oganho kr é de 750.

Definidos os parâmetros do controlador PR aplica-se os mesmos na Equação

2. Assim, a equação da função de transferência do controlador encontrada, é apre-

sentada na Equação 4.

Gres(s) = 75 +750 · 125, 64

s2 + 125, 64s+ 142122, 3(4)

3.3 ANÁLISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IMPEDÂNCIADA REDE

Uma vez que na prática a impedância de rede pode ser de difı́cil caracterização

e esta apresenta impactos na dinâmica do sistema, é importante se analisar seus efei-

tos. Assim, é adicionada uma impedância na rede de distribuição conforme ilustra a

Figura 9.


LG RG

UPWM

Figura 9: Sistema considerando a impedância da rede.Fonte: Autoria própria.

A função de transferência da planta da Figura 9, é apresentada na Equação

5.

G(s) =ig(s)

UPWM(s)=

1

s(L+ Lg) +Rg(5)

Na qual a impedância da rede é representada por Lg e Rg, e o parâmetro L

representa o filtro L.

Algumas concessionárias disponibilizam as especificações dos cabos CA

tipicamente utilizados, logo é possı́vel determinar os valores de impedância para a

rede. Os valores escolhidos são apresentados na Tabela 3. Esses valores foram

adaptados das concessionárias CELG e COPEL.

Tabela 3: Dados do sistema considerando a impedância da rede.

Caso Distância(km) Resistência (R) [Ω\km] Impedância (X) [Ω\km]

1 0,0 0,0 0,0

2 1,0 1,5 0,9

3 2,0 3,0 1,8


Os valores encontrados são baseados em cabos de alumı́nio nu com alma

de aço tipo CAA, esses cabos são geralmente os utilizados em redes de distribuição

rurais, onde ainda se encontra uma grande quantidade de redes de distribuições mo-

nofásicas.

Na Tabela 3, quando a distância é 0, tem-se o caso do sistema ideal. Isso

significa que a fonte primária está muito próxima do inversor sendo a impedância na

rede desprezı́vel.

Com os valores da Tabela 3 foi realizado uma rotina no software Matlab,


para analisar os efeitos da impedância ao sistema. Nessa rotina foram considerados

os casos 1, 2 e 3 apresentados na Tabela 3.

A primeira análise foi realizada através do diagrama de Bode do sistema em

malha aberta onde foi considerado o controlador ressonante e a planta demonstrada

na Equação 5. Os diagramas são apresentados na Figura 10.

-20

0

20

40

60

80

Ma

gnitu

de (

dB

)

100 101 102 103 104-180

-135

-90

-45

0

45

Fa

se (

de

g)

caso 1

caso 2

caso 3

Diagrama de Bode

Frequência (Hz)

Figura 10: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema.Fonte: Autoria própria.

Com a Figura 10 foi possı́vel observar que em todos os casos, o sistema

permanece estável. Isso pode ser concluı́do por meio do comportamento da margem

de fase de cada caso, onde os valores de margem de fase são menores que 180◦,

como demostrado na Tabela 4.

Tabela 4: Margem de ganho e de fase para os casos 1, 2 e 3.

Caso Margem de Fase) Margem de Ganho

1 88,8◦ ∞

2 88,8◦ ∞

3 88,8◦ ∞


Outro aspecto observado nos diagramas de Bode foram que de acordo com

o aumento das impedâncias da rede o ganho na frequência de w0 ' 377rad/s diminuiu.Essa alteração no ganho pode causar perda de desempenho no controlador, como


dificuldade no rastreamento de referência.

Também foi observado o comportamento do sistema considerando a im-

pedância da rede pela função pzmap do software Matlab. Com a função pzmap foi

analisada a tendência dos polos e zeros do sistema em malha fechada para os três

casos da Tabela 3. O resultado é apresentado na Figura 11.

Figura 11: Efeito do aumento da impedância da rede no sistema.Fonte: Autoria própria.

