Estudo do Efeito de Incertezas na Otimização Estruturalweb.set.eesc.usp.br/static/data/producao/2010ME_WellisonJosede... · Este trabalho apresenta um estudo do efeito de incertezas

WELLISON JOSÉ DE SANTANA GOMES

Estudo do Efeito de Incertezas Estudo do Efeito de Incertezas Estudo do Efeito de Incertezas Estudo do Efeito de Incertezas

na Otimização Estruturalna Otimização Estruturalna Otimização Estruturalna Otimização Estrutural

Dissertação apresentada à Escola de Engenharia de São Carlos como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Estruturas. Área de concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. André Teófilo Beck

São Carlos 2010

Dedico este trabalho à minha família, em especial aos meus pais e ao meu irmão.

Agradecimentos

À minha família, em especial aos meus pais e irmão, por toda a força e por tudo que

sempre me ensinaram, mesmo em tempos de distância física.

À minha namorada Joyce Trindade, cuja paciência e ajuda nem tenho como

agradecer, e por estar sempre ao meu lado. E à sua família e todos os bons momentos que

compartilhamos.

Ao professor André Beck, orientador do presente trabalho, pelas discussões

semanais (muitas vezes quase diárias), pela paciência, dedicação e atenção, indispensáveis ao

desenvolvimento deste e à minha adaptação a uma nova realidade (morar em outro estado,

longe da família).

Aos amigos e demais colegas da turma do mestrado, em especial ao Dênis Delázari e

Francisco Quim.

A todos os professores do Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de

Engenharia de São Carlos – USP, que contribuíram para minha formação, e aos funcionários

por estarem sempre disponíveis e dispostos a ajudar.

Ao CNPq, pelo auxílio financeiro nos primeiros meses do mestrado, e à FAPESP

pelo auxílio nos outros 18 meses.

RESUMO

GOMES, W. J. S. Estudo do efeito de incertezas na otimização estrutural. 2010. 96 p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010. Este trabalho apresenta um estudo do efeito de incertezas na otimização estrutural. Tal efeito

pode ser quantificado em termos de probabilidades de falha bem como do risco, ou custo

esperado de falha. O estudo se baseia na comparação dos resultados obtidos através de três

distintas formulações do problema de otimização estrutural: otimização determinística,

otimização baseada em confiabilidade e otimização de risco estrutural. Para efeitos de

comparação, informações sobre risco de falha estrutural (produto da probabilidade de falha

pelo custo de falha) são incorporadas nas três formulações. A otimização determinística

(DDO – Deterministic Design Optimization) permite encontrar uma configuração estrutural

que é ótima em termos mecânicos, mas não considera explicitamente a incerteza dos

parâmetros e seus efeitos na segurança estrutural. Em conseqüência, a segurança da estrutura

ótima pode ser comprometida, em comparação à segurança da estrutura original. A

otimização baseada em confiabilidade (RBDO – Reliability-Based Design Optimization)

garante que a estrutura ótima mantenha um nível mínimo (e mensurável) de segurança.

Entretanto, os resultados são dependentes da probabilidade de falha usada como restrição na

análise. A otimização de risco estrutural (RBRO – Reliability-Based Risk Optimization)

aumenta o escopo do problema, buscando um balanço entre economia e segurança, objetivos

estes que de uma forma geral competem entre si. Isto é possível através da quantificação de

custos associados à construção, operação e manutenção da estrutura, bem como das

conseqüências monetárias de falha. A experiência mostra que problemas de otimização

estrutural possuem muitos mínimos locais. Com o intuito de encontrar o mínimo global em

todos os problemas de otimização estudados, são utilizados neste trabalho dois métodos de

otimização heurísticos: Algoritmos Genéticos e Método do Enxame de Partículas. Tendo a

eficiência como objetivo, dois métodos com fundamentação matemática também são

estudados: os métodos de Powell e de Polak-Ribiere. Finalmente, buscando uma relação de

compromisso entre confiabilidade (capacidade de encontrar o mínimo global em todos os

problemas) e eficiência, quatro algoritmos híbridos são construídos, combinando os quatro

métodos citados anteriormente. Efeitos de incertezas na otimização estrutural são estudados

através da comparação de soluções obtidas via diferentes formulações do problema de

otimização. São apresentados alguns estudos de caso, enfatizando as diferenças entre os

projetos ótimos obtidos por cada formulação. O estudo mostra que, em geral, a estrutura ótima

só é encontrada pela formulação mais abrangente: a otimização de risco ou RBRO. O estudo

mostra que, para que a formulação DDO encontre a mesma configuração ótima da formulação

RBRO, é necessário especificar um coeficiente de segurança ótimo para cada modo de falha.

De maneira semelhante, o estudo mostra que quando os custos associados a diferentes modos

de falha são distintos, a formulação RBDO somente resulta na estrutura ótima quando uma

probabilidade de falha ótima é especificada como restrição para cada modo falha da estrutura.

Palavras-chave: Estruturas - confiabilidade. Estruturas - Otimização. Algoritmos Híbridos.

ABSTRACT

GOMES, W. J. S. On the effects of uncertainty on optimum structural design. 2010. 96 p. Dissertation (M. Sc.) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2010. In this study the effects of uncertainty on optimum structural design are investigated, by

comparing three distinct formulations of a structural optimization problem. Such effects can

be quantified in terms of failure probabilities and risk, or expected costs of failure.

Deterministic Design Optimization (DDO) allows one the find the shape or configuration of a

structure that is optimum in terms of mechanics, but the formulation do not consider explicitly

parameter uncertainty and its effects on structural safety. As a consequence, safety of the

optimum structure can be compromised, in comparison to safety of the original structure.

Reliability-based Design Optimization (RBDO) has emerged as an alternative to properly

model the safety-under-uncertainty part of the problem. With RBDO, one can ensure that a

minimum (and measurable) level of safety is achieved by the optimum structure. However,

results are dependent on the failure probability used as constraint in the analysis. Risk

optimization increases the scope of the problem, by addressing the compromising goals of

economy and safety, and allowing one to find a proper point of balance between these goals.

This is accomplished by quantifying the costs associated to construction, operation and

maintenance of the structure, as well as the monetary consequences of failure. Experience

shows that structural optimization problems can have multiple local minima. With the

objective of finding the global minimum in all studied problems, two heuristic optimization

methods are used in this study: Genetic Algorithms and Particle Swarm Optimization. Aiming

at efficiency, two methods with mathematical foundations are also considered: the methods of

Powel and Polak-Ribiere. Finally, looking for a compromise between reliability (capacity to

find the global minimum) and efficiency, four hybrid algorithms are constructed, combining

the four methods just cited. The study investigates the effects of uncertainty on optimum

structural design by comparing solutions obtained via the different formulations of the

optimization problem. The paper presents some case studies, highlighting the differences in

the optimum designs obtained with each formulation. The study leads to a better

understanding of the limitations of each formulation in the solution of structural optimization

problems. The investigation shows that, in general, the optimum structure can only be found

by the most comprehensive formulation: risk optimization or RBRO. The study shows that

DDO only leads to the optimum structure if an optimum safety coefficient is used as

constraint for each individual failure mode. In a similar way, the investigation shows that

when the costs associated to distinct failure modes are different, the RBDO formulation only

leads to the optimum structural design if an optimum failure probability is specified as

constraint for each failure mode of the structure.

Keywords: Structures - Reliability. Structures - Optimization. Hybrid Algorithms.

Lista de Figuras

Figura 1 - Pórtico hiperestático plano....................................................................................... 20

Figura 2 - Resultado da otimização topológica de uma viga engastada (FONTE: Amstutz &

Andrä (2005)). .......................................................................................................................... 21

Figura 3 - Fluxograma do Método do Lagrangiano Aumentado. ............................................. 40

Figura 4 - Fluxograma do Algortimo PSO básico. ................................................................... 43

Figura 5 - Fluxograma do algoritmo genético SCE. ................................................................. 45

Figura 6 - Passos de contração e reflexão do NSM. ................................................................. 46

Figura 7 - Fluxograma do Método de Powell Modificado. ...................................................... 49

Figura 8 - Fluxograma do Método de Polak-Ribiere. ............................................................... 51

Figura 9 - Fluxograma do método de busca unidirecional para o método de Polak-Ribiere. .. 53

Figura 10 - Fluxograma do método de busca unidirecional para o método de Powell. ........... 54

Figura 11 - Hipercubo mais o ponto central para o caso 3D. ................................................... 56

Figura 12 - Escopo das formulações de otimização estrutural. ................................................ 63

Figura 13 – Sistema estrutural composto por três barras em paralelo. ..................................... 67

Figura 14 - Definição de η (FONTE: Hendawi & Frangopol (1994)). .................................... 68

Figura 15 - Comparação de custos ótimos - Problema (1A). .................................................. 72

Figura 16 - Comparação de custos ótimos - Problema (1B)..................................................... 73

Figura 17 - Comparação de custos ótimos - Problema (1C)..................................................... 74

Figura 18 - Sistema estrutural composto por três barras em série. ........................................... 74

Figura 19 - Treliça Plana. ......................................................................................................... 75

Figura 20 - Comparação de custos ótimos para o problema da treliça plana. .......................... 77

Figura 21 - Colunas de aço em perfil U contraventadas........................................................... 79

Figura 22 - Comparação entre custos ótimos para o problema da coluna formada por perfis U

contraventados. ......................................................................................................................... 81

Figura 23 - Custos esperados totais obtidos pelas formulações RBDO e RBRO_esc, com

relação ao custo de referência (RBRO). ................................................................................... 82

Figura 24 - Custos de manufatura obtidos pelas formulações RBDO e RBRO_esc, com

relação ao custo de referência (RBRO). ................................................................................... 83

Figura 25 - Média da função objetivo (em relação ao PSS_POWELL). .................................. 85

Figura 26 - Máximo da função objetivo (em relação ao PSS_POWELL). .............................. 86

Figura 27 - Média de chamadas à função objetivo (em relação ao PSS_POWELL) ............... 86

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Algumas distribuições de probabilidade contínuas. ............................................... 29

Tabela 2 - Distribuições de probabilidade comumente utilizadas na descrição de variáveis

aleatórias da engenharia estrutural. .......................................................................................... 30

Tabela 3 - Resumo das otimizações comparativas. .................................................................. 65

Tabela 4 - Resumo dos dados das VAs do problema de três barras em paralelo. ................... 68

Tabela 5 - Variações do problema de três barras em paralelo. ................................................ 71

Tabela 6 - Resultados para o problema (1A), áreas em cm². ................................................... 71

Tabela 7 - Resumo dos dados das VAs do problema da treliça plana. .................................... 76

Tabela 8 - Resumo dos dados das VAs do problema da coluna de aço. .................................. 79

Tabela 9 - Quantidade de contraventamentos versus altura da estrutura. ................................ 82

Lista de Siglas

AG-SCE Algoritmo genético – Evolução de complexos conjugados (Shuffled Complex

Evolution)

AG_POWELL Método híbrido constituído pelo AG-SCE e método de Powell

AG_PR Método híbrido constituído pelo AG-SCE e método de Polak-Ribiere

CET Custo esperado total

CM Custo de manufatura

DDO Otimização estrutural determinística (Deterministic Design Optimization)

DSC Algoritmo de Davis, Swann e Campey

FDA Função de distribuição acumulada de probabilidades

FDP Função densidade de probabilidade

FMP Função massa de probabilidade

FORM Método de confiabilidade de primeira ordem (First Order Reliability Method)

MPP Ponto mais provável de falha (Most Probable Point)

PR Método de Polak-Ribiere

PSO Otimização por enxame de partículas (Particle Swarm Optimization)

PSS Método Particle Swarm – Simplex

PSS_POWELL Método híbrido constituído pelo PSS e método de Powell

PSS_PR Método híbrido constituído pelo PSS e método de Polak-Ribiere

RBDO Otimização baseada em confiabilidade (Reliability-Based Design Optimization)

RSF Fator de carregamento (Resistance Sharing Factor)

StRAnD Programa para cálculos de confiabilidade estrutural (Structural Reliability

Analysis and Design)

VA Variável aleatória

Lista de Símbolos

. .c v Coeficiente de variação

d Direção de busca

E Módulo de elasticidade do material

yf Resistência do material

( , )g X z Equação de estado limite

fP Probabilidade de falha

X Vetor de variáveis aleatórias

z Vetor de variáveis de projeto (de otimização)

β Índice de confiabilidade

λ Coeficiente de segurança

Xµ Valor médio da variável aleatória X

Xσ Desvio-padrão da variável aleatória X

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 19

1.1. APRESENTAÇÃO ................................................................................................... 19

1.2. MOTIVAÇÃO .......................................................................................................... 20

1.3. OBJETIVOS ............................................................................................................. 21

1.3.1. Objetivos gerais ............................................................................................................... 21

1.3.2. Objetivos específicos ....................................................................................................... 21

1.4. METODOLOGIA ..................................................................................................... 22

1.5. ORGANIZAÇÃO DO CONTEÚDO ....................................................................... 22

2. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL ................................................................ 25

2.1. ESTADOS LIMITES E COEFICIENTES DE SEGURANÇA ................................ 25

2.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................................................................... 26

2.2.1. Valor esperado, variância e momentos de uma VA ......................................................... 28

2.3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES USUAIS ................................................................ 29

2.4. INCERTEZA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL ................................................ 30

2.5. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

INDEPENDENTE DO TEMPO ........................................................................................... 31

2.6. MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM (FORM) ................ 32

2.6.1. Algoritmo de Hassofer, Lind, Rackwitz e Fiessler .......................................................... 34

3. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ......................................................................... 37

3.1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ......................................... 38

3.2. MÉTODOS HEURÍSTICOS .................................................................................... 41

3.2.1. PSO .................................................................................................................................. 41

3.2.2. Algoritmo Genético SCE ................................................................................................. 43

3.3. MÉTODOS COM FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA .................................... 45

3.3.1. Método SIMPLEX ............................................................................................................ 45

3.3.2. Método de Powell Modificado ......................................................................................... 46

3.3.3. Método de Polak-Ribiere ................................................................................................. 49

3.3.4. Busca Unidirecional ........................................................................................................ 52

3.4. ESTRATÉGIAS HÍBRIDAS .................................................................................... 55

3.4.1. Utilizando o Algoritmo Genético ..................................................................................... 55

3.4.2. Utilizando o algoritmo PSO (PSS) .................................................................................. 55

4. FORMULAÇÕES DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL ................................. 59

4.1. OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DETERMÍNISTICA ........................................... 60

4.2. OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE ........................................... 61

4.3. OTIMIZAÇÃO DE RISCO ESTRUTURAL ........................................................... 62

4.4. SOBRE AS TRÊS FORMULAÇÕES APRESENTADAS ...................................... 62

4.5. ANÁLISES COMPARATIVAS DE OTIMIZAÇÃO .............................................. 64

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS ............................................................................... 67

5.1. SISTEMA ESTRUTURAL: TRÊS BARRAS EM PARALELO ............................. 67

5.2. SISTEMA ESTRUTURAL: TRÊS BARRAS EM SÉRIE ....................................... 74

5.3. TRELIÇA PLANA ................................................................................................... 75

5.4. COLUNA DE AÇO EM PERFIS U CONTRAVENTADOS .................................. 78

6. DESEMPENHO DOS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO .................................. 85

7. CONCLUSÕES .................................................................................................... 89

7.1. ESTUDO DOS EFEITOS DAS INCERTEZAS ...................................................... 89

7.2. ANÁLISE DE DESEMPENHO E CONFIABILIDADE DOS MÉTODOS DE

OTIMIZAÇÃO .................................................................................................................... 90

7.3. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................... 91

REFERÊNCIAS .......................................................................................................... 93

Estudo do efeito de incertezas na otimização estrutural

Wellison José de Santana Gomes Dissertação de Mestrado

19

1. INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

Em um ambiente competitivo, sistemas estruturais devem ser projetados levando em

conta não apenas a sua funcionalidade, mas os custos esperados de construção e de operação e

sua capacidade de geração de lucros. Custos e lucros são diretamente afetados pelo risco que a

estrutura oferece a usuários, empregados, ao público em geral e ao meio ambiente.

