CONTEDOAOS LEITORES 3XI OLIMPADA DE MAIO 4Enunciados e Resultado BrasileiroXII OLIMPADA DE MAIO 7Enunciados e Resultado BrasileiroXVI OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL 8Enunciados e Resultado BrasileiroXVII OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL12Enunciados e Resultado BrasileiroXLVI OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA14Enunciados e Resultado BrasileiroXLVII OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA15Enunciados e Resultado BrasileiroXX OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA18Enunciados e Resultado BrasileiroXXI OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA20Enunciados e Resultado BrasileiroARTIGOS Sociedade Brasileira de MatemticaA FRMULA DE HERO 22Fabiano Alberton de Alencar NogueiraREAS PARA ACHAR RAZES DE SEGMENTOS 26Ccero Thiago e Marcelo MendesPROBLEMAS SOBRE PONTOS31Davi Mximo e Samuel FeitosaPOLINMIOS SIMTRICOS 46Carlos A. Gomes OLIMPADAS AO REDOR DO MUNDO 53SOLUES DE PROBLEMAS PROPOSTOS 57PROBLEMAS PROPOSTOS 60AGNDA OLMPICA 61COORDENADORES REGIONAIS 62EUREKA!N25,20072Sociedade Brasileira de Matemtica AOS LEITORES Chegamos ao nmero 25 da Eureka! apresentando as provas e os excelentes resultados brasileiros dos dois ltimos anos em diversas competies internacionaisdequeoBrasilparticipa. Temostambmquatrobelosartigose, atendendoamuitospedidos, avoltadaseoOlimpadasaoredordoMundo, agora commais colaboradores. Agradecemos e continuamos estimulando a participaodacomunidadeolmpicanaelaboraodaEureka!comproblemas propostos, solues e artigos, que tm feito da Eureka! um instrumento vivo de difuso das olimpadas de Matemtica no Brasil, contribuindo para a preparao em alto nvel dos participantes da OBM em todo o pas.Os editoresEUREKA!N25,20073Sociedade Brasileira de MatemticaXI OLIMPADA DE MAIOPRIMEIRO NVEL PROBLEMA 1Num quadro negro havia seis figuras: um crculo, um tringulo, um quadrado, um trapzio, umpentgonoeumhexgono, pintados deseis cores: azul, branco, vermelho, amarelo, verde e marrom. Cada figura tinha somente uma cor e todas as figuras eram de cores diferentes.No dia seguinte perguntou-se qual era a cor de cada figura.Pablo respondeu:"O crculo era vermelho,o tringulo era azul,o quadrado era branco, o trapzio era verde, o pentgono era marrom e o hexgono era amarelo."Sofiarespondeu: "Ocrculoeraamarelo, otringuloeraverde, oquadradoera vermelho, o trapzio era azul, o pentgono era marrom e o hexgono era branco."Pablo errou trs vezes e Sofia duas vezes, e sabe-se que o pentgono era marrom.Determine se possvel saber com certeza qual era a cor de cada uma das figuras.EUREKA!N25,20074Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 2Um nmero inteiro chama-se autodivise divisvel pelo nmero de dois algarismosformadoporseusdoisltimosdgitos(dezenaseunidades). Por exemplo, 78013 autodivipoisdivisvelpor13, 8517 autodivi pois divisvel por 17.Encontre 6 nmeros inteiros consecutivos que sejamautodivi e que tenham os dgitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. PROBLEMA 3UmsegmentoABdelargura100estdivididoem100segmentosmenoresde largura 1 mediante 99 pontos intermedirios.Ao extremo A designa-se o 0 e ao extremo B, o 1.Gustavo designa a cada um dos 99 pontos intermedirios um 0 ou um 1,a sua escolha, e logo pinta cada segmento de largura 1de azul oude vermelho, respeitando a seguinte regra: So vermelhos todos os segmentos que tm o mesmo nmero em seus extremos e so azuis os segmentos que tm nmeros diferentes em seus extremos.Determine se Gustavo pode designar os 0's e os 1's de modo a obter exatamente 30 segmentos azuis. E35segmentosazuis?(Emcadacaso, searespostasim, mostreumadistribuiodos 0's edos 1's, esearespostano, expliqueo porqu.)PROBLEMA 4Hduasfigurasdepapel: umtringuloequilteroeumretngulo. Aalturado retnguloigualalturadotringuloeabasedoretnguloigualbasedo tringulo. Divida o tringulo em trs partes e o retngulo em duas, mediante cortes retos, demodoquecomoscincopedaospossamosmontar, semburacosnem superposies, um tringulo equiltero. Para montar a figura, cada parte pode ser girada e/ou dar a volta. (Justifique que o tringulo montado equiltero.) PROBLEMA 5a) Em cada casa de um tabuleiro 7 7 se escreve um dos nmeros: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 de forma que cada nmero esteja escrito em sete casas distintas. Ser possvel que em nenhuma fila e em nenhuma coluna fiquem escritos nmeros consecutivos?b) Em cada casa de um tabuleiro 5 5 se escreve um dos nmeros: 1, 2, 3, 4 ou 5 de forma que cada nmero esteja escrito em cinco casas distintas. Ser possvel que em nenhuma fila e nenhuma coluna fiquem escritos nmeros consecutivos? SEGUNDO NVELEUREKA!N25,20075Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 1Determine o menor nmero de trs dgitos que seja o produto de dois nmeros de dois dgitos, de forma que os sete dgitos destes trs nmeros sejamtodos diferentes.PROBLEMA 2Gonalo escreve num quadro negro quatro nmeros escolhidos entre 0, 1, 2, 3 ou 4. Pode repetir nmeros. Nicols realiza repetidas vezes a seguinte operao: troca um dos nmeros, a sua escolha, pelo resto da diviso por 5 do produto de outros dois nmeros do quadro negro, a sua escolha.O objetivo de Nicols conseguir que os quatro nmeros sejam iguais. Determine seGonalopodeescolher osnmerosiniciaisdeformaquesejaimpossvel a Nicols alcanar seu objetivo.PROBLEMA 3 No tringulo issceles ABC, com AB = AC, sejaM o ponto mdio de BC. O Ponto D no lado BC tal que 1 .6BAD BAC A reta perpendicular a AD por C corta a AD em N de modo que DN = DM. Calcule os ngulos do tringulo ABC.PROBLEMA 4Num baile h 12 homens, numerados de 1 a 12 e 12 mulheres, numeradas de 1 a 12. Acadahomemsedesignaum"amigooculto"entreosoutros 11. Todos danaramtodas as msicas. Naprimeira msicacadahomemdanoucoma mulher que tem seu mesmo nmero. A partir da, cada homem danou uma nova msicacomumamulher quehaviadanadoamsicaanterior comseuamigo oculto.Na terceira msica os casais foram:Homens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Mulheres 5 11 2 12 8 10 9 4 6 3 7 1 Encontre o nmero do amigo oculto de cada homem.PROBLEMA 5Sobre o tabuleiro 9 9 aterrissou a nave inimiga que cobre exatamente 5 casas do tabuleiro, assim:EUREKA!N25,20076Sociedade Brasileira de MatemticaA nave invisvel.Cada mssil defensivo cobre exatamente uma casa, e destri a nave se bater numa das 5 casas que esta ocupa.Determine o nmero mnimo de msseis que so necessrios para destruir com certeza a nave inimiga. RESULTADOS BRASILEIROS PRIMEIRO NVELLeonardo Pereira Stedile So Paulo - SP Medalha de OuroJames Jun Hong So Paulo - SP Medalha de PrataThiago Gonales Piracicaba - SP Medalha de PrataCsar Ilharco Magalhes Juiz de Fora - MG Medalha de BronzeFernando Fonseca Andrade Oliveira Belo Horizonte - MG Medalha de BronzeErick Magno Costa Alonso Uberaba - MG Medalha de BronzeMara Islena T. da Silva Belo Horizonte - MG Medalha de BronzeMatheus Barros de Paula Taubat - SP Meno HonrosaWagner Carlos Morto Loyola Filho Vitria - ES Meno HonrosaAndr Y. O. Bastos So Paulo - SP Meno HonrosaRESULTADOS BRASILEIROS SEGUNDO NVELHenrique Pond de Oliveira Pinto Salvador - BA Medalha de OuroRafael Tupinamb Dutra Belo Horizonte - MG Medalha de PrataThiago Ribeiro Ramos Varginha - MG Medalha de PrataVictor Reis de Abreu Cavalcante Macei - AL Medalha de BronzeLucas Zanotto Portela Curitiba - PR Medalha de BronzeLucio Eiji Assaoka Hossaka Curitiba - PR Medalha de BronzeTiago Madeira Itaja - SC Medalha de BronzeHugo Musso Gualandi Vitria - ES Meno HonrosaGiuliano Pezzolo Giacaglia Santo Andr - SP Meno HonrosaWilson Camara Marriel Rio de Janeiro - RJ Meno HonrosaIllan Feiman Halpern Itatiaia - RJ Meno HonrosaXII OLIMPADA DE MAIOPRIMEIRO NVELPROBLEMA 1Um calendrio digital exibe a data: dia, ms e ano,com 2 dgitos para o dia, 2 dgitos para o ms e2dgitosparao ano. Por exemplo, 01-01-01 corresponde a primeiro de janeiro de 2001 e 25-05-23 corresponde a 25 de maio de 2023. Em frenteaocalendriohumespelho. Osdgitosdocalendriosocomoosda figura abaixo:EUREKA!N25,20077Sociedade Brasileira de Matemtica0123456789Se 0, 1, 2, 5 e 8 se refletem, respectivamente, em 0, 1, 5, 2 e 8, e os outros dgitos perdem sentido ao se refletirem, determine quantos dias do sculo, ao se refletirem no espelho, correspondem tambm a uma data.PROBLEMA 2Um retngulo de papel de 3cm 9cm dobrado ao longo de uma reta, fazendo coincidir dois vrtices opostos. Deste modo se forma um pentgono. Calcular sua rea. PROBLEMA 3H 20 pontos alinhados, separados por uma mesma distncia:Miguel tem que pintar de vermelho trs ou mais destes pontos, de maneira que os pontos vermelhos estejam separados por uma mesma distncia e seja impossvel pintar devermelhoexatamenteumpontoamaissemdesobedecer acondio anterior. Determinar de quantas maneiras Miguel poder fazer a tarefa. PROBLEMA 4Com 150 cubinhos brancos de 1 1 1 arma-se um paraleleppedo de 6 5 5, pintam-se as seis faces de azul e logo se desarma o paraleleppedo. Lucrecia deve armar umnovo paraleleppedo, semburacos, usando exclusivamente cubinhos que tenhamaomenos uma face azul e de modoque as faces do paraleleppedo de Lucrcia sejam todas completamente azuis.Determinar as dimenses do paraleleppedo de maior volume que Lucrecia pode armar.PROBLEMA 5Em algumas casas de um tabuleiro 10 10 coloca-se uma ficha de maneira que se verifique a seguinte propriedade:Paracadacasaquetemumaficha, aquantidadedefichas