Pelo comportamento observado no mapeamento de polos e zeros, espera-

se que o controlador tenha problema de desempenho, pois o aumento da impedância

da rede faz com que os polos e zeros do sistema sofram alterações de localização.

Estas alterações afetam o controlador no rastreamento da referência (SOUZA, 2007),

visto que o projeto do controlador foi feito para o caso 1, ou seja onde não é considera

a impedância da rede.

Com a estabilidade não é esperado problemas, pois como observado na

Figura 11 conforme o aumento do valor da impedância os polos no eixo real seguem

uma tendência a caminho do semiplano direito, mas não chegam a deslocar-se para

o semiplano direito.

26

4 RESULTADOS DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR RESSONANTE

4.1 INTRODUÇÃO

Este capı́tulo é dedicado a apresentação dos resultados obtidos através da

atuação do Controlador Ressonante. Inicialmente é apresentada a resposta do contro-

lador atuando em um sistema desconsiderando a impedância da rede. Na sequência,

são apresentados os resultados obtidos da atuação do controlador em uma planta

considerando a impedância da rede com um filtro L.

4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL

Os parâmetros do controlador, foram projetados baseados na planta ideal,

conforme projeto descrito no capı́tulo 3. Por isso, espera-se que o controlador atuando

neste primeiro modelo consiga rastrear a referência.

A resposta do sistema é apresentada na Figura 12. A corrente no tempo

de 0,10 segundos, tem um aumento de amplitude de 20A para 30A. Esse aumento de

amplitude visa testar o comportamento transitório do sistema. O distúrbio considerado

nas simulações é do tipo gaussiano, com média 0 e variância de 1,5. Essa pertubação

é considerada na saı́da do sistema.

Observando a Figura 12 nota-se que o controlador obteve uma resposta

satisfatória no rastreamento da corrente de referência. Outro ponto observado foi que

a corrente de saı́da do inversor no inı́cio da simulação não acompanha a corrente de

referência por alguns milissegundos e esse comportamento se repete onde o distúrbio

é perceptı́vel. Afim de analisar melhor esse comportamento é apresentado na Figura

13 o erro da corrente de saı́da do inversor em relação à corrente de referência.

Observando a Figura 13 percebe-se um erro maior de rastreamento em al-

guns pontos. O próximo passo é adicionar a impedância da rede ao sistema e verificar

seus efeitos.

4.3 Controlador Ressonante considerando impedância de rede não nula 27

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40C

orr

ente

(A

)Corrente de Saída do Inversor

Corrente de Saída do Inversor

Corrente de Referência

Figura 12: Corrente de referência e corrente de saı́da do inversor monofásico controlada pelocontrolador ressonante.Fonte: Autoria própria.

Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1.Fonte: Autoria própria.

4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPEDÂNCIA DE REDENÃO NULA

A atuação do controlador ressonante é verificada considerando-se uma

rede de impedância não nula. Para isso foi adicionada a impedância da rede ao sis-

tema. A impedância da rede pode assumir valores diferentes, isso pode ocorrer devido

ao cabo utilizado na rede de distribuição, a distância em que o inversor é conectado à

rede, a quantidade de equipamentos encontrados na rede elétrica e também a adver-


sidades naturais.

Os valores escolhidos para a simulação da impedância da rede, são os do

caso 2 e 3. Como discutido no capı́tulo anterior a impedância da rede faz com que

o sistema reduza o seu desempenho. O resultado da simulação é apresentado na

Figura 14.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Corr

ente

(A

)




(a)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Corr

ente

(A

)




(b)

Figura 14: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso 214(a) e no Caso 3 14(b).

O que foi observado na Figura 14 é que com o aumento da impedância

da rede, o sistema de controle tem uma maior dificuldade em manter a corrente de


saı́da do inversor com a mesma amplitude da corrente de referência. Comparando os

resultados do caso 2 e do caso 3 nota-se que quanto maior a impedância menor foi a

amplitude da corrente de saı́da do inversor.