Risco (ou custo esperado de falha) pode ser entendido como o produto de um custo

de falha pela probabilidade de que esta falha aconteça. A probabilidade de falha de uma

estrutura está diretamente relacionada com os coeficientes de segurança adotados no projeto,

bem como com os níveis de controle e manutenção praticados na operação da estrutura.

No projeto de estruturas, os objetivos economia e segurança competem entre si. Em

geral, mais segurança envolve maiores custos e mais economia significa menos segurança.

Projetar sistemas estruturais envolve encontrar um balanço entre estes objetivos. Na prática

comum de engenharia, este balanço é feito de forma subjetiva. Com o uso de normas de

projeto, este balanço passa a ser feito pelo comitê de norma, que define os coeficientes de

segurança a serem adotados, sem endereçar explicitamente a questão. Os coeficientes de

segurança são aplicados na tentativa de fazer com que as estruturas alcancem um índice de

confiabilidade alvo, ou seja, que a probabilidade de falha seja menor do que um valor pré-

estabelecido.

Na busca por um projeto de engenharia ótimo, várias formulações podem ser

utilizadas, dentre estas formulações estão as três adotadas no presente trabalho: a otimização

determinística, a otimização baseada em confiabilidade e a otimização de risco baseada em

confiabilidade.

A otimização estrutural determinística (DDO – Deterministic Design Optimization)

aborda o problema da busca por um projeto ótimo do ponto de vista econômico, visando

redução no uso de materiais, mas não verifica diretamente o aspecto de segurança, ou seja, a

estrutura é otimizada sem que sejam calculadas probabilidades de falha. A otimização baseada

em confiabilidade (RBDO – Reliability-Based Design Optimization), também conhecida

como RBO (Reliability-Based Optimization (FRANGOPOL, 1985)) permite endereçar a

questão da segurança ao impor restrições em termos de probabilidades de falha admissíveis,



20

mas não leva em conta os custos esperados de falha. As formulações de DDO e RBDO podem

ser utilizadas para obter eficiência do ponto de vista estrutural (mecânico), o que certamente

tem benefícios econômicos, mas não endereçam diretamente o compromisso entre economia e

segurança. Ao incluir os custos esperados de falha no balanço econômico, a otimização de

risco estrutural (RBRO – Reliability Based Risk Optimization (BECK & VERZENHASSI,

2008a; BECK & VERSANHASSI, 2008b)) permite encontrar o ponto ótimo no balanço entre

economia e segurança. Esta formulação (RBRO) é complementar às formulações DDO e

RBDO, no sentido de que o projeto mais econômico é também o mais eficiente do ponto de

vista mecânico e do ponto de vista da segurança.

1.2. MOTIVAÇÃO

A motivação deste trabalho parte do exemplo mostrado na Figura 1, um pórtico

plano hiperestático treliçado formado por 6 barras e sujeito a duas cargas de mesma

intensidade (uma horizontal e outra vertical) em uma de suas extremidades superiores. A

otimização determinística desta estrutura, a depender da formulação, pode levar à retirada de

uma das barras, sem levar em conta o fato que a existência dessas barras implica na existência

de caminhos alternativos de falha estrutural.

Figura 1 - Pórtico hiperestático plano.

Outro exemplo motivador é mostrado na Figura 2, que apresenta um dos resultados

obtidos por Amstutz & Andrä (2005) para a otimização topológica de uma viga engastada

submetida a um carregamento concentrado na extremidade livre. Fica claro que esta

otimização terá mais modos de falha e mais pontos materiais (todos?) projetados contra o

limite, de forma que a retirada de um pequeno pedaço da estrutura leva à falha da mesma.



21

Figura 2 - Resultado da otimização topológica de uma viga engastada (FONTE: Amstutz & Andrä (2005)).

Os dois casos apresentados representam situações nas quais podem existir diferenças

muito grandes entre as estruturas ótimas encontradas quando se leva em conta (ou não)

explicitamente a segurança estrutural. Estas diferenças conduzem à definição dos objetivos do

presente trabalho.

1.3. OBJETIVOS

1.3.1. Objetivos gerais

Estudar e compreender efeitos de incertezas na otimização estrutural. Isto pode ser

feito comparando as formulações de otimização estrutural DDO (Deterministic Design

Optimization), que não leva em conta explicitamente as incertezas, RBDO (Reliability-Based

Design Optimization), que leva em conta a probabilidade de falha do sistema estrutural, e

RBRO (Reliability Based Risk Optimization), que leva em conta as probabilidades de falha da

estrutura e seus respectivos custos. Em particular, busca-se entender e demonstrar como cada

formulação limita o escopo do problema, restringindo o espaço de soluções e levando a

diferentes projetos ótimos.

Convém ressaltar que não se pretende realizar comparações de mérito entre as

formulações (por exemplo, afirmar que uma formulação é melhor do que outra).

1.3.2. Objetivos específicos

Implementar algoritmos de programação não-linear em um módulo computacional a

ser acoplado ao programa de confiabilidade estrutural StRAnD (Structural Risk Analysis and



22

Design, responsável por cálculos de confiabilidade estrutural (BECK, 2007)), de maneira a

resolver problemas de otimização estrutural desenvolvidos nas três formulações apresentadas.

Aplicar o programa computacional a diversos problemas, comparar e estudar os

resultados obtidos para cada formulação, bem como a eficiência de cada método de

otimização na busca pela solução ótima global.

1.4. METODOLOGIA

Inicialmente foi feita uma revisão abordando os tópicos deste trabalho:

confiabilidade estrutural, programação não-linear e algoritmos heurísticos de otimização. A

revisão prosseguiu de forma mais específica, levando ao estudo de trabalhos desenvolvidos

nas áreas de otimização determinística, algoritmos híbridos de otimização e otimização

baseada em riscos, por exemplo.

Foram implementados então algoritmos de otimização, constituídos por algoritmos

com fundamentação matemática, algoritmos heurísticos e algoritmos híbridos. A

implementação foi feita em linguagem FORTRAN 90, utilizando técnicas de orientação a

objetos para permitir fácil modificação e/ou inclusão de métodos de otimização, dentre outras

facilidades.

Por último os métodos foram aplicados a vários problemas, comparando-se as

diferentes formulações de otimização e o desempenho dos métodos de otimização utilizados.

1.5. ORGANIZAÇÃO DO CONTEÚDO

No capítulo 2 são apresentados, de maneira bastante concisa, os conceitos de

Confiabilidade Estrutural utilizados neste trabalho, abordando um pouco da teoria relacionada

e apontando referências que podem ser consultadas para maiores detalhes.

No capítulo 3 define-se o problema geral de otimização e procura-se mostrar os

métodos de otimização e as estratégias híbridas desenvolvidas, com enfoque na

implementação computacional destes.

A seguir, são expostas no capítulo 4 as formulações de otimização estrutural a serem

realizadas para compreender os efeitos de incertezas na otimização estrutural.



23

O capítulo 5 traz os exemplos numéricos, seus resultados e discussões a respeito dos

mesmos. Procura-se comparar as formulações de otimização à medida em que vão sendo

apresentados os resultados.

No sexto capítulo é feita uma análise do desempenho dos métodos de otimização

implementados, procurando determinar qual dentre estes é o mais eficiente e confiável para os

problemas de interesse deste trabalho.

Finalmente, no capítulo 7, são apresentadas as conclusões a respeito tanto das

incertezas e seus efeitos na otimização estrutural, quanto do desempenho e confiabilidade dos

métodos de otimização estudados.



24



25

2. CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

Sistemas estruturais e os elementos que o compõem, devem ser economicamente

viáveis, cumprir de maneira satisfatória determinada função estrutural e manter um nível

adequado de segurança durante o período denominado vida útil. Na tentativa de atingir esses

objetivos, projetos estruturais devem atender a alguns requisitos básicos, equacionados na

forma de estados limites.

2.1. ESTADOS LIMITES E COEFICIENTES DE SEGURANÇA

Os estados limites podem ser divididos em duas categorias principais: os estados

limites de serviço, que correspondem aos requisitos funcionais e condições normais de uso, e

os estados limites últimos, que correspondem aos requisitos de segurança e que estão

relacionados ao esgotamento da capacidade portante ou de deformação da estrutura. Este

esgotamento implica colapso ou dano grave e permanente para a mesma.

Cada modo de falha pode ser formulado por meio de uma equação de estado limite

( , )g X z , Equação (1), onde o vetor z contém as N variáveis de projeto e o vetor X contém

M variáveis aleatórias.

1 2 1 2,( , ) ( , ,..., , , ..., ) 0M Ng g X X X z z z= =X z (1)

Valores negativos da equação de estado limite implicam falha estrutural, enquanto

que valores positivos implicam não falha. Isso leva à definição dos chamados domínios de

falha ( fD ) e do domínio de sobrevivência ( sD ), conforme as Equações (2) e (3).

( , ) 0fD g= ≤x | X z (2)

( , ) 0sD g= >x | X z (3)

Durante muitos anos, o projeto de sistemas estruturais foi realizado utilizando-se o

chamado método das tensões admissíveis, onde um único coeficiente de segurança era

utilizado para criar uma margem de segurança entre resistência e solicitação. A razão entre a



26

tensão resistente e a tensão solicitante foi denominada fator de segurança (SORENSEN,

2004), ou coeficiente de segurança.

Apesar da adoção de uma margem de segurança, existe a probabilidade de que o

sistema estrutural atinja um ou mais estados limites. Essa probabilidade é ocasionada pela

existência de parâmetros que são variáveis aleatórias por natureza e de outros que não podem

ser definidos deterministicamente devido a fontes diversas de incerteza.

Em outras palavras, pode-se dizer que as incertezas levam à existência de

probabilidades de falha da estrutura com relação aos diversos modos de falha. A teoria da

confiabilidade estrutural permite a determinação destas probabilidades de falha, e,

conseqüentemente, dos coeficientes de segurança a serem utilizados para projetar estruturas

com probabilidades de falha aceitáveis.

Adotando a resistência R e a solicitação S como sendo duas variáveis aleatórias

com médias iguais a Rµ e Sµ , respectivamente, calcula-se o chamado coeficiente de

segurança central, 0λ , através da Equação (4).

0R

S

µλµ

= (4)

Como os valores da resistência e da solicitação na estrutura real podem ser maiores

ou menores que as médias, não há certeza que um determinado coeficiente de segurança

central seja suficiente para garantir a segurança de uma estrutura (BECK, 2009).

Nas modernas normas técnicas de projeto estrutural passaram a ser utilizados

coeficientes parciais de segurança. Valores característicos de solicitações ( ks ) e de resistência

( kr ) são especificados e coeficientes parciais de segurança são aplicados às solicitações e

resistências no intuito de garantir que a estrutura seja segura o suficiente (SORENSEN, 2004).

2.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Uma variável aleatória real ( )X ω é, por definição, uma função real que atribui a

cada ponto amostral iω pertencente a um espaço amostral Ω um valor real ( )ix ω tal que o

conjunto X x≤ é um evento para qualquer número real x . A notação X x≤ equivale a

dizer que a variável aleatória X assume qualquer valor menor ou igual a x .



27

Variáveis aleatórias (VAs) são utilizadas para representar numericamente resultados

de experimentos aleatórios. São representadas geralmente por uma letra maiúscula, enquanto

que uma realização desta variável (ou um resultado do experimento) é representada por uma

letra minúscula. Além disso, elas podem ser contínuas ou discretas, visto que o espaço

amostral pode ser constituído por conjunto discretos ou contínuos de pontos (ANG & TANG,

2007).

A probabilidade de ocorrência do evento X x≤ é uma função de x . Esta função é

denominada função de distribuição acumulada de probabilidades (Cumulative density function

- CDF) da variável aleatória X , representada por XF , definida para qualquer número x tal

que x−∞ ≤ ≤ +∞ e dada pela Equação (5).

( ) [ ]XF x P X x= ≤ (5)

A partir daí, pode-se definir valores característicos e nível de confiança, dados pela

Equação (6) em se tratando de variáveis aleatórias de resistência, ou pela Equação (7), no caso

das variáveis aleatórias de solicitação. Os valores característicos kr e ks são, portanto,

diretamente vinculados aos níveis de confiança.

[ ] 1 ( )k R kP R r F r> = − (6)

[ ] ( )k S kP S s F s< = (7)

Derivando-se a função de distribuição acumulada de probabilidades em relação a x

obtém-se a chamada função de densidade de probabilidades (Probability density function -

PDF) de uma variável aleatória X , representada por Xf , dada pela Equação (8).

( )( ) X

X

dF xf x

dx= (8)

A FDP de uma variável aleatória representa a distribuição de probabilidades desta

variável, ou seja, as probabilidades de ocorrência dos diversos eventos envolvendo a mesma.

Trata-se de uma função muito utilizada no cálculo de diversas quantidades descritivas das

variáveis aleatórias, incluindo o valor esperado e os momentos, abordados na próxima

subseção.



28

2.2.1. Valor esperado, variância e momentos de uma VA

Dada uma variável aleatória X , define-se como seu valor esperado ou média a

integral apresentada na Equação (9).

[ ] ( )X XE X xf x dxµ+∞

−∞

= = ∫ (9)

Para uma função ( )g X , o valor esperado [ ( )]E g X é dado pela Equação (10).

[ ( )] ( ) ( )XE g X g x f x dx

+∞

−∞

= ∫ (10)

A variância, ( )Var X ou 2[( ) ]XE X µ− , uma medida da dispersão da variável

aleatória em torno da média, e o desvio padrão ( Xσ ), raiz quadrada da variância, são duas

medidas muito importantes na descrição das VAs, calculadas pela Equação (11) (ANG &

TANG, 2007).

2 2 2[( ) ] ( ) ( ) ( )X X X XE X Var X x f x dxµ σ µ+∞

−∞

− = = = −∫ (11)

Devido à dificuldade de comparar desvios padrão de VAs diferentes, uma medida

adimensional da dispersão passa a ser mais significativa. Dividindo-se o desvio padrão pela

média da variável aleatória tem-se o coeficiente de variação ( . .c v ).

. . X

X

c v =σµ

(12)

O valor esperado de uma VA é, na verdade, um caso particular do chamado

momento de ordem k da variável, definido pela Equação (13), enquanto que variância é um

caso particular de momento central de ordem k , definido pela Equação (14). Ambas as

equações apresentam os momentos para X contínua.



29

[ ] ( )k k k

X XE X x f x dxµ+∞

−∞

= = ∫ (13)

[( ) ] ( ) ( )k k

X X XE X x f x dxµ µ+∞

−∞

− = −∫ (14)

2.3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES USUAIS

Apesar de existir uma infinidade de funções de distribuição de probabilidades,

algumas delas são especialmente usuais, por representarem de maneira aceitável processos

físicos, características de materiais, dentre outros objetos de estudo, ou por serem funções

resultantes de processos limite, como, por exemplo, o somatório de infinitas outras

distribuições.

Algumas das FDPs usuais e de particular interesse desse trabalho são apresentadas

na tabela a seguir baseada em ANG & TANG (2007).

Tabela 1 - Algumas distribuições de probabilidade contínuas.

Distribuição ( )Xf x Média Variância

Uniforme 1

b a−

2

a b+

2( )

12

b a−

Normal

21 1

exp22

x µσσ π

− −

µ 2σ

Gama 1( )

( )r x

x er

αα α − −

Γ

r

α

2

r

α

Lognormal

21 1 ln( )

exp22

x

x

λξξ π

−−

2exp( 0,5 )λ ξ+ 2 2[exp( ) 1]µ ξ −

Exponencial

deslocada exp( ( ))xυ υ ε− −

1 ευ

+ 2

1

υ

OBS.: (.)Γ é a função Gama.

