Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIOAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Conteúdo

1. Solução numérica de EDO.2. Métodos de Runge-Kutta.3. Métodos de Adams.4. Comparação de métodos para EDO.5. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.

Equações Diferenciais Ordinárias - EDO

• São ferramentas fundamentais para modelagem matemática devários fenômenos físicos, químicos, biológicos, etc, quando essesfenômenos são descritos em termos de taxa de variação.

• Por exemplo: a taxa de variação da corrente i em função do tempo t,em um circuito RL

• Esse é um exemplo de EDO de primeira ordem.

• Essa ED é ordinária visto que a corrente i é função apenas de umavariável independente, o tempo t;

• Se a função de for definida em termos de duas ou mais variáveis,ter-se-ia uma equação diferencial parcial, por exemplo, a equação deLaplace:

Equações Diferenciais Ordinárias - EDO

• A EDO é de primeira ordem quando a derivada de maior ordem é deordem 1.

• Quando a equação contiver uma derivada de ordem n, ela é dita EDOde ordem n

• A Solução de uma EDO é a função que satisfaz a equação diferenciale certas condições iniciais na função.

• Resolver uma EDO analiticamente é encontrar uma solução geralcontendo constantes arbitrárias.

• Então determina-se essas constantes de modo que a expressãocombine com as condições iniciais.

Solução Numérica de EDO• Métodos analíticos são restritos apenas a algumas formas especiais

de função.

• Nem toda EDO tem solução analítica.

• Métodos numéricos não possuem tal limitação.

• Solução numérica é obtida como uma tabela de valores da funçãopara vários valores da variável independente.

• Solução analítica é uma relação funcional.

• Praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numericamente.

• Se as condições iniciais forem alteradas, toda a tabela deve serrecalculada.

• Métodos numéricos para a solução de EDO, sujeitas às condiçõesiniciais.

Solução Numérica de EDO

• O PVI de primeira ordem apresenta a forma:

1 - Problema do Valor Inicial - PVI:

• A solução do PVI é uma função y = y(x) contínua e diferençável quesatisfaz o PVI.

• Calcular aproximação yi da solução exata y(xi) do PVI nos pontos

onde m é o número de subintervalos de [a, b] e h é o tamanho dointervalo.

• Solução numérica do PVI é uma tabela contendo os pares (xi, yi)sendo que

Solução Numérica de EDO2 – Método de Euler:

Apesar de ser utilizado raramente na prática, a sua simplicidade servepara exemplificar as técnicas envolvidas na construção de algunsmétodos mais avançados, sem a enfadonha álgebra que acompanhaessas construções. É um método da série de Taylor de ordem 1.

Solução Numérica de EDO

• Seja uma expansão da solução exata y(x), em série de Taylor, emtorno do valor inicial x0

• Truncando a série após o termo de derivada primeira, sendo x1 = x0 +h e y1 uma aproximação de y(x1) e sabendo que y’ = f(x, y)

• Sucessivas aproximações yi de y(xi) podem ser obtidas pela fórmulade recorrência

• Fórmula conhecida como método de Euler.

• Leonhard Euler propôs este método em 1768.

Solução Numérica de EDOExemplo: Calcular a solução do PVI da função a seguir no intervalo[0, 1], com m = 10 subintervalos.

Solução Numérica de EDO• Solução exata:

• Método de Euler com h = 0,1 só forneceu uma decimal exata para oPVI.

Solução Numérica de EDO• Comparação com h = 0,01

• Redução do passo h para 0,01 melhorou a solução numérica do PVI.

• Exatidão da solução é melhorada quando o valor do passo forreduzido.

Solução Numérica de EDOExemplo: Utilize o método de Euler para aproximar a solução do PVI:

Considerando n = 10. Então, h = (2-0)/10 = 0.2; xi = 0.2i; i=0, 1, ..., 9;y0 = 0,5.

yi+1 = yi + h y’(xi , yi) = yi + 0.2(yi – xi2 + 1) = 1.2yi – 0,008 i2 + 0,2

A solução analítica é y(x) = (x+1)2 – 0,5ex.

A tabela 1 a seguir mostra a comparação entre os valoresaproximados e os valores exatos.

Solução Numérica de EDO

Solução Numérica de EDO

Solução Numérica de EDO

• Definição (Passo simples): Um método é de passo simples quando aaproximação yi+1 for calculada a partir somente do valor yi do passoanterior. Sendo a função incremento. Um método de passo simplesé definido na forma

3 – Definições:

• Definição (Passo múltiplo): Sejam os p valores yi, yi-1, yi-2, ... , yi-p+1

previamente calculados por algum método. Um método é de passomúltiplo se estes p valores yi, yi-1, yi-2, ... , yi-p+1 forem utilizados paracalcular yi+1, para i = p – 1, p, p+1; ... , m - 1.