Na Figura 15 são apresentados para o caso 2 e 3 os gráficos de erro de

rastreamento. Nele foi possı́vel visualizar uma diminuição no ripple da corrente de

saı́da do inversor de acordo com o aumento da impedância da rede.

(a)

(b)

Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b).

A fim de aumentar a amplitude da corrente de saı́da do inversor foi realizada

uma alteração o ganho kr, pois como já foi comentado o ganho kr é projetado de forma


a corrigir o erro de amplitude e fase sem comprometer a margem de fase.

Utilizou-se a rotina desenvolvida para o primeiro projeto do ganho kr para

encontrar um novo ganho. Os resultados obtidos com a rotina são apresentados na

Figura 16.

-50

0

50

100

Magn

itude

(d

B)

100 101 102 103 104 105-180

-135

-90

-45

0

Fa

se (

deg

)

kr=750

kr=1500

kr=2250

kr=3000

kr=3750

Diagrama de Bode

Frequência (rad/s)

Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s).Fonte: Autoria própria.

Analisando a Figura 16 o ganho com maior valor valor na frequência de

w0 ' 377rad/s é o ganho de kr igual a 3750 e esse valor de ganho também nãodeixou o sistema instável como pode ser verificado pela margem de fase que nesse

caso é de 84,7◦. Então o novo valor do ganho kr é de 3750.

Os resultados do caso 2 e 3 para o novo valor do ganho kr são apresenta-

dos na Figura 17.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40C

orr

ente

(A

)Corrente de Saída do Inversor



(a)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Corr

ente

(A

)




(b)

Figura 17: Corrente de referencia e corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso 217(a) e no Caso 3 17(b).

Com o ajuste do controlador, o sistema apresentou uma melhora na ampli-

tude da corrente de saı́da do inversor, conforme ilustrado na figura 17.

O erro de rastreamento do sistema também foi verificado para o caso 2 e 3,

e é apresentado na Figura 18. Com a Figura 18 notou-se que o ripple da corrente de

saı́da do inversor diminuiu.


(a)

(b)

Figura 18: Erro de rastreamento no Caso 2 18(a) e no Caso 3 18(b).

33

5 SÍNTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR

5.1 INTRODUÇÃO

Nesse capı́tulo será inicialmente descrita a metodologia de projeto do con-

trolador LQG/LTR, e os passo realizados para o projeto do controlador. Na sequência,

será apresentado os resultados da atuação do controlador LQG/LTR aplicado ao sis-

tema considerando as incertezas. Por fim é realizada uma comparação entre os re-

sultados do Controlador Ressonante e o Controlador LQG/LTR.

5.2 MODELAGEM DO SISTEMA

Para aplicação do controlador LQG/LTR a planta do sistema também con-

sidera o controlador Ressonante projetado na Seção 4.3, nessa Seção foi alterado o

valor ganho kr do controlador ressonante para aumentar a amplitude da corrente de

saı́da do inversor. O controlador ressonante, então utilizado para o projeto do contro-

lador LQG/LTR é apresentado na Equação 6.

Gres(s) = 75 +3750 · 125, 64

s2 + 125, 64s+ 142122, 3(6)

O controlador ressonante é incluı́do ao projeto, pois a planta deve apresen-

tar rejeições de pertubações em caráter estacionário, ou seja, erro nulo em regime

estacionário (MATOS et al., 2008).

A planta do inversor é a mesma descrita no capı́tulo 3, a função de trans-

ferência referente a planta do inversor é demonstrada na Equação 7.

G(s) =ig(s)

UPWM(s)=

1

s(L+ Lg) +Rg(7)

Os parâmetros Lg e Rg apresentados na Equação 7 representam a im-

pedância da rede e L representa o filtro passivo de primeira ordem.

Tendo definido estes parâmetros, temos que a planta que será aplicada ao

controlador LQG/LTR é Gn(s), na qual Gn(s) é Gres(s) · G(s). O diagrama de blocosque representa Gn(s) é apresentado na Figura 19.


