EU E A MATEMÁTICA: CALCULANDO E APRENDENDO

Estudo dos Números Decimais a partir de Medidas do corpo

Dorotéia Maria da Silva Rívollia, Drª Ana Lúcia da Silvab,

a Colégio Estadual “Professor Mailon Medeiros- Ensino Fundamental, Médio e

Profissional – Bandeirantes - PR; b Departamento de Matemática Universidade

Estadual de Londrina, Londrina, PR, Brasil.

Correspondência para o autor: Rua Vitório Bertack, nº 172– 86360-000 – Bandeirantes , PR, Brasil. Tel.(43) 3542 - 3180. E-mail: doroteiasrivolli@hotmail.com__________

Agradecimentos à Secretaria de Estado de Educação do Estado do Paraná(SEED) e Universidade Estadual de Londrina (UEL).

RESUMO:

O artigo apresentado com o tema Eu e a Matemática: Calculando e Aprendendo, objetiva motivar os alunos das diversas séries do Ensino Fundamental, para trabalhar com os números decimais e com as medidas de comprimento. Consideramos que ao medir as partes do próprio corpo, o aluno se motivará para realizar as atividades propostas para o aprendizado dos conteúdos estruturantes ( Números e Medidas) e os conteúdos específicos ( Medidas de Comprimento e Números Decimais). Espera-se que ao se sentir motivado para as medições e operações, os mesmos possam obter um foco deslumbrado em relação à noção de proporcionalidade entre as medidas de comprimento e como conseqüência uma verdadeira compreensão de medidas e suas representações com algarismos, sejam elas, exatas e aproximadas; uma vez isso assimilado, os alunos compreendam que para se expressar por escrito, se faz necessárias representatividades inteiras e não inteiras que são os números decimais e suas especificidades.

Durante a aplicação do material, que será proposto por meio deste artigo, surgiram as curiosidades existentes nas medidas do corpo humano, o que serviu de incentivo para a realização dos cálculos com números decimais de uma forma clara e prazerosa.

Uma das atividades aplicada foi a relação harmônica entre várias partes do corpo, que se finalizará com a apresentação do número PHI ( fi) conhecido como número de ouro. Em princípio, o material escrito estava proposto para ser desenvolvido com alunos da quinta série, porém se tornou também interessante para as demais séries do ensino fundamental.

O resultado obtido foi surpreendente, com objetivo principal de operar com números decimais alcançado.

PALAVRAS-CHAVE:

Motivação; medidas; números decimais; harmonia do corpo humano

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SUMMARY:

The report presented with the subject “I and the Mathematics: Calculating and Learning”, has for objective to motivate the students of the several grades of Intermediate School, when working with the decimal numbers and the measures of length. We leave of the idea that when measuring the parts of the proper body, the pupil will motivate itself to carry through the activities proposals for the specific learning of the estruturantes contents (Numbers and Measures) and contents (Measured of Length and Decimal numbers). It is considered that to if feeling motivated for the measurements and operations the same ones will have one better vision of proportionality among the measures of length and as consequence a real understanding of measures and its representations with numbers, as accurate and approached.They will understanding that to express themselves in writing, they are necessary entire and not entire representations that are the decimal numbers and its own characters. During the application of the material that will be considered by means of this article, the existing curiosidades in the measures had appeared of the human body, what it served of incentive for the accomplishment of the calculations with decimal numbers of a clear and pleasant form. One of the activities is the harmonic relation among some parts of the body, that will be finished with the presentation of number PHI (fi) known as gold number. First, the material the writing was considered to be developed with pupils of the fifth grades, however if it also became interesting for the another grades.

PALAVRAS-CHAVE:

Motivation; measures; decimal numbers; harmony of the human body

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“Sonho que sonha só, é só um sonho, mas sonho que se sonha juntos é realidade.” (Raul Seixas).

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INTRODUÇÃO:

Quando se propõe com os alunos o desenvolvimento de um

projeto, de um material didático diferenciado daqueles aos quais

estamos habituados a trabalhar em sala de aula, este, por mais

idealista que seja já é uma realidade, se desenvolve em uma

caminhada de grande valia na busca de aprendizagem, na travessia

de alunos e professores pela escola.

Diante da falta de perspectiva em relação à melhoria do campo

de trabalho, seja ele qualificado ou não, constamos o desinteresse em

se aprender através da linguagem da escola, que por sua vez se faz

distanciada da realidade. Notamos que os conhecimentos

matemáticos empíricos muitas vezes se sobressaem em relação aos

conhecimentos formais, científicos e epistemológicos dos conteúdos

programáticos para serem apreendidos no âmbito escolar.

Os anos de experiência no magistério nos mostra que a maioria

de nossos alunos, estuda (calcula e lê) somente nos momentos em

que se encontram dentro da sala de aula, o que torna o professor um

orientador, ou seja, um interventor único para a transformação do

saber sistematizado.

A motivação tem sido difundida por um número expressivo de

professores para justificar a importância da aplicação de materiais

que despertem o interesse dos alunos pelo conteúdo que lhe esta

sendo ensinado.

Com base nesta realidade tentamos buscar recursos, com o

intuito de aumentar o interesse do aluno e que os referidos recursos

possam auxiliar cada professor, viabilizando o alcance de seus

objetivos e o cumprimento de sua tarefa de transformador educador.

A atividade docente de auxiliar os alunos na aquisição de

experiências pelo trabalho independente, necessita de um

refinamento de interpretação para a produção de materiais

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instrucionais, fornecedores de subsídios que contribuam para a

transformação do conhecimento.

Com o objetivo de reverter o desinteresse e acreditando numa

metodologia direcionada ao EU, surge a idéia de se desenvolver um

trabalho com a individualidade de cada aluno, pensando que ao

utilizar seu próprio corpo como material de estudo, o aluno se

disponha a ser o agente transformador de seus conhecimentos

matemáticos. Utilizando cálculos que são curiosos e próprios de cada

ser humano, possibilitaremos a descoberta de conhecimentos

científicos já apresentados na área científica, mas para eles

encarados como inéditos.

A cada descoberta, os estudantes estarão construindo a sua

história de conhecimentos, sendo as aplicações matemáticas

efetuadas com maior prazer. Ao analisar e concluir medidas, quantias

e quantidades se motivarão em buscar outras questões que lhes

pareçam interessantes, aumentando a necessidade de se saber

matemática e a necessidade de se calcular com acertos. Conduzindo-

o a uma aceitação de que a linguagem matemática escolar lhe é útil

como transformadora de saberes naturais em conhecimentos

matemáticos e por conseqüência a sua transformação.

Quando se trabalha com alunos motivados, por maior que sejam

suas dificuldades de entendimento, podemos contar com

metodologias que contribuam para uma aprendizagem concreta; no

entanto quando nos mostram estudos pesquisados que sem

motivação dos alunos, dificilmente alcançaremos nossos objetivos de

interventores, por mais que utilizemos as mais diversas metodologias.

Para essa realidade detectada espera-se que o presente estudo seja

instrumento de motivação para professores e alunos.

Esse material relata experiências com atividades de variação de

medidas de comprimento, medidas monetárias, medidas de área de

polígonos, construção de materiais, os quais proporcionam aos

estudantes situações problemas. Para que elas obtenham respostas,

os estudantes efetuam operações com os números decimais, visto

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que se trabalhando com medidas, as representações são em quase

todas as vezes representadas por valores não exatos. Tal prática vem

de encontro com a proposta desse estudo: de oportunizar os

estudantes a analisarem e operarem com representações não exatas,

que aqui denominamos simplesmente por números decimais.

Ao medirmos as partes do corpo, observaremos que os números

inteiros não são suficientes para expressar as medidas de

comprimento analisadas. Surge a necessidade de representar

medidas com números não inteiros.

Momento oportuno para a discussão dos aspectos de geração de

conjecturas, reflexões e formalização dos conteúdos que passam a ter

papel fundamental para os alunos e professores em sala de aula.

Por se tratar de um conteúdo específico do ensino fundamental,

partiremos para um estudo de aprofundamento teórico, que servirá

como base para a conclusão do trabalho com medidas do corpo e

suas relações.

Após a fundamentação teórica teremos condições de alcançar os

objetivos com o estudo das medidas de comprimento e com o estudo

dos números decimais e suas operações, de uma forma inter-

relacionada que são condicionantes para um entendimento concreto

ao aluno, ou seja, uma aprendizagem significativa desses conteúdos

da matemática básica.

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Teorizando Cálculos Matemáticos

A escola: um cenário aparentemente inocente e quase saído das

histórias de contos de fadas, na ilusória pureza do pequeno teatro

cotidiano de uma sala de aula. Mas um cenário onde, às voltas com

as energias e as matérias mais misteriosas da realidade cultural:-o

conhecimento, a circulação e o aprendizado infindo do conhecimento

- a pessoa humana vive momento mais essencial de sua própria

condição. Pois ali ela experimenta o trabalho pensado e vivido, entre

o quadro-negro e as filas geométricas das carteiras, de uma boa

réplica do drama interativo da própria metáfora múltipla da vida

social. Uma metáfora de nós mesmos, onde a aparência de estarmos

aprendendo “coisas para a vida” (o lado intencionalmente utilitário da

educação) estamos empenhados na busca de um sentido para nós e

para ela, a vida. Um cenário de cultura, adormecido nos livros e nas

mentes, acorda e é ressuscitado neste pequeno milagre que nos faz

humanos, cujo nome é “AULA”, e de cujas originalidades e grandeza

estamos mais esquecidos, mais do que devíamos é o que comenta

Carlos Brandão e que o referente artigo anseia alcançar, uma aula

com característica transformadora de informações em conhecimentos

práticos e reais em sua historicidade.

Na abordagem usualmente presente na escola, os alunos têm

pouca autonomia na construção do seu próprio conhecimento. Muitas

vezes avaliamos somente pela repetição de conteúdos apresentados.

Quando ele participa de projetos, deixa de ser receptivo e passa a ser

ativo em seu processo educacional.

A prática de projetos em sala de aula levam os estudantes à

reflexão sobre problemas do seu dia a dia.

Para Abrantes (1995) a característica principal do trabalho com

projetos é a investigação, ele aponta os benefícios para a motivação

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da prática do ensino da Matemática em sala de aula. E que ela, a

matemática é uma das bases teóricas essenciais e necessárias de

todos os grandes sistemas de interpretação da realidade, que

garantem a intervenção social com responsabilidade e dão sentido à

condição humana.

Recorrendo à história, podemos ver que a representação das

frações decimais tal qual a conhecemos hoje com uma vírgula para

separar a parte inteira da parte decimal, de acordo com Ifrah, (2001),

só foi criada no século XVII. No entanto, muito tempo antes havia

proposições nesse sentido. O fato é que essa notação surgiu como

forma de simplificar e agilizar os cálculos com números racionais e

rapidamente se universalizou.

Sabe-se também que essa forma fácil de representação acabou

influenciando na criação dos sistemas decimais de medidas, ainda

que, em alguns países, sistemas não-decimais continuassem a

vigorar. Porém, revelou-se até o final do século XVI a dificuldade de

se comercializar, devido a verdadeira babel do sistema de medidas e

que a uniformização de medidas trouxe maior fluidez nestas relações.

Pensando na aplicação do método exposto, D`Ambrósio

(1998,p.17) relata que todos os povos tiveram as mesmas idéias

para medir as coisas usando partes do corpo.

Muniz, Batista e Barbosa afirmam em estudos relatados num

artigo científico disponibilizado nas páginas da Internet, que em nossa

cultura temos por hábito usar decimais bem mais que as frações: no

dinheiro, nas medidas de comprimento, de massa, capacidade,

superfície, volume. E, mais que isso, o nosso sistema de medidas é

decimal, nosso sistema legal tem por base o dez. Basta olharmos à

nossa volta para constatar a grande quantidade de números com

vírgula em nossos cálculos matemáticos.

De acordo com Nunes (1997, p.99), as atividades de medidas

são importantes para expandir a compreensão do número pelas

crianças, pois elas avançarão do uso de números naturais para

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contagem a um universo maior, que abrange também os números

decimais para medidas.

Desde os primórdios, saber conviver e saber transforma-se

foram o segredo da sobrevivência.

Aprender a escrever sua vida, como autor e como testemunha de

sua história, isto é, biografar-se, existenciar-se, historizar-se é a

proposta animadora da pedagogia de Paulo Freire para a “educação

como prática de liberdade”.

Paulo Freire ainda nos traz a lição maior: a sua preocupação

social. A busca de alternativas e propostas que devem ser constantes

em nosso dia a dia, no sentido de resgatar o “homem”, o cidadão e o

“trabalhador” da alienação de seu “ser”, do exercício de cidadania e

de sua dignidade.

Na tentativa de uma ação transformadora que conduza os

estudantes à uma desalienação de conhecimentos e recorrendo á

estratégias didáticas metodológicas, vemos em Cury (1995) os

comentários sobre pesquisas que comprovam os erros de estudantes,

dizendo que ao analisar os erros cometidos pelos estudantes,

constata-se a necessidade de alterar a situação do ensino de

matemática, também no que tange os cálculos com números

decimais e que apenas constatar o não domínio deste conteúdo é

pouco para mudar a prática pedagógica dos professores de

matemática, mas que isso é preciso.

Segundo Dante: ’’Uma aula de matemática onde os alunos,

incentivados e orientados pelo professor trabalhem de modo ativo-

individualmente ou em pequenos grupos e que na aventura de buscar

a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e

motivadora do que a que segue o clássico esquema de explicar e

repetir. O real prazer de estudar matemática está na satisfação que

surge quando o aluno, por si só, resolve um problema. Quanto mais

difícil, maior a satisfação em resolvê-lo’’.

Ao trabalhar com as medidas, suas representações com números

decimais, podemos observar a harmonia divina da criação em cada

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ser humano que se encontra presente entre várias partes do corpo.

Veremos a seguir algumas dessas relações encontradas nos estudos

de Leonardo da Vinci e outros matemáticos e que foram utilizadas de

ferramenta na elaboração do material didático deste artigo.

Sabemos que são muitas as ferramentas tecnológicas que se

fazem presentes no cotidiano de nossos alunos, em ambientes

escolares e extra-escolares, o material didático relatado a seguir

apresenta-se como uma atividade didática viável por utilizar objetos

simples com condições de contribuir no processo de ensino

aprendizagem de matemática.

Baseando em estudos realizados pelo artista Leonardo Da Vinci,

estruturamos as atividades utilizando-se de vários cálculos sugeridos

nesses estudos. Podemos ver em O Homem Vitruviano que é um

desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci

fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários. Ele descreve uma

figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em

duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num

quadrado. A cabeça é calculada como sendo um oitavo da altura

total. A partir dessa pesquisa as atividades se focaram nas operações

com as medidas denominadas também de Divina Proporção.

Calculando a Beleza Humana, resultados exatos ou

aproximados?

As atividades com o material didático a ser apresentado através

deste artigo, iniciou-se no Grupo de Estudos denominado GEMMA

( Grupo de Estudos de Matemática do Mailon, uma proposta de ação

na Escola – atividade de Implementação do Programa de

Desenvolvimento Educacional do Paraná), com um número reduzido

de alunos por ser em contra turno, e que teve por experiência a

contribuição satisfatória para em um segundo momento ser aplicada

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em turmas do ensino fundamental com média de 40 alunos por

turma.

Toda experiência adquirida no GEMMA contribuiu para a

viabilização do material e para sua aplicação nas salas de aula; visto

que os participantes do GEMMA trabalhavam em duplas sob

orientação da professora.

Em princípio, os alunos se apresentaram de forma ansiosa ao

visualizar os instrumentos de medidas, que são por todos conhecidos,

porém de pouco ou quase nenhum manuseio. Iniciando pelo

reconhecimento do material notava-se que ao tocarem as fitas

métricas as expectativas aumentavam criando um clima agradável

para se ensinar, portanto para aprender o que se propunha (medidas

e números decimais); ou seja, havia uma motivação coletiva que se

evoluía a cada passo do trabalho que se propunha. Numa

metodologia de interação entre professor - aluno e aluno –aluno, por

ser uma atividade sugerida em duplas, facilitando as medições,

registravam-se as medidas nos referidos cadernos. Momento que

surgiram as primeiras necessidades da representação de números

decimais.

Por meio de uma aula expositiva, apresentamos sobre o histórico

do Metro, de seus múltiplos e submúltiplos e ao detectar os

conhecimentos que cada aluno já obtinha sobre medidas, conduzimos

a aula de forma tranqüila e com objetivos claros, num intercâmbio de

informações.

As primeiras atividades foram registradas em ficha individual

entregue a cada aluno, as dificuldades e as necessidades de se saber

registrar números decimais transformaram-se em uma atividade

desafiadora para cada aluno.

Mediam e registraram o palmo, o pé, o polegar, o dedo médio, o

dedo mínimo, o anelar e o indicador, a perna, o antebraço, o braço, a

cintura, o tórax e a altura.

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De forma confusa e tumultuada no início, porém cautelosa e

agradável, em seu processo assim surgiram as primeiras conquistas

sobre o material didático.

Num segundo momento, a análise se focava, onde cada aluno

percebia, com a colaboração de parceiros de pesquisa, que eram

muito parecidos, harmoniosos, como por exemplo, todos precisavam

de aproximadamente 2,5 palmos para obter a medida do braço.

Analisando por meio de leitura e escrita as medidas e suas

especificidades, construímos gráficos de barras, representando as

alturas, onde o grupo todo observava e relatava outras medidas e

não somente as suas.

O importante nesta atividade vem ser a participação de cada

aluno cuidando dos acertos dos outros colegas, a fim desses não

registrarem, com erros, as medidas que lhes eram comentadas.

Os alunos percebiam o quanto a ciência matemática faz parte da

vida das pessoas e o quanto interfere em seu cotidiano.

Realizamos operações de adição e subtração a fim de estruturar

as formas de registros das medidas na forma de número decimal.

Sendo oportunizado para tal operação as análises referentes à casas

inteiras e às casas decimais de cada medida registrada e operada,

como por exemplo as maneiras de armar as operações de forma

correta que induzirá ao aos acertas nas mesmas.

1. Operações com Números Decimais e Medidas

1.1. Adição e Subtração

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Estando com as fitas métricas em mãos, após medir algumas

partes do corpo, introduzimos as operações matemáticas com valores

exatos e não exatos. Iniciando pela adição, cada aluno em suas

duplas, efetuavam medidas oralmente e por escrito, como: meu

palmo somado com o seu palmo; a soma de suas alturas; a diferença

entre o braço e antebraço e entre os dedos. Os resultados também

foram representados em tabelas, que oportunizavam as análises de

maior que (>), menor que (<) e a igualdade (=).

Os aspectos metodológicos faziam emergir reflexões e

questionamentos que envolvem o saber matemático, portanto cada

vez mais motivados, os alunos incessantemente buscavam maiores

conhecimentos, a fim de se obter acertos perante o coletivo que se

manifestavam sempre que realizavam conclusões significativas que

traduzimos, como: aprendizagem de determinados conteúdos

escolares.

Assim, as operações eram realizadas trabalhando de forma

interativa entre o empírico e o conceitual, sem menosprezar os

fenômenos cognitivos.

A motivação conduziu o trabalho para as medidas de objetos da

sala de aula. Partimos a medir pisos, carteiras, cadernos, quadro, tv,

vidraças, o que ao efetuar as adições de cada figura plana medida

estava entendido o cálculo de perímetro. Um outro conteúdo

específico estava sendo trabalhado, e que vezes era obtido pela

adição dos quatro lados ou ainda pela multiplicação de dois a dois,

esse registrado na forma de expressão numérica e suas regras para

resolução.

Alguns símbolos matemáticos necessitavam de apresentação,

como os parênteses e a igualdade, conduzindo a justificativa das

regras das expressões numéricas que aqui se serviam de exercícios

de fixação.

A matemática é vista como tendo um fim em si e por si mesma,

ao passo que da forma proposta para o desenvolvimento das

questões, ela passa a ser encarada como um meio para se promover

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entre os estudantes, a construção de atitudes e valores de natureza

diversas. Por serem questões genéricas, indicaram direções que

estavam pré-elaboradas, porém possíveis de serem compreendidas e

resolvidas com acertos.

1.2. Divisão com as medidas e Números Decimais

O nosso propósito, neste momento, foi o de ampliar e aprofundar

a discussão em torno das operações com números decimais; com

apropriação significativa dos conceitos epistemológicos a partir de

questões pré- estipuladas e as que emergirem no decorrer das

aplicações.

Ao constatar e analisar que a longitude de suas mãos é um

décimo da sua altura, os alunos estavam convidados a efetuar

cálculos de divisão com números decimais. Como conseqüência e

análise de acertos dos cálculos sugeridos, efetuamos de forma

comparativa a multiplicação com números decimais. Toda atividade

direcionada e acompanhada com explicações no quadro de giz

sempre que necessário.

Uma outra curiosidade serviu de motivadora, quando analisamos

cálculos entre a altura da orelha, que segundo a harmonia pesquisada

por Leonardo da Vinci é um terço da longitude da face.

Ao trabalhar com as variações de grandezas decimais, se

tornavam claras as diferentes formas de registro de um mesmo valor.

Chegando a observação e comparação de registro na forma de

frações.

Tratando de outra maneira de registro, as frações com

denominador dez, através de questões comparativas entre as duas

formas referenciadas, demonstravam a apresentação e a

aprendizagem do conteúdo específico de frações Um conteúdo de

suma importância que também, em muitas vezes nos é considerado

como conteúdo de grande grau de dificuldade para os alunos de

todas as séries do ensino fundamental. Algumas operações com

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frações de denominadores dez fizeram presente neste momento do

trabalho desenvolvido, assim como outros denominadores de

potências de dez.

Na busca de se trabalhar com as mais variadas atividades com

motivações para as operações com números decimais e por ser uma

época de liquidações em determinada loja de eletrodomésticos da

cidade, surgiu a apresentação de panfletos que demonstram os

valores monetários em parcelas fixas de dez vezes sem juros, dando

sugestões de números decimais e operações de multiplicação e

divisão, demonstravam ao projeto uma atividade interessante para a

finalidade de totalizar os preços de cada mercadoria. Aquilo que para

muitos parecia ter um elevado grau de complexidade, se tornava,

através de resultados de questionamentos, comentários orais e

escritos, em conteúdos de fácil compreensão, portanto em conteúdos

concretos.

Obtivemos um número relevante de acertos ao se trabalhar a

multiplicação utilizando estas questões de preço. Pelo fato da maioria

dos alunos serem interlocutores das questões, o material

condicionava, como pré-requisito e análises de outros conteúdos,

neste caso as divisões por dez se fizeram necessária e sugestiva.

Foram para tanto, propostos preços de mercadorias para serem

divididas em dez vezes e ou multiplicadas dez vezes. Um paralelo

onde se visualiza o crescimento e diminuição das partes inteiras e

decimais dos números.

Baseando-se na questão de compreensão significativa, a partir

do manuseio de materiais manipuláveis, cada aluno construiu um

jogo interativo de muita objetividade e ótimos resultados, que foram

analisados durante a sua confecção e execução.

Associando as operações de multiplicação e divisão por dez e

potências de dez com as unidades de medidas de comprimento, que

também utiliza-se do sistema decimal de contagem, um jogo de

interatividade, manuseio e raciocínio se construía com grande

demonstração de compreensão das referidas operações estudadas,

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tanto as multiplicações e divisões, quanto as transformações das

unidades de medidas de comprimento.

O jogo é composto por um tabuleiro quadriculado de 7x7, em

materiais comuns como papel sulfite, cartolina, papel cartão e EVA,

conforme figura abaixo:

Km Hm Dam M Dm Cm Mm

As peças do jogo são vários algarismos de zero a nove e a

vírgula, elemento fundamental para a representação escrita dos

números decimais.

As regras do Jogo foram assim estipuladas:

1. O dono do jogo representa no tabuleiro uma medida de

comprimento;

2. Pede para o jogador ler a medida de comprimento;

3. Pede que através da mudança da vírgula, o adversário obtenha a

mesma medida, usando outra unidade de medida de comprimento;

4. Estando certa a questão, ponto para o adversário, que ganha um

prêmio (bala) e assume o jogo;

5. Se o adversário errar, ele é quem deve doar o prêmio para o

iniciante, que por sua vez deve explicar o correto;

6. Vence aquele que ganhar mais balas.

Observação: As regras foram criadas pelos mesmos alunos, portanto

estão sujeitas à mudanças ao iniciar o jogo.

Ainda o mesmo jogo foi usado para simplesmente efetuar

números decimais. Com questões do tipo: multiplique por dez, por

cem e por mil. Em outros momentos por questões de divisões por

dez, cem e mil.

Em continuidade com os estudos de números decimais e suas

operações, as pesquisas com medidas do corpo retornaram com as

atividades propostas do projeto.

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Utilizando as novas tecnologias, através de pesquisa na internet,

por meio do Programa Paraná Digital, realizamos pesquisa

direcionada a respeito das medidas harmônicas do corpo humano e a

cada curiosidade encontrada, cada estudante relatou de forma escrita

as seguintes curiosidades:

a) divisão da distância entre a cabeça e a base do nariz pela distância

entre a cabeça e base do queixo;

b) divisão da altura da cabeça pela linha das sobrancelhas;

c) divisão, pela boca, da distância entre a base do queixo e do nariz.

d) divisão da altura da coxa pela altura do joelho;

e) divisão da parte superior da coxa até os seios;

f) o umbigo divide o corpo do adulto pela metade, ou seja, a distância

entre o pé e o umbigo deve ser igual à distância do umbigo até a

cabeça.

g) divisão da altura do corpo humano pela medida da altura do

umbigo;

h) a altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça;

i) a igualdade entre a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do

tórax;

j) a medida do ombro até a ponta do dedo e a medida do cotovelo até

a ponta do dedo;

l) divisão da medida do quadril ao chão e a medida do joelho até o

chão;

m) igualdade da medida do cotovelo até o pulso e a medida do pé;

n) um palmo é a medida de quatro dedos fechados;

o) o antebraço tem a largura de seis palmos ( quatro dedos);

p) um passo é igual a quatro antebraços;

q) a dobra central do dedo anelar dividida pela primeira dobra do

mesmo dedo;

r) divisão do comprimento do rosto pela distância da cabeça até a

base do nariz;

s) a longitude da mão é um décimo da altura.

t) a altura da orelha é um terço da longitude da face.

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Essas medidas e proporções anatômicas foram representadas na obra

de Leonardo Da Vinci, O Homem Vitruviano,

A cada análise e efetuando cálculos experimentais da pesquisa

referenciada, foram sendo efetuadas operações, dentre elas a que

mais se desenvolveu foram as divisões. Outros conteúdos foram

surgindo com possibilidades para ensinar e aprender, sempre com

interesse da maioria dos estudantes.

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A cada relação métrica que se apresentava aos estudantes, cada

dupla se media e registrava por escrito os resultados. Sempre que se

observava resultados com cujo quociente se aproximava de

1,61803398... ; era sugerido que anotasse como algo comum e

curioso nos corpos humanos. Como as duplas ficavam bem próximas,

o trabalho acabava sendo desenvolvido por um grupo maior que se

encantava a cada quociente obtido. Seria simplesmente uma

curiosidade?

Cada aluno se perguntava de forma expressiva sobre a

importante descoberta que surgia. Até que após vários cálculos e

conclusões, já claras e compreendidas, apresentamos o tão

interessante número irracional, denominado como número de ouro,

número áureo ou até por alguns por número de Deus, cujo valor é de

aproximadamente 1,618, e que cientificamente chamamos de phi,

nome dado como homenagem á Phidias, arquiteto do Phatermon. A

letra grega que o representa é (phi). Φ

Phi é também denominado o número da beleza humana. Dizemos

que somos matematicamente belo quando efetuamos divisões de

partes do nosso corpo e encontramos o quociente phi.

Num diálogo selecionado e com finalidade específica o processo

de transformação do conhecimento se ampliava com o domínio de

novas interpretações das atividades e a aprendizagem era vista com

a capacidade pessoal de se apropriar de conceitos semióticos

produzidos num contexto cultural e ao mesmo tempo repleto de

conhecimentos empíricos.

Depois de explicações sobre as teorias aos alunos, nascia, assim

ainda mais curiosidades da parte de cada estudante que estava

construindo valores a partir de cálculos de partes do seu corpo, que

demonstram aqui a igualdade do amor de Deus a cada ser humano.

Considerando a frase de Foucault, (2000,p.71) que “ Uma teoria

não se expressará, não traduzirá, não aplicará uma prática; ela é uma

prática”, demonstramos aqui que por esta prática desenvolvida em

sala de aula que muita teoria se explicou interativamente.

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A cada operação se faziam necessárias correções e orientações

para obtenção de quocientes com acertos. Em muitos casos as

aproximações, ou seja, os arredondamentos eram verificados a fim de

se estabelecer os estudos. Para se trabalhar com medidas é

sempre importante discutir as comparações entre os valores exatos e

não exatos, o que completa a necessidade de se compreender os

números decimais e suas especificidades. Em vários exercícios se

observava que para a resposta oral o grau de acertos era bem maior

do que os descritos, fortalecendo a experiência e a necessidade de

rever a escrita com algarismos e com letras, por extenso.

As regras que eram conceitos já aplicados pelos alunos passaram

a ser compreendidas com justificativas, as quais conduziram a

aprendizagem significativa.

Como medir e contar são operações cuja realização a vida de

todos os dias exige com grande freqüência, o incentivo é maior para a

realização de questões com estas finalidades.

As operações efetuadas com a finalidade de analisar o quociente

phi, não contou com o auxílio de calculadoras, por ter objetivo de

operar com números decimais, suas aproximações e

arredondamentos, considerando os restos da divisões e suas

conseqüências, considerando a metodologia de orientar a partir de

erros e dúvidas nas operações propostas.

Estas atividades foram apresentadas na EXPOLON (Exposição de

trabalhos pedagógicos do Colégio Mailon), onde pudemos observar e

avaliar o ensino aprendizagem através da exposição aberta à

comunidade escolar.

As atividades foram apresentadas e motivadas sob o título de:

_ ”Você é Matematicamente Belo?” Venha conhecer suas

medidas!

Os estudantes realizaram medições, efetuaram os cálculos e

utilizando os resultados obtidos, informam os conhecimentos sobre o

número phi para vários participantes que se interessaram pela

questão, a maioria dos casos mulheres. Notamos que a curiosidade

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trazia conforto à várias pessoas que passaram a se sentir melhores

em relação as suas medidas corporais e mais interessante pensar que

a harmonia está presente mesmo com as nossas diferenças, com

altura e peso.

Na apresentação no EXPOLON, os cálculos foram realizados com

auxílio de calculadoras objetivando a rapidez na obtenção dos

resultados, visto que a curiosidade era a maior motivação da tarefa.

Vejamos os cálculos sugeridos e resolvidos.

1. Meça e calcule:

a) altura: altura do umbigo;

b) altura da coxa: altura do joelho;

c) altura de cima da coxa até o queixo: altura de cima da coxa até o

seio;

d) tamanho do rosto: altura dos olhos.

Vejamos as medidas da estudante da 5ª série “B”, Amanda:

a) Altura = 1,58 m

Altura do umbigo= 0,94 m

Quociente = 1,6...

b) altura da coxa = 0,76 m

altura do joelho= 0,45 m

quociente = 1,6...

c) altura de cima da coxa até o queixo= 0,58 m

altura de cima da coxa até o seio= 0,35 m

quociente= 1,6...

d) tamanho do rosto= 0,20 m

altura dos olhos= 0,12 m

quociente= 1,6...

Considera-se que a aluna Amanda é matematicamente bela.

22

Considerações Finais:

O presente artigo científico é uma das atividades do Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE), iniciado no ano de 2007, onde

professores da Rede Pública do Estado do Paraná, aprovados em

teste de seleção estruturado pela SEED ( Secretaria Estadual de

Educação do Estado do Paraná), foram oportunizados com 100 por

cento de suas carga horária disponibilizadas para estudos. O

programa de forma respeitosa e compromissada com a melhoria da

educação, contemplou os professores com um contato direto com a

Universidade, criando um elo entre os professores da Educação

Básica com professores Mestres e Doutores atuantes nas

Universidades. Com atividades direcionadas pelo professores

universitários, construiu-se uma visão crítica e real da educação

nestes dois âmbitos educacionais.

Sob a orientação dos professores universitários, cada professor

denominado durante a participação no programa, de professor PDE,

realizou por meio de pesquisas, aulas presenciais, orientações,

grupos de estudos, oficinas, participação em eventos direcionados a

cada área de ensino, palestras com filósofos, sociólogos e psicólogos.

Enfim, muito estudo, produziu-se materiais didáticos, realizou-se

aplicação dos mesmos na sala de aula, denominado pelo programa

com Proposta de Ação na Escola, sendo que ao final de dois anos,

essas atividades se constituíssem em um artigo científico.

Ao participar deste grandioso e ousado programa educacional,

me sinto renovada como profissional da educação. Oportunizada pela

troca de experiências de colegas da mesma área de ensino e

principalmente pelo contato com professores, mestres e doutores da

universidade.

Muitas dúvidas, muitas curiosidades e muitos conteúdos

matemáticos, são hoje para mim vistos e trabalhados de forma

23

integrada e com entendimento real, quando até algum tempo parecia

não ter o mesmo significado e, portanto, o valor de ser ensinado,

passa a ser pesquisado e compreendido.

O trabalho teve um papel didático-metodológico, para

estudantes e professores, uma vez que a partir da problematização,

que também é um método, a apropriação dos conteúdos e os

significados foram se aplicando de forma natural. As atividades

promoviam a realização de discussões, que estimulavam a interação

e o diálogo entre os envolvidos, facilitando sobremaneira o ensino

aprendizagem. Sem questões, sem problemas, não há investigações.

Quando estas emergem dos próprios alunos, produzem mais

condicionantes de aprendizagem, pois ao serem produzidas no

interior da sala de aula e ligadas às outras práticas sociais, se

apropriam de uma visão mais abrangente, profunda, crítica e

multidisciplinar dos temas sob estudo.

CONCLUSÃO:

Trabalhar da forma proposta no artigo, foi uma experiência

enriquecedora para mim. Ainda me vejo motivada, assim como os

alunos. Como a proposta abre um leque de novas questões a serem

desenvolvidas com uso do material, acredito que a cada nova turma,

surgirão novas e interessantes propostas de atividades que venham

efetuar interlocuções entre outros conteúdos programáticos que não

foram relacionados neste artigo.

Os depoimentos relatados a seguir expressam algumas

considerações sobre a viabilidade do material relatado pelo artigo. Os

depoimentos e as avaliações que foram aplicadas de forma escrita,

oral e expositiva demonstram que os objetivos propostos desde o

início deste trabalho foram alcançados com sucesso, que o objetivo

de efetuar cálculos aritméticos a partir da curiosidade foi atingido

com grande satisfação, ganhando motivação e a senbilização ao

24

conhecer-se melhor, a própria emoção, ajusta-se, auxilia na

organização de pensamentos, na aceitação de nossas diferenças e

por fim: educa-se, função cumprida com auxílio de conhecimentos

matemáticos, epistemológicos e empíricos.

Vejamos alguns depoimentos de alunos do Colégio Estadual

Professor Mailon Medeiros - Ensino Fundamental, Médio e Profissional

da cidade de Bandeirantes, estado do Paraná, que trabalharam com o

projeto e professores que trabalharam com a proposta sugerida neste

artigo, sendo estes de escolas públicas estaduais do Paraná e que

participaram do Grupo de Trabalho em Rede.

“Aprender a calcular com as minhas próprias medidas foi muito

divertido e interessante e me fez ver as igualdades das medidas

existentes em algumas partes do meu corpo e também, nas de meus

colegas”. Ricardo - 8ª”B”.

“Eu e meus colegas aprendemos brincando e discutindo as

medidas de cada corpo, pois aprendemos muitas coisas diferentes,

usando as matérias e imaginando em nossas cabeças.” Amanda

Caroline – 5ª série “B”.

“Foi muito legal e interessante conhecer que algumas partes do

meu corpo são proporcionais e iguais às de minhas colegas.” Lorena –

7ª “B”.

“Aprender de forma curiosa sobre o meu corpo foi bem legal,

ainda mais para mim que estou na adolescência, nessa fase que a

gente se acha a pessoa mais estranha do mundo, descobrir coisas

novas e principalmente que somos iguais é muito gratificante.” Karine

– 7ª “B”.

Depoimentos de Professores que aplicaram a atividade que foi

disponibilizada no GTR (Grupo de Trabalho em Rede) - atividade

proposta como integrante do PDE, onde professores da Rede Pública

Estadual do Paraná, foram colaboradores para a escrita, aplicação e

conclusão do material didático relatado neste artigo:

“Por se tratar de uma turma de alunos adultos (APED - Educação

de Jovens e Adultos - 5ª a 8ª) com que este plano foi realizado, a

25

aceitação deles perante as atividades foram ótimas, realizaram as

atividades com naturalidade, não demonstrando em nenhum

momento falta de interesse por se tratar de uma turma adulta. É um

projeto simples, eficaz e de fácil aplicação por utilizar-se de recursos

acessíveis. Os alunos puderam perceber através deste trabalho a

importância e a utilização dessas medidas no dia-a-dia deles.”

Professora Izis Mara Silva.

Durante a atividade, os alunos participaram ativamente, com

motivação, e um trabalho sério, quando eles faziam as medições, a

professora solicitava medidas com números decimais, uma vez que o

objetivo é trabalhar números com casas decimais finitas.

O interesse na busca de soluções para as situações-problema

criadas conduziam um diálogo. Durante a análise das diversas

medidas coletadas, os alunos me procuravam para tirar suas dúvidas,

mandavam e-mail, deixavam recados na página do orkut, enfim eles

se mobilizaram para realmente validar o modelo. O diálogo, é a

essência, e assim, ponto de partida para o fazer pedagógico, o

resgate do conversar, do ouvir, do dialogar, enfim, abre espaço para

criar, inventar, reinventar – professor e aluno”. Professora Jeanine

Alves de Oliveira.

“Os resultados das atividades propostas superaram as minhas

expectativas. Confesso que no inicio dos trabalhos os alunos

demonstraram certo desinteresse. Contudo, a presença de métodos e

materiais diferenciados durante as atividades reverteu tal situação.

Observei que os alunos apresentam dificuldades com unidades de

peso e medidas e suas transformações. Além disso, notei o mesmo

problema com o uso de números decimais. Ao finalizar esse projeto,

acredito que os alunos ao construirem suas atividades, puderam

conhecer na prática os elementos estudados e obter uma maior

informação a respeito do conteúdo propriamente dito. A avaliação se

deu em cada aula, através do interesse do aluno, com sua

participação e da resolução das atividades, do seu entendimento, e

26

linha raciocínio e principalmente pela sua colaboração.” Professora

Meirielen.

“Apliquei a atividade proposta com a sexta série. Gostei muito

pois surgiu o interesse dos alunos na realização das tarefas e na

troca de respostas.” Professora Deise Cristina Brito.

“O desenvolvimento dessas atividades enriqueceu o conteúdo

visto que os números decimais, medidas, conversão de unidades de

medida é muitas vezes complicado de explicar aos alunos, já na

prática, usando seu próprio corpo, materiais presentes na sala de

aula houve com certeza um aprendizado significativo.” Professora

Daniela Eliza Freitas.

Inserir a arte nas diversas disciplinas escolares é um importante

trabalho educativo, pois favorece as tendências individuais,

encaminha a formação do gosto, estimula a inteligência e contribui

para a formação da personalidade do indivíduo.

Notamos que a aplicação de atividades proporcionou o

desenvolvimento da percepção, da imaginação, da observação e do

raciocínio que influem na aprendizagem.

Poder contribuir com os conhecimentos epistemológicos, teóricos

científicos da disciplina de matemática, utilizando de curiosidades e

na prática dos cálculos, foi para mim uma das experiências mais

gratificantes de minha profissão. Espero que a minha gratificação seja

instrumento de formação de cidadania e felicidade dos meus alunos.

Espero, ainda, que o mito enfrentado pelos professores de

Matemática, em relação às complexidades desta ciência, diminuam a

cada atividade e que possamos trabalhar de forma tão prazerosa com

outros conteúdos estruturantes ou específicos.

Ao percebera evolução do aprendizado do ensino, por meio dos

depoimentos escritos e falados, no decorrer da proposta e em

27

diálogos informais com os alunos, me sinto com a alegria de quem

alcançou um objetivo de maneira muito satisfatória.

No decorrer dos estudos para a escrita deste artigo, muitos fatos

se tornaram polêmicos e que foram questões ímpares para o próprio

entendimento, como: O que é um número decimal? O que é um

número irracional? Todo decimal é um irracional?

Uma outra questão se faz presente no artigo: Será que os

cirurgiões plásticos usam a proporção áurea na beleza humana, nas

suas sugestões de alterações de partes do corpo? Será que utilizam

este antigo conhecimento como referencial?

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