A próxima seção apresenta um pouco sobre a escolha das distribuições adequadas às

diferentes variáveis aleatórias que se encontram usualmente em projetos de engenharia.



30

2.4. INCERTEZA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL

Dentre as incertezas presentes na engenharia estrutural, as mais comuns são as

denominadas incertezas intrínsecas e as incertezas epistêmicas. Intrínsecas são aquelas que

não podem ser eliminadas, pois fazem parte da natureza dos processos envolvidos.

Epistêmicas são aquelas que, em tese, podem ser reduzidas ou eliminadas, através da coleta de

mais dados ou de melhor conhecimento do problema (BECK, 2009).

Enquanto que o efeito da incerteza intrínseca leva à probabilidade de falha

calculada, o efeito do tipo epistêmico leva à incerteza da probabilidade ou risco estimado. A

incerteza epistêmica pode ser reduzida através, por exemplo, da aplicação de melhores

modelos estruturais (ANG & TANG, 2007), e, portanto, está fora do escopo deste trabalho.

Com relação às incertezas intrínsecas, muitos estudos têm sido feitos no sentido de

determinar quais funções de distribuição de probabilidade melhor representam as mesmas. A

Tabela 2 apresenta algumas variáveis aleatórias de particular interesse para este trabalho e as

distribuições usuais para representá-las, de acordo com Ellingwood & Galambos (1982). O

intervalo de variação do coeficiente de variação para as VAs de resistência decorre do fato de

que o autor aborda as propriedades de acordo com a função estrutural do elemento em estudo.

Outras abordagens podem ser vistas em Melchers (1999) e Probabilistic Model Code (2001).

Tabela 2 - Distribuições de probabilidade comumente utilizadas na descrição de variáveis aleatórias da engenharia estrutural.

Variável aleatória Tipo Distribuição c.v.

de resistência Propriedades do Aço estrutural Lognormal 0,11 a 0,17

Propriedades do Concreto Lognormal 0,09 a 0,20

de solicitação Peso próprio Normal 0,10

Carga Acidental Gama 0,55

Dadas as distribuições usuais, convém formular o problema de confiabilidade

estrutural e definir o que é a probabilidade de falha dentro deste escopo.



31

2.5. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONFIABILIDADE

ESTRUTURAL INDEPENDENTE DO TEMPO

O problema fundamental de confiabilidade pode ser resolvido através da variável

denominada margem de segurança ( M ). Para um problema envolvendo apenas duas variáveis

aleatórias, resistência R e solicitação S , M é definida pela Equação (15), tratando-se

também de uma variável aleatória.

M R S= − (15)

A probabilidade de falha da estrutura passa a ser calculada a partir de M :

0[ 0] [ 0] ( ) (0)f M MP P R S P M f m dm F

−∞= − ≤ = ≤ = =∫ (16)

Caso R e S sejam variáveis aleatórias normais independentes, isto é, caso as

distribuições de probabilidades das variáveis não influenciem umas às outras, pode-se calcular

a média e o desvio padrão da variável M pelas Equações (17) e (18) (BECK, 2009).

M R Sµ µ µ= − (17) 2 2

M R Sσ σ σ= + (18)

Transformando a variável M em uma variável normal padrão Y , com média nula e

desvio padrão unitário, através da Equação (19), é possível avaliar probabilidades associadas

a esta variável utilizando-se da função de distribuição acumulada normal padrão, ().Φ Dessa

forma, a probabilidade de falha pode ser calculada pela Equação (20).

M

M

MY

µσ−

= (19)

[ 0] M M

M M

P M P Yµ µσ σ

≤ = ≤ − = Φ −

(20)



32

Constata-se que M

M

µσ

é a distância entre o ponto correspondente a 0m = e a origem

da distribuição de Y , esta distância é chamada de índice de confiabilidade, representada por

β e utilizada freqüentemente como uma medida da confiabilidade.

Para um problema estrutural envolvendo apenas variáveis aleatórias, ou seja,

desprezando a variação das variáveis aleatórias no tempo, o vetor de variáveis aleatórias que

caracteriza o problema é simplesmente chamado de X . Trata-se de uma generalização de M

para um número qualquer de variáveis aleatórias, sendo que, em geral, estas variáveis

aleatórias são de resistência ou de solicitação.

A probabilidade de falha é obtida então integrando-se a função conjunta de

densidade de probabilidades ( )fX x sobre o domínio de falha, conforme a Equação a seguir.

( )f

fD

P f dx= ∫ X x (21)

A solução da integral apresentada é feita por meio de vários métodos. No presente

trabalho foi utilizado o Método de Confiabilidade de Primeira Ordem, ou FORM (First Order

Reliability Method), descrito na próxima seção.

2.6. MÉTODO DE CONFIABILIDADE DE PRIMEIRA ORDEM (FORM)

O Método de Confiabilidade de Primeira Ordem ou FORM (First Order Reliability

Method) é um dos métodos para cálculos de confiabilidade estrutural disponíveis no programa

StRAnD (Structural Risk Analysis and Design, BECK, 2007) e foi o método adotado neste

trabalho. O FORM é um método que permite estimar eficientemente a confiabilidade, mesmo

em processos que exigem muitas repetições, tais como o processo de otimização estrutural

(ENEVOLDSEN & SORENSEN, 1994).

Conforme apresentado em Beck (2009), este método parte da construção de uma

função conjunta de distribuição de probabilidades ( )fX x , utilizando as distribuições de

probabilidades marginais (distribuições de probabilidades de cada uma das variáveis

aleatórias do problema) e uma matriz de correlação formada pelos coeficientes de correlação

entre pares de variáveis. Nesta construção, as distribuições marginais originais são

transformadas em distribuições normais equivalentes (conjunto de variáveis aleatórias

correlacionadas), são determinados os coeficientes de correlação equivalentes para as



33

distribuições marginais normais e em seguida a correlação é eliminada, ou seja, incorporada

às distribuições marginais. Dessa forma, a função ( )f xX é transformada em uma distribuição

normal padrão multivariada ( )fY y .

Este processo envolve a transformação do vetor de variáveis aleatórias X , com

média e desvios-padrão qualquer, em um conjunto Y de variáveis aleatórias normais com

média nula e desvio-padrão unitário, operação feita por meio da chamada transformação de

Hassofer e Lind (Equação (22)).

i

i

i X

i

X

XY

µσ−

= (22)

Aplicando-se a transformação às variáveis aleatórias R e S do problema de

confiabilidade fundamental (Equação (16)), obtém-se as variáveis transformadas 1Y e 2Y . A

expressão da margem de segurança passa a ser:

1 2 1 2( , ) R R S Sm y y r s y yσ µ σ µ= − = + − − (23)

Para 1 2( , ) 0m y y = obtém-se 2y em função de 1y , das médias e desvios-padrão.

12

R R S

S

yy

σ µ µσ+ −

= (24)

O quadrado da distância entre um ponto qualquer 1 2( , )y y e a origem é dado por

2 2 21 2d y y= + . Derivando em relação a 1y e igualando a zero (condição de mínimo), obtém-se

a coordenada *1y do ponto sobre a equação 1 2( , ) 0m y y = mais próximo da origem.

*1 2 2

( )R R S

R S

yσ µ µ

σ σ−

= −+

(25)

Derivando o quadrado da distância em relação a 2y e igualando a zero, obtém-se a

respectiva coordenada *2y .



34

*2 2 2

( )S R S

R S

yσ µ µ

σ σ−

= −+

(26)

Substituindo o chamado ponto de projeto * *1 2( , )y y na expressão 2 2 2

1 2d y y= + ,

encontra-se a expressão para a mínima distância entre a equação 1 2( , ) 0m y y = e a origem.

min 2 2R S

R S

dµ µ

σ σ−

=+

(27)

Observa-se que o índice de confiabilidade β é igual a mind , ou seja, corresponde à

mínima distância entre a equação de estado limite e a origem do espaço normal padrão.

A solução do problema de confiabilidade via FORM envolve a solução de um

problema de otimização para busca do ponto de projeto. A seguir é descrito superficialmente

um método que foi desenvolvido especificamente para solução do problema de otimização em

confiabilidade estrutural, denominado HLRF (Hassofer, Lind, Rackwitz e Fiessler), bem

como uma modificação do mesmo que garante convergência. Este método modificado é o

método utilizado pelo programa StRAnD.

2.6.1. Algoritmo de Hassofer, Lind, Rackwitz e Fiessler

A fórmula recursiva do algoritmo HLRF baseia-se na aproximação de um ponto

qualquer y à superfície ( ) 0g =y e na perpendicularização entre o vetor y e a tangente à

superfície no ponto (BECK, 2009).

Sendo ky um ponto inicial qualquer que pode estar fora da superfície de falha,

aproxima-se a equação de estado limite com os termos de primeira ordem de sua expansão em

série de Taylor neste ponto:

1 1( ) ( ) ( ) ( )T

k k k k kg g g+ += + ∇ ⋅ −y y y y y (28)

( )kg∇ y é o gradiente da equação de estado limite (no espaço normal padrão)

avaliado no ponto ky . Nos exemplos numéricos deste trabalho, o gradiente é calculado

utilizando-se o método das diferenças finitas no programa StRAnD.



35

Para a equação linearizada procura-se um novo ponto 1k +y , de forma que

1( ) 0kg + =y . O valor inicial do índice de confiabilidade é dado por T

k k kβ = ⋅y y e o vetor de

cossenos diretores da equação de estado limite (kα ) é definido por:

( )

( )k

k

k

g

g

∇=

∇y

αy

(29)

Dessa forma, chega-se à seguinte expressão para determinação do novo ponto:

1

( )

( )k

k k k

k

g

gβ+

= − + ∇

yy α

y (30)

O termo entre colchetes representa a nova aproximação do índice de confiabilidade.

A expressão é utilizada iterativamente até que se atinja convergência em y ou β .

Apesar de ser o algoritmo mais utilizado para encontrar o ponto de projeto em

problemas de confiabilidade estrutural, algumas modificações são necessárias para que a

convergência seja garantida.

A direção de busca inicial passa a ser determinada pela Equação (31).

1 2

( ) ( )( )

( )

T

k k kk k k k k

k

g gg

g+

∇ ⋅ −= − = ⋅∇ −

∇

y y yd y y y y

y (31)

No algoritmo HLRF original, o passo kλ era unitário:

1k k k kλ+ = +y y d (32)

Introduz-se uma função mérito ( )m y com o objetivo de determinar um passo ótimo.

A cada iteração, após determinar a direção de busca, seria realizada uma busca linear para

encontrar o passo kλ que minimiza a função mérito. Devido à dificuldade em resolver este

problema, admite-se um passo que apenas reduza a função mérito suficientemente. Para tal

propósito a regra de Armijo (LUENBERGER, 1984) pode ser utilizada.



36

2max ( ) ( ) ( ) ,p p p

k k k kp

b m b m ab gλ∈

= + − ≤ − ∇

y d y y

, (0,1)a b ∈ (33)

Zhang e Kiureghian (1997) propõem a seguinte função mérito, que apresenta

propriedades suficientes para assegurar convergência incondicional do algoritmo HLRF.

21( ) ( )

2m c g= +y y y (34)

Uma vez determinado o ponto de projeto, calcula-se (aproximadamente) a

probabilidade de falha desejada por meio da Equação (35).

( ) ( )f

fD

P f dy β= ≅ Φ −∫ Y y (35)



37

3. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

Existem inúmeros métodos de otimização disponíveis na literatura. A opção por

determinado método na solução de determinado problema envolve questões como eficiência,

confiabilidade e precisão.

Neste trabalho foram implementados inicialmente dois métodos heurísticos de

otimização, ou seja, métodos que não apresentam fundamentação matemática: o algoritmo de

otimização por enxame de partículas, ou PSO (Particle Swarm Optimization), e o algoritmo

genético SCE (Shuffled Complex Evolution). A seguir foram implementados dois métodos de

otimização com fundamentação matemática: o método de Powell Modificado e o Método de

Polak-Ribiere.

Por realizarem buscas simultâneas em diversas regiões do espaço de busca, os

algoritmos heurísticos supracitados são razoavelmente eficientes para a identificação da

região na qual se encontra a solução ótima global, porém lentos para convergir para tal

solução. Os algoritmos matemáticos apresentam convergência rápida, mão são susceptíveis a

problemas com mínimos locais. São capazes de chegar ao mínimo global desde que o ponto

de partida esteja próximo ou inserido na região na qual se encontra a solução ótima global.

Buscando aproveitar o melhor de cada algoritmo, os algoritmos matemáticos e heurísticos

foram acoplados, formando quatro algoritmos híbridos.

No processo de acoplamento foram verificadas possibilidades de melhorias no

algoritmo PSO com foco em sua utilização em algoritmos híbridos. Tais melhorias foram

efetuadas, englobando, dentre outras coisas, a otimização dos parâmetros do algoritmo PSO

por meio do método Simplex. O algoritmo PSO modificado foi denominado PSS (Particle

Swarm – Simplex) e foi aplicado apenas como constituinte de algoritmos híbridos, não como

um método heurístico à parte.

Neste capítulo, primeiramente é apresentado o problema geral de otimização. Em

seguida são abordados alguns detalhes e referências sobre os algoritmos heurísticos, passando

por uma breve descrição do Método Simplex, dos métodos matemáticos implementados, e,

finalmente, da busca unidirecional. Para efeito de organização, o Método Simplex e a busca

unidirecional são incluídos na seção 3.3. Por último, são descritas as estratégias híbridas

desenvolvidas.



38

3.1. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

O problema de otimização, também conhecido como problema de programação não-

linear (PNL), de acordo com Vanderplaats (1984), consiste basicamente em:

Minimizar ( )f z (36)

sujeita a

( ) 0jg ≤z , 1,...,j m= (37)

( ) 0kh =z , 1,...,k l= (38) min maxi i iz z z≤ ≤ , 1,...,i n= (39)

O problema consiste em minimizar a chamada função objetivo ( ( )f z ) sujeita a

restrições de igualdade ( )kh z , a restrições de desigualdade ( )j

g z e a limites impostos a cada

variável iz . O vetor z contém as variáveis de projeto, ou seja, aquelas variáveis cujo valor se

deseja determinar de forma a obter o menor valor possível da função objetivo e sem

desobedecer às restrições ou limites.

No presente trabalho os limites das variáveis, declarados pelo usuário, são

substituídos por restrições ( )il z , através da Equação (40), caso iz seja menor que o limite

inferior ( miniz ) ou através da Equação (41), caso iz seja maior que o limite superior ( max

iz ). A

restrição ( )il z é nula caso min maxi i iz z z≤ ≤ .

O fator de multiplicação 1000 foi introduzido para evitar, por exemplo, que nos

passos iniciais as variáveis de projeto assumam valores muito menores que zero, ou seja, para

assegurar que as variáveis não saiam dos limites estabelecidos.

( )2min( ) 1000i i il z z= ⋅ −z (40)

( )2max( ) 1000i i il z z= ⋅ −z (41)



39

Para resolver o problema de otimização, o Método do Lagrangiano Aumentado foi

adotado, de acordo com Vanderplaats (1984). Neste método as restrições são incluídas na

função objetivo, obtendo-se o Lagrangiano Aumentado ( A ), dado pela Equação (42), onde ρ

é um número real maior que zero, denominado parâmetro de penalidade. O problema assim

transformado tem soluções iguais ou parecidas às do problema original (MARTÍNEZ, 2009).

2 2 2

1 1 1

( , , ) ( ) ( ) [ ( )]m l N

j j j k m k k m l i m i m i

j k i

A f h hλ ρ λ ψ ρψ λ ρ λ ψ ρψ+ + + + += = =

= + + + + + + ∑ ∑ ∑z z z z (42)

O parâmetro de penalidade é inicializado com um valor pequeno e é multiplicado

diversas vezes por um valor maior que 1, à medida que o problema de otimização vai sendo

resolvido. Maiores detalhes sobre o mesmo podem ser encontrados em Vanderplaats (1984),

no capítulo que aborda o método da penalidade.

Na Equação (42) tem-se que:

max ( ),2

j

j jgλ

ψρ

= −

z (43)

max ( ),2m l i

m i ilλψ

ρ+ +

+

= −

z (44)

Além disso, os multiplicadores de Lagrange ( λ ) são atualizados utilizando as

Equações (45), (46) e (47), para cada nova iteração 1ite + .

1 2 max ( ),2

ite

jite ite ite

j j jgλ

λ λ ρρ

+ − = +

z , 1,...,j m= (45)

1 2 ( )ite ite ite

k m k m khλ λ ρ++ += + z , 1,...,k l= (46)

1 2 max ( ),2

iteite ite ite m l im l i m l i il

λλ λ ρρ

+ + ++ + + +

− = +

z , 1,...,i n= (47)

Dentre as características atrativas do Lagrangiano Aumentado apresentadas em

Vanderplaats (1984), algumas são de particular interesse deste trabalho: o ponto inicial pode

ser factível ou não, sendo que um ponto é considerado factível (ou admissível) caso satisfaça



40

a todas as restrições; o método é relativamente insensível ao valor do parâmetro de

penalização, de forma a não ser necessário fazer ρ tender ao infinito para chegar ao ponto

ótimo; no ponto ótimo, os valores de 0jλ ≠ identificarão automaticamente o conjunto de

restrições ativas. Outras importantes características do método podem ser vistas em Martínez

(2009).

Um fluxograma do método do Lagrangiano Aumentado é apresentado a seguir. Os

multiplicadores de Lagrange iniciais ( 0λ ) são nulos, o valor inicial do parâmetro de

penalidade ( ρ ) e de seu coeficiente de multiplicação ( coefρ ) são definidos pelo usuário. O

ponto inicial ( 0z ) é definido pelo usuário para os métodos de Powell e de Polak-Ribiere,

determinado automaticamente nos métodos híbridos e não utilizado nos métodos heurísticos.

São adotados critérios de parada para avaliação de convergência ou não

convergência. Considera-se que a solução convergiu se a Inequação (48) é satisfeita, onde tol

é a tolerância definida pelo usuário. Admite-se que não houve convergência se ite nitemax> ,

sendo nitemax o máximo número de iterações, também definido pelo usuário. O objetivo da

adição de um número muito pequeno ( 251 10−× ) na Inequação (48) é evitar divisões por zero.

1

1 11 25

( , , ) ( , , )( ) ( )

( , , ) 1 10

ite ite

ite ite T ite ite

ite

A Atol

A

λ ρ λ ρλ ρ

−− −

− −

− + − ⋅ − ≤

+ ×

z zz z z z

z (48)

Figura 3 - Fluxograma do Método do Lagrangiano Aumentado.

Início

Dados: 0 0, , , coefλ ρ ρz

Minimar ( , , )A λ ρz

Sem restrições

Parar? FIM V

Atualiza multiplicadores de Lagrange pelas Eqs. (45),

(46) e (47).

coefρ ρ ρ← ⋅

F



41

3.2. MÉTODOS HEURÍSTICOS

3.2.1. PSO

O método Particle Swarm Optimization (Otimização por Enxame de Partículas) foi

inspirado no comportamento social de organismos biológicos, especificamente na capacidade

que algumas espécies animais apresentam de trocar informações entre si durante a busca por

pontos desejados numa determinada área. Isto ocorre, por exemplo, quando pássaros

sobrevoam um local a procura de comida (BRATTON & KENNEDY, 2007).

Partindo desta inspiração, o método foi modificado de forma a formulá-lo

matematicamente. Muitos pesquisadores expandiram a ideia original, inserindo novas ideias e

criando diversas versões do PSO. Neste trabalho uma versão semelhante à do PSO original

com inércia, apresentada em Bratton & Kennedy (2007), foi implementada e é descrita a

seguir.

Seja N o número de variáveis de otimização. Cada partícula i é composta por três

vetores: sua posição no espaço de busca N -dimensional 1 2( , ,..., )i i i iNz z z=z , a melhor

posição pela qual a partícula passou até então 1 2( , ,..., )i i i iNp p p=p e sua velocidade

1 2( , ,..., )i i i iNv v v=v . As partículas são inicializadas aleatoriamente, procurando distribuí-las

por todo o espaço de busca, através de uma distância mínima entre partículas. Essa distância é

definida calculando-se primeiramente o volume N -dimensional da região de busca.

Dividindo esse volume pelo número de partículas, obtém-se um volume de referência.

Tomando-se uma esfera N -dimensional de diâmetro esferad e volume igual ao volume de

referência, tem-se que a distância mínima é igual a 90% deste diâmetro. As velocidades das

partículas também são inicializadas aleatoriamente, devendo obedecer às velocidades limite

definidas pelas Equações (49) e (50), ou seja, min maxj ij jv v v≤ ≤ , para 1,...,j N= .

max minmax ( )j j

j

z zv

H

−= (49)

min max1j j

v v= − ⋅ (50)

O parâmetro H e os valores limite de cada uma das variáveis de otimização jz são

definidos pelo usuário.



42

Tomando-se o vetor 1 2( , ,..., )g g g gNp p p p=

como sendo a melhor posição

encontrada dentre todas as partículas (melhor posição global), em cada nova iteração ( 1ite + )

a velocidade e a posição de cada partícula i são atualizadas pelas Equações (51) e (52),

respectivamente. Nestas Equações, 1c e 2c são constantes definidas pelo usuário, que refletem

a autoconfiança e a confiança no melhor indivíduo do enxame (aquele que passou pela melhor

posição global), respectivamente; 1al e 2al são números aleatórios entre zero e um.

11 1 2 2( ) ( )ite ite ite ite ite ite

ij ij ij ij gj ijv w v c al p z c al p z+ = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − , 1,...,j N= (51)

1 1ite ite ite

ij ij ijz z v+ += + , 1,...,j N= (52)

As velocidades e posições das partículas devem estar sempre de acordo com seus

limites, de forma que valores maiores que os máximos são substituídos pelos máximos e

valores menores que os mínimos pelos mínimos estabelecidos.

A chamada inércia da partícula, w , é um número cujo valor inicial é definido pelo

usuário e decai a cada iteração de acordo com a Equação (53), onde 1ite + é o número da

próxima iteração.

1(0,99 )itew w

+= ⋅ (53)

Na solução de problemas utilizando o Lagrangiano Aumentado e o PSO, os

multiplicadores de Lagrange foram definidos como nulos e o parâmetro de penalidade como

uma constante 81 10ρ = × . Os critérios de parada adotados foram: número máximo de

iterações ( nitemax , definido pelo usuário) e a média das três últimas variações relativas dos

valores do Lagrangiano Aumentado. A variação relativa é dada pela Equação (54), onde antA

é o melhor valor da iteração passada e novoA é o melhor valor da presente iteração.

25

( )variaçao

( 1 10 )novo ant

ant

A A

A−

−=

+ × (54)

O resultado final obtido é a melhor posição global juntamente com o valor

correspondente da função objetivo. Detalhes sobre o algoritmo PSO podem ser encontrados

em Poli, Kennedy & Blackwell (2007) ou Carrillo (2007). Um fluxograma do algoritmo

básico implementado neste trabalho é apresentado na Figura 4.



43

Figura 4 - Fluxograma do Algortimo PSO básico.

3.2.2. Algoritmo Genético SCE

Os Algoritmos Genéticos (AGs) foram inspirados nos mecanismos de evolução de

populações de seres vivos. Eles seguem o princípio da seleção natural e sobrevivência do mais

apto, declarado por Charles Darwin, em 1859, em seu livro “A origem das espécies”

(CARVALHO & LACERDA, 1999).

Neste método são criados vários indivíduos no espaço de busca, ou seja, vários

pontos iniciais z no espaço N -dimensional. Os indivíduos são inicializados aleatoriamente,

procurando distribuí-los ao longo de todo o espaço de busca, por meio de uma distância

mínima entre partículas, da mesma forma que no algoritmo PSO.

Os indivíduos são selecionados de acordo com seu valor de Lagrangiano

Aumentado. Aplica-se o chamado cruzamento (ou crossover) sobre os mesmos, gerando

(sempre que possível) melhores indivíduos e eliminando os piores. Entende-se por melhor

indivíduo aquele que apresenta menor valor da função Lagrangiano Aumentado.

Outras operações ou conceitos podem ser aplicados à população, tais como a

mutação e o elitismo. As diferentes formas de cruzamento, mutação e outras operações, bem

Início

Gera partículas aleatórias

Atualiza posição e velocidade de cada partícula

Parar? FIM V

1(0,99 )itew w

+= ⋅

1ite ite← +

F

Calcula valor de ( , , )A λ ρz

para cada partícula

Atualiza valores de ( , , )A λ ρz ,

melhores posições (inclusive global) e vetor com três últimas variações



44

como a utilização ou não de elitismo e outros conceitos, levam aos diferentes tipos de

algoritmos genéticos.

No presente trabalho foi implementado o algoritmo genético SCE (Shuffled Complex

Evolution), desenvolvido por Duan, Sorooshian & Gupta (1992), conforme apresentado em

Diniz (1999). Neste método a população é dividida em subcomplexos, ou comunidades, e é

aplicado o esquema de procura Simplex (NELDER & MEAD, 1965) para evolução de cada

subcomplexo (SANTOS, SUZUKI & WATANABE, 2003). Trata-se, pois, de um algoritmo

genético no qual o cruzamento é feito utilizando o método Simplex (abordado na próxima

seção deste capítulo).

Optou-se por trabalhar sempre com subcomplexos de três indivíduos. Desta forma,

caso o número de indivíduos não seja múltiplo de três, alguns indivíduos não participam dos

cruzamentos. A escolha aleatória dos indivíduos que compõem cada subcomplexo faz com

que diferentes indivíduos sejam deixados de lado em cada iteração.

Além do cruzamento Simplex, aplicado em cada subcomplexo, a operação mutação

é aplicada em cada indivíduo. Uma probabilidade de mutação ( mutP ) é definida pelo usuário, e

pode gerar perturbações de até 0,75 mutP⋅ em cada característica do indivíduo. A perturbação é

dada por 0,75 mutP n⋅ ⋅ , onde n é um número aleatório entre zero e um.

A população sofre cruzamentos e mutações até que pelo menos um dos critérios de

parada seja atingido. Os critérios de parada adotados são os mesmos do algoritmo PSO. O

resultado final obtido é o melhor indivíduo, juntamente com o respectivo valor da função

objetivo.

Na solução de problemas usando AG’s e Lagrangiano Aumentado, os

multiplicadores foram definidos como nulos e o parâmetro de penalidade como uma constante

81 10ρ = × , como no algoritmo PSO. O fluxograma resultante é mostrado na Figura 5.



45

Figura 5 - Fluxograma do algoritmo genético SCE.

3.3. MÉTODOS COM FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA

3.3.1. Método SIMPLEX

O método simplex não-linear, ou NSM (Nonlinear Simplex Method), desenvolvido

por Nelder & Mead (1965), é um método de minimização de funções que não utiliza

derivadas, apenas valores da função objetivo. O método se utiliza de uma figura geométrica

constituída de 1N + vértices e todos os segmentos, poligonais e faces que os interconectam,

denominada N -dimensional simplex, ou simplesmente simplex.

O simplex é submetido a uma série de passos nos quais se procura substituir o

vértice com mais alto valor da função objetivo (da função Lagrangiano Aumentado, no

presente trabalho) por um ponto com menor valor. De acordo com Parsopoulos & Vrahatis

(2002), existem quatro possíveis movimentos de um simplex: reflexão, reflexão e expansão,

contração e contração múltipla. A experiência deste autor mostra que, com os passos de

contração múltipla e de reflexão e expansão, os benefícios não justificaram os custos

computacionais. Desta forma, tais passos foram ignorados, restando apenas os passos de

reflexão e contração.

Início

Gera indivíduos aleatórios

Aplica crossover sobre os subcomplexos e mutação sobre os indivíduos

Parar? FIM V

1ite ite← +

F

Calcula valor de ( , , )A λ ρz para

cada indivíduo e os seleciona

Atualiza ( , , )A λ ρz e o vetor com as

três últimas variações, seleciona indivíduos.



46

Considere o caso bidimensional como exemplo, no qual o simplex é formado por

três vetores 1z , 2z e 3z . Adotando 3z como o ponto com maior valor da função objetivo,

define-se os passos aqui utilizados. O passo de reflexão, que corresponde à reflexão do pior

ponto sobre a face oposta ao mesmo, é dado pela Equação (55). O passo de contração, que

corresponde a uma contração do pior ponto em direção ao centróide, é dado pela Equação

(56). Esses passos são mostrados na Figura 6.

1 2 3i i i iz z z z= + − , 1, 2i = (55)

1 2 3( 2 ) / 4i i i iz z z z= + + ⋅ , 1, 2i = (56)

Figura 6 - Passos de contração e reflexão do NSM.

A adoção de subcomplexos de três indivíduos no algoritmo genético SCE leva à

aplicação direta dos passos mostrados acima nos cruzamentos. A aplicação do método

Simplex ao algoritmo PSO, na geração do algoritmo PSS, é descrita na subseção “Utilizando

o algoritmo PSO (PSS)”, presente na seção 3.4.

3.3.2. Método de Powell Modificado

O Método de Powell é uma variação do Método de Busca por Movimento Baseado

em Amostragem e tem por idéias básicas:

a) Minimizar a função uma vez em cada direção coordenada ( id , 1,...,i n= );

b) Minimizar a função em direção obtida por amostragem ( qd );

c) Substituir ciclicamente as direções coordenadas, ou seja, a primeira das direções

coordenadas é substituída pela segunda, a segunda pela terceira, e assim

sucessivamente até a penúltima direção;

d) Substituir a última direção coordenada pela direção obtida por amostragem.



47

Tomando um ponto inicial 0z e um ponto final Nz , com N0 , N ∈ℜz z , após

efetuados N passos nas direções coordenadas, tem-se a direção qd obtida por amostragem:

0q N= −d z z (57)

O algoritmo original de Powell, acima descrito, é aplicado nos problemas com cinco

ou menos variáveis de projeto. Powell constatou que, em especial para funções com mais de

cinco variáveis, seu algoritmo poderia levar a direções de busca linearmente dependentes, e

desenvolveu um método modificado.

No método de Powell modificado, conforme apresentado em Cordeiro (2007), a

direção de busca obtida por amostragem só é englobada nas direções de busca se algumas

condições são satisfeitas. Definindo para a iteração *ite : *1 0( , , )ite

f A λ ρ= z , *2 ( , , )ite

Nf A λ ρ= z

e *3 1( , , )ite

Nf A λ ρ+= z , onde *1

ite

N +z é o ponto obtido pela busca na direção obtida por

amostragem. Definindo ainda * * *1

1,...,max[ ( , , ) ( , , )]ite ite ite

i ii N

A Aλ ρ λ ρ−=∆ = −z z . As condições para

substituir uma das direções de busca pela direção obtida por amostragem são apresentadas nas

Inequações (58) e (59), bastando que uma das duas condições seja satisfeita. A direção de

busca a ser substituída é aquela que apresentou maior variação na iteração *ite , designada por

maxqd .

3 1f f< (58)

* 2 * 21 2 3 1 2 1 3

1( 2 ) ( ) ( )

2ite ite

f f f f f f f− ⋅ + ⋅ − − ∆ < ⋅ ∆ ⋅ − (59)

Para verificar a convergência do algoritmo três critérios de parada foram adotados.

Os dois primeiros levam em conta a tolerância definida pelo usuário e consideram que o

algoritmo convergiu se o erro definido pela Equação (60) e/ou a soma definida pela Equação

(61) são menores que a tolerância.

* * * 1 * * 13 120

1

( )( ) ( )

1 10ite ite ite T ite itef f

errof

− −−

−= + − ⋅ − + ×

z z z z (60)



48

1

N

q i

i

soma q=

=∑d d (61)

O terceiro critério de parada é baseado em um número máximo de iterações do

método de Powell ( *ite ), sendo este máximo o valor mínimo entre 3 e 1ite + , onde ite

refere-se ao número da iteração do método do Lagrangiano Aumentado. Como, em geral, são

efetuadas várias iterações com valores cada vez maiores do parâmetro de penalidade, não é

necessário um resultado preciso para cada iteração ite , por isso a adoção de um número

máximo de iterações relativamente pequeno.

A Figura 7 apresenta um fluxograma do Método de Powell Modificado.



49

Figura 7 - Fluxograma do Método de Powell Modificado.

3.3.3. Método de Polak-Ribiere

O método de Polak-Ribiere é dito um método primeira ordem por utilizar o

gradiente da função a ser minimizada, ou seja, a primeira derivada da mesma, mas não

derivadas de maior ordem.

Início

q q←d e , 1,...,q n=

←y z 1α← + ⋅z z d

Selecionar α tal que

Minimize 1( , , )A α λ ρ+ ⋅z d , α ∈ℜ

2q ←

q n> Nq ← −d z y


minimize ( , , )qN

A α λ ρ+ ⋅z d ,

α ∈ℜ

qNα← + ⋅z z d 1q q−←d d , 2,...,q n=

n qN←d d


minimize ( , , )q

A α λ ρ+ ⋅z d ,

α ∈ℜ

F

qα← + ⋅z z d

1q q← +

V

5n > F

Satisfaz às ineqs. (58) e/ou (59)

F

V

1q q−←d d ,

(max 1),...,q n= +

maxn q←d d

V

Parar?

FIM

V

F



50

Os métodos de primeira ordem são considerados neste trabalho por sua eficiência e

por requererem bem menos memória computacional que outros métodos existentes,

características essas importantes na resolução de problemas de muitas variáveis.

Dentre os métodos de primeira ordem mais conhecidos estão o de Fletcher-Reeves

(FR) e o de Polak-Ribiere (PR). Na prática o método de PR é preferido em relação ao de FR

(GRIPPO & LUCIDI, 1995), tendo sido, portanto, adotado neste trabalho.

Conforme Vanderplaats (1984), na primeira iteração do Método de Polak-Ribiere a

direção de busca é tomada como o negativo do gradiente do Lagrangiano Aumentado

(Equação (62), onde 1ite = ).

( , , )ite iteA λ ρ= −∇d z (62)

Nas outras iterações a direção de busca é conjugada de acordo com a Equação (63).

1( , , )ite ite ite

iteA λ ρ β −= −∇ +d z d (63)

Na Equação (63) iteβ é um escalar, definido pela Equação (64).

( )1( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

Tite ite ite

ite ite T ite

A A A

A A

λ ρ λ ρ λ ρβ

λ ρ λ ρ

−∇ −∇ ⋅∇=

∇ ⋅∇

z z z

z z (64)

Devido à natureza do problema a ser resolvido, ou a imprecisões numéricas nas

buscas unidimensionais, pode ser necessário reiniciar o processo (VANDERPLAATS, 1984).

Isso é feito calculando a direção de busca novamente pela Equação (62) e voltando a utilizar a

Equação (63) nas iterações seguintes. A reinicialização ocorre após, no máximo, m iterações,

onde m é o menor valor entre o número de variáveis de projeto e 3, podendo ocorrer menos

iterações caso o comprimento do vetor direção de busca se aproxime de zero.

A quantidade de reinicializações no método de PR depende de um critério de parada,

no qual se considera que o algoritmo convergiu se o erro definido pela Equação (65) (para

cada iteração ite ) é menor que a tolerância determinada pelo usuário.

1 1( ) ( )ite ite ite T ite iteerro

− −= − ⋅ −z z z z (65)



51

Para cada iteração do Método do Lagrangiano Aumentado, no máximo duas

iterações do Método de Polak-Ribiere são efetuadas. No entanto, o número de iterações

máximas pode ser modificado a depender da complexidade do problema.

Um fluxograma do Método de Polak-Ribiere é apresentado na Figura 8.

Figura 8 - Fluxograma do Método de Polak-Ribiere.

Início

( , , )ite iteA λ ρ← −∇d z

1k = Calcula

iteβ

Parar? FIM V

1k k← +

F


minimize ( , , )iteA α λ ρ+ ⋅z d ,

α ∈ℜ

1( , , )ite ite ite

iteA λ ρ β −← −∇ +d z d


minimize ( , , )iteA α λ ρ+ ⋅z d , α ∈ℜ

1

N

i

i

tol=

≤∑ d ou k m> F

V



52

3.3.4. Busca Unidirecional

Nos métodos com fundamentação matemática aplicados neste trabalho (Powell

Modificado e Polak-Ribiere), a otimização é feita determinando primeiramente uma direção

de busca (d ) e, em seguida, realizando a chamada busca unidirecional naquela direção. Esta

busca consiste em determinar α ∈ℜ que leve a um menor valor de ( , , )A α λ ρ+ ⋅z d e

substituir o vetor z por α+ ⋅z d . O processo (determinação de d , determinação de α e

atualização de z ) se repete até que o critério de parada seja satisfeito.

Existem vários métodos de busca unidirecional. A opção por um destes métodos em

particular depende das características do mesmo, bem como das características do método que

define as direções de busca. A eficiência do algoritmo é definida então pelo conjunto formado

pelos dois tipos de método.

Várias tentativas foram feitas na procura por métodos que apresentassem bons

resultados em conjunto com os algoritmos de Powell e de Polak-Ribiere. Foram

implementados o algoritmo da seção áurea, a interpolação quadrática, a interpolação cúbica

(VANDERPLAATS, 1984), a regra de Armijo (RIGO, 1999) e o algoritmo de Davies, Swann

e Campey (DSC), entre outros. Ao final, foi adotado um algoritmo semelhante ao DSC, cuja

descrição é dada por Cordeiro (2007). Na primeira iteração de otimização, ou quando α da

iteração anterior é muito pequeno, determina-se um valor inicial para α . Este valor inicial

( 0α ) é uma fração da variação máxima possível de α , de acordo com o ponto z , a direção de

busca atual e os limites das variáveis de projeto. A partir de α inicial é feita uma busca

imprecisa, tentando encontrar α tal que ( , , )A α λ ρ+ ⋅z d seja maior que ( , , )A λ ρz , dividindo

este α por dois e efetuando uma interpolação quadrática (ver Cordeiro, 2007). O valor de α

será o que conduz ao menor valor de ( , , )A α λ ρ+ ⋅z d , dentre os cinco seguintes valores: os

quatro últimos da busca imprecisa e o obtido pela interpolação quadrática. Durante a

execução do algoritmo, os α e seus respectivos valores de Lagrangiano Aumentado são

armazenados numa matriz denominada [ ]Q . A Figura 9 e a Figura 10 apresentam

fluxogramas do método de busca para os métodos de Polak-Ribiere e Powell,

respectivamente, partindo do valor inicial 0α .

Constata-se a existência de três detalhes que foram implementados no sentido de

melhorar (na prática) a eficiência dos algoritmos. O primeiro detalhe é a diminuição do α

caso ( , , )A α λ ρ+ ⋅z d encontrado seja muito maior que ( , , )A λ ρz , tratando-se de uma



53

tentativa de obter uma melhor aproximação na interpolação quadrática. Os demais detalhes

referem-se exclusivamente ao método de Powell. Trata-se da mudança do sentido da busca e

da verificação do valor do Lagrangiano no sentido contrário ao definido para a busca.

Figura 9 - Fluxograma do método de busca unidirecional para o método de Polak-Ribiere.

Início

1contador ←

0 0( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d

20contador > 2α α← ⋅

1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d

Armazena valores na matriz [ ]Q .

1contador contador← +

F V

1 0/ 5A A >

1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


0.75α α← ⋅ V

2 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


0.5α α← ⋅

F

Determina α por interpolação quadrática (com

0A , 1A e

2A ). 1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d

Armazena valores na matriz [ ]Q . Obtém α e A da matriz [ ]Q .

FIM



54

Figura 10 - Fluxograma do método de busca unidirecional para o método de Powell.

Início

1contador ←

1 0( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


1 0A A>

0 0( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d

1 0( , , )A A α λ ρ← − ⋅z d

Armazena valores na matriz [ ]Q . V

F

20contador > 2α α← ⋅

1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


1contador contador← +

F V

1 ( 0.2 , , )A A α λ ρ← − ⋅ ⋅z d


1 0/ 5A A >

1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


0.75α α← ⋅ V

2 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


0.5α α← ⋅

F

Determina α por interpolação quadrática (com

0A , 1A e

2A ). 1 ( , , )A A α λ ρ← + ⋅z d


Obtém α e A da matriz [ ]Q .

FIM



55

3.4. ESTRATÉGIAS HÍBRIDAS

Estratégias híbridas são obtidas por meio do acoplamento de um algoritmo

heurístico a um algoritmo matemático. O algoritmo heurístico é utilizado para cobrir todo o

domínio, identificando a região do mínimo global. O algoritmo matemático, partindo de um

ponto nesta região, chega rapidamente ao mínimo. Esta estratégia aumenta a confiabilidade

em relação aos métodos matemáticos, pois há maior confiança de se chegar ao mínimo global,

e aumenta a eficiência em comparação com o algoritmo heurístico puro. A seguir são

descritas as estratégias desenvolvidas neste trabalho, de acordo com o algoritmo heurístico

empregado.

3.4.1. Utilizando o Algoritmo Genético

O algoritmo genético SCE sem modificações foi aplicado para geração de um ponto

inicial para os algoritmos de Powell e de Polak-Ribiere, gerando dois algoritmos híbridos,

respectivamente.

A resolução de alguns problemas de otimização simples levou ao estabelecimento do

número de indivíduos e da taxa de mutação como sendo iguais a 21 N⋅ (onde N é o número

de variáveis de otimização) e 20% , respectivamente. A quantidade de indivíduos também é

limitada por questões de memória computacional, sendo definido um máximo de 150

indivíduos.

3.4.2. Utilizando o algoritmo PSO (PSS)

Procurando-se um algoritmo de maior eficiência para geração do ponto inicial,

várias modificações foram feitas no algoritmo PSO, dando origem ao aqui denominado PSS

(Particle Swarm – Simplex).

A primeira alteração foi feita na forma como são geradas as partículas iniciais.

Calcula-se a quantidade de partículas iniciais ( Np ) através da Equação (66). Caso o número

de variáveis de projeto seja menor que um máximo denominado hip

Nmax , definido de acordo

com a memória computacional disponível, as primeiras (2 1)N + amostras são geradas por um

hipercubo N -dimensional com um ponto no centro, enquanto que as outras amostras iniciais

são geradas aleatoriamente, respeitando uma distância mínima, da mesma forma que no



56

método PSO. Caso o número de variáveis de projeto seja maior ou igual a hip

Nmax , se

houverem amostras suficientes para geração do hipercubo, o mesmo é gerado, sendo as outras

amostras geradas aleatoriamente, caso contrário, todas as amostras são geradas

aleatoriamente, aplicando-se a restrição de distâncias mínimas em ambos os casos.

[ ]min (2 1); (2 1) min 45;13hipNmax NNp N = + + + ⋅ (66)

A Figura 11 mostra o hipercubo juntamente com o ponto central para o caso

tridimensional.

Figura 11 - Hipercubo mais o ponto central para o caso 3D.

Para garantir uma melhor distribuição das amostras geradas aleatoriamente, os

limites das variáveis são transformados de forma que todas as variáveis passam a aceitar

valores entre 1− e 1, as amostras são geradas no espaço transformado e em seguida se aplica

a transformação inversa nas amostras e nos limites das variáveis.

Para as Np partículas da amostra inicial, calcula-se os valores do Lagrangiano

Aumentado. Para levar em conta a irregularidade da função objetivo, define-se uma

quantidade de amostras adicionais (ad

Np ) por meio de uma análise envolvendo o erro obtido

pelo ajuste de um hiperplano a estes dados. Tanto o erro quanto o hiperplano são definidos

conforme encontrado em Beck (2009). O hiperplano ( ( )hp z ) é definido pela Equação (67),

onde 0 ,..., Na a=A são coeficientes determinados através do método dos mínimos

quadrados, minimizando o erro dado pela Equação (68) em relação ao valor dos coeficientes.



57

01

( )N

i i

i

hp a a z=

= +∑z (67)

2

1

( ) ( ( , , ) ( ))Np

k k

k

Erro A hpλ ρ=

= −∑A z z (68)

Definindo os vetores 11, ,..., k k k

Nz z=V , 1,...,k Np= , obtém-se os coeficientes através da

Equação (69) (FARAVELLI, 1989).

1( )T T−= ⋅ ⋅ ⋅A Q Q Q B (69)

onde Q é a matriz cujas colunas são formadas pelos vetores kV e 1,..., ( , , )k

k NpA λ ρ ==B z .

O número de amostras adicionais é igual 5 ( )Erro⋅ A , tendo por mínimo e máximo

valores 5 e 50 , respectivamente. Essas amostras são geradas aleatoriamente também levando

em conta distâncias mínimas. Esta quantidade de partículas reflete um pouco a complexidade

do problema.

O enxame é divido então em três grupos, com / 3 2N − , / 3N e / 3 2N +

partículas. A cada grupo são atribuídos diferentes valores dos parâmetros 1c , 2c , w e H do

método PSO. Para um dos grupos estes valores correspondem aos definidos pelo usuário. Para

os outros dois grupos os valores sofrem um desvio de 15% para mais ou para menos,

respectivamente. Define-se também a média normalizada dos valores do Lagrangiano

Aumentado de cada grupo ( ite

gkA , 1, 2,3k = ) e a variação desta média para cada iteração

( varite

g kA , 1, 2,3k = ), calculada pela Equação (70).

1

var 1

ite ite

gk gkite

g k ite

gk

A AA

A

−

−

−= (70)

O passo de reflexão do método Simplex é aplicado aos grupos no sentido de

encontrar os valores dos parâmetros do PSO que levem à maior variação da média

normalizada, ou seja, procura-se o conjunto de parâmetros que possibilite às partículas

explorarem o espaço de busca o mais rápido possível.

Como se trata da aplicação do Simplex com apenas um passo e sem verificação do

ponto gerado por este passo, optou-se por incluir informações das variações médias de cada

grupo, o que, na prática, levou a melhoras na eficiência do algoritmo. No lugar do passo de



58

reflexão descrito pela Equação (55), tomando-se os parâmetros dos grupos em cada iteração

( ite

gkPar ) e supondo que o terceiro grupo é o que apresentou menor variação, o novo passo de

reflexão seria definido pelas Equações (71) e (72).

1 var1 2 var 2

var1 var 2

( )

( )

ite ite ite ite

g g g g

ite ite

g g

Par A Par ACentroide

A A

⋅ + ⋅=

+ (71)

13 32ite ite

g gPar centroide Par+ = ⋅ − (72)

Em resumo, o método PSS apresenta diferenças em relação ao PSO durante a

geração do enxame de partículas e na procura pelos parâmetros do PSO que aceleram a

exploração da região de busca. Por último, para fazer com que as partículas continuem a

busca pela região onde se situa o ponto ótimo por mais tempo foi definido um valor mínimo

para a inércia 0, 4w = , sendo este valor aplicado ao três grupos, quando necessário.