colocadasemsua mesma linha deve ser maior ou igual que a quantidade de fichas colocadas em sua mesma coluna.Quantas fichas pode haver no tabuleiro?Diga todas as possibilidades.EUREKA!N25,20078Sociedade Brasileira de MatemticaSEGUNDO NVELPROBLEMA 1Determinar todos os pares de nmeros naturais ae btais que 1 ab+e 1 ba+so nmeros naturais.PROBLEMA 2No quadro negro esto escritos vrios nmeros primos (alguns deles repetidos). Mauro somou os nmeros do quadro negro e Fernando multiplicou os nmeros do quadro negro. O resultado que obteve Fernando igual a 40 vezes o resultado que obteve Mauro. Determinar quais podem ser os nmeros do quadro negro.Diga todas as possibilidades. PROBLEMA 3 Escrever um nmero inteiro positivo em cada casa de modo que: Os seis nmeros sejam distintos. A soma dos seis nmeros seja 100.Se cada nmero multiplicado pelo seu vizinho(no sentido dos ponteiros do relgio) e se somamos seis resultados das seis multiplicaes, obtm-se o menor valor possvel.Explicar por que no possvel obter umvalor menor.PROBLEMA 4Seja ABCDum trapzio de bases ABe CD. Seja Oo ponto de interseo de suas diagonais AC e BD.Se a rea do tringulo ABC 150 e a rea do tringulo ACD 120, calcular a rea do tringulo BCO.PROBLEMA 5Com 28 pontos forma-se uma "grade triangular" de lados iguais, como se mostra na figura abaixo.Umaoperaoconsisteemescolher trs pontos quesejamosvrtices deum tringuloequilteroeretirarestestrspontosdagrade. Seapsrealizarvrias destas operaes resta somente umponto, emquais posies podeficar esse ponto?Determinar todas as possibilidades e indicar em cada caso as operaes realizadas. EUREKA!N25,20079Sociedade Brasileira de MatemticaJustificar por que o ponto que restou no pode estar numa outra posio.RESULTADOS BRASILEIROS PRIMEIRO NVELMatheus Barros de Paula Taubat - SP Medalha de OuroCsar Ilharco Magalhes Juiz de Fora - MG Medalha de PrataHenrique L. de Mello Rio de Janeiro - RJ Medalha de PrataIuri Rezende Souza Mineiros - GO Medalha de BronzeElder Massahiro Yoshida So Paulo - SP Medalha de BronzeDeborah Barbosa Alves So Paulo - SP Medalha de BronzeVictor Gonalves Elias Joo Pessoa - PB Medalha de BronzeLeonardo Gonalves Fischer Fraiburgo - SC Meno HonrosaWagner Carlos Morto Loyola FilhoVitria - ES Meno HonrosaIvan Seiki Hellmeister So Paulo - SP Meno HonrosaRESULTADOS BRASILEIROS SEGUNDO NVELThiago Ribeiro Ramos Varginha - MG Medalha de OuroMarcelo Tadeu de S O. Sales Barreiras - BA Medalha de PrataRafael Horimoto de Freitas So Paulo - SP Medalha de PrataRenan Henrique Finder Joinville - SC Medalha de BronzeIllan Feiman Halpern Itatiaia - RJ Medalha de BronzeRenan Lima Novais Niteri - RJ Medalha de BronzeRafael Rabelo de Carvalho Braslia - DF Medalha de BronzeRafael Pacheco Gomes Fortaleza - CE Meno HonrosaCaio Srgio Parente Silva Rio de Janeiro - RJ Meno HonrosaHugo Fonseca Arajo Juiz de Fora - MG Meno HonrosaXVI OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SULEnunciados e Resultado BrasileiroEUREKA!N25,200710Sociedade Brasileira de MatemticaA XVI Olimpada de Matemtica do Cone Sul foi realizada na cidade de Sucre,Bolvia no perodo de14 a 23 de Maio de 2005.A equipe brasileira foi liderada pelos professores Emanuel Augusto de Souza Carneiro e Davi Alexandrino Nogueira, ambos da cidade de Fortaleza CE. RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Henrique Pond de Oliveira PintoMedalha de OuroBRA2Guilherme R. Nogueira de SouzaMedalha de OuroBRA3Edson Augusto Bezerra LopesMedalha de PrataBRA4Rafael Tupynamb Dutra Medalha de PrataPRIMEIRO DIAPROBLEMA 1Considere a seguinte seqncia:a1 = ltimo dgito da soma dos dgitos do nmero 2005a2 = ltimo dgito da soma dos dgitos do nmero 20052005a3 = ltimo dgito da soma dos dgitos do nmero 200520052005 ...an = ltimo dgito da soma dos dgitos do nmero 2005 vezes2005 ... 20052005nCalcule:a1 + a2 + a3 + + a2005PROBLEMA 2Seja ABCum tringulo acutngulo e sejam AN,BMe CPas alturas relativas aos lados BC, CA e AB, respectivamente. Sejam R, S as projees de N sobre os lados AB,CA,respectivamente,eQ,WasprojeesdeNsobreasalturasBMeCP, respectivamente. Mostre que R, Q, W, S so colineares;Mostre que MP = RS QW.EUREKA!N25,200711Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 3Aunidademonetriadeumcertopassechamareo, etodasasmoedas que circulam so de nmeros inteiros de reos. Em um grupo de trs pessoas, cada uma tem 60 reos em moedas (mas no se sabe que tipo de moedas cada uma tem). Cada uma das trs pessoas pode pagar a cada uma das outras qualquer valor inteiro entre 1 e 15 reos, inclusive, talvez com troco. Mostre que as trs pessoas em conjunto podem pagar exatamente (sem troco) qualquer valor inteiro entre 45 e 135 reos, inclusive.SEGUNDO DIAPROBLEMA 4SejaABCumtringuloissceles, com AB=AC. Umaretarquepassapelo incentro I de ABC intersecta os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. F e G so pontos sobre o lado BC tais que BF = CE e CG = BD. Mostre que o ngulo FIG constante ao variar r.PROBLEMA 5Diremosqueumnmerode20dgitosespecialseimpossvelrepresent-lo como produto de umnmero de 10 dgitos por umnmero de 11 dgitos. Determine qual a mxima quantidade possvel de nmeros consecutivos que so especiais.PROBLEMA 6No plano cartesiano traamos circunferncias de raio 1/20 com centros em cada ponto de coordenadas inteiras. Mostre que qualquer circunferncia de raio 100 que se trace no plano intersecta pelo menos uma das circunferncias pequenas.EUREKA!N25,200712Sociedade Brasileira de MatemticaXVII OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SULEnunciados e Resultado BrasileiroA XVII Olimpada de Matemtica do Cone Sul foi realizada na cidade de Escobar, Argentinano perodo de 5 a 11 de Maio de 2006. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Carlos YuzoShine (SoPauloSP) e Luzinalva Miranda de Amorim (Salvador BA). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Henrique Pond de Oliveira PintoMedalha de OuroBRA2Rafael Tupynamb Dutra Medalha de PrataBRA3Ramon Moreira Nunes Medalha de PrataBRA4Regis Prado Barbosa Medalha de PrataPRIMEIRO DIAPROBLEMA 1No quadriltero convexo ABCD, sejam E e F os pontos mdios dos lados AD e BC, respectivamente. Os segmentos CEe DFcortam-se em O. Demonstrar que se as retasAOeBOdividemoladoCDemtrs partes iguais entoABCDum paralelogramo.PROBLEMA 2Duas pessoas, A e B, jogam o seguinte jogo: eles retiram moedas de uma pilha que contm, inicialmente, 2006 moedas. Os jogadores jogam alternadamente retirando, emcadajogada, 1a7moedas; cadajogadorguardaasmoedasqueretira. Se quiser,um jogador pode passar (no retirar moedas em sua vez),mas para isso devepagar 7moedasdasqueretiroudapilhaemjogadasanteriores. Estas7 moedassocolocadasemumacaixaseparadaenointerferemmaisnojogo. Ganha quem retira a ltima moeda, e A comea o jogo.Determinar qual jogador pode assegurar a vitria, no importando como jogue o outro. Mostrar uma estratgia vencedora e explicar por que vencedora.PROBLEMA 3EUREKA!N25,200713Sociedade Brasileira de MatemticaSeja n um nmero natural. A sucesso finita de inteiros positivos tem, entre seus termos, exatamentennmeros distintos(podeter nmeros repetidos). Alm disso, se de um de seus termos qualquer subtramos 1, obtemos uma sucesso que tem, entre seus termos, pelo menos nnmeros positivos distintos. Qual o valor mnimo que pode ter a soma de todos os termos da sucesso ?SEGUNDO DIAPROBLEMA 4Daniel escreveu em uma lousa, de cima para baixo, uma lista de nmeros inteiros positivosmenoresouiguaisa10. AoladodecadanmerodalistadeDaniel, Martn anotou a quantidade de vezes que esse nmero aparece na lista de Daniel e obteve assim uma lista de mesmo tamanho.Se lemos a lista de Martn de baixo para cima obtemos a mesma lista de nmeros que Daniel escreveu de cima para baixo. Encontre o maior tamanho que a lista de Daniel pode ter.PROBLEMA 5Encontrar todos os inteiros positivos ntais que 2 n 1 ]divide4 n e 2 n 1+ ] divide4 n + . ([ ] rdenota a parte inteira de r, ou seja, o maior inteiro que menor ou igual a r. Por exemplo:[ ] 2, 5 2 ; 3 1 1 ];[ ] 5 5 .)PROBLEMA 6Dividimos o plano em casinhas quadradas de lado 1, traando retas paralelas aos eixos coordenados. Cada casinha pintada de branco ou preto. A cada segundo, recolorimos simultaneamente todas as casinhas, de acordo com a seguinte regra: cada casinha Qadota a cor que mais aparece na configurao de cinco casinhas indicadas na figuraQO processo de recolorao repetido indefinidamente.a) Determinar seexiste uma coloraoinicial comumaquantidade finita de casinhas pretas tal que sempre h pelo menos uma casinha preta, no importando quantos segundos se passaram desde o incio do processo.EUREKA!N25,200714Sociedade Brasileira de Matemticab) Determinar seexiste umacoloraoinicial comumaquantidade finita de casinhas pretas tal que o nmero de casinhas pretas, aps alguma quantidade de segundos, sejapelomenos1010vezesmaiorqueonmeroinicial decasinhas pretas.XLVI OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA Enunciados e Resultado Brasileiro A XLVI Olimpada Internacional de Matemtica foi realizada na cidade de Mrida Mxico no perodo de 08 a 19 de julho de 2005. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Edmilson Luis Rodrigues Motta (So Paulo SP) e Onofre Campos da Silva Farias (Fortaleza CE). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Gabriel Tavares Bujokas Medalha de OuroBRA2Thoms Yoiti Sasaki HoshinaMedalha de BronzeBRA3Leandro Farias Maia Meno HonrosaBRA4Guilherme Rodrigues Nogueira de SouzaMeno HonrosaBRA5Levi Mximo Viana ****BRA6Edson Augusto Bezerra Lopes ****PRIMEIRO DIAPROBLEMA 1So escolhidos seis pontos nos lados de um tringulo equiltero ABC: 1Ae 2Aem BC,1B e2B em1 2,eCA C C emAB. Estes pontos soos vrtices deum hexgono convexo 1 2 1 2 1 2A A B B CCcujos lados so todos iguais. Demonstre que as retas 1 2 1 2, A B BCe 1 2C Aso concorrentes.EUREKA!N25,200715Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 2Seja1 2,,... a a umaseqnciadeinteiros queteminfinitostermospositivose infinitos trmos negativos. Suponhamos que para cada inteiro positivon, os nmeros 1 2,,...,na a atem n restos distintos ao ser divididos entre n. Demonstre que cada inteiro se encontra exatamente uma vez na sucesso.PROBLEMA 3Sejam x, y, z nmeros reais positivos tais que1. xyz Demonstre que 5 2 5 2 5 25 2 2 5 2 2 5 2 20.x x y y z zx y z y z x z x y + + + + + + + +SEGUNDO DIAPROBLEMA 4Consideremos a seqncia infinita 1 2, ,... a adefinida por 2 3 6 1( 1,2,...)n n nna n + + Determine todos os inteiros positivos que sorelativamente primos relativos (coprimos) com todos os termos da seqncia.PROBLEMA 5SejaABCDumquadrilteroconvexoquetemosladosBCeADiguaiseno paralelos. Sejam EeFpontos nos ladosBCeAD, respectivamente, queso distintos dos vrtices e satisfazem BE = DF.As retas AC e BD se cortam em P e a reta EF corta AC e BD respectivamente em QeR. Consideremos todosostringulosPQRqueseformamquandoEeF variam. Demonstre que as circunferncias circunscritas a esses tringulos tm em comum outro ponto alm de P. PROBLEMA 6Numacompetiodematemticaforampropostos6problemasaosestudantes. Cada par de problemas foi resolvido por mais de2 5 dos estudantes. Ningum resolveu os 6 problemas. Demonstre que h pelo menos 2 estudantes tais que cada um tem exatamente 5 problemas resolvidos. EUREKA!N25,200716Sociedade Brasileira de MatemticaXLVII OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA Enunciados e Resultado Brasileiro A XLVII Olimpada Internacional de Matemtica foi realizada na cidade deLjubljanaEslovnianoperodode08a19dejulhode2006. Aequipe brasileirafoi liderada pelosprofessores Luciano Guimares Monteiro de Castro (Rio de Janeiro RJ) e Pablo Rodrigo Ganassim (So Paulo SP). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Andr Linhares Rodrigues Medalha de BronzeBRA2Guilherme Rodrigues Nogueira de SouzaMedalha de BronzeBRA3Leandro Farias Maia Medalha de BronzeBRA4Leonardo Ribeiro de Castro CarvalhoMedalha de BronzeBRA5Rafael Mendes de Oliveira Medalha de BronzeBRA6Rgis Prado Barbosa Medalha de BronzePRIMEIRO DIAPROBLEMA 1EUREKA!N25,200717Sociedade Brasileira de MatemticaSejaABCumtringulocomincentroI. UmpontoPnointerior dotringulo verifica . PBA PCA PBC PCB + +Prove que, AP AI com igualdade se, e somente se, P = I.PROBLEMA 2UmadiagonaldeumpolgonoregularPde2006ladosum segmentobomse separaPemduaspartes,cada uma tendo um nmeromparde ladosdeP.Os lados de P tambm so segmentos bons.Divide-se Pem tringulos, traando-se 2003 diagonais que, duas a duas, no se cortam no interior deP. Determine o maior nmero de tringulos issceles nos quais dois lados so segmentos bons que podem aparecer numa diviso como essa.PROBLEMA 3Determine o menor nmero real M tal que a desigualdade( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2ab a b bc b c ca c a M a b c + + + + verdadeira para todos os nmeros reais a, b, c.SEGUNDO DIAPROBLEMA 4Determine todos os pares de inteiros (x, y) tais que 2 1 21 2 2 .x xy++ + PROBLEMA 5Seja P(x) um polinmio de grau n > 1 com coeficientes inteiros e seja k um inteiro positivo. Considere o polinmio( ) ( (... ( ( ))...)), Q x P P P P x ondePaparecekvezes. Prove que existemno mximo n inteiros t tais que( ) . Q t t PROBLEMA 6AcadaladobdeumpolgonoconvexoPassocia-seamaior das reas dos tringulos contidos em Pque tm bcomo um dos lados. Prove que a soma das reas associadas a todos os lados de P pelo menos o dobro da rea de P.EUREKA!N25,200718Sociedade Brasileira de MatemticaXX OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA Enunciados e Resultado Brasileiro A XX Olimpada Iberoamericana de Matemtica foi realizada na cidade de Cartagena de ndias Colmbia no perodo de 22 de setembro a 1 de outubro de 2005. A equipe brasileira foi liderada pelos professores lio Mega (So Paulo SP) e Yuri Gomes Lima (Fortaleza CE). RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Rafael Marini Silva Medalha de OuroBRA2Thoms Yoiti Sasaki Hoshina Medalha de OuroBRA3Gabriel Tavares Bujokas Medalha de OuroBRA4Thiago Costa Leite Santos Medalha de OuroPRIMEIRO DIAEUREKA!N25,200719Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 1Determinetodasastriplasdenmerosreais(x,y,z)quesatisfazemoseguinte sistema de equaes:8, xyz 2 2 273, x y y z z x + + 2 2 2( ) ( ) ( ) 98. x y z y z x z x y + + PROBLEMA 2Uma pulga salta sobre os pontos inteiros de uma reta numrica. Em seu primeiro movimento salta desde o ponto 0 e cai no ponto 1. A partir da, se num movimento a pulga salta desde o ponto a e cai no ponto b, no seguinte movimento salta desde o ponto b e cai num dos pontos b + (b a) 1, b + (b a), b + (b a) + 1.Demonstre que se a pulga caiu duas vezes sobre o ponto n, para n inteiro positivo, ento deve ter feito ao menostmovimentos, onde t o menor inteiro maior ou igual a 2 . n PROBLEMA 3Seja3 p >um nmero primo. Se 1 1 1 1...1 2 3 ( 1)p p p pnp m+ + + + onde o mximo divisor comum de n e m 1, demonstre que 3pdivide n.SEGUNDO DIAPROBLEMA 4Dados os inteiros positivos a e b, denota-se por( ) a b o resto que obtido ao dividiraporb. Este resto um dos nmeros 0,1,,b 1.Encontre todos os pares de nmeros (a, p) tais que p primo e vale:( ) ( ) ( ) ( )234 . a p a p a p a p a p + + + +PROBLEMA 5Seja Oo circuncentro de um tringulo acutngulo ABCe 1A um ponto no arco menor BC da circunferncia circunscrita ao tringulo ABC. Sejam 2Ae 3Apontos nos ladosABeACrespectivamente, tais que1 2BA A OAC e EUREKA!N25,200720Sociedade Brasileira de Matemtica1 3. CA A OAB Demonstre que a reta2 3A A passa pelo ortocentro do tringulo ABC. PROBLEMA 6Dado uminteiro positivon, numplano consideram-se 2npontos alinhados 1 2 2, ,..., .nA A A Cadapontopintadodeazul ouvermelhomedianteoseguinte procedimento: No plano dado so traadas n circunferncias com dimetros de extremos iAe jA, disjuntas duas a duas. Cada ,1 2 ,kA k n pertence exatamente a uma circunferncia. Pintam-se os pontos de modo que os dois pontos de uma mesma circunferncia levem a mesma cor. Determine quantas coloraes distintas dos 2n pontos podem-se obter ao variar as n circunferncias e a distribuio das duas cores. XXI OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA Enunciados e Resultado Brasileiro A XXI Olimpada Iberoamericana de Matemtica foi realizada na cidade de Guayaquil Equador no perodo de 22 de setembro a 1 de outubro de 2006. A equipe brasileira foi liderada pelos professores Paulo Czar Pinto Carvalho (Rio de Janeiro RJ) e Ccero Thiago Magalhes (Fortaleza CE).RESULTADOS DA EQUIPE BRASILEIRABRA1Andr Linhares Rodrigues Medalha de OuroBRA Guilherme Rodrigues Nogueira de Souza Medalha de OuroEUREKA!N25,200721Sociedade Brasileira de Matemtica2BRA3Leandro Farias Maia Medalha de PrataBRA4Leonardo Ribeiro de Castro Carvalho Medalha de PrataPRIMEIRO DIAPROBLEMA 1No tringulo escaleno ABC, com90 BAC , consideram-se as circunferncias inscrita e circunscrita. A reta tangente em A circunferncia circunscrita corta a reta BC em M. Sejam S e R os pontos de tangncia da circunferncia inscrita com os catetos AC e AB, respectivamente. A reta RS corta a reta BC em N. As retas AM e SR cortam-se em U. Demonstre que o tringulo UMN issceles.PROBLEMA 2Consideram-se n nmeros reais a1, a2,..., an no necessariamente distintos. Seja d a diferena entre o maior e o menor deles e seja( )< i ji js a aDemonstre que2( 1)4n dn d s edetermine as condies quedevemsatisfazer estesnnmeros paraquese verifique cada uma das igualdades.PROBLEMA 3Colocam-se os nmeros 1,2,3,...,n2nas casas de um tabuleiro n n, em alguma ordem, um nmero por casa. Uma ficha encontra-se inicialmente na casa com o nmero n2. Em cada passo, a ficha pode mover-se para qualquer das casas que tm um lado em comum com a casa onde se encontra. Primeiro, a ficha desloca-se para acasacomonmero1, eparaissotomaumdoscaminhosmaiscurtos(com menos passos) entre o n2e o 1. Da casa com o nmero 1 desloca-se para a casa com o nmero 2, a partir da para a casa com o nmero 3, e assim sucessivamente, at regressar casa inicial, tomando em cada um desses deslocamentos o caminho mais curto. A ficha dN passos no percurso completo. Determine o menor valor e o maior valor possveis de N.SEGUNDO DIAEUREKA!N25,200722Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 4Determine todos os pares ) , ( b a de inteiros positivos tais que1 2 + a e 1 2 bsejam primos entre sie b a +divida1 4 + ab .PROBLEMA 5Dada uma circunferncia C , considere um quadriltero ABCD com os seus quatro lados tangentes a C, com AD tangente a C emP e CD tangente a C em Q. Sejam Xe Y os pontos em que BD corta C, e Mo ponto mdio de XY. Demonstre que CMQ AMP .PROBLEMA 6Sejan>1uminteirompar. Sejam P0eP1doisvrticesconsecutivosdeum polgonoregulardenlados. Paracada k2, define-sePkcomoovrticedo polgonodadoqueseencontranamediatrizdePk-1ePk-2. Determineparaque valores de n a sucessoP0, P1, P2, percorre todos os vrtices do polgonoVoc sabiaQue 232582657-1 primo ? Ele tem 9808358 dgitos e o maior primo conhecido