Exam De Qualificação Inferencia e Probabilidade

EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA

PROVA DE PROBABILIDADE

6 de janeiro de 2009

• A prova e composta de 5 questoes.

• A duracao da prova e de 4 horas.

• Nao e permitido consulta.

• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva de maneira clara

e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.

• Tranquilidade e bom trabalho!

1. Um conjunto A se diz finito se #A e finito. Um conjunto A se diz co-finito se #Ac e finito.Seja Ω um conjunto tal que #Ω = ∞. Seja F a familia de subconjuntos A de Ωtais que A efinito ou cofinito. Demonstre que F e uma algebra mas nao e uma σ-algebra.

2. Sejam X e Y v.a.

(a) Suponha que X e Y so assumem valores 0 e 1. Mostre que neste caso se E(XY ) =EXEY , entao X e Y sao independentes.

(b) Suponha que X assume valores a e b, e Y assume valores c e d. Mostre que neste casose Cov(X, Y ) = 0, entao X e Y sao independentes.Dica: nao e necessario fazer muita conta.

3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. com EX1 = 0 e E(X2

1) = 2.

Ache o limite em distribuicao da sequencia Y1, Y2, . . ., onde

Yn =1

n(X1 + . . . + Xn)

√

X2

1+ . . . + X2

n.

4. Seja (Ω,F , P ) um espaco de probabilidade. Para An ∈ F , n = 1, 2, . . ., mostre que

P(lim infn→∞

An) ≤ lim infn→∞

P (An) ≤ lim supn→∞

P (An) ≤ P (lim supn→∞

An),

onde

lim supn→∞

An =∞⋂

n=1

∞⋃

k=n

Ak

lim infn→∞

An =∞⋃

n=1

∞⋂

k=n

Ak

Ajuda: Lembre que uma probabilidade e continua para uma sequencia de conjuntos crescentese decrescentes.

5. Seja (Xi)i∈N uma sequencia de variaveis aleatorias independentes identicamente distribuidascom P (X1 = 1) > 0. Qual e a probabilidade de observar (1, 1) infinitas vezes na sequencia?DEMONSTRE SUAS afirmacoes.

1


PROVA DE PROBABILIDADE

13 de fevereiro de 2009




• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva de maneira clara

e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.


1. Seja A uma classe de subconjuntos de R que consiste de unioes finitas de intervalos disjuntos,onde os intervalos podem ser da forma (−∞, a], (b, c], (d, +∞). Mostre que A e uma algebra,mas nao uma σ-algebra.

2. Sejam Xi, i = 1 . . . .n uma sequencia de v.a. com media µ e variancia σ2. Suponha quelimn→∞ V ar(S2

n) = 0. Mostre que S2

nconverge em probabilidade para σ2, onde

S2

n=

1

n − 1

n∑

i=1

(Xi − Xn)2.

3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. com EX1 = µ e Var(X2

1) = σ2 < ∞. Suponha que P (Sn 6= 0) = 1

e que limn→∞ V ar(S2

n) = 0. Ache o limite em distribuicao da sequencia

√n(Xn − µ)

Sn

onde S2

ne a do exercıcio anterior.

4. Considere um espaco de probabilidade sobre os naturais N.

• Defina os conjuntos An = N\n + 1, . . . , 2n. Calcule lim infn→∞ An e lim supn→∞An.

Calcule lim infn→∞ P (An) e lim supn→∞P (An).

• Idem com An = N\1, . . . , n.

1

Nome

RA

Assinatura


EXAME de INFERENCIA

08 de Janeiro de 2009

Instrucoes

1. A duracao do exame e de 4 horas.

2. Nao e permitida consulta.

3. Resolva quatro (4) das cinco (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais

questoes foram escolhidas.

Questao 1 2 3 4 5

4. Cada questao tem a mesma pontuacao.

5. Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado de cada

folha.

6. Escreva de maneira clara e organizada.

7. Justifique suas respostas.

8. Numere e identifique cada folha utilizada.

Tranquilidade e Bom trabalho

1

Questao 1

Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade Beta(µ,1)

(a) (6 ptos) Encontre o ENVVUM para 1/µ.

(b) (7 ptos) Encontre um intervalo de confianca assintotico para µ2.

(c) (12 ptos) Adicionalmente, seja Y1, . . . , Ym uma amostra aleatoria da densidade

Beta(θ,1) onde Yj e independente de Xi para todo i, j. Encontre um teste exato

para H0 : µ = θ vs H1 : µ 6= θ.

Questao 2

(a) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade

f(x) =1

λexp

−x

λ

, x ≥ 0, λ > 0.

Seja o estimador T = X(1).

(i) (6 ptos) Compare a variancia de T com o Limite Inferior de Cramer-Rao

(LICR).

(ii) (5 ptos) Verifique se T e consistente.

(iii) (3 ptos) No caso de tamanho amostral grande. Conforme os resultados obtidos

nos itens anteriores, voce sugere a utilizacao de T como estimador de λ? Em

caso contrario, proponha um estimador melhor.

(b) Seja X uma observacao da densidade,

f(x) =

(

θ

2

)|x|

(1 − θ)1−|x|, x = −1, 0, 1, θ ∈ [0, 1].

(i) (5 ptos) X e uma estatıstica completa?

(ii) (4 ptos) |X| e uma estatıstica suficiente e completa?

(iii) (2 ptos) f(x) pertence a famılia exponencial?

2

Questao 3

(a) (8 ptos) Seja X uma observacao gerada pela densidade,

f(x) =ν

λΓ(1/ν)21+1/νexp

−1

2λ−ν | x |ν

, λ > 0, ν > 0,

onde

λ2 = 2−2/ν Γ(1/ν)

Γ(3/ν).

Encontre o teste Mais Poderoso (MP) de tamanho α para H0 : ν = 2 vs H1 : ν = 1.

Lembrete: Γ(x) = xΓ(x − 1), Γ(1/2) =√

π.

(b) (8 ptos) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade

f(x1) = θ(1 − θ)−1x(2θ−1)/(1−θ)1 , 0 < x1 < 1, θ ∈ (1/2, 1).

Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para θ.

(c) (9 ptos) Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatoria da densidade Exponencial

com valor esperado λ. Encontre o intervalo unilateral para λ do tipo [0, T (X)]

que seja Uniformemente Mais Acurado (UMA) de confianca 1 − α.

Questao 4

(a) Seja X uma observacao da densidade,

f(x) = 2θx + 2(1 − θ)(1 − x), 0 < x < 1, θ ∈ [0, 1].

(i) (6 ptos) Existe um teste Mais Poderoso (MP) de nıvel 0.2 para

H0 : θ = 1/2 vs H1 : θ = 3/4 ?

(ii) (5 ptos) Compare o teste encontrado no item (i) com um outro teste cuja

regiao crıtica e: RC = x : 0.6 < x < 0.8. Qual desses testes e melhor?

(b) Seja X1, . . . Xn uma amostra aleatoria da densidade,

f(x) =1√2π

exp

−1

8(x − θ)2

, x ≥ θ, θ > 0.