Este método (PSS) foi utilizado para obter um ponto inicial, a partir do qual é

realizada a busca do ponto ótimo via métodos de Powell ou Polak-Ribiere. Estas soluções são

indicadas por PSS_POWELL e PSS_PR nos exemplos do capítulo 5.



59

4. FORMULAÇÕES DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

Para estudar o efeito de incertezas, soluções obtidas através de três formulações

distintas são utilizadas: a otimização determinística, a otimização baseada em confiabilidade e

a otimização de risco baseada em confiabilidade. Neste capítulo mostra-se como as incertezas

são incluídas e/ou negligenciadas nestas formulações, os efeitos resultantes desta inclusão

e/ou negligência são estudados no capítulo 5.

Antes de apresentar cada uma das formulações, convém definir as funções objetivo

utilizadas, a saber: custo esperado total e custo de manufatura (englobando custos de material

e mão-de-obra).

O custo esperado total depende da definição do custo esperado de falha, que, por sua

vez, é o produto de um custo de falha pela respectiva probabilidade de falha. Portanto, o custo

esperado de falha é uma conseqüência da existência de incertezas.

Considere X e z como dois vetores de parâmetros de um sistema estrutural. O

vetor X inclui características geométricas, propriedades de resistência de materiais e de

membros estruturais, e solicitações. Alguns destes parâmetros são variáveis aleatórias por

natureza; outros não podem ser definidos deterministicamente devido a diversas fontes de

incerteza. Tipicamente, variáveis de resistência são representadas como variáveis aleatórias,

enquanto que as ações são representadas como variáveis aleatórias ou processos estocásticos.

O vetor z contém as variáveis do problema de otimização.

Uma conseqüência das incertezas é a probabilidade de falha. Para um vetor de

variáveis aleatórias X , esta pode ser determinada pelas Equações (21) ou (35), conforme

apresentado.

O custo total esperado de um sistema estrutural que apresenta risco de falha pode ser

decomposto em: custo inicial ou de construção da estrutura; custo de operação; custo de

inspeções e de manutenção e custo esperado de falha.

O custo esperado de falha, ou risco de falha, é o produto do custo de falha pela

probabilidade de falha para cada modo de falha distinto. Isto significa um custo potencial que

pode (ou não) ocorrer ao longo da vida útil da estrutura.



60

Custo esperado de falha ( , ) = custo de falha ( ) × ( , )fPz X z z X (73)

O custo de falha inclui custos de reparo ou de substituição dos componentes

danificados, custo de reconstrução completa do sistema, custo de indenizações pagas a

funcionários e à terceiros em decorrência da falha, e outros. Para determinar o custo esperado

de falha, é necessário quantificar o custo de falha em termos monetários, bem como

determinar a probabilidade de falha. A probabilidade de falha é avaliada utilizando-se a teoria

de confiabilidade estrutural.

Para cada modo de falha do sistema ou de componentes do mesmo haverá um

componente de custo esperado de falha. O custo esperado total do sistema é dado pela soma

de todos os termos parciais de custo, incluindo os custos esperados de falha:

i# modos de falha

Custo esperado total ( , ) = custo inicial ( )

+ custo operação ( )

+custo inspeção e manutenção( )

+ custo de falha ( ) ( , )fP⋅∑

z X z

z

z

z z X

(74)

O custo inicial e o custo de operação aumentam diretamente com o nível de controle

ou de segurança utilizados. O custo inicial ou de construção depende diretamente dos

coeficientes de segurança adotados em projeto. O custo de operação aumenta com o nível de

controle porque o aumento da segurança exige mais equipamentos de segurança, maior

redundância de equipamentos críticos, maior conservadorismo na utilização do sistema e

maiores gastos em manutenção.

O custo esperado de falha, obviamente, diminui com o aumento da segurança e do

nível de controle do sistema, pois a probabilidade de falha diminui. Esta redução no custo

esperado de falha com o aumento da segurança não acontece de maneira proporcional, pois a

partir de determinado nível de controle ou segurança o custo esperado de falha não se reduz

de maneira significativa.

4.1. OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DETERMÍNISTICA

A otimização estrutural determinística (DDO – Deterministic Design Optimization)

aborda o problema da busca por um projeto ótimo do ponto de vista econômico, visando



61

redução no uso de materiais, mas não verifica diretamente o aspecto de segurança, ou seja, a

estrutura é otimizada sem que sejam calculadas probabilidades de falha.

O problema de otimização consiste em:

/

encontrar: *

que minimize: custo( ), peso( )

sujeito a: critério de falha determinístico ( ( ) / )escoamento rupturaσ σ λ<

z

z z

z

(75)

Na Equação (75), λ é o coeficiente de segurança, que não é uma variável de

otimização, mas sim um parâmetro do problema. A função custo inclui apenas custo (ou

volume) dos materiais estruturais, podendo incluir também alguns custos de manufatura e/ou

de manutenção ou reparo da estrutura.

A otimização topológica se encaixa nesta categoria, e permite encontrar a forma

ótima de uma estrutura para suportar determinado carregamento. No entanto, a otimização

topológica resulta em uma estrutura na qual todos os pontos estão “projetados contra o

limite”, ou seja, não existe capacidade de reserva ou caminhos alternativos para a solicitação

caso algum ponto da estrutura falhe. A estrutura ótima resultante pode apresentar segurança

comprometida, quando comparada com a estrutura original (não otimizada).

A otimização determinística baseada em método semi-probabilístico, relacionada às

normas de projeto modernas de concreto e aço, leva em conta de uma forma primitiva a

aleatoriedade da variável, e é a DDO adotada neste trabalho.

4.2. OTIMIZAÇÃO BASEADA EM CONFIABILIDADE

A otimização baseada em confiabilidade (RBDO – Reliability-Based Design

Optimization), também conhecida como RBO (Reliability-Based Optimization

(FRANGOPOL, 1985)) permite endereçar a questão da segurança ao impor restrições em

termos de probabilidades de falha admissíveis, mas não leva em conta os custos esperados de

falha. O problema de otimização consiste em:

admissivel

encontrar: *

que minimize: custo( ), peso( )

sujeito a: ( , )f fP P<

z

z z

z X

(76)



62

Em geral, o termo de custo nesta formulação é o mesmo da formulação DDO, e não

inclui custos esperados de falha. A formulação RBDO permite encontrar uma estrutura que é

ótima do ponto de vista mecânico e que não compromete a segurança. Entretanto, os

resultados dependem da probabilidade de falha admissível usada como restrição. O balanço

entre segurança e economia não é endereçado, pois a probabilidade de falha não é uma

variável de otimização.

4.3. OTIMIZAÇÃO DE RISCO ESTRUTURAL

Ao incluir os custos esperados de falha no balanço econômico, a otimização de risco

estrutural (RBRO – Reliability Based Risk Optimization) permite encontrar o ponto ótimo no

balanço entre economia e segurança (BECK & VERZENHASSI, 2008a). Esta formulação

(RBRO) é complementar às formulações DDO e RBDO, no sentido de que o projeto mais

econômico é também o mais eficiente do ponto de vista mecânico e consiste em:

*encontrar: *, ( *, )

que minimize: custo esperado total( , )

fPz z X

z X (77)

Trata-se de um problema de otimização sem restrições, visto que todas as

“restrições” relacionadas a critérios de falha ou probabilidades de falha são incluídas na

função custo esperado total.

Se a falha do sistema em questão envolve conseqüências sem mensuração

monetária, como a morte de pessoas ou danos irreparáveis ao meio ambiente, então um limite

inferior aceitável para a probabilidade de falha pode ser incluído no problema:

admissivel

*encontrar: *, ( *, )

que minimize: custo esperado total( , )

sujeito a: ( , )

f

f f

P

P P<

z z X

z X

z X

(78)

4.4. SOBRE AS TRÊS FORMULAÇÕES APRESENTADAS

A Figura 12 ilustra o escopo das três formulações apresentadas. Está claro que as

formulações não são equivalentes, mas complementares, cada uma endereçando uma diferente



63

parte do problema. A formulação RBRO é complementar às formulações DDO e RBDO, pois

a estrutura mais econômica também precisa ser a mais eficiente mecanicamente. De fato, a

formulação RBRO aumenta o escopo do problema, através da consideração dos custos de

falha.

Figura 12 - Escopo das formulações de otimização estrutural.

Constata-se que, em comparação com a RBRO, a formulação DDO trata a questão

da incerteza indiretamente via valores de cálculo das variáveis aleatórias. A RBDO considera

a incerteza diretamente, mas negligencia uma de suas principais conseqüências: os custos de

falha esperados. É importante notar que a nomenclatura usada neste trabalho não está

necessariamente de acordo com a literatura: em muitos casos o nome RBDO é usado para

problemas onde o custo esperado total é considerado. O presente trabalho se refere à RBDO e

à RBRO como duas formulações diferentes por causa do interesse nas diferenças resultantes

nas estruturas ótimas obtidas pela utilização de cada uma dessas formulações.

O objetivo deste trabalho, conforme já foi visto, é estudar os efeitos das incertezas

através das diferenças entre as estruturas ótimas encontradas com essas três formulações em

problemas diversos de otimização estrutural.



64

4.5. ANÁLISES COMPARATIVAS DE OTIMIZAÇÃO

As três formulações apresentadas foram utilizadas de diferentes maneiras, no sentido

de levar a uma melhor percepção dos efeitos das incertezas. Nesta seção explica-se como as

formulações são aplicadas nos exemplos do capítulo 5.

É óbvio que as formulações DDO e RBDO dependem das restrições utilizadas, ou

seja, da probabilidade de falha e dos coeficientes de segurança ótimos aplicados. No entanto,

considera-se o procedimento descrito a seguir.

A solução RBRO é encontrada primeiro. Tendo em vista que o escopo da RBRO é

mais abrangente e que inclui os escopos da DDO e RBDO, a solução geral da RBRO é usada

como referência. Espera-se primeiramente que, utilizando a probabilidade de falha ótima ( *fP )

como uma restrição na formulação RBDO, seja obtida a mesma estrutura ótima encontrada

pela RBRO. Similarmente, espera-se que, encontrando os coeficientes de segurança ótimos

pela formulação RBRO e usando-os como restrições da DDO, seja obtida, novamente, a

mesma estrutura ótima. Conforme será mostrado no próximo capítulo, isto não ocorre sempre.

Com o intuito comparativo, os custos esperados totais são calculados para as

estruturas ótimas encontradas em cada análise. Daí, após a análise DDO, probabilidades de

falha e custos de falha são computados. Similarmente, depois da análise RBDO, custos de

falha também são computados. No sentido de entender as diferenças entre os resultados, é

interessante também computar e comparar a função objetivo (custo) usada nas formulações

DDO e RBDO, que não incluem os custos esperados de falha.

Em aplicações reais, não se conhece a priori a probabilidade de falha ótima ( *f

P ) ou

os coeficientes de segurança ótimos do problema. Daí, a ordem “natural” de solução para

problemas reais seria a análise DDO (ou RBDO), seguida (ou não) pela otimização de risco

(RBRO). Neste trabalho, verifica-se também as implicações de efetuar primeiro uma análise

DDO, seguida de uma análise RBRO. Neste caso, a configuração estrutural ótima é

encontrada pela análise DDO. A otimização de risco que segue mantém as proporções entre as

variáveis de projeto, “aumentando” ou “diminuindo” a estrutura para determinar sua

probabilidade de falha ótima (ou os coeficientes de segurança ótimos).

A Tabela 3 traz um resumo das diferentes otimizações consideradas neste trabalho e

apresenta as palavras-chave que identificam cada solução.



65

Tabela 3 - Resumo das otimizações comparativas.

Palavra-chave Descrição Resultados RBRO_ref RBRO completa, usada como referência para as outras análises. Configuração ótima ( *z ),

ótima *fP e coeficientes de

segurança ótimos *λ . RBDO RBDO, com *

fP usada como restrição. Configuração ótima ( *z ).

DDO1 DDO, com um único coeficiente de segurança ótimo *λ usado como restrição.

Configuração ótima ( *z ).

DDOn DDO, com n coeficientes de segurança ótimos *iλ , 1,...,i n=

usados como restrições, para n equações de estado limite.

Configuração ótima ( *z ).

RBRO_esc DDO, seguida por uma RBRO escalonada, que mantém

proporções, mas busca a ótima *fP .

Configuração ótima ( *z ) pela

DDO e *fP ótima pela RBRO.



66



67

5. EXEMPLOS NUMÉRICOS

Para que as comparações sejam válidas, é necessário que o ótimo global seja

encontrado em cada problema. Com este intuito, os vários métodos de otimização

implementados são aplicados com diferentes sementes para geração aleatória de pontos

iniciais, até que se tenha certeza do ótimo global.

A seguir são apresentados cinco exemplos numéricos nos quais se aplicam todas as

análises comparativas de otimização descritas anteriormente. Os resultados obtidos são

expostos em tabelas e gráficos. Algumas conclusões e discussões são levantadas baseando-se

nas estruturas ótimas (globais) encontradas.

5.1. SISTEMA ESTRUTURAL: TRÊS BARRAS EM PARALELO

Este problema envolve um sistema estrutural em paralelo composto por três barras,

conforme pode ser visto na Figura 13, constituídas de diferentes materiais e submetidas a um

carregamento P .

Figura 13 – Sistema estrutural composto por três barras em paralelo.

A resistência média é a mesma para os materiais das três barras, mas um coeficiente

de variação ( . .c v ) é adotado para cada material, refletindo diferentes controles de qualidade.

O custo de material também é diferente, conforme mostrado na Tabela 4.



68

Tabela 4 - Resumo dos dados das VAs do problema de três barras em paralelo.

Variável Aleatória Variações Distribuição Média C.v. Custo Carregamento ( P ) - normal 75kN 15% -

Módulo de elasticidade ( E )

- normal 200GPa 3% -

Resistência do material (

yf )

material 1 lognormal 250MPa 15% 1 (referência) material 2 lognormal 250MPa 10% 1,05

material 3 lognormal 250MPa 5% 1,10

As variáveis de otimização deste problema são a área da seção transversal de cada

barra ( iA , 1,2,3i = ) e o número de barras (máximo três barras). Se o algoritmo de otimização

reduz a área de alguma barra para menos que 20,1cm , a barra é considerada não necessária, e

eliminada. Daí, tem-se que 1 2 3 , , A A A=z .

A única restrição determinística de projeto é dada pela Equação (79), na qual λ é o

coeficiente de segurança e yif é a resistência do i-ésimo material. Para análises de

confiabilidade, 1λ = .

( )yi i

i

f A P⋅ ≥ ⋅λ∑ (79)

O comportamento dos materiais depende do coeficiente de resistência residual (η ),

podendo apresentar comportamento elástico (frágil), com 0η = , perfeitamente elasto-plástico,

com 1η = , ou algum comportamento entre estes dois, para 0 1η< < , de acordo com a

formulação de Hendawi & Frangopol (1994) e conforme pode ser visto na Figura 14.

Figura 14 - Definição de η (FONTE: Hendawi & Frangopol (1994)).



69

A rigidez da i-ésima barra é dada por /i iK EA L= , onde L é o comprimento da

barra, tido como unitário. O fator de carregamento ( RSF - Resistance Sharing Factor) para a

barra 1, dado que nenhuma barra foi eliminada ou falhou, é dado por 1 1 / SRSF K K= , onde SK

é a rigidez total do sistema, dada por 1 2 3SK K K K= + + . Dessa forma, a equação de estado

limite utilizada para calcular a probabilidade de que a barra 1 falhe, dado que nenhuma outra

barra falhou, é a seguinte:

1 1 1 1 1( )y

g A f A RSF P= ⋅ − ⋅ (80)

A falha da primeira barra, seja ela a barra 1, 2 ou 3, é considerada uma falha de

serviço, visto que as barras remanescentes continuarão suportando o carregamento.