no momento. Foi descoberto em 4 de setembro de 2006 por Curtis Cooper e Steven Boone, dois participantes do GIMPS, que j tinham descoberto o primo 230402457-1, o segundo maior primo conhecido. O GIMPS um projeto cooperativo na internet que j encontrou 10 primos de Mersenne. Vejawww.mersenne.orgpara mais informaes, inclusive como ajudar a achar outros primos de Mersenne. A FRMULA DE HERO Fabiano Alberton de Alencar Nogueira Nvel IntermedirioUma frmula que sempre exerceu sobre mim um grande fascnio a frmula de Hero para o clculo da rea S de um tringulo qualquer de lados a, b e c:EUREKA!N25,200723Sociedade Brasileira de Matemtica( ) ( ) ( ) S p p a p b p c ,onde2a b cp+ + osemi-permetrodotringulo. Suadeduo, noentanto, apresenta na maioria dos livros uma certa dose de artificialidade. O objetivo deste artigo sugerir uma deduo que me ocorreu como sendo mais natural, alm de consideravelmente curta.Ainspiraoveioquandoestavarevirandopapisvelhos, alimentandominhas saudadesdostemposemquecompetianasOlimpadasdeMatemtica. Numa dessas sesses de nostalgia, deparei-me com uma questo da Olimpada Estadual de Matemtica do Rio de Janeiro que propunha que se provasse uma desigualdade envolvendoasmedidasperifricasdeumtringuloqualquereoraiordoseu crculo inscrito:( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1rp a p b p c+ + Refazendosuasoluo, vislumbrei apossibilidadedefazer aspazescoma frmula de Hero, atravs do que passo a expor.Primeiramente, listemos os pr-requisitos necessrios argumentao:A rea S de qualquer tringulo metade do produto envolvendo um par de seuslados e o seno do ngulo interno formado por eles. c a bC1sin2S ab C Ossegmentostangentesaummesmocrculo, traadospelomesmoponto, so congruentes. Afigura a seguir aplica este princpioaos trs vrtices de um tringulo no qual foi construdo o crculo inscrito, cujo raio r.EUREKA!N25,200724Sociedade Brasileira de Matemticaxyx yzzrrrCABNa figura acima, as letras x, y e z denotam as medidas dos pares de segmentos que so congruentes por serem tangentes ao crculo inscrito, traados respectivamente pelos vrtices C, B e A.Da mesma figura, retemos os fatos de queCB x y +eCA x z + . Tambm imediato que, sendo o permetro( ) ( ) ( ) 2p AB CA CB y z x y z y + + + + + + + , temos que p x y z + +.A rea S de qualquer tringulo igual ao produto do semi-permetro pelo raio docrculo inscrito, ou seja,S pr .CBx yxy z zrAITDe fato, olhando para as bissetrizes do tringulo ABC, que concorrem no incentro I, vemos que AI, BI e CI dividem o interior de ABC em trs tringulos, sendo um deles CBI. O raio r a altura IT de CBI porque o crculo inscrito tangncia o lado CBno pontoT. Portanto, ao considerarmos que a rea deCBI, de base CB x y + e altura r, dada por ( )2x y r +que um raciocnio anlogo permite concluir que as reas de ABI e ACI valem, respectivamente ( )2y z r + e ( )2x z r +, e que a rea de ABC a soma das reas de CBI, ABI e ACI, temos:EUREKA!N25,200725Sociedade Brasileira de Matemtica( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2x y r y z r x z r x y z r prS pr+ + + + + + + O Teorema de Pitgoras e um pouco de Trigonometria, em particular a frmula deduplicao de arcossin2 2sin cos , que ser usada com 2 C .Estes so os ingredientes necessrios deduo da frmula de Hero, numa verso extremamente simples de se memorizar: S pxyz !E aqui vamos ns! Sem precisar dar novamente nome aos bois, temos( ) ( )1 1sin sin22 2S ab C x y x z + + ,onde2CBCI . Ocorreque, notringuloretnguloCTI, decatetosxer, podemos expressar o seno e o coseno de 2C em funo desses parmetros, lanando mo do Teorema de Pitgoras:2 2 2 2 2 2 2CI CT IT x r CI x r + + +.T IC2C2 2x r +x rLogo2 2sin2C IT rCIx r +e2 2cos2C CT xCIx r +. Por outro lado, sabendo que sin 2sin cos2 2C CC , temos 2 22 2 2 22sin 2x r xrCx rx r x r_ _ ++ + , ,.EUREKA!N25,200726Sociedade Brasileira de MatemticaLembrando que SS pr rp , substitumos222sin _+ ,SxpCSxp na frmuladarea ( ) ( )1sin2 + + S x y x z C. Amanipulaoabaixoencerraadeduo, uma vez que se p x y z + +, ento x p c ,y p b e z p a :( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 222222 2 2 2 2 2 22( )2112+ + + + + + _ _++ , , _ _ + + + + + + , , 1 42 43px x y z xpSxx x z x ypS x z x ySSp xxppSp x x x xy xz zy S p x p x pxyzpS pxyz p p a p b p cObservaes:bempossvel e provvel quealgumautor jtenha feitoessa deduoem essncia, porm no a encontrei na minha (pobre) bibliografia.A questo da OEM/RJ (creio ser do ano de 1988) que transcrevi pode ser resolvida usando como lema uma desigualdade bem manjada para os alunos olmpicos: 2 2 2a b c ab ac bc + + + +, vlida para quaisquer reais a, b e c.O fatoS pr pode e deve ser generalizado para todos os polgonos convexos circunscritveis. Curiosamente, o caso particular dos polgonos regulares, onde o raio r o aptema pa, bem mais popular do que o caso geral. Mesmo que se enfatize o caso particular pS pa , vale a pena intuir a rea do crculo a partir das substituies pa r e p r .REAS PARA ACHAR RAZES DE SEGMENTOSCcero Thiago e Marcelo Mendes - Grupo Teorema de Matemtica Nvel AvanadoEUREKA!N25,200727Sociedade Brasileira de MatemticaApresentaremos aqui uma simples, poderosa e til ferramenta geomtrica paraproblemasenvolvendorazesdesegmentos. Comoconveno, denotemos por [Q] a rea do polgono Q. Seja ABCum tringulo e P, um ponto em seu interior. Sejam S = [ABC], SA = [PBC], SB = [PAC] e SC = [PAB] (veja a figura abaixo, esquerda). Temos S = SA + SB + SC. A BC SCSA SB P A B CC ABPAgora, prolongue AP at A sobre BC, e defina B e C analogamente (veja figura acima, direita).Como tringulos com mesma altura tm reas proporcionais a suas bases, temos:[ ] [ ] [ ] [ ]' [ '] [ '] [ '] [ ']C BAS S AP PAB PAC PAB PACPA PBA PCA PBA PCA S+ + +.Analogamente, 'A CBS S BPPB S+ e 'A BcS S CPPC S+. Por outro lado, tambm temos ' [ '] [ '] [ ]' [ '] [ '] [ ]CBS BA PBA ABA PABA C PCA ACA PAC S .Da mesma forma, ''ACS CBB A S e ''BAS ACC B S.Vejamos alguns exemplos.EUREKA!N25,200728Sociedade Brasileira de MatemticaExemplo 1: Prove o teorema de Ceva: AX, BY, CZso cevianas concorrentesde um tringulo ABC 1AZ BX CYZB XC YA .Soluo:Primeiro, suponhaqueAX,BY,CZsejamconcorrentes. Pelateoria acima, temos BAS AZZB S, CBS BXXC S, ACS CYYA S e, diretamente,1AZ BX CYZB XC YA . Reciprocamente, se1AZ BX CYZB XC YA e CZ no passasse pela interseo P de AX e BY, ento, sendo Za interseo de CPe AB, teramos pela primeira parte que '1'AZ BX CYZ B XC YA . Portanto''AZ AZZB Z B , umabsurdo. Logo,CZpassaporPe AX, BY e CZ so concorrentes. A B C ZXY P ZExemplo 2:(HUNGRIA/1936)SumpontonointeriordoABCtal queas reas dos tringulos ABS, BCS, CAS so todas iguais. Prove que S o baricentro de ABC.Soluo:Seja Ta rea dos tringulos ABS,BCS,CAS. Da, sendo M,Ne Pas intersees de AS, BS e CS com os lados opostos, temos 1BM CN AP TMC NA PB T , isto ,M,Ne Pso os pontos mdios dos lados BC,CAe ABe, portanto,S o baricentro de ABC.EUREKA!N25,200729Sociedade Brasileira de MatemticaAB C TT TSNPMExemplo3:(BANCOIMO/1996)SejaABCumtringulo acutngulo com circuncentroOe raioR. SejaA1 Oopontode interseodeAOcoma circunferncia circunscrita aotringuloBOCe defina analogamenteB1eC1. Mostre que OA1 OB1 OC1 8R3. Quando ocorre a igualdade?Soluo: SejamD,EeFas intersees deAO,BOeCOcomBC,CAeAB, respectivamente. fcil ver que AO = BO = CO = R. Usando as relaes provadas acima temos que:[ ] [ ] [ ] [ ],[ ] [ ]AO AOB AOC BO AOB BOCOD BOC OE AOC+ + [ ] [ ][ ]CO AOC BOCOF AOB+.Faa[ ] ,[ ] ,[ ] AOB x AOC y BOC z . fcil perceber que DCO CBO CAO e que COD comum a 1OAC eDCO , logo 1. OA C OCD $Com isso,211R OA ROAOD R OD e analogamente,21ROBOEe 21ROCOF . Ento,63 31 1 1. .. .R R R R OA BO COOA OB OC R RODOEOF OD OE OF OD OE OF 3( )( )( ) x y x z y zRxyz+ + + EUREKA!N25,200730Sociedade Brasileira de Matemtica3 3 32 2 2 88 .xy yz zx xyzR R Rxyz xyz Aigualdade ocorre quandox y z . Pelo exemplo 2, O tem que ser baricentro para acontecer a igualdade. A B CDO A1PROBLEMAS PROPOSTOS 1. (IME/1990;AIME/1985) Seja P um ponto no interior de um tringulo ABC, dividindo-o em seis tringulos, quatro dos quais tm reas 40, 30, 35 e 84, como mostra a figura. Calcule a rea do tringulo ABC. AC BP84354030EUREKA!N25,200731Sociedade Brasileira de Matemtica2. (IMO/1961)Considere tringuloP1P2P3e umpontoPno interior do tringulo. As retas P1P, P2P, P3P intersectam os lados opostos nos pontos Q1, Q2, Q3, respectivamente. Prove que dos nmeros 3 1 21 2 3, ,P P PP P PPQ PQ PQ, ao menos um 2 e ao menos um 2.3. (AIME/1992) No tringulo ABC, A, B, C esto sobre os lados BC, AC e AB, respectivamente. DadoqueAA,BB,CCsoconcorrentes nopontoOeque 92' ' 'AO BO COOA OB OC+ + , encontre o valor de' ' 'AO BO COOA OB OC .4. Seja P um ponto no interior do ABC. Sejam D, E, F as intersees de AP, BP, CPcomBC,CA,AB, respectivamente. Prove que 12PA PB PB PC PC PAPD PE PE PF PF PD + + .5. No tringulo ABC, os pontos L, M, N esto sobre BC, AC, AB, respectivamente, e AL, BM, CN so concorrentes. Encontre o valor numrico de PL PM PNAL BM CN+ + .Encontre o valor numrico de AP BP CPAL BM CN+ + .6. (IBERO/1985)Se AD,BE,CFso cevianas concorrentes no circuncentro O do ABC, demonstre que 1 1 1 2AD BE CF R+ + .Sugesto: Usar problema 57. Em um ABC, AD, BE, CF so concorrentes no ponto P tal que AP = PD = 6, EP = 3, PB = 9 e CF= 20. Qual a rea do ABC?8.Em um tringuloABC,sejaSopontomdio damedianacorrespondenteao vrtice A e Q, o ponto de interseo de BS com o lado AC. Mostre que BS = 3QS.9.SejaABCumtringuloePumpontoemseuinteriortalqueAP,BPeCP