• Definição (Erro local): Supondo que o valor calculado por ummétodo de passo k seja exato, isto é, yi+j = y(xi+j) para j = 0, 1, ... , k -1, então o erro local em xi+k é definido como

Solução Numérica de EDO• Definição (Ordem): Um método de passo simples tem ordem q se a

função incremento for tal que

• Definição (Consistência): Um método numérico é dito consistentecom o PVI se a sua ordem q 1.

• Definição (Convergência): Um método de passo k é convergente se,para o PVI.

é válido para todo x [a, b].

Solução Numérica de EDO• Consistência significa que a solução numérica corresponde à solução

do PVI.

• A consistência de um método limita a magnitude do erro localcometido em cada passo.

• Estabilidade controla a propagação do erro durante os cálculos.

• Um método é convergente se ele for consistente e estável.

Métodos de Runge-Kutta• Exatidão dos resultados pode ser melhorada se o passo h for

reduzido.

• Se exatidão requerida for elevada, esta metodologia pode acarretargrande esforço computacional.

• Melhor exatidão pode ser obtida mais eficientemente pelaformulação denominada métodos de Runge-Kutta.

• C. D. T. Runge desenvolveu o primeiro método em 1895.

• M. W. Kutta elaborou a formulação geral em 1901.

• Runge-Kutta são métodos de passo simples.

Métodos de Runge-Kutta• Métodos de Runge-Kutta explícitos: Forma geral de métodos

explícitos de s estágios

a, b, c: constantes de cada método particular.

Métodos de Runge-Kutta• Constantes exibidas na notação de Butcher

Os métodos de Runge-Kutta podem ser classificados de acordocom a sua ordem.

Métodos de Runge-Kutta

• Seja a expansão em série de Taylor, na qual as derivadas em y sãoescritas em termos de f, a partir de dy/dx = f(x, y)

1 – Métodos de Segunda Ordem:

• Simplificando a notação fi = f(xi, yi).

• Sendo

As derivadas não são conhecidas

explicitamente. Mas se f é

suficientemente derivável, elas podem

ser obtidas considerando-se a derivada

total de y’=f(x,y), com respeito a x,

tendo em mente que y é função de x.

Métodos de Runge-Kutta• Forma geral em termos de k1 e k2

• Substituindo na equação anterior:

• Expandindo f(x, y), em série de Taylor, em termos de (xi, yi) eretendo somente os termos de derivada primeira:

• Rearranjando:

Métodos de Runge-Kutta• Comparando com

• Sistema não linear com 2 equações e 4 incógnitas

• Então pode-se gerar uma variedade de métodos de segunda ordem:

Métodos de Runge-Kutta

• Constantes do método na notação de Butcher

• Forma do método de Euler modificado

• Um exemplo de Metodo de Runge-Kutta de segunda ordem é ochamado Método de Euler modificado:

Métodos de Runge-Kutta

• Constantes do método na notação de Butcher

• Forma do método de Euler melhorado

• Um outro método de Runge-Kutta de segunda ordem é o Métodode Euler melhorado:

Métodos de Runge-KuttaExemplo: Comparar a solução do PVI para a função a seguir nointervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos.

Solução exata

Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta2 – Métodos de Quarta Ordem:

• Mesmo desenvolvimento para obter métodos de Runge-Kutta deordem mais elevada.

• No caso de quarta ordem, obtem-se um sistema não linear com 11equações e 13 incógnitas.

• Método clássico de Runge-Kutta.

• Constantes na notação de Butcher

Métodos de Runge-KuttaExemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10subintervalos para a função:

Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta

Métodos de Runge-Kutta

+

+

+

h

h

Euler Melhorado

Métodos de Runge-Kutta3 – Método de Runge-Kutta-Fehlberg:

• Uma forma de verificar se um método de Runge-Kutta produzvalores dentro da exatidão desejada.

• Para isso deve-se recalcular o valor de yi+1 no final de cadaintervalo, utilizando o passo h dividido ao meio.

• O valor deve ser aceito se houver apenas uma pequena diferençaentre os dois resultados.

• Caso contrário, h deve ser dividido ao meio até que a exatidãodesejada seja alcançada.

• Esta estratégia pode requerer um grande esforço computacional.• Um processo proposto por E. Fehlberg utiliza dois métodos de

ordens diferentes, um de ordem 4 e outro de ordem 5.• Compara valores de yi+1 obtidos nos dois casos.• Método de Runge-Kutta-Fehlberg é considerado método de ordem

4.