A partir da falha da barra 1, o fator de carregamento para a segunda barra é dado por

2 2 / SRSF K K= , onde SK passa a ser calculado por 2 3SK K K= + . A equação de estado limite

para a falha da segunda barra, dado que a primeira barra falhou, é dada por:

2 1 2 2 2 2 1 1( , ) ( )y y

g A A f A RSF P f A= ⋅ − ⋅ − η⋅ ⋅ (81)

Esta falha também é considerada falha de serviço, pois a terceira barra continuará

suportando o carregamento. O termo 1 1yf Aη⋅ ⋅ dá a resistência residual da barra 1, que é nula

quando o material é frágil.

A probabilidade da falha última para esta seqüência de falha é dada pela

probabilidade que a barra 3 falhe, dado que as outras duas barras já falharam. A equação de

estado limite para este caso é:

3 1 2 3 3 3 1 1 2 2( , , ) ( ( ))y y y

g A A A f A P f A f A= ⋅ − − η⋅ ⋅ + ⋅ (82)

De forma similar, todas as seqüências de falha possíveis são consideradas. As

Equações (80) a (82) são utilizadas para calcular as correspondentes probabilidades, com a

devida mudança nos índices. Se a j-ésima seqüência de falha é denotada por j

S , a

probabilidade de colapso do sistema é dada pela Equação (83).



70

f jsistemaj

P P S

= ∪ (83)

A função objetivo para as formulações DDO e RBDO é a função custo de

“manufatura”, que inclui custos de materiais e mão-de-obra. O custo de materiais (matC ) é

dado pela Equação (84), onde $mat é o custo do material 1 (por unidade de peso), ρ é a

densidade do material, 1,05 e 1,10 são os fatores relativos de custo para os materiais 2 e 3,

respectivamente.

1 2 3 1 2 3( , , ) $ ( 1,05 1,10 )mat mat

C A A A L A A Aρ= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ (84)

Um custo fixo de referência, ref

C , é calculado a partir de uma otimização

determinística inicial com coeficiente de segurança central 2,0λ = . Este custo é obtido como

sendo 5,5 $ref mat

C = ⋅ . O custo de mão-de-obra (workC ) passa a ser dado pela Equação (85), na

qual barsN é o número de barras presentes (descontando as que apresentam área menor ou

igual a 20,1cm ).

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) 0, 2 ( , , ) ( ( , , ) 1) 0,05work ref mat bars ref

C A A A C C A A A N A A A C= + ⋅ + − ⋅ ⋅ (85)

O primeiro termo na Equação (85) é um custo fixo de mão-de-obra, o segundo termo

uma fração do custo de materiais (parcela de mão-de-obra proporcional à quantidade de

materiais) e o último termo é uma penalidade pela complexidade, isto é, considerando que um

sistema com três barras em paralelo é mais difícil de ser executado que um sistema com uma

única barra, por exemplo.

A função custo de manufatura é dada então pela Equação (86).

[ ]1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) 1,2 ( , , ) 1 0,05 ( ( , , ) 1)mat ref barsCM A A A C A A A C N A A A= ⋅ + ⋅ + ⋅ − (86)

A função objetivo para a formulação RBRO é o custo esperado total, que é a soma

dos custos de manufatura e dos custos esperados de falha. Assume-se que o custo de falha de

serviço é igual ao ref

C , e o custo da falha última da estrutura (ou colapso da mesma) é dado

por 10ref

C⋅ . Se iE denota o evento em que a i-ésima barra falhou, então o custo esperado total

é dado pela Equação (87).



71

1 2 3 1 2 31 1,

( , , , ) ( , , ) [ ] [ | ] 10bars barsN N

ref i ref j i ref f systemi j j i

CET A A A CM A A A C P E C P E E C P= = ≠

= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∑ ∑X (87)

Soluções são obtidas para três variações do problema, conforme a Tabela 5.

Tabela 5 - Variações do problema de três barras em paralelo.

Variação Material Frágil/dúctil (η ) Custo de Falha de serviço

(1A) 0 ref

C

(1B) 1 ref

C

(1C) 1 0

Os resultados para o problema (1A), com material frágil e incluindo custos de falha

de serviço, são mostrados na Tabela 6.

Tabela 6 - Resultados para o problema (1A), áreas em cm².

Variação Análise A1 A2 A3

(1A)

RBRO_ref 0 0 4,35745

RBDO 0 0,1 3,80354

DDO 1 0 0 4,35745

RBRO_esc 0 0 4,357

Para este problema, RBRO e DDO convergem para um sistema com uma única

barra, constituída pelo material de melhor qualidade (material 3). Dessa forma, custos de

manufatura e custos esperados totais são idênticos, incluindo para a solução com RBRO_esc

(DDO seguida por RBRO). A solução pela formulação RBDO converge para duas barras,

feitas dos materiais 2 e 3, e tais que 3 2A A> . Na Figura 15 pode-se observar que a formulação

RBDO conseguiu reduzir custos de manufatura, mas comprometeu os custos esperados totais.

As razões para este comportamento serão esclarecidas mais à frente.



72

RBDODDO 1 RBRO_esc

RBDO

DDO 1 RBRO_escRBRO_ref RBRO_ref

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

CET/CETrefCM/CMref

Figura 15 - Comparação de custos ótimos - Problema (1A).

A Tabela 7 mostra os resultados encontrados para o problema (1B), para materiais

dúcteis.

Tabela 7 - Resultados para o problema (1B), áreas em cm².


(1B)

RBRO_ref 0 4,0740 0,1075

RBDO 0 2,5220 1,5728

DDO 1 0 0 3,8472

RBRO_esc 0 0 4,3575

Para este problema, a solução de referência (pela RBRO) é um sistema de duas

barras, constituídas pelos materiais 2 e 3, com 2 3A A>> . A segunda barra tem

aproximadamente a mínima área considerável e é feita com o melhor material, o que leva a

um caminho de carga alternativo no caso de falha da primeira barra. Para materiais dúcteis,

esta solução com duas barras é mais barata que a solução com uma única barra obtida no

problema (1A). Nenhuma das formulações alternativas atingiu o ótimo obtido pela solução de

referência. A formulação DDO, bem como a RBRO_esc, encontraram uma solução com uma

barra apenas, feita do melhor material, tal como no problema (1A). Dessa forma, observa-se

que a formulação determinística não leva em conta o comportamento pós-falha do material,

nem seus efeitos na confiabilidade do sistema. A formulação RBDO neste problema levou a

um sistema com duas barras, mas com 2 3A A> . Esta solução não é a mesma que a da

RBRO_ref, pois as áreas das barras não são muito diferentes (não há uma barra com área

mínima). Na Figura 16 se observa que a solução RBDO não afeta os custos de manufatura,

mas aumenta os custos esperados totais. Esta diferença na solução ótima e também as



73

diferenças observadas para o problema (1A) podem ser explicadas pelo custo de falha de

serviço, tal explicação é apresentada no próximo parágrafo.

DDO 1

RBRO_esc RBRO_ref RBDO

DDO 1

RBRO_ref RBDO RBRO_esc

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

CET/CETrefCM/CMref Figura 16 - Comparação de custos ótimos - Problema (1B).

O problema (1C) considera materiais dúcteis mas sem custos de falha de serviço. A

Tabela 8 apresenta os resultados obtidos para este problema, enquanto que a Figura 17 mostra

os custos relacionados.

Tabela 8 - Resultados para o problema (1C), áreas em cm².


(1C)

RBRO_ref 0 3,0394 0,8887

RBDO 0 3,0395 0,8885

DDO 1 0 0 3,6787

RBRO_esc 0 0 4,3575

Nesta figura se observa que a solução RBDO agora está de acordo com a solução de

referência (RBRO), que é idêntica à solução de referência obtida para o problema (1B) – uma

barra de material 2 e uma barra com área mínima de material 3. Assim, constata-se que a

formulação RBDO respeita a restrição da probabilidade de falha do sistema, mas não leva em

conta os custos associados à falha de serviço. Para que a formulações se tornassem

equivalentes, seria necessário especificar uma restrição de probabilidade de falha ótima para

cada modo de falha de serviço e para cada modo de falha último.



74

DDO 1

RBRO_esc

RBRO_ref RBDO

DDO 1

RBRO_ref RBDO

RBRO_esc

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

CET/CETrefCM/CMref Figura 17 - Comparação de custos ótimos - Problema (1C).

Na Figura 17 também se constata que a solução ótima da formulação DDO (barra

única de melhor material) leva a um custo esperado total muito alto. A formulação DDO é

capaz de encontrar um ótimo que reduz os custos de manufatura, mas que resulta em um custo

esperado total muito grande. A formulação RBRO_esc, que tenta melhorar a solução DDO

encontrando o coeficiente de segurança ótimo, consegue reduzir os custos esperados totais,

mas não atinge os resultados obtidos pela formulação RBRO mais geral.

5.2. SISTEMA ESTRUTURAL: TRÊS BARRAS EM SÉRIE

Este problema é baseado no sistema com três barras em paralelo (as mesmas barras

feitas dos mesmos materiais), mas neste caso as barras estão conectadas em série (Figura 18).

Figura 18 - Sistema estrutural composto por três barras em série.

Para este problema as quatro formulações levaram aos mesmos resultados quando da

aplicação na formulação DDO com três diferentes coeficientes de segurança ótimos, ou seja,

um coeficiente para a equação de estado limite de cada barra. Utilizando apenas um

coeficiente (o maior entre os três valores ótimos), os resultados levaram a um pequeno

aumento nos custos de manufatura da DDO.

O mesmo problema foi resolvido para três valores diferentes de correlação ( ρ ) entre

as resistências dos materiais, 0ρ = , 0,5ρ = e 1ρ = . O aumento da correlação levou a



75

maiores probabilidades de falha, no entanto, as diferenças (da ordem de 41 10−× ) dessas

probabilidades foram desprezíveis quando comparadas aos outros custos presentes. Valores

mais elevados do custo de falha da estrutura fariam com que essas diferenças passassem a ser

mais significativas, de forma que existem casos em que a correlação entre as variáveis de

resistência pode ter grande impacto na escolha de um projeto ótimo por métodos

probabilísticos.

5.3. TRELIÇA PLANA

Este problema é baseado em Fox (1973) e ilustrado na Figura 19.

Figura 19 - Treliça Plana.

Trata-se de uma treliça plana composta por dois tubos. O vão 2B tem seu valor

fixado em 2 6B m= e as variáveis de otimização são a altura H , o diâmetro médio d e a

espessura dos tubos t , daí, , , H d t=z .

A seguinte restrição é imposta às variáveis d e t :

mín máx

dD D

t≤ ≤

(88)

para que a espessura não possa ser maior que metade do diâmetro ( 2mín

D = ) e para evitar

instabilidades locais das paredes dos tubos ( 10máxD = ).

As variáveis aleatórias consideradas neste problema são apresentadas na Tabela 9.



76

Tabela 9 - Resumo dos dados das VAs do problema da treliça plana.

Variável Aleatória Distribuição Média C.v. Carregamento ( P ) normal 337kN 10%

Módulo de elasticidade ( E ) normal 30GPa 3% Resistência do material (

yf ) lognormal 105MPa 7%

A tensão de compressão nos tubos (σ ) é dada pela Equação (89), e, aproximando a

área da seção transversal dos mesmos por A d tπ= ⋅ ⋅ , a tensão crítica de flambagem de Euler

( Eσ ) é obtida através da Equação (90).

( )2 2 1/ 2( )

, ,P B H

H d tt Hd

σπ

+= (89)

( )2 2 2

2 2

( ), ,

8 ( )E

E d tH d t

B H

πσ +=

+ (90)

Duas equações determinísticas de projeto são consideradas, Equações (91) e (92). A

primeira delas representa plastificação da seção transversal, a segunda se relaciona à

flambagem. Nestas Equações iλ , 1, 2i = , são os coeficientes de segurança.

( )1 1 1( , , , ) , ,yg H d t f H d tλ λ σ= − ⋅ (91)

( ) ( )2 2 2( , , , ) , , , ,Eg H d t H d t H d tλ σ λ σ= − ⋅ (92)

Neste problema, por simplificação, valores médios das variáveis aleatórias são

utilizados nas equações determinísticas de projeto. Estas equações são também as equações de

estado limite do problema, para 1 2 1,0λ λ= = .

O custo de manufatura é calculado seguindo o exemplo 5.1. Um custo unitário de

material é considerado, e fixa-se um custo de referência a partir de uma otimização

determinística inicial com 1 2 2,0λ λ= = , resultando 10 $ref mat

C = ⋅ . O custo de mão-de-obra é

composto de uma parte fixa (igual ao ref

C ), mais um termo proporcional ao custo de material

(igual a 20% deste). O custo final de manufatura é calculado então através da Equação (93).

2 2 1/ 2( , , ) $ 1, 2 2 ( ) 10mat

CM H d t d t B Hρ π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + (93)



77

Neste problema, uma distinção é introduzida entre os estados limites últimos e de

serviço. Escoamento da seção transversal é considerado falha de serviço, com custo de falha

1 5f ref

C C= ⋅ . Flambagem é considerada falha última, com custo de falha igual a

2 20f ref

C C= ⋅ . Assim, o custo esperado total é dado por:

( )1 1 2 2( , , , ) ( , , ) [ 0] [ 0]ref f fCET H d t CM H d t C C P g C P g= + ⋅ ⋅ ≤ + ⋅ ≤X (94)

A Tabela 10 mostra os resultados obtidos para este problema. A Figura 20 compara

os resultados em termos de custos de manufatura e custos esperados totais.

Tabela 10 - Resultados (em metros) para o problema da treliça plana.

Análise d H t RBRO_ref 0,1755 1,6313 0,0176

RBDO 0,1746 1,6894 0,0175

DDO 1 0,1762 1,6145 0,0176

DDO 2 0,1755 1,6313 0,0176

RBRO_esc 0,1739 1,8624 0,0174

RBDO

DDO 1DDO 2 RBDO DDO 1 DDO 2RBRO_ref

RBRO_esc

RBRO_ref

RBRO_esc

0,95

0,98

1,00

1,03

1,05

CM/CMref CET/CETref

Figura 20 - Comparação de custos ótimos para o problema da treliça plana.

A configuração ótima encontrada pela solução de referência (RBRO) é 1,632H m= ,

0,1755d m= e 0,0176t m= . Utilizando os dois coeficientes de segurança ótimos na solução

DDO2, a mesma configuração ótima é obtida. Entretanto, se a análise DDO é feita com apenas

um coeficiente de segurança (o maior entre 1λ e 2λ ), então a configuração ótima não é

atingida e há um aumento no custo de manufatura e no custo esperado total. Isto significa que

a margem extra de segurança obtida em um dos estados limite não aumenta a segurança,



78

enquanto penaliza custo de materiais. A otimização de risco mantendo proporções, obtida pela

aplicação da formulação RBRO após uma análise DDO, também é incapaz de reproduzir a

configuração estrutural ótima. A DDO aplicada sem coeficientes de segurança ótimos atingiu

uma dada configuração e a tentativa de otimizar a probabilidade de falha desta configuração

mantendo suas proporções não levou à melhor configuração possível.

A formulação RBDO também foi incapaz de reproduzir a configuração estrutural

ótima para este problema. A probabilidade de falha ótima (do sistema), encontrada pela

solução de referência é aplicada como restrição na análise RBDO, entretanto, esta formulação

leva a uma outra configuração, que respeita a probabilidade de falha do sistema aceitável e

reduz custos de manufatura, mas encontra outro balanceamento entre os dois modos de falha.

Não levando em conta distinções de custo entre os dois modos de falha, a RBDO compromete

o custo esperado de falha. Assim, para que a formulação RBDO atinja o mesmo resultado da

RBRO, uma probabilidade de falha ótima para cada modo de falha deve ser especificada. Tal

afirmação é confirmada, por exemplo, quando os custos de falha dos dois modos de falha são

os mesmos, caso no qual a RBDO encontra o mesmo resultado da RBRO (referência).