intersectam os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F, respectivamente. Se AP = a, BP = b, CP = c, PD = PE = PF = 3 e a + b + c = 43. Determine abc. EUREKA!N25,200732Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMAS SOBRE PONTOS Davi Mximo (UFC) e Samuel Feitosa (UFC) Nvel AvanadoDistribuirpontosnumplanoounumespaoumatarefaquepodeser realizada de forma muito arbitrria. Por isso, problemas sobre pontos podem ser de diversas naturezas. Nesse artigo, trataremos as principais tcnicas para resolver esses tipos de problemas,1. Fecho ConvexoPense no seguinte: dadosnpontos num plano, podemos escolher alguns deles formando o nico polgono convexo que contm, junto com seu bordo e seu interior, todos os n pontos. Tal afirmao pode ser provada por induo (que alias, umaferramentaquesempredeveserlembradaemproblemasdematemtica discretaemgeral). Tal polgonochamadoofechoconvexodessesnpontos. Vamos ver que to pouco j nos ajuda bastante em alguns problemas sobre pontos. PROBLEMA 1 Seja Sum conjunto finito de pontos, no havendo trs colineares,tal que dados quaisquer 4 pontos de S eles formam um quadriltero convexo. Mostre que S um conjunto de vrtices de um polgono convexo.SOLUO:Seja H o fecho convexo de S.HBC.PASuponha um ponto P de S no interior de H.Escolha uma triangulao deH (assim como o fecho convexo, simples provar que todo polgono convexo pode ser dividido por tringulostendocomoladosdiagonais ou lados do polgono, tente induo).Assim, P fica no interior de algum tringulo ABC. Logo, o quadriltero ABCP no convexo, absurdo! Portanto,Sno pode ter pontos no interior do seu fecho convexo, donde S convexo, jqueSnocontmtrs pontos colineares.Os prximos problemas so resolvidos similarmente.EUREKA!N25,200733Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 2 Mostre que dados 5 pontos, no trs colineares, existe um quadriltero convexo com vrtices nesses pontos.PROBLEMA 3 Mostre que dado qualquer conjunto finito de pontos no plano existe uma reta por dois destes pontos que divide o plano em dois semi-planos de modo que um desses semi-planos no contm nenhum ponto do conjunto.PROBLEMA 4(Lista Cone Sul 2001) possvel que a reunio de umnmero finito de quadrilteros no convexos seja um polgono convexo?Podemos definir fecho convexo para um conjunto Xqualquer do plano.Ele o menor conjunto convexo que contm X. Definio:OfechoconvexoHdeX a interseo de todos os conjuntos convexos do plano que contm X.Deixamos para o leitor a verificao dos seguintes fatos:i-) H convexoii-)Nocasodeumconjuntocomumnmerofinitodepontosestadefinio implica que H um polgono convexo cujos vrtices pertencem a este conjunto. PROBLEMA 5 Dadoumconjunto deNdiscos de raios unitrios. Esses crculos podemse intersectar (mas no coincidir). Mostre que existe um arco de comprimento maior ouigual aN 2pertencendocircunfernciadeumdesses discos queno coberto por nenhum outro disco.(IDIA DA SOLUO)Consideremos o fecho convexoHdesseconjuntodediscos. Umarco que esteja na borda do fecho convexo no pode ser coberto por outro disco. Mostre que a junodetodososarconobordodeHum crculoderaiounitrio. Comoestecrculotem permetro 2 e no mximo juntamosNarcos, pelo menos um dos arcos da juno maior ou igual a N 2 .EUREKA!N25,200734Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 6 (OBM 96) Existe um conjunto A de n pontos ( 3 n ) em um plano tal que: i) A no contm trs pontos colineares;ii) dados quaisquer trs pontos pertencentes a A, o centro da circunferncia que contm estes pontos tambm pertence a A?Os prximos dois problemas so de IMO e podem ser resolvidos usando s fecho convexo (na realidade, muita raa tambm, que algo imprescindvel em qualquer problema, principalmente de IMO). PROBLEMA 7 (IMO 99/1)Determine todos os conjuntos finitos Sde pontos do plano com pelo menos trs elementos que satisfazem a seguinte condio:Para quaisquer dois pontos distintos A e B de S, a mediatriz do segmento AB um eixo de simetria de S.(Veja a soluo desse problema por Fabrcio Siqueira Benevides na Eureka! N.6) PROBLEMA 8 (IMO95/3)Determinetodososinteiros 3 > n paraosquaisexistem npontos nA A A , , ,2 1 no plano, e nmeros reais nr r r , ,2 1 satisfazendo as condies:no h trs pontos k j iA A A , , colineares;para cada tripla i ,j, k ( n k j i < < 1 ) o tringulo k j iA A A tem rea k j ir r r + +.SOLUO:Vamos fazer o caso 5 n . Considere, dentre osnpontos, cinco pontos 5 4 3 2 1, , , , A A A A Aeseu fecho convexo . Temos trs casos:1 Caso: O Fecho Convexo um tringulo.Podemos assumir que tal fecho o tringulo 3 2 1A A A , 4Ae 5Aesto no interior de 3 2 1A A A , com 5A fora de 4 2 1A A A e 4A fora de 4 2 1A A A (faa uma figura). Podemos supor queostringulos4 2 1A A A e2 3 5A A A tminteriores disjuntos. Seguindo nossa notao para reas, temos:1 2 3 1 2 3 1 2 4 2 3 5 1 2 4 2 3 5[ ] [ ] [ ] , r r r AA A AA A A A A r r r r r r + + > + + + + + +donde4 2 5 2 4 50 [ ], r r r A A A > + + absurdo!2 Caso: O Fecho Convexo um quadrilteroSuponha 5Ano interior do fecho convexo 4 3 2 1A A A A . Note que ] [ ] [ ] [ ] [ ] [4 3 2 4 2 1 4 3 1 3 2 1 4 3 2 1A A A A A A A A A A A A A A A A + + EUREKA!N25,200735Sociedade Brasileira de Matemticae portanto, 4 2 3 1 3 4 2 4 2 1 1 4 3 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( r r r r r r r r r r r r r r r r + + + + + + + + + + + + .Logo,) ( 3 ] [ 24 3 2 1 4 3 2 1r r r r A A A A + + + . Tambm,] [ ] [ ] [ ] [ ] [5 1 4 5 4 3 5 3 2 5 2 1 4 3 2 1A A A A A A A A A A A A A A A A + + + Logo, temos0 12 ] [ 8 ) (4 3 2 1 4 3 2 1 5< + + + A A A A r r r r r . Agora, observe que como5 3 1, , A A A no so colineares, podemos supor umdos lados de < 1805 3 1A A A . Ento, um dos quadrilteros4 3 5 1A A A A ,2 3 5 1A A A A convexo. Digamos,4 3 5 1A A A A convexo. Ento, temos5 4 3 1r r r r + + e portanto, ficamoscom 5 2r r . Analogamente, usandoque5 4 2, , A A A noso colineares, temos1 5r r ou3r . Assim, trs dos nmeros5 4 , 3 2 1, , , r r r r rso negativos, obtendo uma rea negativa. Absurdo!3 Caso: O Fecho convexo um pentgonoSuponha que 1rseja o menor deles. Traando uma paralela l por 1A reta 4 3A A . Como] [ ] [4 3 2 4 3 2 4 3 1 4 3 1A A A r r r r r r A A A + + + + ,2A pertence a lou ao semiplano definido porl oposto ao 4 3A Ae, analogamente 5A . Como 5 2 1, , A A Ano podem estar todos em l , temos > 1805 1 2A A A , absurdo! .Logo,4 n . Um exemplo para4 n um quadrado 4 3 2 1A A A Ade lado 1 com 6 14 3 2 1 r r r r . Finalizamos essa parte com dois problemas bonitinhos. PROBLEMA 9 (USAMO 2005) Seja num inteiro positivo maior que 1. Suponha que so dados 2npontos noplano, nohavendotrs colineares. Suponhaquendos 2nso pintados de azul e os outros n de vermelho. Uma reta no plano dita balanceada se passa por um ponto azul e um ponto vermelho, e o nmero de pontos azuis em cada um de seus lados igual ao nmero de pontos vermelhos. Prove que existem pelo menos duas retas balanceadas.DICA: Prove que cada ponto do fecho convexo dos pontos est em pelo menos uma reta balanceada.PROBLEMA 10 (Kmal 2002) Dado um conjunto qualquer de pontos no plano, no contendo trs colineares, prove que possvel colorir os pontos comduas cores (azul e EUREKA!N25,200736Sociedade Brasileira de Matemticavermelho) tal que todo semiplano contendo pelo menos trs pontos do conjunto contenha pelo menos um ponto de cada cor.2. Princpio das Casas dos PombosO princpio da casas dos Pombos, PCP, importante e deve ser lembrado sempre. Ele usado para provar existncias (...se1 + npombos esto em n casas,existe pelo menos uma casa contendo pelo menos dois pombos...). Nossos dois primeiros problemas dessa sesso so apenas verses dificultadas daquele exerccio clssico do PCP. : dados cincos pontos num quadrado unitrio, existem dois cuja distncia entre eles menor que 22. PROBLEMA 11 (Japo97)Provequeentrequaisquer dezpontosnointerior deumcrculode dimetro 5, existem dois cuja distncia entre eles menor que 2.PROBLEMA 12 (Coria97)Provequeentrequaisquerquatropontosnointeriordeumcrculo unitrio, existem dois deles cuja distncia menor que2 . PROBLEMA 13 (Rioplatense 2002) Daniel escolhe um inteiro positivo ne diz a Ana.Com esta informao, Ana escolhe uminteiroke diz a Daniel. Daniel traa enton circunferncias em um papel e escolhe kpontos distintos com a condio de que cadaumdelespertenaaalgumadascircunfernciasquetraou. Emseguida, apagaascircunfernciasquetraou, sobrandovisveisapenasoskpontosque marcou. Apartir desses pontos, Ana deve reconstruir pelo menos uma das circunferncias que Daniel traou. Determinar qual omenor valor dekque permiteAnaalcanar seuobjetivoindependentedecomoDaniel escolhaasn circunferncias e os k pontos.SOLUO:O valor mnimo 1 22+ n k.1 Passo: 1 22+ n k suficiente. Se so dados1 22+ npontos marcados por Daniel, como estes pontos so distribudosem ncircunferncias, peloPrincpiodasCasasdosPombos, pelo menos 2n+1 deles esto em uma mesma circunferncia traada por Daniel. Ento, se Ana traa todas as circunferncias determinadas por estes 1 22+ n, haver uma EUREKA!N25,200737Sociedade Brasileira de Matemticadelas, digamos , com pelo menos 2n + 1 dos pontos. Como estes 2n + 1 pontos provm dasncircunferncias de Daniel, trs deles esto numa mesma circunferncia traada por ele, digamos . Logo, e tm pelo menos trs pontos em comum, e portanto, so a mesma circunferncia (abusando da notao: ). Assim, Ana consegue determinar umas das circunferncias traadas por Daniel.2 Passo: Se 1 22+ < n k, Daniel pode traar circunferncias e escolher k pontos de modo a tornar impossvel para Ana determinar tais circunferncias.Basta considerar 22n k :12nn12Traamosncircunfernciasconcntricas n , , ,2 1 eoutrasncircunferncias n , , ,2 1 duasaduasdisjuntas, de modoquei cortajemdoispontos distintos, parai, j= 1,2,...,n. H exatamente22npontos deinterseco. SeDaniel marcaestes pontos eapagas suas circunferncias, Ana no conseguir reconstruir comcerteza nenhuma das circunferncias, pois Daniel pode ter traadoinicialmentetanton , , ,2 1quanto n , , ,2 1 .PROBLEMA 14 (Rioplatense 1999) Dois jogadores A e B disputam o seguinte jogo: A escolhe um ponto de coordenadas inteiras do plano e o pinta de verde; em seguida Bescolhe 10 pontos de coordenadas inteiras, ainda no coloridos e os pinta de amarelo. O jogo continua assim com as mesmas regras: A e B escolhem um e dez pontos ainda no coloridos e os pintam de verde e amarelo, respectivamente.(a) O objetivo de A obter 2111pontos verdes que sejam as intersees de 111 retas horizontais e 111 retas verticais (i.e., paralelas aos eixos de coordenadas). O objetivodeBimpedir-lhe. Determinequal dosjogadorestemumaestratgia vencedora que lhe assegura seu objetivo.(b) OobjetivodeAobter quatropontos verdes quesejamvrtices deum quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados. O objetivo de B impedir-lhe. Determine qual dos jogadores tem uma estratgia vencedora que lhe assegura seu objetivo.EUREKA!N25,200738Sociedade Brasileira de Matemtica3. Idias Extremais Na matemtica em geral, problemas de existncia so muito comuns e importantes. So aqueles problemas que nos pedem para provar que a existncia de alguma coisa. Naseoanterior, noexplicitamente, nos deparamos com problemasdessetipo. Enofoi paravender oartigoqueiniciamosambasas sees falando da importncia dessas idias, mas pelo o fato de que o PCP e o PrincpioExtremaljuntossoasferramentasmaisindispensveisparao ataque desses problemas. Mas afinal, que Princpio Extremal esse? Digamos que temos um problema onde nospedidoparaprovaraexistnciadeumelementosatisfazendoumacerta propriedade P. Ento, ns escolhemos um elemento que satisfaz maximalmente ou minimalmente, ouseja, extremalmente (ser que acabamos de inventar essas palavras?)umaoutrapropriedadeQ, noacidentalmenteligadacomadesejada propriedade P. O que ser que isso nos d? Vejamos alguns problemas.PROBLEMA 15 (Austrlia 91) So dados3 n pontos no plano tais que a rea de um tringulo formado por quaisquer trs deles no mximo 1. Prove que os n pontos esto em um tringulo de rea no mximo 4.SOLUO:Sejam nP P P , , ,2 1os n pontos. Dentre os tringulos considerados, sejaABCo de maior rea (o cara com a propriedade Q). Considere por A uma reta a paralela a BC. Sendo assim, qualquer outro pontoiP A B CZY Xc bdeve estar no mesmo semiplano de B e C definido por A, pois do contrrio teramos um absurdo ] [ ] [ ABC PBC>(aqui [X], denota a rea deX) . Analogamente, considerandoas retasbecporBeC paralelas aACeAB, respectivamente, conclumos que todos os pontos P devem estar no tringuloXYZ(acompanhe a figura ao lado). Como, 4 1 4 ] [ 4 ] [ < ABC XYZ, o resultado segue. (isto , XYZ satisfaz a propriedade P).EUREKA!N25,200739Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMA 16(Putnam 1979) Sejamn 2 pontos no plano escolhidos de modo que quaisquer 3 no so colineares,ndeles so pintados de vermelho e n deles so pintados de azul. Prove que possvel parear os pontos usando segmentos ligando cada ponto vermelhoaexatamente umpontoazul demodoqueesses segmentos nose cortem.SOLUO:Existem2nmaneiras de parear esses pontos. claro que alguns desses pareamentos no cumprem a condio do enunciado. Olhemos em cada pareamentoasomadosseussegmentos. Escolhaopareamentoquetemsoma mnima. Suponhaqueneleexistemdoissegmentos AB e CDquesecortam (comA eCvermelhos) C B D A OPela desigualdade triangular temos:CB AD CD ABCB OC OBCD OD AO+ > + )> +> +Logo se trocarmosABeCD porAD e CB diminuiremos nossa soma. Assim neste pareamento no temos dois segmentos que se cortam.PROBLEMA 17(Teorema de Sylvester) UmconjuntoSde pontos no plano tema seguinte propriedade: qualquer reta passando por 2 pontos passa tambm por um terceiro. Mostre que todos os pontos esto sobre uma reta.SOLUO:Considere o conjunto L das retas que passam por dois pontos de S. Cada ponto de S tem uma distncia associada a cada reta de L. Como L e S so conjuntos finitos ento temos umnmero finito distncias. Considere o par ) , ( s l do ponto L l S s ecom a menor distncia no nula associada. Comolpassa por dois pontos de S ento dever passar por um terceiro. Pelo menos dois pontos de S, digamos A e B,devero estar em um mesmo lado deldeterminado porP(p da perpendicular de s atl ). EUREKA!N25,200740Sociedade Brasileira de Matemtica slPABmSuponhamos que A esteja entre B e P. Seja m a reta que passa por B e s ento:distncia ( , ) distncia( , ) A m P m +nnn se3 3 3OK!2(3 1) 2(3 3)nr rn n+> > . (Veja que podemos melhorar um pouco a cota do problema, pois 232 > ).PROBLEMA 30(Ibero 97) Seja} ,..., , {1997 2 1P P P P um conjunto de 1997 pontos no interior de um crculo de raio 1, com 1P sendo o centro do crculo.Para 1997 ,..., 2 , 1 k , seja kxa distncia de kPao ponto dePmais prximo de kP . Mostre que: 9 ...219972221 + + + x x x .SOLUO: P1 PnNote que1 kx , para todo k.Para cada pontokP , considere uma circunferncia kde centro kPe raio 2kx. Sendoassim, todos essas circunferncias se tocamemno mximo 1 ponto e esto no interior de uma circunferncia de centro 1P e raio 3/2. Logo,( )22 123] [ ] [ ] [ + + + kdonde:( )22 2221232 2 2

,_

+ +

,_

+

,_

nx x x 92 2221 + + + nx x x .PROBLEMA 31(IMO 89) So dados n e k inteiros positivos e um conjunto S de n pontos no plano tais que (i) no h trs pontos em S colineares,(ii) Para qualquer ponto P de S existem pelo menos k pontos de S eqidistantes de P.EUREKA!N25,200746Sociedade Brasileira de MatemticaProve quen k 221+ < .PROBLEMA 32(Ibero 98) Encontre o maior inteiro n para o qual existem pontos nP P P ,..., ,2 1 no plano e nmeros reais nr r r ,..., ,2 1 tais que a distncia entre iPe jP j ir r+.Referncias Bibliogrficas:[1] Revista Eureka! N6.[2] Ross Honsberger, Mathematical Gems Vol.I, The Dolciani Mathematical Expositions, MAA.[3] Andreescu, Feng, Mathematical Olympiads: Olympiadproblems fromaround the world, 1999-2000, MAA 2000. [4] Marcin Kuczma , International Mathematical Olympiads, 1986-1999, MAA 2003.[5] www.mathlinks.roEUREKA!N25,200747Sociedade Brasileira de MatemticaPOLINMIOS SIMTRICOSCarlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. Nvel AvanadoUma ferramenta bastante til na resoluo de problemas algbricos de fatorao, naresoluodesistemasdeequaesnolineares, naresoluode algumas equaes irracionais so as funes polinomiais simtricas, que apesar de seugrande poder algbrico sopoucodivulgadas entre os nossos alunos. A finalidadedestebreveartigoexibirdemodosucintocomoestasferramentas podem ser teis na resoluo de alguns problemas olmpicos.I. Polinmios SimtricosUm polinmio f, a duas variveis x, y, dito simtrico quando f(x, y) = f (y, x) para todos os valores x, y.Exemplos:a)1= x+ ye2= xy, soevidentemente polinmios simtricos(chamados polinmios simtricos elementares).b) Os polinmios da forma Sn= xn+ yn, com n Ntambm so simtricos. Um fatoimportanteaserobservadoqueumpolinmiosimtricof(x,y)podeser representado como um polinmio em funo de 1 e 2. Vejamos:Se Sn = xn + yn, n N, (n2), ento:Sn = xn + yn = (x + y) (xn1 + yn1) xy (xn 2 + yn 2)= 1 Sn 1 2 Sn 2 (n 2)Mas, S0 = x0 + y0 = 1 + 1 = 2S1 = x1 + y1 = x + y = 1Assim temos que:S0 = 2S1 = 1S2 = 1 S1 2 S0 = 1 1 2 2 = 12 22S3 = 1 S2 2 S1 = 1 (12 22) 2 1 = 13 31 2Eda usandoalei derecorrnciaSn=1Sn 12Sn 2(n 2) podemos determinar Sn em funo de 1 e 2 para qualquer nmero natural n.EUREKA!N25,200748Sociedade Brasileira de MatemticaAgora para garantirmos a afirmao anterior que todo polinmio simtricof(x, y) pode ser representado como um polinmio em 1 e 2 observemos o seguinte fato:Num polinmio simtrico f(x,y) para os termos da formaa.xK.yKno temos nenhum problema pois axKyK = a(xy)K= a 2K. Agora com os termos da forma b xi yK, com i < k devemos observar o seguinte fato: Como, por hiptese, f(x, y) simtrico se b xi yk, com i < k estiver presente em f(x, y) temos que b xk yi tambm deve estar presente em f(x, y), visto que deve ser satisfeita a condio f(x, y) = f(y, x). Assim se agruparmos os termos b xi yk + b xk yi (i < k) temos que:b xi yk + b xk yi= b xi yi (xk - i + yk - i) = b 2i Sk i ,mas como j mostramos anteriormente Sk i pode ser escrito como um polinmio em 1 e 2, pois k i N, visto que i < k.II. Exemplos Resolvidos 01. (Funes simtricas elementares a 3 variveis)Definido:1 = x + y + z2 = xy + xz + yz3 = x y zSn = xn + yn + zn, com n N (n2)Mostre que:a) Sn = 1 Sn 1 2 Sn 2 + 3 Sn 3 (n3 , com n N )b) S3 = 13 312 + 33Resoluo:Observe inicialmente que:xn + yn + zn = (x + y + z) (xn 1 + yn 1 + zn 1) (xy + xz + yz) (xn 2 + yn 2 + zn 2) + xyz (xn 3 + yn 3 + zn 3)e da temos que:Sn = 1 Sn 1 2 Sn 2 + 3 Sn 3 (n3, com n N) Agora temos que:EUREKA!N25,200749Sociedade Brasileira de MatemticaS0 = x0 + y0 + z0 = 1 + 1 + 1 = 3S1 = x + y + z = 1S2 = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2 (xy + xz + yz) = 12 22Agora fazendo n = 3 temos na lei de recorrnciaSn = 1 Sn 1 2 Sn 2 + 3 Sn 3 temos que:S3 = 1 S2 2 S1 + 3 S0 = 1 (12 22) 2 1 + 3 3S3 = 13 31 2 + 3302. a) Fatore x3 + y3 + z3 3xyzResoluo:Essa velha e manjada