Excel Treliça

UNESPFaculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet

Guaratinguet2012

MARCOS SEITI SUZUKI

ANLISE ESTRUTURAL DE TRELIAS ESPACIAIS NO SOFTWARE EXCEL UTILIZANDO O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Trabalho de Graduao apresentado ao Conselho de Curso de Graduao em Engenharia Mecnica da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obteno do diploma de Graduao em Engenharia Mecnica.

Orientadores: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva

Guaratinguet2012

S968aSuzuki, Marcos Seiti

Anlise estrutural de trelias espaciais no software Excel utilizando o mtodo dos elementos finitos / Marcos Seiti Suzuki Guaratinguet : [s.n], 2011.

124 f : il. Bibliografia: f. 103

Trabalho de Graduao em Engenharia Mecnica Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguet, 2011.

Orientador: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva

1. Teoria das estruturas 2. Mtodo dos elementos finitos I. Ttulo

CDU 624.04

de modo especial, aos meus pais pelo apoio e conselhos que

contriburam para meu progresso.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar agradeo quele que no possui nome, mas conhecido por

vrios nomes,

minha famlia pela pacincia e apoio que me ajudou a chegar a este momento,

ao meu orientador, Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva pela ajuda, apoio e

conselhos que foram fundamentais para realizao deste trabalho,

a todos os professores desta conceituada instituio pelo compartilhamento de

conhecimentos que se mostraram de grande valor e nicos,

a todos os funcionrios da instituio,

s amizades da faculdade

e aos amigos de repblica pelo companheirismo nos bons e maus momentos.

Faa o que tem que fazer e deixe os outros

discutirem se certo ou no.

Bill Watterson

SUZUKI, M. S. Anlise estrutural de trelias espaciais no software Excel

utilizando o mtodo dos elementos finitos. 2012. 124 f. Trabalho de Graduao

(Graduao em Engenharia Mecnica) Faculdade de Engenharia do Campus de

Guaratinguet, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet, 2012.

RESUMO

O presente trabalho tem a finalidade de desenvolver um programa para realizar anlise

estrutural de trelias espaciais. O programa a ser implementado baseado nos

conceitos do mtodo dos elementos finitos e utilizou os recursos de programao do

Visual Basic for Applications (VBA) para o Software Excel. Sendo o Excel um

software de fcil acesso, baixo custo, capacidade de realizar clculos matriciais e com

recursos avanados de programao VBA possvel desenvolver uma soluo

econmica, eficiente e precisa para anlise estrutural de trelias espaciais.

Primeiramente apresentado o mtodo dos elementos finitos e a trelia espacial. Na

sequencia desenvolvido alguns algoritmos importantes para serem usados durante o

desenvolvimento do programa alm do uso de alguns recursos do VBA. E para validar

a qualidade, eficincia e preciso de seus resultados, estes so comparados com o

consagrado software comercial Ansys.

PALAVRAS-CHAVE: Trelia espacial. Simulao Numrica. Mtodo dos

Elementos Finitos. Programao em VBA.

SUZUKI, M. S. Structural analysis of space truss in Excel software using the

finite element method. 2012. 124 f. Monograph (Undergraduate Degree in

Mechanical Engineering) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet,

Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet, 2012.

ABSTRACT

The following paper means to develop a program to make structural analysis of space

trusses. The program to be implemented was based on the concepts of the finite

element method and used the programing resources of Visual Basic for Applications

(VBA) for the Excel Software. Being Excel a software of easy access, low cost,

capacity to make matrix calculations and with advanced resources of VBA

programing, it is possible to develop an economic solution, efficient and precise for

structural analysis of space trusses. Firstly is presented a finite elemento method and

the space truss. Then is developed a few important algorithms to be used during the

development of the program and also the use of a few resources of VBA. And to

validate the quality, efficiency and precision of the results, these are compared with

the established commercial software Ansys.

KEYWORDS: Space Truss. Numeric Simulation. Finite Element Method.

Programming in VBA.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Domnio ..................................................................................................................20

Figura 2 Gerao de Malha ...................................................................................................22

Figura 3 Tronco Cnico.........................................................................................................22

Figura 4 Deslocamento nodal em funo do comprimento x................................................23

Figura 5 Convergncia dos elementos para soluo exata ....................................................24

Figura 6 Tenso em funo do comprimento x .....................................................................24

Figura 7 Matriz ordem mxn...................................................................................................26

Figura 8 Vetor-coluna ordem m ............................................................................................26

Figura 9 Vetor-linha ordem n ................................................................................................26

Figura 10 Matriz Identidade ..................................................................................................27

Figura 11 Matriz Transposta .................................................................................................27

Figura 12 Matriz multiplicada por escalar.............................................................................28

Figura 13 Adio e Subtrao das matrizes...........................................................................28

Figura 14 Multiplicao entre matrizes .................................................................................29

Figura 15 Sistema de equaes..............................................................................................29

Figura 16 Sistema equaes na forma matricial....................................................................29

Figura 17 Soluo por meio de operaes elementares.........................................................32

Figura 18 Obteno de matriz inversa...................................................................................33

Figura 19 Reflexo do ponto (x,y,z) nos trs planos .............................................................35

Figura 20 Reflexo ao eixo X................................................................................................36

Figura 21 Reflexo na Origem ..............................................................................................37

Figura 22 Rotao em torno do eixo Z..................................................................................37

Figura 23 Matriz no Excel .....................................................................................................40

Figura 24 1 Passo para operao com matriz no Excel ........................................................40



Figura 27 Soma no Excel.......................................................................................................41

Figura 28 Escalar no Excel ....................................................................................................41

Figura 29 Multiplicao no Excel..........................................................................................41

Figura 30 Determinante no Excel ..........................................................................................41

Figura 31 Matriz inversa no Excel.........................................................................................41

Figura 32 Transposta no Excel ..............................................................................................41

Figura 33 Elemento mola ......................................................................................................43

Figura 34 Dois elementos mola .............................................................................................44

Figura 35 Diagrama de corpo-livre .......................................................................................45

Figura 36 Elemento barra elstica .........................................................................................47

Figura 37 Tronco cnico do Exemplo 4 ................................................................................51

Figura 38 Planilha para soluo do Exemplo 4 .....................................................................52

Figura 39 Discretizao do tronco cnico do Exemplo 4......................................................53

Figura 40 Planilha usando as equaes (81), (82), (85) e (56) (Exemplo 4).........................54

Figura 41 Matriz de rigidez com condio de contorno aplicada no Excel (Exemplo 4).....55

Figura 42 - Inversa no Excel (Exemplo 4)................................................................................55

Figura 43- Vetor dos carregamentos nodais (Exemplo 4)........................................................56

Figura 44 Deslocamento nodais no Excel (Exemplo 4) ........................................................56

Figura 45 Ps-processamento no Excel (Exemplo 4)............................................................57

Figura 46 Deslocamentos nodais em funo do comprimento x (Exemplo 4)......................58

Figura 47 Tenses em funo do comprimento x (Exemplo 4) ............................................58

Figura 48 (a) Trelia no ideal (b) Trelia ideal....................................................................59

Figura 49 Estrutura no rgida ...............................................................................................60

Figura 50 Estrutura rgida......................................................................................................60

Figura 51 Trelia simples ......................................................................................................60

Figura 52 Trelia rgida com geometria quadriltera ............................................................61

Figura 53 Tipos de Trelia plana...........................................................................................61

Figura 54 Trelia espacial .....................................................................................................62

Figura 55 Trelia espacial, totalmente montada no cho, do Centro de Exposies do

Anhembi dias antes de ser erguida por guindastes ...................................................................62

Figura 56 Vista area do Centro de Exposies do Anhembi ...............................................63

Figura 57 Vista interna do Centro de Exposies do Anhembi ............................................63

Figura 58 Junta esfrica MERO ............................................................................................63

Figura 59 Junta em cruzeta ................................................................................................63

Figura 60 Junta com ponta amassada.................................................................................63

Figura 61 Estrutura no sistema global XYZ..........................................................................64

Figura 62 - Elemento no sistema local xyz...............................................................................64

Figura 63 ngulos diretores de um elemento........................................................................65

Figura 64 Janela de cdigo do Visual Basic..........................................................................69

Figura 65 Barra de ferramentas do Visual Basic...................................................................70

Figura 66 Caixa de ferramentas de controle..........................................................................70

Figura 67 Grava Macros ....................................................................................................71

Figura 68 Janela Gravar Macro .............................................................................................71

Figura 69 Parar Gravao......................................................................................................71

Figura 70 Executar Macro .....................................................................................................71

Figura 71 Janela Executar Macro ..........................................................................................72

Figura 72 - Mdulo...................................................................................................................72

Figura 73 Modo Design.........................................................................................................73

Figura 74 Boto de Comando................................................................................................73

Figura 75 Propriedades..........................................................................................................73

Figura 76 Janela de Propriedades ..........................................................................................74

Figura 77 Editor Visual Basic para o Boto de Comando.....................................................75

Figura 78 Boto de Rotao ..................................................................................................75

Figura 79 Janela de Propriedade do Boto de Rotao .........................................................76

Figura 80 Frmulas das Matrizes de rotao e translao e Zoom .......................................79

Figura 81 Matrizes de rotao e translao e Zoom..............................................................79

Figura 82 Coordenadas do n................................................................................................80

Figura 83 Coordenadas projetadas no plano Z ......................................................................81

Figura 84 Elementos e ns ....................................................................................................81

Figura 85 - Elementos e ns .....................................................................................................81

Figura 86 Coordenadas dos elementos projetados no plano Z ..............................................82

Figura 87 Representao grfica no Excel ............................................................................84

Figura 88 Tela dos dados iniciais ..........................................................................................88

Figura 89 Trelia - Exemplo 5...............................................................................................89

Figura 90 Informaes do Exemplo 5 na planilha do Excel..................................................89

Figura 91 Representao grfica da trelia (Exemplo 5) ......................................................90

Figura 92 Matrizes geradas para soluo do Exemplo 5 .......................................................90

Figura 93 Resultados (Exemplo 5) ........................................................................................91

Figura 94 - Representao grfica da deformao (Exemplo 5) ..............................................92

Figura 95 Deslocamento nodais via Ansys (Exemplo 5) .......................................................92

Figura 96 Foras e Tenses axiais em cada elemento via Ansys (Exemplo 5)......................93

Figura 97 Reaes dos ns via Ansys (Exemplo 5) ...............................................................93

Figura 98 Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 5) .............................93

Figura 99 Trelia espacial (Exemplo 6) ................................................................................94

Figura 100 - Representao grfica da trelia Espacial (Exemplo 6).......................................95

Figura 101 - Representao grfica da deformao (Exemplo 6) ............................................96

Figura 102 - Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 6) ............................96

Figura 103 Trelia espacial (Exemplo 7) ..............................................................................98

Figura 104 - Representao grfica da deformao (Exemplo 7) ..........................................101

Figura 105 - Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 7) ..........................101

Figura 106 Planilha Dados ..................................................................................................105

Figura 107 - Coordenadas ......................................................................................................106

Figura 108 Ns dos Elementos............................................................................................106

Figura 109 Grfico da Trelia .............................................................................................107

Figura 110 Transladar, Rotacionar e Zoom.........................................................................107

Figura 111 Outras informaes ...........................................................................................108

Figura 112 - Soluo .............................................................................................................108

Figura 113 Aba resultado ....................................................................................................109

Figura 114 Grfico de deformao......................................................................................109

Figura 115 Matrizes.............................................................................................................110

Figura 116 Clulas ocultas ..................................................................................................111

Figura 117 Clulas ocultas ..................................................................................................112

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Principais funes do Excel para clculo matricial ...............................................41

Quadro 2 Frmulas Exemplo 4..............................................................................................52

Quadro 3 Frmulas Exemplo 4..............................................................................................54

Quadro 4 Tipos de Variveis (Fonte: Ajuda do Visual Basic) ..............................................76

Quadro 5 Estruturas de Controle ...........................................................................................78

Quadro 6 Reaes Ansys e Planilha (Exemplo 5) .................................................................94

Quadro 7 Deslocamentos nodais Ansys e Planilha (Exemplo 5) ...........................................94

Quadro 8 Foras e tenses axiais Ansys e Planilha (Exemplo 5) ..........................................94

Quadro 9 Dados do Exemplo 6 .............................................................................................95

Quadro 10 - Dados do Exemplo 6 ............................................................................................95

Quadro 11 Resultado do Exemplo 6 reaes nodais .............................................................95

Quadro 12 Resultado do Exemplo 6, deslocamentos nodais.................................................95

Quadro 13 - Resultado do Exemplo 6, fora e tenso axial .....................................................96

Quadro 14 Coordenadas (Exemplo 7) ...................................................................................97

Quadro 15 Elementos (Exemplo 7) .......................................................................................97

Quadro 16 - Resultado do Exemplo 7, reaes nodais .............................................................98

Quadro 17 - Resultado do Exemplo 7, deslocamentos nodais .................................................99

Quadro 18 - Resultado do Exemplo 7, foras e tenses axiais.................................................99

Quadro 19 Clulas Nmero de elementos e Numero de ns...............................................111

Quadro 20 Frmulas colunas G, H e I .................................................................................111

Quadro 21 Frmulas coluna X ............................................................................................112

Quadro 22 Frmulas coluna AA, AB e AC.........................................................................112

Quadro 23 Frmulas coluna AD, AE e AF .........................................................................112

Quadro 24 Frmulas coluna AG, AH e AI..........................................................................112

Quadro 25 Frmulas coluna AJ e AK .................................................................................112

Quadro 26 Frmulas coluna AN e AO ................................................................................112

Quadro 27 Frmulas coluna AP e AQ.................................................................................112

Quadro 28 Frmulas coluna AR e AS.................................................................................113

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CAD - Computer Aided DesignCAE - Computer Aided EngineeringMEF - Mtodo dos Elementos FinitosVBA - Visual Basic for Applications

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................17

2 CONCEITOS TERICOS ELEMENTOS FINITOS..........................................18

2.1 Histrico (SORIANO, 2003)...................................................................................18

2.2 Teoria do Mtodo dos Elementos Finitos................................................................19

2.2.1 Funcionamento do Mtodo de Elementos Finitos................................................20

2.2.2 Comparao entre solues exatas e solues por Elementos Finitos .................21

2.2.3 Procedimentos gerais para anlise por elementos finitos.....................................25

3 LGEBRA MATRICIAL E EXCEL.....................................................................26

3.1 Nomenclaturas Usadas ............................................................................................27

3.2 Operaes com Matrizes .........................................................................................28

3.3 Sistema de Equaes e Matrizes..............................................................................29

3.4 Solues...................................................................................................................30

3.4.1 Obteno de Sistemas Equivalentes atravs de Operaes Elementares .............30

3.4.2 Inverso de matriz ................................................................................................32

3.5 Transformaes Lineares.........................................................................................34

3.5.1 Reflexes ..............................................................................................................35

3.5.2 Rotao .................................................................................................................37

3.5.3 Translao.............................................................................................................38

3.5.4 Projeo ................................................................................................................38

3.5.5 Escala....................................................................................................................39

3.6 Uso do Excel............................................................................................................39

4 MATRIZ DE RIGIDEZ, ELEMENTO TIPO MOLA E BARRA ......................42

4.1 Elemento Mola Linear .............................................................................................42

4.2 Elemento Barra Elstica ..........................................................................................47

4.3 Energia de Deformao e 1 Teorema de Castigliano.............................................49

5 TRELIA..................................................................................................................59

5.1 Trelia Plana ............................................................................................................59

5.1.1 Trelia Simples .....................................................................................................60

5.2 Trelias Espaciais ....................................................................................................61

5.3 Formulao do Elemento finito para problemas de Trelia Espacial......................64

5.3.1 Sistema de Coordenadas Locais e Globais...........................................................64

5.3.2 Matriz Transformada ............................................................................................65

6 VBA NO EXCEL E ALGORITMOS .....................................................................69

6.1 Gravar uma Macro...................................................................................................70

6.2 Caixa de Ferramentas de Controle ..........................................................................73

6.3 Declarando Variveis ..............................................................................................76

6.4 Declarando Arrays ou Matrizes...............................................................................78

6.5 Estruturas de Controle .............................................................................................78

6.6 Algoritmos ...............................................................................................................79

7 RESULTADOS.........................................................................................................88

8 CONCLUSO.........................................................................................................102

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................103

BIBLIOGRFIA .......................................................................................................104

APNDICE A ............................................................................................................105

A.1 Uso da Planilha ....................................................................................................105

A.2 Frmulas da Planilha ...........................................................................................106

A.3 Cdigo Fonte .......................................................................................................113

17

1 INTRODUO

O Mtodo de Elementos Finitos (MEF) um eficiente mtodo numrico de

resoluo de problemas em meios contnuos. Mtodo muito difundido e utilizado para

resoluo de elementos mecnicos, eletromagnticos, fluidos e transferncia de calor.

Porm foi na anlise de elementos mecnicos que este mtodo mais se desenvolveu e

mais difundido.

Modernos softwares de anlise de problemas de engenharia, conhecidos como

CAE (Computer Aided Engineering), usufruem do MEF. Alguns exemplos destes

softwares so o Ansys, Nastran, Abaqus, Cosmos entre outros.

Antes da evoluo da computao os problemas de engenharia eram analisados

em escala reduzida em laboratrios, o que era muito dispendioso. Apesar dos conceitos

da bsae do MEF ter originado em meados de 1930 sua aplicao prtica era invivel,

porque para atingir a preciso necessria os clculos matriciais eram demasiadamente

grandes para serem realizados manualmente. Somente com o advento do computador,

no ps-guerra (dcada de 1950 em diante) que o MEF comeou a ser utilizada e

desenvolvida efetivamente. Atualmente a anlise laboratorial de muitos problemas de

engenharia deixaram de ser necessrios, pois os resultados computacionais utilizando

MEF so to prximos do real que se podem considerar exatos no ramo da engenharia,

isso tem reduzido muito o custo dos projetos.

Este trabalho ir mostrar a aplicao dos conceitos de MEF na anlise de

qualquer estrutura treliada por meio do software Microsoft Excel e recursos de

programao do Visual Basic for Aplication (VBA).

O Excel est presente na maioria dos computadores que utilizam a plataforma

Microsoft Windows, portanto a anlise de problemas de engenharia proposta no

trabalho possui grande portabilidade de um computador para outro. O Excel possui

recursos de calculo matricial, recursos de programao por meio do VBA entre outras

ferramentas que facilita a aplicao do MEF.

Este trabalho est voltado para a anlise de trelias espaciais e tem o intuito de

mostrar recursos do software Excel para anlise do problema fsico usando MEF.

18

2 CONCEITOS TERICOS ELEMENTOS FINITOS

2.1 Histrico (SORIANO, 2003)

A teoria do MEF surgiu em 1955 como evoluo da anlise matricial de modelos

reticulados (concebida no incio da dcada de 1930 na indstria aeronutica britnica),

juntamente com a disponibilidade dos computadores digitais devido a necessidade de

projetar estruturas de modelos contnuos. Foi concebido inicialmente por engenheiros

aeronuticos com a inteno de realizar anlises de distribuio de chapas da asa do

avio. Formulado pioneiramente por Argyris e Kesley em 1955 (republicada em 1960)

e por Turner, Clough, Martin e Topp (1956).

Em 1962 Gallagher, Padlog e Bijlaard foram os primeiros realizar anlise

tridimensional de tenses por MEF, foi quando se considerou tambm o efeito da

temperatura em slidos de forma complexa.

Em 1963 Gallagher e Padlog introduziram o deslocamento de vigas e placas ao

MEF, foi considerado o efeito da no linearidade geomtrica e a determinao de

cargas crticas.

As primeiras formulaes at ento eram feitos por formulao direta, pois partia

de uma abordagem fsica e intuitiva e utilizava os princpios dos deslocamentos. No

tinha critrio que garantisse a convergncia para a soluo exata.

Em 1963 Melosh apresenta o MEF partindo da minimizao da grandeza escalar

funcional da energia potencial total. Em 1965 Veubuke apresentou a formulao do

mtodo partindo de outras funcionais da mecnica dos slidos deformveis. Porm a

base do mtodo j havia sido formulada por Lord Rayleigh em 1870, Walther Ritz em

1909 e por Richard Courant em 1943, percebeu-se ento que o MEF um caso

particular do mtodo de Rauleigh-Ritz. Denominou-se este mtodo como formulao

variacional.

A formulao variacional permitiu a resoluo de diversos problemas em meios

porosos, transferncia de calor e eletrostticos, alm dos de meio continuo.

Em 1967 Zienkiewicz e Cheug publicam o primeiro livro inteiramente dedicado

ao mtodo de elementos finitos.

19

Aps a formulao variacional verifica-se que o mtodo pode ser formulado

diretamente a partir de equaes diferenciais e respectivas condies de contorno de

problema continuo com a aplicao do mtodo de Galerkin que um dos mtodos de

resduos ponderados. Foi denominado formulao de resduos.

Portanto, as equaes algbricas podem ser obtidas atravs de formulaes

diretas, variacional ou residual.

2.2 Teoria do Mtodo dos Elementos Finitos

Ele a base da tecnologia CAE (Computer Aided Engineering) que auxilia no

projeto e anlises de problemas envolvendo estruturas mecnicas (unidimensional,

bidimensional, tridimensional) lineares ou no-lineares, dinmicas ou estticas,

transferncia de calor, eletromagntico, etc. O mtodo uma forma econmica para

obter resultados e anlise desses problemas, pois muitas vezes dispensa a construo

de modelos em escala e realizao de diversos ensaios dispendiosos.

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF), s vezes chamado de Anlise de

Elementos Finitos, segundo Hutton (2004) uma tcnica computacional para obter

solues aproximadas de problemas de valores de contorno, comumente usado na

engenharia. Apesar de obter uma soluo aproximada pode-se considerar exata na

engenharia, graas aos avanos tecnolgicos alcanados. Os problemas de valor de

contorno so equaes diferenciais com uma ou mais variveis dependentes, estas

variveis precisam satisfazer certas restries, as chamadas condies de contorno. Os

problemas de valores de contorno tambm so conhecidas como problemas de varivel

de campo. Variveis de campo so variveis dependentes da equao diferencial. E as

condies de contorno so variveis de campo com valores especficos. Para cada

problema fsico existe um tipo de varivel de campo, alguns exemplos so o

deslocamento, a temperatura, o fluxo de calor entre outros.

20

2.2.1 Funcionamento do Mtodo de Elementos Finitos

Para melhor ilustrar o funcionamento do MEF considere um volume feito de um

material (ou materiais) com propriedades fsicas conhecidas, como mostra a Figura 1

(a). Este volume representa o domnio de um problema de valor de contorno a ser

resolvido. Para simplificar assume-se um caso bidimensional com uma varivel de

campo genericamente representado por yx, que est definida em qualquer ponto

yxP , qualquer que seja equao (ou equaes) que rege o domnio, e capaz de

satisfazer exatamente qualquer ponto. Ou seja, capaz de obter solues exatas para

qualquer que seja o ponto yxP , dentro do domnio. Porm para obter solues em

domnios de geometria complexa demorado e pode ser invivel. Para estes casos o

MEF prope uma poderosa tcnica para obteno de solues aproximadas e junto da

computao digital possvel encontrar solues para problemas de engenharia

complexos com boa preciso.

Figura 1 Domnio (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 2)

Considerando agora um elemento triangular de tamanho finito representando um

subdomnio como mostra Figura 1 (b). A varivel de campo segundo Hutton (2004)

para este subdomnio ser:

332211 ,,,, yxNyxNyxNyx (1)

21

Onde 1 , 2 e 3 sero valores da varivel de campo (incgnitas ou condies de

contorno) para os respectivos ns 1, 2 e 3 e 1N , 2N e 3N so funes de interpolao

para estes ns. O problema foi simplificado e limitado a um pequeno subdomnio

representado por trs ns, a sua soluo mais fcil e rpida de ser encontrada, pois

geometricamente mais simples. Porm simples demais para representar todo o

domnio para isso criado diversos elementos finitos triangulares conforme Figura 1

(c), desse modo aproxima-se mais do domnio original e consequentemente

aproximando da soluo exata.

Os diversos elementos finitos interligados pelos ns garantem a continuidade da

varivel de campo. Hutton (2004) diz que no caso de uma descontinuidade, um gap,

no domnio pode significar uma separao de material em problemas estruturais ou

diferentes temperaturas para um mesmo n no caso da transferncia de calor. A

continuidade das variveis de campo necessria para formulao dos elementos

finitos, e por este motivo que muitos problemas utilizam variveis de campos que no

interessam ao usurio. No caso de problemas estruturais so usados o deslocamento

como varivel de campo para a formulao do elemento finito, porm o interesse

maior est nas deformaes e tenses. A deformao definida em termos da primeira

derivada do deslocamento e a deformao no continua ao longo do domnio. E de

acordo com a intensidade desta descontinuidade possvel verificar a preciso e

convergncia da soluo obtida.

2.2.2 Comparao entre solues exatas e solues por Elementos Finitos

O processo de representao do domnio por elementos finitos conhecido como

gerao de malha (em ingls meshing) e o resultado desta gerao de malhas de

elementos finitos so as malhas de elementos finitos (em ingls finit element mesh).

Geralmente, so usados elementos que no possuem lados curvos o que torna

impossvel gerar uma malha de elementos que cubram todo o domnio conforme a

Figura 2.

22

Figura 2 Gerao de Malha (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 4)

Ao diminuir o tamanho dos elementos e consequentemente aumentando sua

quantidade essa nova representao ser capaz de abranger melhor o domnio.

Intuitivamente est sendo feito um refinamento (incremento) da malha de elemento

finito e por consequncia convergindo a soluo para a soluo exata.

Para exemplificar tal caracterstica considere um tronco cnico slido engastado

em uma extremidade e sujeita a um carregamento na outra extremidade conforme

mostra a Figura 3.

Figura 3 Tronco Cnico (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 5)

Foi considera como elementos finitos barras cilndricas de comprimentos iguais

variando somente as reas conforme mostra Figura 3 (b). A seguir esto alguns

grficos mostrando o comportamento do sistema para a soluo exata e para diferentes

quantidades de elementos finitos empregados.

Para obteno da soluo exata necessrio realizar integrao do raio ao longo

do comprimento para encontrar o deslocamento. Obviamente para este problema a

soluo no to complexa, mas para problemas com geometria mais detalhada a

23

soluo exata invivel. Os grficos a seguir ilustraro a eficincia e preciso do

MEF.

A Figura 4 mostra o deslocamento real do tronco e dos elementos finitos ao

longo do comprimento. Note que quanto maior o nmero de elementos finitos maiores

a convergncia para a curva da soluo exata isso pode ser melhor visto na Figura 5.

Na Figura 6 possvel perceber a descontinuidade existente no MEF para este

problema, a tenso no continua como o deslocamento.

Variao de Delta

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2x

Del

ta

Delta RealDelta (MEF) para 1 elementosDelta (MEF) para 2 elementosDelta (MEF) para 5 elementosDelta (MEF) para 20 elementos

Figura 4 Deslocamento nodal em funo do comprimento x

24

Convergncia do Delta

0,0040

0,0079

0,0143

0,0178

0,01890,0193

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 5 10 15 20

N de Elementos

Del

ta (x

=L)

Soluo ExataDeltas

Figura 5 Convergncia dos elementos para soluo exata

Tenso

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5x

Tens

o

Tenso (MEF) para 1 elementoTenso (MEF) para 2 elementoTenso (MEF) para 5 elementoTenso (MEF) para 20 elemento

Figura 6 Tenso em funo do comprimento x

O refinamento para este problema poderia ser feito com mais de 20 elementos,

porm necessrio o usurio compreender as necessidades exigidas para cada projeto

e depender tambm da experincia e conhecimento terico de cada engenheiro.

Lembrando que quanto maior o refinamento maior ser o uso de capacidade e tempo

25

computacional alm do custo maior com mo-de-obra e dependendo do projeto

analisado esse refinamento no se faz necessrio vai depender do engenheiro saber a

prioridade.

2.2.3 Procedimentos gerais para anlise por elementos finitos

As etapas descritas a seguir, de acordo com Moaveni (2003) e Hutton (2004), so

seguidas para o uso do MEF, mesmo os softwares comerciais seguem tais passos

apesar de s vezes no estarem to evidentes. As etapas so:

Fase de Pr-Processamento descreve e define o problema, nesta fase inclui:

1) Criar e discretizar o domnio em elementos finitos, ou seja, dividir o problema

em ns e elementos, conhecido tambm como gerao de malhas;

2) Usar uma funo que descreva o fenmeno fsico do comportamento de um

elemento;

3) Desenvolver equaes para o elemento;

4) Montar a matriz global de rigidez;

5) Aplicar as condies de contorno, condies iniciais e carregamentos;

6) Definir propriedades dos elementos;

Citando uma mxima da computao, garbage in, garbage out em portugus

entra lixo, sai lixo. Esta fase a mais importante, se o problema for definido errado

no esperada uma soluo correta.

Fase de Soluo

7) Achar a soluo das equaes lineares ou no-lineares desse modo obtendo os

resultados nodais, como tambm os valores de deslocamento nos diferentes ns (no

caso de problemas estruturais) ou as diferentes temperaturas nos ns (no caso de

problemas de transferncia de calor).

Ps-processamento

8) Obter outras informaes, como tenses principais, fluxo de calor, modelos

dinmicos animados, modelos coloridos, etc.

Caber ao engenheiro dizer se a soluo est satisfatria e condizente com a

teoria j conhecida.

26

3 LGEBRA MATRICIAL E EXCEL

Antes de dar continuidade ao desenvolvimento do mtodo faz-se necessrio a

apresentao de conceitos bsicos de calculo matricial, e como este trabalho prope o

uso do Excel com o MEF, ser explicado, quando possvel, o uso de matriz no

Excel.

O uso de matriz muito comum no meio computacional para resolver sistemas

de equaes lineares e realizar transformaes lineares. A matriz uma tabela

bidimensional de ordem m x n (m linhas e n colunas) e no caso unidimensional so

chamados de vetor. Tanto a matriz quanto o vetor esto dentro de uma categoria

chamada array na programao de computadores.

Os array mantm elementos de dados de mesmo tipo, pode assumir dimenses

maiores que a matriz (bidimensional), cada elemento possui uma posio dentro do

array, e para acessar determinado elemento necessrio conhecer sua posio

identificada por ndices no caso das matrizes e vetores elas so representadas da

seguinte forma:

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...

.....

21

22221

11211

Figura 7 Matriz ordem mxn

mv

vv

V 21

Figura 8 Vetor-coluna ordem m

nvvvV 21Figura 9 Vetor-linha ordem n

Por convenincia as matrizes sero representadas por colchetes [] e os vetores {}

por chaves. Por meio dos ndices conhece-se a posio de cada elemento no caso do

elemento na primeira linha e segunda coluna da matriz da Figura 7 o elemento a12representado pelos ndices 1 e 2.

27

3.1 Nomenclaturas Usadas

Matriz quadrada so as matrizes de ordem n x n.

Diagonal principal da matriz so todos os elementos aij da matriz quadrada onde

i=j.

Diagonal secundria da matriz so todos os elementos aij da matriz quadrada de

ordem n onde i+j=n+1.

Matriz identidade In so matrizes quadradas de ordem n x n com a diagonal

principal formada por elementos iguais a 1 e os outros elementos igual a 0, conforme

mostra a Figura 10.

1...00

0..100...01

nI

Figura 10 Matriz Identidade

A matriz identidade quando multiplicada por outra matriz de ordem compatvel

no altera a matriz, por exemplo, MIn=M=ImM sendo a matriz M de ordem m x n.

Matriz inversa, a matriz A-1 dita inversa de A quando o produto entre as

matrizes resulta na matriz identidade (AA-1=I).

Sendo A matriz de ordem m x n com elementos aij a transposta At ser de ordem

n x m e elementos aji, ou seja, os elementos da linha de A so as colunas de At e as

colunas de A so as linhas de At, conforme mostra Figura 11.

nmnn

m

m

ttransposta

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

aaa

aaaaaa

A

...

.....

...

.....

21

22212

12111

21

22221

11211

Figura 11 Matriz Transposta

Note que a diagonal principal, quando a matriz for quadrada, permanece

inalterada.

Matriz simtrica ocorre quando A=At, portanto s ocorre em matrizes quadrada.

28

3.2 Operaes com Matrizes

Multiplicao por escalar possvel efetuar uma multiplicao de uma matriz

por um nmero escalar real qualquer, para isso basta multiplicar todos os elementos da

matriz pelo nmero. A diviso pode ser feita multiplicando o inverso do nmero

escalar aos elementos da matriz. Porm nunca se deve dividir um nmero escalar por

uma matriz. Veja a Figura 12.

mnmm

n

n

mnmm

n

n

kakaka

kakakakakaka

aaa

aaaaaa

kkA

...

.....

...

.....

21

22221

11211

21

22221

11211

Figura 12 Matriz multiplicada por escalar

Adio e subtrao entre matrizes so feitas somente entre matrizes de mesma

ordem, considere A e B, ambas as matrizes, de ordem m x n somando (ou subtraindo)

os elementos de mesma posio. Ou seja, AB=C onde os elementos cij=aijbij. Veja o

resultado na Figura 13.

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

babababababa

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

BA

...

.....

...

.....

...

.....

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

Figura 13 Adio e Subtrao das matrizes

Multiplicao entre matrizes s pode ser feita se, e somente se, a matriz A de

ordem m x p multiplicar uma matriz B de ordem p x n, a matriz resultante desta

operao ser a matriz C de ordem m x n onde os elementos cij so dados pela equao

(2):

pjipjijiij bababac ...2211 (2)

O resultado ser conforme Figura 14.

29

pnpp

n

n

mpmm

p

p

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

AB

...

.....

...

.....

21

22221

11211

21

22221

11211

pnmpnmnmpmpmmpmpmm

pnpnnpppp

pnpnnpppp

bababababababababa

babababababababababababababababababa

............

...........

............

221122221211212111

222212122222212211221221121

121211121221212111121121111

Figura 14 Multiplicao entre matrizes

3.3 Sistema de Equaes e Matrizes

Os sistemas de equaes so facilmente representados na forma matricial, e

consequentemente podem ser manuseadas e resolvidas no computador.

Considere um sistema de equaes genrica representada na Figura 15:

mnmnmm

nn

nn

cxaxaxa

cxaxaxacxaxaxa

...

......

2211

22222121

11212111

Figura 15 Sistema de equaes

Para representar na forma de matriz o sistema de equaes acima, uma matriz

representar os coeficientes das equaes mantendo sua posio na linha e na coluna

correspondente, essa matriz ir multiplicar a matriz coluna (ou vetor) com as variveis,

essa multiplicao ser igual matriz coluna contendo os termos independentes. A

aparncia final do sistema de equaes da Figura 15 na forma de matriz ser conforme

Figura 16.

mnmnmm

n

n

c

cc

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

.....

Figura 16 Sistema equaes na forma matricial

30

Um dos pr-requisitos para que um sistema de equaes lnear tenha uma nica

soluo a quantidade de incgnitas ser igual quantidade de equaes, portanto as

matrizes geralmente sero quadradas e tero ordem m x n com m=n.

3.4 Solues

De acordo com a Figura 16 possvel obter a soluo do sistema de equaes

linear simplesmente encontrando a inversa da matriz e multiplicando ao vetor com

termos independentes.

Aqui ser apresentado um mtodo para obteno da soluo do sistema de

equaes matricial.

3.4.1 Obteno de Sistemas Equivalentes atravs de Operaes Elementares

Dois sistemas so ditos equivalentes se um sistema de equaes possui a mesma

soluo do outro. E possvel obter sistemas equivalentes realizando as seguintes

operaes elementares:

I Permuta entre duas equaes.

II Multiplicao de uma equao por um nmero real diferente de zero.

III Substituio de uma equao previamente multiplicada por nmero real

diferente de zero e somada outra equao.

E por meio do uso sucessivo e finito dessas operaes elementares possvel

chegar soluo do sistema.

Exemplo 1

Veja a seguir um exemplo do procedimento.

Todas as operaes so descritas indicando a linha que est sofrendo alterao e

a operao que esta sendo feita. Abaixo cada linha est sendo multiplicada por um

nmero para que todos os coeficientes de x sejam iguais a 1.

31

21

41

21

3

2

1

24482

16224

10642

L

L

L

zyx

zyx

zyx

No caso de permuta entre linhas o procedimento conforme mostrado abaixo. A

linha 2 e 3 sero trocadas entre si.

23

1224

422

532L

zyx

zyx

zyx

Substituio de equaes somada com outra equao mostrada abaixo.

133

122

422

1224

532

LLL

LLL

zyx

zyx

zyx

32

21

3

2

12

72

30

720

532

L

L

zyx

zyx

zyx

233

32

370

27

20

532

LLLzyx

zyx

zyx

176

3

617

61700

27

20

532

Lzyx

zyx

zyx

Note que abaixo da diagonal principal formaram-se zeros, at este ponto o

processo conhecida como Eliminao de Gauss.

Agora ser realizado substituies por equaes somadas com outra equao

previamente multiplicada por um valor real, diferente de zero, para obter zeros acima

da diagonal principal.

10027

20

532

21

3

322

311

zyx

zyx

zyxLLL

LLL

100300802 211 2

zyxzyxzyx LLL

100300200

zyxzyxzyx

32

Note que o procedimento a ser seguido zerar as variveis abaixo da diagonal

principal e depois zerar as variveis acima da diagonal principal, o resultado ser a

matriz identidade.

132

100010001

zyx

Portanto a soluo do sistema o sistema equivalente representado pela matriz

identidade que obtida por meio do uso finito de operaes elementares. Para facilitar

a visualizao geralmente o sistema de equaes representado usando uma matriz

com os coeficientes e os termos independentes separadas por um trao vertical

conforme a figura a seguir.

m

selementareoperaes

mmnmm

n

n

s

ss

c

cc

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

1...00

0..100...01

...

.....

Figura 17 Soluo por meio de operaes elementares

3.4.2 Inverso de matriz

Outra forma de obter a soluo do sistema de equaes pode ser atravs da

inversa da matriz, como mostrado na sequncia abaixo.

CXA (3)

CAXAA 11 (4)

CAXI 1 (5)

Da mesma forma que uma sequncia finita de operaes elementares pode

transformar uma matriz na matriz identidade, a matriz identidade pode ser

transformada na matriz inversa usando essa mesma sequncia de operaes. Para

facilitar visualmente o processo a matriz identidade colocada do lado da matriz a ser

invertida separada por um trao vertical. Conforme mostra Figura 18.

33

1AIIA selementareoperaes

Figura 18 Obteno de matriz inversa

Exemplo 2

Para exemplificar ser usada a matriz do sistema do Exemplo 1.

244821622410642

zyxzyxzyx

21

3

41

2

21

1

100010001

482224642

L

L

L

23

21

41

21

21

21

000000

2411

321L

133

122

0000

00

1241321

41

21

21

21

21 LLL

LLL

32

3

21

2

00

00

0120321

41

21

21

21

21

27

23 L

L

23300

00

1010

321

61

31

41

41

21

37

21

LLL 17634

16

112

7

41

41

21

617

21 0

00

0010

321

L

321

22

311 3

343

171

347

41

41

21

21 0

00

10010

321LLL

LLL 211 2

343

171

347

347

341

345

349

173

344

100010021 LLL

343

171

347

347

341

345

345

348

346

100010001

Para comprovar que esta a matriz inversa, situado no lado direito do trao

vertical, basta multiplic-la pela matriz dos coeficientes. O resultado ser a matriz

identidade.

100010001

482224642

343

171

347

347

341

345

345

348

346

A soluo do sistema pode ser obtida usando a equao (5).

132

241610

343

171

347

347

341

345

345

348

346

zyx

Existem casos em que a matriz no possui inversa, ou seja, o sistema no possui

uma nica soluo ou simplesmente no possui soluo. O sistema linear pode receber

as seguintes classificaes quanto soluo:

34

Para o caso do sistema linear compatvel determinado existir uma nica soluo,

a matriz com os coeficientes ser inversvel. E a soluo na forma matricial tem a

seguinte aparncia:

132

100010001

zyx

Para o sistema linear compatvel indeterminado existir mais de uma soluo,

geralmente infinitas. Costuma ter menos equaes que o nmero de variveis, portanto

no possui inversa. O resultado aps a sequncia de operaes elementares ter a

seguinte aparncia:

032

000010001

zyx

Para o sistema linear incompatvel no existir soluo, portanto no ter inversa.

Geralmente possui igualdades incoerentes. O resultado aps a sequencia de operaes

elementares ter a seguinte aparncia:

132

000010001

zyx

3.5 Transformaes Lineares

As transformaes lineares so funes que trabalham com espaos vetoriais, ou

seja, so funes vetoriais. Seu uso muito comum em softwares que trabalham com

grficos vetorizados como softwares CAD e jogos.

Sejam V e W espaos vetoriais,

uma transformao linear se as seguintes propriedades ocorrerem:

I T(u+v)=T(u)+T(v)

Sistema Linear-Compatvel(possui soluo)

-Incompatvel

-Determinado (possui uma soluo)-Indeterminado (possui mais de uma soluo)

35

II T(ku)=kT(u)

para Vvu, e Rk .

Na computao o uso das transformaes lineares se d atravs da forma

matricial. A seguir algumas transformaes mais utilizadas.

3.5.1 Reflexes

3.5.1.1 Reflexo em relao aos planos coordenados

Figura 19 Reflexo do ponto (x,y,z) nos trs planos

A equao (6) refere-se a reflexo ao plano XOY, equao (7) ao plano XOZ e

equao (8) ao plano YOZ.

zyx

100010001

(6)

zyx

100010001

(7)

zyx

100010001

(8)

36

3.5.1.2 Reflexo em relao aos eixos coordenados

Figura 20 Reflexo ao eixo X

zyx

100010001

(9)

zyx

100010001

(10)

zyx

100010001

(11)

37

3.5.1.3 Reflexo na origem

Figura 21 Reflexo na Origem

zyx

100010001

(12)

3.5.2 Rotao

Figura 22 Rotao em torno do eixo Z

As equaes (13), (14) e (15) representam rotao em torno do eixo z, y e x

respectivamente.

38

zyx

sensen

zz

zz

1000cos0cos

(13)

zyx

sen

sen

xx

xx

cos0010

0cos(14)

zyx

sensen

yy

yy

cos0cos0

001(15)

3.5.3 Translao

A translao feita conforme equao (16), necessrio aumentar uma linha no

vetor das coordenadas x, y e z devido ao tamanho da matriz transformao.

11000100010001

zyx

vvv

z

y

x

(16)

Os vx, vy e vz sero os valores somados s respectivas coordenadas.

Uma forma alternativa para translao :

zyx vvv

zyx100010001

1 (17)

3.5.4 Projeo

Esta transformao mais utilizada para que elementos tridimensionais sejam

exibidos no monitor, plotter, etc. A matriz transformao abaixo representa a projeo

39

no plano z=0. Para projetar em outros planos basta usar a matriz identidade e substituir

o valor 1 por zero no respectivo plano a ser projetado.

zyx

000010001

(18)

A equao (18) representa uma projeo paralela ortogonal. As linhas da vista da

projeo so paralelas entre si e perpendicular ao plano de projeo.

Existem duas formas de projeo as paralelas e em perspectivas. Dentro dessas

categorias existem subcategorias. Somente citando alguns tipos existem a isomtrica,

bi-mtrica e tri-mtrica essas esto na categoria projees paralelas, as projees

perspectivas as linhas da projeo convergem para um ponto, conhecido como ponto

de fuga.

3.5.5 Escala

Transformaes usando escalas so usadas para reduo e aumento de objetos.

zyx

vv

v

z

y

x

000000

(19)

Outra forma de usar a escala multiplicar o vetor por um valor escalar.

3.6 Uso do Excel

Neste tpico ser apresentado o uso do Excel para realizar clculos matriciais.

Cada linha e coluna das clulas do Excel podem ser consideradas linhas e colunas

de uma matriz. A Figura 23 mostra valores destacados no quadro vermelho e pode ser

considerada uma matriz de ordem 3x3. Esses valores so os mesmo usados nos

Exemplo 1e Exemplo 2.

40

Figura 23 Matriz no Excel

Sero mostradas algumas operaes que pode ser feita com matrizes.

De forma geral as operaes com matrizes no Excel seguem os seguintes passos:

1 Passo: Selecionar clulas vazias com a quantidade de linha e colunas da

matriz resultante, conforme Figura 24.

Figura 24 1 Passo para operao com matriz no Excel

2 Passo: Digitar na barra de formulas a frmula.


3 Passo: Segurar os botes Ctrl+Shift e depois aperte Enter.


Note a presena de chaves em torno da frmula, na barra de formula, essa a

representao de matriz no Excel. Qualquer modificao na frmula dessa nova matriz

preciso selecionar todas as clulas envolvidas.

O quadro abaixo mostrar algumas operaes que pode ser feitas no Excel em

portugus.

41

Quadro 1 Principais funes do Excel para clculo matricialOperao Barra de Formula ExemploSoma =Clulas1+Clulas2

Figura 27 Soma no ExcelProduto

Escalar

=Escalar*Clulas

Figura 28 Escalar no ExcelProduto

Matricial

=MATRIZ.MULT(Clulas1;Clulas2)

Figura 29 Multiplicao no ExcelDeterminante =MATRIZ.DETERM(Clulas)

Figura 30 Determinante no ExcelMatriz

Inversa

=MATRIZ.INVERSO(Clulas)

Figura 31 Matriz inversa no ExcelTransposta =TRANSPOR(Clulas)

Figura 32 Transposta no Excel

O determinante o nico caso de operao com matriz que no necessita seguir

os passos anteriores.

42

4 MATRIZ DE RIGIDEZ, ELEMENTO TIPO MOLA E BARRA

O calculo matricial a forma pela qual o MEF trabalha. E por essa razo foi

adotado e popularizou-se no meio computacional. A matriz de rigidez a matriz de

maior importncia dentro do mtodo. nela que esto embutidas as principais

informaes para a soluo do problema, como tipo de elemento finito usado,

geometria, propriedade dos materiais, conexo entre os elementos, ou seja, a matriz de

rigidez traduz o comportamento do sistema. Conforme o estimulo externo atuante

sobre o sistema a ser analisado, a matriz de rigidez mostrar como o sistema reagir.

Os estmulos externos so diversos, para cada tipo de problema pode ser empregado

um ou mais tipo, alguns exemplos so: carregamento, fora, fluxo de calor, etc.

O uso do termo rigidez bem apropriado, pois a matriz mostrar tambm o

quanto difcil ou fcil tirar o sistema de seu estado inicial, de forma paralela pode-se

comparar a matriz de rigidez ao mdulo de rigidez da mola, quanto maior seu valor

mais difcil para comprimi-la ou tracion-la e quanto menor o valor mais fcil para

deform-la.

O uso da mola nestas analogias no uma coincidncia, ela utilizada como

forma comparativa nos estudos mais bsicos de MEF e Resistncia dos Materiais.

4.1 Elemento Mola Linear

Este o elemento mais simples e comumente usado para introduzir no estudo do

MEF.

A mola linear como um mero dispositivo mecnico capaz de suportar esforos

axiais somente, e sua deformao, quando submetido a trao ou compresso,

diretamente proporcional a fora aplicada, representada pela equao (20).

kF (20)

onde F a fora, k a constante de proporcionalidade conhecida como constante de

43

Figura 33 Elemento mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 20)

A formulao do elemento mola feito de por meio direto, sem necessidade de

demonstrao matemticas ou clculos complexos.

Os elementos conectam-se pelos ns i e j estes podem sofrer deslocamento ui e ujcausadas pelas foras fi e fj respectivamente. Por convenincia arbitrado a direo do

eixo coordenado x coincidente com a deformao axial do elemento. Por enquanto

ser tratado somente o sistema de coordenadas unidimensional.

As equaes a seguir descrevem o comportamento do sistema:

ij uu (21)

Substituindo (21) em (20):

)( ij uukkf (22)

Para o equilbrio jiji ffff 0 reescrevendo a equao (22) para termos

das foras em cada n:

)( iji uukf (23)

)( ijj uukf (24)

As equaes (23) e (24) forma um sistema de equaes que escritas na forma

matricial ser:

j

i

j

i

ff

uu

kkkk

(25)

De forma simplificada ser expressa como:

fuke (26)

Onde,

kkkk

ke(27)

44

Onde [ke] representa a matriz de rigidez do sistema, {u} o vetor com os

deslocamentos nodais e {f} o vetor com as foras nodais do elemento.

A matriz de rigidez (27) de ordem 2x2 significa que o elemento possui 2

deslocamentos nodais ou 2 graus de liberdade.

Um sistema ou elemento que possui N graus de liberdade corresponder a uma

matriz de rigidez quadrada de ordem NxN.

Esta foi a representao de um nico elemento e para o casos em que feita a

representao de um elemento isoladamente do resto do sistema so usados os termos

sistema local ou do elemento. Por exemplo, [ke] a matriz de rigidez do elemento

ou matriz de rigidez do sistema local, isso ocorre tambm com o sistema de

coordenadas existir um sistema de coordenadas local para cada elemento.

A soluo do problema reduz-se a um simples calculo matricial do tipo:

fku e1 (28)

O elemento mola formulada isoladamente no possui soluo, seria necessrio a

restrio do seu movimento em um dos ns ou conectado a outro elemento de um

sistema maior. Ao tentar resolver este sistema matricial ser encontrado um sistema

linear compatvel indeterminado. E como necessria uma soluo em especfico

necessrio restringir o movimento em um ou mais ns. E essas restries so as

chamadas condies de contorno.

At o momento foi analisado o elemento individualmente do sistema global.

Porm para encontrar a soluo do sistema global necessrio relacionar elemento a

outro, para isso necessrio montar o sistema de equaes matricial global que ser

chamado de sistema global.

Para mostrar o desenvolvimento da soluo ser mostrado no exemplo a seguir:

Exemplo 3

Considere um sistema formado por duas molas, definido conforme a Figura 34:

Figura 34 Dois elementos mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 23)

45

O sistema possui 3 ns (portanto 3 deslocamentos ou 3 graus de liberdade), os 2

elementos mola esto conectadas por um dos ns.

Analisando cada elemento individualmente encontra-se o seguinte diagrama de

corpo-livre.

Figura 35 Diagrama de corpo-livre (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 24)

Considerando o diagrama de corpo-livre individualmente de cada elemento em

equilbrio expressa-se a condio de equilbrio para cada mola usando a equao (25).

)1(2

)1(1

)1(2

)1(1

11

11

ff

uu

kkkk

(29)

)2(3

)2(2

)2(3

)2(2

22

22

ff

uu

kkkk

(30)

possvel notar algumas relaes entre o sistema global com os sistemas locais

acima, que so:

1)1(

1 Uu (31)

2)2(

2)1(

2 Uuu (32)

3)2(

3 Uu (33)O sistema global possui a matriz de rigidez global da ordem 3x3, j que possui 3

ns e portanto 3 graus de liberdade. Desse modo necessrio tornar a matriz de rigidez

do sistema local para o tamanho compatvel (3x3). Para isso adiciona-se 0 (zeros) nas

respectivas linha e colunas das matrizes locais no qual falta a representao da varivel

deslocamento. O sistema deste exemplo ficar do seguinte modo:

000000

)1(2

)1(1

3

2

1

11

11

ff

UUU

kkkk

(34)

)2(3

)2(2

3

2

1

22

22

0

00

000

ff

UUU

kkkk (35)

Fazendo a soma de (34) e (35) encontra-se:

46

)2(3

)2(2

)1(2

)1(1

3

2

1

22

2211

11

0

0

fff

f

UUU

kkkkkk

kk

(36)

Pelo diagrama de corpo-livre possvel saber:

1)1(

1 Ff (37)

2)2(

2)1(

2 Fff (38)

3)2(

3 Ff (39)Fazendo as devidas substituies de (37), (38)e (39) em (36) encontra-se o

seguinte sistema global:

3

2

1

3

2

1

22

2211

11

0

0

FFF

UUU

kkkkkk

kk(40)

A maneira simplificada de representar o sistema :

}{}]{[ FUK (41)

Note que foram usadas letras minsculas nos elementos do sistema locais e

maisculas para o sistema global, alm de numeraes para diferenciar ns dos

elementos mola.

Para encontrar a soluo do sistema falta aplicar a condio de contorno.

Considere que o n 1 est engastado, portanto no sofrer deslocamento. Para aplicar a

condio de contorno basta eliminar as linhas e colunas da matriz e dos vetores na

posio correspondente ao n restringido, neste caso o as linhas 1 da matriz de rigidez

e vetores e coluna 1 da matriz de rigidez. O sistema matricial ficar:

3

2

3

2

22

221

FF

UU

kkkkk

(42)

Agora basta inverter a matriz de rigidez e multiplicar pelo vetor das foras.

3

2

21

21

1

11

3

2

1

11

FF

kkkk

k

kkUU

(43)

47

4.2 Elemento Barra Elstica

O elemento barra elstica ou simplesmente barra tambm conhecida como Spar,

Link ou Truss (trelia) muito similar a mola, porm possui uma formulao mais

geral, tambm possui mais aplicaes, como estruturas treliadas, prticos

bidimensionais e tridimensionais. Suporta somente esforos axiais como o elemento

mola.

Para fazer a formulao deste elemento finito necessrio realizar algumas

consideraes:

- a barra reta

- o material obedece a lei de Hooke

- as foras aplicadas ocorrem somente nas suas extremidades

- sofre somente esforos axiais. Toro, momento e flexo no so transmitidos

ao longo dos elementos devido suas conexes. Para isso ocorrer consideram-se os

elementos conectados por pinos ou juntas esfricas, permitindo a rotao dos

elementos em torno do n.

A formulao a seguir apresentada por Hutton (2004, p. 32).

A Figura 36 representa uma barra de comprimento L, o deslocamento axial

coincidente a coordenada x. Os ns 1 e 2 localizados nas extremidades e o

deslocamento ao longo da barra descrito por uma funo u(x), o n 1 est engastado

e no sofre deslocamento. A funo nos ns 1 e 2 satisfaz ui(x=0)=0 e uj(x=L)=1. Esta

uma funo continua u(x) que pode ser expressa em termos de ui e uj e considerando a

existncia das funes de interpolao Ni(x) e Nj(x) encontra-se a funo (44).

jjii uxNuxNxu )()( (44)

Figura 36 Elemento barra elstica (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 32)

48

Para encontrar as funes de interpolao sero usados os seguintes valores de

contorno:

iuxu )0( juLxu )( (45)Usando as equaes (44) e (45) encontra-se os seguintes condies de contorno

que precisam satisfazer as funes de interpolao.

1)0(iN 0)0(jN (46)0)(LNi 1)(LN j (47)

Por se tratar de um elemento com 2 graus de liberdade pode-se usar um

polinmio linear para descrever cada funo de interpolao:

xaaxNi 10)( (48)xbbxN j 10)( (49)

Aplicando as condies (46) e (47) nas funes (48) e (49) encontra-se:

LxxNi 1)( (50)

LxxN j )( (51)

A funo u(x) reescrita ficar:

ji uLxu

Lxxu 1)( (52)

Na forma matricial:

j

iji u

uxNxNxu )()()( (53)

A partir dos conceitos de resistncia dos materiais, uma barra de seco A,

cumprimento L e sofrendo um carregamento P

dado por:

dxAEFd

L

0

(54)

Considerando o elemento com seco constante o ser:

AEFL

(55)

Onde E o modulo de elasticidade do material. A constante de rigidez da mola

equivalente ser:

LAE

Fk (56)

49

Geralmente usado a deformao do material nos clculos da resistncia do

material, como a formulao trabalha com deslocamento necessrio relacionar a

deformao com o deslocamento. Considerando a barra elstica com uma deformao

uniaxial sabe-se que:

dxdu

x (57)

Aplicando (52) em (57):

Luu ij

x (58)

A tenso axial, pela lei de Hooke, dada por:

Luu

EE ijxx (59)

A fora axial :

ijx uuLAEAF (60)

Considerando as foras nodais fi e fj em equilbrio fi+fj=0, atravs de (60) tem-se:

iji uuLAEf (61)

ijj uuLAEf (62)

Expressando o sistema formado por (61) e (62) na forma matricial:

j

i

j

i

ff

uu

LAE

1111

(63)

A matriz de rigidez dada por:

1111

LAEke (64)

4.3 Energia de Deformao e 1 Teorema de Castigliano

A formulao a seguir apresentada por Hutton (2004, p. 38).

Outra forma de se obter a formulao de que envolve deslocamento dos ns

atravs do uso da Energia de Deformao combinado com o 1 Teorema de

Castigliano. O trabalho mecnico de deformao W de um ponto 1 ao ponto 2 dado

por:

50

rdFW2

1

(65)

onde:

kdzjdyidxrd (66)Reescrevendo (66):

kdzFjdyFidxFWz

zz

y

yy

x

xx

2

1

2

1

2

1

(67)

Considerando um elemento s com deformao uniaxial, F=k o trabalho

mecnico para uma nica direo dado por:

dkW0

(68)

2

21 kW (69)

Aplicando (56) em (69):

2

21

LAEW (70)

Aplicando (55) em (69):2

21

AEFL

LAEW (71)

2

21

AEFL

LAEW (72)

VW21

(73)

Onde V o volume deformado da barra e 21 a energia de deformao por

unidade de volume ue. A energia de deformao por unidade de volume dada por:

due0

(74)

A energia de deformao U dada por:n

iiWU

1(75)

No caso uniaxial com uma nica carga sendo aplicada:

VWU21

(76)

O 1 Teorema de Castigliano afirma que a derivada parcial da energia de

deformao em relao ao deslocamento do n i igual a fora aplicado neste n:

51

ii

Uf (77)

Combinando as equaes (58), (59) e (74):

222

2 222

121

21

ijijij

xxx uuuuLAEAL

Luu

EALEVU (78)

Aplicando o 1 Teorema de Castigliano em relao a cada n:

ijii

uuL

AEfU (79)

ijjj

uuL

AEfU (80)

Note que as equaes (79) e (80) so iguais a (61) e (62).

O Exemplo 4 mostra a utilizao dos conceitos do elemento barra e os

procedimentos utilizados em MEF atravs do Excel.

Exemplo 4

Ser usado um tronco cilndrico cnico, as informaes j foram usadas

anteriormente no tpico 2.2.2, veja a Figura 37.

Figura 37 Tronco cnico do Exemplo 4 (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 36)

O raio ao longo do cone dado por:

LrrLxrxr 00 (81)

A rea A(x) ao longo de x ser:2

002

LrrLxrxrxA (82)

52

Atravs da equao (54) o deslocamento devido fora F dado por:11

2

00

i

i

i

i

x

xL

x

x rrLxr

dxEFdx

ExAF

(83)

)(1

)(1

)( 000100

2

rrxLrrrxLrrrEFL

LiLiL

(84)

Usando o Excel e as equaes (84) e (59) para obter a o deslocamento e tenso ao

longo do comprimento ser obtido o resultado da Figura 38. Est a soluo exata do

problema.

Figura 38 Planilha para soluo do Exemplo 4

As clulas marcadas em amarelo podem ser modificadas, facilitando a avaliao

de troncos cnicos cilndricos de dimenses e propriedades diferentes por meio

iterativo.

Para facilita a reproduo da planilha abaixo no Quadro 2 esto descrito as

frmulas mais relevantes. Os termos em destaque em negrito sero os nicos valores a

mudarem em cada clula.Quadro 2 Frmulas Exemplo 4Clulas FrmulasA9 =$B$4/20+A8B9 =$E$2*$B$4^2/(PI()*$E$3*$H$4)*(1/($H$3-A9*$H$4)-1/($H$3-$A$8*$H$4))C9 =B9*$E$3/$B$4

Para o uso de MEF as seguintes etapas foram executadas:

53

Pr-processamento

Discretizar o domnio da soluo em elementos finitos (gerao de malha), a

barra ser discretizada em ns e elementos conforme Figura 39. A exatido do

problema ser dada pela quantidade de ns e elementos adotados. Est sendo

assumindo 20 elementos de comprimentos iguais e 21 ns, as reas mdias estipuladas

so dadas por:

21 ii

iAAA (85)

Figura 39 Discretizao do tronco cnico do Exemplo 4 (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 36)

Usar o elemento mais apropriado para descrever o comportamento do sistema,

neste caso ser o elemento do tipo barra elstica j formulada anteriormente, descrita

pelo sistema matricial (63).

Montar a matriz rigidez global:

2121

212120

544

4433

3322

2211

11

0000000000

0000000000000000000000

kkkkk

kkkkkkk

kkkkkkkk

kk

Keq (86)

54

Para obter a soluo ser aplicada a condio de contorno. Como a barra est

engastada, portanto u1=0 tambm informado que na outra extremidade da barra

possui um carregamento F. Ento o sistema de equaes lineares fica:

Fuu

uuuu

kkkkk

kkkkkkk

kkkkkkk

0

0000

00000000

00000000000000

21

20

5

4

3

2

2121

212120

544

4433

3322

221

(87)

Completando a outra parte da planilha e usando as equaes (81), (82), (85) e

(56), o resultado ser como apresentado na Figura 40.

Figura 40 Planilha usando as equaes (81), (82), (85) e (56) (Exemplo 4)

Para facilita a reproduo da planilha no Quadro 3 esto descrito as frmulas

mais relevantes. Os termos em destaque em negrito sero os nicos valores a mudarem

em cada clula.Quadro 3 Frmulas Exemplo 4Clulas FrmulasE8 =0E9 =SE(($B$4/$H$2+E8)>$B$4;$B$4;$B$4/$H$2+E8)F8 =$B$2-E8*$H$4/$B$4G8 =PI()*F8^2I9 =(G8+G9)/2J9 =I9*$E$3/($B$4/$H$2)

55

Para aplicar a condio de contorno na matriz de rigidez elimina-se a 1 linha e a

1 coluna da matriz, j que no n um seu deslocamento est restrito, na planilha ficar

da seguinte forma de acordo com a equao matricial (87):

Figura 41 Matriz de rigidez com condio de contorno aplicada no Excel (Exemplo 4)

Fase de Soluo

Resolver o sistema de equaes, para resolver o sistema de equaes lineares

basta inverter a matriz de rigidez descrito em (87) (j com a condio de contorno

aplicada) e multiplic-la pelo vetor das foras nodais.

'' 1' fKueq

(88)

Onde 1'eq

K a inversa da matriz de rigidez com as condies de contorno.

A matriz inversa pelo Excel usando a funo MATRIZ.INVERSO ser:

Figura 42 - Inversa no Excel (Exemplo 4)

O vetor das foras nodais ser:

56

Figura 43- Vetor dos carregamentos nodais (Exemplo 4)

Multiplicando a matriz e o vetor com a funo MATRIZ.MULT ser obtida os

deslocamentos .

Figura 44 Deslocamento nodais no Excel (Exemplo 4)

Ps-processamento

No ps-processamento sero obtidas outras informaes.

A informao que pode ser obtida atravs dos deslocamentos a tenso normal,

dada pela equao (59). Atravs do Excel ser obtido o seguinte resultado:

57

Figura 45 Ps-processamento no Excel (Exemplo 4)

Outra informao que pode ser obtida so as foras de reao Ri nos ns da barra, fornecida por:

fuKR eq (89)Tem-se ento:

Fuu

uuuuu

kkkkk

kkkkkkk

kkkkkkkk

kk

RR

RRRRR

0

00000

0000000000

0000000000000000000000

21

20

5

4

3

2

1

2121

212120

544

4433

3322

2211

11

21

20

5

4

3

2

1

(90)

Obtm-se a soluo:

00

0000

21

20

5

4

3

2

1 F

RR

RRRRR

(91)

58

Para verificar a convergncia dos dados veja os grficos abaixo:

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 0,5 1 1,5 2 2,5x

Del

taMEF com 20 elementos

Figura 46 Deslocamentos nodais em funo do comprimento x (Exemplo 4)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x

Tens

o

Figura 47 Tenses em funo do comprimento x (Exemplo 4)

59

5 TRELIA

Segundo Beer e Johnston Jnior (1980) a trelia um tipo de estrutura da

engenharia comumente usado em construo de prdios e pontes onde se busca uma

soluo ao mesmo tempo prtica, econmica e esttica. Uma trelia ideal consiste de

barras retas conectadas e articuladas nas juntas. Conectadas somente nas extremidades,

sendo assim, nenhuma barra continua aps uma junta, como mostra a Figura 48 (b)

diferentemente da Figura 48 (a) em que o segmento AB constitudo de uma nica

barra.

Figura 48 (a) Trelia no ideal (b) Trelia ideal (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)

As cargas nas trelias so aplicadas nas juntas, raramente so aplicadas ao longo

das barras, pois suas barras so delgadas e no resistem tais esforos.

As juntas podem ser unidas por pinos, solda, rebites ou parafusos, porm para

efeito didtico elas so consideradas pinadas e articuladas. Desta forma os nicos

esforos suportados pela trelia so os esforos axiais.

Os materiais utilizados na sua construo podem ser tubos de ao, alumnio,

perfil L, barras de metal, estruturas de madeira, etc.

Na anlise dessas estruturas geralmente ignora-se o peso da estrutura, pois a

carga aplicada geralmente muito maior.

5.1 Trelia Plana

As trelias planas ou bidimensionais so estruturas treliadas em que todos seus

elementos podem ser representados num mesmo plano.

60

A trelia na Figura 49 quando submetido a uma carga provavelmente sofrer uma

deformao na sua estrutura original. A trelia na Figura 52 sob a mesma carga sofrer

somente a deformao do material, somente seu comprimento, este tipo de trelia

conhecida como trelia rgida, denomina-se rgida, pois ela no entrar em colapso

(desde que no ultrapasse os limites de resistncia do material). O objetivo de um

projetista ser sempre construir uma trelia rgida.

Figura 49 Estrutura no rgida (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)

Figura 50 Estrutura rgida (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)

5.1.1 Trelia Simples

Segundo Beer e Johnston Jnior (1980) a trelia triangular a trelia rgida mais

elementar e a partir dela pode-se construir trelias rgidas maiores, para isto basta

adicionar mais duas barras a trelia triangular ligadas em diferentes ns existentes e

interligadas a um novo n conforme Figura 51. O processo pode ser repetido diversas

vezes e sempre obter uma trelia rgida. Trelias constitudas desta forma so

conhecidas como trelias simples. Mas nem sempre as trelias simples so constitudas

por formas triangulares. Como mostra a Figura 52 a trelia rgida e construda

adicionado duas barras e no constitudo somente de geometria triangular.

Figura 51 Trelia simples (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)

61

Figura 52 Trelia rgida com geometria quadriltera (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)

Nem sempre trelias rgidas so simples como o caso da trelia Fink e

Baltimore mostrado na Figura 53. Todas as outras da figura so trelias simples, j que

podem ser construdas conforme a descrio anterior.

Figura 53 Tipos de Trelia plana (fonte: BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed. p. 219)

5.2 Trelias Espaciais

Toda vez que barras retas so unidas de forma a construir uma configurao

tridimensional denomina-se a estrutura como trelia espacial.

62

A forma mais elementar dentre as trelias espaciais formada por 6 barras e 4

ns formando assim um tetraedro. De forma anloga trelia simples bidimensional,

adicionando mais trs barras a trelia tetradrica pode-se obter uma estrutura rgida

maior conhecida como trelia espacial simples. Como mostra a Figura 54 Abaixo.

Figura 54 Trelia espacial (fonte: BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed. p. 227)

O uso da de estruturas espaciais, em especial as trelias, muito recente, sua

primeira aplicao comercial ocorreu na dcada de 30 pela indstria alem MERO. Na

dcada de 60 surgem outras empresas europeias e americanas que utilizaram tambm

essas estruturas espaciais.

No Brasil um marco na engenharia e arquitetura nacional ocorreu entre as

dcadas de 60 e 70, foi a construo do Centro de Exposies do Anhembi, em So

Paulo, primeira trelia espacial em grandes dimenses, este marco impulsionou o uso

destas estruturas em todo pas.

Figura 55 Trelia espacial, totalmente montada no cho, do Centro de Exposies do Anhembi dias antes de ser erguida por guindastes. (fonte: http://eventoemfoco.wordpress.com/2009/07/08/espacial-do-

anhembi-ainda-no-chao)

63

Figura 56 Vista area do Centro de Exposies do Anhembi (fonte: http://www.anhembi.com.br/) Figura 57 Vista interna do Centro de Exposies do Anhembi (fonte: http://www.anhembi.com.br/)

Por causa da fcil fabricao dos elementos, montagem, transporte e sua

viabilidade econmica o uso da trelia espacial em grandes ambientes tem sido bem

comum em todo o mundo.

As formas mais comuns para conectar os elementos so mostradas nas figuras a

seguir.

Figura 58 Junta esfrica MERO Figura 59 Junta em cruzeta

Figura 60 Junta com ponta amassada

Para que a as cargas aplicadas nas estruturas concentrem-se nos ns os tipos de

conexes mais apropriadas e mais condizente com a teoria, so as representadas na

Figura 58 e Figura 59. Porm a forma mais usada a apresentada na Figura 60 por

serem as mais econmicas, este tipo de conexo impede a rotao em torno dos ns

causando esforos como toro, momento e flexo, alm no terem uma boa esttica.

64

5.3 Formulao do Elemento finito para problemas de Trelia Espacial

O elemento finito a ser utilizado a barra elstica, j descrita e formulada no

capitulo anterior. Porm, at o momento foram usadas coordenadas unidimensionais

para formular os elementos, agora que ser apresentada a estrutura tipo trelia usando

MEF faz-se necessrio o uso das coordenadas bidimensionais e tridimensionais.

5.3.1 Sistema de Coordenadas Locais e Globais

comum na modelagem em CAD trabalhar com sistema de coordenadas locais e

globais, principalmente em desenhos tridimensionais, no intuito de facilitar o

modelamento.

Figura 61 Estrutura no sistema global XYZ

Figura 62 - Elemento no sistema local xyz

Na Figura 61 mostrada uma estrutura no sistema de coordenadas global XYZ

(com letras maisculas). Isolando a barra formada pelos ns 1 e 4 foi arbitrado um

sistema de coordenadas local xyz (letras minsculas) para facilitar a formulao do

elemento finito, onde o zero coincidente com o n 1 e o eixo x coincidente com eixo

65

axial da barra. O elemento finito ser exatamente o mesmo que a barra elstica j

apresentada. O sistema de equaes matricial ser a (92) exatamente igual a (63).

4

1

4

1

1111

ff

uu

LAE (92)

possvel realizar esse mesmo processo para todas as outras barras e obter um

sistema de coordenadas locais para cada elemento e um sistema de equaes matriciais

para cada elemento. Porm para montar o sistema global necessrio converter cada

sistema de coordenadas local no sistema de coordenadas global. Essa converso feita

pela matriz transformada.

5.3.2 Matriz Transformada

Na Figura 63 exibida uma barra de comprimento L com sistema de coordenadas

, X Y Z so os

ngulos formados por em relao ao sistema global (estes ngulos tambm so

conhecidos como ngu

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