G (s)res G(s)Figura 19: Diagrama de blocos de Gn(s).Fonte: Autoria própria.

Determinada Gn(s) com o software Matlab utilizou-se a função ssdata para

conversão da função de transferência para espaço de estados. Assim, a Equação 8

representa Gn(s) em espaços de estados.

A =

−403, 37 −345, 73 −301, 14

512 0 0

0 256 0

B =

256

0

0

C =

[54, 24 13, 31 61, 30

]D =

[0]

(8)

A planta Gn(s) deve seguir alguns requisitos, para assim ser possı́vel a

aplicação do controlador LQG/LTR. Os requisitos que a planta deve cumprir são (MA-

TOS et al., 2008):

• a planta deve ser fase mı́nima, isto é, os zeros são localizados no semiplanoesquerdo aberto;

• o par (A,B) deve ser controlável e

• o par (C,A) deve ser observável.

Este requisitos foram testado com o software Matlab e a planta Gn(s) se

encaixa em todos. Uma vez que estes requisitos são cumpridos pela planta Gn(s),

inicia-se o projeto do controlador LQG/LTR na seção seguinte.

5.3 CONTROLADOR LQG/LTR

A ideia do controlador LQG/LTR é determinar um controlador K(s) que

mesmo na presença de distúrbios consiga gerar um sinal de controle para a planta

do sistema que neutralize as pertubações. A estrutura do sistema de controle que

será utilizada foi apresentada na Figura 5.

Para que o controlador LQG/LTR (K(s)) consiga neutralizar as pertubações,

o erro de rastreamento e(s) deve ser pequeno. Em um caso ideal, no qual há erro nulo


de rastreamento, tem-se que y(s)=r(s), mesmo com distúrbios aplicados ao sistema.

Para iniciar o projeto do controlador define-se a função de malha aberta do

sistema como L(s), sendo L(s) = Gn(s)K(s). A função L(s) é utilizada na definição

das funções de sensibilidade e sensibilidade complementar.

As funções de sensibilidade e sensibilidade complementar permitem melhor

conhecimento do rastreamento de referência e dos distúrbios que o sistema apresenta.

Define-se que os sinais de distúrbios e o sinal de referência são sinais caracterı́sticos

de baixas frequências (PAULA, 2013).

A função de sensibilidade é a matriz de transferência de d(s) para y(s), ou

seja, representa a sensibilidade do sistema ao vetor de distúrbio. A função de sensi-

bilidade complementar representa a sensibilidade do sistema ao vetor de referência,

logo é a matriz r(s) para y(s).

As matrizes das funções de sensibilidade e sensibilidade complementar

para o sistema podem ser descritas como:

S(s) = (I +Gn(s)K(s))−1 (9)

T (s) = (I +Gn(s)K(s))−1Gn(s)K(s) (10)

Considerando que as incertezas do sistema da planta sejam representadas

na sua saı́da, tem-se que:

y(s) = T (s)r(s) + S(s)d(s) (11)

Como discutido no inı́cio da seção deseja-se que y(s) seja igual a r(s) para

que o erro de rastreamento seja nulo, sendo assim necessário, que T (s) → 1 e S(s)→ 0.

Os parâmetros do controlador são definidos de forma que a malha L(s)

apresente as caracterı́sticas desejadas. A formatação da malha (loop shaping) é

uma abordagem para a escolha dos parâmetros no projeto de controladores KOZAN

(2016). Em sistemas SISO, que é o caso deste trabalho, a formatação da malha está

relacionada à magnitude de L(s) (PAULA, 2013).

Para a formatação da malha objetivo geralmente utiliza-se a função de sen-

sibilidade, pois muitos problemas de controle desejados envolvem rastreamento de


referências ou rejeição a distúrbio, sinais as quais a sensibilidade está diretamente

relacionada (KOZAN, 2016).

Mas em alguns casos a formatação somente à sensibilidade não é sufici-

ente, pois outros requisitos como overshoot, diminuição da taxa de atenuação em altas

frequências ou limitação na magnitude dos sinais de controle podem ser desejados.