questo continua ainda hoje pegando alguns bons professores e alunos. A sua soluo pelos mtodos tradicionais envolve uma boa dosedeatenoedepacinciaparaaplicarvelhostruquesdefatorao, por outro lado ela imediata usando os polinmios simtricos. Vejamos:x3 + y3 + z3 3xyz = S3 3 3Mas de acordo com a questo anteriorS3= 13 312+ 33 e da temos que S3 33 = 13 312. Assim:x3 + y3 +z3 3xyz = S3 33 = =13 312 = =1 (12 32) = = [(x + y + z)2 3 (xy + xz + yz)] = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xz yz)Obs. (para os mais curiosos): Na RPM 41, pg.38 existe uma bela resoluo desse problema usando um determinante.b) Usando a fatorao obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das mdias aritmticaegeomtrica. Sea,b,c R+ento33a b cabc+ + eaigualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c. De fato, em (a) verificamos que x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xz yz).Vamos mostrar inicialmente que se x, y, z so nmeros reais positivos ento:EUREKA!N25,200750Sociedade Brasileira de Matemtica(x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xy yz)0De fato,x2 + y2 + z2 xy xz + yz = 12(2x2 + 2y2 + 2z2 2xy 2xz 2zy) = 12(x2 2xy + y2 + x2 2xz + z2 + y2 2yz + z2)= 12[(x y)2 + (x z)2 + (y z)2]0 (Soma de quadrados) Ora, como estamos supondo x, y, z reais positivos temos que x + y + z0 e da (x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xz yz)0 (pois o produto de fatores0). Assim temos que:x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xz yz)0e da 3xyzx3 + y3 + z3 xyz3 3 33x y z + +fazendo x3 = a, y3 = b e z3 = c temos que:3 3 3. .3a b ca b c+ +e da33a b cabc+ +Com a igualdade ocorrendo se e somente se a = b = c, pois em (x + y + z) (x2 + y2 + z2 xy xz yz)0 a igualdade ocorre apenas quando x = y = z, visto que x + y + z > 0, uma vez que x, y, z so nmeros reais positivos e alm disso,(x2 + y2 + z2 xy xz yz) = 12[(x y)2 + (x z)2 + (y z)2] = 0 x = y = z.03. Fatore (x + y + z)3 (x3 + y3 + z3)Resoluo:(x + y + z)3 (x3 + y3 + z3) = 13 S3EUREKA!N25,200751Sociedade Brasileira de MatemticaMas, no exemplo anterior vimos que S3 = 13 312 + 33 e da(x + y + z)3 (x3 + y3 + z3) = 13 (13 312 + 33) = 3 (12 3) = 3 [(x + y + z) (xy + xz + yz) xyz] = 3 (x2y + x2z + xyz + xy2 + xyz + y2z + xyz + xz2 + yz2 xyz)= 3 [xy(x + y) + xz(x + y) + yz(y + z) + xz(y + z)]= 3 [(x + y)(xy + xz) + (y + z)(yz + xz)]= 3 [(x + y) . x(y + z) + (y + z) . z(x + y)]= 3 (x + y)(y + z)(x + z)04. Se x1 e x2 so as razes da equao x2 6x + 1 = 0 determine o valor dex15 + x25.Resoluo:Fazendo Sn = x1n + x2n, n N , queremos determinar S5 = x15 + x25 Temos que:1 = x1 + x2 = 62 = x1 x2 = 1S0 = x10 + x20 = 1 + 1 = 2S1 = x1 + x2 = 6Sn = 1 Sn 1 2 Sn 2 = 6 Sn 1 Sn 2e daS2 = 6 S1 S0 = 6 6 2 = 34S3 = 6 S2 S1 = 6 34 6 = 198S4 = 6 S3 S2 = 6 198 34 = 1154S5 = 6 S4 S3 = 6 1154 198 = 6726Assim x15 + x25 = 672605. Determine todas as solues reais do sistema3 3 3 4 4 411x y zx y z xyz x y z+ + '+ + + + + +De acordo com o sistema acima temos que:EUREKA!N25,200752Sociedade Brasileira de Matemtica13 3 41,onde ,1n n nnS x y z nS S + + '+ +Mas, S3 = 13 321 + 33 e S4 = 14 4122 + 222 + 41. 3 (verifique isto!) e daS3 + 3 =S4 + 1 13 312 + 33 + 3 = 14 412 2 + 222 + 413 + 1Como 1 = 1 temos que:1 3 2 + 43 = 1 42 + 222 + 43 + 1 222 2 + 1 = 0Como, = (1)2 4 2 1 = 7 < 0,conclumos que existem razes reais.Uma outra aplicao interessante dos polinmios simtricos pode ser encontrada na resoluo de algumas equaes irracionais. Vejamos:06. Determine todas as razes reais da equao abaixo:4 4272 6 x x + Resoluo:Fazendo 4 4 e272 x y x z temos quex = y4 e 272 x = z4 4 46272y zy z+ '+ e agora lembrando que: 1 = y + z e 2 = y z e Sn = yn + zn, com n N1 14 2 24 1 1 2 26 6272 4 . 2 272 S ' ' + Logo, 64 4 62 2 + 222 = 272 22 722 + 512 = 0 2 = 64 ou 2 = 8Assim, se 2 = 64 664y zy z+ ' No existem solues reais.Por outro lado, se 2 = 8 68y zy z+ ' y = 2 e z = 4 ou z = 2 e y = 4Assim conclumos que:y = 2 x = 16y = 4 x = 256Logo as razes reais da equao so 16 e 256.EUREKA!N25,200753Sociedade Brasileira de MatemticaIII. Problemas:01. Se e , so as razes da equao x3 + 3x2 7x + 1 = 0. Determine o valor de 3 3 3 + + + 4 4 4 + + 02. Mostre que se o sistema 2 23 3x y ax y bx y c+ + '+ tem soluo, ento a3 3ab + 2c = 003. x, y, z so nmeros reais tais que x + y + z = 5 e yz + zx + xy = 3. Verifique que 1313z .04. Se x + y + z = 0, verifique que, para n = 0, 1, 2, ... vale a relao:xn + 3 + yn + 3 + zn + 3 = xyz(xn + yn + zn) + 12(x2 + y2 + z2)(xn + 1 + yn + 1 + zn + 1)05. Determine as razes reais da equao 5 533 3 x x + .06. Verifique que:(x + y + z)3 (y + z x)3 (x + z y)3 (x + y z)3 = 24xyz.07. Dados a, b e c nmeros reais positivos tais quea b clog b log c log a 0 + + ,determine o valor de( ) ( ) ( )3 3 3a b clog b log c log a + + .08. Se , e so nmeros complexos tais que 1 + + , 2 2 23 + + e 3 3 37 + + , determine o valor de 21 21 21 + + .Referncias:[1] Barbeau, E. J., Polynomials Problems books in Mathematics Springer Verlag.[2] Engel, Arthur , Problem-Solving Strategies Springer Verlag.[3] www.obm.org.br [4]Mathematical Excalibur.EUREKA!N25,200754Sociedade Brasileira de MatemticaOLIMPADAS AO REDOR DO MUNDOA partirdessenmeroaEUREKA! volta aapresentar problemas de olimpadasdevrios pases domundo. Comoantes, esperamos contar coma colaborao dos leitores para a apresentao das solues dos problemas propostos. Aos leitores que seinteressarempela soluode algumproblema particular, pedimos contatar OBM,atravs de carta ou e-mail. Repassada a ns a mensagem, teremos o maior prazer de apresentar as solues solicitadas no nmero subsequente da EUREKA! Bom divertimento!Antonio CaminhaAntonio Luiz SantosBruno HolandaSamuel Barbosa211. (Baltic Way 2004)Umaseqnciaa1,a2,... denmerosreaisno-negativos satisfaz, para n = 1, 2, ..., as seguintes condies:(a) an + a2n 3n.(b)) 1 ( 21+ ++n a n an n.(i) Prove que an n para todo n = 1, 2, ...(ii) D exemplo de uma tal seqncia.212. (BalticWay 2004)SejaPumpolinmiocomcoeficientes no-negativos. ProvequeseP(1/x)P(x) 1parax=1, entotal desigualdadese verifica para todo real positivo x.213.(BalticWay2004)Achetodos osconjuntosX, consistindodeao menos dois inteiros positivos, tais que para todos m, n X, com n > m, exista um elemento k de X tal que n = mk2.214. (Rssia 2004) So dados um natural n > 3 e reais positivos x1, x2, ..., xn cujo produto 1. Prove a desigualdade111...11111 3 2 2 2 1 1>+ ++ ++ +++ + x x x x x x x x xn n.EUREKA!N25,200755Sociedade Brasileira de Matemtica215. (Rssia 2004)Umaseqnciaa1,a2, ... denmerosracionaisno-negativos tal que am + an = amn para todos m, n naturais. Prove que os termos da seqncia no podem ser todos distintos.216. (Rssia 2004) Sejam IA e IB os centros das circunferncias ex-inscritas aumtringuloABCquetangenciamosladosBCeAC, respectivamente. Seja ainda Pum ponto sobre a circunferncia circunscrita de ABC. Prove que o ponto mdio do segmento que une os circuncentros dos tringulos IACP e IBCP coincide com o circuncentro de ABC.217. (Putnam 2005) Calcule o valor da integral ++ 1021) 1 ln(dxxx.218. (Putnam 2005) Encontre todas as funes diferenciveis f: (0, +) (0, +) para as quais exista um real positivo a tal que ) ('x fxxaf ,_

para todo real positivo x.219. (Putnam 2005) Seja Sn o conjunto de todas as permutaes de 1, 2, ..., n. Para Sn, seja () = 1 se for uma permutao par e () = 1 se for uma permutao mpar. Denote ainda por v() o nmero de pontos fixos de . Prove que+nSv 1 ) () ( = (1)n +11 + nn. 220. (Moldvia 2006) Seja a e b os catetos de um tringulo retngulo, c sua hipotenusaehaalturarelativamesma.Encontreomaior valor possvel de b ah c++. 221. (Moldvia 2006) Seja n > 1 um inteiro positivo e M = {0, 1, 2, ..., n 1}.Para ainteiro no-nulo, ns definimos a funo fa:MMtal que fa(x) o resto da diviso de axpor n. Encontre uma condio necessria e suficiente para que fa seja uma bijeo. Se fa for uma bijeo e n for um nmero primo, prove que an(n 1) 1 divisvel por n2. EUREKA!N25,200756Sociedade Brasileira de Matemtica222. (Moldvia2006)Oquadriltero convexoABCD inscritvel. As tangentes a sua circunferncia circunscrita em A e C se intersectam em P, tal que P no est sobre a reta BD e PA2 = PB PD. Prove que a reta BD passa pelo ponto mdio do segmento AC.223. (Bielorssia 2005) Seja H o ponto de interseo das alturas BB1 e CC1 do tringulo acutngulo ABC. Sejauma reta passando por A, tal que. AC Prove que as retas BC, B1C1 e possuem um ponto em comum se e somente se H for o ponto mdio de BB1.224. (Bielorssia 2005) Ache todas as funes f : N N satisfazendo ) ( ) ( )) ( ( n f m f n f n m f + + ,para todos m, n N.225. (Bielorssia 2005) Prove que

,_

+ ,_

+ ,_

+ + ,_