Métodos de Runge-Kutta4 – Metodo de Dormand-Prince:

• J. R. Dormand e P. J. Prince propuseram método similar ao deRunge-Kutta-Fehlberg, porém de ordem 5, cujos coeficientes sãoapresentados na tabela a seguir.

• Acrescentada uma linha ei contendo os coeficientes para calcularos erros globais, que são as diferenças entre yi+1 obtido peloprocesso de ordem 5 e o de ordem 4.

Métodos de Runge-Kutta

Algoritmo Dormand-Prince:

Métodos de Runge-KuttaExemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10subintervalos para a função:

Métodos de Runge-Kuttasubintervalos:

Métodos de Runge-Kuttasubintervalos:

Métodos de Adams• Uma outra classe de métodos para resolver PVI chamados métodos

lineares de passo múltiplo.

• Um método de passo k pode ser escrito na forma

• e : constantes específicas de um método particular, sujeitas àscondições

• Quando k = 0, o método é dito explícito e para k 0 ele é ditoimplícito.

• Explícitos: métodos de Adams-Bashforth.

• Implícitos: métodos de Adams-Moulton.

Métodos de Adams• Os métodos de Adams são obtidos pela integração do PVI

• A função integrando f(x, y(x)) pode ser aproximada por polinômiointerpolador P(x).

• P(x) passa pelos pontos (xj, f(xj, yj))

Métodos de Adams

• Seja o polinômio de Lagrange de grau 1, que passa pelos pontos decoordenadas (x0, f0) e (x1, f1)

1 – Método de Passo dois:

• Valor de f0 = f(x0, y0) obtido a partir de y0 (condição inicial).

• Valor de y1 para f1 = f(x1, y1) tem que ser calculado utilizando ummétodo de passo simples.

Métodos de Adams

• Substituindo as expressões

• Integrando

• Fazendo

Métodos de Adams• Fazendo mudança de variável de x u e sendo

• Fórmula explícita de Adams-Bashforth de passo k = 2

Métodos de Adams• Método explícito obtido pela integração do PI no intervalo [x1, x2].

• P(x) determinado a partir dos pontos em [x0, x1].

• Esta extrapolação não produz bons resultados.

• Se polinômio for construído usando pontos no intervalo [x0, x2]consegue-se método mais exato.

• Polinômio de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos (x0, f0),(x1, f1) e (x2, f2)

Métodos de Adams

• Definindo uma variável auxiliar

• Substituindo na expressão de yi+1

• Fazendo mudança de variável de x u

Métodos de Adams

• Fórmula implícita de Adams-Moulton, passo k = 2

• O valor de fi+1 = f(xi+1, yi+1) é necessário para obter o próprio yi+1.

• No entanto o valor de yi+1 obtido por Adams-Bashforth pode serusado em Adams-Moulton para avaliar fi+1 e calcular um valormelhor de yi+1.

• Assim as fórmulas implícitas necessitam ser utilizadas em conjuntocom uma forma explicita fazendo um Método do tipo preditor-corretor.

Métodos de AdamsExemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, com m = 10e m = 100 subintervalos.

• Utilizar o método preditor-corretor de passo dois.

• Valores de f1 calculados por Dormand-Prince.

Métodos de Adams

Métodos de Adams2 – Método de Passo três:

• Método explícito de Adams-Bashforth de passo 3

• Obtido pela integração do polinômio de Lagrange de grau 2, nointervalo [x2, x3].

• Substituindo na expressão de yi+1

Métodos de Adams• f0 = (x0, y0) avaliada a partir da condição inicial y0, f1 e f2 obtidos

por método de passo simples.

• Fórmula explícita de Adams-Bashforth com k = 3

• Fórmula explícita obtida por extrapolação.

• Integração no intervalo [xi, xi+1];

• Polinômio construído a partir de pontos em [xi-2, xi].

• Utilizando o mesmo raciocínio anterior obtém-se o Métodoimplícito de Adams-Moulton com k = 3

Métodos de Adams3 – Adams-Bashforth-Moulton de quarta ordem:

• Um dos métodos mais populares de passo múltiplo.

• Preditor, explícito de passo k = 4

• Corretor implícito é o de passo k =3 e deve ser aplicado mais deuma vez para melhorar ainda mais o resultado.

• Os valores de f1, f2 e f3 podem ser calculados por um método depasso simples.

Métodos de AdamsExemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, no intervalo[0, 1], com m = 10 subintervalos.

1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas