Exame Unicadodas Pos-graduac~oes em Fsica

EUF

2 Semestre/2013

Parte 1 | 23/04/2013

Instruc~oes:

N~AO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela devera ser identicada apenasatraves do codigo (EUFxxx).

Esta prova constitui a primeira parte do exame unicado das Pos-Graduac~oes em Fsica.

Ela contem problemas de: Eletromagnetismo, Fsica Moderna, Termodina^mica e Meca^nicaEstatstica. Todas as quest~oes te^m o mesmo peso.

O tempo de durac~ao desta prova e de 4 horas. O tempo mnimo de permane^ncia na sala e de90 minutos.

N~AO e permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletro^nicos.

RESOLVA CADAQUEST~AONA PAGINA CORRESPONDENTE DO CADERNODE RESPOSTAS. As folhas ser~ao reorganizadas para a correc~ao. Se precisar de mais espaco,utilize as folhas extras do caderno de respostas. N~ao esqueca de escrever nas folhas extraso numero da quest~ao (Q1, ou Q2, ou . . . ) e o seu codigo de identicac~ao (EUFxxx).Folhas extras sem essas informac~oes n~ao ser~ao corrigidas.Use uma folha extra diferente para cada quest~ao. N~ao destaque a folha extra.

Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no mdo caderno de respostas. N~AO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho ser~ao descartadas equest~oes nelas resolvidas n~ao ser~ao consideradas.

N~AO escreva nada no formulario; DEVOLVA-O ao m da prova, pois ele sera utilizadoamanh~a.

Boa prova!

Q1. Considere um o innitamente longo disposto paralelamente ao eixo z, interceptando o planoz = 0 em x = a e y = 0, conforme mostra a gura. O o esta carregado com densidade linearde carga eletrica uniforme.

a

x y

z

(a) Determine o potencial eletrico V (x;y;z) em todo o espaco, de forma que o potencial sejazero no eixo z. Sugest~ao: pode-se calcular o potencial a partir do campo eletrico do olongo, que e obtido de forma simples usando a lei de Gauss.

(b) Considere agora, alem do o, um condutor plano innito (aterrado) ocupando o planox = 0. Calcule V (x;y;z) para a regi~ao x > 0 do espaco. Sugest~ao: utilize o metodo dasimagens.

(c) Qual a densidade supercial de carga (y;z) induzida no condutor plano em x = 0?

(d) Calcule a integralR11 (y;z) dy e discuta o resultado obtido.

Q2. Um o carregado com densidade linear de carga eletrica > 0 esta colado (formando um anel)na borda de um disco isolante de raio a, que pode girar ao redor de seu eixo vertical sem atrito.O comprimento do o e exatamente 2a. Apenas na regi~ao central do disco, ate um raio b < a,age um campo magnetico uniforme B0 vertical para cima.

a

b

B0

z

(a) O campo magnetico e agora desligado. Obtenha a express~ao para o torque devido a forcaeletromotriz induzida no o, em termos da variac~ao temporal do campo magnetico, dB=dt.A partir deste resultado, calcule o momento angular nal do disco (modulo e direc~ao).

(b) Considerando como dado o momento de inercia I do sistema disco+o, calcule o campomagnetico (modulo e direc~ao) produzido no centro do disco pelo anel de carga na situac~aonal acima.

1

Q3. Um feixe de luz com comprimento de onda 480 nm no vacuo e de intensidade 10 W/m2 incidesobre um catodo de 1 cm2 de area no interior de uma celula fotoeletrica. A func~ao trabalhodo metal e 2,2 eV. As respostas devem ser dadas com dois algarismos signicativos.

(a) Calcule a energia dos fotons incidentes em Joules e em eletron-volts.

(b) Calcule o numero de fotons por segundo incidentes na placa metalica.

(c) Se a ecie^ncia da convers~ao fotoeletrica e de 20% (apenas 20% dos fotons arrancameletrons do metal), calcule a corrente eletrica maxima, atraves da celula, quando uma ddpe aplicada entre o catodo e o anodo.

(d) Calcule o comprimento de onda maximo dos fotons incidentes acima do qual n~ao ocorreo efeito fotoeletrico.

Q4. Uma partcula de massa m executa oscilac~oes harmo^nicas, em uma dimens~ao, num potencialU(x) = m!2x2=2. Considere a partcula num estado cuja func~ao de onda e (x) = Aebx

2,

onde A e b s~ao constantes.

(a) Escreva a equac~ao de Schrodinger independente do tempo para este potencial.

(b) Determine o valor de b para que (x) seja soluc~ao desta equac~ao de Schrodinger, e o valorda energia associada a esta func~ao de onda.

(c) Calcule a constante de normalizac~ao A.

(d) Classicamente, esta partcula oscilaria dentro do intervalo simetrico [xmax;xmax], ondexmax = [~=m!]1=2. Calcule, usando a Meca^nica Qua^ntica, a probabilidade de se encontraresta partcula no intervalo [xmax;xmax]. Compare este resultado com o esperado pelaMeca^nica Classica.

Q5. Um cilindro de paredes externas impermeaveis, rgidas e adiabaticas, fechado em ambas asextremidades, e munido de uma parede de separac~ao interna impermeavel, movel, adiabatica eideal (sem fricc~ao), que o divide em dois compartimentos (A e B). Cada um deles e preenchidocom um mol de um gas ideal monoato^mico. Inicialmente a press~ao, o volume e a temperatura(P0;V0;T0) s~ao ide^nticos em ambos os lados da parede interna. Uma certa quantidade de calore introduzida de forma quase-estatica no compartimento A ate que sua press~ao atinja o valorPA = 32P0.

(a) A partir das equac~oes de estado do gas ideal monoato^mico U = 32NRT = 3

2PV e de sua

entropia S=N = 32R lnT + R lnV + constante, demonstre que, ao longo de um processo

isentropico em um sistema fechado, P 3V 5 = constante.

(b) Obtenha os volumes nais VA e VB dos dois compartimentos em termos do volume inicialV0.

(c) Obtenha as temperaturas nais TA e TB dos dois compartimentos em termos da tempe-ratura inicial T0, vericando que TA = 15TB.

(d) Obtenha as variac~oes de entropia do gas nos dois compartimentos, SA e SB. Qual e osinal da variac~ao da entropia total do sistema?

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Exame Unicadodas Pos-graduac~oes em Fsica

EUF

2 Semestre/2013

Parte 2 | 24/04/2013

Instruc~oes:

N~AO ESCREVA O SEU NOME NA PROVA. Ela devera ser identicada apenasatraves do codigo (EUFxxx).

Esta prova constitui a segunda parte do exame unicado das Pos-Graduac~oes em Fsica.

Ela contem problemas de: Meca^nica Classica, Meca^nica Qua^ntica, Termodina^mica e Meca^nicaEstatstica. Todas as quest~oes te^m o mesmo peso.

O tempo de durac~ao desta prova e de 4 horas. O tempo mnimo de permane^ncia na sala e de90 minutos.

N~AO e permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletro^nicos.

RESOLVA CADAQUEST~AONA PAGINA CORRESPONDENTE DO CADERNODE RESPOSTAS. As folhas ser~ao reorganizadas para a correc~ao. Se precisar de mais espaco,utilize as folhas extras do caderno de respostas. N~ao esqueca de escrever nas folhas extraso numero da quest~ao (Q1, ou Q2, ou . . . ) e o seu codigo de identicac~ao (EUFxxx).Folhas extras sem essas informac~oes n~ao ser~ao corrigidas.Use uma folha extra diferente para cada quest~ao. N~ao destaque a folha extra.

Se precisar de rascunho, use as folhas indicadas por RASCUNHO, que se encontram no mdo caderno de respostas. N~AO AS DESTAQUE. As folhas de rascunho ser~ao descartadas equest~oes nelas resolvidas n~ao ser~ao consideradas.

N~AO escreva nada no formulario; DEVOLVA-O ao m da prova, pois ele sera utilizadoamanh~a.

Boa prova!

Q6. Uma partcula de massa m move-se com velocidade ~v1 no semi-plano superior ate ser desviadaao atingir o semi-plano inferior, onde passa a se propagar com velocidade ~v2, conforme ilustradona gura abaixo. Observa-se experimentalmente as seguintes caractersticas: i) a partculapassa do meio 1 ao meio 2 desde que v1 > vmin; ii) a partcula se move de modo retilneoe uniforme em cada um dos semi-planos; iii) o a^ngulo de sada 2 e diferente do a^ngulo deentrada 1, o que nos faz presumir que em cada meio a partcula esteja sob ac~ao de diferentespotenciais U1 e U2.

(a) Com base no experimento, esboce o graco do potencial U em func~ao de y para x xo(justicando o graco).

(b) Determine v2 em termos de v1, de m e dos potenciais U1 e U2. Qual e a velocidade vminacima da qual observa-se a passagem da partcula do meio 1 para o meio 2?

(c) Determine o ndice de refrac~ao sen 1=sen 2 em termos de m, v1 e dos potenciais em cadameio.

Q7. Uma partcula de massa m desenvolve movimento unidimensional sob ac~ao do potencial abaixo(c e uma constante)

U(x) =1

2x4 cx2:

(a) Esboce os gracos de U(x) e dos respectivos espacos de fase ( _x versus x para todas asenergias possveis) nos seguintes casos : i) c > 0, ii) c = 0 e iii) c < 0.

(b) Por meio da energia total E, identique todos os movimentos periodicos possveis e seusrespectivos pontos de invers~ao (onde a velocidade e nula) para cada um dos casos do item(a).

(c) Determine a depende^ncia do perodo de oscilac~oes com a energia total E para c = 0.

Q8. Uma partcula de massa m esta num potencial tal que a equac~ao de Schrodinger (com ~ = 1)no espaco dos momentos e

~p 2

2m ar2p

(~p;t) = i

@

@t (~p;t)

onde

r2p =@2

@p2x+

@2

@p2y+

@2

@p2z:

(a) Escreva a equac~ao de Schrodinger no espaco das coordenadas.

(b) Qual e o potencial V (r), r = j~rj?(c) Qual e a forca, ~F (~r), sobre a partcula?

1

Q9. Os operadores de spin de uma partcula de spin-1 (um tripleto) podem ser representados noespaco complexo C3 pelas matrizes

S^x =~p2

0@ 0 1 01 0 10 1 0

1A ; S^y = ~p2

0@ 0 i 0i 0 i0 i 0

1A ; S^z = ~0@ 1 0 00 0 0

0 0 1

1A :(a) Mostre que as relac~oes de comutac~ao [S^x;S^y] = i~S^z, e permutac~oes cclicas em x;y;z, s~ao

satisfeitas.

(b) Se uma medida da componente z do spin e feita, quais s~ao os possveis resultados? En-contre os respectivos autovetores.

(c) Se o estado da partcula e dado pelo vetor

ji =0@ 1i

2

1A ;quais s~ao as probabilidades de se obter cada um dos resultados possveis das medidas dospin ao longo do eixo-z?

(d) A partir do resultado do item c), qual e a probabilidade de se encontrar a partcula emqualquer um desses estados?

Q10. Considere um oscilador harmo^nico unidimensional modicado, denido pela func~ao hamilto-niana

H =p2

2m+ V (x);

onde V (x) = 12m!2x2 para x 0, V (x) =1 para x < 0. Ele encontra-se em equilbrio termico

com um reservatorio de calor a temperatura T .

(a) Justique, em termos da paridade das autofunc~oes do problema qua^ntico, por que, devidoas condic~oes impostas, apenas os valores inteiros mpares de n s~ao permitidos para asautoenergias deste oscilador, n = (n+ 1=2)~!.

(b) Para a vers~ao qua^ntica, obtenha a func~ao de partic~ao cano^nica z deste oscilador e a energialivre de Helmholtz associada f .

(c) Obtenha a energia interna media deste oscilador a partir de u = @ ln z=@.(d) A partir da denic~ao da energia interna media no ensemble cano^nico, u hni, demonstre

a express~ao u = @ ln z=@.(e) Mostre que a func~ao de partic~ao cano^nica classica deste oscilador e dada por zclass =

(2~!)1. Determine a energia interna media classica associada, uclass hH iclass.

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