+ +212 .21243.432 2b a a b b a ,Para quaisquer reais positivos a e b.226. (Bulgria2005)Ache todos os naturaisdequatroalgarismosm, menores que 2005 e para os quais existe um natural n < m tal que m n possui no mximo 3 divisores e mn seja um quadrado perfeito.227. (Bulgria 2005) Ivo escreve todos os inteiros de 1 a 100 (inclusive) em cartas e d algumas delas para Iana. Sabe-se que para quaisquer duas destas cartas, uma de Ivo e outra de Iana, a soma dos nmeros no est com Ivo e o produto no est com Iana. Determine o nmero de cartas de Iana sabendo que a carta 13 est com Ivo.228. (Bulgria 2005) Ache todas as triplas de inteiros positivos (x, y, z) tais quex z z y y x +++++2005 2005 2005,tambm seja um inteiro.EUREKA!N25,200757Sociedade Brasileira de Matemtica229. (Eslovnia 2005) Encontre todos os nmeros primos p para os quais o nmero p2 + 11 tem menos que 11 divisores.230. (Eslovnia 2005)Denote por Io incentro do tringulo ABC. Sabe-se queAC+AI =BC. Encontrearazoentreasmedidas dongulos BACe CBA.Voc sabiaQue 4847 23321063+ 1, 27653 29167433+1 e 19249 213018586+1 so primos? Esses foram o oitavo, o nono e o dcimo primos descobertospeloprojeto"seventeenorbust", sendoseus descobridores Richard Hassler, Derek Gordon e Konstantin Agafonov, respectivamente. Isso mostra que 4847, 27653 e 19249 no so nmeros de Sierpinski (i.e., mpares k tais que k 2n + 1 composto para todo n N; veja a Eureka! 18, pg. 61), reduzindopara7onmerodenaturaismenoresque 78557(queomenor nmerodeSierpinski conhecido), sobre os quais no se sabe se so ou no nmeros de Sierpinski: 10223, 21181, 22699, 24737, 33661, 55459e 67607. Vejawww.seventeenorbust.compara mais informaes (inclusive sobre como participar do projeto). EUREKA!N25,200758Sociedade Brasileira de MatemticaSOLUES DE PROBLEMAS PROPOSTOS Publicamos aqui algumas das respostas enviadas por nossos leitores.108)Sejam1 2, ,...,nA A A conjuntos finitos. Para1 , k n seja 1 21 21 ......kkk i i ii i i nS A A A < < < , a soma dos nmeros de elementos das intersees de k dos conjuntos iA . Prove que: a)OnmerodeelementosquepertencemaexatamenterdosconjuntosiA ( ) 1 ,nk rkk rkSr _ ,para 1 . r n b)OnmerodeelementosquepertencemapelomenosrdosconjuntosiA ( )11 ,1nk rkk rkSr _ , para 1 . r n SOLUO ADAPTADA DA SOLUO DE ANDERSON TORRES (SO PAULO - SP) a) Sejam{1, 2,..., } I n eP I um conjunto fixo com r elementos. O total de elementos que pertencem atodos osAicom comi P e que nopertencem a nenhum outroAjcom\ j I P exatamenteototal de elementos do conjunto ( ) ii PAque no pertencem a ( ) ( ) ( )\.j ij I P i PA A Podemos usar Incluso-Excluso:( ) ( ) i j ii P j I P i PA A A 1 2... ( 1)K r K rK Pi i i ii P i K i k i KK P K P K PA A A A+ + + Agora, variando o conjunto P:( 1) ( 1)K P K Pi ii K i KP r K P K I P KK r P rA A EUREKA!N25,200759Sociedade Brasileira de MatemticaO conjunto de ndicesP K comP r (ondeK k ) pode ser escolhido de kr _ ,maneiras para cada K, e j que ii KA no depende de P, a soma acima vale ( 1) ( 1) .nk r k ri ki Kr k n K I k rK kk kA Sr r _ _ _ , , , b) Somando a expresso ( 1)nk mkk mkSm _ ,dem=ratn, e usandoa identidade 01( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ,1k k rk m j k r k rm r jk k k k rm j k r r _ _ _ _

, , , , que pode ser facilmente provada por induo (ver nota), o resultado segue.Nota: Para provar por induo a identidade01( 1) ( 1) ,0 , rj rjk kr kj r _ _ , ,basta ver que isto vale para r = 0 e, se r < k, 110 0

( 1) ( 1) ( 1)1r rj r jj jk k kj r j++ _ _ _ + + , , , 1 1 11 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) .1 11r r r rk k k k kr r r r r+ + + _ _ _ _ _ _ + + + + , , , , , ,109)Na figura abaixo,, 100 AB AC BAC e.AD BC Mostre que x BCD racional quando expresso em graus. A B C D xEUREKA!N25,200760Sociedade Brasileira de MatemticaSOLUO DE GIBRAN MEDEIROS A B C D x 60 100 40 4060 40+ xConstruimos o tringulo eqilteroACE. Os tringulosBCEeACDso congruentes, poisCE=AC, 100 BCE DAC eBC=AD. Logo 40 . BCE x + Como o tringuloABE issceles, temos 10 AEB ABE e, portanto( ) 60 40 10 , x + donde x = 10.Continuamos aguardando as solues dos seguintes problemas propostos:110) Um conjunto finito de inteiros positivos chamado de Conjunto DS se cada elemento divide a soma dos elementos do conjunto.Provequetodoconjuntofinitodeinteiros positivos subconjuntodealgum conjunto DS.111) Prove que existem infinitos mltiplos de 7 na seqncia ( )naabaixo:1 11999, ( ), 2n na a a p n n + , onde p(n) o menor primo que divide n.112) a)Determine todos os inteiros positivos ntais que existe uma matriz n n com todas as entradas pertencentes a { 1, 0, 1} tal que os 2nnmeros obtidos como somas dos elementos de suas linhas e de suas colunas so todos distintos.Nota: Como explicado na pgina 72 da Eureka! No. 24, o item b) do problema 112 foi anulado.Agradecemos tambm o envio das solues e a colaborao de: Andr Arajo Fortaleza CECarlos Alberto da Silva Victor Nilpolis RJDiego Andrs de Barros Recife PEDymitri Cardoso Leo Recife PEFbio Soares Piau Recife PEJanderson Alencar Recife PEMardnio Luz do Amaral Recife PEMichel Angelucci Ibitinga SPRenan e Gabriel Lima Novais Niteri RJSamuel Lil Abdalla Sorocaba SPEUREKA!N25,200761Sociedade Brasileira de MatemticaPROBLEMAS PROPOSTOS Convidamos o leitor a enviar solues dos problemas propostos e sugestes de novos problemas para prximos nmeros.113) 1 2 3, , ,... a a a formam uma seqncia de inteiros positivos menores que 2007 tais que m nm na aa++ inteiro, para quaisquer inteiros positivos m, n.Prove que a seqncia (an) peridica a partir de um certo ponto.114) Sabendo que0 sen x sen y sen z sen w + + + ecoscos cos cos 0, x y z w + + + mostre que2003 2003 2003 20030. sen x sen y sen z sen w + + + 115)Suponha queABC umtringulo comlados inteirosa,beccom 60 BCA e( , ) ( , ) ( , ) 1. mdc a b mdc a c mdc b c Prove que1(mod6) c .116) SejaABC um tringulo e sejam X, Y eZas reflexes deA,BeCem relao s retas BC, CA e AB, respectivamente. Prove que x, y e z so colineares se e somente secos cos cos 3 8. A B C 117) Sejam r e s duas retas reversas (i.e., no contidas num mesmo plano) e A, B, C,D, , , , A B C D pontos tais que , , , , , , , , A B A B r C D C D s AB AB e . CD CD Prove que os tetraedros ABCD e ABCD tm o mesmo volume.118) Considere a seqncia 1( )n na dada por 11 ae 12 9, 1.3 9nnnaa na++ + Prove que( )na converge e calcule a seu limite.Problema 113 proposto por Anderson Torres (So Carlos SP); Problema 114 proposto por Carlos A. Gomes (Natal RN); Problema 115 proposto por Gabriel Ponce (enviado por e-mail); Problema 116 e 117 propostos por Wilson Carlos da Silva Ramos (Belm PA); Problema 118 proposto por Sidnei Belcides Avelar (Macap AP)EUREKA!N25,200762Sociedade Brasileira de MatemticaAGENDA OLMPICAXXIX OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICANVEIS 1, 2 e 3Primeira Fase Sbado, 16 de junho de 2007Segunda Fase Sbado, 15 de setembro de 2007Terceira Fase Sbado, 27 de outubro de 2007 (nveis 1, 2 e 3)Domingo, 28 de outubro de 2007 (nveis 2 e 3 - segundo dia de prova). NVEL UNIVERSITRIOPrimeira Fase Sbado, 15 de setembro de 2007Segunda Fase Sbado, 27 e Domingo, 28 de outubro de 2007XIII OLIMPADA DE MAIO 12 de maio de 2007 XVIII OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL Uruguai12 a 17 de junho de 2007XLVIII OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA19 a 31 de julho de 2007VietnXIV OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA UNIVERSITRIA3 a 9 de agosto de 2007Blagoevgrad, BulgriaXXII OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA6 a 16 de setembro de 2007PortugalEUREKA!N25,200763Sociedade Brasileira de MatemticaX OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA UNIVERSITRIACOORDENADORES REGIONAISAlberto Hassen Raad (UFJF) Juiz de Fora MGAmrico Lpez Glvez (USP) Ribeiro Preto SPAmarsio da Silva Arajo (UFV) Viosa MG Andreia Goldani FACOS Osrio RSAntonio Carlos Nogueira (UFU)Uberlndia MGAli Tahzibi (USP) So Carlos SPBenedito Tadeu Vasconcelos Freire (UFRN) Natal RNCarlos Alexandre Ribeiro Martins (Univ. Tec. Fed. de Paran)Pato Branco - PRCarmen Vieira Mathias (UNIFRA)Santa Mara RSClaus Haetinger (UNIVATES) Lajeado RSCleonor Crescncio das Neves (UTAM) Manaus AMCludio de Lima Vidal(UNESP) S.J. do Rio Preto SPEdson Roberto Abe (Colgio Objetivo de Campinas)Campinas SPlio Mega (Colgio Etapa) SoPaulo SPEudes Antonio da Costa (Univ. Federal do Tocantins) Arraias TOFbio Brochero Martnez (UFMG) Belo Horizonte MGFlorncio Ferreira Guimares Filho (UFES) Vitria ESGenildo Alves Marinho (Centro Educacional Leonardo Da Vinci)Taguatingua DFIvanilde Fernandes Saad (UC. Dom Bosco) Campo Grande MSJacqueline Rojas Arancibia(UFPB)) Joo Pessoa PBJaniceT. Reichert(UNOCHAPEC) Chapec SCJoo Bencio de Melo Neto (UFPI) Teresina PIEUREKA!N25,200764Sociedade Brasileira de MatemticaJoo Francisco Melo Libonati (Grupo Educacional Ideal) Belm PAJos Cloves Saraiva (UFMA) So Luis MAJos Luiz Rosas Pinho(UFSC)Florianpolis SCJos Vieira Alves (UFPB) Campina Grande PBJos William Costa (Instituto Pueri Domus)Santo Andr SPKrerley Oliveira(UFAL) Macei ALLicio Hernandes Bezerra (UFSC)Florianpolis SCLuzinalva Miranda de Amorim (UFBA) Salvador BAMrioRocha Retamoso(UFRG) Rio Grande RSMarcelo Rufino de Oliveira (Grupo Educacional Ideal) Belm PAMarcelo Mendes(Colgio Farias Brito, Pr-vestibular)Fortaleza CENewman Simes (Cursinho CLQ Objetivo)Piracicaba SPNivaldo Costa Muniz (UFMA) So Luis MARal Cintra de Negreiros Ribeiro (Colgio Anglo)Atibaia SPRonaldo Alves Garcia (UFGO) Goinia GORogrio da Silva Igncio (Col. Aplic. da UFPE)Recife PEReginaldo de Lima Pereira (Escola Tcnica Federal de Roraima)Boa Vista RRReinaldo Gen Ichiro Arakaki (UNIFESP)SJ dos Campos SPRicardo Amorim (Centro Educacional Logos)Nova Iguau RJSrgio Cludio Ramos (IM-UFRGS) Porto Alegre RSSeme Gebara Neto (UFMG) Belo Horizonte MGTadeu Ferreira Gomes (UEBA) Juazeiro BAToms Menndez Rodrigues (U. Federal de Rondnia) Porto Velho ROValdenberg Arajo da Silva (U. Federal de Sergipe)So Cristovo SEValdeni Soliani Franco (U. Estadualde Maring) Maring PRVnia Cristina Silva Rodrigues(U. Metodista de SP)S.B. do Campo SPWagner Pereira Lopes (CEFET GO) Jata GOWilliam Beline (UNESPAR/FECILCAM) Campo Mouro PREUREKA!N25,200765Sociedade Brasileira de MatemticaEUREKA!N25,200766