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exame matematica 12 ano
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Prova 635.V2/1. F. Pgina 1/ 15
No caso da folha de rosto levar texto, colocar numa caixa s a partir desta guia
EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO
Prova Escrita de Matemtica A
12. Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n. 139/2012, de 5 de julho
Prova 635/1. Fase 15 Pginas
Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos.
2015
VERSO 2
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Prova 635.V2/1. F. Pgina 3/ 15
Indique de forma legvel a verso da prova.
Utilize apenas caneta ou esferogrfica de tinta azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construes, desenhos ou outras representaes, que podem ser, primeiramente, elaborados a lpis e, a seguir, passados a tinta.
permitido o uso de rgua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora grfica.
No permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que no seja classificado.
Para cada resposta, identifique o grupo e o item.
Apresente as suas respostas de forma legvel.
Apresente apenas uma resposta para cada item.
A prova inclui um formulrio.
As cotaes dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.
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Formulrio
Geometria
Comprimento de um arco de circunferncia:
, , ;r amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ hrea de um polgono regular: Semiper metro Ap tema#
rea de um sector circular:
, , ;r amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2
2a a- -^ h
rea lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h rea de uma superfcie esfrica: 4 r raio2 -rr ] g Volume da pirmide: rea da base Altura
31 # #
Volume do cone: rea da base Altura31 # #
Volume da esfera: r r raio34 3r -] g
Progresses
Soma dos n primeiros termos de uma progresso un_ i:Progresso aritmtica: u u n
2n1 #
+
Progresso geomtrica: urr
11 n
1 # --
Trigonometria
a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] ga b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] g
a ba b
a b1
tg tg tgtg tg
+ =-
+] g
Complexos
cis cis nnt i t= n i^ ^h h, ,cis cis
nk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +
Probabilidades
, ,,
,
,
p x p x
p x p x
X N
P X
P X
P X
0 6827
2 2 0 9545
3 3 0 9973
:Se ent o
n n
n n
1 1
1 12 2
f
f
1 1
1 1
1 1
.
.
.
n
v n n
n v
n v n v
n v n v
n v n v
= + +
= - + + -
- +
- +
- +
] ^]
]]]
g hg
ggg
Regras de derivao
u
u
u
u
u
u
sen cos
cos sen
tgcos
ln
ln
logln
u v u v
u v u v u v
vu
vu v u v
u n u u n
u u u
u u
uu
e e
a a a a
uu
uu a
a
1
1
R
R
R
n n
u u
u u
a
2
1
2
!
!
!
+ = +
= +
= -
=
=
=-
=
=
=
=
=
-
+
+
l l l
l l l
l l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
l l
^^`^ ^^^^^^ ^^^ ^
hhjh h
hh
hhh hh
h h
"
"
,
,
Limites notveis
3
lim
lim sen
lim
limln
lim ln
lim
ne n
xx
xe
xx
xx
xe p
1 1
1
1 1
11
0
N
R
n
x
x
x
x
x
x p
x
0
0
0
!
!
+ =
=
- =
+=
=
=+
"
"
"
"
"
3
3
+
+
b ^
^
^
l h
h
h
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GRUPO I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opo correta. Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo escolhida.
1. Dois rapazes e quatro raparigas vo sentar-se num banco corrido com seis lugares.
De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco?
(A) 60 (B) 48 (C) 24 (D) 12
2. Seja W , conjunto finito, o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.
Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W).
Sabe-se que:
,P A 0 4=] g ,P B 0 7=] g ,P A B 0 5, =_ iQual o valor de P A B,_ i ?(A) 0,9 (B) 0,8 (C) 0,7 (D) 0,6
3. Qual das seguintes expresses , para qualquer nmero real k, igual a log 93k
3 e o ?
(A) k 2- (B) k2 (C) k 9- (D) k9
4. Considere a funo f , de domnio R+ , definida por lnf x xx1= +^ h
Considere a sucesso de termo geral u nn 2=
Qual o valor de lim f un_ i ?(A) 3+ (B) e (C) 1 (D) 0
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5. Na Figura 1, est representado o crculo trigonomtrico.
Sabe-se que:
o ponto A pertence ao primeiro quadrante e circunferncia;
o ponto B pertence ao eixo Ox
o ponto C tem coordenadas (1, 0)
o ponto D pertence semirreta OAo
os segmentos de reta [ AB ] e [ DC ] so paralelos ao eixo Oy
Seja a a amplitude do ngulo ,COD 0 2!rae o;E
Qual das expresses seguintes d a rea do quadriltero ABCD6 @, representado a sombreado, em funo de a ?
(A) tg sen22
aa- ] g
(B) tg sen42
aa- ] g
(C) tg sen2 42a a- ] g
(D) tg sen2 22a a- ] g
6. Considere em C , conjunto dos nmeros complexos, a condio
argz i z4 4 3 2 43/ # #r r+ = ^ h
No plano complexo, esta condio define uma linha.
Qual o comprimento dessa linha?
(A) 4 r
(B) 3 r
(C) 2 r
(D) r
a
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7. Na Figura 2, est representado, num referencial o.n. xOy , um tringulo equiltero [ ABC ]
O
A
B C x
y
Figura 2
Sabe-se que:
o ponto A tem ordenada positiva;
os pontos B e C pertencem ao eixo Ox
o ponto B tem abcissa 1 e o ponto C tem abcissa maior do que 1
Qual a equao reduzida da reta AB ?
(A) y x2 2= +
(B) y x2 2=
(C) y x3 3=
(D) y x3 3= +
8. Seja a um nmero real.
Considere a sucesso un_ i definida por
,
u a
u u n3 2 Nn n
1
1 6 !
=
= ++*
Qual o terceiro termo desta sucesso?
(A) 9a + 4
(B) 6a - 4
(C) 9a - 4
(D) 6a + 4
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GRUPO II
Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efetuar e todas as justificaes necessrias.
Quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exato.
1. Em C, conjunto dos nmeros complexos, considere cis
z i22 2 19
i= +
Determine os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2r 6@ , para os quais z um nmero imaginrio puro.
Na resoluo deste item, no utilize a calculadora.
2. De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:
60% dos funcionrios residem fora de Coimbra;
os restantes funcionrios residem em Coimbra.
2.1. Relativamente aos funcionrios dessa empresa, sabe-se ainda que:
o nmero de homens igual ao nmero de mulheres;
30% dos homens residem fora de Coimbra.
Escolhe-se, ao acaso, um funcionrio dessa empresa.
Qual a probabilidade de o funcionrio escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra?
Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.
2.2. Considere agora que a empresa tem oitenta funcionrios.
Escolhem-se, ao acaso, trs funcionrios dessa empresa.
A probabilidade de, entre esses funcionrios, haver no mximo dois a residir em Coimbra igual a
CC C80
3
803
323-
Elabore uma composio na qual explique a expresso apresentada.
Na sua resposta:
enuncie a regra de Laplace;
explique o nmero de casos possveis;
explique o nmero de casos favorveis.
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3. Na Figura 3, est representado um recipiente cheio de um lquido viscoso.
Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera est ligada a um ponto P por uma mola esticada.
Num certo instante, a esfera desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, t segundos aps esse instante, a distncia, em centmetros, do centro da esfera ao ponto P dada por
d t t e t10 5 0, t0 05 $= + ] ^ ^g h h3.1. Sabe-se que a distncia do ponto P base do recipiente 16 cm
Determine o volume da esfera.
Apresente o resultado em cm3, arredondado s centsimas.
3.2. Determine o instante em que a distncia do centro da esfera ao ponto P mnima, recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.
4. Seja f a funo, de domnio R, definida por
lnf x
xe e x
x x x
2 1 21
1 21
se
se
x1
$
=
+^
^h
h
Z
[
\
]]
]]
Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.
4.1. Averigue da existncia de assntotas verticais do grfico da funo f
4.2. Estude a funo f quanto ao sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia de
pontos de inflexo, no intervalo ,21 3+ :D
Na sua resposta, apresente:
o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para baixo; o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para cima; as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexo do grfico de f
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4.3. Mostre que a equao f x 3=^ h possvel em , e1 6@ e, utilizando a calculadora grfica, determine a nica soluo desta equao, neste intervalo, arredondada s centsimas.
Na sua resposta:
recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equao f x 3=^ h tem, pelo menos, uma soluo no intervalo , e1 6@
reproduza, num referencial, o(s) grfico(s) da(s) funo(es) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);
apresente a soluo pedida.
5. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos , , , ,A B0 0 2 4 0 0e^ ^h h
5.1. Considere o plano a de equao x y z2 3 0 + + =
Escreva uma equao do plano que passa no ponto A e paralelo ao plano a
5.2. Determine uma equao cartesiana que defina a superfcie esfrica da qual o segmento de reta AB5 ? um dimetro.
5.3. Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que: a sua abcissa igual abcissa do ponto B a sua ordenada positiva;
BAP 3r=t
Determine a ordenada do ponto P
6. Sejam f e g as funes, de domnio R, definidas, respetivamente, por
cosf x x1 3= ^ ^h h e seng x x3=^ ^h hSeja a um nmero real pertencente ao intervalo ,3 2
r r ;EConsidere as retas r e s tais que: a reta r tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa a a reta s tangente ao grfico da funo g no ponto de abcissa a 6
r+
Sabe-se que as retas r e s so perpendiculares.
Mostre que sen a3 31= ^ h
FIM
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COTAES
GRUPO I
1. a 8.................................................. (8 5 pontos) ............................. 40 pontos
40 pontos
GRUPO II
1. ........................................................................................................... 15 pontos
2. 2.1. ................................................................................................... 15 pontos2.2. ................................................................................................... 15 pontos
3. 3.1. ................................................................................................... 10 pontos3.2. ................................................................................................... 15 pontos
4.4.1. ................................................................................................... 15 pontos4.2. ................................................................................................... 15 pontos4.3. ................................................................................................... 15 pontos
5. 5.1. ................................................................................................... 5 pontos5.2. ................................................................................................... 10 pontos5.3. ................................................................................................... 15 pontos
6. ........................................................................................................... 15 pontos
160 pontos
TOTAL .............................................. 200 pontos