Os dois primeiros estão relacionados com a função T (s), enquanto que o último com

a função K(s)S(s) (PAULA, 2013).

Outros parâmetros que devem ser definidos no projeto do controlador são

µ, ρ, L e H. Segundo Paula (2013), no ponto de vista do projeto de controlado-

res baseados na formatação da malha objetivo, tais parâmetros são tratados como

parâmetros livres de projeto sem interpretação fı́sica, como um meio para um fim.

Esses parâmetros são projetados com o objetivo de formatar as matrizes de trans-

ferência em malha fechada no domı́nio da frequência, sendo neste caso as matrizes

S(s) e T (s).

Com essas definições inicia-se a demostração do projeto do controlador

LQG/LTR, sendo que a planta Gn(s) utilizada no projeto do controlador é representada

em variáveis de estado pela Equação 12.

ẋ = Ax+Bu

y = Cx+D(12)

A função de transferência que representa o controlador LQG/LTR é apre-

sentada na Equação 13, com o seu diagrama de blocos demonstrado na Figura 20.

KLQG/LTR(s) = KC(sI − A+BKC +KFC)−1KF (13)

-I KF

C

-1(sI-A)

B

-KC-+ ++E(s) U(s)

K(s)

Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG.Fonte: Adaptado de Maia Júnior (2007).

Definida a estrutura do controlador LQG/LTR determina-se os ganhos KCe KF , que são matrizes de ganho, onde KC é a matriz de ganho do regulador LQR e


KF é a matriz de ganho do observador de estados do Filtro de Kalman.

As matrizes KC e KF são calculadas utilizando-se as Equações 14 e 15.

KC = ρ−2BTX, (14)

KF = µ−2Y CT , (15)

Sendo que X e Y são soluções das Equações Algébrica de Ricatti, na qual

para determinar X utiliza-se a Equação (16) e para o cálculo de Y a Equação (17).

ATX +XA− ρ−2XBBTX +HTH = 0 (16)

Y AT + AY − µ−2Y CTC + LLT = 0 (17)

A teoria do princı́pio de recuperação da malha objetivo, primeiramente pro-

posto por (DOYLE; STEIN, 1981) diz que, se ρ→ 0+ e a matriz H for igual a matriz C ea planta do sistema for quadrada e de fase-mı́nima, pode demonstrar que:

limρ→0+

K(S) = (C(sI − A)−1B)−1C(sI − A)KF (18)

Assim:

limρ→0+

G(s)K(S) = C(sI − A)KF (19)

Dessa forma tem-se que L(s) é a própria matriz do observador de estados

(Filtro de Kalman). Com isso pode-se dizer que houve uma recuperação da matriz de

transferência da malha aberta do observador (SILVA et al., 2014). Este procedimento

é conhecido como Princı́pio de Recuperação da Malha Objetivo pela saı́da e existe

também o procedimento conhecido como Princı́pio de Recuperação da Malha Objetivo

pela entrada que corresponde ao procedimento pela saı́da, no qual µ → 0+ e L iguala B, resultando em:

limµ→0+

K(s)G(s) = B(sI − A)KC (20)

Ou seja,K(s)G(s) é a matriz de transferência do Regulador Linear Quadrático

(LQR).

Como uma consequência de (19) e (20), as seguintes propriedades da

formatação da malha para o Princı́pio da Malha Objetivo pela saı́da podem ser ob-

5.4 Projeto do Controlador LQG/LTR 38

tidas:

limρ→0+

σmaxS(jw) ≤ 1, (21)

limρ→0+

σmaxT (jw) ≤ 2, (22)

limρ→0+

σmaxS(jw) ≤ µσmax(C(jwI − A)L)−1, (23)

limρ→0+

σmaxT (jw) ≤ σmax(C(jwI − A)KF ), (24)

O parâmetro σ representa o valor singular, neste trabalho ele é utilizado

para quantificar a magnitude das matrizes, sendo σmax o maior valor singular da função.

Para a sensibilidade é possı́vel determinar os parâmetros livres de projeto L

e µ e contar com a restrição (23), entretanto para o rastreamento nenhum parâmetro

livre de projeto adicional (além de L e µ) pode ser utilizado e é necessário contar

apenas com a restrição (24) imposta pelo ganho KF (que depende de L e µ). Se for

priorizado o rastreamento na escolha de L e µ (através de KF ), a sensibilidade ficará

então condicionada a estes parâmetros (OLIVEIRA, 2017).

5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR

Conforme apresentado na seção anterior, para o projeto do controlador

LQG/LTR é necessário definir L, µ e ρ. Os parâmetros L e µ são determinados para a

formatação da malha objetivo e ρ é definida para a recuperação da malha, sendo que

quanto menor for o valor de ρ, melhor é a recuperação do Filtro de Kalman.

Na seção 5.2 foi determinado Gn(s) e verificado que o modelo é Controlável

e Observável. Assim, inicia-se a definição de L e µ de modo que a malha objetivo apre-

sente a resposta desejada, obedecendo as barreiras de desempenho e estabilidade.

Sendo assim, os valores adotados são L = B e µ = 4, 5.

O parâmetro ρ foi definido de forma que garantisse a recuperação da malha

objetivo e as propriedades de robustez. O valor escolhido para ρ que garante essas

condições é de 0,0001.

Com os parâmetros definidos obteve-se as seguintes matrizes de ganho

KC e KF .

5.5 Resultado da atuação do Controlador LQG/LTR 39

KC =[3720 2321 4020

], KF =

6470

4034, 5

6988

(25)Substituindo os valores encontrados de KC e KF obtém se a equação de

transferência do controlador LQG/LTR:

K(s) =3, 22 · 106s2 · 9, 439 · 109s · 4, 147 · 1011

s3 · 1, 424 · 106s2 · 4, 554 · 109s · 2, 02 · 1011(26)

Na Figura 21 é apresentado o gráfico da sensibilidade e na Figura 22 é

apresentado o gráfico da sensibilidade complementar do sistema. Analisando os

gráficos percebe-se que para baixas frequências o sistema apresenta valores singula-

res de sensibilidade pequenos e para valores singulares de sensibilidade complemen-

tar apresenta valores singulares altos. Observa-se também que em altas frequências

o gráfico de sensibilidade complementar apresenta baixos valores singulares.

101 102 103 104 105 106 107-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2Valores Singulares de S(s)

Frequência (Hz)

Valo

res

Sin

gula

res

(dB

)

Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo métodoLQG/LTR.Fonte: Autoria própria.

Na próxima Seção são apresentados os resultados da atuação do contro-

lador LQG/LTR projetado.

5.5 RESULTADO DA ATUAÇÃO DO CONTROLADOR LQG/LTR

Nesta Seção é analisada a resposta da planta com a atuação do controlador

LQG/LTR. O primeiro resultado analisado é o rastreamento da referência do sistema.

Os valores de impedância, são os descritos no caso 2 e 3 da Tabela 3. Os resultados

são apresentados na Figura 23.


100 101 102 103 104 105 106 107-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Valores Singulares de T(s)

Frequência (Hz)

Valo

res

Sin

gula

res

(dB

)

Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controladopelo método LQG/LTR.Fonte: Autoria própria.

Um aspecto que pode ser observado na Figura 23 é que com a atuação do

controlador LQG/LTR a corrente de saı́da do inversor tem a forma desejada, de modo

que a corrente de saı́da segue a corrente de referência. Os resultados também mos-

traram que com o aumento da impedância a corrente de saı́da do inversor conseguiu

alcançar uma amplitude próxima da corrente de referência.

O erro de rastreamento com a atuação do controlador LQG/LTR é apresenta

no caso 2 e no caso 3, esses resultados são apresentados na Figura 24.

Por meio da análise do erro de rastreamento observou-se que com o au-

mento da impedância a amplitude do erro diminuiu, portanto houve uma redução no

ripple da corrente de saı́da do inversor.