5.4. COLUNA DE AÇO EM PERFIS U CONTRAVENTADOS

A Figura 21 apresenta um sistema estrutural constituído por dois elementos em

perfil 200 75 2,65U × × de comprimento total L , na vertical, contraventados por elementos de

aço de perfil 30 2,25L × . O sistema estrutural é submetido a um carregamento P .

As variáveis de otimização são a distância entre os perfis U , designada por

b (distância entre os centróides) e o número de contraventamentos ( /N L d= ). As variáveis

aleatórias são o carregamento P , o módulo de elasticidade e a tensão de escoamento do

material, tal como apresentado na Tabela 11.



79

Figura 21 - Colunas de aço em perfil U contraventadas.

Tabela 11 - Resumo dos dados das VAs do problema da coluna de aço.

Variável aleatória Distribuição Média C.v. Carregamento ( P ) normal 300kN 15%

Módulo de Elasticidade ( E ) normal 210GPa 3%

Resistência do material ( yf ) lognormal 250MPa 10%

As restrições de projeto para este problema estão relacionadas à flambagem local e

global. Para a flambagem local dos elementos em perfil U , tem-se a Equação (95), na qual

UI é o momento de inércia da seção U .

2

1 12( , )

2U

L

E I Pg N

d

πλ λ⋅ ⋅= − ⋅ (95)

A flambagem global do sistema estrutural é dada pela Equação (96), onde GI é o

momento de inércia da seção transversal do sistema, calculado através da Equação (97).



80

2

2 22

( )( , , ) G

G

E I bg N b P

L

πλ λ⋅ ⋅= − ⋅ (96)

22 ( ( / 2) )G U UI I A b= ⋅ + ⋅ (97)

UA é a área da seção U , enquanto que 1λ e 2λ são os coeficientes de segurança.

As equações de estado limite são as mesmas, mas com coeficientes de segurança

unitários.

Uma unidade de contraventamento é considerada como sendo um elemento

horizontal mais um elemento diagonal, ambos com perfil 30 2,25L × . O comprimento total de

unidade é dado então pela Equação (98).

2 2( , ) ( / )bb

L N b b L N b= + + (98)

O custo básico de materiais é calculado por:

( , ) $ ( ( , ) 2 )mat mat bb L U

C N b N L N b A L Aρ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (99)

O custo de referência é determinado conforme nos outros problemas e tem por valor

150 $ref matC = ⋅ , de forma que o custo de mão-de-obra, que inclui este termo fixo, mais um

termo proporcional ao custo de materiais e um termo para cada contraventamento adicional, é

calculado pela Equação (100).

( , ) 0.2 ( , ) ( 1) 0.025work ref mat refC N b C C N b N C= + ⋅ + − ⋅ ⋅ (100)

O custo total de manufatura é dado então por:

[ ]( , ) 1.2 ( , ) 1 0.025 ( 1)mat ref

CM N b C N b C N= ⋅ + ⋅ + ⋅ − (101)

Adotando custo de falha igual a 10 refC⋅ para qualquer um dos possíveis modos de

falha, obtém-se o custo total esperado a partir da Equação (102), na qual a probabilidade de

falha do sistema (em série) é calculada por meio da Equação (103).



81

( , , ) ( , ) 10ref f sistema

CET N b CM N b C P= + ⋅ ⋅X (102)

0f isistema i

P P g = ≤ ∩ (103)

O problema foi resolvido primeiramente para 7,5L m= , e os respectivos resultados

são apresentados na Figura 22. A configuração estrutural ótima da análise RBRO de

referência constitui-se de 4 contraventamentos e 16,77b cm= , e foi encontrada também pelas

formulações RBDO e DDO2. Para um único coeficiente de segurança (DDO1) o número

ótimo de contraventamentos passa a ser 5, o que leva a custos bem maiores que os de

referência. Fixando-se a quantidade de contraventamentos a RBRO_esc também não

consegue atingir o ótimo de referência.

RBDO

DDO 1

DDO 2 RBDO

DDO 1

DDO 2RBRO_ref

RBRO_esc

RBRO_ref

RBRO_esc

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

CM/CMref CET/CETref Figura 22 - Comparação entre custos ótimos para o problema da coluna formada por perfis U contraventados.

O problema foi resolvido outras vezes, variando-se a altura L entre 7,5m e 40m .

Os resultados são apresentados na Tabela 12.



82

Tabela 12 - Quantidade de contraventamentos versus altura da estrutura.

L (m)

Número de contraventamentos L (m)

Número de contraventamentos RBRO RBDO e RBRO_esc RBRO RBDO e RBRO_esc

7,5 4 5 25 12 14 9 5 5 27 13 15

10 5 6 28 14 16 11 6 6 29 14 16 12 6 7 30 14 17 13 7 8 31 15 17 15 7 9 32 15 18 17 8 10 33 16 18 19 9 11 35 17 19 20 10 11 37 18 20 21 10 12 39 19 22 22 11 12 40 19 22 23 11 13

Para cada solução, custos relativos são obtidos dividindo-se os custos encontrado

pelas formulações RBDO e RBRO_esc pelo custo de referência (RBRO). Os custos esperados

totais relativos são apresentados na Figura 23, enquanto que os custos de manufatura relativos

são mostrados na Figura 24.

Figura 23 - Custos esperados totais obtidos pelas formulações RBDO e RBRO_esc, com relação ao custo de

referência (RBRO).

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

Altura do pilar (m)

RBRO_esc RBDO

Fato

r C

usto

Esp

era

do

To

tal



83

Figura 24 - Custos de manufatura obtidos pelas formulações RBDO e RBRO_esc, com relação ao custo de

referência (RBRO).

Verificou-se que, para alguns intervalos de valores menores que 12,5 metros, as

formulações investigadas conseguem atingir o ponto ótimo de referência, enquanto que nos

outros casos, apesar das oscilações, os custos encontrados são sempre superiores aos custos

mínimos. Essas oscilações ocorrem à medida que há mudanças da quantidade de

contraventamentos, e as formulações investigadas só conseguem reproduzir o ponto ótimo de

referência quando a DDO (caso inverso) encontra a quantidade de contraventamentos de

referência, ou seja, a forma ótima. À medida que a altura aumenta, aumentam as diferenças

entre essas quantidades, como pode ser visto na Tabela 12, e as formulações RBRO_esc e

RBDO se afastam mais dos custos de referência.

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5

Altura do pilar (m)

RBRO_esc RBDO

Fato

r C

usto

de M

an

ufa

tura



84



85

6. DESEMPENHO DOS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

Os oito métodos de otimização implementados (dois métodos heurísticos, dois

métodos com fundamentação matemática e quatro métodos híbridos) foram aplicados aos

quatro problemas apresentados no capítulo 5, utilizando-se apenas a formulação RBRO. O

ponto inicial dos métodos de Polak-Ribiere e Powell foi gerado aleatoriamente de forma que

todos os métodos passaram a depender da semente de um gerador de números aleatórios.

Cada um dos problemas foi resolvido um total de dez vezes, variando-se a semente

para geração do número aleatório em cada uma das resoluções. Os resultados obtidos pela

formulação híbrida PSS_POWELL foram adotados como referência, e foram determinados os

seguintes valores (relativos aos resultados de referência) para cada um dos métodos de

otimização: a média (relativa) da função objetivo, a média (relativa) do número de chamadas

à função objetivo e o máximo valor (relativo) da função objetivo.

Os resultados mostrados nas figuras a seguir demonstram o desempenho (por meio

da quantidade de chamadas à função objetivo) e da confiabilidade dos métodos (por meio dos

valores médio e máximo da função objetivo), conforme discutido a seguir.

0

1

2

3

4

5

6

treliça 3 barras - série 3 barras - par. coluna perfis U

AG

PSO

PSS_POWELL

PSS_PR

AG_POWELL

AG_PR

POWELL

POLAK-RIB.

Figura 25 - Média da função objetivo (em relação ao PSS_POWELL).



86

0

2

4

6

8

10


AG

PSO

PSS_POWELL

PSS_PR

AG_POWELL

AG_PR

POWELL

POLAK-RIB.

Figura 26 - Máximo da função objetivo (em relação ao PSS_POWELL).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5


AG

PSO

PSS_POWELL

PSS_PR

AG_POWELL

AG_PR

POWELL

POLAK-RIB.

Figura 27 - Média de chamadas à função objetivo (em relação ao PSS_POWELL)

Os métodos heurísticos (AG e PSO) de uma forma geral conseguiram encontrar o

valor mínimo da função objetivo, mas o AG apresentou alto custo computacional (muitas

chamadas à função objetivo). Isso mostra que, como esperado, eles conseguem lidar com

problemas diversos, até mesmo aqueles que apresentam variáveis de otimização descontínuas

(caso do problema da coluna com perfis U ). No entanto, desaconselhados para problemas

com funções objetivo complexas e/ou para problemas com grande número de variáveis

aleatórias, para os quais o custo computacional se torna proibitivo.



87

Os métodos com fundamentação matemática (POWELL e POLAK-RIBIERE), se

mostraram bastante dependentes do ponto inicial, ficando muitas vezes presos a mínimos

locais. Este problema acentua-se para problemas mais complexos, o que se constata no

exemplo da treliça plana (que apresenta diversos mínimos locais). Outro problema constatado

decorre da existência de variáveis de otimização descontínuas, caso no qual os algoritmos

apresentam dificuldade de convergência para o mínimo global, conforme pode ser visto nos

resultados para a coluna com perfis U . Apesar destes problemas, os métodos de Powell e

Polak-Ribiere apresentaram números de chamadas à função objetivo bem menores que os

métodos heurísticos, e menores que o valor de referência para quase todos os casos. Conclui-

se que estes métodos convergem mais rápido que os outros, mas nem sempre para o mínimo

global.

Dentre os métodos híbridos, aqueles com geração do ponto inicial pelo método AG

apresentaram os melhores resultados em alguns dos problemas, mas não conseguiram

encontrar o ótimo global para outros casos. Por outro lado, entre os algoritmos com geração

do ponto inicial pelo PSS, o híbrido PSS_POLAK-RIBIERE ficou muitas vezes preso a

pontos de mínimo locais (devido às informações do gradiente da função objetivo, utilizadas

no método de Polak-Ribiere). O algoritmo PSS_POWELL apresentou os melhores resultados,

levando-se em conta desempenho e confiabilidade.

O método PSS, uma variação do algoritmo PSO feita com foco na geração de pontos

iniciais, consegue determinar razoavelmente bem e de maneira rápida as regiões nas quais se

encontra o ótimo global. Nos casos em que o PSS falha em sua busca por essa região, existe

grande probabilidade do método de Powell ainda assim conseguir encontrar o ótimo

procurado. Isto decorre do fato de que este método não utiliza informações de gradiente da

função objetivo e que, portanto, é capaz de passar por regiões de “influência” de mínimos

locais sem ficar preso a estes, pelos menos em alguns casos. Isto explica o porquê dos

melhores resultados terem sido obtidos pelo método PSS_POWELL.



88



89

7. CONCLUSÕES

Neste trabalho foi apresentado um estudo dos efeitos de incertezas na otimização

estrutural, através da comparação de soluções ótimas obtidas por diferentes formulações do

problema de otimização. Além disso, foi feita uma análise de desempenho e confiabilidade

dos algoritmos de otimização implementados.

Foram apresentados resultados para quatro exemplos numéricos: sistemas estruturais

compostos por três barras, em paralelo e em série, treliça plana, e coluna de aço em perfis U

contraventados.

7.1. ESTUDO DOS EFEITOS DAS INCERTEZAS

Com relação ao estudo dos efeitos das incertezas, todos os resultados levaram às

mesmas seguintes conclusões.

A otimização determinística (DDO) permite que seja encontrada uma estrutura que é

ótima do ponto de vista mecânico. Entretanto, uma vez que a formulação não leva em conta

explicitamente a incerteza de parâmetros e seus efeitos sobre a segurança do sistema, a

segurança da estrutura ótima é comprometida, quando comparada à estrutura original. O

comportamento pós-falha do material e seus efeitos na confiabilidade do sistema não são

levados em conta. Se um único coeficiente de segurança “ótimo” é aplicado como uma

restrição na análise DDO, a formulação leva a uma configuração ótima que respeita tal

restrição de projeto, reduz custos de manufatura, mas aumenta o custo esperado total

(incluindo custos esperados de falha). Se uma otimização de risco é realizada no sentido de

encontrar o coeficiente de segurança ótimo após a DDO, mas respeitando as proporções da

estrutura ótima encontrada pela DDO, o custo esperado total pode ser reduzido, mas não tanto

quanto numa formulação mais geral, na qual a configuração estrutural e o risco são

otimizados simultaneamente. Se for utilizado um coeficiente de segurança ótimo para cada

equação de estado limite (e se o número de variáveis de otimização do problema assim

permitir), então o ótimo encontrado na RBRO pode ser reproduzido através da DDO.

A otimização baseada em confiabilidade (RBDO) apresenta algumas melhoras em

relação à formulação DDO, através da consideração de incerteza de parâmetros e de uma de



90

suas principais conseqüências: a probabilidade de falha. A probabilidade de falha do sistema é

usada como uma restrição de projeto, garantindo que a estrutura ótima não sacrificará a

segurança. Os resultados, como esperado, dependem do valor da probabilidade de falha do

sistema utilizada como restrição. No entanto, a formulação RBDO em geral não leva em conta

as conseqüências monetárias de falha, ou custos esperados de falha. Em conseqüência disso,

mesmo quando a probabilidade de falha ótima do sistema é usada como restrição, a análise

RBDO pode levar a um ponto de ótimo diferente, que reduz os custos de manufatura mas

aumenta o custo esperado total. Isto pode acontecer quando os custos associados aos

diferentes modos de falha são distintos (exemplo, custo de falha de serviço).

Em consideração à incerteza e seus possíveis efeitos (conseqüências monetárias de

falha), a estrutura ótima somente pode ser encontrada pela otimização de risco baseada em

confiabilidade (RBRO), que procura pela configuração estrutural ótima e pelas margens de

segurança ótimas, simultaneamente. A estrutura encontrada pela RBRO é ótima tanto do

ponto de vista mecânico quanto em termos do compromisso entre economia e segurança.

7.2. ANÁLISE DE DESEMPENHO E CONFIABILIDADE DOS

MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

A análise de desempenho e confiabilidade foi feita com o intuito de determinar qual

dentre os métodos de otimização implementados é o mais eficiente e o que apresenta

resultados mais confiáveis para os problemas de particular interesse deste trabalho. Ressalta-

se que nesta comparação apenas a formulação RBRO foi considerada.

O método híbrido PSS_POWELL, que consiste na geração do ponto inicial de busca

através do método PSS e posterior busca pelo ponto ótimo utilizando o método de Powell

modificado, foi o que apresentou melhores resultados para os quatro exemplos numéricos.

Verificou-se que os bons resultados deste híbrido são devidos a uma boa interação entre os

dois métodos que o constituem, de forma que o método PSS consegue determinar um ponto

inicial bom o suficiente para que o método de Powell consiga chegar ao ponto de mínimo

global na grande maioria dos casos.



91

7.3. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

a) Extensão para problemas dependentes do tempo, envolvendo políticas de

inspeção e manutenção;

b) Nos algoritmos de otimização, após algumas iterações substituir a função

objetivo por uma Rede Neural Artificial (RNA) devidamente treinada, para os

casos em que o cálculo da função objetivo apresenta alto custo computacional.

Minimizar a RNA durante algumas iterações e retornar à função objetivo

original para efetuar as últimas iterações de otimização.



92



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Documents

Estudo do Efeito de Incertezas na Otimização Estruturalweb.set.eesc.usp.br/static/data/producao/2010ME_WellisonJosede... · Este trabalho apresenta um estudo do efeito de incertezas