(i) (9 ptos) Encontre um intervalo de confianca 1−α assintotico para θ. Sugestao:

pode ser util considerar, Γ(u) =∫ ∞0 e−ssu−1ds, Γ(1

2) =

√π.

(ii) (5 ptos) Proponha um teste para H0 : θ = 2 vs H1 : θ > 2, ao nıvel α = 0.02.

3

Questao 5

Suponha que dado µ, as variaveis aleatorias Xi sao independentes com densidade condi-

cional: Xi/µ ∼ N(µ, 1) para i = 1, . . . , n. Considere que µ e uma variavel aleatoria

com densidade a-priori N(0, τ 2).

(a) (5 ptos) Supondo τ conhecido, encontre o estimador de Bayes sob perda quadratica

para µ.

(b) (5 ptos) Supondo τ conhecido, encontre o intervalo de maxima probabilidade a-

posteriori (HPD) de 95% para µ.

(c) Nas aplicacoes, uma forma de asignar um valor ao hiperparametro τ 2 e atraves

do procedimento Bayes Empırico. Este metodo faz uso dos dados para asignar

valores aos hiperparametros. Siga os seguintes passos:

(i) (8 ptos) Encontre a densidade marginal de Xi e mostre que X1, . . . , Xn e uma

sequencia de variaveis aleatorias IID.

(ii) (7 ptos) Ja que a densidade de Xi em (i) depende de τ 2, use a amostra

X1, . . . , Xn para propor um estimador para τ 2. Justifique a escolha desse

estimador.

4

Nome

RA

Assinatura


EXAME de INFERENCIA

07 de Janeiro de 2010

Instrucoes





Questao 1 2 3 4 5



folha.





1

Questao 1

Seja X uma unica observacao da densidade f(x, θ) = θxθ−1I(0,1)(x) onde θ > 0

(a) (8 ptos) Encontre uma quantidade pivotal e a use para construir um IC para θ.

(b) (9 ptos) Encontre um IC melhor do que (Y/2, Y ), dado que Y = − log(X)

(c) (8 ptos) Existe um teste UMP de tamanho α para testar

H0 : θ ≥ 2 vs Ha : θ < 2 ?

Se existir tal teste determine-o.

Questao 2

Suponha que n pecas de equipamentos sao submetidas a teste e que suas taxas de

falhas X1, . . . , Xn formam uma a.a. da densidade exponencial com valor esperado 1/θ.

Queremos estimar a probabilidade de falha anticipada, isto e, τ(θ) = P (X1 ≤ k) para

algum k fixo.

(a) (15 ptos) Encontre o ENVUMV para τ(θ).

(b) (10 ptos) Encontre um intervalo de confianca assintotico para τ(θ).

Obs. X1∑n

i=1Xi

∼ Beta(1, n − 1)

Questao 3

Sejam X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym duas amostras aleatorias independentes das densidades

N(µx, σ2) e N(µy, σ

2), respectivamente.

(a) (8 ptos) Encontre o ENVUMV para µy − µx.

(b) (17 ptos) Deseja-se testar a seguinte hipotese:

H0 : µy = µx vs Ha : µy 6= µx.

Encontre o teste de Razao de Verossimilhanca Generalizado de tamanho α e sua

distribuicao.

2

Questao 4

Seja X1, . . . , Xn uma a.a. da densidade N(θ, θ2) com θ > 0. Para este modelo cS e um

estimador nao viciado para θ, onde

c =

√n − 1Γ((n − 1)/2)√

2Γ(n/2), S2 =

1

n − 1

n∑

i=1

(Xi − X)2.

(a) (6 ptos) Demonstre que para toda constante a, o estimador Ta = aX +(1−a)(cS)

e um estimador nao viciado para θ.

(b) (9 ptos) Encontre o valor de a que produz o estimador Ta com menor variancia.

(c) (10 ptos) A estatıstica (X, S2) e suficiente e completa?

Questao 5

Seja X1, . . . , Xn uma a.a. da densidade Gamma(p, 1/θ) com p conhecido, isto e,

f(x) =θ−p

Γ(p)xp−1e−x/θ

(a) (8 ptos) Seja p = 1. Encontre o teste mais poderoso de tamanho α para testar

H0 : θ = θ0 vs Ha : θ = θ1, com θ1 > θ0.

(b) (9 ptos) Encontre um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs Ha : θ > θ0

(c) (8 ptos) Encontre o estimador de Bayes, com p = 1, supondo perda quadratica

para θ e assumindo uma densidade a priori θ ∼ Gamma(α, β).

3

Nome

RA

Assinatura


EXAME de INFERENCIA

25 de Fevereiro de 2010

Instrucoes





Questao 1 2 3 4 5



folha.





1

Questao 1

(a) (6 ptos) Seja X uma unica observacao da densidade

f(x, θ) =e(x−θ)

[1 + e(x−θ)]2, θ ∈ R, x ∈ R.

Encontre o teste mais poderoso de tamanho α para testar,

H0 : θ = 0 vs Ha : θ = 1.

(b) (7 ptos) O teste encontrado em (a) e UMP de tamanho α para testar

H0 : θ ≤ 0 vs Ha : θ > 0 ?

(c) (12 ptos) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade f(x, θ) = 2x/θ2

onde 0 < x < θ. Encontre um intervalo de confianca (1 − α) exato para θ.

Questao 2

Assuma que (N1, N2, N3) tenha distribuicao multinomial com tamanho de amostra n

(≥ 2) e vetor de probabilidades (p1, p2, p3).

(a) (7 ptos) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de τ = p1p2.

(b) (8 ptos) O estimador encontrado em (a) e ENVUMV? Se nao, encontre-o.

(c) (7 ptos) Seja 0 < θ < 1. Encontre o teste de RVG para testar

H0 : p1 = θ, p2 = 2θ(1 − θ), p3 = (1 − θ)2

versus a hipotese alternativa Ha: nao se cumpre H0.

(d) (3 ptos) Qual e a distribuicao assintotica do teste encontrado em (c)?

Questao 3

Sejam Y1, . . . , Yn variaveis aleatorias independentes tais que Yi ∼ N(βxi, σ2), onde

β ∈ R e os xi sao numeros conhecidos.

(a) (5 ptos) Encontre estatısticas conjuntamente suficientes para (β, σ2).

(b) (6 ptos) Encontre os ENVUMV para β e σ2.

(c) (6 ptos) Encontre os estimadores de maxima verossimilhanca de β e σ2.

2

(d) (8 ptos) Suponha σ2 conhecido. Encontre o teste mais poderoso de tamanho α

para testar

H0 : β = 0 vs Ha : β = β0

com β0 > 0 especificado.

Questao 4

Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade,

f(x, θ) = θ(θ + 1)xθ−1(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1, θ > 0.

(a) (6 ptos) Encontre um estimador de momentos para θ.

(b) (6 ptos) Determine a distribuicao assintotica do estimador encontrado em (a)

especificando os parametros da distribuicao.

(c) (7 ptos) Determine a distribuicao assintotica do estimador de maxima verossimi-

lhanca de θ especificando os parametros da distribuicao.

(d) (6 ptos) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de (2θ + 1)/(1 + θ2).

Questao 5 Sejam X1, . . . , Xn uma a.a. de uma distribuicao geometrica com funcao de

probabilidade

f(x|θ) = (1 − θ)xθ, x = 0, 1, 2, ...

e θ ∈ (0, 1) desconhecido. Suponha que θ tenha distribuicao priori Beta(α, β)

a) (7 ptos). Encontre o estimador de Bayes de θ sob a perda quadratica.

b) (5 ptos). O estimador encontrado no item a) e viesado?

c) (5 ptos). O estimador encontrado no item a) e consistente?

d) (8 ptos). Encontre o estimador de Bayes de (1 − θ)/θ2 sob a perda quadratica.

3

Exame de quailificacao

Probabilidade, Janeiro 2010




• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva

de maneira clara e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.


1. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade. Para An ∈ F , n = 1, 2, . . ., mostreque se

lim infn→∞

An = lim supn→∞

An = A,

entao P(An) → P(A), onde

lim supn→∞

An =∞⋂

n=1

∞⋃

k=n

Ak, lim infn→∞

An =∞⋃

n=1

∞⋂

k=n

Ak

2. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e seja X uma v.a. positiva com0 < EPX < ∞. Mostre (enunciando sem demonstrar os resultados utilizados)que:

(a) se, para A ∈ F ,

Q(A) =EP(X1A)

EPX,

entao (Ω,F , Q) e um espaco de probabilidade;

(b) se Y : Ω → R e uma v.a. entao

EQY =EP(XY )

EPX.

3. Sejam X e Y v.a. em (Ω,F ,P) e A uma σ-algebra contida em F .

(a) De as definicoes de E(X | A) e E(X | Y ).

(b) Mostre que E[E(X | Y )] = EX.

4. (a) Enuncie e prove o lema de Borel-Cantelli.(b) De um exemplo de uma sequencia de v.a. i.i.d. que nao satisfaz lei forte dosgrandes numeros (justifique!).

5. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. Uniformes (0, a). Mostre que para todo a > 0temos que n−Xn → 0 em probabilidade, mas nao quase certamente.

Exame de Qualificacao de Probabilidade

Mestrado em Estatıstica

25 de fevereiro de 2010.

1. A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.

2. Nao e permitido consulta

3. Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.

4. Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.

1

1. Sejam X1, . . . , Xn variaveis aleatorias independentes e identicamentedistribuıdas com distribuicao comum Cauchy, isto e, sua densidadecomum e dada por

f(x) =1

π(1 + x2), −∞ < x < ∞

e sua funcao caracterıstica

φ(t) = e−|t|, −∞ < t < ∞.

(i) Qual a distribuicao da media amostral Xn = (1/n)(X1 + . . . + Xn)?Defina as variaveis

Yn =

∑n

j=1Xj√

ne Zn =

∑n

j=1Xj

n2

(ii) Examine as convergencias em distribuicao e em probabilidade dassequencias (Yn)n>0 e (Zn)n>0.

2. Sejam X1, X2, . . . , Xn v.a.’s iid U(0, 1). Defina

Un = min1≤i≤n

Xi e Vn = max1≤i≤n

Xi.

(a) Mostre que o vetor (nUn, n(1−Vn)) converge em distribuicao e achea distribuicao limite.(b) Seja Rn = Vn − Un. Ache a distribuicao assintotica de n(1 − Rn) emostre que Rn → 1 em probabilidade.

3. Considere o triangulo com vertices (−1, 0), (1, 0), (0, 1) e seja (X, Y )um vetor aleatorio uniformemente distribuıdo neste triangulo. AcheE(X + Y ).

4. Se Bk, 1 ≤ k ≤ n sao eventos em um espaco de probabilidade(Ω,A, P) tais que

n∑

k=1

P(Bk) > n − 1

entaoP (∩n

k=1Bk) > 0.

5. Sejam U1, U2, . . . v.a’s independentes tais que Uk ∼ U(−ak, ak). Mostreque se existe M > 0 tal que |ak| ≤ M mas

∑a2

k = ∞ entao vale acondicao de Lindeberg.

2

Nome:

R.A.:

EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EMESTATISTICA

Exame de Inferencia, Data: 12/01/2011

Leia atentamente as instrucoes abaixo:

• O exame tem duracao de quatro horas.

• Numere e identifique cada folha utilizada.


• Leia atentamente cada uma das questoes.

• Resolva (4) das (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais


Questao 1 2 3 4 5

• Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado

de cada folha.

• Escreva de maneira clara e organizada.

• As questoes tem a mesma pontuacao.

• Enuncie, claramente, todos os resultados que voce utilizar.

• Justifique suas respostas.

• Todos os resultados vistos em classe ou desenvolvidos nas listas de exercıcios

podem ser utilizados, a menos que se mencione o contrario.

• Resolva o teste, preferencialmente, a caneta, e procure ser organizado(a). Se

fizer a lapis, destaque, a caneta, sua resposta.

Tranquilidade e faca uma excelente Prova!!

1

Questoes

1. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x; θ) = θ2xθ2−111(0,1)(x), θ > 0

Responda os itens:

a) Obtenha o estimador pelo metodo dos momentos de θ (3 pontos) .

b) Obtenha o estimador de maxima verossimilhanca de θ (7 pontos).

c) Calcule a esperanca e a variancia (exatas) do estimador obtido no item b) (10

pontos).

d) Obtenha a estatıstica do teste da razao de verossimilhancas para testar H0 : θ = θ0

vsH1 : θ 6= θ0 e, com base nela, proponha um teste exato, com nıvel de significancia

α, para as hipoteses em questao (10 pontos).

2. Responda os itens:

a) Seja X uma unica observacao de fX(x; θ) = θ110(x)+θ2111(x)+(1−θ−θ2)112(x),

θ ∈ (0, 1/2). A estatıstica X e completa? Justifique sua resposta (10 pontos).

b) Seja X uma unica observacao de fX(x; θ) = (2θx + 1 − θ)11(0,1)(x), θ ∈ [−1, 1].

Encontre o teste da razao de verossimilhancas para testar H0 : θ = 0 vs H1 : θ 6= 0,

a um nıvel de significancia de α (10 pontos).

c) Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x; θ) = θ(1 + x)−(1+θ)11(0,∞)(x), θ > 0.

Obtenha um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0, θ0 > 0, com nıvel

de significancia α (10 pontos).

3. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x) =1

θe−x/θ11(0,∞)(x), θ > 0

e considere τ(θ) = P (X ≥ x), para algum x fixo. Responda os itens:

a) Encontre um intervalo de confianca assintotico para para τ(θ) (10 pontos).

2

b) Encontre o ENVUM de τ(θ) (20 pontos).

4. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X ∼ U(θ1, θ2), 0 < θ1 < θ2 < ∞. Denote

Y1 = min(X1, ..., Xn) e Yn = max(X1, ..., Xn). Responda os itens:

a) Considerando θ1 conhecido, encontre uma estatıstica suficiente e completa e obtenha

o ENVUM de θ2 (10 pontos).

b) Considerando θ2 conhecido, encontre uma estatıstica suficiente e completa e obtenha

o ENVUM de θ1 (10 pontos).

c) Considerando (θ1, θ2) desconhecidos, prove que T = (Y1, Yn) e uma estatıstica su-

ficiente e encontre os ENVUM’s de θ1 e θ2. OBS: Assuma que T e uma estatıstica

completa (10 pontos).

OBS: Lembre-se de que, neste caso (FW (w) denota a funcao de distribuicao da variavel

aleatoria W no ponto w),

FY1(y) = 1− [1− FX(y)]

n 11(θ1,θ2)(y) + 11[θ2,∞)(y)

FYn(y) = [FX(y)]n11(θ1,θ2)(y) + 11[θ2,∞)(y)

Alem disso

∂

∂θ

∫ θ

a

g(y)dy = g(θ) e∂

∂θ

∫ a

θ

g(y)dy = −g(θ) , em que a e uma constante

5. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, tal que

fX(x|θ) =θr

Γ(r)xr−1e−θx11(0,∞)(x), θ > 0, r > 0

Assuma uma distribuicao a priori (π(θ)), θ ∼ Gama(α, 1/β), com r, α e β conhecidos.

Responda os itens.

a) Determine a distribuicao a posteriori de θ e obtenha o estimador de Bayes, sob

perda quadratica, de θ (10 pontos).

b) Obtenha o estimador de Bayes, sob perda quadratica, de τ(θ) = Var(X|θ) (5 pon-

tos).

3

c) Obtenha um intervalo de credibilidade de γ% para θ (5 pontos).

d) Para r = 1, obtenha o estimador de Bayes, sob perda quadratica de

τ(θ) = P (X ≤ x), para algum x fixado (10 pontos).

Formulario

1. Se X ∼ Beta(a, b), entao fX(x; a, b) =Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)

xa−1(1− x)b−111(0,1)(x), a > 0, b > 0. Alem

disso∫ 1

0xa−1(1− x)b−1dx = Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b), Γ(y) = (y − 1)Γ(y − 1), y > 0.

2. Se X ∼ Gama(r, λ), r > 0, λ > 0, entao fX(x; r, λ) = 1Γ(r)λrx

r−1e−xλ11(0,∞)(x). Alem

disso∫∞

0xr−1e−xdx = Γ(r).

3. Se X ∼ χ2(r), entao fX(x; r) =

12r/2Γ(r/2)

xr/2−1e−x/211(0,∞)(x), r > 0.

4. Se∑∞

i=0 θici = 0, ∀ θ , entao ci = 0, ∀ i.

4

Nome:

R.A.:

EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EMESTATISTICA

Exame de Inferencia, Data: 17/02/2011

Leia atentamente as instrucoes abaixo:

• O exame tem duracao de quatro horas.

• Numere e identifique cada folha utilizada.


• Leia atentamente cada uma das questoes.

• Resolva (4) das (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais


Questao 1 2 3 4 5

• Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado

de cada folha.

• Escreva de maneira clara e organizada.

• As questoes tem a mesma pontuacao.

• Enuncie, claramente, todos os resultados que voce utilizar.

• Justifique suas respostas.

• Todos os resultados vistos em classe ou desenvolvidos nas listas de exercıcios

podem ser utilizados, a menos que se mencione o contrario.

• Resolva o teste, preferencialmente, a caneta, e procure ser organizado(a). Se

fizer a lapis, destaque, a caneta, sua resposta.

Tranquilidade e faca uma excelente Prova!!

1

Questoes

1. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X em que

f(x; θ) =2x

θ211(0,θ)(x), θ > 0

a) Encontre o estimador pelo metodo dos momentos de θ (3 pontos).

b) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de θ. Calcule sua esperanca e

variancia exatas (10 pontos).

c) Obtenha um intervalo de confianca exato de γ% para θ (7 pontos).

d) Obtenha um teste exato para testar H0 : θ = 1 vs H1 : θ > 1, ao nıvel de signi-

ficancia de α (10 pontos).

2. Responda os itens

a) Seja X uma unica observacao da seguinte f.d.p.

f(x; θ) =

(

θ

2

)|x|(1− θ)1−|x| 11−1,0,1(x), θ ∈ [0, 1].

X e uma estatıstica completa? Justifique adequadamente(5 pontos)

b) Seja X uma unica observacao da seguinte f.d.p

f(x; θ) =θ

λΓ(1/θ)21+1/θexp

−1

2λ−θ|x|θ

11(−∞,∞)(x), θ > 0

em que

λ2 = 2−2/θΓ(1/θ)

Γ(3/θ).

Encontre um teste mais poderoso para testar H0 : θ = 2 vs H1 : θ = 1, ao nıvel de

significancia de α (15 pontos).

2

c) Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x; θ) =1

θx(1−θ)/θ11(0,1)(x), θ > 0

Obtenha um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0, θ0 > 0, ao nıvel de

significancia de α (10 pontos).

3. Sejam X1, ..., Xn e Y1, ..., Ym duas amostras aleatorias independentes, respectivamente

de X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ

2), µi ∈ (−∞,∞), i = 1, 2, σ2 > 0 (conhecido).

a) Encontre o ENVUM de µ1 − µ2 (10 pontos) .

b) Encontre a estatıstica do teste da razao de verossimilhancas para testarH0 : µ1 = µ2

vs H1 : µ1 6= µ2 e, com base nela, proponha um teste exato para testar as referidas

hipoteses a um nıvel de significancia de α (20 pontos).

4. Responda os itens:

a) Seja X1, .., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x; θ) = θ(1 + θ)xθ−1(1− x)11(0,1)(x), θ > 0

i) Encontre o estimador pelo metodo dos momentos de θ (6 pontos).

ii) Encontre a distribuicao assintotica do estimador de maxima verossimilhanca

de θ, especificando os parametros dessa distribuicao (9 pontos).

b) Seja X1, .., Xn uma amostra aleatoria de X, em que

fX(x; θ) =1√2π

exp

−1

8(x− θ)2

11(θ,∞)(x), θ > 0

i) Obtenha um intervalo de confianca assintotico para θ, com coeficiente de con-

fianca de aproximadamente γ% (6 pontos).

ii) Proponha um teste, com base na amostra aleatoria, para testar as hipoteses

H0 : θ = 2 vs H1 : θ > 2, a um nıvel de significancia de α (9 pontos).

3

5. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X|µ ∼ N(µ, 1), µ ∈ (−∞,∞). Considere uma

distribuicao a priori π(µ), µ ∼ N(0, τ), τ > 0, conhecido. Responda os itens

a) Encontre a distribuicao a posteriori de µ e o respectivo estimador de Bayes de µ,

sob perda quadratica (15 pontos).

b) Obtenha um intervalo de credibilidade de γ% para µ (5 pontos).

c) Obtenha o estimador de Bayes para µ2, sob perda quadratica (10 pontos).

Formulario

1. Se X ∼ Beta(a, b), entao fX(x; a, b) =Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)

xa−1(1− x)b−111(0,1)(x), a > 0, b > 0. Alem

disso∫ 1

0xa−1(1− x)b−1dx = Γ(a)Γ(b)

Γ(a+b), Γ(y) = (y − 1)Γ(y − 1), y > 0.

2. Se X ∼ Gama(r, λ), r > 0, λ > 0, entao fX(x; r, λ) = 1Γ(r)λrx

r−1e−x

λ11(0,∞)(x). Alem

disso∫∞0

xr−1e−xdx = Γ(r) e Γ(1/2) =√π.

3. Se X ∼ N(µ, σ2), µ ∈ (−∞,∞), σ2 > 0, entao

fX(x;µ, σ2) = 1√

2πσ2exp

− 12σ2 (x− µ)2

11(−∞,∞)(x).

4



10 de janeiro de 2011.

• A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.

• Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.

• Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.

1

1. Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes tais que

P (Xk = 1) = P (Xk = −1) =1 − 2−k

2

P (Xk = 2k) = P (Xk = −2k) =1

2k+1.

Prove que vale o Teorema Central do Limite.

2

2. (a) Seja F uma funcao de distribuicao contınua, e sejam X e Y v.a.’sindependentes e identicamente distribuıdas com distribuicao F .Prove que E(F (X)) = 1/2. Prove que P[X ≤ Y ] = 1/2.

(b) Sejam F e G funcoes de distribuicoes contınuas e suponha que Xtem distribucao F e Z tem distribuicao G. Mostre que E(F (Z))+E(G(X)) = 1. Dica: Interprete as esperancas como probabili-dades de eventos.

3

3. Sejam Xn v.a.’s independentes com distribuicao de Poisson com mediaan e Sn = X1 + . . . + Xn. Prove que se an → ∞ entao Sn/E(Sn) → 1em probabilidade.

4

4. Sejam U1, U2, . . . v.a.’s independenes U(0, 1). Defina uma v.a. X por

X + 1 = minn :n∏

i=1

Ui < e−λ,

0∏

i=1

Ui = 1.

Mostre que X ∼ Poisson(λ).

5

5. Seja (Ω,A, P) um espaco de probabilidade.

(a) Dizemos que dois eventos A, B ∈ A sao equivalentes se P(A ∩Bc) + P(Ac ∩ B) = 0. Mostre que A e B sao equivalentes seP(A ∩ B) = minP(A), P(B).

(b) Sejam A, B e C tres eventos disjuntos tais que

P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, P(C) = 0.1.

Calcule a probabilidade de todos os eventos de σ(A, B, C) = menorσ-algebra contendo os eventos A, B e C.

6



15 de fevereiro de 2011.

1. A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.

2. Nao e permitido consulta

3. Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.

4. Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.

1

1. Seja o vetor aleatorio (X, Y ) uniformemente distribuıdo nos lados doquadrilatero com vertices (0,−1), (1, 0), (0, 1), (−1, 0).

(a) Seja A um boreliano em R2, escreva P((X, Y ) ∈ A).

(b) Calcule as distribuicoes marginais de X e Y .

(c) Calcule as distribuicoes condicionais de X dado Y = y e de Ydado X = x.

(d) Calcule E(XY ), E(X) e E(Y ). E verdade que X e Y sao indepen-dentes?

2. Seja U uma v.a. Uniforme (0, 1) e seja q ∈ (0, 1). Mostre que

X = 1 + ⌊ln U/ ln q⌋

tem distribuicao geometrica.Nota: ⌊x⌋ = maior inteiro contido em x.

3. (a) Seja Xn uma sequencia monotona de v.a.’s. Mostre que seXn → X em probabilidade quando n → ∞ entao Xn → X quasecertamente n → ∞ (Pense em subsequencias).

(b) Seja Zn uma sequencia de v.a’s iid com distribuicao comumF (z) tal que F (1) = 1 e F (z) < 1 para todo z < 1. Prove que

maxZ1, . . . , Zn → 1, quase certamente quando n → ∞.

4. Seja Xn uma sequencia de v.a’s iid com densidade comum

f(x) = |x|−3, |x| > 1.

(a) Mostre que nao vale o TCL de Lindeberg.

(b) Mostre que apesar de (a) ainda temos

Sn√n log n

D→ N(0, 1).

Dica: Aplique CLT para Yn = XnI|Xn|≤√

n (nao esqueca de veri-ficar as condicoes) e use Borel-Cantelli. Alguns resultados uteis:

limn→∞

∑n

j=1log(j)

n log n − n= 1, lim

n→∞

n log n − n

n log n= 1.

2

5. Suponha que Xn, n ≥ 1 sejam v.a’s independentes e suponha queXn ∼ N(0, σ2

n). Escolha σ2

n tal que

maxσ1, . . . , σ2

ns2

n

9 0 (nao converge a zero) quando n → ∞

onde s2

n =∑n

j=1σ2

j . Use funcoes caracterısticas para mostrar que

X1 + . . . + Xn

sn

∼ N(0, 1).

3

Exame de qualificacao (agosto/2011, mestrado)

Probabilidade

• A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de forma maiscompleta possıvel.

• Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em um ladoda folha.

• Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondida e seunome.

1. Seja An = m

n: m ∈ N para n = 1, 2, 3, . . .. Calcule lim infn→∞ An e

lim supn→∞An.

2. Sejam X,X ′, X1, . . . , Xn v.a. independentes com a distribuicao Exponencial,com parametros λ, λ′, λ1, . . . , λn, respetivamente.

(a) Calcule P[X < X ′].

(b) Ache a distribuicao de v.a. Y = minX1, . . . , Xn.

(c) Calcule P[X1 = Y ] (sendo Y a v.a. do item (b)).

3. Escreva, o que significa que o Teorema Central de Limite vale para a sequencia(Xn, n ≥ 1). Quais condicoes suficientes para o TCL voce conhece (tem queformular estas condicoes, nao basta so nomear)?

Repita para as Leis Fraca e Forte de G.N. no lugar de TCL.

4. Sejam (Xn, n ≥ 1) v.a. independentes, tais que P[Xn = nα] = P[Xn = −nα] =1/2, onde α ∈ [0, 1/2) e um parametro. Seja Xn = (X1 + · · · + Xn)/n. O quepode ser dito sobre a convergencia Xn → 0 em probabilidade, q.c., em L2, emL1?

5. Entre as proposicoes a seguir, identifique as verdadeiras e as falsas. Prove asproposicoes verdadeiras, e de contra-exemplos para as proposicoes falsas.

(a) Xn ≥ 0 q.c., e Xn

q.c.−→ X. Entao EXn → EX.

(b) Se XnL3

−→ X, entao XnP

−→ X.

(c) Se XnP

−→ X entao Xn

q.c.−→ X.

(d) Xn

q.c.−→ X, Xn+1(ω) ≤ Xn(ω) q.c. para todo n, e EX5 < ∞. Entao,

EXn → EX.

(e) Xn

q.c.−→ X e |Xn| ≤ 3 q.c. para todo n. Entao, para qualquer parametro

a > 0, temos EXan → EXa.

(f) Se Xn, Yn sao independentes para cada n, XnD

−→ N(0, 1) e YnD

−→ N(0, 1),

entao Xn − YnD

−→ N(0, 2).

(g) Se XnL2

−→ 2, YnD

−→ N(0, 1), entao Yn

Xn

D−→ N(0, 1

4).

(h) Se (Xn, n ≥ 1) sao v.a. independentes e o Teorema Central de Limite valepara esta sequencia, entao a Lei Forte dos Grandes Numeros vale tambem.

Obs.: enuncie os teoremas utilizados (nao e preciso prova-los). Seja mais es-pecıfico na aplicacao destes teoremas (mau exemplo: esta proposicao vale por

causa do teorema de convergencia dominada; bom exemplo: esta proposicao vale

porque a sequencia de v.a. (|Xn|/2, n = 1, 2, 3, . . .) satisfaz as hipoteses do teo-

rema de convergencia dominada).


PROVA DE INFERENCIA

21 de dezembro de 2011

INSTRUCOES

1. A duracao da prova e de 4 horas.

2. Nao e permitido consulta.

3. Inicie cada questao em uma nova folha. Escreva de maneira clara e organizada. Numeree identifique com a sua senha cada folha utilizada.

4. Resolva 4 das questoes. Coloque um cırculo na questao nao resolvida. Os pesos de cadaıtem estao indicados entre colchetes no inıcio de cada ıtem.

5. E preciso devolver apenas esta pagina de rosto. Pode levar a outra folha.

6. Tranquilidade e Boa Sorte.

SENHA: · · · · · ·

Questao nao resolvida: 1 2 3 4 5

EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA - PROVA DEINFERENCIA - 21 de dezembro de 2011

1. Seja X1, · · · , Xn+2 uma amostra aleatoria de tamanho (n+2) de uma distribuicao de Poissonde parametro λ, λ > 0. Responda os itens seguintes baseando-se apenas nas informacoes dadaspelas primeiras n observacoes.[12] a. Encontre um estimador nao viciado uniformemente de variancia mınima (ENVUVM)para a probabilidade de que os valores amostrais da (n + 1)−esima e da (n + 2)−esima ob-servacoes sejam iguais.[5] b. Discuta se sua variancia atinge o limite inferior de Cramer-Rao e se existe outro EN-VUVM.[8] c. De o limite inferior de confianca do intervalo de confianca unilateral mais acurado de λ,tal que tenha coeficiente de confianca igual a 100(1− α)%.

2. Considere X1, ..., Xn e Y1, ..., Ym amostras aleatorias (mutuamente independentes) de X ∼gama(r, λ) e Y ∼ gama(r, α), com r conhecido, E(X) = rλ e E(Y ) = rα. Responda os itens.[8] a. Considerando apenas a primeira amostra, obtenha o estimador de maxima verossimi-lhanca de 1

λ.

[8] b. Considerando apenas a primeira amostra, obtenha um intervalo de confianca assintotico,de coeficiente de confianca γ, para λ2.[9] c. Encontre o teste da razao de verossimilhancas, de tamanho α, para testar H0 : λ = α vsH1 : λ 6= α.

3. Considere que a distribuicao do tempo de falha seja uma mistura de duas distribuicoesexponenciais com medias conhecidas e iguais a 1, 0 e 0, 5 e com taxa de mistura θ ∈ [0, 1], istoe, com densidade dada por:

f(x; θ) =[

θe−x + (1− θ)2e−2x]

I(0,∞)(x).

Para uma unica observacao.[10] a. Verifique se existe um teste uniformememente mais poderoso de nıvel α para as hipoteses:

H0 : θ = 1/2 vs Ha : θ > 1/2.

Se existir de o teste para um nıvel de significancia 0, 05, e de o valor-p do teste quando o valorobservado for igual a 2.[8] b. Verifique se existe um teste uniformememente mais poderoso de nıvel α para as hipoteses:

H0 : θ = 1/2 vs Ha : θ 6= 1/2.

Se existir de o teste para um nıvel de significancia 0, 05.[7] c. De o estimador de maxima verossimilhanca de θ.

4. Seja uma amostra de tamanho um da densidade:

f(x;λ) = λe−λxI(0,∞)(x),

onde λ > 0. Considere que a distribuicao a priori de λ seja a distribuicao Gama , com hyper-parametros α e β positivos, isto e com densidade:

f(λ;α, β) =βα

Γ(α)λ(α−1) e−βλ I(0,∞)(λ),

Considere a funcao perda dada por L(d, λ) = I(|d− λ| > 1).[9] a. Calcule a funcao risco quando utilizamos δ(X) = a/X, com a > 0, como estimador de λ.[9] b. De o valor esperado da funcao perda utilizando a distribuicao a posteriori de λ.[7] c. De um intervalo de credibilidade 100γ% de mais alta densidade de λ.

5. Considere (Xi, Yi), i = 1, · · · , n uma amostra aleatoria de tamanho n da distribuicao bi-variada definida por: Xi tem distribuicao exponencial com media θ, θ > 0, e a distribuicaocondicional da variavel aletoria Yi, dado que Xi = xi e uma exponencial com taxa de falha βxi,β > 0.[7] a. De uma estatıstica completa.[18] b. Utilize um dos tres testes, Wald, Razao de Verossimilhanca ou Escore, para dar a aregiao crıtica de um teste de tamanho α para testar a hipotese nula H0 : θ = β, contra ahipotese alternativa Ha : θ 6= β

Exame de Qualificacao (mestrado.2012.1) – Probabilidade

1. Considere dois eventos A,B. Seja (An)n∈N uma sequencia de eventos tais que,para todo k ∈ N se verifica A2k = A, A2k+1 = B.

• Calcule lim supn→∞ An.

• Calcule lim infn→∞ An.

• Em que caso lim supn→∞ An = lim infn→∞ An?

2. Sejam X1, X2, . . . , Xn v.a. i.i.d. Uniformes [0, 1]. Sejam

U = min1≤k≤n

Xk, V = max1≤k≤n

Xk.

Calcule a densidade conjunta de U e V .

3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d., EX1 = 0, EX21 = 1. Seja Sn = X1 + · · · + Xn e

seja Fn a σ-algebra gerada por X1, X2, . . . , Xn. Calcule E(S2n+1 − S2

n | Fn).

4. Verifique se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas (prove ou de umcontra-exemplo):

(a) se Xn → X em probabilidade, entao Xn −X → 0 em probabilidade;

(b) se Xn → X em distribuicao, entao Xn −X → 0 em distribuicao.

(c) se Xn → X em Lp, entao Xn → X em probabilidade.

(d) se Xn → X em probabilidade, entao Xn → X q.c.

5. Sejam X1, X2, . . . v.a. independentes, Xn e uniforme no intervalo [− 3√n, 3

√n].

O que podemos dizer com relacao a Lei Forte dos Grandes Numeros e o TeoremaCentral de Limite para esta sequencia? Caso algum destes fatos se verifique, o for-mule explicitamente para a sequencia em questao (especificando os parametros).

Exame de Qualificacao (mestrado.2012.2) – Probabilidade

1. Calcule a densidade de v.a. Z = X + Y , onde X, Y sao v.a. independentes,X ∼ U [−1, 1], Y ∼ Exp(1).

2. Seja (Xn, n ≥ 1) uma sequencia de v.a. nao negativas, e tal que Xn → 1 q.c.quando n → ∞. O que podemos dizer sobre a sequencia (EXn, n ≥ 1)? E setivermos a informacao adicional que (considere (a), (b), (c) separadamente)

(a) Xn+1 ≥ Xn q.c. para todo n ≥ 1?

(b) Xn+1 ≤ Xn q.c. para todo n ≥ 1?

(c) (Xn, n ≥ 1) e uniformemente untegravel?

(Obs.: enuncia os teoremas utilizados.)

3. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade, A ⊂ F uma sigma-algebra, e X

uma v.a. integravel.

(i) De a definicao da esperanca condicional E(X | A). Enuncie o resultado quenos permite provar a existencia da esperanca condicional.

(ii) Prove que, se X e A-mensuravel e E(X1A) = 0 para qualquer A ∈ A, entaoX = 0 q.c.

4. Seja p0 > 0 um parametro. De um exemplo de uma sequencia de variaveisaleatorias (Xn, n ≥ 1) tal que Xn → 0 em Lp para p ≤ p0, mas Xn nao convergepara 0 q.c. e em Lp para p > p0.

5. Sejam X1, X2, . . . v.a. independentes, Xn e uniforme no intervalo [− 3√n, 3

√n].

O que podemos dizer sobre as Leis Fraca e Forte dos Grandes Numeros para estasequencia (caso o respetivo resultado valha, o formule explicitamente)?

①♠ çã♦ Pr♦

str♦ ♠ sttíst

♦st♦

♥strçõs

♣r♦ é ♦♠♣♦st qstõs q ♠ sr rs♣♦♥s ♦r♠ r

♦♠♣t

rçã♦ ♣r♦ é ♦rs

ã♦ é ♣r♠t♦ ♦♥st

♥ qstã♦ ♠ ♠ ♦ s♣r ♦♦q ♦ s ♥♦♠ ♦♠♣t♦ ♠

♦

♦r♠ár♦

∞∑

n=0

xn =

(1− x)−1 s 0 ≤ x < 1,

∞ s x ≥ 1.

∞∑

n=0

xn

n!= ex ♣r t♦♦ x ∈ R.

Pr p ∈ (0, 1), t♠♦s q∞∑

n=1

n p (1− p)n−1 =1

p

∞∑

n=1

n2 p (1− p)n−1 =2− p

p2.

Pr λ > 0, t♠♦s qn

∑

k=1

kλ ∼ nλ+1

λ+ 1q♥♦ n → ∞.

Pr α > 0 λ > 0,

∫ ∞

0

xα−1 e−λx dx =Γ(α)

λα.

Γ(n+ 1) = n! ♣r n ≥ 0 ♥tr♦.

♠ A1, A2, . . . ♥t♦s ♠ ♠ s♣ç♦ ♣r♦ ts q An ↑ A q♥♦

n → ∞ ♦ s

An ⊂ An+1 ♣r t♦♦ n ≥ 1 A =∞⋃

n=1

An.

♣♦♥ q B é ♠ ♥t♦ ♥♣♥♥t An ♣r t♦♦ n ≥ 1 Pr♦ q A

B sã♦ ♥♣♥♥ts

(X, Y ) ♠ ♣♦♥t♦ s♦♦ t♦r♠♥t ♥♦ qr♦ (0, 1) × (0, 1) ♥

Z = XY

♦str q ♥s Z é ♣♦r

fZ(z) =

− log z s 0 < z < 1,

0 s♦ ♦♥trár♦.

tr♠♥ E(X |Z = z) ♣r 0 < z < 1

♠ X1, X2, . . . rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t strís

♦♠

P (X1 = 0) = P (X1 = 1) =1

2.

♣r♦ q s ❵ s ♦sr ♥♥ts ③s ♥

sqê♥

N ♦ ♥ú♠r♦ s s té q ♣rç s ❵ ♣ ♣r♠r ③

tr♠♥ ♦ ♦r s♣r♦ N

♠ X1, X2, . . . rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t strís

♦♠ ♠é µ râ♥ σ2 ♥t ♣♦st Pr n ≥ 1 ♥

Yn =2

n(n+ 1)

n∑

k=1

k Xk.

♦str q Yn → µ ♠ ♣r♦ q♥♦ n → ∞

Unn≥1 ♠ sqê♥ rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t

strís ♦♠ strçã♦ ♥♦r♠ ♠ (0, 1) ♥

Yn =(

n∏

i=1

Ui

)−1/n.

♦str q sqê♥ Ynn≥1 ♦♥r qs rt♠♥t ♣r ♠ ♦♥s

t♥t c ♥♦♥tr ♦ ♦r c

Pr♦ q√n (Yn − c) ♦♥r ♠ strçã♦ ♣rs♥t♥♦ strçã♦

♠t

EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD

FEBRERO DEL 2013

Duracion: 6 horasInstrucciones:

(1) La calificacion aprobatoria mınima es 5.(2) Cada problema vale 1 punto.(3) Los incisos de cada problema se califican independientemente y tienen el mismo

valor.(4) Pueden asumir cierto el inciso anterior, aun sin resolverlo, para responder a los

que siguen.

1. Probabilidad

Problema 1. Sea (Xn)n una sucesion de variables aleatorias independientes. Estudie la con-vergencia (en distribucion, en probabilidad y casi segura) de Xn y de Sn = X1 + · · · +Xn sipara cada n 2 N:

(1) Xn tiene distribucion de Bernoulli de parametro 1n2 ,

(2) Xn tiene distribucion de Poisson de parametro 1n2 y

(3) Xn tiene distribucion de Poisson de parametro 1n.

Problema 2. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes tales que Xi tiene dis-tribucion exponencial de parametro 1 para i par y distribucion Poisson de parametro 2 para iimpar.

(1) Enuncie una ley fuerte de los grandes numeros para la sucesion de sumas parcialesasociada a (Xi) y desmuestre si se cumple o no.

(2) Encuentre α tal queX1 + · · ·+Xn − αnp

n

tenga un lımite en distribucion no-trivial e identifıquelo. (Sea muy preciso en la pruebade sus afirmaciones).

Problema 3.

(1) Sea X 2 L2. Pruebe que:

E

[X − E(X |G )]2

E

[X − E(X)]2

.

(2) Sean X,Y 2 L2 pruebe que

E(XY |G )2 E(

X2∣

∣G)

E(

Y 2∣

∣G)

< 1.

Problema 4. Sean U1, U2, . . . variables independientes uniformes en (0, 1) y defina

Spn =

nX

i=1

1Ui≤p.

(1) Sea f : [0, 1] ! R continua y M una cota para |f | en [0, 1]. Pruebe que E(f(Spn/n)) es

un polinomio.1

EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD FEBRERO DEL 2013 2

(2) Dada ε > 0, sea δ > 0 tal que si x, y 2 [0, 1] y |y − x| δ entonces |f(y)− f(x)| ε.Pruebe que

∣

∣

∣

∣

E

f

Spn

n

− f(p)

∣

∣

∣

∣

ε+2M

δ2E

Spn

n− p

]2!

.

(3) Al utilizar el inciso anterior, demuestre el teorema de aproximacion polinomial deWeierstrass: existe una sucesion de polinomios f1, f2, . . . tal que

limn→∞

supp∈[0,1]

|fn(p)− f(p)| = 0.

2. Procesos Estocasticos

Problema 5. Sea (Fn, n 2 N) una filtracion y M = (Mn,2 N) una (Fn)-martingala. SeaC = (Ci, i ≥ 1) un proceso acotado, digamos por K. Asuma que Cn es Fn−1-medible.

(1) Defina al proceso estocastico C ·M mediante

(C ·M)0 = 0 y (C ·M)n =

nX

i=1

Ci (Mi −Mi−1) para n ≥ 1.

Pruebe cuidadosamente que C ·M es una (Fn)-martingala.(2) Encuentre una cota para el segundo momento de C ·M en terminos del segundo mo-

mento de M y de K. Escriba la desigualdad L2 de Doob para C ·M y reexpresela conla cota que obtuvo.

Problema 6. Sean S = (Si, i ≥ 1) una sucesion variables exponenciales independientes deparametro λ, T0 = 0, Tn = S1 + · · ·+ Sn para n ≥ 1 y

Nt =X

n

n1Tn≤t<Tn+1

el proceso de conteo asociado a S. Para t > 0, sean St1, S

t2, . . . los tiempos que transcurren

entre los saltos sucesivos sucesivos del proceso (Nt+s, s ≥ 0). Pruebe que las variables St1, S

t2

son exponenciales de parametro λ e independientes (entre si y de Nt).

Problema 7.

(1) Sea (Sn)n∈N una cadena de Markov con espacio de estados Z y matriz de transicion

Pi,i+1 = p Pi,i−1 = 1− p

donde p 2 [0, 1]. De una condicion necesaria y suficiente para que (|Sn| , n 2 N) seauna cadena de Markov.

(2) Sea (Xt, t ≥ 0) una cadena de Markov a tiempo continuo cuyas tasas de transicion son

λi,i+1 = α λi,i−1 = β λi,j = 0 si j 6= i+ 1, i− 1.

Encuentre una condicion necesaria y suficiente para que (|Xt| , t ≥ 0) sea una cadena deMarkov a tiempo continuo y verifique con cuidado su afirmacion. Cuando (|Xt| , t ≥ 0)sea una cadena de Markov a tiempo continuo, calcule las tasas de transicion.

Problema 8.

(1) De la definicion de proceso gaussiano y de movimiento browniano.(2) Sea B un movimiento browniano y bt = Bt− tB1, t 2 [0, 1]. Pruebe que b es un proceso

gaussiano en [0, 1] y calcule sus funciones de media y covarianza.(3) Pruebe que b es independiente de B1.

EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD 2013-II

30 JULIO DEL 2013

Duracion: 6 horasInstrucciones:

(1) La calificacion aprobatoria mınima es 5.(2) Cada problema vale 1 punto.(3) Los incisos de cada problema se califican independientemente y tienen

el mismo valor.(4) Pueden asumir cierto el inciso anterior, aun sin resolverlo, para res-

ponder a los que siguen.

1. Probabilidad

Problema 1. Sean (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y (Fi, i ∈ N) una coleccionde subσ-algebras de F .

(1) Defina que significa que las σ-algebras (Fi, i ∈ N) sean independientes.(2) Pruebe que si I1, I2, . . . es una particion de N y definimos

Gj = σ

⋃

i∈Ij

Fi

,

entonces las σ-algebras (Gj, j ∈ N) son independientes.

Problema 2. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes e identicamentedistribuidas. Sea

Yi = Xi1 |Xi|≤i.

Pruebe que

P(Xi 6= Yi para una infinidad de ındices i) ∈ 0, 1y encuentre un criterio en terminos de X1 para discernir entre ambos casos.

Problema 3. Pruebe que si las variables aleatorias cuadrado integrables X y Y

satisfacen E(Y 2 |X) = X2 y E(Y |X) = X entonces X = Y casi seguramente.

Problema 4. SeanX1, X2, . . . variables independientes e identicamente distribuidascon varianza 1 y media 0. Pruebe que la sucesion de variables aleatorias

X1 + · · ·+Xn√n

converge en distribucion a una variable no-degenerada pero que no lo hace en prob-abilidad. Sugerencia: razone por contradiccion y utilice la ley 0-1 de Kolmogorov.

1

EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD 2013-II 30 JULIO DEL 2013 2

2. Procesos Estocasticos

Problema 5.

(1) Sea M = (Mn, n ∈ N) una martingala. Pruebe que si G es una subσ-algebra independiente de M entonces M es una martingala respecto de lafiltracion Fn = σ(G ,M0, . . . ,Mn).

(2) SeanM = (Mn, n ∈ N) y N = (Nn, n ∈ N) dos martingalas independientes.Pruebe que MN = (MnNn, n ≥ 0) es una martingala.

Problema 6. Sea S = (Si, i ≥ 1) una sucesion iid con valores en Z+ = 1, 2, . . .y media finita µ. Sea R el proceso de tiempos residuales del proceso de renovacioncon tiempos interarribo S.

(1) Pruebe que R es una cadena de Markov.(2) Especifique su matriz de transicion, y pruebe que la distribucion inicial

πi =P(S1 ≥ i)

µ

es invariante.

Problema 7. Cada bacteria en una colonia se divide en dos copias identicasdespues de un tiempo exponencial de parametro λ, que a su vez siguen la mismadinamica de subdivision de manera independiente. Sea Xt el tamano de la coloniaal tiempo t y suponga que X0 = 1.

(1) Muestre que la funcion generadora ϕ(t) = E(

zXt)

satisface

ϕ(t) = ze−λt +

∫ t

0

λe−λsϕ(t− s)2 ds

y que por lo tanto (al hacer el cambio de variables u = t− s)

∂ϕ(t)

∂t= λϕ(t) [ϕ(t)− 1] .

(2) Deduzca que si q = 1− e−λt y n = 1, 2, . . . entonces

P(Xt = n) = qn−1 (1− q) .

Problema 8.

(1) De la definicion de proceso gaussiano y de movimiento browniano.(2) Sea B un movimiento browniano y Xt = e−t/2B(et) , t ∈ R. Pruebe que X

es un proceso gaussiano en R y calcule sus funciones de media y covarianza.(3) Pruebe que X es estacionario, es decir, que para cualquier s ∈ R el proceso

(Xt+s, t ∈ R) tiene las mismas distribuciones finito-dimensionales que X.

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Exam De Qualificação Inferencia e Probabilidade