No próximo Capı́tulo é feita uma discussão, comparando os resultados do

controlador ressonante e do controlador LQG/LTR.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Corr

ente

(A

)




(a)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Tempo (s)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Corr

ente

(A

)




(b)

Figura 23: Corrente de referência e a corrente de saı́da do inversor monofásico no Caso2 (a) e no Caso 3 (b).


(a)

(b)

Figura 24: Erro de rastreamento no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b).

43

6 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS

Este capı́tulo aborda uma comparação entre os resultados dos controla-

dores, a forma escolhida de verificar a estabilidade e desempenho do controlador

ressonante e do controlador LQG/LTR é aumentando a impedância da rede. Aqui as

comparações são realizadas para os casos 2 e 3.

A modelagem do controlador ressonante utilizada para comparação é a

com ajuste no ganho kr. A escolha do modelo com ajuste se deve ao fato do mesmo

ter apresentado melhor desempenho quando simulado com as impedâncias da rede.

Comparando inicialmente os resultados obtidos no caso 2 pelos os dois

controladores, percebe-se que nos resultados das simulações os controladores tive-

ram um bom desempenho alcançando a amplitude da corrente de referência, mas para

uma análise mais detalhada foi apresentado também os gráficos de rastreamento de

erro, neles foram possı́vel notar que a amplitude do erro de rastreamento do controla-

dor ressonante é maior que a do controlador LQG/LTR. Outra caracterı́stica diferente

que se observou foi que no gráfico de erro de rastreamento do controlador ressonante

quando a amplitude da corrente de referência foi alterada visualiza-se um pico de am-

plitude no erro de rastreamento.

No caso 3 para verificar o desempenho dos controladores aumentou-se

a impedância da rede com do dados da Tabela 3. Verificou-se que nesse caso o

controlador LQG/LTR mostrou um melhor desempenho, de modo que a amplitude da

corrente de saı́da do inversor na sua simulação foi maior que a amplitude da corrente

de saı́da do inversor com a atuação do controlador ressonante.

Uma outra análise é proposta, espera-se entender melhor o comportamento

dos controladores atuando no sistema por meio do Diagrama de Bode. Na Figura 25 é

apresentado o diagrama de bode referente ao controlador ressonante e na Figura 26

o diagrama de bode referente ao controlador LQG/LTR.

6 Comparação dos Resultados Obtidos 44

Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuação do con-trolador ressonante.Fonte: Autoria própria.

Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuação do con-trolador LQG/LTR.Fonte: Autoria própria.

Observou-se que no diagrama de bode do controlador ressonante a mar-

gem de fase apresentada é maior em relação a margem de fase do controlador LQG/LTR.

Essa caracterı́stica apresentada implica em um sistema de controle com resposta

mais lenta, voltando aos resultados das simulações dos dois controladores essa ca-

racterı́stica também pode ser notada, sendo que o controlador ressonante mostra um

tempo de acomodação maior.

45

7 CONCLUSÃO

Neste trabalho foi apresentado um estudo do controlador LQG/LTR apli-

cado a inversores monofásicos conectados à rede de energia elétrica, para isso, foi

realizado uma comparação de resultados com o controlador ressonante aplicado no

mesmo sistema.

Como abordado no capı́tulo 2, é muito importante o estudo do comporta-

mento do sistema, uma vez que com o uso da modelagem aproximações são feitas

deixando de representar a dinâmica real do sistema.

Desta forma, no capı́tulo 3 foi apresentada a modelagem do sistema, com

intuito de entender suas caracterı́sticas. Os testes realizados na modelagem do sis-

tema envolvem entender através do mapeamento dos polos e zeros e pelo diagrama

de Bode, como o sistema se comporta em malha aberta e em malha fechada com o

aumento da impedância da rede.

Quando aplicado o controlador ressonante no sistema modelado, os resul-

tados mostraram o que foi discutido na modelagem do sistema, que de acordo com

o aumento de impedância da rede o controlador apresenta dificuldades em alcançar

a amplitude da corrente de referência, sendo preciso sofrer ajustes para seguir a re-

ferência da forma desejada. No caso da planta em que o controlador foi projetado, o

mesmo obteve uma boa resposta cumprindo com o rastreamento da referência.

O desenvolvimento do controlador LQG/LTR, abordou a modelagem do sis-

tema considerando o controlador ressonante. A técnica LQG/LTR trata-se de um con-

trolador robusto, ou seja, essa técnica busca garantir a estabilidade e bom desempe-

nho do sistema mesmo onde exista incertezas e ruı́dos. Os resultados do controlador

LQG/LTR aplicado ao sistema mostraram resultados positivos. Entretanto no caso de

maior impedância a corrente de saı́da do inversor não alcança a amplitude da corrente

de referência, mas chega bem próximo da amplitude desejada.

Analisando os resultados dos controladores abordados nesse trabalho, foi

possı́vel mostrar o que foi discutido ao longo deste. O controlador ressonante apre-

senta os resultados almejados quando aplicado ao sistema para que foi modelado,

porém quando aumentada a impedância o controlador mostra uma perda de ampli-

7 Conclusão 46

tude na corrente de saı́da do inversor. Em relação ao tempo de resposta do controla-

dor verificou-se que comparado ao controlador LQG/LTR sua resposta é mais lenta.

O desenvolvimento desse estudo serve de ponto de inicial para aplicações

do controlador LQG/LTR em inversores monofásicos conectados à rede. Portanto este

trabalho contribui para que novas pesquisas possam surgir. Assim uma ideia proposta

para trabalhos futuros é a utilização de um filtro LCL na saı́da do inversor.

47

REFERÊNCIAS

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49

ANEXO A - CÓDIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR

clear all;

close all;

clc;

s=tf(’s’);

Lg=2.9*10^-3;

Rg=1.5;

L=2.5*10^-3;

kp=75;

kr=750*5;

w0=2*pi*60;

wa=2*pi*10;

Gres= (kp + ((kr*wa*s)/(s^2+wa*s+w0^2)));

G=[1/(s*(L+Lg)+Rg)];

FTMA = ss(Gres*G);

[A,B,C,D]=ssdata(FTMA);

Qc=C’*C;

R=0.0001;

[Kc,X,e]=lqr(A,B,Qc,R,0);

XI=1;

THETA=1;

RHO=4.5;

[K,SVL,W1]=ltrsyn(FTMA,Kc,XI,THETA,RHO);

[A,B,C,D]=ssdata(K);

[num, den]=ss2tf(A,B,C,D);

Ktransf = tf(num,den);

50

ANEXO B - SIMULAÇÃO UTILIZADA PARA OBTENÇÃO DOS RESULTADOS

Controlador LQG/LTR

Controlador Ressonante

Distúrbio

IntroduçãoObjetivo GeralObjetivos EspecíficosOrganização do trabalho

Fundamentação TeóricaIntroduçãoInversor Monofásico Ponte CompletaControlador RessonanteControlador LQG/LTRPhase-Locked Loop - PLL

Síntese do Controlador RessonanteIntroduçãoSistema sem Impedância da RedeAnálise da estabilidade considerando-se os efeitos da impedância da rede

Resultados da Atuação do Controlador RessonanteIntroduçãoControlador Ressonante considerando Rede IdealControlador Ressonante considerando impedância de rede não nula

Síntese do Controlador LQG/LTRIntroduçãoModelagem do sistemaControlador LQG/LTRProjeto do Controlador LQG/LTRResultado da atuação do Controlador LQG/LTR

Comparação dos Resultados ObtidosConclusãoAnexo A - Código do Controlador LQG/LTRAnexo B - Simulação utilizada para obtenção dos resultados

Documents

ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES ...repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/9526/1/PB_COELT_2017_2_15.pdf · controlador LQG/LTR aplicado a inversores monofasicos